MATEMATIKA A GIMNÁZIUM 9–12. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA matematika 9-12.pdf · beiktatása helyett inkább a gyakorlásra fordítunk több időt. Mivel iskolánk a 9-10. évfolyamon

HELYI TANTERV / GIMNÁZIUM / MATEMATIKA 9–12.

A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 1

MATEMATIKA

A GIMNÁZIUM 9–12. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA

Iskolánkban a matematika tantárgyat csoportbontásban, differenciáltan oktatjuk. Ez lehetőséget biztosít arra, hogy a tanulók érdeklődését, illetve kialakuló továbbtanulási szándékát rugalmasan figyelembe vegyük. A kilencedik évfolyamtól diákjaink választhatnak az általános és az emelt szintű matematikaoktatás között. A jogszabályoknak megfelelően az iskola biztosítja az emelt szintű érettségire való felkészülés lehetőségét a 11-12. évfolyamon az általános osztályban is. A felkészülés kiemelt fakultáció keretében zajlik. Ennek megfelelően a 9-10. évfolyamon kétféle, a 11-12. évfolyamon négyféle tanterv szerint tanítunk (általános osztály-középszintű érettségi, általános osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-középszintű érettségi). Valamennyi tanterv tartalmazza a Kerettanterv által meghatározott tananyagot és a fennmaradó időkeret felhasználásának részletezését. A Kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az emelt szintű tantervek értelemszerűen előírnak a Kerettanterv követelményein túlmutató tananyagot. A középszintű érettségire való felkészítés folyamán azonban elsősorban a tudás biztossá tételét tartjuk fontosnak, így új anyagrészek beiktatása helyett inkább a gyakorlásra fordítunk több időt. Mivel iskolánk a 9-10. évfolyamon a matematika óraszámát a szabadon tervezhető órakeret terhére megemelte, erre nagyszerű lehetőségünk van. Az egyes évfolyamok óraszámfelosztása a tantervek elején táblázatba foglalva található. Mivel iskolánk szerkezetváltó gimnázium, különösen fontos feladatának tartjuk a 9. évfolyamra újonnan bekerülő tanulók minél gyorsabb felzárkóztatását, egy szintre hozását. Ennek érdekében a felvételi vizsgát követően áprilisban és májusban előkészítő tanfolyamot szervezünk. A nagygimnáziumi tantervek néhány kiegészítéssel átveszik a Kerettanterv alábbi céljait és fejlesztési követelményeit. Célok és feladatok A NAT bevezetőjében felsorolt célok, értékek és kompetenciák a matematika tantárgy oktatásában a következő területeken jelennek meg: A matematikatanítás elsődleges célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A tanulók gondolkodásának fejlesztésében fontos szerepet kap a helyes és kreatív nyelvhasználat, a hallott és olvasott szöveg értése. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást! Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, akár mindennapi problémák önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma


A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 2

ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogatja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére! A matematika helyi tanterv legfontosabb vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más

tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési

tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha ..., akkor ...” az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos.

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban

A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban.



A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása

A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást.

Helyes tanulási szokások fejlesztése

A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, a tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. Ezen általános elveken túlmenően az egyes tantervek speciális célokat és fejlesztési követelményeket tartalmaznak. Kiemelt fontosságúnak tartjuk diákjaink továbbtanulási szándékának támogatását, a sikeres felvételire való felkészítést, illetve lehetőségeinkhez mérten a felsőoktatási intézményekben való helytállás megalapozását. Ez természetesen a különböző szintű matematikaoktatásban résztvevő diákok számára nem ugyanazt jelenti. Minden esetben nagy súlyt helyezünk azonban a vizsgaszituációk begyakorlására. Az alábbiakban külön ismertetjük az egyes csoportokra vonatkozó célokat, feladatokat és fejlesztési követelményeket, illetve a tananyag megválasztásának sajátos szempontjait.



Az általános osztályból középszintű érettségire készülők számára alapvető cél a kimeneti követelmény, vagyis az érettségi vizsga minél sikeresebb teljesítése. Ennek érdekében, mint már említettük, a 9. és 10. osztályban a matematika óraszámát megemeltük, és bizonyos anyagrészeket átcsoportosítottunk. Célunk, hogy az első két évben olyan erős alapokat rakjunk le, hogy a felkészülés a 11-12. évfolyamon a minimális óraszámban se jelentsen gondot, s a diákok ideje felszabaduljon az érdeklődésüknek és orientációjuknak megfelelő tantárgyak magas szintű elsajátítására. Fontosnak tartjuk ugyanekkor a motiváció erősítését részint gyakorlatorientált feladatokkal, részint érdekességekkel (pl. stratégiai játékok) a matematika iránt kevésbé érdeklődő tanulókban is.

Azok a diákok, akik az általános osztályból emelt szintű érettségire jelentkeznek, jóval komolyabb feladat elé néznek. Heti óraszámukat ezért a 11-12. évfolyamon hat, majd nyolc órára emeltük. Ebben a csoportban tantervi keretben nem foglalkozunk az országos versenyekre való felkészüléssel, hanem az emelt szintű követelmények teljesítésére koncentrálunk. Természetesen ha tanulói igény mutatkozik és időbeli lehetőség adódik, a versenyfeladatok bevehetőek az órakeretbe. Az emelt szintű oktatást az utolsó két évfolyamon lentebb tárgyaljuk részletesebben.

Sajátos helyzetben vannak azok a diákjaink, akik az emelt szintű osztályból csak a középszintű érettségit tűzik ki célul matematikából, hiszen a felső évfolyamokon is emelt óraszámban tanulják ezt a tárgyat. Reményeink szerint egyrészt a középszintű követelmények teljesítése számukra nem fog gondot jelenteni, másrészt ekkora már elkötelezettek más tantárgyak felé. Fontosnak tartjuk ezért, hogy a rendelkezésre álló bőséges időkeretben a matematikát a komplex műveltség részeként mutassuk be nekik. A megszokottnál tágabb teret adunk a tanulói előadásoknak, vitafórumoknak (pl. a valószínűségről), nem elképzelhetetlen a matematikai témákról írt esszék, ismertetők értékelése sem. Az érvelési, kifejezési és íráskészség, a szabatos fogalmazásra való törekvés a humán tárgyakból fakultálók számára is hasznos lehet. Nem tervezzük a kerettantervi anyagot messze meghaladó ismeretek átadását, hiszen ezek a diákjaink az érettségivel tanulmányaikat matematikából várhatóan lezárják. Hangsúlyt helyezünk azonban a logikus gondolkodás és kombinatív készség fejlesztésére, mivel ezek irányultságtól függetlenül a kognitív képességek fontos és gyakorta számonkért részét alkotják.

Az emelt szintű osztályból emelt szintű érettségire jelentkező tanulók nagyon előnyös helyzetben vannak, hiszen előbb heti kettő, majd három plusz matematikaórájuk van. Az emelt szintű oktatásban már az alsóbb évfolyamokon is a kerettanterv anyagát meghaladó ismeretek átadását tervezzük. Órai keretben foglalkozunk a 9., 10. és 11. évfolyamon az országos versenyek feladataival, ez azonban nem jelenti azt, hogy a tanórák időszakonként versenyelőkészítőkké alakulnának. A felkészítésben elsődleges célunknak az emelt szintű követelmények teljesítését tartjuk. A tanórai kereten kívül lehetőség van versenyelőkészítő szakkörök szervezésére.

Az emelt szintű osztály 12. évfolyamán tanulói igény esetén lehetőség van arra, hogy további két fakultációs órában tanuljanak a diákok matematikát (az említett kereteken felül tehát összesen heti kilenc órában). Ezen órák anyagát a felsőfokú oktatás előkészítését szem előtt tartva az alábbi témák közül válogatjuk:

- A feladatmegoldási rutin elmélyítése - A programozás matematikai alapjai, algoritmusok - A lineáris algebra elemei - A közgazdaságtan matematikai alapjai - Komplex számok - Középiskolai versenyfeladatok



Az alábbiakban az egyes nagygimnáziumi osztályok témakörökre lebontott óraszámait és tananyagát közöljük.

Felhasználható órák

Általános osztály

9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam

Gondolkodási módszerek

8 10 2/15 20/20

Számtan, algebra 55 60 40/50 22/35

Függvények, sorozatok

25 6 15/50 20/50

Geometria 50 50 48/60 40/60

Valószínűség, statisztika

16 0/0 20/30

Év végi ismétlés 10 6 6/10 28/29

Összesen 148 148 111/185 150/224



ÁLTALÁNOS OSZTÁLY KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI CSOPORT 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra)

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom A továbbhaladás feltételei

A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése.

Tájékozottság a racionális számkörben.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez.

Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése Esetek leszámlálása felsorolással.

A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése.

Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, „és” és „vagy” jelentése matematikai állításokban.



Számtan, algebra (55 óra)



A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

A hatványozás értelmezése 0, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.

Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 – b3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása,

Számok abszolútértéke, normál alakja A másodfokú azonosságok alkalmazása.

Alapműveletek és zárójelek kezelése a valós számkörben. (folyamatos) Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.

Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei.

A műveleti azonosságok biztos alkalmazása racionális számkörben. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma.

A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel.

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma.. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Szöveges feladatok alaptípusai. Százalékszámítás típusfeladatai, számítások arányos osztással.

A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel.





Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere,új ismeretlen bevezetése, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre.

Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

A rendszerező képesség fejlesztése.

Elsőfokú egyenlőtlenség és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása

Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton.

Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen.

A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmé-let alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás).

Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok), Példa számrendszerekre.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.



Függvények, sorozatok (25 óra)



A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése A megfelelő modell megkeresése Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése.

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre (pl.: egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított

arány, x

ax a .

Értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, szélsőértékek. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai.

Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktransz-formációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással.

Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete.

Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.



Geometria (50 óra)



Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögek-kel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése.

Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező.

A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása

Derékszögű háromszögekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban

Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Pitagorasz tételének alkalmazása.

A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalész- körrel. Pitagorasz tételének alkalmazása kétlépcsős feladatokban.





A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése.

A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevágóságának esetei.

A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete.

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (10 óra)



10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148

Gondolkodási módszerek (10 óra)



A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül).

A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből.

Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

A tanult matematikai modellek alkalmazása gyakorlatorientált feladatokban.

Stratégiai játékok, rejtvények, érdekességek a matematika területéről. A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.)

Számtan algebra (50 óra)



A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között Példák irracionális számokra.

Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete.

A definíciók pontos megfogalmazására való igény fejlesztése

A számolási készség fejlesztése.

A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonosságai. Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.





A hatványfogalom további kiterjesztése.

A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben

Számolás racionális kitevős hatványokkal.

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak,.

A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Törtes másodfokú egyenletek. Egyszerű, a diszkrimináns vizsgálatát megkívánó paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns előjele közötti összefüggés ismerete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése.

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével.

Egyenletek megoldása új ismeretlen bevezetésével egyszerűbb esetekben.

A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában.

Másodfokú egyenletre és egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.

Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.

Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.

Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése.

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a probléma-megoldásban.

Másodfokú egyenlőtlenség megoldása szorzattá bontás és számegyenes segítségével.

Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során.






Függvény és egyenlet kapcsolatának elmélyítése

A négyzetgyökfüggvény, A másodfokú függvény ismétlése, a másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség grafikus megoldása

A másodfokú függvény biztos ábrázolása, tulajdonságainak ismerete

Geometria (40 óra)



A transzformációs szemlélet fejlesztése.

Az egybevágósági transzformációk ismétlése.

Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele.A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága.

A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.





Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja), arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékei-nek kiszámítása.

Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.

A vektorok további alkalmazása.

A vektorok összege, különbsége, szorzása szám-mal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban.

Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése

Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.

A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési feladatok.

Az ívmértékre való átváltás elvégzése.

A matematika gyakorlati felhasználása A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása

Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése.

Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában.



Valószínűség, statisztika (16 óra)



A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése.

Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése Relatív gyakoriság.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)







A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése.

Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok

Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.




A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása.

A hatványozás kiterjesztése negatív egész kitevőre, pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés

A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén.

Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat).

A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak al-kalmazása egyszerűbb esetekben.

Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

.

Exponenciális és logaritmikus egyenletek,

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet esetén.

A koncentrációs készség fejlesztése.

Érettségi szituációs gyakorlat




A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés fejlesztése.

az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.





Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytransz-formációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, matematikai összefüggések és a zsebszámológép célszerű használata.

A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel.

Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban

Függvények alkalmazása algebrai feladatokban.

A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).



Geometria, mérés (48 óra)



Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék fejlesztése.

Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása

Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek

A háromszög szinuszos területképlete.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).

A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.

A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve

A skaláris szorzat alkalmazásai;

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai.

Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel.

Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal

Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben.

Vektorok koordinátáinak biztos használata.

A bizonyítási készség fejlesztése.

Szakasz felezőpontja és harmadoló pontja

A háromszög súlypontja.

Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása.

Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete.

A kör középponti egyenletének ismerete.





Adott probléma többféle megközelítése.

Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Koordinátageometriai módszerek az érintő meghatározására.

Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenes egyenletét Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.


Érettségi szituációs gyakorlat.








Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása.

Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: „és”, „(megengedő) vagy” , állítás tagadása, ekvivalencia, implikáció A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.

Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

A gráf modellként való felhasználása.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.

A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal.

Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok.





Rendszerező összefoglalás Számhalmazok


Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat).

Számelméleti összefoglalás A valós számok és részhalmazai.

Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása.

A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek.

Egyenletek





Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés Az önellenőrzés fontossága.

Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek.

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

Szöveges feladatok



Függvények, sorozatok (20óra)



A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése.

A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra.

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.

Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.





Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természet-tudományokban.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.




A térszemlélet fejlesztése Az esztétikai érzék fejlesztése.

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek.

Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.

A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. Térgeometriai ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban.

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerűbb feladatokban, néhány poliéder és forgástest köréírt és beírt gömbje.

A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.

Rendszerező összefoglalás

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.





A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása.

Vektorok, vektorok koordinátái Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások Derékszögű koordináta-rendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

Valószínűség, statisztika (20 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek


A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.

Valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben.

Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Modellalkotásra nevelés Modell és valóság kapcsolata.

Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus modellje.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

A leíró statisztika és a való-színűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.

Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés).






Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.

Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

Felkészülés az érettségire (28 óra)



Általános osztály

emelt szintű érettségi csoport






Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, binomiális tétel, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok.








A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása.

A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés

A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén.


A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak al-kalmazása egyszerűbb esetekben.






Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek Paraméteres egyenletek Egészek körében oszthatósági feltétellel megoldható exponenciális egyenletek. Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek.

A definíció és az azonosságok alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén.

A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása.

Emelt szintű érettségi feladatok





Az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.

Az exponenciális és a logaritmus függvény grafikonjainak ismerete.






A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás, korlátosság, konvexitás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx , x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel.



A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tarto-mány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Az alapfüggvények transzformációi.






A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n.-edik tag, az első n elem összege. A számtani és mértani közép tulajdonság. Áttéréses feladatok Kamatoskamat-számítás, törlesztőrészlet- és gyűjtőjáradékszámítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonacci-sorozat).

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban.

Bevezetés a matematikai analízisbe Az absztrakciós készség fejlesztése a végtelen fogalmának vizsgálata során.

Sorozatok monotonitása, korlátossága, számhalmaz alsó és felső határa, Határérték fogalma Műveletek és határérték Nevezetes határértékek. A végtelen mértani sor fogalma, összege

A határérték fogalmának megértése.


Emelt szintű érettségi feladatok.






Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek

A háromszög szinuszos területképlete.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó ada-tainak meghatározása).





A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.

A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), tg(a ± b), sin2a, cos2a, tg2a)

Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) Vektorok alkalmazásai

A kétszeres szögek szögfüggvényeinek ismerete. Trigonometrikus egyenletek néhány típusának ismerete.


Helyvektor Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal

Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben.



Szakasz osztópontja

A háromszög súlypontja.


Két pont távolsága, szakasz hossza A kör egyenlete.







Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Pont és egyenes távolsága Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Két kör kölcsönös helyzete. A kör érintője Az érintő meghatározása Thalész-körrel, vektoros és paraméteres módszerrel A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete Elemi geometriai problémák megoldása koordinátarendszer segítségével.

Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenes egyenletét Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Érintő szerkesztése legalább egyféle módszerrel.


Emelt szintű érettségi feladatok .









Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.


A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában Bináris kódok.









A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok Közelítő értékek.

Egyenletek






Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičte-formulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek.


Szöveges feladatok Paraméteres feladatok.








A mindennapi életben is használt fizikai fogalmak matematikai hátterének megértése.

Az összetett függvény fogalma Függvényhatárérték és folytonosság Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény A derivált geometriai jelentése Elemi függvények derivált függvényei Deriválási szabályok Függvény érintője A derivált és szélsőérték kapcsolata, szélsőérték keresése függvényeknél és egyszerűbb szöveges feladatokban.

Egyszerű függvények derivált függvényének meghatározása.

A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok.

Primitív függvény, határozatlan integrál. Elemi függvények integráljai, egyszerűbb integrálási módszerek. Határozott integrál, terület, felszín és térfogatszámítás.



A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.











A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése A térlátás fejlesztése.

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása A terület és a térfogat fogalma A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei.

A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása Síkmetszetek célszerű alkalmazása.

Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.














A körülmények kellő figyelembevétele Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Egyszerű valószínűség-számítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”).

Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására.

A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai.

A feltételes valószínűség , teljes valószínűség tétele Bayes-tétel, események függetlensége Egyszerűbb feladatok.

A feltételes valószínűség fogalmának megértése.

A várható érték véges esetben. Tönkremenési probléma egyszerűbb esetekben.





A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése.

Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)



Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság.

Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

Felkészülés az emelt szintű érettségire (29 óra)



felhasználható órák tagozatos osztály

9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam

Gondolkodási módszerek

11 12 20/18 25/25

Számtan, algebra 64 62 54/32 40/40

Függvények, sorozatok

30 26 58/40 35/15

Geometria 60 60 54/40 60/40

Valószínűség, statisztika

10 15 24/10 15/12

Év végi ismétlés 10 10 12/8 50/28

Összesen 185 185 222/148 224/160



tagozatos osztály emelt szintű érettségi csoport 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 185 Gondolkodási módszerek (11 óra)



A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyilt, zárt). A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése

Tájékozottság a racionális számkörben.

Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Példák véges és végtelen halmazokra. Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez.

Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése.

A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése.

Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Egyváltozós és kétváltozós logikai műveletek, a logikai igazság fogalma, implikáció tagadása. Egy-két példa indirekt bizonyításra.

Állítás tagadásának pontos képzése.








A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.

Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Kombinatív készség fejlesztése.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3, an - bn, a2k+1 + b2k+1, szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása.

Számok abszolútértéke, normál alakja A másod- és harmadfokú azonosságok alkalmazása.

Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.

Ezen azonosságok alkalmazása algebrai törtekkel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei

Műveletek algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma.

A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel.

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával Törtes egyenletek A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma. Elsőfokú paraméteres egyenletek Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről.

A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel.





Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése

Elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer, új ismeretlen bevezetése) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre Paraméteres lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldások számának vizsgálata.

Két ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

A rendszerező képesség fejlesztése.

Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton.

Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen.

A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmé-let alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás).

Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok), a prímszámok száma. Példa számrendszerekre. Összes osztó felírása, osztók száma. Négyzetszámok kanonikus alakja, osztóinak száma. Oszthatósági bizonyítások szorzattá alakítással. .

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete Számok prímtényezőkre való bontása Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörö Összes osztó felírása prímtényezős alakból.

Betekintés az országos versenyek feladataiba .






A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése A megfelelő modell megkeresése Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése.

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított

arány, x

ax a

Értékkészlet,értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőértékek Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai.

Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktransz-formációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással.

Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete.

Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.



Geometria (60 óra)



Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögek-kel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése Sokszögek szögösszege, összes átlóinak száma Külső szögek tétele.

Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező.

A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása

Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma Pitagorasz tételének alkalmazása.

A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalész- körrel.





A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése.

A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai) Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának feltételei, speciális sokszögek egybevágóságának esetei.

A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete.

A vektorok további alkalmazása.

A vektorok összege, különbsége, szorzása szám-mal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban.

Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése, vektor felbontása merőleges összetevőkre.

Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.

A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési feladatok.

Az ívmértékre való átváltás elvégzése.

Betekintés az országos versenyek feladataiba.






A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése.

Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (10 óra)







A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül)

A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből.

Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.


A tanult matematikai modellek alkalmazása gyakorlatorientált feladatokban.

Stratégiai játékok, rejtvények, érdekességek a matematika területéről A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.)

Számtan algebra (62 óra)



A definíciók pontos megfogalmazására való igény fejlesztése

A számolási készség fejlesztése.

A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonosságai

Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása.






A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása A gyöktényezős alak ismerete.

A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2, szakaszok összemérhetetlensége).

n egész vagy irracionális

Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete.

A hatványfogalom további kiterjesztése.

A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés

Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben

Számolás racionális kitevős hatványokkal.


Paraméteres másodfokú egyenletek. Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási módszerei. Az új ismeretlen bevezetésének módszere

Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása.

Másodfokú egyenletrendszerek leggyakoribb tipusainak megoldása

Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése.

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével.

Egyenletek , egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével.

A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában.

Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.





Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.

Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, négyzetgyökös egyenletek Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.

Négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepének ismerete egyenletek megoldásában.

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.

Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A megoldások ábrázolása számegyenesen.

Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során.







Függvény és egyenlet kapcsolatának elmélyítése

A gyökfüggvények A másodfokú függvény ismétlése, a másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség grafikus megoldása

A másodfokú függvény és gyökfüggvények biztos ábrázolása, tulajdonságainak ismerete



Geometria (60 óra)



A transzformációs szemlélet fejlesztése.

A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; húr-négyszög fogalma, húrnégyszögek tétele Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága.

A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A kerületi és középponti szögek tételének ismerete.

Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, (újabb bizonyítás hasonlósággal arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékei-nek kiszámítása.

Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.









A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.

További valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben.

Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Modellalkotásra nevelés Modell és valóság kapcsolata.

Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus modellje.

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.









Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok.










A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak al-kalmazása


Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek

Paraméteres egyenletek Egészek körében oszthatósági feltétellel megoldható exponenciális egyenletek Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek..













Az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.







A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definiciója és értelmezési tartománya Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2a + cos2a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, korlátosság, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

A szögfüggvények definíciójának ismerete, az

x a sinx , x a cosx és

x a tgx

x a ctgx függvények ábrázolása és tulajdonságai

Szögvisszakeresés egységkörrel és függvénnyel.


Függvények alkalmazása algebrai feladatokban

A szögfüggvényekről tanultak áttekintése A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tarto-mány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) Az alapfüggvények transzformációi.






A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n-edik tag, az első n elem összege. A számtani és mértani közép tulajdonság. Áttéréses feladatok Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonacci-sorozat).


Bevezetés az matematikai analízisbe Az absztrakciós készség fejlesztése a végtelen fogalmának vizsgálata során.

Sorozatok monotonitása, korlátossága, számhalmaz alsó és felső határa Határérték fogalma Műveletek és határérték Nevezetes határértékek

A határérték fogalmának megértése.

A mindennapi életben is használt fizikai fogalmak matematikai hátterének megértése.

Függvényhatárérték és folytonosság. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény A derivált geometriai jelentése. Elemi függvények derivált függvényei Deriválási szabályok Függvény érintője A derivált és szélsőérték kapcsolata, szélsőérték keresése függvényeknél és egyszerűbb szöveges feladatokban.

Egyszerű függvények derivált függvényének meghatározása.










A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a)

Trigonometrikus egyenletek.

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás) Vektorok alkalmazásai

A kétszeres szögek szögfüggvényeinek ismerete. Trigonometrikus egyenletek néhány típusának ismerete.



Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó ada-tainak meghatározása).



Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben



Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja.









Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Pont és egyenes távolsága Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Az érintő meghatározása Thalész- körrel, vektoros és paraméteres módszerrel A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete Elemi geometriai problémák megoldása koordinátarendszer segítségével.

Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Érintő szerkesztése legalább egyféle módszerrel.












A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai.

A feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele Bayes-tétel, események függetlensége Egyszerűbb feladatok.

A feltételes valószínűség fogalmának megértése.

A várható érték véges esetben Tönkremenési probléma egyszerűbb esetekben.


Statisztikai mintavétel. (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)










Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggések tudatosítása.

Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.



A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában. Bináris kódok.










Egyenletek






Nevezetes másod- , harmad- és n-edfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičte-formulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyenletek.








A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok.

Primitív függvény, határozatlan integrál. Elemi függvények integráljai, egyszerűbb integrálási módszerek. Határozott integrál, terület, felszín és térfogatszámítás.







A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.










A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a térfogat fogalma A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei.

A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása. Síkmetszetek célszerű alkalmazása.

Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.














A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.



Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság A klasszikus valószínűségi modell.


Felkészülés az emelt szintű érettségire (50 óra)



Emelt szintű osztály

Középszintű érettségi csoport 11. ÉVFOLYAM





A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai

Tanulói előadások a logaritmus kialakulásáról, történelmi jelentőségéről a csillagászatban és mérnöki számításokban, valamint jelentőségének csökkenéséről a számítógépek korában.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak al-kalmazása


Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek

Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek.



Érettségi szituációs gyakorlat







Az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben Biológiai példák exponenciális és logaritmikus folyamatokra, tanulói előadások

A logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze.




A szögfüggvényekről tanultak áttekintése A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx)

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tarto-mány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték)


A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n.-edik tag, az első n elem összege A számtani és mértani közép tulajdonság Áttéréses feladatok Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonacci-sorozat)


.A matematika szépségének bemutatása, kapcsolata a látszólag távoleső tudományterületekkel

A modern matematika beágyazása az általános műveltségbe.

Játék a végtelennel. A mozgás paradoxona és a határérték. Achillesz és a teknősbéka Különböző végtelen számosságok. Tanulói előadások, esszék és vitafórumok.











A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a)

Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek.

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás) Vektorok alkalmazásai.

.



Vektor 90°-os elforgatottja koordinátarendszerben



Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja.









Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Pont és egyenes távolsága Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Az érintő meghatározása Thalész-körrel, vektoros és paraméteres módszerrel. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete. Számítógépes tervezési, lakberendezési feladatok A koordinátarendszerek fejlődése és szerepe a térképészetben, csillagászatban Tanulói előadások.

Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Érintő szerkesztése legalább egyféle módszerrel.











Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)









Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.



A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában Bináris kódok.










Egyenletek






Nevezetes másod- , harmad- és n-edfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičte-formulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyenletek.










A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.












A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a térfogat fogalma A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerű térgeometriai feladatokban Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei.

A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása Síkmetszetek célszerű alkalmazása.

Rendszerező összefoglalás

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok.














A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára.




A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai Viták a valószínűség fogalma körül.

Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság A klasszikus valószínűségi modell.


Felkészülés az érettségire(28)

Documents

MATEMATIKA A GIMNÁZIUM 9–12. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA matematika 9-12.pdf · beiktatása helyett inkább a gyakorlásra fordítunk több időt. Mivel iskolánk a 9-10. évfolyamon