1

2 MATEMATIČKI OPIS

Ponašanje sustava i regulacijskih članova općenito se opisuje nelinearnim

diferencijalnim jednadžbama čije je rješavanje povezano s znatnim poteškoćama Na primjer

promjena visine tekućine u spremniku s utjecanjem qu i istjecanjem kroz ventil može se

opisati nelinearnom diferencijalnom jednadžbom

2v v u

dhA K A g h q

dt

gdje je A površina spremnika h razina tekućine Kv i Av konstanta i površina otvora ventila ρ

gustoća tekućine

U tom slučaju za male promjene ulazne veličine u okolišu radne točke moguće je

linearizirati diferencijalnu jednadžbu razvojem u Taylovov red po svim varijablama i

zanemarenjem članova višeg reda Na taj način dobivena je linearna diferencijalna jednadžba

s konstantnim koeficijentima

Čest je slučaj da je samo statička karakteristika nelinearna (sve derivacije su jednake

nuli) kao u gornjem primjeru U tom slučaju je moguće linearizaciju u radnoj točki izvršiti

nadomještanjem stvarne krivulje pravcem (tangentom) čiji je koeficijent derivacija u radnoj

točki a nagib se naziva dinamičko pojačanje Na primjer za radnu točku (0507)T

0 0

0 0

( ) 0

( ) (0507)

1 107

2 2 05d

T h q

q h T h q T

dqK

dh h

Na drugi način ukoliko je na raspolaganju graf nelinearnosti u odabranoj radnoj točki povuče

se tangenta te se odabere segment tangente za koju se očita prirast na ordinati za odgovarajući

prirast na apscisi

0507

07d

qK

h

2

Linearna jednadžba u okolišu (0507)T tada glasi

2 07v v u

dhA K A g h Q

dt

21 Laplaceova transformacija

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s diskontinuiranim

ulazima ili diferencijalnih jednadžbi višeg reda vrlo je teško i dugotrajno Jednako tako

uvrštavanje početnih uvjeta za određivanje konstanti integracije zahtjeva rješavanje sustava

algebarskih jednadžbi pri čemu je broj algebarskih jednadžbi jednak redu diferencijalne

jednadžbe Laplaceova transformacija primjenjuje se u različitim područjima znanosti fizika

elektrotehnika a naročito u teoriji regulacijskih sustava Laplaceova transformacija je

operatorska metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi

I Prednosti operatorske metode ndash Laplaceova transformacija

1) Automatski uključuje rubne i početne uvjete

2) Pri iznalaženju rješenja koristimo algebarski račun

3) Izračunavanje i rad je vrlo sistematiziran

4) Primjenom tablica transformacije smanjuje se rad i potrebno vrijeme

5) Diskontinuirani ulazi lako se uzimaju u obradu moguće je uzeti u obradu

diskontinuirane ulazne funkcije

6) Dobivaju se istovremeno prijelazno i stacionarno rješenje (homogeno i

partikularno - prisilno) rješenje diferencijalne jednadžbe

3

7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu

vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom

L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo

ima dimenziju [t] = s

II Definicija Laplaceove transformacije

Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom

0

)s(Fdte)t(f)t(fL st

Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija

F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js

Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za

negativne vrijednosti

Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija

a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama

Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom

4

Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest

( ) ( ) ( )a

b

F s f t K s t dt

Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije

Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se

ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t

Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako

da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral

konvergira za svaki s Є Pf

III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)

Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu

1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom

intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora

postojati lijevi limes 0 0

lim ( )t t

f t

i desni limes 0 0

( )limt t

f t

koji ne moraju biti jednaki

2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj

0 za t 0( )

( ) za t 0f t

f t

3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što

znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat

Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija

a) f ( t ) = 2te

b) f ( t ) =tcos

1

c) f ( t ) =tg ωt

IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije

Teorem 1 Teorem linearnosti

Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi

00

)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL

)s(FA)t(fAL)t(fAL

stst

5

Teorem 2 Teorem superpozicije

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st

L f t f t L f t f t F s F s

L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s

Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni

Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju

0

0

0

0 za t t( )

( ) za t tf t t

f t

vrijedi

)s(Fe)tt(fLst

0

0

Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e

u laquosraquo domeni Pomak

u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni

Teorem 4 Teorem o derivaciji slike

Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi

)s(Fds

d)t(ftL

Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu

derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području

Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata

n

n

s

)n(tL

11 ili

1

k

k

s

ktL

Pr

2 2

0 0

1 0 1 1( ) ( )s t st d

L t te dt t S t e dtds s s s

Pr tt eLds

d)et(L

22

11101

)s()s()

s(

ds

d

Pr 342

2220

)1()(

ss

s

sds

dttLtL

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

2

Linearna jednadžba u okolišu (0507)T tada glasi

2 07v v u

dhA K A g h Q

dt

21 Laplaceova transformacija

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s diskontinuiranim

ulazima ili diferencijalnih jednadžbi višeg reda vrlo je teško i dugotrajno Jednako tako

uvrštavanje početnih uvjeta za određivanje konstanti integracije zahtjeva rješavanje sustava

algebarskih jednadžbi pri čemu je broj algebarskih jednadžbi jednak redu diferencijalne

jednadžbe Laplaceova transformacija primjenjuje se u različitim područjima znanosti fizika

elektrotehnika a naročito u teoriji regulacijskih sustava Laplaceova transformacija je

operatorska metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi

I Prednosti operatorske metode ndash Laplaceova transformacija

1) Automatski uključuje rubne i početne uvjete

2) Pri iznalaženju rješenja koristimo algebarski račun

3) Izračunavanje i rad je vrlo sistematiziran

4) Primjenom tablica transformacije smanjuje se rad i potrebno vrijeme

5) Diskontinuirani ulazi lako se uzimaju u obradu moguće je uzeti u obradu

diskontinuirane ulazne funkcije

6) Dobivaju se istovremeno prijelazno i stacionarno rješenje (homogeno i

partikularno - prisilno) rješenje diferencijalne jednadžbe

3

7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu

vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom

L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo

ima dimenziju [t] = s

II Definicija Laplaceove transformacije

Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom

0

)s(Fdte)t(f)t(fL st

Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija

F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js

Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za

negativne vrijednosti

Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija

a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama

Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom

4

Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest

( ) ( ) ( )a

b

F s f t K s t dt

Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije

Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se

ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t

Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako

da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral

konvergira za svaki s Є Pf

III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)

Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu

1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom

intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora

postojati lijevi limes 0 0

lim ( )t t

f t

i desni limes 0 0

( )limt t

f t

koji ne moraju biti jednaki

2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj

0 za t 0( )

( ) za t 0f t

f t

3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što

znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat

Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija

a) f ( t ) = 2te

b) f ( t ) =tcos

1

c) f ( t ) =tg ωt

IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije

Teorem 1 Teorem linearnosti

Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi

00

)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL

)s(FA)t(fAL)t(fAL

stst

5

Teorem 2 Teorem superpozicije

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st

L f t f t L f t f t F s F s

L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s

Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni

Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju

0

0

0

0 za t t( )

( ) za t tf t t

f t

vrijedi

)s(Fe)tt(fLst

0

0

Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e

u laquosraquo domeni Pomak

u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni

Teorem 4 Teorem o derivaciji slike

Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi

)s(Fds

d)t(ftL

Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu

derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području

Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata

n

n

s

)n(tL

11 ili

1

k

k

s

ktL

Pr

2 2

0 0

1 0 1 1( ) ( )s t st d

L t te dt t S t e dtds s s s

Pr tt eLds

d)et(L

22

11101

)s()s()

s(

ds

d

Pr 342

2220

)1()(

ss

s

sds

dttLtL

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

3

7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu

vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom

L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo

ima dimenziju [t] = s

II Definicija Laplaceove transformacije

Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom

0

)s(Fdte)t(f)t(fL st

Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija

F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js

Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za

negativne vrijednosti

Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija

a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama

Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom

4

Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest

( ) ( ) ( )a

b

F s f t K s t dt

Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije

Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se

ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t

Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako

da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral

konvergira za svaki s Є Pf

III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)

Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu

1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom

intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora

postojati lijevi limes 0 0

lim ( )t t

f t

i desni limes 0 0

( )limt t

f t

koji ne moraju biti jednaki

2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj

0 za t 0( )

( ) za t 0f t

f t

3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što

znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat

Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija

a) f ( t ) = 2te

b) f ( t ) =tcos

1

c) f ( t ) =tg ωt

IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije

Teorem 1 Teorem linearnosti

Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi

00

)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL

)s(FA)t(fAL)t(fAL

stst

5

Teorem 2 Teorem superpozicije

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st

L f t f t L f t f t F s F s

L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s

Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni

Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju

0

0

0

0 za t t( )

( ) za t tf t t

f t

vrijedi

)s(Fe)tt(fLst

0

0

Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e

u laquosraquo domeni Pomak

u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni

Teorem 4 Teorem o derivaciji slike

Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi

)s(Fds

d)t(ftL

Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu

derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području

Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata

n

n

s

)n(tL

11 ili

1

k

k

s

ktL

Pr

2 2

0 0

1 0 1 1( ) ( )s t st d

L t te dt t S t e dtds s s s

Pr tt eLds

d)et(L

22

11101

)s()s()

s(

ds

d

Pr 342

2220

)1()(

ss

s

sds

dttLtL

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

4

Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest

( ) ( ) ( )a

b

F s f t K s t dt

Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije

Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se

ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t

Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako

da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral

konvergira za svaki s Є Pf

III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)

Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu

1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom

intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora

postojati lijevi limes 0 0

lim ( )t t

f t

i desni limes 0 0

( )limt t

f t

koji ne moraju biti jednaki

2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj

0 za t 0( )

( ) za t 0f t

f t

3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što

znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat

Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija

a) f ( t ) = 2te

b) f ( t ) =tcos

1

c) f ( t ) =tg ωt

IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije

Teorem 1 Teorem linearnosti

Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi

00

)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL

)s(FA)t(fAL)t(fAL

stst

5

Teorem 2 Teorem superpozicije

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st

L f t f t L f t f t F s F s

L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s

Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni

Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju

0

0

0

0 za t t( )

( ) za t tf t t

f t

vrijedi

)s(Fe)tt(fLst

0

0

Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e

u laquosraquo domeni Pomak

u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni

Teorem 4 Teorem o derivaciji slike

Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi

)s(Fds

d)t(ftL

Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu

derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području

Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata

n

n

s

)n(tL

11 ili

1

k

k

s

ktL

Pr

2 2

0 0

1 0 1 1( ) ( )s t st d

L t te dt t S t e dtds s s s

Pr tt eLds

d)et(L

22

11101

)s()s()

s(

ds

d

Pr 342

2220

)1()(

ss

s

sds

dttLtL

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

5

Teorem 2 Teorem superpozicije

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st

L f t f t L f t f t F s F s

L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s

Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni

Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju

0

0

0

0 za t t( )

( ) za t tf t t

f t

vrijedi

)s(Fe)tt(fLst

0

0

Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e

u laquosraquo domeni Pomak

u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni

Teorem 4 Teorem o derivaciji slike

Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi

)s(Fds

d)t(ftL

Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu

derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području

Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata

n

n

s

)n(tL

11 ili

1

k

k

s

ktL

Pr

2 2

0 0

1 0 1 1( ) ( )s t st d

L t te dt t S t e dtds s s s

Pr tt eLds

d)et(L

22

11101

)s()s()

s(

ds

d

Pr 342

2220

)1()(

ss

s

sds

dttLtL

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

6

Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni

Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi

( ) ( )tL e f t F s

Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni

jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni

Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni

Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije

tada važi

)(f)s(Fsdt

)t(dfL

0

Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije

kad 0 približava s desne strane)

Ld f t

dt

2

2

( )

2 ( ) (0) (0)s F s s f f

Teorem 7 Teorem o integriranju originala

Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi

( ) (0 )

( ) (0 )F s f

L f t dt fs s

gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne

strane

Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti

Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt

)t(df i ako postoji limes funkcije

f(t) kad trarrinfin tada vrijedi

lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0

Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti

Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu

Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te

ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi

lim f (t) = lim s F(s)

trarr0 srarrinfin

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

7

V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt

Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)

u(t) = S(t)

0 za t lsaquo 0

( ) 1 za t 0

S t

0

00

1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e

s s s

Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala

0 za t 0 f t

f t za t 0

Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A

sAe)t(SAdte)t(SA)s(u

)t(SA)t(u

tsts 1

00

2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)

)ta(ulim)t(

)at(ua

)t(ua

)ta(u

a 0

11

u( t ) S( t )

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

8

0 00 0

1( ) lim lim

st

a a

stL t u t u t a e dtu a t e dta

= 00 0

0 0

1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim

0

ass t st as

aa a

eu t e dt u t a e dt e

a a s s a s

L Hospitalovo pravilo

10

0

s

s

s

eslim)t(L

sa

a

Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1

t

0 za t 0

t dt

Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)

0

00 0

( ) ( )

1

1 1( ) ( )|

sts t

s t

s t st

s t

udv uv udv

u t

u s t S t e dtdv e dt

v es

u s L t t e dt t e dtse s

0

0 2 2 2

0

1 1 1 1 1( ) 0 1| st

s t

te A e e A A

se s s s s s

Dio rješenja funkcija A (t) = 0

0( )

1|

s t

t

e e

jest neodređeni oblik

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

9

Primijenom L Hospitalovog pravila

st st s

2

t 1 1 1lim A t lim lim 0

e s e se

1( )

t t t

u s L ts

Granične vrijednosti

Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo

100

0

0 00

Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo

a) NEODREĐENI OBLICI 0

0 i

Ako je f (x) = )(

)(

x

x

pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji

sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je

lim 0 lim 0

lim lim

lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

x i x ili

x i x tada je

xf x

x

U slučaju da lim )(

)(

x

x

predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak

ponovo primjenjuje

Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike

022

11101

ss

s

sds

d)s(F

ds

ddte)t(SttL ts

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

10

Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je

opisan izrazom tetu 2)( [V]

( 1)

0 0

( 1)

0

( 1)

0

0

( ) 2 2

12 (( 1) )

1

2

1

2 20 ( )

1 1

|

t s t s t

s t

s t

L u t e e dt e dt

e d s ts

es

es s

1

12

2

s)s(u

e)t(u t

Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj

(Laplaceovoj) domeni

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u (t) = Um middot sin ωt

00

dtetsinUdte)tsinU()s(u ts

m

ts

m

Iz tablica integrala dobiva se

2

0

2 2 2 2

sin sin cos( )

0 0 1

s teL t s t t

s

s

s s

22

s

UtsinUL mm

Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske

funkcije

cos sin cos sin

sin2

cos2

j t j t

j t j t

j t j t

e t j t e t j t

e et

j

e et

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

11

( ) ( )

0 0 0

1sin sin ( )

2 2

j t j ts t s t s j t s j te e

L t t e dt e dt e e dtj j

( ) ( )

0

2 2 2 2

1 1 1

2 ( )

1 1 1 1

2 ( ) ( ) 2

|s j t s j te ej s j s j

s j s j

j s j s j j s s

Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika

u ( t ) = Um cos ωt

0 0

( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st

m mu s L u t S t U t e dt U t e dt

Iz tablica integrala dobiva se

2 2

0

2 2 2 2

2 2

cos ( cos sin( )

1 1( 1) 0

|s te

L t s t ts

ss s

s

s

Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko

je već poznata slika sinus funkcije

2 2 2 2

1 1cos sin

d sL t L t s

dt s s

2 2( ) m

su s U

s

22 Prijenosna funkcija

Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima 1 1

1 1 0 1 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t

dt dt dt dt dt dt

Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije

Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2

3 2 1 0 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

12

Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent

tada se ona može prikazati na slijedeći način

3 2

3 02 1 1

3 2

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx ty t x t

dt dt dt dt

Ili na drugi način 3 2

3 2

3 2 1 1 03 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t d y t dy t dx tT T T y t x t

dt dt dt dt

Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju

sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale

Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )

( )di t du t

RC i t Cdt dt

odnosno 1

( ) ( )( )

di t du tT i t C

dt dt

gdje je 1T RC 1

V AsT R C F s

A V

( ) ( )( )

L di t u ti t

R dt R odnosno

1

( ) ( )( )

di t u tT i t

dt R

gdje je 1

LT

R

1

VsL AT s

VR

A

Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji

ima vremensku dimenziju sekunde

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja

ima oblik polinoma varijable s 3 23 2

3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s

Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred

zagrade

3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s

Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i

ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija

1 0

3 23 23 2 1

( ) ( )

( ) 1 ( )

sy s A sG s

x s T T T s B ss s

Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve

početne uvjete jednake nuli

Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

13

Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku

0

11 1023

3 22 13 3 2 1

3 3 3

3 3 3

( )

1( )

A

B B B

ss sy s

G s kT Tx s T s s s s s s

ss sT T T

gdje su sAi korjeni

brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične

jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi

23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija

Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati

vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava

diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom

obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je

potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je

moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv

Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike

nepoznate funkcije y(s) koja glasi

1( ) ( )y t L G s x s

Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije

Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju

jednostavne slike

a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna

prijelazna funkcija i označava se sa g(t)

1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s

Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva

b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1

s naziva se prijelazna

funkcija i označava se sa h(t)

1 1( )h t L G s

s

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

14

231 Inverzna Laplaceova transformacija

Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih

jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi

Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije

1

1 1 0

111 0

( )( )

( )

m m

m m

n n

n

a s a s a s aA sy s

B s s b s s bb

gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi

Obično je nm

Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne

varijable

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t L y s y s e dsj

Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i

pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )

( )

A sy s

B s može se jednoznačno

rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja

1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s = 1 0

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m

n n

a s a s a A B C

s s s s s s s s s s s s

Pr

2 2 22 2

3 2 2

2

2

1 1 1

( 1) ( )6 1 6 1( )

( 1) ( 1)1 1

1

6

1

1 1 3 4

1 3 4( )

( 1) ( 1)

1 3 4( ) ( 1

( 1) ( 1)

A s B s s C s ss s s s A B CF s

s s s s ss s s s

s A B C s B C A

s s

A B C

B C

A A B C

F ss s s

f t L L Ls s s

3 4 )t te e

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

15

2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )( )

( )

A sy s

B s =

1 0 1 2 1 2

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m

m k l

k l k l

a s a s a A BA A B B

s s s s s s s s s s s s s s s s

Pr

31 1 2

3 2 3 2 3

1 1 1 1 2

2 3

1 1 1 1 2( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 2( ) ( 1 )

( 1) ( 1) ( 1)

t t t

BA B BsF s

s s s s s s s s s s

f t L L L L e t e t es s s s

3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena

Rastavljanje se vrši na slijedeći način

( )

( )

A s

B s= 1

1 1

1 0 1 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

mkm

k k

Aa s a s a A A D s E

s s s c s d s s s s s s s c s d

= 1

1

1 2

2 2

1 1 1

( ) ( )

k

k

AA A Ds E

s s s s s s s c s d

Pr 2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

s A Ds E

s s s s s s

2

3 2 2

3 2 1 2 3( )

2 2 1 1 1

s sF s

s s s s s s

4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena

1 0

2

1

( )

( ) ( ) ( )

m

m

k l

a s a s aA s

B s s s s c s d

= 1

1

A

s s+ 2

2

1( )

A

s s+ +

1( )

k

k

A

s s + 1 1 2 2

2 2 2 2

( ) ( )

l l

l

D s ED s E D s E

s c s d s c s d s c s d

Pr 2

2 2

5 4 16

( 3)( 1) 3

s s A

s s s s

1 1

2 1

D s E

s s

2 2

2 2( 1)

D s E

s s

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

16

Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i

napon izvora 15 V

Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti

( )

( )

1( ) ( ) ( )

diu t L i R

dt

diU S t L i R

dt

U L s i s R i s i s R L ss

1

( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi

1( )

1 1( )

1

1 1( )

1

U L s i s i R i ss

Ui s

s R L s

Ui s

LR ss

R

i s Is T s

gdje je 5

05 10

LT s

R vremenska konstanta

VsL AT s

VR

A

Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi

1 1

( )1

Ui s

R s T s

Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)

t=0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

17

1 2

1 1 1 1 1 1( )

11

U U U A Bi s

R s T s R T s R T s s s ss

T

s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)

2 1

1 2

1 2

( )1 1

1 ( )( )

10

A B s As BsU

R s T s s s s s

s sT

Treba odrediti koeficijente A i B

10 ( ) 0 1

A B A BT

A T B T

1 2

05

1 1 1 1 1 1 1( )

1 11

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

tt

T

U U U A B U T Ti s

R s T s R T s R T s s s s R T ss s

T T

U

R ss

T

Ui t e e

R

0 05 1 15 2 25 3 35 40

05

1

15

t(s)

i(t)

A

T

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

18

Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S

ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator

1

1

01 1( )

1( )

1 1

U S t i t R i t dtC

i s iUi s R i s R

s C s s sC

U U Ci s

s s RCR

sC

01

1 1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( )

1 1

1 1

1

( ) (1 ) 15 (1 )

c

c

tt t

T Tc

UCU s i s U

sC s RC sC s RC s

U s U Us RCs s T s

U

T ss

T

U t U U e U e e

0 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

t(s)

uc(t)

V

T

U

t=0

U

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

19

Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a

ulazni napon u1= 15 S(t) V

1 1

1 1

1 21 2

1 1 1 12 1 1

1 2 1 2 2

1 1 2 1 2

1 11 1 1 12

2 2

1515 ( )

( )1 ( ) 1

1 11( )

( ) 1 ( ) 1 1

008 ( ) 048

1

1

u t S t u ss

u s u s sCi s

R R sCR R

sC

u s sC s R C U sTu t R u s

R R sC sC R R sC s sT

T R C s T R R C s

sU sT U T

u t L Ls sT s T

2 1 1

11 1 11

2

2 2

1 11 1 1 2 11 1 1

2 2 1 2

2 2

1 1

1

1 1

1

1 11 1

1 1

t t t t

T T T

sT T T

U LT s

s sT T

T T T T TU L L U U

T s T T Ts s

T T

e e e

2

008 0482 15 1 0167

T

t t

u t

e

e e

u1(t) u2(t)

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

20

0 05 1 15 2 25 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(s)

u2(t

)

V

Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ

C= 1 μF a ulazni napon ima oblik

a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V

b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V

a) 06

1 1

15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e

s s

u1(t) u2(t)

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

21

1 061 12 1

06 06 061 1 1 1 1 12

1 1( )

1 1 1

1 1 1 1( )

1 1 11( )

01

s

s s s

u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e

s RC sRC s sR

s C

U U U U U Uu s sT e T e e

s T s s s s s sT s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema

01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)

t tt t

T T

o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

5

10

15

u1(t

)

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18

-15-12-9-6

-3036

9121518

t(s)

u1(t

)

V

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

22

b)

06

1 1 2 2

15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e

s s

06 061 1 1 12 1 2 2

012 1 1

( ) ( )1 1 11

01

( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1

s s

tt t

T T

U U U UsT su s u s e e

s T s ss s s s s

T T T

T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi

u t U e S t U e S t e

01( ) 15 1 ( 06)

t

S t e S t

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u1(t

)

V

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140

02

04

06

08

1

12

14

16

t(s)

u2(t

)

V

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

23

Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku

zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S

R=100 Ω

L=1 H

C=100 microF

24 V

S

U1(t)

i(t)

R

sL

24 V

S

U1(s)

i(s)1

sC

11 2

11

RCsLCs

sUCs

CsLsR

sUsi

Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj

strukturi (istom RLC krugu)

a) Napon na otporniku

LCL

Rss

sURCs

LCs

U

RCsLCs

sURCsRsiU R 1

1

1 2

11

2

1

U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)

22

1

2

11

2

1

211nn

Rss

s

L

R

s

U

LCL

Rss

sUs

L

R

s

U

RCsLCs

sURCsRsiU

4

6

2 10101001

11

LCn

1

1002

L

Rn

n=100 rads 502

100

n

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

24

Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje

UR(t) =

)tsin(e n

t

n

n 2

21

1

1

1

10024

= 24 middot 100 middot 05100 2

2

1sin(100 1 05 )

100 1 05

te t

=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)

b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina

b1) UL(s) = U1 (s) 1 2

1( )

1 1

sLsL U s

s LC sRCR sL

sC sC

= 2

11 12 2 2

2 11 2 n n

U s LC s sU U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

= U1 s F (s)

UL (t) = U1

dt

ƒ(t))(d

F(s) = 4222 10100502

1

2

1

sssLCs nn

Iz tablica izraz 15

ƒ(t) = )tsin(e n

t

n

n

2

21

1

1

= )tsin(e

t

750100750100

1 50

UL(t) = )tsin(edt

d

t

6868660100

24 50

= 686)686cos(686sin508660100

24 5050

tete tt

= 8660100

24

)sin(costsintcose t 906865068668650

= 8660100

24

)686sin(50 te t

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

25

Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije

1 2 2 2

2 2

1 2 1 2 2 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( ) sin( )

2 cos( )

866 50 749956 2500 10000 100

sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173

cos cos 866cos90 50cos0 50

A t A t A t

A A A A A

A

A Atg arctg

A A

rješenja su kut

50

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 )

3

t

L

ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

u t e t

b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)

2 21

2 2

2 2 2

2

2

( )sin( )

( )

(1 )

0

1 1arccos arccos

1

at

n

n

s z z aL e t

s a z a

arctgz a

a

z

Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija

xarctgx x arctg

xx

2

11 12 2 2

2 11 2L

n n

U s LC s sU s U U

Rs s LC sRC s ss s

L LC

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

26

Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi

2 2 22

1 2 2

2 2 2 2 22

1 2 2

21

2

50

2 2

( ) (1 )( ) sin( 1 )

(1 )

sin( 1 )(1 )

sin( 1 )1

24sin(866 )

3075

1 1

n

n

n

tn nL n

n

tn n nn

n

t

n

t

n

n

U t U e t

U e t

Ue t

e t

arctg arctg arctg

50 50

075 0866

05 05

173

2 0

3 3

2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866

3

t t

L

arctg

arctg

rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora

jer zavojnica nedopušta protjecanje struje

U t e t e t

)6

c) Napon na kondenzatoru

1 1 2

1 1 2 22

2 1

2 2

1 1 1( ) ( )

1 1

1 1 1 1( ) ( )

1 2

1( )

2

c

n n

c n

n n

U U s U ssC s LC sRC

R sLsC

U s U sRLC LC s s

s sL LC

Uu s

s s s

Iz relacije (17) dobiva se

1

2 2 2

2

1 1 1 1 L sin( )

2

1

arccos

nt

dn nn n d

d n

e ts s s

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0

27

2 2

c 1 2

22

12 2

2 50

12

1 1( ) sin( 1

1 sin( 1 )1

1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )

0751

arccos05 3

3

n

n

n

t

n n

n n d

tn

n

n

t t

n

U t U e t

U e t

U e t e t

Odabire se jer je z

50

0 0

( ) 24[1 116 sin(866 )]3

c

t

c

a taj kut zadovoljenou t V

U t e t

Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici

0 002 004 006 008 01 012 014 016-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

t(s)

Naponi U

RU

LU

c

V

UR

UL

Uc

Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)

Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi

24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u

stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0