Tartalom

A feladatok sorszma

I. SKGEOMETRIABevezets a skgeometriba

Szakaszok; sokszgek tli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Szgek, szgprok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2763Sokszgek szgsszege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6487Hromszgek bels s kls szgei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88136sszefggsek a hromszg oldalai s szgei kztt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137171

Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skonPonthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172222Hromszgek szerkesztse (I. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223262

EgybevgsgHromszgek, sokszgek egybevgsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263301Tengelyes tkrzs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302359Kzppontos tkrzs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360402Pont krli forgats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403447Eltols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448488Egybevgsgi transzformcik egymsutnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489509

A hromszg nevezetes vonalai s kreiKzpvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510525Magassgvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526530Thalsz-kr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531553A hromszg bert s hozzrt krei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554603Hromszgek szerkesztse (II. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604634

NgyszgekParalelogrammk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635667Deltoidok, rombuszok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668689Tglalapok, ngyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690714Ngyszgekrl ltalban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715735Trapzok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736765

KrkKr s egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766806A kr mint ponthalmaz; krk szerkesztse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807838rintkez krk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839870Krk s rintk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871882Kerleti s kzpponti szgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883972Hrngyszgek, rintngyszgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9731016

HasonlsgKicsinyts, nagyts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10171052Hasonl skidomok bersa, levgsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10531072Hasonl hromszgek

Bizonytsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10731088Szmolsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10891131Szgfelezttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321139Magassgttel, befogttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11401153Aranymetszs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11541161Menelaosz ttele, Ceva ttele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11621170

Hasonl ngyszgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711200Hromszgek hasonlsgval megoldhat feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011236Szeldarabok szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12371251Hasonlsgon alapul szerkesztsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12521291Euler-egyenes, Feuerbach-kr, Simson-egyenes, Apollonius-kr . . . . . . . . . . . 12921329

Pitagorasz ttelnek alkalmazsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13301455Terletszmts, terlettalakts s alkalmazsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14561584

II. TRGEOMETRIATrelemek

Illeszkedsi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15851608Trelemek tvolsga s hajlsszge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16091675

Kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16761714Tglatest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17151743Hasb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17441780Tetrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811843Gla, csonkagla

Gla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18441893Csonkagla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18941903

Poliderek, szablyos testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041970Henger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19712025Kp, csonkakp

Kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20262081Csonkakp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20822115

Gmb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21162161sszetett trgeometriai alakzatok

Egymshoz illesztett testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21622172Egymsba rt testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21732257Skidomok forgatsval nyert testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22582281

III. VEKTOROKVektorok sszege, klnbsge s vektor szorzsa szmmal . . . . . . . . . . . . . . 22822322Vektormveletek alkalmazsval bizonythat lltsok . . . . . . . . . . . . . . . . . 23232372

2

Vektorok felbontsa sszetevkre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23732385Vektorok elforgatsval megoldhat feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23862403Mveletek koordintkkal megadott vektorokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24042424Kt vektor skalris szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24252448Kt vektor vektorilis szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24492455

IV. TRIGONOMETRIASzgek tvltsa fokrl radinra s fordtva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24562464Hegyesszg trigonometriai alapfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24652506Hegyesszg megszerkesztse valamely szgfggvnynek rtkbl . . . . . . . . 25072511Nevezetes hegyesszgek szgfggvnyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25122517Hegyesszg trigonometriai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182529

Tglalapok, rombuszok, paralelogrammk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25302543Szablyos sokszgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25442561Krk rinti, krvek, krcikkek, krszeletek, hrok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25622585Trapzok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25862613Trelemek hajlsszge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26142626Vegyes, illetve sszetettebb hegyesszg trigonometriai feladatok . . . . . . . . . . 26272720

Szgfggvnyek ltalnostsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27212740Trigonometrikus fggvnyek grafikonjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27412776Trigonometrikus egyenletek (I. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27772780

Alapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27812835sszetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28362875

Trigonometrikus egyenltlensgek (I. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28762882Alapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28832893sszetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28942919Szlsrtkfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29202929

A szinuszttel alkalmazsaBevezet alapfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29302936Alapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29372951sszetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29522970Nehezebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712975

A koszinuszttel alkalmazsaAlapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29762984sszetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29853033Nehezebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30343040

A szinuszttel s a koszinuszttel alkalmazsaAlapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30413054sszetettebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30553070Nehezebb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30713075

Nhny knny terletszmtsi feladatSzinuszttelt, illetve koszinuszttelt nem ignyl knny feladatok . . . . . . . . . 30763087Szinuszttelt, illetve koszinuszttelt ignyl knny feladatok . . . . . . . . . . . . . 30883100

3

4sszegzsi ttelek alkalmazsaBevezet alapfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31013109Alapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31103129Gyakorlfeladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31303172Geometriai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31733189A hromszg trigonometrijrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31903227

Trigonometrikus egyenletek (II. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32283229Alapvet feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32303288sszetettebb, illetve nehezebb trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . 32893331Paramteres trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33323349

Trigonometrikus egyenltlensgek (II. rsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33503392Trigonometrikus egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33933423Nhny nehezebb trigonometriai feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34243437Nhny gyakorlatibb trigonometriai feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34383461

V. KOORDINTAGEOMETRIASzakaszt adott arnyban oszt pont, slypont koordinti . . . . . . . . . . . . . . 34623497Kt pont tvolsga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34983537Az egyenes egyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35383609

Kt egyenes metszspontja. Pont tvolsga egyenestl, sktl . . . . . . . . . . . . . 36103668Prhuzamos s merleges egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36693754Pont s egyenes tvolsga. Terletszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37553821

A krA kr egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38223917Kr s egyenes klcsns helyzete. Kr rintje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39183979Krk klcsns helyzete, kzs pontjaik meghatrozsa . . . . . . . . . . . . . . . 39804009

A parabolaA parabola egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40104053A parabola s az egyenes, a parabola s a kr klcsns helyzete . . . . . . . . . 40544145

Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41464251

Jelmagyarzat

Az A pont s az e egyenes tvolsga: d(A; e)

Az A s B pont tvolsga: AB vagy AB vagy d(A; B)

Az A s B pont sszekt egyenese: e(A; B)

Az f1 s f2 egyenesek szge: (f1; f2) vagy (f1; f2)

A C cscspont szg, melynek egyik szrn az A, msik szrn a B pont tallhat: ACB

A C cscspont szg: C

Szg jellse : a, b, c,

Az A, B s C cscsokkal rendelkez hromszg: ABC3

Az a, b s c oldal hromszg fl kerlete: sa b c

2=

+ +

A derkszg jele:

Az e egyenes merleges az f egyenesre: e = f

Az e egyenes prhuzamos az f egyenessel: e ; f

A hasonlsg arnya: m

Az A pontbl a B pontba mutat vektor: AB

Metszspont, metszsvonal, kzs rsz: +

Halmazok egyestse, unija: ,

Halmazok klnbsge: \

res halmaz: 0Y

Az A; B; C pontok skja: [ABC]

Az A pont s f egyenesek skja: [A; f]

Az e s f egyenesek skja: [e; f]

Az O pont krli { irnytott szg elforgats: fO; {A v vektorral val eltols: xvAB vektorral val eltols: AB

Egybevg: ,

Hasonl: +

Azonosan egyenl: /

Kzeltleg egyenl: .

Halmaz eleme; nem eleme: ;! !Y

akkor s csak akkor : +

Kvetkezik: &, "

Logikai vagy; logikai s: ;0 /

8

I. Skgeometria

Bevezets a skgeometriba

Szakaszok; sokszgek tli

1. A szakasz ktszeresbl az eredeti szakaszt a szakaszfelez merleges s a ktszeres szakaszmetszspontjnak megjellsvel kaphatjuk. A felezspont s a ktszeres szakasz brmelyikvgpontja meghatrozza a szerkesztend szakaszt.

2. A 3m - 2n szakasz csak akkor szerkeszthet, ha 3m - 2n $ 0&m $ n3

2. Egyenlsg esetn

a keresett szakasz 0 hosszsg.3. Legyen a kt szakasz sszege a + b, klnbsge a - b s a + b > a - b! Az sszeg- s klnb-sgszakasz sszege a nagyobb szakasz ktszerest adja (a + b + a - b = 2a), gy ennek felez-svel a nagyobb szakaszhoz jutunk. Az sszeg- s klnbsgszakasz klnbsge a kisebb szakaszktszerest adja (a + b - (a - b) = 2b), gy ennek felezsvel a kisebb szakaszhoz jutunk.4. Legyen a kt adott szakasz 2a + b s 2a - b! 2a + b + 2a - b = 4a&A 4a szakasz felnekfelezsvel az egyik szakaszhoz jutunk. 2a + b - (2a - b) = 2b & A 2b szakasz felezsvel amsik szakaszhoz jutunk.5. ; .CD CB BD BD CD CB AD AB BDcm cm cm cm8 10 8 18&= + = - = = + = + =

6. a) AC BD AB+ miatt a pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el.DC = .,AC BD AB m74+ - =

7. ;AB F Bcm cm52

51&= = ;BC BFcm cm17 2

172&= = .F F F B BF cm111 2 1 2= + =

8. Legyen az AB szakasz felezpontja F1, az AC szakasz felezpontja pedig F2. a) 1. eset: B elvlasztja A-t s C-t. ; ;AF AFm m50 801 2= =

.AF AF F F F F AF AF m302 1 1 2 1 2 2 1&= + = - =

2. eset: A elvlasztja B-t s C-t. ; ;AF F Am m50 801 2= =.F F F A AF m1301 2 1 2= + =

b) 1. eset: C elvlasztja A-t s B-t. ; ;AFa

AFb

2 21 2= =

.AF F F AF F F AF AFa b

22 2 1 1 2 1 1 2&+ = = - =

-C s F1 sorrendje nem befolysolja a meg-

oldst.

2. eset: A elvlasztja B-t s C-t. ; ;AF F Aba

2 21 2= = .F A AF F F

a b

22 1 2 1+ = =

+

I

9. ; .AC AB BC a b AF ACa b

2

1

2$= + = + = =

+

10. : : ; ; .AP PB x x x AP PBm m m m2 3 2 3 90 18 36 54& &= + = = = =

11. : : ; ; .AP PB b c b x c x a xb c

aAP b

b c

aPB c

b c

a& &$ $ $ $= + = =

+=

+=

+

12. Jelljk a felezpontot F-fel, a 2 : 3 arny osztpontot G-vel! ;AF FB m2

35= =

: : ;AG GB x x x AGm m m2 3 2 3 35 7 14& & &= + = = =

.AG GF AF GF AF AG m32

1&+ = = - =

13. Jelljk a felezpontot F-fel, a :3

2

15

4arny osztpontot G-vel!

,, ;AF FB m m

2

5 62 8= = = : : ,AG GB x x xm m

3

2

15

4

3

2

15

45 6 6& & &= + = =

; , .AG AG AF FG FG AG AFm m4 1 2& &= = + = - =14. : : ;AC CB x x x ACcm cm cm2 5 2 5 42 6 12& & &= + = = = : :AD DB 3 4&=

;x x x ADcm cm cm3 4 42 6 18& & &+ = = = .AD AC CD CD AD AC cm6&= + = - =

15. ; ; ;AC AB BC DB DC CB CD BC AD AB BC CD= + = + =- - = + +AB CD AC DB AD BC$ $ $+ + =

AB CD AB BC CD BC AB BC CD BC$ $ $= + + - - + + + =_ _i i# -.AB CD AB CD BC CD AB BC BC AB BC BC CD BC 02 2$ $ $ $ $ $= - - - - + + + =

A feladat ltalnosthat. A pontok ms sorrendben val elhelyezkedsekor is fennll az elje-les szakaszok kztt felrt sszes egyenlsg. Pldul A, D, C, B sorrend esetn:

; ;AC AB CB AB BC DB DC CB CD BC AD AB CB DC= - = + = + =- - = - - =.AB BC CD= + +

16. ; ; .AC AB BC BD BC CD AD AB BC CD= + = + = + +(1) AC BD CD AB AB BC BC CD CD AB2 2

2 2$ $ $ $+ = + + + =_ _i iAB AB BC BC BC CD CD AB22 2 2$ $ $= + + + + =` _j i

.AB BC AB CD AB BC AB BC CD BC BC CD CD AB2 22 2 2 3 2 2$ $ $ $ $ $ $= + + + + + +(2) BC AD AB BD AD BC AB BC CD AB BC CD AB BC CD2 2$ $ $ $ $ $+ = + + + + + + =_ _ _i i i

AB BC BC BC CD AB BC AB CD AB BC CD2 3 2$ $ $ $ $= + + + + + + =_ _i iAB BC BC BC CD AB BC AB CD AB BC AB BC CD AB CD22 3 2 2 2 2 2$ $ $ $ $ $ $ $= + + + + + + + =

.AB BC AB CD AB BC AB BC CD BC BC CD CD AB2 22 2 2 3 2 2$ $ $ $ $ $ $= + + + + + +(1) s (2) sszefggsek jobb oldala egyenl, teht az llts igaz.

17. a) 4 pont esetn 2

4 36

$= lehetsges egyenes van. b) 5 pont esetn

2

5 410

$= lehetsges

egyenes van. c) 212 pont esetn 2

212 21122 366

$= lehetsges egyenes van. d) n pont esetn

n n

2

1$ -_ ilehetsges egyenes van. Brmely kt pont egyetlen egyenest hatroz meg, mivel

semelyik hrom nincs egy egyenesen. Annyi egyenes van, ahnyflekppen n pontbl 2-t kilehet vlasztani.

10 Bevezets a skgeometriba

I

18. A kivlasztott cscsbl nmagba s a kt szomszdjba nem indul tl. Az egy cscsblindul tlk szma: a) 5 - 3 = 2; b) 16 - 3 = 13; c) n 3- .

19. a) Az egyik cscsbl kiindul 2 tl db3 hromszget hoz ltre.

b) Az egy cscsbl kiindul tlk szma 12 - 3 = 9. Az 1. tl 1 db hromszget s egy tizenegy-szget hoz ltre a tizenktszgbl. A 2. tl jabb hromszget s egy tzszget, a 3. tl a 3.hromszget s egy kilencszget, ... a 9. tl a 9. hromszget s mg egy hromszget, azazsszesen db10 -ot hoz ltre.

c) n db2-_ i hromszg keletkezik.20. Az n oldal konvex sokszg egy cscsbl (n - 3) db tl hzhat. .n n3 12 15&- = =

21. Az n oldal konvex sokszget az egy cscsbl indul tlk (n - 2) db hromszgre bont-jk. .n n2 18 20&- = =

22. .n n n3 17 10&+ - = =_ i23. Az n oldal sokszg egy cscsbl (n - 3) db tl indul. n cscsbl n $ (n - 3) db tl indul,

de gy minden tlt ktszer szmoltunk, teht az sszes tlk szma: .n n

2

3$ -_ iA felttel

szerint: .n n

2

327

$ -=

_ iEbbl a pozitv megolds .n 9=

24. a) Egy kiszemelt gyerek minden trsval helyet cserlhet, teht 6 cserepartnere lehet.

b) 1 jtkos 6 helyre cserlhet. 7 jtkos 7 $ 6 = 42 helyre, de minden cserben ketten szerepel-

nek, gy a valsgos cserk szma: .2

7 621

$=

25. Az n oldal konvex sokszg tlinak szma .n n

2

3$ -_ i

A felttel szerint: .n n

n2

36

$ -=

_ iEbbl a pozitv megolds .n 15=

26. Az n oldal konvex sokszg tlinak szma .n n

2

3$ -_ i

A felttel szerint: .n n

n2

3$ -=

_ iEbbl a pozitv megolds .n 5=

Szgek, szgprok

27. 45 = 90 : 2, teht -et kell felezni.A szablyos hromszg mindhrom szge 60, teht szablyos hromszget kell szerkeszteni.

,302

160 $= teht 60-os szget kell felezni. , ,22 5

2

145 $= teht 45-os szget kell felezni.

,152

130

4

160 $ $= = teht a 60-os szg felt kell felezni.

Szgek, szgprok 11

I

28. A 90-os s a 60-os szgekbl szgfelezssel s sszeadssal tbbflekppen is szerkeszt-

hetk a krdses szgek, pldul: ; , ;105 602

190 52 5

2

160

4

190 $ $ $= + = +

; , ; .752

160 90 67 5

4

390 135

2

390 $ $ $= + = =_ i

29. Szerkesztsi feladat, megoldst az olvasra bzzuk.30. Legyen a + b = d az egyik, a - b = f a msik megadott szg! Az rtelmezs miatt a > b

s d > f. A kt egyenlet sszegbl 2

&=+

ad f

a nagyobb szg megkaphat a megadott

szgek sszegnek felezsvel. Az els s a msodik egyenlet klnbsgbl 2

&=-

bd f

a

kisebb szg megkaphat a megadott szgek klnbsgnek felezsvel.31. Legyen 2a + b = d az egyik, 2a - b = f a msik megadott szg! Az rtelmezs miatt

>2

ab

s > .d f A kt egyenlet sszegbl 4

&=+

ad f

az egyik szg megkaphat a meg-

adott szgek sszegnek ktszeri felezsvel. Az els s a msodik egyenlet klnbsgbl

2&=

-b

d fa msik szg megkaphat a megadott szgek klnbsgnek felezsvel.

32. : :7 3 7&= =a b a f s .3=b f A felttel szerint: .7 3 72 18 180 & &= + = + =f f f a b

33. : :5 2 5&= =a b a f s .2=b f A felttel szerint: 5 2 54 18 & &= + =f f f 90=a s

.36=b

34. se2162

180 72 &+ = + = =a b ab

b s .144=a

35. .10 20 30 180 30 &+ + + + + + = =a a a a a A szgek nagysga: 30; 40; 50; 60 .

36. Jelljk az els s a msodik sugr szgt a-val! .2 4 8 360 24 &+ + + = =a a a a aA keresett szgek: 24; 48; 96; 192 .

37. 0 rtl 12 rig rendre a mutatk ltal bezrt szg: 0; 30; 60; 90; 120; 150; 180; 150(210); 120 (240); 90 (270); 60 (300); 30 (330) s 0 (360).

38. 1 ra alatt a kismutat 30-ot fordul el. a) negyed ht;4

1ra alatt a 30 negyedt tette

meg, gy a 6-ostl szmtva 7,5-ot fordult a kismutat. A nagymutat pillanatnyi llsval, ,90 7 5 97 5 + = -os szget zr be.

b) fl tz;2

1ra alatt a kismutat a 30 felt tette meg, gy 15-ot fordult. A nagymutat pil-

lanatnyi llsval 90 15 105 + = -os szget zr be.

c) hromnegyed t;4

3ra alatt a kismutat a 30 hromnegyedt tette meg, gy 22,5-ot for-

dult. A nagymutat pillanatnyi llsval , ,90 30 30 22 5 127 5 + + - =_ i -os szget zr be.39. 1 ra alatt a kismutat 30-ot fordul el. a) 2 ra 20 perc; a kismutat a 2-hz kpest

3

130 10 $ = -ot, a nagymutat pedig 60-ot haladt. A bezrt szg .60 10 50 - =

12 Bevezets a skgeometriba

I

b) 3 ra 32 perc; a kismutat a 3-hoz kpest 60

3230 16 $ = -ot, a nagymutat pedig 90 + 12 =

= 102-ot haladt. A bezrt szg .102 16 86 - =

40. Az bra jellseit hasznlva , , .45 90 22 5 157 5 = + + =a

41. , ,67 5 45 22 5 &= = +a a haj nyugat-szaknyugati irnyban halad.42. A replgp dlkelet fel halad.43. a) , ;l21 36 21 6 = b) , ;l49 9 49 15 = c) , ;l ll51 24 18 51 405 = d) ,l ll17 27 45 17 4625 = .

44. a) , ;l108 5 108 30 = b) , ;l20 7 20 42 = c) , ;l18 3 18 18 = d) , ;l59 7 59 42 =

e) , .ll100 01 100 36 =

45. d = a = 32 42l, mert cscsszgek; f = a = 32 42l, mert egylls szgek;v = a = 32 42l, mert vltszgek; b = c = 180 - 32 42l = 147 18l, mert a mellkszgei;h = ~ = 180 - 32 42l = 147 18l, mert a trsszgei.46. .l l90 16 28 53 14 &= - + =a a a

47. .5

1180 30 &$= - =a a a_ i

48. .180 90 &= - =a a a

49. .180 90 &= - =a a a Akkor egyenl a szg a trsszgvel, ha 90-os.

50. a) ;3

2180 72 &$= - =a a a_ i b) ;

7

3180 54 &$= - =a a a_ i

c) , .5

3180 67 5 &$= - =a a a_ i

51. a) , ;180 180 116

3180 146 25 &$+ - + - = =a a a a_ _i i

b) .180 180 19

5180 80 &$+ - + - = =a a a a_ _i i

52. A feltteleknek megfelel merleges szr szgek nem egyenlk,hanem egyms kiegszt szgei.a) ; ;3 180 135 180 45 &$= - = - =a a a a_ ib) ; ;4 180 144 180 36 &$= - = - =a a a a_ ic) ; .3 180 150 180 30 &$= - = - =a a a a_ i

Szgek, szgprok 13

I

40. 41. 42.

52.

53. A feltteleknek megfelel merleges szr szgek nem egyenlk, hanem egyms kiegszt

szgei. a) ; ;11 11 180 15 165 & &= + = = =b a a a a b b)3

1

3

1180& &= + =b a a a

; ;135 45 & = =a b c) ; .2

7

2

7180 40 140 & &= + = = =b a a a a b

54. TCA3-ben CTA = 90& TCA = 90 - a. Az ABC3-ben b = 90 - a, gy az elzlltssal sszevetve TCA = b addik. A msik llts hasonlan belthat.55. A prhuzamos szr konvex szgek nagysga csak akkor klnbzhet egymstl, hatrsszgek. ; ; ; .180 90 90 180 45 135 &+ = = + + + = = =a b a b b b b a

56. A prhuzamos szr konvex szgek nagysga csak akkor klnbz, ha trsszgek.a) ; ; ; .180 90 45 135 &+ = = + = =a b b a a b

b) ; ; ; .180 120 30 150 &+ = = + = =a b b a a b

c) ; ; , ; , .180 75 52 5 127 5 &+ = = + = =a b b a a b

57. ; ADB15

390 144 $= =d ,180 36 = - =d mert d-val trsszgek.

ADB3-ben DAB .180 362

14472

= - - =

58. 22

22

180&$ $+ =b a

; .f f2 2

901 2 = + =b a_ i

59. ; ;a b 2= a_ i felezje f1 s ; ;b c 2= b_ i felezje f2. f1= f2& a + b = 90&& (a; c) = 2a + 2b = 180 & a s c egy egyenest alkot.60. A keletkezett szgek vagy cscsszgek vagy mellkszgek vagy egylls szgek vagytrsszgek. A cscsszgeknek kzs a szgfelezjk, a mellkszgeknek az 58. feladat lltsaszerint merleges, az egylls szgeknek prhuzamos, a trsszgeknek pedig merleges. Azllts is prhuzamossgot vagy merlegessget fogalmazott meg.61. fa= fb miatt az 59. feladat lltst felhasznlva: a + b = 180. A felttel szerint: b = a + 130 & a + a + 130 = 180 & ; .25 155 = =a b

62. Az bra jellseit hasznlva: d1 = 127 17l; B1AC1M ngyszgben 360 = a + 90 + 90 + 127 17l& .l52 43=a

63. 1. eset: A tompaszg az A cscsnl van. A 63/I. bra jellseivel: d2 = 47 6l 42ll.B1AC1M ngyszgben 360 = a + 90 + 90 + 47 6l 42ll& .l ll132 53 18=a

14 Bevezets a skgeometriba

I

57. 58. 62.

2. eset: A tompaszg a C cscsnlvan. BC1M derkszg hrom-szgben MBC1 = 90 - d2;AB1B derkszg hromszgbenB1BA (= MBC1) = 90 - a.A kt egyenlsget sszevetve:

.l ll47 6 422= =a d

Sokszgek szgsszege

64. n darab hromszg keletkezett, szgeik sszege n $ 180. E szgek kzl azok, amelyeknekcscsa az adott pont, nem tartoznak a sokszg bels szgeihez, s egytt 360-ot alkotnak. Ezrtaz llts igaz.65. Az n oldal konvex sokszg egy cscsbl indul tli (n - 2) db hromszgre bontjk asokszget. A hromszgek szgei rszben vagy egszen a sokszg szgeit alkotjk, s a sokszgminden szge ezen hromszgek szgeibl addik. A sokszg bels szgeinek sszege: (n - 2) $ 180. a) ngyszg esetben (4 - 2) $ 180 = ;360 b) nyolcszg esetben (8 - 2) $ 180 =

= ;1080 c) tizenhromszg esetben (13 - 2) $ 180 = ;1980 d) kilencvenhatszg esetben

(96 - 2) $ 180 = ;16 920

66. A konkv cscsbl indul tl a konkv ngyszget 2 db hromszgre bontja. A ngyszgbels szgeinek sszege egyenl a kt hromszg bels szgeinek sszegvel, azaz 360-kal.67. (n - 2) $ 180 = 1620 & n 11= . Tizenegy oldal a sokszg.

68. a) egyenl szg tszg: ;5

5 2 180108

5

$=

-=a

_ i

b) egyenl szg hatszg: ;6

6 2 180120

6

$=

-=a

_ i

c) egyenl szg htszg: , ;7

7 2 180128 57

7

$=

-=a

_ i

d) egyenl szg tzszg: ;10

10 2 180144

10

$=

-=a

_ i

e) egyenl szg n-szg: .n

n 2 180n

$=

-a

_ i69. A bizonyts indirekt. Tegyk fel, hogy a ngyszg a, b, c, dszgei 90-nl kisebbek! && a+b+ c+ d < 90 + 90 + 90 + 90 = 360, ami ellentmond an-nak, hogy a ngyszg bels szgeinek sszege 360.70. Pldul: a) 70/I. bra; b) 70/II. bra.71. Ha brmely kt szomszdos oldal merleges egymsra, akkor asokszgnek csak 90-os s 270-os szgei lehetnek. Tegyk fel, hogy az(n + k) oldal sokszgnek n db 90-os s k db 270-os szge van! A bels

Sokszgek szgsszege 15

I63/I. 63/II.

70/I.

70/II.

szgek sszegre fennll: n $ 90 + k $ 270 = (n + k - 2) $ 180 & k = n - 4 & k s n azonosparitsak, teht az sszegk (a sokszg oldalszma) pros.72. n oldal sokszg bels szgeinek sszege: (n - 2) $ 180; (n + 4) oldal sokszg belsszgeinek sszege: (n + 2) $ 180. A vltozs 4 $ 180 = 720 nvekeds.

73. Az n oldal sokszg bels szgeinek sszege: (n - 2) $ 180 = s; 2n oldal sokszg belsszgeinek sszege: (2n - 2) $ 180 = (2n - 4) $ 180 + 360 = 2 $ (n - 2) $ 180 + 360 = 2s + 360.A szgsszeg (s + 360)-kal ntt.74. a) Tekintsk a hromszg bels s kls szgeinek sszegt! l l l+ + + + + =a a b b c c

;180 180 180 = + + ;l l l 540+ + + + + =a b c a b c l l l 540+ + + + == -a b c a b c_ i.360540 180 = - =

b) Az a) pontban ltott gondolatmenetet kvetjk. Az tszg bels s kls szgeinek sszege:5 $ 180 = 900. A bels szgek sszege: 540. A kls szgek sszege: 900 - 540 = .360

c) Az a) pontban ltott gondolatmenetet kvetjk. Az n oldal konvex sokszg bels s klsszgeinek sszege: n $ 180; a bels szgek sszege: (n - 2) $ 180. A kls szgek sszege:

.n n180 2 180 2 180 360 $ $ $- - = =_ i75. (n - 2) $ 180 + al = 1846; 0 < al < 180; (n - 2) $ 180 - 1800 + al = 46;(n - 12) $ 180 = 46 - al. Az egyenlet bal oldala oszthat 180-nal. A jobb oldal csak akkor lehetoszthat, ha .l n46 12&= =a A sokszg 12 oldal, a kls szg 46.76. A feladat felttelei szerint az tszg bels szgeinek sszege: x + 2x + 3x + 4x +5x = 540&& x = 36. A keresett szgek: 36; 72; 108; 144; 180. Mivel bels szg nem lehet 180, gyilyen tszg nem ltezik.77. Tekintsk a ngyszg egyik oldalegyenesn lv bels s kls szgek sszegt! a + al == 180; b + bl = 180& a + b + al + bl = 360. A ngyszg bels szgeinek sszege 360:a + b + c + d = 360 = a + b + al + bl& al + bl = c + d.78. A bels szgek sszege (n - 2) $ 180, a kls szgek 360. n 2 180 3 360 &$ $- =_ i

n 8& = oldal a sokszg.

79. a) Legyen a s c szgfelezjnek metszspontja M!

AMCB ngyszgben AMC = .3602 2

360 36 122 34 168 - - - = - - - =a

bc

A kt szgfelez hajlsszge: 180 - AMC = .12

b) Legyen a s b szgfelezjnek metszspontja P! ABP3-ben 1802 2

= - - =da b

.180 36 61 83 = - - = A kt szgfelez hajlsszge: .83=d

80. Tekintsk t az egyes hromszgtpusok bels s kls szgeinek szmt az albbi tblzatsegtsgvel!

A kls szgek kztt legfeljebb egy volt hegyesszg s legalbb kett a tompaszg.

16 Bevezets a skgeometriba

I

Bels szgek Kls szgek

hegyesszg tompaszg derkszg hegyesszg tompaszg derkszg

Hegyesszg hromszg 3 db 3 db

Derkszg hromszg 2 db 1 db 2 db 1 db

Tompaszg hromszg 2 db 1 db 1 db 2 db

81. Jelljk a keresett sokszg oldalainak szmt n-nel! Tegyk fel, hogy a sokszg mindenkls szge legalbb 90! A kls szgek sszege 360, gy fennll a 360 $ n $ 90& n # 4 egyen-ltlensg. Teht n $ 5 esetn biztosan van a kls szgek kztt hegyesszg.82. Jelljk a hromszg alapjt BC-vel, az A-nl lv kls szgfelezt pedig e-vel!

; ;e AC2

180=

-a_ i BCA2

180&=

-a ;e AC BCA=_ i .

A kt egyenl szg egyik szra ugyanannak az egyenesnek kt ellenttes irny flegyenese, m-sik szruk a fenti egyenes ltal hatrolt ms-ms flskban van. & A kt szg vltszg & e ; a.

83. Jelljk az A cscsnl lv kls szg felezjt e-vel! a ; e &l

2=c

a, mert vltszgek,

l180

2180

2

180

2

180

= - - = - -

-=

-=b a

aa

a a.

lc b

2& &= = =

ac b c

84. ATB3-ben: d = 90 - b; F az AB alap felezspontja & CF szimmetriatengely felezi a

szrszget s merleges az alapra. CFB3-ben: .2

90= -c

b Az lltsokbl 2

=dc

addik.

85. Legyen a s b szgfelezjnek metszspontja P, az ABP3 P-nl lv kls szge d!

< ,2 2

902

90 = + = -da b c

teht d a szgfelezk hajlsszge.

a) ,90 16 3 = -d , ;73 7= b) ;90 45 45 = - =d c) .l l90 75 7 14 53 = - =d

86. A kls szgre vonatkoz ttelbl: al=b + c; a feladat felttele szerint: al= 2b. A ktlltst sszevetve: b = c& a hromszg egyenl szr.

87. a) A szrszg 60 & az alapon fekv szgek 2

180 6060

-= -osak & a hromszg sza-

blyos. b) Az alapon fekv szgek 60-osak & a szrszg 180 2 60 60 &$- = a hromszgszablyos.

Hromszgek bels s kls szgei

88. A feladat felttelei szerint: ; ; .x x x x5 7 518

1180 5 10 $= = = + = +a b c A hrom-

szg bels szgeinek sszege: ; ;x x x x5 7 5 10 180 10 50 70 & &+ + + = = = =a b

.60=c

Hromszgek bels s kls szgei 17

I84/I. 84/II. 84/III.

89. A feladat felttelei szerint: a = 70; b = 5x; c = 6x. A hromszg bels szgeinek sz-szege: ; .x x x70 5 6 180 10 50 60 & &+ + = = = =b c

90. a) A feladat felttelei szerint: a = x; b = 2x; c = 3x. A hromszg bels szgeinek sz-szege: ; ; .x x x x2 3 180 30 30 60 90 & &+ + = = = = =a b c

b) A megoldsmenet a)-hoz hasonl: ; ; .45 60 75 = = =a b c

c) A megoldsmenet a)-hoz hasonl: ; ; .30 70 80 = = =a b c

91. A feladat felttelei szerint: a = 42 24l; b = c + 27,1 = c + 27 6l. A hromszg belsszgeinek sszege: .l l l l42 24 27 6 180 55 15 82 21 & &+ + + = = =c c c b

92. A bizonyts indirekt. Tegyk fel, hogy a P pontbl az e egyenesre kt merleges egyeneshzhat! Legyen ezeknek e-vel val metszspontja T1 s T2! T1 =Y T2 & A kt merleges egy-mssal bezrt szge: c > 0. A T1T2P3 bels szgeinek sszege 90 + 90 + c > 180, ami lehe-tetlen. & Nem ltezhet a kt merleges.93. Legyen !l 87 93 &= =a a . Jelljk a 27-os szget b-val!

A harmadik szg .180 60 = - + =c a b_ i94. A feladat felttelei szerint a = 2cl; b = 3cl; c = 180 - cl. A hromszg bels szge-inek sszege: 2cl + 3cl + 180 - cl= 180 & cl= 0. Ilyen hromszg nem ltezik.95. A feladat felttelei szerint ;l 128 52 &= =a a s .l 116 64 &= =b b A bels szgek

sszegbl: .180 52 64 64 = - - =c96. Az adott szg a szrszg kls szge, mivel alapon fekv szg csak hegyesszg lehet, sahhoz tompaszg a kls szg. l 87 93 &= =c c a hromszg szrszge. Az alapon fekv

szgek: , .l

243 5= = =a b

c

97. a) 1. eset: Az adott szg a szrszg kls szge: .ll

96 842

48 & &= = = = =c c a bc

2. eset: Az adott szg az alapon fekv egyik szg kls szge: l 96 84 84 & & &= = =a a b

.180 2 84 12 & $= - =c

b) 64-os szg csak szrszg kls szge lehet, mivel hozz tompaszg tartozik bels szgknt.

.ll

64 1162

32 & &= = = = =c c a bc

98. Legyen a s b szgfelezjnek metszspontja P; az ABP3 P-nl lv kls szge

.2 2

902

& = + = -d da b c

99. Jellje A1 az A-bl indul, B1 a B-bl indul magassg talppontjt, M a kt magassgvonalmetszspontjt, d# 90 a kt magassgvonal hajlsszgt! d az MBA1 derkszg hromszg-ben hegyesszg. c s d merleges szr szgek. a), b) s d) esetben egyenlk, mert egyarnt hegyesszgek, c) esetben c tompaszg, ezrt c s d kiegszt szgek.a) , ;22 5 75 &= =a b , ,82 5 82 5 &= =c d a hajlsszg.

b) ;15 105 60 60 & &= = = =a b c d a hajlsszg.

c) ;30 45 105 75 & &= = = =a b c d a hajlsszg.

d) ;90 20 70 70 & &= = = =a b c d a hajlsszg.

18 Bevezets a skgeometriba

I

100. a) Legyen a kt szgfelez metszspontja P s az ABP3 P-nl lv kls szge d!

;l l

l2 2 2

47 42

2

73 1060 26

= + = + =d

a b

b) Legyen a magassgok talppontja A1, illetve B1, metszspontjuk M! Az ma s mb magassgvo-nalak szge a B1MA1C hrngyszg M-nl lev kls szge: l l180 47 42 73 10 = = - - =d c

.l59 8=

101. Legyen az a szgfelezjnek a BC oldallal vett metszspontja P. Az APB3-ben d a P-nl

lev kls szg. .l2

97 1= + =da

b A hajlsszg l l180 180 97 1 82 59 - = - =d .

102. Az ABC3-ben: .2

180 3075

= =

-=a b a) Az ATB3 bels szgeinek sszegbl:

90 15 = - =d b a szrhoz tartoz magassgvonal s az alap ltal bezrt szg.

b) 60= - =f a d a szrhoz tartoz magassgvonal s a msik szr ltal bezrt szg.

103. 1. eset: A szrszg hegyesszg. A 102. bra jellseit hasznlva: A feladat feltteleibl ;=a b ;13= -f a s .13&+ = =f d a dATB3-bl .90 13 77 77 180 2 77 26 & & $= - = = = - =b a c

2. eset: A szrszg tompaszg. A feladat feltteleibl =a b s ;13= -f a ATB3-bl;l90 180 13 90 180 34 20 & &+ + + = + - + + = =a f b a a a a l34 20 &=b

.l l180 2 34 20 111 20 & $= - =c

104. BTC3-bl ;90 63 = - =d b ACB .90 90 27 &= = - =f d

105. Hegyesszg, tompaszg, valamint olyan derkszg hromszg esetn, aminek a vagyb az tfogja, a vizsglt szgek merleges szr hegyesszgek, teht egyenlk. Abban az eset-ben, ha a s b a derkszg hromszg befogi: (a; mb) = (b; ma) = 0.106. 1. eset: A hromszg befogi klnbzk, gy feltehet, hogy

> ;C BP1& !b aBC C31 -bl BCC1 .90= - b A szgfelezs miatt BCP .45=C CP1 45 90 = - - =b_ i .45-b2. eset: A hromszg egyenl szr derkszg 45& &= =a b

P C C CP1 1& &/ = 0, amire teljesl, hogy 45-kal kisebb, minta 45-os hegyesszgek.

Hromszgek bels s kls szgei 19

I102. 103. 104.

106.

107. Legyen a a kls szgfelezk metszspontja, f pedig az AQB3 Q-nl lv bels szge.

AQB3-ben b miatt C1 ! AP.

C1CP .290 17 = - - =

ca_ i

110. 1. eset: 0 < b < a < 90. A 109. bra jellseit hasznlva: < C AP C CP1 1& &!b a =

.2

902

18090

2

= - - =

- -- - =

-ca

a ba

a b_ _i i2. eset: a = 90. A / C1; C1CP .2

90

2

=

-=

-b a b

3. eset: a > 90 (110. bra). C1CP .l290

2

18090

2

= + - =

- -+ - =

-ca

a ba

a b

111. Legyen az a szgfelezjnek metszspontja a BC oldallal P! APB kls szg az APC3-

ben & APB ;2

= +a

c APC kls szg az APB3-ben & APC ;2

= +a

b

uAPB - APCu .2 2= + - + = -

ac

ab c b

J

L

KK

N

P

OO

112. Az ABC egyenl szr hromszg c szrszgnek felezje merlegesen felezi az AB ala-pot F-ben. Ez azt jelenti, hogy a szrszg az AFC = 90-kal egyenl. ;90=c

.2

180 9045

= =

-=a b

AOc B 90 2= -

cCOb A 90 2

= -b

CBOa

20 Bevezets a skgeometriba

I 108.

110.

109.

113. Legyen az a szgfelezjnek metszspontja a BC szrral P! Az ABC3 bels szgeinek

sszegbl: APB2

180 3672

236

& &=

-= =a

a = ABP = 72 & ABP3 egyenl szr.

ACP 362

= = = =ca

CAP & APC3 egyenl szr.

114. Legyen az a szgfelezjnek metszspontja a BC szrral P! AP = AB & APB = ABP =

= a. Az APB3 bels szgeinek sszege: 2

180 72 & &+ + = =aa

a a .36=c A hromszg

szgei: 72; 72; 36.115. A sznessel hzott szakaszok s az a szgszrai ltal hatrolt egyenl szr hrom-szgekre tbbszr alkalmazva a hromszg kls s bels szgeire vonatkoz sszefggseket:

.75=b

116. a) A trttvonal egyes szakaszai az adott szg szraival rendre 15-kal nagyobb szgeketzrnak be. 15; 30; 45; 60; 75 az egymst kvet szgek nagysga. Ezeket kvetn a 90, amilezrja a sort, mert a kvetkez hromszgnek mr nem lehet 2 db 90-os szge. b) n szakasz esetn b = (n - 1) $ a. 10 egyenl szakasz fr el, ha > > .90 9 10 &a a 10-nl

kisebbnek kell vlasztani a-t.

c) (n + 1) szakasz esetn b = n $ a. (n + 1) egyenl szakasz fr el, ha > n90 &$ a > .n

90a

117. ADC3 egyenl szr & ACD = ADC = 67,5. CEB3 egyenl szr & CEB == ECB = 67,5. ADC = 67,5 = CEB & EDC3 egyenl szr, alapon fekv szgei 67,5-osak. Szrszge ECD , .180 2 67 5 45 $= - =

118. ABD3 egyenl szr & ABC = ADB .2

180=

- aCEB3 egyenl szr & CBE =

= CEB .2

180=

- cDEB3-ben a bels szgek sszege: DBE +

2

180

2

180 -+

-=

a c

180= & DBE .2 2

= +a c

119. a) 1. eset: AB = AC. Egyenl szr hromszgben a szrszg bels szgfelezje merle-ges az alapra, kls szgfelezje pedig prhuzamos vele. gy nem jhet ltre az E pont, s azAD = AE llts sem teljeslhet.2. eset: AB > AC. AB > AC & B, D, C, E a pontok sorrendje. AD = AE s AD merleges AEmiatt az ADE3 egyenl szr derkszg & ADE = 45. ADE kls szge az ABD3-nek

.2

45 180 180 90 2 90 & &+ = = - - = - - - = +a

b c a b b b b_ i3. eset: AB < AC. AB < AC & E, B, D, C a pontok sorrendje. AD = AE s AD merleges AEmiatt az ADE3 egyenl szr derkszg & ADE = 45. ADE kls szge az ACD3-nek

.2

45 180 180 90 2 90 & &+ = = - - = - - - = +a

c b a c c c c_ ib) c = 34 esetn a c = 90 + b egyenlsg nem teljeslhet, gy AB < AC sszefggs ll fennaz oldalak kztt ; .22 124 & = =a b

Hromszgek bels s kls szgei 21

I

22 Bevezets a skgeometriba

I 120. AB AC ABC&= = ACB .90 2= -a

AD = AC s a a DAC3 kls szge&

& ADC = ACD .2

=a

.902 2

90 = - + =a a

121. AB + AC > BC & B, F, E, C a pontok sorrendje. AB BE BEA&= = BAE =

.902

= -b

AC CF FAC&= = AFC .902

= -c

ECA3 E-nl fekv kls szge FEA =

.902

= -b

A kls szg ttel miatt FEA = ECA + EAC EAC902

& - = +b

c &

& EAC FAE902

&= - -b

c = FAC - EAC 902

902

= - - - - =c b

cJ

L

KK

N

P

OO

.2 2

= +b c

122. Legyen a szgfelez metszspontja AB-vel P; az A-bl hzott prhuzamos metszspontja

a BC egyenessel pedig Q! ;PC AQ BCP& = , mert egylls szgek. ;PC AQ&

& PCA = , mert vltszgek. Az lltsokbl & CAQ3 egyenl szr & CA = CQ.

123. Legyen a szgfelez metszspontja AB-vel Q. A PAC3 egyenl szr, kls szge c&

& PAC = APC .2

= =dc

A szgfelezs miatt BCQ .2

=c

Mivel Q s A a PB egyenes ltal

hatrolt ugyanazon flskban tallhatk, APC = QCB egylls szgek & AP ; QC.124. Az ABC3 bels szgeinek sszege: 2d + 2{ + 2f = 180 & d + { + f = 90. Az ABT3bels szgeinek sszege: d + { + f + ATB = 180 & ATB = 90 & AT=CB & AT magas-sgvonal az ABC3-ben. Hasonlan belthat az llts a tbbi szakaszra is.125. AP = PB & APB = 180 - 2{. BP = PC & BPC = 180 - 2d. CP = PA & CPA == 180 - 2f. Az ABC3 bels szgeinek sszege: 2{ + 2d + 2f = 180. Felhasznlva az a = f + { egyenlsget 2d = 180 - 2a addik. BPC .180 180 2 2 = - - =a a_ i Hasonlanbelthat, hogy APB 2= c s CPA .2= b

126. Legyen F az AB oldal felezspontja s AB = 2CF! BCF3 s ACF3 egyenl szr && CAF = ACF = d s FCB = CBF = f. Az ABC3 bels szgeinek sszege: 2 2+ =d f

180 90 & &= + =d f .ACB = 90

CAQ2

=c

BQA2

=c

BCD

124. 125.

Hromszgek bels s kls szgei 23

I

127. Legyen az ABC3 alapja AB, a meghosszabbtssal nyertpont C*! A hromszg egyenl szr & CAB = CBA == a; CB = CC* & CC*B = CBC* = f. ABC*3-ben

a+ (a+ f) + f= 180 & a+ f = 90 & ABC*= 90.128. A harmadszakaszok egyenlsge miatt G2A = AE1;ABC3 szablyos & G2AE1 = 60. A kt megllaptsbl k-vetkezik, hogy az AE1G23 szablyos G E E A2 1 1& = =

E E GE E 31 2 1 2&= egyenl szr, szrszgnek kls szge60& { = 30 & AG2E2 = 60 + 30 = 90. Az llts a tbbiszgre is hasonlan belthat.129. KQ a 45-os kzpponti szg AC : 2 sugar AQK kr-cikk hrja. KP a 45-os kzpponti szg BD : 2 = AC : 2 suga-r krcikk hrja.& KP = KQ (1). Hasonlan: KP = KR = KS == = KZ. AKQ3 egyenl szr & a+ 45 = a+ {& { = = 45 (2); AKB = 90& a= 45 : 2 s QKR = 2 $a= 45 (3).Az (1), (2) s (3) lltsokbl kvetkezik, hogy a PQRZnyolcszg szablyos, mert K kzppont 45-os forgsszim-metrija van.130. A meghosszabbtssal egybevg egyenl szr derk-szg hromszgek keletkeznek: , ,ABO FBK EAJ3 3 3&

EF EJ JK KF a e2& = + + = + a keletkezett ngyzet oldala.

131. FD = DC = a & FDC3 egyenl szr & DFC = = FCD = a; EFC3-ben EFC = 45 + a; FCE = 45 ++ a& EFC = FCE & ECF3 egyenl szr.132. Az ABC3 egyenl szr derkszg: CAB = ECF = 45 & EFC = 45 ;CE EF& =

AB AE&= ABE = AEB = 67,5 &, ,90 67 5 22 5 & &= = - =f ~ .EF FB=

128. 129. 130.

131.

132.

24 Bevezets a skgeometriba

I

133. PCB3 derkszg s PBC2&=

b. ABC3 egyenl szr & CF

merlegesen felezi AB-t & FBQ3 derkszg & FQB .902

= -b

PQC s FQB cscs-

szgek & PQC = FQB .902

= -b

Az lltsokbl CPQ = PQC CPQ3902

&= -b

egyenl szr .CP CQ& =

134. O1P1P2 = O2P2P1 = a, mert vltszgek. O1P1E = O1EP1 = a, mert O1P1E3 egyenlszr. O2P2E = O2EP2 = a, mert O2P2E3 egyenl szr. O1EP1 = O2EP2 = a.O1, E, O2 egy egyenesen van s P1, P2 az O1O2 egyenes ltal hatrolt ms-ms flskban van && O1EP1 s O2EP2 cscsszgek & msik szruk is egy egyenesen van & P1, E, P2 egy egye-nesen vannak.

135. XAC3 egyenl szr, kls szge CAB = a& CXA = XCA .2

=a

YBC3 egyenl

szr, kls szge ABC =b& BYC = YCB .2

=b

XCY = XCA + ACB + BCY =

.2 2 2

18090

2

= + + = +

-= +

ac

bc

c c

136. DOA = OAB ,2

=a

mert vltszgek & DOA3 egyenl szr, mert kt szge 2&

a

& DA = DO. EOB = OBA ,2

=b

mert vltszgek & EBO3 egyenl szr, mert kt

szge 2&

bEB = EO. Az alhzott lltsokbl & DE = DO + OE = DA + EB.

sszefggsek a hromszg oldalai s szgei kztt

137. Legyen T a P kls pontbl az e egyenesre lltott merleges talppontja! Legyen Q =Y Taz e egyenes tetszleges pontja! A PQT derkszg hromszgben PQ tfog, PT befog.Mivel a legnagyobb szggel szemben van a legnagyobb oldal, gy PQ > PT. Teht a lehetsgessszekt szakaszok kzl PT a legrvidebb.138. Az ABC3 C derkszg cscsnak vetlete az tfogra T. ATC derkszg hromszg-ben AC tfog nagyobb, mint AT befog: > .AC AT BTC derkszg hromszgben BC tfog

nagyobb, mint BT befog: > .BC BT

CPB 902

= -b

133. 134.

sszefggsek a hromszg oldalai s szgei kztt 25

I

139. Tkrzzk az ACP23-et a CP2 oldal P1 felezspontjra! A kpe Al, C kpe P2, P2 kpe C,CAP1 kpe P1AlP2 = a1, CA = b kpe P2Al = b. P2A tfog az ACP23-ben, ezrt P2A > b.Az AlAP23-ben AlP2 = b .AC CP

141. Legyen P az AB oldal tetszleges pontja! 1. eset: CP merleges AB-re & CP befog azAPC, illetve BPC derkszg hromszgekben. AC s BC tfogk a fenti hromszgekben && AC > CP s BC > CP. 2. eset: CP nem merleges AB-re & CPA s CPB kzl az egyiktompaszg & a megfelel rszhromszgben vele szemben CP-nl nagyobb oldal lesz.142. Legyen c1 > c2! Vegynk fel A2B2C23-gel egybevg hromszget gy, hogy A1C1 /A2C2legyen. & A1C1B*3; c2 < c1 miatt C1B* a c1 szg bels tartomnyban halad.C1B*B13 egyenl szr & C1B*B1 = C1B1B* = d; A1B*B13-ben A1B1B* < d, A1B*B1 > d& A1B*B1-gel szemben na-gyobb oldal van, mint A1B1B*-gel szemben > .c c1 2&

143. ABD3-ben > > ;a d 1 1&c a CBD3-ben > > .b c 2 2&c a>1 2 1 2&+ +c c a a ADC > ABC.

144. Legyen e(P; B) + AC = Q! APB kls szg az APQ3-ben& APB = PAQ + PQA & APB > PQA. PQA kls szga BQC3-ben & PQA = QCB + CBQ & PQA > QCB.Az lltsokbl & PQA> QCB = .

145. A tkrzs trvnye szerint a beessi szg egyenl a vissza-verdsi szggel: ATP = BTP = a. Tkrzzk az A pontot a tegyenesre! AlB egyenese kijelli a t egyenesnek azt a pontjt, amifel irnytani kell a fnysugarat. ATQ = AlTQ = 90 - a atkrzs miatt. AlTQ = BTR = 90 - a, mert cscsszgek && BT valban a visszavert fnysugr.146. Hzzunk prhuzamost az alap P pontjbl a hromszgszraival! & C1, C2. APC13 s BPC23 egyenl szr & PD azAPC13 egyik szrhoz tartoz magassga, ami egyenl a msikszrhoz tartoz magassggal & PD = AD1. PE a PC2B3 szrhoz tar-toz magassga & PD + PE = AD1 + PE, ami az ABC3 BC-heztartoz magassgval egyenl, s ez P-tl fggetlenl lland.

ACB APB >

139. 143.

146.

145.

147. Hzzunk prhuzamost a P ponton t a hromszgoldalaival!& P1, P2, P3, P4, P5, P6 pontok; d(P; CB) = PF.P6PP53 szablyos & d(P6; P2P5) = P6G1 = PG. P1P2P3 egybevgaz AP6 oldal szablyos hromszggel& AH = PE. d(A; BC) == PE + PG + PF, ami az egyenl oldal hromszg magassga.148. a) 10 + 12 > 13 & Teljeslnek a hromszg-egyenltlen-sgek & ltezik ilyen hromszg. b) 1 + 2 = 3 miatt nem tel-jeslnek a hromszg-egyenltlensgek & nem ltezik ilyen

hromszg. c) >2

1

3

2

6

7

4

3+ = ; Teljeslnek a hromszg-

egyenltlensgek & ltezik ilyen hromszg. d) 1911 + 1918 == 3829 > 3826; Teljeslnek a hromszg-egyenltlensgek & ltezik ilyen hromszg.149. A hromszg-egyenltlensgek: 0,7 + 1,8 > c & 2,5 > c; 0,7 + c > 1,8 & c > 1,1;A kt felttelnek csak a 2 tesz eleget az egsz szmok kzl .c m2& =150. 1. eset: A hromszg alapja 3 cm, szrai 6 cm hosszak. 2. eset: A hromszg alapja 6 cm,szrai 3 cm hosszak lennnek, de ilyen hromszg nem ltezik, mert 3 + 3 = 6 miatt nem tel-jesl a hromszg-egyenltlensg.

151. 1. eset: , .;ab

bb

b acm cm cm cm2

152

6 4 13&+ = + = = =

Ilyen hromszg nem ltezik, mert 4 + 4 < 13 miatt nem teljesl a hromszg-egyenltlensg.

2. eset: ; , ;ab

bb

b acm cm cm cm2

62

15 10 1&+ = + = = =

10 + 1 > 10; 10 + 10 > 1; 1 + 10 > 10. Ilyen hromszg ltezik, alapja cm1 , szrai cm10hosszak.152. A felttelek szerint b # a s c # a & b + c # 2a & nem teljeslhet a hromszg-egyen-ltlensg a b, c, 2a oldal hromszgre, teht ilyen hromszg nem ltezik.

153. A hromszg-egyenltlensgbl kiindulva: > > >a b c a b c ca b c

c22

& & &+ + ++ +

> .s c& Hasonlan belthat, hogy >s a s >s b.

154. Legyen a bels pont P s AC + e(P; B) = Q! QCB3-re alkalmazzuk a 141. feladat lltst&& CP < CB. ABP3-re a hromszg-egyenltlensg: AP + PB > AB. Az alhzott lltsokbl:AP + PB > AB = CB > CP & AP + PB > CP, s ezt akartuk beltni. Hasonlan belthat,hogy AP + PC > PB s BP + PC > AP.155. Legyen AB + e(C; P) = X. Hromszg-egyenltlensg a PXB3-re: PB < PX + XB.Hromszg-egyenltlensg az AXC3-re: CX = CP + PX < AX + AC. Adjuk ssze a kt egyen-ltlensget: < ; < ;PB CP PX PX XB AX AC PB PC AX XB AC+ + + + + + + +

< .PB PC AB AC+ +

156. Hromszg-egyenltlensgek az ABC3 cscsai s a P bels pont ltal alkotott rsz-h-romszgekre: AP + PB>AB; PB + PC > BC; PC + AP > AC. Adjuk ssze az egyenltlen-

sgeket: > > ,AP PB PC AB BC AC AP PB PCAB BC AC

s22

&$ + + + + + ++ +

=_ i teht abels pont cscsoktl mrt tvolsgsszege nagyobb a fl kerletnl. Alkalmazzuk a 155. feladatlltst az ABC3 P bels pontjra: PA + PB < CA + CB; PB + PC < AB + AC; PC + PA a b c s s s2 2 2 2 2 2c a b&+ + + +

> .a b c s s sc a b& + + + +

161. rjuk fel a hromszg-egyenltlensget a slypont s a hromszg kt-kt cscsa ltal meg-

hatrozott hromszgekre! ASB3-re: > ;s s c3

2

3

2a b+ BSC3-re: > ;s s a3

2

3

2b c+ CSA3-re:

> .s s b3

2

3

2c a+ Adjuk ssze a hrom egyenltlensget: >s s s a b c3

4

3

4

3

4a b c &+ + + +

> .s s s a b c4

3a b c& + + + +_ i

162. Az llts helyett elg beltni, hogy CA1 + A1B > CA + AB. Legyen B tkrkpe az AA1kls szgfelezre B*! A tkrzs miatt B*A1 = A1B s B*A = AB; *>CA A B CA A B1 1 1 1+ = +> * * .CB CA AB CA AB= + = + Az alhzott rszekbl k-vetkezik az llts.163. Jelljk az tlk metszspontjtl a cscsokig terjedszakaszokat a 163. bra szerint! rjuk fel a hromszg-egyen-ltlensget az tlk ltal ltrehozott hromszgekre! ABM3-re: e - x + f - y > a; CDM3-re: x + y > c. Adjuk ssze azegyenltlensgeket! e - x + f - y + x + y > a + c & e + f > a + c. Az llts a m-sik szemkztes oldalprra hasonlan lthat be.

163.

164. A 163. bra jellseivel: 1. eset: rjuk fel a hromszg-egyenltlensget az tlk metszs-pontja s a cscsok ltal ltrehozott hromszgekre! ABM3-re: e - x + f - y > a; BCM3-re:f - y + x > b; CDM3-re: x + y > c; DAM3-re: y + e - x > d. Adjuk ssze az egyenltlen-

sgeket: > > .e f a b c d e f a b c d2 22

1&+ + + + + + + +_ i

2. eset: rjuk fel a hromszg-egyenltlensgeket az tlk ltal ltrehozott hromszgekre!ABC3-re: a + b > e; BCD3-re: b + c > f; CDA3-re: c + d > e; DAB3-re: d + a > f.Adjuk ssze az egyenltlensgeket: > > .a b c d e f a b c d e f2 2 2 2 2 2 &+ + + + + + + +

165. Alkalmazzuk a hromszg-egyenltlensget az ABC3-re: AC + CB > AB. Alkalmaz-zuk a hromszg-egyenltlensget az ACD3-re: AD + DC > AC. A kettt egytt tekintve:

< < .AB AC CB AD DC CB+ + + Konvex ngyszgeknl ez a gondolatmenet brmelyik oldal-ra megismtelhet. Konkv ngyszg esetben (a konkv szg d) CD < CA + AD, a befoglalhromszgre CA < AB + BC, a kettt egytt tekintve: < < .CD CA AD AB BC AD+ + +

166. Alkalmazzuk a hromszg-egyenltlensget az ABC3-re: > > .PA PA A A PA K PA s2i ii

n

i ii

n

ii

n

ii

n

11

11 1 1

& &$+ +=

+= = =

! ! ! !_ i169. 1. eset: A ngy pont konvex ngyszget hatroz meg. Hrom pont kivlasztsakor azsszekt szakaszaik kztt egy tl s kt oldal van. Ha brmely kivlasztskor csak hegyes-szg hromszget kapnnk, akkor a ngyszgben minden szg hegyesszg lenne, gy a belsszgek sszege kisebb lenne 360-nl, ami lehetetlen.2. eset: A ngy pont konkv ngyszget hatroz meg. Ha brmely kivlasztsnl csak hegyes-szg hromszget kapnnk, akkor a konkv szg cscsnl lev kt szg sszege kisebb lenne180-nl, ami lehetetlen.170. A 170. brn jelzett szgek mindegyike tompaszg.171. AF slyvonal az APQ3-ben. Legyen az A pont F-re vonatkoz tkrkpe Al! rjuk fel a

hromszg-egyenltlensget az AAlP3-re: >lAP AQ AP PA+ = +

> > .AFAP AQ

AF22

&+

Hasonlan megmutathat, hogy

> .BP BQ

BF2

+Adjuk ssze az egyenltlensgeket!

Ponthalmazok 29

IAdott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

Ponthalmazok

172. A keresett ponthalmazt az e egyenestl 3 cm tvolsgra hzd prhuzamos egyenesprpontjai alkotjk.173. Az e egyenestl 3 cm-re lev prhuzamos egyenespr egy svot jell ki a skbl. E svpontjai tartoznak a keresett ponthalmazba, a hatrpontok kivtelvel.174. Az e egyenestl 3 cm-re hzd prhuzamos egyenespr f s g. Az f s g egyenesek ltalltrehozott, e-t nem tartalmaz flskok pontjai tartoznak a ponthalmazba.175. Az O kzppont, 3 cm sugar kr s az egyenes kzs pontja a megolds. Nincs meg-olds, ha d(O; e) > 3 cm; Egy megolds van, ha d(O; e) = 3 cm; Kt megolds van, ha d(O; e) < 3 cm.176. A P pont mint kzppont kr rajzolt 3 cm sugar k kr s az e egyenestl 2 cm-rehzd f s g prhuzamos egyenespr kzs rsze adja a keresett ponthalmazt. 4; 3; 2; 1 vagy0 megoldsa lehet a feladatnak.177. A keresett ponthalmazt a P kzppont, 3 cm sugar k kr s az e egyenestl 2 cm-rehzd f s g prhuzamosok ltal meghatrozott sv kzs rsze alkotja. A megoldsok szmafgg a P pont s az e egyenes helyzettl.178. A keresett ponthalmazt a P kzppont, 3 cm sugar k kr kls pontjainak s aze egyenestl 2 cm-re hzd f s g prhuzamosok ltal meghatrozott sv bels pontjainakkzs rsze alkotja. A megoldsok szma fgg a P pont s az e egyenes helyzettl.179. A keresett ponthalmazt az A kzppont, 4 cm sugar kA kr s a B kzppont, 2,5 cmsugar kB kr kzs rsze alkotja. 4 cm + 2,5 cm < 8 cm & kA + kB = 0Y& nincs olyan pont, amimindkt felttelnek megfelel.180. A keresett pontok az A kzppont, 6 cm sugar kr s a B kzppont, 6 cm sugar krkzs pontjai. 2; 1 vagy 0 megolds lehet A s B tvolsgtl fggen.181. A P kzppont, 2 cm sugar kr s a Q kzppont, 3 cm sugar kr kzs rsze adjaa keresett ponthalmazt. 2; 1 vagy 0 megolds lehet a P s Q tvolsgtl fggen.182. A P kzppont, 2 cm sugar krlap s a Q kzppont, 3 cm sugar krlap kzs belspontjai adjk a keresett ponthalmazt.183. A P kzppont, 2 cm sugar krlap s a Q kzppont, 3 cm sugar kr kls pontjailtal alkotott ponthalmaz kzs rsze a keresett ponthalmaz.184. Az e egyenestl 1 cm tvolsgra hzd e1 s e2 prhuzamos egyenesprnak az f egyenestl1 cm-re hzd f1 s f2 prhuzamos egyenesprral vett kzs rsze adja a keresett ponthalmazt.Ha e nem prhuzamos f-fel, akkor 4 pont a megolds. Ha e prhuzamos f-fel s d(e; f) = 2 cm,akkor egy egyenes a megolds. Ha e prhuzamos f-fel sd(e; f) =Y 2 cm, akkor nincs megolds. 185. A P kzppont, 3 cm bels sugar, 4 cm kls su-gar krgyr bels pontjai s kls hatrvonala adjk akeresett ponthalmazt.186. A keresett ponthalmazt az brk mutatjk az egye-nesek elhelyezkedstl fggen. Els esetben res hal-mazt, msodik esetben kt pontot, harmadik esetben ktszakaszt kapunk.187. Az e egyenestl x tvolsgra lev e1 s e2prhuzamos egyenesprnak az f egyenestl y tvolsgralev f1 s f2 prhuzamos egyenesprral vett kzs rsze akeresett ponthalmaz. Ha e D f, akkor 4 pont a megolds.

186/I.

30 Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

I

Ha e ; f s d(e; f) = x - y vagy d(e; f) = x + y , akkor egy egyenes a keresett ponthalmaz. Ha e ; fs d(e; f) =Y x - y, d(e; f) =Y x + y , akkor a keresett ponthalmaz res.188. A ponthalmaz egy olyan 6 cm oldal ngyzet bels pontjaibl ll, melynek kzppontja amerlegesek metszspontja, oldalai pedig prhuhamosak a merleges egyenesekkel.189. Egyetlen ilyen pont van, a hromszg oldalfelez merlegeseinek kzs pontja.190. a) Egyetlen ilyen pont van, a ngyzet kzppontja. b) A keresett ponthalmazt a 190. bramutatja.191. A keresett ponthalmaz az e s f egyenesekkel prhuzamos k egyenes, amelyred( f; k) = d(e; k). A k egyenest az e s f egyenesek kzpprhuzamosnak nevezzk.192. Az a s c oldalegyenesektl egyenl tvolsgra lev pontok halmaza a k1 kzp-prhuzamos, a b s d oldalegyenesektl pedig a k2 kzpprhuzamos. k1 + k2 = O, a ngyzetkzppontja.193. g1, g2, g3, g4 ; e ; f, 2 $ d(g1; e) = d(g1; f) / 2 $ d(g2; f) = d(g2; e) / 2 $ d(g3; e) = d(g3; f) // 2 $ d(g4; f) = d(g4; e)194. A keresett ponthalmaz az e s f egyenesek ltal meghatrozott szgek szgfelezinekpontjaibl ll.195. Ngy ilyen pont van, a hrom bels szgfelez, illetve egy bels s kt kls szgfelezmetszspontja.196. 1. eset: A hrom egyenesnek hrom klnbz metszspontja van: A, B s C. Ngy ilyenpont van, a megfelel szgfelezk metszspontjaknt kapjuk meg ket: 1 A berhat kr k-zppontja, O0; 2 A c oldalhoz hozzrt kr kzppontja, Oc; 3 A b oldalhoz hozzrt krkzppontja, Ob; 4 Az a oldalhoz hozzrt kr kzppontja, Oa.2. eset: A hrom egyenesnek egy kzs pontja van: M. M az egyetlen pont, ami megfelel afeltteleknek.3. eset: Kt egyenes prhuzamos, a harmadik metszi ket. Kt ilyen pont van: 1 Az A-nlkeletkezett a szg szgfelezjnek az e s f egyenesek g kzpprhuzamosval val met-

szspontja, Q; 2 Az A-nl keletkez al szgszgfelezjnek a g egyenessel val metszs-pontja, P. Megjegyzs: a B-nl keletkez szgekfelezsvel is ugyanezekhez a pontokhoz jutot-tunk volna, mivel a BQAP ngyszg tglalap.4. eset: Mindhrom egyenes prhuzamos. Nincsa felttelnek eleget tev pont.

186/III.

193.

186/II.

190.

Ponthalmazok 31

I

197. A C pontok az AB egyenessel prhuzamosan, tlk m tvolsgra lev c1 s c2 egyene-seken vannak, s ezen egyenesek minden pontja megfelel a felttelnek.198. A felttelnek eleget tev C pontok kt olyan r sugar krt alkotnak, amelyeknek a kzp-pontja A-tl s B-tl r tvolsgra van. A s B pont nem tartozik a keresett ponthalmazhoz, mertebben az esetben nem jn ltre hromszg.199. fa s fal szgfelezk pontjai egyenl tvol vannak AB s AC egyenestl. fAB szakasz-felez merleges pontjai egyenl tvol vannak az A s B pontoktl. fa + fAB = M1, fal + fAB = M2.M1 s M2 a keresett pontok.200. A keresett egyenesek a P kzppont, 4 cm sugar kr e-vel prhuzamos rinti.201. Vegynk fel e tetszleges pontjn t olyan f egyenest, ami e-vel (+a) s olyan g egyenest,ami e-vel (-a) szget zr be! Szerkessznk P-n t prhuzamost f-fel s g-vel!& fls gl a kere-sett egyenesek.202. A keresett egyenesek a P kzppont, 4 cm sugar kr olyan rinti, amelyek az e egye-nessel 30-os szget zrnak be. Ngy ilyen egyenes van.203. A keresett pontok az adott flegyenessel kzs kezdpont flegyenesen vannak. A ktflegyenes 45-os szget zr be egymssal. Ennek a flegyenesnek minden pontja megfelel.204. OPQ3 egyenl szr& POQ = PQO; r i q&ROQ = OQP, mert vltszgek.POQ = PQO = ROQ&OQ szgfelez. A szgfelez flegyenes minden pontja rendelke-zik a tulajdonsggal.

196/I. 196/II. 196/III.

198. 202. 204.

32 Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

I

205. 1. eset: A szg konvex (205/I. s 205/II. bra). A szgfelez P pontjra PA = PB = d(a; al) == d(b; bl). 2. eset: A szg konkv (205/III. bra). A szgfelez P pontjra PA = PB = d(al; a*) == d(bl; b*).

206. A keresett ponthalmaz egy O kzppont, r sugar kr, ahol .rr r

21 2

=+

A k kr tet-

szleges P pontjnak k1, illetve k2 krtl mrt tvolsga ( ; )P k r rd 1 1= - ,r r

22 1

=-

illetve

( ; ) .P k r rr r

d22 2

2 1= - =

-Teht a kt tvolsg egyenl. A k krt a k1 s k2 krk kzpkrnek

nevezzk.207. fAB + e = M lehet a keresett pont. Ha AB nem merleges e-re, akkor egyetlen pont amegolds. Ha AB merleges e-re s d(e; A) ! d(e; B), akkor nincs megolds. Ha AB merlegese-re s d(e; A) = d(e; B), akkor az e egyenes minden pontja rendelkezik a kvnt tulajdonsggal.208. 1. eset: b< 90. P = e(A; B) + fBC. P az AB bels pontja, ha AB > AC. P az AB kls pont-ja, ha AB < AC, teht az AB szakaszon nincs a felttelnek eleget tev pont. P/A, ha AB = AC.2. eset: b = 90. e(A; B) + fBC = 0Y, nincs ilyen pont.3. eset: b > 90. P = e(A; B) + fBC. AC > AB miatt P mindig az AB kls pontja, teht az ABszakaszon nincs a felttelnek eleget tev pont.209. A keresett pont az ACB szgfelezjnek a szemkzti AB oldallal val metszspontja.A kls szgfelez C-tl klnbz sszes pontja a hromszgn kvl van, teht az AB sza-kasszal nincs kzs pontja.210. Tekintsk a metszspontoknl keletkezett szgek szgfelezit! Ezek pronknti met-szspontjai lesznek a keresett pontok. Kt megolds van.211. Brmely krvonal t klnbz pontja rendelkezik a kvnt tulajdonsggal, mert egyen-l tvol van a kr kzppontjtl.212. fAB + fCD = O&O ! fAB s O ! fCD& AO = BO s CO = DO. Ezekbl viszont nemkvetkezik BO s DO egyenlsge, teht O nem lehet az ABCD ngyszg krlrt krnekkzppontja.213. Legyen a kt szakasz AB s CD. fAB + fCD = E lehet az egyenl szr hromszgek k-zs cscsa. 1. eset: AB nem prhuzamos CD-vel. fAB + fCD !Y AB / fAB + fCD !Y CD.&Egymegolds van.2. eset: AB nem prhuzamos CD-vel. fAB + fCD ! CD.&Nem lteznek ilyen hromszgek.3. eset: AB prhuzamos CD-vel. fAB / fCD . fAB minden pontja megfelel a szakasz felezpont-jnak kivtelvel.4. eset: AB prhuzamos CD-vel. fAB prhuzamos fCD-vel.&Nem lteznek ilyen hromszgek.214. Vegyk az a szgfelezjt! P-bl lltsunk merlegest f-ra! A merleges A s B pont-ban metszi a szg szrait. OAB3 szgfelezje merleges a szemkzti oldalra, teht OA = OB,vagyis a merleges egyenl szakaszokat vg le a szgszrakbl.215. A keresett pontok a szgfelez flegyenesnek s a P kzppont, 3 cm sugar krnek akzs rszt alkotjk. 2, 1 vagy 0 megolds lehet.

205/I. 205/II. 205/III.

Ponthalmazok 33

I

216. 1. eset: a egyenes nem prhuzamos b-vel. Legyen b1, b2 i b s d(b; b1) = d(b; b2) = t! b1 + a = M1, b2 + a = M2. Metsz egyenesek esetben kt megolds van.2. eset: a i b. Csak akkor van megolds, ha d(a; b) = t. Ekkor a minden pontja megfelel a fel-adat kvetelmnyeinek.217. Az e egyenestl a tvolsgra lev pontok halmaza az e1 s e2 prhuzamos egyenespr.A P ponttl a tvolsgra lev pontok halmaza a P kzppont, a sugar kP kr. Mindkt felttel-nek az e1 + kP , illetve e2 + kP pontok tesznek eleget. Kt megolds van, ha 0 # d(e; P) < 2a. Egymegolds van, ha d(e; P) = 2a. Nincs megolds, ha d(e; P) > 2a.218. a-val s b-vel d tvolsgban prhuzamosokat hzunk. A keletkezett a1, a2, a3, a4 szgekbels s kls szgfelezinek megjellt rsze a megolds.219. OA = OB = d&OAB = 45& ha P ! AB, akkor PTa A3 egyenl szr derkszg&& PTa = TaA. PTbOTa tglalap& PTb = OTa; PTb + PTa = OTa + TaA = OA = d& a BA sza-kasz minden pontja megfelel a feltteleknek.220. Felhasznljuk a 219. feladat eredmnyt, miszerint

azok az E pontok, melyekre x + y = ,k

2a

k

2befogj CKL

egyenl szr derkszg hromszg tfogjn vannak.

A szerkeszts: 1 ACB szraira C-bl k

2tvolsg felv-

tele&K, L. 2 KL + AB = E. 3 E-bl merleges CA-ra& P. E-bl merleges CB-re&Q.221. Felhasznljuk: A tglalap C cscsa rajta van a krn

s a k

4befogj OKL egyenl szr derkszg hromszg

tfogjn. A szerkeszts: 1 Az adott kr kt egymsra

merleges tmrje& e s f. 2 O-bl e-re s f-re k

4sza-

kasz felvtele&K, L. 3 KL s az adott kr kzs pontja C.4 C-t tkrzzk e-re, f-re s O-ra& B, D, A. KL s a krhelyzettl fggen kt egybevg tglalapot vagy egyngyzetet kapunk, vagy egyltaln nincs megolds.222. A krbe rt ngyzetek s tglalapok elforgathatkgy, hogy oldalaik prhuzamosak legyenek. A 221. feladat-ban lttuk, hogy az A1B1C1D1 tglalap kerlete 4OK1, azA2B2C2D2 tglalap kerlete pedig 4OK2. K1L1 a kr rintje,K2L2 pedig a szelje&OK1 > OK2& a ngyzet kerletenagyobb brmelyik bert tglalap kerletnl.

218. 219. 220.

221.

222.

Hromszgek szerkesztse (I. rsz)

223. A szerkeszts: 1 AB-vel prhuzamos mc tvolsgra e1 s e2 . 2 e1 + e = C1; e2 + e = C2 .Ha e i e (A; B), de d(e; e(A; B)) ! mc, akkor nincs megolds. Ha e i e (A; B) s d(e; e(A; B)) == mc, akkor minden C ! e pont megfelel.224. A szerkeszts: 1 e-vel prhuzamos mc tvolsgra& g1 s g2 . 2 g1 + f = C1;g2 + f = C2 . 3 C1, (ill. C2) kzppont, a sugar kr& ka . ka + e = B1; B2 . 4 C1, (ill. C2)kzppont, b sugar kr& kb . kb + e = A1; A2 . 5 Ai, Bi , Ci pontok hatrozzk meg aszerkesztend hromszget. A megoldsok szma vgtelen sok vagy 4-4 egybevg vagy 2-2 egy-bevg hromszg lehet, de nulla megoldst is kaphatunk.225. A szerkeszts: 1 AB-vel prhuzamos, mc tvolsgra lv egyenes& e. 2 A cscsnlAB-re a szg; a msik szra a g egyenes. 3 e + g = C. Egy megolds van.226. A szerkeszts: 1 AB = c oldal&A, B. 2 AB-vel prhuzamos, mc tvolsgra lvegyenes& g. 3 A kzppont, b sugar kr& kA. 4 kA + g = C. Kt klnbz megoldsvan, ha b > mc. Egy derkszg megolds van, ha b = mc. Nincs megolds, ha b < mc.227. A szerkeszts: 1 AB = c szakasz&A, B. 2 A cscsnl AB-re a szg; a msik szra a gegyenes. 3 AB szakasz felezspontja F. 4 F kzppont, sc sugar kr& kF. 5 kF + g = C.

Egy megolds van, ha sc > .c

2Kett, egy vagy nulla megolds van, ha sc mc. Egyetlen egyenl szr megolds van, ha sc = mc.Nincs megolds, ha sc < mc.229. Adott: mc; fc s b. A szerkeszts: 1 b szg& e, f s B. 2 e-vel prhuzamos, mctvolsgra lv egyenes& g. 3 g + f = C. 4 C kzppont, fc sugar kr& kC. 5 kC + e = P.6 PCB tkrzse CP egyenesre& h flegyenes. 7 h + e = A. A megoldsok szma 2, 1vagy 0 lehet.230. A szerkeszts: 1 60-os szg& B, e, f. 2 m tvolsgra prhuzamos e-vel& g. 3 f + g = C. 4 C kzppont, CB sugar kr& kC. 5 kC + e = A. Egyrtelmen megoldhat.231. A szerkeszts: 1 A-bl merleges e-re&metszspontjuk F. 2 A-ban AF-re 30-os szgaz AF ltal hatrolt kt flskban& f s g. 3 f + e = B& g + e = C. Egyrtelmen megold-hat, ha A !Y e.232. Adott: AB oldal egyenese, e s a kzppont, M. A szerkeszts: 1 M-bl merleges e-re&m egyenes& e + m = F. 2 MF-re M csccsal pozitv s negatv irnyban 60-os szg&f s g. 3 f + e = A; g + e = b. 4 A kzppont, AB sugar kr& kA. 5 kA + m = C. Egyr-telmen megoldhat, ha M !Y e.233. a) Az egyenl oldal hromszg 120-os forgsszimmetrijt felhasznlva: 1 O kzp-pont, R sugar kr& k. 2 120-os kzpponti szgek&A; B; C. Egyrtelm a megolds.b) Az egyenl oldal hromszg 120-os forgsszimmetrijt felhasznlva: 1 O0 kzppont,

34 Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

I

224.

233/I. 233/II.

Hromszgek szerkesztse (I. rsz) 35

Ir0 sugar kr& k0. 2 120-os kzpponti szgek&A1,B1,C1. 3 k0 krhz rint A1-,B1-,C1-ben& f, g, h. 4 f + g = C; g + h = A; f + h = B. Egyrtelm a megolds.234. Adott: A; B s az AC szr egyenese, e. A szerkeszts: 1 AB szakasz felez merlegese& fAB . 2 fAB + e = C. Nincs megolds, ha e merleges AB-re.235. A szerkeszts: 1 c szg&C; a; b. 2 c szg felezje& fc. 3 C-tl mc tvolsgramerleges egyenest lltunk f -ra& g. 4 g + a = A s g + b = B. Egyrtelmen megoldhat.

236. A szerkeszts: 1 c szg&C; a; b. 2 c szgfelezje& fc. 3c

2tvolsgra prhuza-

mos f -val& e, f. 4 e + a = B; b + f = A. Egyrtelmen megoldhat.237. A szerkeszts: 1 a szg&A; e; f. 2 A kzppont, b sugar kr kA. 3 kA + e = C. 4 C kzppont, b sugar kr& kC. 5 kC + f = B. Egyrtelmen megoldhat.238. A szerkeszts: 1 AB = c szakasz&A, B. 2 AB felezspontja s felez merlegese&F, fAB . 3 F kzppont, mc sugar kr& kF . 4 kF + fAB = C. Egyrtelmen megoldhat.239. A szerkeszts: 1 C cscs derkszg& e, f. 2 C kzppont, b sugar kr& kC . 3 kC + e = A. 4 A kzppont, c sugar kr& kA. 5 kA + f = B. Egy megolds van, ha c > b,nincs megolds, ha c # b.240. A szerkeszts: 1 ma = AT szakasz&A,T. 2 T-ben merleges AT-re& e. 3 A kzp-pont, c sugar kr& kA . 4 kA + e = B. 5 AB felez merlegese& fAB . 6 fAB + e = C. Egymegolds van, ha c > ma, nincs megolds, ha c # ma .241. Felhasznljuk: SC = 2SG. A szerkeszts: 1 AB = c szakasz&A, B. 2 AB felezmerlegese fAB . 3 A cscshoz BAF = d& f flegyenes. 4 f + fAB = S. 5 fAB-re G-velellenttes oldalra S-bl 2SG&C. d < 90 esetn egyrtelmen megoldhat.242. Legyen az AB alap felezpontja F, valamint az f szgfelez s az mc magassg metszs-pontja P, szge d! Felhasznljuk: PAF = 90 - d, CAF = 2PAF = 180 - 2d.A szerkeszts: 1 AB = c szakasz&A, B. 2 A-ban s B-ben AB-re (180 - 2d) szg& aszgszrak metszspontja C. Egy megolds van, ha 0 < 180 - 2d < 90& 45 < d < 90.243. A szerkeszts: 1 ma; ; a&ATC3. 2 C kzppont, a sugar kr& kC . 3 kC + e(T; C) = B. Nincs megolds, ha a < ma . 1 derkszg megolds van, ha a = ma . 1 hegyesszg s 1 tompaszg megolds van, ha a > ma .

244. A szerkeszts: 1 sa; a

2; a&AFC3. 2 C-t tkrzzk F-re& B. Nincs megolds, ha

AFC3-re nem teljesl a hromszg-egyenltlensg.245. Adott a BC szr s a T magassgtalppont. A szerkeszts: 1 T-ben merlegest lltunkBC-re&m. 2 C kzppont, CB sugar kr& kC. 3 kC + m = A. Ha T a BC B-n tlimeghosszabbtsn van vagy B / T, akkor nincs megolds. Ha T a BC bels pontja, akkorhegyesszg a hromszg. Ha T / C, akkor derkszg a hromszg. Ha T a BC C-n tlimeghosszabbtsn van, akkor tompaszg a hromszg.246. A szerkeszts: 1 a = BC& B; C. 2 F a BC szakasz felezspontja. 3 F-ben BC-refelmrjk d-t& e. 4 C kzppont, a sugar kr& kC . 5 kC + e = A. Ha d = 90, akkor ahromszg szablyos. Ha d ! 90, akkor kt klnbz megolds van.

241. 243. 246.

36 Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

I

247. A szerkeszts: 1 AB = c&A; B. 2 AB-re A-ban s B-ben 45& e; f. 3 e + f = C.Egyrtelmen megoldhat.248. a) Legyen az AB tfog felezpontja F, egyenese e! Felhasznljuk: AF = FB = FC sFC9 AB. A szerkeszts: 1 C-bl 9 e-re&m. 2 m + e = F. 3 F kzppont, FC sugar kr&& kF. 4 kF + e = {A; B}. Egyrtelmen megoldhat.b) A szerkeszts: 1 B-bl 9 f-re&m. 2 m + f = C. 3 C kzppont, CB sugar kr& kC. 4 kC + f = A. Egyrtelmen megoldhat.249. a) Felhasznljuk: AB = BB*; BAB* = BB*A = .

2

45

A szerkeszts: 1 a + c; ; 22,5&ACB*3. 2 C kzppont, CA sugar kr& kC . 3 kC + CB* = B. Egyrtelmen megoldhat.b) Felhasznljuk: AC = AB*; ACB* = AB*C = 67,5; CB*B = 112,5. A szerkeszts: 1 (c - b); 45; 112,5&CBB*3. 2 C kzppont, CB sugar kr& kC . 3 kC + e(B; B*) = A. Egyrtelmen megoldhat.250. Felhasznljuk: AC = CB = A*C; AB = BB*; AA*B* = 45; AB*A* = 22,5. A szerkeszts: 1 K = a + a + c; 45; 22,5&AA*B*3. 2 A-bl 9 A*B*-ra&C. 3 C-bl B*fel AC tvolsg& B. Egyrtelmen megoldhat.251. 1. eset: Az adott szg a hromszg alapon fekv szge, a. Felhasznljuk: *;AC CB BB= =

*BB C *BCB= .2

=a

A szerkeszts: 1 ( ); ;a c2&+ a

a* .CAB 3 2 CB* felez merlegese& f. 3 f + AB* = B.

2. eset: Az adott szg a hromszg szrszge, c. Ebbl az alapon fekv szg: .2

180=

-a

c

Alkalmazzuk a tovbbiakban az 1. esetnl vzolt szerkesztst. Ha az adott szg hegyesszg, akkor kt megolds van (az els s a msodik esetnl is egy-egy). Ha az adott szg derkszg vagy tompaszg, akkor egy megolds van (csak a msodik esetnl).252. a) Az adott szg az egyenl szr hromszg alapon fekv szge, a.

1. eset: a > c. Van olyan C* ! BC, amelyre * *AB BC BAC&= *BC A= 902

&= -a

*AC C& .902

= +a

Felhasznljuk tovbb, hogy ACB = 180 - 2a.

250.249/I. 249/II.

251. 252/I. 252/II.

Hromszgek szerkesztse (I. rsz) 37

I

A szerkeszts: 1 ; ;a c 902

- +a

*AC C180 2 &- a 3. 2 C kzppont, CA sugar kr&

& kC . 3 CC* flegyenes& f. 4 kC + f = B

2. eset: a < c. Van olyan B* ! AB, amelyre * *AC AB AB C&= *ACB= .902

= -a

*CB B& .902

= +a

A szerkeszts: 1 ; ; *c a B BC902

&- +a

a 3. 2 C kzppont, CB

sugar kr& kC . 3 BB* flegyenes& f. 4 f + kC = A. Ha a = c s a szg 60, akkor tetszleges oldal szablyos hromszg a megolds. Ha a = c sa szg nem 60, akkor nincs megolds.

b) Az adott szg az egyenl szr hromszg szrszge, c. Az 2

180=

-a

csszefggs segt-

sgvel a feladat visszavezethet az a) esetre.

253. Felhasznljuk: AC2 = AC = BC = BC1&AC2C = ACC2 = BC1C = BCC1 2=

a.

A szerkeszts: 1 ; ;k a c C C C22 2 1 2

&= +a a

3. 2 CC1 felez merlegese ;fCC1& CC2 felez

merlegese .fCC2& 3 ; .f C C B f C C ACC CC1 2 1 21 2+ += = Egyrtelmen megoldhat, ha a < 90.

254. Felhasznljuk: CB =BB*& BCB* =BB*C = .2

b

A szerkeszts: 1 ; ;a c2

+b

*m AB Cc& 3. 2 CB* felez merlegese .fCB& l

3 AB* + .f BCB =l Ha AB* + f 0CB =l Y, akkor nincs megolds.255. Felhasznljuk: CA = CC*. A szerkeszts: 1 a - b; ma; b&ABC*3 . 2 AC* felez merlegese& .f *AC3 f *AC + e(B; C*) = C. Ha f *AC + e(B; C*) = 0Y vagy f *AC + e(B; C*) rajta van C*B flegye-nesen, akkor nincs megolds.256. a) Adatok: a + b; c. Felhasznljuk: A*C = CA&AA*C = 45. A szerkeszts: 1 b + a; 45; c&A*BA3. 2 A-bl merleges A*B-re&m. 3 m + A*B = C.Az A*BA3 nem mindig szerkeszthet, mert kt oldal s a kisebbel szemben fekv szg adott.Ha nem szerkeszthet, illetve a + b < c, akkor nincs megolds.

255.253. 254.

256/III.256/I. 256/II.

38 Adott tulajdonsg pontok halmaznak meghatrozsa a skon

I

b) Adatok: a - b; c. Felhasznljuk: A*C = CA&AA*C = 45&& AA*B = 135. A szerkeszts: 1 a - b; 135; c&AA*B3. 2 A-bl merleges e(A*; B) egyenesre& e. 3 e + e(A*; B) = C.Egyrtelmen megoldhat, ha a - b < c.c) Adatok: a - b; a. Felhasznljuk: A*C = CA&AA*C = 45&AA*B = 135. b= 90 - a. A szerkeszts: 1 a - b; 135; 90 - a&A*BA3 . 2 A-bl merleges e(A*; B)-re& e. 3 e + e(A*; B) = C. 45 < a < 90 esetn egyrtelmen megoldhat. Egybknt nincs meg-olds. d) Adatok: c - a; a. Felhasznljuk: *CB C B= s *BCC90 &= -b a *BC C= =

452

= +a

*CC A& .1352

= -a

A szerkeszts: 1 ; ;c a- a *AC C1352

&-a

3 .

2 C-ben merleges AC-re& e. 3 e + e(A; C*) = B. 0 < a < 90 esetn egyrtelmenmegoldhat. e) Adatok: a + b + c; a. Felhasznljuk: CA2 = CA&AA2C = 45; BA BA BAA1 1&= =

BA A1= .45 2= -

aA szerkeszts: 1 ; ;a b c 45 45

2 &+ + -

aA A A2 1 3 . 2 AA2 fele-

z merlegese& ;f AA2 AA1 felez merlegese& .f AA1 3 f AA2 + A1A2 = C; f AA1 + A1A2 = B.0< a < 90 esetn egyrtelmen megoldhat.257. a) Adatok: b + c; a; c. Felhasznljuk: AB = AB*. A szerkeszts: 1 b + c; a; c&CB*B3. 2 BB* felez merlegese& .f *BB 3 f *BB + B*C = A.Ha f *BB + B*C = 0Y, akkor nincs megolds.

b) Adatok: b+c; a; a. Felhasznljuk: * *CA C A C CA&= = *CC A .2

=a

A szerkeszts: 1 ; ; *b c a BCC2&+

a3 . 2 CC* felez merlegese& .f *CC

3 f *CC + C*B = A; b + c > a miatt a BCC*3-et kt oldalbl s a kisebbel szembenfekv szgbl kell megszerkeszteni, gy a megolds nem egyrtelm. Kaphatunk egy vagykt megoldst, de az is elfordulhat, hogy az adatok nem hatroznak meg hromszget. Haf *CC + C*B = 0Y, akkor nincs megolds.

257/I.256/IV. 256/V.

257/IV.257/II. 257/III.

Hromszgek szerkesztse (I. rsz) 39

I

c) Adatok: b - c, a; b. Felhasznljuk: *AB AB &=

*ABB& *AB B= = *BB C902

&-a

90= +

.2

+a

*B CB ( ).180= - +a b

A szerkeszts: 1 b - c; ; ( ) *CB B902

180 &+ - +a

a b 3. 2 B-ben CB-re b szg& f.

3 e(C; B*) + f = A. Nincs megolds, ha 2

90#+ba

, mert ekkor BB*C + BCB* $ 180

lenne. d) Adatok: b + c; a; mb. Felhasznljuk: AB = AB*. A szerkeszts: 1 b + c; a; mb& B*BC3 . 2 BB* felez merlegese& .f *BB 3 f *BB + B*C = A. Ha a < mb, akkor nincs megolds.Ha a = mb, akkor derkszg hromszget kapunk. Ha a > mb, akkor kt megolds is lehet,amennyiben f *BB + B*C 0=YY. e) Adatok: b - c; a; mb. Felhasznljuk: AB = AB*. A szerkeszts: 1 b - c; a; mb& BB*C3.2 BB* felez merlegese& .fBBl 3 fBBl + e(C; B*) = A. Ha b - c $ a vagy a # mb, akkornincs megolds. Ha b - c < a s a > mb, akkor a kapott kt CB*B3 kzl csak az felel meg,amelyikben CB*B > 90.258. Felhasznljuk: Az sszeg- s a klnbsgszakasz sszegnek fele az a oldal; az sszeg- sa klnbsgszakasz klnbsgnek fele a b oldal. A szerkeszts: 1 a s b oldal megszerkesz-tse a fenti utasts szerint. 2 a; b; c&ABC3. a + b > a - b esetn egyrtelmen megold-hat.259. Felhasznljuk: QP = QP* s OP* = t. A szerkeszts: 1 O-bl b-re t felvtele& P*. 2 PP* felez merlegese& .f *PP 3 f *PP + b = Q. Ha OQ + QP = t # OP, akkor nincs meg-olds, mert az OPQ3-re nem teljesl a hromszg-egyenltlensg. Ha OQ + QP = t > OP,akkor egy megolds van.260. Felhasznljuk: CB = CB*&CB*B = CBB* = 15. A szerkeszts: 1 ; ma + a;15& FBB*3. 2 BB* szakaszfelez merlegese& .f *BB 3 f *BB + FB* = C. 4 B tkrkpeF-re&A. Egyrtelmen megoldhat.

261. Felhasznljuk: CB* = CB. A szerkeszts: 1 ; ;c

m a2 c

+ *FBB& 3. 2 BB* szakasz-

felez merlegese& .f *BB 3 f *BB + FB* = C. 4 B tkr-

kpe F-re&A. Ha mc + a #c

2, akkor nincs megolds.

262. Felhasznljuk: Az EC tl felezi az ACB-et. A szerkeszts: 1 ACB felezje& f.2 f + AB = E. 3 E-bl merleges BC-re& g. E-bl mer-leges AC-re& h. 4 g + BC = F s h + AC = D. A ngyzetegyrtelmen szerkeszthet.

260.257/V. 259.

262.

261.

40 Egybevgsg

I Egybevgsg

Hromszgek, sokszgek egybevgsga

263. Kt egybevg rszre csak cscson tmen egyenessel vghatszt a hromszg, klnben egy hromszg s egy ngyszg keletkez-ne. ADC , BDC3 lehetsges csak, vagyis az a, d, c2 s a b, d, c1 oldalakpronknt egyenlk. 1. eset: Ha a = b, akkor ABC3 egyenl szr. 2. eset: Ha a = d, d = b, c2 = c1& a = d = b&CAD = CDA == CDB = CBD = , ami lehetetlen. Ha a = d, d = c1, c2 = b& c == c1 + c2 = d + b = a + b, ami lehetetlen.3. eset: Ha a = c1, d = d, c2 = b& c = c1 + c2 = a + b, ami lehetetlen. 4. eset: Ha a = c1, d = b, c2 = d& c = c1 + c2 = a + d = a + b, amilehetetlen.

A 264269. feladatok megoldst az olvasra bzzuk.270. b1 = b2 = 2 cm, a1 = a2 = 60, c1 = b2 = 90, mgsem egybevg a kt hromszg.271. c1 = b2 = 2 cm, a1 = a2 = 80, c1 = c2 = 20, mgsem egybevg a kt hromszg.272. a1 = a2, b1 = b2, m1 = m2, mgsem egybevg a kt hromszg, ha a1 < 90 s a2 > 90.273. C1T1 s C2T2 magassg. 1. eset: Ha a, b =Y 90; a1 = a2, b1 = b2, b1 = b2& 180 - b1 == 180 - b2; egy oldal s kt megfelel szg egyenlsgbl&C1B1T13 , C2B2T23&m1 == m2; kt oldal s a hosszabbal szemkzti szg egyenlsgbl&A1T1C13 , A2T2C23&&a1 = a2 kzvetlenl, illetve 180 - a1 = 180 - a2 miatt&A1B1C13 , A2B2C23.2. eset: Ha a= 90 vagy b= 90, akkor kt megfelel oldal s a hosszabbikkal szemkzti szgegyenlsge miatt az llts nyilvnval.

274. a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2,d1 = d2, e1 = e2 a 274. braszerint. a1 = a2, d1 = d2, e1 = e2&A1B1D13 , A2B2D23s b1 = b2, c1 = c2, e1 = e2&B1C1D13 , B2C2D23& akt-kt hromszg megfelel szgei egyenlk& a ktngyszg szgei pronknt egyenlk, megfelel olda-laik is egyenlk, teht egybevgk.275. a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, a1 = a2, b1 = b2 a 275.bra szerint. b1 = b2, c1 = c2, b1 = b2& B1C1D13 ,, B2C2D23&megfelel szgeik egyenlk&{1 = {2,o1 = o2. Hasonlan A1B1C13, A2B2C23&f1 = f2;e1 = e2, a1 = a2, a1 - o1 = a2 - o2&B1D1A13,

, B2D2A23&d1 = d2, n1 = n2. A1B1C1D1 , A2B2C2D2, mert megfelel szgeik s oldalaikpronknt egyenlk.276. a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, d1 = d2, a1 = a2, de a kt ngyszg kzl az egyik konvex, a msikkonkv, teht nem egybevgk.277. a) G, F felez pontok a szrak bels pontjai; BCF3 , BCG3, mert kt oldaluk s azokkzrezrt szge egyenl&BF = CG.

263.

275.

274.

276.

Hromszgek, sokszgek egybevgsga 41

I

b) T1 s T2 magassgtalppont. Ha a =Y 90, akkor BCT13 , BCT23 (egy oldaluk s megfelelszgeik egyenlk)&BT1 = CT2. Ha a= 90, akkor a szrakhoz tartoz magassgok egyenlk ebefogkkal, teht egymssal is. c) BP s CQ szgfelezk. BCP3 , BCQ3, mert egy oldaluk s megfelel szgeik egyenlk&&BP = CQ.278. CF slyvonal&F felezi AB-t; CF magassg&CF 9 AB; AF = FB, CF kzs, CFA == CFB&AFC3 , BFC3&AC = BC&Az ABC3 egyenl szr.279. a) AF = FB, f ;AC, f + BC = H; Az F ponton t BC-vel hzott prhuzamos az AC oldalta G pontban metszi. GAF = HFB egylls szgek, GFA = HBF egylls szgek, AF = FB&GAF3 , HFB3&GA = HF s GF = HB. CGFH ngyszg paralelogramma,mert szemkzti oldalai prhuzamosak&CG = HF s GF = CH; HF = GA = CG, AC == AG + GC = 2HF, HB = GF = CH& a H pont felezi a BC oldalt. b) Az F felez ponton t CA-val hzott FG* prhuzamos felezi BC-t (az a) rszben bizonytot-

tuk)&CG* = G*B s CG = GB&G / G*. Teht FG ; AC s FG =2

1AC. FG a hromszg

egyik kzpvonala.280. F1F2 kzpvonal az ABC3-ben, S1S2 pedig az ABS3-ben& F1F2 s S1S2 prhuzamos AB-vel s hosszuk feleakkora, mint AB.& F1F2S1S2 paralelogramma& SF1F23, SS1S23.281. A 280. feladat jellseit hasznljuk. S1A = S1S, mert S1 felezi AS-t; S1S = SF1, mertSF1F23 , SS1S23& SA : SF1 = 2 : 1; hasonlan lthat, hogy SB : SF2 = 2 : 1.282. Legyen BC felezpontja F1, AC felezpontja F2! F1F2 kzpvonal az ABC3-ben&& F1F2 ; AB s AF1 = BF2 a felttel szerint, ezrt ABF1F2 hrtrapz&AF2 = BF1&AC = BC.283. Ta s Tb a magassgok talppontjai. ATa = BTb a felttel szerint, ACTa = BCTb sATaC = BTbC = 90&ATaC3 , BTbC3&AC = BC.284. Az O cscs szg felezjnek F pontjban emelt merlegesA-ban, illetve B-ben metszi a szrakat. BFO = AFO = 90, OFkzs, BOF = FOA a szgfelezs miatt&OAF3, OFB3&&OA = OB.285. Legyen m 9 a s F ! m! FA = FB, BTbF = ATaF = 90,TbBF = FATa vltszgek&ATaF3 , BTbF3& FTa = FTb. AzF pont egyenl tvolsgra van a-tl s b-tl, rajta van a kzp-prhuzamoson.286. a ; b, c ; d, d(a; b) = d(c; d). A jellt hromszgek egy-bevgk, mert egyik oldaluk a sv szlessge, szgeik pedig egyl-ls szgek. Az tfogjuk - ami az e egyenesbl a svok ltalkimetszett kt szakasz - is egyenl. A gondolatmenet fggetlen aprhuzamos svok tvolsgtl.287. CF1T1 = BF1T2 cscsszgek, T1CF1 = T2BF1 vltszgek,CF1 = F1B&CF1T13 , BF1T23&F1T1 = F1T2, d(F1; c) = d(F1; cl).Hasonlan d(F2; c) = d(F2; cl).&Az F1F2 egyenes egyenl tvolsgravan a c s cl egyenestl s az azokra illeszked A, B, C pontoktl.

285.279/I. 279/II.

287.

286.

42 Egybevgsg

I

288. AF = FB, AT1F = BT2F = 90, AFT1 = BFT2 cscsszgek&AFT1 3, BFT23&&AT1 = BT2.289. Szemkzti oldalaik prhuzamossga miatt az ARBC, a CABP, az ABCQ ngyszgekparalelogrammk&AR = CB s AC = BR, CA = PB s AB = CP, AB = CQ s BC = QA.&&ARB3, CBP3 , QAC3, BCA3.290. DE = FE ngyzetoldalak, FTFE = DTE = 90, FETF = EDT merleges szr he-gyesszgek&EDT3 , ETFF3&ETF = DT. Hasonlan DTC3 , CTBB3&CTB = DT. A fen-tiekbl kvetkezik, hogy CTB = ETF.291. OA = OC&OAC3 egyenl szr s OB = OD&OBD3 egyenl szr. Szrszgkkzs, alapon fekv szgeik egyenlk, ezrt AC ; BD (1). AB = OBOA = ODOC = CD (2).(1) s (2)&ABDC hrtrapz. Az AOC3 s BOD3 szrszgnek szgfelezje szimmetria-tengelye mindkt hromszgnek& szimmetriatengelye az ABDC trapznak& tmegy az ADs BC tlk M metszspontjn.292. CR = AP = BQ = a + x, CQ = AR = BP = x, QCR = RAP = PBQ = 120&RAP3 ,, BRQ3 , CQR3& PQ = QR = RP.293. ARQ3 , BPR3 , CQP3, mert kt oldaluk (x s y) s azok kzrezrt szge (60) egyenl.(ARQ3-nek O krli +120-os elforgatottja BPR3, -120-os elforgatottja CQP3.) Harmadikoldaluk is egyenl, QR = RP = PQ.294. ABC3 s PQR3 szgei 60-osak, f + { + 60 = 180&RBP3 szgei f, { s 60.QR = PR, RQA = PRB, QAR = RBP&QAR3 , RBP3&QA = RB s AR = BP. PRB s QPC hromszget tekintve CQ = BP s QA = CP&AR : RB = BP : PC = CQ : QA.295. a) DQR3 szablyos&DR = DQ; ABCD ngyszg ngyzet&DA = DC s DAR == DCQ = 90&DAR3 , DCQ3, mert kt oldaluk s a hosszabbal szemkzti szgk egyenl.b) DCQ3 , DAR3&ADR = QDC&DB felezi az RDQ szget. D pontban DB tlra mind-kt irnyban 30-os szget szerkesztnk, szrai kimetszik a szablyos hromszg msik kt cscst.296. e ; f, g 9 f s h 9 e& g ; h& PQRS ngyszg tglalap. AQB3 , BRC3 , CSD3 , DPA3,mert szgeik 90, { s tfogjuk a ngyzet oldala&AP = BQ = CR = DS s AQ = BR = CS == DP.

290.288. 289.

291. 292. 293.

Tengelyes tkrzs 43

I

1. eset: PQ = AQAP = DPDS = SP (lsd 296/I. bra)2. eset: PQ = AQ + AP = DP + DS = SP (lsd 296/II. bra). A PQRS tglalap szomszdos oldalai egyenlk& a PQRS ngyszg ngyzet.297. ABCD ngyzet&AD = BC, DCE3 egyenl szr&DE = CE, ADE = 90 +{= = BCE&ADE3 , BCE3&BE = AE.298. ABFG ngyzet&AB = AG, ACDE ngyzet&AE = AC, GAC = 90 + a = EAB&&GAC3, BAE3 (BAE3 a GAC3 A pont krli -90-os elforgatottja)&GC = EB.299. PQ ; AC& PACS ngyszg paralelogramma& PA = SC, RACQ ngyszg paralelogram-ma AR = CQ, PAR = SCQ egylls szgek& PAR3, SCQ3& PR = SQ.300. AD = BC s DAB = ABC = a. DB ; PQ, DP ; BQ&DBQP ngyszg paralelogram-ma&DP = BQ, ADP = CBQ = 180 - a, AD = BC&ADP3 , CBQ3&AP = CQ.301. KEi = r, EiPi = x, KEiPi = 90&KEiPi hromszgek egybevgk&KPi = d lland.A keresett ponthalmaz a K kzppont, d sugar kr.

Tengelyes tkrzs

302. Ha a pont az egyenesen van, akkor tkrkpe nmaga. Ha a pont nincs az egyenesen,tkrkpt egy olyan rombusz tellenes cscsaknt szerkeszthetjk, amelynek egyik tlegye-nese az adott egyenes.

294. 295.

297.

296/I.

296/II. 301.

44 Egybevgsg

I

303. a)

Az alakzat s a kpe egytt: Ha a tkrztt hromszg: s a tkrtengely tartalmazza:

ngyzet egyenl szr derkszg az tfogt

rombusz egyenl szr az alapot

egyenl szr hromszg derkszg az egyik befogt

szablyos hromszg 30, 60-os szg derkszg a 30-os szggel szomszdos befogt

konvex deltoid tetszleges azt az oldalt, amelyen kt hegyesszg van

konkv deltoid tompaszg azt az oldalt, amelyen a tompaszg van

b) A hromszg s tkrkpe egytt konkv deltoidot vagy egyenl szr hromszget alkot.c) A 303. bra mutatja a megoldst.304. Szerkeszts: 1 K kzppont tkrkpe e egyenesre&Kl. 2 Kl kzppont, r sugarkr & kl.305. Mivel tengelyes tkrzs esetn (Pl)l = P, ezrt P pont tkrkpe a egyenesre P1; P1 ponttkrkpe b egyenesre P2; P2 pont tkrkpe c egyenesre P3; P3 pont tkrkpe c eg