Upload
others
View
10
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA „A” 11. évfolyam
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény
Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 2
A modul célja A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozás azonosságainak ismerete,
műveletek végzése, alkalmazása feladatokban. Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok ismerete, műveletek végzése, alkalmazása feladatokban. Hatványfüggvény és gyökfüggvény grafikonjának ábrázolása, a függvé-nyek jellemzése. Gyökfüggvény mint a hatványfüggvény inverze.
Időkeret 7 óra Ajánlott korosztály 11. osztály Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Fizikai, kémiai, gazdasági folyamatok.
Szűkebb környezetben: Geometriai transzformációk. A logaritmus fogalma, exponenciális kifejezések. Logarit-mikus és exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Logaritmusfüggvény, exponenciális függvény. Vektorok. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Ajánlott megelőző tevékenységek: A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azo-nosságai. A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok, gyökjel alól való kihozatal, gyökjel alá való bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Másodfokú, abszolútérték és négyzetgyök függvény grafikonjának ábrázolása, a függvények jellemzése. Vektorok, geometriai transzformációk. Másodfokú, abszolútértékes és négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ajánlott követő tevékenységek: A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. Exponenciális kifejezések értelmezése. A logaritmus azonosságai. A logaritmus és az exponenciális függvény. Logaritmusos és exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. Mértani soroza-tok, kamatos-kamat számítás. Az analízis elemei.
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 3
A képességfejlesztés fóku-szai
Számolás, számlálás, számítás: Hatványértékek kiszámítása. Függvényérték, zérushely, szélsőérték kiszámítá-sa. Koordináta-rendszerben a grafikon pontjainak meghatározása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Koordináta-rendszerben irracionális, illetve racionális koordinátájú pontok helyének meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Az elméleti anyag feldolgozása. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A hatványozásra és a négyzetgyökre vonatkozó azonosságok átismétlé-se. A hatványozás azonosságainak alkalmazása. Az n. gyökre vonatkozó azonosságok alkalmazása. Összetett függvények grafikonjának rajzolása függvénytranszfromációkkal. Függvények jellemzése. Kapcsolat a hat-vány- és a gyökfüggvény között. Kapcsolat a páros kitevőjű hatványfüggvények között. Kapcsolat a páratlan kitevőjű hatványfüggvények között. Kapcsolat a páros kitevőjű gyökfüggvények között. Kapcsolat a páratlan kitevőjű gyökfüggvények között. Értelmezési tartomány vizsgálata. Induktív, deduktív következtetés: A hatványozás azonosságainak alkalmazása általános és konkrét esetben. Az n. gyökre vonatkozó azonosságok alkalmazása általános és konkrét esetben. A hatványozás és gyök definíciójának kiterjesztése a permanencia-elv alapján. Hatványfüggvény és gyökfüggvény grafikonjának ábrázolása konkrét esetben, majd általánosítva. Függvénytranszformációk alkalmazása konkrét esetekben.
TÁMOGATÓ RENDSZER
• Táblázatok, grafikonok, kidolgozott elméleti anyag, totó.
• 6 darab kártyakészlet, 1 fólia (külön dokumentumokban).
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 4
JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS
1. óra A hatványozásról tanultak ismétlése (1 óra)
2. óra A négyzetgyökről tanultak ismétlése (1 óra)
3. óra Az n-edik gyök (1 óra)
4. óra A hatványfüggvény és a gyökfüggvény (2 óra)
5. óra A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre (2 óra)
ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK
Középszint A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Definiálja és használja az an fogal-mát. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblá-zat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvé-nyeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f (x) + c; f (x + c); c f (x); f (c x) ]. Tudja ábrázolni az f (x) = x ; g (x) = x2 és h (x) = x3 függvények grafikonját. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából.
Emelt szint Permanencia-elv. Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevők esetén. Bi-zonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja ábrázolni az f (x) = xn függvényt. Tudjon a témába tartozó függvényekből összetett függ-vényeket képezni, valamint e függvények transzformáltjainak grafikonját elkészíteni (c f(ax + b) +d).
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 5
MODULVÁZLAT
Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek
Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény
I. A hatványozásról tanultak ismétlése (1 óra)
1. A hatványozás és a hatványozás azonosságainak ismétlése. Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás
2.1 kártyakészlet
2. A hatványozás azonosságainak gyakorlása. A mintapéldák közös megbeszélése.
1. és 2. mintapéldák
3. Feladatok megoldása
Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 1–5. feladatokból válogatva
II. A négyzetgyökvonásról tanultak ismétlése (1 óra)
1. A négyzetgyökvonás, és a négyzetgyökvonás azonosságainak ismétlése. A mintapélda közös megbeszélése.
Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás
3. mintapélda
2. A négyzetgyökvonás azonosságainak gyakorlása. 2.2 kártyakészlet 3. Feladatok megoldása
Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 6–12. feladatokból válogatva
III.Az n-edik gyök (1 óra)
1. Az n-edig gyök fogalmának bevezetése. Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás, induktív , deduktív gondol-kodás
4. és 5. mintapéldák
2. Minden csoportba osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákat, differen-ciálva a tanulók képességei szerint. Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most együtt. Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszamegy a saját csoport-jába, és a többieknek elmondja a feladatának a megoldását
Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás.
13–16. feladatokból válogatva
3. Feladatok megoldása Kombinatív gondolkodás 17., 18. feladatokból válogatva
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 6
IV. Hatványfüggvény és gyökfüggvény (2 óra)
1. Hatványfüggvény és az n-edik gyök függvény grafikonja és jel-lemzése: A tanulók 4 fős csoportokat alkotnak. A tanár minden csoportban kiosztja a 3. kártyakészletben található feladatkártyákat. Akik ugyanazt a kártyát kapták, menjenek egy közös asztalhoz, és ké-szítsenek plakátot a kártyájukon található függvényekről: Hatá-rozzák meg a függvények értelmezési tartományát, majd ábrázol-ják azokat közös koordináta-rendszerben és jellemezzék is. Ha elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és csoportforgóval körbe mennek. Minden plakátnál az magyaráz, aki a plakát készítésében részt vett.
Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás, induktív, deduktív gondol-kodás, számolás, számlálás, metakogníció, becslés
2.3 és 2.4 kártyakészlet 2.7 fólia 6–10. mintapéldákból válogatva 19–21. feladatokból válogatva
2. Kapcsolat a hatványfüggvény és a gyökfüggvény között: A tanu-lók a csoportokon belül párokban dolgoznak. A tanár minden csoportban szétosztja a feladatkártyákat és a be-tűket a 5. kártyakészletből. Mindenki a saját kártyájának megfele-lően közös koordináta-rendszerben ábrázolja a függvé–nyeket, és jellemzi is a függvényeket egymás mellett, két oszlopban, ahogy a mintapéldákban is szerepel. Ha készen vannak a feladataikkal, elmondják egymásnak tapasztalataikat, kielemezve az oszlopok tartalmát.
Rendszerzés, kombinatív gondol-kodás, számlálás
11., 12. mintapéldák 2.5 kártyakészlet
3. Értelmezési tartomány vizsgálata: a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd ki-cserélik és kijavítják egymásét)
Kombinatív gondolkodás, számolás 13. mintapélda 22., 23. feladatok
4. Függvények ábrázolása, és a függvény jellemzése: a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd kicserélik és kijavít-ják egymásét)
Kombinatív gondolkodás, deduktív gondolkodás, számlálás, számolás
14–16. mintapéldák 24–27. feladatokból válogatva
Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 7
V. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre (2 óra)
1. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre. A mintapéldák közös megbeszélése.
Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás
17–19. mintapéldák
2. Dominó játék. A törtkitevős hatványok gyakorlására, a fogalom elmélyítésére. Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Fel-adatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy, hogy minden kifejezéshez megtalálják a hozzátartozó értéket.
2.6 kártyakészlet
3. Feladatok megoldása 28–33. feladatokból válogatva 4. Matematikai TOTÓ. Minden tanuló egyedül dolgozik a feladato-
kon. Ha letelt az idő, vagy elkészültek a tanulók, akkor mindenki átadja a padtársának a füzetét, aki a feladatok közös megbeszélé-se alapján kijavítja a TOTÓ-t. A hibátlan kitöltőket megjutalmaz-hatjuk.
Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. TOTÓ
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8
I. A hatványozásról tanultak ismétlése Az előző évek során, megismerkedtünk a valós számok egész kitevőjű hatványaival, valamint
a hatványozás azonosságaival, illetve a négyzetgyökvonással és a négyzetgyökös azonossá-
gokkal. Ezeket az ismereteinket szeretnénk kibővíteni, de előbb ismételjük át a tanultakat.
Módszertani megjegyzés: Minden csoportnak 4 pakli kártyát adunk. A csoport minden tagja
választ magának egy paklit, majd megoldja a feladatokat. Az önálló feladat megoldása után a
csoport megbeszéli minden feladat megoldását, valamint közösen megpróbálják felírni a hat-
ványozás azonosságait. A tanár felír egyet az azonosságok közül, majd húz egy csoportszámot
és egy jelet. Az a diák, akinek a jelét kihúzták, táblára felírja a hozzá tartozó kifejezéseket, a
többiek ellenőrzik, hogy jót írt-e.
2.1 kártyakészlet
I. Pakli 53 −⋅ xx 8
6
xx 2
1x
( )21−x
II. Pakli 749 −⋅⋅ xxx 4
10
xx
1
6
1 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x ( )32x
III. Pakli xxx ⋅⋅ −− 72 3
5
xx −
2
4
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x ( )42−x
IV. Pakli 057 xxx ⋅⋅ 8
20
xx 102
11xx⋅ ( ) 34 −−x
Hatványozás egész kitevőre
43421Ktényeződarabn
n aaa ⋅⋅= , ahol NR ∈>∈ nna ,1,
aa =1 , ha R∈a . 10 =a , ha R∈≠ aa ,0 . ( 00 -t nem értelmezzük)
nn
aa 1
=− , ha +∈∈≠ NR naa ,,0
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 9
Mintapélda1
Számítsuk ki a 24
444
4813510628
−−
−−
⋅⋅⋅⋅ kifejezés pontos értékét!
Megoldás: Az alapokat írjuk fel prímszámok szorzataként és alkalmazzuk a hatványozás azonos-
ságait:
( ) ( ) ( )( ) ( ) 16
1212
2375523272
2375523272
44
4444
444448
2244
4442
===⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅ −−−−
−−−−
−−
−−
Mintapélda2
Az a-nak hányadik hatványa az ( ) ( )( ) 439
52476
−
−−
aaaaa kifejezés?
Megoldás: Bontsuk fel a zárójeleket és alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, ha 0≠a :
153
12
129
10286
aaa
aaaaa
==⋅⋅⋅
−−
−−
. Tehát a kifejezés a-nak 15. hatványa.
Feladatok
1. Melyik szám a nagyobb?
a) 34 77 ⋅ vagy ( )427 b) 5
9
1111 vagy 31111⋅
A hatványozás azonosságai A hatványozás definíciójában felso-rolt feltételek esetén:
1. mnmn aaa +=⋅
2. mnm
n
aaa −= 0≠a
3. ( ) nnn baba ⋅=⋅
4. n
nn
ba
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0≠b
5. ( ) mnmn aa ⋅=
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 10
c) 1010 32 ⋅ vagy 65 66 ⋅ d) 9
6
1272 vagy 515
10
2954⋅
e) 5464
63362832
22
⋅⋅⋅⋅ vagy
369063021
2
322
⋅⋅⋅ f) 43
343
3570281425−
−
⋅⋅⋅ vagy 12
53
72483612
−
−
⋅⋅
Megoldás: a) 87 77 <
b) 44 1111 =
c) 1110 66 <
d) 3222332273
3232 5
530
30103
918
1218
==⋅⋅
<==⋅⋅
e) 294237532
7532343732
732 2264
22753
68
368
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅
>==⋅⋅⋅
f) 23
232
25
752752 7
5
747
113
162
=⋅
>=⋅⋅⋅⋅
−−
−
2. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!
a) ( ) ( )( ) ( )8325
2743
aaaa
⋅
⋅ b) ( )( ) ( ) 3552
1232
−−−−
−−−
⋅
⋅
bbbb c) ( ) ( )
( ) ( ) 2563
207234
−−−
−−
⋅
⋅⋅
ccccc
d) ( )( ) ( )25332
534
baaba⋅
e) ( ) ( )( ) ( ) 246237
42332
−−−
−−−
⋅
⋅
abbaabab f)
17223
33
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
baba
ba
Megoldás:
a) 834
26−= a
aa b) 31
25
6−
−
= bbb c) 2
8
6
ccc
=−
−
d) 581012
1520
bababa
= e) 17186
1811
ababa
=−−
−
f) 3
3. Rakd növekvő sorrendbe a következő számokat!
( )122203
31
34;
25;
23;
21;
43;
41;5,0;
23 −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Megoldás:
43;25,6
425;25,2
49;4;1;015625,0
641;125,0
81;
23
=−=−=−=−
( )221013
32
25
21
23
43
34
415,0
23
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<−<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 11
4. Írd fel a következő kifejezéseket törtmentes alakban!
32534362
1;4;1;1;5;1;163;
252;
641;
271;
91;
31
babababa −−−
Megoldás: 32534362426321 ;4;;;5;;23;52;2;3;3;3 −−−−−−−−−−− ⋅⋅ babababa
5. Írd fel a következő kifejezéseket negatív kitevő használata nélkül!
3
45223
1212
43;7;4;3;
53;
41;3;2 −
−−−−−
−−−− ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
bababa
Megoldás:
4
3
52232
2 43;7;4;3;
35;164;
31;
41
21
ab
baba==
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 12
II. A négyzetgyökről tanultak ismétlése
Mintapélda3
Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!
a) 182 ⋅ b) 2
72 c) 51105110 +⋅−
d) ( ) 31923 ⋅− e) ( )25273 − f) 8045203 −+⋅
Megoldás: a) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot: 636182 ==⋅
b) 6362
72==
c) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot, majd alkalmazzuk az összeg
és a különbség szorzatára vonatkozó nevezetes azonosságot:
( )( ) ( ) =−=+−=+⋅−22 51105110511051105110
74951100 ==−=
d) Felbontjuk a zárójelet: 152495769319233 −=−=−=⋅−⋅
e) Alkalmazzuk a kéttagú különbség négyzetére vonatkozó azonosságot:
( ) ( ) ( ) =⋅+−⋅=+⋅⋅−=− 545712795252732735273222
35128320351263 −=+−=
f) Emeljünk ki a gyökjel alól:
55545352351659543 =−⋅+⋅⋅=⋅−⋅+⋅⋅
A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok
1. 0,0 ≥≥⋅=⋅ bababa
2. 0,0 >≥= baba
ba
3. ( ) Zkaaakk ∈>= ,0
A négyzetgyök
Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete a.
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 13
Módszertani megjegyzés: Kártyajáték. A feladat a 4 összeillő kártya összegyűjtése. Egy meg-
felelő négyes azonos értékeket tartalmaz. A tanár minden asztalra kitesz egy összekevert (16
darabos) paklit írással lefelé. Egy csoporton belül valaki kiosztja a kártyákat. Mindenkinek 4-
et ad. Körbe-körbe haladva mindenki letesz az asztal közepére egy számára felesleges lapot.
Ha valakinek kell az a lap, felveheti középről, de le kell tennie egy másikat. Ha a megfelelő
lapok nála vannak, akkor viszont ő győzött. A győzelemért 3 pont jár, a 2. helyért 2 pont, a 3.-
ért 1 pont, a 4. helyért pedig 0. Ha van idő, több menetet is lejátszhatnak.
2.2 kártyakészlet
122 ⋅ 62 6
12 3
72
126 ⋅ 26 212
3216
86 ⋅ 34 3
12 2
96
128 ⋅ 64 6
24 2
192
Feladatok
6. Végezd el a következő műveleteket!
a) 312 ⋅ b) 818 ⋅ c) 2
98 d) 375
e) 333 ⋅ f) ( )22
3
g) ( ) 51255 ⋅+ h) ( )3
24962 −⋅
Megoldás: a) 636 = b) 12144 = c) 749 = d) 525 = e) 981 =
f) 24 = g) 3025562525 =+=+ h) 4481664 =−=−
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 14
7. Melyik szám a nagyobb?
a) 153 ⋅ vagy 2
92 b) 2
905 ⋅ vagy ( )5
135603 +⋅
c) 723 ⋅ vagy ( ) 1263
3
⋅
Megoldás: a) 4645 < b) 1596813615225 =+=+== c) 5456 >
8. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) 774774 +⋅− b) 21372137 +⋅−
Megoldás: a) 5254974 ==− b) 4162137 ==−
9. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) ( )2273 + b) ( )21223 −
c) 2
158158 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++ d)
2
337337 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
Megoldás: a) 489230812302727323 =⋅+=+=+⋅+
b) 27645148364312412343 =⋅−=+−=⋅+⋅−
c) 3072164921615815642158 =⋅+=+=−+−++
d) 642141621433733492337 =⋅−=−=++−−−
10. Végezd el a következő műveleteket!
a) 128 98 50 18 8− + − + b) 147 108 75 27 12+ − + −
c) 25a 16a 36a 9a− + − d) 49b 25b 64b 9b− + −
Megoldás: a) 252223252728 =+−+−
b) 393233353637 =−+−+
c) aaaaa 43645 =−+−
d) bbbbb 73857 =−+−
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 15
11. Melyik szám a nagyobb?
a) 5 3 vagy 6 2 ; b) 3 5 vagy 4 3
Megoldás: a) 7275 > b) 4845 <
12. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét!
a) 35
b) 65 2
c) 53 1−
d) 23
7−
e) 7 27 2+−
Megoldás:
a)5
53 b) 5
23 c) 2
535 + d) 2737 + e) 5
1429 +
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 16
III. Az n-edik gyök
Mintapélda4
Egy kocka térfogata 3cm125 . Mekkora a kocka élének a hossza?
Megoldás: Mivel a kocka térfogata: 3aV = , ezért 3125 a= . Azt a számot keressük, amelynek a
harmadik hatványa 125. Ez a szám az 5, mert 12553 = .
Például 51253 = , mert 12553 = .
Mintapélda5
Két kocka térfogatának különbsége 504 cm3, élhosszuk különbsége 6 cm. Számítsuk ki a
térfogatuk arányát! Mekkora a hasonlóság aránya?
Megoldás: Jelöljük a kisebbik kocka élének hosszát a-val, ekkor a térfogata: 3
1 aV = .
A nagyobbik kocka élének hossza ekkor 6+a , térfogata: ( )32 6+= aV .
Különbségük: ( ) 5046504 3312 =−+⇒=− aaVV .
Felhasználva a ( ) 32233 33 babbaaba +⋅+⋅+=+ nevezetes azonosságot:
50421610818 323 =−+⋅+⋅+ aaaa .
A rendezés után egy másodfokú egyenletet kapunk: 01662 =−⋅+ aa .
A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva:
( )82
121614366
212,1 −==⇒⋅
−⋅⋅−±−= aaa .
Egy kocka élhossza csak pozitív szám lehet, ezért 2=a .
Ebből 8231 ==V , ( ) 512862 33
2 ==+=V
Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő:
41
641
641
5128
33
2
1 ==λ⇒λ===VV , mert
641
41 3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
A kockák térfogatainak aránya 641 , a hasonlóság aránya
41 .
Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:
( ) aa =33
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 17
Az előzőek alapján definiáljuk a gyököt általános formában is, de meg kell különböztetnünk a
páros és páratlan eseteket. Páros gyökkitevő esetén a definíció hasonló lesz a négyzetgyök,
páratlan gyökkitevő esetén a köbgyök definíciójához.
Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok A definíció által megengedett értékekre. (n > 1, n ∈ N) 1. nnn baba ⋅=⋅ , ha n = 2p, akkor 0,0 ≥≥ ba (p ∈ N+)
2. n
nn
ba
ba= , 0≠b
3. ( )knn k aa =
4. mnn m aa ⋅=
5. kn kmn m aa ⋅ ⋅= , m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}
Az n-edik gyök definíciója
Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív
valós szám, amelynek az n-edik hatványa a.
Például: 3814 = , mert 8134 = ; 2646 = , mert 6426 = .
Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám,
amelynek az n-edik hatványa a.
Például: 3273 = , mert 2733 = ; 2325 −=− , mert ( ) 322 5 −=− .
Jelölés: az a szám n-edik gyöke: n a .
Megjegyzés: 1=n -re az n a -t nem értelmezzük.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 18
Feladatok
Minden csoportban osszuk ki az A, B, C, D jelű kártyákat, differenciálva a tanulók képességei
szerint. Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most
együtt. Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszamegy a saját csoportjába, és a többieknek
elmondja a feladatának a megoldását. A csoporton belül összekeverik az A, B, C, D jelű kár-
tyákat, mindenki húz egyet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport
számát és betűjelét kihúzza a tanár.
Az A jelűek feladata:
13. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!
a) 4 625 b) 4 81− c) 8 256 d) 6 729
e) 6 64− f) 3 8− g) 3 125− h) 5 100000−
i) 7 128− j) 9 1− k) 3 125 l) 3 64
m) 5 32 n) 111 o) 381 p) 4
161
Megoldás: a) 5 b) ∅ c) 2 d) 3
e) ∅ f) 2− g) 5− h) 10−
i) 2− j) 1− k) 5 l) 4
m) 2 n) 1 o) 21 p)
21
Az B jelűek feladata:
14. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!
a) ( )4 43− b) 6 67 b) ( )3 33− d) 5 57
e) 4 4a f) 6 6a g) 3 3a h) 5 5a
Megoldás: a) 3 b) 7 c) 3− d) 7
e) a f) a g) a h) a
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 19
Az C jelűek feladata:
15. Melyik szám a nagyobb?
a) 5 32 vagy 3 27 b) 3125
1 vagy 4 116−
Megoldás:
a) 32 < b) 41
51<
Az D jelűek feladata:
16. Keresd meg a párját!
a) 55 162 ⋅ A) 4
4
2162
b) 44 273 ⋅ B) 5
5
396
c) 44 328 ⋅ C) 4
4
580
d) 66 164 ⋅ D) 3
3
3192
Megoldás: a) 2325 = B) 2325 = vagy C) 2164 =
b) 3814 = A) 3814 =
c) 42564 = D) 4643 =
d) 2646 = B) 2325 = vagy C) 2164 =
17. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) 33 378378 +⋅− b) 44 11271127 +⋅−
Megoldás: a) 3273764378378 3333 ==−=+⋅−
b) 216112711271127 4444 ==−=+⋅−
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 20
18. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!
a) ( )03 5
3 73 3
≠⋅ aa
aa b) ( ) ( )03 73 1
3 53 22
3 4
≠⋅
⋅⋅−−
−−
aaa
aaa
c) ( )05 4 34 5 4
4 35 2
>⋅
⋅ bbb
bb d) ( )034 3 43 2
34 23
>⋅⋅
⋅⋅−
−
bbbb
bbb
Megoldás: a) 3 5a
b) 33 9
3 8
3 1
aaaa
==−
c) 5 420 16
20 34
20 158
5 4 34 5 4
4 35 2
bbbbbb
bb
bb==
⋅
⋅=
⋅
⋅
d) 212 24
12 1848
12 1862
312 43 2
34 26−−
−
−
−
−
==⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅⋅ bbbbb
bbbbbb
bbb
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 1
IV. Hatványfüggvények, gyökfüggvények Módszertani megjegyzés: Eddig tanult függvények átismétlése kerekasztal módszerrel. A ta-
nulók 4 fős csoportokat alkotnak. Előkészítenek három lapot. Az egyikre felírják a „Függvé-
nyek”, a másikra a „Függvénytranszformációk”, a harmadikra pedig a „Jellemzési szempont-
ok” szót. A lapokat indítsák el körbe. Az egyiket ellentétes irányba. A „Függvények” lapra
írjanak össze minél több, eddig tanult alapfüggvényt. A „Függvénytranszformációk” lapra a
függvénytranszformációkat 3-4 konkrét példával (képletben hogyan jelenik meg, és az mit
jelent). A harmadik lapon pedig gyűjtsék össze az eddigi 6 (+1 invertálhatóság) jellemzési
szempontot. Mindenki fölírja a lapra, amit tud, illetve kiegészíti a már leírtakat. Ha készen
vannak, közösen megbeszélik. Itt lehet pontozni a csoport hatékonyságát is.
A hatványfüggvény és az n-edik gyökfüggvény ábrázolása A tanulók alkossanak 4 fős csoportokat. A tanár minden csoportban kiosztja a 11.3. kártya-
készletben található feladatkártyákat.
2.3 kártyakészlet, 2.7 fólia
Akik ugyanazt a kártyát kapták, menjenek egy közös asztalhoz,
és készítsenek plakátot a kártyájukon található függvényekről:
Határozzák meg a függvények értelmezési tartományát, majd
ábrázolják azokat közös koordináta-rendszerben és jellemezzék
is. A tanár bevezetésként ismerteti az m(x)=x0 , illetve az n(x)=x1
függvényeket (11.8. fólia).
1. feladatkártya: f(x) = x2; g(x) = x4
2. feladatkártya: h(x)=x3; k(x) = x5
3. feladatkártya: a(x) = x ; b(x) = 4 x
4. feladatkártya: a c(x) = 3 x ; d(x) = 5 x
Ha elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és csoportforgóval körbe mennek.
Minden plakátnál az magyaráz, aki a plakát készítésében részt vett.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 2
2.7 fólia
Mintapélda6
Ábrázoljuk és jellemezzük az m(x) = x0 és az n(x) = x1 függvényeket!
Értelmezési tartományuk a valós számok halmaza.
Megoldás:
Jellemzés: m(x) = x0 n(x) = x1 1. É.T. R R 2. É.K. {1} R 3. zérushely nincs x = 0 4. monotonitás konstans függvény a teljes értelmezési tartományon
szigorúan monoton növő 5. szélsőérték minden helyen minimuma és maxi-
muma van, melynek értéke 1. nincs
6. paritás páros páratlan
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 3
Mintapélda7
Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x2 és g(x) = x4 függvé-
nyeket!
Megoldás:
Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.
Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok
1. É.T. R 2. É.K. R+∪{0} 3. zérushely x = 0 4. monotonitás x ≤ 0: szig. mon. csökk. x ≥ 0: szig. mon. növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 6. paritás páros
Mintapélda8
Készítsük el a valós számok halmazán értelmezett h(x) = x3 és k(x) = x5 függvények grafikon-
ját, és jellemezzük a függvényeket!
Megoldás:
Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.
Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi
tulajdonságok
1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely x = 0 4. monotonitás az teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. paritás páratlan
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 4
Mintapélda9
Ábrázoljuk és jellemezzük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett a(x) = x és
b(x) = 4 x függvényeket!
Megoldás:
Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.
Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok
1. É.T. R+∪{0} 2. É.K. R+∪{0} 3. zérushely x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 6. paritás nem páros, nem páratlan
Mintapélda10
Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x
függvényeket!
Megoldás:
Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.
Jellemzés:
1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. paritás páratlan
Válaszolnak az alábbi kérdésekre diákkvartettel. (2.4 kártyakészlet)
Diákkvartett menete:
1. A tanár ad a csoportoknak egy betűjelet, valamint a csoport tagjainak 1-től 4-ig egy sor-
számot. De magánál is tart egy betű- és egy számsorozatot.
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 5
2. Felolvassa az első kérdést. Hagy pár percet, hogy a csoportokon belül a tanulók megbe-
szélhessék a választ.
3. Húz egy sorszámot és egy betűt. A kihúzott betűjelű csoport kihúzott sorszámú tagja vála-
szol a kérdésre.
4. Jó válasz esetén a tanár felolvassa a következő kérdést. Rossz válasz esetén megbeszélik a
jót osztály szinten.
2.4 kártyakészlet
Feladatok
19. Válaszolj az alábbi kérdésekre! (Az 1 – 8. kérdések az f(x) = x2, a g(x) = x4, a h(x) = x3
és a k(x) = x5 függvényekre vonatkoznak.)
1. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet, és az x kitevője között?
2. Milyen összefüggést veszel észre ezen kitevő és a függvény paritása között?
3. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros kitevőjű hatványfüggvény grafikonja
áthalad?
4. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan kitevőjű hatványfüggvény grafikonja
áthalad?
5. E pontok segítségével mit tudsz mondani az f(x) = x2 és a g(x) = x4 függvények grafikon-
jának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?
6. E pontok segítségével mit tudsz mondani az h(x) = x3 és a k(x) = x5 függvények grafikon-
jának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 6
7. Elmondható-e a páratlan függvényekről, hogy minden x helyhez pontosan egy függvény-
érték tartozik és fordítva, minden függvényértékhez pontosan egy x hely tartozik, vagyis a
függvény kölcsönösen egyértelmű?
8. Elmondható-e ez a páros függvényekről is? Ha nem, tudsz-e az értelmezési tartománynak
olyan részhalmazát mondani, amelyre teljesül?
Most vizsgáljuk az a(x) = x , a b(x) = 4 x , a c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x függvényeket! 9. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet, és a gyökkitevő között?
10. Milyen összefüggést veszel észre a gyökkitevő és a függvény paritása között?
11. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros gyökkitevőjű függvény grafikonja átha-
lad?
12. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan gyökkitevőjű függvény grafikonja
áthalad?
13. E pontok segítségével mit tudsz mondani az a(x) = x és a b(x) = 4 x függvények grafi-
konjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?
14. E pontok segítségével mit tudsz mondani a c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x függvények grafi-
konjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?
15. Kölcsönösen egyértelműek-e ezek a függvények?
Definíciók:
Minden valós számhoz egyértelműen hozzárendelhetjük annak n-edik hatványát, ahol n ∈ N+. Az f (x) = xn, n ∈ N+ hozzárendelési utasítás-sal kapott függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük.
Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét. Ha pedig páros, akkor a nem negatív valós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni annak n-edik gyökét. A g (x) = n x , n ∈ N \ {0,1} hozzárendelési utasítással kapott függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.
Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű.
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 7
20. Számítsd ki a függvények értékét a megadott helyeken!
a) f (x) = (x+2)4 x ∈ {–3,5; –2; – 23
; 0; 0,5; 1}
b) g(x) = –x3–1 x ∈ {–2; – 23
; 0; 0,5; 3}
c) h(x)= 3 3−x x ∈ {–61; – 8101
; 2; 3,125; 3}
d) k(x) = 2 4 x x ∈ {–81; –1; 0; 161
; 2,0736; 625}
Megoldás:
a) f(–3,5) = 5,0625; f(–2) = 0; 062551681
23 ,f ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ; f(0) = 16; f(0,5) = 0,0625; f(1)=81
b) g(–2) = 7; 8
1923
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−g ; g(0) = –1; g(0,5) = –1,125; g(3) = –28
c) h(–61) = –4; 25
8101
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−h ; h(2) = –1; h(3,125) = 0,5; h(3) = 0
d) A k függvény negatív x-ekre nincs értelmezve; k (0) = 0; 1161
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛k ; k (2,0736) = 2,4;
k (625) = 10
21. Állapítsd meg, hogy az adott pontok mely függvények grafikonján találhatók! Egy
pont több függvény grafikonján is rajta lehet, illetve találhatsz olyan pontot is, ame-
lyik egyik függvény hozzárendelési utasításának sem felel meg.
Pontok:
A(–1; 1) B(1; –1) C(–1; –1) D(–8; –2) E(256; 4) F(–2; –32)
G(7; 16807) H ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1251;5 I(0,027; 0,3) J(–0,3; 730,37 &&− ) K(–0,4; 6,25)
L(–0,3; 0,000729) M(0,6; –0,07776) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
216125;2,1N ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
64729;5,1O
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
85;
512125P ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
21;
161Q ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
34363;
47R S ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 49;
71 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
24332;
32T
Függvények: a(x) = 3 x : ..............................................................................................................................
b(x) = 4 x : ...............................................................................................................................
c(x) = x-3: .................................................................................................................................
d(x) = x-4: .................................................................................................................................
e(x) = x5: ..................................................................................................................................
f (x) = x6: ..................................................................................................................................
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8
Megoldás:
A B, K, S és az M pont nincs rajta egyetlen függvény grafikonján sem.
Az a függvény grafikonján rajta vannak a C, D, I, P pontok.
A b függvény grafikonján rajta vannak a Q, E pontok.
A c függvény grafikonján rajta vannak a C, H, J, N, R pontok.
A d függvény grafikonján rajta van az A pont.
Az e függvény grafikonján rajta vannak a C, F, G, T pontok.
Az f függvény grafikonján rajta vannak az A, L, O pontok.
Kapcsolat a hatványfüggvény és a gyökfüggvény között
A tanulók alkossanak ismét 4 fős csoportokat! A tanulók a csoportokon belül párokban dol-
goznak. A tanár minden csoportban szétosztja a feladatkártyákat és a betűket a 5. kártyakész-
letből. Mindenki a saját kártyájának megfelelően közös koordináta-rendszerben ábrázolja a
függvények grafikonját, és jellemzi is a függvényeket egymás mellett, két oszlopban, ahogy a
mintapéldákban is szerepel. Ha készen vannak a feladataikkal, elmondják egymásnak tapasz-
talataikat, kielemezve az oszlopok tartalmát.
2.5 kártyakészlet
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 9
Mintapélda11
Ábrázoljuk és jellemezzük az a(x) = x4 és a b(x) = 4 x függvényeket a legtágabb értelmezési
tartományon!
Megoldás:
Jellemzés: a(x) = x4 b(x) = 4 x
1. É.T. R R+∪{0} 2. É.K. R+ ∪ {0} R+∪{0} 3. zérushely x = 0 x = 0
4. monotonitás x ≤ 0: szig. mon. csökk. x ≥ 0: szig. mon. növő szigorúan monoton növő
5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: a (0) = 0
abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: b (0) = 0
6. paritás páros nem páros, nem páratlan 7. invertálha-
tóság a megfelelő leszűkítés után invertálha-tó: x ∈ R+∪{0} vagy x ∈ R–∪{0} invertálható
Mintapélda12
Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) = x3 és a d(x) = 3 x
függvényeket!
Megoldás:
Jellemzés: c(x) = x3 d(x) = 3 x
1. É.T. R R 2. É.K. R R 3. zérushely x = 0 x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő szigorúan monoton növő
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 10
5. szélsőérték nincs nincs 6. paritás páratlan páratlan 7. invertálha–tóság invertálható invertálható
Általánosítva: Az eddigiekben a hatvány és a gyökfüggvények kapcsolatát vizsgáltuk. Megál-
lapítottuk, hogy azonos páratlan kitevő esetén egymás inverzei. A gyökfüggvények vizsgála-
tához figyelembe kell venni, hogy, ha a kitevő páros, akkor a gyök csak nem negatív számok-
ra értelmezhető. Ha a kitevő páratlan, akkor tetszőleges valós számnak létezik gyöke.
A megfelelő gyökfüggvények grafikonja:
A gyökfüggvények jellemzése:
f (x) = k x2 g (x) = 12 +k x
1. É.T. R+∪{0} R 2. É.K. R+∪{0} R 3. zérushely x = 0 x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő szigorúan monoton növő
5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 nincs
6. paritás nem páros, nem páratlan páratlan 7. invertálha–tóság invertálható invertálható
A tanulók ismét 4 fős csoportokat alkotnak. Egy csoporton belül 2 –2 fő dolgozik együtt. Az
egyik 2 fős csoport a 13. mintapéldát dolgozza fel, míg a másik a 14.-et. Ha átnézték és fel-
dolgozták, elmagyarázzák egymásnak, majd megoldanak néhány feladatot a saját szintjüknek
megfelelően. Jobb csoportoknál a 15. mintapélda is előkerülhet.
Mintapélda13
Melyik az a legbővebb számhalmaz, amelyen a következő függvények értelmezhetők?
a) a(x) = 1+x b) b(x) = 3 1+x c) c(x) = 10 2 32 +− xx
d) d(x) = 11 2 32 +− xx e) e(x) = 51x
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 11
Megoldás:
a) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifejezés nem lehet negatív. x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ –1, azaz a megoldás a [–1; ∞ [ halmaz.
b) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. c) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifeje-
zés nem lehet negatív.
Oldjuk meg az x2 – 2x – 3 ≥ 0 egyenlőtlenséget!
x1,2 = 21242 +±
, ebből x1 = 3 és x2 = –1
A keresett tartomány: ] –∞; –1] ∪ [ 3; ∞ [
d) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. e) Mivel a gyökkitevő páratlan, ezért a gyökjel alatti kifejezés a valós számok halmazán
értelmezett. Csak azt kell megvizsgálni, hogy a nevező hol veszi fel a nulla értéket,
mert ott nincs értelmezve a tört.
5 x = 0, ebből x = 0, vagyis az e függvény értelmezési tartománya a valós számok
halmaza, kivéve a 0-át.
Mintapélda14
Ábrázoljuk és jellemezzük az f (x) = – (x + 1)3 – 2 függvényt!
Megoldás:
Transzformációs lépések:
1. a(x) = x3 alapfüggvény ábrázolása
2. b(x) = (x + 1)3 a grafikonjának eltolása a v(–1; 0) vektorral
3. c(x) = – (x + 1)3 b grafikonjának tükrözése az x
tengelyre
4. f (x) = – (x + 1)3 – 2 c grafikonjának eltolása a v(0; –2)
vektorral
Jellemzés: 1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely – (x + 1)3 – 2 = 0, ebből 123 −−=x 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 12
5. szélsőérték nincs 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható
Mintapélda15
Ábrázoljuk és jellemezzük az g(x) = 2 124 +−x függvényt!
Megoldás:
Transzformációs lépések:
1. a(x) = 4 x alapfüggvény ábrázolása
2. b(x) = 4 2−x a grafikonjának eltolása a v(2; 0) vektorral
3. c(x) = 2 4 2−x b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén
4. g(x) = 2 124 +−x c grafikonjának eltolása a v(0; 1) vektorral
Jellemzés: 1. É.T. [ 2; ∞ [ 2. É.K. [ 1; ∞ [ 3. zérushely nincs 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 2 abszolút minimumérték: g(2) = 1 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható
Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a) e(x) = 32 x− b) f (x) = 4 1632 x− Megoldás:
a) Transzformációs lépések: 1. ( ) 3 xxa = alapfüggvény ábrázolása 2. ( ) 3 xxb −= a grafikonjának tükrözése az x tengelyre 3. ( ) 32 xxe −= b grafikonjának eltolása a
v(0; 2) vektorral
Jellemzés: 1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely 02 3 =− x 2 23 =x
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 13
x = 8 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő 5. szélsőérték nincs 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható
b) Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást:
( ) ( ) ( )4444 2221632161632 −−⋅=−−=−−=− xxxx A transzformáció lépései:
1. a(x) = 4 x alapfüggvény ábrázolása
2. b(x) = 4 2−x a grafikonjának eltolása a v(2;0) vektorral
3. c(x) = 4 )2( −− x b grafikonjának tükrözése az x = 2 egyenesre
4. f (x) = 2 4 )2( −− x c grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén
Jellemzés: 1. É.T. ] –∞; 2 ] 2. É.K. R+ 3. zérushely x = 2 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 2 abszolút minimumérték: f (2) = 0 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható
Feladatok
22. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!
a) f (x) = 4 2−x b) g(x) = 5 5 x+ c) h(x) = 1
4+x
d) i(x) = 3 2
1−x
e) j(x) = x−− 2
5 f) k(x) = 72 −x
g) l(x) = 3 72 −x Megoldás:
a) x ≥ 2; b) x ∈ R; c) x > –1; d) x∈ R \ {2}; e) –2 > x; f) x ≥ 3,5; g) x ∈ R;
23. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!
a) a(x) = 6 5|| −x b) b(x) = 8
24
xx
+− c) c(x) = 7
252x
x−+
d) d(x) = ( )( )823 +− xx e) e(x) = 12 236 x− f) f (x) = 5 2 86 −+− xx
g) g(x) = 4 2 6−− xx h) h(x) = 6 2 1+x
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 14
Megoldás: a) x ≤ –5 vagy x ≥ 5; b) –2 < x ≤ 4; c) x∈ R \ {2}; d) x ≥ 3 vagy –4 ≥ x; e) –6 ≤ x ≤ 6; f) x ∈ R; g) x ≥ 3 vagy –2 ≥ x; h) x ∈ R.
24. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a megadott értelmezési tarto-mányokon! a) f (x) = x4–1; x ∈ Z b) g(x) = x3 + 2; x ∈ [–2; 1 [
c) h(x) = 4
4x ; x ∈ ] –1,5; 1,5 [ d) i(x) = –2 x3; x ∈ N
e) j(x) = ( x – 1)4; x ∈ [ –1; 2] f) k(x) = ( x + 3 )3; x ∈ [ –5; –1] Megoldás:
Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-
lemzése a korábbi mintapéldák alapján történhet.
25. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartomá-nyokon! a) a(x) = 14 +x b) b(x) = 13 −x c) c(x) = 4 x− d) d(x) = 2 3 x e) e(x) = 3 1−x f) f (x) = 4 2+x
Megoldás: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-
lemzése a korábbi mintapéldák alapján történhet.
26. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a valós számok halmazán!
a) f (x) = –x4 + 1 b) g(x) = 2 – x3 c) h(x) = 21
x3 + 3
d) k(x) = 2 x4 – 4 e) l(x) = ( x – 1 )4 + 3 f) m(x) = ( x + 2 )3 – 1 Megoldás:
Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-
lemzése a korábbi mintapéldák alapján történhet.
27. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartomá-nyokon!
a) a(x) = 421 4 −x b) b(x) = 2 4 2−x c) c(x) = – 3 3
21
+x
d) d(x) = 234 −+ x e) e(x) = 133 +−x Megoldás:
Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-
lemzése a korábbi mintapéldák alapján történhet.
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 15
V. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre
A hatvány fogalmát az eddig megismert egész kitevőkről tört kitevőkre is szeretnénk kiter-
jeszteni úgy, hogy az ismert azonosságaink továbbra is érvényben maradjanak. Az ilyen jelle-
gű követelményt a matematikában permanencia-elvnek nevezzük.
Mintapélda17
Egy sejttenyészet óránként duplázódik meg. Kezdetben 1 sejtünk van. Mennyi lesz 1 óra,
2óra, 3óra, 4 óra, 4,5 óra múlva?
Megoldás: 1 óra múlva: 12221 ==⋅
2 óra múlva: 22422 ==⋅
3 óra múlva: 32824 ==⋅
4 óra múlva: 421628 ==⋅
4,5 óra múlva: 5,42
A 5,42 értékét akarjuk meghatározni. legyen 5,42=x , ahol 0>x . Az egyenletet mind-
két oldalát négyzetre emelve: ( )25,42 2=x . Alkalmazzuk a hatvány hatványára vonat-
kozó azonosságot: 92 2=x . Ennek a pozitív megoldása az 92=x .
Azaz azt kaptuk, hogy 63,22512222 929
5,4 ≈====x .
Megközelítőleg ennyi sejtünk van 4,5 óra múlva.
Mintapélda18
Próbáljunk értelmet adni az alábbi törtkitevőjű hatványoknak az előző feladat gondolatmenete
alapján!
a) 21
16 ( )21
16−
b) 31
64 ( )31
64−
Megoldás:
a) Legyen ( )21
21
16,16 −== yx , ahol 0>x , mert pozitív számok hatványait pozitívnak
értelmezzük.
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 16
Négyzetre emelve: ( ) 1616,16162
21
2
2
21
2 −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= yx .
Ebből: 416 ==x , mert 0>x ; 16−=y pedig nem értelmezhető.
Innen: 41616 21
===x
b) Legyen ( )31
31
64,64 −== yx , ahol 0>x , mert pozitív számok hatványait pozitívnak
értelmezzük.
Harmadik hatványra emelve: ( ) 6464,64643
31
3
3
31
3 −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= yx .
Ebből: 464,464 33 −=−=== yx .
Mivel 62
31= , vizsgáljuk meg az 6
2
64=x és az ( )62
64−=y számokat.
( ) ( )[ ] 61
61
261
61
2 409664,409664 =−=== yx
Hatodik hatványra emelve: 40964096,409640966
61
6
6
61
6 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= yx
Ebből: 44096,44096 66 ==== yx
Észrevehetjük, hogy 46464 62
31
===x , de ( ) ( )62
31
6464 −=−=y eredménye nem ha-
tározható meg egyértelműen (először – 4-et, másodszor 4-et kaptunk eredményül),
ezért negatív alap esetén nem értelmezzük a törtkitevőjű hatványokat.
Mintapélda19
Számítsuk ki a következő hatványok pontos értékét!
a) 65
64 b) 43
256 c) 43
81−
d) 32
125−
e) 2,0243 f) 5,0144−
Egy pozitív valós szám kn -adik hatványa az alap n-edik hatvá-
nyából vont k-adik gyök.
{ }1;0\,,0 NZR ∈∈∈>= knaaaa k nkn
Megállapodás: Ha ,0>kn akkor .00 =k
n
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 17
Megoldás:
a) ( ) 322646464 5566 565
====
b) ( ) 644256256256 3344 343
====
c) ( )271
313818181 3
3344 343
===== −−−−
d) ( )251
515125125125 2
2233 232
===== −−−−
e) 3243243243 551
2,0 ===
f) ( )12112144144144144 1112
15,0 ===== −−−−−
Módszertani megjegyzés: Dominó játék (a törtkitevős hatványok gyakorlására, a fogalom el-
mélyítésére). Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a
dominókat úgy, hogy minden hatványhoz megtalálják a hozzátartozó értéket.
2.6 kártyakészlet
21
9 5,1 21
25−
4 5,049 321 3
1
12564 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
1
43
81 3 31
27−
2,0 5,125 7
5,0
425
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25,1
32
125 27 32
8−
31 6,032− 125 3
2
278 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
5
31
64 25 4
5
16−
25,0 25,016−
81
21
25,2 25,2
Feladatok
28. Írd fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
a) 21
5 b) 32
7 c) 31
6−
d) 43
8−
e) 34
53⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ f)
25
41 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
g) ( )21
9x h) ( )41
16y i) 31
8⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ z j)
21
25
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ x k)
43
81
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ y l)
32
27
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ z
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 18
Megoldás:
a) 5 b) 3 27 c) 3 16− d) 4 38− e) 3
4
53⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ f)
5
41 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
g) 03 ≥⋅ xx h) 02 4 ≥⋅ yy i) 2
3 z
j) 05>x
x k) 027
4 3>y
y l) 09
3 2≠z
z
29. Írd át törtkitevős alakra a következő gyököket!
a) 4 3 b) 3 5 c) 3 52 d) 4 33 e) 53 f) 5
4
32⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Megoldás:
a) 41
3 b) 31
5 c) 35
2 d) 43
3 e) 21
53⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ f)
54
32⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
30. Keresd meg a párját!
a) 51
3 A) 3 16
b) 34
2 B) 549
c) 43
2−
C) 331
d) 52
23⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ D) 5 3
e) 43
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ E)
4 81
f) 31
3−
F) 4827
Megoldás: a) – D), b) – A), c) – E), d) – B), e) – F), f) – C).
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 19
31. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat!
31
2 8 31
4 3 16 12− 3 21 3
4
2−
2
Megoldás:
31
2 23
28 = 32
31
24 = 34
3 216 = 12− 31
32
21 −
= 34
2−
21
22 =
34
2−
< 12− < 3 21 < 3
1
2 < 2 < 31
4 < 3 16 < 8
32. Írd fel 3 hatványaként a következő kifejezéseket!
a) 7 3 b) 5 43 c) 3 81 d) 4 327 e) 534 278139 ⋅⋅⋅
f) 943
1 g) 391 h) 6 3 3 i) 3 74 33 ⋅ j)
3 113
84 1384
3812738124327
⋅
⋅⋅⋅⋅
Megoldás:
a) 71
3 b) 54
3 c) 34
3 d) 49
3 e) 120287
3
f) 94
3−
g) 32
3−
h) 181
3 i) 3
13
3 j) 23
33. Hozd egyszerűbb alakra a következő hatványokat!
a) 2
23
21 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ aa b)
23
34
31
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅bb c)
53
61
32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
−cc
d) 4
23
32 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ dd e)
21
35
43
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
−ee f)
31
23
52 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ ff
Megoldás:
a) ( ) 422 −−= aa b) 2
523
35
bb =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ c) 10
353
21
cc =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
d) 3264
613
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dd e) 24
1121
1211
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ee f) 30
1931
1019
−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ff
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 20
Matematikai TOTÓ
Módszertani megjegyzés: Minden tanuló egyedül dolgozik a feladatokon. Ha letelt az idő,
vagy elkészültek a tanulók, akkor mindenki átadja a padtársának a füzetét, aki a feladatok
közös megbeszélése alapján kijavítja a TOTÓ-t. A hibátlan kitöltőket megjutalmazhatjuk.
Matematikai TOTÓ
Határozd meg a következő
kifejezések értékét! 1 2 X
1. 23 51552 ⋅+⋅ 25375 625 6625
2. 125803452 −+ 513 205 541⋅
3. 627247 −⋅+ 31 31 5
4. 4811
− 31
− 31 Nem értelmezzük
5. 3271
− 31
− 31 Nem értelmezzük
6. 44 80125 ⋅ 100 10 10000
7. 5
5
4128 5 124 32 2
8. ( ) 23
25,0 − 8 125,0 41
9. 31
278 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 3
2 32
− 23
10. 32
641 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 16−
161 16
11. 32
125−
251 25 25−
12. 32
34
a
a 3a 3 2a 3 2
1
a
13. 32
32
21 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ aa 9
7
1a
9 7a− 79
1a
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 21
Megoldás: 1.) 2 2.) 1 3.) X 4.) X 5.) 1 6.) 2 7.) X
8.) 1 9.) X 10.) X 11.) 1 12.) 2 13) 1
Vegyes feladatok 34. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!
a) ( )2123 − b) ( )21822 +
c) 2
206206 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+ d)
2
179179 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
Megoldás: a) 36215362151212323 =⋅−=−=+⋅−
b) 50642618364818182424 =⋅+=++=+⋅+⋅
c) 442121621220620362206 =⋅−=−=−+−−+
d) 3482186421817917812179 =⋅+=+=++−+−
35. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!
a) a(x) = 2
310 x− b) b(x) = 3
79
−− x c) c(x) = 3
13+−x
d) d(x) = 6 x e) e(x) = 7 x
Megoldás: a) 3 ≥ x; b) x ∈ R; c) x ≠ –1; d) x ∈ R; e) x ∈ R
36. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!
a) a(x) = 5 1|| −x b) b(x) = 4 2+x c) c(x) = x
x−
−
45313
d) d(x) = 15 2 82 −x e) e(x) = 5 2 2+x f) f (x) = 12 −− x
g) g(x) = 9
10
4312
+
−
xx
Megoldás: a) x ∈ R; b) x ∈ R; c) x ≥ 0 és x ≠ 16; d) x ∈ R; e) x ∈ R; f) nincs értelmezve; g) 4 > x
Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 22
Kislexikon Köbgyök: Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:
( ) aa =33 .
n-edik gyök:
• Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív
valós szám, amelynek az n-edik hatványa a (n ∈ N+\{1}).
• Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám,
amelynek az n-edik hatványa a. Jelölés: az a szám n-edik gyöke: n a .
Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok:
A definíció által megengedett értékekre. (n > 1, n ∈ N)
1. nnn baba ⋅=⋅ , ha n = 2p, akkor 0,0 ≥≥ ba (p ∈ N+)
2. n
nn
ba
ba= , 0≠b
3. ( )knn k aa =
4. mnn m aa ⋅=
5. kn kmn m aa ⋅ ⋅= , m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}
Egy pozitív valós szám kn -adik hatványa az alap n-edik hatványából vont k-adik gyök.
{ }1;0\,,0 NZR ∈∈∈>= knaaaa k nkn
Megállapodás: Ha ,0>kn akkor .00 =k
n
Hatványfüggvény: A valós számok halmazán értelmezett f(x) = xn, n ∈ N+ függvényeket
hatványfüggvényeknek nevezzük.
Gyökfüggvény: A g (x) = n x , n ∈ N \ {0,1} függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.
Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét.
2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 23
Ha pedig páros, akkor a nem negatív valós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni
annak n-edik gyökét.
Invertálható függvény: Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű.
Permanencia-elv: Azt jelenti, hogy egy művelet értelmezését úgy terjesztjük ki bővebb
számhalmazra, hogy a szűkebb halmazban érvényes műveleti szabályok a bővebb halmazban
is érvényesek maradjanak.