Matematik, Modellering och Simulering · Stirlingmotorn 10 LiU Math Presentation.nb ... LiU Math Presentation.nb 23. Hur vet SystemModeler vilken lösare den ska använda? När SystemModeler

Matematik, Modellering och

SimuleringMarkus Dahl, Carl Jönsson

Wolfram MathCore

Översikt◼ Vilka är vi som presenterar?

◼ Wolfram Research med produkter

◼ Modellering och simulering i arbetslivet (Markus)

◼ Algoritmutveckling och matematiken bakom den (Carl)

2 LiU Math Presentation.nb

Vilka är vi?◼ Markus Dahl - Applications Engineer på Wolfram MathCore

◼ Började Yi (tyska) 2010 - Examen 2015

◼ Masterprofil inom Teori, Modellering och Visualisering

◼ Exjobb på MathCore -> Anställning

◼ Carl Jönsson - Software Engineer på Wolfram MathCore

◼ Började Yi (japanska) 2007 - Examen 2012

◼ Masterprofil i Teknisk Matematik

◼ Utvecklar kärnan i Wolfram SystemModeler

LiU Math Presentation.nb 3

Wolfram Research

◼ Huvudkontor i IL, USA.

◼ ~700 anställda världen över

◼ ~20 anställda på Sverigekontoret i Linköping (Wolfram MathCore)

Produkter

◼ Mathematica

◼ Wolfram Alpha

◼ SystemModeler


Mathematica◼ Matematikprogram med symbolhantering

In[1]:=

1

1 - x3ⅆx

Out[1]=

ArcTan 1+2 x

3

3-1

3Log[1 - x] +

1

6Log1 + x + x2

In[2]:= DSolve2 + Cos[x] y'[x] - Sin[x] y[x] ⩵ 4 * Exp[2 x], y[0] ⩵ 4, y[x], x[[1, 1, 2]]

Out[2]=

2 5 + ⅇ2 x

2 + Cos[x]

In[3]:= RevolutionPlot3D[Sqrt[1 + x], {x, 0, 1}, RevolutionAxis → {2, 0, 0}]

Out[3]=

y′′(x) x y(x)

y(0) a, y′(0) b


y(0)

y′(0)

1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

◼ Wolfram Alpha

◼ (Se video)


SystemModeler◼ Modellering- och Simuleringsprogram, utvecklas i Mjärdevi av Wolfram MathCore

◼ Drag-and-drop modellering

◼ Multi-domänt

◼ Baserat på programmeringsspråket Modelica


Modellering och Simulering◼ Vad betyder modellering i detta sammanhang?

◼ Beskrivning av verkligheten

◼ Ett sätt att kommunicera med en dator

◼ Fjäder:

◼ F =k*x

◼ F = kraft, k = styvhet, x = förskjutning

◼ Hur sätter vi ihop den här fjädermodellen med andra modeller?

◼ “Räknar man verkligen matte efter universitetet?”

SystemModeler - Exempel◼ Elektronikmodell

◼ Mekanikmodell


Optimera solfångare◼ Cleanergy - Använder solen för att driva stirlingmotorer


◼ Video

◼ Vilka delar behöver modelleras?

◼ Solen

◼ Ta väderdata från mätningar

◼ Hur faller solens strålar in mot parabolen?

◼ Parabolen

◼ Enkel optik där en liten del absorberas av parabolen, resten reflekteras

◼ Solfångaren

◼ Termodynamik! Värmeöverföring genom konvektion, ledning och strålning.

◼ Behöver även kunna beskriva geometrin för kaviteten

◼ Stirlingmotorn


https://www.youtube.com/watch?v=RGvP4HOiDqg

◼ Termodynamik igen, plus interaktion med reglersystem

◼ Reglersystemet

◼ Reglerteori

◼ Generator

◼ Enklaste fallet: skriv in en uppmätt verkningsgrad


Helikoptermodellering

◼ Vad behöver vi modellera för att få en realistisk helikopterrotor?

◼ Flexibla helikopterblad - Mekanik

◼ Helikopterkropp - Mekanik

◼ Reglersystem för kontroll av motor och vinkel av blad

◼ Hur gör man ett reglersystem till en helikopter på så kort tid som möjligt?

◼ Helikopterbladens interaktion med luft (Stor utmaning!) - Aerodynamik

◼ Detta blev den stora nöten att knäcka..


◼

◼



Matematik och SystemModeler◼ Jag arbetar på SystemModeler-kärnan, typiskt innefattar detta:

◼ Förbättra robusthet och kapabilitet.

◼ Utveckla och vidareutveckla algoritmer som behövs för matematisk behandling av modeller.

◼ Hålla mig uppdaterad med relevant forskning.

◼ SystemModeler-kärnan tar en användardefinierad modell och producerar ett separat simuleringsprogram för modellen.

◼ Först omvandlas modellen till en lista av ekvationer och variabler.

◼ Sen optimeras och sorteras ekvationerna.

◼ Till sist genereras programkod (C++) som kompileras av en vanlig kompilator.

◼ Vilken matematik hanterar SystemModeler? Vad kan användaren skriva in?

◼ Vilken matematik använder SystemModeler internt? Vilken matematik behövs för att omvandla ett stort ekvationssystem till ett datorprogram?


Vilken matematik hanterar SystemModeler?Modeller i SystemModeler är matematiskt sett hybrida differential-algebraiska ekvationssystem

(Hybrid DAE). Detta innebär att man kan ha ekvationer som är:

◼ Differentialekvationer, där derivatan tas med avseende på tiden, exempelvis:

◼dxdt

= αx + βy

◼dydt

= δxy - γy

◼ Algebraiska ekvationer (ekvationer utan derivator i), exempelvis:

◼ x2 + y2 = L2

◼ ϵ = tan(ϕ) - ϕ

◼ Event-ekvationer, ekvationer som triggar på en speciell händelse, exempelvis:

◼ when x > 0 then

y = z^2;

end when;


Hur löser SystemModeler hybrida DAE:er?◼ Differentialekvationer löses oftast med numeriska ODE-lösare. Man beräknar den högsta

derivatan av en variabel och integrerar sedan numeriskt.

◼ ODE-lösaren “håller takten” vid simulering.

◼ Algebriska ekvationer löses antingen symboliskt, med linjära lösare eller med olinjära lösare.

◼ Event-ekvationer löses symboliskt, men här måste man se till att stanna sin ODE-lösare vid rätt tidpunkt.


Hur hanterar SystemModeler stora system?◼ En modell i SystemModeler har ofta väldigt många ekvationer, modeller med över 10 000

ekvationer är vanligt.

◼ Nästan alla intressanta modeller innehåller någon icke-linjär ekvation.

◼ Enkel lösning: Ge alla algebraiska ekvationer till en icke-linjär lösare.

◼ Kan bli väldigt ineffektivt.

◼ Hur kan man behandla modeller mer effektivt?

◼ Vi använder grafteori för att bryta ner systemet i mindre system.


Hur använder SystemModeler grafteori?En graf är en samling av noder,sammanbundna av bågar.

GraphPlot3D[GraphData["Foster056A", "EdgeRules"], Boxed → False]

Vi analyserar en modells ekvationer genom att skapa en nod för varje ekvation och variabel. Vi

skapar en båge mellan en ekvation e och en variabel v om v förekommer i e.

x⨯y + z = 1

x + y = 2

x - y = 2


eg1 = bipartiteGraph[{{1, x}, {1, y}, {1, z}, {2, x}, {2, y}, {3, x}, {3, y}}]

1 x

y

z

2

3

Vi försöker sedan matcha upp ekvationerna med variablerna så att varje ekvation är matchad med

exakt en variabel. Om ekvation e är matchad med variabel v tolkar vi det som att vi ska lösa ekvatio-

nen e för variabeln v.

HighlightGraph[eg1, FindEdgeCover[eg1]]

1 x

y

z

2

3


Graf och matchning för en V6-motorNedanstående graf har ungefär 6800 noder (3400 variabelnoder och 3400 ekvationsnoder). En röd

båge mellan noder betyder att noderna är ett matchat variabel-ekvationspar.

HighlightGraph[bipartiteGraphNoLabels[ev6g], ev6matching]


Ekvationssortering◼ När vi har matchat alla variabler med en ekvation sorterar vi ekvationerna i ordningen de ska

lösas.

◼ Idealt sett vill vi ordna ekvationerna så att man löser en ekvation åt gången och lösa den matchade variabeln symboliskt ur ekvationen.

◼ Detta är inte alltid möjligt, betrakta exempelvis följande system:

x + y = 2

x - y = t

◼ Grafen med en matchning ser ut såhär:

exg = {{1, x}, {1, y}, {2, x}, {2, y}};

g = bipartiteGraph[exg];

HighlightGraph[g, FindEdgeCover[g]]

1 x

y2

◼ Här löser vi ekvation 1 för y, men ekvation 1 kräver att vi vet x, vilken löses ur ekvation 2, som kräver att vi vet x.

◼ Alltså måste ekvationerna 1 och 2 lösas samtidigt.

◼ Vi identifierar dessa system av ekvationer och använder speciella lösare för dem.


Fördelar◼ Om man bryter ner systemet i mindre system blir det mycket enklare att lösa. Istället för att lösa

ett icke-linjärt system med 10 000 ekvationer, löser man massor av små system.

◼ För de flesta modeller får man massor av system med endast en ekvation och ett fåtal system som är större (oftast under 20 ekvationer) som använder speciella lösare.

◼ För V6-motorn får man:

◼ 17 linjära system: 11 med storlek 2, 6 med storlek 8.

◼ 6 olinjära system, samtliga av storlek 9 (ett system för varje cylinder).

◼ Resten av ekvationerna (över 3200) löses en åt gången, symboliskt.


Hur vet SystemModeler vilken lösare den ska använda?◼ När SystemModeler träffar på ett system av flera ekvationer ser den ekvationerna som en

funktion av variablerna den försöker lösa.

◼ Från exemplet tidigare identifierade vi ett system med två ekvationer där vi löser för x och y.

◼ x + y = 2

◼ x - y = t

◼ Vi omvandlar detta till en funktion f (x, y) =x + y - 2x - y - t

och försöker hitta x, y så att f(x, y) = 0.

◼ Vi analyserar systemet genom att beräkna jacobianen.

◼

∂f1

∂x

∂f1

∂y

∂f2

∂x

∂f2

∂y

= 1 11 -1

◼ Vi kan sedan på jacobianen om systemet är tidskonstant linjärt, tidsvariabelt linjärt eller olinjärt.

◼ För tidskonstanta linjära system kan man exempelvis förberäkna en LU-faktorisering för att snabbt lösa systemet när det behövs.

◼ Vårt exempel är tidskonstant linjärt 1 11 -1

x

y =

2t, endast högerledet kan ändras med tiden.

◼ Ett tidsvariabelt linjärt system innehåller variabler som inte är lösningsvariabler för systemet i sin jacobian. För dessa system behöver man lösa systemet med en linjär lösare varje gång.

◼ Exempelvis z ⨯x + y = 1, 2 x + y = 2.

◼ f(x, y) = z ⨯x + y - 12 x + y - 2

◼ Jacobian: z 12 1

◼ z 12 1

x

y =

12, vänsterledet kan ändras med tiden.

◼ Ett olinjärt system innehåller lösningsvariabler i jacobianen. För dessa system använder man speciella lösare som kan ta betydligt mer tid än linjära lösare.

◼ Exempelvis x2 + y = z, 2 x + y2 = 2.

◼ f(x, y) =x2 + y - z

2 x + y2 - 2

◼ Jacobian: 2 x 12 2 y


Documents

Matematik, Modellering och Simulering · Stirlingmotorn 10 LiU Math Presentation.nb ... LiU Math Presentation.nb 23. Hur vet SystemModeler vilken lösare den ska använda? När SystemModeler