Upload
sthunder
View
264
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
istorija matematike
Citation preview
UNIVERZITET U BEOGRADUMATEMATIČKI FAKULTET
SEMINARSKI RAD
MATEMATIKA MESOPOTAMIJE IEGIPTA
Profesor: Student:Zoran Lučić Branislav Popović
Beograd 73/012007.
PRAISTORIJA MATEMATIKE
Kažu da se najkraći tečaj iz istorije matematike sastoji od jedne ironičnerečenice koja glasi: “U početku brojahu ovce, a potom su se stvariiskomplikovale.” Očigledno, ovaj pretenciozni aforistički uvid u tako složenumateriju želi da saopšti da matematika mora početi sa brojanjem. Nije, međutim,razumno tvrditi da su svako brojanje ili svaka primitivna računica naših predakabili baš matematika.
Naime, samo kada postoji način da se takvo brojanje, kakva računica ili,pak, kakvo merenje učine trajnim, da se prenesu u znake, simbole, ima osnovada se veruje da je nastala i matematika. Zato je matematika nastajala uporedosa nastankom pismenosti.
Matematiku, pa shodno tome i nastanak matematike, treba razlikovati odmatematičkih znanja ili njihovog nastanka. Postoji jaka osnova da se poveruje dasu neka matematička znanja – recimo sled brojanja i raspoznavanje nekihosnovnih geometrijskih odnosa – bila u posedu ljudske vrste još u zoručovečanstva. O tome svedoče ne samo zapisi i zarezi na zeolitskoj grnčariji ilipredmeti poput rabosa – drvenog štapa na kome su se zarezima upisivali brojevi– nego i veoma kompetentna antropološka, psihološka pa i biološka istraživanja.
Tako, recimo, Pijažeova istraživanja psihologije dece u razvoju pokazujuda i sasvim mala deca, nevezano za vaspitanje i obrazovanje, imaju izvesnamatematička znanja. Ako, pak, reč “znanje” izaziva podozrenje, jer se čini dapretpostavlja civilizacijsku sofisticiranost, možemo je zameniti i izrazom“sposobnost”.
Matematika kakvom je mi danas znamo rezultat je procesa i delatnostistotina generacija ljudske vrste, koji je započeo verovatno pre dvadesetak hiljadagodina kada je naša vrsta Homo Sapiens Sapiens došla glave kromanjoncima,neandertalcima i ostalim srodnicima iz familije Homo i definitivno zavladalazemljom.
Sva je prilika da je matematika nastala kao praktična delatnost pogodna ipotrebna u snalaženju sa većim količinama predmeta. Sasvim je jasno da mi onjenim počecima, koji su sigurno u predistorijskom dobu, možemo imati samoposredne podatke. Pod “posrednim podacima “ obično se podrazumevaju
2
arheoloski nalazi, etnografski atavizmi i matematička znanja pojedinih primitivnihnaroda i plemena koji su se, tu i tamo, po Polineziji i prašumama Amazona, jošuvek održali ne podlegavši ofanzivi renesanse, a nekoliko vekova kasnije i koka– kole. No, čak i da ti posredni podaci ne postoje, naša intuicija, poduprtaosmatranjem razvoja matematičkih znanaj ljudskih bića u rastu i stasavanju,sasvim je dovoljna da shvatimo kako se prvih matematičkih znanja verovatnodošlo, ili da se izrazimo još otvorenije, kako je do njih zapravo moralo doći.
Prva matematička znanja morala su biti povezana sa brojanjem. Veštinubrojanja imaju čak i neke razvijenije životinje1, o majmunima da i ne govorimo, pazašto ne bi i ljudi? Merenje, pak, težina, dužina i površina, pa – kasnijeverovatno – i zapremina, nastalo je, sasvim sigurno, posle brojanja, kada su serazvili trgovina i zanatstvo. U tom smislu je nastanak matematike višeantropološka nego istorijsko – matematička činjenica jer ljude koji čine bilokakvu, makar i najprimitivniju plemensku zajednicu, ne možemo ni zamisliti beznekih matematičkih znanja. Stoga težak i hvale vredan ali, valja priznati,matematičarima ne mnogo interesantan posao istraživanja početaka matematiketreba prepustiti antropolozima.
Praistorija matematike, dakle, pripada antropologiji.
Kada, međutim, počinje istorija matematike?
Razume se, tek kada počne zapisivanje matematičkih znanja. Jer, kao isvaka istorija neke delatnosti, ona ne može početi pre opšte istorije, prenastanka pismenosti i organizovanih društava.
Eto, dakle, još jednog argumenta u prilog tezi da uporedo sa nastankompisma nastaje matematika tako što se već postojeća matematička znanjazapisuju i beleže.
Pismo je, u to nema nikakve sumnje, nastalo skoro istovremeno narazličitim tačkama Zemljine kugle, negde oko 3.000 godina p.n.e.
__________
1 Klasična matematička skaska govori o vrani i seljaku – možda otmenost nalaze dagovorimo o “farmeru”!? Vrana je kljucala useve i seljak je odlučio da je upuca. Sakrio se pod drvo ivrebao je. Vrana ga je videla i nije se pojavljivala čekajući da seljak (i njegova puška) odu. Seljakje potom doveo svoju ženu, a zatim je poslao da ode na očigled vrane. Nije pomoglo. Vrana jeshvatila da je još neko ostao pod drvetom. Seljak je ponovio eksperiment sa dvojicom, trojicom…sedmoricom prijatelja. Kada je sedmi otišao, vrana je pomislila da više nema nikoga i krenula “uštetu”. Seljak ju je tada upucao. Zaključak: vrana zna da broji do 7.
3
Pronalazak pisma je u izvesnom smislu kulminacija, skoro biološki trijumfljudske vrste, koja je, u savremenom smislu, nastala pre otprilike nekolikodesetina hiljada godina2. Pre oko 10.000 godina p.n.e. naša planeta je izašla izposlednje glacijacije, poslednjeg ledenog doba i ušla u period relativno umereneklime. Ovaj period meteorolozi i geolozi nazivaju halocenom interglacijacijom,ironično nam time naglašavajući da živimo između dva ledena doba, te da valjanaše potomstvo pripremati za nadolazeću dugu zimu. Istina, ne odlučuju se danam otkriju tajnu kada će ona nastupiti, za desetak ili stotinak hiljada godina.Bilokako bilo, na izlasku iz glacijacije svetlo dana je ugledalo nekoliko podvrsta vrsteHomo. Naš predak Homo Sapiens Sapiens očigledno se pokazao snalažljivijim iveštijim od ostalih konkurenata za vladanje planetom i – antropolozi moderneškole tako smatraju – istrebio ostale podvrste, čije ostatke nalazimo u pećinamapoput Altamire, Krapine ili Kromanjona. Uništivši kromanjonce, neandertalce injima slične, Homo Sapiens Sapiens je krunisao razvoj roda Homo, za čije sepočetke veruje da dospevaju unazad čak dva miliona godina.Događaji od tada,očigledno, dobijaju na ubrzanju. Za sedam – osam hiljada godina čovek jeovlada upotrebom osnovnog drvenog, koštanog i kamenog alata, koji su, istina,poznavali i kromanjonci i neandertalci, ali je izveo i nešto mnogo spektakularnije– urbanu revoluciju. Kroz urbanu revoluciju iz pećina i nestalih staništa počeo daživi u stalnim naseljima, sa građenim kućama i ovladao poljoprivrednomproizvodnjom. Prema sadašnjim saznanjima, negde oko 3500. god. p.n.e.ovladao je i upotrebom točka, što mnogi istoričari i antropolozi smatraju prvomtehnološkom revolucijom u istoriji ljudske vrste.Pretpostavlja se da je u perioduod poslednje glacijacije do vremena pronalaska točka “pronađen” i govorni jezik.Arheološki nalazi ne mogu nam pružiti podatke o tome kada se to dogodilo ikoliko je i da li je proces stvaranje jezika bio dug ili mučan. Stoga se stručnjacimeđu sobom spore nemajući ni za jedno gledište čvrsto uporište u istorijskommaterijalu kojim danas raspolažemo. Po jednima je to zaista obavljeno u dugomprocesu koji je kulminirao stvaranjem pisma. Po drugima, pak, govorni jezik jestvoren skoro trenutno, negde u vreme pronalaska točka, i odmah posle toga sepojavila potreba za znakovnim, simboličkim zapisivanjem jezika. Kako god da sedesilo, period između 3000. i 2000. god. p.n.e. obeležen je pojavom pisma.
__________ 2 U sporove među antropolozima umešala se u novije vreme i genetika. Zahvaljujućinapretku u sekvenciranju ljudskog genoma, analizom ostataka mitohondrijske DNK u ostacimanaših predaka, stiglo se do danas vladajuće teorije da je Homo Sapiens Sapiens nastao pre50.000 do 80.000 god. mutacijom u centralnoj Africi, a zatim se postepeno proširio na čitavuplanetu, najpoznije stigavši u Severnu Ameriku – negde pre 7.000 godina. Kako ne postoje ostaciDNK iz ćelijskih jezgara, ne možemo pouzdano znati d li su kromanjonci i neandertalci, recimo,mogli da se mešaju sa našom vrstom ili ne. Moguće je da će buduća istraživanja korigovati ovajvladajući model, ali će on, verovatno, u glavnim crtama opstati.
4
Nastankom pisma, negde u trećem milenijumu p.n.e., stvorile su sepretpostavke da se i matematička znanja zapisuju, i tako je nastala matematika.
Međutim, i to je ono što matematiku čini tako važnom, tako osnovnom uistoriji kulture, istorija matematike počinje istovremeno s istorijom čovečanstva.Jer, sva nama poznata društva koja su, nekoliko hiljada godina pre naše ere,došla do neke sopstvene pismenosti ili je pozajmila od razvijenijeg suseda, međuprvim pisanim dokumentima koje su iza sebe ostavila, ostavila su zapisana isvoja osnovna matematička znanja. Drukčije rečeno, ko god je ulazio u istoriju,ko god se objavljivao na oglasnoj tabli pretendenata na civilizacijski presto, međupreporukama je obavezno imao i bar prelaznu ocenu iz matematike.Usavremenoj istoriografiji postoji običaj da se za ta društva upotrebljava naziv“civilizacije”, u pluralu, za razliku od savremene svetske civilizacije za koju seupotrebljava naziv u singularu. Istoričari se drže ove jezičke konvencije samo izjednog razloga. Pretpostavlja se, naime, da su se prve civilizacije razvijalerelativno autonomno – mada, naravno, nema spora da su među nekima od njihpostojale izvesne komunikacije – te da je svaka do svojih prvih znanja stizalaopet relativno samostalno. Stoga je za svakog istoričara matematike, a biće dapravilo važi i za druge delatnosti i oblasti saznanja, komparativno izučavanjematematičkih znanja prvih civilizacija od ogromnog značaja jer se tako možespoznati koja znanja moraju nastati nužno, skoro nezavisno od posebnihistorijskih uslova u kojima se neka civilizacija razvijala. Ta nužnost se, prirodno,gubi i bledi u savremenoj civilizaciji, koja je s antičkim svetom započela, a srenesansom utvrdila proces objedinjavanja čitave svetske kulture u jednu.Prvecivilizacije, naravno one koje su uspele ili da prežive ili da do nas bar dobaceinformacije o sebi, nastale su u dolinama vellikih reka na severnoj Zemljinojpolulopti i nekoliko hiljada godina pre naše ere. Plodne doline reka su očiglednopogodovale stabilnijem načinu pribavljanja hrane – zemljoradnji. Za razliku odnomadskih naroda koji su bili stalno u pokretu prenoseći sa sobom svoja stada,porodice i kulturu, zemljoradnja je u dolinama velikih reka vezivala stanovništvoza stalna staništa i omogućavala da više generacija prenosi iskustvapotomcima. Osim toga, oko takvih stalnih područja, na kojima je generacijamaživeo isti narod, mogli su se izgraditi i administrativna uprava, građevinarstvo,zanatstvo. Mogao se, dakle, razviti niz onih delatnosti koje čine državu. Sigurnoje i da su nomadi nosili isti intelektualni potencijal, ali sve dok se nisu nastanili unekom području i postali zemljoradnici, od njih nismo mogli dobiti nikakvumaterijalnu kulturu ili nasleđe.
Čitava kasnija istorija sveta je izgledala slično opisanoj slici, sve do krajaprvog milenijuma naše ere. Starosedeoci zemljoradnici su živeli na svom tlu igradili svoje države dok su ih nomadi opsedali, napadali I pljačkali da bi se nakraju i sami, ako osvoje neku zemlju, stapali sa starosedeocima preuzimajući inastavljajući njihovu kulturu.
5
Prve poljoprivredne civilizacije su nastale nekoliko hiljada godina pre našeere u dolinama velikih reka ali valja znati da su se u savremenoj istoriografiji sveove vremenske procene u znatnoj meri skratile. Naime, istoričari Stare Grčke, ameđu njima se ističe Herodot, prvi imenom zabeleženi istoričar koga su nazivali“ocem istorije” ali i “ocem laži”, što pokazuje da su istorija i njeni falsifikati rođeniistovremeno, verovali su da je, recimo, egipatska država, u trenutku kada su Grciza nju saznali, postojala već 15.000 godina. Savremena istoriografija je, skoro sapotpunom pouzdanošću, dokazala da je egipatska država, nastala u dolini Nila,mnogo mlađa i da je nastala otprilike 3.000 godina pre naše ere. Skoroistovremeno, a najviše nekoliko stotina godina ranije, u Mesopotamiji, u slivuTigra i Eufrata, Sumeri3 su započeli seriju država i naroda nastalihdoseljavanjima i mešanjem, od kojih su nama najpoznatiji Vavilonjani i njihovadržava. Na sasvim drugom kraju Evroazijskog kopna Kinezi su otpočeli svojucivilizaciju u dolini reke Jang Ce otprilike 1.500 godina p.n.e., a nešto kasnije,oko 1.000 godina p.n.e., u dolii reke Inda nastaje Indija.Sve ove civilizacije surazvile pismo i, u interakciji s njim, standardizovale svoj govorni jezik, što im je –nema sumnje – omogućilo neuporedivo brži razvoj od drugih takmaca u borbi zasvetsku dominaciju. Uostalom, dovoljno je uporediti njihov uticaj na nas sa,recimo, uticajem civilizacija Inka, Maja, Asteka i inih bezimenih starosedelačkihnaroda obeju Amerika, koje su u pojedinimtrenucima istorije zauzimale velikedelove američkog kontinenta ali nisu imale pismo, pa razumeti koliko je pismoodlučujuće za razvoj komunikacija i prenos informacija i, konačno, za moć kojaomogućuje vladanje.Nije bez značaja ni vrsta pisma koju je razvila pojedinacivilizacija. Zora istorija je osvetlila dve vrste pisma – piktografsko i fonetsko.Prvo, piktografsko – a koriste se i izrazi ideogramsko i hijeroglifsko –karakteristično je za egipatsku ili kinesku kulturu. U njemu se posebni znači,uglavnom nastali pojednostavljivanjem slikovnih predstava predmeta ili osobina,koriste za zapisivanje, teško je reći govora, već pre nekog sleda misli iliobjašnjenja. Iako se, van svake sumnje, i oko ovakvog pisma može razvitiveoma složen pisani jezik – uostalom savremena kineska ili japanska kultura Idalje počivaju na takvom, istina veoma redukovanom I na apstrakcije svedenompiktografskom pismu – jasno je da je takvo pismo neka vrsta “slepog creva” ucivilizacijskom napretku. Druga vrsta pisma, fonetsko, neki ga nazivaju ilinearnim, slogovnim, znatno je pogodnija za stvaranje složenih zapisa jer,naprosto koristeći posebne znake, danas ih nazivamo slovima, za zapisivanjepojedinih glasova ili slogova jezika, omogućava neuporedivo elastičnije baratanjesa zapisima.Konačno, ta vrsta pisma je i ovladala savremenom civilizacijom.
_________
3 Ili “Sumerci”, u drugoj od mogućih varijanata transliteracije na srpski.
6
Linearno, odnosno slogovno pismo, kako ćiriličko, tako i latiničko, koje jedanas najrasprostranjenije4 u svetu, razvili su iz egipatskih hijeroglifa Fenićani,mali narod s obala jugoistočnog Mediterana, sredinom drugog milenijuma prenaše ere. Sam naziv alfabet i potiče od naziva prvih slova feničkog pisma, alef ibet, a koji su ostali isti ili slični alfa ( ) i beta ( ), odnosno “a” i “be” – u svimα βsledujućim pismima – prvo u grčkom, od kojeg se razvila ćirilica, a potom i urimskom, od kojeg se razvila savremena latinica.Četiri velike poljoprivrednecivilizacije ostavile su za sobom nepotpun ali ipak dovoljan pisani materijal izkojeg se može saznati stanje njihove matematike. On što povezuje matematikusve četiri civilizacije Egipat, Mesopotamiju, Indiju i Kinu – jeste okolnost da je zanjih matematika pre svega praktična delatnost. Oni su matematiku shvatali ikoristili na sličan način kako se, recimo, danas koriste tehnika i prirodne nauke.Neki od njih su imali prilična matematička znanja – u Vavilonu, u Mesopotamijije, recimo, bila poznata Pitagorina teorema – ali oni nisu stigli do potrebe da taznanja dokažu. Dokaz, izvođenje, dedukcija, bili su im sasvim strani i oni sumatematička znanja shvatali kao činjenice do kojih se dolazi empirijski ,otkrivanjem, otprilike na isti način kako je u Egiptu otkrivena mogućnostupotrebe poluge za podizanje teških predmeta, bez posebnih razmišljanja zaštoje to tako i kakva bi zakonitost, pravilnost, mogla stajati iza tih osobina poluge.Triod ove četiri civilizacije – Egipat, Kina i Indija, koristile su očigledno nezavisnojedna od druge, desetični brojni sistem – sistem, dakle, s osnovom deset. Tomnoge istoričare matematike navodi na pomisao da su prvo sredstvo zaračunanje, prvu računaljku, činili prsti obe šake. Objašnjenje deluje priličnoubedljivo, ali ne svedoči o osobitoj nužnosti takvog razvoja matematike jer se, naprimer, u Mesopotamiji razvio šezdesetični brojni sistem, sistem s osnovomšezdeset5. Iako nam ne pada napamet nikakvo razumno objašnjenje takvepojave, ovaj sistem je ostavio nemale tragove i u savremenoj civilizaciji. Podelasata na minute i sekunde, kao I podela ugaone meere stepena na iste delove,nasleđena je odatle.Osim razvijenih veština baratanja sa brojevima, sve ovecivilizacije su imale i razvijenu geometriju, koja se svodila na procedureizračunavanje dužina i površina, što je sasvim očekivano s obzirom na značajovakvih znanja u poljoprivredi.
_________
4 Koristi ga, u raznim nebitno različitim varijantama, oko 80% stanovnika naše planete. 5 Antropološka i arheoloska istraživanja pokazuju da su postojale, pa čak i da još uvekpostroje u izolovanim prostorima Amazonije, pacifičkih ostrva ili Afrike, kulture i plemena koji suimali brojevne sisteme sa osnovama 2, 3 ili 5.
7
Još jedna nauka, veoma povezana sa matematikom, razvijala se u ovimcivilizacijama, istina u znatnijoj meri u Mesopotamiji i Egiptu nego u Kini i Indiji.To je astronomija. Vavilonjani su čak stotinama godina osmatrali nebo i beležilipodatke, što je od ogromnog značaja za poznije generacije astronoma jer se bezistorijata kretanja onih nebeskih tela koja sporo menjaju svoj uzajamni položaj nanebu astronomija praktično ne može ni razvijati. Sasvim sigurno da je pogled nanoćno nebo nezagađeno svetlošću gradova za naše pretke bio spektakularandogađaj, a ne treba zaboraviti da su astronomska znanja veoma važna uodređivanju sezonskih promena klime – godišnjih doba – značajnih za svakupoljoprivrednu civilizaciju.
Tako, dakle, počinje istorija matematike. Ni o kakvoj se filozofijimatematike tada ne može govoriti jer se, konačno, ni o kakvoj filozofiji u timdruštvima ne može govoriti. Preiznije, ako je i postojala, do nas nikakvi podacinisu došli.
Međutim, za početke filozofije pa i kulture uopšte u svakoj civilizaciji je odosnovnog značaja religija. Religija, na određeni način, predstavlja preteću ifilozofije i nauke. O nastanku religije, o njenim značenjima, o ulozi u životučitavih društava ali i pojedinaca, o njenoj interakciji sa psihom, raspravljajugeneracije istraživača, pa se ne usuđujemo da se u tu raspravu uključimo.Međutim, sasvim je jasno da je religija, između ostalog, i pokušaj objašnjenjapojavnog sveta. Čovek je, nema sumnje, od trenutka kada je stekao ono što sekonvencionalno naziva svešću bivao začuđen ili bar zapitan nad fenomenimakoji ga okružuju. Očigledno je da se religija pokazala kao najlakši inajjednostavniji izlaz iz tog kruga pitanja.Pripisati natprirodnom volju i pripisatimoć imaginarnim bićima koja stvaraju pojavni svet bilo je i najlakše inajrasprostranjenije.Uostalom, sva nama poznata društva imala su neki oblikreligije i religioznosti. I četiri velike, prve civilizacije istorijskog perioda, naravno,ne zaostaju za njima. Čak, uz malo razumljivog uprošćavanja, možemo reći dasu matematika i religija dve kulturne paradigme kojima je raspolagala svaka naZemlji postojeća civilizacija.
Poput matematike, i religija prvih civilizacija je bila prilično jednostavna i,moglo bi se reći, pragmatična, skoro empirijska. Sve te civilizacije su bilepoliteističke, mnogobožačke, ako taj termin uopšte ima smisla. Naime,božanstva kojima su se pripisivale natprirodne moći bila su “pravljena” po “liku iobličju” čoveka i njegovog sveta. Bila su ili u lljudskom ili u životinjskom ili unekom kombinovanom “kentaurolikom” obličju. Božanstva su imala jasnoomeđen “delokrug rada” i svako je bilo “zaduženo” za po neku važniju oblastživota ili prirodnu pojavu. Jedan bog je upravljao Suncem, druga boginjaMesecom, treći bog vetrovima, dok je četvrta boginja mogla biti zadužena zaplodnost zemlje, a peti bog za prosleđivaje mrtvih na onaj svet. Zanimljivo je da
8
su, poput sličnih matematičkih znanja, i sve prve civilizacije imale sličnu shemupanteona, što svedoči da u razvoju ljudskih zajednica postoje neke opšteantropološke zakonitosti koje su neizbežne čak i kod uzajamno udaljenih,izolovanih i rasno različitih društava.
Cinik bi rekao da smo ovim samo pokazali da nije trebalo ni da se bavimopočecima matematike u istorijskom periodu jer, kao što počeci matematike upredistorijskom periodu pripadaju antropologiji, tako joj i religija i matematikaistorijskih početaka takođe legitimno pripadaju.
Ovaj uvod ima, međutim, jednu drugu svrhu. Cilj mu je da čitaocu predočinačin i naočari kojima će u buduće posmatrati ono čime se knjiga bavi.
Pomenuli smo da su sve četiri velike poljoprivredne civilizacije – Egipat,Vavilonija, Kina i Indija – imale, skoro odmah po nastanku pismenosti, imatematiku. O matematici ovih civilizacija, pa i o matematici manje poznatihlatinoameričkih, azijskih i pacifičkih civilizacija, postoji veoma obimna i podrobnaliteratura kojoj se zainteresovani čitalac može obratiti.
Nas će, ovde, u svrhu izlaganja materije kako smo je zamislili, zanimatipre svega takozvani glavni tok. Pod glavnim tokom podrazumevamomatematička znanja koja čine matematiku savremene civilizacije a ona je, skoroisključivo, nastala na tradicijama i nasleđu grčke matematike. Čak se, bez imalopreterivanja, može reći da je matematika, kakvom je danas znamo, nastala uGrčkoj negde na prelazu iz sedmog u šesti vek pre naše ere i da su na njenostvaranje osim Grka uticale još samo mediteranske kulture.
Stoga ćemo od predgrčkih civilizacija pažnju posvetiti samomesopotamskoj i egipatskoj matematici jer su jedino one uticale na razvoj grčkematematike.
9
POČINJE ISTORIJA MATEMATIKE
MATEMATIKA MESOPOTAMIJE
Mesopotamija – grčki doslovno znači: “(zemlja) između (dveju) reka” –plodna je ravnica između reka Tigra i Eufrata na Arabijskom poluostrvu, koja jesada središnji deo Iraka. Danas je u istoriografiji sasvim nesporno da je na tomtlu, između 4.000 god. p.n.e. pa do početka naše ere, živela mešavina narodakoja je nastala doseljavanjem raznih naroda na veoma privlačno mesto. Sasvimje, takođe, nesporno da su oni stvorili kulturu koja je ostavila kapitalan trag usvetskoj istoriji. Za razliku od egipatske, epicentar države u Mesopotamiji sestalno pomerao po Međurečju6.
Međurečje je kolevka ljudske civilizacije. Naime, na toj teritoriji su setokom četvrtog milenijuma pre naše ere prvi put odigrali događaji koji su sekasnije, sa skoro matematičkom pravilnošću, ponavljali u svim ranije pomenutimpoljoprivrednim civilizacijama.Sredinom 19. veka počinju arheološka istraživanjaMesopotamije i iskopavanja otkrivaju da se tokom deset hiljada god. p.n.e. natom tlu odvijala veoma živa aktivnost. Prva naselja koja su iskopali arheolozidatiraju još u 10.000. godinu p.n.e. Povoljne geografske i klimatske okolnosti suomogućile stanovništvu da još tada migrira iz nomadskog načina života upoljoprivredni. Očigledno je cvetala i trgovina jer grobni prilozi u nekropolamapokazuju raznovrsnost predmeta iz najrazličitijih krajeva tada dostupnog sveta.Dva epohalna događaja za razvoj svetske civilizacije desila su se takođe na tlulMesopotamije, u relativno kratkom razmaku: nastanak gradova. Oko 4.000 god.p.n.e. I pronalazak pisma, oko 3.000 god.p.n.e.Oba događaja su se odigrala napodručju južne Mesopotamije, na teritoriji koju su naseljavali Sumeri – prvi narodčije ime je do nas doprlo iz dubina prošlosti. Relativno jeftin i lako dostupanmedijum kakav je glina omogućio je Sumerima da urezivanjem tragova navlažnim glinenim tablicama, koje su se potom sušile na suncu, stvore prvopismo. Kako ti zarezi podsećaju na crtež klina, stvoreno je i pomenuto ime zapismo – klinasto pismo. Ovo pismo je bilo, u neku ruku, ćorsokak jer su sefeničko i njegova nasledna pisma razvili iz egipatskih hijeroglifa, ali je osnovanopredpostaviti da je mesopotamski model poslužio stvaraocima feničkog pismakao uzor.
_________
6 Što je sjajan starinski prevod srpskih istoričara za Mesopotamiju – danas, nažalost, skorovan upotrebe.
10
Obimnija istraživanja Mesopotamije, a naročito pisanih tragova koje suostavili nosioci tamošnjih država i kultura, počela su tek između dva svetska rata,tako da je naša novija slika još uvek nepotpuna ali jasno pokazuje mnogodinamičniji kulturni prostor i mnogo značajnija dostignuća nego ona koja semogu pronaći u Egiptu, koji je sve do početka 20. veka smatran kolevkomsvetske civilizacije.
Najstariji zapisi na glinenim tablicama su inventari bogova i kraljeva, kao ibeleške o jednostavnim trgovačkim transakcijama. Kako vreme odmiče, na njimase nalaze sve složeniji tekstovi: rečnici, gramatički priručnici, religiozni i naučni iknjiževni radovi. Mnoge tablice beleže trijumfe vladara.Tako, na nekima od njihnalazimo zapise o Sargonu, vladaru grada Akada, koji je osvajanjima sve doobala Mediterana stvorio prvo u istoriji zabeleženo carstvo.
U odnosu na Egipat, mesopotamski prostor je bio izložen brzoj sukcesijidoseljavanja novih naroda, novih država, njihovih sedišta i vladara. PosleSumera sledi period Akađana, koji su dobili ime po Sargonovom sedištu. Zatimse prostor deli na više sedišta u gradovima poput Ura, Isina, Larse i svimapoznatog Vavilona, koji je i dao ime južnom delu Mesopotamije. Vladari poputHamurabija (1792 – 1750 p.n.e.) ostavili su prve pisane zakone, a drugi, kaoNabukodonosor (605 – 561 p.n.e.) poznati su kao osvajači Izraela.
Očigledno, ovaj prostor je karakterisala politička, kulturna i poljoprivrednadinamičnost.
Matematika zabeležena na glinenim tablicama pokazuje upadljivo viši nivood egipatske iz tog perioda. Takođe, za razliku od Egipta, u posedu smo velikogbroja matematičkih zapisa iz skoro svih oblasti Mesopotamije i iz gotovo svihepoha. Postoje zapisi iz sumerskog perioda (treći milenijum p.n.e.), iz akadskog istarovavilonskog (drugi milenijum p.n.e.), iz perioda asirskih carstava (početakprvog milenijuma p.n.e.), kao I iz perioda persijske vladavine (od 6. do 4. vekap.n.e.) i, konačno, grčke vladavine (od 3. veka p.n.e. do 1. veka p.n.e.).
Opet, za razliku od Egipćana, pisari i drugi činovnici administrativnogaparata još u vreme Starog vavilonskog carstva (prva polovina drugogmilenijuma p.n.e.) otišli su bitno ispred neposrednih izazova svojih oficijelnihračunovodstvenih dužnosti. Na primer, zahvaljujući elastičnom numeričkomsistemu, koji je kao i savremeni evropski bio pozicioni, oni su razvili složenemetode računanja. Umeli su da rešavaju linearne i kvadratne jednačine iprobleme na način sličan onome koji se koristi u srednjoskolskoj algebri. Njihovaveština u baratanju onim što se danas naziva Pitagorinim trojkama brojevaznačajan je uspeh u teoriji brojeva.
11
Pisari koji su načinili ovakva otkrića svakako su bili ubeđeni da jematematika vredna izučavanja sama po sebi, a ne samo kao praktičan alat.
U Mesopotamiji je, kao što smo već pomenuli, razvijen šezdesetičninumerički sistem, koji je u mnogim aspektima napredniji od našeg desetičnog,zasnovanog na osnovi 10. Jer, 10 ima samo dva prava delitelja – 2 i 5 – a 60 čakdeset – 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30 – te zato mnogo više brojeva imakonačnu reprezentaciju nego u desetičnom sistemu a, osim toga, umesto 10imamo 60 cifara za zapisivanje brojeva. Tačnije – 59, jer u Mesopotamiji nisuznali za nulu sve do 3. veka p.n.e. kada je uveden simbol za upražnjeno mesto uzapisu broja ali je i danas njegova funkcija ostala nejasna.
Uvedena je podela dana na 24 sata, a sata na 60 minuta i minuta na 60sekundi. Ova podela je, kao što vidimo, preživela 4.0007 godina do savremeneepohe i predstavlja vertovatno najstarije astronomsko – matematičko znanje kojekoristimo. Ta podela je očigledno odgovarala njihovom brojevnom sistemu jer udesetičnom, 2 x 20 min je 2.3333…sata a u šezdesetičnom je, prirodno, 2,20.
Uočivši da važi:
ab = ab 2−a2−b2 2
ab = ab 2
4 a /b 2
4
Vavilonjani su množenje sveli na sabiranje i množenje potumih kvadratabrojeva. Pronađene su tablice još iz 2000. god. p.n.e. koje sadrže kvadratebrojeva od 1 do 59 (to su sve “cifre” u šezdesetičnom sistemu).
Nešto složenije je bilo s deljenjem. Vavilonjani nisu imali postupak zaduga deljenja, a deljlenje su svodili na množenje prema formuli:
__________
7 Možda čak i svih 5.000 godina.
12
Da bi se ova formula koristila, potrebne su tablice recipročnih vrednosti,odnosno tablice razlomaka sa jediničnim brojiocem. Vavilonjani su razviliogroman sistem ovakvih tablica. Arheolozisu u posedu tablica sa recipročnimvrednostima brojeva sve do nekolikomilijardi!
Jedan od glavnih hendikepavavilonske numeričke matematike bilo jedugotrajno odsustvo nule, kako smonaglasili, sve do 3. veka p.n.e. Tako je npr.oznaka za 1 bila dvosmislena. Da li je onaoznačavala 1 ili 10, što u sistemu saosnovom 60 znači 601, ili čak 100, što usistemu sa osnovom 60 znači 602 = 3.600,bilo je nejasno i moglo se odgonetnuti samo iz konteksta, ako ga je bilo.
Zanimljivo je da su se Vavilonjani mirili s ovim hendikepom ostavljajućiveoma složena računanja dvosmislenim, što svedoči da je prihvatanje nule bilone samo matematičko nego i filozofsko, možda i religijsko pitanje, koje se nijemoglo rešiti “iznutra” u matematici, već je zahtevalo posredovanje “viših sila”.
Inače, Vavilonjani su znali za Pitagorinu teoremu. Razume se, kod njihnigde nema ni pomena o dokazu Pitagorine teoreme, ali jedna glinena tablicadatirana između 1900. i 1600. god. p.n.e. daje tabelu Pitagorinih trojki celihbrojeva a, b, c, tj. Brojeva koji zadovoljavaju formulu:
a2 + b2 = c2
Sa pravom se pretpostavlja da su ovakve tablice služile za rešavanjepravouglog trougla, odnosno za izračunavanje jedne od kateta ili hipotenuze akosu date druga kateta i hipotenuza ili obe katete. Ova tablica se smatra prvim uistoriji dokumentom iz teorije brojeva.
Jedna, nešto kasnije, tablica sadrži u sebi i rešavanje matematičkogzadatka koji se očigledno svodi na upotrebu Pitagorine teoreme. Tekst zadatkana tablici koja se čuva u Britanskom muzeju glasi:
4 je dužina a 5 je dijagonala. Kolika je širina? Nju ne znamo (ona jenepoznata).4 puta 4 je 16. 5 puta 5 je 25. Ako oduzmeš 16 od 25, ostaće 9.Koliko treba da uzmeš da bi ga pomnoživši dobio 9? 3 puta 3 je 9. 3 je širina.
13
Na tablici koja se danas čuva u Berlinu, a pronađena je u vavilonskomsloju mesopotamske civilizacije, dijagonala pravougaonika sa stranicama od 40 i10 izračunava se kao 40+102/(2x40). Očigledno, pisar je poznavao veoma
efektno pravilo za aproksimativno izračunavanje a2b2 kao i a+ b2
2 a. Isto
pravilo će biti korišćeno mnogo puta kasnije u grčkim spisima.
I prvi i drugi primer ilustruju veoma dobro poznavanje geometrije, i što jejoš interesantnije, izrazito aritmetički pristup ovoj matematičkoj disciplini.
Možda se najspektakularniji primer spoja visoke numeričke tehnike ipoznavanja geometrije nalazi na tablici koja se čuva u kolekciji univerziteta Jejl(Yale).
Na njoj je prikazan kvadrat sa ucrtanim dijagonalama. Ispod jedne odstrana piše “30” a ispod druge “42 25 35”. Duž te iste dijagonale piše “1 24 5110”. Preciznije, pošto su Mesopotamci pisali u šezdesetičnom sistemu, ne stoje tidecimalni brojevi, već odgovarajuće oznake na klinastom pismu za odgovarajuće
šezdesetične cifre. To znači da duž dijagonale stoji broj 1+2460
+51
602 +10
603 , što
je priblizno 1, 414213… i razlikuje se od 2 tek na sedmom decimalnom mestu!Izgleda da je pisar poznavao čuveni a i danas standardni metod zaizračunavanje kvadratnog korena “cifru po cifru”. Drugi navedeni broj (“42 25 35”)proizvod je ovako izračunate priblizne vrednosti 2 sa 30, odnosno predstavljadužinu dijagonale kvadrata čija je stranica 30. Dodatni element matematičkeprefinjenosti unosi okolnost da je za dužinu stranice namerno odabran broj 30
(što je u šezdesetičnom sistemu 12
) jer je tada dužina dijagonale recipročna
vrednost 2 (pošto je 2 /2=1/ 2 ), što znatno olakšava postupakizračunavanja.
Jedna vrsta matematičkih problema često se pojavljuje na raznimtablicama. Ona se sastoji u određivanju osnovice b i visine x trougla ako su datinjihov zbir i proizvod. Kako je (b–h)2 + (b+h)2 4bh, to se, najčešće iz tablicavrednosti, nalazi i njihova razlika. Ako su poznati zbir i razlika, onda je, zbog 2b =(b + h) + (b – h) I 2h = (b + h) – (b – h), lako odrediti osnovicu i visinu. Ovajpostupak je u osnovi ekvivalentan sa standardnim postupkom rešavanjakvadratne jednačine sa jednom nepoznatom.
Jasno je da se ovde srećemo sa jednim od prvih pojavljivanja algebre.Međutim, postoji jedna značajna razlika. Naime, mesopotamskim
14
matematičarima je nedostajala algebarska simbolika. Iako je sasvim jasno da suoni bili svesni da se radi o opštevažećim postupcima, uvek su ih prikazivali krozpartikularne slučajeve pošto nisu raspolagali sredstvima da zapišu ili izrazeformule jednakosti. Kao posledicu toga, oni nisu imali sredstva za predstavljanjeopštih izvođenja ili dokaza.Nije, međutim, zgoreg napomenuti da ove njihoveprocedure neodoljivo podsećaju na prve algoritme, što u svetlosti najnovijeekspanzije kompjutera i programiranja dobija na značaju i potvrđuje da jesklonost ka algoritmu imanentna ljudskom umu.Osim ovih striktno matematičkihrezultata Vavilonjani, koji su kao i sve predgrčke civilizacije matematiku shvatalikao praktičnu veštinu, imali su i veoma značajna znanja iz astronomije.Generacije i generacije vavilonskih astronoma, uglavnom iz redova sveštenika,osmatrale su nebo i beležile rezultate svojih osmatranja. Ovi rezultati, iako neusko matematički po svojoj prirodi, poslužili su Grcima, kada su pod vođstvomAleksandra Makedonskog, krajem 4. veka p.n.e. osvojili Vavilon, da dođu doprvih pouzdanih astronomskih podataka koje sami nisu posedovali, niti su se zanjih u početku interesovali.Način beleženja i korišćenja ovih astronomskihrezultata bio je, međutim, veoma značajan za razvoj matematike. Naime, uVavilonu ostatak Mesopotamije kao i ranija carstva na njenoj teritoriji nisuostavili pomena vredne podatke o svojoj astronomiji – sveštenstvo je razvilovisok osmatrački nivo. Kako se radilo o poljoprivrednoj civilizaciji, normalno jepretpostaviti da su astronomska osmatranja korišćena u svrhu sastavljanjapreciznih kalendara i predviđanja periodičnih plavljenja Tigra i Eufrata od kojih suključno zavisile žetve. Međutim, čak i da je tako, mi o tome nemamo nikakvihpodataka. Naprotiv, ispostavlja se da je najveći deo astronomskih posmatranjaizvođen radi predviđanja samih astronomskih pojava kao što su pomračenjaSunca i Meseca, konjukcije planeta (postavljanje na istu liniju gledanja saZemljom jedne planete ili više planeta), stacionarnih tačaka, pozicija prve iposlednje vidljivosti i sličnih kritičnih tačaka vidljivih tela našeg Sunčevogsistema.Očigledno je, dakle, da su sveštenici ovako obimna osmatranjasprovodili pre svega u religiozne i kultne svrhe. Verovatno je da im je poznavanjeovakvih pojava omogućavalo i ostavljanje snažnog utiska na njihove vladare, ali iniže slojeve stanovništva. Nije nepoznato da su pojave poput pomračenja Suncau to vreme odlučivale bitke i rušile carstva. Onaj ko je mogao da ih predvidisigurno je raspolagao velikom političkom moći8.
__________
8 Valja se, međutim, pomiriti sa činjenicom da je predviđanje pomračenja Sunca ili Mesecasve jedno) veoma složen astronomski zadatak koji zahteva ne samo razvijen matematički aparatnego, pre svega, precizna osmatranja i poznavanje putanja nebeskih tela sa velikom, za tu epohunedostižnom, preciznošću. S toga je verovatno da su vavilonski astronomi predviđali znatno lakšeizračunljive astronomske pojave (pojavljivanje određenog nebeskog tela na nebu u predviđenovreme), što je bilo sasvim dovoljno za fasciniranje laika.
15
Stotine, a prema nekim nepotvrđenim izvorima, i hiljade godina ovakvihosmatranja stvorile su ogromnu bazu podataka. Uporedo sa time, samo uređenjeposmatranja dalo je veliki doprinos matematici. Vavilonski astronomi su razvilisferni koordinatni sistem, praktično isti kakav je u upotrebi9 u savremenojastronomiji. Osnovni krug nebeske sfere činila je prividna putanja Sunca tokomgodine. Kako je položaj svakog nebeskog tela određen “geografskom” širinom idužinom u odnosu na taj krug, koordinate tela tokom vremena su beležene učitave biblioteke glinenih tablica. iako je beleženje čisto aritmetički posao, sametablice se mogu shvatiti, ako se položaji zapisuju dovoljno dugo, kao prve tablicesinusoida. Razvoj trigonometrije i odgovarajućih matematičkih veština povezanihsa njom, u kasnijem helenističkom periodu, skoro je u potpunosti pokrenutzahvaljujući vavilonskim astronomskim osmatranjima.Za razliku od matematičkihveština, koje nam se prema dostupnim podacima čine kao visokorazvijene još uHamurabijevo vreme a zatim nepromenljive, astronomija se u Mesopotamijirazvijala sve do samog kraja samostalnosti ovog područja, do epohe AleksandraMakedonskog. To je sasvim prirodno pošto su pedantna osmatranja u vekovnimvremenskim intervalima neophodna da bi se odredile karakteristike putanjaplaneta, kao što su periode, maksimalna ugaona odstupanja od Sunca i slično.O dostignućima vavilonskih astronoma Grci su čuli i pre epohe Aleksandrovogosvajanja.Još jedan istorijski kuriozitet povezan je sa vavilonskom astronomijom.To je podela ekliptike – prividne godišnje putanje Sunca oko Zemlje – na 12sazvežđa, koja približno odgovaraju segmentu koji Sunce na nebu pređe tokomjednog meseca. Kako je većina naziva odgovarala imenima stvarnih ili mitskihživotinja, nastao je i naziv – koji su Grci nadenuli kada su ovladaliMesopotamijom – Zodijak ili srpski, “Zverinjak”.
Činjenica je, međutim, da se ni u jednom vavilonskom dokumentu nepominje dokaz kao matematički pojam, niti se , bar posredno, u nagoveštajimamože i posumnjati da su ikada osetili potrebu da štogod dokazu, odnosno usavremenom “grčkom”, smislu tog pojma, nešto izvedu, dedukuju iz pretpostavki.
Ipak je korpus matematičkih i astronomskih znanja koja su nam ostaviliVavilonjani, a koja se i danas prepoznaju u našem intelektualnom nasleđu,impresivan. Tome valja dodati da je niz značajnih grčkih intelektualaca – međunjima je bio i sam Tales – u 6. i 5. veku p.n.e., u vreme kada se rađala grčkamatematika, svoja osnovna matematička znanja donosio upravo sa putovanja uVavilon.
Danas, kada isključivo na Grke gledamo kao na svoje intelektualneroditelje, ova okolnost se često zanemaruje, ali mnogi kompetentni i ugledniistoričari matematike veruju da je uticaj Vavilonjana na Grke bio mnogo većinego što se to danas zna, pa čak i pretpostavlja.
16
MATEMATIKA EGIPTA
Druga značajna predgrčka civilizacija tog regiona – Egipat – bila je sličnadržavama Mesopotamije, pre svega po državnom ustrojstvu koje je počivalo naautokratskim vladarima i ogromnim masama robova i poljoprivrednika koje suvladari kontrolisali preko sveštenstva i državnog aparata. Sticaj istorijskihmogućnosti, međutim, odredio je Egipat kao stabilnu, skoro okamenjenusocijalnu i državnu strukturu koja se u manje – više nepromenjenom oblikuodržavala vekovima. Od početka trećeg milenijuma pre naše ere pa sve do 46.god. p.n.e., kada Gaj Julije Cezar, diktator još uvek republikanskog Rima,definitivno osvaja Egipat i stavlja ga pod kontrolu Ruske imperije, dakle skoročitava tri milenijuma, za spoljnog posmatrača Egipat izgleda nepromenjeno. Tosvakako nije do kraja tačno i podrobnija arheološka istraživanja pokazala su dase Egipat do otprilike početka drugog milenijuma pre naše ere i razvijao i menjaoi trpeo spoljne uticaje da bi se zatim učaurio i okamenio.
Za razliku od Mesopotamije, gde je teško nabrojati čak i imena državnika iprestonica koje su se smenjivale na prostoru Međurečja, Egipat karakterisu jakacentralna vlast, nasledni vladari, koje su nazivali faraonima, i dinastije koje sesmenjuju u beskrajnoj sukcesiji. Sedište države se uvek nalazilo u donjem tokuNila, na prostoru između Kaira i Aleksandrije, iako je država pulsirala osvajajući igubeći okolne teritorije.
Glavni centri učenosti su u Egiptu bili među sveštenstvom, ali i to je jošjedna razlika u odnosu na Mesopotamiju, nema podataka, ili bar do nas nisudoprli, o stepenu učenosti državnih činovnika.
Matematika Egipta se značajno razlikovala od mesopotamske, iako je kaoi ona bila pre svega okrenuta praktičnim pitanjima državne uprave ipoljoprivrede. Osnovna razlika je što kod egipatskih matematičkih zapisa veomaretko ili nikako ne uočavamo ono interesovanje za matematička pitanja sama posebi kakva nalazimo u Mesopotamiji.
Kao i za Vavilonjane, tako i za Egipćane matematika je bila praktičnaempirijska disciplina, nešto poput eksperimentalne prirodne nauke čija su seznanja otkrivala, beležila i koristila ali bez pokušaja i bez svesti da matematičkaznanja na bilo koji način iziskuju dokaz.
U odnosu na mesopotamsku matematiku egipetska je imala dvahendikepa – oba, u suštini, iste prirode. Prvi je okolnost da su umesto linearnog,fonetskog pisma, Egipćani koristili piktografsko, hijeroglifsko, koje je, po prirodi
17
svoje strukture, lekarskim rečnikom rečeno, bilo “kontraindikovano” za upotrebuu matematici jer je bilo više asocijativno, metaforično nego neposredno ukonotacijama. iz pisma je proistekao i drugi hendikep, a to je veoma nespretansistem numeracije, označavanja brojeva. Za razliku od Vavilonjana, koji su imalipozicioni sistem, istina bez nule, Egipćani su imali aditivni sistem sličan onomekoji danas nazivamo “rimskim brojevima”. Stoga su postupci za raznematematičke operacije bili veoma složeni.
U odnosu na Vavilonjane, međutim, Egipćani su imali znatno savršenijutehnologiju pisanja. Za medijum na kome su pisali koristili su papirus, nazvanpo biljci od koje se pravio. Papirusi – od njih je i nastalo savremeno ime za papir– bili su listovi dobijeni valjanjem u vodi raskvašenih stabljika biljke papirus, kojesu veoma bogate celulozom. Jedina razlika u odnosu na savremeni pristup je štoEgipćani nisu koristili listove povezane u knjige nego su papirus savijali u svitke– smotuljke duge i po nekoliko metara. U osnovi, sve do današnjih danatehnologija proizvodnje papira se nije promenila i papir je, uz točak, i naravnovatru, jedno od najstarijih tehnoloških dostignuća koje se i danas koristi.
Egipat je prva civilizacija koja nam je ostavila i ime jednog “matematičara”.Znači navoda stoje zato što je Ahmes – kako glasi njegovo ime – zapravo biopisar koji je na marginama jednog papirusa koji sadrži zbirku matematičkihzadataka ostavio podatke o sebi, jasno naglašavajući da on samo prepisujejedan papirus star, u tom trenutku, 200 godina.
Ovaj papirus se naziva Rajndov papirus po imenu škotskog egiptologaHenrija Rajnda (Henry Rhind), koji ga je otkupio od egipatskih seljaka, slučajnihnalazača, negde u okolini Luksora 1858. god. Rajndov papirus je oko 6 m dug i30 cm širok, i stručnjaci ga datiraju u 1650. god. p.n.e., što znači da izvornidokument, koji je Ahmes prepisao, potiče iz 1850. god. p.n.e.
18
Rajndov papirus je 1863. god.predat Britanskom muzeju ipredstavlja glavni izvor podataka oegoipatskim numeričkimmatematičkim znanjima. Rajnd, upredgovoru knjizi u kojoj opisujesvoje otkriće, pompezno ipretenciozno ovaj papirus opisujekao “detaljnu studiju o svim stvarima,uvid u sve što postoji, znanje o svimopskurnim tajnama”. Na njegovužalost, a na sreću istoričaramatematike, ispostavilo se da je tozapravo uputstvo zaadministratiranje jednogpoljoprivrednog društva ili,savremenim rečnikom, priručnik izprimenjene matematike. Uz, neštostariji, Moskovski papirus (oko 1850.god. p.n.e.), koji se ponekad, pogrofu Goleničevu koji ga je otkupio i doneo u Moskvu, naziva i Goleničevljevpapirus, i koji se čuva u Moskvi, Rajndov papirus je praktično i jedini izvor jer su,za razliku od Vavilonjana, Egipćani ostavili mnogo manje podataka o svojojmatematici.
Iz Rajndovog papirusasaznajemo kako su Egipćani,recimo, množili. Aditivni“rimski” sistem im je stvaraovelike komplikacije te semnoženje svodilo nasabiranje. Evo primera.
Recimo da želimo da pomnožimo 41 i 59. Uzmimo 59 i saberimo ga sasamim sobom. Dobijeni rezultat ponovo sabereno sa samim sobom i takoformiramo sledeću tablicu.
19
Iako veoma složen, ovaj postupak je, u stvari, prvi primer primenebinarnog sistema u istorijimatematike.
Egipatska matematikaje, čini se, bila uočljivo slabijerazvijena od vavilonske. To je,naravno, naše sadašnjeubeđenje, jer je na primer,istoričar matematikepočetkom 20. veka imao sasvim obrnut utisak jer je na raspolaganju imao obiljeegipatskog materijala i malo ili ni malo mesopotamskog, koji, kako smo naglasili,počinje da biva dostupan u većem obimu tek između dva svetska rata kadaobimna arheološka istraživanja iznose na svetlost dana brojne glinene tablice.Dodatno, utisak o inferiornosti egipatske u odnosu na mesopotamskumatematiku pojačava okolnost da se u egipatskoj nikada ne pojavljuje želja ilipotreba da se iz sfere praktične matematike iskorači u rešavanje bilo kakvogmatematičkog problema ili zadatka. S druge strane, u vavilonskoj postoji obiljeprimera radoznalosti i inicijative onih koji matematičke rezultate zapisuju daistovremeno ostave za sobom kakav zanimljiv zadatak ili problem.
Istina, sadašnji nedostatak ili nestanak pojedinih egipatskih zapisa možebiti uzrok našeg novog utiska, ali što je najvažnije, i o tome nema spora, uticajegipatske matematike na Grke je bio slabiji od uticaja vavilonske matematike.Grčki zapisi o njihovim putnicima svedoče na više mesta da oni sa putovanjadonose mnoga vavilonska matematička znanja, dok se Egipat znatno ređepominje. Očigledno, Egipat je za Grke bio uzor u mnogim drugim oblastima, aliveoma malo u matematici. ipak, desetični brojevni sistem je zasigurno došao izEgipta, a mora da je biklo i nezabeleženih znanja prenetih do Grka u lađamagrčkih trgovaca.Takvo je bilo stanje u matematici dveju najvećih i najmoćnijihdržava Mediterana9 na ulasku u drugu polovinu drugog milenijuma p.n.e., utrenucima kada se priprema izlazak Grka na svetsku pozornicu.
________
9 Čitalac će primetiti da se pojmovi “mesopotamska” i “vavilonska” matematika čestoprepliću i mešaju. Vavilonija jeste bio naziv jedne od država Mesopotamije i najveći obiminformacija o matematici sa tog tla je došao preko njega. U zapadnoj matematičkoj istoriografskojliteraturi je stoga postao standard da se govori o “vavilonskoj” matematici. Držim, međutim, da jekorektnije da se zbog obilja država i kultura govori o “mesopotamskoj” stoga što je vavilonska umnogim slučajevima bila samo mehanizam za transfer.
20
LITERATURA
Milan Božić Pregled istorije i filozofije matematikeStefan Barker Filozofija matematike Dirk Strojk Kratak pregled istorije matematikeMiodrag Petković Ljiljana Petković Matematički vremeplov
21
SADRŽAJ:
1. PRAISTORIJA MATEMATIKE....................................................................22. MATEMATIKA MESOPOTAMIJE.............................................................103. MATEMATIKA
EGIPTA............................................................................. 17
22