Cap. I. DOBÂNDA SIMPLĂ Oricine ştie că atunci când o persoană (fizică sau juridică) este nevoită să folosească un lucru care nu îi aparţine trebuie să plătească un preţ. Acest principiu este valabil şi în cazul banilor.

Dacă persoana P2 doreşte să utilizeze un capital ce îi aparţine persoanei P1 atunci P2 trebuie să plătească lui P1 o sumă de bani denumită generic dobândă. Acest lucru este normal dacă ne gândim că, pe perioada în care capitalul este la dispoziţia lui P2, P1 este privată de posibilitatea utilizării acestui capital. În mod logic acest preţ este proporţional cu dimensiunea capitalului şi cu durata utilizării acestuia. Cu alte cuvinte dobânda D este o funcţie de capital C şi durată t. Deci: D=f(c, t) În principiu funcţia f este crescătoare. Definiţie. Dobânda se numeşte simplă dacă se plăteşte o singură dată şi dacă este proporţională cu durata plasamentului. Formula de calcul în acest caz este: D C i t= ⋅ ⋅ , unde i = rata dobânzii t = durata plasamentului (de exemplu perioada utilizării unui împrumut) Observaţie. Parametrii i şi t trebuie raportaţi la aceleaşi unităţi de timp (dacă i este rată anuală atunci t trebuie să reprezinte numărul de ani; dacă i este rată trimestrială, t va reprezenta număr de trimestre, ş.a.m.d.) Modalităţi de plată ale dobânzii. Rate echivalente În practică se utilizează două metode de plată a dobânzii: plata în avans şi plata la scadenţă. În cazul în care plata dobânzii se face la scadenţă debitorul P2 primeşte de la creditorul P1 capitalul C, iar la sfârşitul perioadei de plasament capitalul care trebuie rambursat este Cf (capital final) = C+D. Observaţie. Pe toată durata P2 are la dispoziţie capitalul C. Dacă dobânda se plăteşte în avans atunci capitalul pe care P2 îl poate utiliza este C-D. Evident că modalitatea de plată a dobânzii influenţează capacitatea de operare a debitorului P2, deoarece sumele pe care le are la dispoziţie în cele două situaţii sunt diferite. Putem astfel afirma că în cazul în care valorile numerice ale ratelor dobânzii în cele două situaţii sunt egale, atunci ele nu sunt echivalente. Exemplul 1. C = 1000 u.m. (unităţi monetare) i = 0,1 (rată anuală) t = 1 an În cazul dobânzii plătite la scadenţă debitorul P2 va beneficia de capitalul C = 1000 u.m. pe întreaga perioadă (în acest exemplu 1 an), iar la sfârşit va plăti creditorului P1 suma C+D adică:

1000 1000 0,1 1 1100 . .C D C C i t u m+ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = Dacă dobânda se plăteşte în avans, suma totală pe care debitorul P2 o plăteşte creditorului P1, este tot de 1100 u.m., dar plăţile se fac la momente diferite de timp. Astfel dobânda D = 100 u.m. se plăteşte la începutul anului, iar capitalul C = 1000 u.m. la sfârşit. Diferenţa este în defavoarea debitorului P2, care, pentru aceeaşi dobândă are la dispoziţie un capital de doar 900 u.m. Observaţie. Este foarte important de reţinut diferenţa între dobândă şi rată a dobânzii. Dobânda este o valoare care se măsoară în unităţi monetare, în timp ce rata dobânzii este o mărime adimensională. Observaţie. În paralel cu i-rata dobânzii, se mai utilizează şi p-procentul dobânzii. Relaţia dintre cei doi parametri este:

100

pi =

Exemplul 2. Unei rate a dobânzii i=0,1 îi corespunde procentul p=10%.

Să revenim la exemplul 1. Am observat că în condiţiile unor rate egale, dar plătite în mod diferit, acestea nu sunt echivalente. Apare astfel mulţimea de rate echivalente ale dobânzii. În general, vom spune că doi termeni sunt echivalenţi dacă au acelaşi efect financiar.

Am observat că, practic, în cazul plăţii în avans a dobânzii, debitorul P2 dispune pe un am de zile de capitalul C-D = 900 u.m., iar la sfârşitul anului are de plătit suma C = 1000 u.m. Putem astfel transforma acest

2

caz al plăţii în avans a dobânzii într-o problemă în care putem considera că plata dobânzii se face la scadenţă. Valorile numerice se modifică astfel: capitalul C = 900 u.m., dobânda D = 1000 u.m. –C = 100 u.m. Dacă înlocuim în formula de calcul a dobânzii obţinem: 100 900 ' 1i= ⋅ ⋅ , de aici rezultă

100' 0,11900 1

i = =⋅

Pe baza acestui exemplu putem afirma că o rată a dobânzii de 0,1, în cazul plăţii în avans, este echivalentă cu o rată de 0,11 în cazul în care dobânda se plăteşte la scadenţă. În continuare vom efectua un calcul algebric pentru a stabili relaţia dintre două rate echivalente atunci când dobânda se plăteşte în avans, respectiv la scadenţă. Considerăm deci un împrumut de capital C acordat cu o rată a dobânzii i, în condiţiile în care dobânda se plăteşte în avans. Dacă dobânda se plăteşte în avans atunci suma disponibilă este: ( )1C D C i t− = − ⋅ Considerăm acum un împrumut de capital C-D acordat cu o rată 'i echivalentă cu plata dobânzii la scadenţă. În acest caz debitorul P2 va plăti la scadenţă, capitalul împrumutat şi dobânda aferentă, adică: ( ) ( ) ( ) ( )( )' 1 1 ' 1 1 'C D D C i t C i t i t C i t i t− + = − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ + ⋅

Astfel, în primul caz suma finală de achitat este C, iar în al doilea ( )( )1 1 'C i t i t− ⋅ + ⋅ iar suma disponibilă (cea pe care debitorul P2 o are la dispoziţie pe toată durata împrumutului), este, în ambele cazuri, C-D. Pentru ca cele două operaţiuni să fie echivalente financiar, trebuie ca şi sumele de restituit să fie egale. Adică ( )( )1 1 'C C i t i t= − ⋅ + ⋅ de unde obţinem

11 '1

i ti t

+ ⋅ =− ⋅

1' 11

i ti t

⋅ = −− ⋅

1'1

ti ti t⋅

⋅ =− ⋅

, adică

'1

iii t

=− ⋅

Astfel rata 'i , pentru dobânda plătită în avans, este echivalentă cu rata i, pentru dobânda plătită la scadenţă. În exemplul 1., prin înlocuire cu valori numerice, obţinem:

0,1 0,1' 0,111 0,1 1 0,9

i = = =− ⋅

Utilizarea mărimilor adimensionale constituie de multe ori un instrument prin care băncile încearcă să atragă clienţii fără costuri suplimentare. Să presupunem că un agricultor doreşte să achiziţioneze un utilaj şi pentru aceasta are nevoie de un împrumut. Primeşte două oferte de produse bancare de la două bănci diferite şi anume O1: Împrumut acordat cu un procent al dobânzii p=10%, dar cu plata dobânzii în avans O2: Împrumut acordat cu un procent al dobânzii p’=11%, dar cu plata dobânzii la scadenţă Dacă se ia în calcul factorul psihologic nu se poate prevedea decizia ce o va lua agricultorul. Mai mult, în acest exemplu intervine un mic amănunt ce nu a fost încă evidenţiat. Cele două procente sunt echivalente în condiţiile în care nu se ţine cont de trunchierea făcută în calculul valorii lui 'p . Să revenim la formula de calcul

' 100100

ppp t

= ⋅− ⋅

(obţinută prin înlocuirea lui i cu 100

p )

valoarea lui p’ va fi 11,1111.....% . Astfel, în acest caz particular, o bancă ce reuşeşte să atragă un client prin efectul psihologic al ofertei O1 (utilizarea unui procent al dobânzii mai mic) adaugă la profitul inclus în dobândă şi cel rezultat din calculul aproximativ al procentului 'p . De observat că la un împrumut de 100.000.000 u.m. acest profit suplimentar este de aproximativ 111.111 u.m. Există multe exemple de acest fel şi asupra unora dintre ele vom reveni.

3

Definiţii şi convenţii de notare Literatura de specialitate conţine notaţii diferite care au aceeaşi semnificaţie. Pentru a evita eventualele confuzii vom introduce un set de notaţii care se vor păstra constant pe întreg cuprinsul acestei lucrări. CI – capital iniţial: reprezintă suma plasată iniţial CD – capitalul disponibil: reprezintă suma disponibilă pe perioada plasamentului CF – capitalul final: reprezintă suma care se plăteşte la finalul duratei de plasament CT – capitalul total: reprezintă valoarea finală acumulată în urma fructificării CI pe durata plasamentului Pentru început, în cazul plasării unei sume în regim DS (dobândă simplă) distingem două cazuri: a) dobânda plătită în avans CD = CI – D CF = CD CT = CI + D b) Dobânda plătită la scadenţă CD = CI CF = CI + D CT = CF i – rata anuală a dobânzii (sau dobândă unitară anuală): reprezintă, în fapt, numărul de unităţi monetare care constituie dobânda pentru 1 u.m. plasată pe un an de zile.

100p i= ⋅ - procentul anual al dobânzii Am amintit mai devreme de rată a dobânzii corespunzătoare unei alte perioade decât anuală. Pentru aceste situaţii se utilizează notaţia im, unde m reprezintă numărul de subperioade în care este împărţit anul. Astfel: i12 – este notaţia pentru rata lunară (12 luni = 1 an) i4 – rata trimestrială (4 trimestre = 1 an) i2 – rata semestrială Un caz particular este cel al fracţionării anului în zile. Practica bancară utilizează mai multe proceduri dintre care trei sunt utilizate frecvent: - procedura engleză: 1 an bancar = 365 zile 1 lună bancară = 1 lună calendaristică (respectiv 28, 29, 30 sau 31 de zile) - procedura franceză: 1 an bancar = 360 zile 1 lună bancară = 1 lună calendaristică - procedura germană: 1 an bancar = 360 zile 1 lună bancară = 30 zile

Băncile româneşti utilizează procedurile franceză sau engleză. Cu toate acestea noi vom utiliza procedura germană, doar cu scopul de a simplifica efectuarea calculelor. Observaţie. Generic, în formulele utilizate, durata plasamentului va fi notată cu t. În cazuri particulare se vor folosi următoarele notaţii (în loc de t): nz – număr de zile nl - număr de luni nt - număr de trimestre ns - număr de semestre

Vom spune că două rate ale dobânzii sunt echivalente dacă în condiţiile plasării aceleiaşi sume de bani pe perioade egale generează dobânzi egale. De exemplu rata (dobânda unitară) trimestrială i4=0,1 este echivalentă cu rata (dobânda unitară) anuală i = 0,4.

Pentru a verifica această afirmaţie vom considera CI = 1000 u.m., t = t4 = 1 trimestru, t = t2 = 1 semestru, t = t = 1 an; dobânda se plăteşte la scadenţă. Vom calcula dobânda pentru cele trei perioade utilizând succesiv cele două rate, trimestrială şi anuală. a) t = t1 = 1 trimestru

4

4 1 100 . .D CI i u m= ⋅ ⋅ = sau

14

D CI i= ⋅ ⋅ (deoarece utilizăm rata anuală, iar durata plasamentului este 1/4 ani).

b) t = t2 = 2 trimestre 4 2 1000 . . 0,1 2 200 . .D CI i u m u m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

sau

1

1

nk k k

nk

l ll

CI i tiCI t=

=

⋅ ⋅=

⋅∑∑

c) t = t3 = 1 an 4 4 1000 . . 0,1 4 400 . .D CI i u m u m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

sau 1 1000 . . 0,4 1 400 . .D CI i u m u m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Studiul operaţiunilor financiare utilizează noţiunea de valoare actuală, pentru a putea face comparaţii reale între diferite sume la diferite momente (vom detalia în capitolele următoare). Valoarea actuală îmbracă două forme: a) Valoare actuală comercială, notată cu A, reprezintă diferenţa dintre capitalul iniţial CI şi dobânda aferentă (încasată în avans) pe perioada plasamentului A = CI - D De observat că valoarea actuală comercială A şi capitalul disponibil CD au aceeaşi semnificaţie b) Valoare actuală raţională, notată A', reprezintă acel capital iniţial CI care plasat pe o anumită perioadă generează un capital total CT dat. Exemplul următor evidenţiază relaţia dintre valoarea actuală comercială (capital disponibil) A (CD) şi valoarea actuală raţională A'. Exemplul 3 a) Considerăm că se plasează capitalul iniţial CI = 1.000.000 u.m. pe durata nz = 120 zile cu o dobândă unitară anuală (rată anuală a dobânzii) i = 0,15. Valoarea actuală comercială A este dat de A = CD = CI - D

( )

120 11.000.000 1.000.000 0,15 1.000.000 1 0,15360 3

1.000.000 1 0,05 1.000.000 0,95 950.000 .

A

u m

⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ = − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = ⋅ =

Avem deci CI = 1.000.000 D = 50.000 A = 950.000 b) Utilizăm aceeaşi rată a dobânzii i şi aceeaşi durată a plasamentului şi calculăm valoarea actuală raţională A' care generează capitalul total CT = 1.000.000 u.m. CT = A' + D

' ' ' 160 360nz nzCT A A i A i⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ = + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

deci

1.000.000' 952.380,95120 1,051 0,15360

CTA = = =+ ⋅

Astfel A' = 952.380,95 D = 47.619,05 CT = 1.000.000

În formulele utilizate până acum apar frecvent doi factori şi anume: 1 i t+ ⋅ respectiv 11 i t+ ⋅

.

5

Aceşti factori se vor întâlni şi în următoarele capitole deoarece au o importanţă practică deosebită. Este motivul pentru care ei au fost definiţi în felul următor: a) Factorul 1 i t+ ⋅ notat cu u se numeşte factor de fructificare. În cazul în care t = 1 an u se numeşte factor de fructificare anual. În esenţă u reprezintă valoarea care o va avea la sfârşitul perioadei t un capital iniţial CI = 1 u.m. plasat cu o rată a dobânzii i.

b) Factorul 11 i t+ ⋅

notat cu v se numeşte factor de actualizare şi reprezintă valoarea capitalului iniţial CI care

plasat pe perioada t cu o rată i produce un capital total CT = 1 u.m. Operaţiuni echivalente în regim DS (dobândă simplă) Practica tranzacţiilor financiare (în caz particular operaţiunile bancare) poate conduce la necesitatea înlocuirii unei operaţiuni multiple cu o operaţiune multiplă echivalentă. Operaţiunile multiple le vom nota cu M şi ele nu reprezintă altceva decât un set de operaţiuni simple. Pentru simplificare vom presupune că dobânzile se plătesc la scadenţă. Aşa cum am observat problemele studiate în acest capitol implică trei elemente: capitalul iniţial CI, rata dobânzii i şi durata plasamentului t. Dacă aceste elemente sunt date atunci dobânda D şi capitalul total CT pot fi privite ca nişte funcţii de trei variabile: D = D (CI, i, t) CT = CT (CI, i, t) Cu alte cuvinte CI, i şi t determină exact valoarea dobânzii D sau a capitalului total CT. O operaţiune simplă poate fi, deci, reprezentată printr-un vector de forma:

CIit

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Deoarece operaţiunea multiplă este o mulţime de operaţiuni simple ea poate fi reprezentată matricial:

M 1 2

1 2

1 2

...

...

...

N

n

n

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema luată în considerare este aceea de a determina o operaţiune multiplă N echivalentă cu M dacă se impun anumite restricţii asupra elementelor CI, i sau t. Echivalenţa poate fi raportată la dobânda totală sau la valoarea actuală. Operaţiuni echivalente în raport cu dobânda Considerăm operaţiunea multiplă

M 1 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ...

k n

k n

k n

CI CI CI CIi i i it t t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Dobânda totală a operaţiunii M este suma dobânzilor celor n operaţiuni simple care o compun:

D(M) = 1

n

k k kk

CI i t=

⋅ ⋅∑

O operaţiune multiplă N este echivalentă, în raport cu dobânda, cu M dacă D(N) = D(M) Distingem trei cazuri: a) Capitalurile iniţiale ( )1,kCI k n= se înlocuiesc cu capitaluri iniţiale egale între ele:

Valoarea acestui capital mediu este dată de

1

1

nk k k

nk

l ll

CI i tCIi t=

=

⋅ ⋅=

⋅∑

∑

b) Se înlocuiesc ratele cu o rată medie i. Această rată se determină cu ajutorul relaţiei:

6

1

1

nk k k

nk

l ll

CI i tiCI t=

=

⋅ ⋅=

⋅∑∑

c) Înlocuirea duratelor de plasament cu o durată medie înlocuitoare. În acest caz

1

1

nk k k

nk

l ll

CI i ttCI i=

=

⋅ ⋅=

⋅∑∑

Operaţiunile:

N1 1 2

1 2

...

...

...n

n

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, N2

1 2

1 2

...

...

...

N

n

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

şi N3

1 2

1 2

...

...

...

N

n

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

în care capitalul iniţial mediu înlocuitor, rata medie înlocuitoare, respectiv durata medie înlocuitoare au fost calculate pe baza formulelor prezentate anterior sunt echivalente, în raport cu dobânda, cu operaţiunea multiplă M. Operaţiuni echivalente în raport cu valoarea actuală Vom utiliza valoarea actuală raţională în cele ce urmează; cazul în care se foloseşte valoarea actuală comercială se tratează similar. Considerăm operaţiunea multiplă M aşa cum a fost prezentată anterior. Prin valoare totală actuală a lui M înţelegem suma valorilor actuale (raţionale) ale operaţiunilor simple ce o compun:

'A (M) = 1 1

nk

k k k

CIi t= + ⋅∑

Operaţiunea multiplă N este echivalentă, în raport cu valoarea actuală, cu operaţiunea multiplă M dacă are aceeaşi valoare actuală totală. Distingem şi în această situaţie trei cazuri: a) Înlocuirea capitalurilor iniţiale CIk cu un capital iniţial mediu CI. Acesta se calculează după formula:

1

1

11

1

nk

k k kn

k k k

CIi tCI

i t

=

=

+ ⋅=

+ ⋅

∑

∑

b) Rata medie înlocuitoare i se determină din relaţia:

1 11 1

n nk k

k kk k k

CI CIi t i t= =

=+ ⋅ + ⋅∑ ∑

c) Pentru determinarea duratei medii înlocuitoare t se utilizează relaţia:

1 11 1

n nk k

k kk k k

CI CIi t i t= =

=+ ⋅ + ⋅∑ ∑

Cele trei operaţiuni multiple echivalente, care pot fi determinate prin utilizarea formulelor de calcul anterioare, sunt echivalente, în raport cu valoarea actuală, cu operaţiunea multiplă M. Probleme rezolvate 1. Dobânda unitară anuală este de 0,15. Să se calculeze dobânda pentru 1.000 u.m. pe timp de un an, respectiv un trimestru. Soluţie: 0,15i = ; 1.000 u.m.CI =

1

2

1.000 0,15 1 250 u.m.11.000 0,15 62,50 u.m.4

D CI i t

D CI i t

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

2. Să se calculeze procentul trimestrial echivalent cu procentul semestrial de 14%.

7

Soluţie: 2

24

0,14

0,72

iii

=

= =

3. Se consideră operaţiunea multiplă: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

10.000 u.m. 15.000 u.m. 20.000 u.m.0,12 0,06 0,09

60 zile 120 zile 72 zile

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

Se cere să se determine operaţiunile echivalente în raport cu dobânda prin determinarea: a) capitalului mediu înlocuitor b) ratei medii înlocuitoare c) scadenţei medii înlocuitoare Soluţie

a) Capitalul mediu înlocuitor este dat de: 3

31

1

14827,58 u.m.k k k

kl l

l

CI i tCIi t=

=

⋅ ⋅= =

⋅∑

∑

b) Rata medie înlocuitoare este: 3

31

1

0,0806k k k

kl l

l

CI i tiCI t=

=

⋅ ⋅= =

⋅∑∑

c) Scadenţa medie înlocuitoare: 3

31

1

79,38 zilek k k

kl l

l

CI i ttCI i=

=

⋅ ⋅= =

⋅∑∑

Pentru verificare dobânzile totale ale operaţiunilor echivalente trebuie să fie egale cu dobânda totală a operaţiunii A. Dobânda totală a unei operaţiuni multiple este dată de:

1

n

k k kk

D CI i t=

= ⋅ ⋅∑

Astfel pentru operaţiunea A dobânda totală este 860 u.m.D = , iar pentru operaţiunile echivalente: a) 859,99 u.m. b) 859,73 u.m. c) 859,95 u.m. Aceste rezultate sunt satisfăcătoare, dacă ţinem cont de faptul că în calculul valorilor precedente s-au făcut aproximări.

4. Se consideră operaţiunea multiplă: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

10.000 u.m. 15.000 u.m. 20.000 u.m.0,12 0,06 0,06

60 zile 60 zile 180 zile

CI CI CIi i it t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A

Se cere să se determine operaţiunile echivalente, în raport cu valoarea actuală, prin determinarea: a) capitalului mediu înlocuitor b) ratei medii înlocuitoare c) scadenţei medii înlocuitoare Soluţie a) Capitalul iniţial mediu CI se calculează după formula:

3

13

1

1 14983,81 u.m.1

1

k

k k k

k k k

CIi tCI

i t

=

=

+ ⋅= =

+ ⋅

∑

∑

b) Rata medie înlocuitoare i se determină din relaţia:

3 3

1 11 1k k

k kk k k

CI CIi t i t= =

=+ ⋅ + ⋅∑ ∑

şi se obţine 0,067i = . c) Pentru determinarea duratei medii înlocuitoare t se utilizează relaţia:

8

3 3

1 11 1k k

k kk k k

CI CIi t i t= =

=+ ⋅ + ⋅∑ ∑ şi se obţine 103t ≈ zile.

9

Cap. II. DOBÂNDA COMPUSĂ După cum s-a observat în capitolul I dobânda simplă se calculează şi se plăteşte o singură dată. Majoritatea dintre noi suntem însă obişnuiţi şi cu o altă expresie a dobânzii şi anume cea de dobândă capitalizată (în limbaj popular “dobândă la dobândă”). În terminologia de specialitate acest termen se mai întâlneşte şi sub denumirea de dobândă compusă. Aplicarea unui regim de dobândă capitalizată înseamnă, de fapt, că dobânda se calculează periodic, iar la sfârşitul fiecărei subperioade capitalul iniţial se măreşte cu valoarea dobânzii. Practic regimul de dobândă capitalizată utilizat într-un plasament constituie o succesiune de operaţiuni în regim de dobândă simplă care modifică periodic (datorită faptului că dobânda nu se plăteşte pe fiecare subperioadă) capitalul iniţial. Un exemplu simplu este următorul: O persoană P constituie un depozit bancar pe termen de 6 luni cu o rată lunară i12 în regim DC cu dobândă capitalizată lunar. Dacă regimul de dobândă ar fi DS atunci:

12 6D CI i t CI i= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , iar capitalul total ( )12 126 1 6CT CI D CI CI i CI i= + = + ⋅ ⋅ = + ⋅ În cazul DC capitalul iniţial se modifică lunar prin înglobarea dobânzii corespunzătoare: Luna 1

( )1 1 12

1 1 12

11

D CI iCT CI i

= ⋅ ⋅

= +

Luna a 2-a Capitalul iniţial pentru luna a doua este, de fapt, capitalul total al primei luni.

( )2 1 1 121CI CT CI i= = +

( )2 2 12 1 12 121D CI i CI i i= ⋅ = + ⋅

( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 1 12 1 12 12

21 12 12 1 12

1 1

1 1 1

CT CI D CI i CI i i

CI i i CI i

= + = + + + ⋅ =

= + + = +

Luna a 3-a Capitalul iniţial este egal cu capitalul total al celei de-a doua luni CT2

( )( )3 2 1 12 121 1CI CT CI i i= = + +

( )( )3 3 12 1 12 12 121 1D CI i CI i i i= ⋅ = + + ⋅

( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )

3 3 3 1 12 12 1 12 12 12

31 12 12 12 1 12

1 1 1 1

1 1 1 1

CT CI D CI i i CI i i i

CI i i i CI i

= + = + + + + + ⋅ =

= + + + = +

Prin inducţie se obţine ( )6

6 1 121CT CI i= + Deci în cazul în care rata dobânzii şi subperioadele de plasament sunt raportate la aceeaşi unitate de timp, pentru regimul DC avem

( ) 11 tD CI i i−= + ⋅

( )1 tCT CI i= + spre deosebire de capitalul total în regim DS care se calculează cu formula

( )1CT CI i t= + ⋅ Observaţie. Uzual regimul DS se aplică pentru perioade de până la un an, iar regimul DC pentru perioade de peste un an. Dacă durata plasamentului este de un an (fără capitalizarea dobânzii) atunci ambele formule ne conduc la acelaşi rezultat, deoarece

( )1 1 ti t i+ ⋅ = + pentru t = 1. Dobânzi unitare echivalente Considerăm dobânzile unitare i şi im; relaţia dintre ele, în regim DC, se determină pe baza principiului egalităţii dobânzilor calculate pe aceeaşi perioadă de timp. Presupunem că durata plasamentului este de n ani. Atunci, dacă utilizăm rata i (anuală) avem:

( )1 nD CI i= + Pe de altă parte

10

( )1nm

mD CI i⎡ ⎤= +⎣ ⎦

Prin egalarea celor două expresii se obţine:

( ) ( )1 1nn m

mi i⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

adică ( )1 1 m

mi i+ = + de unde se obţine

1 1mmi i= + −

Inflaţie şi risc catastrofic Este evident faptul că utilizarea formulelor de calcul a dobânzii, prezentate până acum, conduc la o valoare aparentă. Mai exact, în cazul în care, de exemplu, se constituie un depozit bancar cu CI = 1.000.000 u.m. şi o rată anuală i = 0,1, după un an depunătorul va ridica suma CF = 1.100.000 u.m. Nu întotdeauna relaţia CF>CI implică un câştig; acest lucru se întâmplă atunci când inflaţia depăşeşte rata dobânzii. Într-un limbaj mai puţin academic inflaţia simbolizează devalorizarea monedei. În funcţie de nivelul de dezvoltare a economiei ţării emitente a anumitei monezi, valoarea inflaţiei poate lua diferite valori. Pentru măsurarea inflaţiei se utilizează noţiunea de rată a inflaţiei. La fel ca şi rata dobânzii, rata inflaţiei poate fi anuală (se notează cu a) sau pe anumite subperioade a anului (se va nota cu am, unde m reprezintă, la fel ca la rata dobânzii, numărul de subperioade). Să considerăm că se doreşte fructificarea unei u.m. pe o durată de plasament de un an cu o rată anuală i. În cazul în care nu există inflaţie valoarea aparentă a u.m. după un an, adică 1+i, este egală cu valoarea reală. Ce se întâmplă dacă există inflaţie şi rata inflaţiei este a? În acest caz valoarea aparentă 1+i diferă de valoarea reală, aceasta deoarece inflaţia operează ca o dobândă, dar în sens contrar (am presupus că rata inflaţiei este pozitivă). Valoarea reală a unei unităţi monetare

plasate spre fructificare pe o perioadă de un an cu o rată a dobânzii i va fi: 11

ia

++

Se observă imediat că dacă a i> , atunci raportul 11

ia

++

este subunitar, ceea ce conduce la concluzia că, în acest

caz, valoare reală a sumei totale la sfârşitul anului (adică 1+i) este mai mică decât 1 u.m. la începutul anului. Cu alte cuvinte, deşi s-a depus spre fructificare, cu o rată a dobânzii pozitivă, 1 u.m. în final se înregistrează o pierdere. Din acest motiv se face distincţia între dobânda unitară aparentă şi dobânda unitară reală. Notaţia i se va utiliza în continuare pentru noţiunea de dobândă unitară (rată a dobânzii) reală, iar pentru rata aparentă se va folosi notaţia k. Pentru o mai bună înţelegere subliniem faptul că rata aparentă este acea rată, care aplicată unui CI, conduce în final la o dobândă egală cu cea generată de rata reală i în condiţiile în care nu ar exista factori perturbatori (de exemplu inflaţia). Vom considera exemplul următor: CI = 100 u.m. t = 1 an i = 0,2 a = 0,1 a) Dacă nu există inflaţie atunci: D = 20 u.m. CF = 120 u.m. Mai mult, valoarea aparentă a capitalului final este şi valoarea reală. b) Presupunem că există inflaţie a = 0,1, dar că aceasta nu se ia în calcul. În acest caz valorile aparente sunt D = 20 u.m. CF = 120 u.m. Valoarea reală a capitalului final CF este dată de relaţia

( ) 1 109,09 . .1

iCF real CI u ma

+= ⋅ =

+

De aici şi valoarea reală a dobânzii este 9,09 u.m. spre deosebire de valoarea aparentă de 20 u.m. c) Pentru a înlătura efectul inflaţiei, deci pentru a avea un câştig real de 20% trebuie utilizată rata k a dobânzii

11

aparente. Este uşor de observat că această rată se obţine din relaţia 1+k = (1+i)(1+a) În acest fel valoarea aparentă a CF este

( ) ( ) ( )( )1 1 1100 . . 1, 2 1,1 132 . .

CF aparent CI k CI i au m u m

= ⋅ + = + + =

= ⋅ ⋅ =

Valoarea reală este dată de relaţia

( ) ( )( ) ( )1 11 1 120 . .1 1

i akCF real CI CI CI i u ma a

+ ++= ⋅ = ⋅ = ⋅ + =

+ +

Cu alte cuvinte, pentru a obţine un câştig real de 20%, trebuie utilizată o rată a dobânzii ( )( )1 1 1 0,32k i a= + + − =

Din păcate rata anuală a inflaţiei nu poate fi determinată a priori. Această rată poate fi doar previzionată prin utilizarea aparatului matematic oferit de statistica matematică. Chiar şi în acest caz politica economică implementată de factorii decizionali poate conduce la alte valori decât cele prevăzute. În condiţiile în care există pârghiile economice care permit menţinerea sub control a inflaţiei vorbim de inflaţie controlată. Dacă economia unui stat este precară poate să apară fenomenul de inflaţie necontrolată sau galopantă. Aceste fenomene au efecte care pot conduce la un crah economic. Unul din efecte este cel al nemuncii, deoarece în condiţiile unei puternice devalorizări acumularea bănească este inutilă, fapt ce determină populaţia să muncească doar atât cât să-şi asigure subzistenţa. Un alt factor care impune utilizarea unei rate aparente mai mari decât cea reală este aşa numitul risc catastrofic. Această noţiune acoperă cazurile în care un credit, din anumite motive, nu mai poate fi rambursat niciodată. Notaţia utilizată este b şi denumirea este de rată anuală a riscului catastrofic. Înglobarea sa în k-rata anuală aparentă a dobânzii, i-rata anuală reală, a-rata anuală a inflaţiei şi b-rata anuală a riscului catastrofic devine: 1+k = (1+i)(1+a)(1+b) Exemplu

O bancă ce doreşte să realizeze un câştig real de 20% (i = 0,2) în condiţiile unei inflaţii de 10% (a = 0,1) şi a unui risc catastrofic anual de 5% (b = 0,05) trebuie să acorde credite cu o rată anuală a dobânzii aparente: k = (1+i)(1+a)(1+b)-1 = 1,2 1,1 0,05 1 0,386⋅ ⋅ − = Cu alte cuvinte procentul anual aparent al dobânzii trebuie să fie p = 38,6% Operaţiuni echivalente în regim DC Principiul care stă la baza acestui paragraf este similar celui care a fost utilizat în cazul în care se aplică regimul DS (dobândă simplă). Distingem şi în acest caz două forme de echivalenţă a operaţiunilor multiple.

a) Echivalenţa în raport cu dobânda totală Este evident că formulele care se aplică pentru determinarea valorilor medii înlocuitoare (CI, i, t) sunt diferite în cazul aplicării regimului DC deoarece şi formula pentru calculul dobânzii este alta. Datorită faptului că în expresia dobânzii calculate în regim DC apare funcţia exponenţială este dificil de calculat valoarea medie înlocuitoare pentru scadenţă şi rată. Doar în cazul sumei iniţiale este uşor de determinat valoarea medie înlocuitoare şi aceasta este dată de formula

CI (capital iniţial mediu înlocuitor) ( )

( )1

1

1 1

1 1

k

k

nt

k kk

nt

kk

CI i

i

=

=

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦=

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

∑

∑

b) Echivalenţa în raport cu valoarea actuală

În cazul operaţiunilor multiple în regim DC valoarea actuală raţională totală este dată de relaţia

'A (M)( )1 1 1 k

n nk

k tk k k

CFCIi= =

= =+

∑ ∑

Similar cu situaţia aplicării regimului DS, vom spune că două operaţiuni multiple M1 şi M2 sunt echivalente, în regim DC, în raport cu valoarea actuală (raţională) dacă

'A ( M1) = 'A ( M2)

12

Exerciţii rezolvate 1. O persoană plasează un capital iniţial 100 u.m.CI = pe o durată de 4 ani în regim DC cu dobânzile unitare anuale corespunzătoare 1 0,05i = , 2 0,06i = , 3 0,07i = şi 4 0,08i = . Să se calculeze capitalul final şi dobânda totală aferentă plasamentului. Soluţie

( )( )( )( )1 2 3 41 1 1 1100 u.m. 1,05 1,06 1,07 1,08 128,61 u.m.

CF CI i i i i= + + + + =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Dobânda totală este dată de 28,61 u.m.CF CI− = 2. Un capital 100CI = u.m. plasat pe o durată de 3 ani produce o dobândă de 33,1 u.m.. Să se determine dobânda unitară anuală pentru cazul în care plasamentul s-a efectuat: a) în regim DS b) în regim DC Soluţie a) În regim DS D CI i t= ⋅ ⋅ , astfel 33,1 100 3i= ⋅ ⋅ ceea ce implică

33,1 0,11300

i = ≈

b) În regim DC ( )1 tCF CI i= ⋅ + , astfel

( )3133,1 100 1 i= + , de unde

( )31 1,331i+ = , adică 0,10i =

Observaţie. Uzual problemele în care se cere determinarea dobânzii unitare anuale sau a perioadei de plasare în regim DC implică utilizarea tabelelor de logaritmi. 3. Se plasează un capital iniţial 100CI = u.m. în regim DC pe o perioadă de 4 ani cu un procent anual

10%p = . Se cere să se determine capitalul final real şi cel aparent în condiţiile: a) nu există inflaţie şi risc catastrofic b) rata anuală a inflaţiei este 0,05a = , iar rata anuală a riscului catastrofic este 0,03b = , dar nu sunt luate în calcul c) rata anuală a inflaţiei este 0,05a = , rata anuală a riscului catastrofic este 0,03b = , şi sunt luate în considerare la stabilirea ratei anuale a dobânzii Soluţie a) Deoarece se presupune că nu există inflaţie şi nici risc catastrofic valoarea aparentă a capitalului final este şi valoare reală

( )4100 1,1 146,41CF = = u.m. b) Capitalul final aparent este acelaşi ca şi la punctul a), dar valoarea reală este dată de:

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4146,41 107,02

1 1 1,05 1,03a

rCFCF

a b= = =

+ + u.m.

Cu alte cuvinte suma cumulată după 4 ani de plasament este de 146,41 u.m., dar valoarea ei reală este de 107,02 u.m. c) Dacă se iau în calcul ratele inflaţiei şi riscului catastrofic, atunci pentru o dobândă unitară reală de 0,1 rata aparentă a dobânzii trebuie să fie ( )( )( )1 1 1 1 0,1896k i a b= + + + − = , ceea ce face ca valoarea aparentă a capitalului final să fie:

13

4100 1,1896 200.2644aCF = ⋅ = u.m.

Valoarea reală a acestui capital este ( ) ( )4 4 146,401,05 1,03

ar

CFCF = ≈ u.m. adică valoarea capitalului final dacă

plasarea se face cu un procent de 10% şi nu există inflaţie sau risc catastrofic.

14

Cap. III. OPERAŢIUNI DE SCONT Uzual, operaţiunea de scont semnifică cumpărarea de către o bancă comercială a unui document financiar deţinut de către un creditor P1. Documentul atestă obligativitatea unui debitor P2 de a face o plată către P1 la o anumită dată (scadenţă). În cazul în care P1 doreşte încasarea sumei înainte de scadenţă el poate vinde acest document (bilet de ordin, poliţe etc.) unei bănci comerciale, bineînţeles contra unei taxe. În schimb, banca va fi cea care va încasa, la scadenţă, suma datorată de debitorul P2. Această operaţiune poartă denumirea de operaţiune de scont. Se disting trei momente importante de timp şi patru valori ale capitalului într-o astfel de operaţiune: - momentul T0: este data întocmirii documentului financiar - momentul T: data scadenţei - momentul TS: data scontării, respectiv - capital iniţial CI (sau valoare de emisiune) - capital final (sau nominal) CF - capital scontat CS - cursul poliţei CP Corespondenţa între aceste noţiuni este dată de - capitalul iniţial CI corespunde momentului iniţial T0 - capitalul final (nominal) CF corespunde scadenţei T - capitalul scontat CS şi cursul poliţei CP corespund momentului TS al scontării Un exemplu de operaţiune de scont este următorul: La data T0 debitorul P2 emite către creditorul P1 un document financiar cu o valoare iniţială CI, purtător de dobândă cu o rată anuală i şi scadent la momentul T. Documentul este girat de o bancă comercială. Presupunem că P1 doreşte încasarea banilor la momentul TS<T. Evident că suma încasată va fi mai mică decât CF (cea care ar urma să o încaseze la momentul T - data scadenţei). La momentul TS, poliţa are un curs CP determinat de rata nominală i (rată de emisiune). Datorită nerespectării scadenţei P1 trebuie să plătească o taxă (numită taxă de scont, sau mai pe scurt scont) care cuprinde cheltuielile suplimentare pe care le face banca prin necesitatea achitării unei sume de bani înainte de termen. Astfel, P1 va încasa suma CS (capital scontat) mai mică decât CP. Pentru acoperirea cheltuielilor banca va utiliza o rată de scont (notată cu j) diferită de i. Relaţia dintre i şi j depinde de faptul că banca trebuie să răscumpere sau să vândă un astfel de document înainte de scadenţă. Înainte de a determina formulele care permit calcularea valorilor pentru noţiunile prezentate vom sublinia faptul că rata de scont j se aplică pe perioada cuprinsă între momentele TS şi T, iar i între T0 şi TS. În funcţie de regimul de dobândă care se aplică pe perioada de scontare (de la TS la T) scontul adoptă una din denumirile: scont simplu sau scont compus. Observaţii: a) Scontul reprezintă diferenţa dintre capitalul nominal CF şi capitalul scontat CS S = CF – CS b) Prin modul în care este definit scontul reprezintă dobânda aferentă unui capital CS pe perioada t = T – TS astfel încât capitalul final obţinut să fie CF c) Scontul se comportă ca o dobândă cu diferenţă, esenţială de altfel, că valoarea sa se scade din capital. Scontul simplu Dacă dobânda se calculează în regim DS, scontul se numeşte scont simplu (notat SS). În conformitate cu observaţiile anterioare calculul valorii pentru SS se face cu ajutorul formulei de calcul a dobânzii simple, adică:

SSS C j t= ⋅ ⋅ Deoarece

S S SCF C SS C C j t= + = + ⋅ ⋅ deducem că

1SCFC

j t=

+ ⋅

iar de aici obţinem

1CF j tSS

j t⋅ ⋅

=+ ⋅

15

Scontul simplu calculat pe baza acestei formule se numeşte scont simplu raţional (SSR). În practică suma 1 j t+ ⋅ se aproximează cu 1 (deoarece j t⋅ reprezintă o valoare mică). Astfel apare noţiunea de scont simplu comercial (SSC) care se calculează pe baza formulei: SSC CF j t= ⋅ ⋅

Astfel: 1 1CF j t SSCSSR

j t j t⋅ ⋅

= =+ ⋅ + ⋅

adică ( )1SSC SSR j t= + ⋅

Cu alte cuvinte scontul simplu comercial (SSC) reprezintă capitalul final al unui plasament pe perioada t cu rata dobânzii j a unui capital iniţial egal cu SSR. În baza relaţiilor stabilite, pentru capitalul scontat Cs, se pot determina următoarele formule de calcul:

1SCFC

j t=

+ ⋅ pentru SSR

( )1SC CF j t= − ⋅ pentru SSC Observaţii: a) Capitalul scontat CS nu este întotdeauna mai mic decât cursul poliţei (sau valoarea finală la scontare) CP. De exemplu, dacă un debitor P2 restituie un credit înainte de termen atunci CS>CP. De fapt valoarea capitalului scontat este o funcţie descrescătoare în raport cu j (procentul de scont). b) Scontul simplu comercial nu se poate aplica pe durate mai mari de timp deoarece se poate ajunge la situaţia ca 1j t⋅ > ceea ce corespunde unei valori negative a capitalului scontat Cs. Scontul compus În cazul în care dobânda se calculează în regim DC, scontul se numeşte scont compus şi se notează SC. În acest caz

( )1 tSCF C j= +

şi deoarece, din definiţia generală a scontului, avem SC = CF – CS obţinem

( ) ( )( )11 1

1 1t

t tCFSC CF CF CF v

j j

⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟

⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

unde 11

vj

=+

este factorul de actualizare (vezi Cap. I).

Dacă nu se cunoaşte CF, dar se cunoaşte CS, atunci scontul compus se poate calcula după formula: ( )1t

SSC C u= − unde u = 1+j este factorul de fructificare anual. Deci ( ) ( )1 1t t

SSC CF v C u= − = − . Dacă scontul se calculează pe baza acestei formule se va numi scont compus raţional (SCR). Deoarece, în practică, valorile ratei de scont j sunt mici se poate utiliza următoarea aproximare:

( )1 1tj j t+ ≈ + ⋅ astfel expresia scontului comercial devine

( )1 11 1

1 11 tj tSC CF CF CF

j t j tj

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⋅ + ⋅+ ⎝ ⎠⎝ ⎠

În acest caz scontul compus se numeşte scont compus comercial (SCC). Expresia capitalului scontat va fi:

( )1s t

CFCj

=+

, pentru SCR

16

1sCFC

j t=

+ ⋅, pentru SCC

Observaţii: a) SSR = SCC b) Capitalul scontat reprezintă, de fapt, o valoare actualizată, la momentul TS, a capitalului nominal CF. Factorul de actualizare este:

11 j t+ ⋅

, în regim DS

( )1

1 tj+, în regim DC

Exerciţiu rezolvat O poliţă are valoarea de emisiune 10.000CI = u.m. şi este scadenţa peste 5 ani de la emisiune. Evaluarea poliţei se face cu un procent 8%p = . Dacă scontarea se face cu procentele 1 8%q = şi 2 10%q = să se calculeze capitalul scontat în cazul în care: a) scontarea se face cu doi ani înainte de scadenţă b) scontarea se face cu 6 luni înainte de scadenţă Soluţie Capitalul nominal, în regim DC este

( ) ( )51 10000 1,08 14693,28TCF CI i= + = ⋅ = u.m. a) În cazul în care scontarea se face cu doi ani înainte de scadenţă se va utiliza scontul compus (raţional şi comercial). Obţinem următoarele valori: - 1 8%q =

( ) ( )2

14693,28 12597,121 1,08

S tCFC

j= = =

+ u.m., pentru SCR

14693,28 12666,621 1 0,08 2S

CFCj t

= = =+ ⋅ + ⋅

u.m., pentru SCC

- 2 10%q =

( ) ( )2

14693,28 12143,211 1,1

S tCFC

j= = =

+ u.m., pentru SCR

14693,28 12244,411 1 0,1 2S

CFCj t

= = =+ ⋅ + ⋅

u.m., pentru SCC

b) Dacă scontarea se face cu 6 luni înainte de scadenţă se va aplica scontul simplu. Valoarea capitalului nominal (final) este aceeaşi deoarece se calculează la o perioadă de plasament de 5 ani. - 1 8%q =

14693,28 14128,1511 1 0,082

SCFC

j t= = =

+ ⋅ + ⋅ u.m., pentru SSR

( ) 11 14693, 28 1 0,08 14105,552SC CF j t ⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m., pentru SSC

- 2 10%q =

14693,28 13993,6011 1 0,12

SCFC

j t= = =

+ ⋅ + ⋅ u.m., pentru SSR

( ) 11 14693,28 1 0,1 13958,622SC CF j t ⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m., pentru SSC

17

Cap. IV. ANUITĂŢI Practica financiară conţine multe exemple în care plata sumei aferente unui contract între un creditor P1 şi un debitor P2 se face în mai multe etape. Pentru ca un astfel de sistem de plăţi să fie bine definit este necesară cunoaşterea unor elemente strict necesare: - momentele efectuării plăţilor - valoarea ratelor (a sumelor care se plătesc) la diferitele momente de timp - valoarea actualizată a tuturor plăţilor (fie că se calculează la un moment de timp intermediar, fie că se calculează la finalul operaţiunii financiare) - rata (sau ratele) dobânzii care se aplică în cadrul contractului Cele mai des întâlnite exemple în care se utilizează plata în mai multe etape (numite plăţi eşalonate) sunt date de achiziţionarea în rate a unui bun sau restituirea unui credit. Ratele împreună cu momentele de timp la care se plătesc constituie, ceea ce în termeni financiari se numesc, anuităţi. Am observat deja că o sumă de bani cu aceeaşi valoare aparentă are valori reale diferite la momente de timp diferite. Acesta este, de altfel, motivul pentru care se utilizează factorul de actualizare şi factorul de fructificare. De aceea nu se poate face o comparare directă a sumei de 1.000 u.m. (de exemplu) la un moment t0 cu aceeaşi sumă la un moment anterior t1 sau posterior t2. Pentru acest lucru trebuie luaţi în calcul toţi factorii care intervin (inflaţie, dobânzi etc.). Cea mai simplă metodă de comparare este prin intermediul valorilor actuale. În cazul anuităţilor, dacă ( )1,kr k n= reprezintă ratele iar ( )1,kt k n= reprezintă momentele de plată,

atunci valoarea actuală a unei anuităţi A(r1,...,rn; t1, ..., tn) la un moment fixat t este dată de

( )1

k

nt t

kk

VA t r v −

=

= ⋅∑

Cazuri particulare pentru această formulă de calcul sunt cele în care t = t0 (se obţine valoarea iniţială a anuităţii), respectiv t = tn (valoarea finală). Anuităţile pot fi clasificate după mai multe criterii. Anuităţile pentru care studierea formulelor de calcul a valorilor actuale reprezintă o utilitate practică sunt anuităţile constante. Vom numi anuităţi constante acele anuităţi pentru care intervalele de plată şi ratele sunt constante, adică: r1 = r2 = ... = rn = r t1-t0 = t2-t1 = ... = tn-tn-1 La rândul lor anuităţile constante se împart în - anuităţi constante întregi când intervalul dintre plăţi este de 1 an - anuităţi constante fracţionate când intervalele de plată sunt egale cu o fracţiune de an Dacă plata ratelor se face la începutul fiecărui interval (de exemplu la începutul fiecărui an prevăzut în contract) ele se numesc anticipate, respectiv posticipate dacă plata se face la sfârşitul intervalului. Pentru fiecare caz în parte se pot determina formule practice de calcul ale valorilor actuale astfel: a) Anuităţi constante întregi anticipate Ratele sunt egale, intervalele de plată sunt de un an, iar tk (momentul plăţii) = k-1

( )

( ) ( )

11

1 1 1

1 1

1 1

1 1111 1

1 11

k

n n nt t k t k

tk k k

n nt t

n nt t

rVA t r v r v vv

v v vr u r u

v uu

v vr u r uu i

− − −+

= = =

+ +

+ +

= ⋅ = = =

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

− −

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

−

∑ ∑ ∑

Valoarea iniţială a anuităţii constante întregi anticipate se obţine pentru t = t0 (vom considera t0=0).

( ) 10 :nvVA VI r u

i−

= = ⋅ ⋅

Valoarea finală se obţine pentru t=tn=n

18

( ) 1

1 1

1:

11 1 1

un

n nnn n

n

vVA n VF r ui

u uur u r u r ui i u i

+

+ +

−= = ⋅ ⋅ =

− − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

b) Anuităţi constante întregi posticipate.

În acest caz tk = k şi prin calcule similare se obţine

( ) 1 nt vVA t r u

i−

= ⋅ ⋅

1 nvVI ri−

= ⋅

1nuVF ri−

= ⋅

c) Anuităţi constante fracţionate anticipate Considerăm că anul este împărţit în m subperioade egale între ele. În acest caz:

( ) 1 1 n mt mm

m

vVA t r ui

⋅+ −

= ⋅ ⋅

unde im reprezintă dobânda unitară corespunzătoare unei subperioade (de exemplu i12 reprezintă dobânda unitară lunară), respectiv

1m mu i= + iar 11m

m

vi

=+

, 1 n mm

mm

vVI r ui

⋅−= ⋅ ⋅ , 1n m

mm

m

uVF r ui

⋅ −= ⋅ ⋅

d) Anuităţi constante fracţionate posticipate

( ) 1 n mt mm

m

vVA t r ui

⋅−= ⋅ ⋅ , 1 n m

m

m

vVI ri

⋅−= ⋅ , 1n m

m

m

uVF ri

⋅ −= ⋅

Valoarea actuală a unei anuităţi constituie un criteriu în alegerea unuia sau altuia dintre mai multe sisteme de plată în rate. Nu întotdeauna acest criteriu poate fi aplicat deoarece, în cele mai multe cazuri, termenii unui contract de plăţi eşalonate sunt determinaţi mai degrabă de rata maximă care poate fi suportată de către debitor. De obicei un astfel de contract care prevede plăţi eşalonate se derulează prin intermediul unei bănci comerciale. Chiar şi în cazul vânzării de bunuri în rate, cumpărătorul va plăti periodic o sumă de bani unei bănci şi nu vânzătorului. Dacă este vorba de bunuri de consum cumpărătorul are de obicei un singur criteriu de alegere a unui plan de achitare a bunului cumpărat şi anume nivelul ratei (presupunem bineînţeles că preţul total este moralmente corect). În cazul achiziţionării unor utilaje pentru activităţi de microproducţie sau prestări servicii (o maşină de cusut pentru o croitoreasă, aparatură electronică pentru un depanator radio-TV, un calculator pentru un contabil etc.) de obicei cumpărătorul preferă un sistem de plată care permite ca investiţia să se "amortizeze singură". Cu alte cuvinte, rata care se achită periodic trebuie să fie la un nivel cel mult egal cu plusul de venit pe care-l aduce utilajul achiziţionat. Nu la fel stau lucrurile în cazul întreprinderilor mari care constituie fonduri de investiţii şi în care un plan de afaceri se întinde, de obicei, pe perioade mari de timp, iar calculele economico-financiare utilizează mult mai mulţi parametri decât în cazul unei activităţi individuale. Această situaţie nu face însă subiectul acestei lucrări. Exerciţiu rezolvat Să se determine valoarea iniţială şi valoarea finală a unei anuităţi constante întregi de 1500000 u.m. pentru o perioadă de 10 ani, dacă se utilizează un procent 22%p = . Soluţie: Dacă anuităţile sunt anticipate avem:

19

( )

1011

1 1,221500000 1,22 7179427,330,22

nvVI r ui

⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ = ⋅ = u.m.

( )101 1,22 11500000 1, 22 52443070, 41

0, 22

nuVF r ui− −

= ⋅ ⋅ = = u.m.

O verificare simplă se poate face prin verificarea egalităţii ( )1 nVF VI i= + , care este adevărată pentru rezultatele anterioare. În cazul anuităţilor posticipate calculele sunt următoarele:

1011

1 1,221500000 5884776,500,22

nvVI ri

⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎝ ⎠= ⋅ = = u.m.

( )101 1, 22 11500000 1, 22 42986123, 29

0, 22

nuVF ri− −

= ⋅ = = u.m.

20

Cap. V. AMORTIZAREA ÎMPRUMUTURILOR În sens larg împrumutul reprezintă o operaţiune financiară prin care un creditor P1 plasează, în anumite condiţii, un capital unui debitor P2. Restituirea, de către P2, a acestei sume poartă denumirea de amortizare. Operaţiunea de rambursare a unui împrumut are la bază sistemul de plăţi eşalonate. De aceea pentru întocmirea unui plan de rambursare a unui împrumut (sau a unui tabel de amortizare) trebuiesc cunoscute momentele efectuării plăţilor, dacă plăţile sa fac prin rate constante sau nu ş.a.m.d. Este astfel evident că fiecare tip de anuitate poate constitui un model de amortizare. Nu vom analiza toate cazurile, dar vom prezenta câteva din modelele uzuale de rambursare (amortizare) a împrumuturilor. În cele ce urmează vom presupune, pentru început, că împrumutul este indivizibil, spre deosebire de împrumuturile cu obligaţiuni care vor fi studiate târziu. Pentru o simplificare a prezentării modelelor de amortizare vom utiliza următoarele notaţii (unele dintre ele nu au fost prezentate încă în această lucrare): CI - capital iniţial (sau capital împrumutat) CF - capital final Sk - suma rămasă de rambursat la începutul perioadei k ( 1,k n= ) Dk - dobânda aferentă sumei Sk pe perioada k sk - cota din împrumut care urmează a fi rambursată în perioada k (la început sau la sfârşit) rk - rata aferentă perioadei k şi care reprezintă suma dintre cotă şi dobândă Din modul în care au fost definite noţiunile de mai sus putem determina câteva relaţii şi anume: S1 = CI, Sk+1 = Sk - sk, 1,k n= , k kD S i= ⋅ , 1,k n= , k k kr D s= + , 1,k n= În continuare vom presupune că plăţile se fac prin intermediul unor anuităţi întregi (intervalele dintre două momente de plată sunt egale cu un an). Tabelele de amortizare pentru cazul în care rambursarea se face prin anuităţi fracţionate sunt similare cu observaţia că în acest caz se utilizează dobânzi unitare corespunzătoare perioadelor în care a fost împărţit anul. A. Rambursarea prin anuităţi întregi posticipate Plăţile se fac la sfârşitul fiecărei perioade k ( 1,k n= , n - numărul de ani prevăzut în contract) a) Modelul PD1 Este un caz particular de amortizare când debitorul plăteşte întreaga datorie constituită din CI şi dobânzile aferente la sfârşitul perioadei contractuale.

k 1 2 ... n-1 n Sk CI CI u⋅ ... 2nCI u −⋅ 1nCI u −⋅ Dk CI i⋅ CI u i⋅ ⋅ ... 2nCI u i−⋅ ⋅ 1nCI u i−⋅ ⋅sk 0 0 ... 0 1nCI u −⋅ rk 0 0 ... 0 nCI u⋅

b) Modelul PD2 - amortizarea prin plata sumei împrumutate la scadenţă şi plata periodică a dobânzilor

0, 1, 1ks k n= = −

K 1 2 ... n-1 n Sk CI CI ... CI CI Dk CI i⋅ CI i⋅ ... CI i⋅ CI i⋅ sk 0 0 ... 0 CI rk CI i⋅ CI i⋅ ... CI i⋅ CI u⋅

21

c) Modelul PD3 - rambursarea prin cote constante

, 1, ;kCIs s k n sn

= = =

k 1 2 ...n-1 n Sk CI CI -s ...CI-(n-2)s CI-(n-1)s = s Dk CI i⋅ ( )CI s i− ⋅ ...(CI-(n-2)s) i⋅ (CI-(n-1)s) i⋅ = si sk s s ...s s rk CI i⋅ +s ( )CI s i− ⋅ +s ...(CI-(n-2)s) i⋅ +s (CI-(n-1)s) i⋅ +s = su

Se observă că atât ratele cât şi dobânzile reprezintă termenii unor progresii aritmetice cu aceeaşi raţie s i− ⋅ . Astfel:

1 , 1,k kD D s i k n+ = − ⋅ =

1 , 1,k kr r s i k n+ = − ⋅ = De aici putem, calcula dobânda totală

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 21

12 2 2

nD D n CI i s i nD

CI ni n i n CI iCI s nn

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = =

+⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ = ⋅ = +

şi suma totală a ratelor

( ) ( )

( ) ( )

1

2 2 21 1

12 2

n

CI CI uCI i nr r n CI i s s u n n nR

i n u i nCI CI

⋅⎛ ⎞⋅ + + ⋅⎜ ⎟+ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⎝ ⎠= = = =

⋅ + + +⎛ ⎞= ⋅ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

d) Modelul PD4 - amortizarea prin rate constante

1 2 ... nr r r r= = = = Utilizarea modelului de amortizare prin rate constante nu presupune şi cote sau dobânzi constante, dimpotrivă acestea sunt diferite pentru fiecare perioadă (doar suma dintre cotă şi dobândă este constantă). De aceea o primă etapă constă în determinarea ratei constante ce urmează a fi plătită în fiecare an. Să observăm că acest model corespunde unei plăţi eşalonate bazate pe anuităţi constante întregi posticipate. Deoarece CI se cunoaşte vom utiliza formula de calcul a valorii actuale iniţiale.

1 nvVI ri−

= ⋅

dar VI = CI, deci 1 nvCI r

i−

= ⋅

de unde obţinem

1 n

CI irv⋅

=−

Tabelul de amortizare este următorul k 1 2 ... n Sk 1 nvCI r

i−

= ⋅ 11 n

n vCI r v ri

−−− ⋅ = ⋅

... 1 vri−

⋅

Dk ( )1 nCI i r v⋅ = − ( )11 nr v −− ... r(1-v)

sk 1nr D r v− = ⋅ 1nr v −⋅ ... r v⋅

rk r r ... r

22

După cum se observă cotele reprezintă termenii unei progresii geometrice cu raţia 1 uv=

Astfel: 1

1 1 , 2,kk ks s u s u k n−

−= ⋅ = ⋅ = Suma termenilor unei progresii geometrice este dată de relaţia

( )1 11

n

n

Q qS

q−

=−

unde Q1 este primul termen, q este raţia geometrică, iar n este numărul de termeni. În acest caz suma cotelor trebuie să fie egală cu CI.

( )

1 1

1 11

1 1 11 1 11 1

1 11

1

nn

n

n n n

r vv r r v

vv v

v v vr r r CIi iii i

i

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⋅⎝ ⎠ = =−

−

− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+ −− + ⋅

+ +

+

Datele şi calculele anterioare ne arată că tabelul de amortizare poate fi calculat şi prin determinarea cotelor periodice prin utilizarea formulelor

1 1n

CI isu

⋅=

−,

respectiv 1

1 1 , 2, , 1, 1j kk k k js s u s u s u k n j k−

− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = − Aceste modele de amortizare se numesc amortizări directe deoarece operaţiunile financiare corespunzătoare rambursării împrumutului au loc între debitor şi creditor. Există însă şi modele de amortizare în care intervine un terţ la care debitul capitalizează suma ce o are de plătit creditorului (corespunzătoare modelelor PD1 şi PD2). Acestea sunt aşa numitele amortizări indirecte. e) Modelul PI 1 - amortizarea prin plată unică la creditor şi constituirea datoriei la un terţ prin rate constante. Acest model este cunoscut în literatura de specialitate sub numele de model american de amortizare sau metoda fondului investit (the sinking fund method). Evident că modelul prezintă utilitate atunci când debitorul îşi poate micşora cheltuielile. Acest lucru se întâmplă atunci când terţul P3 oferă o dobândă mai mare la capitalizare sau când creditorul oferă debitorului P2 doar varianta PD1 de amortizare. Într-un astfel de caz între debitor şi creditor intervine un sistem de operaţiuni financiare care pot fi reprezentate într-un tabel de amortizare corespunzător modelului PD1. În acelaşi timp presupunem că debitorul are posibilitatea de a face plăţi constante către un terţ P3 cu scopul ca la încheierea contractului cu creditorul CF (capitalul final) constituit la P3 să fie egal cu datoria către creditorul P1. Cu alte cuvinte P2 face un plasament financiar cu nCF CI u= ⋅ (datoria către P1) În relaţia cu terţa parte debitorul P2 va stabili un sistem de plăţi prin rate constante (reprezentat de modelul PD4). Schematic această relaţie poate fi reprezentată în felul următor: Modelul PI1

P3 (terţ) 4PD P2 (debitor) 1PD P1 (creditor)

Trebuie acordată atenţie faptului că datoria CF către P1 se constituie la P3 din ratele constante depuse de P2 şi dobânzile aferente lor. De aceea, în primul rând, se calculează valoarea actuală iniţială a anuităţii întregi posticipate care are valoarea finală egală cu CF - datoria totală către P1. Această valoare actuală iniţială reprezintă capitalul iniţial 'CI în relaţia cu terţa parte P3 (vom nota cu apostrof noţiunile similare în relaţia P2(debitor) - P3(terţ)). Principiul este simplu. P2 plasează anual o sumă contantă de bani, în regim DC, astfel încât la sfârşitul contractului să obţină o

23

sumă dată şi anume nCF CI u= ⋅ . Pentru determinarea ratei constante se va utiliza formula de calcul de la modelul PD4:

1 n

CI irv⋅

=−

În relaţia cu terţa parte P3 se utilizează de obicei o altă valoare pentru dobânda unitară anuală notată (aşa cum am convenit mai devreme) cu 'i . Acest fapt implică o altă valoare şi pentru capitalul iniţial 'CI . Avem deci:

' 'nCI CF v= ⋅ 'CI reprezintă valoarea iniţială a datoriei CF atunci când se utilizează dobânda unitară 'i , respectiv factorul de

actualizare 'v . Înlocuind în formula de calcul a ratei obţinem:

' ' ' ' ' ''1 ' 1 ' 1 '

n n n

n n n

CI i CF v i CI u v irv v v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =− − −

Odată determinată rata contantă 'r restul tabelului de amortizare se completează ca în modelul direct PD4. f) Modelul PI 2 - amortizare prin plata periodică a dobânzilor către creditor şi constituirea sumei împrumutate de un terţ prin plăţi periodice constante. În acest caz între debitorul P2 şi creditorul P1 intervine modelul de amortizare directă PD2, iar între debitorul P2 şi terţa parte P3 intervine modelul de amortizare PD4. Schematic, reprezentarea este următoarea

P3 (terţ) 4PD P2 (debitor) 2PD P1 (creditor)

Spre deosebire de modelul anterior PI1 singura modificare este cea prin care se calculează rata constantă pe care debitorul P2 o plăteşte terţei părţi P3. Aceasta deoarece suma care se constituie la terţ este egală cu CI (dobânzile sunt plătite periodic).

Astfel se obţine (după calcule elementare): ' ''1 '

n

n

CI v irv

⋅ ⋅=

−

Toate celelalte calcule, precum şi tabelele sunt similare modelului PI 1. B. Rambursarea prin anuităţi întregi anticipate Dacă rambursarea se face prin anuităţi anticipate singurul model care prezintă interes este cel corespunzător modelului PD4. Pentru a evita orice confuzie, în cazul plăţilor anticipate, vom nota acest model cu PDA4. În cazul anuităţilor întregi anticipate valoarea iniţială este dată de:

1 nvVI r ui−

= ⋅ ⋅ ,

dar VI CI= de unde obţinem: 1 nvCI r u

i−

= ⋅ ⋅ , respectiv ( )1 n

CI iru v

⋅=

−

Tabelul de amortizare este similar cu cel care se completează în cazul rambursării prin rate constante posticipate. Diferenţa provine din faptul că prima rată se plăteşte la momentul 0 (cu alte cuvinte, la sfârşitul primului an se plăteşte deja a doua rată).

k+1 1 2 ... n-1 N Sk 11 nvCI r r

i

−−− = ⋅

21 nvri

−−⋅

... 1 vri−

⋅0

Dk ( )11 nr v −− ( )21 nr v −− ... r(1-v) 0

sk 1nr v −⋅ 2nr v −⋅ ... r v⋅ r rk r r ... r r

De observat că în acest tabel apar doar n-1 rate, la acestea se mai adaugă rata plătită în momentul 0.

24

Exerciţii rezolvate 1. Să se întocmească planul de amortizare, prin cote constante posticipate, a unui împrumut de 1500000 u.m. cu 20% pe 3 ani. Soluţie Modelul corespunzător este PD3

Cota constantă este 1500000 5000003k

CIs sn

= = = = u.m.

Planul de amortizare poate fi reprezentat prin tabelul următor: k 1 2 3 Sk 1500000 1000000 500000 Dk 300000 200000 100000 sk 500000 500000 500000 rk 800000 700000 600000

2. Cu datele de mai sus să se întocmească planul de amortizare în cazul în care: a) Debitorul face o plată unică către creditor b) Debitorul plăteşte periodic dobânzile, iar suma împrumutată la final Pentru ambele cazuri se consideră că debitorul constituie suma împrumutată prin plăţi constante către un terţ cu un procent de 22%. Soluţie a) Modelul corespunzător datelor problemei este PI1. Tabelul de amortizare debitor-creditor (corespunzător modelului PD1) este următorul:

k 1 2 3 Sk 1500000 1800000 2160000 Dk 300000 360000 432000 sk 0 0 2160000 rk 0 0 2592000

Pentru completarea tabelul de amortizare debitor-terţ (corespunzător modelului PD4) trebuie, mai întâi, să calculăm capitalul iniţial corespunzător şi rata constantă care trebuie achitată periodic.

312592000 1427432, 25

1, 22nCI CF v ⎛ ⎞′ ′= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m.

( )3

3

3

11500000 1,2 0,22' ' 1, 22'

1 ' 111,22

314035,09 697855,760,45

n n

n

CI u v irv

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠= = =− ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

u.m.

Planul de amortizare este: k 1 2 3 Sk 1427432,25 1113397,16 660488,61 Dk 314035,09 244947,37 145307,49 sk 383820,67 452908,39 552548,27 r 697855,76 697855,76 697855,76

b) Planul de amortizare debitor-creditor este:

k 1 2 3 Sk 1500000 1500000 1500000 Dk 300000 300000 300000 sk 0 0 1500000 rk 300000 300000 1800000

Pentru întocmirea tabelului de amortizare debitor-terţ se calculează:

25

311800000 991272,39

1, 22CI ⎛ ⎞′ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ u.m.

şi 3

3

11500000 0,22' ' 1, 22'

1 ' 111,22

181733,26 403851,710,45

n

n

CI v irv

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠= = =− ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

u.m.

k 1 2 3 Sk 991272,39 805500,60 578859,02 Dk 218079,92 177210,13 127348,98 sk 185771,79 226641,58 276502,29 rk 403851,71 403851,71 403851,71

26

Cap. VI. OBLIGAŢIUNI În capitolul anterior au fost studiate împrumuturile indivizibile (sau bancare). Sunt împrumuturi care, de regulă, sunt acordate de o singură bancă şi fiecare contract face referire la un singur debitor (fie persoană fizică, fie juridică). Practica financiară cuprinde însă multe situaţii în care statul sau anumite întreprinderi (termenul de întreprindere este utilizat aici în sens larg) doresc să împrumute sume de bani care nu pot fi suportate de către o singură bancă. În astfel de situaţii, în condiţii legislative stricte, se poate apela la împrumutul obligatar (sau cu obligaţiuni). Cazul cel mai des îl reprezintă obligaţiunile (sau titlurile) de stat, iar principalul creditor este populaţia. În esenţă societatea (fie ea societate comercială, fie instituţie de stat) emite documente financiare în schimbul cărora are la dispoziţie, pe o anumită perioadă, fonduri băneşti importante. Practic sunt vândute obligaţiuni (sau titluri de valoare) care au înscrise o valoare numită valoare de emisiune şi pe care societatea se obligă să le răscumpere la un anumit termen şi în anumite condiţii. Cei care cumpără obligaţiunile au drepturi de creanţă asupra societăţii emitente. Deoarece, în special populaţia, nu are posibilitatea verificării solvabilităţii emitentului, emiterea unor astfel de documente financiare se face prin respectarea unor reguli în măsură să ofere încredere creditorilor. Există mai multe noţiuni utilizate în terminologia referitoare la obligaţiuni, printre care: - valoarea totală a împrumutului (notată cu V) - valoarea nominală (notată VN): este valoarea înscrisă pe obligaţiune şi este egală cu VN

unde N este numărul total de obligaţiuni emise - valoarea de emisiune (VE): valoarea la care se vând obligaţiunile - valoarea de rambursare (VR): suma pe care deţinătorul oligaţiunii (obligatar) o va primi la rambursare - cupon unitar de dobândă: C VN i= ⋅ , unde i reprezintă dobânda unitară anuală Emitentul poate vinde obligaţiunile al-pari (la paritate) atunci când VE = VN, sau, pentru a cointeresa cumpărătorii le poate vinde sub-pari (sub paritate) adică VE VN< . În acest caz cel care subscrie la vânzarea de obligaţiuni (obligatarul) are şi avantajul primei de emisiune reprezentată de diferenţa VN - VE. Pe de altă parte rambursarea se poate face al-pari (VN = VR) sau supra-pari (VR VN> ). În acest al doilea caz obligatarul beneficiază de prima de rambursare egală cu diferenţa VR - VN. Obligaţiunile sunt purtătoare de dobânzi, iar dobânzile se calculează la valoarea nominală VN. Pe lângă dobânzi şi prime de emisiune sau rambursare există şi alte modalităţi de a atrage subscriptori. Un exemplu des întâlnit este cel prin care se oferă, de obicei prin tragere la sorţi, câştiguri suplimentare. Amortizarea împrumuturilor obligatare În esenţă principiul de utilizare a formulelor de calcul atunci când se rambursează împrumuturi obligatare este similar cu cel utilizat la rambursarea împrumuturilor indivizibile. Distingem şi în acest caz amortizări: - în bloc: atunci când toate obligaţiunile sunt răscumpărate la sfârşitul perioadei de împrumut Modelele utilizate sunt PD1 (dacă se face o plată unică valorii de rambursare şi a dobânzilor aferente), respectiv PD2 (dacă dobânzile sunt plătite în fiecare an) - prin cote constante: atunci când anual sunt răscumpărate un număr constant de obligaţiuni Nn

- n este numărul de ani corespunzător duratei împrumutului

- prin rate constante: atunci când anual se răscumpără un număr diferit de obligaţiuni astfel încât valoarea totală de rambursare a lor împreună cu valoarea dobânzilor aferente să reprezinte o sumă constantă de-a lungul anilor. Este important de observat că, deoarece obligaţiunile sunt indivizibile, condiţia de rate constante nu poate fi îndeplinită în mod real. De aceea se utilizează noţiunea de amortizare prin rate cvasi-constante. Pentru întocmirea tabelelor corespunzătoare diferitelor tipuri de amortizare vom utiliza, în plus, următoarele notaţii:

Nk - numărul de obligaţiuni rambursate la sfârşitul anului k (de observat că 1

n

kk

N N=

=∑ )

Vk - cota din împrumutul V, rambursată în anul k. Vk reprezintă de fapt valoarea produsului kN VR⋅

27

NRk - numărul de obligaţiuni rămase pe piaţă Dk - dobânda aferentă obligaţiunilor Nk rk - rata corespunzătoare anului k Pentru rambursarea în loc calculele şi completarea tabelelor se face la fel ca la modelele PD1 sau PD2. Rambursarea prin cote constante

a) Rambursarea al-pari (la paritate). În acest caz valoarea de rambursare VR este identică cu cea nominală VN.

Deoarece rambursarea se face prin cote constante vom avea:

, 1,kNN k nn

= =

k kV N VN= ⋅

( ) 11 1kN kNR N k Nn n

−⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

k k kD NR C NR VN i= ⋅ = ⋅ ⋅

, 1,k k kr V D k n= + = b) Rambursarea supra-pari (VR VN> )

Formulele utilizate în cazul rambursării al-pari îşi păstrează valabilitatea şi în cazul rambursării supra-pari cu o singură excepţie şi anume:

k kV N VR= ⋅ Rambursarea prin rate constante

a) Rambursarea al-pari Deoarece, în acest caz, ratele sunt constante se poate utiliza formula de calcul determinată la rambursarea împrumuturilor indivizibile. Vom obţine:

1 n

ir N VNv

= ⋅ ⋅−

Apare o singură problemă atunci când valoarea r a ratei calculate cu această formulă nu acoperă un număr întreg de obligaţiuni. În această situaţie se apelează la un procedeu de rotunjire. Există mai multe astfel de procedee de rotunjire asupra cărora nu vom insista. Reţinem însă două reguli care se aplică tuturor procedeelor: - suma numărului de obligaţiuni rambursate trebuie să fie N - teoretic, în fiecare an se obţin din calcule diviziuni de obligaţiuni care nu pot fi rambursate (deoarece obligaţiunea este indivizibilă) dar pentru valoarea lor se calculează dobânzi

b) Rambursarea supra-pari (VR VN> )

Se repetă situaţia de la rambursările prin cote constante. Deoarece singura modificare este dată de relaţia k kV N VR= ⋅ (spre deosebire de k kV N VN= ⋅ , în cazul rambursării al-pari) nu se influenţează celelalte valori.

Anexate noţiunii de împrumut obligatar definim următoarele tipuri de taxe: Taxa reală - este taxa care aplicată valorii de rambursare a unei obligaţiuni produce aceeaşi dobândă ca şi în cazul în care se aplică taxa nominală asupra valorii nominale. Valoarea acestei taxe (notată aici cu 'i ) se determină din :

'VN i VR i⋅ = ⋅ Taxa medie de randament - taxa cu care se rambursează întreg împrumutul. Dacă presupunem că rambursarea are loc prin rate cvasi-constante această taxă (notată aici cu m) se determină din:

111

n

mN VE rm

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠⋅ = ⋅

Se observă că s-a utilizat valoarea de emisiune VE şi nu valoarea nominală VN. Taxa personală de randament - este o taxă similară cu taxa medie de randament dar specifică pentru

fiecare obligatar. Se calculează la momentul rambursării şi corespunzător numărului de obligaţiuni rambursate. Taxa de cost - este taxa cu care se actualizează la momentul emisiunii de obligaţiuni ratele cvasi-

28

constante, astfel încât valoarea iniţială a acestora a acestora să fie egală cu suma netă împrumutată de societatea emitentă. Deoarece pentru o emisiune de obligaţiuni societatea are cheltuieli suma netă împrumutată nu este, de fapt, N VE⋅ ci N VE⋅ - cheltuieli. Astfel că taxa de cost (notată ic) se determină din relaţia:

N VE⋅ - cheltuieli ( )11

1 nc

c

ir

i

−+

= ⋅

Exerciţiu rezolvat Să se întocmească tabelul de amortizare al unui împrumut obligatar format din 1000000 obligaţiuni cu valoarea nominală de 100000 u.m. rambursabil, în 4 ani, prin cote constante. Rambursarea se face al-pari, iar taxa nominală este 0,05. Soluţie

1000000N = obligaţiuni 10000VN VR= = u.m.

4n =

250000kNNn

= = , 1, 4k =

250000 100000 25000000000k kV N VR= ⋅ = ⋅ = u.m., 1, 4k =

1 2

3 4

1000000, 750000,500000, 250000

NR NRNR NR

= == =

1 5000000000D = u.m., 1 37500000D = u.m., 1 25000000D = u.m., 1 1250000000D = u.m.

1 30000000000r = u.m., 1 2537500000r = u.m., 1 27500000000r = u.m., 1 26125000000r = u.m. tabelul de amortizare este:

k 1 2 3 4 NRk 1000000 750000 500000 250000 Dk 5000000000 3750000000 2500000000 1250000000 Nk 250000 250000 250000 250000 Vk 25000000000 25000000000 25000000000 25000000000 rk 30000000000 28750000000 27500000000 26125000000

29

Cap. VII. RENTABILITATEA PLASAMENTELOR FINANCIARE Orice plasare de capital este analizată din punct de vedere a rentabilităţii. Ceea ce se urmăreşte, de fiecare dată, este obţinerea unor venituri reale mai mari decât cheltuielile reale aferente. În cazul plasamentelor pe termen mediu sau lung este dificil de determinat cu exactitate rentabilitatea acestora. Studii îndelungate şi de înaltă competenţă ştiinţifică au condus la formule şi relaţii care modelează, din ce în ce mai bine, fenomenele şi procesele economice. Intervine însă, de cele mai multe ori, problema determinării anumitor factori care apar în formulele utilizate. Aceşti factori (rata inflaţiei, indicele de creştere economică, ratele de schimb valutar ş.a.m.d.) sunt influenţaţi de fenomene, în multe cazuri, imprevizibile (mişcări sociale, accidente sau catastrofe naturale, războaie, acţiuni teroriste etc.). Poate că tocmai de aceea opţiunea pentru un plasament financiar sau altul devine atractivă. Într-o variantă simplă analiza rentabilităţii unei investiţii de capital se poate face prin utilizarea tabelelor de Cash Flow. Vom utiliza următoarele notaţii: CFk - Cash Flow net în anul k (intrarea netă în trezorerie în anul k) Vk - venituri în anul k Ck - cheltuieli de exploatare în anul k Ak - amortizarea în anul k Cu aceste notaţii avem: CFk = Vk - Ck - Ak, 1,k n= unde n reprezintă numărul de ani prevăzuţi pentru amortizare. Evident că aceste formule nu sunt edificatoare deoarece sunt calculate anumite valori la momente de timp diferite, iar practica arată că, în acest fel, ele nu pot fi comparate. Se impune astfel actualizarea sumelor la un moment de timp t0 (de obicei la momentul în care se face plasamentul financiar). Astfel apare noţiunea de valoare actuală netă a unei investiţii (notată VAN) dată de relaţia:

1

11

kn

kk

VAN I CFz=

⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

unde I este valoarea capitalului plasat (investiţiei), iar z este taxa de actualizare. În cazul în care 0VAN > investiţia se consideră rentabilă. Un alt criteriu utilizat pentru determinarea rentabilităţii unei investiţii este indicele de profitabilitate

PVAN II

I+

=

Cu alte cuvinte o investiţie este rentabilă dacă 1pI > . Se observă că 1pI > ⇔ 0VAN > În cazul în care VAN = 0 (sau Ip = 1) din expresia valorii actuale nete se obţine o taxă de actualizare numită taxă internă de rentabilitate, notată x. Pe baza acestui criteriu putem afirma că o investiţie este rentabilă dacă taxa de actualizare z este mai mică decât taxa de rentabilitate x. Un alt criteriu utilizat în analiza rentabilităţii unui plasament financiar este cel al timpului de recuperare (notat cu t) a capitalului investit. Acesta se determină din relaţia:

1

11

kt

kk

CF Ii=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

În practică, cel mai utilizat indicator de rentabilitate este taxa de rentabilitate. Exerciţiu rezolvat O societate face o investiţie de 100000 u.m.. Investiţia se amortizează liniar în termen 5 ani. Veniturile societăţii în primul an vor fi de 20000 u.m., iar în anii următori cresc în progresie geometrică cu raţia 1,2. Cheltuielile în primul an sunt de 5000 u.m., iar în anii următori cresc în progresie aritmetică cu raţia de 500 u.m.. Impozitul anual este de 20%, dar societatea este scutită de impozit în primii 3 ani. Să se calculeze: a) Intrările nete în trezorerie b) Valoarea actuală netă, dacă taxa de actualizare este 0,1. c) Indicele de profitabilitate

30

d) Timpul de recuperare a capitalului. a)

k 1 2 3 4 5 kV 20000 24000 28800 34560 41472

kC 5000 5500 6000 6500 7000

kA 20000 20000 20000 20000 20000

kI 0 0 0 1612 2894,4

kCF -5000 -1500 800 6448 11577,6

b) 5

1 1

1 11000001 1,1

100000 6408,5 93591,5

kkn

k kk k

VAN I CF CFz= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − + = −

∑ ∑

Investiţia este evident nerentabilă.

c) 93591,51 1 0,064100000p

VANII

−= + = + =

d) Se observă că timpul de recuperare a capitalului depăşeşte cu mult perioada de amortizare de 5 ani.

31

Cap. VIII. DOBÂNZI ALEATOARE În capitolele precedente rata dobânzii a fost cunoscută sau se putea determina dintr-o relaţie algebrică

înainte de începerea tranzacţiei. Există însă multe situaţii în care rata dobânzii nu este determinată în mod unic înainte de începerea

tranzacţiei. Este, de obicei, cazul depozitelor sau creditelor pe termen mediu sau lung când, prin contract, este prevăzută posibilitatea modificării, periodic sau nu, a ratei dobânzii. În această categorie intră, de exemplu, şi fondurile mutuale, caz în care creşterea sau descreşterea valorii fondului poate fi doar aproximată.

În aceste situaţii valoarea ratei dobânzii depinde de o serie de factori a căror variaţie este influenţată de timp. În general, procesele care implică variaţii, dependente de timp, ale unor mărimi se numesc procese stohastice.

Rata dobânzii poate fi astfel reprezentată printr-o variabilă aleatoare (discretă sau continuă). Este, de aceea, util să ne reamintim câteva noţiuni de teoria probabilităţilor.

Dacă notăm cu X o variabilă aleatoare, cu ( ) [ ]p x P X x= = funcţia de probabilitate (pentru variabile

discrete), respectiv cu ( )f x densitatea de probabilitate (pentru variabile continuii) atunci prin valoare medie a variabilei X înţelegem: [ ] ( )

xE X x p x= ⋅∑ ,

respectiv

[ ] ( )E X x f x dx∞

−∞

= ⋅∫

Varianţa (abaterea medie pătratică) variabilei aleatoare X este dată de:

[ ] [ ]( )22Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦ Facem observaţia că: [ ] [ ][ ] [ ]

E a X a E X

Var a X Var X

+ = +

+ =,

unde a este o constantă. Exemple: 1. În cazul plasării unui capital iniţial CI=1 u.m. pe perioada de un an cu o rată anulă a dobânzii 0,125i = , capitalul final va fi 1,125CF = u.m.. Presupunem că rata nu se cunoaşte apriori, dar că ea poate lua valorile 0,10, respectiv 0,15 cu probabilităţi egale. Astfel rata dobânzii pe anul următor este o variabilă aleatoare discretă ce poate fi reprezentată prin următorul tabel de distribuţie:

i 0,10 0,15p 0,50 0,50

În acest caz: [ ] 0,10 0,50 0,15 0,50 0,125E i = ⋅ + ⋅ =

[ ] ( )20,01 0,5 0,0225 0,5 0,125 0,000625Var i = ⋅ + ⋅ − = Abaterea medie este deci 0,025 ceea ce era de aşteptat deoarece reprezintă o abatere medie a valorilor variabilei faţă de media variabilei. Acest exemplu a utilizat o distribuţie simplă a variabilei aleatoare (discrete), în multe cazuri ea poate avea o formă complexă, dar întotdeauna sunt adevărate relaţiile: [ ] [ ][ ] [ ]

1 1

1

E i E i

Var i Var i

+ = +

+ =

pentru perioade de un an (bineînţeles în cazul utilizării unei rate anuale a dobânzii). 2. Presupunem că plasamentul se face pe o perioadă de doi ani cu ratele 1i (pe primul an) şi 2i (pe al doilea an) care au tabele de distribuţie identice cu rata i din exemplul 1. Pentru 1u.m.CI = vom obţine un capital final

( )( )1 21 1CF i i= + + . Valoarea medie şi varianţa capitalului final nu se mai determină la fel de simplu ca în exemplul anterior. Vom avea:

32

[ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 21 1 1E CF E i i E i E i E i i= + + = + + + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

iar [ ]1 2E i i⋅ nu se poate calcula fără a face ipoteze asupra relaţiei dintre cele două rate ale dobânzii. În cazul simplist, care rareori reprezintă realitatea, ratele anuale nu sunt independente. Cu alte cuvinte valoarea ratei dobânzii 2i nu depinde de valoarea precedentă 1i . Este însă important că, în cazul independenţei ratelor, se poate utiliza relaţia [ ] [ ] [ ]1 2 1 2E i i E i E i⋅ = ⋅ . Pentru capitalul final (care este o variabilă aleatoare discretă ca o combinaţie liniară de variabile aleatoare discrete) se poate întocmi următorul tabel de distribuţie:

CF ( ) ( )1,1 1,1 1, 21⋅ = 1,265 1,265 1,3225p 0,25 0,25 0,25 0,25

Am utilizat relaţia [ ] [ ] [ ]P XY P X P Y= ⋅ , valabilă pentru cazul în care variabilele sunt independente.

Pentru 2CF tabelul de distribuţie este următorul: CF 1,4641 1,600225 1,600225 1,74900625p 0,25 0,25 0,25 0,25

[ ]2

1, 265625

1,603389

E CF

E CF

=

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

şi astfel [ ] 0,001582Var CF =

Modelul poate fi generalizat şi pentru un plasament al unui capital iniţial 1u.m.CI = (am considerat un plasament de o unitate monetară doar pentru simplitatea calculelor, este evident că poate fi utilizat orice capital iniţial) pe o durată de n ani cu ratele corespunzătoare ik, 1,k n= . Vom avea:

( )1

1n

kk

CF i=

= +∏

[ ] [ ]( )1

1n

kk

E CF E i=

= +∏

( )22

1

1n

kk

E CF E i=

⎡ ⎤⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∏

Dacă ratele sunt independente şi tabelele de distribuţie sunt identice atunci formulele anterioare devin: ( )1 nCF i= +

[ ] [ ]( )1n

E CF E i= +

( )( )22 1n

E CF E i⎡ ⎤⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

3. Presupunem, de această dată, că cele două rate sunt reprezentate de variabile aleatoare continui; astfel 1i are o distribuţie uniformă pe intervalul [ ]0,08;0,12 , iar 2i are o distribuţie uniformă pe intervalul [ ]0,06;0,14 . Avem: [ ] [ ] [ ]1 21 1E CF E i E i= + ⋅ +

Funcţia de densitate probabilistică în cazul distribuţiei uniforme a unei variabile X pe un interval [ ],a b este dată de:

( ) 1 ,f x a x bb a

= < <−

,

iar media

[ ] 12

b

a

a bE X x dxb a

+= ⋅ =

−∫

Obţinem:

[ ] [ ]1 20,08 0,12 0,06 0,140,10 0,10

2 2E i E i+ +

= = = =

Astfel

33

[ ] [ ]( ) [ ]( )1 21 1 1,21E CF E i E i= + + =

Deoarece 1i are o distribuţie uniformă, atunci şi ( )11 i+ va avea tot o distribuţie uniformă şi putem calcula:

( ) ( ) ( )0,1230,12

2 2 11 1 1

0,08 0,08

25 111 1 1, 2101330,04 3

iE i i di

+⎡ ⎤+ = + ⋅ = =⎣ ⎦ ∫

Pe baza aceluiaşi raţionament se obţine: ( )2

21 1, 210533E i⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

Prin înlocuire, în expresia varianţei, se obţine: [ ] 0,000807Var CF =

34

Cap. IX CALCULE ACTUARIALE

Practica operaţiunilor financiare cuprinde multe situaţii în care plăţile se fac în funcţie de realizarea unor evenimente aleatoare. Un astfel de exemplu este cel al asigurărilor de bunuri sau de persoane. În ceea ce priveşte asigurările de persoane, în modalitatea de efectuare a plăţilor intervin evenimente legate de viaţa sau moartea persoanei asigurate. Pentru a putea analiza modelele matematice ataşate acestor evenimente se utilizează mai multe mărimi şi funcţii (aşa numitele funcţii biometrice): a) Probabilităţi de viaţă şi de deces Vom nota cu ( ),p x y probabilitatea ca o persoană de x ani să fie în viaţă la vârsta de y ani şi cu ( ),q x y probabilitatea ca o persoană de x să fie decedată la vârsta de y ani. Deoarece evenimentele de a fi în viaţă şi cu cel de a fi decedat la o anumită vârstă sunt complementare avem: ( ) ( ), , 1p x y q x y+ =

b) Funcţia de supravieţuire Este o funcţie care are ca argument vârsta persoanei asigurate, iar valoarea funcţiei este dată de numărul mediu de persoane care ajung la vârsta de x ani dintr-un număr al de persoane de a ani ( )a x≤ . Notaţia utilizată este xl . Pe baza proprietăţilor funcţiilor probabilistice se obţine:

( ), x

a

lp a xl

=

c) Viaţa medie Viaţa medie este o funcţie ale cărei valori reprezintă media numărului de ani pe care îi mai are de trăit o persoană în vârstă de x ani. Se notează cu xe , iar expresia acestei funcţii este dată de:

1

1 12x x n

nx

e ll +

≥

= + ∑

Observaţii 1. În practică se consideră limita maximă de vârsta este de 100 de ani. 2. Valorile funcţiilor sunt cuprinse în aşa numitele tabele de mortalitate. Aceste tabele sunt întocmite pe baza unor studii statistice şi sunt specifice fiecărei ţări. Plăţi viagere Sistemul de plăţi viagere apare în contractele de asigurări de persoane. Aceste plăţi au un caracter aleator, deoarece asiguratul plăteşte numai cât timp este în viaţă, iar asiguratorul numai la apariţia unor evenimente prevăzute în contractul de asigurare. De aceea plata se reprezintă printr-o variabilă aleatoare. Principiul care stă la baza de calcul a sumelor ce se plătesc de asigurat şi asigurator este cel al echilibrului financiar. Astfel, într-un contract de asigurare, se porneşte de la egalitatea valorilor actuale ale celor două plăţi (asigurat şi asigurator). Acestea reprezintă primele matematice, la ele se mai adaugă cheltuielile aferente contractului. Pentru exemplificare vom considera cazul unei persoane în vârstă de x ani. Se pune problema calculării valorii actuale medii a unei unităţi monetare plătită peste n ani. În capitolele precedente valoarea actuală s-a calculat simplu: 1 u.m. u.m.n nv v⋅ = , unde v reprezintă factorul de actualizare. În acest caz, însă, se ţine cont de distribuţia variabilei aleatoare (notată cu z ) care reprezintă plata:

( ) ( )0

, 0,1,2,, ,

nvz n

p x x n q x x n⎡ ⎤

=⎢ ⎥+ +⎣ ⎦…

Valoarea medie a variabilei z se numeşte factor de actualizare viager şi se notează cu ( ),E x x n+ . Avem deci:

( ) ( ) ( ) ( ), , 0 , ,n nE x x n v p x x n q x x n v p x x n+ = ⋅ + + ⋅ + = ⋅ +

35

Dacă utilizăm relaţia ( ), x n

x

lp x x nl++ = atunci factorul de actualizare viager se mai poate scrie:

( ),x n

n x n x n x nx

x x x

l v l DE x x n vl v l D

++ + ++ = = =

unde xx xD v l= se numesc numere de comutaţie. Aceste numere se regăsesc în tabelele de mortalitate. Pentru

plăţile viagere, ca dealtfel şi pentru alte tipuri de plăţi din cadrul contractelor de asigurare se utilizează mai multe modele în funcţie de felul anuităţilor (constante, întregi, fracţionate, anticipate, posticipate, etc.). Plăţi în caz de deces O altă categorie de plăţi este cea în care plata se face doar în cazul decesului, într-un interval de timp dat, persoanei asigurate. Considerăm cazul în care plata pentru o persoană de x ani se face doar dacă aceasta decedează la o vârstă cuprinsă între x n+ şi 1x n+ + ani. Vom nota cu xnr probabilitatea ca o persoană de x ani să fie în viaţă la x n+ ani şi să nu mai fie în viaţă la

1x n+ + ani. Pe baza proprietăţilor de la variabile aleatoare putem scrie: ( ) ( ), , 1xnr p x x n q x n x n= + ⋅ + + +

Cu această notaţie distribuţia variabilei aleatoare care reprezintă plata este următoarea: 1

201

n

xn xn

vzr r

+⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

S-a utilizat ca exponent al factorului de actualizare 12n + deoarece se consideră că persoana decedează la

mijlocul anului (pentru omogenizarea calculelor). Valoarea medie a variabilei z se numeşte, în acest caz, factor de actualizare în caz de deces şi este dată de:

( )1 1 12 2, n n x n x n

xnx

l lD x x n v r vl

+ + + + +−+ = ⋅ =

Tipuri de asigurări de persoane În toate tipurile de contracte asigurări ce urmează a fi prezentate asiguratul plăteşte periodic o sumă P timp de k ani. Diferenţa este dată de condiţiile în care asiguratorul face plata (plăţile). a) Asigurarea de viaţă Asiguratorul plăteşte o sumă S atunci când asiguratul împlineşte vârsta de x n+ ani. În cazul în care asiguratul nu mai este în viaţă, asiguratorul nu mai are nici o obligaţie. Prin utilizarea principiului echilibrului financiar se obţine:

x n

x x k

DP SN N

+

+

=−

unde 1x x xN D D += + +… b) Asigurarea de pensii Asiguratorul plăteşte periodic suma S asiguratului de la împlinirea vârstei de x n+ ani până la deces.

x n

x x k

NP SN N

+

+

=−

c) Asigurarea de deces Asiguratorul plăteşte unei persoane prevăzute în contract suma S dacă asiguratul decedează la o vârstă cuprinsă între x m+ ani şi x n+ ani.

x m x n

x x k

M MP SN N

+ +

+

−=

−

unde ( )1

21x m x m x mM u vN N+ + + += − .

36

d) Asigurarea mixtă Asiguratorul plăteşte suma S asiguratului, dacă acesta este în viaţă la x n+ ani, sau unei persoane prevăzute în contract, dacă asiguratul decedează înainte de această vârstă.

x n x x n

x x k

D M MP SN N

+ +

+

+ −=

−

Exerciţii rezolvate 1. Să se calculeze probabilitatea ca o persoană de 25 de ani să fie în viaţă, respectiv să nu fie în viaţă, la 75 de ani. Soluţie

( ) 70

25

6208325,70 0,68495767

lpl

= = =

( ) ( )25,70 1 25,70 0,316q p= − = 2. Care este probabilitatea ca o persoană, în vârstă de 25 de ani, să decedeze la o vârstă cuprinsă între 60 şi 70 de ani. Soluţie

( ) ( ) 60 70

25 60

25,60 60,70 1 0,179l lP p ql l

⎛ ⎞= ⋅ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3. Să se calculeze factorul de actualizare viager ( )40,60E şi de deces ( )40,60D dacă rata de actualizare este de 0,1. Soluţie

( )20

60

40

140,60 0,12651,1

lEl

⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )20,5

60 61

40

140,60 0,001981,1

l lDl−⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4. O persoană de 25 de ani plăteşte unei societăţi de asigurări, timp de 30 de ani, o primă anuală P. Să se determine valoarea acestei prime dacă se încheie, pentru suma S=1000000 u.m.: a) o asigurare de viaţă scadentă la 60 de ani b) o asigurare de pensii (pensia se plăteşte începând cu 60 de ani). c) o asigurare de deces (între 60 şi 65 de ani) d) o asigurare mixtă scadentă la 60 de ani. Soluţie

a)

60

25 55

4244,0241000000 9529, 4519793,623 74433, 493

x n

x x k

D DP S SN N N N

+

+

= ⋅ = =− −

=−

b) 48745,8021000000 109452,55445360,13

x n

x x k

NP SN N

+

+

= ⋅ = =−

c) 1970, 236 1623, 4481000000 778,66

445360,13

x m x n

x x k

M MP SN N+ +

+

−= ⋅ =

−−

= =

d) 4244,024 3614,804 1970, 2361000000445360,13

13222,09

x n x x n

x x k

D M MP SN N

+ +

+

+ −= ⋅ =

−+ −

= =

=

37

Anexa 1: Tabel cu numere de comutaţie (i=0,05)

x lx Dx Nx Mx 0 10000 10000.000 1865577.154 - 1 97672 93020.952 1855577.154 4773.406 2 97405 88349.206 1762556.202 4525.340 3 97237 83996.976 1674206.996 4376.717 4 97117 79898.396 1590210.020 4275.637 5 97034 76028.678 1510311.624 4209.077 6 96970 72360.507 1434282.946 4160.214 7 96914 68874.970 1361922.439 4119.503 8 96856 65555.953 1293047.469 4079.344 9 96805 62401.366 1227491.516 4045.721 10 96764 59404.702 1165090.150 4019.990 11 96723 56551.935 1105685.448 3995.485 12 96681 53835.598 1049133.513 3971.574 13 96693 51278.362 995297.915 3978.148 14 96595 48787.039 944019.553 3927.480 15 96548 46441.239 895232.514 3904.361 16 96494 44205.013 848791.275 3879.057 17 96432 42072.962 804586.262 3851.382 18 96373 40044.972 762513.300 3826.302 19 96300 38109.180 722468.328 3796.739 20 96216 36262.798 684359.148 3764.335 21 96132 34505.847 648096.350 3733.475 22 96045 32832.971 613590.503 3703.034 23 95954 31239.869 580757.532 3672.707 24 95863 29724.040 549517.663 3643.825 25 95767 28280.260 519793.623 3614.804 26 95665 26904.895 491513.363 3585.437 27 95552 25593.442 464608.468 3554.448 28 95439 24345.881 439015.026 3524.936 29 95315 23156.428 414669.145 3494.090 30 95182 22022.968 391512.717 3462.580 31 95029 20940.540 369489.749 3428.054 32 94867 19909.373 348549.209 3393.236 33 94698 18927.530 328639.836 3358.644 34 94519 17992.145 309712.306 3323.747 35 94324 17100.025 291720.161 3287.540 36 94104 16247.753 274620.136 3248.634 37 93880 15437.217 258372.383 3210.907 38 93632 14663.273 242935.166 3171.124 39 93364 13925.051 228271.893 3130.180 40 93076 13221.044 214346.842 3088.274 41 92773 12550.480 201125.798 3046.285 42 92435 11909.290 188575.318 3001.673 43 92062 11296.412 176666.028 2954.786 44 91644 10709.640 165369.616 2904.743 45 91214 10151.800 154659.976 2855.714 46 90767 9621.000 144508.176 2807.173 47 90279 9113.594 134887.176 2756.703 48 89741 8627.889 125773.582 2703.710 49 89162 8164.021 117145.693 2649.393 50 88524 7719.623 108981.672 2592.392

38

51 87852 7296.211 101262.049 2535.210 52 87128 6891.507 93965.838 2476.538 53 86356 6505.185 87074.331 2416.954 54 85523 6135.653 80569.146 2355.723 55 84617 5781.575 74433.493 2292.296 56 83666 5444.378 68651.918 2228.890 57 82654 5122.404 63207.540 2164.628 58 81599 4816.211 58085.136 2100.826 59 80465 4523.123 53268.925 2035.512 60 79275 4244.029 48745.802 1970.236 61 77973 3975.548 44501.773 1902.217 62 76613 3720.197 40526.225 1834.551 63 75137 3474.785 36806.028 1764.609 64 73571 3240.347 33331.243 1693.937 65 71931 3017.252 30090.896 1623.448 66 70154 2802.584 27073.644 1550.709 67 68321 2599.388 24271.060 1479.250 68 66345 2404.008 21671.672 1405.885 69 64284 2218.407 19267.664 1333.006 70 62083 2040.430 17049.257 1258.883 71 59717 1869.208 15008.827 1182.998 72 57198 1705.106 13139.619 1106.053 73 54482 1546.800 11434.513 1027.040 74 51782 1400.137 9887.713 952.233 75 48994 1261.669 8487.576 878.666 76 46033 1128.970 7225.907 804.255 77 42918 1002.452 6096.937 729.702 78 39730 883.798 5094.485 657.033 79 36449 772.202 4210.687 585.807 80 33072 667.293 3438.485 515.988 81 29703 570.778 2771.192 449.650 82 26320 481.685 2200.414 386.209 83 22878 398.755 1718.729 324.735 84 19572 324.888 1319.974 268.502 85 16464 260.282 995.086 218.153 86 13551 204.029 734.804 173.212 87 10909 156.429 530.775 134.392 88 8573 117.078 374.346 101.703 89 6563 85.360 257.268 74.914 90 4883 60.485 171.908 53.590 91 3523 41.561 111.423 37.150 92 2458 27.616 69.862 24.889 93 1654 17.698 42.246 16.074 94 1070 10.904 24.548 9.975 95 663 6.435 13.644 5.928 96 392 3.623 7.209 3.361 97 220 1.937 3.586 1.810 98 117 0.981 1.649 0.925 99 58 0.463 0.668 0.442 100 27 0.205 0.205 0.200