MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA · Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 3 Ahora, si a la expresión anterior se divide

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

DERIVADA INCREMENTOS Se define como incremento de la variable x al aumento o disminución que experimenta, desde un valor

1x a otro 2x , en su campo de variación. Se denota por x∆ . Por tanto:

12 xxx −=∆

x1 x2

∆∆∆∆x = x2 - x1

x

y

De forma análoga, el incremento de la variable y es el aumento o disminución que experimenta, desde

un valor 1y a otro 2y , en su campo de variación. Se denota por y∆ , esto es:

12 yyy −=∆

∆∆∆∆y = y2 - y1

x

y

y1 = f(x 1)

y2 = f(x 2)


2

Por definición, los incrementos pueden ser: 0>∆ si el valor final es mayor que el inicial

0<∆ si el valor final es menor que el inicial

0=∆ si el valor final es igual que el inicial

Ejemplos.

1) Sea 34 2 −= xy , obtener x∆ y y∆ si x pasa de 2 a 5.2

Solución:

5.2,2 21 == xx

5.025.2 =−=∆x

( ) ( ) ( ) 1331632422

11 =−=−=== fxfy

( ) ( ) ( ) 2232535.245.22

22 =−=−=== fxfy

12 yyy −=∆

91322 =−=∆y

2) Sea 1026 3 −−= xxy , obtener x∆ y y∆ si x pasa de 3 a 02.3 Solución:

02.3,3 21 == xx

02.0304.3 =−=∆x

( ) ( ) ( ) ( ) 14610616210323633

11 =−−=−−=== fxfy

( ) ( ) ( ) ( ) 2216.1491004.62616.1651002.3202.3602.33

22 =−−=−−=== fxfy

12 yyy −=∆

2216.31462216.149 =−=∆y

Como puede observarse, 2y es el valor final de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor

2x . De la misma forma, 1y es el valor inicial de la variable dependiente cuando a x se le asigna el valor

inicial 1x . Esto es:

( )11 xfy =

( )22 xfy =

Ahora, de 12 xxx −=∆ , se despeja 2x :

xxx ∆+= 12

por lo que 2y es:

( ) ( )xxfxf ∆+= 12

por lo tanto, sustituyendo en 12 yyy −=∆ :

( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆

Esto significa que al darle un incremento a x en el punto 1x le corresponde a y un incremento:

( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆ .


3

Ahora, si a la expresión anterior se divide por x∆ :

( ) ( )x

xfxxf

x

y

∆−∆+=

∆∆ 11

se obtiene el cociente de incrementos. DEFINICIÓN DE DERIVADA

Se define como derivada de una función ( )xfy = con respecto a x en un punto 1x , al límite, si existe,

del cociente de incrementos x

y

∆∆

cuando x∆ tiende a cero.

Esto significa que la derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente, entre el incremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero, y se denota por:

( ) ( ) ( )x

xfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

11

01 lim'

Las notaciones más comunes de la derivada de la función ( )xfy = con respecto a x son:

'y ó ( )xf ' Notación de Lagrange

dx

dy ó

( )dx

xdf Notación de Leibniz

yDx ó ( )xfDx Notación de Cauchy •y ó ( )

•xf Notación de Newton

La más usada es la notación de Leibniz1. Las distintas partes de estas expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente. Las d no son números, no pueden simplificarse, y la

expresión completa no es el cociente de otros dos números ""dy y ""dx '.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el

límite de los cocientes ( ) ( )

x

xfxxf

∆−∆+ 11 , sino como el “valor” de este cociente cuando x∆ es un

número infinitamente pequeño. Esta cantidad “infinitamente pequeña” fue designada por dx y la

correspondiente diferencia “infinitamente pequeña” ( ) ( )xfxxf −∆+ por ( )xdf . MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS Para hallar la derivada de una función se sigue un procedimiento conocido como método de los cuatro pasos que consiste en:

1 Leibniz es generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal (junto con Newton).


4

1. A la función en x se le incrementa en x∆ : ( )xxf ∆+

2. A lo obtenido, se le resta la función original, es decir ( ) ( )xfxxf −∆+

3. Se divide todo por x∆ : ( ) ( )

x

xfxxf

∆−∆+

4. Se toma el límite cuando x∆ tiende a cero: ( ) ( )

x

xfxxf

x ∆−∆+

→∆ 0lim , y si existe este límite, es su derivada.

Ejemplos. Aplicando el método de los cuatro pasos, obtener la derivada de las siguientes funciones. 1) 35 −= xy Solución:

( ) 35 −= xxf

1er paso: ( ) ( ) 35 −∆+=∆+ xxxxf

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )3535 −−−∆+=−∆+ xxxxfxxf

xxxx ∆=+−−∆+= 535355

3er paso:( ) ( )

55 =∆∆=

∆−∆+

x

x

x

xfxxf

4º paso: ( ) ( )

55limlim00

==∆

−∆+→∆→∆ xx x

xfxxf

( ) 5' ==∴dx

dyxf

2) 674 2 +−= xxy Solución:

( ) 674 2 +−= xxxf

1er paso: ( ) ( ) ( ) 6742 +∆+−∆+=∆+ xxxxxxf

( )( ) ( ) 677484677242222 +∆−−∆+∆+=+∆−−∆+∆+= xxxxxxxxxxxx

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( )674677484 222 +−−+∆−−∆+∆+=−∆+ xxxxxxxxxfxxf

( ) 674677484 222 −+−+∆−−∆+∆+= xxxxxxxx

( ) xxxx ∆−∆+∆= 7482

3er paso:( ) ( ) ( )

748748

2

−∆+=∆

∆−∆+∆=∆

−∆+xx

x

xxxx

x

xfxxf

4º paso: ( ) ( ) ( ) 78748limlim

00−=−∆+=

∆−∆+

→∆→∆xxx

x

xfxxf

xx

( ) 78' −==∴ xdx

dyxf

3) 1152 3 −−= xxy Solución:


5

( ) 1152 3 −−= xxxf

1er paso: ( ) ( ) ( ) 11523 −∆+−∆+=∆+ xxxxxxf

( ) ( )( ) ( ) ( ) 11552662115533232233223 −∆−−∆+∆+∆+=−∆−−∆+∆+∆+= xxxxxxxxxxxxxxxx

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )115211552662 33223 −−−−∆−−∆+∆+∆+=−∆+ xxxxxxxxxxxfxxf

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=++−−∆−−∆+∆+∆+= 526611521155266232233223

3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5266

5266 22

322

−∆+∆+=∆

∆−∆+∆+∆=∆

−∆+xxxx

x

xxxxxx

x

xfxxf

4º paso: ( ) ( ) ( )( ) 565266limlim 222

00−=−∆+∆+=

∆−∆+

→∆→∆xxxxx

x

xfxxf

xx

( ) 56' 2 −==∴ xdx

dyxf

4) 2

7

xy =

Solución:

( )2

7

xxf =

1er paso: ( ) ( )27

xxxxf

∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) 22

77

xxxxfxxf −

∆+=−∆+ , simplificando las fracciones:

( )

( )( )( )

( )( )

( ) 22

222

22

222

22

22 7147727777

xxx

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

xxx

∆+∆−∆−−=

∆+∆+∆+−=

∆+∆+−=

( )

( ) 22

2714

xxx

xxx

∆+∆−∆−=

3er paso: ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) 2222

222

2

714714

714

xxx

xx

xxxx

xxx

x

xxx

xxx

x

xfxxf

∆+∆−−=

∆∆+∆−∆−=

∆∆+

∆−∆−

=∆

−∆+

4º paso: ( ) ( )

( ) 34222200

141414714limlim

xx

x

xx

x

xxx

xx

x

xfxxf

xx−=−=−=

∆+∆−−=

∆−∆+

→∆→∆

( )3

14'

xdx

dyxf −==∴

5) xy 3= Solución:

( ) xxf 3=

1er paso: ( ) ( )xxxxf ∆+=∆+ 3

2º paso: ( ) ( ) ( ) xxxxfxxf 33 −∆+=−∆+


6

multiplicando arriba y abajo por el conjugado del binomio, se tiene:

( )xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

333

3

333

333

333

333333

+∆+∆=

+∆+−∆+=

+∆++∆+⋅−∆+=

3er paso: ( ) ( )

( ) xxxxxxx

x

x

xxx

x

x

xfxxf

333

3

333

3333

3

+∆+=

∆+∆+∆=

∆+∆+

∆

=∆

−∆+

4º paso: ( ) ( )

xxxxxxx

xfxxf

xx 32

3

33

3

333

3limlim

00=

+=

+∆+=

∆−∆+

→∆→∆

( )xdx

dyxf

32

3' ==∴

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea una función ( )xfy = . Si se toma un punto cualquiera ( )yxP , y se efectúa un incremento

cualquiera 1x∆ se obtiene su respectivo incremento 1y∆ en el punto ( )yyxxQ ∆+∆+ ,1 . La razón 1

1

x

y

∆∆

representa la pendiente del segmento 1PQ . Ahora, si P permanece fijo y x∆ es cada vez más pequeño, lo que sucede es que el punto Q se

mueve sobre la curva acercándose a P . Cada vez que disminuye x∆ , la recta 1PQ gira en torno a P

hasta que llega a su posición límite que es la tangente a la curva en el punto P . Por lo tanto el ( ) ( )

x

xfxxf

x ∆−∆+

→∆ 0lim es la pendiente de la tangente a la curva ( )xfy = en el punto P .

y

x

P(x,y)

∆∆∆∆x5

y = f(x)

∆∆∆∆y2

∆∆∆∆y3

∆∆∆∆y4∆∆∆∆y5

∆∆∆∆y1

∆∆∆∆x4

∆∆∆∆x3

∆∆∆∆x2

∆∆∆∆x1

0 ←←←← ∆∆∆∆x

Q1(x+ ∆∆∆∆x,y+ ∆∆∆∆y)

Recta tangente

Q4

Q5

Q3

Q2

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto ( )yxP , .


7

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

Una función ( )xf es derivable en el punto 1x si ( )af ' existe. Por su parte, una función es derivable en

un intervalo abierto ( )ba, si es derivable en cualquier punto del intervalo.

Es importante resaltar que: si ( )xf es derivable en un punto 1x , entonces ( )xf es continua en 1x , sin embargo, el caso inverso, no necesariamente es cierto porque hay funciones que son continuas pero no son derivables. En general, si la gráfica de una función presenta cualquiera de los siguientes tres casos, entonces una función no es derivable. 1. Si posee “picos” ya que la función no posee tangente en esos puntos y no es derivable allí debido a

que al calcular ( )1' xf se encuentra que los límites laterales son diferentes.

x1x

y

Un “pico”

2. Si una función ( )xf no es continua en 1x entonces no es derivable en ese punto, por lo tanto, en

cualquier discontinuidad, la función deja de ser derivable.

x1x

y

Discontinuidad

3. Si la curva tiene una recta tangente vertical cuando 1xx = . Esto es: ( )xf es continua en 1x y

( ) ∞=→ 1'lim

1

xfxx

, lo que significa que las tangentes se vuelven cada vez más pronunciadas.


8

x1

x

y

Tangente vertical

A pesar de que la gráfica tome la apariencia de una recta, mientras no presente un cambio brusco en forma de esquina, entonces la función es derivable. Las siguientes gráficas muestran esto en un punto

1xx = :

x1

x

y

f(x) es derivable en x = x 1

x1

x

y

f(x) no es derivable en x = x 1

Ejemplo.

Determinar los puntos en que la función ( ) xxf = es derivable.

Solución: Como el valor absoluto de x presenta tres posibles valores, se analiza por separado:

• Si 0>x , se tiene: ( ) 11limlimlimlim'0000

==∆∆=

∆−∆+=

∆−∆+

=→∆→∆→∆→∆ xxx x

x

x

xxx

x

xxxxf

Por tanto, la función es derivable para 0>x .

• Si 0<x , se tiene:


9

( ) ( ) ( ) ( ) 11limlimlimlim'0000

−=−=∆∆−=

∆−−∆+−=

∆−∆+

=→∆→∆→∆→∆ xxx x

x

x

xxx

x

xxxxf

Por tanto, la función es derivable para 0<x .

• Si 0=x , se tiene:

( )x

xxf

x ∆−∆+

=→∆

00lim'

0 (si existe)

Se comparan los límites laterales por separado:

11limlimlim00

lim0000

==∆∆=

∆∆

=∆

−∆+++++ →∆→∆→∆→∆ xxxx x

x

x

x

x

x

( ) 11limlimlim00

lim0000

−=−=∆∆−=

∆∆

=∆

−∆+−−−− →∆→∆→∆→∆ xxxx x

x

x

x

x

x

Puesto que ( ) ( )0lim0lim00ff

xx −+ →∆→∆≠ , no existe ( )0'f . Por lo tanto ( )xf es derivable para toda x

excepto en 0=x . En la gráfica siguiente se aprecia como la función no posee tangente en 0=x .

0 x

y

y = f(x) = x

2 4-2-4

2

4

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Sean las funciones ( )ufy = y ( )xgu = , tal que se forme una composición de funciones que cumpla

con: ( )( )xgfy = .

La derivada dx

dy de la función compuesta se obtiene por medio de:

dx

du

du

dy

dx

dy ⋅=

Expresión conocida también como la regla de la cadena.


10

La regla de la cadena es muy útil en cambios de variable a fin de simplificar la derivación de funciones: a una parte de la función se le denota como u , se deriva la función respecto a esta variable, se le

multiplica por dx

du y finalmente se sustituye u por la parte correspondiente de la función original en x .

Sean wvu ,, tres funciones de x , es decir, ( ) ( ) ( )xfwxfvxfu === ,, y c una constante. Las once primeras formulas básicas de derivación, considerando la regla de la cadena, son:

1) ( ) 0=cdx

d

Demostración:

( ) cxf =

1er paso: ( ) cxxf =∆+

2º paso: ( ) ( ) 0=−=−∆+ ccxfxxf

3er paso: ( ) ( )

00 =

∆=

∆−∆+

xx

xfxxf

4º paso: ( ) ( )

00limlim00

==∆

−∆+→∆→∆ xx x

xfxxf

( ) ( ) 0' ==∴ cdx

dxf

La derivada de una constante siempre es cero.

2) ( ) 1=xdx

d

Demostración:

( ) xxf =

1er paso: ( ) xxxxf ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxfxxf ∆=−∆+=−∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( )

1=∆∆=

∆−∆+

x

x

x

xfxxf

4º paso: ( ) ( ) ( ) 11limlim

00==

∆−∆+

→∆→∆ xx x

xfxxf

( ) ( ) 1' ==∴ xdx

dxf

La derivada de x , respecto a si misma, es uno.

3) ( ) cxcdx

d =⋅

Demostración:

( ) xcxf ⋅=

1er paso: ( ) ( )xxcxxf ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) xccxxccxcxxxcxfxxf ∆=−∆+=−∆+=−∆+


11

3er paso: ( ) ( )

cx

xc

x

xfxxf =∆∆=

∆−∆+

4º paso: ( ) ( ) ( ) cc

x

xfxxf

xx==

∆−∆+

→∆→∆ 00limlim

( ) ( ) cxcdx

dxf =⋅=∴ '

La derivada de una función por una constante es igual a la constante.

4) ( )dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d ++=++

Demostración:

( ) wvuxf ++=

1er paso: ( ) ( ) ( ) ( )xxwxxvxxuxxf ∆++∆++∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxxwxxvxxuxfxxf −−−∆++∆++∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxxwxvxxvxuxxu

x

xfxxf

∆−∆++−∆++−∆+=

∆−∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxxw

x

xvxxv

x

xuxxu

∆−∆++

∆−∆++

∆−∆+=

4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxxw

x

xvxxv

x

xuxxu

x

xfxxf

xxxx ∆−∆++

∆−∆++

∆−∆+=

∆−∆+

→∆→∆→∆→∆ 0000limlimlimlim

( ) ( )dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

dwvuf ++=++=++∴ '

La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de esas funciones.

5) ( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

d ⋅+⋅=⋅

Demostración:

( ) vuxf ⋅=

1er paso: ( ) ( ) ( )xxvxxuxxf ∆+⋅∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxxvxxuxfxxf ⋅−∆+⋅∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xvxuxxvxxu

x

xfxxf

∆⋅−∆+⋅∆+=

∆−∆+

restando y sumando: ( ) ( )xxuxv ∆+⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xvxuxxuxvxxuxvxxvxxu

x

xfxxf

∆⋅−∆+⋅+∆+⋅−∆+⋅∆+=

∆−∆+

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

x

xuxxuxvxvxxvxxu

∆−∆++−∆+∆+=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

x

xuxxuxv

x

xvxxvxxu

∆−∆++

∆−∆+∆+=

4º paso:


12

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]x

xuxxuxv

x

xvxxvxxu

x

xfxxf

oxxx ∆−∆++

∆−∆+∆+=

∆−∆+

→∆→∆→∆limlimlim

00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xuxxuxv

x

xvxxvxxu

oxxxx ∆−∆+⋅+

∆−∆+⋅∆+=

→∆→∆→∆→∆limlimlimlim

000

( ) ( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

dvuf ⋅+⋅=⋅=⋅∴ '

La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.

6) ( )dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

Demostración:

( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxf ⋅⋅=

1er paso: ( ) ( ) ( ) ( )xxwxxvxxuxxf ∆+⋅∆+⋅∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xwxvxuxxwxxvxxuxfxxf ⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxvxuxxwxxvxxu

x

xfxxf

∆⋅⋅−∆+⋅∆+⋅∆+=

∆−∆+

restando y sumando: ( ) ( ) ( )xwxxvxxu ⋅∆+⋅∆+ y ( ) ( ) ( )xwxvxxu ⋅⋅∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xwxxvxxuxxwxxvxxu

x

xfxxf

∆⋅∆+⋅∆+−∆+⋅∆+⋅∆+=

∆−∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxvxxuxwxxvxxu

∆⋅⋅∆+−⋅∆+⋅∆++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxvxuxwxvxxu

∆⋅⋅−⋅⋅∆++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xvxxvxwxxu

x

xwxxwxxvxxu

x

xfxxf

∆−∆+⋅⋅∆++

∆−∆+⋅∆+⋅∆+=

∆−∆+

( ) ( ) ( ) ( )x

xuxxuxwxv

∆−∆+⋅⋅+

4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x

xwxxwxxvxxu

x

xfxxf

xxx ∆−∆+⋅∆+⋅∆+=

∆−∆+

→∆→∆→∆ 000limlimlim

( ) ( ) ( ) ( )x

xvxxvxwxxu

xx ∆−∆+⋅⋅∆++


( ) ( ) ( ) ( )x

xuxxuxwxv

oxx ∆−∆+⋅⋅+

→∆→∆limlim

0

( ) ( )dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

dvuf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅∴ '

La derivada de un producto de tres funciones es igual al producto de la primera y la segunda funciones por la derivada de la tercera, más el producto de la primera y la tercera funciones por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda y la tercera funciones por la derivada de la primera.


13

7) 01 ≠=

c

cc

x

dx

d

Demostración:

( )c

xxf =

1er paso: ( ) ( )c

xxxxf

∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( )c

x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

xxxfxxf

∆=−∆+=−∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( )

cx

c

x

x

xfxxf 1=∆

∆

=∆

−∆+

4º paso: ( ) ( )

ccx

xfxxf

xx

11limlim

00=

=∆

−∆+→∆→∆

( ) 01

' ≠=

=∴ ccc

x

dx

dxf

La derivada del cociente de la función identidad sobre una constante es igual al inverso multiplicativo de la constante.

8) 2

1

x

c

xdx

dc

x

c

dx

d −=

⋅=

Demostración:

( )x

cxf =

1er paso: ( )xx

cxxf

∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxx

xc

xxx

xccxcx

xxx

xxccx

x

c

xx

cxfxxf

∆+∆−=

∆+∆−−=

∆+∆+−=−

∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( ) ( )

( ) ( )xxx

c

xxxx

xc

x

xxx

xc

x

xfxxf

∆+−=

∆∆+∆−=

∆∆+

∆−=

∆−∆+

4º paso: ( ) ( )

( ) 200limlim

x

c

xxx

c

x

xfxxf

xx−=

∆+−=

∆−∆+

→∆→∆

( )2

'x

c

x

c

dx

dxf −=

=∴

La derivada del cociente de una constante sobre la función identidad es igual a la constante dividida por el cuadrado de la función afectado todo por un signo negativo.

9) 0,2

≠⋅−⋅

=

v

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

Demostración:


14

( ) ( )( )xvxu

xf =

1er paso: ( ) ( )( )xxv

xxuxxf

∆+∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xvxxv

xxvxuxvxxu

xv

xu

xxv

xxuxfxxf

⋅∆+∆+⋅−⋅∆+=−

∆+∆+=−∆+

restando y sumando: ( ) ( )xvxu ⋅

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x

xvxxv

xvxuxxvxuxvxuxvxxu

x

xv

xu

xxv

xxu

x

xfxxf

∆⋅∆+

⋅+∆+⋅−⋅−⋅∆+

=∆

−∆+∆+

=∆

−∆+

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) xxvxxv

xvxxvxuxuxxuxv

∆⋅⋅∆+−∆+−−∆+=

4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) xxvxxv

xvxxvxuxuxxuxv

x

xfxxf

xx ∆⋅⋅∆+−∆+−−∆+=

∆−∆+


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xvxxv

x

xvxxvxu

x

xuxxuxv

x

xx

⋅∆+∆

−∆+⋅−∆

−∆+⋅=

→∆

→∆→∆

0

00

lim

limlim

4º paso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )20

''lim

xv

xvxuxuxv

x

xfxxf

x

⋅−⋅=∆

−∆+→∆

( ) 0;'2

≠⋅−⋅

=

=∴ vv

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

dxf

La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

10) 1−⋅= nn xnx

dx

d

Demostración:

( ) nxxf =

1er paso: ( ) ( )nxxxxf ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) nnxxxxfxxf −∆+=−∆+

3er paso: ( ) ( )

x

xfxxf

∆−∆+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x

xxxxnnnxxnnxnx

x nnnnn

n

∆

−

∆+⋅⋅⋅+∆−−+∆−+∆+

=

−−−

!3

21

!2

1

!1

33221

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1

2321

!3

21

!2

1

!1

−−−−

∆⋅⋅⋅+∆−−+∆−+= nnnn

xxxnnnxxnnnx

4º paso:


15

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 112321

00 !3

21

!2

1

!1limlim −−

−−−

→∆→∆⋅=

∆⋅⋅⋅+∆−−+∆−+=

∆−∆+ nn

nnn

xxxnx

xxnnnxxnnnx

x

xfxxf

( ) ( ) 1' −⋅==∴ nn xnxdx

dxf

La derivada de una potencia de x es igual al exponente multiplicado por x elevado al exponente menos uno.

En resumen y aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:

1) ( ) 0=cdx

d 2) ( ) 1=x

dx

d

3) ( )dx

ducuc

dx

d ⋅=⋅ 4) ( )dx

dw

dx

dv

dx

duwvu

dx

d ++=++

5) ( )dx

duv

dx

dvuvu

dx

d ⋅+⋅=⋅ 6) ( )dx

duwv

dx

dvwu

dx

dwvuwvu

dx

d ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

7) 01 ≠⋅=

c

dx

du

cc

u

dx

d 8)

dx

du

u

c

udx

dc

u

c

dx

d ⋅−=

⋅=

2

1

9) 0,2

≠⋅−⋅

=

v

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d 10)

dx

duunu

dx

d nn ⋅⋅= −1

Ejemplos. Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones: 1) 4=y

0=dx

dy

2) xy 7=

7=dx

dy

3) 34xy =

212xdx

dy =

4) 658 2 +−= xxy

516 −= xdx

dy

5) 1119 23 +−−= xxxy

11183 2 −−= xxdx

dy

6) ( )52 276 −−= xxy Aplicando la regla de la cadena:


16

276 2 −−= xxu 5uy =

45udu

dy =

712 −= xdx

du

( ) ( )712276542 −−−=∴ xxx

dx

dy

para fines prácticos, se deriva a la función del paréntesis en su conjunto ( )u y se multiplica por la derivada del contenido del paréntesis:

7) ( )324 1358 xxxy −−=

( ) ( )13103213583 3224 −−−−= xxxxxdx

dy

8) ( )543 6527 −−−= xxxy

( ) ( )582165275 32443 −−−−−= xxxxxdx

dy

9) ( )( )1341158129 322 −+−−+−= xxxxxy

( )( ) ( )( )12181341151211108129 3222 −−+−−++−−+−= xxxxxxxxdx

dy

10) ( )( )96155781610 2234 +−++−−= xxxxxxy

( )( ) ( )( )716484096156305781610 232234 +−−+−+−++−−= xxxxxxxxxxdx

dy

11) ( )( )( )46981711 432 −−−= xxxxy

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )172246982446171124981711 43242332 −−−+−−+−−= xxxxxxxxxxxdx

dy

12) ( )( )( )23245 163125123 xxxxxy −+−−=

( )( )( ) ( )( )( )xxxxxxxxxxdx

dy41635123329125123 23452245 −−−+−+−−=

( )( )( )34232 481516312 xxxxx −−++

13) ( ) ( )78532 14694 xxxxy +−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )243278768532 2789451461448146794 xxxxxxxxxxxdx

dy −−++++−=

14) 6

114 2 −−= xxy

6

18 −= x

dx

dy

15) ( )

9

1247353

−−−= xx

y


17

( ) ( )9

101212421 42253 xxxx

dx

dy −−−−=

16) xy =

2

1

xy =

xx

xdx

dy

2

1

2

1

2

1

2

12

1

===−

17) 5 3xy =

5

3

xy =

5 25

25

2

5

3

5

3

5

3

xx

xdx

dy ===−

18) 4 69xy =

( )4169xy =

( )( ) ( )4 36

5

4

36

554

36

94

54

94

54549

4

1

x

x

x

xxx

dx

dy ===−

19) 6 82xy =

( )6182xy =

( )( ) ( )6 58

7

6

58

776

58

23

8

26

16162

6

1

x

x

x

xxx

dx

dy ===−

20) 7 4

1

xy =

7

4

7

4

1 −== x

x

y

7 117

117

11

7

4

7

4

7

4

xx

xdx

dy −=−=−=−

21) 3 472 xxy −=

( )31472 xxy −=

( ) ( )( ) ( )3 24

3

3

24

33

3

24

723

282

723

28228272

3

1

xx

x

xx

xxxx

dx

dy

−

−=−

−=−−= −

22) 6 29 85

41

xxy

−−=


18

( )( ) 6

129

6

129

8541

85

41 −−−=−

−= xx

xx

y

( ) ( ) ( )( )

( )( )6 729

8

6

729

886

729

856

164541

856

164541164585

6

41

xx

xx

xx

xxxxxx

dx

dy

−

−=−

−=−−=−

23) xx

xxy

115

2372

2

−−−=

( )( ) ( )( )( )22

22

115

1110237314115

xx

xxxxxx

dx

dy

−−−−−−−=

24) 65

34

57

4138

xxx

xxy

−++−=

( )( ) ( )( )( )265

54342365

57

301354138393257

xxx

xxxxxxxxx

dx

dy

−+−++−−−−+=

25) ( )

5 8

33

2

1117

xx

xxy

−−−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25 8

75

48332235 8

2

2825

111171121111732

xx

xxxxxxxxxx

dx

dy

−

−−−−−−−−−=

−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )25 8

5 48

7332235 8

2

25

2811171121111732

xx

xx

xxxxxxxx

dx

dy

−

−

−−−−−−−−

=

26) 3

175 −

=x

y

( )( )25

4

3

517

−−=x

x

dx

dy

27) 46 53

6

xxy

−=

( )( )246

35

53

20186

xx

xx

dx

dy

−−−=

28) ( )39 28

14

xxy

−−=

( ) ( ) ( )( )

( )( )49

8

69

829

28

27214

28

27228314

xx

x

xx

xxx

dx

dy

−−=

−−−−−=

29) 32

7124

xxxy +−=

321 7124 −−− +−= xxxy


19

432

432 2124421244

xxxxxx

dx

dy −+−=−+−= −−−

30) 4

2

27

1539

5

14

8

6

xxx

xxy −−++=

4227 15395

14

8

6 −−− −−++= xxxxxy

538

538 6069

5

28

8

426069

5

28

8

42

xx

xxxxxx

dx

dy +−+−−=+−+−−= −−−

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada dx

dyde una función ( )xfy = se conoce como primera derivada. Si ésta es a su vez una

función derivable, su derivada se denomina segunda derivada de la función original, que se denota como:

( )xfdx

yd

dx

dy

dx

d''

2

2

==

La derivada de la segunda derivada, en caso de existir, se conoce como tercera derivada de la función:

( )xfdx

yd

dx

yd

dx

d'''

3

3

2

2

==

El proceso es sucesivo, y mientras exista, la derivada enésima es: ( )xfdx

yd n

n

n

= .

Ejemplo.

Obtener la tercera derivada de la función 12542 23 −−−= xxxy Solución:

586 2 −−= xxdx

dy

8122

2

−=

= xdx

dy

dx

d

dx

yd

122

2

3

3

=

=

dx

yd

dx

d

dx

yd

Ejemplo.

Obtener la quinta derivada de la función 199572 2346 −−+−= xxxxy Solución:

xxxxdx

dy18152812 235 −+−=


20

18308460 24

2

2

−+−=

= xxxdx

dy

dx

d

dx

yd

30168240 3

2

2

3

3

+−=

= xx

dx

yd

dx

d

dx

yd

168720 2

3

3

4

4

−=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

xdx

yd

dx

d

dx

yd440,1

4

4

5

5

=

=

Ejemplo.

Obtener la séptima derivada de la función x

y5=

Solución:

15 −= xy

25 −−= xdx

dy

3

2

2

10 −=

= xdx

dy

dx

d

dx

yd

4

2

2

3

3

30 −−=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

5

3

3

4

4

120 −=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

6

4

4

5

5

600 −−=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

7

5

5

6

6

600,3 −=

= x

dx

yd

dx

d

dx

yd

8

8

6

6

7

7 200,25200,25

xx

dx

yd

dx

d

dx

yd ==

= −

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCIT A Como se definió en el primer capítulo, una función expresada en forma implícita es de la forma

( ) 0, =yxf . Para encontrar la derivada podría encontrarse su equivalente forma explícita y derivar. Sin embargo, como se sabe, no siempre es fácil despejar la variable dependiente, por lo que resulta necesario derivar en forma implícita.


21

En este sentido, la derivada dx

dyde una función ( ) 0, =yxf se puede obtener efectuando el

procedimiento que consta de los siguientes pasos:

1. Se expresa el operador dx

dy a cada término de la función

2. Se deriva cada término, considerando la regla del producto (que en su caso aplique), y además, tomando en cuenta que la derivada de una función en y con respecto a x es igual a la derivada de esta función

con respecto a y multiplicada por la derivada de y con respecto a x , esto es: ( ) ( )

dx

dy

dy

ydf

dx

ydf ⋅=

3. Se acomodan en el primer miembro todos los términos que posean al operador dx

dy y en el segundo

miembro a los que no lo tengan, siempre respetando las reglas de los signos.

4. Se factoriza el operador dx

dy

5. Finalmente, se obtiene la derivada dx

dy al despejarla de la expresión resultante.

Ejemplos. Hallar la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma implícita:

1) 012254 5432 =−−+ yxyx Solución:

012254 5432

dx

d

dx

dy

dx

dx

dx

dyx

dx

d =−−+

001020834 43322 =−−++dx

dyyxxy

dx

dyyx

33422 2081034 xxydx

dyy

dx

dyyx −−=−

( ) 33422 2081012 xxyyyxdx

dy −−=−

422

33

1012

208

yyx

xxy

dx

dy

−−−=

2) 01578263 533645 =+−++− yxyyxx Solución:

01578263 533645

dx

d

dx

dy

dx

dx

dx

dy

dx

dyx

dx

dx

dx

d =+−++−

0035246246615 42236544 =+−++

+−dx

dyyx

dx

dyyxy

dx

dyyxx

035246243615 42263544 =−++−−dx

dyyx

dx

dyyyx

dx

dyyxx


22

26344254 24241535636 xyxxdx

dyy

dx

dyy

dx

dyyx −+−=−+−

( ) 26344254 24241535636 xyxxyyyxdx

dy −+−=−+−

4254

2634

35636

242415

yyyx

xyxx

dx

dy

−+−−+−=

3) 01110728 37434 =−−+− yxxyxx Solución:

01110728 37434

dx

d

dx

dyx

dx

dx

dx

dyx

dx

dx

dx

d =−−+−

0030104964232 23624333 =−

+−+

+− xydx

dyxxxy

dx

dyyxx

03010496832 23642333 =−−+−− yxdx

dyxxyx

dx

dyyxx

yxxyxxdx

dyx

dx

dyyx 26423333 3049632108 +−+−=−−

( ) yxxyxxxyxdx

dy 26423333 3049632108 +−+−=−−

333

26423

108

3049632

xyx

yxxyxx

dx

dy

−−+−+−=

4) 011585116 534323 =−+−+− xyxyyxx Solución:

011585116 534323

dx

d

dx

dx

dx

dyx

dx

dy

dx

dyx

dx

dx

dx

d =−+−+−

0052458202231118 254333222 =−+

+−+

+− xydx

dyyx

dx

dyyxy

dx

dyyxx

05244020223318 524333222 =+−−+−− yxdx

dyyx

dx

dyyxy

dx

dyyxx

5242218402033 523243322 −++−=−+− yxxyxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dyyx

( ) 5242218402033 523243322 −++−=−+− yxxyxyxyyxdx

dy

43322

5232

402033

5242218

yxyyx

yxxyx

dx

dy

−+−−++−=

5) 046109128 2234 =−+−++ xxyyyxx

Solución:

046109128 2234

dx

d

dx

dx

dx

dxy

dx

dy

dx

dyx

dx

dx

dx

d =−+−++


23

0061010183621232 2233 =−+

+−+

++ ydx

dyx

dx

dyyxy

dx

dyyxx

06101018362432 2233 =+−−+++ ydx

dyx

dx

dyyyx

dx

dyyxx

6103632101824 2233 −+−−=−+ yyxxdx

dyx

dx

dyy

dx

dyyx

( ) 6103632101824 2233 −+−−=−+ yyxxxyyxdx

dy

xyyx

yyxx

dx

dy

101824

61036323

223

−+−+−−=

Si se tiene una función ( ) 0, =yxf , se conoce como derivada parcial de f con respecto a x a la

derivada de la función, sólo considerando a x como variable y lo demás como constante2. Se denota como:

x

f

∂∂

Similarmente, la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de la función, sólo considerando a y como variable y lo demás como constante. Se denota como:

y

f

∂∂

Ejemplos.

Obtener x

f

∂∂

y y

f

∂∂

de las siguientes funciones:

1) 0269873 562242 =++−++ xyyxyxx

616286 6232 +++=∂∂

xyyxxx

f

4524 454814 yyxyxy

f −+=∂∂

2) 0129364 427234 =−−+− yxyxyx

433 181216 xyxyxx

f −−=∂∂

32624 362112 yxyyxy

f −+=∂∂

2 La definición de derivada parcial es mucho más formal y amplia que lo expuesto. El concepto dado aquí es sólo para poseer otro recurso para resolver derivadas expresadas en forma implícita. En cursos posteriores de Cálculo se comprenderá el importante significado y utilidad de una derivada parcial.


24

Dada una función implícita de la forma ( )yxf , , la derivada dx

dy puede obtenerse muy fácilmente a

través de la aplicación de derivadas parciales, por medio de la siguiente expresión:

y

fx

f

dx

dy

∂∂∂∂−

=

Ejemplos.

Aplicando derivadas parciales, obtener dx

dy de las siguientes funciones expresadas en forma implícita:

1) 0109125 2234 =−+− yyxx

Solución:

yyx

yxx

y

fx

f

dx

dy

1824

36203

223

+−+−=

∂∂∂∂−

=

2) 01578263 53645 =+−++− yxyyxx Solución:

4254

634

35636

82415

yyyx

yxx

y

fx

f

dx

dy

−+−−+−=

∂∂∂∂−

=

Ejemplos. Comprobar los resultados de los primeros cinco ejercicios resueltos de este subtema.

1) 012254 5432 =−−+ yxyx Solución:

422

33

1012

208

yyx

xxy

y

fx

f

dx

dy

−−−=

∂∂∂∂−

=

2) 01578263 533645 =+−++− yxyyxx Solución:

4254

2634

35636

242415

yyyx

xyxx

y

fx

f

dx

dy

−+−−+−=

∂∂∂∂−

=


25

3) 01110728 37434 =−−+− yxxyxx Solución:

333

26423

108

3049632

xyx

yxxyxx

y

fx

f

dx

dy

−−+−+−=

∂∂∂∂−

=

4) 011585116 534323 =−+−+− xyxyyxx Solución:

43323

5232

402033

5242218

yxyyx

yxxyx

y

fx

f

dx

dy

−+−−++−=

∂∂∂∂−

=

5) 046109128 2234 =−+−++ xxyyyxx

Solución:

xyyx

yyxx

y

fx

f

dx

dy

101824

61036323

223

−+−+−−=

∂∂∂∂−

=

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTR ICA Dada una función expresada en forma paramétrica, tal y como se definió en el tema I.6, de la forma:

( )( )

==

tfy

tfx

Su derivada viene dada por:

dt

dxdt

dy

dx

dy =

Ejemplos. Obtener la derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:

1)

+−−=

+−=

21075

964

23

2

ttty

ttx

Solución:


26

101415

682 −−

−==tt

t

dt

dxdt

dy

dx

dy

2) ( )( )( )

−−=

−−=5224

423

541312

13118

tttty

ttx

Solución:

Para hallar dt

dx se aplica la regla de la cadena y para encontrar

dt

dy se aplica la regla del producto:

( )( ) ( )( )( ) ( )tttt

tttttttt

dt

dxdt

dy

dx

dy

22241311484

2648542581312

2323

352424

−−−−−+−−==

3)

=

=8

3

5ty

tx

Solución:

( )

=

=

8

1

3

1

5ty

tx

( )

3 2

8 7

3

1

58

5

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy ==

4)

=

−=

ty

tx

2

35

Solución:

=

−=−

−

2

1

5

2

3

ty

tx

6

3

15

1

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy−

==


27

5)

−−=

−=

53

4

76

84

92

tt

ty

tx

Solución:

Para hallar dt

dx se aplica la regla

dt

du

uu

dt

d ⋅=2

1 y para encontrar

dt

dy se aplica la regla del

cociente:

( )( ) ( )( )( )

4

3

253

4253

92

18

76

351884476

t

t

tt

ttttt

dt

dxdt

dy

dx

dy

−−

−−−−−

==

La segunda derivada de una función expresada en forma paramétrica está dada por:

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd ⋅

=2

2

Ejemplos. Obtener la segunda derivada de las siguientes funciones expresadas en forma paramétrica:

1)

−=+−=

212

154

3

2

ty

ttx

Solución:

58

6 2

−==t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy

( )( ) ( )( )( ) ( )3

22

2

22

2

2

58

486096

58

1

58

861258

58

6

−−−=

−⋅

−−−=⋅

−=⋅

=t

ttt

tt

ttt

dx

dt

t

t

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd

( )32

58

6048

−−=

t

tt

2)

=

=

53

1

ty

tx

Solución:


28

6

2

4

151

15t

t

t

dt

dxdt

dy

dx

dy −=−

==

( ) ( ) 7256

2

2

909015 tttdx

dtt

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd =−⋅−=⋅−=⋅

=

DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS

Sea una función ( )xfy = en el intervalo abierto ( )ba, cuya derivada no cambia de signo. Si su función

inversa es ( )ygx = , la derivada dx

dyviene dada por:

dy

dxdx

dy 1=

Ejemplos. Obtener la derivada de la función inversa de:

1) ( ) 68 −= xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:

( ) ( )8

668 1 +==⇒−= − x

xgxfyx

( )8

1=dx

xdg

Forma 2. Aplicando la fórmula:

8

11 ==

dy

dxdx

dy

2) ( ) 52 −= xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:

( ) ( ) 55 12 +==⇒−= − xxgxfyx

( )52

1

+=

xdx

xdg


52

1

2

11

+===

xy

dy

dxdx

dy


29

3) ( ) 14 += xxf Solución: Forma 1. Obteniendo la función inversa:

( ) ( )4

114

21 −==⇒+= − x

xgxfyx

( )24

2 xx

dx

xdg ==


24

142

142

4

11 xy

ydy

dxdx

dy =+

=

+

==

Ejemplos.

Aplicando la expresión

dy

dxdx

dy 1= obtener la derivada de las siguientes funciones:

1) ( ) ( )23+= xxf Solución: Obteniendo la función inversa:

( ) ( ) ( ) 33 12 −==⇒+= − xxgxfyx

( ) ( ) xxy

dy

dxdx

dy

2

1

332

1

32

11 =+−

=+

==

2) ( )x

xf5=

Solución: Obteniendo la función inversa:

( ) ( )x

xgxfy

x55 1 ==⇒= −

22

2

2

2

5

5

25

5

5

55

11

xx

xy

ydy

dxdx

dy −=−=

−=−=−==

3) ( )17

2

−=x

xf

Solución: Obteniendo la función inversa:

( ) ( ) 172

17

2 1 +==⇒−

= −

xxgxf

yx


30

( )

( )2

22

2

2

2

2

2

2

17172

2

17

17

2

11

x

xxy

ydy

dxdx

dy −=

−=

+−−=−−=

−−

==

4) ( ) 3 2 104 += xxf . Solución: Obteniendo la función inversa:

( ) ( )4

10104

313 2 −==⇒+= − x

xgxfyx

( ) ( )( )

4

108

3

8

1043

81043

1

11

3

23 22

3

22 −

=+

=+

==− x

x

y

y

yydy

dxdx

dy

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Las funciones trigonométricas o circulares directas fueron expuestas con amplitud en el capítulo II del libro de Matemáticas V de esta misma serie. Las derivadas de estas funciones se deducen a continuación:

1) ( ) xxsendx

dcos=

Demostración:

1er paso: ( ) ( )xxsenxxf ∆+=∆+

2º paso: ( ) ( ) ( ) xsenxxsenxfxxf −∆+=−∆+

considerando la identidad trigonométrica: ( ) bsenbaasenbasen2

1

2

1cos2 ⋅

+=−+

se tiene: ( ) ( ) xsenxxxfxxf ∆⋅

∆+=−∆+2

1

2

1cos2

3er paso: ( ) ( )

x

xsen

xxx

xsenxx

x

xfxxf

∆

∆⋅

∆+=∆

∆⋅

∆+=

∆−∆+

2

12

1

2

1cos

2

1

2

1cos2

4º paso:

( ) ( )

x

xsen

xx

x

xsen

xxx

xfxxf

xxxx

∆

∆⋅

∆+=∆

∆⋅

∆+=∆

−∆+→∆→∆→∆→∆

2

12

1

lim2

1coslim

2

12

1

2

1coslimlim

0000

pero se sabe que: 1

2

12

1

lim0

=∆

∆

→∆x

xsen

x


31

( ) ( )xxx

x

xfxxf

xxcos1

2

1coslimlim00

=⋅

∆+=∆

−∆+⇒

→∆→∆

( ) ( ) xxsendx

dxf cos' ==∴

2) ( ) xsenxdx

d −=cos

Demostración:

Aplicando la identidad trigonométrica

−= xsenx π2

1cos , se tiene:

( )

−= xsenxf π2

1

derivando la función:

( )

−−=

− xxsendx

d ππ2

1cos1

2

1

pero se sabe que:

−= xxsen π2

1cos

( ) ( ) xsenxdx

dxf −==∴ cos'

3) ( ) xxdx

d 2sectan =

Demostración:

( )x

xsenxf

cos=

derivando el cociente:

( ) ( ) ( )( ) x

xx

xsenx

x

xsenxsenxxxf 2

22

22

2sec

cos

1

cos

cos

cos

coscos' ==+=−−=

( ) ( ) xxdx

dxf 2sectan' ==∴

4) ( ) xxdx

d 2csccot −=

Demostración:

( )xsen

xxf

cos=


( ) ( ) ( )( )

( )xsen

xxsen

xsen

xxsen

xsen

xxxsenxsenxf

2

22

2

22

2

cos1coscoscos'

+−=−−=−−=

xxsen

2

2csc

1 −=−=


32

( ) ( ) xxdx

dxf 2csccot' −==∴

5) ( ) xxxdx

dtansecsec ⋅=

Demostración:

( )x

xfcos

1=


( ) ( )( ) xx

x

xsen

xx

xsen

x

xsenxf tansec

coscos

1

coscos'

22⋅=⋅==−−=

( ) ( ) xxxdx

dxf tansecsec' ⋅==∴

6) ( ) xxxdx

dcotcsccsc ⋅−=

Demostración:

( )xsen

xf1=


( ) ( )( ) xx

xsen

x

xsenxsen

x

xsen

xxf cotcsc

cos1coscos'

22⋅−=⋅−=−=−=

( ) ( ) xxxdx

dxf cotcsccsc' ⋅−==∴

Aplicando la regla de la cadena, en donde ( )xfu = , las expresiones anteriores toman la siguiente forma:

1) dx

duuusen

dx

d ⋅= cos 2) dx

duusenu

dx

d ⋅−=cos

3) dx

duuu

dx

d ⋅= 2sectan 4) dx

duuu

dx

d ⋅−= 2csccot

5) dx

duuuu

dx

d ⋅⋅= tansecsec 6) dx

duuuu

dx

d ⋅⋅−= cotcsccsc

Ejemplos. Derivar las siguientes funciones trigonométricas. 1) xseny 4=

xdx

dy4cos4=

2) xy 9cos3=


33

( )( ) xsenxsendx

dy927993 −=−=

3) 32tan5 xy =

( ) 322322 2sec302sec65 xxxxdx

dy ==

4) ( )72 85cot6 xxy −=

( ) ( ) ( ) ( )72267226 85csc3366085csc56106 xxxxxxxxdx

dy −+−=−−−=

5) 42sec8 xy =

( ) 443443 2tan2sec642tan2sec88 xxxxxxdx

dy ==

6) ( )xxy 63csc4 5 −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxdx

dy63cot63csc246063cot63csc6154 554554 −−+−=−−−−=

7) ( )79412 2 +−= xxseny

( ) ( ) ( ) ( )794cos10896794cos9812 22 +−−=+−−= xxxxxxdx

dy

8) ( )53 3810cos6 +−−= xxy

( ) ( ) ( )53243 3810830381030 +−−+−= xxsenxxxdx

dy

9) xy 3tan=

( )21

3tan xy =

( ) ( )x

xxx

dx

dy

3tan2

3sec33sec33tan

2

1 22

2

1

== −

10) ( )( )42 5sec2cot4 xxy =

( )( ) ( ) ( )( )2244432 2csc445sec5tan5sec202cot4 xxxxxxxdx

dy −+=

2244423 2csc5sec165tan5sec2cot80 xxxxxxx −=

11) xsen

xy

85

2csc7 3

−=


34

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2

2332

85

8cos852csc72cot2csc6785

xsen

xxxxxxsen

dx

dy

−−−−−=

xsen

xxxxxsenx

825

8cos2csc2802cot2csc82102

2332 +=

12) 2xseny =

2cos2 xxdx

dy =

13) xseny 2=

( )2xseny =

xxsendx

dycos2 ⋅=

Nótese como las funciones de los ejercicios 12 y 13, aunque aparentemente son similares, son muy diferentes: en el primer caso el cuadrado está afectando al argumento de la función. En el segundo caso, el cuadrado está afectando a la función seno. En conclusión, sus derivadas son totalmente distintas. Algo muy similar sucede con los siguientes dos ejercicios:

14) 3cos xy =

323 xsenxdx

dy −=

15) xy 3cos=

( )3cos xy =

( ) xsenxxsenxdx

dy 22 cos3cos3 −=−=

16) 47 9cot xy =

( )749cot xy =

( ) 4246342346 9csc9cot2529csc369cot7 xxxxxxdx

dy −=−=

17) ( )( )xxy 9tan815sec10 3=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )33223 15tan15sec45109tan89sec9815sec10 xxxxxxdx

dy +=

33223 15tan15sec9tan36009sec15sec720 xxxxxx +=

18) 3

3

10cos

10

x

xseny =

( )( ) ( )( )( )23

323323

10cos

10301010cos3010cos

x

xsenxxsenxxx

dx

dy −−=


35

( )

32

2

32

32322

32

322322

10cos

30

10cos

1010cos30

10cos

103010cos30

x

x

x

xsenxx

x

xsenxxx =+=+= 322 10sec30 xx=

19) 310tan xy =

322 10sec30 xxdx

dy =

Se observa como la derivada de las funciones de los ejercicios 18 y 19 son iguales. Eso significa que aplicar convenientemente identidades trigonométricas puede simplificar notablemente el proceso de derivación. Un caso similar sucede con las derivadas de los ejercicios 20 y 21:

20) ( )8611

1245 +−

=xxsen

y

( )8611 245 +−= − xxseny

( ) ( ) ( )8611cos861112445 242463 +−+−−−= − xxxxsenxxdx

dy

pero como uusen

ucot

cos =

( ) ( )( )

( ) ( )( )8611

8611cot12445

8611

8611cos12445245

243

246

243

+−+−−−=

+−+−−−=

xxsen

xxxx

xxsen

xxxx

dx

dy

y uusen

csc1 = , se tiene:

( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−+−−−= xxxxxxdx

dy

21) ( )8611csc 245 +−= xxy

( ) ( ) ( ) ( )( )8611cot8611csc8611csc12445 2424443 +−+−−⋅+−−= xxxxxxxxdx

dy

( ) ( ) ( )8611csc8611cot12445 245243 +−⋅+−−−= xxxxxxdx

dy

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las funciones trigonométricas inversas definidas poseen reglas de derivación. A continuación se deducen las seis fórmulas considerando sus respectivos campos de variación.

1) ( )2

1

1

1

xxsen

dx

d

−=−

Demostración:

ysenxxseny =⇒= −1 derivando:

dx

dyyysen

dx

d

dx

dx ⋅== cos


36

dx

dyy ⋅= cos1

22222 1cos1cos1cos xyyxyysen −=⇒=+⇒=+

2

2

1

111

xdx

dy

dx

dyx

−=⇒⋅−=

( ) ( )2

1

1

1'

xxsen

dx

dxf

−==∴ −

2) ( )2

1

1

1cos

xx

dx

d

−−=−

Demostración:

yxxy coscos 1 =⇒= − derivando:

dx

dyyseny

dx

d

dx

dx ⋅−== cos

dx

dyysen ⋅−=1

22222 111cos xysenxysenyysen −=⇒=+⇒=+

2

2

1

111

xdx

dy

dx

dyx

−−=⇒⋅−−=

( ) ( )2

1

1

1cos'

xx

dx

dxf

−−==∴ −

3) ( )2

1

1

1tan

xx

dx

d

+=−

Demostración:

yxxy tantan 1 =⇒= − derivando:

dx

dyyy

dx

d

dx

dx ⋅== 2sectan

dx

dyy ⋅= 2sec1

2222 1sectan1sec xyyy +=⇒+=

( )2

2

1

111

xdx

dy

dx

dyx

+=⇒⋅+=

( ) ( )2

1

1

1tan'

xx

dx

dxf

+==∴ −

4) ( )2

1

1

1cot

xx

dx

d

+−=−

Demostración:


37

yxxy cotcot 1 =⇒= − derivando:

dx

dyyy

dx

d

dx

dx ⋅−== 2csccot

dx

dyy ⋅−= 2csc1

2222 1csccot1csc xyyy +=⇒+=

( )2

2

1

111

xdx

dy

dx

dyx

+−=⇒⋅+−=

( ) ( )2

1

1

1cot'

xx

dx

dxf

+−==∴ −

5) ( )1

1sec

2

1

−=−

xxx

dx

d

Demostración:

yxxy secsec 1 =⇒= − derivando:

dx

dyyyy

dx

d

dx

dx ⋅⋅== tansecsec

dx

dyyy ⋅⋅= tansec1

1tan1sectantan1sec 22222 −=⇒−=⇒+= xyyyyy

1

111

2

2

−=⇒⋅−⋅=

xxdx

dy

dx

dyxx

( ) ( )1

1sec'

2

1

−==∴ −

xxx

dx

dxf

6) ( )1

1csc

2

1

−−=−

xxx

dx

d

Demostración:

yxxy csccsc 1 =⇒= − derivando:

dx

dyyyy

dx

d

dx

dx ⋅⋅−== cotcsccsc

dx

dyyy ⋅⋅−= cotcsc1

1cot1csccotcot1csc 22222 −=⇒−=⇒+= xyxyyy

1

111

2

2

−−=⇒⋅−⋅−=xxdx

dy

dx

dyxx


38

( ) ( )1

1csc'

2

1

−−==∴ −

xxx

dx

dxf


1) dx

du

uusen

dx

d ⋅−

=−

2

1

1

1 2)

dx

du

uu

dx

d ⋅−−=−

2

1

1

1cos

3) dx

du

uu

dx

d ⋅+

=−2

1

1

1tan 4)

dx

du

uu

dx

d ⋅+−=−

2

1

1

1cot

5) dx

du

uuu

dx

d ⋅−

=−

1

1sec

2

1 6) dx

du

uuu

dx

d ⋅−

−=−

1

1csc

2

1

Ejemplos. Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas:

1) xseny 51−=

( )( )

22 251

55

51

1

xxdx

dy

−=

−=

2) xy3

1cos 1−=

22

9

113

1

3

1

3

11

1

xxdx

dy

−

−=

−

−=

3) 31 2tan xy −=

( ) ( )6

22

23 41

66

21

1

x

xx

xdx

dy

+=

+=

4) 4110cot xy −=

( ) ( )8

33

24 1001

4040

101

1

x

xx

xdx

dy

+−=

+−=

5) ( )11213sec2 21 +−= − xxy

( ) ( )( )1226

11121311213

2

222

−−+−+−

= x

xxxxdx

dy

( ) ( ) 112121311213

2452

222 −−−+−

−=xxxx

x


39

6) ( )xxy 414csc9 31 −−= −

( ) ( )( )442

1414414

9 2

233

−−−−

−−= x

xxxxdx

dy

( ) ( ) 1414414

36378

233

2

−−−

−=xxxx

x

7) 4151 8cos34 xxseny −− ⋅=

( )( )

( )( )4

25

413

24

51 15

31

48cos32

81

134 x

x

xx

x

xsendx

dy

−⋅+

−

−⋅= −−

10

441

8

351

91

608cos

641

3234

x

xx

x

xxsen

−⋅+

−⋅−= −−

8) 71

1

3tan5

4csc2

x

xy −

−

=

( )( ) ( ) ( )

( )271

6

27

1

2

71

3tan5

2131

54csc24

144

23tan5

x

xx

xxx

x

dx

dy

−

−−

+⋅−

−

−⋅

=

( )271

14

16

2

71

3tan5

91

4csc210

116

3tan10

x

x

xx

xx

x

−

−−

+−

−−

=

9) ( )475secsec 21 −+= − xxy Por ser funciones inversas, se eliminan:

475 2 −+= xxy

710 += xdx

dy

10) 6 21 2cot xy −=

( )6121 2cot xy −=

( ) ( ) ( )( ) ( )46 521

22

6

521

412cot6

44

21

12cot

6

1

xx

xx

xx

dx

dy

+−=

+−⋅=

−

−−

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Las reglas de derivación para las funciones exponenciales y logarítmicas se deducen a continuación:


40

1) ( ) ex

xdx

daa log

1log =

Demostración:

1er paso: ( ) ( )xxxxf a ∆+=∆+ log

2º paso: ( ) ( ) ( )

∆+=∆+=−∆+=−∆+x

x

x

xxxxxxfxxf aaaa 1loglogloglog

3er paso:( ) ( ) x

x

aa

a

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xfxxf ∆

∆+⋅=

∆+⋅∆

⋅=∆

∆+=

∆−∆+

1log1

1log1

1log

4º paso:

( ) ( )e

xx

x

xx

x

xx

xfxxfa

x

x

xa

x

x

axx

log1

1limlog1

1log1

limlim000

=

∆+=

∆+⋅=∆

−∆+ ∆

→∆

∆

→∆→∆

( ) ( ) ex

xdx

dxf aa log

1log' ==∴

2) ( )x

xdx

d 1ln =

Demostración:

( ) ex

xdx

daa log

1log =

para este caso: ea =

( )x

ex

ex

xf e

1ln1

log1

' ===

( ) ( )x

xdx

dxf

1ln' ==∴

3) aaadx

d xx ln⋅=

Demostración:

axayay xx lnlnln ==⇒=

derivando con respecto a x :

aaaydx

dya

dx

dy

y

x lnlnln1 ⋅=⋅=⇒=⋅

( ) ( ) aaadx

dxf xx ln' ⋅==∴

4) xx ee

dx

d =

Demostración:

( ) aaadx

d xx ln⋅=

para este caso: ea =


41

( ) ( ) xxx eeeexf ==⋅= 1ln'

( ) ( ) xx eedx

dxf ==∴ '


1) ( )1,0log1

log ≠>⋅= aadx

due

uu

dx

daa

2) dx

du

uu

dx

d ⋅= 1ln

3) ( )0ln >⋅= adx

duuaa

dx

d uu

4) dx

duee

dx

d uu ⋅=

Ejemplos. Derivar las siguientes funciones:

1) ( )167log 24

3 −−= xxy

exx

xx

dx

dy324

3

log167

144

−−−=

2) ( )45 3log xseny =

exsen

xx

dx

dy54

43

log3

3cos12=

3) ( )12ln 2 −−= xxy

12

142 −−

−=xx

x

dx

dy

4) 45cosln xy =

4

43

5cos

520

x

xsenx

dx

dy −=

43 5tan20 xx−=

5) xy 57=

( )( )55ln75 xdx

dy x=

6) ( )193 2

4 −−= xxy


42

( ) ( )( )( )96193ln4 2193 2

−−−= −− xxxdx

dy xx

7) 52xey =

52410 xexdx

dy =

8) xey =

x

e

dx

dy x

2=

9) ( )52

2 743log +−= xxy Aplicando la propiedad:

xnx a

n

a loglog = se tiene:

10) ( )( )232 2586ln xxxxy −−= Aplicando la propiedad:

( ) yxyx aaa logloglog +=⋅ se tiene:

( ) ( )232 25ln86ln xxxxy −+−=

23

2

2 25

415

86

812

xx

xx

xx

x

dx

dy

−−+

−−=

11) 5

2

3

8

4

3ln

x

x

ey =

Aplicando la propiedad: yxy

xaaa logloglog −=

se tiene:

52 38 4ln3ln xx ey −=

( ) ( ) 42

3

43

8

28

158ln164

154

3

168ln35

5

2

2

xxxe

xexx

dx

dyx

x

x

x

+=−=

12) ( )( )( )

⋅=

−

3

615 3

4

24

3cos6logln

xsen

xxy

Aplicando convenientemente las propiedades de logaritmos se tiene:

( )3615 3

4 24ln3cos6logln xsenxxy −⋅= −

xsenxxy 24ln33cosln6logln 615 3

4 −+= −

( )743log5 2

2 +−= xxy

( )e

xx

x

dx

dy22

log743

465

+−−=


43

( ) xsenxxy 24ln33cosln6logln 615

13

4 −+= −

( ) xsenxxy 24ln33cosln6logln5

1 613

4 −+= −

( )xsen

x

x

x

x

x

ex

x

dx

dy

24

2cos24

3cos

31

18

6log

log6

18

5

161

26

5

3

4

43

2

−−

−

+= −

( ) x

xx

x

xx

e2cot6

913cos

18

6log30

log18

1261

5

3

4

4 −−

−=−

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MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA · Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 3 Ahora, si a la expresión anterior se divide