Matemáticas - forosecundariasep.com.mx · elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y jus- ... Proporcionalidad directa 56 7. Reparto proporcional 62 8. Problemas

MatemáticasMaría Trigueros Gaisman

María Dolores Lozano SuárezMónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval CáceresEmanuel Jinich Charney

Mercedes Cortés Lascurain

Mat

emát

icas

1

números naturales núm

eros decimales patrones fórm

ulas literales variables

expo

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divis

ión

porcentaje frecuencias gráfi ca circular rectángulo

En la actualidad, enseñar Matemáticas signifi ca propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar

matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas.

Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje

signifi cativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios.

Se usa un lenguaje claro y sencillo con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos

lo comprendan. El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá

que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, a fi n de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.

Matemáticas 1 cs4 VL.indd 1Matemáticas 1 cs4 VL.indd 1 4/15/11 5:49 PM4/15/11 5:49 PM


María Dolores Lozano Suárez

Mónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres

Emanuel Jinich Charney


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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico,

incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2010 por María Trigueros Gaisman, María de los Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, María de las Mercedes Cortés Lascurain

D. R. © 2011 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 272, colonia Acacias, C. P. 03240,

delegación Benito Juárez, México, D. F.

ISBN: 978-607-01-0793-1Primera edi ción: mayo 2011

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México /Printed in Mexico

El libro Mate

máticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

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Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes • Dirección de Investigación y Nuevos desarrollos Lin

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Coordinación EditorialMa. del Pilar Vergara Ríos

Colaboración Taller de Matemáticas: Paul Hernández-Martínez

Ponte a prueba: Francisco Javier Mendoza Aguirre

Edición Rubén García Madero, Laura Milena Valencia Escobar,

Natalia Herrera López, Zoraida Reyes González, Leticia Martínez Ruiz

Revisión técnica María Patricia Colín Uribe

Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz, Ester Alizeri Fernández y Ofelia Arruti Hernández

Edición de RealizaciónIskra Salinas Cardiel

Edición DigitalMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portadaRaymundo Ríos Vázquez

Diseño de interiores Beatriz Alatriste del Castillo y Stephanie Iraís Landa Cruz

Diagramación Avant Graph Diseña y Comunica

Iconografía Miguel Bucio

Fotografía Olivia Vivanco, Photo Spin.com, Thinkstock.com, Shutterstock.com,

Photostogo.com, Durga Archivo Digital, Photostock.com, Latinstock, NASA

Ilustración Héctor Ovando, Héctor Medina, Gerardo Sánchez, Gustavo Del Valle,

Margarita Palacios, Marcelo Gómez, Kathia Recio

Infografía Natalia Herrera López, Rubén García Madero,

María Ángeles González, Gil G. Reyes Ortiz

y Erick Retana

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n Vásquez Rodríguez • Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago

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Coordinación Iconográfica Nadira Nizametdinova Malekovna • Coordinación de Realización A

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3

Al maestroCon el estudio de las matemáticas se busca que los jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expre-sar matemáticamente situaciones que se presenten en diver-sos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos matemáticos de otros y que sean capaces de utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias didácticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre.

En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipo o en grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y jus-tificar razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, etcétera.

En la primera etapa se presenta una situación problemática —una actividad, un juego, una imagen o un texto— cuyo propó-sito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a reflexio-nar y a encontrar diferentes formas de resolverla. Este inicio se complementa con el apartado Preguntas para andar, en el que se formulan preguntas para recuperar conocimientos, para me-ditar sobre la solución del problema inicial y para considerar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabajarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor forma de trabajo de acuerdo con su plan de clases.

En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro tra-bajo, se propone el producto que crearán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organización de las tareas.

Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades di-versas, individuales y colectivas, que permitirán a los escolares ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algoritmos, definiciones, etcétera. Se sugiere intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen proce-dimientos propios al resolver los problemas planteados.

Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en el producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el aparta-do ¿Cómo vamos?, en el que se propicia la reflexión metacogniti-va. Puede complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o construirlos tú mismo? ¿Comprendiste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros?, etcétera.

El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos concluyen la confección del producto y se sugiere que lo socialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta mane-

ra también comunican, argumentan y comparten los cono-cimientos construidos. Finalmente, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue?, discuten en grupo varios puntos relaciona-dos con los aprendizajes logrados, el producto, la forma como aprendieron y la resolución del problema inicial.

Quienes participamos en la elaboración de esta obra espera-mos que sea de utilidad para su trabajo docente.

Al alumnoEl libro que tienes en tus manos tiene el propósi-

to de acompañarte en tu curso de Matemáticas

del primer grado de secundaria. Esta obra ha

sido escrita con la intención de acercarte a las

matemáticas mediante el desarrollo de activi-

dades interesantes y de problemas y situacio-

nes cercanos a tu vida cotidiana, de manera

que el aprendizaje te resulte entretenido y lle-

no de significado.

Las matemáticas constituyen una forma de

pensar y de abordar problemas; entenderlas es

fundamental y, por ello, tratamos de ofrecer-

te tantas oportunidades para que argumentes,

comuniques tus ideas, elabores razonamientos

y emplees herramientas matemáticas. Resolver

problemas requiere dedicación y esfuerzo, por

lo que te sugerimos un acercamiento con tus

compañeros de clase y tu profesor que inclu-

ya oportunidades de discusión y reflexión tanto

individual como grupal en cada uno de los re-

tos planteados.

Hemos disfrutado enormemente la escritura

de este libro y esperamos que tú también go-

ces al utilizarlo y que adquieras conocimien-

tos matemáticos de manera sólida, con el

objeto de que en el futuro puedas ponerlos en

práctica en una infinita variedad de contextos.

Los autores

Presentación


4

ContenidoDosifi cación 8Tu libro, de principio a fi n 12Tú y las Matemáticas 16

1. Sistemas de numeración 22

2. Fracciones y decimales

en la recta 34

3. Sucesiones 40

4. Literales y fórmulas 46

5. Simetría axial 50

6. Proporcionalidad directa 56

7. Reparto proporcional 62

8. Problemas de conteo 66

Taller de Matemáticas 74

Infografía: Dados musicales 80

Ponte a prueba 82

Blo

que

1

20


5

9. Suma de fracciones

y decimales 86

10. Multiplicación

de fracciones 92

11. Multiplicación de

números con decimales 100

12. Rectas y ángulos 106

13. Polígonos

y sus aplicaciones 112

14. Fórmulas de

áreas y perímetros 120

15. Grandes y chicos 128

16. Factores sucesivos de

proporcionalidad 134


Infografía: En la torre...

Eiffel 144

Ponte a prueba 146

84

Blo

que

2

Blo

que

3

148


6

17. División con decimales 150

18. Ecuaciones

de primer grado 156

19. Construcción

de cuadriláteros 162

20. Áreas y perímetros 168

21. Proporcionalidad:

procedimientos

expertos 174

22. Porcentajes 178

23. Diagramas y tablas 184

24. Gráfi cas 192

25. Noción de probabilidad 200


Infografía: Tres bolas

y dos strikes 212

Ponte a prueba 214

26. Números con signo 218

27. Potenciación

y radicación 226

28. Relación funcional 234

29. Construcción

de círculos 240

30. Circunferencia

y círculo 246

216

Blo

que

4


7

31. Área y perímetro

del círculo 252

32. Proporcionalidad:

gráfi cas 258


Infografía: Ventajas del uso

de la bicicleta 272

Ponte a prueba 274

33. Problemas aditivos 278

34. Representaciones

de proporcionalidad 284

35. Cálculo de áreas 292

36. Juegos de azar 300

37. Proporcionalidad inversa 308

38. Medidas de tendencia

central 314


Infografía: Viaje al

fondo del mar 326

Ponte a prueba 328

Tu archivo de

evidencias 330Índice analítico 332Fuentes de

información 334

Blo

que

5

276


Dosifi caciónEje Tema Subtema

Bloque 1

Sentido numérico

y pensamiento algebraico

Signifi cado y uso de los números

Números naturales

Números fraccionarios y decimales

Signifi cado y uso de las literales Patrones y fórmulas

Forma, espacio y medida Transformaciones Movimientos en el plano

Manejo de la información

Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad

Representación de la información Diagramas y tablas

Bloque 2

Sentido numérico

y pensamiento algebraicoSignifi cado y uso de las operaciones

Problemas aditivos

Problemas multiplicativos

Forma, espacio y medida

Formas geométricas

Rectas y ángulos

Figuras planas

Medida Justifi cación de fórmulas

Manejo de la información Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad

Bloque 3

Sentido numérico


Signifi cado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos

Signifi cado y uso de las literales Ecuaciones


Formas geométricas Figuras planas

Medida Estimar, medir y calcular

8


Conocimientos y habilidades Secuencia Págs. Semana

1.1. Identifi car las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

1. Sistemas de numeración

22-33 1

1.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

2. Fracciones y decimales en la recta

34-39 2

1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresio-nes generales que defi nen las reglas de las sucesiones numéricas y fi gurativas.

3. Sucesiones 40-45 3

1.4. Explicar en lenguaje natural el signifi cado de algunas fórmulas geométricas, inter-pretando las literales como números generales con los que es posible operar.

4. Literales y fórmulas 46-49 4

1.5. Construir fi guras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propie-dades que se conservan en fi guras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

5. Simetría axial 50-55 5

1.6. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera fl exible diversos procedimientos.

6. Proporcionalidad directa

56-61 6

1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.7. Reparto

proporcional62-65 7

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

8. Problemas de conteo

66-73 8

2.1. Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

9. Suma de fracciones y decimales

86-91 9

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

10. Multiplicación de fracciones

92-99 10

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

11. Multiplicación de números con decimales

100-105 11

2.4. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

12. Rectas y ángulos

106-111 12

2.5. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.13. Polígonos y sus

aplicaciones112-119 13

2.6. Justifi car las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

14. Fórmulas de áreas y perímetros

120-127 14

2.7. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.

15. Grandes y chicos

128-133 15

2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

16. Factores sucesivos de proporcionalidad

134-137 16

3.1. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

17. División con decimales

150-155 17

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.

18. Ecuaciones de primer grado

156-161 18

3.3. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

19. Construcción de cuadriláteros

162-167 19

3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superfi cie.

20. Áreas y perímetros

168-173 20

9


Eje Tema Subtema


Análisis de la información

Relaciones de proporcionalidad

Porcentajes

Representación de la información

Diagramas y tablas

Gráfi cas

Análisis de la información Nociones de probabilidad

Bloque 4

Sentido numérico


Signifi cado y uso de los números Números con signo

Signifi cado y uso de las operaciones Potenciación y radicación

Signifi cado y uso de las literales Relación funcional


Formas geométricas Figuras planas

Medida

Justifi cación de fórmulas

Estimar, medir y calcular

Manejo de la información Representación de la información Gráfi cas

Bloque 5

Sentido numérico


Signifi cado y uso de las operaciones Problemas aditivos

Signifi cado y uso de las literales Relación funcional

Forma, espacio y medida Medida Estimar, medir y calcular


Análisis de la información

Nociones de probabilidad

Relaciones de proporcionalidad

Representación de la informaciónMedidas de tendencia central

y de dispersión

10


Conocimientos y habilidades Secuencia Págs. Semana

3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.21. Proporcionalidad:

procedimientos expertos

174-177 21

3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuada-mente la expresión fraccionaria o decimal.

22. Porcentajes 178-183 22

3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

23. Diagramas y tablas

184-191 23

3.8. Interpretar información representada en gráfi cas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

24. Gráfi cas 192-199 24

3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla.

Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justifi car la respuesta.

25. Noción de probabilidad

200-205 25

4.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.26. Números

con signo218-225 26

4.2. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

27. Potenciación y radicación

226-233 27

4.3. Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los signifi cados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

28. Relación funcional

234-239 28

4.4. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.29. Construcción

de círculos240-245 29

4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Justifi car la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

30. Circunferencia y círculo

246-251 30

4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.31. Área y perímetro del

círculo252-257 31

4.7. Explicar las características de una gráfi ca que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

32. Proporcionalidad: gráfi cas

258-265 32

5.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

33. Problemas aditivos

278-283 33

5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráfi cas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identifi car las que son de proporcionalidad directa.

34. Representaciones de proporcionalidad

284-291 34 y 35

5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas fi guras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas fi guras.

35. Cálculo de áreas 292-299 36

5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

36. Juegos de azar 300-307 37

5.5. Identifi car y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

37. Proporcionalidad inversa

308-313 38

5.6. Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

38. Medidas de tendencia central

314-321 39 y 40

11


Tu libro, de principio a fi n

22

Bloque 1

23

Copos de nieve

En la Naturaleza existen muchos ejemplos de simetría. Uno de los más

bellos es la simetría hexagonal de los copos de nieve.

Como resultado del estudio de este bloque temático

se espera que:

1. Conozcas las características del sistema de nume-

ración decimal (base, valor de posición, número de

símbolos) y establezcas semejanzas o diferencias

respecto a otros sistemas posicionales y no posi-

cionales.

2. Compares y ordenes números fraccionarios y deci-

males mediante la búsqueda de expresiones equi-

valentes, la recta numérica, los productos cruza-

dos u otros recursos.

3. Representes sucesiones numéricas o con figuras a

partir de una regla dada y viceversa.

4. Construyas figuras simétricas respecto de un eje e

identifiques cuáles son las propiedades de la figura

original que se conservan.

5. Resuelvas problemas de conteo con apoyo de repre-

sentaciones gráficas.

PlaneaciónInicio

120

14

Blo

que

2

Conocimientos y habilidades

2.6. Justifi car las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

Fórmulas de áreas y perímetros

Los árboles del bosque

En un terreno de un bosque se plantaron árboles. Los encar-gados del bosque cercaron con alambre una parte del terreno que necesita un cuidado especial, tal como se muestra en la ilustración. Ellos deben calcular el área de la superfi cie que cercaron. La distancia horizontal y vertical entre cada árbol es de 10 metros.

¿De qué manera podrían utilizar el número de árboles y la distancia entre ellos para calcular el área del terreno?¿Cómo calcularías el área mediante una fórmula?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

En este proyecto vas a hacer un plano ar-quitectónico de tu casa, indicando todas las medidas pertinentes para que otro compañero calcule las áreas de cada uno de los espacios y la superfi cie total.

A su vez, calcularás las áreas del plano arquitectónico que traiga tu compañero de clase.En general, las casas o departa-mentos en donde vivimos están diseñados a partir de planos arqui-tectónicos compuestos de cuadri-láteros, triángulos o polígonos.

Nuestro trabajo

Preguntas para andar

¿Cuál es el área total del terreno?¿Cómo se puede calcular el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares?¿Cómo se deducen las fórmulas para encontrar el área de triángulos, cuadri-láteros y polígonos regulares?¿Existe una fórmula para calcular el área de todas las figuras geométricas regulares que tengan tres o más lados?

MAT1COMSECLA-p8.indd 120 2/13/11 8:53 PM

Desarrollo

121

Rectángulos y triángulos

Antes de calcular el área del terreno de la página anterior, realiza estas actividades.

La ilustración representa otra parte del bosque, en ella se plantaron árboles a 1 m de distancia entre uno y otro y se cercó de la manera que se muestra.

¿Qué forma tiene la superficie del terreno plantado de árboles?

¿Es un polígono regular? ¿Por qué?

¿Cuál sería la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo?

¿Cuántos metros mide el contorno del terreno plantado de árboles?

¿Cuántos cuadrados de 1 m2 caben dentro de la figura?

Existen dos maneras de encontrar el área de este terreno, una es contando cua-

drados de 1 m2, ¿cuál es la otra manera?

¿Cómo se podría calcular mediante una fórmula?

Explica por qué esta fórmula produce el mismo resultado que contar cuadrados de

una unidad de área. Compártelo con tus compañeros.

Dos de los encargados del bosque decidieron dividir el terreno del modo que se muestra en la ilustración de la derecha para que cada uno se hiciera cargo de cuidar una parte.

¿Cuál es el área del rectángulo que se muestra?

¿Qué forma tienen las partes en que quedó dividido el terreno?

¿Cuál es el área de cada una de esas partes? Justifica tu respuesta.

¿Qué relación existe entre el área de uno de los triángulos y el área del rectángulo?

Si la fórmula para encontrar el área de un rectángulo es:

Área � base � altura,

a partir de lo anterior, escribe y justifi ca la fórmula para calcular el área de un triángulo.

¿Aplicará la misma fórmula si el triángulo no es un triángulo rectángulo? Argumen-

ta tu respuesta.


Desarrollo

250

Seleccionen uno de los diseños anteriores y hagan una copia en una hoja cuadricula-da, variando el valor del radio del círculo. Completen la siguiente tabla. Pueden usar la calculadora para efectuar las operaciones.

Radio (r) r2 Área del círculo(Unidades cuadradas)

Área/r2

Calculen el promedio de los resultados de la última columna de la

tabla anterior. ¿A qué valor se aproxima?

¿Cómo les parece la estrategia de contar cuadritos para calcular el área del círculo? ¿Conocen alguna otra? Descríbanla en el cuaderno.

Reúnete con tres compañeros. Cada uno debe trazar en una hoja un

círculo cuyo radio sea de 5 cm y recortarlo.

Dividan los círculos en sectores iguales. Seleccionen una de las si-guientes opciones y aplíquenla en su respectivo círculo.

4 sectores iguales 12 sectores iguales8 sectores iguales 24 sectores iguales

Acomoden los sectores; en cada caso tomen como referencia el siguiente ejemplo:

Consideren la figura que obtuvieron y respondan.

En cada caso, ¿a qué figura se parece la que se forma cuando unimos los sec-

tores en los que dividimos el círculo?

¿Cómo se calcula el área de esa figura a la que se aproxima nuestro arreglo?

Observen que la suma de los arcos de la parte superior o inferior de la figura formada es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia. Recuerden que esta longitud es el diámetro multiplicado por �. ¿Por qué deducimos que la suma de los arcos superiores es �r?

Construyan una fórmula que les permita calcular el área de un círculo.

Como puedes observar, a medida que se divide el círculo en mayor número de secto-res iguales, la fi gura que se obtiene se asemeja más a un rectángulo. La base de este rectángulo es la mitad de la longitud de la circunferencia (es decir, �r) y su altura es el radio (r). De esto podemos ver que la expresión matemática útil para calcular el área de un círculo es:

A � �r 2

�r

Camille Jordan, matemático francés del siglo XX, descubrió que toda cur-va cerrada separa al plano en dos regiones: el interior y el exterior. La idea de la medida de Jordan consiste en encerrar la fi gura de la que se va a medir el área, en enlosados rectan-gulares (el valor de las áreas de éstos es fácil de hallar). Cuanto más fi no sea el enlosado más precisa será la medida del área de la fi gura.

¿Cómo se podría aprovechar la medi-da de Jordan para justifi car la fórmula del área de un círculo?


Desarrollo

251

Cierre

¿Es la expresión al fi nal de la página 250, igual a la que construyeron antes? Si no es así, expliquen a qué se debe la diferencia.

Con base en esta información, ¿cuál de los dos diseños presentados al jardinero permite aprovechar mejor el espacio? Comparen su resultado con la respuesta que dieron al inicio. ¿Coinciden? Coméntenlo con el profesor.

Presentación de nuestro trabajo

Antes de presentar su trabajo, elaboren la tarjeta informativa para su rueda. No

olviden indicar todos los datos en la misma unidad de medida. Decoren su rueda y

prepárense para la presentación.

Coloquen en el lugar que el profesor les indique las ruedas diseñadas para reco-rrer el largo de la cancha.¿Cómo calcularon el número de vueltas con respecto al tamaño de las ruedas?¿Cuál fue la rueda de mayor tamaño y cuál la de menor tamaño de las elaboradas?¿Cómo los ayudó a cumplir con su proyecto saber calcular el área y el perímetro del círculo, independientemente de los diferentes tamaños de rueda que diseñaron?

Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

Haz las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Dibuja dos círculos y calcula el perímetro y el área.

a) Para calcular el perímetro de los círculos anteriores, ¿qué datos utilizaste?, ¿qué valor de Pi utilizaste? Explícalo.

b) ¿Qué estrategia usaste para calcular el área de cada círculo?

2. Las ruedas traseras del tractor que usa Humberto en su terrero miden 94 cm de radio. Escribe dos problemas utilizando esta información y lo aprendido en las actividades. Resuélvelos y coméntalos en grupo con ayuda del profesor.

3. Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo. Argumenta tu respuesta basándote en lo que trabajaste a lo largo de las actividades.

a) La pista en la que Isaac e Iván hicieron el recorrido es circular y tiene 500 metros de longitud. ¿Se cruzaron en algún momento?

b) Si en la parte interior de la pista hay una más pequeña que tiene la mitad del diámetro de la grande, ¿en cuánto disminuye su circunferencia?, ¿en cuánto disminuye el área de este círculo?

c) Si se aumenta cuatro veces la longitud del diámetro de cualquiera de las dos pistas anteriores, ¿cuánto aumenta la longitud de su circunferencia?, ¿cuánto aumenta el área de este círculo?

Haz las siguientes activid

¿Cómo nos fue?

La relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de ésta, ¿será siempre la misma en todos los círculos? ¿De qué depende? Explícalo.¿En qué casos de tu vida cotidiana te podría ser útil calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo? Explícalo.Escribe las dudas que te hayan surgido acerca del cálculo del área del círculo y de la circunferencia. Coméntalas con tus compañeros y tu profesor.


En este proyecto vas a hacer un plano ar-quitectónico de tu casa, indicando todaslas medidas pertinentes para que otro compañero calcule las áreas de cada uno de los espacios y la superfi cie total.

A su vez, calcularás las áreas delplano arquitectónico que traiga tu compañero de clase.En general, las casas o departa-mentos en donde vivimos estándiseñados a partir de planos arqui-tectónicos compuestos de cuadri-láteros, triángulos o polígonos.

Nuestro trabajo

121

¿Qué

Si la fórmula papara encncontrar el l ár

Área �� bbase � a

a partir de llo anteerior, escribibe y justifiifi ca a la fórmula para a calcular el fifi

¿Apliplicará lala misma fófórmula si si el t triángulo no es u un triángulo rectángulo? Argumen-

ta ttu respspuesta.

En este proyecto vas a hacer un plano ar-quitectónico de tu casa, indicando todas las medidas pertinentes para que otro compañero calcule las áreas de cada uno de los espacios y la superfi cie total.

A su vez, calcularás las áreas del plano arquitectónico que traiga tu compañero de clase.E l l d

Nuestro trabajo


Tu libro, de principio a fi n

12

Estas páginas se hallan ilustradas con una gran

imagen y un texto breve que describe la relación que

ésta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás

en el bloque. En estas páginas también encontrarás los

Aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos y

habilidades que desarrollarás al realizar las actividades

que se proponen en los temas.

Los temas y subtemas se desarrollan en cuatro etapas:

Al inicio encontrarás una situación, ya sea un proble-

ma, un juego o una actividad, que deberás analizar a

fi n de proponer diversas estrategias de solución.

Preguntas para andar. Este apartado

complementa la situación inicial con preguntas que

te harán refl exionar sobre lo que ya sabes y sobre las

estrategias que diseñaste; al mismo tiempo, los cuestio-

namientos planteados te introducirán en los contenidos

que estudiarás en la secuencia.

Nuestro trabajo. En este apartado encon-

trarás recomendaciones específi cas para hacer un

determinado producto a lo largo del desarrollo de los

temas. También hallarás sugerencias de las formas

en que puedes organizarte —individualmente, en

parejas, en equipo o en grupo— e indicaciones del

material que necesitarás para llevar a cabo el pro-

ducto. En algunos casos se recomiendan fuentes de

información. Los productos que realices a lo largo del

ciclo escolar deberás conservarlos para integrar Tu

archivo de evidencias.

Durante esta etapa, realizarás actividades

individuales y colectivas, que te ayudarán a adquirir

nuevos conocimientos y a desarrollar otras habili-

dades y actitudes.

En diferentes momentos del desarrollo de los

temas encontrarás el apartado ¿Cómo va-

mos?, que te permitirá hacer un alto en el

camino y evaluar tus avances acerca de lo

que has aprendido y del desarrollo del producto.

a situación, ya sea un proble-

idad que deberás analizar a

Nuestro trabajo. En es

Estas páginas se hallan ilustradas con una gran

imagen y un texto breve que describe la relación que

etapa, realizarás actividades

l ti t d á d i

Inicio

Planeación

Desarrollo

Entrada de bloque

20


Bloque 1

21

Copos de nieve

En la Naturaleza existen muchos ejemplos de simetría. Uno de los más

bellos es la simetría hexagonal de los copos de nieve.

Como resultado del estudio de este bloque temático

se espera que:

1. Conozcas las características del sistema de nume-

ración decimal (base, valor de posición, número de

símbolos) y establezcas semejanzas o diferencias

respecto a otros sistemas posicionales y no posi-

cionales.

2. Compares y ordenes números fraccionarios y deci-

males mediante la búsqueda de expresiones equi-

valentes, la recta numérica, los productos cruza-

dos u otros recursos.

3. Representes sucesiones numéricas o con fi guras a

partir de una regla dada y viceversa.

4. Construyas fi guras simétricas respecto de un eje e

identifi ques cuáles son las propiedades de la fi gura

original que se conservan.

5. Resuelvas problemas de conteo con apoyo de repre-

sentaciones gráfi cas.



Desarrollo

282

Diferentes aplicaciones

Ahora resuelve los siguientes problemas.

Una persona está escalando una pared de rappel en un centro de ecoturismo. En su primer intento sube 2.5 metros, pero se resbala y cae 1.75 metros. A partir de este sitio, empieza su segundo intento, en el que sube 1.5 metros, luego se detiene. Al reiniciar su ascenso, sube otros 2.65 metros, pero se golpea y cae 3.21 metros.

Escribe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste para ubicar a qué altura se encuentra.

En sus vacaciones de verano, Jorge consiguió empleo de jardinero. Iba todas las mañanas de lunes a viernes y le pagaban $1 250, semanales. Quería ahorrar para su computadora, pero tuvo los siguientes gastos.

El primer fi n de semana fue al cine con su novia y se gastó $225; compró una chamarra de $375 y una tarjeta para bajar música de $100.El segundo, invitó a comer a sus papás y pagó $440, además, recargó su celular con $150.El tercero, rentó una película por $46, gastó $138 en una pizza y le dio $100 a su abuelo.El cuarto fi n de semana fue a una expedición en la que cobraban $900, y pagó la mitad de la cuota de su hermana.El quinto y último fi n de semana, se compró dos pa-res de tenis de $550 cada uno y gastó $285 en una mochila.

Cálcula cuánto ahorró Jorge cada semana de acuerdo con lo que gana y cuánto pudo ahorrar en las cinco semanas.

De acuerdo con lo que gana y gasta por semana, ¿en qué semanas gastó más de

lo que ganó?

¿Cuánto dinero ganó y cuánto dinero gastó en total?

¿Cuánto dinero pudo ahorrar al final del verano?

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

En la página de Internethttp://redescolar.ilce.edu.mx/redesco-lar2008/educontinua/mate/mate.htmDa clic en Lugares, geométricos, aritméticos y algebraicos y entra en la actividad Amigos y enemigos, ahí encontrarás ejercicios de suma y resta de números con signo.

¡Entra y practica!

Resuelve el problema.

La tabla muestra las temperaturas registradas durante una semana en la ciudad de Chihuahua.

a) ¿Qué día se registró la temperatura más baja? ¿Y qué día la más alta?

b) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja?

c) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas que se registraron el domingo y el miércoles?

d) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura del lunes con respecto a la del miércoles?

Resuelve el problema.

Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Medición en °C

4 0 -3 - 1 2 2 3

rappel. Deporte de alto riesgo, que consiste en descender por una pared soste-nido por un arnés y utilizando una cuerda.


Desarrollo

256

¿Cómo vamos?

Revisen las actividades realizadas hasta ahora, les serán de utilidad para ha-

cer y justifi car los cálculos para su proyecto.

¿Qué área de papel ocuparon para elaborar el Plato del bien comer?¿Cuántos círculos trazaron en cada pliego de papel bond?¿Cómo calcularon el área de cada tipo de alimento?¿Conocer la medida del diámetro fue un dato suficiente para realizar los cálculos anteriores?¿Cómo utilizaron lo que aprendieron acerca del cálculo de la corona circular para trazar su Plato del bien comer?

Las formas circulares también han estado pre-sentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio de la Humanidad.

2. Observa la siguiente imagen y calcula el área de los sectores sombreados.

a) ¿Qué datos necesitas para resolver el problema?

b) Con base en la imagen, ¿qué debes hacer para obtener la

información necesaria?

3. En la calle de la escuela de Juan decidieron poner algunas seña-les de tránsito para resguardar la seguridad de sus alumnos.

a) Si van a colocar 9 señales de papel en forma circular que

miden 25 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesi-

tarán para construirlas?

b) Si el pliego del papel que usarán mide 1.25 m de largo por 60 cm de ancho, ¿cuántos círculos deben

trazar en cada pliego de manera que se desperdicie la menor cantidad de papel?

Señales

de tránsito.

Construcciones círculares.


305

Desarrollo

Se dice que dos o más eventos o sucesos son equiprobables si tienen la misma pro-babilidad de ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire, la probabilidad de

que salga águila o sol es la misma en ambos casos y es igual a 12

.

Dos eventos se llaman no equiprobables si tienen diferentes probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, si se lanza un dado al aire, la probabilidad de que salga el 1 es igual

a 16

, y la probabilidad que el resultado sea par es 12

. Ambos eventos tienen distintas

probabilidades de ocurrir.

Resuelve estos problemas:

1. Eduardo tiene en su caja 10 bolas blancas y 20 negras. Luis tiene, en la suya, 30 bolas blancas y 60 negras. Cada uno toma al azar una bola y quien saque una bola blanca es el ganador.

Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa. Eduardo afi rma que el juego no es justo porque en la caja de Luis hay más bolas blancas que en la suya.

¿Cuál es tu opinión? Arguméntala.

2. María y Esteban juegan a los dados. María gana 10 pesos si el dado cae en 2, 3, 4, 5 o 6. Si resulta un 1, Esteban gana cierta cantidad de dinero.

¿Cuánto debe ganar Esteban cuando le sale el 1 para que el juego sea

justo o equitativo?

Comenta los resultados y razonamientos con tus compañeros y maestro.

Resuelve estos problema

La base de la herencia genética humana son los cromosomas, unas gigan-tescas hebras de ADN (ácido desoxirribonucleico) en las que están escritas nuestras características biológicas. De estos cromosomas, presentes en casi todas las células, los humanos tenemos un total de 46; 23 se reciben del pa-dre y otros 23 de la madre. Dos de estos 46 cromosomas determinan el sexo. Como recibimos un cromosoma sexual de nuestro padre y otro de nuestra madre, las combinaciones fi nales, independientemente de qué progenitor nos lo transmita, sólo pueden ser XX o XY. La combinación XX determina el sexo femenino y la combinación XY el sexo masculino.

Mujer

HombreX X

X

Y

Completa la tabla para conocer el espacio muestral de todas las posibilidades:

¿Cuál es la probabilidad de que una embarazada tenga un niño

o una niña?

Cromosoma X y cromosoma Y.


tos problemas:

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La base de la herencia genética humana son los cromosomas, unas gigan-an-tescas hebras de ADN (ácido desoxirribonucleico) en las que están escricritas nuestras características biológicas. De estos cromosomas, presentes enen casi todas las células, los humanos tenemos un total de 46; 23 se recibenen del pa-dre y otros 23 de la madre. Dos de estos 46 cromosomas determinainan el sexo. Como recibimos un cromosoma sexual de nuestro padre y otrotro de nuestratra madre, las combinaciones fi nales, independientemente de quéqué progenitor nor nos filo transmita, sólo pueden ser XX o XY. La combinación XX XX determina e el sexo femenino y la combinación XY el sexo masculino.

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Completa la tabla para conocer el espacio muestrstral de todas s las posibilidades:

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305

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La base de la herencia genética humana son los cromosomas, unas gigan-tescas hebras de ADN (ácido desoxirribonucleico) en las que están escritas nuestras características biológicas. De estos cromosomas, presentes en casi todas las células, los humanos tenemos un total de 46; 23 se reciben del pa-dre y otros 23 de la madre. Dos de estos 46 cromosomas determinan el sexo. Como recibimos un cromosoma sexual de nuestro padre y otro de nuestra madre, las combinaciones fi nales, independientemente de qué progenitor nos lo transmita, sólo pueden ser XX o XY. La combinación XX determina el sexo femenino y la combinación XY el sexo masculino.

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Completa la tabla para conocer el espacio muestral de todas las posibilidades:

¿Cuál es la probabilidad de que una embarazada tenga un niño

o una niña?

Cromosoma X y cromosoma Y.


Las formas circulares también han estado pre-sentes en muchas clases de construcciones.En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas.Hoy, estas construcciones aún se mantienen enpie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; yla Unesco las ha declarado parte del Patrimoniode la Humanidad.

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trazar en cada pliego de mane

Señales

de tránsito.

Las formas circulares también han estado pre-sentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio de la Humanidad.


El primese gastó $225; cocompró unatarjeta para bajaajar música dde $100.El segundo, innvitó a commeer a sus papás y paagó $440, además, reccargó su celuelular con $150.El tercero, rrentó una ppelícula por $46, gasastó $138 enuna pizzaza y le dio $1100 a su abuelo.El cuartrto fi n de sememana fue a una exexpedición en la que cocobraban $90900, y pagó la mitadad de la cuota de e su hehermana.El qquinto y últimtimo fi n de semana, a, se compró dos ppa-resres de tenis dde $550 cada uno yo y gastó $285 en n unammochila.

Cálcula cuánto ahorró JoJorge cada sesemana de acuerdo o con lo que gana a y cuáánnto pudo ahorrar en las cicinco semananas.

De acuerdo con lo qque gana y gagasta por semana, ¿¿een qué semanas gs gastó mmás de

lo que ganó?

¿Cuánto dinero o ganó y cuuáánto dinero gastó enen total?

¿Cuánto dineero pudo ahohorrar al final del veerano?

tus resesultados conon los de tus compapañeros.

En la página de Internethttp://redescolar.ilce.edu.mx/redesco-lar2008/educontinua/mate/mate.htmDa clic en Lugares, geométricos, aritméticos y algebraicos y entra en la actividad s Amigos y enemigos, ahí encontrarás ejercicios de suma y resta de números con signo.

¡Entra y practica!

semamana en la ciudad d de Chihihuahua.

la más alta?

?

Vierneses Sábado Domingos

322 2

En la página de Internethttp://redescolar.ilce.edu.mx/redesco-lar2008/educontinua/mate/mate.htmDa clic en Lugares, geométricos, aritméticos y algebraicos y entra en la actividad Amigos y enemigos, ahí encontrarás ejercicios de suma y resta de números con signo.

¡Entra y practica!


13

De igual forma, a lo largo del desarrollo, encontrarás diversos apar-

tados que te ayudarán a establecer la relación de las matemáticas

con otras asignaturas.

Datos a la mano. Este apartado te ofrece datos

interesantes, por lo general numéricos, vinculados con

los contenidos tratados. La información que contiene te

ayudará a relacionar lo que aprendiste con otros conte-

nidos de matemáticas que has trabajado antes y con los

de otras asignaturas.

Historias de vida. Estos recua-

dros que aparecen en el libro contienen

relatos sobre personas y acontecimientos

o referencias históricas asociados con el

contenido de las actividades.

Espacio tecnológico. En este apartado

te recomendamos actividades complementarias

a las que realizas en el libro. Dichas actividades

se basan en el uso de recursos tecnológicos:

Internet, calculadora, programa de geometría

dinámica, entre otros.


Taller deMatemáticas

74

Generalización de patrones

Una de las habilidades matemáticas es la de generalizar, es decir, identifi car regulari-dades o patrones y describirlos mediante procedimientos y fórmulas.

El gran matemático inglés G.H. Hardy escribió: “Un matemático, lo mismo que un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los de aquéllos es porque los suyos están hechos con ideas”.

A lo largo de la historia muchos matemáticos han creado patrones con ideas increíbles, tan increíbles que resultan admirablemente bellas. Muchas veces estos patrones descri-ben con asombrosa exactitud diversos fenómenos que se encuentran en la Naturaleza. En otras ocasiones, el hombre los ha utilizado para expresar belleza y sentido de armonía, ya sea en la pintura, la arquitectura o en otras artes.

El propósito de este taller es que descubras patrones y aprendas a generalizarlos.

Reúnete con dos compañeros para realizar esta actividad:

Observen las siguientes sucesiones de números, discutan y describan la regulari-dad que advierten en cada caso. Anoten el número de círculos para el término n en cada sucesión:

2 � 1 2 � 2 2 � 3 2 � 4

2 � 1 � 1 2 � 2 � 1 2 � 3 � 1 2 � 4 � 1

1 4 9 16

1 3 6 10

Tomen una moneda de 5 o 10 centavos, con ella dibujen 30 círculos en una hoja blan-ca y recórtenlos. Utilícenlos para formar el arreglo que seguirá en cada sucesión.


75

Reúnete con uno o dos compañeros para realizar la actividad siguiente:

Utilicen los circulos que recortaron en la actividad anterior y enumérenlos del 1 al 30.

Los siguientes son llamados cuadrados mágicos y su historia se remonta a la antigua China, al tercer milenio antes de nuestra era.

Observen en este cuadrado mágico y describan lo que pasa:

¿Cuál es el patrón que sigue? Representen estos cuadrados mágicos con sus círculos. Después, escriban los números que faltan en cada caso:

¿Cuánto suman sus renglones y diagonales? ¿Por qué crees que suman esta cantidad? Investígalo.

Este cuadrado mágico se encuentra en la fachada de la iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona, España.

8

3

4

1

5

9

6

7

2

1

8

2

14 4

10

9

1

7

12

2

15

5 4


Desarrollo

172

Rombos y trapecios

Observa nuevamente las banderas y con tu equipo resuelve en el cuaderno.

¿En qué se parecen y en qué difieren las banderas de los grupos 2, 3 y 4? ¿Qué figuras geométricas aparecen en dichas banderas? Midan las distancias necesarias para calcular el área de cada figura geométrica. Anoten los resultados en cm2 y mm2.¿En cuáles banderas del grupo 5 encontraste rombos?¿Qué datos necesitas para calcular el área de estas figuras?

En actividades anteriores vimos que existen dos métodos diferentes para calcular el área de un rombo. Calcula el área de los rombos que encontraste en las banderas.

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si usaron métodos diferentes, ¿obtuvieron las mismas respuestas? ¿Por qué son válidos ambos métodos?

Observa el romboide de la izquierda que representa un terreno de siembra.

Si la longitud de la base mide 50 m, ¿cuánto mide su altura?

¿Cuál es su área? ¿Cuáles son sus medidas en km?

¿Cuál es su área en km2? ¿Cómo puedes convertir un área

dada en m2 a km2?

Si lo rotas, la base podría ser el lado que mide 25 m y su altura la línea roja, ¿cuán-

to mide su altura? ¿Qué hiciste para saberlo?

Traza en el cuaderno un trapecio isósceles cuya base mayor mida 10 cm, la menor mida 6 cm y la altura 5 cm. Encuentra los puntos medios de los lados no paralelos y únelos con un segmento. Éste se llama mediana del trapecio. Mídelo.

¿Qué relación existe entre la mediana y las bases del trapecio?

Calcula el área del trapecio. A =

¿Podrías calcular el área del trapecio a partir de la medida de la mediana? Comén-talo con tus compañeros y tu profesor.Si conviertes el trapecio en uno escaleno, es decir, si mueves una de las bases ha-cia la derecha o hacia la izquierda, sin modificar su longitud, ¿se modifica el área del trapecio? ¿Se modifica la longitud de la mediana? Traza la figura.¿De qué manera puedes subdividir la franja verde de la bandera de Sudáfrica para obtener cuatro romboides verdes y un rectángulo del mismo color? Calcula el área de todos estos romboides que encuentres en las banderas.

¿Cómo vamos?

Reúnanse en equipo para trabajar en la bandera. Dimensiones: 1 metro de largo por 60 cm de altura.

¿Qué relación habrá entre las áreas que calculaste previamente y las áreas de las banderas una vez terminadas? ¿Cuál es el perímetro de su bandera?¿Cuál es el área de la bandera en cm2? ¿Y en m2?

Deben calcular el área de cada fi gura en mm2, cm2 y m2. Tambien harán un breve escrito en el que expliquen la forma en que calcularon las distintas áreas.

25 m22 m

50 m


Desarrollo

173

Cierre

Medidas ofi ciales

Los organizadores del campeonato deben verifi car que el tamaño de las canchas cumpla con las normas ofi ciales para los distintos deportes.Dimensiones de una cancha de futbol para partidos internacionales según la FIFA:

Largo: 110 yardas mínimo, 120 yardas máximoAncho: 70 yardas mínimo, 80 yardas máximo

Para poder hacer las conversiones, conviene saber que una pulgada equivale a 2.54 centímetros. Hay 12 pulgadas en un pie, y hay 3 pies en una yarda.

Si al medir la cancha, ésta mide 100 metros de largo por 75 metros de ancho, ¿cumple con los requisitos en medidas que impone la FIFA? Argumenta tu respuesta.

¿Cuál es el área en m2 de la cancha más pequeña que cumpla con las especifica-

ciones? ¿Y de la cancha más grande?

Las canchas de basquetbol de la NBA miden 94 pies de largo y 50 pies de ancho.

Si se quiere construir una cancha de basquetbol en México, ¿a qué unidad del sistema métrico decimal convendría convertir los pies? ¿Cómo llevarías a cabo la conversión de unidades?

¿Cuántos metros deben medir el largo y el ancho de las canchas de

basquetbol?

¿Cuál es el área de la cancha de basquetbol en m2, cm2, mm2?

¿Cuántos pies cuadrados caben en un metro cuadrado?

Compara tus resultados con algunos compañeros.

Presentación de nuestro trabajo

Presenten a sus demás compañeros su bandera.

Comparen el procedimiento que utilizaron para calcular las áreas de las figuras geométricas de las banderas y verifiquen que los cálculos sean correctos.Hagan una exposición de sus banderas para que otros grupos la visiten.

Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

¿Cómo nos fue?

¿Qué pasa con el área de un triángulo cuando mueves uno de los vértices sobre una paralela a la base contraria? ¿Cuál fue la mayor dificultad a la que se enfrentaron al elaborar su bandera?¿Cómo puedes convertir medidas en metros cuadrados a múltiplos y sub-múltiplos del mismo?¿Cómo identificaron las figuras en cada bandera? ¿Y para calcular sus áreas?¿Qué fórmula aplicarías para calcular el área de un trapecio a partir de su mediana?

La bandera de Kuwait está hecha en proporción de 1:2 (an-cho: largo). El color ne-

gro representa la derrota del enemigo; el rojo signifi ca la sangre en las espadas; el blanco simboliza pureza y el verde representa la tierra fértil.¿Es cierto que la región que representa la derrota del ene-

migo es 16

del área total de

la bandera? Argumenta tu respuesta; considera que la

altura del trapecio es 12

del ancho de la bandera.


DesarrolloDesarrolloDesarrollo

249

Antes de continuar con su proyecto, realicen la actividad siguiente.

El área del círculo

Para llevar a cabo esta actividad, necesitarán regla, compás, papel cuadriculado y una calculadora.

Un jardinero debe colocar plantas en un espacio cuadrado. Tiene los diseños que se muestran y no sabe cuál usar para aprovechar mejor el espacio. Observen las ilustraciones y respondan en el cuaderno.

¿Cómo vamos?

Junto con tu compañero, tomen la medida del largo de la cancha o del patio y conviértanla a centímetros.

Tengan en cuenta que es importante tener una sola unidad de medida, ya sean centímetros o metros.Procuren que la rueda no sea muy grande, para que sea fácil construirla.Con los datos del largo de la cancha o del patio y el número de vueltas en las que deberá hacer el recorrido su rueda, calculen cuánto debe avanzar ésta en una vuelta. ¿Por qué es importante hacer este cálculo?Elijan el material para el diseño de la rueda y el instrumento que utilizarán para trazarla.¿Qué información necesitan para terminar su proyecto?¿Cómo se han sentido al trabajar en equipo?

Haz las siguientes actividades en casa.

1. ¿Qué valor aparece en tu calculadora cuando oprimes la te-cla �? Compáralo con el valor de � que regularmente usamos (3.1416). ¿Cuál de los dos números es más preciso?

2. Si sobre el Ecuador terrestre se colocara un cable de fi bra óp-tica (o cualquier hilo que no se estire) y luego a éste se le añadiera un metro, entonces, ¿podría pasar un ratón entre el alambre y la Tierra? Busca la información que necesites en la biblioteca o en Internet.

Una pista: compara el espacio que se genera al aumentar el metro, es decir, en cuánto aumenta el radio de esta circunferencia.


¿En cuál de los dos diseños se aprovecha mejor el espacio? Explíquenlo.¿Cuál le sugerirían al jardinero? Argumenten su decisión.

Imagen satelital de la Tierra.

En el sitio de Internet http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area7.htm, encontra-rás animaciones en ca-bri sobre el perímetro y área de una circunfe-rencia.

. 2/13/11 9:22 PM

Antes es de conntinuauar con su proyecto, realicen la actividad siguiente.

El El áreaaE del ccí rcuculo

Para a llelevar a ca cabo esesta acactividad, necesitarán regla, compás, papy una c calcalculadodora.

Un jardinerro ddebe cololoo car plaplantasas en un espa cio cuadrado. Tiensese muestrann y y nno sabebe cuál ususar ppara aprovechar mejor elas il ilustracioneses y y responondan en n el cucuaderno.



2. Si sobre el Ecuador terrestre se colocara un cable de fi bra óp-tica (o cualquier hilo que no se estire) y luego a éste se le añadiera un metro, entonces, ¿podría pasar un ratón entre elalambre y la Tierra? Busca la información que necesites en labiblioteca o en Internet.

UnaUna pisista: compara el espacio que se genera al aumentar el metro,es dedecir, e, en cuánto aumenta el radio de esta circunferencia.

Haz las siguientes actividdd

¿En cuál de los dos didiseñs¿Cuál le sugerirían al ja



2. Si sobre el Ecuador terrestre se colocara un cable de fi bra óp-tica (o cualquier hilo que no se estire) y luego a éste se le añadiera un metro, entonces, ¿podría pasar un ratón entre el alambre y la Tierra? Busca la información que necesites en la biblioteca o en Internet.



14

Taller de Matemáticas

Cierre

Tareas. En este apartado te proponemos

diferentes actividades para que ejercites tus

habilidades, desarrolles nuevas estrategias y

refuerces los procedimientos de resolución de

problemas que trabajaste en la secuencia.

En esta última etapa presentarás a tus compañeros

y profesor el resultado de tu producto mediante una

exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo

o una construcción geométrica, etcétera.

En el apartado Presentación de nuestro trabajo

encontrarás recomendaciones para compartir los

resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar

lo que aprendiste, el resultado de tu producto, las

difi cultades a que te enfrentaste y la forma en que

las resolviste, tanto en lo individual como en lo

colectivo, el apartado ¿Cómo nos fue? te ofrece una

útil guía.

Al fi nal de cada bloque se incluyó la sección Taller

de Matemáticas con actividades que te ayudarán

a desarrollar habilidades como calcular,

medir, imaginar, comunicar, estimar, deducir,

formular hipótesis, generalizar, entre otras.


146

Ponte a prueba

Lee la siguiente situación y contesta las preguntas.

1. Los alumnos de la secundaria Miguel Hidalgo y Costilla le piden al director que en el patio se pinte una cancha de un deporte que ellos puedan practicar. Él acepta y, para decidir qué tipo de cancha conviene, lleva a cabo una encuesta entre los 450 alumnos del plantel.

Los resultados de la encuesta se anotaron en la tabla:

El patio de la escuela ocupa un terreno hexagonal de 36 m por lado, distribuido como se muestra en la fi gura. El director solicitó a la profesora de Educación Física que le dijera cuáles son las medidas ideales de cada cancha que a los alumnos les gustaría tener y ella le entregó esta información:

a) Cancha de futbol rápido, 48 metros de largo por 20 metros de ancho.b) Cancha de basquetbol, 28 metros de largo por 15 metros de ancho.c) Cancha de volibol, 18 metros de largo por 9 metros de ancho.Los alumnos proponen al director que, independientemente de los porcentajes de elección, lo mejor sería pintar las tres canchas con mayor demanda y darle gusto a la mayoría de los alumnos.El director acepta, pero por seguridad de la comunidad escolar, pide que se cumplan las siguientes condiciones:

Ninguna cancha podrá estar a menos de 20 metros del centro de la entrada.

Entrada

DIRECCIÓN

10 metros

Bancas

Asta bandera

Monumento aHidalgo

Ninguna portería podrá estar a menos de 4 metros del perímetro del hexágono.Ninguna cancha podrá estar a menos de 4 metros de las bancas ni del monumento a Miguel Hidalgo y Costilla.Para economizar gastos, en la zona sombreada se puede construir una portería y una canasta fija, las del lado contrario serán móviles. Los postes para la red de volibol se pueden quitar y poner fácilmente. Es obvio que la portería fija de futbol rápido no puede estar en la cancha de basquetbol, ni la canasta fija puede estar en la cancha de futbol rápido.Para las ceremonias cívicas y la formación de los alumnos debe señalarse un espacio rectangular de 40 metros de ancho por 28 metros de largo, libre de cualquier construcción y mínimo a 12 metros de la dirección.

Tipo de cancha Futbol rápido Basquetbol Volibol Otros

Fracción del total 2 5

3 10

1 4

El resto


147

i) ¿Cuántos alumnos votaron por cada cancha y qué porcentaje representan?

Tipo de cancha Fracción del total Número de alumnos %

Futbol rápido 2 5

Basquetbol 3 10

Volibol 1 4

Otros El resto

El monumento a Hidalgo que se encuentra en la escuela mide la sexta parte del Ángel de la Independencia (consulta la secuencia didáctica 15, Grandes y chicos, en la página 128).

ii) ¿Qué altura tiene?

iii) ¿Cuál es el área total del patio de la escuela?

iv) En una hoja aparte, dibuja el patio de la escuela y, con diferentes colores, marca cómo y dónde quedarían cada una de las tres canchas y el espacio rectangular destinado a las ceremonias cívicas. Resalta las condiciones planteadas por el director.

v) ¿Qué escala utilizaste para diseñar tu plano?

vi) ¿Qué área del patio no será utilizada en ningún momento? Escribe tu resultado como fracción y como

porcentaje.

vii) ¿Se pueden utilizar al menos dos canchas a la vez? Argumenta tu respuesta.

2. La siguiente tabla muestra el valor de cuatro estampillas postales de distintos países. También se indica la conversión de la moneda del país a pesos mexicanos.

i) Si se convierte el valor de cada una de estas estampillas postales a pesos mexicanos, ¿cuál es la que tiene mayor valor? Aproxima tu resultado a dos decimales.

País emisor: ArgentinaValor: 75 centavos de peso argentino.

1 peso argentino = 2.997 pesos mexicanos

País emisor: JaponValor: 62 yenes

1 yen = 0.146 pesos mexicanos

País emisor: SueciaValor: 6 coronas suecas

1 corona sueca = 1.854 pesos mexicanos

País emisor: EspañaValor: 0.57 centavos de euro

1 euro = 16.318 pesos mexicanos


330

Tu archivo de evidenciasA lo largo del libro te solicitamos que guardes diversos productos en tu archivo de evi-dencias. A continuación te describiremos los propósitos de este instrumento y cómo contribuirá a mejorar tu formación académica.

¿Qué es una evidencia?

Una evidencia es un conjunto de objetos o elementos tangibles con los que podemos demostrar que se ha adquirido, de manera satisfactoria, un aprendizaje o una com-petencia. Existen dos tipos de evidencias:

Evidencia de conocimiento: implica tener el conocimiento de lo que se tiene que ha-cer, cómo se debe hacer y por qué. Evalúa el conocimiento teórico y las habilidades relacionadas con éste.Evidencia de desempeño: es el comportamiento en ciertas circunstancias, de modo que se pueda identifi car si se resuelven situaciones para las que se requiera el cono-cimiento adquirido.

Al estar trabajando competencias, éstas pueden desarrollarse a un mayor grado que el nivel requerido por las evidencias.

¿Para qué hacer un archivo de evidencias

a lo largo del curso?

La intención de guardar evidencias durante el curso es que te permitan observar tu progreso en diversos aspectos de tu formación académica: el poder expresar matemá-ticamente algunas situaciones que se presentan en el día a día, conocer técnicas para reconocer, plantear y resolver problemas, y poder tener una actitud crítica al estudiar la asignatura, colaborando también con tus compañeros y compañeras de clase.

Por otro lado, esta colección te será de utilidad para evaluar tu desarrollo de las distin-tas competencias, ya que documentan tu experiencia durante el proceso de aprendi-zaje y el progreso alcanzado en diferentes aspectos, como el uso de la argumentación para sustentar ideas.

Asimismo, la revisión guiada de los documentos y trabajos que integran tu archivo de evidencias es un valioso instrumento que te orientará en el desarrollo de estrategias, y te permitirá ver cómo se construyeron los conocimientos y se desplegaron habili-dades; así como el desarrollo de tu autonomía, aspectos indispensables para seguir aprendiendo.

¿Cómo elaboro mi archivo de evidencias?

Al haber muchos productos que realizas en equipo o por parejas, se recomienda tener un archivo de evidencias del salón y uno individual.

El archivo del salón incluirá todos los productos realizados. Junto con su profesor o profesora, organicen los distintos trabajos teniendo en consideración qué son (ma-quetas, láminas, documentos, etc.) y el espacio que tienen disponible en su salón.


331

Pueden organizarlos por eje temático en cajas o en algún librero, dependiendo del espacio que necesiten para ellos y del que haya en el salón, pero siempre procuran-do que sea fácil ubicar dónde están en caso de que necesiten utilizarlos durante el ciclo escolar. También se recomienda que etiqueten cada producto especifi cando la secuencia a la que corresponde y los nombres de todos los integrantes del equipo que participaron.

En el caso del archivo individual, deberás guardar en un fólder una hoja, por cada producto, que contenga una tabla como la siguiente:

Archivo de evidencias de Matemáticas 1

Nombre: Fecha:

Integrantes del equipo: Secuencia: Bimestre:

Contenidos del programa relacionados

Eje temático

Evidencias esperadas

Evidencias obtenidas

Relación con evidencias anteriores

Relación con otros ejes temáticos

¿Se logró el aprendizaje esperado? No No del todo Sí

¿Qué falta para que se logre ese aprendizaje?

Las secciones Relación con otros ejes temáticos y ¿Se logró el aprendizaje espera-do?, tienen respuestas que variarán conforme avance el año escolar. Al analizar los productos posteriores, puedes encontrar nuevas relaciones con los distintos ejes y aclarar las dudas que ocasionaban que tu comprensión de los contenidos no fuera la esperada.

Al fi nal de cada bimestre, deberás realizar un análisis de todas las evidencias de tu archivo. ¿Cómo se relacionan entre ellas? ¿Qué relación tienen con las de los otros bloques? ¿Qué conocimientos quedaron confusos o faltan y qué puedes hacer al res-pecto? ¿Cómo se relacionan las matemáticas con tus actividades diarias?

Recuerda que cuanto más ordenado y claro sea tu archivo de evidencias, más fácil será consultarlo.

¿Cuándo reviso mi archivo de evidencias?

La revisión de los productos deberá ser una tarea periódica: al fi nal de cada bimestre, a mediados del curso y al fi nal del año escolar, así detectarás tus avances y defi cien-cias en el desarrollo de tus habilidades y construcción de conocimientos. Esto será un punto de partida para que refl exiones en torno a tus aprendizajes, tu rendimiento académico, la forma como realizas procesos, la formación y perfeccionamiento de tus habilidades y actitudes, y para que establezcas estrategias para continuar con el desarrollo de competencias.


15

Al fi nal de cada bloque encontrarás una doble página

con fotografías e imágenes atractivas en las que se

aborda un tema de interés general, ya sea de música,

de arquitectura, de deportes o de ciencias, en cuya

explicación hallarás contenidos matemáticos que

trabajaste en el bloque. Revísala bien porque te

puede dar ideas de cómo organizar información

para una presentación o un cartel.

En esta sección encontrarás una evaluación

escrita en la que se plantean situaciones para

que puedas poner en práctica tus conocimientos,

habilidades y actitudes.

Al fi nal de la obra encontrarás recomendaciones para

conformar tu archivo de evidencias con

los productos que elaboraste durante

el desarrollo de las secuencias. Este

archivo te permitirá observar tus

avances a lo largo del ciclo escolar y

evaluar tu desempeño.

En esta sección encontrarás una evaluación En esta sec

escrita en la que se plantean situaciones paraescrita en l

Ponte a Prueba

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Tu archivo de evidencias

Al final de cada bloque encontrarás una doble página

Infografía

En 1787, Mozart publicó su juego de dados musicales, Musikalisches Würfelspiel, con el que cualquier persona, incluso sin saber música, puede componer un minueto y un trío.

Dados musicales

El minueto, de origen francés, es una danza para dos personas. Se escribe en un tiempo de y contiene

dieciséis compases, divididos en dos secciones, con repetición de cada una.

Se acompaña de un trío instrumental.

Wolfgang Amadeus Mozart Nació el 27 de enero de 1756, en Salzburgo, Austria. Fue un niño prodigio que a los cuatro años ya era capaz de interpretar al clave (instrumento musical) melodías sencillas y de componer pequeñas piezas. Comenzó a escribir minuetos a los cinco años y sinfonías a los nueve. Murió en Viena, Austria, el 5 de diciembre de 1791, a los 35 años de edad.

34

80

Dados musicales

Wolfgang Amadeus Mozart Nació el 27 de enero de 1756, en Salzburgo, Austria. Fue un niño prodigio que a los cuatro años ya era capaz de interpretar al clave (instrumento musical) melodías sencillas y de componer pequeñas piezas. Comenzó a escribir minuetos a los cinco años y sinfonías a los nueve. Murió en Viena, Austria, el 5 de diciembre de 1791, a los 35 años de edad.

En 1787, Mozart publicó su

juego de dados musicales, Musikalisches Würfelspiel,

con el que cualquier persona, incluso sin saber música, puede componer un minueto

y un trío.

El minueto, de origen francés, es una danza para dos personas. Se escribe en un tiempo de y contiene

dieciséis compases, divididos en dos secciones, con repetición de cada una.

Se acompaña de un trío instrumental.

34

Info

graf

ía

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Por cada lanzamiento se tienen once resultados posibles para la suma de los dados, del 2 al 12. Considerando esto y el número de lanzamientos, la cantidad de minuetos posibles en este juego es de casi 46 billones. Al tener tantas combinaciones es muy poco probable obtener la misma pieza musical más de una vez.

El juego consta de 176 compases musicales y una tabla de reglas utilizada para seleccionar los compases dado un resultado particular al lanzar los dados. Cada compás tiene un número asignado. Los números se acomodan en dos tablas de once renglones y ocho columnas.

El jugador tira los dados y busca la suma de ambas caras en la tabla para encontrar el compás correspondiente a ese tiro. Este proceso se repite dieciséis veces para crear el minueto.

Además de los compases para el minueto, Mozart compuso 76 compases más y otra tabla de reglas para el trío. Se juega de la misma manera, pero utilizando solamente un dado. Por cada lanzamiento hay seis posibles resultados, del 1 al 6, para cada tiro. Esto quiere decir que hay casi tres billones de combinaciones diferentes.

A pesar de que el azar es parte importante de este juego,

todos los posibles compases fueron escritos y acomodados en las tablas de tal manera que, sin importar la selección, las melodías resultantes

fueran un minueto y un trío que cumplen con los requerimientos

armónicos y de composición de la época.

correspondiente aproceso se repite para crear el minu

Juego y probabilidad

96 22 141 41 105 122 11 30

32 6 128 63 146 46 134 81

69 95 158 13 153 55 110 24

40 17 113 85 161 2 159 100

148 74 163 45 80 97 36 107

104 157 27 167 154 68 118 91

152 60 171 53 99 133 21 127

119 84 114 50 140 86 169 94

98 142 42 156 75 129 62 123

3 87 165 61 135 47 147 33

54 130 10 103 28 37 106 5

I II III IV V VI VII VIII

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

70 121 26 9 112 49 109 14

117 39 126 56 174 18 116 83

66 139 15 132 73 58 145 79

90 176 7 34 67 160 52 170

25 143 64 125 76 136 1 93

138 71 150 29 101 162 23 151

16 155 57 175 43 168 89 172

120 88 48 166 51 115 72 111

65 77 19 82 137 38 149 8

102 4 31 164 144 59 173 78

35 20 108 92 12 124 44 131

I II III IV V VI VII VIII

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

tcc

1

Prdn

2

1+1=2

Tiro

Compás 96

Ejemplo de varios tiros

Suma 96

Primer tiro

96 60 165 45

60

45

165

81



Tú y las Matemáticas

16

¿Por qué estudiar matemáticas?

Adonde quiera que voltees están pre-sentes las matemáticas: forman par-te de múltiples actividades en las que estamos involucrados los seres hu-manos y, a veces, ni nos imaginamos que para llevarlas a buen término se requiere su apoyo. Con las matemáti-cas medimos, contamos, compramos, vendemos y jugamos; sumamos, di-vidimos, calculamos; exploramos el espacio exterior y nos internamos en las profundidades del mar. ¿Y tú, para qué las usas? Esta ciencia ha hecho posible que algunos hayan cambiado la historia, por esto ocupan un lugar prominente en la memoria de la hu-manidad. Tan sólo piensa que el de-sarrollo de la computadora y de los videojuegos fue posible gracias a las matemáticas. El gran matemático alemán Carl Gauss decía: “Las matemáticas son la reina de las ciencias”. ¿Por qué consideras que grandes ma-temáticos piensan asi?

Si les preguntáramos a todos los matemáticos del pasado por qué se interesaron en las matemáticas, nos darían muchas razones por las que éstas los cautivaron y apasionaron. Por ejemplo, el gran fi lósofo griego Platón decía: “La forma más pura del pensamiento son las matemáticas”. Y otro gran griego, Euclides, decía: “Las leyes de la Naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios”. ¿Qué piensas de ello?

Cientos de años después de Platón y de Euclides, el fi lósofo y matemático francés René Descartes dijo: “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. En los días de Descartes, el matemático in-glés Isaac Barrow, quien fue profesor de otro ilustrísimo matemático, Isaac Newton, escribió: “Las matemáticas son el fundamento inamovible de las ciencias y una fuente inacabable de vanguardia en los asuntos de la humanidad”. Comenta en equipo lo que has leído. ¿Qué puedes concluir? ¿Crees que las matemáticas están re-lacionadas con otras ciencias?

El Viajero 1 visitó los planetas Júpiter y Saturno. El

éxito de la misión requirió cálculos matemáticos

precisos que tomaron ventaja de la alineación

de estos planetas con Urano y Neptuno, algo que

ocurre solamente cada 175 años.

La revista Times nombró al matemático inglés Alan Turing entre

los cien personajes más infl uyentes del siglo XX. La placa que

conmemora el lugar donde vivió dice: “Alan Turing (1912-1954).

Fundador de la Ciencia de la Computación y criptógrafo, cuyo

trabajo fue fundamental en romper los códigos de guerra Enigma,

vivió y murió aquí”.



María Dolores Lozano SuárezMónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval CáceresEmanuel Jinich Charney


Mat

emát

icas

1

números naturales núm

eros decimales patrones fórm

ulas literales variables

expo

nent

e po

tenc

ia re

laci

ón fu

ncio

nal r

aíz

cuad

rada

círc

ulo

cuad

rado

triá

ngul

o

con

teo

prob

abili

dad

frecu

enci

al p

roba

bilid

ad

prob

abili

dad

jueg

o de

aza

r re

sulta

dos

equi

prob

able

s es

timar

med

ir ca

lcul

ar

para

lelis

mo

perp

endi

cula

ridad

med

iatri

z án

gulo

sum

a m

ultip

licac

ión

divis

ión

porcentaje frecuencias gráfi ca circular rectángulo

En la actualidad, enseñar Matemáticas signifi ca propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar

matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas.

Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje

signifi cativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios.

Se usa un lenguaje claro y sencillo con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos

lo comprendan. El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá

que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, a fi n de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.

Matemáticas 1 cs4 VL.indd 1Matemáticas 1 cs4 VL.indd 1 4/15/11 5:49 PM4/15/11 5:49 PM

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Matemáticas - forosecundariasep.com.mx · elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y jus- ... Proporcionalidad directa 56 7. Reparto proporcional 62 8. Problemas