Matemáticas - Foro Secundaria SEP · Presentación Al maestro Con el estudio de las matemáticas se busca que los jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expre-

MatemáticasMaría Trigueros Gaisman

María Dolores Lozano SuárezMónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval CáceresEmanuel Jinich Charney

Mercedes Cortés Lascurain

Mat

emát

icas

3

En la actualidad, enseñar Matemáticas signifi ca propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar

matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas.

Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje

signifi cativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios.

Se usa un lenguaje claro y sencillo con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos

lo comprendan. El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá

que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, a fi n de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico,

incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2010 por María Trigueros Gaisman, María de los Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister,

Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, María de las Mercedes Cortés Lascurain

D. R. © 2011 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 272, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F.

ISBN: 978-607-01-0795-5Primera edi ción:

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México /Printed in Mexico

El libro Mate

máticas 3 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

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ua • Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes • Dirección de Investigación y Nuevos Desarrollos L

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Coordinación Iconográfica Nadira Nizametdinova Malekovna • Coordinación de Realización A

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ván Vásquez Rodríguez • Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala S

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Coordinación EditorialMa. del Pilar Vergara Ríos

ColaboracionesTaller de Matemáticas: Karla Ayala Sánchez

Ponte a prueba: Francisco Javier Mendoza Aguirre

y José Ezequiel Soto Sánchez

EdiciónLeticia Martínez Ruiz, Rubén García Madero, Lidya Arana Lagos,

Zoraida Reyes González y Laura Milena Valencia Escobar

Asistencia de EdiciónÓscar Cerón Rodríguez, Natalia Herrera López y Eleazar Roldán Estrada

Revisión técnicaPatricia Colín Uribe

Corrección de estiloPablo Mijares Muñoz, Ramona Enciso, Enrique Paz

y Patricia Elizabeth Wocker

Edición de RealizaciónIskra Salinas Cardiel

Edición DigitalMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portadaRaymundo Ríos Vázquez

Diseño de interioresBeatriz Alatriste del Castillo y Stephanie Iraís Landa Cruz

DiagramaciónEDITEC y Héctor Ovando Jarquín

IconografíaMiguel Bucio Trejo

FotografíaFrancisco Rodríguez Cervantes, Olivia Vivanco Torres,

Jesús Ordoñez Abrín, Miguel Bucio Trejo

Fotografía páginas 84 y 85 Antonio Valle

IlustraciónHéctor Ovando Jarquín, Carmen Gutiérrez,

Ricardo Ríos Delgado, Miguel Bucio Trejo

InfografíaNatalia Herrera López, María Ángeles González,

Gil G. Reyes Ortiz, Raymundo Ríos,

Stephanie Landa y Adolfo Flores

MAT3COMSECLA-p1Conal.indd 2MAT3COMSECLA-p1Conal.indd 2 4/8/11 1:55 PM4/8/11 1:55 PM

abril de 2011

Presentación

Al maestroCon el estudio de las matemáticas se busca que los jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expre-sar matemáticamente situaciones que se presenten en diver-sos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos matemáticos de otros y que sean capaces de utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias didácticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre.

En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipo o en grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una investigación, explicar y jus-tificar razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, etcétera.

En la primera etapa se presenta una situación problemática —una actividad, un juego, una imagen o un texto— cuyo pro-pósito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a refle-xionar y a encontrar diferentes formas de resolverla. Este inicio se complementa con el apartado Preguntas para andar, en el que se formulan preguntas para recuperar conocimientos, para meditar sobre la solución del problema inicial y para conside-rar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabajarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor forma de trabajo de acuerdo con su plan de clases.

En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro tra-bajo, se propone el producto que crearán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organización de las tareas.

Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades di-versas, individuales y colectivas, que permitirán a los escolares ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algoritmos, definiciones, etcétera. Se sugiere intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen proce-dimientos propios al resolver los problemas planteados.

Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en el producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el aparta-do ¿Cómo vamos?, en el que se propicia la reflexión metacogniti-va. Puede complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o construirlos tú mismo? ¿Comprendiste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros?, etcétera.

El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos concluyen la confección del producto y se sugiere que lo socialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta mane-

ra también comunican, argumentan y comparten los cono-cimientos construidos. Finalmente, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue?, discuten en grupo varios puntos relaciona-dos con los aprendizajes logrados, el producto, la forma como aprendieron y la resolución del problema inicial.

Quienes participamos en la elaboración de esta obra espera-mos que sea de utilidad para su trabajo docente.

Al alumnoEl libro que tienes en tus manos tiene el propósi-

to de acompañarte en tu curso de Matemáticas

del tercer grado de secundaria. Esta obra ha

sido escrita con la intención de acercarte a las

matemáticas mediante el desarrollo de activi-

dades interesantes y de problemas y situacio-

nes cercanos a tu vida cotidiana, de manera

que el aprendizaje te resulte entretenido y lle-

no de significado.

Las matemáticas constituyen una forma de

pensar y de abordar problemas; entenderlas es

fundamental y, por ello, tratamos de ofrecer-

te tantas oportunidades para que argumentes,

comuniques tus ideas, elabores razonamientos

y emplees herramientas matemáticas. Resolver

problemas requiere dedicación y esfuerzo, por

lo que te sugerimos un acercamiento con tus

compañeros de clase y tu profesor que inclu-

ya oportunidades de discusión y reflexión tanto

individual como grupal en cada uno de los re-

tos planteados.

Hemos disfrutado enormemente la escritura

de este libro y esperamos que tú también go-

ces al utilizarlo y que adquieras conocimien-

tos matemáticos de manera sólida, con el

objeto de que en el futuro puedas ponerlos en

práctica en una infinita variedad de contextos.

Los autores

3


4

ContenidoDosifi cación 8Tu libro, de principio a fi n 12Tú y las Matemáticas 16

1. Factorización de

expresiones 22

2. Propiedades de los

cuadriláteros 30

3. Circunferencias y rectas 36

4. Circunferencias y ángulos 42

5. Circunferencias y arcos 48

6. Razón de cambio 54

7. Estudios estadísticos 64

Taller de Matemáticas 72

Infografía: Una visión

de altura 78

Ponte a prueba 80

Blo

que

1

20


5

8. Ecuaciones no lineales 84

9. Factorización 92

10. Figuras semejantes 100

11. Criterios de semejanza

de triángulos 108

12. Información e índices 120

13. La simulación 128


Infografía: El número dorado 140

Ponte a prueba 142

14. Aplicación de funciones 146

15. La fórmula general 158

82

Blo

que

2

Blo

que

3

144


6

16. El teorema de Tales

y sus aplicaciones 166

17. Homotecia 174

18. Gráfi cas de funciones 184

19. Gráfi cas y expresiones

algebraicas de curvas 192

20. Gráfi cas formadas por

secciones de rectas

y curvas 202


Infografía: Captura la vida 214

Ponte a prueba 216

21. Sucesiones numéricas

y fi gurativas 220

22. El teorema de Pitágoras 226

23. Razones trigonométricas 234

24. Gráfi cas de crecimiento

aritmético y geométrico 244

25. Datos e información 252


Infografía: Como recién

salido del horno 264

Ponte a prueba 266

218

Blo

que

4


7

26. Ecuaciones 270

27. Cilindros, conos

y esferas 276

28. Volumen de cilindros

y conos 286

29. Cálculo de volúmenes 292

30. Gráfi cas de caja-brazos 298


Infografía: Érase una vez... 308

Ponte a prueba 310

Tu archivo de

evidencias 312Índice

analítico 314Fuentes de

información 316

Blo

que

5

268


Dosifi caciónEje Tema Subtema

Bloque 1

Sentido numérico y

pensamiento algebraicoSignifi cado y uso de las operaciones Operaciones combinadas

Forma, espacio y medida

Formas geométricas

Figuras planas

Rectas y ángulos

Medida Estimar, medir y calcular

Manejo de la información Representación de la información Gráfi cas

Bloque 2

Sentido numérico y pensamiento

algebraicoSignifi cado y uso de las literales Ecuaciones

Forma, espacio y medida Formas geométricas Semejanza

Manejo de la información Análisis de la informaciónPorcentajes

Noción de probabilidad

Bloque 3


algebraicoSignifi cado y uso de las literales

Relación funcional

Ecuaciones


Formas geométricas Semejanza

Transformaciones Movimientos en el plano

8


Conocimientos y habilidades Secuencia Págs. Semana

1.1. Efectuar o simplifi car cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x � a)2; (x � a)(x � b); (x � a)(x � a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x 2 � 2ax � a 2; ax 2 � bx; x 2 � bx � c; x 2 � a 2.

1. Factorización de expresiones

22-29 1

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades de los cuadriláteros.

2. Propiedades de los cuadriláteros

30-35 2

1.3. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

3. Circunferencias y rectas

36-41 3

1.4. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circun-ferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

4. Circunferencias y ángulos

42-47 4

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

5. Circunferencias y arcos

48-53 5

1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

6. Razón de cambio 54-63 6 y 7

1.7. Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfi ca más adecuada para presentar la información.

7. Estudios estadísticos

64-71 8

2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

8. Ecuaciones no lineales

84-91 9 y 10

2.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

9. Factorización 92-99 11

2.3. Construir fi guras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados. 10. Figuras semejantes 100-107 12

2.4. Determinar los criterios de semejanza de triángulos. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propie-

dades de los polígonos. Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

11. Criterios de semejanza de triángulos

108-119 13 y 14

2.5. Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones.12. Información e

índices120-127 15

2.6. Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas. 13. La simulación 128-133 16

3.1. Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la econo-mía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

14. Aplicación de funciones

146-157 17 y 18

3.2. Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

15. La fórmula general 158-165 19

3.3. Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

16. El teorema de Tales y sus aplicaciones

166-173 20

3.4. Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que �1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una fi gura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

17. Homotecia 174-183 21

9


Eje Tema Subtema


Bloque 4

Sentido numérico y

pensamiento algebraicoSignifi cado y uso de las literales Patrones y fórmulas

Forma, espacio y medida Medida Estimar, medir y calcular


Bloque 5


algebraicoSignifi cado y uso de las literales Ecuaciones


Formas geométricas Cuerpos geométricos

Medida

Justifi cación de fórmulas

Estimar, medir y calcular

Manejo de la información Representación de la información Medidas de tendencia central y dispersión

10


Conocimientos y habilidades Secuencia Págs. Semana

3.5. Interpretar, construir y utilizar gráfi cas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

18. Gráfi cas de funciones

184-191 22

3.6. Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de fun-ciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que defi nen a estas funciones.

19. Gráfi cas y expresiones algebraicas de curvas

192-201 23

3.7. Interpretar y elaborar gráfi cas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

20. Gráfi cas formadas por secciones de rectas y curvas

202-207 24

4.1. Determinar una expresión general cuadrática para defi nir el enésimo término en sucesiones numéricas y fi gurativas utilizando el método de diferencias.

21. Sucesiones numéricas y fi gurativas

220-225 25

4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.22. El teorema de

Pitágoras226-233 26 y 27

4.3. Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

23. Razones trigonométricas

234-243 28 y 29

4.4. Interpretar y comparar las representaciones gráfi cas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

24. Gráfi cas de crecimiento aritmético y geométrico

244-251 29

4.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

25. Datos e información 252-259 31 y 32

5.1. Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuacio-nes con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

26. Ecuaciones 270-275 33 y 34

5.2. Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar fi guras.

Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro

o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtie-

nen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

27. Cilindros, conos y esferas

276-285 35 y 36

5.3. Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.28. Volumen de

cilindros y conos286-291 37 y 38

5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo

de volumen.

29. Cálculo de volúmenes

292-297 39

5.5. Interpretar, elaborar y utilizar gráfi cas de caja-brazos de un conjunto de datos para ana-lizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

30. Gráfi cas de caja-brazos

298-303 40

11


Tu libro, de principio a fi n

12

268 269268 269

Bloque 5Bloque 5Bloque 5

Canicas

El origen de las canicas no se puede precisar. Se han encontrado

pequeñas esferas de barro tanto en tumbas egipcias como en tumbas

mexicas, sin embargo, no se puede asegurar si ésas fueron las

primeras canicas ni cómo eran utilizadas.

Como resultado del estudio de este bloque temático

se espera que:

1. Resuelvas problemas que impliquen calcular el vo-

lumen de cilindros y conos o cualquier término de

las fórmulas que se utilicen. Anticipes cómo cam-

bia el volumen al aumentar o disminuir alguna de

las dimensiones.

2. Describas la información que contiene una gráfica

del tipo caja–brazos.

PlaneaciónInicio

48

PlaneaciónInicio Desarrollo

49

5

Blo

que

1

Longitud de arco

Analicemos el problema del faro: la figura de la derecha representa el alcance de su luz. Remarca con rojo el ángulo de barrido de luz sobre el mar y contesta las preguntas.

¿Cuál es la medida del ángulo de luz? ¿Por qué?

Calcula el área de la sección de la circunferencia que es cubierta por la luz y

explica tu procedimiento.

Recordarás que el perímetro de un círculo es la medida de la longitud de su circun-ferencia. En la circunferencia, un arco es el segmento determinado por dos puntos de la misma. Como en la circunferencia dos puntos determinan dos arcos, si dichos arcos no son congruentes, éstos reciben los nombres de arco menor y arco mayor.

Toma en cuenta la información anterior y contesta las preguntas.

Remarca con rojo el semicírculo superior.Si conoces la medida de la circunferencia de un círculo, ¿cómo calcularías la

longitud de arco del semicírculo?

¿Cómo se mide la longitud de arco de un cuarto de círculo? ¿Y la longitud de arco de un sexto de círculo? ¿Y la de un octavo? ¿En qué unidades se mide la

longitud de arco?

En los siguientes círculos, indica la medida de cada uno de los ángulos centrales. ¿Cómo se relaciona la medida de los ángulos centrales con la medida de la longi-

tud de arco correspondiente a cada uno de dichos ángulos?

¿Cuánto mide el ángulo central de un círculo completo?

¿Qué sucede si el círculo no está dividido en una fracción simple y se te pide

que encuentres la longitud de arco para 19°?

Escribe cómo puedes aprovechar el concepto de proporción y la regla de tres

para encontrar la longitud de arco de cualquier ángulo.

Presenta tus respuestas al profesor y compártelas con tus compañeros.

60°

Conocimientos y habilidades

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Circunferencias y arcos

El faro y su luz

En una orilla del Golfo de México se construyó un faro que proyecta un rayo de luz como el que se muestra en la imagen. El alcance máximo de la luz del faro es de 30 km.

¿Cuánto mide el ángulo que barre el faro al girar e iluminar el mar? ¿Cuál es el área de la superficie del agua que puede ser cubierta por la luz del faro? Supón que el barco de la imagen viaja en línea recta y es iluminado por la luz del faro en 41.1 km de su ruta (desde A hasta B), ¿cuál es la distancia más corta del barco al faro?, ¿cuánto mide el arco AB ?

Preguntas para andar

¿Cómo puedes calcular la longitud de un arco si conoces la medida del án-gulo central y el radio del círculo?¿Cómo puedes calcular el área de un sector circular si conoces la medida del ángulo central y el radio del círculo?¿Qué tendrías que tomar en cuenta en el diseño de una pista de atletismo para que todos los corredores, sin importar en qué carril estén, corrieran la misma distancia?

En equipos de tres integrantes van a hacer el diseño a escala de una pista de atletismo alrededor de una cancha de futbol. La pista contará con 6 carriles.

Podrán trazar su diseño en un cartel, ya sea de cartulina, papel bond o ilus-tración.Necesitarán un juego de geometría y lápices de colores a su elección. Al finalizar, deberán presentar su diseño ante el grupo y compararlo con los diseños de los demás equipos.

sector circular.

Fracción de un círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia.

En equipos de tres integrantes van a hacer el diseño a escala de una pista de atletismo alrededor de una cancha de futbol. La pista contará con 6 carriles.

Podrán trazar su diseño en un cartel, ya sea de cartulina, papel bond o ilus-tración.Necesitarán un juego de geometría y lápices de colores a su elección. Al finalizar, deberán presentar su diseño ante el grupo y compararlo con los diseños de los demás equipos.

Desarrollo

194

DesarrolloDesarrolloDesarrollo

195

Familias de parábolas

Continúa trabajando con parábolas. Realiza las actividades en el cuaderno.

El mismo físico modeló otro lanzamiento, en esta ocasión desde el suelo. Otra vez graficó la altura del proyectil con respecto al tiempo.

¿Crees que la función asociada con la gráfica es de la forma y = ax 2 + b? ¿Cómo lo sabes?¿Cuál de las siguientes funciones piensas que corresponde a la gráfica de la derecha?

y � (x � 2)2 �� 41 ( 4) 4y x 2 y � (x � 2)2 � 4

� �41 ( 4)y x 2 � �� 4

1 ( 4)y x 2 y � −(x � 2)2

Para poder conocer cuál es la función correcta, realiza las actividades:

Crea una tabla para cada función: y � (x � 4)2,y � �(x � 4)2, y � (x � 4)2 y y � �(x � 4)2, dale 10 valores para x, utiliza núme-ros positivos y negativos para los valores de x, e incluye también el 0. Después, so-bre un plano cartesiano, grafica las cuatro funciones utilizando distintos colores.Escribe las funciones de las parábolas que abren hacia arriba.Escribe las funciones que abren hacia abajo. ¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de y � x 2 � 4 (de la página anterior) y la gráfica de y � (x � 4)2?

Si partimos de la gráfica de la función y � x 2, ¿cuál es el efecto del 4 al graficar y � (x � 4)2? ¿Hacía dónde se desplaza la gráfica?

¿Cuál es el efecto del �4 al graficar y � (x � 4)2?

¿Qué puedes concluir acerca de las funciones y � (x � b)2 ? Recuerda que b pue-de tomar valores positivos y negativos.

En otro plano cartesiano, grafica la siguiente familia de parábolas:

y � 2(x � 1)2, y � 4(x � 1)2, y � 8(x � 1)2, � �1 ( )2 1y x 2 , � �1 ( 1)4y x 2

y � �2(x � 1)2, y � �4(x � 1)2, y � �8(x � 1)2, � �� 21 ( 1)y x 2 ,

�� 41 ( 1)y x 2

Observa todas las gráficas que elaboraste en las actividades de la página anterior.

¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes? ¿Qué relaciones encuentras entre los coeficientes de x y las curvas?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y

coméntenlas con el profesor.

Las gráficas de las funciones de la forma y � ax 2 son

parábolas verticales cuyo vértice está en el origen, es

decir, en el punto de coordenadas (0, 0). Si el coefi-

ciente a es positivo, la parábola abre hacia arriba; por el

contrario, si es negativo, la parábola abre hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor de a (sin su signo), más

cerrada será la parábola. Cuanto más reducido sea el

valor de a (sin su signo), más abierta será la parábola.

¿Crees que las funciones asociadas a las gráficas del inicio de la lección sean de la forma y � ax 2? ¿Por qué? Coméntalo con tus compañeros y con tu maestro.

Parábolas positivas y negativas

Realiza las siguientes actividades en el cuaderno.

Traza un plano cartesiano y grafica las funciones y � x 2, y � x 2 � 1, y � x 2 � 2,

y � x 2 � 3, y � x 2 � 4 y � � 21y x2 .

Antes de trazarlo, elabora las tablas correspondientes.

¿En qué se parecen las gráficas? ¿En qué son diferentes?

Compara la familia de gráficas que acabas de realizar con las que graficaste en la sección anterior. ¿Cuáles son las diferencias y semejanzas entre ellas?

Describe cómo es la gráfica de la función y � x 2 � b cuan-do b es un número positivo y cómo es la gráfica cuando b es negativo.

Compara tu descripción con la que se da a continuación.

Las gráficas de las funciones de la forma y � ax 2 � b son parábolas verticales cuyo vértice está en el punto

(0, b). Si el valor de b es positivo, el vértice se encuentra

por arriba del eje x. Si el valor de b es negativo, el vértice

se encuentra por debajo del eje x.

Analiza otra vez las gráficas del inicio de la secuen-cia didáctica y piensa, con los conocimientos que ahora tienes sobre las gráficas, qué función le co-rresponde a cada una.

x

y

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y = x2

y = 2x2

y = 4x2

y = –5x2

y = –3x2

y = –x2

x

y

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

–4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y = x2 + 2y = x2 + 4y = x2 + 3y = x2 + 1y = x2 – 1y = x2 – 2

x

y

5 10

6

4

2

0

–2

¿Cómo vamos?

Realicen la gráfica de su función de la forma y � ax 2 � b, en la que a y b toman valores específicos. Dejen fijo el valor de a (por ejemplo, y � 2x 2 � b) y varíen el valor de b. Grafiquen la familia de parábolas que resulta si dan 5 valores distintos a b. Ahora, dejando fijo el valor de b (por ejemplo, y � ax 2 � 4), grafiquen una familia de parábolas dando 5 valores diferentes a a.¿Qué han aprendido hasta ahora sobre las gráficas de las funciones de la forma y � ax 2 � b?

¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de y � 5x 2 y la gráfica de y � 5x 2 � 2?¿Tienen alguna dificultad para realizar las gráficas que mostrarán en su pre-sentación? Si es así, coméntenlo con su profesor.

Inicio

Planeación

Entrada de bloque

Desarrollo

Estas páginas se hallan ilustradas con una gran

imagen y un texto breve que describe la relación que

ésta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás

en el bloque. En estas páginas también encontrarás los

Aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos y

habilidades que desarrollarás al realizar las actividades

que se proponen en los temas.

Los temas y subtemas se desarrollan en cuatro etapas:

Al inicio encontrarás una situación, ya sea un proble-

ma, un juego o una actividad, que deberás analizar a

fi n de proponer diversas estrategias de solución.

Preguntas para andar. Este apartado

complementa la situación inicial con preguntas que

te harán refl exionar sobre lo que ya sabes y sobre las

estrategias que diseñaste; al mismo tiempo, los cuestio-

namientos planteados te introducirán en los contenidos

que estudiarás en la secuencia.

Nuestro trabajo. En este apartado encon-

trarás recomendaciones específi cas para hacer un

determinado producto a lo largo del desarrollo de los

temas. También hallarás sugerencias de las formas

en que puedes organizarte —individualmente, en

parejas, en equipo o en grupo— e indicaciones del

material que necesitarás para llevar a cabo el pro-

ducto. En algunos casos se recomiendan fuentes de

información. Los productos que realices a lo largo del

ciclo escolar deberás conservarlos para integrar Tu

archivo de evidencias.

Durante esta etapa, realizarás actividades

individuales y colectivas, que te ayudarán a adquirir

nuevos conocimientos y a desarrollar otras habili-

dades y actitudes.

En diferentes momentos del desarrollo de los

temas encontrarás el apartado ¿Cómo va-

mos?, que te permitirá hacer un alto en el

camino y evaluar tus avances acerca de lo

que has aprendido y del desarrollo del producto.


13

Desarrollo

250

Al trabajar con modelos exponenciales, como los de la secuencia didáctica, con frecuencia tienes que encontrar términos como 28 o 54. Recuerda que el exponente indica el número de veces que se toma la base como factor, por ejemplo:

42 � 4 � 4 28 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2

En algunas calculadoras existe una tecla que indica la operación potencia. Normalmen-te, esta tecla muestra el símbolo ^ o la abreviatura exp. Para encontrar el resultado de 42, teclea 4, ^, posteriormente 2 y, por último, oprime la tecla Intro, Enter o Return.

En una hoja de cálculo también es posible encontrar el resultado de una potencia. Para hacer-lo, en la celda correspondiente debes escribir una fórmula como la que sigue y oprimir Enter:

� 4^2� 2^8

Reúnete con tu compañero para trabajar en su informe.

Tracen una gráfica, en un plano cartesiano, para mostrar cómo aumenta el número de familias que escuchan la noticia sobre el partido cancelado a me-dida que transcurren las horas. ¿Se forma una recta o se forma una curva?

Analicen la tabla, la gráfica y el diagrama de árbol que elaboraron para re-presentar el número de familias que se enteran, cada media hora, del juego cancelado. Escriban una fórmula para describir la relación entre el número de familias que reciben la información (y ) y el tiempo que transcurre (x ).

Imaginen ahora que el director inventa un nuevo plan en el que, cada media hora, avisa al triple de familias que avisó en la media hora anterior. Si supo-nemos que en la primera media hora avisa a tres familias, ¿a cuántas familias avisa en la segunda media hora? ¿Y en la tercera? ¿En cuántas horas logra- rá avisar el director del club a todas las familias? Completa una tabla y elabora una gráfica en las que muestres cuántas familias se enteran de la cancela-ción del partido cada media hora. ¿Es realista este plan? ¿Por qué? ¿Cómo se compara este plan con el original?

¿Y si el director tuviera la manera de avisar, cada media hora, a 10 veces el número de familias con las que se comunicó en la media hora anterior? ¿Cuántas horas tardaría en avisar a todas las familias si suponemos que en la primera hora habla con tres familias? Elabora una tabla, una gráfica y un diagrama para representar estos datos.

¿Cuál de los tres planes del director es mejor? ¿Por qué? Compara las tablas, las gráficas y los diagramas para justificar de manera clara tu respuesta.

¿En qué gráficas se da un crecimiento geométrico y en cuáles representan un crecimiento aritmético?

Si tienen dudas, consulten al profesor.

DesarrolloDesarrolloDesarrollo

169

Con tu equipo lee la siguiente información. Una vez que todos la hayan leído, compá-renla con su conclusión. Discutan en qué se parecen y en qué difieren.

Teorema de Tales. Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas trans-

versales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas (una transversal)

es igual a la razón de sus segmentos correspondientes de la otra (transversal). Es

decir, los segmentos determinados por estas transversales son proporcionales. Y

viceversa, si los segmentos determinados por dos transversales a más de dos rectas

son proporcionales, entonces las rectas son paralelas.

Un grupo de música argentino llamado Les Luthiers tiene una canción que se titula El teorema de Tales (puedes escucharla en: www.youtube.com/watch?v�czzj2C4wdxY). Analiza el siguiente fragmento de la canción y, según las actividades que has realiza-do, ¿qué crees que podría decir la siguiente estrofa?

Si tres o más paralelas,si tres o más parale-le-le-lasson cortadas, son cortadas

por dos transversales, dos transversales.

Comenten con todo el grupo y el profesor el significado de este teorema. Identifiquen las condiciones que se deben dar y la conclusión que se puede obtener.

¿Cómo vamos?

Reúnanse en sus equipos para hacer su juego de mesa.

Decidan cuántas casillas incluirán en su tablero; el número de retos que colocarán (preguntas de contenido, de ejercicios y de aplicaciones de lo estudiado hasta ahora, y que se relacionen con semejanza), y, por último, si habrá premios y penalizaciones dentro de las casillas y cuántos.

Las instrucciones del juego deben incluir cuál será el número de jugadores, cómo se avanzará dentro del tablero, quién ganará y cómo se darán los tur-nos entre los que participen.

Tales nació en la ciudad de Mileto (en la actual Turquía) aproximadamente en 624 a. de C. y murió en 548 a. de C. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia. Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones y, por ello, muchos historiadores lo llaman el padre de las matemáti-cas. Entre sus aportaciones están:

Todo diámetro biseca a la circunferencia.Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales.

Tales de Mileto.

PlaneaciónInicio

294

1.8

Blo

que

4

29

Blo

que

5

Conocimientos y habilidades

5.4. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas de volumen.

Cálculo de volúmenes

Los helados

En una tienda se venden helados en barquillos y en vasos cilíndricos. El barquillo tiene forma de cono, con una altura de 12 cm y un diámetro de 6 cm.

Si el barquillo se llena de helado, ¿cuál será el volumen del helado que tiene dentro? Si además se le agrega una semiesfera de helado de 56 cm 3 de volumen, ¿cuál será el volumen total de helado que tiene el barquillo?¿Qué dimensiones debe tener el envase cilíndrico que contendrá ese mismo volumen de helado si se desea que la altura y el diámetro de este envase tengan la misma medida? Hay que tener en cuenta que el helado quedará compactado dentro del vaso para llenarlo totalmente.

Preguntas para andar

¿Cuáles son las fórmulas para calcular el volumen de un cilindro y de un cono?¿Puede ocurrir que haya cilindros con igual volumen, pero con diferente superficie? ¿Puede ocurrir que haya cilindros con una misma superficie, pero con diferente volumen?¿Qué figura se forma al desdoblar un cono? ¿Y al desdoblar un cilindro? Si conocemos el volumen de un cono y su radio, ¿podemos conocer su altura a partir de estos datos? ¿Será el mismo caso para los cilindros?

Reúnete con un compañero. Para este proyecto, construirán en cartulina dife-

rentes conos y cilindros con un determinado volumen.

Más adelante encontrarán indicaciones respecto de las medidas.

Al fi nal, presentarán sus trabajos y explicarán al grupo el procedimiento que siguieron para construirlos.

SCMPMAT3LA-SEC29.indd 294 7/31/10 6:55:56 AM

91

Desarrollo Cierre

¿Cómo nos fue?

¿Qué es una ecuación no lineal?¿Cómo se resuelve una ecuación no lineal?¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cúbica?¿Qué parte del trabajo te pareció más difícil?¿Qué papel jugaste en tu equipo?¿Podrías haber efectuado el diseño individualmente?¿Tu equipo fue elegido el mejor?

Haz las siguientes actividades.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Indica cada una de sus soluciones.

a) � �109 4x 2

c) ��8x 3

b) � � �1 1 0x x x^ ^h h d) � �2 34xx x3

Haz las siguientes activi

Presentación de nuestro trabajo

Cada equipo deberá presentar al grupo sus cajas, especificando sus medidas y

explicando el uso que se asignó a cada una.

¿Son iguales las cajas de todos los equipos?¿Varían en cuanto a color y tamaño? ¿Por qué?¿Se les asignaron los mismos usos? ¿Por qué?Encuentren si algún equipo tuvo errores al diseñar sus cajas, comenten en grupo cuáles fueron y su posible corrección.Realicen la exposición de sus cajas y elijan entre todos al equipo que encontró mejores usos para ellas.

Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

Existen varios métodos para solucionar ecuaciones no lineales, en esta ocasión uti-lizaste procedimientos que tú mismo razonaste para desarrollarlas; más adelante aprenderás otros métodos de solución.

En la actualidad el sobrepeso y la obesidad se consideran enfermedades. Por eso, es necesario mantener nuestro peso normal. El Índice de Masa Corporal (IMC) y la medida de la cintura son útiles para saber si estamos dentro de lo normal. El IMC se calcula con la relación de Quetelec: Índice de Masa Corporal = Peso (kg)/Estatura2 (m). ¿Qué estatura tiene una persona con un IMC de 27 kg/m2 y un peso de 75 kg? ¿Tiene la enfermedad del sobrepeso?

Visita los sitios del Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) en Internet para verificar tus respuestas. Ahí encontrarás una tabla del Índice de Masa Corporal y una calculadora para obtenerlo.

http://www.imss.gob.mx/Tulugar/salud/consejos_salud_2a.htmwww.imss.gob.mx/nr/imss/calculadora/index.htm.webloc

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En la actualidad el sobrepesonuestro peso normal. El Índiestamos dentro de lo normal. El IMC se calcula con la relación de Quetelec: Índice de Mde Masa Corporaporal = Peso (kg)/Estatura2 (m). ¿Qué estatura tiene una persona con un IMC de 27 kg/m2 y un pn peso de 75 k5 kg? ¿Tiene laenfermedad del sobrepeso?

Visita los sitios del Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) en Internett p para verificar ar tus respuestas. Ahíí encontrarás una tabla del Índice de Masa Corporal y una calculadora parpara obtenerlo.o.

tp://www.imss.gob.mx/Tulugar/salud/consejos_salud_2a.htmww.imss.gob.mx/nr/imss/calculadora/index.htm.webloc

delos exponenciales, como los de la secuencia didácáctica, con frefrecuencia tienes qencontrar términos como 28 o 54. Recuerda que el exponente indica elel número dede veces que se tomama labase como factor, por ejemplo:

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En algunas calculadoras existe una tecla que inindica la opeperación potencia. NNormalmen-te, esta tecla muestra el símbolo ^ o la abreveviatura exp. . Para encontrar el resultado de 42, teclea 4, ^, posteriormente 2 y, por últimmo, oprime llaa tecla Intro, Enterer o r Return.

En una hoja de cálculo también es posible eencontrar el reresultado de una pototencia. Para hacelo, en la celda correspondiente debes escrcribir una fórmrmula como la que sigigue y oprimir Enteter

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Al trabajar con modelos exponenciales, como los de la secuencia didáctica, con frecuencia tienes que encontrar términos como 28 o 54. Recuerda que el exponente indica el número de veces que se toma la base como factor, por ejemplo:

42 � 4 � 4 28 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2

En algunas calculadoras existe una tecla que indica la operación potencia. Normalmen-te, esta tecla muestra el símbolo ^ o la abreviatura exp. Para encontrar el resultado de 42, teclea 4, ^, posteriormente 2 y, por último, oprime la tecla Intro, Enter o Return.

En una hoja de cálculo también es posible encontrar el resultado de una potencia. Para hacer-lo, en la celda correspondiente debes escribir una fórmula como la que sigue y oprimir Enter:

� 4^2� 2^8

R ú t t ñ t b j i f

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Tales nació en la ciudad de Mileto (en la actual Turquía) aproximadamente en 624 a. de C. y murió en 548 a. de C. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia. Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones y, por ello, muchos historiadores lo llaman el padre de las matemáti-cas. Entre sus aportaciones están:

Todo diámetro biseca a la circunferencia.Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales.

Tales de Mileto.

b) � � � d) � 34x

En la actualidad el sobrepeso y la obesidad se consideran enfermedades. Por eso, es necesario mantener nuestro peso normal. El Índice de Masa Corporal (IMC) y la medida de la cintura son útiles para saber si estamos dentro de lo normal. El IMC se calcula con la relación de Quetelec: Índice de Masa Corporal = Peso (kg)/Estatura2 (m). ¿Qué estatura tiene una persona con un IMC de 27 kg/m2 y un peso de 75 kg? ¿Tiene la enfermedad del sobrepeso?

Visita los sitios del Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) en Internet para verificar tus respuestas. Ahí encontrarás una tabla del Índice de Masa Corporal y una calculadora para obtenerlo.

http://www.imss.gob.mx/Tulugar/salud/consejos_salud_2a.htmwww.imss.gob.mx/nr/imss/calculadora/index.htm.webloc

De igual forma, a lo largo del desarrollo, encontrarás diversos apar-

tados que te ayudarán a establecer la relación de las matemáticas

con otras asignaturas.

Datos a la mano. Este apartado te ofrece datos

interesantes, por lo general numéricos, vinculados con los

contenidos tratados. La información que contiene te ayu-

dará a relacionar lo que aprendiste con otros contenidos

de matemáticas que has trabajado antes y con los de

otras asignaturas.

Historias de vida. Estos recuadros que

aparecen en el libro contienen relatos sobre per-

sonas y acontecimientos o referencias históricas

asociados con el contenido de las actividades.

Espacio tecnológico. En este apartado te

recomendamos actividades complementarias a las que

realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el

uso de recursos tecnológicos: Internet, calculadora, hoja

de cálculo, entre otros.


14

Desarrollo

46

La relación entre ángulos

Realiza la actividad de manera individual.

Construye un círculo y marca cuatro puntos: A, B, C y D. Conecta los pun-tos con segmentos, como se muestra en la primera figura de la izquierda, y contesta en el cuaderno.

Mide los ángulos ABD y ACD. ¿Qué observas?Mide los ángulos BAC y BDC. ¿Qué observas?Repite los pasos anteriores en otro círculo, como se muestra en la se-gunda figura, y mide nuevamente los ángulos. ¿Vuelves a llegar a la misma conclusión?¿En dónde están ubicados los vértices de los ángulos ABD, ACD, BDC y BAC? Entonces, ¿cómo se llaman estos ángulos?Con líneas punteadas, traza los segmentos AO y OD.¿Cómo se llama el ángulo AOD? Mídelo. ¿Qué relación tiene este ángulo con los ángulos ABD y ACD?¿Cuál es la relación que existe entre los ángulos ABD y ACD? ¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes?¿En que se parecen los ángulos ABD, ACD y AOD?¿De qué manera puedes demostrar algebraicamente lo que has com-probado numéricamente?

Verifica tus respuestas con tus compañeros. En caso de diferencias consul-

ten al profesor.

Realiza las siguientes actividades.

1. Si el ángulo ADB mide 26º, ¿cuánto miden los án-

gulos ACB y AOB?

2. Si el ángulo ABC mide 45º, ¿cuánto mide el ángu-

lo AOC?

¿Cómo vamos?

Cuando hagan su presentación al grupo, demuestren algebraicamente la relación que existe entre dos ángulos inscritos que abarcan el mismo arco en una circunferencia.

O

A

B

C

D

A

B

C

D

O

A

B

C

O

D

A

B

CO

46

Realiiza a las sigguientes activiividades.

1. Si el ál ángngulo ADDB mide 2e 26º, ¿, ¿cuánto miden los ánB -

gulos ACACBB yy B AOBB??

2. Si el ángulo ABC mide 45º, ¿cuánto mide el ánguC -

lo AOC? CC

Realalizaza las sigiguienteses ac

A

B

C

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D

A

B

CORealiza las siguientes actividades.

1. Si el ángulo ADB mide 26º, ¿cuánto miden los án-

gulos ACB y AOB?

2. Si el ángulo ABC mide 45º, ¿cuánto mide el ángu-

lo AOC?

Realiza las siguientes ac

A

B

C

O

D

A

B

CO

Desarrollo

52 53

¿Qué sucede si la cuerda es más larga que el lado del corral?

Calcula el área de la superficie en que puede pastar la vaca si la cuerda que la ata mide 16 metros y la longitud de cada lado del corral mide solamente 14

metros.

¿Qué sucede si la granja no es cuadrada sino hexagonal, octagonal o triangular? Encuentra el área de la superficie en la que puede pastar la vaca si la cuerda que la ata tiene la misma longitud que uno de los lados de la granja y cada lado de la granja mide 14 metros.

Comparte tus estrategias y respuestas con los demás compañeros.

Presentación de nuestro trabajo

Por equipos, presenten al grupo y al profesor los planos y cálculos que hicieron

para diseñar su pista de atletismo.

Conserven su trabajo e intégrenlo en su archivo de evidencias.

Desarrollo

¿Cómo vamos?

Para su proyecto, primero calculen lo siguiente: si la pista de atletismo sólo tuviera un carril con una longitud total de 400 metros y quieren que los tra-mos rectos midan 100 metros, ¿cuál sería la longitud de cada tramo curvo cercano a la cancha de futbol? Para lograr esa distancia, ¿cuál debería ser el radio de esos semicírculos?Consideren que el ancho del carril es de 1.22 metros, de modo que también tienen que calcular el radio de los semicírculos que forman el borde derecho o exterior de la pista (las carreras se llevan a cabo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj). ¿Cuál va a ser la longitud de arco del borde derecho o exterior de las secciones curvas de la pista?Al agregar un segundo carril a la pista, ¿qué deben tomar en cuenta para calcular el radio y la longitud de arco del borde derecho o exterior de ese segundo carril? ¿Qué tanto varió la longitud de arco del segundo carril con respecto del primero? ¿Cuál de los bordes del carril eligieron para calcular esa diferencia?Investiguen en Internet cuáles son las reglas oficiales para el dise-ño de una pista de atletismo y cómo se mide su longitud total. ¿Eligen el borde izquierdo o derecho del carril? ¿O eligen algún otro punto del ancho del carril? Si los carriles son de diferente longitud, ¿qué se debe hacer para que todos los atletas corran la misma distancia, por ejemplo, 400 metros? Para completar su proyecto, agreguen más carriles hasta que tengan un total de seis. Indiquen los puntos de salida de cada carril para una competencia de 400 metros.

Cierre

Área: Área:

¿Cómo nos fue?

¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades propuestas? ¿Cómo la resolviste?Menciona tres situaciones en donde tengas que calcular la longitud de arco, el área de un sector circular y el área de una corona.

Área:

Granja escolar

En una granja escolar, hay un corral de forma cuadrada (AEFC) cuyos lados miden 14 metros. También hay una vaca amarrada en una de las esquinas.

Si la cuerda mide 8 metros de longitud y la vaca está amarrada en el punto A, como se muestra en la figura de la izquierda, ¿cuál es el área de la

superficie en que puede pastar?

Área de pasto = 1.12 ha

100 m

400 m pista

F

E

C

B

DA

FK

NA E

C

M

L

305

Taller deMatemáticas

304 305305

Generalización

Generalizar es, entre otra cosas, descubrir regularidades, identificar patrones y des-cribir la manera como están ordenados los elementos de una serie. Asimismo, la capacidad de generalizar consiste en nombrar cualquier elemento de una sucesión ordenada sin tener que observarlo.

Los patrones o sucesiones están presentes en diversos ámbitos de la vida, desde las creaciones humanas, como el arte y la ciencia, hasta la disposición de elementos en la Naturaleza donde muchos fenómenos se rigen por patrones controlados por diver-sas circunstancias, como la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que sigue un patrón de traslación determinado por la fuerza de atracción que ejerce la estrella sobre el pla-neta. Debido a que la Naturaleza se rige por múltiples patrones, los científicos pueden predecir con exactitud fechas de fenómenos tales como los eclipses.

Desarrollar la habilidad de generalizar te permitirá anticipar resultados en áreas como el álgebra y la geometría. El alumno que lo logra puede hacer deducciones y conclu-siones con mayor eficiencia.

La habilidad de generalizar requiere un esfuerzo sostenido, gradual y permanente. Por lo anterior, en este taller te proponemos realizar diversas actividades graduales cuyos propósitos fundamentales son dos: identificar el patrón que rige una sucesión y establecer la expresión algebraica que identifica a ese patrón. Comenzaremos con ejercicios de sucesiones figurativas para continuar con las sucesiones numéricas. En las primeras es conveniente que trates de contestar sin dibujar las figuras, aunque después puedes hacerlo para comprobar tus respuestas.

Sucesiones con figuras

Trabaja con un compañero para realizar la actividad.

¿Cuántos cuadrados pequeños tendrá la figura que continúa la sucesión?

Observen lo siguiente:En la primera figura solamente hay un cuadrado.En la segunda hay cuatro cuadrados pequeños y uno más grande formado por cuatro pequeños.En la tercera, hay nueve cuadrados pequeños: cuatro cuadrados formados por cuatro cuadrados pequeños y uno más grande.

Observen la figura 4 y contesten:

¿Cuántos cuadrados pequeños tiene?

¿Cuántos cuadrados formados por cuatro pequeños tiene?

¿Y cuántos formados por nueve cuadrados pequeños?

Imaginen la figura 5 que continúa la sucesión. ¿Cuántos cuadrados de cada ta-maño tendrá?Completen la tabla para contestar más fácilmente.

Cuadrados formados por el número de cuadrados pequeños

De 1 De 4 De 9 De 16 De 25 De 36 Total de cuadrados

Figura 1 1 1

Figura 2 4 1 5

Figura 3 9 4 1

Figura 4 16

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Tracen las figuras en sus cuadernos para verificar sus respuestas y coméntenlas con el resto de sus compañeros en grupo para validar sus estrategias y resultados.

Organizar los datos de una sucesión en una tabla permite, por ejemplo, reconocer con mayor facilidad la regla o patrón con que se forma la sucesión.

Ahora haz equipo con dos compañeros.

Observen las sucesiones de figuras hechas con palillos.

Consideren que para hacer un triángulo se requieren 3 palillos; para hacer dos triángulos, 5 palillos; tres triángulos, 7 palillos; cuatro triángulos, 9, y cinco triángulos, 11.

¿Cuántos palillos son necesarios para que en la figura haya 25 triángulos?

¿Y para formar 150 triángulos?

¿Y para que la sucesión tenga 500 triángulos?

¿Y si se desea que tenga n triángulos?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Tareas. En este apartado te proponemos

diferentes actividades para que ejercites tus

habilidades, desarrolles nuevas estrategias y

refuerces los procedimientos de resolución de

problemas que trabajaste en la secuencia.

En esta última etapa presentarás a tus compañeros

y profesor el resultado de tu producto mediante una

exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo

o una construcción geométrica, etcétera.

En el apartado Presentación de nuestro trabajo

encontrarás recomendaciones para compartir los

resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar

lo que aprendiste, el resultado de tu producto, las

difi cultades a que te enfrentaste y la forma en que

las resolviste, tanto en lo individual como en lo

colectivo, el apartado ¿Cómo nos fue? te ofrece una

útil guía.

Al fi nal de cada bloque se incluyó la sección

Taller de Matemáticas con actividades que te

ayudarán a desarrollar habilidades como

calcular, medir, imaginar, comunicar,

estimar, deducir, formular hipótesis,

generalizar, entre otras.

En esta última etapa presentará

y profesor el resultado de tu pro

Cierre

Al fi nal de cada bloque se incluyó la sección

T ll d M t áti ti id d t

Taller de Matemáticas


15

Ponte a prueba

266 267

En cada paso se divide el cuadrado en partes iguales de forma vertical y después de forma horizontal, excepto la última parte vertical.

i) ¿Cuál será la expresión con la que se obtiene el número de piezas en cada etapa

3. En enero de 2007, Carmen y Lupita comenzaron a ahorrar en diferentes bancos. Carmen depositó $10 000 en una cuenta de ahorro en el Banco Todito, que le ofreció un rendimiento anual de 3%. Lupita abrió su cuenta con $12 000 en el Banco Mansito, cuyo rendimiento anual es de 2.5%.

i) ¿Cuánto dinero tenía ahorrado cada una al llegar el mes de enero de este año?

4. Observa la gráfi ca que representa el ahorro de cada una a lo largo de los años.

i) ¿En qué año los ahorros de Carmen serán iguales que los ahorros de Lupita?

Lee las siguientes situaciones y realiza lo que se te pide.

1. Se necesita cambiar un foco que se encuentra en un muro vertical a 7.5 metros del piso; para ello, se dispone de una escalera de 6 metros de longitud.

i) ¿La escalera servirá para cambiar el foco?

Sí ( ) No ( )

ii) En caso afi rmativo, ¿a qué distancia de la pared habría que apoyar la escalera para cambiar el foco? En

caso negativo, ¿de qué longitud debería ser la escalera?

iii) Justifi ca con una fi gura, cálculos y explicaciones tus respuestas a los dos incisos anteriores. A

continuación se te proporciona un esquema de la situación planteada.

2. Observa la siguiente secuencia.

7.5 m

A

6 m

2 3 4

Años

Pes

os

Carmen

Lupita

29000

27000

25000

23000

21000

19000

17000

15000

13000

11000

9000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Ahorro de Carmen y Lupita

SCMPMAT3LA-EVL04.indd 266-267 2/13/11 10:20 PM

312

Tu archivo de evidencias

313

A lo largo del libro te solicitamos que guardes diversos productos en tu archivo de evi-dencias. A continuación te describiremos los propósitos de este instrumento y cómo contribuirá a mejorar tu formación académica.

¿Qué es una evidencia?

Una evidencia es un conjunto de objetos o elementos tangibles con los que podemos demostrar que se ha adquirido, de manera satisfactoria, un aprendizaje o una com-petencia. Existen dos tipos de evidencias:

Evidencia de conocimiento: implica tener el conocimiento de lo que se tiene que hacer, cómo se debe hacer y por qué. Evalúa el conocimiento teórico y las habili-dades relacionadas con éste. Evidencia de desempeño: es el comportamiento en ciertas circunstancias, de

modo que se pueda identificar si se resuelven situaciones para las que se requie-ra el conocimiento adquirido.

Al estar trabajando competencias, éstas pueden desarrollarse a un mayor grado que el nivel requerido por las evidencias.

¿Para qué hacer un archivo de evidencias

a lo largo del curso?

La intención de guardar evidencias durante el curso es que te permitan observar tu progreso en diversos aspectos de tu formación académica: el poder expresar matemá-ticamente algunas situaciones que se presentan en el día a día, conocer técnicas para reconocer, plantear y resolver problemas, y poder tener una actitud crítica al estudiar la asignatura, colaborando también con tus compañeros de clase.

Por otro lado, esta colección te será de utilidad para evaluar tu desarrollo de las distin-tas competencias, ya que documentan tu experiencia durante el proceso de aprendi-zaje y el progreso alcanzado en diferentes aspectos, como el uso de la argumentación para sustentar ideas.

Asimismo, la revisión guiada de los documentos y trabajos que integran tu archivo de evidencias es un valioso instrumento que te orientará en el desarrollo de estrategias, y te permitirá ver cómo se construyeron los conocimientos y se desplegaron habili-dades; así como el desarrollo de tu autonomía, aspectos indispensables para seguir aprendiendo.

¿Cómo elaboro mi archivo de evidencias?

Al haber muchos productos que realizas en equipo o por parejas, se recomienda tener un archivo de evidencias del salón y uno individual.

El archivo del salón incluirá todos los productos realizados. Junto con su profesor, or-ganicen los distintos trabajos teniendo en consideración qué son (maquetas, láminas, documentos, etc.) y el espacio que tienen disponible en su salón.

Pueden organizarlos por eje temático en cajas o en algún librero, dependiendo del espacio que necesiten para ellos y del que haya en el salón, pero siempre procuran-do que sea fácil ubicar dónde están en caso de que necesiten utilizarlos durante el ciclo escolar. También se recomienda que etiqueten cada producto especifi cando la secuencia a la que corresponde y los nombres de todos los integrantes del equipo que participaron.

En el caso del archivo individual, deberás guardar en un fólder una hoja, por cada producto, que contenga una tabla como la siguiente:

Archivo de evidencias de Matemáticas 3

Nombre: Fecha:

Integrantes del equipo: Secuencia: Bimestre:

Contenidos del programa relacionados

Eje temático

Evidencias esperadas

Evidencias obtenidas

Relación con evidencias anteriores

Relación con otros ejes temáticos

¿Se logró el aprendizaje esperado? No No del todo Sí

¿Qué falta para que se logre ese aprendizaje?

Las secciones Relación con otros ejes temáticos y ¿Se logró el aprendizaje espera-do?, tienen respuestas que variarán conforme avance el año escolar. Al analizar los productos posteriores, puedes encontrar nuevas relaciones con los distintos ejes y aclarar las dudas que ocasionaban que tu comprensión de los contenidos no fuera la esperada.

Al fi nal de cada bimestre, deberás realizar un análisis de todas las evidencias de tu archivo. ¿Cómo se relacionan entre ellas? ¿Qué relación tienen con las de los otros bloques? ¿Qué conocimientos quedaron confusos o faltan y qué puedes hacer al res-pecto? ¿Cómo se relacionan las matemáticas con tus actividades diarias?

Recuerda que cuanto más ordenado y claro sea tu archivo de evidencias, más fácil será consultarlo.

¿Cuándo reviso mi archivo de evidencias?

La revisión de los productos deberá ser una tarea periódica: al fi nal de cada bimestre, a mediados del curso y al fi nal del año escolar, así detectarás tus avances y defi cien-cias en el desarrollo de tus habilidades y construcción de conocimientos. Esto será un punto de partida para que refl exiones en torno a tus aprendizajes, tu rendimiento académico, la forma como realizas procesos, la formación y perfeccionamiento de tus habilidades y actitudes, y para que establezcas estrategias para continuar con el desarrollo de competencias.

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Infografía

Al fi nal de cada bloque encontrarás una doble página

con fotografías e imágenes atractivas en las que se

aborda un tema de interés general, ya sea de música,

de arquitectura, de deportes o de ciencias, en cuya

explicación hallarás contenidos matemáticos que

trabajaste en el bloque. Revísala bien porque te

puede dar ideas de cómo organizar información

para una presentación o un cartel.

En esta sección encontrarás una evaluación

escrita en la que se plantean situaciones para

que puedas poner en práctica tus conocimientos,

habilidades y actitudes.

Al fi nal de la obra encontrarás recomendaciones para

conformar tu archivo de evidencias con

los productos que elaboraste durante

el desarrollo de las secuencias. Este

archivo te permitirá observar tus

avances a lo largo del ciclo escolar y

evaluar tu desempeño.

En esta sección encontrarás una evaluación

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Ponte a Prueba

Al fi nal de la obra encontrarás recomendaciones para

conformar tu archivo de evidencias con

Tu archivo de evidencias

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La rueda de la fortuna es una atracción de los parques de diversiones y ferias. Se trata de una rueda colocada de manera vertical, con cabinas o canastillas para pasajeros. La rueda gira sobre su propio eje, y permite que los pasajeros suban y bajen.

Corona circular

Diámetro

Radio

Diámetro

Radio

Singapore FlyerLa rueda mirador, inagurada en febrero de 2008, es la más alta del mundo. Su diámetro es de 150 m y ofrece una vista panorámica de hasta 45 kilómetros de distancia. Dejará de ser la más grande con la inauguración de la Gran Rueda de Pekín, programada para el 2010.

7 m

4 m

7 m

Ventanas que minimizanel paso del calor.

La geometría de la rueda

El ingeniero estadounidense George Washington Gale Ferris diseñó y construyó una rueda mirador de acero para la Exposición Mundial de Chicago de 1893, basada en la estructura de las ruedas de bicicleta. Su diámetro era de 76.2 m y su circunferencia de 239.38 m. Ha habido ruedas más grandes, pero ninguna ha igualado la capacidad de la Ferris. Contaba con 36 cabinas de madera con una capacidad de 60 personas cada una.

Rueda de la fortuna o rueda miradorLas ruedas de la fortuna son pequeñas y tienen canastillas o góndolas para los pasajeros. Las ruedas mirador son construcciones mayores que giran a menor velocidad y tienen cabinas cerradas, lo que permite que suban más pasajeros.

1

2

3

ArmadoUn tipo de armado de rueda es el siguiente:

Se construyen la base y los soportes primarios que se utilizarán para colocar

las secciones de la rueda.

Se agregan pilares adicionales de soporte y se construye la rueda sección por sección.

El proceso se repite hasta completar la rueda y una vez hecho esto, los soportes primarios y adicionales se eliminan y dejan la corona unida al centro por cables.

Las ruedas más grandes Empire State, Nueva York 320 m

Rueda Ferris 1893Altura total 80.47 mPasajeros 2 160Duración de giro 20 min

Ojo de Londres 1999Altura total 135.02 mPasajeros 800Duración de giro 3O min

Singapore Flyer 2008Altura total 165 mPasajeros 784Duración de giro 37 min

Gran Rueda de Pekín 2010Altura total 207.87 mPasajeros 1 920Duración de giro 30 min

El éxito de la rueda Ojo de Londres provocó una demanda de ruedas mirador y, así como sucedió con los rascacielos, comenzó la competencia por construir la más grande.

Foto

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Rueda Ferris, 1893.

La rueda mirador, 2008.

Info

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Tú y las Matemáticas

16

¿Por qué estudiar matemáticas?

Adonde quiera que voltees están pre-sentes las matemáticas: forman parte de múltiples actividades en las que estamos involucrados los seres hu-manos y, a veces, ni nos imaginamos que para llevarlas a buen término se requiere su apoyo. Con las matemáti-cas medimos, contamos, compramos, vendemos y jugamos; sumamos, di-vidimos, calculamos; exploramos el espacio exterior y nos internamos en las profundidades del mar. ¿Y tú, para qué las usas? Esta ciencia ha hecho posible que algunos hayan cambiado la historia, por esto ocupan un lugar prominente en la memoria de la hu-manidad. Tan sólo piensa que el de-sarrollo de la computadora y de los videojuegos fue posible gracias a las matemáticas. El gran matemático alemán Carl Gauss decía: “Las matemáticas son la reina de las ciencias”. ¿Por qué consideras que grandes ma-temáticos piensan asi?

Si les preguntáramos a todos los matemáticos del pasado por qué se interesaron en las matemáticas, nos darían muchas razones por las que éstas los cautivaron y apasionaron. Por ejemplo, el gran fi lósofo griego Platón decía: “La forma más pura del pensamiento son las matemáticas”. Y otro gran griego, Euclides, decía: “Las leyes de la Naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios”. ¿Qué piensas de ello?

Cientos de años después de Platón y de Euclides, el fi lósofo y matemático francés René Descartes dijo: “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. En los días de Descartes, el matemático in-glés Isaac Barrow, quien fue profesor de otro ilustrísimo matemático, Isaac Newton, escribió: “Las matemáticas son el fundamento inamovible de las ciencias y una fuente inacabable de vanguardia en los asuntos de la humanidad”. Comenta en equipo lo que has leído. ¿Qué puedes concluir? ¿Crees que las matemáticas están re-lacionadas con otras ciencias?

El Viajero 1 visitó los planetas Júpiter y Saturno. El

éxito de la misión requirió cálculos matemáticos

precisos que tomaron ventaja de la alineación

de estos planetas con Urano y Neptuno, algo que

ocurre solamente cada 175 años.

La revista Times nombró al matemático inglés Alan Turing entre

los cien personajes más infl uyentes del siglo XX. La placa que

conmemora el lugar donde vivió dice: “Alan Turing (1912-1954).

Fundador de la Ciencia de la Computación y criptógrafo, cuyo

trabajo fue fundamental en romper los códigos de guerra Enigma,

vivió y murió aquí”.


MatemáticasMaría Trigueros Gaisman

María Dolores Lozano SuárezMónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval CáceresEmanuel Jinich Charney

Mercedes Cortés Lascurain

Mat

emát

icas

3

En la actualidad, enseñar Matemáticas signifi ca propiciar que el estudiante desarrolle una forma de pensamiento que le permita interpretar y comunicar

matemáticamente situaciones cotidianas, para lo cual necesita reconocer, plantear y resolver problemas.

Con ese propósito, en este libro se proponen actividades interesantes que propician un aprendizaje

signifi cativo, alejado de la mera enumeración de conceptos y la resolución mecánica de ejercicios.

Se usa un lenguaje claro y sencillo con la amplitud y el fundamento necesarios para que los alumnos

lo comprendan. El trabajo colaborativo y crítico que se refuerza a lo largo de las actividades permitirá

que los estudiantes compartan sus ideas, formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, a fi n de que tomen las decisiones más adecuadas para cada situación.

Prtd Matemáticas 3 Hz CS4.indd 1Prtd Matemáticas 3 Hz CS4.indd 1 4/15/11 6:02 PM4/15/11 6:02 PM

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Matemáticas - Foro Secundaria SEP · Presentación Al maestro Con el estudio de las matemáticas se busca que los jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expre-