Embed Size (px)
Citation preview
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť
Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8,
Rožňava
MATEMATIKA
PRACOVNÝ ZOŠIT – Analytická geometria v rovine
III. ROČNÍK
Mgr. Agnesa Balážová
Strana 2 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 1
V rovine sú dané body A, B, C, D, E, F. Zapíš ich súradnice a vypočítaj
vzdialenosti bodov |AB|,| CD|,| EF|,| BD|.
A[ ], B[ ], C[ ], D[ ], E[ ], F[ ]
|AB| =
| CD| =
| EF| =
| BD|=
Vzdialenosť bodu D od začiatku súradnicovej sústavy je ..............
Strana 3 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 2
Dané sú úsečky AB, CD, EF, GH. Vypočítaj ich dĺžku. Súradnice
ich stredov urč z obrázka aj výpočtom.
A[ ], B[ ], C[ ], D[ ], E[ ], F[ ], G[ ], H[ ]
|AB| = S1[ ]
|CD| = S2[ ]
|EF| = S3[ ]
|GH| = S4[ ]
Strana 4 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 3
Označ vrcholy daných trojuholníkov, urč ich súradnice , vypočítaj
dĺžky strán trojuholníkov a rozhodni, o aký trojuholník ide.
Dĺžky strán trojuholníka sú ........., .........., ........,
trojuholník je ...................................
Dĺžky strán trojuholníka sú ........., .........., ........,
trojuholník je ...................................
Dĺžky strán trojuholníka sú ........., .........., ........,
trojuholník je ...................................
Dĺžky strán trojuholníka sú ........., .........., ........,
trojuholník je ...................................
Strana 5 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 4
V danom päťuholníku urč súradnice stredov strán a vypočítaj dĺžky
vyznačených úsečiek, ktoré spájajú stredy strán.
S1[ ], S2[ ], S3[ ], S4[ ], S5[ ]
|S1S3| =
|S2S4| =
|S3S5| =
|S2S5| =
|S1S4| =
Strana 6 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 5
V danom trojuholníku ABC vypočítaj dĺžky strán a ťažníc.
Vypočítaj súradnice ťažiska T
|AB| =
|AC| =
|BC| =
|ta| =
|tb| =
|tc| = T [ ]
Strana 7 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 6
Vypočítaj súradnice a veľkosť vektorov u, v, w, z . Súradnice bodov
A,B,C,D,E,F,G,H urč z obrázka. Zisti, ktoré vektory sú rovnobežné
a ktoré kolmé.
u=[ ], v=[ ], w=[ ], z=[ ],
|u| = |v| =
|w| = |z| =
rovnobežné vektory ...........................................
kolmé vektory ...................................................
Strana 8 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 7
Dané sú súradnice vektorov u=[ 5; 1 ], a v=[2; -2].
Vypočítaj :
u + v =
u – v =
u . v =
2u = 2v =
-3u = -3v =
|u| =
|v| =
uhol, ktorý zvierajú vektory u, v
α =
Strana 9 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 8
V danom trojuholníku ABC, DEF vypočítaj veľkosti uhlov.
Trojuholnik ABC
α= β= γ=
Trojuholník DEF
α= β= γ=
Strana 10 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 9
Daný je trojuholník ABC A[-3 ; 2], B[1; -2 ], C[ 4; 1],
Načrtni trojuholník a vypočítaj:
obvod
o =
obsah
S =
dĺžky ťažníc
|ta| =
|tb| =
|tc| =
veľkosť uhlov
α= β= γ=
Strana 11 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 10
1. Napíš parametrické rovnice priamky p, ktorá prechádza bodom
A[-1 ; 2] a jej smerový vektor je s=[ -3; 1 ]
p: 2. Napíš parametrické rovnice priamky p, ktorá prechádza bodmi
A[-1 ; -4] B[1 ; 3]
p: 3. Ktorý z vektorov a=[ -3; -1 ], b=[ -5; -5 ], c=[ 0; -3 ], d=[ 2; 2 ] je smerovým
vektorom priamky danej parametrickými rovnicami x = -3, y = -3t ?
..................................................................
4. Zisti, či body A[7 ; -3] B[3 ; 0], C[18 ; -5], D[-1 ; -14] ležia na priamke
p: x = 3t, y = 1 – t
bod A.............................
bod B .............................
bod C .............................
bod D .............................
Strana 12 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 11
Napíš parametrické rovnice priamok, na ktorých ležia strany a
uhlopriečky štvoruholníka ABCD
súradnice vrcholov:
a: b: c:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
d: u: v:
Strana 13 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 12
Napíš parametrické rovnice priamok, na ktorých ležia strany a
ťažnice trojuholníka ABC
súradnice vrcholov:
a: b: c:
ta: tb: tc:
Strana 14 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 13
1.Napíš všeobecnú rovnicu priamky p, ktorá prechádza bodom
A[1 ;- 2] a jej normálový vektor je n =[ 3; 1 ]
n A
p
p:
2.Napíš všeobecnú rovnicu priamky p, ktorá prechádza bodmi
A[1 ; -4] B[-1 ; 1] B
A
p:
3. Ktorý z vektorov a=[ -3; -1 ], b=[ -5; -5 ], c=[ 0; -3 ], d=[ 2; 2]
je normálovým vektorom priamky danej všeobecnou rovnicou
2x + 2y – 1 = 0 ?
..........................................................................
4. Zisti, či body A[7 ; -3] B[3 ; 0], C[18 ; -5], D[-1 ; -14] ležia na priamke
p: x + 2y – 8 = 0
bod A.............................
bod B .............................
bod C .............................
bod D .............................
Strana 15 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 14
Z rovníc priamok vypíš daný vektor a urč k nemu kolmý vektor:
a: x = 1 -2t
y = 3t .........................................................................
b: x -3y + 5 = 0 ...................................................................
c: x = -t
y = 5t ............................................................................
d: -x + 2y = 0 ............................................................................
e: x = 3
y = 4t ................................................................................
f: y + 6 = 0 ...................................................................................
g: x = -5t
y = 8 ..............................................................................
h: x + 3 = 0 ................................................................................
Strana 16 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 15
Uprav dané parametrické rovnice priamok na všeobené rovnice
( vylúčením parametra t):
a: x = 3 -2t b: x = 1 + 4t
y = 1 + 4t y = -2 –t
c: x = 3 + t d: x = 1 + 2t
y = 1 + t y = -6 + 7t
e: x = -2 – 5t f: x = -4t
y = 2 – 2t y = -t
Strana 17 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 16
Napíš všeobecné rovnice priamok, na ktorých ležia strany
trojuholníka ABC
súradnice vrcholov:
smerové vektory:
normálové vektory:
rovnice strán
a: b: c:
Strana 18 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 17
Napíš všeobecné rovnice priamok, na ktorých ležia ťažnice
trojuholníka ABC
súradnice vrcholov :
súradnice stredov strán:
ta: tb: tc:
Strana 19 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 18
Prepísaním danej všeobecnej rovnice priamky na smernicový tvar urč smernicu k a úsek q. a: 3x – y - 2 = 0 k = q =
b: 2y – 4x + 1 = 0 k = q =
c: x + 4y – 2 = 0 k = q =
d: x – y – 3 = 0 k = q =
e: 5x + 2y = 0 k = q =
Strana 20 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 19
Napíš vo všetkých tvaroch rovnice priamok na ktorých ležia strany trojuholníka ABC, A[-1 ; -4] B[7 ; 2], C[1 ; 6] a: C parametrické A všeobecná B smernicový tvar b: parametrické všeobecná smernicový tvar c: parametrické všeobecná smernicový tvar
Strana 21 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 20
Napíš vo všetkých tvaroch rovnice priamok na ktorých ležia ťažnice trojuholníka ABC, A[-1 ; -4] B[7 ; 2], C[1 ; 6] ta: parametrické všeobecná smernicový tvar tb: parametrické všeobecná smernicový tvar tc: parametrické všeobecná smernicový tvar
Strana 22 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 21
Zisti vzájomnú polohu priamok: a: x – 2y +2 = 0 b: x + 2y – 1 = 0 priamky a,b sú ............................................. a: x – 2y + 2 = 0 c: x = -1 + 4t y = -1 + 2t priamky a,c sú .................................................. b: x = 1 – 2t d: x = -3 + 8t y = t y = 2 – 4t priamky b,d sú ..........................................................
Strana 23 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 22
1. Nájdi súradnice vrcholov trojuholníka ABC, ktorého strany ležia na priamkach: a: x – y – 2 = 0, b: 6x – y – 22 = 0, c: x = 1+ 2t y = -6 + 7t A[ ], B[ ], C[ ] 2.Dokáž, že priamky dané rovnicami x + 2y + 7 = 0, 11x – 2y + 13 = 0, 6x – 3y + 2 = 0 sa pretínajú v jednom bode P[ ]
Strana 24 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 23
Zisti, ktoré priamky sú rovnobežné a ktoré kolmé (zdôvodni): a: 2x -3y +5 =0, b: -4x + 6y -2 = 0 priamky a,b sú .................................................................... c: x – 4y + 2 = 0, d: 4x + y – 2 = 0 priamky c,d sú .................................................................... e: x = 1 – 5t f: 5x – y + 4 = 0 y = 2 + t priamky e, f sú .................................................................. 1. Napíš všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá prechádza bodom A*2;1+ a s priamkou p: x + 2y -3 = 0 je rovnobežná. q: 2. Napíš všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá prechádza bodom A*2;1+ a na priamku p: x + 2y -3 = 0 je kolmá. q:
Strana 25 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 24
1. Napíš všeobecnú rovnicu priamky b, ktorá precházda bodom C a s priamkou a je rovnobežná. 2. Napíš všeobecnú rovnicu priamky c, ktorá prechádza bodom C a na priamku a je kolmá. Údaje potrebné pre výpočet vyčítaj z obrázka. Úlohy rieš osobitne pre obidva obrázky.
obr. 1
obr. 2
Strana 26 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 25
Napíš všeobecné rovnice priamok na ktorých ležia výšky trojuholníka ABC. Vypočítaj súradnice ich priesečníka. (Môžeš využiť rovnice strán trojuholníka z pracovného listu 16).
rovnica va:
rovnica vb:
rovnica vc: P[ ]
Strana 27 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 26
Napíš všeobecnú rovnicu priamky d, ktorá prechádza priesečníkom P priamok x-7y+13=0, 7x+y-9=0 a na priamku 3x+4y+2=0 je kolmá.
rovnica priamky d: Napíš všeobecnú rovnicu priamky d, ktorá prechádza priesečníkom P priamok 3x+5y+12=0, 5x+2y-42=0 a s priamkou 2x+5y-14=0 je rovnobežná.
rovnica priamky d:
Strana 28 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 27
Zisti polohu bodu A[-2;1+ (vnútorný bod, vonkajší bod, leží na kružnici) vzhľadom na danú rovnicu kružnice: 1. x2 + y2 = 25
2. x2 + y2 = 5
3. x2 + y2 - 6x – 8y = 0
4. x2 + y2 – 8x – 4y – 5 = 0
5. (x – 3)2 + (y + 5)2 = 20
6. (x + 4)2 + y2 = 8
Strana 29 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 28
Napíš stredový tvar rovnice kružnice k, uprav na všeobecnú rovnicu, ak je dané: 1. S[0;0] , r = 5 2. S[0;0], r = 2,5 3. S*0;0+, prechádza bodom A*1;1+, r =
4. S*0;0+, prechádza bodom A[3;-2], r =
5. S*2;1+, prechádza bodom A*6;-2], r =
6. S[0;-3+, prechádza bodom A*5;1+, r =
Strana 30 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 29
Napíš stredový tvar rovnice kružnice k, uprav na všeobecnú rovnicu, ak je dané: 1. S[-1;2], r = 4
2. S[3;-2], r = 1,5
3. S[-4;0], r = 3
4. priemerom je úsečka AB, A*-1;5], B[3;7], S = , r =
5. priemerom je úsečka AB, A*3;2+, B*1;4+, S = , r =
Strana 31 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 30
Napíš stredový tvar rovnice kružnice k, uprav na všeobecnú rovnicu, ak je dané (overte,či dané tri body určujú kružnicu): 1. kružnica je opísaná trojuholníku ABC, A[-3 ; 2] B[-1 ; 4], C[3 ; 0]
2. kružnica je opísaná trojuholníku ABC, A[-5 ; 0] B[2 ; -1], C[1 ; 2]
3. kružnica prechádza bodmi ABC, A[0 ; 0] B[4 ; 0], C[4 ; 8]
4. kružnica je opísaná trojuholníku ABC, A[1 ; 1] B[3;-3], C[-1;5]
Strana 32 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 31
Napíš stredový tvar rovnice kružnice k, uprav na všeobecnú rovnicu, ak je dané:
1. kružnica prechádza bodmi MN a stred má na osi x M*5;4+, N*7;0+
2. kružnica prechádza bodmi MN a stred má na osi y M[-4;2], N[3;1]
3. kružnica prechádza bodmi MN a stred má na osi x M*3;2+, N*1;-4]
4. kružnica prechádza bodmi MN a stred má na osi y M*3;2+, N*1;-4]
Strana 33 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 32
Zisti, či rovnica je rovnicou kružnice, ak áno, urč stred a polomer:
1. x2 + y2 – 25 = 0 S = r =
2. x2 + y2 – 10 = 0 S = r =
3. x2 + y2 + 81 = 0 S = r =
4. x2 + y2 + 6y = 0 S = r =
5. x2 + y2 – 4x = 0 S = r =
6. x2 + y2 – 10y = 0 S = r =
Strana 34 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 33
Zisti, či rovnica je rovnicou kružnice, ak áno, urč stred a polomer:
1. x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0 S = r =
2. x2 + y2 - 12x – 10y + 36 = 0 S = r =
3. x2 + y2 + 8x – 18y - 67 = 0 S = r =
4. x2 + y2 - 4x + 21 = 0 S = r =
5. x2 + y2 - 7x – 2y + 6 = 0 S = r =
6. x2 + y2 - 4x – 6y - 12 = 0 S = r =
Strana 35 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 34
Pri vzájomnej polohe priamky a kružnice doplň správnu odpoveď:
priamka je .............................
priamka je ................................ priamka je .................................. Ak je priamka sečnica, má s kružnicou ................spoločných bodov (spoločné body) Ak je priamka nesečnica, má s kružnicou ................spoločných bodov (spoločné body) Ak je priamka dotyčnica, má s kružnicou ................spoločný bod (spoločné body)
Strana 36 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 35
Podľa hodnoty diskriminantu doplň vzťah priamky ku kružnici a urč, koľko majú spoločných bodov: 1. D = 20 priamka je ...........................................
spoločné body .................
2. D = 0 priamka je............................................
spoločné body .................
3. D = 5 priamka je ...........................................
spoločné body .................
4. D = -9 priamka je............................................
spoločné body .................
5. D = 16 priamka je.............................................
spoločné body .................
6. D = - 25 priamka je..............................................
spoločné body .................
7. D = 3/5 priamka je..............................................
spoločné body .................
Strana 37 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 36
Zisti vzájomnú polohu priamky a kružnice. V prípade sečnice vypočítaj súradnice priesečníkov a dĺžku tetivy, v prípade dotyčnice vypočítaj súradnice dotykového bodu: 1. k: x2 + y2 = 85
p: y = 2x – 5 priamka je ....................................
2. k: x2 + y2 = 25 p: x = 1 + t y = 1 – t
priamka je ...................................... 3. k: x2 + y2 = 65 p: 2x +3y + 30 = 0
priamka je ...................................... 4. k: x2 + y2 – 9 = 0 p: x = 4
priamka je ......................................
Strana 38 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 37
Zisti vzájomnú polohu priamky a kružnice. V prípade sečnice vypočítaj súradnice priesečníkov a dĺžku tetivy, v prípade dotyčnice vypočítaj súradnice dotykového bodu: 1. k: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 10 p: x – y + 1 = 0
priamka je ...................................... 2. k: x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0 p: x – 2y – 4 = 0
priamka je ...................................... 3. k: x2 + y2 – 2x – 2y - 3 = 0 p: x = -2 + 2t y = -t
priamka je ...................................... 4. k: (x + 2)2 + (y – 2)2 =8 p: x + y = 0
priamka je ......................................
Strana 39 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 38
Urč hodnotu parametra cЄR tak, aby priamka bola dotyčnicou kružnice: 1. k: x2 + y2 – 2 = 0 p: y = x + c 2. k: x2 + y2 + 2x – 1 = 0 p: x = - 1 + t y = c – t 3. k: x2 + y2 = 5 p: x + 2y + c = 0 4. k: x2 + y2 = 4 p: 2x – y + c = 0 5. k: x2 + y2 = 4 p: y = cx + 1
Strana 40 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 39
Napíš rovnicu kružnice opísanej trojuholníku ABC, ktorého strany ležia na priamkach y + 8 = 0, 4x + 3y – 24 = 0, 3x – 4y + 7 = 0. Zisti vzájomnú polohu priamky prechádzajúcej bodmi DE, D*2;-2], E[5;-1] a hľadanej kružnice.
Súradnice vrcholov trojuholníka: Rovnica kružnice: Rovnica priamky: Priamka je ....................................
Strana 41 z 41
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
PRACOVNÝ LIST 40
Urč súradnice vrcholov obdĺžnika vpísaného do kružnice x2 + y2 - 2x – 4y – 20 = 0, ak jedna jeho strana leží na priamke x + 2y = 0.
Vypočítaj obsah kruhu ohraničeného danou kružnicou. Vypočítaj obsah daného obdĺžnika. Zisti, koľkokrát je obsah kruhu väčší ako obsah obdĺžnika. Vypočítaj, koľko percent tvorí obsah obdĺžnika z obsahu kružnice.
