Matemáticas i

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

MATEMTICAS I

GUA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLODE COMPETENCIAS

PRIMER SEMESTRE

AGOSTO 2014

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FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRIDGobernador del Estado de Baja California

MARA DEL ROSARIO RODRGUEZ RUBIOSecretaria de Educacin y Bienestar Social y Directora General del ISEP del Estado de Baja California

MARCO ANTONIO ESPONDA GAXIOLASubsecretario de Educacin Media Superior, Superior, Formacin Docente y Evaluacin

ARCELIA GALARZA VILLARINODirectora General del CBBC

IVN LPEZ BEZDirector de Planeacin Acadmica del CBBC

MATEMTICAS I

Primera edicin, agosto de 2013

Diseado por: Lic. Norman Edilberto Rivera Pazos Lic. Ada Palafox Hinostroza Lic. Gastn Santos CabreraActualizado por: Lic. Gastn Santos Cabrera Ing. Mara Estela Buenrostro Medina Prof. Mara Lorena Mariscal Bobadilla Ing. Bertha Varela Gutirrez

Segunda edicin, agosto de 2014

Actualizado por: Arq. Juan Ramn Islas Sambrano Ing. Bertha Varela Gutirrez Ing. Javier Enrique Borja Barrn

En la realizacin del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa Lpez Prez

EDICIN, AGOSTO DE 2014 Gerardo Enrquez Niebla Diana Castillo Cecea

La presente edicin es propiedad delColegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra.

Este material fue elaborado bajo la coordinacin y supervisin de laDireccin de Planeacin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Blvd. Anhuac #936, Centro Cvico, Mexicali, B.C., Mxico.www.cobachbc.edu.mx

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NDICE

PRESENTACIN

COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE LAS MATEMTICAS

EXAMEN DIAGNSTICO

BLOQUE I: RESUELVES PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS....2

BLOQUE II: UTILIZAS MAGNITUDES Y NMEROS REALES................11

BLOQUE III: REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NMEROS.........22

BLOQUE IV: REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I.......28

BLOQUE V: REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II.......38

BLOQUE VI: RESUELVES ECUACIONES LINEALES I .............................44

BLOQUE VII: RESUELVES ECUACIONES LINEALES II........................52

BLOQUE VIII: RESUELVES ECUACIONES LINEALES IIII.....................63

BLOQUE IX: RESUELVES ECUACIONES CUADRTICAS I.....................69

BLOQUE X: RESUELVES ECUACIONES CUADRTICAS II ................76

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PRESENTACIN

En el marco de la Reforma Integral de la Educacin Media Superior, Colegio de Bachilleres del

Estado de Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el

bachiller, poniendo a disposicin del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollar

conocimientos, habilidades, actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo globalizado,

vertiginoso, competitivo y complejo. Por tanto, es importante que el proceso educativo implemente estrategias

que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde el estudiante

con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar, movilizar y transferir las competencias adquiridas.

En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a

una bibliografa adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socio-econmico actual, el CBBC brinda

la oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didcticos para el ptimo desarrollo de los

programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar

que, dichos materiales son producto de la participacin de docentes de la Institucin, en los cuales han

manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formacin de los jvenes bachilleres.

Los materiales didcticos se dividen en dos modalidades: Gua de Actividades del Alumno para

el Desarrollo de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formacin Bsica

y Propedutica, y Gua de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formacin para

el Trabajo. Cabe sealar que, los materiales se encuentran en un proceso permanente de revisin y

actualizacin por parte de los diferentes equipos docentes as como del equipo editorial. Las guas se pueden

consultar en la pgina Web del CBBC: www.cobachbc.edu.mx en la seccin alumnos / material didctico.

Es necesario, hacer nfasis que la gua no debe ser tomada como la nica herramienta de

trabajo y fuente de investigacin, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un

trabajo de consulta en otras fuentes bibliogrficas impresas y electrnicas, material audiovisual,

pginas Web, bases de datos, entre otros recursos didcticos que apoyen su formacin y aprendizaje.

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COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desem-pear, y les permitirn a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en l), contar con herramientas bsicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus mbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares bsicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se autodetermina y cuida de s

1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

Piensa crtica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva.

Aprende de forma autnoma

7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico y el mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales.11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones responsables.

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COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE MATEMTICAS

Las competencias disciplinares de Matemticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensa-miento lgico y crtico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.

Las competencias reconocen que a la solucin de cada tipo de problema matemtico corresponden dife-rentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estu-diantes deben poder razonar matemticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repeticin de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina ms all del saln de clases. Las competencias propuestas a continuacin buscan for-mar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemticamente. 1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos,

algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o vari-acionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o es-timar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIAREUNIN DE ACADEMIA ESTATAL DE MATEMTICAS I

EXAMEN DIAGNSTICOGrupo: __________

Nombre(s):_______________________________________________________________Fecha:____/_____/____

Instrucciones: Responde correctamente lo que se te pide a continuacin.

1.Elige la opcin correcta del siguiente ejercicio:

El resultado de eliminar los signos de agrupacin en 5{10-3 [2-(6- 7)]}

A) 5 {10-3[2+1]} B) 5 {10-3[2+1]}

5 {10-8} 5 {10-9}

10 5

C) 5 {10-3[2+1]} D) 5 {10-3[2-1]}

5 {10-9} 5 {10-3}

5 35

2.Javier sale de su casa con $125 y gasta 3/5 en el cine y 4/15 en palomitas. Cul es la opcin correcta que repre-senta la fraccin del total que ha gastado?

A) B) C) D)

3.En la compra de cuatro libretas pagars $84, pero te descuentan el 25%. Cul es la opcin correcta que repre-senta la cantidad que corresponde al descuento?

A) $20 B) $21 C) $31 D) $25

4.Juan paga $20 por 4m3 de agua, si consumi 10m3 en un da, elige la opcin correcta que determina el monto a pagar?

A) 50 B) 60 C) 40 D) 55

5.Un granjero necesita un bulto de alimento cada quince das para alimentar a 25 pollos. Selecciona la opcin cor-recta que indica los das que le durar el mismo bulto si aumenta el nmero de pollos a 45.

A) 11.5 B) 8.33 C) 10.33 D) 7

6.En un terreno rectangular la longitud est expresada como x+9 y la anchura como x+3, cul es el procedimiento para calcular el rea del terreno?

A) (x+9)(x+3)= x2 +12 B) x+9)(x+3)= x2 +12x +27 C) (x+9)(x+3)=x2+12x+12 C) (x+9)(x+3)=x2+27

7.La cisterna de la escuela tiene una forma cbica cuyas dimensiones se muestran en la figura. Cul es la opcin correcta que representa la expresin algebraica del volumen de la cisterna?

A) X3+3x2y+3xy2 + y3 B) X2+3x2y+3xy2 + y2 C) X3+3xy+3xy + y3 D) X3+3x2y+3xy3 + y3

1310

910

215

1315

944 11 33

995

5 66

77 88

22

+ - = / %

8.A partir de la siguiente figura, que representa el rea de una recamara (a2) y el espacio que utiliza la computadora (b2), cul es la opcin que representa la expresin algebraica del rea restante?

A) A= a2 b2 B) A=a2 b3 A= (a b)(a b) A=(a+b)(a b) C) A= a2 b2 D) A= a2 b2 A= (a+b)(a+b) A= (a+b)(a b)

9. Elige el procedimiento correcto que representa la solucin de la ecuacin cuadrtica por el mtodo de factorizacin. X2 + x 20 = 0

A)(x+5)(x+4)=0 B)(x+5)(x-4)=0 C)(x+20)(x+1)=0 D)(x+5)(x+4)=0 X1=-5 X1=-5 X1=-20 X1=-5 X2= -4 X2= 4 X2= -1 X2= 4

Observa la siguiente grfica y contesta lo que se te pide a continuacin:

10. Cul es la respuesta correcta que representa los valores de x1 y x2 en la grfica anterior? A) x1= 1 B) x1= -1 C) x1= -1 D) x1= 2 x2=1 x2=-1 x2=1 x2=1

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2

+ - = / %

9

BLOQUE I

RESUELVES PROBLEMAS ARITMTICOS Y ALGEBRAICOS

244 11 3399

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+ - = / %


En la vida cotidiana el uso de nmeros reales tienen muchas aplicaciones, por ejemplo el uso de los nmeros fraccionarios y nmeros decimales que son muy utilizados por los carpinteros para manejar mediciones ms exactas; el manejo de nmeros enteros que nos permite entender el mundo ms amplio: el conteo de los meses del ao, los das de la semana, etc.

La importancia de las matemticas en este contexto te permitir enfrentarte con herramientas bsicas para que puedas plantear expresiones aritmticas y algebraicas en la resolucin de situaciones cotidianas y construir tus propios aprendizajes, partiendo de algunos elementos conocidos, pero incorporando nuevos conocimientos para que lo puedas poner en prctica.

En el presente bloque se trabajar con actividades de aprendizaje en las que utilizars nmeros positivos, decimales, enteros, fraccionarios y expresiones algebraicas, clculos de porcentajes, jerarquizaciones de operacio-nes y adems obtendrs el valor numrico de una expresin algebraica con el uso de lenguaje algebraico, utilizando la calculadora como instrumento de exploracin y verificacin de resultados, as como la resolucin de problemas de la vida cotidiana.

Desempeos a demostrar:

Identifica formas diferentes de representar nmeros positivos, decimales en distintas formas (enteros, fraccio-nes, porcentajes) y de los dems nmeros reales.

Jerarquiza operaciones numricas al realizarlas. Realiza operaciones aritmticas, siguiendo el orden jerrquico al efectuarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Emplea la calculadora como instrumento de exploracin y verificacin de resultados. Representa relaciones numricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. Soluciona problemas aritmticos y algebraicos.

Competencia a desarrollar:

Construye modelos aritmticos y algebraicos sencillos asociados con diversas situaciones o fenmenos que permitan aplicar las propiedades de los nmeros y realizar operaciones simples para la solucin de problemas, apoyndose en el uso de la calculadora o algn software y mostrando una actitud de colaboracin y disposicin para el trabajo en equipo.

Objetos de aprendizaje:

Representacin de relaciones entre magnitudes. Modelos aritmticos o algebraicos.

BLOQUE I

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2

+ - = / %

SITUACIN DIDCTICA:

Lee con atencin el siguiente problema y antes de resolver las preguntas que se hacen en l, responde las que se proponen aparte, despus del texto del problema.

Si 1 kg de naranjas cuesta 14 pesos y al final del da el dueo de la frutera cuenta 1124 pesos por venta de naranjas, cuntos kilogramos vendi?, cunto cuesta comprar de kg de naranjas? Si una seora compra dos naranjas cuyo peso fue de 0.3 kg, cunto pag? Si en la compra de 5 kg de naranjas se hace un descuento de 10%, cunto se paga?

SECUENCIA DIDCTICA

Clasificacin de los nmeros reales.

Los nmeros reales se dividen en dos grandes conjuntos de nmeros: los racionales y los irracionales.

Un nmero x es racional si se puede representar como el cociente (divisin) de dos nmeros, siendo el divisor

diferente de cero, es decir,

Un nmero es racional si el resultado del cociente es un entero, su parte decimal es finita o si el decimal se repite (es peridico). Ser irracional si la parte decimal es infinita.

De manera que:

a) es un nmero racional porque su cociente es 0.75 (decimal finito)

b) es un nmero racional porque su cociente es 2 (nmero entero)

c) es un nmero racional porque su cociente es 1.6666 (decimal peridico)

d) es un nmero irracional ya que su cociente es 0.707106781186 (decimal infinito)

Por tal motivo, los nmeros racionales pueden ser representados como enteros, con decimal o como fracciones.

Algunos conjuntos de nmeros que se pueden formar con los nmeros racionales son:

Naturales: {1, 2, 3, 4, 5, 6...} Enteros: incluye negativos, el cero y los naturales. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, slo divisibles entre ellos mismos y el uno.

Cuntos tipos de nmeros hay en el problema? Cul es el procedimiento para responder cada pregunta?


444 11 3399

55 6

67

7 88

22

+ - = / %

BLOQUE I

8.00

0.01

800%

18.5%

52

7

5

Fraccin Mixto Decimal Porcentaje

CAMBIO DE UN PORCENTAJE A UNA FRACCIN

Para cambiar un porcentaje a una fraccin equivalente usamos la definicin de porcentaje, que significa partes por un ciento.

Escribe el porcentaje dividido entre 100 Simplifica (o reduce) la fraccin Si el porcentaje no es un nmero entero, multiplica arriba y abajo por 10 una vez por cada cifra despus del punto decimal (si hay un nmero despus del punto decimal multiplica por 10, si hay dos multiplica por 100, etc.).

CAMBIO DE UN PORCENTAJE A DECIMAL

Recuerda que un porcentaje se puede indicar como una fraccin cuyo denominador es 100.

Para convertir un porcentaje a decimal, quita el smbolo % y divide entre 100 moviendo el punto decimal dos cifras a la izquierda.

CAMBIO DE UNA FRACCIN A UN PORCENTAJE

Escribir la fraccin como decimal, dividiendo su numerador entre su denominador. Multiplicar el decimal por 100 moviendo el punto decimal dos cifras a la derecha. Insertar el smbolo %.

ACTIVIDADES:

1.Encuentra el nmero en su forma decimal e indica si es un nmero racional o irracional.

2.Convierte a porcentaje las siguientes fracciones:

3. Completa la tabla con los diferentes tipos de nmeros:

18

22

34

544 11 339 99 55 66 77 8

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2

+ - = / %

Para realizar este trabajo renete con tus compaeros de equipo anotando los resultados en los espacios correspondientes:

4.Completa la tabla con los diferentes tipos de nmeros:

5.Obtn los porcentajes de las siguientes cantidades:

6.Escribe una fraccin equivalente a:

JERARQUA DE LAS OPERACIONES

Para resolver una expresin con varias operaciones, se debe de seguir un orden en la que se realizan las operaciones.a) Se inicia eliminando todos los signos de agrupacin: parntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }; realizando las operaciones indicadas, se debe de iniciar por los signos que se encuentran ms al interior de la expresin hacia afuera.b)Si se encuentran dos operaciones de la misma jerarqua en la misma expresin entonces se realiza de izquierda a derecha.

Porcentaje Decimal Racional62%

1%58.8%

3

Cantidad Porcentaje Resultado528 20% (528)(0.20) = 105.6798 17%

453.2 33%1587.4 73%259.87 300%

a) c) e)

b) d) f)

a) c) e)

b) d) f)

12

34


644 11 3399

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22

+ - = / %

7. Realiza operaciones aritmticas, siguiendo el orden jerrquico al efectuarlas, eliminando los smbolos de agrupacin:

8.Problema de reparticin:

Cuando muri don Jess, dej como herencia siete vacas. En su testamento deca lo siguiente: Agustn debe recibir la mitad de las vacas; Ral debe recibir una cuarta parte; finalmente Mario, el menor, debe recibir un octavo del total. Los tres hermanos notaron que, para cumplir los deseos de su padre, necesitaban descuartizar algunas vacas. Doa Sara que haba escuchado el problema, se dirigi a su corral, tom una vaca y dijo: Lleven esta vaca con las otras y hagan la reparticin. Despus de la reparticin, doa Sara tom su vaca y la regres a su corral.

Cuntas vacas le tocaron a cada hermano?

9.Suma y resta de fracciones propias e impropias.

Para repasar las jerarquas de operaciones y el uso de

parntesis puedes ver el video https://www.youtube.com/watch?v=CDRV5Bv0ZB4

BLOQUE I

744 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %

10. Multiplicacin de fracciones.

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus cono-cimientos sobre suma y resta de fracciones con

diferentes denominadores.

http://www.math2me.com/playlist/aritmetica/suma-y-resta-de-fracciones-con-diferente-denominador-

convertir-fracciones

11. Divisin de fracciones:


844 11 3399

55 6

67

7 88

22

+ - = / %

12. Resuelve los siguientes problemas.

a) Del dinero que tena gast 1/3 en comida y 1/8 en pasaje, quedndome an 39 pesos. Cunto tena al principio?

b) Por hacer mis pagos de manera oportuna, el ltimo pago de $480 tendr un 25% de descuento. Si con el ltimo pago sern 10, cunto ser el monto total pagado?

c) Roco vendi un par de zapatos a cierto precio. Como al cliente le pareci bien, decidi cobrarle al siguiente cliente 5 pesos ms que al anterior. Mientras los clientes no protestaban, ella sigui aumentando 5 pesos a cada uno. Si despus de 5 clientes Roco vendi el par de zapatos a $625, cunto cobr por el primer par?

d) Los alumnos del grupo 103 compraron una pizza, donde Juan se comi del mismo, Miguel 2/6 y Lupita se comi el resto. Qu fraccin de la pizza comi Lupita?

e) ngela, Manuel, Yesica y Mauricio se reparten una herencia de 480 000 pesos que le dej su pap. Ellos deciden que ngela reciba 2/5 partes de la herencia, Manuel 3/8, Yesica 1/10 y Mauricio el resto. Cunto dinero recibir cada uno?

f) Pedro recorri 2/3 de una pista que mide 800 m, si de lo que recorri lo hizo en bicicleta. Cuntos metros recorri en bicicleta?

13. Encuentra el valor numrico de las siguientes expresiones considerando que:

BLOQUE I

944 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %


LISTA DE COTEJO

NOMBRE

GRUPO

SEMESTRE PRIMERO

ASIGNATURA MATEMTICAS I

EVALUADOR

TIPO DE EVALUACIN

Criterios de desempeo S2NO1

1.Orden.

2.Completo.

3.Puntualidad.

4.El procedimiento matemtico que justifica la obtencin del resultado.

5.La respuesta correcta del problema.

De acuerdo a los criterios del profesor utiliza la Autoevaluacin, Coevaluacin o Heteroevaluacin.

Evaluacin:

Observaciones:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


10

44 11 3399

55 6

67

7 88

22

+ - = / %

UTILIZAS MAGNITUDES Y NMEROS REALES

BLOQUE II2

11

44 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %

UTILIZAS MAGNITUDES Y NMEROS REALES

En la vida cotidiana la representacin de nmeros reales en una recta numrica es un factor importante, en la manera de distinguirlos y de manejarlos de acuerdo a sus signos y posiciones, tenemos como ejemplos: la representacin de altas y bajas temperaturas, de prdidas y ganancias de dinero, tambin en la comparacin de cantidades en diversos problemas que nos permita encontrar las relaciones que existen entre dos precios a medida que las cantidades asciendan o desciendan. En este bloque desarrollaras tu trabajo de acuerdo a una secuencia, en la cual encontrars las actividades a realizar, como son problemas que involucren a la recta numrica, razones y proporciones.


Ubica en la recta numrica nmeros reales y sus respectivos simtricos. Combina clculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, prdidas, ingresos, amortizacio-

nes, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de nmeros reales. Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variacin proporcional directa e inversa. Construye modelos aritmticos, algebraicos o grficos, aplicando las propiedades de los nmeros reales.


Construye modelos aritmticos y algebraicos sencillos asociados con porcentajes, descuentos, intereses, etc. que permitan aplicar las propiedades de los nmeros y realizar operaciones simples para la solucin de problemas, apoyndose en el uso de la calculadora o algn software y mostrando una actitud de colaboracin y disposicin para el trabajo en equipo.


Nmeros reales: representacin y operaciones Tasas Razones Proporciones y variaciones

2

Situacin didctica

Espaa es un pas que pertenece a la Unin Europea y utilizan como moneda el Euro (). Mara visit Espaa y como le fascina comprar ropa, fue en busca de tiendas con descuentos. En una tienda encontr una rebaja de 15% sobre el precio de los artculos de ropa para jvenes. Un pantaln costaba normalmente 14 . Cunto pag por tres pantalones? Si una muda se compone de una camisa (9 ), un pantaln y una chamarra (35 ), cunto pag?

BLOQUE II

12

44 11 3399

55 6

67

7 88

22

+ - = / %

1. Preguntas acerca de porcentajes.

a) Con base en el problema planteado en la situacin didctica, si en otra tienda Mara compr un vestido que inicialmente vala 11 en 8.25 , cul era el porcentaje de descuento?

b) Si a Mara le quedan 25 para comprar ropa y encuentra unas blusas de 7 cada una, con un descuento de 20%, cuntas blusas puede comprar?

2. Completa la siguiente tabla.

Artculo

CamisetaPantaln

CamisaChamarra

149351210

Precio original Descuento (15%) Precio Final

Falda

SECUENCIA DIDCTICALOS NMEROS REALES

Los nmeros que se utilizan en el mundo de las Matemticas son los nmeros Reales (R) formados por los Naturales (N) 1,2,3,4,.9, Enteros (Z) ..-2,-1.0.1.2.., Racionales (Q) , , , y los Irracionales ( I o Q) , (2,) -5.Los nmeros reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada recta numrica, los puntos representa-dos sobre la recta a partir del origen son negativos si estn a la izquierda y positivos si estn a la derecha del origen.

Instrucciones: Atendiendo la instruccin del profesor, realiza estos ejercicios en forma individual o renete en binas u organzate con tus compaeros. Trabajen en forma colaborativa y de respeto entre ustedes.

IDENTIFICANDO NMEROS REALES

Determina cules son nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales, y grafcalos en la recta numrica.

72

84

51

93

BLOQUE II

13

44 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %

3. Ordenando nmeros reales

Coloca el smbolo que corresponda < (menor), > (mayor), = (igual) entre los siguientes pares de nmeros.

a) 9 ______5 b) -11 ______3 c) 2.3 ______0.5 d) -12______-30 e) 0 ______-6

PROBLEMAS EN UNA RECTA NUMRICA

Identificar la opcin correcta de los siguientes problemas, escribiendo en el parntesis del lado derecho la letra cor-respondiente.

4. Martha compr 2 metros de listn y utiliz solamente 5 retazos de 1/8 de metro cada uno. Qu opcin representa los metros de listn sobrantes? ( )

5.Un ejrcito al iniciar un combate avanza 6 kilmetros cada noche y en el da retrocede 2 kilmetros. A qu distancia del punto inicial se encuentra al finalizar el quinto da? ( )

A)

B)

C)

D)

UTILIZAS MAGNITUDESY NMEROS REALES

14

44 11 3399

55 6

67

7 88

22

+ - = / %

A) B)

C) D)

6. La temperatura registrada en una ciudad a las 3 a.m. fue de 0.9 C. Si para las 4 a.m. la temperatura se redujo a la mitad, en cul de las siguientes rectas numricas se ubica la temperatura registrada a las 4 a.m.?( )

A)

B)

C)

D)

7. Para conocer la cantidad de agua que contiene una cisterna, sta se encuentra dividida en 6 niveles. El primer da se encuentra completamente vaca y se suministra agua hasta de nivel. Durante la noche desciende de nivel. Al indicar el segundo da se suministra agua que equivale a un nivel y medio, y desciende 1/3 de nivel durante la noche. El tercer da se incrementa 2 niveles, y en la noche desciende de nivel. En qu nivel inicia el agua al cuarto da? ( )

A) B)

C) D)

8. Un autobs cuya capacidad es de 30 pasajeros recorre una ruta de 100 km. Inicia su recorrido con 7 personas, en el kilmetro 10 suben la mitad de su capacidad, en el km 25 se queda con de pasajeros que traa y en el km 75 el camin queda lleno. Cuntos se subieron en el km 75? ( )

BLOQUE II

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2

+ - = / %

9. Un entomlogo mide el movimiento de los segmentos en una lombriz al moverse. Observa que por cada de centmetro que avanza por segundo, el segmento regresa para dar el siguiente movimiento.

Graficando este desplazamiento en una recta numrica, cuntos centmetros se movi despus de 4 segundos? ( )

RAZN, TASA Y PROPORCIONES

El concepto de razn se presenta a menudo en la vida real, situaciones donde utilizamos expresiones como: mi hermano tiene la tercera parte de aos que mi padre, en los grupos de primer semestre los varones son ms altos que las mujeres. Las expresiones anteriores de relaciones entre dos cantidades se conocen como razones.

Una razn r se puede escribir como:

Una fraccin Como dos nmeros separados por la palabra a O como dos nmeros separados por dos puntos

Por ejemplo:

A) B)

C) D)

Una razn res el cociente de dos

nmeros o dos cantidades de la misma especie y que

tienen las mismas unidades

Nmeros separadospor a Se lee como:Fraccin

Nmeros separadospor dos puntos (:)

3 a 5 3 : 5 La razn de3 a 5

35

34

61


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55 6

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7 88

22

+ - = / %

Cuando se comparan dos cantidades de tipos distintos, se le llama tasa y se puede escribir como una fraccin, y siempre debe de conservar las unidades por ejemplo: necesitas saber el rendimiento de km/litros de gasolina de una motocicleta o un carro.

Para resolver una proporcin se utiliza Propiedad fundamental de las proporciones en donde toda proporcin el producto cruzado de los medios es igual al producto de los extremos.

EjemplosResuelve la siguiente proporcin.

10. Resuelve las siguientes proporciones

Cuando se comparan dos razones, las cuales tienen relacin entre s, se llama proporcin geomtrica.

Una tasa es un cociente de dos cantidades con distintas unidades.

Una Proporcin es una afirmacin de la igualdad de dos razones

(o tasas).

BLOQUE II

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82

2

+ - = / %

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre razones y proporciones.

http://www.math2me.com/playlist/aritmetica/clasificacion-de-los-numeros-realeshttp://www.math2me.com/playlist/algebra/ejercicios-de-proporcioneshttp://www.math2me.com/playlist/algebra/ejercicios-de-las-variaciones-directas-e-inversas

11. Resuelve los siguientes problemas sobre proporciones (variacin directa).

a) En la granja de mi to, las 12 gallinas consumen 4.5 kg de grano al da. A partir de maana le entregarn 5 gallinas. Cunto se espera que se consumir diariamente de granos?

b) Realizo un viaje turstico en moto, ya recorr los primeros 120 km y me gast 90 pesos en combustible. A partir de maana realizar un viaje de 320 km. Cunto gastar en combustible?

c) En un examen de ingreso a la universidad, 186 reactivos equivalen a 700 puntos. Si Martn logr contestar acertadamente 126 preguntas, cuntos puntos alcanz?

d) Cuntos m2 de cubierta fabrican 9 carpinteros, si normalmente 7 carpinteros realizan 200 m2 en un da?e) Mi velocidad de lectura es de 442 palabras por minuto, tengo disponible esta tarde 45 minutos de lectura.

Cuntas palabras alcanzar a leer?f) Cuntos kilmetros recorrer en una autopista en 50 minutos, si ayer viajando a la misma velocidad, en hora y

media, recorr 95 kilmetros?

Variacin inversa

a) Explica con tus propias palabras, qu entiendes por variacin inversa?

b) En tu vida cotidiana, en qu situaciones has visto que se aplique la variacin inversa?

12. Resuelve los siguientes problemas de variacin inversa.

a) 4 cachorros se terminan un paquete de croquetas en 6 das. Si tuviramos 3 cachorros, cuntos das durara el paquete de croquetas?

b) Todos los das por la maana Alfonso maneja a una velocidad de 80 km/hr para llegar a su trabajo a tiempo, realizando un tiempo de 42 minutos. De regreso, por la tarde, disminuye su velocidad a 65 km/hr. Cunto tiempo tarda para llegar a casa?

c) En la construccin de viviendas populares, el ingeniero Lpez tiene el compromiso de terminar en 20 das 50 viviendas contando con 12 trabajadores. Para el prximo mes contar con 16 trabajadores, en cunto tiempo terminar las 50 viviendas que debe entregar?

En el banco

En un banco se cobra 2% de comisin por cada tarjeta de crdito nueva que se tramite.

Este porcentaje se cobra de una cantidad de 500 pesos que el cliente pagar una vez al ao llamada anualidad. Si en una semana, aproximadamente 700 personas tramitan una tarjeta de crdito,

a)Cunto gana el banco por comisiones?


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+ - = / %

En cuanto a las personas que no pagan su tarjeta de crdito a tiempo, por cada peso que no se paga a tiempo, el banco tiene una prdida de 5 centavos.

b) Cul es el porcentaje de prdidas por cada peso?

Si en un mes, los deudores dejan de pagar 20 millones de pesos, c) cules son las prdidas del banco en un mes?

PROBLEMAS DE PORCENTAJES

a) Francisco se dedica a la compraventa de libros. Si adquiere un libro cuyo valor es de $457 y desea ganar 35% de su inversin, a qu precio deber venderlo?

b) Una tienda ofrece 35% de descuento en ropa. Juan escogi una camisa de $250, un pantaln de $520 y una playera de $180. Al llegar a la caja pag por la ropa entre...

c) Una persona compr una computadora de $9,728.20. Al momento de pagar recibi un descuento de 25%. Cunto pag por el aparato?

d) En una tienda hay una oferta de pantalones y Sonia quiere saber el precio con descuento para decidir su compra. Si el costo del pantaln es de $355.00 y tiene un descuento de 17%, cul es el precio del pantaln?

e) Ximena compra una caja de despensa que cuesta $850. Al momento de pagar, la cajera le indica que la despensa tiene una rebaja de 15%. Si Ximena paga con un billete de $1000, cunto dinero le devuelven?

f) Jorge pag $2684 por una televisin que tena un descuento del 25%. Cunto costaba originalmente?

g) Se vende un artculo con una ganancia de 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en $80. Halla el precio de venta.

h) De los 800 alumnos de un colegio, se han ido de viaje 600. Qu porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

i)De los 240 pasajeros que ocupan un avin, 30% son chilenos, 15% son argentinos, 25% peruanos y el resto mexicanos. Cuntos mexicanos viajan en el avin?

j) He comprado una bicicleta por $538, si quiero venderla y ganar $120, qu porcentaje le debo agregar?

k) La ciudad de Tijuana tena una poblacin aproximada de 3,597 (en miles). Si aument a 5000, qu tanto por ciento ha aumentado la poblacin?

l) En una compaa de autos, 30% de los empleados son miembros de algn club deportivo; de ellos, 20% se ubica en la zona sur. Si la compaa cuenta con 300 empleados, cuntos de ellos asisten a un club deportivo en la zona sur?

m) Fernando vendi 2,000 pollos a diferentes precios: 35% lo vendi a $12.00 cada uno y 65% a $11.00 cada uno. Si obtuvo una ganancia de $2,670.00, cul es el porcentaje de la ganancia sobre el total obtenido?

BLOQUE II

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+ - = / %

n) Santiago tiene $ 500 para sus gastos de la semana. Utiliza 40 % en transporte, de lo que resta ocupa la mitad para ir al cine y gasta una tercera parte del sobrante en palomitas. Cunto dinero le queda al final de la semana?

o) En un restaurante, la distribucin del tipo de bebida por cliente se da de la siguiente forma: 25 % pide agua, 30 % pide vino y 45 % pide refresco. Si en este momento hay 140 clientes, cuntos de ellos estn bebiendo vino?

p) De un grupo de 800 personas, las tres quintas partes tienen celulares, 250 usan radio y el resto ni celular ni radio. Qu porcentaje no usan ni celular ni radio?

q) En la cuarta parte del volumen de una cisterna hay 200 litros. Por tener paredes inclinadas, cada cuarta parte hacia arriba contiene 50% ms que la anterior. Con cuntos litros se llena la cisterna?


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+ - = / %


LISTA DE COTEJO

NOMBRE

GRUPO

SEMESTRE PRIMERO


EVALUADOR

TIPO DE EVALUACIN


1.Presenta en tiempo establecido.

2.Respeta las reglas de orden y limpieza en cada problema.

3.Existe colaboracin entre los estudiantes

4.Ubica en la recta nmeros reales y sus respectivos simtricos.

5.Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, directa e inversa

6. Combina clculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, prdidas, ingresos y amortizaciones, utilizando distintas representaciones.


Evaluacin:______________

Observaciones:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BLOQUE II

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2

+ - = / %

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NMEROS

BLOQUE III

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+ - = / %

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NMEROS

En los bloques I y II formulaste y resolviste problemas aritmticos y algebraicos; en el presente bloque, resolvers problemas en los que describirs, de manera verbal y aritmtica, la regla o el patrn que sigue una sucesin numrica, construirs sucesiones numricas a partir de una regla dada, determinando la expresin algebraica que genera una sucesin numrica, aprenders a realizar sumas parciales de sucesiones numricas.

Cuando decimos que los trminos estn en orden nosotros somos los que decimos Qu orden? Podra ser adelante, atrs, alternando o el que quieras. Para resolver operaciones bsicas se utilizan algoritmos y si bien los que utilizamos actualmente son procedimientos eficaces; no han sido los nicos que han existido a lo largo de la historia. Podemos utilizar algoritmos para representar el comportamiento de un patrn en secuencias de nmeros y expresarlo por medio de un lenguaje algebraico. Este tipo de situaciones nos enfrentarn con la sucesin y series de nmeros que conocers y aprenders a manejarlo en el presente bloque.


Identifica y diferencia las series y sucesiones numricas as como sus propiedades. Clasifica las sucesiones numricas en aritmticas y geomtricas. Construye grficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritmticas y geomtricas. Emplea la calculadora para la verificacin de resultado en los clculos de obtencin de trminos de las

sucesiones. Realiza clculos, obteniendo el ensimo trmino y el valor de cualquier trmino en una sucesin aritmtica o

geomtrica tanto finita como infinita mediante las frmulas correspondientes. Soluciona problemas aritmticos y algebraicos usando series y sucesiones aritmticas y geomtricas.


Modela problemas sencillos de diferentes mbitos mediante series y sucesiones, aplicando diferentes herramientas aritmticas, algebraicas y geomtricas, mostrando una actitud de colaboracin y disposicin para el trabajo en equipo.


Representacin de relaciones entre magnitudes. Modelos aritmticos o algebraicos

Situacin didctica Arturo es un estudiante que ingresar al primer semestre de bachillerato, en sus vacaciones de verano su to lo invita como su ayudante en su taller mecnico y le indica cules sern sus actividades:

Proporcionar las herramientas que le indique. Salirycomprarloquenecesitenporcadadadetrabajo(aceite,bujas,filtros,etc.). Guardar y ordenar la herramienta todos los das.

Su to le dice que como l no tiene conocimientos acerca de mecnica, le estar pagando de la siguiente manera: $30elprimerda,$35elsegundo,$40eltercero,yassucesivamentehastaelfinaldelmesquetiene30das.

1. A partir de la situacin anterior, contesta las siguientes preguntas:

a) Qu operaciones matemticas utilizaras para obtener el sueldo final de Arturo?b) Consideras que existe otro procedimiento matemtico diferente al que propusiste para llegar al mismo resultado? c) Cunto ganara Arturo el da 30?

BLOQUE III

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+ - = / %

SITUACIN DIDCTICA

Lectura

Se dice que un rey ofreci oro a la persona que le llevara un juego que l jams se hubiera imaginado. De entre miles de interesados, al final de la fila, qued un viejito que llevaba un tablero cuadriculado en blanco y negro, de 8 x 8 cuadritos. El rey qued fascinado por este juego que lo representaba a l como rey y todos sus peones y reina, etc. Le dijo al viejito que pidiera lo que quisiera y sus sbditos se lo daran; el viejito le dijo que slo le dieran granos de trigo de la siguiente manera: Un grano por el primer cuadrito, dos por el segundo cuadrito, cuatro por el tercer cuadrito y as sucesivamente. El rey molesto por lo que le pidi el viejito, esperando le pidieran una cantidad considerable en oro pidi granos de trigo -llvenlo a la cocina y denle sus sacos de trigo y que se vaya-, dijo el rey.

A la maana siguiente, se levanta el rey, va a desayunar y pregunta si el viejito se fue contento con sus sacos de trigo, y le contestan que an estaban en la cocina sacando cuentas de cuntos granos de trigo se llevara, pues no terminaban- el rey se molest de nuevo y dijo que no quera saber de l por la tarde-.Al llegar la noche, los grandes sabios de rey le fueron a ver para decirle que la cantidad de trigo que pidi el viejito, que ni sembrando en todo el terreno que tiene su pas, lograran darle al viejito lo que pidi. Qu cantidad de trigo pidi el viejito?

Una sucesin numrica es un conjunto ordenado de nmeros. Toda sucesin tiene una propiedad o ley de formacin de sus elementos. Ejemplo de sucesin:

2, 4, 6, 8,...es una sucesin infinita, el primer trmino es 2 como ley de formacin los siguientes se obtienen sumando 2 en cada paso.

Para designar los trminos de una sucesin cualquiera utilizaremos la misma letra con subndices a1, a2, a3, a4,, an indicando que a1 es el primer trmino, a2 es el segundo,...y an es el trmino de orden n. Donde n es cualquier nmero natural o trmino general de la sucesin.

Por ejemplo, en la sucesin 2, 4, 6, 8,...pondremos a1= 2, a2= 4, a3= 6, a4= 8,, an =2n

Progresin aritmtica. Es una progresin de nmeros en la que la diferencia entre dos trminos sucesivos, a excepcin del primero, es constante y se llama diferencia comn.En lenguaje comn, para encontrar un elemento es necesario sumar o restar el valor constante. La frmula est dada por:

)1(1 += ndaan Donde: an = trmino cualquieran = nmero de trminos que se pide encontrard = diferencia comn entre trmino y trmino.a1 = primer trmino de la sucesin.Ejemplos:El trmino general de la progresin aritmtica 5,8,11,14...es:an =5+ 3(n- 1) = 5+3n-3= 3n+2El trmino general de una progresin aritmtica en la que a1= 13yd= 2es:an=13+ 2(n- 1) = 13+ 2n- 2=2n+ 11

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONESDE NMEROS

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55 6

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7 88

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+ - = / %

En matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Si nos referimos a una serie aritmtica, es la suma de todos los trminos pertenecientes a una progresin aritmtica, la frmula es:

2)( 1 n

naans +=

Progresin geomtrica: Es una sucesin de nmeros donde el cociente entre dos trminos sucesivos es constante y se llama razn comn. sta se representa como r.Los elementos de una serie geomtrica prcticamente son los mismos que los de las progresiones aritmticas, la progresin geomtrica es diferente porque el valor entre trminos sucesivos es una razn en vez de la diferencia comn. La frmula para encontrar un trmino de la progresin es:

11

= nn raa

y para encontrar la suma de una serie geomtrica es:

11

=r

aras nn

2. Encuentra el nmero que se pide en la siguiente secuencia aritmtica.

a) 7, 10, 13, 16, 19 -------------------------b) 2, 7, 12, 17, 22 -------------------------c) 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2 -------------------------

3. Dada la sucesin aritmtica 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 Resuelve los siguientes ejercicios (en equipos de 3).

a) Calcula el trmino 20 de la sucesin.b) Calcula la suma de los primeros 10 nmeros de la sucesin.

4. A una persona le ofrecen un empleo para los siguientes 10 fines de semana, de tal manera que su sueldo ir en aumento: 30 el primer fin de semana, 45 el segundo, 67.5 el tercero, 101.25 el cuarto, 151.87 el quintoA partir de la situacin anterior, contesta las siguientes preguntas:

a) Con la sucesin geomtrica anterior encontrar la razn comn.b) Encuentra la frmula que te permita obtener los siguientes 5 pagos.c) Utilizando la frmula, obtener los pagos de los siguientes 5 fines de semana.

5. Bacterias

En un laboratorio, se estudia el comportamiento de reproduccin de un virus X; en el cual tiene una tendencia de multiplicacin que se encuentra expresado en la siguiente grfica.

Das 1 2 3 4 5No. bacterias 1 4 9 16

BLOQUE III

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+ - = / %

9. Cuntos cuadritos tendr la etapa 4?

8. En la secuencia de figuras siguientes, formadas de crculos negros y crculos blancos, si se mantiene el patrn de formacin, cuntos crculos negros tiene la dcima figura?

A partir de la situacin anterior, contesta las siguientes preguntas:

a) Cuntos infectados habr en el da 5?b) Es el instrumento de infectados constante da a da?c) Cmo expresaras una ecuacin que permita saber el nmero de bacterias para cualquier da?

6. Observa la secuencia de figuras formadas con cuadros blancos y cuadros negros. Cuntos cuadros negros tiene la figura nmero 100?

7. En la secuencia de figuras con forma de cuadrado de la figura, cuntos crculos negros se necesitan para formar la figura 15?

FiguraN 1

FiguraN 2

FiguraN 3

FiguraN 4

FiguraN 5

REALIZAS SUMAS Y SUCESIONESDE NMEROS

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+ - = / %

10. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y aade dos trminos a cada una:

a) 3, 8, 13, 18, 23, b) 1, 8, 27, 64, 125,

c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, d) 8; 4; 2; 1; 0,5;

e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, f) 8, 3, 5, 2, 7, 9,

g) 1, 2, 3, 4, 5, 6, h) 20, 13, 6, 1, 8,

11. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones aritmticas? En cada una de ellas di su diferencia y aade dos trminos ms:

a) 3, 7, 11, 15, 19, b) 3, 4, 6, 9, 13, 18,

c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, d) 10, 7, 4, 1, 2,

e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; f ) 18; 3,1; 11,8; 26,7; 41,6;

12. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones geomtricas? En cada una de ellas di su razn y aade dos trminos ms:

a) 1, 3, 9, 27, 81, b) 100; 50; 25; 12,5;

c) 12, 12, 12, 12, 12, d) 5, 5, 5, 5, 5, 5,

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre las sucesiones aritmticashttp://www.math2me.com/playlist/series-y-sucesiones/formula-para-suma-de-sucesiones-aritmeticashttp://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

http://www.math2me.com/playlist/series-y-sucesiones/hallar-la-ecuacion-de-una-secuencia-aritmetica

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+ - = / %

REALIZAS TRANSFORMACIONESALGEBRAICAS I

BLOQUE IV

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+ - = / %


El lgebra tiene como objetivo fundamental el analizar de manera simple y en forma alfa numrica las activi-dades y operaciones bsicas donde se construyen diferentes maneras de realizar una operacin que intervienen en un proceso (suma, resta y multiplicacin) de expresiones algebraicas de polinomios de una variable.

Esto permite que con ideas algebraicas se puede estudiar diferentes tipos de relaciones entre objetos matemticos como son: productos notables y las diferentes tcnicas de Factorizacin.


Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicacin de polinomios de una variable. Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicacin de binomios. Comprende las diferentes tcnicas de factorizacin, como de extraccin de factor comn y agrupacin; de

trinomios cuadrados perfectos y de productos notables y diferencia de cuadrados perfectos.


Construye modelos algebraicos bsicos asociados con diversas situaciones o fenmenos que permitan hacer generalizaciones y obtener modelos ms complejos, que faciliten la solucin de problemas, aportando puntos de vista y manteniendo una actitud constructiva en el trabajo en equipo.


Representacin de relaciones entre magnitudes. Modelos aritmticos o algebraicos.

SITUACIN DIDCTICA:

Un cuadro mide 80 cm de largo por 50 cm de ancho. Se piensa ponerle un marco que cubra una franja de un espesor x en los cuatro lados del cuadro.

Cmo se puede representar mediante una expresin algebraica el rea visible del cuadro?Cul sera el rea que ocupara el cuadro sobre el marco?

Actividad: Realiza una lectura en tu libro de texto o en alguna otra fuente de informacin, anotando en tu cuad-erno acerca de la definicin de los conceptos: trmino, variable, exponente, monomio, binomio y polinomio. Despus, comprtelo con tus compaeros en plenaria.

BLOQUE IV

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SECUENCIA DIDCTICA

OPERACIONES DE POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

Conceptos bsicos

El lgebra es la rama de las Matemticas que se encarga del estudio de los nmeros y sus operaciones en su forma general. Utiliza a las literales como una expresin general de un nmero cualquiera; adems, al igual que en la Aritmtica, se respeta y permite el uso de las propiedades de los nmeros y las operaciones estudiadas.

Trmino algebraico: Expresin algebraica donde se encuentran slo operaciones de multiplicacin y divisin de nmeros y letras. El nmero se llama coeficiente numrico y las letras conforman la parte literal. Tanto el nmero como cada letra pueden estar elevados a un exponente o potencia.

Un polinomio es una expresin algebraica con varios trminos que se forma con variables y nmeros separados con signos de suma y resta y slo intervienen operaciones de suma y resta y multiplicacin, as como exponentes enteros positivos. Cuando un polinomio consta de un solo trmino algebraico se llama monomio, con dos trminos binomio y con tres trminos trinomio.

1. Completa la siguiente tabla identificando los elementos de un trmino algebraico:

2.Completa la tabla siguiente utilizando los conceptos:

Expresin algebraica Nombre Gradox + 2 binomio uno

tres

cuatro

trinomio

polinomio

3

6

2

a - 1

x + y - 8

1 3x + 7x

3xy

Trmino Signo Coeficiente Literal Exponente3x2

-1/3 a9

67 b4

-16/4 yx

+ 2 m -3

REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Los trminos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varan slo en el coeficiente. Slo se pueden sumar y restar trminos semejantes; sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de trminos.


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LEYES DEL LGEBRA ELEMENTAL

Regla de los signos

En el producto y en el cociente de nmeros positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

La reduccin y agrupacin de trminos semejantes consiste en hacer las operaciones algebraicas de suma y resta segn sea el caso, que coincidan en la misma parte literal y el mismo exponente, no importando su coeficiente numrico.

3. Realiza las siguientes sumas de trminos semejantes:

a) 3m + m b) x 3x c) 8x 13x d) 4x2 15x2e) 3x2y + 15 x2y 24 x2y f) ab + 2ab 5ab

g)

h)

i) a + b + c; b c; a + 2cj) 6m + 8n + 5; - m n; 6m 11k) a + b; 2a 2c; 3a 3b + 2cl) 15a2 6ab; 8a2 5ab + 20; a2 ab 31m) 0.3a +0.4b + 0.5c; 0.6a 0.7b 0.9c; 3a 3b 3c

n)

o)

p)

q) 3ab 5xy + 7bc; - 4cb 5ab 9xy; 25yx + 36ab 48bc

=+ xxxx929

713

=+ mmm53

32

21

;31

21 ba + ;32 ba ;

61

43 ba

;253 2 mnm ;

31

101 2 mnm 222 mmn

;65

21

43 22 baba + ;

61

43

312 22 baba + abb 2

31 2

mn mn10

mn

ab ab ab

BLOQUE IV

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82

2

+ - = / %

Regla de los exponentes1a. Ley. La multiplicacin de dos cantidades de la misma base, es igual a tomar la misma base y sumar los exponentes.

Ejemplos:

2a. Ley. La divisin de dos cantidades de la misma base, es igual a tomar la misma base y restar los exponentes.

3a. Ley. Si una expresin exponencial se eleva a una potencia, se toma la misma base y se multiplican los exponentes.

4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica utilizando leyes de los exponentes.

a) x (x 4) =

b) (x 3)(x+1)=

c) 3x2(4x3y)=

d) yx

yxyx3

243

2)2)(4(

=

e) (y 2) (y 7)=

f) 2x (x4 +3)=

g) yx

yx2

223

2)4(

=

Ejemplos:

Ejemplos:

)(


32

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+ - = / %

Productos notables

Los productos notables son productos especiales cuyos resultados se obtienen sin llevar a cabo la multipli-cacin, es posible obtener los resultados utilizando reglas establecidas.

Estos productos se encuentran clasificados segn su forma en: Binomios conjugados. Binomio al cuadrado. Binomios con trmino comn.

Binomios conjugados

Es el producto de dos binomios iguales con signos diferentes, tienen la forma algebraica siguiente:

Regla: Un binomio conjugado es igual al cuadrado de los dos trminos separados por un signo negativo.

Binomios al cuadrado

Es una expresin algebraica que incluye un par de trminos diferentes que estn elevados al cuadrado.

Regla: La expresin algebraica para desarrollar un binomio al cuadrado es:

donde x es el trmino comn y los trminos que no son comunes a y b.

Regla: Un binomio con un trmino comn es igual al cuadrado del trmino comn, ms la suma algebraica de los trminos no comunes por el trmino comn, ms el producto de los trminos no comunes.

Binomio con trmino comn

Es el producto de binomios que contiene un trmino comn tiene la siguiente forma algebraica:

h) (3x3y2z3)3

i) x3 (- x2)(2x)3 =

j) 5 (3x + 6y) =

k) 5h (3h h2 + 4h3) =

BLOQUE IV

33

44 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %

5. Realiza las siguientes multiplicaciones con binomios, y adems escribe el nombre del producto notable que es cada uno de ellos.

a) (x1) (x+1)

b) (x+1) (x+1)

c) (x+4)(x4)

d) (x+5) (x+7)

e) (x 2)(x 2)

f) (x3)(x+8)

g) (2y + 8x)

h)

i)

j) (x+7) (x+10)

k) (3xy + 5) (3xy - 3)

l) (a + 6)(a - 4)

m) (4x 2)(4x + 6)

Factorizacin

Es el proceso inverso de desarrollar una multiplicacin. Factorizar es descomponer un nmero en dos o ms factores, significa encontrar todos sus divisores posibles, que al multiplicarse entre s dan como resultado la expresin inicial. Por lo general, el procedimiento de factorizacin se asocia con algunos casos de los productos notables.

Las factorizaciones ms comunes son : Factorizacin de un polinomio por factor comn. Factorizacin de una diferencia de cuadrados. Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto. Factorizacin de un trinomio de un trinomio de segundo grado

Los casos de factorizacin por factor comn, diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos se vern en este bloque y factorizacin de trinomios no perfectos en el bloque siguiente.

Factor comn

En este caso, factorizar quiere decir identificar a los factores comunes a todos los trminos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos nmeros que aparecen multiplicando a todos y cada uno de los trminos de una expresin algebraica y que pueden estar dados por constantes (nmeros) o representados por variables (letras).

2


34

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+ - = / %

Regla: Se busca el coeficiente numrico comn ms grande posible que sea divisible a todos los dems coeficientes numricos de la expresin, y la variable comn con el menor exponente que se encuentre en todos los trminos de la expresin.

Factorizar

Las literales que aparecen en todos los trminos son x, y, elegimos las de menor exponente; el mximo comn divisor, es decir, es el nmero que divide a todos los coeficientes numricos de la expresin es el 15.

Diferencia de cuadrados

La factorizacin de una diferencia de cuadrados se asocia con la regla del producto notable llamado bino-mios conjugados.

Ejemplo:

Regla: Se extrae raz cuadrada a los dos trminos cuadrticos. Se escriben las races encontradas en dos parntesis separados por un signo negativo y otro positivo.

6. Aplica las reglas de factorizacin por trmino comn, diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos y realiza las siguientes factorizaciones:

a) 5x2 + 2x =

b) 12a 6ab + 3ac =

c) 2y4 y3 7y2 =

d) 15 z4 + 30 z2 =

e) y2 2y +1=

f) y2 1 =

g) x2 y2 =

h) x2 + 10x + 25 =

i) 5x2 + 10x + 25x =

j) 100 h2 =

k) 49x2 9y2=

l) 16x4 9y4=

m) =4981

169 2x

n) 36m2 + 48mn + 16n2 =

o) 16h2 40hg + 25g2 =

81

16 49

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre los procesos de factorizacin bsica.http://www.math2me.com/playlist/algebra/ejercicio-de-factorizar-por-termino-comunhthttp://www.math2me.com/playlist/algebra/trinomio-cuadrado-perfectotp://www.math2me.com/playlist/algebra/diferencia-de-cuadrados

BLOQUE IV

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2

+ - = / %


LISTA DE COTEJO

NOMBRE

GRUPO

SEMESTRE PRIMERO


TIPO DE EVALUACIN

CRITERIO INDICADORES S NO

Entrega del problemario.Entrega en tiempo y forma.

Completo y con limpieza.

Realiza operaciones, utilizando productos notables.

Identifica correctamente el tipode binomio.

Aplica correctamente los procedimientos para resolver

productos notables

Realiza operaciones de factorizacin, utilizando los mtodos de factor comn diferencia de cuadrados y

trinomio cuadrado perfecto.

Identifica el tipo de producto notable

a factorizar.

Aplica el mtodo de factorizacincorrespondiente.

Resuelve correctamente los diferentes mtodos de

factorizacin.


Evaluacin:_____________


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44 11 3399

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7 88

22

+ - = / %

AutoevaluacinInstrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos.Nombre del alumno: Semestre: Corte: IGrupo:

Siempre A veces Difcilmente ObservacionesIndicador de desempeo:Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas acadmicas.Soy consciente de mis hbitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud fsica, mental y social.Puedo expresar mis ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).Utilizo las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.Formulo hiptesis y compruebo su validez para la solucin de problemas planteados en diversas asignaturas.Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las ms relevantes y confiables.Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas.Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compaeros.Contribuyo con acciones para la solucin de problemas ambientales de mi comunidad.

FORMATOS DE AUTOEVALUACIN Y COEVALUACIN

CoevaluacinInstrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compaero asignado. Nombre del compaero: Semestre: Corte: IGrupo:Tu compaero: Siempre A veces Difcilmente ObservacionesAsume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.Lleva a cabo hbitos de consumo que favorecen su salud fsica, mental y social. Expresa sus ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc).Utiliza las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas.Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las ms relevantes y confiables. Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas. Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compaeros.Participa en acciones para la solucin de problemas ambientales de su entorno.

BLOQUE IV

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2

+ - = / %

REALIZAS TRANSFORMACIONESALGEBRAICAS II

BLOQUE V

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55 6

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7 88

22

+ - = / %


En este bloque seguiremos aplicando los conocimientos algebraicos adquiridos en el bloque anterior, se de-sarrollar mayormente la habilidad de la factorizacin en la resolucin de los problemas planteados, la herramienta de la factorizacin te permitir reconocer el tipo de trinomio del cual tendrs que utilizar un mtodo para resolver dicho problema, esto te permitir desarrollar habilidades para simplificar expresiones racionales.


Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x2 + bx + c y ax2+ bx + c con a 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar tcnicas.

Expresa trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2+ bx + c como un producto de factores lineales. Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas. Utiliza una o varias tcnicas de transformacin para descomponer un polinomio en factores. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la divisin de polino-

mios. Obtiene factores comunes, factorizando con las tcnicas aprendidas y reduce stos. Escribe expresiones racionales en forma simplificada, utilizando factores comunes y la divisin de polino-

mios. Soluciona problemas aritmticos y algebraicos.


Construye modelos algebraicos bsicos asociados con diversas situaciones o fenmenos que permitan hacer gen-eralizaciones y obtener modelos ms complejos que faciliten la solucin de problemas, aportando puntos de vista y manteniendo una actitud constructiva en el trabajo en equipo.



SITUACIN DIDCTICA:

En una fbrica de cajas de cartn, se recibe el pedido de construir cajas abiertas por arriba de diferente volumen pero con una altura constante de 3 cm. Esta altura se logra cortando cuadrados de 3 cm de lado, en cada esquina de las hojas cuadradas del cartn. Se tienen hojas de diferente tamao y doblando las pestaas hacia arriba se obtiene una caja sin tapa, como se ve en la figura.

BLOQUE V

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2

+ - = / %

EL volumen de la caja se puede expresar como: V= (base)(ancho)(altura).Qu tipo de trinomio es? Puedes factorizarlo? Cmo lo haras?

SECUANCIA DIDCTICA

1. Un proveedor de COSTCO le notifica a la empresa que aumentar el tamao de la base de las racas (las superficies de madera donde se asientan las cajas de productos) que originalmente medan como se mues tra en la figura No. 1.

Determina las nuevas dimensiones de la base si se piensa aumentar 2 unidades de largo y 2 unidades de ancho como se muestra en la figura No. 2.

Largo: ___________________

Ancho: ___________________

rea: ____________________

Fig. 1 Fig. 2

2x 2x 22

xx


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7 88

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+ - = / %

2. Resuelve los siguientes ejercicios, obteniendo una expresin para el rea de las diferentes figuras segn las dimensiones dadas.

FACTORIZACIN DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA

El trinomio de la forma x2+ bx+c se reconoce porque slo uno de sus trminos es cuadrtico con coeficiente igual a 1 y admite raz cuadrada, un trmino lineal (bx) y un trmino independiente que no contiene x. El trinomio puede ser tambin de la forma:ax2 + bx + c, con coeficiente a 1. En ambos casos la expresin que resulta del producto de binomios con un trmino en comn recibe el nombre de trinomio de segundo grado.

3. Factoriza:

1. x2 + 2x 8 = 2. X2 - 8x + 15 3. 8x2 2x - 3 4. x2 + 8x + 12 = 5. X2 - 7x 18 6. 2x2+ 5x +3 7. x2 + 9x +14 = 8. X2 + 11x + 28 9. 2y2 +3y 9 10. x2 -5x + 6 11. X2 + x 42 12. 2a2 -5a +2 13. x2 +7x + 12 14. X2 + 5x - 24 15. 4x2 8x +3 16. 3x2 + 14x - 5 17. X2+ 3x + 2 18. 3x2 x - 10 19. x2 3x + 2 20. X2 - 4x 5 21. 122y2+11y-15 22. 2x2 + 11x + 15 23. X2-4x +3 24. 3y2 +20y +25 25. 6x2 + 5x - 4 26. X2 +9 x 22 27. 7a2 -9a +2 28. X2 + 7x + 10 29. 6x2 19x +3

A =

A =

A =

A =

3x

2x

4x

x

x

x

x

x

5 5

5

x8

2

1 12

x + bx + c

BLOQUE V

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2

+ - = / %

4. Simplifica las siguientes expresiones racionales:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. x

x

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre las simplificaciones de expresiones racionales, utilizando la factorizacin.

http://www.youtube.com/watch?v=2p6wftIuIFYhttp://www.youtube.com/watch?v=0iF4MQ9lds8http://www.youtube.com/watch?v=JyXHnOJTml8


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44 11 3399

55 6

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7 88

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+ - = / %


LISTA DE COTEJO

NOMBRE

GRUPO

SEMESTRE PRIMERO


EVALUADOR

TIPO DE EVALUACIN

De acuerdo a los criterios del profesor utiliza la Autoevaluacin, Coevaluacin o Heteroevaluacion.

Evaluacin:_____________

Observaciones: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1. Orden.

2. Completo.

3. Puntualidad.

4. Aplica correctamente los procedimientos para resolver productos notables.

5. Identifica el tipo de producto notable a factorizar.

6. Resuelve correctamente los diferentes mtodos de factorizacin.

7. Resuelve expresiones racionales en forma simplificada, utilizando reglas de factorizacin y la divisin de polinomios.

BLOQUE V

43

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2

+ - = / %

RESUELVES ECUACIONES LINEALES I

BLOQUE VI

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55 6

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7 88

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+ - = / %

RESUELVES ECUACIONES LINEALES I

Las palabras se pueden traducir en el lenguaje de las matemticas, el presente bloque te servir para pensar en trminos de ecuaciones y formulas aplicables en tu vida cotidiana, y usar el lenguaje y poder describir diversas situaciones. En este bloque podrs resolver ecuaciones lineales enteras y fraccionarias, identificars la forma bsica de las ecuaciones lineales, as como, aprenders a diferenciar entre una ecuacin lineal y una funcin de la forma y = mx + b adems de resolver problemas que involucren dichos mtodos.


Identifica lo que es una ecuacin lineal en una variable y una funcin lineal, as como la relacin entre ellas. Usa diferentes tcnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Reconoce a y=mx + b, una funcin de dos variables como la forma de una funcin lineal. Aplica diversas tcnicas para graficar una funcin lineal. Modela situaciones para escribirlas como una ecuacin lineal una funcin lineal. Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una

variable. Describe el comportamiento de las variables al solucionar problemas de funciones lineales; tanto algebraica

como grfica. Aplica diferentes tcnicas para construir la grfica de una funcin lineal. Describe el comportamiento de la grfica de una funcin lineal. Representa relaciones numricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.


Reconoce a la ecuacin y a la funcin lineal como modelos matemticos, interpreta sus caractersticas y construye nuevos modelos que le permiten entender y resolver problemas relacionados con distintos mbitos, mediante tcnicas diversas; en un ambiente donde puede intercambiar opiniones con sus compaeros y colaborar con ellos en la obtencin de soluciones.


Representacin de relaciones entre magnitudes. Uso de calculadora, graficadora o una computadora. Modelos aritmticos o algebraicos.

SITUACIN DIDCTICA

Un jugador de futbol americano est sometido a un programa de acondicionamiento fsico, de tal forma que cada semana su actividad aumente durante los siguientes tres meses, antes de que empiece la temporada. En la semana 0, al inicio del programa, el jugador es capaz de hacer 200 abdominales. Se propone aumentar 30 abdominales cada semana.

a) Cmo sera la grfica donde se muestra el incremento de las abdominales que el jugador hace cada semana?

b) Cuntas abdominales estar haciendo el jugador en una semana, justo antes de que empiece el tor-neo?

BLOQUE VI

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2

+ - = / %

-2-2

SECUENCIA DIDCTICA

1. Observa las siguientes expresiones algebraicas y determina cul es una ecuacin y cul es una funcin lineal.

1. 2x y = 5 2. y = 3x + 7 3. y= 2x - 1 4. x + 4x = 5 5. y = x + 10 6. x y = 6

a) Cmo puedes expresar en tus propias palabras la diferencia entre una ecuacin y una funcin lineal?

b) Qu significa resolver una ecuacin?

ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incgnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

a. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.b. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.c. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.d. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Ejemplo 1: Resolver la ecuacin 2x 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x = 53 + 32x = 53 +2x = 56

x =

x=28

Ejemplo 2: Resolver la ecuacin 2(x 3) = 4(x - 2)

Aqu debemos de suprimir primero los parntesis, una vez eliminados se procede como el ejercicio anterior.

2x - 6 = 4x - 82x - 4x = -8 + 6-2x = -2

x=

x = 1

562

RESUELVES ECUACIONESLINEALES I

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+ - = / %

Ejemplo 3: Resolver la ecuacin

Para resolver la ecuacin que incluye denominadores se realizan productos cruzados para eliminar la fraccin, se multiplica para eliminar los parntesis, se agrupan trminos y se simplifica, obteniendo como resultado una fraccin.

5(3x +6)=7(x- 1)

15x + 30 = 7x -715x -7x = -7 - 308x = -37 x=(-37)/8

2. Resuelve los siguientes grupos de ecuaciones.

1. 3(x 1) = 5(x + 4) 5. 2x 4 = 3 9.

3x 24

=x2

2. - 2( x + 3) = 4( x -1) 6. x + 2 = 3x -7 10.

x7

=x 3

4

3. 5 (2x 4) = 3(4x + 6) 7. 3x -8 +x + 11 = 0 11.

x 34

=2x +1

9 4. 3 (x 4 +2x 5x -7) = 0 8. 5x 12 = 8 12.

3x 24

=x2

Comenta en plenaria con tus compaeros los procedimientos que seguiste para resolver estas ecuaciones.

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre la resolucin de ecuaciones lineales. http://www.math2me.com/playlist/algebra/ejercicio-de-resolver-una-ecuacion-lineal-con-parentesis

Liga para la resolucin de problemas de una ecuacin lineal. http://www.youtube.com/watch?v=wE6OydOzC-k

BLOQUE VI

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2

+ - = / %

3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes situaciones en lenguaje comn.

a) Mara es 28 aos mayor que Juan. ________________________________b) La estatura de Jorge es el doble que la de Pnfilo __________________________c) El rea de un cuadrado _____________________d) El permetro de un rectngulo ________________________e) La suma de tres nmeros es 138. El segundo es 5 unidades mayor que el menor y el tercero es 10 mayor que

el menor.________________________f) Tres nmeros estn relacionados de tal modo que el segundo es 2 unidades mayor que el primer nmero y el

tercero es 4 unidades mayor que el primero. La suma de sus cuadrados es 56 unidades mayor que tres veces el cuadrado del nmero menor. ____________________________________

g) La longitud de un rectngulo excede a su anchura por 2 pies. Si cada dimensin fuese incrementada en 3 pies, el rea se incrementara en 51 pies. __________________________________________

h) Cuntas onzas de plata pura debemos agregar a 100 oz. de una pureza de 40% para obtener una mezcla que tenga una pureza de 65%?

_____________________________________________________

4. Expresa en lenguaje comn las siguientes expresiones algebraicas:

a)

3x+2 =__________________________________________________________b)

2x+6y =_________________________________________________________c)

x 2 + y 2 =_________________________________________________________

d)

x + y( )2 =________________________________________________________e)

8xy =___________________________________________________________

Resolucin de problemas que involucren ecuaciones lineales

Para resolver cualquier problema por medio de ecuaciones debes seguir el siguiente procedimiento: Comprende el problema Plantear el problema Resolver el problema

5. Resuelve los siguientes ejercicios planteando su respectiva ecuacin:

a) Lorena tiene el doble de CD que Estela, y entre ambas tienen 111. Cuntos CD tenemos cada una?b) Tres nmeros consecutivos suman 210. Cules son esos nmeros consecutivos?c) Hace diez aos la edad de Yolanda era cuatro veces mayor que la edad de Lupita, y en la actualidad, la edad

de Yolanda es solamente el doble que la de Lupita. Cules son las edades de ambas?d) Las edades de tres hermanos suman 100 aos. El mayor tiene 10 aos ms que el de en medio y el menor

tiene la mitad de los aos del mayor. Cules son las edades de los tres hermanos?e) El permetro de un rectngulo es de 100 cm. El ancho mide 10 cm menos que su largo. Cules son las

dimensiones del rectngulo?f) En un tringulo el mayor de los ngulos mide 3 veces el ngulo menor, el ngulo de en medio mide el doble del

ngulo menor. Cunto miden los tres ngulos?g) La base de un rectngulo mide 5 cm ms que el doble de su altura. Podras plantear una expresin que

permita encontrar las dimensiones del rectngulo, considerando que su permetro es 46 cm?h) La suma de tres nmeros pares consecutivos da 42. Cules son esos nmeros?i) Un campesino utiliza 100 metros de malla para cercar un terreno que tiene forma rectangular. Si el largo es el

triple del ancho, cules son las dimensiones del terreno?j) Se sabe que un terreno rectangular tiene 1200 metros de permetro y su largo tiene 160 metros ms que su

ancho. Cules son sus dimensiones?k) La suma de las edades de Jos y Juan Pablo dan 80 aos. Si se sabe que Jos es 65 aos ms grande que

Juan Pablo, encuentra las edades de ambos.


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55 6

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7 88

22

+ - = / %

FUNCIN LINEAL

Una forma comn de las ecuaciones lineales de dos variables es:

Donde m representa la pendiente y el valor de b determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen). Dicha ecuacin se puede representar en el plano cartesiano y la grfica que se obtendr ser una lnea recta

y = m . x + b;

As, en la grfica se puede observar que la ordenada al origen b, es el nmero 4, que es el punto de interseccin en el eje y.

La pendiente de esta recta es m = 21

porque se observa

que a partir del punto A se desplaza una unidad hacia abajo, por cada dos unidades hacia la derecha.

6. Determina el valor de la pendiente y ordenada al origen de las siguientes funciones lineales.

a) y = 2x 5b) y = - 3 + x

c) y = 435

+ x

d) 3x y = 6e) 4x + 2y = 8

7. Traza la grfica de las siguientes funciones:

a) y = 3x - 2

b) y = 643

+ x

Te sugerimos ver el video, para reforzar tus conocimientos sobre funciones.

http://www.youtube.com/watch?v=dLNxF4SlxIw

BLOQUE VI

49

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2

+ - = / %

X I20 40 60 80 100

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100

8. Completa la tabla y traza la grfi ca del siguiente caso:

Si consideramos que el precio de venta de un hot dog es de $10 cada uno, calcula los ingresos que genera un carrito en el que se venden tantos hot dogs como dice la siguiente tabla en cierta semana del mes:

9. En el momento de entrar a un estacionamiento el costo es de 15 pesos y por cada hora o fraccin el costo adicional es de 10 pesos.

a) Determina la ecuacin de la funcin lineal.b) Haz el esquema o grfi ca para las primeras 5 horas de estacionamiento.c) Cunto pagara una persona si en el estacionamiento dura ocho horas?

10. Describe el comportamiento de las variables U (utilidad o ganancia, en miles de pesos) y X (volumen de produccin o nmero de artculos producidos), considerando que la utilidad est en funcin del volumen de produccin, segn la ecuacin lineal U = 8x 20

Realiza una tabla considerando los valores para x = {10, 20, 30, 40, 50} y grafi ca los resultados obtenidos:

ingreso

hot dog-1


50

44 11 3399

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+ - = / %


Datos de identificacin:

Nombre del alumno: Grupo:

Bloque: VI Resuelves ecuaciones lineales I

Evala:


Evaluacin:_____________

Observaciones: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Criterios de desempeo Excelente 3Bien

2Regular

1Deficiente

0

1. Puntualidad.

2. Limpieza.

3. Orden.

4. Completo.

Criterios de la escala de valores

Criterios de desempeo Excelente 7Bien

5Regular

3Suficiente

1Deficiente

0

5. Resuelve correctamente ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones por el mtodo solicitado.

6. Plantea correctamente la situacin descrita.

7. Resuelve correctamente aplicando los procedimientos algebraicos.

8. Interpreta correctamente el resultado obtenido.

BLOQUE VI

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2

+ - = / %

RESUELVES ECUACIONES LINEALES II

BLOQUE VII

52

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22

+ - = / %

RESUELVES ECUACIONES LINEALES II

En el bloque anterior aprendiste a identificar, a modelar y a resolver problemas que requeran el uso de una ecuacin lineal. En este bloque observars que para encontrar soluciones comunes de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas se necesita formar con ellas un sistema.

En Matemticas un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones, consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables y que satisfaga las ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de las Matemticas y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y comnmente en programacin lineal. En este bloque podrs resolver actividades con sistemas de ecuaciones simultneas con dos incgnitas, utilizando diversos mtodos (grficos, analticos y numricos) y la resolucin de problemas que incluyan dos variables.


Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incgnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones dos incgnitas mediante mtodos:

- Numrico: Determinantes. - Algebraicos: Eliminacin por igualacin, reduccin (suma y resta) y sustitucin. - Grficos.

Expresa y soluciona situaciones, utilizando sistemas de ecuaciones con dos incgnitas. Identifica grficamente si un sistema de ecuaciones simultneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico, utilizando mtodos algebraicos, numricos y

grficos. Elabora o interpreta grficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de

sistemas de ecuaciones con dos incgnitas.


Reconoce un sistema de dos ecuaciones lineales como un modelo matemtico, interpreta sus caractersticas y construye nuevos modelos que le permiten entender y resolver problemas relacionados con distintos mbitos mediante tcnicas diversas; en un ambiente donde puede intercambiar opiniones con sus compaeros y colaborar con ellos en la obtencin de soluciones.

Objeto de aprendizaje:


BLOQUE VII

53

44 11 339 99 55 66 77 8

82

2

+ - = / %

SITUACIN DIDCTICA:

Jos desea establecer una dulcera en la plaza comercial, para ello se dirige a la oficina administrativa. El gerente le comunica que el espacio disponible es de 20 m de permetro. Jos desea que el triple del ancho sea el doble del largo, pero el gerente le dice que el largo debe ser de al menos 6 m. Las dimensiones que Jos piensa, cumplirn con las condiciones del gerente?

a) Cuntas incgnitas hay en el problema? b) Cuntas ecuaciones puedes construir segn el texto?c) Cules son esas ecuaciones?

Lee el problema planteado y re

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Matemáticas i