Matematicas Psu

5/25/2018 Matematicas Psu

1/156

Matemticas

Plan de Nivelacin Acadmica

Coordinador Acadmico Mdulo:Luis Recalde, Ph.D en Educacin Matemtica - Profesor Univalle

Luis RecaldeLuisa Fernanda Vargas


2/156


3/156

Leccin 1

Proposicionesy predicados

1.1 LGICA Y MATEMTICAS

La matemtica es una ciencia que no slo adquiere signicado con las aplica-ciones, sino que en s misma corresponde a un cuerpo terico de objetos abstrac-tos mediante el cual responde a las actividades de medir, contar y ordenar. En estesentido decimos que es una disciplina hipottico-deductiva.

Muchos de los inconvenientes de los estudiantes se derivan de su desconoci-miento de que la matemtica es una ciencia cuyos resultados deben demostrarsea travs de unos procedimientos muy bien establecidos. Para ello la matemticahace uso de la lgica.

La lgica ensea a distinguir cuando un argumento es correcto o incorrecto.

En esta primera leccin repasaremos algunos elementos generales de la lgicaproposicional.

1.2 PROPOSICIONES

Lea detenidamente las siguientes oraciones e intente determinar cules de

ellas son verdaderas y cules son falsas.

1. Un tringulo tiene cuatro lados.2. Leonardo Davinci pint la Monalisa.3. Copenhague es la capital de Dinamarca.4. 3 + 4 = 8.5. Llover esta tarde?6. Hoy es lunes.7. Prohibido prohibir.

8. x + 5 = 9.9. El nmero de granos de arena del mar es innito.10. Me gustara entrar a la Universidad del Valle!


4/156

20 Convenio Universidad del Valle - Alcalda de Santiago de Cali

Observemos que no hay ninguna dicultad en vericar que los enunciados 1y 4 son falsos y que los enunciados 2 y 3 son verdaderos. Un poco ms complejoresulta con los enunciados 6 y 9. La oracin 6 es verdadera o falsa, sin ninguna

duda, dependiendo del da que la enunciemos. La oracin 9 es falsa, pero ameritauna argumentacin matemtica slida, como la dada por Arqumedes en el sigloV a.C.

El enunciado 5 corresponde a una interrogacin; por lo tanto no tiene sentidoasignarle una valoracin. Es decir no tiene sentido decir que es un enunciadoverdadero o falso.

El enunciado 7 corresponde a una paradoja. Si suponemos que es verdadera,entonces ella es falsa, pues ella se est prohibiendo a s misma. Si es falsa quieredecir que no se puede prohibir por lo tanto es verdadera.

El enunciado 8 tiene una incgnita y corresponde a una ecuacin. Eso quieredecir que no podemos darle una valoracin.

El enunciado 10 est expresando un deseo y no tiene sentido hablar de deseosverdaderos o falsos.

Denicin de proposicin:

1. Unaproposicines un enunciado del cual podemos decir, sin ambige-dad, que es falso o verdadero.

2. La lgica proposicionales un tipo especial de lgica en la cual en losargumentos slo se usa proposiciones

3. Las proposiciones pueden sersimpleso compuestas.4. Lasproposiciones simples oatmicasson aquellas que corresponden a

enunciados armativos simples.5. Lasproposiciones compuestas omolecularescorresponden a las nega-

ciones de proposiciones simples o de la combinacin de varias proposi-ciones simples.

Las proposiciones moleculares se forman a partir de la negacin, conjuncin,disyuncin, el condicional y el bicondicional.

i La negacin de una proposicin es otra proposicin que se forma al

cambiarle el sentido a la primera proposicin.ii La conjuncin relaciona varias proposiciones a travs de los trminos

y, sin embargo, pero, aunque, adems, etc..iii La disyuncin relaciona varias proposiciones a travs del trmino o.iv El condicional relaciona dos proposiciones a travs del vocablo enton-

ces.v El bicondicional relaciona dos proposiciones a travs del vocablo si y

slo si.


5/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 21Ejemplo 1.1La negacin de la proposicin: Shakespeare escribi la Divina comedia

puede escribirse de una de las siguientes maneras:

a. Shakespeare no escribi la Divina comedia.b. No es cierto que Shakespeare escribi laDivina comedia.c. La Divina comedia no fue escrita por Shakespeare.

Las siguientes proposiciones corresponden a conjunciones:a. Maradona es argentino y Pel es Brasilero.

b. Maradona es argentino, pero Pel es Brasilero.c. Aunque los argentinos son buenos futbolistas, son prepotentes

Las siguientes proposiciones corresponden a disyunciones:a. 3 es un nmero impar o 3 es un nmero par.

b. Pedro gana el ao o Pedro pierde el ao.c. Maradona es argentino o es brasilero

Las siguientes proposiciones corresponden a condicionales:a. Si 3 es un nmero impar, entonces 3 es un nmero par.

b. Si Pedro gana el ao, entonces su padre le da un regalo.c. Si Picasso escribi LaIlada, entonces Homero pinto El Guernica.

Las siguientes proposiciones corresponden a bicondicionales:a. 3 es un nmero impar, si y slo si 3 es un nmero par.

b. Si Pedro gana el ao, si y slo si su padre le da un regalo.c. Un nmero natural es un nmero par si y slo si es un nmero primo.

1.3 LA SINTAXIS DEL LENGUAJE SIMBLICO

Para evitar las confusiones, propias del lenguaje natural, en matemticas se ha

conformado un lenguaje simblico, el cual consta de los siguientes elementos:

1. Las proposiciones se representan por medio de letras del alfabeto.2. Smbolos lgicos: negacin, conjuncin, disyuncin, condicional y doble

negacin.3. Reglas para la formacin de proposiciones compuestas, teniendo en cuenta

en colocar parntesis para determinar exactamente cul de las asignacionesaplicar primero.


6/156


En el siguiente cuadro se resumen los componentes de la lgica proposicional:

Denicin de frmulas:Unapalabraen el lenguaje de la lgica proposicional es una sucesin de letras

proposicionales y smbolos lgicos. Sin embargo nos interesan aquellas pala-bras que representen situaciones con sentido, las cuales llamaremosfrmulas.

Las formulas atmicas son las letras proposicionales y corresponden a enun-ciados simples. En una frmula se tienen en cuenta primero las frmulas entre

parntesis. En caso de existir parntesis, se aplica primero la negacin, luego la

conjuncin o la disyuncin y al nal la implicacin o la doble implicacin. Losenunciados moleculares se simbolizan utilizando los smbolos antes anotados.

Ejemplo 1.21. Simbolicemos algunas proposiciones del ejemplo 1.1: La negacin de la proposicin:p= Shakespeare escribi la Divina come-

dia, se simboliza por p.

2. Si partimos de las asignaciones:p= Maradona es argentino y Pel es brasilero.

q = Maradona es argentino, pero Pel es brasilero.

Entonces tenemos quep q = Maradona es argentino y Pel es brasilero.

p q = Maradona es argentino y Pel es brasilero.

3. Si partimos de las asignaciones:p= 3 es un nmero impar.

q = 3 es un nmero par.


7/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 23 Entonces tenemos que

p q = Si 3 es un nmero impar, entonces 3 es un nmero par. p q = Si 3 es un nmero impar, si y slo si 3 es un nmero par.

4. Tambin son frmulas los siguientes casos: (p q)s

(p q) p s. p qs. p (q s).

5. Las siguientes secuencias no son frmulas: p q s.

p p p qs. p q s.

1.4 LA SEMNTICA DEL LENGUAJE SIMBLICO

Dado que cada formula representa una proposicin signica que son falsas overdaderas. La semntica consiste en incorporar unos criterios bien precisos detal forma que podamos asignarle a cada frmula un valor determinado. Si supo-

nemos que y son frmulas, las reglas de la lgica proposicional clsica hansido consignadas en las siguientes tablas:

Ejemplo 1.3

1. La tabla de verdad de la formula p(qp) es:

2. Con base a la siguiente tabla observe que la frmula (pq)r es diferen-

te a la frmulap (qr).


8/156


Las frmulas ms importantes en matemticas son las tautologas, pues sobreellas se basan los procesos deductivos.

Denicin de tautologa:

Una tautologa es una frmula que es verdadera independientemente de lasasignaciones.

Ninguna de las frmulas establecidas en los ejemplos anteriores es tautologa.

La frmula (p q) p qes una tautologa como puede vericarse con sutabla de verdad:

1.5 PREDICADOS

Los enunciados:x+ 2 = 8.x es hombre.x> 4 +y.

no son proposiciones pues no les podemos dar una asignacin de falso o verda-dero, debido a que contienen variables. Este tipo de enunciados se denominan

predicados.

Denicin de Predicado:

Un predicado es un enunciado que contiene variables relacionadas.

Para simbolizar un predicado es suciente designarlo con una letra y entre pa-rntesis escribir las variables. Para el caso de los enunciados anteriores podemosescribir:

1. P(x):x+ 2 = 8.2. Q(x):x es un nmero primo.3. R(x, y):x> 4 +y.


9/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 25Los predicados en s mismos no son proposiciones, pero se convierten en pro-

posiciones cuando les asignamos valores particulares a las variables o por mediode cuantifcadores.

Las variables de los predicados pertenecen a universos que se deben espe-cicar. En lgica clsica se utilizan dos cuanticadores:1.El cuantifcador universal: , que simboliza la expresin para todo o

para cualquier.2.El cuantifcador existencial: , que simboliza la expresin existe al

menos un o para algn.

Ejemplo 1.4

1. Supongamos el universo de los nmeros naturales. Denimos el predicado, P(x):xes un nmero primo,

la expresin xP(x) simboliza la expresin: todos los nmeros naturalesson primos.

2. Sean los siguientes predicados, denidos en el universo de los nmerosnaturales:

R(x):xes un nmero par. Q(x):xes un nmero impar.

P(x) :xes un nmero primo.

a. R(123) simboliza la expresin 123 es un nmero par, la cual es falsa.b. Q(35) simboliza la expresin 35 es un nmero impar, la cual es ver-

dadera.c. P(17) simboliza la expresin 17 es un nmero primo, la cual es ver-

dadera.d. x(R(x) Q(x)) simboliza la expresin todo nmero es par o impare. x(P(x) R(x)) simboliza la expresin existe un nmero que es par y

primof. x(Q(x)P(x)) simboliza la expresin si un nmero es impar, enton-

ces es un nmero primo.3. Tomando como universo los seres humanos, denimos el predicado: P(x,y):x es el padre dey.

y x P(x,y) simboliza la expresin todo ser humano tiene un padre x yP(x,y) simboliza la expresin existe un padre para todos los seres

humanos.

P(Carlos, Luis) P(Luis, Juan) simboliza la expresin Carlos es el abuelode Juan.


10/156


1.6 EJERCICIOS DE REVISIN

1. Determine cules de los siguientes enunciados son proposiciones:

a. Copenhague es la capital de Dinamarca.b. 3 + 4 = 8.c. Llover esta tarde?d. Hoy es lunes.e. Prohibido prohibir.f. x+ 5 = 9.g. El nmero de granos de arena del mar es innito.h. Me gustara entrar a la Universidad del Valle!

2. Analice el enunciado: Barcelona de Espaa, es el mejor equipo del mun-do. Es una proposicin?

3. Escriba dos ejemplos de conjunciones, dos de disyunciones y dos de impli-caciones.

4. Es la proposicin El nmero dos es par y es primo simple o compuesta?

5. Simbolice la proposicin: Si no es cierto que Homero haya escrito laIlia-

dao la Odisea, entonces Virgilio escribi la Eneida.

6. Realice la tabla de verdad de las siguientes frmulas bien formadas.a.

b.c.

7. Verique que las siguientes frmulas son tautologas:a. Modus ponendo ponens: (p q) p q

b. Modus tollendo tolens: (p q) q pc. Modus tollendo ponens: (p q) p qd. Reduccin al absurdo: (p q) ((pq) r r)e. Ley de Morgan: (pq) p q

8. Entre las siguientes frmulas determine cules son tautologas:a.

b.c.

d.


11/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 279. Simbolice cada una de las siguientes oraciones utilizado los cuanticado-

res en un contexto que usted debe especicar.a. Todas las gallinas vuelan.

b. Algunas gallinas vuelan.c. Ninguna gallina vuela.d. Alguna gallina no vuelae. Para cadaz, zes vivof. Cada hombre es un animalg. Todas las cosas son bonitas

10. Dados los predicados: P(x,y) =xes el padre dey

M(x,y) =xes la madre dey

Simbolice las siguientes situaciones nicamente usando estos dos predicados:a. Carlos es el padre de Luis

b. Carlos es el to de Estebanc. Humberto es el abuelo paterno de Luisd. Ernesto es el abuelo materno de Luise. Adolfo es el abuelo de Pacof. Mara es la ta de Paco

g. Carmen es la abuela de Paco.

11. Determine la negacin de las siguientes proposiciones. Cuando se trate denmeros suponga que el universo son los nmeros reales:a.

b.c.d. Existe un nmero realx tal que x2= 9.e. Para al menos un a Ase cumple que a2B.

f. Ningn hombre es inmortal

12. Escriba una proposicin con un cuanticador universal y un cuanticadorexistencial, de tal forma que al invertir los cuanticadores cambie el sentido.

1.7 EJERCICIOS DE SELECCIN MLTIPLE

1. Uno de los siguientes enunciados no es una proposicina. La luna es de queso

b. Quiero viajar a Europac. Paris es llamada la ciudad luzd. Cuatro es un nmero impar


12/156


2. Uno de los siguientes enunciados es una proposicina. Me gustara estudiar en la Universidad del Valle

b. Hoy es lunes?

c. Todos lo nmeros primos son paresd.

3. Una de las siguientes frmulas es tautologaa. p q

b. (p q)pc. p pc. p (q p)

4. La negacin del enunciado algn nmero natural es par esa. Ningn nmero natural es par

b. Algn nmero natural no es parc. Existe un nmero natural que no es pard. Todo nmero natural no es par

5. La frmula (x(x+ 3 = 0)) es equivalente a la frmula:a. (x(x+ 3 = 0) )

b. x(x+ 3 = 0)

c. x(x+ 3 0)d. x(x+ 3 0)

6. Sean el predicadoP(x,y):xes el padre dey. La expresin:

Signica que:a. Ces el to deB

b. Bes el to deDc. Aes el padre deD

d. Aes el to deD


13/156

2.1 LA NOCIN DE CONJUNTO

En matemticas la palabra conjunto se usa para hacer referencia a coleccio-nes de objetos considerados como un todo: conjuntos de nmeros, conjuntos decurvas, conjuntos de guras geomtricas, conjuntos de funciones, etc.

Cualquier denicin de conjunto es circular, en el sentido que para ello uti-lizamos expresiones como coleccin o agrupacin que son sinnimas a lamisma palabra conjunto. Esta es una de las razones por las cuales en mate-mticas consideramos que conjunto es un trmino indenido. Los conjuntoscorresponden a unos objetos que estableceremos a partir de algunos principios

que iremos detallando ms adelante. Simplemente diremos que los conjuntosestn formados de elementos, sin discutir sobre su naturaleza. De esta forma, si

x es un elemento del conjunto C, escribimosxCy si x no es un elemento deC, escribimosxC.

Hay dos maneras usuales para referirnos a conjuntos:1. Por comprensin: cuando se da una propiedad o predicado que permite

especicar sus elementos.2. Por extensin: cuando se registran los elementos del conjunto a travs de

sus nombres.3. Los elementos de los conjuntos se describen encerrados entre llaves { }y separados por comas.

Ejemplo 2.11. El conjunto de las vocales del Espaol lo representamos por compren-

sin comoA= {x:x es vocal del Espaol}, y por extensin comoA= {a,e, i, o, u}.

2. El conjunto de los nmeros naturales se representa por: N = {0, 1, , n,n+1, }.

Leccin 2

Elementos bsicosde conjuntos


14/156


3. El conjuntoB= {3, 4, 5, 6, 7, 8}, escrito por extensin, corresponde alconjuntosB= {xN: 2


15/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 31Denicin de conjunto unitario:

Decimos que el conjunto Aes un conjunto unitariocuando consta de unsolo elemento.

El conjunto A= {xN: x+ 4 = 9} es un conjunto unitario porque slo elnmero 5 cumple con la igualdad requerida; en este caso escribimosA= {xN:

x+ 4 = 9} = {5}.Es importante no confundir los conjuntos y {}; el primero es un conjunto

que no tiene elementos, mientras el segundo es un conjunto unitario, cuyo nicoelemento es .

Observemos que los elementos de un conjunto pueden a su vez ser conjuntos,

como ocurre con el conjuntoA= {, {}} cuyos elementos son los conjuntosy {}.Lo anterior nos lleva a pensar en la existencia de un conjunto cuyos elementos

sean todos los conjuntos, pero esto no es posible porque produce inconsisten-cias.

Denicin de conjunto universo:

Cuando en un determinado contexto, los conjuntos en consideracin sonsubconjuntos de un conjunto decimos que este conjunto es el universo y serepresenta por la letra U.

As, cuando denimos el conjuntoA= {x:xes un nmero primo} se suponeque el universo U, corresponde a los nmeros naturales.

2.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Denicin de unin:

La unin de los conjuntosAyB, que se representa comoAB, se dene

como el conjunto, cuyos elementos pertenecen aAo pertenecen aB.Denicin de interseccin:

La interseccin de los conjuntosAyB, que se representa comoAB, sedene como el conjunto, cuyos elementos pertenecen tanto aA, como aB.

SiAB =decimos queAyBson conjuntos disyuntos.Denicin de la diferencia:

La diferencia de los conjuntos Ay B, que se representa como A B, sedene como un conjunto, cuyos elementos pertenecen aAy no pertenecenaB.Denicin de complemento:

El complemento del conjuntoA, con respecto al universo referencial U, quese representa comoA oAc, dene como UA.


16/156


No es difcil observar que la unin y la interseccin son operaciones que cum-plen la propiedad conmutativa; es decir, para conjuntosAyBse tiene que:

AB = BAy AB=B A.

Ejemplo 2.2Sean los siguientes conjuntos, para los cuales el universo referencial Ucorres-

ponde al conjunto Nde los nmeros naturales:

A= {0, 1, 4, 8, 9},B= {xN:xes par} y C= {xN:xes primo}.

AB= {0, 4, 8} AC= BC= {2}

AB= {0, 1, 4, 8, 9, 2, 6, 10, 12, } = {x N:x= 1,x= 9 xes par}AC= {xN:x= 0,x=1,x= 4,x= 8, x= 9 xes primo}BC= {xN:xes par xes primo}A B = {xN:x=1 x= 9}B A = {xN:xes par, excepto 0, 4, 8}A = {xN:x 0,x1,x 4,x 8, x 9}B= {xN:xno es par} = {xN:xes impar}C= {xN:xno es primo}

2.5 LOS DIAGRAMAS DE VENN

Una manera de entender intuitivamente las propiedades de los conjuntos esa travs de una serie de representaciones, incorporadas por el matemtico inglsJohn Venn. Los pasos a seguir para la elaboracin de estos diagramas es la si-guiente:

El universo referencial se representa por un

rectngulo, un ovalo o cualquier gura cerrada.Un crculo dentro del rectngulo corresponde aun conjunto y los puntos exteriores al crculodentro del rectngulo corresponden al comple-mento.

La interseccin de dos conjuntos es la parte comn de los crculos que losrepresentan. La unin de dos conjuntos corresponde a la regin o las regiones

comprendidas por los dos crculos. En la siguiente gura se presentan los casosgenerales.


17/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 33

2.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CONJUNTISTAS

1. Leyes distributivas: a)A (B C) = (A B) (A C)

b)A (B C) = (A B) (A C)2. a)A A B b)A B A c)A = A d)A = 3. a)Si A B, entonces A B = A b) Si A B, entonces A B = B4. A - (B C)= (A - B) (A - C)

Para hacer una demostracin grca de 1.a) basta representar cada uno de losmiembros de la igualdad por medio de los diagramas de Venn y visualizar queson iguales.

Para demostrar las propiedades 2.a) y 2.b) basta analizar las guras del apar-tado anterior. Para la demostracin de las propiedades 3.a) y 3.b) es sucienteanalizar la gura siguiente:


18/156


2.7 PARTES DE UN CONJUNTO Y PRODUCTO CARTESIANO

Denicin de partes de un conjunto o conjunto potencia:

Dado un conjunto A, se dene el conjunto partes deAo conjunto potenciade A, que se representa como (A), como un conjunto cuyos elementosson los subconjuntos deA:

(A)= {x: xA}

Denicin de producto cartesiano:

Dados dos conjuntosAyB, se dene el producto cartesiano deAporB, quese representa comoA xB, como el conjunto formado por las parejas (x,y)tales quexpertenece aAyypertenece aB:

A xB= {(x,y): xA yyB}

Ejemplo 2.3Sean los conjuntosA = {0, 2, 3} yB = {0, 1}1. (A)= {,{0},{2},{3},{0,2},{0,3},{2,3},{0,2,3}}2. (B)= {,{0},{1},{0,1}}3. A xB= {{0,0},{0,1},{2,0},{2,1},{3,0},{3,1}}4. BxA= {{0,0},{0,2},{0,3},{1,0},{1,2},{1,3}}

2.8 EJERCICIOS DE REVISIN

1. Denote por extensin los siguientes conjuntos:a. El conjunto de equipos que han sido ms de diez veces campeones en el

ftbol colombiano.b. El conjunto de nmeros racionales mayores que dos.c. El conjunto de nmeros primos pares.d. El conjunto de nmeros primos pares diferentes de dos.

2. En cada uno de los casos siguientes, describa todos los subconjuntos decada uno de ellos.a) {} b) {,{} c) d) {0, 1, 2, } e) {{1, 2}}

3. Sean los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3},B = {3, 4, 2, 5, 1} y C = {2, 6, 7} Determine:

a. A B

b. B Ac. C Ad. (A B) C


19/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 35e. A(B C)

f. (A B) (A B)

4. Sean los conjuntos:A = {0, 1, 2, 3},B = {1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 6 7}.

Obtenga un conjuntoX tal queX B yB X = A C

5. SeanAyBconjuntos distintos, no vacos. Indicar si las siguientes proposi-ciones son verdaderas o falsas:a. A B A B

b. A A B

c. SiA B = B, entoncesA Bd. A B =A Be. SiA B = B, entoncesB Af. SiA B = , entoncesB = g. SiA B x B, entoncesx Ah. Six A, entoncesx A Bi. Six A, entoncesx A B

6. Determine la verdad o falsedad en cada caso:

7. Utilice un diagrama de Venn para demostrar las siguientes propiedades delos conjuntos:a. A (A B) =A B

b. (A B) C=A (B C)c. (A B) =ABd. (A B) =AB

8. Dados los conjuntosA = {0, 1},B = {0, 2, 4}, C = {4, 3}, calcular cada unode los siguientes conjuntos:

a. ABb. BAc. A(B C)


20/156


d. (AB)(AC)e. (AB)(AC)f. (AB)C


1. Uno de los siguientes enunciados es verdaderoa.

b. {{}}c. {} d. {, {}}

2. SeaA= {x N:x2 2 = 0}. Un conjunto igual al conjuntoAes:a.

b. {2}c. {2, -2}d. {2}

3. SiA B=B, entonces:a. A BA

b. A = yB = c. A yB = d. No se puede dar este caso

4. SiAB, entonces:a. A B=B

b. A B=Ac. A B = d. B A = B

5. Sean los conjuntosA= {{1},{1, 2}} yB= {1, 2}, entonces:a. A =B

b. BAc. A Bd. BA

6. SiA={}, entonces:a. (A) = {{}}

b. (A) = c. (A) = {{,}}d. (A) = { ,{}}


21/156

3.1 CONJUNTOS COORDINABLES

Denicin de conjuntos coordinables:Decimos que dos conjuntos A y B son dos conjuntos coordinables si se

puede establecer una correspondencia de tal forma que a cada elementodel conjuntoAle corresponde uno y slo un elemento del conjuntoB, y acada elemento del conjuntoBle corresponde uno y slo un elemento delconjuntoA.

Ejemplo 3.1

1. En la gura siguiente aparecen camellos y cabras.

El conjunto de cabras es coordinable con el conjunto de Camellos puestoque a cada cabra le corresponde un camello, y viceversa, como lo estable-cen las echas.

2. En la graca siguiente aparece un conjunto de perros y un conjunto depalomas, los cuales no son coordinables, pues hay palomas solas.

Leccin 3

Tamao deun conjunto


22/156


3. El conjunto de las vocales V = {a, e, io, u} es coordinable con el conjuntode los nmeros naturales del uno al cinco A= {1, 2, 3, 4, 5}.

4. Las sillas de un teatro que no est lleno no es coordinable con el de los es-pectadores, pues la existencia de sillas vacas es una demostracin de quea algunas sillas no le corresponde ningn espectador.

Observemos que cuando dos conjuntos son coordinables tienen el mismonmero de elementos o el mismo nmero cardinal. Esto se visualiza muy

bien en los conjuntos que tiene nitos elementos, pero es un poco compli-cado para los conjuntos que no son nitos.

La coordinacin de conjuntos nos lleva a resultados sorprendentes con respec-to a los conjuntos innitos. Por ejemplo, los nmeros pares P= {0, 1, 2, , 2n,} se pueden poner en coordinacincon los nmeros naturales, como se observaa continuacin:

N= {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}

P= {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}

A pesar de que los pares son un subconjunto propio de los naturales, P Nhay tantos nmeros naturales como pares. El nmero de elementosde los pares esigual al nmero de elementos de los naturales.

Con argumentos similares podemos demostrar que hay tantos nmeros natu-rales N, como nmero enteros Z= { , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}.


23/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 393.2 NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO FINITO

Denicin de nmero de elementos de un conjunto nito:

Decimos que el conjuntoAtiene nelementos, si es coordinable con el con-juntoB= {1, 2, , n}. En este caso ponemos Card(A) = n #(A) = n.

Si el conjuntoA tiene nelementos y el conjuntoBtiene melementos Cuntoselementos tieneAB?

Es conveniente observar que el nmero de elementos de la unin de dosconjuntos no necesariamente es la suma del nmero de elementos de cadauno de ellos. Eso es cierto cuando los dos conjuntos son disyuntos, es decirno tienen elementos comunes.

Para entender la observacin anterior tomemos los conjuntosA = {a, e, i, o, u}y el conjuntoB= {e, u, v}. En este caso tenemos que #(A) = 5 y #(B) = 3, pero#(AB) no es 8, puesto queAB = {a, e, i, o, u, v} y #(AB) = 6.

Para establecer una regla general examinemos el diagrama de Venn:

En la frmula #(A) + #(B) = 8, se est con-tando dos veces los elementos del conjunto{a, e}, que corresponde a la interseccin. Parajar una regla general del nmero de elemen-tos de la unin debemos tener en cuenta esteaspecto.

Denicin de nmero de elementos de la unin:Sean dos conjuntosAyB, entonces #(AB) = #(A) + #(B) #(AB).

Ejemplo 3.2Una encuesta para medir el rendimiento de los estudiantes, aplicada a 100 es-

tudiantes de diferentes centros educativos de Cali, arroj los siguientes datos: 60estudiantes ganan matemticas, 50 ganan espaol y 40 ganan espaol y matem-ticas. Se nos pide calcular el nmero de estudiantes que ganan slo matemticas,

slo espaol y el nmero de estudiantes que no ganan ni espaol ni matemticas.Si representamos porMel conjunto de los estudiantes que ganan matemticas y


24/156


PorEel conjunto de estudiantes que ganan espaol, podemos elaborar el siguien-te diagrama de Venn con los datos:

De acuerdo al diagrama, el nmero de es-tudiantes que ganaron solamente matemticassera 60 40 = 20; el nmero de estudiantesque slo ganaron espaol sera 50 40 = 10.Un nuevo diagrama nos presenta la situacinms detallada.

Del diagrama se pueden inferir los siguien-tes resultados:1. El nmero de estudiantes que slo ganaron

matemticas fue 20.2. El nmero de estudiantes que slo ganaron

espaol fue 10.3. El nmero de estudiantes que no ganaron ni

matemticas ni espaol fue 30.

3.3 NMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA Y DELPRODUCTO CARTESIANO

En la leccin 2 denimos el conjunto potencia de un conjunto como el conjun-to formado por los subconjuntos de este conjunto. El propsito de esta seccin esdeterminar el nmero de elementos del conjunto potencia. Para ello seguiremosun proceso inductivo con conjuntos de un elemento, de dos elementos, de treselementos y despus generalizaremos para un conjunto de nelementos.

A #(A) (A) #((A)) 0 {} 1 = 20{0} 1 {, {0}} 2 = 21{0, 1} 2 {, {0}, {1}, {0,1}} 2 = 22{0, 2, 3} 3 {, {0}, {2}, {3}, {0,2}, {0,3}, {0, 2, 3}} 8 = 23

De esta forma vemos que el nmero de elementos del conjunto potencia de-pende del nmero de elementos del conjunto inicial, siguiendo una ley de forma-

cin que se puede generalizar de los resultados anteriores.


25/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 41Dado un conjunto determinadoAtal que #(A) = n, entonces #((A)) = 2n.

Si tenemos dos conjuntos A y Bdenimos el producto cartesiano como elconjunto de todas las parejas ordenadas, del tal forma que la primera componentesea un elemento deAy la segunda deB. De esta manera el nmero de elementosdel conjuntoABdepender tanto del nmero de elementos de Ay como delnmero de elementos deB.

Dado dos conjuntoAyB, entonces #(A B) = #(A) . #(B) = #(B) . #(A).

De esta manera si A= {0, 2, 3} yB= {0, 1}, entoncesA B = {(0,0), (0,1),(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)} y #(A B) = #(A) . #(B) = 3.2 = 6.

3.4 EJERCICIOS

1. Escriba falso o verdadero, en cada caso:a. El conjunto de los nmeros naturales es coordinable con el conjunto de

los nmeros pares.b. El conjunto de los nmeros naturales tiene ms elementos que el con-

junto de los nmeros pares.c. El conjunto de los nmeros pares es coordinable con el conjunto de los

nmeros impares.d. El conjunto de los nmeros naturales tiene ms elementos que el con-

junto de los nmeros primos.e. El conjunto {xN: 0


26/156


3. Dado los conjuntosA yB tales que #A = 4, #B = 5 y #A B = 3, determineel nmero de subconjuntos deA B.

4. En una encuesta realizada a 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas leenEl Pas, 62 leen El Tiempo y 39 leen de los 2 peridicos. Cuntas perso-nas no leen ninguno de los dos peridicos?, cuntos leen slo el diario ElPas? , cuntos slo leen El Tiempo? Represente lo anterior en un diagra-ma de Venn.

5. Verique, mediante un ejemplo, que para conjuntosA,B y Cse tiene que#(A B C) #(A) + #(B) + #(C).

6. Imagina un tarro con una cantidad innita de golosinas y si cogieras milmillones de dulces, cuntos quedaran?

7. Determine una frmula para #(A B C), en funcin de #A, #B, #C,A,By Cson conjuntos

8. Una investigacin sobre lectura de idiomas, realizada sobre una muestrade 100 alumnos de la Universidad del Valle, arroj los siguientes datos: 52leen ingls, 40 leen francs, 24 leen alemn, 19 leen ingls y francs, 12

leen francs y alemn, 6 leen los 3 idiomas y 85 leen al menos un idioma.Cuntos leen solamente ingls? Cuntos no leen ninguno de los 3 idio-mas? Cuntos leen slo un idioma? (Use un diagrama de Venn).

9. De todos los empleados de Bavaria, 30% optaron por un plan de asistenciamdica. Bavaria tiene la casa matriz en Bogot y slo dos liales, una enMedelln y la otra en Cali. 45% de los empleados trabajan en la casa matrizy 20% de los empleados trabajan en la lial de Medelln. Sabiendo que el20% de los empleados de Bogot optaron por el plan de asistencia mdica

y que 35% de los empleados de la lial de Medelln lo hicieron cul es elporcentaje de los empleados de la lial de Cali que optaron por el plan?

10. Determine en cada caso si es Verdadero o Falso.a. SiA B, entonces (A)(B).

b. (AB) =(A)(B).c. (A B) =(A)(B).d. #((A B)) = #((A)) + #((B)).


27/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 433.5 EJERCICIOS DE SELECCIN MLTIPLE

1. Una encuesta hecha a 100 lectores, mostr que 55 leen el Pas o el Tiempo,

40 leen el Pas y 25 leen el Tiempo. El nmero de personas que leen el Pasy el Tiempo es:a. 5

b. 10c. 20d. 15e. El problema no tiene sentido

2. SeaA= {x N: 0 x 20}. El nmero de elementos de (A) es:

a. 20b. 21c. 220

d. 221

e. 400

3. Sean A= {x N: 99


28/156


29/156

4.1 DEFINICIN DE NMERO NATURAL

El proceso de sistematizar las actividades de contar y ordenar constituye unode los objetos de las matemticas. El primer sistema numrico que estudiaremoses elsistema de los nmeros naturales. Para entender la formacin de los nme-ros naturales, analicemos los siguientes conjuntos.

A= {a, e, i, o, u} B= { }C= {a, e, i} D= {Cali, Medelln, Bogot, Pereira, Ibagu}

Los conjuntosAyDson coordinables entre s, pero no son coordinables conlos conjuntosBy C, los cuales a su vez son coordinables entre s. Eso signicaque los conjuntosAyDtienen el mismo nmero de elementos; es decir, pertene-cen a la misma clase numricaque la llamamos el nmero cinco y se designacon el smbolo: 5

Denicin de nmero Natural:Un nmero natural es lo que tienen de comn todos los conjuntos coor-dinables entre s. Cada nmero natural se representa por un smbolo, el

cual corresponde al nmero de elementos de cualquiera de los conjuntoscoordinables. Un nmero natural establece el nmero de elementos de unconjunto.

Se suelen denir los nmeros naturales a partir de la siguiente secuencia con-juntista:

: corresponde al conjunto sin elementos; se representa con el smbolo 0.{} = {0}: corresponde al conjunto que tiene por elemento al 0; se representacon el smbolo 1. Podemos seguir adicionando elementos de tal forma queconformamos la siguiente secuencia, que corresponde al conjunto de los nmerosnaturales:

Leccin 4

Los nmerosnaturales


30/156


El conjunto de todos los nmeros naturales se representa por N, esto es:N= {0, 1, 2, , n, }.

4.2 LA SUMA Y EL PRODUCTO EN LOS NMEROS NATURALES

La suma en los nmeros naturales se dene de manera recursiva, en un pro -ceso que sintetiza el milenario mtodo de ir adicionando, a uno de los sumandos,tantas unidades como tenga el otro.

Denicin de suma de nmeros naturales (+).Sean n y m nmeros naturales, denimos:1. n + 0 = 0 + n = n.2. n + (m + 1) = (n + m) + 1.

Ejemplo 4.14 + 3 = 4 + (2 + 1) = (4 + 2) + 1 = ((4 + (1 + 1)) + 1

= ((4 + 1) + 1) + 1 = ((5 + 1) + 1 = 6 + 1 = 7.

Supongamos que tenemos el siguiente arreglo de puntos:

Podemos determinar la cantidad de puntos, efectuando la suma:

La suma 6 + 6 + 6 tiene todos los sumandos iguales. El caso en el cual todoslos sumandos son iguales permite incorporar una nueva operacin entre nmeros

naturales denominada la multiplicacin o elproducto. De acuerdo a esto, el pro-ducto tambin se dene de manera recursiva.


31/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 47Denicin de producto ():

Sean n y m nmeros naturales, denimos:n 0 = 0 n = 0.

n (m + 1) = (n m) + n.

Para denotar el producto tambin se usa el signo ..

Ejemplo 4.2Observe que para todo nN, tenemos que,1. n 1 = n (0 + 1) = n 0 + n = 0 + n= n.2. 4 3 = 4 (2 + 1) = (4 2) + 4 = ((4 (1 + 1)) + 4

= ((4 1) + 4) + 4 = (4 + 4 ) + 4 = 8 + 4 = 12.

De acuerdo a las deniciones anteriores, las operaciones entre nmerosnaturales cumplen las siguientes propiedades bsicas:1. Propiedad clausurativa. Si n y m son nmeros naturales entonces n + m

y n x m tambin lo son.2. Propiedad conmutativa: n +m = m + n, n m = m n.3. Propiedad asociativa: (n + m) + k = n + (m + k), (n m) k = n (m k)4. Propiedad uniforme: si m = n, entonces para todo k, m + k = n + k, m

k = n k.

Combinando la suma y el producto obtenemos la propiedad distributiva:1. n (m + k) = n m+ n k distributiva por la derecha.2. (n + m) k = n k + m k distributiva por la derecha.

4.3 ORDEN EN LOS NMEROS NATURALES

Denicin del orden de un conjunto:

Denir un orden en un conjunto es establecer una relacin de tal formaque dados dos distintos cualesquiera de sus elementos podamos determinar

cul es el mayor, o lo que es lo mismo, cul es el menor.

Para establecer un orden, en el conjunto de los naturales, recurrimos a la re-presentacin geomtrica. Para ello tomamos un segmento como unidad y a partirde l vamos localizando los dems nmeros naturales, como se muestra en lasiguiente grca:


32/156


Denicin del orden en los nmeros naturales:

De acuerdo a la representacin podemos denir, de una manera intuitiva, elorden entre los naturales de acuerdo a la siguiente cadena:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 ...Para dos nmeros naturales m y n, la expresin m n, signica que m < no m = n. Si m n, entonces tambin se acostumbra a escribir n m.

Una propiedad bsica que se deriva de la denicin de nmero natural y dela denicin de orden es la siguiente: Sean los nmeros naturales m y n. Sim < n, entonces existe un nmero naturals tal que m +s = n.

4.4 RESTA EN LOS NMEROS NATURALES

La propiedad anterior nos permite denir la resta entre nmeros naturales

Denicin de resta entre nmeros naturales:

Sean los nmeros naturales m y n.Si m < n, ys N, es tal que m +s = n, entonces decimos que n m = s.Al nmero nse le denomina minuendo y al nmero msustraendo.

4.5 POTENCIAS, RACES, LOGARITMOS

La potencia o exponenciacin entre nmeros naturales da cuenta del productorepetido de un nmero natural por s mismo. Esta operacin tambin se dene demanera recursiva.

Denicin de potencia entre naturales:

Sean los nmeros naturales m y n.1.

2.

La exponenciacin cumple algunas propiedades bsicas que no es difcil de-mostrar.

Sean los nmeros naturales m, n y t, entonces:


33/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 494.6 LOS SISTEMAS DE NUMERACIN

Existen dos tipos generales de sistemas de representacin: el aditivo y el po-

sicional. En el sistema de representacin aditivo se van introduciendo nuevossmbolos a medida que aumenta el nmero de objetos. Un ejemplo tpico es elsistema de numeracin romano. El cual utiliza los siguientes signos bsicos:

1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1000 M

Para representar otro nmero cualquiera se deben tener en cuenta las si-guientes reglas:1. No se pueden escribir ms de tres smbolos iguales seguidos.2. Un smbolo de rango inferior escrito antes resta, escrito despus suma.3. Una raya sobre un nmero lo multiplica por 10.4. Un marco que envuelve el nmero lo multiplica por 100 000.

Ejemplo 4.3Algunas representaciones tpicas son las siguientes:

2 II

3 III4 IV20 XX67 LXVII194 CXCIV2009 MMIX

La ventaja del sistema de numeracin posicional radica en el valor relativo delos dgitos; podemos utilizar sistemas de dos, tres, . . . ,diez o ms dgitos.

Denicin de numeracin posicional decimal:El sistema de numeracin posicional decimal se dice que es de base diez,

pues permite escribir y manipular nmeros muy grandes o muy pequeos apartir de diez caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Para representar cualquier nmero en el sistema de numeracin decimal sedeben tener en cuenta dos aspectos:

1. El primer paso es el proceso de agrupacin para formar unidades de dife-rente orden: se agrupan los elementos de acuerdo a niveles de diez en diez.Cada agrupacin de diez unidades se denomina decena o unidad de primerorden. Cada agrupacin de diez decenas se denomina centena o unidad de


34/156


segundo orden. Se realizan agrupaciones de diez centenas para formar lasunidades de mil o de tercer orden, y as sucesivamente.

2. El segundo es el principio del valor relativo: el valor de cada una de las

cifras depende del lugar que ocupen. Partiendo de derecha a izquierda laprimera cifra representa las unidades (unidades de orden cero), la segundarepresenta las decenas (unidades de primer orden), la tercera las centenas(unidades de segundo orden), la cuarta las centenas (unidades de tercerorden) y as sucesivamente.

Ejemplo 4.41. En el nmero 5445, leyendo de derecha a izquierda, tenemos que el primer

cinco de representa 5 unidades, el primer cuatro representa cuarenta uni-

dades, el segundo cuatro representa cuatrocientas unidades y el segundocinco representa cinco mil unidades.2. Se suele expresar cada nmero en forma de expansin polinomial de

acuerdo al valor relativo de cada dgito, para ejemplo el nmero 75547se tendr:

85547 = 7 100+ 4 101+ 5 102+ 5 103+ 8 104.

Los sistemas posicionales ms comunes son el decimal y el binario. Con res-pecto a la medida del tiempo utilizamos el sistema sexagesimal, es decir, de base60.

4.7 EL SISTEMA BINARIO O SISTEMA DE NUMERACIN EN BASE 2

El sistema binario es un sistema de numeracin que utiliza los dgitos 0 y1 para representar todas las cantidades. Debido a que slo utiliza dos posi-ciones es muy usado en los lenguajes de computacin

Estableciendo un smil con el sistema decimal si tenemos el nmero 1011012en base 2, se puede escribir en expansin polinomial, de la siguiente forma:

101101 = 1 20+ 0 21+ 1 22+ 1 23+ 0 24+ 1 25

Lo anterior nos indica que para convertir un nmero del sistema binario alsistema decimal debemos tener en cuenta que:


35/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 5120= 1, 21= 2, 23= 8, 24= 16, 25= 32, 26= 64,

Ejemplo 4.5

Para transformar el nmero 23, que est en base decimal, a base dos, se reali-zamos las siguientes divisiones sucesivas:

De esta forma, la representacin binariadel 23 es el nmero 10111

4.8 DIVISIBILIDAD DE LOS NMEROS NATURALES

Supongamos que tenemos la siguiente la formada por 12 puntos:

No es difcil vericar que los podemos disponer solamente en los dos siguien-tes arreglos rectangulares:

Ahora intentemos establecer arreglos rectangulares con la siguiente la de 11puntos:

Cmo determinar los nmeros para los cuales se pueden establecer arreglosrectangulares? La respuesta a esta pregunta es la teora de divisibilidad.

Denicin de divisibilidad en los nmeros naturales:

Si m, n N, entonces decimos que n es divisible por m, si existe un nme-ro natural ttal que m t = n, en este caso colocamos =t.

Al nmero n se le llama dividendo, al nmero m divisor y al nmero tcociente.


36/156


Ejemplo 4.61. Todo nmero natural nes divisible por s mismo y por uno.2. 12 es divisible por 4, pues 12 = 4 3.

3. 12 no es divisible por 5, porque no existe ningn nmero natural que mul-tiplicado por 4, de cmo resultado 12.

4. Los nicos divisores de 11, son el mismo 11 y el 1

4.9 NMEROS PRIMOS

Denicin de nmero primo:

Un nmero natural mayor que 1 se denomina primo si tiene exactamente

dos divisores. Un nmero natural, mayor que 1, que no es primo se deno-mina compuesto

Un nmero primo slo es divisible por l mismo y por la unidad.

Ejemplo 4.71. El nmero 10 no es primo porque es divisible por 1, 10 y 5.2. El nmero 2 es primo porque slo es divisible por l mismo y la unidad. Es

el nico nmero primo que es par.

3. Los nmeros pares mayores que dos no son primos pues adems de l mis-mo y la unidad, son divisibles por dos

4. No todos los nmeros impares mayores que uno son primos. El 9 es impary no es primo porque es divisible por 1, 9 y 3.

Para determinar si un nmero es primo se divide por los primos 2, 3, 5, 7,...hasta encontrar un divisor tal que el cociente sea igual o menor que l. A

partir de aqu, se suspenden los ensayos pues nos encontramos ante un n-mero primo. Si llegamos una divisin exacta, el nmero ser compuesto.

Usando las dos deniciones anteriores se puede demostrar el siguiente teore-ma, conocido como el teorema fundamental de la aritmtica.

Teorema fundamental de la aritmtica. Todo nmero compuesto se puededescomponer, de manera nica, como producto de primos.

Ejemplo 4.8Descomponer el nmero 60 en sus factores primos.

Para ello se acostumbra disponer al lado del nmero una raya vertical y al ladoir colocando los factores primos, como aparece a continuacin:


37/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 5360 230 215 3

5 5 1

En este caso, los divisores de 60 sern: 1, 60, 2, 4, 3, 5, 12, 6, 10, 20 y 30.

Denicin de nmeros primos relativos:

Dos nmeros naturales m y n se dicenprimos relativos si el nico divisorcomn de ellos es 1. Se suele escribir (m, n) = 1.

Ejemplo 4.91. Los nmeros 8 y 5 son primos relativos, (8, 5) = 1; el nico divisor comn

es 1.2. Los nmeros 6 y 9 no son primos relativos, pues 3 es divisor tanto del n-

mero 6, como del nmero 9.

4.10 ALGORITMO DE LA DIVISIN

Dado dos nmeros naturales m y n, con m < n, Se pueden presentar doscasos:1. n es divisible por m. Es decir que existe un nmero natural t, tal que m = nt.2. n no es divisible por m. Si comenzamos a multiplicar a mpor los nmeros

naturales menores que n, ocurre que existe t tal que mt < n < m(t + 1).Por uno de los teoremas anteriores se tendra que existe r tal que n = mt +r, donde r


38/156


El mnimo comn mltiplo de varios nmeros naturales es el menor nme-ro que es divisible por todos. El mnimo comn mltiplo de los nmerosnaturaless, p, tse denota como m.c.m. (s, p, t).

Ejemplo 4.101. m.c.d (4, 2) = 2 y m.c.m (4, 2) = 4, pues 2 es comn a ambos y no hay otro

divisor comn mayor. No hay nmero mayor que 4 que sea divisible por 4y tambin por 2.

2. m.c.d (10, 45) = 5 y m.c.m (10, 45) = 90, pues 5 es comn a ambos y no hayotro divisor comn mayor. 90 es el menor nmero que se deja dividir por10 y por 45.

3. m.c.d (13, 7) = 1 y m.c.m (13, 7) = 13 x 7 = 91, pues como son nmerosprimos, entonces no tienen otro divisor comn diferente al uno.

Para no confundirnos, existe un procedimiento sencillo que nos permite cal-cular el m.c.d. y el m.c.m.

Ejemplo 4.11Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los nmeros 360 y 756.Primero los descomponemos en sus factores primos:

360 2 756 2 180 2 378 2 90 2 189 3 45 3 63 3 15 3 21 3 5 5 7 7 1 1

De esta forma: 360 = 2

3

32

5 756 = 22337

Para calcular el m.c.dtomamos los factores comunes con su menor exponentey para calcular el m.c.m. tomamos los factores comunes con su mayor exponentey los no comunes. De esta manera:

m. c. d(360, 756) = 2232= 36m. c. m(360, 756) = 2333 5 7 = 5760


39/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 554.12 EJERCICIOS

1. Un granjero lleva manzanas y se encuentra con tres mujeres. A la primera

le regala la mitad de las manzanas ms dos, a la segunda la mitad de lasque le quedan ms dos, y a la tercera la mitad de las que le quedan msdos. Al nal de todo esto se queda con una manzana. Cuntas manzanasllevaba?

2. Encuentre dos nmeros de tres cifras diferentes, utilizando slo 1, 2, 3, 4,5 y 6, cuyo producto sea lo mayor posible.

3. Encuentre dos nmeros naturales tales que al multiplicar el producto de la

suma con su producto el resultado sea igual a 29.400.4. En los siguientes casos encuentre el valor de lax:

a.b.c.

5. Dado el nmero 11001 en base diez, escrbalo en base binaria

6. Dado el nmero 11001 en base binaria, escrbalo en base diez

7. Tome un nmero de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Porejemplo: 345345. Divide este nmero entre 7; despus el cociente entre11 y, por ltimo, el nuevo cociente entre 13. Observe que las divisiones

parciales son exactas y el cociente nal es su nmero inicial. Por qu?

8. Determine el menor nmero con exactamente 7 divisores. El mismo ejer-cicio si se pide que el nmero tenga exactamente 8 divisores.

9. Con cien ladrillos se hacen dos montones. Con el primer montn se hacencolumnas de cinco ladrillos y quedan dos ladrillos sin colocar; con el se-gundo montn se hacen columnas de 7 ladrillos y quedan cuatro ladrillossin colocar. Cuntos ladrillos haba en cada montn?

10. Por la venta de una partida de pelotas un seor obtiene 60.377 ptas. Elprecio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. Cuntas pelotas vendi?

11. Encuentre el menor nmero natural que dividido por 25 da un cociente

igual a su resto.


40/156


12. Determine si los siguientes nmeros son primos o compuestos, en caso deque sea compuesto descompngalo en sus factores primos:a) 1320 b) 863 c) 1297 d) 1270 e) 103

13. Determine en cada caso el m.c.d. o el m.c.m.a) m.c.d.(525, 75) b) m.c.m.(250, 370, 480)c) m.c.d.(1428, 390, 1575, 135)

14. Encuentre es el menor nmero que al dividirse por 2, 3, 4, 5 y 6 da respec-tivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5.

15. Observe que 40 personas se pueden acomodar de 10 formas rectangulares

diferentes: en una la, en 2 las de 20, 20 las de 2, 4 las de 10, 10 lasde 4, 5 las de 8, 8 las de 5 y 40 las de 1. Determine el menor nmerode personas que se pueden acomodar de forma rectangular de 20 formasdiferentes?

16. Dos atletas corren por una pista cerrada. El primero tarda 12 minutos endarle una vuelta y el segundo 15 minutos. Si ambos parten del mismo pun-to, despus de cunto tiempo se volvern a encontrar nuevamente en el

punto de partida? Despus de 420 minutos cuntas veces se habrn encon-

trado en el punto de partida?

17. Cul es el menor nmero de objetos de $55 que se pueden comprar exac-tamente con billetes de $100?

18. En cada uno de los siguientes casos determinar si es Falso o Verdadero.a. El nmero en numeracin romana corresponde al n-

mero 20.374.b. Dado que 96 = 42 x 6 y 864 = 4 x 63, entonces m.c.m. (96,864) = 4263.

c. m. c. d. (96, 864) = 4 x 6d. Si my n, son dos nmeros naturales tales que mdivide a n, entoncesellos no pueden ser primos relativos.

e. Sea nun nmero natural mayor que 2, entonces n y n+1 son primosrelativos.

f. Uno es un nmero primo, puesto que no es divisible ms que por lmismo.

g. Ningn nmero par puede ser primo.


41/156


1. El valor de es

a. 217b. 216

c. 213

d. 410

2. Pedro tena 26 aos cuando naci su hija Laura y 50 cuando naci Luisa, lahija de Laura. Si hoy celebran los 3 aos de Luisa, entonces Laura tiene:a. 26 aos

b. 27 aos

c. 24 aosd. 23 aos

3. es igual a:a. 7

b. 6c. 4d. No se puede calcular

4. 5 nios comen 5 helados en 5 minutos. Cunto tardan 200 nios en comer200 helados?a. 200 minutos

b. 100 minutosc. 50 minutosd. 5 minutos

5. Camila tiene 4 bolas ms que Luis, quien tiene 5 bolas. Nancy tiene 3menos que Camila y Pipe tiene 6 ms que Nancy. Quin tiene la mayor

cantidad de bolas?a. Pipeb. Nancyc. Luisd. Camila

6. Una poblacin de moscas se duplica cada da. Si inicialmente haban tresmoscas, entonces en cinco das habrn:a. 15

b. 125c. 243d. 96


42/156


7. Lorenzo tarda 30 minutos en llegar a la escuela y su hermano Tato 50minutos. Si ambos hacen el mismo recorrido y Tato ha salido 10 minutosantes que Lorenzo. Cunto tiempo tarda Lorenzo en alcanzar a Tato?

a. 15 minutosb. 20 minutosc. 25 minutosd. 30 minutos


43/156

5.1 DEFINICIN DE LOS NMEROS ENTEROS

En la leccin cuatro establecimos que las operaciones de suma y productosiempre son posibles en N. No ocurre ello con la resta, la cual slo est denidacuando el minuendo es mayor que el sustraendo. La generalizacin de la resta, ados cualesquiera nmeros naturales, obliga a extender el sistema numrico de losnmeros naturales a los nmeros enteros.

Cul era la necesidad de extender el sistema de los nmeros naturales? Elrequerimiento proviene de la exigencia de modelar matemticamente de algunosfenmenos, como la temperatura, y de la matemtica misma especcamente por

la necesidad de resolver ecuaciones de la formax+ 5 = 3, cuya solucin no existeen los nmeros naturales.

En todos estos casos, surge la necesidad de representar la diferencia nmparados nmeros naturales cualesquiera.

Denicin del opuesto:

Sean los nmeros naturales m y n, tales que m < n y t tal que m + t = n,lo cual signica que n m = t. Denimos m n como el opuesto de t ylo designamos como t.

Ejemplo 5.11. Dado que 8 2 = 6, entonces 2 8 = 6; la expresin 6 es el opuesto de

6.2. Como n + 0 = n, entonces, n n = 0.3. Como 0 + n= n, entonces n 0= n.

La expresin n n = 0, se puede representar como n + (n) = 0, de lo cualse sigue que la suma de cualquier nmero natural con su opuesto es cero;

esto es:n + (n) = 0

Leccin 5

Nmeros enteros


44/156


Dado que 0 + 0 = 0, tenemos que 0 = 0, lo cual quiere decir que el nmerocero es igual a su opuesto. Adems como n + (n) = 0 y aceptamos la pro-

piedad conmutativa tendremos que (n) + n = 0 . Por lo tanto, el opuestones n, esto es:( n)= n.

De acuerdo a lo que hemos establecido, cada opuesto de un nmero naturalgenera a su vez un nuevo nmero. Esto nos permite ampliar nuestro universonumrico, de los nmeros naturales a los nmeros enteros.

Denicin del conjunto de los nmeros enteros:

Denimos el conjunto de los nmeros enteros como la unin de los nme-

ros naturales y sus opuestos. El conjunto de los nmeros enteros se denotapor el smboloZ.

De acuerdo a la denicin anterior, el conjunto de los nmeros enteros corres-ponde al conjunto:

Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

Se suele dividir a Zen los siguientes conjuntos disjuntos:

Z

+

= {1, 2, 3,

}Z= {, 3, 2, 1}

De tal forma que Z= Z+Z{0}, y por lo tanto:Z+Z y ZZ

5.2 LAS OPERACIONES USUALES CON LOS NMEROS ENTEROS

La suma y el producto entre los elementos deZse denen teniendo en cuenta

las operaciones entre los nmeros naturales.Denicin de la suma en los nmeros enteros:

Sean n y m nmeros naturales, denamos n + (m) y (n) + (m) de lasiguiente manera:1. El resultado de la operacin n + (m) = (m) + n se dene como:

a. Si m n, n + (m) =s, dondes +m = n.b. Si n


45/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 61Ejemplo 5.21. 8 + (5) = 3, puesto que 3 + 5 = 8.2. (200) + 27 = 173, puesto que 173 + 27 = 200.

3. 1033 + (1600) = 567, puesto que 567 + 1033 = 1600.4. (283) + (256) = 283 256 = 256 283 = (283 +2 56) = 539.

El producto entre nmeros enteros sigue los mismos delineamientos delproducto entre nmeros naturales, slo debemos tener cuidado con el pro-ducto entre nmeros de diferente signo y con el producto entre nmerosnegativos.

Utilizando las propiedades de los nmeros naturales, el producto entre ente-ros, debe corresponde a la extensin del producto entre naturales. De esta forma,no es difcil demostrar el siguiente teorema bsico.

Teorema: Sea a nmero entero, entonces a.0 = 0.a= 0.El proceso demostrativo es el siguiente:

Operacin Propiedada.0 = a.(0 + 0) Modulativaa.0 = a.0 + a.0 Distributivaa.0 + ( (a.0)) = a.0 + a.0 + ( (a.0)) Uniforme0 = a.0 + (a.0 + ( (a.0))) Asociativa0 = a.0 + 0 Opuesto0 = a.0 Modulativa

Tambin se pueden demostrar algunas propiedades bsicas que se deben cum-plir para producto entre nmeros enteros.

Teorema.Sean m y n nmeros naturales, entonces:

1. (1)n = n.2. (n)(m) = (n.m) = n.m.3. (n)(m) = n.m

No es difcil demostrar estas propiedades. Por ejemplo para demostrar la pri-mera propiedad, basta seguir la siguiente secuencia deductiva:

Como 0.a= 0 , entonces (1 + (1)).a= 0. Aplicando la ley distributiva tenemosque 1.a+ (1).a= 0, de lo cual se tiene que a+ (1).a= 0. Por la denicin deopuesto se tiene que (1).a= a.


46/156


Los resultados anteriores corresponden a las reglas de los signos para losnmeros enteros:1. Ms por ms da ms: (+) . (+) = (+)

2. Ms por menos da menos: (+) . () = ()3. Menos por ms da menos: () . (+) = ()4. Menos por menos da ms: () . () = (+)

Ejemplo 5.3

1. (13) (53) = 13 20 = 2602. (1) (53) = (53) = 533. (40) 6 = (40 6) = 2404. 3 (5) + (2) (8 + 32) = (3 5) + (2) (8) + (2) 32 =

15 + 6 64 = 63

5.3 ORDEN Y REPRESENTACIN DE LOS NMEROS ENTEROS

De acuerdo a los aspectos tericos desarrollados hasta ahora, los nmerosenteros N, constituyen una extensin de los nmeros naturales Z, de tal maneraque NZ.

Nos proponemos ahora denir un orden en el sistema numrico de los enteros.Este orden debe preservar el orden de N= Z+ {0} y, adems, debe incluir loselementos de Z. Para ello se recurre a la representacin tpica que ubica el cerocomo punto referencial; a su derecha se colocan, de manera progresiva, los ele-mentos de Z+, y a la izquierda, los elementos de Z. Esta es una representacingeomtrica que permite una visualizacin integral de Z y Z+:

Intuitivamente podemos establecer el orden de izquierda a derecha:< 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 <

Dado que el conjunto Zqueda dividido en tres conjuntos disjuntos: Z ,Z+

y {0}. Esto obliga a que se cumpla la ley de tricotoma, de tal suerte quesixZ, entonces se cumple slo una de las siguientes pertenencias: xZ xZ+ x{0}.

Es conveniente observar que aunque hemos establecido el orden en de unamanera intuitiva, las operaciones nos permiten denir este orden de una maneraanaltica.


47/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 63Denicin del orden los nmeros enteros:

Dados dos nmeros enteros a y bpertenecientes a Z, decimos que a < bsi b aZ+.

Cuando a < b tambin escribimos b> a.Adems escribiremos a b si a < b o a = b.

Ejemplo 5.4Dado que 13 4 = 9 Z+, entonces 4 < 13.Como 130 (144) = 14 Z+, entonces 144 < 130.

5.4 VALOR ABSOLUTO EN LOS NMEROS ENTEROS

La nocin de valor absoluto de un nmero entero nos permite establecer cla-ramente algunos aspectos operativos, especialmente en lo relativo a la solucinde ecuaciones. Si buscamos soluciones de la ecuacinx2 4 = 0, en el sistemade los nmeros enteros, vemos que podemos identicar dos soluciones x = 2y x = 2, puesto que 22= (2)2= 4. Sin embargo sabemos que 4 = 2, pues siaceptamos la otra raz nos topamos con una contradiccin como la que apareceen el siguiente proceso:

1 = 1 = (1) (1) = (1)2= 1

El problema de fondo es que hemos extendido el concepto de raz cuadrado aun campo numrico, en el cual debemos denir muy claramente las reglas opera-tivas. La nocin de valor absoluto constituye un auxiliar en este sentido.

Denicin de valor absoluto en los nmeros enteros:

SeaxZ, se dene el valor absoluto dex, denotado como x de la si-guiente manera:

x= x, six 0 x, six


48/156


5.5 EJERCICIOS

1. Describa tres situaciones en las que se hace necesario el uso de los nme-

ros negativos. Por ejemplo, para expresar las lecturas del termmetro deambiente.

2. Escriba tres elementos ms en cada serie numrica.a. 0, 1, -1, 1, 1, 2, -2,

b. 6, 4, 2, 0, -2, c. -21, -20, -18, -15, -11, d. 8, 7, 5, 2, -2,

3. En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horasfue de 12C. A las 3 de la maana hubo un descenso de 17C. Cul fue latemperatura registrada a esa hora?

4. Euclides, gemetra griego, naci en el ao 306 a. C y muri en el ao 283A. de C. Qu edad tena cuando muri ?

5. La invencin de la escritura data del ao 3.000 a. C Cuntos aos hantranscurrido hasta hoy?

6. Cuntos nmeros enteros hay entre dos nmeros enteros?

7. Encuentra el valor de las siguientes expresiones, sabiendo que:a = 1 , b = -5, c = -2, d = 3 y e = 0a.

b.c.d.

8. Complete la siguiente informacin:a. El opuesto de (+10) es _____

b. El puesto de (78) es _____c. El opuesto de (100) es _____d. El opuesto de 6045 es _____e. El opuesto de 45 60 es _____

9. Encuentre dos nmeros enteros que al representarlos en la recta disten en-

tre s 14 unidades.


49/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 6510. Encuentre dos nmeros enteros que al representarlos en la recta disten en-

tre s 60 unidades.

11. Represente los siguientes nmeros enteros de menor a mayor en la rectanumrica: 7, 9, +9, 5, 8, 1,3, 6

12. En cada uno de los siguientes casos coloque el signo < , > o =, que corres-ponda.

a. 28 79

b. 35 35c. 35 35d. 35 35

13. Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones e inecuaciones en Z:a. x = 4

b. x = 4c. x = 4d. x < 4

e. x > 4f. x 3 = 4g. 3x = 4h. x =4

14. En cada uno de los casos siguientes determine si es Falso o Verdaderoa. Existen nmeros enteros diferentes que tienen el mismo valor absoluto.

b. Existen nmeros enteros iguales a su opuestoc. Entre dos nmeros enteros cualesquiera siempre existe otro nmero en-

terod.e.f. Para todog. La ecuacin 3x+ 6 = 0 no tiene solucin en Z.h. La ecuacin 5x+ 6 = 0 no tiene solucin en Z.i. Seanx, yZ, tales quex


50/156



1. El valor de es

a. 2b. (2)13c. 5

d. (2)10

2. Un submarino de la ota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mary luego asciende a 20 metros. Entonces queda a una profundidad de:a. 30 m bajo el nivel del mar

b. 30 m sobre el nivel del mar

c. 70 m sobre el nivel del mard. No se puede calcular.

3. Si , entoncesa. El nico valor que satisface la ecuacin esx= 6

b. La ecuacin no tiene solucinc. La ecuacin tiene dos soluciones:x= 6 y x= 2d. El nico valor que satisface la ecuacin esx= 2

4. Cul (es) de los siguientes conjuntos de nmeros enteros est(n) ordenado(s)de mayor a menor?I.II.III.

a. Slo Ib. Slo IIc. Slo IIId. Slo II y III

5. En una emisora local el disco favorito de Esteban paso del 10 al 13 pues-to, entonces:a. Subi 3 puestos

b. Baj 3 puestosc. Subi 4 puestosd. Baj 4 puestos


51/156

6.1 DEFINICIN DE LOS NMEROS RACIONALES

Tres aspectos fundamentales e interrelacionados, muestran la necesidad deextender el sistema de los nmeros enteros:

1. La existencia de ecuaciones que no se satisface para ningn entero; comoel caso de la ecuacin 4x= 9.

2. La extensin de la divisin para cualquier par de nmeros enteros.3. El problema de la medicin de magnitudes.

Los dos primeros casos se encuentran interrelacionados. Para entender el ter-

cer caso supongamos que debemos medir el segmento AB, tomando como refe-rencia la unidad de medida U, como se muestra la gura siguiente:

Observemos que el segmentoABes mayor que 5 unidades, pero menor que 6

unidades; su medida corresponde a 5 unidades ms una fraccin de la unidad.Denicin de nmeros racionales:

A partir del conjunto Z= {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }, de los nmerosenteros, se dene el conjunto de los nmeros racionales Q:

Apse le denomina numerador y a qdenominador.

Leccin 6

Nmeros racionales


52/156


Dado que para cualquier nmero entero m, se cumple que , tenemosque todo nmero entero es un nmero racional. Esto establece las siguientes re-laciones:

NZQ

De acuerdo a lo anterior, si tomamos un nmero natural cualquiera, por ejem-plo el 2; este nmero es entero y, por lo tanto es un nmero racional, puesto que

; sin embargo, de acuerdo al algoritmo de la divisin tenemos que tambinse cumplen las siguientes igualdades:

El algoritmo de la divisin nos permite incorporar diferentes representacionesde cada nmero racional.

Dado un nmero racional , el teorema fundamental de la aritmtica nos per-mite descomponerpy qen sus factores primos de tal forma que podemos obtenerun nmero racional equivalente , tal que ryssean primos relativos. En este casodecimos que hemos simplicado completamente el nmero en consideracin

Ejemplo 6.11. puesto que 5 14 = 7 10.

2. Dado el nmero racional , tenemos que ; de acuerdo alo expuesto antes, el proceso de simplicacin nos permite obtener,

, donde 3 y 2 son primos relativos.


53/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 696.2 OPERACIONES CON NMEROS RACIONALES

El conjunto de los nmeros racionales Qcontiene dos conjuntos disjuntos

especiales:1. El conjunto de los racionales positivos Q+corresponde al conjunto de ra-

cionales de la forma , tales quepy qson ambos enteros positivos o ente-ros negativos:

.

2. El conjunto de los racionales negativosQcorresponde al conjunto de racio-

nales de la forma , tales que slo uno de los dosp qes entero negativo:

.

De esta forma tenemos que Q= Q+ {0} Q.Primero deniremos la suma para el caso de racionales positivos.

Denicin de suma de racionales positivos:

Para sumar y racionales positivos, con igual denominador, se sumanlos numeradores y se coloca el mismo denominador:

La denicin anterior y la simplicacin de nmeros racionales permite gene-ralizar suma de racionales con diferente denominador. Supongamos dos nmeros

racionales positivos y , entonces .

Ejemplo 6.2

1.

2.

3.

4. En el caso anterior se pueden simplicar las operaciones usando el m-nimo comn mltiplo de los denominadores. Para este ejemplo m.c.m.(3, 4, 12) = 12 y la operacin se realiza de la siguiente forma:


54/156


Observemos que .

Para el caso general de la suma de nmeros racionales, debemos tener encuenta la siguiente convencin:

Para el caso general, se siguen los mismos pasos que para la suma entre ra-cionales positivos y se usan las operaciones entre enteros, como se detalla en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.3

1.

2.

3.

Denicin de producto de racionales:

Para multiplicar y racionales, se multiplican los numeradores entre s

y los denominadores entre s:

Ejemplo 6.4

1.

2.

La suma y el producto entre racionales no slo cumplen con todas las propie-

dades que cumplen las operaciones sobreZ

, sino tambin cumple la propiedadde existencia del inverso multiplicativo.


55/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 71Denicin de inverso multiplicativo:

Para todoxQ,x0, existeyQ, tal quex.y= 1. El elementoyse deno-mina inverso multiplicativodex, que se designa como .

De esta forma, para todoxQ,x0, tenemos quex.x1= 1.

Observemos los siguientes aspectos:1. Si xQ, x0, entonces x= , donde p, qZ, ambos diferentes de

cero.

En este caso ,de lo cual tenemos .

2. SixQ,x0, entonces ((x)1)1=x.

3. Si mZ, m0, entonces .

Ejemplo 6.5

1. .

2.

Dados dos nmeros racionales se puede denir la operacin

de la siguiente manera:

6.3 ORDEN Y DENSIDAD DE LOS NMEROS RACIONALES

Si partimos de la representacin geomtrica de los nmeros enteros:

y cada segmento unidad se divide en partes iguales podemos representar los n-meros racionales no enteros; a continuacin presentamos algunos casos:


56/156


Recordemos que la representacin en la recta de los nmeros naturales y en-teros establece un orden natural de acuerdo a su ubicacin. En el caso de losnmeros racionales ocurre lo mismo; sin embargo no es sencillo determinar la

ubicacin relativa, eso nos obliga a establecer una denicin analtica.

Denicin de orden en los nmeros racionales:

Dados los dos nmeros racionalesxy t, decimosx< t t>xsi y solo sitxQ+.

Ejemplo 6.6

1. Todo nmero racional mayor que cero pertenece aQ+; esto signica

que para todoxQ+, se tiene quex> 0.

2. , puesto que .

3. , puesto que .

Una de las diferencias bsicas de los nmeros racionales con los nmerosenteros es la propiedad de densidad.

Entre dos nmeros racionales, existe otro nmero racional. Esto es, dadosdos nmeros racionalesxyy, tales quex


57/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 73La potenciacin entre nmeros racionales cumple las mismas propiedades que

la potenciacin entre naturales.

Ejemplo 6.7

1. .

2.

6.5 REPRESENTACIN DECIMAL DE LOS NMEROS RACIONALES

En la cuarta leccin vimos que en nuestro sistema base 10, un nmero naturalse puede representar en forma de expansin polinmica en potencias de diez. Porejemplo, 3435 = 5 100+ 3 101+ 4 102+ 4 103.

En el sistema base 10, tambin existen unidades fraccionarias que resultan dedividir la unidad en 10, 100, 1000, partes

De esta forma el algoritmo de la divisin nos da posibilidad de establecer larepresentacin de cualquier nmero racional , en el cualpno sea divisible porq, en forma decimal.

Existen dos tipos fundamentales de nmeros decimales:1. Un decimal exacto: es aquel en el cual el nmero de cifras decimales es nito.2. Un decimal peridico: es aquel en el cual una cifra se repite indenidamente.


58/156


Ejemplo 6.8

1. corresponde a un decimal exacto, pues = 3,75.

2. corresponde a un decimal peridico, pues = 3,333 = 3,3.

6.6 EJERCICIOS

1. Analice el siguiente caso que me comparti un estudiante, quien su vezlo encontr en Internet. El dilogo, que a continuacin transcribimos, sedesarroll el 18 de noviembre de 1994 en una clase de Matemticas de 1

de BUP de un instituto de Salamanca.

2. Profesor de matemticas:Simplica la fraccin 26666/66665. Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda

2666/6665. Profesor:Est bien. Pero puedes hacer algo mejor. Alumno:Es cierto; todava puedo simplicar tres veces el 6 y quedar:

26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5. Profesor:Bravo! Te pongo un diez! Puedes sentarte!

Profesor: (Dirigindose a toda la clase) El mtodo de simplicacin em-pleado por vuestro compaero es poco ortodoxo y sin embargo los resulta-dos son exactos.

3. Porqu se cumple el proceso empleado por el estudiante? Utilice el mis-mo procedimiento para hallar fracciones equivalentes a , y .

4. Observe que , la cual es una fraccin que contiene los dgitos

del uno al nueve slo una vez. Esta es una propiedad que la cumplen todos

los nmeros del dos al nueve. Encuentre las fracciones con esta propiedadpara 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

5. En los siguientes casos, encuentre el valor de k, racional, para el cual losnmeros racionales especicados sean iguales:

a) b) c)

d) e)


59/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 756. En los siguientes casos, encuentre el valor dex, racional, para el cual los

nmeros racionales especicados sean iguales:

a) b) c)

7. Resuelva las siguientes inecuaciones:a.

b.c.d.e.

8. En cada caso, ordenar de mayor a menor los siguientes nmeros raciona-les:a.

b.

c.

9. Simplique al mximo la expresin:

10. Utilizando las propiedades de la potenciacin, realice las siguientes opera-ciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.


60/156


11. En una tienda, los 5/6 del dinero que se ha recolectado en un da corres-ponde a la venta de gaseosas. De este dinero, los 4/7 corresponde a la ventade Coca-cola. Si la venta de Coca-cola fue de $8000, cul habr sido la

recaudacin en la tienda ese da?

12. Expresa en forma de fraccin los siguientes nmeros decimales:a) 4,75 b) c) d)

13. Un ciclista se dirige de Cali a Palmira. Cuando ha recorrido 4 kil-metros se encuentra con una amiga a la cual acompaa en direccincontraria de kilmetro; despus avanza de kilmetro, pero otro

encuentro lo hace retroceder de kilmetro. Al nal avanza en dos eta-pas en las cuales recorre y respectivamente. Cuntos kilmetrosavanz de Cali a Palmira?

14. Carmen fue a una esta de n de ao y en el lugar le ofrecieron que eligiera

entre las siguientes cantidades de torta ; Carmen tom . Es-cogi Carmen el trozo ms grande?

15. Un obrero realiza una obra en 4 horas, y otro obrero realiza la misma obra

en 3 horas. Qu fraccin de la obra realiza cada obrero en una hora? Qufraccin de la obra realizan los dos en una hora?

16. Un albail levanta 5 metros de un muro en 7 das y otro albail hace 5metros del mismo muro en 8 das. Cuntos metros de ms levanta al quele rinde ms?

17. Un viajero se encuentra con dos amigos que le ofrecen pan. El primero desus amigos puso 5 panes y el segundo puso 3 panes. Como pago, el viajero

les deja 8 monedas de oro. Sabemos que los tres comieron partes iguales,cmo se deben repartir las monedas los amigos si se supone que a cadauno le corresponde proporcionalmente a lo colocado?

18. Una pared mide 8 + metros de altura y se tiene una regla que mide demetro. Cuntas veces cabe a regla en la altura de la pared?

19. La cuarta parte de la quinta parte de 40 es igual a la quinta parte de lacuarta parte de 40?


61/156


1. Si las dos terceras partes de un grupo de 42 estudiantes aprobaron biologa,

entonces el nmero de estudiantes que perdieron la materia es:a. 28

b. 24c. 14d. 18

2. Si un corredor llega a la meta en un minuto cuando lleva una velocidad de10 kilmetros por hora. Cunto tiempo necesita si aumenta su velocidada 200 kilmetros por hora

a. 45 segundosb. 2 minutosc. 50 segundosd. 30 segundos

3. Un ladrillo que pesa 8100 gramos se reduce 3 veces en todas sus dimensio-nes. Cunto pesa el ladrillo resultante?a. 300 gramos

b. 2700 gramos

c. 270 gramosd. 310 gramos

4. Qu signo debe colocarse en el parntesis para que la expresinsea verdadera?a. +

b. c. d.

5. La suma de los de un nmero con sus excede 30 al nmero Cul esdicho nmero?a. 42

b. 47c. 72d. 80

6. El nmero racional siguiente a 0.12 es:

a. 0.123b. 0.1201


62/156


c. 0.120001d. No existe

7. El nmero es:a. Igual a 4,999

b. Menor que 5c. Aproximadamente 5d. Igual a 5


63/156

7.1 DEFINICIN DE LOS NMEROS REALES

Algunos aspectos, propios de las actividades de medir y contar, muestran lainsuciencia del sistema de los nmeros racionales. Es el caso de la extensin dela operacin de radicacin para cualquier nmero racional. Por ejemplo, no esmuy complicado demostrar que no existe un nmero racional que sea igual a 2.Este mismo aspecto se da en el caso geomtrico cuando intentamos establecerun segmento de medida comn para el lado y la diagonal de un cuadrado de ladouno. En la leccin anterior vimos que todo nmero racional tiene representacindecimal nita o peridica, sin embargo, existen nmeros decimales que no cum-

plen esta condicin.

Denicin de nmeros irracionales:

El conjunto de los nmeros irracionales corresponde al conjunto de nme-ros cuya representacin decimal no es peridica ni nita. En otras palabras,al conjunto de los nmeros que no corresponden a los nmeros racionalesse denomina el conjunto de los nmeros irracionales y se simboliza comoI:

I = {x:xQ}.

Ejemplo 7.1

1. y en general cualquier raz inexacta son nmeros irracionales.

2. El nmero 5,01011011101111 es un nmero irracional porque es un de-cimal que no es peridico ni nito.

3. Existen algunas razones entre magnitudes que determinan nmeros irra-cionales, tal es el caso de la razn entre el permetro de un crculo y su

dimetro que se denomina pi y se representa con el smbolo .

Denicin de los nmeros reales:

Leccin 7

Operatividad de losnmeros reales


64/156


Denicin de los nmeros reales:

La unin del conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de losnmeros irracionales se denomina el conjunto de los nmeros reales y se

simboliza mediante el smbolo R:R= QI

La unin de los racionales y los irracionales conforma un nuevo conjunto enel cual se deben denir las operaciones bsicas similares a las denidas en losracionales. El problema es que no existe un algoritmo para sumar o multiplicarnmeros con innitos decimales. Por ese motivo es conveniente presentar a Rdeuna manera axiomtica, suponiendo que las operaciones son posible y que cum-

plen las propiedades bsicas.

7.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NMEROS REALES

Los nmeros reales conforman un conjunto en el cual se denen dos operacio-nes: suma (+) y Producto (), las cuales cumplen las siguientes propiedades:

Seanx, y, zR.

Adems se cumple la propiedad distributiva, que combina las operaciones desuma y producto.

1. x.(y + z)= x.y + x.z Distributiva por la izquierda.2. (x + y).z = x.z + y.z Distributiva por la derecha.

De las propiedades anteriores se pueden deducir los siguientes teoremas:i. Para todoxR, se tiene quex.0 = 0.ii. Para todox,yR,x.y= 0, si y slo six= 0 y= 0.iii. Para todoxR, se tiene que (1).x = x.iv. Para todoxR, se tiene que (x).(y) =x.y.v. Para todoxR, se tiene que (x).y= (x.y).

Demostremos la propiedad (i):x.0 = 0.

x.0 =x.(0 + 0) =x.0 +x.0.x.0 + (x.0) =x.0 +x.0 + (x.0)0 =x.0, por lo tantox.0 = 0.


65/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 81Demostremos la propiedad iii. (1).x= x.

(1).x + x= ((1) + 1).x= 0.x= 0. Eso signica que el opuesto dex es (1).x;

es decir, x= (1).x.

Las propiedades anteriores garantizan las llamadas reglas de los signos, yaanotadas antes:1. Ms por ms da ms: (+) . (+) = (+)2. Ms por menos da menos: (+) . () = ()3. Menos por ms da menos: () . (+) = ()4. Menos por menos da ms: () . () = (+)

Ejemplo 7.2Despejarxde la ecuacin: 3(2x 4) + 5x+ 8 = 7x 10.

En el ejemplo anterior hemos detallado todas las propiedades utilizadas, con

el propsito que entendamos la relevancia de las propiedades algbricas de losnmeros reales, pero en la prctica muchos de esos pasos se obvian y slo se es-criben los pasos generales, como puede visualizarse en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 7.3Resolver la ecuacin (x 3)(2x + 8) = 0.

Si (x 3)(2x + 8) = 0, entoncesx 3 = 0 2x+ 8 = 0. De lo ltimo se tienequex= 3 2x= 8. Por lo tanto


66/156


7.3 REPRESENTACIN GEOMTRICA Y COMPLETES DE LOSREALES

Al representar los nmeros racionales en la recta geomtrica, podemos obser-var que quedaran puntos sin representacin. En este sentido decimos que el con-

junto de los nmeros racionales no completan la recta numrica. Un ejemplode esto corresponde a la representacin de , que se puede representar haciendouso del teorema de Pitgoras, como se observa en la gura siguiente:

El tringuloABCes rectngulo, tal queAB=BC= 1. Aplicando el teorema dePitgoras, se tiene que y por lo tanto .

Si partimos de una recta geomtrica en la cual localizamos un punto, quecorrespondera al cero y luego tomamos un segmento como unidad, cuyo puntonal correspondera con el nmero uno, podemos pensar en todos los puntos dela recta como representantes de nmeros reales.

Si partimos del principio segn el cual a cada nmero de la recta le corres-ponde un nmero real y, viceversa, a cada nmero real le corresponde unpunto de la recta, entonces decimos que los nmero reales llenan com-pletamente toda la recta geomtrica; esto signica que los nmeros realesforman un continuoo, lo que es lo mismo, que el conjunto de los nmerosreales es completo.

Observemos que al representar los nmeros racionales en la recta geomtrica,sobran puntos en la recta. Esto es algo que establece una diferencia bsica entrelas nmeros racionales y los reales: mientras que Res completo, Qno lo es.

7.4 POTENCIAS ENTERAS DE NMEROS REALES

En la leccin 5 denimos la potenciacin para el caso de los nmeros natura-les, ahora deniremos estas operaciones para el caso de los nmeros reales.

Denicin de Potencias para nmeros reales:

SeaxRy nZ+, se dene:1. x0= 1, parax0.2. xn+1=xn.x3. xn= (xn)1, es decirxnes el inverso dexn.


67/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 83Las potencias enteras de nmeros reales cumplen las mismas propiedadesque las potencias en los naturales; esto es, si a, bRy m, nZ+, se tieneque:

Ejemplo 7.4Calcular (2, 3, 4)2.

Primero transformamos el nmerox = 2, 3, 4a la forma .

100x= 234,410x= 23,4

Restando miembro a miembro las dos igualdades tenemos que

Entonces

Simpliquemos la siguiente expresin, realizando todas las operaciones y talque la expresin nal no tenga exponentes negativos.

El proceso es el siguiente:

.

Por lo tanto .


68/156


7.5 EJERCICIOS

1. En cada una de los siguientes enunciados determine si es Falso o Verda-

dero.a. Para todox, y, , se tiene que

b. Para todox, y, se tiene que

c. La ecuacin siempre tiene solucin en R.

d. Para todox, y, z, se tiene que

e. Para todox, y, se tiene que

f. El inverso multiplicativo de 3 x, don de x 3, es .

g. = 42

h. 2n.2m= 4n.mpara todo n, m, N.

i. (5n

)m

= 5n+m

para todo n, m, N.j. 2n+ 2n= 2n+1para todo n N.k. 5n+ 5n= 5n+1para todo n N.

l.

m.n.o.

p. 1,33... = 1+

2. En la siguiente lista de nmeros, clasifquelos como naturales, enteros, ra-cionales e irracionales

a. + 5

b. (15)3

c. 0,8 +

d.


69/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 85e. (2)3

f.g.

h. 0,1010010001...

i.

3. Determine los valores reales dex, para los cuales cada una de las siguientesexpresiones no representan nmeros reales

a.

b.

c.

d.

4. Simpliquemos la siguiente expresin, realizando todas las operaciones ytal que la expresin nal no tenga exponentes negativos.

a.

b.

c.

d.


70/156


5. Determine cul de las siguientes expresiones representan un nmero real:

a) b) c) d)

6. Realice las siguientes operaciones:

a.

b.

c.

d.

7. Resolver las siguientes ecuaciones:

a.

b.

c.

d.

8. Observe que un nmero real cualquiera se puede representar de forma po-

linmica; por ejemplo, el nmero 4076,309 se puede representar como: 4076,309 =

+

.

9. Escriba la expresin polinmica de los nmeros reales que se dan en cadauno de los siguientes casos:

a.

b.

c.

d.

e.


71/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 8710. Dada la expresin polinmica escrbalos en forma decimal

a. .

b.

c.

d.

11. En los siguientes casos realice las operaciones indicadas hasta obtener unafraccin real simplicada:

a.

b.

c.

d.

12. En la universidad del Valle hay 10.000 estudiantes y el 60% son del Valledel Cauca; adems se sabe que el 25% de los estudiantes del Valle son ca-leos.a. Cuntos estudiantes son caleos?

b. Qu porcentaje de los estudiantes son caleos?

13. Una llave llena un tanque en dos horas, otra llave lo llena en cuatro horas;

un desage lo vaca en tres horas.a. En cunto tiempo se llenar en el tanque con las dos llaves abiertas yel desage cerrado?

b. En cunto tiempo se llenar con las dos llaves abiertas y tambin eldesage?


72/156



1. Una de las siguientes expresiones es falsa:

a.b. es un nmero entero

c.

d.

2. La expresin es igual a:a. 5

b.c.d.

3. Una de las siguientes expresiones no representa un nmero real.

a.

b.

c.

d.

4. El nmero representado por es:a. 4/8

b. 8/27c. 2/3d. 9/4

5. La propiedad de los nmeros reales que permite establecer la igualdad:, es:a. Asociativa

b. Conmutativac. Distributivad. Uniforme

6. Al simplicar la expresin obtenemos:a. 1

b.c. 8d.


73/156

Plan de nivelacin acadmica Talentos MATEMTICAS 897. Uno de los siguientes nmeros no es irracional:

a.b.

c.d.

8. Si en un examen que vale el 60% de la nota Carlos sac 4 y su nota nalfue 3,6, entonces en el segundo examen, que vala el 40% sac:a. 4

b. 3,5c. 3d. 3,6


74/156


75/156

8.1 ORDEN EN LOS NMEROS REALES

La representacin geomtrica de los nmeros reales establece un orden natu-ral en el conjunto de los nmeros reales, de tal suerte que de dos nmeros natu-rales es mayor aquel que se encuentra a la derecha del otro en la representacingeomtrica. Sin embargo, al igual que en los nmeros racionales, no es posibleestablecer este proceso en todos los casos. Es claro que aquellos nmeros realesque estn a la derecha del cero son mayores que l y conforman el conjunto delos nmeros reales positivos. Es conveniente introducir este conjunto a partir delsiguiente axioma.

Existe un subconjunto de los nmeros reales, denominado el conjunto delos reales positivos, que se simboliza como R+, el cual cumple las siguien-tes propiedades:Para todo rR, se cumple uno solo de los casos: rR+rRr= 0.Para todox,yR+, entoncesx+yR+yx.yR+.

Con base enR+

, se puede incorporar el conjunto de los nmeros reales negati-vos R, de tal forma que sixR+, entonces xR. De esta forma Rse divideen tres conjuntos disjuntos:

R= R+R.

Denicin de orden en los nmeros reales:

Sean x,yR, decimos que xes menor quey, simbolizado comox x.

Leccin 8

Orden y potenciacinen los nmeros reales


76/156


La relacin de orden establecida antes, cumple las siguientes propiedades:Seanx,y,zR, entonces,

L

Documents

Matematicas Psu