Matematika III. 2., Eseményalgebra

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematika III. 2.

Esemnyalgebra

Prof. Dr. Zvoti , Jzsef

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematika III. 2. : Esemnyalgebra Prof. Dr. Zvoti , Jzsef Lektor : Bischof , Annamria

Ez a modul a TMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztssel a GEO-rt projekt keretben kszlt. A projektet az Eurpai Uni s a Magyar llam 44 706 488 Ft sszegben tmogatta.

v 1.0

Publication date 2010 Szerzi jog 2010 Nyugat-magyarorszgi Egyetem Geoinformatikai Kar

Kivonat

Ez a modul az Esemnyalgebra alapismereteit foglalja ssze. A hallgatk elsajttjk az esemnytr fogalmait, megismerik az esemnyekkel vgezhet mveleteket, s jrtassgot szereznek a Boole-algebra tmakrben.

Jelen szellemi termket a szerzi jogrl szl 1999. vi LXXVI. trvny vdi. Egsznek vagy rszeinek msolsa, felhasznls kizrlag a szerz rsos engedlyvel lehetsges.

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

2. Esemnyalgebra .............................................................................................................................. 1 1. 2.1 Bevezets ........................................................................................................................ 1 2. 2.2 Alapfogalmak .................................................................................................................. 1 3. 2.3 Mveletek esemnyekkel ................................................................................................ 2 4. 2.4 Boole-algebra (halmazok s esemnyek) ........................................................................ 5 5. 2.5 sszefoglals .................................................................................................................. 8

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

2. fejezet - Esemnyalgebra

1. 2.1 Bevezets

Jelen modul a Matematika III. trgy msodik fejezete, modulja. Az itt kvetkez ismeretek megrtshez javasoljuk, hogy olvassa el a Trgy korbbi moduljnl rottakat. Amennyiben ez mg nem lenne elg a megrtshez, akkor forduljon a szerzhz segtsgrt.

Jelen modul clja, hogy az Olvas megismerkedjen az Esemnyalgebra alapvet krdskreivel, s kpess vljon azok valsznsgszmtsi feladatok megoldsban val felhasznlsra.

A termszetben, a gazdasgban s a trsadalomban milyen jelleg szablyok, trvnyek lteznek?

A termszeti trvnyek (szabadess, Ohm trvny, bolygk mozgsa, stb) ltalban meghatrozottak. Emellett lteznek vletlen jelensgek (pnzfeldobs, lott, stb.), amelyeknl a figyelembe vehet krlmnyek nem hatrozzk meg egyrtelmen a jelensg kimenetelt. Azonos krlmnyek kztt a jelensg kimenetele lehet klnbz, vletlenszer. A jelensg felttelrendszere lehet olyan bonyolult, hogy minden felttelt nem tudunk figyelembe venni. Teht lteznek determinisztikus (a krlmnyek ismeretben a jelensg kimenete meghatrozhat) s sztochasztikus (a krlmnyek nem hatrozzk meg az esemnyek vgeredmnyt) jelensgek.

Vletlen tmegjelensg: az esemnyek nagy szmban fordulnak el, azonos krlmnyek kztt tetszleges sokszor megismtelhetk.

Ksrlet: vletlen tmegjelensg megfigyelse.

Minden ksrletnek tbb, akr vgtelen sok kimenetele lehet. Azt nem tudjuk, hogy a ksrlet melyik kimenete kvetkezik be, de azt tudhatjuk, milyen lehetsges kimenetek vannak. (Kockadobs, hmrskletmrs, lotthzs, stb.)

2. 2.2 Alapfogalmak

Definci:

Egy ksrlet sszes lehetsges kimeneteinek halmaza az esemnytr.

Jele:

Plda:

1. kockadobs lehetsges kimenetek

2. pnzrme feldobsa

3. 2 kocka feldobsa

A ksrlettel kapcsolatba megfogalmazhatunk klnbz lltsokat:

4-nl nagyobb szmot dobunk

rst dobunk

egyforma szmot dobunk

Definci:

Esemnyalgebra


Az esemnytr rszhalmazait esemnyeknek nevezzk.

Az esemnytr egyelem rszhalmazait elemi esemnyeknek nevezzk.

Az elemi esemnyek alkotjk az esemnyeket :

Megjegyzs:

Teht egy elemi esemny a ksrlet egy lehetsges kimenetele. Egy elemi esemny csak egyflekpp, egy esemny tbbflekpp is bekvetkezhet.

Plda 1:

Kockadobs esetn

elemi esemny: 4-est dobunk

esemny: pros szmot dobunk A= 2,4,6

esemnytr: = 1,2,3,4,5,6

Plda 2:

Legyen az A esemny az, hogy pratlan szmot dobunk.

Ekkor A = . Pldul .

Definci:

, mint esemny a biztos esemny,

(res halmaz), mint esemny a lehetetlen esemny.

Plda:

Hrom paprcetlire felrjuk az a, b s c betket, majd elhelyezzk a paprdarabkkat egy urnban. Ha kihzunk az urnbl cetliket, milyen esemnyek fordulhatnak el?

Megolds:

Esemnytr:

sszes esemny:

Teht az sszes esemny szma: .

Kvetkezmny:

ltalnosan is mondhatjuk, hogy n elemi esemnybl sszesen esemny szrmaztathat, amelyekbl

darab esemny sszetett esemny.

3. 2.3 Mveletek esemnyekkel

Definci:

Esemnyalgebra


Az A esemny maga utn vonja B esemnyt : Ha az A esemny bekvetkezse, maga utn vonja a B esemny bekvetkezst is.

Plda 1:

Mit jelent A = B ? (Vlasz: s )

Plda 2:

Azonossgok:

Mindig fennllnak az albbi azonossgok:

1.

2.

3.

4. Az is igaz, hogy ha s .

5. , akkor s csak akkor, ha s is.

Definci:

Az esemny komplementer esemnye esemny, amely akkor kvetkezik be, ha A nem

kvetkezik be s .

Plda 3:

Kockadobsnl legyen

Ekkor .

Azonossgok:

Nagyon fontos, trivilis azonossgok:

1.

2.

3.

Definci:

Tetszleges esemnyekhez hozzrendeljk az esemnyt az sszegket , amely akkor kvetkezik be, ha A s B kzl legalbb az egyik bekvetkezik.

Plda 4:

Esemnyalgebra


{ pros szm }

{ legalbb 4-t dobunk }

Ekkor .

Ttel:

Az esemnyek sszeadsra fennllnak az albbi sszefggsek:

Feladat 1:

Hogyan rtelmezzk vgtelen sok esemny sszegt?

Feladat 2:

Bizonytsuk be a fenti azonossgokat!

Definci:

Tetszleges esemnyekhez hozzrendeljk az esemnyt szorzatukat , amely akkor kvetkezik be, ha A s B esemny is bekvetkezik.

Plda 5:

Az elz plda A s B esemnyre:

Ttel:

Az esemnyek szorzsra fennllnak az albbi sszefggsek:

Feladat 3:

Hogyan rtelmezhet vgtelen sok esemny szorzata

Feladat 4:

Bizonytsuk be a fenti azonossgokat!

Esemnyalgebra


Ttel:

Az esemnytr tetszleges A s B esemnyre igazak az albbi egyenlsgek:

1. A+AB=A

2. A(A+B)=A.

Ttel:

De Morgan azonossgok:

Az esemnytr tetszleges A s B esemnyre igazak az albbi egyenlsgek:

1.

2.

Ttel:

Az esemnyek sszeadsra s szorzsra nzve fennll az u.n. disztributv tulajdonsg:

tetszleges A, B s C esemnyekre.

Bizonyts:

Definci:

Tetszleges esemnyekhez hozzrendeljk az esemnyt a klnbsgket, amely akkor kvetkezik be, ha az A esemny bekvetkezik, de B esemny nem.

Plda 6:

Az elz pldkban:

Plda 7:

Legyen A az az esemny, hogy pratlan szmot dobtunk:

A= 1,3,5

B az az esemny, hogy 4-nl kisebb szmot dobtunk: B= 1,2,3

Ekkor A + B = 1,2,3,5 az az esemny, hogy sszes 6-nl kisebb prmszmot dobhattunk.

AB = 1,3 az az esemny, hogy vagy 1-et, vagy 3-at dobtunk.

az az esemny, hogy 5-t dobtunk.

= 2,4,6 az az esemny hogy pros szmot dobtunk.

4. 2.4 Boole-algebra (halmazok s esemnyek)

Definci:

Esemnyalgebra


Amennyiben halmazokon, esemnyeken rtelmezve van, az A + B sszeadsnak s AB szorzsnak nevezett kt

mvelet, tovbb minden A elemhez ltezik komplementer elem, valamint az alaphalmaz komplementere

az res halmaz. s igazak a kvetkez azonossgok:

A+B=B+A AB=BA

A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)C

A+A=A A = A

A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)

A+ =A A=A

A+ = A =

A+ =

akkor ezt a struktrt Boole algebrnak nevezzk.

Megfeleltets:

Ltezik egy 1-1 rtelm megfeleltets az esemnyek s a halmazok kztt, amely nagyon hasznos az esemnyek s halmazok kapcsolatnak vizsglatban (az esemnyeket lehet halmazknt szemlltetni):

esemny halmaz

esemnytr alaphalmaz

vletlen esemny rszhalmaz

elemi esemny egy elem rszhalmaz

biztos esemny alaphalmaz

lehetetlen esemny res halmaz

ellentett esemny halmaz komplementer halmaza

sszeg unio

szorzat metszet

klnbsg klnbsg

kvetkezik rszhalmaz

Definci:

Tetszleges esemnyek egymst kizr esemnyek, ha egytt nem kvetkezhetnek be, azaz

.

Plda 1:

Legyen a kockadobsnl s , azaz

Esemnyalgebra


A s B esemnyek egymst kizr esemnyek.

Ttel:

Az esemnytr tetszleges A s B esemnyre igaz az albbi egyenlsg:

ahol egymst kizr esemnyek.

Bizonyts:

Egymst kizr esemnyek:

Definci:

Az esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, ha

1) egyik esemny sem lehetetlen esemny: 2) egymst pronknt kizr esemnyek:

; 3) sszegk a biztos esemny:

A definci azt jelenti, hogy a teljes esemnyrendszer esemnyei kzl mindig egy s csak egy kvetkezik be.

Plda 2:

Az A s esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, mert s .

Plda 3:

Az elemi esemnyek teljes esemnyrendszert alkotnak, mert egytt kiadjk az esemnyteret, s egymst kizr esemnyek.

Definci:

Legyen az esemnytr bizonyos rszhalmazaibl kpezett (nem res) halmazrendszer.

Az esemnytr rszhalmazaibl kpezett H esemnyrendszert esemnyalgebrnak nevezzk, ha

1.

2.

Kvetkezmnyek:

1. , mert , akkor s

2. , mert s

3. esemny esetn , mert

Esemnyalgebra


4. esemny esetn , mert

Plda 4:

A kvetkez halmazok esemnyalgebrt alkotnak: .

Plda 5:

Az esemnytr sszes rszhalmazai esemnyalgebrt alkotnak.

5. 2.5 sszefoglals

1. Az egsz szmok kztt vlasztunk egy szmot. Az A esemny jelentse azt, hogy a kivlasztott szm 5-tel oszthat, B pedig azt, hogy a szm zrussal vgzdik. Adja meg, mit jelent

a. A+B

b. AB

i. A-B esemny!

2. Egy cg vaston is, teherautn is szllthat rut. Legyen A az az esemny, hogy egy adott napon van vasti szllts, B pedig jelentse azt, hogy teherautn van szllts. Mit jelentenek az albbi esemnyek?

AB A+B B-A +B

A

+

1. Igazoljuk, hogy tetszleges kt esemny sszege kt egymst kizr esemny sszegre bonthat!

2. Vizsgljuk meg, hogy milyen kapcsolat ll fenn az A s B esemnyek kztt, ha teljesl az AB=A egyenlsg!

3. Vizsgljuk meg, hogy milyen kapcsolat ll fenn az A s B esemnyek kztt, ha teljesl az A+B=A egyenlsg!

4. Vizsgljuk meg, hogy milyen kapcsolat ll fenn az A s B esemnyek kztt, ha teljesl az A+B=AB egyenlsg!

5. Hozzuk egyszerbb alakra az (A+B) kifejezst

Irodalomjegyzk Csandy V., Horvth R., Szalay L.: Matematikai statisztika, EFE Matematikai Intzet, Sopron, 1995

Csernyk L.: Valsznsgszmts, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest, 1990

Obdovics J. Gy.: Valsznsgszmts s matematikai statisztika, Scolar Kiad, Budapest

Reimann J.- Tth J.: Valsznsgszmts s matematikai statisztika, Tanknyvkiad, Budapest, 1991

Rnyi A.: Valsznsgszmts, Tanknyvkiad, Budapest, 1966

Solt Gy.: Valsznsgszmts, Mszaki Knyvkiad, Budapest, 1971

Esemnyalgebra


Denkinger G.: Valsznsgszmts, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest, 1978

Documents

Matematika III. 2., Eseményalgebra