MATEMATICAS III - :: Galeón : Crea tus páginas web … · Web viewAl cortar con un plano a uno o dos conos unidos en sus vértices, se obtienen las siguientes figuras: la circunferencia,

MATEMATICAS III

UNIDAD 3. LA CIRCUNFERENCIA

3.1. Circunferencia y otras secciones cónicas3.1.1. Cortes en un cono para obtener circunferencias y elipses3.1.2. Cortes en un cono para obtener parábolas 3.1.3. Cortes en un cono para obtener hipérbolas

3.2. Caracterización geométrica 3.2.1. La circunferencia como lugar geométrico 3.2.2. Elementos asociados con una circunferencia 3.2.3. Formas de trazo a partir de la definición

3.3. Ecuaciones ordinarias de la circunferencia 3.3.1. Circunferencia con centro en el origen 3.3.2. Circunferencia con centro fuera del origen

3.4. Ecuación general de la circunferencia 3.4.1. Conversión de forma ordinaria a forma general 3.4.2. Conversión de forma general a forma ordinaria

3.5. Circunferencia que pasa por tres puntos 3.5.1. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia 3.5.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos

Sección de tareas Autoevaluación Ejercicio de reforzamiento

Objetivos:El alumno:Resolverá problemas teóricos o prácticos relativos a la circunferencia, a partir de su caracterización como lugar geométrico, que permita aplicar e integrar sus propiedades, gráficas y sus ecuaciones ordinarias y general, recuperando los conceptos, técnicas y procedimientos, geométricos y analíticos, sobre puntos, rectas y segmentos, así como ejecutar los cortes que se juzguen convenientes para obtener las cónicas, y contribuirá a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad y colaboración hacia el entorno en que se desenvuelve.

Matemáticas III – Bloque 3 (unidad 3) 1

3.1 CIRCUNFERENCIA Y OTRAS SECCIONES CÓNICAS

Existe un grupo de líneas curvas, que los griegos llamaron cónicas, que por sus características específicas tienen una aplicación muy amplia en la ingeniería, en la industria, en la comunicación, etc.A este tipo de líneas se les da el nombre de cónicas, por la forma como se generan.Al cortar con un plano a uno o dos conos unidos en sus vértices, se obtienen las siguientes figuras: la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Veamos primeramente cómo obtener circunferencias y elipses.

3.1.1. Cortes en un cono para obtener circunferencias y elipses.La circunferencia se obtiene haciendo el corte, con el plano en forma horizontal:

Es muy probable que la cónica más conocida sea la circunferencia, ya que se encuentra en una gran cantidad de objetos, utensilios, herramientas, etc. Tales como: botones, monedas, artesanías, autos, platos, tapas, etc. Además en otros cursos de matemáticas se ha manejado, aunque con un enfoque geométrico, sus características y los elementos que la integran, como: el centro, radio, diámetro, cuerda, tangente, etc.

Cuando el corte se hace en forma diagonal, se obtiene la elipse.

La elipse también es posible encontrarla en la naturaleza, tal es el caso de los planetas que siguen órbitas elípticas alrededor del sol, en la industria y en la relojería, la encontramos también en resortes y engranes de muchos productos.

3.1.2. Cortes en un cono para obtener parábolas.Si el corte se hace de forma inclinada, paralelo al lado del cono, se obtiene la curva llamada Parábola.Cuando se lanza una pelota o una piedra con un cierto ángulo de inclinación, la trayectoria que sigue es la de una curva llamada parábola, esta curva tiene una gran cantidad de propiedades, que son aplicadas, por ejemplo en las llamadas antenas parabólicas, sean receptoras o emisoras, en focos de los automóviles, etc. También es común verla en la naturaleza, en la trayectoria seguida por algunos cometas, etc.


3.1.3. Cortes en un cono para obtener hipérbolas.Si se colocan dos conos unidos en sus vértices y se cortan ambos con un plano vertical, se obtiene la hipérbola.La hipérbola también tiene múltiples aplicaciones; una de ellas la realizan los pilotos de avión para determinar su posición. Ellos reciben señales de tres posiciones conocidas y con ciertos cálculos sencillos saben donde se encuentran. Es importante en balística, para localizar el lugar desde donde se hace un disparo, en Física se sabe que si se disparan partículas alfa hacia el núcleo de un átomo, éstas son repelidas siguiendo una trayectoria hiperbólica.Todos estos ejemplos son una pequeña muestra de las múltiples aplicaciones prácticas que se pueden dar a las cónicas.


Ejercicio 1:

1. Efectuar en conos de papel plegados longitudinalmente, los cortes que generan circunferencias y elipses y explicar por qué la circunferencia constituye un caso particular de la elipse.

2. Efectuar en conos de papel plegados longitudinalmente, los cortes que generan parábolas e hipérbolas.

TAREA 1 Nombre:

Número de lista: Grupo:

Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: En equipo, realiza lo siguiente:

1. Elabora un dibujo donde se ubiquen los principales elementos de un cono.

2. Investiga las fórmulas para calcular el área y el volumen de un cono y plantear y resolver 3 ejemplos donde se apliquen.

3. Investiga con Arquitectos e Ingenieros (Industriales, Mecánicos, Civiles, Etc.), situaciones prácticas donde se utilicen las cónicas.

3.2 CARACTERIZACIÓN GEOMÉTRICALa circunferencia es, después de la recta, una de las figuras más estudiadas en geometría elemental, ya que su trazo es muy simple y sólo se requiere de un compás. En este tema se verá primeramente a la circunferencia como lugar geométrico, enseguida algunos de los elementos asociados con ella y después algunas formas de trazo a partir de su definición.

3.2.1. La circunferencia como lugar geométricoDefinición: Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es siempre igual a una constante, llamada radio. Desde el punto de vista algebraico, a diferencia de las rectas que son ecuaciones de primer grado, una circunferencia queda representada por una ecuación de segundo grado con dos variables, por ejemplo x² + y² - 4x + 6y – 27 = 0.


Semicircunferencia

Semicircunferencia: Mitad de una circunferencia.

Círculo

El círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia.

Semicírculo

Semicírculo: Mitad de un círculo.

3.2.2. Elementos asociados con una circunferencia.

Elemento Representación gráficaRadio: Segmento que une el centro del círculo con un punto de la circunferencia.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Es la cuerda de mayor longitud, pasa por el centro y equivale al doble del radio.


Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Secante: Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente: Recta que intersecta o que “toca” a la circunferencia en un punto.

Ángulo central: Ángulo formado por dos radios.

Ángulo inscrito: Ángulo formado por dos cuerdas que tienen como punto común un punto de la circunferencia.

Sector circular: Parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido por ellos.

Segmento circular: Parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco que comprende.

Es importante tener presentes las siguientes propiedades de la circunferencia:

Propiedad Gráficamente


Si un ángulo inscrito en una circunferencia subtiende al diámetro, es un ángulo recto.

La mediatriz de una cuerda cualquiera de la circunferencia pasa por el centro.

Tres puntos determinan una circunferencia y su centro es el punto de intersección de las mediatrices de dos de sus cuerdas.

La recta tangente a la circunferencia en un punto es perpendicular a la recta radial que pasa por el punto de tangencia

Longitud y áreaRecordarás que en geometría elemental viste como obtener el perímetro y el área de un círculo por medio de:

P= 2¶ r y A= ¶ r²

Si se trata de una circunferencia, obtendremos su longitud L en lugar de su perímetro, la cual está dada por:

L= 2¶ r

Pero si lo que buscamos es la longitud de un arco de circunferencia, con un ángulo central θ, está dada por:

L= r θ

Donde θ está expresado en radianes. Cuando buscamos el área de un sector circular, por ejemplo una rebanada de pizza, utilizamos:


Ejemplo 1. ¿Cuál es, aproximadamente, el perímetro y el área de una moneda de cinco pesos?Medimos con una regla el radio de la moneda y resulta alrededor de 1.25 cm.Por lo que:

P= 2¶ r = 2 ¶ = 2¶ (1.25) = 7.8539 cm.

A= ¶ r² = ¶ (1.25)² = 4.9087 cm².

Ejemplo 2. ¿Cuál debe ser el radio de la circunferencia si se va a hacer un aro con un alambre con una longitud de 95 cm.?

L=2¶ r

Ejemplo 3. ¿Cuál es la longitud de un arco de circunferencia donde

, ¿Cuál es el área de sector circular?

3.2.3. Formas de trazo a partir de la definición.El trazo de una circunferencia es uno de los más simples. Éste se puede hacer, por ejemplo, con un clavo o tachuela y con un hilo tal como lo hacen los jardineros, pero obtendrás gráficas más precisas utilizando un compás.


Ejemplo 1. Tiene su centro en C (2,1) y radio r = 4

Ejemplo 2. Tiene su centro en el origen y pasa por el punto P(3,4)

Ejemplo 3. Tiene su centro en C(-4,2) y es tangente al eje X.

Ejercicio 2:

1) Traza la gráfica y determina la longitud de la cuerda L y el área A del sector circular, si


2) Dibuja un círculo de área:

a) 20 u²b) 16¶ u²c) 49¶ u²

3) Dibuja una circunferencia de longitud: a) 3,1416 u. b) 45 u. c) 100 u.

4) Traza un arco de circunferencia cualquiera y localiza su centro.

5) Traza una circunferencia cualquiera, toma tres de sus puntos y localiza su centro.

6) Traza la gráfica de una circunferencia de centro en el origen y que tiene un diámetro de 8 u.

TAREA 2 Nombre:


Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: Utilizando, regla, compás y papel cuadriculado o milimétrico, realiza lo siguiente:

1. Traza la gráfica de cada circunferencia:

a) C(-3,-2) y r= 4.b) C(4,-3) y tangente al eje Y.c) C(5,-4) y tangente al eje Xd) C(2,1) y pasa por el punto P(-2,6).e) Diámetro con extremos en A(1,-4) y B(7,4).f) C(-1, 2) y tangente a la recta 4x + 3y -12 = 0.g) Pasa por los puntos A(-3,2), B(1,6) y C(7, 4)

2. Traza la gráfica y determina la longitud de la cuerda L y el área A de un sector circular si:


3.3 ECUACIONES ORDINARIAS DE LA CIRCUNFERENCIACuando en astronomía se logra observar las posiciones de un cuerpo que gira alrededor de otro en órbita circular (o elíptica), es posible determinar la ecuación de su trayectoria y así predecir en qué momento pasará por un punto que sea de interés para el científico.Así como para determinar la ecuación de una recta vimos que era necesario conocer un punto por donde pasa y su pendiente, para encontrar la ecuación de una circunferencia es necesario conocer su centro y su radio utilizando para ello la ecuación ordinaria de la circunferencia. Veremos, en primer término, la ecuación de una circunferencia con centro en el origen, y después su ecuación cuando el centro de la circunferencia está en cualquier punto del plano cartesiano.

3.3.1 Circunferencia con centro en el origen.Obtención de la ecuación conocido el centro y el radio.Si el centro de la circunferencia de radio r es el origen, O(0,0), su ecuación está dada por:

x² + y² = r ²

Ya que la distancia del origen al punto P es:

La cual se conoce como forma canónica de la ecuación de la circunferencia.

Dado que Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro,


es siempre igual a una constante, llamada radio, cualquier punto P(x, y) que satisfaga la ecuación está en la circunferencia o pertenece a la circunferencia.

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene su centro en el origen y radio r=3.

x²+y² = r²x²+y² = (3) ²

x²+y² = 9x²+y²-9 = 0

¿Pertenece el punto Q(3,1) a esta circunferencia? Como el punto Q no satisface la ecuación, (3)² + (1)² - 9 0 entonces no pertenece a la circunferencia.

Ejemplo 2. Una circunferencia de radio tiene su centro en el origen. ¿Cuál es su ecuación?


Ejemplo 3. Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene su centro en el origen y que pasa por el punto P(5,2).Obtengamos primeramente el radio de la circunferencia; puesto que la circunferencia pasa por el punto P(5,2) se cumple que:

Una vez que conocemos su radio, su ecuación resulta:

¿Pertenece el punto T(-2, - 5) a esta circunferencia? ¿por qué?Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación.Por otro lado si se conoce la ecuación de una circunferencia con centro en el origen es fácil determinar su radio transformando la ecuación a su forma canónica.

Ejemplo 1. Determina el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es

x² + y ² - 20 = 0x² + y ² - 20 = 0

x² + y² = 20x² + y² = r²

de donde r² = 20


Ejemplo 2. La ecuación de una circunferencia es 5x² + 5y² - 45 = 0. Trazar su gráfica y calcular su longitud.

Encontremos, primeramente su centro y radio.

5x² + 5y² - 45 = 0, simplificando

x² + y² - 9 = 0x² + y² = 9x² + y² = r²

de donde r² = 9

Su longitud es:

Ejercicio 3:

1. Completa la siguiente tabla:


Centro Radio EcuaciónC(0,0) r = 8C(0,0) r= √7C(0,0) r= 3/4

x² + y² - 36 =09x² + 9y² - 49 =0

x² + y² =6.25

2. Uno de los diámetros de una circunferencia tiene por extremos a los puntos A(-6,8) y B(6,-8). Traza su gráfica y determina su ecuación.

3. Traza la gráfica y encuentra el área del círculo limitado por la circunferenciax² + y² - 16 = 0

4. Traza la gráfica y encuentra las coordenadas de cuando menos 10 puntos que pertenezcan a la circunferencia x² + y² - 25 = 0

3.3.2. Circunferencia con centro fuera del origen.Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio.Si el centro de la circunferencia de radio r es el origen, C(h,k), su ecuación está dada por:

(x - h)² + (y – k)² = r²

Ya que:

d (CP) = r

La cual se conoce como forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia


Ejemplo 1. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C(3, -2) y radio r = √29

Si el centro C(h, k) es C(3, -2), entonces h = 3 y k = -2

¿Pertenece el punto P(5, 3) a la circunferencia? (5)² + (3) ² - 6(5) + 4 (3) – 16 = 0

25 + 9 -30 +12 -16 = 00 = 0, si pertenece

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos Q y R que tengan abscisa 1 y que pertenezcan a la circunferencia?

Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1,3) y que es tangente al eje X.


Si es tangente al eje X resulta que su radio es r= d(CT) = 3, por lo tanto su ecuación será:(x - h)² + (y – k)² = r²

(x + 1) ² + (y – 3)² = (3) ²x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 9

x² + y ² + 2x – 6y + 1= 0

Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación.

Cuando se tiene la ecuación de una circunferencia en su forma ordinaria(x - h)² + (y – k) ² = r²

Podemos obtener directamente su centro C(h, k) y su radio r.

Digamos que la ecuación de una circunferencia es

(x - 5) ² + (y + 4) ² =121

Entonces su centro es C(5, -4) y su radio r= √121 = 11

También, si conocemos la ecuación de una circunferencia, en su forma general, es posible determinar su centro y su radio transformando la ecuación a su forma ordinaria, asociando los términos en cada variable, completando los trinomios cuadrados perfectos correspondientes y simplificando la ecuación.

Ejemplo1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia.

x² + y² + 4x – 6y + 2 = 0

Primeramente, asociamos términos y restamos 2 en ambos miembros de la ecuación.

x² + 4x + y² - 6y = -2


Después, completamos los trinomios y simplificamos.

x² + 4x + (2)² + y² - 6y + (-3) ² = -2 +4 +9(x + 2) ² + (y – 3) ² =11

Por lo que podemos decir que su centro es C(-2, 3) y su radio r = √11.

Ejemplo 2. Encontrar el área del círculo limitado por la circunferencia cuya ecuación es: 4x² + 4y² + 20x + 12y -15 = 0.

Simplifiquemos la ecuación y asociemos términos.

Completamos los T.C.P.

TAREA 3 Nombre:


Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: Utilizando, regla, compás y papel cuadriculado o milimétrico, realiza lo siguiente:1. Obtén las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro es C y el radio es r:

a) C(0, 0) y r = 6b) C(0, 0) y r = 4.25c) C(-2, -5) y r = 9d) C(5, -2) y r = 15e) C(-1, 4) y r = ¾f) C(-3, ½) y r = √13


2. Obtén, en su forma general, las ecuaciones y traza la gráfica de cada circunferencia:a) Su centro esté ubicado en C(2, -5) y que pase por el punto (3, -4).b) Tiene su centro en el origen y pase por el punto (8, -6).c) Uno de sus diámetros está dado por los puntos A(-6, 5) y B(4, -3).d) Uno de sus diámetros esté definido por los puntos D(7, -2) y E(3, 6).e) Tiene su centro en C(-4, -6) y es tangente al eje Y.f) Tiene su centro en C(-4, -6) y es tangente al eje X.g) Centro en el punto (-4, 2) y sea tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0.h) Tiene su centro en (-2, 3) y sea tangente a la recta 20x –21y – 15 = 0i) Tiene su centro en el origen y tangente a la recta 8x –15y – 12 = 0.j) Centro en el punto de intersección de las rectas 3x – 2y -8=0 yX + 3y + 1 = 0 y radio r = √17

3. Obtén la ecuación de las siguientes circunferencias:

Ejercicio 4:


CENTRO RADIO ECUACION LONGITUD AREAC(-4,3) r=7C(2,5) r=4.5C(0,0) r=√8

(x-2)² + (y+4)² = 9(x+3) ² + (y-0) ² = 7

C(0,6) 25¶ u²

2. Encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

a) x² + y² - 10x + 14y + 10 = 0b) 4x² + 4y² + 32x -12y + 9 = 0


3. Determina el área del semicírculo limitado por: x² + y² - 8x – 20 = 0.

3.4 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIASi observas las características de las ecuaciones de las circunferencias, ya sea con centro en el origen o en cualquier otro punto del plano, te darás cuenta de que son ecuaciones tipo polinomial, de dos variables y de segundo grado y que son un caso particular de la ecuación general de segundo grado con dos variables:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Por medio de la cual se puede representar a las cónicas (circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas). En el caso de la circunferencia se cumple que:A = C y que B = 0.3.4.1 Conversión de forma ordinaria a forma general.

Si desarrollamos la ecuación ordinaria de una circunferencia obtenemos la ecuación en su forma general.

(x – h)² + (y – k) ² = r²x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²

x² + y² -2hx – 2ky + h² + k² - r² = 0

Si hacemos D = -2h, E = - 2k, y F = h² + k² - r²; la ecuación queda:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

A la cual le llamamos forma general de la ecuación de la circunferencia.Si el centro de la circunferencia está en el origen, C(0, 0), entonces D=0 y E=0, la ecuación es de la forma:

x² + y² + F = 0

Si el centro de la circunferencia está sobre el eje X, C(h, 0), E = 0, la ecuación es de la forma:

x² + y² + Dx + F = 0

¿Cómo es la forma de la ecuación de una circunferencia con centro sobre el eje Y, C(0, k)?En la ecuación de una circunferencia en su forma general, los coeficientes de los términos de segundo grado son idénticos, en este caso ambos equivalen a la unidad, aunque esto no es necesario, basta con que A = C en la ecuación general de segundo grado, ya que si éstos valores son iguales la ecuación se puede simplificar de tal manera que los coeficientes se reduzcan a uno.

Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en C(-2, 5) y radio r= 3 en su forma ordinaria y en su forma general.

Forma ordinaria: (x –h)² + (y – k) ² = r²(x + 2) ² + (y – 5) ² = (3) ²


Forma general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0D = -2h = -2 (-2) = 4E = -2k = -2(5) = -10F = h² + k² - r² = (-2) ² + (5) ² - (3) ² = 4 + 25 -9 = 20

x² + y² + 4x -10y + 20= 0

Ejemplo 2. Obtener la ecuación en su forma general de una circunferencia con centro en C (-4, 0) y radio r= √19

Forma general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0D = -2h = -2 (-4) = 8E= -2k = -2 (0) = 0F= h² + k² - r² = (-4) ² + (0) ² - (√19) ² = 16 +0-19= -3x² + y² + 8x -3 = 0

Por lo visto anteriormente podemos establecer que una circunferencia siempre queda representada por una ecuación de la forma x² + y² + Dx + Ey + F = 0, pero, no necesariamente se cumple lo contrario, esto es, una ecuación de este tipo puede no representar una circunferencia como veremos enseguida.

3.4.2 Conversión de forma general a forma ordinaria.Hay ocasiones que en vez de pedirnos la ecuación de la circunferencia se nos solicita obtener sus elementos y hacer la gráfica, para ello, requerimos como dato inicial la ecuación, representada en forma general, o sea:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Para obtener sus elementos a partir de esta ecuación, necesitamos transformarla a su forma ordinaria, para ello podemos seguir los siguientes pasos:

1. Ordenar los términos de la forma general, agrupando a las variables que sean iguales:

(x² + Dx) + (y² + Ey) = -F

2. Se completan los trinomios cuadrados perfectos, agregando los términos:

A ambos lados de la igualdad:

3. Factorizando se transforman los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:


Quedándonos así expresada en la forma ordinaria (x – h) ² + (y – k) ² = r²Donde:

El centro C (h,k) y el radio r son en este caso:

La cual representa la ecuación de una circunferencia sólo si el miembro de laderecha, que nos representa r², es mayor que cero (r²>0).

En el caso de que r² sea igual a cero (r² = 0), significa que el radio es cero y la ecuación representa a un punto, de coordenadas (h,k).

Si r² es menor que 0 (r² < 0), la ecuación no representa ningún punto real.

Estas tres condiciones las podemos resumir en la siguiente tabla:

r² > 0 r² = 0 r² < 0

CIRCUNFERENCIA PUNTO NO HAY GRAFICA

Ejemplo. Determinar que tipo de gráfica representa la ecuación

x² + y² + 8x -6y + 25 = 0.

En este caso D = 8, E = -6 y F = 25, de donde:

Por lo que la ecuación representa únicamente un punto C(-4,3).


Ejercicio 5:


CENTRO RADIO EC. FORMA ORD. EC. FORMA GENERALC(-1,4) r=6C(0,5) r= √10

(x+2)² + (y-5)² = 7(x-6) ² + y² = 144

x² + y² - 2x + 6y -6 =0x² + y² - 3x + 5y -8 =0

2. Escribe una ecuación en forma ordinaria y en forma general que represente a un punto.

3. Determina qué representan gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x² + y² - 20x + 8y + 117 =0b) x² + y² + 12x – 6y + 45 = 0

TAREA 4 Nombre:


Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas:

1. Encuentra el valor del radio, las coordenadas del centro, longitud y área de las circunferencias representadas por las ecuaciones:

a) x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0b) x² + y² + 4x -10y – 52 = 0c) 4x² + 4y² - 100 = 0d) 2x² + 2y² - 14x + 10y – 9 = 0e) x² + y² - 10y + 21 = 0f) x² + y² + 6x -11 = 0

2. Determina el tipo de gráfica que corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x² + y² - 6x + 8y +29 = 0b) x² + y² + 4x -10y -52 = 0c) x² + y² + 100 = 0d) 3x² + 3y² - 75 = 0


e) 2x² + 2y² - 8x + 12y -25 =0f) x² + y² = 0g) x² + y² + 4x +10y +29 = 0h) x² + y² -10y +21 = 0i) 5x² + 5y² + 30x -55 = 0

3. Comprueba, gráficamente, que x² + y² + 4x +6y -23 = 0 y x² + y² -8x -10y +25 = 0 son circunferencias tangentes. 4. Respecto a la circunferencia (x-2)² + (y-3)² = 4 determina si el punto P (1/2, ½) se encuentra: dentro, fuera, en el centro o sobre la misma.

3.5 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOSCuando estudiamos la línea recta vimos que dos puntos determinan su gráfica y con ellos podemos obtener su pendiente y su ecuación, pero, ¿serán suficientes dos puntos para determinar una circunferencia y encontrar su centro y su radio?La respuesta es no, ya que por dos puntos podemos trazar una cantidad indefinida de circunferencias que pasen por los mismos.En el tema 2 de esta unidad mencionamos que tres puntos determinan una circunferencia y conociéndolos se puede determinar su centro y su radio y por lo tanto su ecuación.

3.5.1 Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia.

Resulta claro que por un punto A podemos trazar un número infinito de circunferencias.


Lo mismo que por dos puntos A y B.

Pero por tres puntos A, B y C, podemos trazar únicamente una circunferencia.

Esto quiere decir que, geométricamente una circunferencia queda determinada por tres puntos no colineales, es decir, tres puntos A, B Y C que no estén en una misma recta y su centro será el punto de intersección de las mediatrices de dos de sus cuerdas.

Una vez encontrado el centro de la circunferencia, para determinar su radio lo podemos hacer determinando la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos por los que pasa la circunferencia.Ahora bien, puesto que toda circunferencia se puede representar por una ecuación de la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, si un punto pertenece a dicha circunferencia satisface su ecuación, por lo que al sustituir los tres puntos conocidos obtendremos tres ecuaciones con las 3 incógnitas D, E y F (sistema 3X3) y analíticamente la circunferencia está determinada cuando el sistema sea consistente, es decir que tenga solución y que sea única.

3.5.2 Obtención de la ecuación dados tres puntos.Con los siguientes ejemplos veremos dos formas distintas para encontrar la ecuación de la circunferencia donde se conocen tres puntos no colineales por los que pasa o que le pertenecen.

Ejemplo 1. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1,4), Q(9,8) y R(11,4).


Encontremos, primeramente la ecuación de la mediatriz de la cuerda PQ.

El punto medio del segmento P(1,4) y Q(9,8) es

Ahora, encontramos el punto medio de la cuerda Q(9,8) y R(11,4).

Su pendiente es:

Por lo que la pendiente de su mediatriz es

La ecuación la mediatriz es:


Ahora, como el centro C(h,k) es el punto de intersección de las dos mediatrices, para encontrarlo resolvemos el sistema 2X2 resultante:

Para obtener y sustituimos x = 6 en la primera ecuación.2x – y – 16 = 02(6) + y -16 = 012 + y -16 = 0

y = -12 +16 y = 4

Por lo que el centro C(h,k) =C(x,y) =C(6,4) tal como se muestra en la siguiente figura.Enseguida, obtendremos el radio de la circunferencia utilizando el centro y cualquiera de los tres puntos. C(6,4) y Q(9,8)

r² = (x-h) ² + (y-2) ²r² = (9-6) ² + (8-4) ² = 9+16 = 25r = √25 = 5

Observando la figura es fácil darse cuenta que la distancia del centro a P y del centro a Q también es 5.Finalmente, con el centro C(6,4) y el radio r = 5 obtendremos la ecuación de la circunferencia.

(x-h) ² + (y-k) ² = r²(x-6) ² + (y-4) ² = (5) ²

x² + y² - 12x -8y +27 = 0

En la figura también podemos ver que PR es el doble del radio por lo que el ángulo inscrito Q subtiende al diámetro y por lo tanto es un ángulo recto o mide 90°.


Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1,4), Q(9,8) y R(11,4).La ecuación de la circunferencia es de la forma:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

El punto P(1,4) satisface su ecuación, por lo tanto:

(1)² + (4) ² + D (1) + E(4) + F = 01 + 16 + D + 4E + F = 0

D + 4E + F = -17

Con el punto Q(9,8) se obtiene

(9)² + (8) ² + D(9) + E(8) + F = 081 + 64 +9D + 8E + F = 0

9D + 8E + F = -145

Y con el punto R(11,4) obtenemos:

(11)² + (4) ² + D(11) + E(4) + F = 0121 + 16 + 11D + 4E + F = 0

11D + 4E + F = -137

Así, para encontrar el valor de D, E y F podemos resolver el sistema tres por tres por el método de determinantes (o regla de Crámer) visto en el matemáticas 1.


De donde resulta:


Por lo que la ecuación de la circunferencia resulta ser:

x² + y² + Dx + Ey + F =0

x² + y² -12x – 8y +27 = 0

Como podemos ver se obtiene la misma ecuación por cualquiera de los dos métodos.

Ejercicio 6:

Resuelve los siguientes problemas:1. Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento P(-2, 1) y Q(6,5) utilizando su punto medio y pendientes.

2. Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento P(-2, 1) y Q(6,5) utilizando que d(CP) = d(CQ).

3. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-1,4) y B(3,-2) y que tiene su centro en la recta cuya ecuación es x + 2y + 4 = 0.

4. Obtén la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje X y que pasa por (-2, 3) y (4,5).

5. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos K(-2,-3), L(3,2) y M(6,1).

6) Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos R(-1,3), S(7,7) y T(9,3), utilizando: d(CR) = d(CS) y d(CR) = d(CT).


TAREA 5 Nombre:


Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas:1. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) A(5, 10), B(7, 4) y C(-9,-4)b) P(1,2), Q(3,1) y R(-3,-2)c) J(4,4), K(0,0) y L(-4,2)d) D(7,5), E(2,3) y F(6,-7)

2. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices (6,2), (7,1) y (8, 2).

Autoevaluación Nombre:

Número de lista:

Grupo:

Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: De acuerdo a lo visto en clase contesta las siguientes preguntas, eligiendo la respuesta correcta, rellenando totalmente el círculo que corresponda:

1. La ecuación de la circunferencia de radio r = 7 y el centro que está ubicado en el origen es:

A) X² + Y² + 49 = 0B) (X-0) ² + (Y-0) ² =7C) X² + Y² = 49D) X² + Y² - 14X – 14Y =49

2. La ecuación de la circunferencia con centro en C(-3,1) y radio r = 2 es:

A) X² + Y² - 9X + Y + 10 = 0B) X² + Y² + 6X – 2Y + 6 = 0C) X² + Y² - 3X + Y + 4 = 0D) X² + Y² - 6X + 2Y -6 = 0

3. La ecuación de la circunferencia de centro en el punto C(-4,2) y diámetro igual a 8 es:


A) X² + Y² + 4X -8Y + 4 = 0B) X² + Y² - 8X + 4Y + 4 = 0C) X² + Y² + 8X - 4Y - 44 = 0D) X² + Y² + 8X - 4Y + 4 = 0

4. La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos A(-3,5) y B(7,-3).

A) X² + Y² - 4X -2Y - 36 = 0B) X² + Y² + 4X +2Y + 36 = 0C) X² + Y² + 8X – 4Y -44 = 0D) X² + Y² + 6X -10Y -36 = 0

5. La ecuación de la circunferencia de centro en C(-2,3) y que sea tangente a la recta 20X – 21Y – 42 = 0 es:

A) X² + Y² +6X – 4Y + 12 = 0B) X² + Y² -6X + 4Y -12 =0C) X² + Y² + 4X – 6Y -12 = 0D) X² + Y² +4X – 6Y -29 = 0

6. La ecuación de la circunferencia de centro en C(-1,-3) y que sea tangente a la recta que une los puntos A(-2,4) y B(2,1) es:

A) X² + Y² + 2X + 6Y – 15 = 0B) X² + Y² +6X + 2Y - 15 = 0C) X² + Y² - 6X – 2Y + 15 = 0D) X² + Y² +2X + 6Y - 25 = 0

7. La ecuación de la circunferencia X²+ Y² - 6X + 4Y - 3 = 0, expresada en su forma ordinaria queda:

A) (X +2) ² + (Y - 3) ² = 16B) (X + 3) ² + (Y - 2) ² = 16C) (X - 6) ² + (Y + 4) ² = 16D) (X - 3) ² + (Y + 2) ² = 16

8. La ecuación que representa sólo un punto es:

A) X² + 2X + 3Y + 5 = 0B) 5X – 4Y + 8 = 0C) X² + Y² + 4X - 6Y + 13 = 0D) X² + Y² + 4X - 6Y - 13 = 0

9. El área A del círculo limitado por la circunferencia representada por la ecuación: X² + Y² + 8X – 6Y + 9 = 0, es:

A) 9u²B) 16 u²C) 25 u²D) 81 u²


10. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (4,5), (3,-2) y (1,-4) es:

A) X² + Y² – 7X + 5Y - 38 = 0B) X² + Y² - 5X + 7Y - 44 = 0C) X² + Y² + 5X - 7Y - 44 = 0 D) X² + Y² + 7X - 5Y - 44 = 0

ESCALA DE MEDICION DE APRENDIZAJESi todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

Consulta las claves derespuestas en la página 34 (página final de esta unidad)

Ejercicio de reforzamiento 1

Nombre:


Turno:

Fecha:

INSTRUCCIONES: Con ayuda de investigación bibliográfica resuelve cada una de las siguientes cuestiones y presenta un reporte a tu profesor:1. Determina la ecuación de la circunferencia, si los valores del centro y el radio son:

a) C(0,0) y r = 6b) C(0,0) y r = 1c) C(-2,3) y r = 4d) C(-4,-5) y r = 2

2. Encuentra el centro y el radio de las circunferencias, cuyas ecuaciones son:

a) X² + Y² + 8X -10Y -23 = 0b) X² + Y² - 8X -7Y = 0c) 2X² + 2Y² - 6X = 0d) 5X² + 5Y² - 32X -8Y -34 = 0


3. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) A( 1,2), B(3,1) y D(-3,-1)b) E(-4,-3) F(-1,-7) y G(0,0)c) H(1,1), I(1,3) y J(9,2)d) K(8,-2), L(6,2) y M(3,-7)

4. Obtén la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados se representan algebraicamente por las ecuaciones: X – Y + 2 = 0, 2X + 3Y –1 = 0, y 4X + Y –17 = 0.

5. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados se representa algebraicamente por las ecuaciones: 4X – 3Y – 65 = 0, 7X – 24Y + 55 = 0, Y 3X + 4Y –5 = 0.

6. Obtén la ecuación de la circunferencia de centro en el origen que sea tangente a la recta cuya ecuación es 8X –15Y –12 = 0.

7. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,-4) y B(5,2) y que tiene su centro en la recta cuya ecuación es X – 2Y + 9 = 0.

8. Obtén la ecuación de la circunferencia que sea tangente a la recta cuya ecuación es 3X – 4Y – 13 = 0 en el punto A(7,2) y cuyo radio es igual a 10.

9. Obtén la ecuación de la circunferencia que sea tangente a las rectas definidas por X – 2Y + 4 = 0 y 2X – Y – 8 = 0 y que pase por el punto A(4,-1).

10. Obtén la ecuación de la circunferencia que sea tangente a las rectas definidas por: X –3Y + 9 = 0 y 3X + Y – 3 = 0 y que tenga su centro en la recta representada por 7X + 12Y – 32 = 0.

11. Determina la longitud de la cuerda que determina la recta x=3 al cortar la circunferencia X² + Y² - 4X -6Y +8 = 0


Claves de respuestas (Autoevaluación) UNIDAD III

1. c2. b3. d4. a5. c6. a7. d8. c9. b10. d


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MATEMATICAS III - :: Galeón : Crea tus páginas web … · Web viewAl cortar con un plano a uno o dos conos unidos en sus vértices, se obtienen las siguientes figuras: la circunferencia,