matematika - spec · 2005. 11. 13. · Matematika 9-13. speciális matematika tagozat OKI96PÁLMAT 9-12. átdolgozott, az érettségi általános követelményeit, a nyelvi el készít

T A N T E R V

Felvilágosítás a tantervvel kapcsolatban: Országos Közoktatási Intézet Program- és Tantervfejlesztési Központ 1051 Budapest, Dorottya u. 8., Tel: 118-6531 Fax: 118-6584 e-mail: [email protected]

Felvilágosítás a Profil szoftverrel kapcsolatban:

Mentor Informatika Kft. 1015 Budapest, Batthyány u. 14., Tel: 201-3707 Fax: 202 2047 e-mail: [email protected]

Felvilágosítás a tantervek OKI Home Page-en keresztüli elérésér

�l:

Országos Közoktatási Intézet Információs Iroda 9022 Gy� r, Liszt F. u. 40., Tel és Fax: 96/315-844 e-mail: [email protected]

� Matematika

� Matematika 9-13. speciális matematika tagozat - PÁLMAT1-12 -(átdolgozás) � Kidolgozandó � B� vített - az emelt szint� érettségi általános

követelményeit felhasználtuk az átdolgozásnál

Ez a tanterv az Országos Közoktatási Intézet tantervi adatbankjában az

OKI96PÁLMAT1-12 változat alatt szerepl� min� sített átdolgozott változata. E min� sítéssel az Országos Közoktatási Intézet szakmai felel� sséget vállal azért, hogy ez a tanterv az általa megjelölt NAT követelményeknek megfelel. Átdolgozva a kétszint� érettségi rendelet és az új iskolai ped. program alapján 2004. júniusában

Matematika 9-13. speciális matematika tagozat OKI96PÁLMAT 9-12. átdolgozott, az érettségi általános követelményeit, a nyelvi el � készít � évet figyelembe vettük

Részei Matematika 9 3. oldal Matematika 10 11. oldal Matematika 11 21. oldal Matematika 12 32. oldal Matematika 13 44. oldal

Óraszám Iskolai: 1045 óra

Megjegyzés A tanterv készít� i Pálmay Lóránt vezet� -szaktanácsadó FPI, Somfai Zsuzsa gimnáziumi tanár, szaktanácsadó, Budapest, Eötvös J. Gimnázium. Átdolgozta: Békefi Zsuzsa és Katanics Sándorné a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanárai

A 9-13. évfolyamon heti 3 + 5+ 7 + 7 + 7 órára készült a tanterv.

A 9-13. évfolyam figyelembe veszi a kerettanterv valamennyi követelményét. F� témái a kerettantervben megfogalmazott témák (Gondolkodási módszerek; Számtan-algebra; Függvények-sorozatok; Geometria; Valószín� ség-statisztika). Ezen témákat bontottuk altémákra.

A tanterv spirális felépítés� . Az éves összóraszámot egyetlen évfolyamon sem osztottuk szét teljesen az öt témakörnek. Mindenütt id� t biztosítottunk gyakorlásra, az anyag elmélyítésére vagy b� vítésére és az ismétlésre.

Minden évfolyamon azzal indul a tanterv, hogy meghatározza az évfolyamra vonatkozólag a tanítás célját, követelményeit, az el� zményeket, a tartalmat, az értékelést, s a feltételeket. Az egyes témáknál (altémáknál) ezekre történnek visszautalások, illetve els� sorban a cél, a követelmény és a tartalom esetében részletes kifejtések.

Fontosnak tartjuk a kerettantervben is leírt rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelést, a megfelel� szint� problémamegoldást.

A 12-13. évfolyam tananyagának összeállításakor figyelembe vettük az emelt szint� érettségi általános követelményeit. Kell� id� t biztosítottunk a rendszerezésre.

Ajánlás Ezt a tantervet a speciális matematika tagozaton folyó matematika-tanításhoz használjuk. Azon tanulók számára készült, akik a matematika iránt különösen érdekl� d� ek, absztrakciós készségük er� sen fejleszthet� , és a matematikához szorosan kapcsolódó pályára készülnek vagy más tudományág elméleti m� vel� i lesznek.

Tudjuk, hogy a tanulók el� tanulmányaik során nemigen részesültek a kerettanterv alapkövetelményeiben megfogalmazottaknál er� sebb alapképzésben, tehát a 9. évben a matematika módszereinek, a matematikai modellalkotás folyamatának lassú és körültekint� kialakítására, az els� 8 év matematika anyagának új szempontú átismétlésére is szükség van. Ez az ismétlés a leggyakrabban konkrét tartalmak mentén történhet. Általánosításokra, a tételek absztrakt bizonyítására csak nagy körültekintéssel lehet sort keríteni.

matematika 9-13. speciális matematika tagozat

2004. június -2- Lovassy László Gimnázium

Óraszámok évfolyamok 9. 10. 11. 12. 13. óra/hét 3 5 7 7 7 összóraszám 111 185 259 259 231

A 12-13. évfolyamban olyan anyagrészek is szerepelnek (például az analízis elemei, lineáris algebra elemei, gráfelmélet, ábrázoló geometria), melyek a fels� fokon matematikát tanulók számára tanulmányaik indulását megkönnyítik, ezzel természetesen biztosítják az emelt szint� érettségi letételének lehet� ségét.

Cél A tanterv legfontosabb célja a kerettantervben megfogalmazottaknak megfelel� en a rugalmas, fegyelmezett gondolkodásra nevelés, a kreativitás fejlesztése, a tudományos ismeretszerzés módszereinek alkotó módon történ� megismerése. Fontos cél és pozitív motívációs eszköz annak megmutatása, hogy a matematika a kultúrtörténet része, hogy a matematikai ismeretek lehet� vé teszik a világ mélyebb megismerését.Tudós életpályákkal való ismerkedés minta is lehet a tanulók számára saját életpályájuk megválasztásában A matematikai ismeretek alkalmazása, s a megfelel� en fejlett gondolkodás biztosítja több tantárgy megfelel� szint� megértését, tanulását.

A tantervben fontos cél a tevékenységekkel megérlelt fogalmak kialakítása, majd pontos tudása, az életkornak megfelel� matematikai nyelv egyre pontosabb használata.

A leírtak érdekében a gondolkodási módszereknek a matematika minden témakörében folyamatosan kell szerepelniük.

Követelmény

• A tanterv a NAT-ban megjelölt id� szakaszokig a kerettantervkövetelményeinek mindegyikét teljesíti, s� t ez a tanterv ezeken túllép azzal a megkötéssel, hogy a hagyományos 9-10. évfolyami anyagot a 9-11. években tanítja meg.

• A 12-13. évfolyamra írt tantervekben követelmény az ismeretek pontosítása, rendszerezése, összefoglalása s kell� szint� feladatmegoldással az emelt szint� érettségi eredményes letételére való felkészítés, és ezen felül a sikeres fels� fokú tanulmányok folytatásának, a kutatópályák betöltésének el� készítése.

• A 9-11. évfolyamon a minimális teljesítmény a kerettantervben foglaltaknál kevesebb nem lehet, nyilvánvaló, hogy ebben a tantervben többre van szükség. A tantervet használó pedagógus ismerteti a többlet-követelményt a tanulókkal is.

Értékelés Az értékelés módját évfolyamonként adjuk meg.

Feltételek

• A tanterv tanításához a szükséges képesítést a Közoktatási Törvény el� írja. (KT 17.§) • A javasolt taneszközöket évfolyamonként meghatározzuk. • A matematikában használt demonstrációs és tanulói eszközök iskolánkban nagyjából rendelkezésre áll.

Sokfüggvényes zsebszámológépre minden tanulónak is szüksége van. A személyi számítógép használata feltétlenül ajánlott, ezért a gépi hozzáférés lehet� ségeit a tanárok számára b� víteni szükséges a munltimédiás eszközök is bevonulhatnak a tanórákra.

• Fontosnak tartjuk a jól megválasztott tankönyvet, igényes feladatgy� jteményeket és a KÖMAL és a KÖMAL-CD használatát.



Matematika 9 Spec.mat

Részei Az els� 8 évfolyam matematika anyagának rendszerez� feldolgozása Halmazok, a logika elemei Kombinatorika Algebrai kifejezések Számelmélet Egyenletek, egyenl� tlenségek Függvények Alakzatok, geometriai mértékek Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések


Tanítási ciklus: 3 óra / 1 hét

Cél

• A kreatív gondolkodás er� sítése, a tehetséges, érdekl� d� tanulók fejlesztése. • Mivel a tanulók különböz� iskolákból érkeztek, a legfontosabb cél a közös munka elkezdéséhez a közös

szóhasználat kialakítása, a tanult ismeretek együttes átismétlése, az esetleges hiányok pótlása. • A tanév folyamán megmutatjuk a matematika különböz� területeinek összekapcsolódását, fejlesztend� a

bizonyítási igény, a szemléletes fogalmak helyét egyre inkább a definiált fogalmak veszik át. Fontos a természettudományos tantárgyakkal, a társadalomtudományokkal illetve különböz� m� veltségi területekkel való koncentráció.

• Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok: − az eddigi halmazelméleti ismeretek rendszerezése, összekapcsolásuk logikai m� veletekkel, − egyszer� paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elsajátítása, − a matematika sokszín� ségének megmutatása a számelméleti problémák kapcsán, − a függvényszemlélet fejlesztése, − a síkidomokkal kapcsolatos ismeretek rendszerezése, az euklideszi szerkesztés fogalmának megértetése, − megismerkedés a KÖMAL c. folyóirattal, bekapcsolódás az éves pontversenyekben. − a tanulók felkészítése az Arany Dániel verenyre.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani egyszer� paraméteres egyenleteket, lineáris egyenletrendszereket, algebrai törtes,

egyszer� abszolútértékes egyenleteket; • oszthatósági szabályok és algebrai azonosságok alkalmazásával tudjon megoldani oszthatósági feladatokat; • tudja alkalmazni a megismert függvényeket egyenletek, egyenl� tlenségek megoldásában, • szöveges problémákhoz találja meg a megfelel� modellt • ismerje a megvizsgált háromszögek, négyszögek tulajdonságait, tudja ezeket alkalmazni szerkesztési és

bizonyítási feladatokban; • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát; • ismerkedjen a szaktudomány módszereivel, tudatosan használja a szaknyelvet (definíciók, tételek

kimondása, jelölések, tanult tételek bizonyításának pontos ismerete) • ismerje a feldolgozott matematikai anyag kutúrtörténeti szerepét, ismerjen néhány tudósi életpályát.

El � zmény A NAT 8 évfolyamra megfogalmazott követelményei.



Tartalom A tanév anyagát - a NAT témaköreit követve - altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását az éves tanmenetek tartalmazzák.

T a n a n y a g b e o s z t á s : I. Az els� 8 évfolyam mat. anyagának 24 óra rendszerez� feldolgozása. (10 óra) . Gondolkodási módszerek:

1.Halmazok ,a logika elemei (4 óra) 2.Kombinatorika (10 óra)

II. Algebra: 30 óra

1.Algebrai kifejezések (10 óra) 2.Számelmélet (10 óra) 3.Egyenletek, egyenl� tlenségek (10 óra)

III. Függvények: 21 óra IV. Geometria: 18 óra

Alakzatok, geometriai mértékek VI. Rendszerezés, kiegészítések 10 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 8 óra

Értékelés

• A tanulók tanórai munkájának folyamatos értékelése, házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérések.

• A tanév folyamán négy alkalommal témazáró dolgozat 1 órás id� tartamban, a tanár által összeállított feladatlappal. Ezek id� pontját, témáját a választott tanítási sorrend szabja meg.

• A tanév folyamán egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek

• A kilencedik évfolyamon egy középiskolai matematika szakos tanár, aki minden tanulót tanít csoportbontásban.

• A tanulóknak:

tankönyv: Sokszín� matematika 9. osztály MS-2309 Matematikai feladatgy� jtemény I.-II. kötet - NTK 13135/I. - II. Geometriai feladatgy� jtemény - NTK 10127/I.- II. Négyjegy� függvénytáblázatok - NTK 13129/1. • Füzetek, körz� , vonalzók, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL. • A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, tovább tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,

KÖMAL, KÖMAL-CD, színes kréta, írásvetít� fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramokkal, számítógépes INTERNET-hozzáférés, projektor, videókazetták, lehet� ség feladatlapok sokszorosítására.



Az els 8 évfolyam matematika anyagának rendszerez feldolgozása

Halmazok, a logika elemei Kombinatorika 9.1s. m


Cél

• A különböz� iskolákból jöv� tanulók tudásszintjének "bemérése". • A racionális számkör és az alapm� veletek tisztázása. • A tanult tételek többféle megfogalmazása. • Geometriai alapismeretek, alapszerkesztések felfrissítése. • Ismerkedés a bizonyítási módszerekkel. • A definíció fogalmának tudatosabb használata. • A matematikai jelölések egységesítése. • A halmazokkal kapcsolatos eddigi ismeretek rendszerezése • A kombinatorikus szemlélet fejlesztése

Követelmény A tanuló • Biztosan tudja alkalmazni a kerettanterv 8. évfolyam végéig megadott szaktárgyi követelményeit. • Ismerje a részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz, halmazok metszetének, uniójának, , két halmaz

különbségének szemléletes fogalmát, a metszet és a logikai "és", valamint az unió és a megenged� "vagy" megfelelését.

• Tudja a fenti fogalmakat többféle módon is jelölni, ismerje a Venn-diagramos bizonyítási módot. • Részhalmaz, valódi részhalmaz, üres halmaz szemléletes fogalma. • Halmazok metszete, uniója, két halmaz különbsége. Ezen fogalmak és halmazm� veletek szemléletes

alkalmazása különböz� feladatokban, kapcsolatuk a konjunkcióval és a diszjunkcióval. Venn-diagramos megjelenítés.

• Véges halmazok számossága és ekvivalenciája. • A szakszer� definíció jellemz� i, példák hibás definícióra. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció – csak ajánlott! ) • Ismerje fel konkrét esetekben egy véges halmaz elemeinek különböz� összeszámlálási, kiválasztási

lehet� ségeit. • Legyen képes az alkalmazott megoldási módszer helyességének bizonyítására.

El � zmény A kerettanterv követelményei a 8. évfolyamon.Az alábbi tartalmi követelmények ismétlés szinten értend� k!

Tartalom

• A szakszer� definíció jellemz� i, példák hibás definícióra. • A helyes bizonyítás jellemz� i, hibás bizonyítások javítása. • Ismerkedés bizonyítási módszerekkel (direkt, indirekt, teljes indukció – ez csak ajánlott! ). • Algebrai alapismeretek, egyenletmegoldási technikák. • Függvénytani alapismeretek, ábrázolás a koordinátarendszerben. • Egyenl� tlenségek megoldásának különböz� módszerei. • Geometriai alapszerkesztések, alapvet� mértani helyek. • A háromszög és négyszögr� l tanultak összegy� jtése. • A természetes, az egész, a racionális, az irracionális, a valós számok fogalma, m� veleti alaptulajdonságok,

tizedestört alak. • n különböz� elem összes lehetséges sorrendje n!

• Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk – feladatokon keresztül.



• Ismerkedés a Pascal-háromszöggel.

• Kombinatorikus geometriai feladatok( metszéspontok, tartományok száma, kis n esetén) .

• A skatulyaelv egyszer� bb alkalmazása.

Értékelés A házi feladatok részletes megbeszélése, szóbeli és írásbeli számonkérés.

Algebrai kifejezések 9.2a spec. mat.


Cél

• Nevezetes azonosságok megismerése • A matematikai gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése.

Követelmény A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett m� veletek során és

feladatokban.

El � zmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az algebrai kifejezések témában.

Tartalom

• Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése.

• ( ) ( )32 ; baba ±± .

• ;;; 443322 bababa −−− .33 ba +

• M � veletek egyszer� bb algebrai törtekkel.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, értékelése, a tanult bizonyítások számonkérése, írásbeli ellen� rzés.

Számelmélet 9.2b spec.mat


Cél

• Számelméleti problémák matematikatörténeti érdekességeinek bemutatása; • Gondolatmenetek pontos leírásának fejlesztése. • A számírás és a számfogalom fejl� désének ismerete.

Követelmény A tanuló • ismerje és tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat számelméleti feladatokban, • tudjon megoldani oszthatósági feladatokat, • ismerje a különböz� alapú számrendszereket. • ismerje az euklidesi algoritmust.



• ismerje a számírás és a számfogalom fejl� dését, a négy alapm� velet kialakulási módját.

El � zmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az algebrai kifejezések és a számelmélet témákban.

Tartalom

• Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése • Prímszámok száma, a prímszámok eloszlása, ikerprímek. • Az oszthatóság fogalma, az összetett és a prímszám. • Primszámkeres� eljárások. Euklideszi algoritmus. • A számelmélet alaptétele. • Osztók számának meghatározása, osztók összege, tökéletes számok. • Különböz� alapú számrendszerek, a kettes alapú számrendszer fontossága. • Oszthatósági szabályok különböz� alapú számrendszerekben (csak egyszer� bb esetekben, feladatokon

keresztül, versenyfeladatok is, bizonyítás csak egyszer� bb esetben!). • Alapm� veletek a különböz� számrendszerekben.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, értékelése, a tanult bizonyítások számonkérése, írásbeli ellen� rzés.

Egyenletek, egyenl tlenségek 9.2c spec.mat


Cél

• A különböz� egyenletek és egyenletrendszerek megoldásával igyekszünk elérni, hogy ezeket az ismereteket a matematika további tanulmányozása során alkalmazni és kib� víteni lehessen.

• Az egyszer� bb egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával is fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, er� sítjük az önellen� rzés igényét és a diszkusszióskészséget.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani els� fokú egyszer� bb paraméteres egyenletet, • készség szinten tudjon megoldani kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ismerje a megoldások

számának különböz� lehet� ségeit, • tudjon megoldani többismeretlenes lineáris egyenletrendszert, egyszer� bb algebrai törtet tartalmazó

egyenletet, legfeljebb két abszolútértéket tartalmazó egyenletet, • tudjon megoldani egyszer� bb egyenl� tlenséget algebrai és grafikus módszerrel.

El � zmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei az egyenletmegoldás, függvények témákból.

Tartalom

• Paraméteres lineáris egyenletek megoldása (szöveges feladat is). • Algebrai törtet tartalmazó egyenletek, egyenl� tlenségek megoldása. • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Egyszer� bb (legfeljebb két ) abszolútértéket tartalmazó egyenletek megoldása.



Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, értékelése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a témából.

Függvények 9.3 spec.mat


Cél

• A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a függvényszemlélet fejlesztése.

• A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának tudatosítása egyszer� bb esetekben csak! (A geo. trafó csak a következ� évben tananyag!)

• A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a rugalmas gondolkodás fejlesztése.

Követelmény A tanuló • legyen képes az els� 8 évben megismert alapfüggvények grafikonját (esetleg egyszer� bb transzformáltjait)

ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,

egyenl� tlenségek megoldásában, egyszer� bb fizikai folyamatok, egyéb természeti jelenségek leírásában.

El � zmény A kerettanterv 8. évfolyamon megfogalmazott követelményei a függvények témakörben.

Tartalom

• A függvény fogalmának és elemi tulajdonságaik átismétlése. • Az els� fokú-, másodfokú-, abszolútértékes-, egészrész és törtrész függvények, lineáris törtfüggvények,

grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Ismerkedés a monotonitás,-a széls� értékek, a korlátosság fogalmával. • Ismerkedés az összetett függvény fogalmával. • Egyenletek grafikus megoldása. • Egyszer� bb egyenl� tlenségek grafikus megoldása. • Kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, szóbeli és írásbeli számonkérés.



Alakzatok, geometriai mértékek 9.4 spec.mat


Cél A geometriai alapismeretek rendszerezése, pontosítása

A tétel és megfordítása közti kapcsolat megértetése,

A bizonyítási készség további fejlesztése, diszkussziós készség fejlesztése a szerkesztési feladatok kapcsán.

Követelmény A tanuló • ismerjen mértani helyként is megfogalmazható alapvet� ponthalmazokat ( szögfelez� k, oldalfelez�

mer� leges, parabola, ellipszis, , hiperbola, látókörív-alakzat, Thalesz-kör és Thalesz-gömb). • tudja halmazokba rendezni a megismert speciális négyszögeket, lássa kapcsolatukat, • ismerje és tudja bizonyítani a háromszögek nevezetes vonalaira, pontjaira vonatkozó tételeket, tudja ezeket

alkalmazni bizonyítási és szerkesztési feladatokban, • ismerje a háromszög nevezetes köreit,azok sugarainak hosszát tudja számítani az oldalak ismeretében, • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát, a szerkesztési feladatok megoldási lépéseit, tudjon megoldani

háromszögek, négyszögek szerkesztésére vonatkozó feladatokat. • ismerkedjen a matematikai modellalkotás folyamatáról, foglalkozzon a nem-euklideszi szerkesztések és a

nem-euklideszi geometriák kérdéskörével. • ismerje Bolyai János életét és munkásságát.

El � zmény A kerettanterv 8. osztályos követelményei a geometria témákban.

Tartalom

• A háromszögekre, négyszögekre vonatkozó ismeretek rendszerezése. • Geometriai alapfogalmak, axióma, tétel fogalma. • Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszög hozzáírt körei. • A négyszögek osztályozása, speciális négyszögek kapcsolata. • Az euklideszi szerkesztés. A szerkesztési feladatok lépései. • Nem-euklideszi szerkesztések. • Euklidesz, Thalesz, Pitagorasz, Heron munkássága, koruk m� veltségeszménye. • Bolyai János élete és munkássága.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellen� rzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése



Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 9.5 spec.m at.


Cél A tanév folyamán megismert legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások összefoglalása, az egyes altémák közötti kapcsolatok megmutatása.

Követelmény A tanuló • legyen képes a tanév folyamán tanított matematikai ismereteit szóban és írásban megfogalmazni, feladatok

megoldásában alkalmazni.

El � zmény A kerettanterv és a 9. spec. mat. évfolyam egyes altémákhoz megfogalmazott követelményei.

Tartalom

• Több területr� l vett ismeretet igényl� feladatok feldolgozásával a tananyag leghangsúlyosabb részeinek összefoglalása, az esetleges hiányok pótlása.

• Versenyfeladatok megoldása.

Értékelés Az egész tanévben végzett munka (KÖMAL is!) alapján.



Matematika 10 spec.mat

Részei A logika elemei Kombinatorika Számfogalom, m� veletek Egyenletek, egyenl� tlenségek Gyökfüggvények és exponenciális függvények Geometriai transzformációk Alakzatok, geometriai mértékek Statisztika, valószín� ségszámítás Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések



Cél

• A matematikát szeret� , tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehet� ségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböz� bizonyítási módszerek szerepeltetése, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elsajátítása − jártasság különböz� egyenletek, egyenletrendszerek, egyenl� tlenségek megoldásában, − pontos fogalomismeret a hatványozással kapcsolatban, − az egybevágósági transzformációk, a hasonlósági transzformáció és a hasonlóság tulajdonságainak

többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a ponttranszfomáció, mint függvény értelmezése, a függvényszemlélet fejlesztése − statisztikai elemzések elvégzése, a valószin� ségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra

építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését másodfokú egyenleteknél, tudjon megoldani másodfokúra

vezet� különböz� egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenl� tlenséget, • ismerje és tudja alkalmazni az n-edik gyök fogalmát, a racionális törtkitev� j � hatvány fogalmát, az ezekre

vonatkozó azonosságokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • tudja alkalmazni az egybevágósági és hasonlósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot

szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatokban, • ismerje a statisztikai és valószín� ségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket

változatos módon használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához.



El � zmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei.

Tartalom A tanév anyagát - a kerettanterv témaköreit követve altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását a szaktanárokra bízzuk. Ahol célszer� bbnek látszik, a magasabb óraszámú altéma két részre bontva is beilleszthet� a tanítási sorrendbe.

T a n a n y a g b e o s z t á s :

I. Gondolkodási módszerek: 25 óra

1.A logika elemei (5 óra) 2.Kombinatorika (20óra)

II. Algebra: 45 óra 1.Számfogalom, m� veletek (25 óra) 2.Egyenletek, egyenl� tlenségek (20 óra)

III. Függvények: 30 óra 1. Függvények és transzformációik (20 óra) 2. Gyökfüggvények, exponenciális függvények (10 óra)

IV. Geometria: 42 óra 1.Geometriai transzformációk (24óra) 2.Alakzatok, geometriai mértékek (18 óra)

V. Statisztika, valószín� ségszámítás: 25 óra VI. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 8 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 10 óra

Értékelés

• A tanulók tanórai munkájának folyamatos értékelése, házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.

• A tanév folyamán öt alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra id � tartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg. Félévenként egy-egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek

• Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: a 9. évfolyamon megadott könyvek, példatárak mellett az alábbi tankönyvek:

Sokszín� matematika 10. osztály MS-2310 Hajnal- Nemetz- Pintér: Matematika (fakt.B) III.- IV. kötet - NTK 13331/B, 13431/B Nemetz: Valószín� ségszámítás - NTK 13234/IV. ill. TY-007 Pintér : Analízis I.- II. - NTK 13234/V.-13234/XII. ill- TY-005 és TY-006 Ajánlott: Reiman: Fejezetek az elemi geometriából - NTK 13234/IX. ill. TY-009 Pogáts: Vektorok, koordinátageomtria, trigonometria - NTK 13234/XI. ill. TY -010 Reiman: Ábrázoló geometria - NTK 13356 Urbán: Matematikai logika - NTK 13234/VI. ill. TY-011 • Füzetek, körz� , vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL.



• A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetít� fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehet� ség feladatlapok sokszorosítására.

A logika elemei 10.1a spec.mat.


Cél

• A logika nyelvének tudatosabb használata • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció

módszerének elsajátítása.

Követelmény

• A többi altémánál fogalmazódik meg. • Önálló követelmény: a tanuló ismerje és egyszer� bb feladatokban tudja alkalmazni a teljes indukciót.

El � zmény Ezen tanterv követelményei a 9. évfolyamra.

Tartalom

• A skatulyaelv tudatosítása, alkalmazása feladatok megoldásában. • Az indirekt bizonyítás (a többi altémában beépítve jelenik meg). • Esetszétválasztások alkalmazása mint bizonyítási eljárás (a többi altémába beépítve jelenik meg). • A teljes indukció módszere, alkalmazása különböz� témájú feladatok megoldásában.

Értékelés A többi altémánál.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak.

Kombinatorika 10.1b spec.mat.


Cél A matematika szépségének, érdekességének hangsúlyozása.

Véges struktúrák szerkezetének átlátása.

Követelmény A tanuló • ismerje a Pascal-háromszögben elrendezett számok tulajdonságait, ezeket bizonyítani is tudja, • módszeresen számolja össze halmazok összes részhalmazát, • ismerjen az n elem összes részhalmazának a képletének bizonyítására legalább kétféle módszert, • ismerje a négyzetszámok összegének és a köbszámok összegének képletét bizonyítással együtt, • ismerkedjen meg a binomiális tétellel.



El � zmény Ezen tanterv 9. évfolyamon megfogalmazott követelményei kombinatorikából.

Tartalom

• Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk. • A Pascal-háromszög képzési szabályainak azonossága, a binomiális együtthatók tulajdonságai,

szimmetriája, n elem� halmaz összes részhalmazainak összeszámolása, az eredmény képletbe foglalása. • Totózással, lotózással, számjegyek képzésével kapcsolatok kombinatorikus feladatok. • A teljes indukciós bizonyítási módszer alkalmazása • Kombinatorikus problémák a síkban. • Négyzetszámok összege, köbszámok összege. • A Newton-féle binomiális tétel. • További kombinatorikai feladatok, ismétléses kombinációk, a kölcsönösen egyértelm� megfeleltetés

módszere véges halmaz elemeinek megszámlálásához.

Értékelés A házi feladatok részletes megbeszélése, írásbeli és szóbeli feleltetés.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak.

Számfogalom, m veletek 10.2a spec.mat


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. Törtkitev� j � hatvány fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejl� dése.

Követelmény A tanuló • ismerje a valós szám fogalmát, a valós számhalmaz részhalmazait, az irracionális szám fogalmát, • tudja, hogy milyen az irracionális számok tizedestört alakja, • tudja igazolni, hogy létezik irracionális szám, • tudjon bizonyos irracionális mér� számú szakaszt többféle úton is szerkeszteni, • tudja definiálni számok n-edik gyökét, ismerje és tudja alkalmazni a gyökökre vonatkozó azonosságokat, • tudja bizonyítani a négyzetgyökökre vonatkozó azonosságokat, • tudja definiálni pozitív számok racionális kitev� j � hatványát, ismerje és tudja alkalmazni az azonosságokat, A tanuló tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat algebrai törtekkel végzett m� veletek során és

feladatokban.

Tartalom

• Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése.

• ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b± ± ± ±2 3 4 5; ; ; .

• a b a b a b a b2 2 3 3 4 4 5 5− − − −; ; ; ; . . . a bn n− .

• a b a b a b3 3 5 5 7 7+ + +; ; . • M � veletek algebrai törtekkel. • Irracionális számok, a valós szám fogalmának átismételése. Példák irracionális számokra.



• Annak bizonyítása, hogy ha egy pozitív egész nem teljes négyzet, akkor a négyzetgyöke irracionális. • Az irracionális számok tizedestört alakja. A valós számok és a számegyenes. • A négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok ismétlése, bizonyításuk. • Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. • Racionális kitev� j � hatványok fogalma, a hatványozás azonosságai. Az irracionális kitev� j � hatvány

szemléletes fogalma. • A permanencia-elv a hatványozás fogalmának kiterjesztésénél. Monotonitási követelmény.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.

Feltételek A tanévre megfogalmazottak közül az ezen tantárgyszakaszhoz szükségesek.

Egyenletek, egyenl tlenségek 10.2b spec.mat


Cél


• Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, er� sítjük az önellen� rzés igényét és a diszkusszióskészséget.

• A paraméteres egyenletek megoldási módjainak valamint a másodfokú egyenlet megoldóképletének biztos használatával segítjük a különböz� természettudományos tantárgyak tanterveinek megvalósulását is.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani els� fokú paraméteres egyenletet, • készségszinten tudjon megoldani kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ismerje a megoldások

számának különböz� lehet� ségeit, • tudjon megoldani többismeretlenes lineáris egyenletrendszert, algebrai törtet tartalmazó egyenletet,

abszolútértéket tartalmazó egyenletet, • tudjon megoldani egyenl� tlenséget algebrai és grafikus módszerrel, • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lév� kapcsolatot, • ismerje fel, ha magasabbfokú egyenlet megoldását vissza lehet vezetni másodfokúra, és tudja az ilyen

egyenleteket megoldani, • tudjon megoldani másodfokú egyenletrendszereket, másodfokú egyenl� tlenséget, • tudjon megoldani exponenciális egyenleteket, • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellen� rizze, • széls� érték-problémákhoz tudja a célszer� matematikai modellt megtalálni.

El � zmény A kerettanterv és ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatban.

Tartalom

• Paraméteres lineáris egyenletek megoldása (szöveges feladat is). • Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek, új változó bevezetésével megoldható egyenletrendszerek.



• Algebrai törtet tartalmazó egyenletek, egyenl� tlenségek megoldása. • Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Abszolútértéket tartalmazó egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással, a megoldóképlet, a diszkrimináns. • Legfeljebb másodfokúra vezet� szöveges egyenletek. • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenl� tlenséggel kapcsolatos ismeretek b� vítése. • Másodfokúra visszavezethet� egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése,

szöveges feladatokban való alkalmazása. • Másodfokú függvényre visszavezethet� gyakorlati és fizikai széls� érték-problémák megoldása. • A Viete-formulák. Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. • Másodfokúra visszavezethet� magasabbfokú egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok. • Másodfokú egyenl� tlenség megoldása. • Másodfokúra vezet� széls� érték-problémák. • A mértani közép fogalma, n db pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a téma feldolgozása folyamán.


Függvények és transzformációik 10.3a spec.mat


Cél


• A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának elmélyítése • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a

rugalmas gondolkodás fejlesztése.

Követelmény A tanuló • legyen képes az els� 9 évben megismert alapfüggvények grafikonját és transzformáltjait ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • ismerje meg az összetett függvény fogalmát és tudja értelmezni egyszer� bb esetekben; • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,



Tartalom


grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Ismerkedés a monotonitás,-a széls� értékek, a korlátosság fogalmával.



• Ismerkedés az összetett függvény fogalmával. • A geometriai és függvény-transzformációk kapcsolata; • Egyenletek grafikus megoldása. • Egyenl� tlenségek grafikus megoldása. • Kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása.


Gyökfüggvények, exponenciális függvények 10. 3b spec.mat


Követelmény A tanuló • ismerje a pozitív egész kitev� j � hatványfüggvényeket és gyökfüggvényeket, ezek kapcsolatát, • ismerje a különböz� alapú exponenciális függvényeket, grafikonjaikat, elemi tulajdonságaikat, tudja

ábrázolni egyszer� bb transzformáltjaikat. Tudja, hogyan változtatják meg a függvénytranszformációk az alapfüggvény tulajdonságait,

• ismerje fel az alapfüggvényekb� l képzett összetett függvényeket,

El � zmény A kerettanterv és ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a hatványozás, a négyzetgyök és a függvényekkel kapcsolatban, ezen tanterv 10. évfolyamon megfogalmazott követelményei a számfogalom, m� veletek altémában.

Tartalom

• Pozitív egész kitev� j � hatványfüggvények.

• Páros függvény, páratlan függvény fogalma.

• Gyökfüggvények.

• A valós kitev� re értelmezett hatványozás megfogalmazása. Az exponenciális függvény és tulajdonságai.

• Az exponenciális- függvények egyszer� transzformáltjai.

• Az exponenciális egyenletek és egyenl� tlenségek grafikus megoldása.


Feltételek Az egész tanévre vonatkozók közül az ezen tantárgyszakaszhoz szükségesek.



Geometriai transzformációk 10.4a spec mat


Cél Az egybevágósági transzformációkra vonatkozó ismeretek rendszerezése, a transzformációs szemlélet fejlesztése, feladatmegoldásoknál annak tudatosítása, hogyan kereshet� meg a célszer� transzformáció egy probléma megoldásához

Pontos fogalomismeret, a transzformációs szemlélet fejlesztése, a hasonlóság többféle alkalmazási lehet� ségének (szerkesztésben, bizonyításokban, számításos feladatokban) megmutatása.

El � zmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal, alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény A tanuló • legyen képes az egybevágósági transzformációkat függvényként értelmezni, • ismerje a tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás és az eltolás tulajdonságait,

tudja ezeket alkalmazni szerkesztési és bizonyítási feladatok megoldásánál, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdnságait • ismerje a középpontos hasonlóság, a hasonlósági transzformáció fogalmát, a transzformáció tulajdonságait, • tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként

megtanult tételeket, • legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetev� kre, ismerje a vektorfelbontás egyértelm� ségére

vonatkozó tételt.

El � zmény a NAT alapján az el� z� évek követelményei a geometriai transzformációk témakörben.

Tartalom

• A ponttranszformáció mint függvény. Az egybevágósági transzformáció. • A tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pont körüli elforgatás, az eltolás tulajdonságai. • Egybevágósági transzformációk szorzata. • Az egybevágósági transzformációk el� állítása tengelyes tükrözések szorzataként. • Az egybevágósági transzformációk alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. • A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Párhuzamos szel� k tétele és bizonyítása a kétoldali közelítés módszerével. Párhuzamos szel� k tételének

megfordítása. A párhuzamos szel� darabok tétele. • A középpontos hasonlóság fogalma, tulajdonságai. Szerkesztési feladatok. • A hasonlósági transzformáció fogalma, alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának alapesetei. • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai



Geometriai alakzatok, mértékek 10.4b spec mat


Cél

• A szögmérés további módjának bemutatása, • A tétel és megfordítása közti kapcsolat megértetése, • A bizonyítási készség további fejlesztése, diszkussziós készség fejlesztése a szerkesztési feladatok

kapcsán

El � zmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 9. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal, alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény

• ismerje az ívmérték fogalmát, a kör részeinek kerület- és területszámítási módját, • ismerje, tudja bizonyítani és alkalmazni a kerületi és középponti szögek tételét és megfordítását, a

húrnégyszögek tételét, az érint� négyszögek tételét, ismerje a húrnégyszögtétel és az érint� négyszögek tételének megfordítását,

• ismerje a háromszög nevezetes köreit,azok sugarainak hosszát tudja számítani az oldalak ismeretében, • ismerje az euklideszi szerkesztés fogalmát, a szerkesztési feladatok megoldási lépéseit, tudjon megoldani

háromszögek, négyszögek szerkesztésére vonatkozó feladatokat. • ismerkedjen a matematikai modellalkotás folyamatáról, foglalkozzon a nem-euklideszi szerkesztések és a

nem-euklideszi geometriák kérdéskörével. • ismerje Bolyai János életét és munkásságát.

Tartalom

• A forgásszög fogalma, a szög ívmértéke. Körív hossza, a körcikk területének meghatározása. • A kerületi és középponti szögek tétele, a látószögkörív mint mértani hely. • A húrnégyszög tétele és megfordítása, az érint� négyszög tétele és megfordítása. • A háromszögekre, négyszögekre vonatkozó ismeretek rendszerezése. Geometriai alapfogalmak, axióma,

tétel fogalma. • Az euklideszi szerkesztés. A szerkesztési feladatok lépései. • Nem-euklideszi szerkesztések. • Euklidesz, Thalesz, Pitagorasz, Heron munkássága, koruk m� veltségeszménye. • Bolyai János élete és munkássága.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellen� rzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése.



Valószín ség, statisztika 10.5 spec.mat.


Cél Statisztikai adatok összegy� jtése és az adatok jellemzése matematikai módszerekkel. A valószín� ség szemléletes fogalmának kialakítása valószín� ségi kísérletek elvégzése alapján. A valószín� ség matematikai fogalmának kiépítése. A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására.

Követelmény A tanulók • ismerjék a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvet� bb mutatókat (módus, medián, átlag,

szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás-függvény), • ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait: a biztos esemény,a lehetetlen esemény, az ellentett esemény

fogalmát, az összeg és szorzatesemény fogalmát, a kizáró események fogalmát , • ismerjék az eseményalgebra alapazonosságait (kommutativitás, asszociativitás, kétféle disztrubutivitás, De

Morgan azonosságok), • tudjanak egyszer� eseményalgebrai azonosságokat igazolni, • ismerjék meg az események valószín� ségének fogalmát, • tudjanak kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat, • tudják alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószín� ségének kiszámítására,

El � zmény A 9. évfolyam követelményei a kombinatorikából.

Tartalom

• Változatos statisztikai adatgy� jtés (pl. iskola tanulóinak magassága, lábbeli mérete, születési hónapja, keresztneve, születési helye stb.), majd az adatok elrendezése: hisztogram készítés, módus, medián, átlag, szórás meghatározása.

• A szórás és átlag szerepe a számsokaság jellemzésénél.

• Az eseményalgebra fogalmainak megismerése, az azonosságok bizonyítása.

• Az algebrai struktúra összevetése a valós számok (egész számok) algebrájával, a halmazalgebrával.

• Változatos valószin� ségi kísérletek elvégzése ( egyenletes eloszlás, együttes eloszlás, bimoniális, geometriai, hipergeometriai eloszlású valószin� ségi változóra, ismert p és ismeretlen p, bet� el� fordulás, titkosírásfejtés)

• A kísérletek statisztikai elemzése, módus, medián, átlag, szórás. Eloszlásgörbék.

• Eseményekhez tartozó relatív gyakoriságok változása a kísérletszám függvényében, a k

n érték stabilitása.

• A valószín� ség fogalma mint mérték.

• A valószín� ség kiszámítása bizonyos esetekben kombinatorikus módszerrel.

• A lottó, a totó telitalálatának valószín� sége.



Értékelés A házi feladatok alapos megbeszélése, szóbeli számonkérés a téma elején inkább az önként vállalkozó tanulókkal. Az iskolai közös kísérletek részletes megbeszélése a "játékmesterek" elemzése alapján.

Feltételek Az évfolyamra megfogalmazottak mellett az egyes kísérletekhez kocka, kártya, könyv, újság, pénzérme, az adatok ábrázolásához milliméter papír, számítógépes grafika.

Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 10.6 spec. mat


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböz� témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdekl� désének, helyzetének megfelel� en.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthet� megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.

El � zmény A kerettanterv és ezen tanterv 10. évfolyamán az egyes altémáknál megfogalmazott követelmények.

Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.

Értékelés A végs� értékeléshez a tanuló ismétlésnél nyújtott teljesítményét és egész évi munkáját együtt tegyük mérlegre.


Részei A logika elemei Kombinatorika Számfogalom, m� veletek, algebrai ismeretek Egyenletek, egyenl� tlenségek Logaritmusfüggvények és szögfüggvények Alakzatok, geometriai mértékek Statisztika, valószín� ségszámítás Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések





Cél

• A matematikát szeret� , tehetséges tanulók tudásának továbbfejlesztése. • A valós számkör építésének teljesebbé tétele, a függvényszemlélet továbbfejlesztése újonnan megismert

függvények és függvénytulajdonságok alapján, a matematika további alkalmazási lehet� ségeinek megmutatása.

• A tanulók felkészítése a KÖMAL pontversenyére és az Arany Dániel matematika versenyre. • Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok:

− különböz� bizonyítási módszerek szerepeltetése, − paraméteres egyenletek, kifejezések használatának elmélyítése − jártasság különböz� egyenletek, egyenletrendszerek, egyenl� tlenségek megoldásában, − alapismeretek a egész együtthatós polinomok elméletéb� l − pontos fogalomismeret a logaritmussal és a szögfüggvényekkel kapcsolatban − a korlátosság és a monotonitás fogalma, az analizis fogalmainak el� készítése − a hasonlóság tulajdonságainak többféle alkalmazása (szerkesztésben, bizonyításban, számításokban) − a függvényszemlélet fejlesztése, inverz függvények, szögfüggvények − ismerje a periodicitás fogalmát, ennek következményeit a trigonometrikus egyenletek megoldásában − térgeometriai ismeretek, térszemlélet fejlesztése − statisztikai elemzések elvégzése, a valószin� ségszámítási alapfogalmak, kombinatorikus gondolkodásra

építve.

Követelmény A tanuló • ismerje a direkt és indirekt bizonyítást, a skatulyaelvet, a teljes indukciót, • tudja megkülönböztetni, helyesen alkalmazni a tételeket és megfordításukat, • ismerje a gyökök és együtthatók összefüggését magasabbfokú egyenleteknél, tudjon megoldani

másodfokúra vezet� különböz� egyenleteket, egyenletrendszereket, egyenl� tlenséget • ismerjen szorzattábontási technikákat, • ismerje és tudja alkalmazni logaritmus fogalmát, az ezekre vonatkozó azonosságokat, számolási eljárásokat, • tudja alkalmazni a megismert függvénytranszformációkat, megállapítani a transzformált függvények

tulajdonságait; • ismerje a korlátosság és monotonitás fogalmát, tudja eldönteni és igazolni ezeket a tulajdonságokat; • tudja alkalmazni az egybevágósági és hasonlósági transzformációkat, az egybevágóságot és a hasonlóságot

szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatokban, • ismerje az alapvet� testek geometriai összefüggéseit, tudjon számításokat végezni (távolság,

szögmeghatározás) • ismerje az öt szabályos testet • ismerje a statisztikai és valószín� ségszámítási alapfogalmakat, és tudja a kombinatorikai eszközöket

változatos módon használni véges halmaz elemeinek megszámlálásához.

El � zmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei.

Tartalom A tanév anyagát - a kerettanterv témaköreit követve altémákra osztottuk. A leírt sorrend nem jelent tanítási sorrendet, az egyes altémák tanítási sorrendjének összeállítását a szaktanárokra bízzuk. Ahol célszer� bbnek látszik, a magasabb óraszámú altéma két részre bontva is beilleszthet� a tanítási sorrendbe.

T a n a n y a g b e o s z t á s :

I. Gondolkodási módszerek: 35 óra

1.A logika elemei (13 óra) 2.Kombinatorika (22óra)

II. Algebra: 60 óra



1.Logaritmus, polinomok (25 óra) 2.Egyenletek, egyenl� tlenségek (35 óra)

III. Függvények: 45 óra 1. Logaritmusfüggvény, összetett függvények (25 óra) 2. Szögfüggvények és transzformációik (20 óra)

IV. Geometria: 66 óra 1.A hasonlóság alkalmazása (20 óra) 2.Trigonometria (24 óra) 3.Alakzatok, geometriai mértékek a térben (22 óra)

V. Statisztika, valószín� ségszámítás: 25 óra VI. Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések: 14 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 14 óra

Értékelés

• A tanulók tanórai munkájának folyamatos értékelése, házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.

• A tanév folyamán hat alkalommal témazáró felmérés a szaktanár által összeállított feladatlappal, 1-2 óra id � tartamban. Ezeknek helyét a tanítási sorrend szabja meg. Félévenként egy-egy házi dolgozat a tanmenetben rögzített témából.

Feltételek

• Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: a 10. évfolyamon megadott könyvek, példatárak mellett az alábbi tankönyvek:

Sokszín� matematika 11. osztály MS-2311 Ajánlott: Egységes érettségi feladatgy� jtemény I-II. ( KT-0320, KT -0321)

• Füzetek, körz� , vonalzók, függvénytáblázat, sokfüggvényes zsebszámológép, KÖMAL. • A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok,

KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetít� fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehet� ség feladatlapok sokszorosítására.

A logika elemei 11.1 spec.mat.


Cél

• A logika nyelvének tudatosabb használata • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció

módszerének biztos alkalmazása • M � veletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” m� veletek tudatos alkalmazása • A tétel és megfordítása logikai értékének egyezése illetve különböz� sége • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása.

Követelmény

• A többi altémánál fogalmazódik meg.



• Önálló követelmény: a tanuló ismerje és egyszer� bb feladatokban tudja alkalmazni matematikai logika elemi összefüggéseit.

El � zmény Ezen tanterv követelményei a 10. évfolyamra.

Tartalom

• A skatulyaelv tudatosítása, alkalmazása feladatok megoldásában. • Az indirekt bizonyítás és más bizonyítási módszerek összegy� jtése • A logika nyelvének tudatosabb használata: az itéletfogalma, a logikai értékek definiciója • A eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek feltárása, a teljes indukció módszerének

biztos alkalmazása • M � veletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” m� veletek • A tétel és megfordítása a matematika különböz� területeir� l összegy� jtve • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása – feladatokon keresztül (számelméleti, geometriai,

kombinatorikus problémák). • Megoldatlan problémák a tanórán, az iskolai ,matematikában, a matematika történetében.

Kombinatorika, gráfok 11.2 spec.mat


Cél

• A kombinatorika feladataival és módszereivel a probléma felismer� és megoldó képesség fejlesztése. a feladatokkal a matematika használhatóságának és érdekes voltának megmutatása. Az ismeretek, a feladatok megérésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra, pontosságra, kreativitásra, konstruktivitásra nevelés.

• A permutáció, variáció, kombináció fogalmainak átismétlése, alkalmazásuk összetettebb feladatokban is. Változatos színezési feladatokkal a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése. A binomiális tétel szerepének megmutatása különböz� alkalmazásokban.

• Gráfokkal kapcsolatos alapismeretek kialakítása, s azok felhasználása modellalkotásra a matematika különböz� területein.

Követelmény

• Ismerjék fel a permutáció, variáció, kombináció fogalmát (ún. ismétlés nélküli és ismétléses esetek), a binomiális tételt. Összetettebb feladatokban is tudják ezeket alkalmazni (konstruktív jelleg� feladatokban is, pl. futball bajnokság fordulóinak tervezése). Tudjanak kombinatorikus geometriai és színezési feladatokat megoldani.

• Ismerjék a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat, s ezek segítségével egyszer� feladatokat megoldani.

El � zmény Kombinatorikából a korábbiakban szerepl� módszerek ismerete (sorbarendezés, kiválasztás, fadiagram alkalmazása, "szorzási szabály", Pascal háromszög).

Tartalom

• Permutáció, variáció, kombináció (ismétlés nélküli és általános eset) átismétlése. • Binomiális tétel, binomiális együtthatók tulajdonságainak átismétlése. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, fokszám, egyszer� gráf, összefügg� gráf, komplementer

gráf, fagráf, kör, páros gráf). • Speciális gráfok és részgráfok (teljes gráfok, Euler-vonal, Hamilton-kör).



• Az Euler-féle poliéder-tétel. Síkbarajzolhatóság fogalma és feltétele. • Szinezési problémák megoldása csoportelmélet felhasználásával.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. Teljes órás dolgozatban célszer� több kombinatorikai feladatot szerepeltetni.

Logaritmus, polinomok 11.3 spec.mat


Cél A valós számok fogalmának pontosabbá tétele. Törtkitev� j � hatvány, a logaritmus fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. A számítások technikai fejl� dése.

Követelmény A tanuló • ismerje a logaritmus fogalmát, • ismerje a logaritmus azonosságait, és tudja azokat alkalmazni, • tudjon megoldani logaritmikus egyenleteket. • ismerjen számítástechnikai eljárásokat, • legyen tisztába a számítások pontosságával: a gépi és egyéb módszerek korlátaival, el� nyeivel • ismerje az egész együtthatós polinomok gyökeinek összefüggéseit, • ismerje és tudja alkalmazni a Horner-elrendezést.

Tartalom

• Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése, a hatványozás fogalmának kiterjesztése. • M � veletek hatványokkal. Inverz m� veletek • A logaritmus fogalma, azonosságai. • Logaritmikus egyenletek. • Zsebszámológép alkalmazása a számolásban. Pontosság kérdése. • Zsebszámológép el� tti világ "számítás"technikája. • Tudománytörténeti problémák. A gyakorlati számítások id� és helykorlátja. • És mire képes a gép? Mire nem? • Egész együtthatós polinom fogalma, gyökök és együtthatók összefüggése, Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérés.


Egyenletek, egyenl tlenségek 11.4 spec.mat




Cél


• Az egyenletek ekvivalenciájának vizsgálatával fejlesztjük a matematikai logikai szemléletet, er� sítjük az önellen� rzés igényét és a diszkusszióskészséget.

• A paraméteres egyenletek megoldási módjainak valamint a másodfokú egyenlet megoldóképletének biztos használatával segítjük a különböz� természettudományos tantárgyak tanterveinek megvalósulását is.

Követelmény A tanuló • tudjon megoldani paraméteres egyenletet, • tudjon megoldani egyenl� tlenséget algebrai és grafikus módszerrel, • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni kölönböz� egyenlet-

tipusoknál • tudjon megoldani exponenciális és logaritmusos egyenletet • tudjon egyszer� bb trigonometrikus egyenleteket, egyenl� tlenségeket megoldani. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lév� kapcsolatot, és ennek általánosítását

tetsz� leges n-ed-fokú polinomra • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellen� rizze, • széls� érték-problémákhoz tudja a célszer� matematikai modellt megtalálni. • tudjon gyöktényez� s alakra bontani magasabb fokú polinomokat is • meg tudja különböztetni az ekvivalens átalakítást a nem ekvivalens átalakítástól.

El � zmény A kerettanterv és ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatban.

Tartalom

• Egyenletek ekvivalenciája, hamis gyök. • Törtes és logaritmikus egyeneletek • Trigonometrikus egyenletek, egyszer� bb trigonometrikus egyenl� tlenségek • Magasabb fokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással • Gyökök- együtthatók összefüggése • Legfeljebb másodfokúra vezet� szöveges egyenletek. • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenl� tlenséggel kapcsolatos ismeretek b� vítése. • Másodfokúra visszavezethet� egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése,

szöveges feladatokban való alkalmazása. • Másodfokú függvényre visszavezethet� gyakorlati és fizikai széls� érték-problémák megoldása. • Egész együtthatós polinom fogalma, gyökök és együtthatók összefüggése, Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei. • Az egész együtthatós polinom és gyökei. A Viete-formulák • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok. • Másodfokúra vezet� széls� érték-problémák. • A mértani közép fogalma, n db pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, szóbeli és több írásbeli számonkérés a téma feldolgozása folyamán.




Logaritmusfüggvények, összetett függvények 11.5 sp ec.mat


Cél


• Tudja, hogy az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma

• Az inverz függvény fogalmának elmélyítése • A logaritmus-függvény és tulajdonságainak megismerése • Az összetett függvény fogalmának elmélyítése • Az analizis fogalmainak el� készítése: korlátoság, monotonitás, szakadásos függvények • A függvények matematikában és más tudományokban való alkalmazásainak további bemutatásával a

rugalmas gondolkodás fejlesztése.

Követelmény A tanuló • legyen képes az els� 10 évben megismert alapfüggvények grafikonját és transzformáltjait ábrázolni. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait, • ismerje meg az összetett függvény fogalmát és tudja értelmezni egyszer� bb esetekben; • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában,



Tartalom


grafikonjainak elkészítése és a függvények elemi tulajdonságai. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma

• Az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • A logaritmusfüggvény , tulajdonságai, trandszformációi • A monotonitás,-a széls� értékek, a korlátosság fogalma. • Az összetett függvény. • A geometriai és függvény-transzformációk kapcsolata; • Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenl� tlenségek grafikus megoldása.


Szögfüggvények 11.6 spec.mat




Cél A függvényszemlélet fejlesztése a szögfüggvények megismertetésével. A periodicitás, mint függvénytulajdonság elmélyítése. A függvénytranszformációkról tanultak alkalmazása.

Követelmény A tanuló • ismerje a definiált szögfüggvényeket és elemi tulajdonságaikat, • ismerje ugyanazon szög szögfüggvényei közötti kapcsolatokat, • tudja ábrázolni és tulajdonságaival jellemezni a szögfüggvények transzformáltjait, • a definíciók és a grafikonok segítségével tudjon megoldani trigonometrikus egyenletet.

El � zmény A kerettanterv és ezen tanterv követelményei a 10. évfolyamig a függvényekkel és a vektorokkal kapcsolatban.

Tartalom

• Az egységvektor koordinátái, a sinus és cosinus függvény.

• A sinus- és cosinusfüggvény alapvet� tulajdonságai (periodicitás, zérushelyek, helyi széls� értékek, párosság, páratlanság, monotonitás, korlátosság),

• a sinus és coninus-függvények ábrázolása,

• transzformáltjaik, azok ábrázolása, tulajdonságainak megfogalmazása.

• A tg és a ctg függvények definíciója, ábrázolása, tulajdonságai.

• Összefüggés ugyanazon szög szögfüggvényei között, a sin és cos függvények között.

• Egyszer� trigonometrikus egyenletek megoldása a definíciók alapján és grafikus úton. Az ellen� rzés lehet� sége végtelen sok megoldás esetén.

Értékelés Házi feladatok ellen� rzése, írásbeli és szóbeli számonkérések.

A hasonlóság alkalmazása 11.7 spec mat


Cél A hasonlóságra vonatkozó ismeretek rendszerezése, és az alkalmazások kiterjesztése

A vektorok sokiráényú felhasználása a geometriai problémák megoldásában.

El � zmény A kerettanterv, valamint ezen tanterv 10. évfolyamig megfogalmazott követelményei a geometriai transzformációkkal: az egybevágósággal, hasonlósággal és az alakzatokkal kapcsolatban.

Követelmény A tanuló • legyen képes a hasonlóság tulajdonságait feladatokban alkalmazni • ismerje és alkalmazza a vektorokról és vektor-m� veletekr� l tanultakat, • ismerje a vektorok fogalmát, és a vektorok körében végzett összeadást, kivonást és számmal szorzást, ezek

tulajdonságait



• tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként megtanult tételeket,

• legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetev� kre, ismerje a vektorfelbontás egyértelm� ségére

vonatkozó tételt.

El � zmény a NAT alapján az el� z� évek követelményei a geometriai transzformációk témakörben.

Tartalom

• A hasonlóságról tanultak átismétlése. • A vektorok fogalma, összeadás és kivonás a vektorok körében • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai • A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, szögfelez� tétel, arányossági tételek a

derékszög� háromszögben. • Euler egyenes, Feuerbach féle kör. • Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. • Pont körre vonatkozó hatványa, ezzel kapcsolatos tételek. • Vektorok felbontása síkban és térben. A vektorfelbontás egyértelm� ségére vonatkozó tétel. • Bázisvektorok, vektor koordinátái.

Értékelés Házi feladatként otthon részletesen kidolgozott szerkesztési feladatok beszedése, ellen� rzése, megbeszélése. A tanult bizonyítások szóbeli és írásbeli számonkérése.

Trigonometria 11.8 spec mat


Cél

• A szögfüggvényekkel kapcsolatos ismeretek és Pitagorasz tételének összekapcsolása derékszög� háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatokban.

• Térgeometriai számítások • Ezeknek a számításoknak a felhasználása a természettudományos tárgyakban. • Ponthalmazok koordinátákkal való jellemzésével a koordinátageometria módszeres tárgyalásának

el� készítése.

Követelmény A tanuló • készség szinten tudja derékszög� háromszög hiányzó adatait kiszámolni Pitagorasz tételének vagy a

szögfüggvényeknek a felhasználásával, • tudja ezeket a számításokat alkalmazni egyéb síkbeli és térbeli alakzatok hiányzó adatainak

meghatározásához; számításainál használja célszer� en a zsebszámológépet,

El � zmény

Ezen tanterv követelményei 10. évfolyamon a hasonlósággal, vektorokkal kapcsolatban.



Tartalom

• Pitagorász tétele és megfordítása síkban és térben. • Szögfüggvények a derékszög� háromszögben • Összefüggésk a hegyesszögek szögfüggvényei között • A szögfüggvények alkalmazása síkbeli és térbeli geometriai, valamint fizikai feladatok megoldására. • Szakasz mer� leges vetületének hossza, sokszög mer� leges vetületének területére vonatkozó összefüggés

megfogalmazása. • Sibeli és térbeli vektor koorditátái. • Számolás vektorokkal


Alakzatok, geometriai mértékek a térben 11.9 spe c mat


Cél

• A térelemekkel kapcsolatos ismeretek: távolság és szögfogalom a térben Térgeometriai számítások • Az alapve� testek ismerete (kocka, téglatest, paralelepipedon, tetraéder, gúla, haság, gömb. • A szabályos testek ismerete • A térszemlélet fejlesztése

Követelmény A tanuló • ismerje a térelemeket és azok méretes vonatkozásait, • ismerje néhány sikgeometriai tétel térbeli megfelel� jét • tudja a geometriai tranfszormációkat kezelni a térben • tudjon modellt készíteni az egyszer� bb testekb� l, ismerjen alapvet� számolási eljárásokat

El � zmény

Ezen tanterv követelményei 10. évfolyamon a hasonlósággal, vektorokkal, geometriai számításokkal kapcsolatban.

Tartalom

• Térelemek és méretes vonatkozások ( távolság és szögfogalom) • A kocka, a téglatest és a paralelepipedon • A tetraéder és a gúla • A hasáb és a poliéder • A szabályos testek származtatása • A szabályos testek tulajdonságai. • Gömb. • Beírásos, érintési feladatok a térben. • Mértani helyek a térben.




Valószín ség, statisztika 11.10 spec.mat.


Cél A valószín� ség matematikai fogalmának megszilárdítása. A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására. Ismerkedés valószin� ségi eloszlásokkal.

Követelmény A tanulók • ismerjék a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvet� bb mutatókat (módus, medián, átlag,

szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás-függvény), • ismerjék az eseményalgebra alapfogalmait: a biztos esemény,a lehetetlen esemény, az ellentett esemény • ismerjék meg az események valószín� ségének fogalmát, • tudjanak kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat, • tudják alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószín� ségének kiszámítására, • ismerjék meg a binomiális -, a geometriai - és a hipergeometriai eloszlást valószín� ségi kísérletek elemzése

során • legyen tapasztalatuk arról, hogy egyes események valószín� sége geometriai mértékkel is jellemezhet� .

El � zmény Ezen tanterv 9-10.. évfolyamos követelményei kombinatorikából, statisztikából és a valószin� ségszámításból.

Tartalom

• Változatos statisztikai adatgy� jtés (pl. iskola tanulóinak magassága, lábbeli mérete, születési hónapja, keresztneve, születési helye stb.), majd az adatok elrendezése: hisztogram készítés, módus, medián, átlag, szórás meghatározása.

• Csebisev tételének bizonyítása, a szórás és átlag szerepe a számsokaság jellemzésénél.

• Változatos valószin� ségi kísérletek közös tulajdonságainak megkeresése, modellalkotás ( egyenletes eloszlás, együttes eloszlás, bimoniális, geometriai, hipergeometriai eloszlású valószin� ségi változóra, ismert p és ismeretlen p, bet� el� fordulás, titkosírásfejtés)

• Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás és tulajdonságai

• .A geometriai eloszlás. A hipergeometriai eloszlás és tulajdonságai.

• Találati valószín� ség a céltáblán, járm� vek megállítása egy útvonal egyik szakaszán, a geometriai valószín� ségi modell bemutatása, egyszer� geometriai valószín� ségek kiszámítása.

Értékelés A házi feladatok alapos megbeszélése, szóbeli számonkérés a téma elején inkább az önként vállalkozó tanulókkal. Az iskolai közös kísérletek részletes felidézése a "játékmesterek" elemzése alapján.



Rendszerezés, összefoglalás, kiegészítések 11.11 spec .mat


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, összefüggések, eljárások összefoglalása. A különböz� témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Összetettebb feladatok megoldása, a munka megszervezése az adott osztály, csoport érdekl� désének, helyzetének megfelel� en. Azoknak a tanulóknak, akik alapvizsgát kívánnak tenni, a felkészülés biztosítása.

Követelmény Az év során tanított anyag ismerete, alkalmazása, írásban és szóban való érthet� megfogalmazása a matematika tanult jelöléseinek segítségével.

Tartalom Az eddig tanult matematika tananyag hangsúlyos részeinek kiemelése, az egyes témakörök közötti kapcsolatok bemutatása, feladatmegoldás.

Értékelés A végs� értékeléshez a tanuló ismétlésnél nyújtott teljesítményét és egész évi munkáját együtt tegyük mérlegre.


Részei Halmazok, matematikai logika elemei Kombinatorika, gráfok Egyenletek, egyenl� tlenségek, azonosságok, Lineáris algebra Sorozatok Az analízis elemei Vektorok, trigonometria Komplex számok Koordináta-geometria Valószín� ségszámítás, statisztika Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret


Tanítási ciklus 7 óra / 1 hét

Cél A matematikát szeret� , a matematikai problémák iránt érdekl� d� tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtató feladatok, problémák kit� zésével, a különböz� megoldási lehet� ségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdekl� dést (a pályaválasztást is segítend� ) tudatosan fejlesztjük. A fejlesztés érdekében célszer� a feladatokat szakköri feladatgy� jteményekb� l, a KÖMAL-ból is választani.



Cél az ezen osztályba járó tanulók közül azokat, akik várhatóan a matematikai versenyeken is jól szerepelhetnek, a versenyekre is felkészíteni. Ehhez feltétlenül szükséges az is, hogy a feladatok megoldását megfelel� en kell� pontossággal és részletességgel le is tudják írni.

Ebbe az osztályba járó tanulók zöme feltételezhet� en olyan egyetemre, f� iskolára fog kerülni, ahol a matematikát mint elméleti- és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért nem elég érdekes, a logikát fejleszt� feladatokat feldologozni otthoni munkával és a tanórán, hanem cél felkészíteni olyan ismeretekre is � ket, melyek kés� bbi tanulmányaikat el� segítheti. Így nem hagyható el a többi tanuló számára is kötelez� en tanított tananyag (pl. a trigonometria és koordináta-geometria).

A gondolkodást fejleszti az alábbi témák problémáinak mélyebb szint� feldolgozása is: logikai feladatok, a kombinatorika, a gráfok, az algoritmusok, különböz� játékok.

A sikeres továbbtanulásra való felkészítésben például a lineáris algebra, analízis, valószín� ségszámítás játszik komoly szerepet.

Követelmény

• A tanulók tudják a permutáció, variáció, kombináció fogalmát ismétléses és ismétlés nélküli esetekben összetettebb feladatokban is alkalmazni. Találkozzanak színezési feladatokkal, a gráfok különböz� témakörökben mint modellek is szerepeljenek, s tudják gráfokat alkalmazni is.

• Tudjanak összetettebb exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenleteket, egyenl� tlenségeket (paramétereseket is) megoldani, azonosságokat igazolni. Tudják, hogy a megoldás során mikor végeznek ekvivalens lépéseket, miként zárhatják ki a hamis gyököket. Tudjanak többismeretlenes els� fokú és kétismeretlenes másodfokúra vezet� egyenletrendszereket megoldani. Ismerjék az ellen� rzés fontosságát és módját.Tudjanak harmadfoku egyenleteket megoldani. Ismerjék a mátrix és a determináns fogalmát. A mátrixok között értelmezhet� m� veleteket, a determinánsra vonatkozó néhány tételt. Ismerjék a mátrix és a determináns felhasználhatóságát (egyes geometriai transzformációk tárgyalásában s az egyenletrendszerek megoldásában).

• Tudják alkalmazni a gráfokat a matematika különböz� területein. • Ismerjék az Euler-féle poliéder tételt, tudjanak néhány játékalgoritmust és rendezési algoritmust. • Ismerjék a sorozat fogalmát. Tudjanak számtani és mértani sorozattal kapcsolatos feladatokat megoldani.

Ismerjenek Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadott sorozatokat. Ismerjék a sorozat határértékének definícióját, s egyes sorozatoknál tudják a határértéket megállapítani. Ismerjék a függvény folytonosságának, határértékének és deriválhatóságának fogalmát. Tudják a tanult differenciálási szabályokat a függvényvizsgálatban. Tudjanak széls� értékeket megállapítani elemien (a közepek alkalmazásával), s a differenciálás segítségével is.

• Ismerjék a komplex számok fogalmát és tudjanak alapm� veleteket végezni a komplex számok körében. Ismerjék a számtestb� vítés módszerét, az algebrai csoport és test fogalmát.

• Tudják, hogyan lehet komplex számokkal a sík pontjait jellemezni, bizonyos geometriai feladatokat komplex számok segítségével megoldani.

• Ismerjék a skaláris szorzat fogalmát, tulajdonságait. Tudják alkalmazni a trigonometriában és a koordináta-geometriában. Ismerjék a sinus- és cosinus tételt, az addiciós képleteket, s tudják ezeket feladatok megoldásában alkalmazni.

• Ismerjék az egyenes egyenletét, ill. egyenletrendszerét (síkban és térben), a sík egyenletét, a kör és a gömb, a kúpszeletek tanult egyenleteit. Tudjanak metszési, érintési, és ponthalmaz keresési feladatot koordináta-geometria segítségével megoldani.

• Ismerjék a valószín� ségi változó, a várható érték és a szórás fogalmát. Tudjanak klasszikus valószín� ségi feladatokat megoldani. Egyszer� bb esetekben ismerjék fel a binomiális-, a geometriai- és a hipergeometriai valószín� ségi változót. Találkozzanak valószín� ségi játékokkal. Ismerjék a feltételes valószín� séget.

El � zmény Ezen tanterv 11. osztály végéig el� írt követelményeiben megfogalmazott, s a 12. osztály tanításakor szükséges ismeretek és módszerek. (Ezek folyamatos ismétlésére az új anyagrészek bevezetésekor célszer� sort keríteni.)



Tartalom I. Gondolkodási módszerek: 40 óra

1.Halmazok, matematikai logika elemei (18 óra) 2.Kombinatorika (22 óra)

II. Számtan-algebra: 30 óra 1.Egyenletek, egyenl� tlenségek, azonosságok, egyenletrendszerek (20 óra) 2.Lineáris algebra (10 óra)

III. Függvények, sorozatok: 62 óra 1.Sorozatok (26 óra) 2.Az analízis elemei (36 óra)

IV. Geometria: 72 óra 1.Vektorok, trigonometria (18 óra) 2.Komplex számok (18 óra) 3.Koordináta-geometria (36 óra)

V. Valószín� ségszámítás, statisztika: 24 óra VI. Ismétlés, a tanár által felhasználható további órakeret: 10 óra VII. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra

Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen� rzése b/ Az írásbeli ellen� rzés formái:

1. iskolai dolgozatok, 2. az év során hét 1 -2 órás dolgozat s ezeknek teljes órában történ� értékelése, 3. az év során három házi dolgozat. Legalább az egyik témája az emelét szint� érettségi anyagához kapcsolódik. A téma megjelölése és az id� pont a tanmenetben található.

Feltételek

• Két középiskolai matematika szakos tanár. A tanulóknak: tankönyvek, matematikai és geometriai feladatgy� jtemények (a 9. -11. évfolyam elején felsoroltak). • Sokszín� matematika 12. – MS-2312. • Füzetek, körz� , vonalzók, függvénytáblázat, zsebszámológép, KÖMAL. A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, írásvetít� fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehet� ség feladatlapok sokszorosítására.



Halmazok, matematikai logika elemei 12.1 spec.mat .


Cél

• A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböz� területein: egyenleteknél függvényeknél, az analízisben, ponthalmazoknál.

• A logikai szita formula használata. • Véges és végtelen halmazok ekvivalenciájának megismerése. • A megszámlálható és kontinuum számosság fogalmának kialakítása. • A logikai értékek Boole-algebrájának megismerése. Boole-algebrák • A feltételek, következtetések, bizonyítási módszereknél a matematikai logika elemeinek alkalmazása. Az

ekvivalencia, az implikáció, a konjunkció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenl� tlenségek, egyenletrendszerek megoldásakor.

• A kvantorok fogalmának megismerése, szerepük felismerése (pl. az analízis fogalmainak kiépítésekor).

Követelmény

• A tanulók két, három halmazra biztosan tudják feladatokban alkalmazni a logikai szita formulát.

• A tanulók értsék meg a dedukciós következtetési módszert.

• A tanult bizonyításokat tudják reprodukálni, tudjanak egyszer� bizonyítási feladatokat önállóan megoldani.

• Az egyenletek megoldásakor keressenek ekvivalens módszereket, s tudják, hogy ha erre nincs lehet� ség, akkor ellen� rzéssel bizonyítható, hogy egy gyök megoldás, illetve ellen� rzéssel sz� rhet� ki a hamis gyök.

• Értsék és megfelel� en használják a minden és van, olyan szavakat.

• Tudjanak állításokat tagadni.

• Értsék a megszámlálható halmaz fogalmát, és tudják, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható.

• Ismerjék a logikai értékek Boole-algebráját, tudják azt egyszer� bb esetekben alkalmazni.

• Ismerjék a konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia logikai m� veleteket; tudják az egyszerübb matematikai állításoklogikai vázát felépíteni, ismerjék az egyszerübb bizonyítások logikai formuláját is.

El � zmény Az el� z� tanévekben szerepl� halmazelmélet és a matematikai logika elemeinek ismerete.

Tartalom

• Halmazelméleti ismeretek összefoglalása, m� veletek tulajdonságai. Boole-algebra • Véges és végtelen halmaz ekvivalenciája, halmazok számossága. • Végtelen halmaz végtelen részhalmazának számossága . • A racionális és valós számok halmazának számossága. • Paradoxonok a matematikában. • A naiv halmazelmélet hiányosságai. A Russel paradoxon. • A logikai értékek algebrája. • Boole- algebra és a számtest összevetése • A konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia • Logikai szita formula. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Univerzális és egzisztenciális kvantor.



Kombinatorika , gráfok, algoritmusok 12.2 spec.ma t.


Cél

• A bizonyításokban az és, a vagy, a nem, a következik, az akkor és csak akkor stb. szavak, kifejezések helyes alkalmazása. A skatulyaelv, a teljes indukció, az indirekt bizonyítási módszer alkalmazása.

• A gráfokról tanultak b� vítése. A gráfok használatának megmutatása matematikatörténeti feladatokban is.

• Az algoritmikus szemlélet fejlesztése. • Az algoritmusok elemzésével a fegyelmezett, ugyanakkor rugalmas gondolkodást is er� sítjük. • A diszkussziós képesség fejlesztése. • Ismerjék a "magyar matematika" jelent� ségét a XX. században, ismerkedjenek m� vel� inek életpályájával

(K � nig Dénes, Neumann János, Kalmár László, Péter Rózsa, Erd� s Pál, Lovász László). • Ismerjék a tanult anyagban szerepl� bizonyítási módszereket, s tudják alkalmazni. • A matematikai bizonyítások eszközei és módszerei.

Követelmény

• Az Euler-féle poliédertétel alkalmazásainak megismerése.

• Az ötszintétel bizonyításának megismerése.

• A négyszíntétel bizonyításának problematikája.

• Játék - algoritmusok ismerete (pl. barkochba, Hanoi torony stb.) • Rendezési feladatok.

El � zmény A korábban szerepelt kombinatorikai és a gráfokról tanult ismeretek. A számítástechnikában és a matematikában tanult algoritmusok ismerete, tudatos elemzése.

Tartalom

• Euler-féle poliédertétel többfajta bizonyítása.

• Szinezési problémák. Az ötszíntétel és bizonyítása a síkbarajzolhatóság felhasználásával.

• A négyszíntétel problematikájának felvetése.

• Játék-algoritmusok vizsgálata. • Sorbarendezés (Buborék-algoritmus, összefésülés).

• Magyar matematikusok a XX. században a tudomány el� revív� i, módszereik.

• K � nig Dénes, Neumann János, Erd� s Pál, Kalmár László, Péter Rózsa, Lovász László munkássága.

Értékelés Szóbeli számonkérés, házi feladat ellen� rzés. Írásbeli dolgozat.



Egyenletek, egyenl tlenségek, azonosságok 12.3 spec. mat.


Cél

• Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek b� vítése. • A harmadfokú egyenlet megoldási algoritmusa, a megoldások vizsgálata. • Egyenletek gyökeinek közelít� meghatározása, gépi algoritmusok, a pontosság kérdése • Els� , másod- illetve harmadfokúra visszavezethet� -, reciprok-, exponenciális-, logaritmikus- és

trigonometrikus egyenletek megoldása. • Periodikus függvényt szerepeltet� egyenletekben a végtelen sok gyök ellen� rzési módjának megismerése.

Követelmény

• Ismerjék az algebra alaptételét, és tudják a valós együtthatós polinomok irreducibilis tényez� kre bonthatóságát.

• Ismerjék a harmadfokú egyenlet megoldási algoritmusát. • Tudjanak exponenciális-, logaritmikus- és trigonometrikus egyenleteket, egyenl� tlenségeket,

egyenletrendszereket megoldani. • Tudják, hogy az egyenletekben szerepl� függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen

szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor. • Tudják, hogy az egyenlet megoldása során melyek az ekvivalens átalakítások. • Tudják, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, s tudják, hogy ilyen esetben

hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta. • Tudjanak azonosságokat igazolni, s a tanult azonosságokat (pl. az addíciós tételeket) feladatok

megoldásában alkalmazni.

El � zmény Az egyenletet, egyenl� tlenséget, egyenletrendszerek megoldásának korábban tanult eljárásainak, tanult azonosságoknak ismerete.

Tartalom

• Els� fokúra és másodfokúra visszavezethet� -, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus-, reciprok egyenletek. (Paraméteres egyenletek is.)

• Harmadfokú egyenletek megoldás, a Cardano-féle képlet. • Az egyenletmegoldási technikák fejl� dése az évszázadok során. • Trigonometrikus azonosságok. Addíciós tételek.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontok. A tanult egyenletmegoldási eljárások számonkérése kétórás órás dolgozat(ok)ban szerepel.

Feltételek Lásd az általános részben megfogalmazottakat.

Lineáris algebra 12.4 spec.mat.




Cél

• A két és háromismeretlenes egyenletrendszerek megoldási algoritmusa alapján az n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek általános megoldásának módját megmutatva a matematikai modellalkotásának egyik lehetséges útjára is rávilágíthatunk.

• A korábban tanult egy és kétváltozós m� veletek konkrét tulajdonságainak elemzése alapján az egy- és kétváltozós m� velet fogalmának kialakítása, a m� veleti tulajdonságok tudatosítása.

• A mátrix és a determináns fogalmának kiépítésével, a mátrixok közötti m� veletek megismerésének segítségével olyan hatékony algoritmust tudunk ajánlani a tanulóknak, amelynek segítségével a lineáris egyenletrendszerek megoldása, bizonyos geometriai transzformációk, egyszer� kétszemélyes mátrix játékok egyszer� en tárgyalhatók.

Követelmény

• A tanulók ismerjék az egy- és kétváltozós m� velet fogalmát, ismerjenek m� veleti tulajdonságokat • Ismerjék a mátrix fogalmát, mátrixok között értelmezett m� veleteket. • Ismerjék a determináns fogalmát, tulajdonságait. • Ismerjék a mátrixok geometriai felhasználhatóságát, a Gauss-féle fokozatos kiküszöbölés módszerét lineáris

egyenletrendszerek megoldására.

El � zmény A korábban tanult m� velet értelmezések, m� veleti azonosságok (pl. vektoroknál).

Tartalom

• A korábban tanult egy- és kétváltozós m� veletek rendszerezése a m� veleti tulajdonságok szerint. • A mátrix fogalma, négyzetes mátrix, egység mátrix, nullmátrix, inverz mátrix. • Kétszemélyes mátrixjátékok. • M� veletek a mátrixok körében (összeadás, kivonás, számmal szorzás, szorzás, invertálás). • A determináns fogalma és tulajdonságai. • A mátrixok és a vektorm� veletek. • Néhény lineáris programozási feladat • Origo körüli forgatás megadása mátrix-szal. • Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszerével.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, részt.

Sorozatok 12.5 spec.mat.


Cél

• A számtani és mértani sorozat általános tárgyalása, s ezeknek gyakorlati alkalmazásában (pl. kamatos-kamatszámítás, törlesztési feladatok, járadékszámítás) való megmutatása.

• Azonosan teljesül� egyenl� tlenségek ismerete, becslési eljárások használata. • Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadható sorozatok ismerete. • Sorozatokkal kapcsolatos fontos ismeretek (monotonitás, konvergencia, korlátosság ismerete) és

feladatokon való alkalmazása. • Végtelen mértani sor összegképletének használata. Végtelen szakaszos tizedestörtek és a racionális számok

kapcsolatának bizonyításával a számfogalom mélyítése.



Követelmény

• Ismerjék és tudják alkalmazni a számtani és mértani sorozat n-edik tagjára és összegére vonatkozó képleteket.

• Ismerjenek néhány rekurzióval megadott sorozatot. • Ismerjék a számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép fogalmát, tudják nagyságrendjüket. • Értsék a sorozat korlátosságának, monotonitásának, konvergenciájának fogalmát, tudják meghatározni

sorozatok határértékét. • Ismerjék a végtelen mértani sort, tudják az összeg-képletet levezetni. • Tudják, hogy a végtelen szakaszos tizedestört hogyan és miért írható fel két egész szám hányadosaként.

El � zmény A sorozatokról a korábbi években tanultak ismerete. A teljes indukciós bizonyítási módszer biztos használata. A négyzetszámok és köbszámok összegképlete. A számtani- és mértaniközép tétele.

Tartalom

• A számtani és mértani sorozat fogalma. Az n-edik tag és az összegképlet. • Fibonacci-sorozat, rekurzív sorozatok. • Számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közép összehasonlítása. • Sorozatok korlátossága, monotonitása. • A határérték fogalma. • A konvergens sorozatok tulajdonságai. Határértékszámítási módszerek.

• A 11

11

1

+�

��

�

�� +�

��

�

��

+

n n

n n

; sorozatok és az e szám.

• Sorozatok konvergenciája. • A végtelen mértani sor.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. Sorozattal kapcsolatos feladatok feltétlenül szerepelnek teljes órás felmérésben.

Az analízis elemei 12.6 spec.mat


Cél

• Az analízis elemei b� vítik a függvényekr� l tanultakat. A függvényhatárérték, a folytonosság, a differenciálhányados fogalma a matematikában, a természettudományokban egyaránt igen fontos szerepet játszik (érint� , sebesség, gyorsulás stb.). A differenciálási szabályokkal célszer� megismertetni a matematika iránt érdekl� d� s a matematikát a kés� bbiekben is használni akaró tanulókat.

• Olyan függvények vizsgálata is célunk, melyeket elemi úton nem tudunk megismerni. • Fontos az elemi széls� érték vizsgálatok (másodfokú függvénnyel, közepekkel történ� módszerek) mellett a

differenciálszámítás eszközeinek ismerete.

Követelmény

• Ismerjék a tanulók a függvény határértékének és folytonosságának fogalmát. • Tudják a tanult függvények adott helyhez tartozó határértékét megállapítani. Tudjanak példákat adni

folytonos és nem folytonos függvényekre. • Ismerjék és értsék a differenciálhányados fogalmát. Ismerjék az összeg, szorzat, hányados deriválási

szabályát. Tudjanak polinomot, algebrai törtfüggvényeket és trigonometrikus függvényeket differenciálni. • Ismerjék az összetett függvény deriválási szabályát.



• Ismerjék az inverz függvények deriváltjainak összefüggését. • Ismerjék az exponenciális- és a logaritmus-függvény deriválási szabályát. • Ismerjék a differenciálszámítás középérték-tételeit. (Rolle- és Lagrange-tétel) • Tudják, hogy a deriváltfüggvény segítségével hogyan vizsgálható a függvény menete, hogyan lehet

meghatározni a függvény lokális széls� értékeit. • Ismerjenek elemi módszereket is a széls� értékek megállapítására. • Ismerjék meg a konvexitás és konkavitás fogalmát, és ezen tulajdonságok kapcsolát a deriváltfüggvények

menetével. • Tudják, hogyan változott a függvényfogalom, a függvények tulajdonságainak vizsgálati módszere a

matematikatörténet során, és kinek a munkássága volt a legnagyobb hatással e tudományág fejl� désére.

El � zmény A korábbi években tanult függvény-fogalom és függvény-tulajdonságok ismerete.

Tartalom

• A függvény folytonossága, a folytonos függvények tulajdonságai. • Függvény határértéke a véges helyen és a végtelenben. • Függvény határértéke jobbról és balról, a határérték tulajdonságai, kiszámítási módjai • Határétmeneti tételek. • A differenciálhányados, a differenciálhatóság, a deriváltfüggvény. • Összeg, szorzat, hányados, polinomok, algebrai törtfüggvények, trigonometrikus függvények deriváltja. • Az összetett függvény deriválási szabálya. • Az inverzfüggvény deriváltja. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény deriváltja. • Konvexitás, konkavitás. Inflexiós pontok. • A függvénymenet vizsgálatára, a széls� értékekre vonatkozó tételek. • Teljes függvényvizsgálat az analizis eszközeivel és a számítógéppel. • Az analizis módszereinek fejl� dése, a fogalmak tartalmának változása - tudománytörténeti vonatkozások:

Newton, Leibniz, Cantor élete és munkássága.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A témából 2 órás dolgozatot is iratunk.

Vektorok, trigonometria 12.7 spec.mat


Cél

• A térbeli derékszög� koordnátarendszer megismerése, használata • A vektorok skaláris- és vektoriális szorzatának ismerete és a matematikán belül a trigonometriában és a

koordináta-geometriában való alkalmazása. • Ezen szorzatok fizikában való felhasználhatóságának megmutatása (pl. munka, forgatónyomaték). • A sinus- és cosinustétel alkalmazásával háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számítások és bizonyításos

feladatok, a gyakorlatban távolság, magasság, szög, sebesség, er� meghatározása. • A zsebszámológép és a személyi számítógép célszer� használata, gyakorlati feladatokban megfelel�

pontosságú értékek meghatározása.

Követelmény

• Ismerjék a skaláris és vektoriális szorzat fogalmát, tulajdonságaik koordinátákkal való kiszámítási módját. • Tudják ezeket alkalmazni a bizonyításokban és feladatmegoldásokban. • Ismerjék a sinus- és cosinustételt (levezetésüket is), s tudják alkalmazni a háromszög hiányzó

alkotórészeinek meghatározásában.



El � zmény A vektorokból és a trigonometriából korábban tanultak. Táblázat és zsebszámológép használata.

Tartalom • Különböz� vonatkoztatási rendszerek. A térbeli derékszög� koordinátarendszer. Térbeli vektorok. • A skaláris és vektoriális szorzat fogalma és tulajdonságai. • Koordinátákkal való kiszámítási módjuk. • A vektorm� veletek és a kétváltozós m� veletek. • A sinus- és cosinustétel. • Összetett számítási feladatok síkban és térben, a térelemek méretes vonatkozásai.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontokat. Fontos, hogy teljes órás dolgozatban szerepeljenek vektorokkal kapcsolatos és trigonometrikus számításos feladatok.

Komplex számok 12.8 spec.mat.


Cél Ismerjék meg a tanulók a számkör-b� vítés egyik lehetséges módját. Tudjanak a komplex számokkal alapm� veleteket végezni. Ismerjék meg a komplex számok néhány alkalmazását az algebrában, a geometriában és a fizikában .

Követelmény

• A tanulók ismerjék meg a komplex számok fogalmát. • Ismerjék a komplex számokon értelmezett alapm� veleteket, a hatványozást és a gyökvonást mind a

kanonikus mind pedig a trigonometrikus alakban. • Ismerjék az egységgyökök fogalmát. • Ismerjék a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldási algoritmusát és a diszkussziót. • Ismerjék az algebra alaptételét és annak egyszerübb következményeit. • Tudják valós együtthatós polinomok gyökeit keresni a komplex számtest felett. • Ismerjék a GAUSS-féle számsíkot, és tudjanak az egybevágósági- és hasonlósági transzformációk valamint

a komplex számok közt végzett m� veletek kapcsolatáról. • Tudjanak egyszerübb esetekben geometriai feladatokat komplex számsíkon értelmezni és megoldani. • Ismerjék a komplex számok felhasználásának néhány módját fizikából.

El � zmény Az alábbi altémák pontos és alkalmazás-szint� ismerete: • A valós számkör és a m� veletek. Polinomok tényez� k bontása, a másodfokú egyenletek megoldása, a

megoldás diszkussziója. • A geometriai transzformációk hatása a síkbeli koordinátarendszer pontjaira. • Vektorok koordinátái. Szögfüggvények. Addíciós képletek.

Tartalom

• A komplex számok fogalma, a kanonikus és a trigonometrikus alak. Komplex szám konjugáltja és abszolút értéke.

• A GAUSS-féle számsík. • A négy alapm� velet elvégzése komplex számokkal.



• A komplex számok teste a valós számok testének egy lehetséges kib� vítése: a m� veleti azonosságok permanenciája.

• Moivre-tétel. Hatványozás és gyökvonás komplex számokból. Egységgyökök, primitív egységgyökök. • Másod-, harmad-, negyedfokú egyenletek megoldása komplex számok felett. A megoldhatóság vizsgálata. • Az algebra alaptételének egyszer� bb következményei: a valós együtthatós polinomok felbontása irreducibilis

polinomok szorzatára. • Geometriai transzformációk a komplex számsíkon. • Fizikai alkalmazások.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontokat. Fontos, hogy teljes órás dolgozatban szerepeljenek komplex számokkal kapcsolatos feladatok.

Koordináta-geometria 12.9 spec.mat.


Cél

• Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenl� tlenségek, egyenletrendszerek segítségével történik, továbbá, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.)

• Az egyenes, a kör, a kúpszeletek egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jelleg� feladatokban. Térben az egyenes vektor-egyenlettel, egyenletrendszerrel, a sík lineáris egyenlettel adható meg.

• A kúpszeletek: a kúp síkmetszetei. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben (Pl. Kepler-törvények.)

Követelmény

• Ismerjék a koordináta-síkban lév� egyenes néhány egyenletét, a párhuzamosság és mer� legesség feltételét, a kör középpontú és általános egyenletét.

• Ismerve a kúpszeletek definícióját, szimmetria tulajdonságait le tudják vezetni a parabola tengelyponti egyenletét, az ellipszis és hiperbola kanonikus egyenletét. Tudják ezen egyenleteket metszési és érintési feladatokban alkalmazni.

• Ismerjék az egybevágósági transzformációk, bizonyos hasonlósági transzformációk és a mer� leges affinitás hatását a pontokra, az alakzatokra.

• Ismerjék a kúpszeletek érint� inek geometriai fogalmát, ez érint� k szerkesztésének és egyenletük kiszámításának módszereit.

• Tudják összekötni a függvényeknél tanult érint� fogalmat a geometriai érint� fogalommal. • Ismerjék, hogy a henger és a kúp síkmetszete mi lehet. • Tudják a térelemek méretes vonatkozásait megfelel� adatok segítségével meghatározni. • Ismerjék a térbeli egyenes és sík koordináta-geometriai megadási módját.

El � zmény A koordinátarendszerben adott pont az egyenes ábrázolásának biztos ismerete. Vektor m� veletek koordinátákkal.

Tartalom

• Az egyenes irányvektoros egyenlete (síkban és térben). Síkban az egyenes normálvektoros és általános egyenlete. Adott ponton átmen� , adott iránytangens� egyenes egyenlete. A párhuzamosság és mer� legesség feltétele.

• A sík egyenlete.



• Két pont távolsága, a kör középponti és általános egyenlete. • Kúpszeletek definíciója, elemi tulajdonságai és speciális egyenletei. • Kúpszeletek érint� i és ezek tulajdonságai. Az érint� k szerkesztése és egyenletük felírása. • A henger és a kúp síkmetszetei. • A tanult alakzatok egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. Távolsággal kapcsolatos

feladatok.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A teljes órás felmérésben feltétlenül szerepeljenek koordináta-geometriai feladatok.

Valószín ségszámítás, statisztika 12.10 spec.mat


Cél

• Annak átismétlése, hogy adatsokaságokat a számtani (illetve súlyozott) közép és a szórás miként jellemzi. Stasztikai adatokból levonható következtetések.

• Matematikatörténeti feladatok, játékesélyek elemzése. A valószín� ségi feladatokban az érdekesség és a felhasználhatóság megmutatása.

• A valószín� ség fogalmának elmélyítése: a modellalkotás folytatása. A binomiális-, a geometriai- és a hipergeometriai eloszlások felismerése, paramétereinek számítása.

• Feltételes valószín� ségre néhány feladat bemutatása.

Követelmény

• Ismerjék az átlag és a szórás fogalmát és meghatározási módját. • Ismerjék, hogy a számsokaság elemeinek eloszlását hogyan jellemzi az átlag és a szórás. • Ismerjék, hogy ha egy valószín� ségi kísérletben véges sok elemi esemény lehetséges s azok egyenl� en

valószín� ek, akkor egy esemény valószín� ségi kombinatorikus úton határozható meg. • Értsék meg, hogy egyes események valószín� sége bizonyos feltételekt� l függhet. • Ismerjék fel egyszer� bb esetekben a tanult valószín� ségi változót.

El � zmény A tanult kombinatorikai ismeretek,az eseményalgebra, a statisztika és valószín� ség fogalmának elemi ismerete.

Tartalom

• Átlag, szórás, módus, medián. • Az átlagtól való eltérés B-szer szórásnyi intervallumban. Csebisev tétele. • Valószín� ségi változó, várható érték. • A valószín� ség kombinatorikus meghatározási módja. • Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás.A geometriai eloszlás. A hipergeometriai eloszlás.

• A lottó, a totó telitalálatának valószín� sége.

• Találati valószín� ség a céltáblán, járm� vek megállítása egy útvonal egyik szakaszán, a geometriai valószín� ségi modell bemutatása, egyszer� geometriai valószín� ségek kiszámítása.

• Binomiális eloszlás. • Geometriai eloszlás. • Hipergeometriai eloszlás. • Együttes eloszlások várható értéke, szórása. • Néhány játék valószín� ségi elemzése. • Feltételes valószín� ség. A teljes valószín� ség tétele.



Ismétlés, a tanár által felhasználható további órake ret 12.11 spec.mat.


Cél A tanulók ismereteinek rendszerezése, a tanult fogalmak, tételek, eljárások ismétlése. A különböz� témakörök közötti kapcsolatok megmutatása. Feladatok megoldása.

Követelmény A 12. évfolyam tantervének altémáiban megfogalmazott követelmények.

El � zmény A tanév végén az év során tanított anyag ismerete, a legfontosabb anyagrészek alkalmazása.

Tartalom Az ismétlés során az év folyamán tanított tartalmak súlyponti részeinek kiemelése, s a különböz� anyagrészek közötti kapcsolatok kimutatása.

Értékelés Az egész évben végzett munka alapján (KÖMAL és OKTV eredmények is).

Matematika 13

Részei Az analízis elemei II. Térgeometriai ismeretek Geometriai mértékek Az ábrázoló geometria elemei Valószín� ségszámítás, statisztika Rendszerez� összefoglalás


Tanítási ciklus 7 óra / 1 hét

Cél

• A tanév f� feladata az osztály tanulóinak az emelt szint� érettségire s a fels� oktatás igényes matematikaoktatásában való eredményes részvételre történ� felkészítése.

• Ennek érdekében szükséges az alapos rendszerez� összefoglalás, a biztos feladatmegoldás, s olyan ismeretekbe, matematikai módszerek alkalmazásába való bevezetés (pl. a térgeometriába, az integrál-számításba), melyek a kés� bbi tanulmányaikba a matematikai anyag jó megértését s az alkalmazási készséget lehet� vé teszik.

• Továbbra is cél az osztály legjobbjainak a versenyekre (OKTV) való felkészítése.

Követelmény

• A tanulók legyenek képesek helyes logikai következtetésekre, tanult viszonyítások reprodukciójára, bizonyítási feladatok megoldására.

• Ismerjék a logikai m� veletek (konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia) szerepét a bizonyításokban.



• Ismerjék a kétoldali megközelítés módszerét (pl. a terület és térfogatszámításban), az integrál, az integrálhatóság, a primitív függvény definícióját.

• Tudják alkalmazni a Newton-Leibniz tételt, a határozott integrál tulajdonságait. • Ismerjék az integrál néhány fizikai alkalmazását. • Ismerjék az integrálnak a geometriában való fontos voltát, az ún. görbe alatti terület, illetve a forgástestek

térfogatának meghatározásában. Tudják kiszámítani a tanult síkidomok területét, testek térfogatát és felszínét.

• Ismerjék a térelemek hajlásszögének, távolságának fogalmát. Legyenek képesek ezeket feladatokban alkalmazni.

• Ismerjék a mer� leges vetítés tulajdonságait, a Monge-féle két képsíkos ábrázolás elemeit. • Legyenek tisztában a várható érték fogalmával. • Ismerjék, hogy a geometriai mértékek segítségével olyan események valószín� ségét is meg tudjuk határozni,

melyeknek végtelen sok kimenetele lehet. • Tudjanak valószín� ségszámítási feladatokhoz modelleket alkotni. • Ismerjék a nagy számok törvényét. • Ismerjék a közvéleménykutatás elemeit. • Ismerjék a matematikai statisztika néhány alapkérdését és módszerét. • Az emelt szint� érettségire való felkészülést rendszerez� összefoglalással, összetett és vegyes típusú

feladatokkal segítjük. A tanult témakörökben (a halmazok és matematikai logika; kombinatorika; számfogalom, m� veletek, számolási eljárások; egyenletek; lineáris algebra; függvények, sorozatok; analízis; geometriai alakzatok; geometriai transzformációk; geometriai mértékek; vektorok, trigonometria, koordináta-geometria; statisztika és valószín� ségszámítás) meger� sítjük a tanult fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat.

• Ismerjék a matematikatörténet kultúrtörténeti összefüggéseit. • Tudják, hol és milyen módon alkalmazhatóak a matematika eredményei • Ismerjék néhány matematikus pályaképét.

El � zmény

• Az új anyag tanításához szükséges a korábbiakban tanult logikai, gráfokkal kapcsolatos analízisbeli, geometriai alakzatokra és mértékekre vonatkozó, statisztikai és valószín� ségszámítási ismeretek.

• A rendszerez� összefoglalást segíti, ha a tanult matematika anyag súlypontjait már a korábbi évek feldolgozásainak végén, az ismétlésekkor és rendszerezésekkor kiemeltük, és a különböz� témák közötti összefüggéseire rámutattunk.

Tartalom

I. Függvények: 56 óra 1. Az analízis elemei II. (56 óra)

II. Geometria: 72 óra 1. Térgeometriai ismeretek (26 óra) 2. Geometriai mértékek (26 óra) 3. Az ábrázoló geometria elemei (20 óra)

III. Valószín � ségszámítás, statisztika: 22 óra IV. Rendszerez� összefoglalás: (Részletezés kés� bb) 60 óra V. Témazáró dolgozatok és javítások 21 óra

Értékelés a/ Folyamatos szóbeli és írásbeli számonkérés, a házi feladatok ellen� rzése. b/ Az írásbeli ellen� rzés formái:

1. dolgozatok, félévente 2-2 házi dolgozat különös tekintettel az emelt szint� érettségi követelményeire.



2. az új anyagból 1-2 órás felmérés és ezeknek teljes órákban történ� értékelése. 3. a rendszerez� összefoglalásból legalább két alkalommal kétórás felmérés, s ezeknek teljes órákban történ� értékelése.

Feltételek

• Két középiskolai matematika szakos tanár. • A tanulóknak: tankönyvek, matematikai és geometriai feladatgy� jtemények (a 9. -12. évfolyam elején

felsoroltak). Füzetek, körz� , vonalzók, függvénytáblázat, zsebszámológép, KÖMAL, térgeometriai modellek készítéséhez alkalmas eszközök.

• A tanárnak: a tanulóknál felsoroltak, továbbá tanári kézikönyvek, szakkönyvek, módszertani folyóiratok, KÖMAL, KÖMAL CD, színes kréta, térbeli testek készítéséhez alkalmas készletek (POLYDRON testkészlet), írásvetít� fóliákkal, személyi számítógép matematikai témájú számítógépes oktatóprogramok, számítógépes INTERNET-hozzáférés, videókazetták, lehet� ség feladatlapok sokszorosítására.

Az analízis elemei II. 13.1 spec.mat.


Cél

• Az integrálszámítás elemeivel eszközhöz juttatni a tanulókat, melyek mind matematikai (pl. terület és térfogatszámítás), mind pedig fizikai (pl. sebességb� l az út meghatározása, a végzett munka) problámák megoldásához segítséget nyújt.

• Átlássák a tanulók a közelít� érték és pontos érték problámáját a határozott integrállal tárgyalható feladatokban is. Eredményeik pontosságát meg tudják becsülni.

• Készítse el� a tanulók természettudományos fels� fokú tanulmányait.

Követelmény

• Ismerjék a tanulók a kétoldali közelítés módszerét, és tudják is azt alkalmazni. • Ismerjék a négyzetszámok és köbszámok összegére vonatkozó képletet - levezetéssel együtt. • Ismerjék a határozott integrál fogalmát, tulajdonságát, a primitív függvény fogalmát, a Newton-Leibniz

tételt, s tudják a felsoroltakat feladatokban alkalmazni. • Ismerjék a téglány- és trapézszabályt, s tudják, hogy ezeknél a lépésköz megválasztásától hogyan függ a

pontosság.

El � zmény A függvényekr� l, sorozatokról, a differenciálszámítás elemeib� l tanult ismeretek. Algebrai ismeretek biztos felhasználása az egyenelet és egyenl� tlenségek megoldásában. A becslések szerepének ismerete, és néhány módszerének ismerete.

Tartalom

• A parabolikus háromszög területe. • Alsó- és fels� közelít� -összegek. • A határozott integrál fogalma és tulajdonságai. • Az integrál mint a fels� határ függvénye. • A primitív függvény fogalma és tulajdonságai. • A Newton-Leibniz tétel, és felhasználása határozott integrál kiszámításához. • Közelít� integrálás (téglány és trapéz szabály). • Az integrálszámítás algoritmusai. • Néhány egyszer� bb improprius integrál. • Néhány egyszer� bb differenciálegyenlet és megoldásuk. • Kapcsolat a geometriai mértékekkel, a fizikai fogalmakkal.



Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot. A témából 2 órás dolgozatot iratunk.

Térgeometriai ismeretek 12.3 spec.mat.


Cél

• A gyakorlati életben el� forduló síkidomok definícióinak, testek származtatási módjának biztos ismerete. • A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása

gyakorlati feladatokban • A térszemlélet fejlesztése. • Testek elkészítése, a modellezés különböz� módszereinek ismerete. • Kombinatorikai problémák megoldása a testekkel kapcsolatosan. Síkmetszetek, áthatások felismerése. • Pontok, testek jellemzésének különféle lehet� ségei a térbeli koordinátarendszerekben.

Követelmény

• Ismerjék a térelemek szögének, távolságának (kitér� egyenesek normál transzverzálisát is) fogalmát, és tudják ezeket különböz� adatokból számítani. Tudják ezeket testekkel kapcsolatos számításokban alkalmazni.

• Ismerjék a mer� leges vetítés tulajdonságait. • Tudjanak méretes, illetve metszési feladatokat megoldani. • Tudják bizonyítani, hogy ötféle szabályos test van.

El � zmény A térgeometriából s a szerkesztésekb� l korábban tanultak ismerete.

Tartalom

• Térelemek távolsága, szöge. • Testek származtatása: paralelepipedon, hasáb, gúla, csonka gúla, tetraéder, oktaéder, dodekaéder,

ikozaéder. • Szabályos testek. Ezek származtatása, beírások. • Összetett feladatok térben • Térgeometriai feladatok megldása vektorokkal, koordináta-módszerrel • Henger, kúp, csonkakúp, gömb, ellipszoid, hiperboloid , tórusz, forgástestek.

Értékelés

• Lásd az általános rész a, és b, pontját. • Teljes órás dolgozatok.

Geometriai mértékek 13.4 spec.mat.


Cél

• A terület, felszín, térfogat szemléletesen megismert fogalmait matematikailag egzakt formába öntjük. • A régr� l ismert terület-, felszín- és térfogatképleteket igazoljuk.



• A kétoldali közelítés módszerének és az integrálszámításnak a fölhasználása a bizonyításokban.

Követelmény

• Ismerjék a sokszög fogalmát, a speciális sokszöget, a kör és részeinek értelmezését és tulajdonságait. • Ismerjék a hasáb, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp, gömb származtatását. • Ismerjék a síkidomok területének és a testek térfogatának definícióját. • Ismerjék az alapvet� terület, felszín, térfogatképletek bizonyítását, s ezeket a képleteket tudják feladatokban

alkalmazni.

El � zmény A geometriai alakzatokról, mértékekr� l és az integrálról korábban tanultak ismerete.A számításos geometria módszereinek ismerete (szögfüggvények, sinus- és cosinustétel, koordináta-módszer).

Tartalom

• A területfogalom és tulajdonságai.

• A téglalap területe, a paralelogramma területe, trapéz, háromszög és deltoid területe. A sokszög területe.

• A területszámítás alkalmazásai.

• Görbevonalú síkidomok területe. Területszámítás határozott integrállal.

• A térfogat fogalma és tulajdonságai.

• A téglatest térfogata, a paralelepipedon térfogata, a hasábok térfogata.

• A tetraéderek, gúlák és csonkagúlák térfogata.

• A szabályos testek térfogata.

• Henger, kúp, csonka kúp, gömb, tórusz, ellipszoid, hiperboloid, forgástestek térfogata.

Értékelés Lásd az általános rész a, és b, pontját. A témából célszer� két órás dolgozatot iratni.

Az ábrázoló geometria elemei 13.4 spec. mat


Cél

• A korábbi években tanult térgeometriai ismeretek (térelemek távolsága, szöge) kiegészítése s alkalmazása gyakorlati feladatokban.

• A mer� leges vetítés. Egyszer� testek két képsíkos ábrázolása, illetve elöl és felülnézeti képb� l a test rekonstrukciója mind a m� szaki, mind a m� vészeti fels� oktatásban továbbtanulásra való felkészítés segítségének érdekében.

• A térszemlélet fejlesztése.

Követelmény

• Ismerjék a térelemek szögét, távolságát (kitér� egyenesek normál transzverzálisát is). • Ismerjék a mer� leges vetítés tulajdonságait. • Tudják hasáboknak, gúláknak, hengereknek, kúpoknak elölnézeti és felülnézeti képét megszerkeszteni, s a

megszerkesztett képekb� l a testre következtetni. • Tudják miként biztosítható a Monge-féle ábrázolásban, hogy négy pont vagy két egyenes egy síkban legyen. • Tudjanak egyszer� méretes, illetve metszési feladatokat megoldani.



El � zmény A térgeometriából s a szerkesztésekb� l korábban tanultak ismerete.

Tartalom

• Térelemek távolsága, szöge. • A két képsíkos ábrázolás elemei: pont, szakasz, egyenes sík, egyszer� testek ábrázolása. • Rekonstrukció. • Egy-két metszési, illetve távolságra vonatkozó feladat speciális felvétel melletti ábrázolása.

Értékelés

• Lásd az általános rész a, és b, pontját. • Célszer� teljes órás felmér� ben e témakörb� l is adni egy-két feladatot.

Feltételek Lásd az általános részben leírtakat. Különösképpen fontos testmodellek készítése és alkalmazása.

Valószín ségszámítás, statisztika 13.5 spec.mat.


Cél

• A statisztikával és a valószín� séggel kapcsolatos ismeretek átismétlése. • A várható érték szerepének megmutatása. • A valószín� ségi szemlélet fejlesztése olyan feladatok tárgyalásával, ahol a kísérletnek végtelen sok

kimenetele lehet. Van nulla valószín� ség� , de nem lehetetlen esemény. • Annak beláttatása, hogy a valószín� ség meghatározása geometriai mértékek segítségével történhet.

(Hosszúság, terület, térfogat.) • A nagy számok törvényének megismerése. • A matematikai modellalkotás kérdéseinek tárgyalása • Ismerkedés a közvéleménykutatás elemeivel. • Ismerkedés a matematikai statisztika alapkérdéseivel, módszereivel.

Követelmény

• Ismerjék a várható érték fogalmát s tudják azt kiszámítani. • Ismerjék a geometriai valószín� ség fogalmát. • Végtelen sok kimenetel� kísérlethez tudjanak geometriai modellt készíteni. • Ismerjék a közvéleménykutatás elemi módszereit. • Ismerjék meg a matematikai statisztika alapvet� módszereit, alapfogalmait: intervallumbecslés,

konfidencia-intervallum, paraméter-intervallum

El � zmény A statisztikából, a valószín� ségr� l, valószín� ségi kísérletr� l és a geometriai mértékekr� l korábban tanultak. Csebisev tétele

Tartalom

• Várható érték és tulajdonságai. • A binomiális, a hipergeometriokus, a geometrikus eloszlás várható értéke és szórása. • Feladatok a valószín� ség geometriai meghatározására. • Nagy számok törvénye • A közvéleménykutatás elemei és eszközei.



• A matematikai statisztika elemi módszerei és alapfogalmai. • Minta, relatív gyakoriság. • Konfidencia-intervallum. • Paraméter-intervallum becslése.

Értékelés Lásd az általános részben megfogalmazott a, és b, pontot.

Rendszerez összefoglalás 13.6 spec. mat


Cél Az évek során tanult matematika anyag rendszerezésének, a tanult témakörök súlyponti fogalmainak, összefüggéseinek, megoldási eljárásainak ismétlésével, az anyagrészek közötti kapcsolatok megmutatásával, feladatok megoldásával az emelt szint� érettségire s a fels� oktatásban való sikeres részvételre felkészítés. Matematikatörténeti vonatkozások ismerete. A matematika egyes filozófiai kérdéseinek taglalása. A matematika eredményeinek felhasználása a különböz� tudományokban.

Követelmény Tudják a tanulók a tanult fogalmak definícióját, tételeket (egyesek bizonyítását is, a tanult algoritmusokat, módszereket. Lássák a matematika különböz� területei közötti kapcsolatokat, a matematikával a tudományokban és a gyakorlatban való felhasználhatóságát. Legyenek képesek a fogalmakat, összefüggéseket, eljárásokat matematikai feladatokban (bizonyítási feladatokban is) s más tantárgyak megfelel� feladataiban alkalmazni. Ismerjenek nagy matematikai felfedezéseket és a felfedezések történetét, az egyes fogalmak történeti alakulását, az egyes matematikusok életpályáját. Tudják megválaszolni azt a kérdést, hogy mi a matematika.

El � zmény A tanterv korábbi évfolyamain és a 13. évfolyam új témáiban el� írt követelmények teljesítése.

Tartalom

G o n d o l k o d á s i m ó d s z e r e k :

a/ Halmazok, matematikai logika 4 óra

Halmazok, megadási módjai, részhalmaz, kiegészít� halmaz. Halmazok közötti m� veletek. Végtelen halmazok elmélete; számosságok. Állítások, logikai értékük. Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. Univerzális és egzisztenciális kvantor.

b/ Kombinatorika, gráfok, algoritmusok 5 óra Permutáció, variáció, kombináció. Binomiális tétel. Pascal háromszög. Elemi gráfelméleti ismeretek. Bejárási problémák, színezései kérdések, Euler-féle poliédertétel, síkbarajzolhatóság, ötszíntétel, négyszíntétel.



A bizonyítások fejl� dése és a bizonyítási módszerek változása. Egyszer� algoritmusok, játékok. Lépésszám-kérdések.

S z á m t a n - a l g e b r a

a/ Számfogalom, m� veletfogalom, számolási eljárások 6 óra

A természetes, az egész, a racionális és a valós számok halmaza. Az alapm� veletek és tulajdonságaik. Csoport, gy� r � , test fogalma. Boole-algebrák, számtestek.Testb� vítés. Közelít� értékek, kerekítések. Számelméleti alapfogalmak. Kongruenciák, számelméleti függvények, nevezetes diophantoszi problémák. b/ Egyenletek, egyenl� tlenségek, a lineáris algebra elemei 9 óra Az egyenletek függvénytani és logikai értelmezése. Az alaphalmaz szerepe. A megoldás (gyök) fogalma és meghatározási módjai. Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások. Az ellen� rzés szerepe. Paraméteres feladatok. Azonosságok. Egyenletrendszerek. A fokozatos közelítés módszere. Szöveges feladatok. Polinomok gyökei. Megoldási algoritmusok. Mátrixok, determinánsok.

F ü g g v é n y e k , s o r o z a t o k

a/ Speciális függvények 4 óra

A függvény fogalma. Speciális függvények: konstans, lineáris, egészrész, törtrész, másodfokú, abszolutérték, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények. A függvények grafikonja s elemi tulajdonságai. Függvény transzformációk.

b/ Sorozatok, sorok 3 óra A sorozat fogalma. Számtani, mértani sorozat. Rekurzióval megadott egyéb sorozatok. Sorozatok monotonitása, konvergenciája. A végtelen mértani sor.

c/ Analízis 7 óra Függvények korlátossága és monotonitása.

Függvény határértéke, folytonossága. Differenciálhányados, derivált függvény. Differenciálisi szabályok. Függvényvizsgálat differenciálás segítségével. Széls� érték meghatározási módok. A határozott integrál, a primitív függvény fogalma.



A tanult függvények primitív függvényei. Newton-Leibniz tétel. Integrálási módszerek. Differenciálegyenletek fizikai alkalmazásai. Közelít� integrálás.

G e o m e t r i a a/ Geometriai alakzatok, bizonyítások 4 óra

Nevezetes ponthalmazok, síkidomok, testek, tulajdonságaik. Elemi sík és térgeometriai tételek.

b/ Geometriai transzformációk 3 óra

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk, tulajdonságaik. Szerepük a bizonyításokban és a szerkesztésekben. A mer� leges vetítés, szerepe a két képsíkos ábrázolásban.

c/ Vektorok, trigonometria, koordináta-geometria 5 óra Vektor fogalma, m� veletek a vektorok körében. Vektorok koordinátái. Hegyesszög szögfüggvényei. Sinus- és cosinus tétel. A háromszög hiányzó adatainak kiszámolása. Az egyenes egyenletei, egyenletrendszere (síkban és térben). A kör egyenletei. A kúpszeletek definíciója, egyenleteik. A kúp és henger síkmetszetei.

V a l ó s z í n � s é g s z á m í t á s , s t a t i s z t i k a 4 óra Statisztikai alapfogalmak: módus, medián, átlag, szórás, várható érték. Grafikonok, táblázatok készítése és olvasása. Valószín� ségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság. A valószín� ség kiszámítási módjai. Feltételes valószín� ség. Binomiális-, geometriai- és hipergeometriai eloszlás. Csebisev tétele és a nagy számok tétele. A közvéleménykutatás elemei. A matematikai statisztika alpvet� fogalmai, eljárásai.

D o l g o z a t í r á s r a , é r t é k e l é s r e 6 óra

Értékelés

Lásd az általános rész a, és b/1, b/3, pontját.

Documents

matematika - spec · 2005. 11. 13. · Matematika 9-13. speciális matematika tagozat OKI96PÁLMAT 9-12. átdolgozott, az érettségi általános követelményeit, a nyelvi el készít