1

Zadatak 141 (Zvone, gimnazija)

Riješi jednadžbu ( )100 3 4

208 : 112 2.23

x− ⋅ ⋅− =

Rješenje 141 Ponovimo!

,: .b a b

a b c a c b ac c

⋅= ⇒ = ⋅ ⋅ =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( ) ( )100 3 4 100 3 4208 : 112 2 208 2 112

23 23

x x− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− = ⇒ = ⋅ − ⇒

( ) ( )100 3 4 100 3 4208 2 112 104 112

23 23/ : 2

x x− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒

( ) ( ) ( )100 3 4 100 3 4 100 3 4104 112 8 8

23 23

3/

42

2

3

x x x− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⋅

− ⋅ ⋅⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − − ⇒

46 100 3 3 100 46 3 / : 354 3 54 18.x x x x x⇒ = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 141

Riješi jednadžbu 100 3

208 : 112 2.23 : 4

x− ⋅− =

Rezultat: x = 18. Zadatak 142 (Kristijan, srednja škola)

Riješi jednadžbu

2 22 15 2 3

4.6 6

x x⋅ − ⋅ −− =

Rješenje 142 Ponovimo!

( ) ( )2 2

, , .2

2

n na a n n n

a b a a b b a b a bnb b

= − = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅

( ) ( ) ,2

, ,2

.a c a c a b a b a b a b

a b a b a bb d b d n n n n n n

⋅ − +− = − ⋅ + ⋅ = − = + =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ 1.inačica

( ) ( )2 22 2

2 15 2 32 15 2 34 4

2 26 6 6 6

x xx x ⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ −− = ⇒ − = ⇒

2

2 24 60 225 4 12 9

436 36

x x x x⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⇒ − = ⇒

2 24 60 225 4 12 9

43

/6 3

366

x x x x⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ += ⋅⇒ − ⇒

( )2 24 60 225 4 12 9 144x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + = ⇒

2 24 60 225 4 12 9 144x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = ⇒

2 260 225 12 9 144 60 225 12 1 44 4 9 4x x x xx x⇒ − ⋅ + + ⋅ − = ⇒ − ⋅ + + ⋅ − =⋅ − ⋅ ⇒

( )60 12 144 225 9 48 72 4 /2 48 : 87x x x x⇒ − ⋅ + ⋅ = − + ⇒ − ⋅ = − ⇒ = − −− ⋅ ⇒

772 3.

48 2

2

48x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

2.inačica

2 22 15 2 3 2 15 2 3 2 15 2 3

4 46 6 6 6 6 6

x x x x x x⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −− = ⇒ − ⋅ + = ⇒

( ) ( )2 15 2 3 2 15 2 34

6 6

x x x x⋅ − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ −⇒ ⋅ = ⇒

2 15 2 3 2 15 2 3 15 3 2 15 2 34 4

6 6

2 2

6 6

x x xx x x xx⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ −⇒ ⋅ = ⇒ ⋅

− ⋅=

⋅⇒

12 4 18 4 18 4 184

12

64 2 4

6 6 6 6

x x x− ⋅ − ⋅ − ⋅ −⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =

−⇒ − ⋅ = ⇒

( )4 18 4 18 4 18

2 4 2 2 4 18/ : 2 126

/ 66 6

x x xx

⋅ − ⋅ − ⋅ −⇒ − ⋅ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⋅ − = −− ⋅ ⇒

6 34 12 18 4 6

6/ : 4

44 6 .

4 2x x x x x x⇒ ⋅ = − + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 142

Riješi jednadžbu

2 215 2 3 2

4.6 6

x x− ⋅ − ⋅− =

Rezultat: 3

.2

x =

Zadatak 143 (Marina, srednja škola)

Službenik A usluži dvadeset klijenata za 60 minuta, ako radi sam. Službenik B usluži isti broj

klijenata za 40 minuta. Koliko vremena im treba da usluže 20 klijenata radeći zajedno?

Rješenje 143 Ponovimo!

, , .1

a c a d b c b a b na n

b d b d c c

⋅ + ⋅ ⋅+ = ⋅ = =

⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

3

1.inačica

Ako službenik A usluži 20 klijenata za 60 minuta, onda će za 1 minutu napraviti

20

6

20 1

60 0 3= =

cijelog posla.

Ako službenik B usluži 20 klijenata za 40 minuta, onda će za 1 minutu napraviti

20

4

20 1

40 0 2= =

cijelog posla.

Neka je x vrijeme za koje bi službenici uslužili 20 klijenata radeći zajedno. Tada vrijedi jednadžba:

1 1 2 3 5 5 620 20 20 20

6/ 20

3 2 6 6 56 5x x x x x

++ ⋅ = ⋅⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒

6 64 24.20

5 1x x x⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Treba im 24 minute.

2.inačica

Ako službenik A usluži 20 klijenata za 60 minuta, onda će za 1 minutu napraviti

20

6

20 1

60 0 3= =

cijelog posla.

Ako službenik B usluži 20 klijenata za 40 minuta, onda će za 1 minutu napraviti

20

4

20 1

40 0 2= =

cijelog posla.

Ako, radeći zajedno, 20 klijenata usluže za x minuta, onda će za 1 minutu napraviti

20

x

cijelog posla pa vrijedi jednadžba:

1 1 20 2 3 20 5 20 5 20 620

3 2 6/

6 5

6

56x x

x x x x⋅

++ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅⋅ ⇒

6 64 24.20

5 1x x x⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

Treba im 24 minute.

Vježba 143

Službenik A usluži dvadeset klijenata za 60 minuta, ako radi sam. Službenik B usluži isti broj

klijenata za 40 minuta. Koliko vremena im treba da usluže 40 klijenata radeći zajedno?

Rezultat: 48 min.

Zadatak 144 (Dalibor, maturant)

2 2 2

Ako je 2 5 4 2 2 1 0, koliko je ?x y z x y x z y x y z⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = + +

Rješenje 144

Ponovimo!

( ) ( )2 22 2 2 2

2 2, .a b a a b b a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ +

4

0

0 .2 2 2

0

0

a

a b c b

c

=

+ + = ⇒ =

=

Preoblikujemo lijevu stranu zadane jednadžbe.

2 2 22 5 4 2 2 1 0x y z x y x z y⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⇒

2 2 2 2 24 4 2 2 1 0x x y y x x z z y y⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 24 4 2 2 1 0x x y y x x z z y y⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( )02 2

00

2 02 2 2

2 1 0 0

1 0

x y

x y x z y x zab

y

ab

− ⋅ =

⇒ − ⋅ + + + + = ⇒ ⇒ + = ⇒=

+ = ⇒=

+ =

( )

( )

2 1 22 2 2

2 2 .

1 1 1 11

x xx y x x

z x z x z x z z

y y y yy

= ⋅ − = −= ⋅ = − = −

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ =

= − = − = − = −= −

Tada vrijedi:

( )2 1 2 2 1 22 1 12 .x y z+ + = − + − + = − − + +− = −−=

Vježba 144

2 2 2

Ako je 2 5 4 2 2 2 1, koliko je ?x y z x y x z y x y z⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = + +

Rezultat: – 1.

Zadatak 145 (4A, 4B, TUPŠ)

Majka, kći i sin imaju ukupno 87 godina. Majka je rodila kći s 26 godina, a sina pet godina

kasnije. Koliko je godina imala majka kada je rodila sina? Koliko godina ima kći sada?

Rješenje 145

Ponovimo!

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Majka je rodila kći s 26 godina, a sina pet godina kasnije pa je tada imala 31 godinu, a kći 5 godina.

majk26 5 31 , 0 5a k i5 ć+ = → + = →

Od rođenja sina do danas prošlo je x godina pa je:

• majka stara 31 + x godina

• kći stara 5 + x godina

• sin star x godina.

Budući da sada imaju ukupno 87 godina, možemo napisati jednadžbu.

( ) ( )31 5 87 31 5 87 87 31 5x x x x x x x x x+ + + + = ⇒ + + + + = ⇒ + + = − − ⇒

3 51 3 51 73 .: 1/x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Kći sada ima 22 godine.

[ ]175 5 17 22.x x+ = = + ==

Vježba 145

Majka, kći i sin imaju ukupno 87 godina. Majka je rodila kći s 26 godina, a sina pet godina

kasnije. Koliko je godina imala majka kada je rodila sina? Koliko godina ima sin sada?

5

Rezultat: 17.

Zadatak 146 (Zvonimir, srednja škola)

Kvadrati dvaju uzastopnih prirodnih brojeva razlikuju se za 71. Zbroj tih brojeva jednak je:

. 71 . 35 . 77 . 142A B C D

Rješenje 146

Ponovimo!

Sljedbenik prirodnog broja je broj za 1 veći od zadanog broja.

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 , .a b a a b b a b a b a b+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ +

1.inačica

Neka su n i n + 1 dva uzastopna prirodna broja. Tada vrijedi:

( )2 2 2 2

1 71 2 1 72

1 2 1 71 2 12

71n n n n n n nnn+ − = ⇒ + ⋅ + − = ⇒ + ⋅ + − = ⇒ ⋅ + = ⇒

2 71 1 2 70 2 70 / : 2 35.n n n n⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Riječ je o brojevima 35 i 36, a njihov zbroj je

35 + 36 = 71.

Odgovor je pod A.

2.inačica

Neka su n i n + 1 dva uzastopna prirodna broja. Tada vrijedi:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

1 71 1 1 71 1 1 71n n n n n n n n n n+ − = ⇒ + − ⋅ + + = ⇒ + − ⋅ + + = ⇒

( ) ( ) ( )1 2 1 71 1 2 1 71 2 1 71n n n nn⇒ + ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ + =− ⇒

2 71 1 2 70 2 70 / : 2 35.n n n n⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Riječ je o brojevima 35 i 36, a njihov zbroj je

35 + 36 = 71.

Odgovor je pod A.

3.inačica

Neka su x i y dva uzastopna prirodna broja. Tada vrijedi sustav jednadžbi:

( ) ( )( )

1 11 71 71.

2 2 7171

x y x yx y x y

x y x yx y

− = − =⇒ ⇒ ⋅ + = ⇒ + =

− ⋅ + =− =

Odgovor je pod A.

Vježba 146

Kvadrati dvaju uzastopnih prirodnih brojeva razlikuju se za 77. Zbroj tih brojeva jednak je:

. 71 . 35 . 77 . 142A B C D

Rezultat: C.

Zadatak 147 (Zvonimir, srednja škola)

( ) ( )3 43 2 4

Ako je 1 3 10, tada je 1 jednako:x x x x x+ − = ⋅ + + −

. 175 . 1000 . 9 000 . 216A B C D

Rješenje 147

Ponovimo!

( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 3 2 23 3 , .a b a a b a b b a b a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ + ⋅ +

6

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Iz jednadžbe

( )3 3 2

1 3 10x x x+ − = ⋅ +

izračunamo x.

( )3 3 2 3 2 3 2

1 3 10 3 3 1 3 10x x x x x x x x+ − = ⋅ + ⇒ + ⋅ + ⋅ + − = ⋅ + ⇒

3 32 2 2 23 3 1 3 10 3 3 1 3 10x x x x x xx x⇒ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ +− ⇒

3 1 10 3 1 10 3 12

03 12

3 3 9x x x xx x⇒ + ⋅ + = + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅⋅ =⋅ ⇒

/ : 33 9 3.x x⇒ ⋅ = ⇒ =

Sada je:

( ) [ ] ( )4 44 4 4 4

1 3 1 3 4 3 256 81 13 75.x x x+ − = = + − = − − == =

Odgovor je pod A.

2.inačica

Iz jednadžbe

( )3 3 2

1 3 10x x x+ − = ⋅ +

izračunamo x.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 23 2 2 21 3 10 1 1 1 3 10x x x x x x x x x x+ − = ⋅ + ⇒ + − ⋅ + + + ⋅ + = ⋅ + ⇒

( ) ( )2 2 2 21 2 1 3 10x x x x x x x x⇒ + − ⋅ + ⋅ + + + + = ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 3 1 3 10 1 3 3 1 3 10x x x x x xx x⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ +− ⇒

2 23 3 1 3 10 3 1 10 3 13 1

2 23 0xx x x x xx⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⇒ + ⋅ + = + ⇒ ⋅ + =⋅ ⋅ ⇒

3 10 1 3 9 3 9 ./ : 3 3x x x x⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Sada je:

( ) [ ] ( )4 44 4 4 4

1 3 1 3 4 3 256 81 13 75.x x x+ − = = + − = − − == =

Odgovor je pod A.

Vježba 147

( ) ( )3 43 2 4

Ako je 1 3 7, tada je 1 jednako:x x x x x+ − = ⋅ + + −

. 65 . 10 . 9 . 21A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 148 (Matija, srednja škola)

Nađite zbroj realnih korijena jednadžbe 3 2

25 25 0.x x x+ − ⋅ − =

Rješenje 148

Ponovimo!

( ) ( )2 2

.a b a b a b− = − ⋅ +

7

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

1.inačica

Metodom grupiranja lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore.

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2

25 25 0 25 25 0 1 25 1 0x x x x x x x x x+ − ⋅ − = ⇒ + + − ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

25 0 1 25 0 1 5 01 1 5x x xx x x x x⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ++ ⋅ − ⋅ + =+ ⇒

11 0 1

5 0 5 .2

5 0 53

xx

x x

x x

= −+ =

⇒ − = ⇒ =

+ = = −

Sada je:

( )1 5 5 1 5 5 1 5 5 1.1 2 3

x x x+ + = − + + − = − +− −+ − = = −

2.inačica

Metodom grupiranja lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore.

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 225 25 0 25 25 0 25 25 0x x x x x x x x x+ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ + − = ⇒ ⋅ − + − = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 25 1 0 52 2

25 2 15 5 0x x xx x xx x− −⇒ ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⇒

55 0 1

5 0 5 .2

1 0 13

xx

x x

x x

=− =

⇒ + = ⇒ = −

+ = = −

Sada je:

( ) ( )5 5 5 51 5 5 1 1 1.1 2 3

x x x+ + = + − + − = −− − = − = −

Vježba 148

Nađite zbroj realnih korijena jednadžbe 3 2

9 9 0.x x x+ − ⋅ − =

Rezultat: – 1.

Zadatak 149 (4A, TUPŠ)

Koja od navedenih nejednadžba ima isti skup rješenja kao nejednadžba 5 2 1?x− ⋅ + ≤

. 5 1 . 5 3 . 5 1 . 5 3A x B x C x D x⋅ ≤ − ⋅ ≤ − ⋅ ≥ ⋅ ≥

Rješenje 149

Ponovimo!

0 .,a b c a c b c≤ < ⇒ ⋅ ≥ ⋅

Preoblikujemo zadanu nejednadžbu.

( )5 2 1 5 1 2 5 1 5 1 / 1 5 1.x x x x x− ⋅ + ≤ ⇒ − ⋅ ≤ − ⇒ − ⋅ ≤ − ⇒ − ⋅ ≤ − ⇒ ⋅ ≥⋅ −

Odgovor je pod C.

8

Vježba 149

Koja od navedenih nejednadžba ima isti skup rješenja kao nejednadžba 5 3 2?x− ⋅ + ≤

. 5 1 . 5 3 . 5 1 . 5 3A x B x C x D x⋅ ≤ − ⋅ ≤ − ⋅ ≥ ⋅ ≥

Rezultat: C.

Zadatak 150 (Borna, srednja škola)

Čemu je jednak R iz formule ( )1

2 ?3

c a R b= ⋅ ⋅ − ⋅

3 3 2. 2 . . . 2

2 3 3

c c b aA R b B R C R c a D R c b

a a b

⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ = = − + = − + ⋅

⋅ ⋅

Rješenje 150

Ponovimo!

, , , .11

a b n a c a ca b b a n

b a b d b d

⋅⋅ = = ⇒ = = ⋅ =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

( ) ( )31 1 3

2 2 23 3

/c

c a R b c a R b R ba a

⋅= ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅⋅ ⇒

3 32 2 .

c cR b R b

a a

⋅ ⋅⇒ − ⋅ = ⇒ = + ⋅

Odgovor je pod A.

2.inačica

( ) ( ) ( )/1 1

2 2 3 23 3

3c a R b c a R b c a R b= ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⇒

3 2 2 3 3 2c a R a b a R a b c a R c a b⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

33 2 .

1/ 2

ca R c a b R b

aa⋅

⋅⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 150

Čemu je jednak a iz formule ( )1

2 ?3

c a R b= ⋅ ⋅ − ⋅

3 3 2 3. 2 . . .

2 3 2

c c b cA a b B a R C a R c D a

R b R b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ = − = + − =

⋅ − ⋅

Rezultat: D.

Zadatak 151 (4A, TUPŠ)

Cijene usluga triju taksi – prijevoznika prikazane su u tablici.

TAKSI A TAKSI B TAKSI C Startnina 10.00 kn 5.00 kn 20.00 kn

Cijena 1 km vožnje 3.00 kn 4.00 kn 1.50 kn

Cijena usluge prijevoza uključuje startninu i cijenu vožnje po prijeđenome kilometru.

a)

Koliko treba platiti uslugu prijevoza taksijem A na udaljenosti od 7 km?

b)

9

Za koju će udaljenost u kilometrima usluga prijevoza taksijem B i taksijem C biti jednako naplaćena?

c)

Napišite formulu prema kojoj se računa cijena usluge prijevoza taksijem B. Upotrijebite oznaku x za

broj prijeđenih kilometara, a oznaku y za cijenu usluge prijevoza (u kunama).

Rješenje 151

Ponovimo!

. ...a a a a n a

n puta

+ + + + = ⋅

−�������

CA B

a)

Taksi A ima startninu 10.00 kn, a cijena po kilometru je 3.00 kn. Za 7 km vožnje platit će se 31 kn.

10.00 3.00 7 31.00.+ ⋅ =

b)

Taksi B ima startninu 5.00 kn, a cijena po kilometru je 4.00 kn. Za x kilometara platit će se

5 4 .x+ ⋅

Taksi C ima startninu 20.00 kn, a cijena po kilometru je 1.50 kn. Za x kilometara platit će se

20 1.5 .x+ ⋅

Budući da se traži broj kilometara za koji je jednaka cijena vožnje, vrijedi jednadžba:

5 4 20 1.5 4 1.5 20 5 2.5 15 2.5 15 6./ : 1.5x x x x x x x+ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Za udaljenost od 6 km usluga prijevoza taksijem B i taksijem C bit će jednako naplaćena.

c)

Taksi B ima startninu 5.00 kn, a cijena po kilometru je 4.00 kn. Za x kilometara cijena usluge

prijevoza y računa se po formuli:

5 4 .y x= + ⋅

Vježba 151

Cijene usluga triju taksi – prijevoznika prikazane su u tablici.

TAKSI A TAKSI B TAKSI C Startnina 10.00 kn 5.00 kn 20.00 kn

Cijena 1 km vožnje 3.00 kn 4.00 kn 1.50 kn

Cijena usluge prijevoza uključuje startninu i cijenu vožnje po prijeđenome kilometru. Napišite

formulu prema kojoj se računa cijena usluge prijevoza taksijem A. Upotrijebite oznaku x za broj

prijeđenih kilometara, a oznaku y za cijenu usluge prijevoza (u kunama).

Rezultat: 10 3 .y x= + ⋅

Zadatak 152 (4A, TUPŠ)

Kabelska televizija započela je s radom. Pokazalo se da su prve godine rada broj njezinih

korisnika k i broj mjeseci t od početka emitiranja povezani formulom: ( )20 000 4 1

.1

tk

t

⋅ ⋅ +=

+

a) Koliki je broj korisnika bio u trenutku početka rada ove kabelske televizije?

b) Nakon koliko je mjeseci broj korisnika bio 70000?

c) Napišite formulu ovisnosti broja mjeseci o broju korisnika (izrazite t pomoću k).

Rješenje 152

Ponovimo!

10

.1

nn=

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

a)

( ) ( ) ( )20 000 4 1 20000 4 0 1 20 000 0broj mjeseci

0

1

1 0 1 1

tk k k

t t

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ += ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

+ +=

20 000 120 000 .

1k k korisnika

⋅⇒ = ⇒ =

b)

( ) ( )broj korisnika

70 000

20 000 4 1 20 000 4 170 000

1 1k

t tk

t t

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += ⇒ ⇒ = ⇒

+ +=

( )( ) ( )

1/

1000

20 000 4 170 000 7 1 2 4 1 7 7 8 2

1 0

tt t t

tt

t

⋅ ⋅ +⇒ = ⇒ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒

+

+⋅

( )7 8 2 7 5 5 5 sec ./ 1t t t t t mje i⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =⋅ −

c)

( ) ( )( ) ( ) ( )

20 000 4 1 20 000 4/ 1

11 20 000 4 1

1 1

t tk k k t t

t tt

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⋅

+⋅ ⋅ +

++ ⇒

( )80 000 20 000 80 000 20 000 80 000 20 000k t k t k t t k t k k⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ − = − ⇒

( )1

/80 0

20 00080 000 20 000 .

80 00000k

kt k k t

k

−⇒ ⋅ − ⇒ =

−⋅

−= −

Vježba 152

Kabelska televizija započela je s radom. Pokazalo se da su prve godine rada broj njezinih

korisnika k i broj mjeseci t od početka emitiranja povezani formulom: ( )15000 3 1

.1

tk

t

⋅ ⋅ +=

+

Koliki je broj korisnika bio u trenutku početka rada ove kabelske televizije?

Rezultat: 15000.

Zadatak 153 (4A, TUPŠ)

Čemu je jednako b ako je ?4

a b cP

R

⋅ ⋅=

⋅

Rješenje 153

Ponovimo!

.a b b a= ⇒ =

4 44

/ 44

Ra b c a b c

P P R P a b c a b c R PR R

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅

44 .

1/

a

R Pa b c R P b

c a c

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅⋅

⋅

11

Vježba 153

Čemu je jednako c ako je ?4

a b cP

R

⋅ ⋅=

⋅

Rezultat: 4

.R P

ca b

⋅ ⋅=

⋅

Zadatak 154 (4A, TUPŠ)

Odredite h iz formule ( )2 .S r r hπ= ⋅ ⋅ + ⋅

1 1. .

2 2

S SA h r B h r

r rπ π= ⋅ − = ⋅ +

⋅ ⋅

1 1. .

2 2

r rC h r D h r

S S

π π⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ +

Rješenje 154

Ponovimo!

1,, .

a b a bn m n ma a a a a

n n n

−+= ⋅ = = −

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ 1.inačica

( )2 2 2

2 2 2 2S r r h S r r h r r h S r h S rπ π π π π π π= ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⇒

2 22

22 2 2

1/

2

S r S rr h S r h h

r r rr

π ππ π

π ππ π

− ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⇒ = − ⇒

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

1.

2 2 2 2

2

2

S r S r Sh h h r

r r rr

π

π ππ π

⋅⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

2.inačica

( ) ( ) ( )1

/2 2 2 2S

S r r h r r h S r r h Sr

r hr

π π ππ π

⋅⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒⋅

1/

12 2 .

2 2

S S Sh r h r h r

r r rπ π π⋅⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ −

⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 154

Odredite π iz formule ( )2 .S r r hπ= ⋅ ⋅ + ⋅

( ) ( ). .

2 2

S SA B

r r h r r hπ π= =

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

. .2 2

r S r S rC D

r h hπ π

⋅ ⋅ −= =

+ ⋅ ⋅

12

Rezultat: A.

Zadatak 155 (4A, 4B, TUPŠ)

U jednoj su školi izmjerili da je veza visine učenika i duljine njegove podlaktice dana

formulom 3 · v – 20 · p + 10 = 0, gdje je p duljina podlaktice u cm, a v visina učenika u cm. Koliko je

visok učenik kojemu je podlaktica duljine 26.3 cm? Kolika je duljina podlaktice učenika koji je visok

168 cm?

Rješenje 155

Ponovimo!

Opći oblik linearne jednadžbe glasi:

, .,a x b a b R⋅ = ∈

Moguća su tri slučaja.

� rješenje jednadž0

bea x b b

xa a

⋅ =⇒ =

≠

� jednadžba nema00

rješ, 0

enjaa x b

x ba b

⋅ =⇒ ⋅ =

= ≠

Ne postoji broj koji bi pomnožen s nulom dao broj različit od nule.

� jednadžba je ne0 00

odre, 0

đenaa x b

xa b

⋅ =⇒ ⋅ =

= =

Ima beskonačno mnogo rješenja, tj. jednakost je ispunjena za svako .x R∈

Budući da je veza visine učenika u cm i duljine podlaktice u cm dana jednadžbom

3 · v – 20 · p + 10 = 0, slijedi:

• visina učenika

26.33 20 26.3 10 0 3 526 10 0

3 20 10 0

p cmv v

v p

=⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ − + = ⇒

⋅ − ⋅ + =

3 516 0 3 516 3 516 172 ./ : 3v v v v cm⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

• duljina podlaktice učenika

1683 168 20 10 0 504 20 10 0

3 20 10 0

v cmp p

v p

=⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = ⇒

⋅ − ⋅ + =

( )514 20 0 20 514 20 514 25.7/ : 20 .p p p p cm⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = −− ⇒ =

Vježba 155

U jednoj su školi izmjerili da je veza visine učenika i duljine njegove podlaktice dana

formulom 3 · v – 20 · p + 10 = 0, gdje je p duljina podlaktice u cm, a v visina učenika u cm. Koliko je

visok učenik kojemu je podlaktica duljine 2.63 dm?

Rezultat: 172 cm.

Zadatak 156 (4A, 4B, TUPŠ)

Čemu je jednako b ako je i cos 0?cos

b ca ϕ

ϕ

−= ≠

Rješenje 156

Ponovimo!

.a

b ab

⋅ =

cos/ cos cos .cos co

coss

b c b ca a a b c b c a b a cϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

− −= ⇒ = ⇒ ⋅ = − ⇒ − = ⋅ ⇒ ⋅ +⋅ =

13

Vježba 156

Čemu je jednako c ako je i cos 0?cos

b ca ϕ

ϕ

−= ≠

Rezultat: cos .c b a ϕ= − ⋅

Zadatak 157 (4A, 4B, TUPŠ)

Visina na kojoj se nalazi projektil t sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom

( ) ( )2

2 11 310,h t t= − ⋅ − + (h je izražena u metrima). Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad

182 m?

. 4 . 10 . 16 . 22A B C D

Rješenje 157

Ponovimo!

, , .2

, 0 , 0a b c a c b c a a x a a a x a> < ⇒ ⋅ < ⋅ = < > ⇒ − < <

, .a b c n R a n b n c n< < ∈ ⇒ + < + < +

Iz uvjeta zadatka slijedi da trebamo riješiti nejednadžbu i odrediti strogo pozitivne vrijednosti varijable

t.

( ) ( ) ( )2 2

182 2 11 310 182 2 11 182 310h t t t> ⇒ − ⋅ − + > ⇒ − ⋅ − > − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 11 128 2 11 128 / : 2 11 64t t t⇒ − ⋅ − > − ⇒ − ⋅ − > − ⇒ <− − ⇒

( )2

11 64 11 64 11 8 8 11/ 8t t t t⇒ − < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ − < − < ⇒

8 11 8 8 11 11 11 8/ 11 111 11 1913t t t+ −⇒ − < − < ⇒ − + < − + < + ⇒ < <+ ⇒

3 19.t⇒ < <

Od 3. do 19. sekunde projektil je na visini iznad 182 m i na njoj će provesti ukupno 16 s.

19 3 16 .s s s− =

Odgovor je pod C.

h = 182 m

t2 = 19 st1 = 3 s

Vježba 157

Visina na kojoj se nalazi projektil t sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom

( ) ( )2

2 11 300,h t t= − ⋅ − + (h je izražena u metrima). Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad

172 m?

. 4 . 10 . 16 . 22A B C D

Rezultat: C.

14

Zadatak 158 (4A, 4B, TUPŠ)

Riješi nejednadžbu: 2 1 3 1

1 .3 4 12

x x x⋅ − ⋅ +− < −

Rješenje 158

Ponovimo!

1.

nn =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

2 1 3 1 2 1 3 1 11

3 4 12 3 4 1 12

x x x x x x⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +− < − ⇒ − < − ⇒

( ) ( )/ 122 1 3 1 1

4 2 1 3 3 1 123 4 1 12

x x xx x x

⋅ − ⋅ +⇒ − < − ⇒ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + < −⋅ ⇒

8 4 9 3 12 88 9 12 4 3 12 4 39x x x x x x x x x⋅ − ⋅⇒ ⋅ − − ⋅ − < − ⇒ ⋅ − ⋅ + < + <++ ⇒ + + ⇒

0 19.⇒ <

Rješenje nejednadžbe je svaki realan broj x,

ili , ilix R x x∈ ∈ − ∞ + ∞ − ∞ < < + ∞

jer je nejednadžba ekvivalentna točnoj nejednakosti

0 19.<

Vježba 158

Riješi nejednadžbu: 2 1 3 1

1 .3 12 4

x x x⋅ − ⋅ ++ < +

Rezultat: Rješenje nejednadžbe je svaki realan broj x, .x R∈

Zadatak 159 (4A, 4B, TUPŠ)

Riješi nejednadžbu: 3 2 5 1

1 .4 3 6

x x x− ⋅ ⋅ +− > −

Rješenje 159

Ponovimo!

1.

nn =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

3 2 5 1 3 2 1 5 11

4 3 6 4 1 3 6

x x x x x x− ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ +− > − ⇒ − > − ⇒

( ) ( )3 2 1 5 1

3 3 2 12 4 2 5 114 1 3

26

/x x x

x x x− ⋅ ⋅ +

⇒ − > − ⇒ ⋅ − ⋅ − > ⋅ − ⋅ ⋅ +⋅ ⇒

9 6 12 4 10 2 6 4 10 2 9 12x x x x x x⇒ − ⋅ − > ⋅ − ⋅ − ⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ > − − + ⇒

6 4 2 9 12 0 1.10x x x− ⋅ − ⋅ + > +⋅⇒ − − ⇒ >

Nejednadžba nema rješenja jer je ekvivalentna netočnoj nejednakosti

15

0 1.>

Vježba 159

Riješi nejednadžbu: 3 2 5 1

1.4 6 3

x x x− ⋅ ⋅ ++ > +

Rezultat: Nejednadžba nema rješenja.

Zadatak 160 (4A, 4B, TUPŠ)

Zadana je formula ( ) ( ): 100 : 100.S g p S+ + = Koliko je S ako je p = 2.65 i g = 864.96?

. 22143 . 29881 . 32 640 . 36 485A B C D

Rješenje 160

Ponovimo!

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Dekadske jedinice su brojevi koji se dobiju množenjem broja 10 samim sobom. Dekadske jedinice su

brojevi: 10, 100, 1000, 10000, 100000 itd. Decimalni broj množimo dekadskom jedinicom tako da

decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko dekadski broj ima nula.

1.inačica

Iz zadane formule izračunamo veličinu S.

( ) ( ) ( ) ( ): 100 : 100 100 100S g p S S g S p+ + = ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒

100 100100 100 100 100 100SS g S S p g S p gS S p⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ =⋅ ⋅⋅ ⇒

100100 100

1./

gS p p S

ppg S g ⋅

⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

U ovu formulu uvrstimo poznate veličine.

100 100 864.96 86 49632 640.

2.65 2.6

864.96

2. 565

gS S S S

p

g

p

⋅ ⋅= ⇒ ⇒

==

=⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

2.inačica

U zadani razmjer uvrstimo poznate veličine i izračunamo S.

( ) ( ) ( ) ( )864.96

2.: 100 : 100 864.

696 : 100 2.

565 : 100S g

gp S S S

p+ + = ⇒ ⇒ + + = ⇒

=

=

( ) ( )864.96 : 102.65 : 100 100 864.96 102.65S S S S⇒ + = ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒

100 86 496 102.65 100 102.65 86 496 2.65 86 496S S S S S⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

( )/ :2.65 86 496 32 62. 40.65S S⇒ − ⇒ =−⋅ = −

Odgovor je pod C.

16

Vježba 160

Zadana je formula ( ) ( ): 100 : 100.S g S p+ = + Koliko je S ako je p = 2.65 i g = 864.96?

. 22143 . 29881 . 32 640 . 36 485A B C D

Rezultat: C.