Matematická úloha o závěti

Martina Bečvářová

Ústav aplikované matematiky

Fakulta dopravní ČVUT v Praze

Na Florenci 25

Praha 1, 110 00

Katedra didaktiky matematiky

MFF UK

Sokolovská 83

Praha 8, 186 75

nemcova@fd.cvut.cz

• Od nepaměti byly velmi citlivě vnímány otázky dě-dictví, poslední vůle a sestavení platné závěti.

• Různá psaná a nepsaná pravidla a zákony kom-plikovaly poslední vůli zůstavitele.

• Představy a přání pozůstalých často takřka zne-možňovaly „spravedlivé“ rozdělování pozůstalosti, vedly k rodinným sporům a soudům, někdy i bojům a válkám.

• Na jedné matematické úloze si ukážeme, jak v růz-ném období byla tato problematika matematicky vnímána a řešena.

Úlohu o dědictví poprvé formuloval římský právník

Salvius Iulianus (přelom 1. a 2. st. n. l.)

• římský praetor, 2x konzul, praefekt urbi

• redigoval Edictum perpetuum

(nové právní předpisy císaře Publia Aelia Had-

riana (asi 76–138) platné pro celou římskou říši)

• autor spisu Digesta (90 knih = kapitol) – rozsáhlý

výklad římského práva (vliv na evropskou tradici)

Salvius Iulianus (Právnická fakulta, Univerzita, Berlín)

Starořímská úloha – 2. st. n. l.

Jeden umírající člověk řekl: „Jestliže se mé

ženě narodí syn, ať mu patří dvě třetiny

jmění a zbytek ženě. Jestliže se narodí dce-

ra, ať jí patří třetina a ženě dvě třetiny.“

Narodila se dvojčata – syn a dcera. Jak se

má rozdělit jmění, aby se splnila závěť ne-

božtíka? [Ko, str. 70]

Římská odpověď: jmění syna, vdovy a dcery

nebožtíka musí být rozděleno v poměru

4 : 2 : 1.

syn : matka ~ 2/3 : 1/3 → 2 : 1

dcera : matka ~ 1/3 : 2/3 → 1 : 2

Syn dostane dvakrát tolik, co dostane matka,

matka dostane dvakrát tolik, co dostane dcera.

Poznámky

• klasická a oblíbená úloha římských právníků

• jasná formulace zadání

• stručná pravidla „dědictví“

• logické, názorné a srozumitelné řešení

• jednoznačné povinnosti dědice (např. syn má povinnost starat se o matku, pokud se znovu ne-provdá, povinnost starat se o sestru, dokud se ne-provdá a musí jí zajistit věno, proto dědí největší díl, matka má povinnost připravit pro dceru věno, proto dědí větší díl než dcera)

Matematická literatura

• M. Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathe-

matik, Band I, Teubner, Leipzig, 2. vydání, 1894

(úloha na str. 523).

• A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy,

SPN, Praha, 1989.

Obecná literatura

• Encyklopedie antiky, Academia, Praha, 1973.

• Slovník antické kultury, Svoboda, Praha, 1974.

al-Chorezmi (asi 783 až 847)

Abú Abdalah Muhammad ibn

Músa al-Chorezmi (též al-Chwa-

rizmí)

• slavný arabský matematik, astro-

nom, encyklopedista první polovi-

ny 9. století

• učenec na dvoře chalífa al-Mamúna (asi 786–833)

• nejprve pracoval v Mervu

(dnešní Mari v Turkmenistánu)

• potom v Bagdádu (správce Domu moudrosti)

• autor řady prací o aritmetice, algebře, geometrii,

astronomii, geografii, konstrukci astrolábu a slu-

nečních hodin, kalendáři apod.

Krátká kniha o počítání algebry a almukabaly

[Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala]

• vliv na rozvoj arabské i evropské algebry (úpravy

algebraických výrazů, „řešení“ rovnic prvního a dru-

hého stupně, geometrické důkazy správnosti postupu

řešení, trojčlenka, řetězový a směšovací počet, pře-

vody měr a vah, přepočet peněz, výpočty obsahů ro-

vinných útvarů, resp. výpočty jejich jednotlivých

prvků, aplikace algebry na úlohy z kupecké a práv-

nické praxe)

4. část – Kniha o závětích

• dělení majetku podle pravidel islámského práva

• vliv právníka Abu Hanifa (asi 699–767)

zakladatel první muslimské právní školy

(tzv. hanafíjská škola), která ponechá-

vala místo vlastnímu úsudku

její stoupenci vytvořili právní systém

dominantní v pozdější Osmanské říši,

Střední Asii a Indii

• Jestliže řeknou: žena zemřela a zanechala svého muže, syna a tři dcery. Dále ona odkázala jiné osobě jednu osminu a jednu sed-minu svého majetku.

• Pravidlo je takové: určíš počet dílů neopominutelného dědictví, tj. vezmeš jich dvacet. Vezmi majetek a odečti od něj jednu os-minu a jednu sedminu. Zůstane matek bez jedné osminy a jedné sedminy. Doplň svůj majetek, tj. přičti k němu patnáct čtyři-cetijednin. Vynásob počet dílů neopominutelného dědictví, tj. dvacet, čtyřiceti jednou, dostaneš osm set dvacet. Přičti k tomu patnáct čtyřicetijednin toho, tj. tři sta, dostaneš, že všeho je tisíc sto dvacet. Osoba, které bylo odkázáno, dostane z toho jednu os-minu a jednu sedminu. Jedna osmina a jedna sedmina je tři sta, protože jedna sedmina je sto šedesát a jedna osmina je sto čty-řicet. Zůstane osm set dvacet, které se rozdělí mezi dědice podle jejich podílů. [BK, str. 134]

Poznámky

nutno detailně znát pravidla o rozdělování dědictví

existují neopominutelní dědicové (manžel, manžel-

ka, děti)

k dobrému mravu patří odkázat část majetku na do-

bročinné účely

bezdětné manželství: muž dědí jen polovinu ženina

majetku, zbytek na dobročinné účely

manželství s dětmi: muž dědí čtvrtinu ženina majet-

ku, syn dvojnásobek toho, co dědí dcera

atd.

Komentář

Díl neopominutelného dědictví obvykle činí alespoň

3/20 (tj. 15 procent), tj. majetek se musí dělit 20.

Podle nevyslovených (ale platných) pravidel dostane:

• muž 5 dílů,

• syn 6 dílů,

• každá dcera 3 díly.

Závěť

1/7 + 1/8 = 15/56

je odkázáno další blíže nespecifikované osobě.

Podle islámského práva se tento majetek oddělí od celého majetku jako první, teprve zbytek se dělí podle závěti.

1 – 15/56 = 41/56 se rozdělí na 20 dílů, tj.

Jeden díl neopominutelného dědictví obnáší 41/1120.

muž 5 x 41/1120 = 205/1120

syn 6 x 41/1120 = 246/1120

každá dcera 3 x 41/1120 = 123/1120

další osoba 300/1120

Komentář

• majetek je tedy dělen na 1120 dílů

• jsou uvedeny podmínky dědění, ale není uvedena konkrétní částka

• tato část al-Chorezmiho spisu nebyla v Evropě často studována, neboť popis řešení nebyl bez znalosti islámského práva srozumitelný a pocho-pitelný

• majetek odkazuje žena ???

• závěť sestavuje žena (v evropské tradici byl umí-rajícím muž) ???

Mešita Imána Abu Hanifa

Literatura

• Muhammad ibn Músa al-Chorezmi: Matěmatičes-kije traktaty, Taškent, 1983.

• J. Baštinec, Z. Kohoutová: Muhammad ibn Músa al-Chorezmi, in J. Bečvář, E. Fuchs (eds.): Mate-matika v proměnách věků I, edice Dějiny matema-tiky, sv. č. 11, Prometheus, Praha, 1998, str. 125–141.

• A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středo-věku, Academia, Praha, 1977.

• S. Ch. Siraždinov, G. P. Matvievskaja: Al-Cho-rezmi – vydajuščijsja matěmatik i astronom sred-něvjekovja, Prosveščenije, Moskva, 1983.

Alkuin (asi 735–804)

• studoval na katedrální škole v Yorku

• později učitel a správce knihovny

• uznávaný západoevropsky vzdělanec a učenec

• 781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814)

• pracoval na jeho dvoře

• pověřen organizací vzdělávacího systému

• 796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera svatého Martina v Tours

• dílo: Propositiones ad acuendos iuvenes

35. úloha

Nějaký otec rodiny zanechal děti a majetek 960

zlatých a těhotnou manželku. Nařídil, kdyby se

jí narodil chlapec, aby dostal z celkového množ-

ství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí, a matka aby

dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce. Kdyby se

však narodila dcera, aby dostala 7 uncí, a mat-

ka aby dostala 5 uncí. Stalo se však, že se naro-

dila dvojčata, a to chlapec a děvče. Ať rozřeší,

kdo může, kolik dostane matka a kolik syn a ko-

lik dcera. [Ma, str. 34]

Před sestavením závěti …

• Propositio de obitu cuiusdam patrisfamilias.

Quidam paterfamilias moriens reliquit infantes et in facultate sua solidos DCCCCLX et uxorem praegnantem. Qui iussit, ut, si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrantem, hoc est, uncias VIIII, et mater ipsius acciperet quadrantem, hoc est, unicas III. Si autem filia nasceretur, acciperet septuncem, hoc est, VII uncias, et mater ipsius acciperet quincuncem, hoc est, V uncias. Contigit autem, ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater vel quantum filius quantumve filia. [Ma, str. 80]

Solutio.

Iunge ergo VIIII et III, fiunt XII. XII namque unciae libram faciunt. Prorsusque iunge similiter VII et V, faciunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII. XXIIII autem unciae faciunt duas libras, id est, solidos XL. Divide ergo per vicesimam quartam partem DCCCLX solidos: vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia facit dodrans, XL in nonam partem. Ideo novies fiunt XL accepit filius, hoc est, XVIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit et quintam contra filiam, III et V fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis sive bisse, XL in parte octava. Octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx sive septus, XL in VII partibus. Postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX. Hoc filia accepit. Iunge ergo CCCLX est CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCVLX solidi et XLVIII librae. [Ma, str. 80–81]

Řešení podle římského (tj. našeho) práva

Jmění syna, vdovy a dcery nebožtíka musí být

rozděleno v poměru

15 : 5 : 7.

syn : matka ~ 3/4 : 1/4 → 3 : 1

matka : dcera → 5 : 7

dcera … 7/5x

matka … x

syn … 3x

syn 15/27 533,3 zlatých

dcera 7/27 248,9 zlatých

matka 5/27 177,8 zlatých

Alkuinovo řešení

• ku podivu neodpovídá římské právní tradici

• odráží církevní tradici ???

• uměle vytvořené řešení ???

Alkuin římsky

syn 18 liber 26.666 liber

dcera 14 liber 12,444 liber

matka 16 liber 8,888 liber

0,002 libry na

zaokrouhlení

Poznámky

20 zlatých = 1 libra

960 zlatých = 48 liber

Nesrozumitelná může být formulace:

z celkového množství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí,

a matka aby dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce.

1 unce = 1/12 celku (užito v římském smyslu),

12 uncí je jedna jednotka vyššího řádu,

9 uncí jsou 3/4 celku,

3 unce jsou 1/4 celku.

Alkuinův postup

Po narození dvou dětí je třeba majetek rozdělit na dvě poloviny a každou polovinu pak samostatně dělit podle pravidla uvedeného stanoveného v závěti.

1. polovina majetku

syn … 3/4 x 1/2 = 3/8

matka … 1/4 x 1/2 = 1/8

2. polovina majetku

dcera … 7/12 x 1/2 = 7/24

matka … 5/12 x 1/2 = 5/24

• syn 9/24 majetku … 360 zlatých = 18 liber

• dcera 7/24 majetku … 280 zlatých = 14 liber

• matka 8/24 majetku … 320 zlatých = 16 liber

• Proč Alkuin řeší takto?

jiná dědická práva v době Karla Velikého

matematická konstrukce „aby to pěkně vyšlo“

chybné řešení

při tomto dělení je zvýhodněna matka (dělení je

„spravedlivější“)

Literatura

• K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických

úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Prome-

theus, Praha 2001, 101 stran.

Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551)

Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom

niekteré welmi užitečné regule a exempla mince

rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie

sebrané ..., Norimberk, 1530 (2. vydání, Praha, 1557)

• Ondřej Šimkovič z Klatov (též Andreas Glatoviensis)

• bakalář UK (1524), matematik

• účastnil se bojů proti císaři a králi Ferdinandu I.

(1503–1564)

• 1547 vypovězen z Čech, ale směl se usadit a vyučovat

matematiku v Olomouci

1. část

zápis čísel (indoarabské i římské cifry), písemné algoritmy základních aritmetických operací, zkoušky (7, 9), vlastnosti aritmetické posloupnosti, matematická podstata a užití trojčlenky

2. část

totéž na linách (oblíbená počítací pomůcka)

3. část

počítání se zlomky (základní operace) a jednoduché slovní úlohy řešitelné z paměti

4. část

slovní úlohy ze života (obchod, dědictví), trojčlenka, řetězový počet, diofantické rovnice, směšovací počet, procenta a úroky

Standardní zpracování učebního textu.

Autor se řídil osvědčenými zdroji.

Jiný příklad (důležitý zvláště pro práv-níka) jest tento: „Jeden měštěnín ležel nemocen k smrti a měl ženu těhotnou, kterýžto udělal kšaft takový: jest-li by po jeho smrti porodila syna, tehdy ten syn aby 3/4 statku a zboží měl a máti ostatek, jestli by pak dceru porodila, tehdy třetí díl statku aby dceři a mateři ostatek. Nu ten jistý měštěnín umřel, statku po sobě pozůstaviv 2000 zl. Žena jeho však poro-dila syna i dceru, otázka co se tomu synu, té dceři a mateři podle kšaftu zřízeného dostati má spravedlivě.”

Dělej takto; poněvadž dcera nejméně má, vezmi

před sebe počet, který se ti líbí, jako 2, mateři 6,

synu 18, tyto počty v hromadu sumůj, budeš míti

obecný divisor, jako zde

26 2000 dcera 2, facit 153 11/13 zl.

matka 6, facit 462 7/13 zl.

syn 18, facit 1384 8/13 zl.

===

26

[Še, str. 42–43]

Klatovského přístup

Užil klasickou metodu chybného předpokladu, která byla známa již od starověku a která umožnila „vyhnout“ se ne-oblíbenému a obávanému přímému dělení.

• Poměr majetků syna, matky a dcery z neznámého důvodu stanovil jako

18 : 6 : 2, neboli 9 : 3 : 1.

• Chybí komentář či zdůvodnění postupu řešení.

• Pravděpodobně chybný výsledek (poměr vypočtených ma-jetků neodpovídá zadání), což je u tohoto autora neobvyklé.

• Zcela jistě tisková chyba u majetku matku – správně má být 461 a 7/13 zl.

Přístup podle římského práva

logičtější postup

syn ¾ majetku

matka ¼ majetku matka 2/3 majetku

dcera 1/3 majetku

dcera x

matka 2x

syn 6x

------------------

celkem 9x → 9 · x = 2000

dcera 222,2 zl.

matka 444,4 zl.

syn 1333,3 zl.

Alkuinův přístup

1. polovina majetku

syn … 3/4 x 1/2 = 3/8

matka … 1/4 x 1/2 = 1/8

2. polovina majetku

dcera … 1/3 x 1/2 = 1/6

matka … 2/3 x 1/2 = 2/6

• syn 9/24 majetku … 750,0 zlatých

• dcera 4/24 majetku … 333,3 zlatých

• matka 11/24 majetku … 916,7 zlatých

* * * * * *

Klatovský Římský přístup Alkuin

syn 1384,6 1333,3 750,0

dcera 153,8 222,2 333,3

matka 461,5 444,4 916,7

Literatura

• J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktic-

kých textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN,

Praha, 1987, 264 stran.

Stanislav Vydra (1741–1804)

Tentamen III … ex praelectionibus

mathematicis … Adnotatiuncula ad re-

gulam caeci, seu virginum, Pragae,

1780, 8 nečíslovaných stran.

Archiv Univerzity Karlovy, sgn. A73-13/6

úloha o dědictví jako součást zkoušky z ma-

tematiky na pražské univerzitě roku 1780

římský přístup k řešení

Děkuji za pozornost.