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maTematikamoswavlis wigni
nana jafariZe maia wilosani nani wulaia
10
s a r C e v i
I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 funqcia. funqciis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 gavixsenoT kvadratuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 kvadratuli funqciis umciresi da udidesi mniSvneloba. . . . . . . . . . . . . . . . 265 uban-uban wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 f: x → funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 funqciis grafikis zogierTi gardaqmna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 ukeTesi variantis arCeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 geometriuli gardaqmnebi. RerZuli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 mobruneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 msgavsebis gardaqmna. homoTetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 stereometriis aqsiomebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 aqsiomebis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 wrfeTa paraleluroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 wertilis koordinatebi sivrceSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 parametris Semcveli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 modulis Semcveli gantolebisa da utolobis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873 maRali xarisxis gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 iracionaluri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 parametris Semcveli utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007 utolobis amoxsna intervalTa meTodiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 kosinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142 kosinusebis Teoremis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173 sinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 samkuTxedis biseqtrisis sigrZisa da samkuTxedis farTobis
gamosaTvleli formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235 samkuTxedebis amoxsna (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 samkuTxedebis amoxsna (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 namdvili ricxvebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402 iracionaluri gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483 gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514 gamosaxulebis gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555 Tvlis sistemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576 jgufuri: viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 es sainteresoa: kodireba da dekodireba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691 wesieri mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702 kuTxis radianuli zoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753 segmenti, segmentis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773 viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891 logikuri msjeloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902 operaciebi gamonaTqvamebze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943 implikacia. ekvivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985 amocanebi albaTobaTa Teoriidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066 statistikis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
VIII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 perioduli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222 sinusisa da kosinusis ganmarteba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273 sinus da kosinus funqciis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334 tgα da ctgα funqciebi da maTi Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375 ricxviTi argumentis trigonometriuli funqciebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436 trigonometriuli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 1. sin x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 2. cos x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 3. tg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 VIII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
rogor visargebloT wigniT
wignze muSaobarom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleTgagac-noTwignisagebuleba.wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi_ paragrafebisgan.
yovelTavSimocemuliatestebirubrikiT`SeamowmeSenicodna~.teste-bzemuSaobadagexmarebaTTviTSemowmebasadaSeswavlilimasalisganmt-kicebaSi.wignSiganmartebebidabeWdiliamuqiSriftiT,xoloTvisebebi,formulebi,zogierTisaWirodaskvna_feradfonSi.TiTqmisyovelTavSimocemuliaamTavSigadmocemulmasalasTandaka-
vSirebulisainteresoTema.yovelparagrafSiSexvdebiTzogierTsSem-deginiSnebidan:
- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnisprocesSiTavadmoswavlemundagascespasuxi;
-wyvilebSisamuSao;
-SedarebiTrTuliamocana;
-savarjiSoebi,romelicemsaxurebagavlilimasalisgameorebas;
-sagulisxmofaqti.
wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebelida Semoklebuli aRniS-vnebisTvisgamoyenebulimaTematikuriniSnebi.gTavazobTagreTvezo-miserTeulebs,laTinurdaberZnulanbans,kvadratebiscxrilsdaamo-canebispasuxebs,damxmareliteraturisCamonaTvals.
gisurvebTwarmatebebs!
*
s .f .s .f .
I Tavi
amTavSigaiRrmavebTcodnasfunqciisSesaxeb.
gaecnobiTmisTvisebebs.SeiswavliTyxk= fun-
qcias.daadgenTkvadratulifunqciisudides
daumciresmniSvnelobebssegmentze.
8
ITavi 1 funqcia. funqciis Tvisebebi
1. Sesavali
1 arisTu ara naxazze moce-mulidamokidebulebafunq-cia?
a) ipoveT misi gansazRvrisare, mniSvnelobaTa simrav-le;
b)droisraperiodSiikleb-da, izrdeboda evros kursilarTanmimarTebaSi?
g)rodismiaRwiaevroskurs-maudidesmniSvnelobas?
bunebrivimovlenebiZalianmWidrodaaerTmaneTTandakavSire-buli.umetesSemTxvevaSiiskanonebi,romlebicmarTavenmovle-naTaurTierTdamokidebulebassakmaodrTulia.uamrav aseT damokidebulebaTa Soris mecnierebma gamoyvesiseTebi,rocaerTisididismniSvnelobacalsaxadgansazRvravsmeore sididis mniSvnelobas. aseTi damokidebulebebis magal-iTebi mravlad gvxvdeba rogorc maTematikaSi, aseve fizikaSic(magaliTad,TuviciTkubiswibossigrZe,SegviZliagamovTval-oTkubismoculoba,zedapirisfarTobi;moZraobissiCqarisadamoZraobazedaxarjulidroissaSualebiTSesaZlebeliagavli-limanZilisgamoTvladaa.S.).
gavixsenoT:XdaYsimravleebsSorisSesabamisobas,rocaXsim-ravlisnebismierx elementsSeesabamebaYsimravliserTaderTiy elementifunqciaewodeba.funqciaaRiniSnebaase:
f: x→y, any=f(x),sadacxdamoukidebulicvladia, argumenti;y – damokidebulicvladi,funqcia;fki–wesi,romliTacx elementsSeesabamebay elementi.
rogorc viciT, ricxviTi funqciis TvalsaCinoT war-mosadgenadmisgrafiksiyeneben.y=f(x) funqciisgrafikiarissakoordinatosibrtyis(x; f(x))wertilTasimravle.
2.29
2.27
2.25
2.23
2.21
2.19
2.17
2.15
22.11.2011
23.11.2011
25.11.2011
26.11.2011
29.11.2011
30.11.2011
01.12.2011
02.12.2011
03.12.2011
06.12.2011
07.12.2011
08.12.2011
09.12.2011
10.12.2011
lariskursievrosmimarT22.11.2011-10.12.2011
X da Y ricxviTsimravleebs Sorisfunqciuri damoki-debuleba ricxviTifunqciaa.
9
x
y
x
y
x
y
-1
-1
-2
-3
-2-3 x
y
3
2
1
1 2 3 4
daxazeTa) y=2x+3; b) y=–x+1; g) y=x2 funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveTy(0); y(–2); y(3).
cxadia,romsakoordinatosibrtyezemocemuli yoveli wiri ar aris raimefunqciis grafiki. magaliTad, naxaz-ze mocemulia wrewiri centriT (0;0)wertilSi.igiararisraimefunqciisgrafiki, radgan ∀x∈(–1;1)-s Seesa-bameba ordinatis ori y1 da y2 mniS-vneloba, rac igivea, rom wrewirzearisorisxvadasxvawertilierTidaimave abscisiT da gansxvavebuli or-dinatiT.maSasadame,
fwiriiqnebaraimefunqciisgrafikimaSindamxolodmaSin,rocayRerZisparalelurinebismieriwrfefwirsgadakveTsaraumeteserTwertilSi.
naxazze mocemuli wirebidanromeliaraimefunqciisgrafiki?(pasuxidaasabuTeT)
a) b) g)
nebismier x ricxvs SeusabameT [x],misive mTeli nawili (x ricxvis mTe-linawiliisudidesimTeliricxvia,romelicaraRematebax-s).e.i.gvaqvsf:x→[x] damokidebuleba.a)arisTuaramocemuliSesabamisobaFfunqcia?b)ipoveTf(–2,2); f(0,5); f(1,3); f(–0,1).g) dawereT am funqciis gansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle.
rogorcparagrafisdasawyisSivnaxeTfunqciisgrafikisakmaodmosaxerxebelia imisaTvis, rom Segveqmnas zogadi warmodgenafunqciisyofaqcevaze,misTvisebebze.momdevno paragrafebSi Cven gavecnobiT sxvadasxva funqciaTagrafikebs,maTTvisebebs.
simbolo ∀-iT ma--TematikaSi aRiniS-neba sityva „nebis-mieri“,„yoveli“
[1]=1[0,7]=0
[–1,5]=–2
10
ITavi
Rx
B
A
N
С
M
K
savarjiSoebi:
1 iqnebaTuarafunqciamocemuliSesabamisoba? a)sibrtyisMwertili→ (x;y), sadacwyvili(x;y)arisMwerti-liskoordinatebi;
b)M(x;y)→ x; g)x → M(x;y); d)manqana→ isricxvi,romelricxvSicesmanqanaagamoSvebuli; e)dRe(ricxvi)→ amdResgamoSvebulimanqana.
2 dawereTfunqciaf:wesierieqvskuTxedisgverdi→ amaveeqvs-kuTxedisfarTobidaipoveTf(2); f(5).
3 sawarmos erTi paltos Sekerva 150 lari ujdeba. Tve-Si sawarmo saSualod 50 paltos keravs. dawereT funqciaf:gasayidifasi→ mogeba,Tucnobilia,romsawarmosxvadasxvasaxisgadasaxadebSi800larsixdis.
4naxazismixedviTdawereTfunqciaS=f(x), sadacSmarTkuTxedisfarTobia.
5 ABCsamkuTxedSiMN||AC. dawereT MKN samkuTxedis farTobi,rogorcx-isfunqcia,sadacx=S∆ABC.
6 nebismierxnamdvilricxvsSevusabamoT{x},misiwiladinawili.({x}=x–[x]).
a)arisTuaramocemuliSesabamisobafunqcia? b)dawereTmisigansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle. g)daxazeTaRniSnuliSesabamisobisgrafiki.
7 yovelnaturalurnricxvsSeusabamesmisi5-zegayofiTmiRe-bulirnaSTi.ipoveTr,rocantolia15; 27; 138; 1004.arisTuaramocemuliSesabamisobafunqcia?ipoveTgansazRvrisare;mniSvnelobaTaare.
8 ABC samkuTxedis AB, ACdaBCgverdebzeaRebuliaSesabamisadK, Nda Mwertilebiise,romAK:KB=2:3, AN:NC=4:5da BM:MC=4:7.ipoveT SDAKN, SDBKM daSDMNC,TuABC samkuTxedisfarTobiaS.
9 gvaqvs2aTlitrianiqila10%da15%-ianimarilmJavasxsnariT.mocemulia agreTve 3, 4 da 5 litriani qilebi. gadasxmebisSedegadrogormiviRoT1litri12%-ianixsnari?
10 EwertiliABCsamkuTxedisADmedianasyofsSeefardebiT1:4 (wverosmxridan). ipoveTBEC samkuTxedisfarTobi,TuABCsamkuTxedisfarTobia40.
11
2.luwi da kenti funqcia
naxazze mocemulia f wiri,romelic sxivis moZraobistraeqtorias aRwers (sark-
isebrzedapirzedacemisas)dag wiri,romelicy=x2funqciisgrafikia.a)raaqvTsaerTodariTgansxvavdebi-anesgrafikebierTmaneTisgan?b)dawereTfwirisgantoleba,Tua=45°.
funqcias,misgrafiksbevrisaintere-soTvisebaaqvs.gavecnoTzogierTmaTgans.M ricxviT simravles ewodeba simetriuli nulis mimarT, Tu∀x∈M pirobidan gamomdinareobs,rom–x∈M. e.i. (–a;a) SualedisimetriulianulismimarTnebismieria-s-Tvis.
CamoTvlili Sualedebidan romelia simetriuli nulismimarT?a)[–5;5]; b)[–2;3]; g)R\{0}; d)R\{2}; e)R\{–1;1}.
y=f(x) funqcias ewodeba luwi, Tu misi gansazRvris are simetriulia 0-is mimarT da gansazRvris ari-dan aRebuli nebismieri x-Tvis sruldeba: f(–x)=f(x).
ganmartebidan gamomdinareobs, rom Tu (x;f(x)) wer-tili mdebareobs luwi funqciis grafikze, maSin(–x; f(x))-icimavegrafikiswertilia.
luwifunqciis grafiki simetriulia y RerZis mi-marT.
y=f(x) funqcias ewodeba kenti, Tu misi gansazRvris are simetriulia 0-is mimarT da gansazRvris aridan aRebuli nebismieri x-Tvis sruldeba: f(–x)=–f(x).
naxazzemocemuliSualede-bi (wiTlad Seferadebuli)simetriulianulismimarT.
0–a a–b b
–2 2
0
0
y
x–x
(–x;f(x)) (x;f(x))
radgan sarkisebr ze-dapirze sxivis dacemiskuTxe arekvlis kuTxistolia, amitom sxivismoZraobis traeqtorialuwifunqciiTaRiwereba.
0 x
y
� �
sarkisebrzedapirzesxivisdacemiskuTxearekvliskuTxistolia.
g
12
ITavi
gGasaxseneblad!
(a;b) da (–a;–b) wer-tilebi simetriuliwertilebia O(0;0)wertilismimarT.(a;b) da (–a;b) wer-tilebi simetriuliwertilebia y Rer-ZismimarT.
vambobT, rom y=f(x) funqciis grafikisimetriulia koor-dinatTa saTavis (yRerZis) mimarT, TugansazRvris arisnebismieri a werti-lisaTvis (–a;–f(a))wertilic ((–a;f(a))wertilic) imavegrafikiswertilia.
ganmartebidangamomdinareobs,romTu(x,f(x))wertilimdebar-eobs kenti funqciis grafikze, maSin (–x;–f(x)) wertilic imavegrafikiswertiliiqneba.
kenti funqciis grafiki simetriulia koordinatTa saTavis mi-marT.
aCveneT(analizurad),rom a)y=x2luwifunqciaa; b)y=kxkentifunqciaa.
magaliTi 1
daadgineT,luwiaTukentiSemdegifunqcia:
a)f(x)=x4+2x2+5; g)f(x)=2x2+3x;
b) ; d) .
amoxsna:
a)D(f)=(–∞;∞).ganvixiloTf(–x). f(–x)=(–x)4+2(–x)2+5=x4+2x2+5=f(x). e.i.funqcialuwia.
b)D(f)=R\{0}–simetriulianulismimarT.
e.i.funqciakentia.
0 x
–x
(–x;–f(x))
–f(x)
(x;f(x))f(x)
y
y=x2funqciisgrafiki
simetriuliayRerZismi-marT
y=kxfunqciisgrafikisimetriulia(0;0)wertilismi-
marT
13
g)D(f)=Rf(–x)=2(–x)2+3(–x)=2x2–3x.e.i.funqciaarcluwiadaarckenti.
d)D(f)=R\{1;2}.radgangansazRvrisareararissimetriuli0-ismimarT,amitomfunqciaarcluwiadaarckenti.
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1 y=f(x)funqcialuwia,Tu∀x∈D(f)-Tvissruldeba ? .
2 Tu y=f(x)kentifunqciaada f(5)=9,maSinf(–5)= ? .
3 luwifunqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.
4kentifunqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.
5 Tu y=f(x)kentifunqciaada f(1)=7,maSinf(–1)= ? .
savarjiSoebi:
1 ipoveTAwertilissimetriuliwertili: 1)yRerZismimarT,
2)O(0;0)wertilismimarT,Tu: a)A(–2;4); b)A(5;–7); g)A(3;2); d)A(–1,5;–4).
2 aageTAB, BC da ACmonakveTebissimetriulimonakveTebi 1)yRerZismimarT; 2)O(0;0)wertilismimarT: a)A(1;2), B(3;5), C(5;0); b)A(1;–2), B(3;–5), C(4;2); g)A(–2;3), B(–3;5), C(–1;–2); d)A(1;1), B(5;3), C(3;6).
3 aageTAB monakveTis simetriuliAB1 monakveTebiyRerZismimarT,sadac A(o;b) B(a;c)daaCveneT,rom∠BAO=∠B1AO.
4 aageTABC samkuTxedis simetriuli 1) y RerZis mimarT2) O saTavismimarT,TuA(2;1) B(–2;5) C(–5;2)daaCveneT,rommiRebulisamkuTxedimocemulisamkuTxedistolia.
5 daadgineT,luwiaTukentiSemdegifunqcia:
a)y=5x2+1; b)y=4x3; g)y=x3+3x;
d)y=x(x+5x3); e)y=x5+3x–5; v)y=x2+2x+5;
z)y=x|x|; T) y=2|x–2|; i) y=3x2–2|x|–4;
k)y3x +5
4=
x ; l)yx
=5 ; m)y
2–x2
=x
4
.
14
ITavi
a) b) g)
d) e) v)
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
6 naxazze mocemuliaR simravleze gansazRvruli y=f(x) funq-ciisgrafikisnawili.SeavseTigimTelgansazRvrisareze,Tucnobilia,rom:
1) y=f(x)luwifunqciaa;2) y=f(x)kentifunqciaa.
7 Tuf(0)=5.SesaZlebeliaTuara,romffunqciaiyoskenti?
8 risitoliaf(0),Tufkentifunqciaada0∈D(f)?
9 SesaZlebelia Tu ara y=kx+b funqcia iyos kenti? luwi?(dadebiTipasuxisSemTxvevaSidaadgineTraSemTxvevaSi?)
10 daamtkiceT,rom: a)luwfunqciaTajami,namravli,ganayofi(TumniSvneli≠0)
luwifunqciaa; b)kentfunqciaTajamikentifunqciaa; g)kentfunqciaTanamravli,ganayofi(TumniSvneli≠0)luwi
funqciaa; d)kentdaluwfunqciaTajamiarckentia,arcluwi; e)kentdaluwfunqciaTanamravli,ganayofikentifunqciaa.
11 D wertili Zevs ABC samkuTxedis AB gverdze. rogor See-fardebaADdaDB monakveTTasigrZebi,TuACDsamkuTxedisfarTobisamjernaklebiaABC samkuTxedisfarTobze?
12 sami wrewiri,romelTaradiusebia3 sm,3 smda1 sm, wyvil-wyvilad exeba erTmaneTs. ipoveT im samkuTxedis farTobi,romelTawveroebicwrewirTaSexebiswertilebia.
15
3.funqciis zrdadoba da klebadoba
naxazzemocemuliagrafiki,romelicgviCvenebshaeristemperaturisdrozedamokidebulebas.
a)droisromelSualedSiiklebda,matulobdatemperatura?
b)droisromelSualedSiyinavda,romelSualedSiiyosiTbo?
g)ipoveTdRisganmavlobaSiyvelazedabalidayvelazemaRalitemperatura;
d)romelsaaTzegautoldatemperatura0°C-s?
y=f(x) funqcias ewodeba zrdadi gansazRvris aris raime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis, roca x1<x2, maSin f(x1)<f(x2).
y=f(x) funqcias ewodeba klebadi gansazRvris aris raime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis, roca x1<x2, maSin f(x1)>f(x2).
zrdaddaklebadfunqciebsmonotonuri funqciebiewodeba.
moiyvaneT zrdadi, klebadi funqciis magaliTebiTqvenTviscnobilifunqciebidan.
daxazeTy=x2funqcia.romelSualedSiaigizrdadi?klebadi?
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t,sT
p,°C
0 xx1 x2
f(x2)
f(x1)
y
0 xx1 x2
f(x2)
f(x1)
y
0 x
a c
b
y
x1<x2
f(x1)<f(x2)funqciazrdadia
x1<x2
f(x1)>f(x2)funqciaklebadia
x∈[a;b] - funqciazrdadiax∈[b;c] - funqciaklebadia
funqcias ewodebazrdadi raime Su-aledSi, Tu argu-mentis met mniS-vnelobas am Sua-ledidan Seesaba-meba funqciis metimniSvneloba.funqcias ewodebaklebadi raime Su-aledSi, Tu argu-mentis met mniS-vnelobas am Sual-edidan Seesabamebafunqciis naklebimniSvneloba.
16
ITavi
fmudmivia(a;b)intervalSi
y
a b
f6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 tsaaTebi
magaliTi 1
daamtkiceT, rom y=x2+5 funqcia klebadia x∈(–∞;0) SualedSi,xolox∈(0;∞)SualedSikizrdadia.
amoxsna:
ganvixiloTnebismierix1<x2, x1,x2∈(–∞;0).maSinsxvaoba( ) ( ) ( 5) ( 5) 5 5 ( )( )f x f x x x x x x x x x x x
2 1 2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2 1 2 1– – – – – –= + + = + = = +
radgan x1<x2, amitom x2–x1>0. mocemulobiT x1<0, x2<0. amitommiviRebTx1+x2<0.e.i.(x2–x1)(x2+x1)<0.aqedanf(x2)–f(x1)<0,racni-Snavs,romf(x2)<f(x1),e.i.(–∞;0)SualedSifunqciaklebadia.vTqvaT,x1<x2dax1,x2∈(0;∞).ganvixiloTsxvaobaf(x2)–f(x1)=(x2–x1)(x2+x1).(x1<x2)⇒(x2–x1>0).
� �>0
>0
x
x
1
2
⇒(x1+x2)>0.
e.i.((x2–x1)(x2+x1)>0)⇒(f(x2)–f(x1)>0)⇒f(x2)>f(x1).e.i.(0;∞)SualedSifunqciazrdadia.r.d.g.
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1 funqciasewodebazrdadi(a;b)SualedSi,TuargumentismetmniS-vnelobasamSualedidanSeesabamebafunqciis ? mniSvneloba.
2 funqciasewodeba ? raimeSualedSi,TuargumentismetmniS-vnelobas am Sualedidan Seesabameba funqciis naklebi mniS-vneloba.
3 zrdaddaklebadfunqciebs ? funqciebiewodeba.
4 Tu y=f(x)funqciazrdadia,roca x∈[–2;4],maSinf(–1) ? f(3).
5 Tu y=f(x)klebadifunqciaa,maSinf(–1) ? f(3).
savarjiSoebi:
1 aageTfunqciisgrafikidaipoveT:1) misimniSvnelobaTasim-ravle;2)zrdadobisadaklebadobisSualedebi:
a)y=2x–3, x∈(–4;3]; b)y=–x+1, x∈[–2;2]; g)y=|x–2|, x∈[0;3); d)y=x2–2x–3, x∈[–2;3]; e)y=|x+3|, x∈(–4;1); v)y=x2–3x–4, x∈(–4;–1).
2 naxazze mocemulia sxeulissiCqaris moZraobis drozedamokidebulebis grafiki.droisraperiodisganmavlo-baSi:a)izrdebodasiCqare;
b)iyomudmivisiCqare; g)ganicdidasiCqareklebas.
17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t
S
400
350
300
250
200
150
100
50
0
km
saaTebi
Tu funqcia zrda-dia (klebadia) (a;b)SualedSi, maSingrafiki am Sualed-Si marcxnidan mar-jvniv miemarTebazeviT(qveviT).
3 naxazze mocemulia avtomanqanismier gavlili manZilis droze da-mokidebulebis grafiki. drois raperiodisganmavlobaSi:
a)izrdebodamanZilisawyispunqtsadaavtomanqanasSoris;
b) iyo manZili ucvleli avtomanqa-nasadasawyispunqtsSoris;
g)mcirdebodamanZiliavtomanqanasadasawyispunqtsSoris.
4 warmovidginoT, rom TviTmfrinavimoZraobswrfivaddaTanabrad500km/sTsiCqariTfrankfurti-dankievamdedakievidanTbilisamde(kievSidafreniT).sakoor-dinatosibrtyissaTavedmiiCnieTkievidadaxazeTTviTmfri-naviskievidandaSorebis, moZraobisdrozedamokidebulebisgrafiki. cnobilia, rom manZili frankfurtidan kievamde dakievidanTbilisamdedaaxloebiT1450km-ia.ipoveTfunqciis:
a)gansazRvrisare;
b)mniSvnelobaTasimravle;
g)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;
d)daadgineTluwiaTukentimiRebulifunqcia.
5 amoxseniTwinaamocanaimSemTxvevaSi,Tu: a)siCqareiqneba300km/sT; b)manZiliqalaqebsSorisiqneboda3000km. daakvirdiTmocemulisididisSecvlamragavlenaiqoniamoZ-raobisdroze.
6 daxazeT [–5;3] SualedSi gansazRvruli funqcia ise, rom esfunqcia [–5;–1]SualedSiiyoszrdadi,xolo [–1;3]SualedSi–klebadi.
7 daxazeT (–3;7] SualedSi gansazRvruli funqcia ise, rom esfunqcia (–3;–1] SualedSi iyos zrdadi, [–1;0] SualedSi –klebadi,xolo[0;7]SualedSiki_isevzrdadi.
8 daamtkiceT,romfunqcia: a)y=3x–1zrdadia; b)y=–2x+3klebadia; g)y=–x2–3zrdadia(–∞;0],xoloklebadia[0;∞) SualedSi; d)*y=–x2–4x–4 zrdadia(–∞;–2)daklebadia(–2;∞)SualedSi.
9 aageTy=f(x)funqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi: a)f(x)=0,5x–2; b)f(x)=–2x+5; g)f(x)=3x+1; d)f(x)=–x–1.
18
ITavi
10 giorgimbankSi500lariSeitana.raTanxaiqnebabankSigior-gisangariSze5wlisSemdeg,TuyovelwliuradTanxasemate-ba5%(igulisxmeba,rom5wlisganmavlobaSigiorgibankidanfulsargamoitans)?
11 AF aris ABC tolgverdasamkuTxedismediana. F wertilidangavlebulia AFC kuTxisbiseqtrisa.ipoveT AFKsamkuTxedisfarTobi,TuABCsamkuTxedisfarTobia 30 sm2.
12 samarTlianiaSemdegidebulebebi: 1.bejiTibavSvikargadswavlobs; 2.TubavSvikargadswavlobs,maSinisbejiTia; 3.bavSvi,romelickargadswavlobs,mowesrigebulia. SemdegiwinadadebebidanWeSmaritia a)mowesrigebulibavSvibejiTia; b)mowesrigebulibavSvikargadswavlobs; g)TubavSviararismowesrigebuli,maSiniskargadswavlobs; d)TubavSvikargadarswavlobs,maSinisararisbejiTi.
13 marTkuTxasamkuTxedismaxvilikuTxea15°,hipotenuzissig-rZe20sm-istolia.ipoveTmarTikuTxiswverodanhipotenu-zazedaSvebulisimaRle.
p r o e q t i :
yoveldRiurad,maTematikaSisaSinaodavalebadmocemuliamocaneb-is Tu magaliTebis raodenoba x-iT aRvniSnoT, xolo am amocanebidanTqvensmiersworadamoxsnilisa–m-iT.davalebisSesrulebisSefase-badmiviCnioTmx ·10.
SeadgineTfunqciaf:dRe(ricxvi)→amdRisSefaseba.yoveldRiuradmarTkuTxasakoordinatosistemaSimoniSneTwertilebi(x; f(x)).
g: dRe(ricxvi)→miRebuliniSanimaTematikaSi.sakoordinatosiste-maSimoniSneT(x; g(x))wertilebi.esdavalebaSeasruleTerTisemestrisganmavlobaSi.daakvirdiTorivefunqciisgrafiks.radaskvnisgamotanaSeZeliT?
19
4.funqciis nulebi. niSanmudmivobis Sualedebi
naxazzemocemulidiagramagviCvenebsfirmisSemosavalsTormetiTvisganmavlobaSi:a)romelTveSiganicdidawagebasfirma?
b)romelTveSiiyomisimogebanulistoli?g)romelTveebSimuSaobdafirmamogebaze?d)romelTveSihqondafirmasyvelazedidimogeba?wageba?
argumentis im mniSvnelobas, romlisTvisac funqciis mniS-vneloba nulis toli xdeba, funqciis nuli ewodeba.
imisaTvis, rom vipovoTy=f(x) funqciis nulebi,saWiroa amovxsnaT f(x)=0gantoleba. am gantolebisfesvebi iqneba y=f(x) fun-qciisnulebi.advili misaxvedria,rom funqciis nulebi imwertilTa abscisebia,romelSic y=f(x) funqciisgrafiki kveTs, an exeba ab-scisaTaRerZs.1-el naxazze mocemulifunqciis nulebia x1=–4; x2=–1,5; x3=2 da x4=4,5. aqedan (–4;0) wertilSi grafiki exeba,xolo danarCen wertilebSi kveTs abscisaTa RerZs. kidev erTisainteresoTviseba–funqciamomdevnonulebsSoris„niSansin-arCunebs“1).magaliTad:1-elnaxazze,Tux<–4,maSinf(x)>0.Tux∈(–4;–1,5), maSinf(x)>0;Tux∈(–1,5;2), maSinf(x)<0;Tux∈(2; 4,5), maSinf(x)>0;Tux>4,5 , maSinf(x)<0.
Tux∈(a;b)Sualed-Si funqciis gra-fiki moTavsebulia
x RerZis zeda nax-evarsibrtyeSi,maSinamSualedSifunqciaRebulobs dadebiTmniSvnelobebs –funqciadadebiTia.
xolo Tu x∈(c;d)SualedSi funqci-
is grafiki x Rer-Zis qveda naxevar-sibrtyeSia, maSin amSualedSi funqciauaryofiTia.
y
x0
dad
ebiT
ia
funqcia
uaryofiTia u
aryofiTia
y
x0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
-2
-1
4
3
2
1
y=f(x)funqciisnulebi
nax.1
1)esTvisebaaxasiaTebsfunqcias,gansazRvrisaris(a,b)SualedSi,TuamSualedSifun-qciisgrafikiuwyvetiwiriTgamoisaxeba–daixazebafanqriswverisrveulidanmouci-leblad.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI
20
ITavi
4
3
2
1
0
y
x1 2 3 4-3 -2
-2
-1-1
0
4
3
2
1
y
x1 2 3-3 -2
-2
-1-1
amoxsna:a)1. D(y)=[–2;4].2. E(y)=[–1;4].
3. 3
2–1 ;0� �; (0;1,5).
4. x∈[–2;–1]–funqciazrdadia,x∈[–1;1]–funqciaklebadia,x∈[1;4]–funqciazrdadia,
5. x∈3
2–2;–1� �, f(x)<0
x∈
3
2–1 ;4� �, f(x)>0
b) 1. D(y)=[–3;3].2. E(y)=[–2;2].
3. 3
1– ;0� �;
3
2–2 ;0� �; (0;1).
4. x∈[–3;–1] –klebadia,x∈[–1;3] –zrdadia. 5. x∈
3
2–3;–2� �, f(x)>0
x∈ , f(x)<0
x∈3
1– 3;� �, f(x)>0.
Sualeds,romelSicfunqcia niSans inarCunebs (andadebiTia anuaryofiTi),funqciisniSanmudmivobis Sualedi ewodeba.
a)daxazeTy=2x+5funqciisgrafiki.ipoveTmisinuli.dade-biTobisadauaryofiTobisSualedebi;b)grafikisaugebladipoveTy=–x+2funqciisnuli.
magaliTi1
naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTffunqciis:1)gansazRvrisare;2)mniSvnelobaTasimravle;3)xdayRerZebTangadakveTiswertilebi;4)zrdadobisdaklebadobisSualedebi;5)niSanmudmivobisSualedebi:
a) b)
21
1) 2) 3)
4) 5) 6)
x
-2
-1
y
4
3
2
1
0 1 2 3 4-3-4 -2 -1 x
-2
-1
y
4
3
2
1
-4-5 0 1 2 3 4-3 -2 -1 x
-2
-1
y
4
3
2
1
0 1 2 3 4-3 -2 -1
x
y
0
y
x-4-5 0 1 2 3 4-3 -2 -1
-2
-1
4
3
2
1
x
y
0 1 2 3-3 -2 -1
savarjiSoebi:
1 ipoveTfunqciisnulebi:
a)y2
=3x–1; b)y=x2–8x–9; g)y
x–7=
x –3x–282
; d)y3
=x –4x
2
.
2 daxazeT(–2;6)SualedSigansazRvrulifunqcia,romlisnule-bia–1da0daromelic(–1;0)SualedSiuaryofiTia.
3 daxazeT [–4;5]SualedSigansazRvrulifunqcia,romelic[–4;1)SualedSiiqnebadadebiTi,(1;2) SualedSi–uaryofiTi,xolo(2;5]SualedSi–isevdadebiTi.ipoveTamfunqciisnulebi.
4 naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTffunqciis:a)gansazRvrisare; b)mniSvnelobaTasimravle;
g)sakoordinatoRerZebTangadakveTiswertilTakoordinate-bi;
d)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;
e)niSanmudmivobisSualedebi.
v)daadgineT,luwiaTukentiffunqcia.z)*amoxseniTgantoleba:f(x)=1; f(x)=–2; f(x)=0.T)*amoxseniTutoloba:f(x)>1; f(x)<2.i)ipoveTfunqciisudidesi,umciresimniSvneloba(Tukiarse-bobs).
5 ipoveTraformuliTgamoisaxeba f(x)funqcia,rocax<odaipoveTmisinulebi,Tu f(x)=-x2+4x,rocax>oda f(x)funqciaa)luwia;b)kentia.
22
ITavi
dadebiTipasuxisSemTxvevaSidaadgineT: a)funqciisgansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle;b)luwiaTukentifunqcia;
g)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;d)funqciisumciresidaudidesimniSvneloba.
7 ABCD paralelogramis gverdebis sigrZeebia AB=6 sm da AD=16sm.ABdaADgverdebzegadazomiliaSesabamisad AK=1smda AP=7smsigrZismonakveTebi.ipoveTSDAKP:SABCD.
8 qaRaldze daxazes tolgverda samkuTxedi da dafares sxva-dasxva zomis ori gamoWrili tolgverda samkuTxediT.daamtkiceT,romamsamkuTxedisdasafaradsakmarisiiyoerT-erTigamoWrilisamkuTxedebidan.
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
9 ipoveTy=f(f(x)),Tuf(x)=2x–1.
10 daamtkiceT, rom funqcia y=f(f(x)) iqneba zrdadi, roca y=f(x)funqciazrdadia.
gaarkvieT iqneba Tu ara y=f(f(x)) zrdadi, roca y=f(x) klebadifunqciaa?
6 agorebenor,lurjdayviTelkamaTels.ipoveTalbaTobaimi-sa,romlurjkamaTelzeda yviTelkamaTelze mosuliricx-vebissxvaobatoliiqneba–1-is,1-is,5-is.SeadgineTfSesabam-isobiscxrili,sadac f:mosulricxvTasxvaoba→amsxvaobismosvlis albaToba (igulisxmeba lurj kamaTelze mosul ricxvsgamoklebuliyviTelkamaTelzemosuliricxvi).
miRebuli cxrilis mixedviT aageT am Sesabamisobis grafiki.iqnebaTuaraesSesabamisobafunqcia?
23
y=kx+b,maSin
k=x xy y
2 1
2 1
--
; k=tga
2 wrfivi funqcia
TqvenTvis ukve cnobilia wrfivi, kvadratuli funqcia; misigrafiki,Tvisebebi.gavixsenoTesfunqciebi.
y=kx+b, k, b∈R saxis funqcias wrfivi funqcia ewodeba.
1.moiyvaneTwrfivifunqciismagaliTebi.
2.rageometriulfiguraswarmoadgenswrfivifunqciisgrafiki?
x y=kx+b (x; y)
0 b (0; b)
kb- 0 ; 0
kb-` j
3. CamoayalibeTwrfivifunqciisTvisebebi.
4. arisTuarapirdapirproporciulobawrfivifunqcia?
5. aRwereTrogoravagoTwrfivifunqciisgrafiki.aageT: a)y = 2x–3;b)y = –0,5x + 1wrfe.
6. ragardaqmniTmiiRebay=kx wrfisgany=kx+b wrfe?dawereTamgardaqmnisSesabamisiformulebi.
7. SeavseTgamotovebuliadgilebiiseTiricxvebiT,rom f(x)=2xwrfisganmiviRoTg(x)=2x+3wrfe.
a)?
x x
y y
"
" +' ; b) ?x x
y y
"
"
+) ;
g) ( ) ( ) ?g x f x= + ; d) ( ) ( ?)g x f x= + .
8*. aCveneT,romTuA A(x1; y1), B(x2; y2) mdebareobsy=kx+bfunqciisgrafikze,
maSin:
a)kx x
y y
2 1
2 1=
-
-; b)k=tga.
k>0 b
y
x0kb-
k<0
y
x
b
0kb-
k=0
y
x
b
0
y kx b
b 0
= +
='
y=kx
k
b
0
0
=
='
y=0
y
xx1
y1
x2
y2
0
s .f .s .f .
24
ITavi
b)A(x1; y1), B(x2; y2)wertilebzegamavaliwrfisgantolebaseqneba
saxe:x x
y y
x x
y y
1
1
2 1
2 1
-
-=
-
-.
9. daadgineTraSemTxvevaSiaa)paraleluri;b)mkveTi; g)rodisemTxvevaerTmaneTsoriy=k1x+b1day=k2x+b2wrfe.
10. aageTfunqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi a)y = –x+2; b) y=2x+1; g) y=2x; d) y=-2x.
11. grafikis augeblad ipoveT y=2x+1 da y=5x+10 funqciaTagrafikebiskveTiswertiliskoordinatebi.
12. sistemisamoxsnisgareSeamoarCieTfunqciebi,romelTagrafikicparaleluriay=-3x+11funqciisgrafikis.
a)y=3x+11; b)y=3x–11; g)y=-3x; d)y=-6x+22.
13. f funqciis grafiki sakoordinato RerZebs kveTs A(0;5) daB(3;0)wertilebSi.dawereTwrfivifunqcia,romelicgadis(1;1)wertilzedaparaleluriaamwrfis.
14. daamtkiceT,rom7n3+5niyofa6-zenebismierimTelinricx-visTvis.
15. daamtkiceT,romnebismieri10 naturaluriricxvidanyov-elTvismoiZebnebaori,romelTasxvaobaiyofa9-ze.
16. daamtkiceT,rom3x2+5=6y2gantolebasarSeiZlebahqondesmTeliamonaxsnebi.
17. amoxseniTgantoleba: a)|x|=-5; b)|x|=5; g)|x|=0; d)|x|=|2x–3|.
25
3 gavixsenoT kvadratuli funqcia
1. rageometriulfiguraswarmoadgensy = ax2 + bx + c fun-qciisgrafiki?
y=ax2 + bx + c, a,b,c∈R, a≠0 saxis funqcias kvadratuli funqcia ewodeba.
2. aRwereT,rogoravagoTkvadratulifunqciisgrafikimaxasi-aTebeliwertilebiT(wvero,RerZebTankveTiswertilebi)daaageT:
a)y = x2 + 3x – 4 parabola; b)y = –2x2 + 3x + 2 parabola.
3. CamoayalibeTkvadratulifunqciisTvisebebi.
4. ragardaqmniTmiiRebay=x2 parabolasgan a)y=(x-3)2; b)y=x2+8; g)y=2(x-3)2; d)y=(x-3)2-1 parabola?
5. dawereT parabolis gantoleba a koeficientiT da wveroskoordinatebiT.
6. rogoraadamokidebuliparabolaa)a;b)ckoeficientze?
7. dawereTy=ax2+bx+c parabolassimetriisRerZisgantoleba.8. raSemTxvevaSieqnebaparabolasxRerZTan:a)erTi; b)ori; g)arcerTisaerTowertili?
9. ipoveT y = x2 + 2x – 15 funqciis RerZebTan gadakveTis wer-tilebiskoordinatebi.
10. ipoveTfunqciismniSvnelobaTasimravlea)y=x2 – x – 6; x∈[1; 4].b)y=2x2+4x–7, x∈ [-5;-2]; g)y=x(x–4), x∈[-1;3]
aageTSesabamisigrafiki.
11. ipoveTc-syvelamniSvneloba,romlisTvisacy=-x2–4x+cfun-qciisgrafiki
a)moTavsebuliaxRerZisqvemoT; b)OxRerZTanaqvserTaderTisaerTowertili; g)kveTsOxRerZsorwertilSi; d)gadakveTsOxRerZsorwertilSi,romlebickoordinatTa
saTavismimarTsxvadasxvamxaresmdebareoben.
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
12. kvadratisgverdissigrZexsm-ia.misierTigverdi3sm-iTSeamcires,xolomeore3sm-iTgaadides.dawereTffunqcia,romelicgviCvenebsmiRebulimarTkuTxedisfarTobiskvadratisgverdissigrZezedamokidebulebas.
a)ipoveTf(10), f(12), f(20);b)ipoveTmiRebulifunqciisgansazRvrisare,mniSvnelobaTasimravle;g)daxazeT ffunqciisgrafiki,CamowereTmisiTvisebebi(funqciisgansazRvrisaredCaTvaleTR).
26
ITavi 4 kvadratuli funqciis umciresi da
udidesi mniSvneloba
ganvixiloTamocana.
1. giorgis16msigrZismavTulbadeaqvs.raudidesifarTobismarTkuTxanakveTisSemoRobvaSeuZliamasammavTulbadiT?
vTqvaT,aseTimarTkuTxanakveTisgverdebiaxmdazm.maSin 2(x+z)=16, x+z=8 (1). marTkuTxedis farTobiki,rogorccnobilia,gamoiTvlebaformuliTS=xz. (1)-danz=8–x.miviRebTS=x(8–x). S=–x2+8x.Cvenimizania,vipovoTx-is ra mniSvnelobisaTvis iqneba marTkuTxedisfarTobi, anu (–x2+8x) gamosaxulebis mniSvnelobaudidesi.
ganvixiloTfunqcia x → –x2+8xavagoTy=–x2+8xfunqciisgrafiki,0<x<8.paraboliswveroaS(4;16)(nax.2).y=–x2+8xfunqciaudidesmniSvnelobasRebulobs,rocax=4-s.miviReTx=4daz=8–4=4. e.i. mocemuli perimetris SemTxvevaSiudidesifar-Tobiaqvskvadrats.Skv=42=16.amrigad16msigrZismavTulbadiTgiorgiSemoRobavssuldidi16 m2farTobis mqone nakveTs,romelsac kvadratisformaaqvs.
2. ipoveTy=2x2–5x+2funqciisudidesidaumciresimniS-vnelobaSemdegSualedebSi:a)x∈[1,5;3]; b)x∈[0;3].
amoxsna:avagoTy=2x2–5x+2funqciisgrafiki.
1.paraboliswveroaS(x0;y0),
x0=a2 4
b 5– = ,
8
9
8
16–25
a4y
0= –=
bac42
–=
� �� �8
9
4
5–;S .
2. Tuy=0,maSin(2x2–5x+2=0)⇔( )4x=
5 3 ⇔(x1=2; x2=0,5).Tux=0,maSiny=2.e.i.RerZebTangadakveTiswertilebiaM(2;0), N(0,5;0), K(0;2).a)radganfunqciagansazRvrulia[1,5;3]monakveTze,ami-tomfunqciisgrafikiiqnebaparabolisisnawili,romel-icme-3nax-zewiTladaaSeferadebuli.funqciazrdadia,amitomfunqciisumciresimniSvnelobaiqnebaf(1,5)=2·1,52–5·1,5+2=4,5–7,5+2=–1.udidesimniSvnelobaki–f(3)=2·32–5·3+2=5.
y
x0 4
16S
8
nax.2
nax.1
y
x0
-1
1
1 2 3 4
2
3
4
5
-2
nax.3
27
b) funqcia gansazRvrulia [0;3] Sua-ledSi, aqedan gamomdinare, misi gra-fiki parabolis is nawilia, romelicme-4naxazzewiTladaaSeferadebuli.
advili dasanaxia, funqciis umciresi
mniSvnelobaa8
9( )4
5–=f (wverosordinata),
xoloudidesimniSvneloba–f(3)=5.
y
0-1
12345
-2
x1 2 3 4
nax.4SeavseTgamotovebuliadgilebi:
naxazzemocemuligrafikismixedviTdaadgineTfunqciisudide-sidaumciresimniSvnelobaSesabamisSualedSi:
1 2 3
4 5 6
7 8
[a;b]SualedSifunqciisudidesimniSvnelobaa f( ? ),xoloum-ciresi—f( ? ).
28
ITavi
savarjiSoebi:
1 36smperimetrismqonemarTkuTxedebidanipoveTudidesifar-TobismqonemarTkuTxedisgverdebissigrZe.
2 ipoveTricxvi,romlisnamravlimasze2-iTnaklebricxvzeum-ciresia.
3 ipoveTricxvi,romlisgasamkecebelinamravlimasze4-iTmetricxvzeumciresia.
4 20warmoadgineTiseTorSesakrebad,rommaTinamravliiyosudidesi.
5 10 warmoadgineT iseT or Sesakrebad, rom maTi kvadratebisjamiiyosumciresi.
6 ipoveT iseTi ricxvi, rom am ricxvisa da masze 4-iT naklebiricxvisnamravliiyosumciresi.
7 meqoTneebmasoflisganapirasmarTkuTxaformisnakveTzeba-zrobismowyobagadawvites.maTSeiZines200msigrZismavTul-bade. ra sigrZis nakveTi unda SemoRobon maT, rom farTobiudidesiiyos?
8 daamtkiceT,rom,Tuorisididisjamimudmivia,maTinamravlimaqsimaluriamaSindamxolodmaSin,rocaessididebitolm-niSvnelobebsRebulobs.
9 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba(Tukiarse-bobs):a)y=2x2–4x+5; b)y=–x2+4x+3;g)y=x2+6x–4, x∈[–2;2); d)y=–x2+2x–3, x∈(2;5];e)y=–x2–4x+7, x∈[–4;–1]; v)y=x2+6x–4, x∈[–4;2].
10 naxazzemocemuligwrfisgantolebaa
g(x)=– x+3.
a)ipoveTOMNKmarTkuTxedisfarTobi,TuNwerti-lisabscisa3-istolia.b)*ipoveTimNwertiliskoordinatebi,romlisTvisacOMNKmarTkuTxedisfarTobiiqnebaudidesi.
11 ori avtomanqana moZraobs urTierTmar-Tobul gzebze, pirveli axlaB wertil-SiadamoZraobsOwertilisken.meoremkiukvegaiaraOwertilidaaxlaAwertil-Si imyofeba. cnobilia, romOB=12 km daOA=5km.pirvelimoZraobs40km/sT,meore
y
x4K0
MN1
3
g
O
B
A
29
ha
a
B D
A E
C
A O
B
300km
200km
ki–60km/sTsiCqariT.a)ramdenisaaTisSemdegiqnebamaTSo-rismanZiliumciresi?
b)ramdenisaaTisSemdegiqnebamaTSorismanZili13km?
12 A daB punqtebidanerTdrouladdaiwyomoZraoba orma gemma. A-dan gamosuligemi moZraobs dasavleTidan aRmosav-leTiT 40 km/sT siCqariT, xolo B-dangamosuli CrdiloeTidan samxreTiT30km/sTsiCqariT,rogorcnaxazzeamoce-muli.
a)arisTuarasaSiSroeba,romesgemebierTmaneTsSeejaxon?
b) moZraobis dawyebidan ramden xanSiiqneba gemebs Soris manZili umciresi?ipoveTesmanZili.
13 wesiersamkuTxedSi,romlisgverdiaa sm,saWiroaCaixazosudidesifarTobismqonemarTkuTxedi.rasudrisaseTimarTkuTxe-disgverdebissigrZe?
14 figuraSedgebamarTkuTxedisagandawesieri samkuTxedisagan. risi toliunda iyos marTkuTxedis gverdebi,romamfigurashqondesmaqsimalurifarTobi, Tu figuris perimetri p-stolia(BD-ssigrZeperimetrSiarSe-dis)?
15 samkuTxedSi fuZisa da maszedaSvebuli simaRlis jami14sm-ia.
a)SesaZlebeliaTuaraaseTisamkuTxedis farTobi iyos25sm2?
b) ras unda udrides aseTisamkuTxedisfuZe,romsamkuTxedisfarTobiiyosudidesi?g)ipoveTesfarTobi.
30
ITavi
16 daSaleTmamravlebad: a)x–9; b)a2–5;g)x–2 ; d) x –8; e) 10 – 14.
17 ipoveTgamosaxulebisgansazRvrisare:
a) 5–7x ; b)x–3
5 ; g) 2x–1
4x –; d) .
18 ABC samkuTxedis AB gverdzeaRebuliaDwertiliise,romADAB=1
3 ,xoloBCgverdzeaRebulia E wertiliise,romBEBC=1
6 .
E wertilze gavlebuliaAC-s paraleluri wrfe, romelic AB gverds gadakveTs F wertilSi. ipoveT BDE da BEF sam-kuTxedebisfarTobebisSefardeba.
19 ramdeni diagonali gaivleba xuTkuTxedSi? SvidkuTxedSi?dawereTfunqciaf:n→n-kuTxedSidiagonalebisraodenoba.
a)ipoveT:f(10); f(6); b)ipoveTn,Tuf(n)=14; 27.
20 Tu`y=f(x) kvadratulifunqciaa~–WeSmaritiwinadadebaa,ma-SinCamoTvliliwinadadebidanaucilebladmcdaria:
a)ffunqciismniSvnelobasimravlea[–7;∞); b) f funqcia zrdadia (–∞;5) SualedSi da klebadia [5;∞) Su-
aledSi; g)ffunqciisgrafikimoTavsebuliapirvelmeoTxedSi; d)ffunqciisgrafikiargadisme-3meoTxedSi.
21 daamtkiceT,romn2(n2–1) 4.
22 SABC=40 sm2, AC=10 sm. ipoveT B wertilidanACwrfemdeman-Zili.
23 sqematuraddaxazeTy=ax2+bx+c, a≠0 funqciisgrafiki,Tucnobilia,romaf(1)<0. rogoraaganlagebulix=1wertilismimarTmocemulifunqciisnulebi?
24 SeavseTgamotovebuliadgilebi: a)TuerTimarTkuTxasamkuTxediskaTetebimeoremarTkuTxa
samkuTxediskaTetebis,essamkuTxedebimsgavsia. b)TumarTkuTxasamkuTxedSimarTikuTxiswverodangavlebu-
liasimaRlemiiRebawyvilimsgavsisamkuTxedi g)samkuTxedisyofsmopirdapiregverds
monakveTebad,romlebicmimdebaregverdebisproporciulia.
25 SemdegiwinadadebebidanromeliaWeSmariti? a) orinebismieriparalelogramimsgavsia; b) orinebismierimarTkuTxedimsgavsia; g) orinebismierirombimsgavsia; d) orinebismierikvadratimsgavsia; e) orinebismieritrapeciamsgavsia; v) erTsadaimavewrewirzeSemoxazuliorimsgavsimraval-
kuTxeditolia.
31
5 uban-uban wrfivi funqcia
XbklasismoswavleebilaSqrobazeSatilSiwavidnen.orisaa-TisganmavlobaSiisini4 km/sTsiCqariTmidiodnen.SemdegisamisaaTiki-2 km/sTsiCqariT.iqbavSvebmaorisaaTiSeisvenesda3 km/sTsiCqariTukandabrundnen.dawereTfunqcia,romelicgviCvenebsmoswavleebismiergavli-limanZilisdrozedamokidebulebas.aageTSesabamisigrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.
1-elnaxazzemocemulia
y=
Tu
Tu
, 1
, 1 5
x x
x x
21
23
41
43
<
# #
+
+
–2x+13, Tu x>5
Z
[
\
]]
]]
funqciisgrafiki.
aseTfunqcias uban-uban wrfivi funqcia ewodeba.
TqvenTvis cnobili funqciebidan rome-lia uban-uban wrfivi? daxazeT SesabamisigrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.
magaliTi1
daxazeTf(x) =− − < −
− ≤ <− ≥
0 5 2 11 1 21 2
, ,,,
x xx
x xfunqciisgrafiki.
amoxsna:
I. avagoTa)f(x) = –0,5x – 2, x < –1; b)y = x–1, –1 < x < 2; g) y = x – 1, x ≥ 2funqciisgrafiki.
SevadginoTcxrili:
a) x f(x)=0,5x–2–1 –1,5–4 0
b) x f(x)=x–12 13 2
nax.1
yuradReba!
(a;b) Sualedze gansazRvruliwrfisnawilisasagebadsasurve-lia sakoordinato sibrtyezemovniSnoT (a;f(a)), (b;f(b)) wer-tilebi.
32
ITavi
savarjiSoebi:
1 daxazeTfunqciisgrafiki:
a),
,
,
y
x x
x x
x
3 1 1
2 2 1 0
5 0
TuTu
Tu1
2
#
#=
- -
- -
Z
[
\
]]
]; b)
,
,
,
y
x x
x
x x
1 1
2 1 2
21
5 2
TuTu
Tu
<
<#
$
=
+
+
Z
[
\
]]
]]
.
2 daxazeTy=|x–2|+|x+3| funqciisgrafikidaipoveYT:y(-5); y(0); y(-3); y(8).
3 ipoveTfunqciisRerZebTankveTiswertilebi:
a)2 5, 5
8, 5 5
3 5, 5
y
x x
x x
x x
TuTu
Tu1 1
#
$
=
- -
- -
- +
Z
[
\
]]
]; b)
7, 2
, 2 0
2 1, 0
y
x x
x x
x x31
32
Tu
TuTu
1
2
#
#=
+ -
+ -
- +
Z
[
\
]]
]].
4 ipoveT x-is mniSvnelobebi, romelTaTvisac y=f(x) funqciisgrafikimoTavsebuliOxRerZiszemoT.
a),
,
,
y
x
x x
x
5 3
3 3
5 3
TuTuTu
1
2
# #=
- -
-
Z
[
\
]]
]; b)
,
,
0
0y
x
x
x
x
2
2
TuTu 2
#=
- +
-) .
5 a-sramniSvnelobisTvisaqvsf(x)=agantolebas 1) erTiamonaxseni;2)oriamonaxseni;3)uamraviamonaxseni.
a)f(x)=,
,
,
x x
x
x x
0
0 0 2
2 2
TuTu
Tu
1
2
# #
-
-
Z
[
\
]]
]; b) ( )
, 0
, 0f x
x x
x x
3
3
TuTu 2
#=
+
-) .
6 ipoveTa-smniSvneloba,romlisTvisacyfunqciasaqvsudidesimniSvnelobax=2wertilSi.
,
,
,
y
x x
a x
x x
1 2
2
5 2
TuTuTu
1
2
=
+
=
-
Z
[
\
]]
]
7 xsmsigrZisgverdismqonekvadratuliformisTunuqisfurcelze amoWriliaR=5 mmradiu-siani4 wriulixvreli.
a)dawereTfunqcia:
f:kvadratisgverdi→TunuqisdarCenilinawi-lisfarTobi;
b)ipoveTfunqciismniSvneloba,Tux=4sm,7sm,1m.
8romeliRacricxvis10-zegayofisasnaSTSiviRebT7-s.ranaSTimiiRebaamavericxvis5-zegayofisas?
33
6 f: x → funqcia
naxazzemocemuliaavtomobi-lis moZraobis siCqaris drozedamokidebulebisgrafiki,roca
mis mier gavlili S manZili mudmivia.ipoveTS.a)radroSigaivlisavtomobiliSkm-s,Tuis moZraobs20 km/sT,40 km/sTsiC-qariT?b) ra siCqariTunda imoZraos avtomo-bilma,raTaSkmgaiaros3sT-Si,2sT-Si,1sT-Si?g) rogori damokidebuleba arsebobssiCqaresa da dros Soris mudmivi gav-lilimanZilisSemTxvevaSi?d) dawereT siCqaris droze damokide-bulebisfunqcia(naxazismixedviT).
moiyvaneTorsididesSorispirdapirproporciuli,ukupro-porciulidamokidebulebismagaliTebi.
ganvixiloT y= funqcia. SevadginoT cxrili. miRebuli
wertilebi movniSnoT marTkuTxa sakoordinato sistemaSi
daSevaerToTwiriT.miRebuliwiriiqnebay= funqciisgrafiki.
x y
4
3
2
1 1
2
3
– –2
–1 –1
–2 –
–3 –
34
ITavi
a)aageT:y= ; y= ; y=–5x ; y=– funqciaTagrafikebi.
b)raaqvTsaerTodariTgansxvavdebianerTmaneTisaganage-buligrafikebi?
Tu davalebas kargad gaarTviT Tavi, maSin SegviZlia davaskvnaT,
romy= funqciisgrafikseqnebaSemdegisaxe:
y=
k>0 k<0
f: x → funqcias, k≠0 ukuproporciuloba ewodeba.
CamovayaliboTy= funqciisTvisebebi:
I. k>0.
1. D(y)=R\{0}. x=0-TvisfunqciaararisgansazRvruli.
2. Tu x>0, maSinf(x)>0, Tu x<0, maSinf(x)<0. E(y)=R\{0}.
3. f(–x)= =– =–f(x).
funqciakentia(simetriulia(0;0)-ismimarT).
4. Tu x∈(0;∞), funqciaklebadiaTu x∈(–∞;0), funqciaaseveklebadia.
5. |x|-is zrdasTanerTadfunqciismniSvnelobebiTandaTanuax-lovdeba0-s(xdebaragindmciredagrafikiuaxlovdebaxRerZs).
6. roca x uaxlovdeba 0-s, maSin |f(x)|-is mniSvnelobebi ufrodaufro izrdeba (xdebaraginddidida grafikiuaxlovdeba yRerZs).
7. grafikisimetriulia(0;0)wertilismimarT.
grafikiserTiStoImeoTxedSiameoreki–IIImeoTxedSi.
y=
x da y cvladebs So-ris ukuproporciu-lidamokidebulebaa.
35
CamoayalibeTy= funqciisTvisebebi,rocak<0.
y= funqciisgrafikshiperbolaewodeba.
magaliTi1ipoveTk,TuA(k–6;k–4) mdebareobsy= funqciisgrafikze.
amoxsna:
AA wertiliskoordinatebiundaakmayofilebdesy= gantolebas:
k–4= kk–6
k2–11k+24=0k1=8, k2=3.
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1 Tuf(x)= , maSinf(–4) ? f(–1); f(5) ? f(7).
2 f: produqciisraodenoba→ erTeuliproduqciisfasi (pro-duqciaze gadaxdili Tanxa mudmivia) funqciis grafiki aris ? .
3 f: muSaTaraodenoba→ maTmierSeqmniliproduqti(muSaobazedaxarjulidromudmivia)funqciisgrafikiaris ? .
4 y=– funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.
5 y= funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.
6 y= funqciisgrafikisimetriulia ? mimarT.
savarjiSoebi:
1 ukuproporciulobamocemuliaformuliTf(x)= .ipoveT:
a) f(x), Tu x = 3; –5; 0,2; 100. b) x, Tu f(x) = 1; –1; 10–5; –3.
2 A daBqalaqebsSorismanZili800km-ia.avtobusmaesmanZilitsaaTSigaiara.rasiCqariTmoZraobdaavtobusi?dawereTfun-qcia,romelicaRwersmudmivimanZilisSemTxvevaSimoZraobisdroissxeulissiCqarezedamokidebulebas.
a)radroSigaivlisavtobusi800km-s,TuigimoZraobda60km/sTsiCqariT?80km/sTsiCqariT?
b)rasiCqariTundaimoZraosavtobusma,romigiBqalaqSiCa-vides8sT-Si?9sT-Si?
36
ITavi 3 aageTy=– funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveT:
a) f(1,5); f(–0,3); f(–7,1); f(5,2).b) x, Tu y = 5; –4; 7.
4 aageTf(x)= (f(x)=– ) funqciisgrafiki.grafikissaSualebiTipoveT:
a)f(–3), f(1,5), f(2), f(–2,7); b)x, Tu f(x) = 5, 1, –1, –3.
5 mdebareobsTuaraf: x→x–1funqciisgrafikzeMwertili:a)M(0,1; 1000); b)M(–1; –1); g)M(–2; 8); d)M(1; 1).
6 mocemulif(x)= funqciisgrafikisaugebladSeadareT:
a)f(–5) da f(–1); b)f(3) da f(4,7); g)f(–2) da f(1,7).
7 ipoveTm,TuF wertilimdebareobsf: x→x–1funqciisgrafikze:a)F(3;m); b)F(–2;m); g) F(m;–1); d)F(m;–32).
8 ipoveTmdan,TuM(–0,25; –2048), F(0,25; m)da E(0,125; n)wertilebimdebareobsf(x)=ax–1funqciisgrafikze.
9 mewarmem muSebis samuSao pirobebis gaumjobesebis mizniTsa-muSaodRis8 saaTidan7 saaTamde Semcireba gadawyvita.ram-denimuSisayvanamouwevsmewarmessamuSaoze,TudRisganmav-lobaSidasamzadebeliproduqciisraodenobaucvlelirCebadaTavdapirveladsawarmoSimuSaobda7muSa;14muSa;21muSa.
10 cxrilSi mocemulia monacemebi, Turamdeni muSa drois ramonakveTSi asrulebs samuSaos. igulisxmeba, rom yovelimuSa1saaTSierTsadaimavesamuSaosasrulebs.
muSaTaraodenobax 4 10 12 3 8yovelimuSismuSaobis
xangrZlivobay 15 6 5 20 7,5
rogori damokidebuleba arsebobs x da y cvladebs Soris?dawereTfunqciaf :muSaTaraodenoba→muSismuSaobisxan-grZlivoba,TuSesasrulebelisamuSao a-stolia.
11 reostatsmiewodebaU=6vmudmiviZabva.rogoricvlebareostatSidenisZala,TuwinaRoba1omidan24omamdeTan-abrad izrdeba? aageT denis Zalis winaRobaze damokide-bulebisI=f(R) grafiki.grafikismixedviTipoveT:a)denisZala,rocaR = 6omi,15 omi,22 omi;
b)reostatiswinaRoba,TudenisZalatolia10; 7; 2amperis. g)rogoridamokidebulebaarsebobsdenisZalasadawinaRo-
basSorismudmiviZabvisdros?
12 erT operators SeuZlia xelnaweri kompiuterze 20 dReSiakrifos.ramdendReSidasruldeba samuSao,Tu erTdrou-lad (erTi da imave siCqariT) imuSavebs a) 2 operatori,b)4operatori.dawereTfunqcia:
37
f :operatorTaraodenoba→ samuSaosSesasrulebladdax-arjulidro.
aageTSesabamisigrafiki.grafikismixedviTipoveTramdenioperatoriiqnebasaWiro,raTasamuSaodasruldes4dReSi.
13* laSqrobaze wasulma megobrebma gzis pirveli 20km avto-busiTgaiares40 km-sTsiCqariT, xolobolo6 km kifexiTiares x km-sT siCqariT. ra saSualo siCqariT moZraobdnenbiWebimTelgzazeTux = 4; 6.dawereTfunqcia f : siCqarefexiTsiarulisas→saSualosiCqaremTelgzaze.
14 daamtkiceT,roma)(24k–1) 5.
15 warmoidgineT,romromeliRacqveyanaSi arismxolod1, 10, 100, 1000, ...dolarianikupiurebi.SeZlebTTuara5000 calikupiuriTSeadginoTmilionidolari?
16 aqvsTuara10n+10n–5+103=9n+9gantolebasamonaxsenimTelricxvebSi?
17 ipoveT a-s yvela is mniSvneloba, romlisTvisac f(x)==–3(x–2)2–4dag(x)=2(x+a)2–4 funqciebisTviserTisudidesimniSvnelobaemTxvevameorisumciresmniSvnelobas.
18 immarTkuTxasamkuTxedebsSoris,romelTahipotenuzaze daSvebuli simaRle 6 sm-istolia, romels aqvs umciresi farTobi?ipoveTesfarTobi.
19 ABC samkuTxedis mediana BD=9 sm, MN Suaxazia (MN||AC), MN=4. BD da MNgadakveTisasadgenenkuTxeebs,romelTaganerT-erTissididea60°.ipoveT ABCsamkuTxedisfarTobi.
20 daadgineT, naxazis mixedviT romelor wertils Soris manZilis povnaaSesaZlebelidaipoveT,Tucnobilia,rom QR||AC da BQ=240 m, BC=560 m, BR=180 m.
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
21* daamtkiceT,rom∀a,b>0-TvismarTebuliautoloba:
.
axseniTamutolobisgeometriuliazri.
22 1) dayaviT180a)2-is,3-isada4-ispirdapirproporciulnawilebad;b)2-is,3-isada6-isukuproporciulnawilebad. 2)dayaviTAricxvim-is,n-isadak-sukuproporciulnawilebad.
f(x)=1x
38
ITavi 7 funqciis grafikis zogierTi
gardaqmna
1 mcxeTidandabaTumidanSemxvedrimimarTulebiToriavtomo-bilimoZraobs.erTi_60km/sT,meoreki_80km/sTsiCqariT.a)dawereTfunqcia:
f : dro → manqanebsSorismanZili,Tucnobilia,rommcxeTasadabaTumsSorismanZili560km-ia;b)aageTffunqciisgrafiki;g)rainformaciismiRebaSegiZliaTkidevgrafikisagan?dasviTgonivruliSekiTxvebi.
amoxsna:
manqanebsSorismanZiliy-istoliSesaZlebeliaiyosrogorcSexvedramde(nax.a);aseveSexvedrisSemdegac(nax.b).Tu moZraobis dros x-iT aRvniSnavT, maSina) SemTxvevaSi gveqneba: x → 560-140x funqcia(y=560–140x);b)SemTxvevaSi:x → 140x–560 funqcia(y=140x–560).advilisanaxavia,romoriveesfunqciaSesaZle-beliagavaerTianoTerTx → |140x–560| funqciad,racigiveay=|140x–560|.
upirveles yovlisa avagoT f(x)=140x–560 funqciisgrafiki.
1 ra damokidebuleba iarsebebs y=f(x)da y=|f(x)| funqciebis mniSvnelobebsSorisx-isimmniSvnelobebisTvis,rocaa)140x–560≥0; b)140x–560<0.
2 rogor arian ganlagebuli erTmaneTis mimarT(b;f(b))da(b;|f(b)|) wertilebi,rocaf(b)<0.
e.i. f(x)=|140x–560| funqciisgrafikismisaRebady=140x–560wrfis is nawili, romelic xRerZis zemoTaa, darCeba, xolois, romelic x RerZis qvemo-Taa aisaxeba x RerZis mimarTsimetriulad.
a)
b)
39
gaeciT pasuxi paragrafis dasawyisSi mocemuli amo-canisdanarCenSekiTxvebs.
ragardaqmniTmiiRebay=x2parabolasgany=(x-a)2; y=x2+c; y=(x-a)2+c parabola?
gavecnoTy=f(x)funqciisgrafikiszogierTgardaqmnas.
1. y=f(x–a) funqciisgrafikimiiRebay=f(x)funqciisgrafikisa-gan misixRerZisgaswvriv paralelurigadataniTa erTeuliT(marjvniv,TuadadebiTiadamarcxniv,TuauaryofiTia).amgardaqmnasCvenukvegavecaniTparabolismagaliTze.
scadeTTviTon:
y= 1x+2 y=
1x
aage: y=(x–1)3
y=(x+2)3aage:y= ; y= .
aage: y=f(x–1) y=f(x+2)
2. y=f(x)+b funqciisgrafikimiiRebay=f(x)funqciisgrafikisyRerZisgaswvrivparalelurigadataniTberTeuliT(zeviT,TubdadebiTiadaqveviT,TubuaryofiTia).scadeTviTondaaagey=f(x)+3,Tu:
40
ITavi 3. y=|f(x)| funqciisgrafikiromavagoTsaWiroa:
a)avagoTy=f(x) funqciisgrafiki;b)f wirisisnawili,romelicxRerZiszemoTaa,davtovoTucvle-lad,xoloisnawili,romelicxRerZisqvemoTaasimetriuladgadavitanoTxRerZismimarT.
scadeTTviTondaaageT:
4. y=f(|x|) funqcialuwia,radganf(|–x|)=f(|x|).amasTan,rocax≥0 f(|x|)=f(x). amitomy=f(|x|) fun-qciis grafikis asagebad saWiroa avagoT y=f(x) funqciisgrafiki,rocax≥0daSevavsoTigiluwfunqciamde.
avagoTy=x2–5|x|+6 (1) funqciisgrafiki.(1)asecSegviZliaCavweroT:y=|x|2–5|x|+6. avagoT(1)pa-rabola, roca x≥0 da SevavsoT luwi funqciisgrafikamde.
1aCveneT,rogoravagoTy=f(x) funqciisgrafikisagana)y=–f(x); b)y=f(–x) funqciaTagrafikebi.
magaliTi1
aageTf(x)= funqciisgrafiki.aRwereT,rogormiiRebaffunqci-is grafikidang funqciis grafikida CamoayalibeTg funqciisTvisebebi:
a)g(x)=– ; b)g(x)= 2x–2 .
–3 –2 2 3
41
swrafi ageba
y= +1
x–3≠0,e.i.x≠3.avagoTdamxmaresakoordinatoRer-Zebi:x=3day=1wrfeebi.simetriiscentria(3;1)wertili.axalsakoordinatosistemaSiavagoT
f(x)= funqciisgrafiki.
Tvisebebi:
1. D(g)=R\{0}.2. E(g)=R\{0}.erTiStomoTavsebuliaIImeoTxedSi,meoreki–IVmeoTxedSi.3. funqciakentia.4.rocax∈(–∞;0),funqciazrdadia,rocax∈(0;∞)–funqciazrdadia.5. |x|-is zrdasTan erTad f(x)-is mniSvnelobebi uaxlovdeba 0-s(grafikiuaxlovdebaxRerZs).6.rocaxuaxlovdeba0-s,|f(x)|-ismniSvnelobebiufrodaufroizrdeba(grafikiuaxlovdebayRerZs).
b)gfunqciisgrafikismisaRebadfhiperbolaundagavacuroTxRerZisgaswvriv,marjvniv2erTeuliT.
amoxsna:a)fdagfunqciaTagrafikebisimetriuliaxRerZismimarT(nax.1).
42
ITavi Tvisebebi:
1. D(y)=R\{2},radganx–2≠0, x≠2.2. E(y)=R\{0}.3.arcluwia,arckenti. grafikisimetriulia(2;0)wertilismimarT.4.rocax∈(–∞;2),funqciaklebadia, rocax∈(2;∞)–funqciaklebadia.5. |x|-is zrdasTan erTad f(x)-is mniSvnelobebi uaxlovdeba 0-s,grafikiuaxlovdebaxRerZs.
6.rocaxuaxlovdeba2-s,maSin |f(x)|-ismniSvnelobebiufrodaufroizrdeba(grafikiuaxlovdebax=2 wrfes,magramarexebamas).
magaliTi2
aageTyxx
12 1=++ funqciisgrafiki.
amoxsna:
yxx
12 1=++ gamosaxulebidan gamovyoT mTeli
nawili.
( ) ( ) ( )y
xx
x
x
x
x
x
x
x12 1
1
2 1 2 1
1
2 1 1
1
2 1
11=
++
=+
+ - +=
+
+ -=
+
+-
+
( ) ( ) ( )y
xx
x
x
x
x
x
x
x12 1
1
2 1 2 1
1
2 1 1
1
2 1
11=
++
=+
+ - +=
+
+ -=
+
+-
+
miviReT: yxx
x12 1
11
2=++
=-+
+ funqcia, romlis
grafikisagebacCvenTviscnobilia.damxmareRer-
Zebia:x = –1; y = 2 axalsakoordinatosistemaSiavagoT
yx1=- funqciisgrafiki.
y ax bcx d= ++ , ad–bc≠0, c≠0 saxis funqciaswilad-wrfivi
funqciaewodeba.
SeavseTgamotovebuliadgilebi:
1 y=f(x–2) funqciisgrafikis asagebady=f(x) funqciisgrafikiundagadavitanoTparalelurad ? RerZisgaswvriv ? er-TeuliT.
2 y=f(x)+b grafikis asagebad, (b>0) saWiroa y=f(x) funqciisgrafikigadavitanoTparalelurad ? RerZisgaswvriv ? er-TeuliT.
3 y=–|f(x)| funqciisgrafiki ganTavsebuliSeiZlebaiyos ? da ? meoTxedebSi.
4 y= funqciisgrafikimoTavsebulia ? da ? meoTxedebSi.
5 y=f(|x|) funqciisgrafikisimetriulia ? RerZismimarT.
SesaZlebeliaasec:x + 1 = t, maSin x = t – 1miviRebT:
( )y
xx
tt
tt
t x12 1 2 1 1 2 1
21
21
1=++
=- +
=-
= - = -+
( )y
xx
tt
tt
t x12 1 2 1 1 2 1
21
21
1=++
=- +
=-
= - = -+
-1
2
43
savarjiSoebi:
1 ipoveTffunqciisgansazRvrisaredasimetriiscentri:
a)f(x)= 2x –1; b)f(x)= 1
x+5; g)f(x)= 1x–3+1.
2 f(x)= funqciisgrafikissaSualebiTaageTgfunqciisgrafiki:
a)g(x)=– ; b)g(x)=– ; g)g(x)= –1.
3 aageTSemdegfunqciaTagrafikebi: a)y=|2x+5|; b)y=2|x|+5; g) y=|2x–1|; d) y=2|x|–1.
4 y= funqciisgrafikissaSualebiTaageTg(x)funqciisgrafiki:
a)g(x)=– ; b)g(x)= +3; g)g(x)= ; d)g(x)= +3.
5 paragrafSiaRweriligardaqmnebiTaageTfunqciisgrafiki:
a)y=|x2–3|; b)y=|x2–2x–8|; g)y=x2–2|x|–8;
d)y=|2x2–2|; e)y=|x2–2|x|–8|; v)y=x2+3|x|+2.
6 paragrafSi aRwerili gardaqmnebiT aageT Semdegi funqciaTagrafikebi:
a)y= +1; b)y= ; g)y=| |; d)y= ;
e)y= ; v)y=| +4|; z)yx2 51=+
; T)yx 31=-
.
7 aageTy=x3funqciisgrafikidaCamowereTmisiTvisebebi.
8 y=x3+b funqciis grafiki gadis (2;5) wertilze. ipoveT b daaageTfunqciisgrafiki.
9 WeSmaritiaTumcdariSemdegiwinadadebebi: a)y=f(|x|) funqciisgrafikisimetriuliayRerZismimarT;
b)y=|f(x)| funqciisgrafikisimetriuliaxRerZismimarT;
g)y=x3 funqciisgrafikisimetriuliakoordi-natTasaTavismimarT;
d) y=x3+5 funqciis grafiki simetriulia(0;5)wertilismimarT.
10 paragrafSiaRweriligardaqmnebiTaageTSemdegifunqciaTagrafikebi:
a)y=–x3+3; b)y=|x3+2|; g)y=|(x+3)3|; d) y=|x2–4x+5|;d)y=(x–1)3; e)y=|x|3–1,5; v)y=(x–2)3+2; T) y=x2–4|x|+5.
11 ipoveTmocemulifunqciisumciresimniSvneloba: a)y=|3x+1|–2; b)*y=|3x2–4x+2|–3; g)y=|x2–4x+3|-4; d)y=|–x2+2x|+1; ey=5+|2x+7|; v)y=x2-2|x|+1.
44
ITavi
0 x
y12 aageT Semdegi funqciaTa grafikebi(gardaqmnebissaSualebiT):
a)y= ; b)y= –3; g)y=– ; d)y=| –7|; e)y=| –5|.
13 ABCDparalelogramisABdaADgverdebzeaRebuliaSesabam-isadKdaP wertilebi ise,romAK:KB=1:4daAP:PC=3:5. ip-oveTS∆AKP:S∆ABCD
14 marTkuTxedisdiagonalebisgadakveTiswertilidandidgver-damdemanZili2,5sm-ia.ipoveTmarTkuTxedismciregverdi.
15 P da Q wertilebi ABC samkuTxedis AB da AC gverdebisSuawertilebia.ipoveTP∆ABC, Tu P∆APQ=21sm.
16 ABCD trapeciaSi BC=a da AD=b fuZeebia.Semdegi winadadebebidan amoarCieT WeSmaritiwinadadebebi:
a)SBOCSAOD
=ab b)SAOB = SCOD g)SABD = SACD
d)SABC = SBCD e)SAODSBOC
=a2
b2 v)SABOSBOC
=ab
amocanadamoukidebelikvlevisTvis:
17 y=f(x)funqciisnuliax=2.ipoveT: a)y=f(x–3); b)y=f(x+1) funqciisnuli.
18 a)aageTy=|x2–x–6|funqciisgrafiki: b)a-sramniSvnelobisTvisaqvs|x2–x–6|=agantolebasarc
erTi,erTi,ori,sami,oTxi,uamraviamonaxseni?
A D
B a C
O
b
45
8 ukeTesi variantis arCeva
● teqstiani amocanebis amoxsnisas saWiroa amocana mSobliurienidan maTematikis enaze gadaviyvanoT da Semdeg amovxsnaTmiRebuligantolebaTuutoloba. esyvelaferiZalianmniS-vnelovania,radgansawarmoodaekonomikurpraqtikaSixSiradgvesaWiroeba davTvaloT, SevajamoT monacemebi, gavukeToTanalizisawarmoosmuSaobasdaa.S.boloskigavaanalizoTSe-qmnilisituacia.risSemdegacSesaZlebeliaSedgesSemdgomimuSaobisgegma. Seqmnili sxvadasxva variantebidan ki saWiroaSeirCesukeTesi.
aseTi amocanebis dasma da amoxsna aris maTematikuri pro-gramirebissagani.CvenganvixilavTramdenimeaseTmartivamo-canas.
amocana1
nikamdalukamgadawyvitesmoenaxulebinaTmaTisoflidan40km-iTdaSorebulimowameTistaZari.maTmxoloderTivelosipediaqvT.nikasSeuZliafexiT6km/sTsiCqariT,velosipediTki–20km/sTsiCqariTimoZraos.lukasSesabamisad–4km/sTda30km/sTsiC-qariT.SesaZlebeliavelosipedisgzazeuyuradReboddatoveba.rogor SeuZliaT maT, orivem, rac SeiZleba swrafad miaRwiontaZramde?
1)biWebierTdrouladmividnentaZarTan.vTqvaT, nikamx km gaiara velosipediTda (40–x) km –fexiT. ma-Sin luka x km-s fexiT gaivlida, (40–x) km-s ki – velosipediT.nika taZarTanmividoda ( )20 6
x+
40–x saaTSi.lukaki– ( )4 30
x+
40–x
saaTSi. radgan isini erTdroulad mividnen taZarTan, amitom
20 6
x+
40–x
4 30
x+
40–x= . aqedan x=16km-s, xolo biWebi taZarTan
4saaTsada48wT-Simividodnen.
2) TuvigulisxmebT,romnikavelosipediT16km-zenaklebsgaiv-lis(x<16),maSintaZramdemisasvlelidro
60t =
400–7x gaizrdeba
(ratom?pasuxidaasabuTeT).
3) TunikavelosipediT16km-zemetmanZilsgaivlida,maSinTvi-TonkimividodataZramdeufroswrafad,magramsamagierodlukas
taZramdemisvlisdro,60
t =13x+80
sT,gaizrdeboda.
e.i. saukeTeso variantia, roca biWebi taZarTan erTdroulad
mivlen.
46
ITavi amocana2
laboratoriaSimoitanessamisxvadasxvaSenadnobi.pirveliSei-cavs40%spilenZsda60%nikels,meore–60%spilenZsda40%kobalts,mesame–60%kobaltsda40%nikels.eqsperimentisTvissaWiroa1kgSenadnobi,romelSiciqneba40%kobaltidaracSes-aZlebelianaklebispilenZi.rogorSAeiZlebaamismiRweva?
vTqvaT,aviReTxkgI, ykgIIdazkgIIISenad-nobi.maSinmiviRebT
0,4y+0,6z=0,4 (2)
x+y+z=1 (1){TangasaTvaliswinebelia,romspilenZiiyosracSeiZlebamcire.e.i. gamosaxulebam a=0,4x+0,6y unda miiRos minimaluri mniS-vneloba(agavxadoTerT–ycvladze,damokidebuli):
a=0,4(x+y)+0,2y=0,4(1–z)+0,2y
(2)-dan3
z =2–2y
.miviRebT:15
a =2+7y
.
y-isramniSvnelobisTvismiiRebsaumciresmniSvnelobas?
diax,spilenZisminimaluriwiliaxalSenadnobSiiqneba15
2,
maSin,rocax= ; z= da y=0.
e.i.undaSevurioT kgpirveliSenadnobida kgmesameSenad-nobi.
amamocanaSicCvenSevexeTwrfivi,a=15
7 y+15
2funqciisumciresi
mniSvnelobispovnas,rocay∈[0;1].
miRebulSenadnobSiracSeiZlebanaklebispilenZiniSnavsracSeiZlebametnikels.amoxseniTamocanaamkuTxiT.
amocana3
100laradundaSeiZinonnaZvisxissaTamaSoebi.Sekvra,romel-Sic20saTamaSoa,4lariRirs.Sekvra,romelSic35 saTamaSoa–6lari,xolo,romelSic50saTamaSo–9lari.ramdenidaromeliSekvraundaSeiZinon,raTaiyidonracSeiZlebametisaTamaSo.
amoxsna:
pirveli Sekvris TiToeuli saTamaSo5
1 lari Rirs, meore
Sekvrisa–35
6 lari,mesamisaki–50
9 lari.
35
6 < 50
9 < 5
1
Cu Ni CoI 40% 60% –II 60% – 40%III – 40% 60%
I II III
20 cali 35 cali 50 cali
4 lari 6 lari 9 lari
I II III
1 cali 1 cali 1 cali
5
1lari35
6 lari50
9 lari
47
rogorfiqrobT,romelisaTamaSoebisjobsmetiSei-Zinon?romelidaramdeniSekvraundaSeiZinon,raTaracSeiZlebametisaTamaSoiyidon?
imedia,TqvensworadimsjeleT,magram,raTqmaunda,verganixi-lavTyvelaSesaZlovariants.moviyvanoTamocanisufromkacriamoxsna.
vTqvaT, iyides x cali pirveli Sekvra, y cali meore Sekvrada z cali mesame Sekvra. x, y, z ≥ 0 da 4x+6y+9z≤100. amasTanS=20x+35y+50z undaiyosudidesi.
ipoveTx, y, z cvladebisdasaSvebmniSvnelobaTasim-ravle.
S=5(4x+7y+10z)=5[4x+6y+9z+y+z]≤500+5(y+z).S gamosaxulebismniSvnelobaiqnebaudidesi,roca(y+z)-ismniS-vnelobaarisudidesi,anurocay+z=16. aqedanS≤580.advilisanaxavia,rocax=1, y=16 da z=0. maSinS=580.
savarjiSoebi:
1 tafaze2 katletieteva.maTiSewvaorivemxaresSesaZlebelia10wT-Si.raumciresdroSiSeiwvebaamtafazesamikatleti?
2 b wrfis erT naxevarsibrtyeSi mdebareobsA daB wertilebi.rogorda sad movaTavsoTb wrfeze mocemuli sigrZisMK=a monakveTi,romAMKB texilissigrZeiyosumciresi?
3 moswavleebmagadawyvites,romsko-lis sportul moedanze moawyonsarbeni biliki sigrZiT ℓ=100m,romelsac eqneba naxazze mocemuliforma.risitoliundaiyosAA1daACmonakveTebissigrZe,romsarbenibilikiT SemosazRvruli nakveTisfarTobi iyos udidesi (ABC daA1B1C1–naxevarwreebia).
4* firmayovelTviuradyidis1000caldetals.TiToeulideta-lisfasi10laria.erT-erTiTanamSromlisazriT,TuTiToeu-lidetalsgaaiafebdnen0,1lariT,maSinSesaZlebeliiqnebodayovelTviurad20detaliTmetisgayidva;Tudetali0,2lar-iTgaiafdeboda,maSingaiyideboda40-iTmetidaa.S.
a)ramdenadundagaiafdesTiToeulidetali,romfirmammii-Rosmaqsimalurimogeba,TuvigulisxmebT,romTanamSromlisvaraudisworia;
b)ramdendetalsgayiddaTveSifirmaamSemTxvevaSi.
A A1
C C1
xB B1
48
ITavi
8 svetovandiagramazenaCvenebiafirmismogebismaCveneblebi5TvisganmavlobaSi.
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
mogebalarebSi
Tveebimarti aprili maisi ivnisi ivlisi
a)raTanxasSeadgendafirmismogebamartidanivlisisCaTvliT?
b)ramdeniasaSualoTviurimogeba?
g)ramdeniprocentiTmetiiyomogebamaisSimartTanSedarebiT?
30sm
5* qarxanaSi Ria kolofis dasamzadebladiyenebenfurclovanifoladisnarCenebs,romlebsac tolferda marTkuTxa sam-kuTxedisformaaqvTc=30smhipotenuz-iT.kolofirom,racSeiZlebametiteva-dobisaiyos,saWiroafoladisTiToeulinaWridan gamoiWras rac SeiZleba metifarTobismqonemarTkuTxedi.rogorSei-ZlebaamisgakeTeba?
6 100 m sigrZis mavTulbadiT saWiroa SemoiRobosudidesifarTobismqonemarTkuTxanakveTiise,romnakveTiserTgverdadSesaZlebeliagamoyenebuliiq-nassxvanakveTisRobe.ipoveTaseTimarTkuTxanakve-TissigrZedasigane.
7 ABC tolferda samkuTxedSi, romlisferdi 8 sm-ia, Caxazulia naxevarwre,romliscentriACfuZezeZevs. ipoveTradiusis sigrZe, romlisTvisac naxe-varwrisfarTobiudidesiiqneba.
A
B
O C
49
ITavisdamatebiTisavarjiSoebi:
1 ipoveTfunqciisgansazRvrisare:
a) ; b) ; g) ;
d) ; e) ; v) .
2 daadgineT,luwiaTukentifunqcia:
a)y=3–2x2; b)y=5x–7x3; g)y=2|x|–x2+5;
d) ; e) ; v) .
3 ipoveTfunqciis: a)zrdadobisadaklebadobisSualedebi;
b)niSanmudmivobisSualedebi;g)nulebi.
4 daxazeTfunqciisgrafiki,romeliczrdadia(–∞;–3]SualedSi,(–3;2]SualedSiklebadia,xolo(2;∞)SualedSikiisevzrdadiadaaqvserTaderTinuli,x=4.
5 daxazeT funqciis grafiki, romelic zrdadia (–∞;1] SualedSidaklebadi(1;∞)SualedSi.amavedros,(–2; 4)SualedSifunqciadadebiTia,xolo(–∞;–2)U(4;∞)SualedSiki–uaryofiTi.
6 naxazzemocemuliay=f(x)funqciisgrafiki.ipoveTf(x)funqciis a) gansazRvris are; b) mniSvnelobaTa are, g) sakoordinatoRerZebTan gadakveTis wertilTa koordinatebi;d) zrdadobisadaklebadobisSualedebi;e)niSanmudmivobisSualedebi.
a) b)
1) 2) 3)
50
ITavi
7. gansazRvreT, Semdegi funqciebidan romelia luwi, kenti, romelia arcluwi,arckenti?
a)(3–x)3–(3+x)3; b)y=x
xx1
11
++
;
g)y=|x–2|–3|x|+|x+2|; d)*y=[|4x|].
8. cnobilia,romf(x)luwifunqciaa;g(x)—kentia.raSeiZlebaiTqvasSemdegifunqciebisluw-kentobaze.
a)y=f(x+g(x)); b)y=g(f(x)); g) y=xf(x)+g(x); d)y=x(f(x)+g(x)).
9.ipoveTa; b da c-syvelamniSvneloba,romelTaTvisaca) y=ax+b;b) y=ax2+bx+c, a≠0funqciaaris1)luwi;2)kenti.
10* ipoveTf(–3),Tucnobilia,romf(3)=2,xolof(x)+x2 funqciakentia.
11* gamovTvaloTf(4),Tuf(–4)=9,xolo(x+1)·f(x) luwia.
12 WeSmaritiaTuara:
a)orizrdadifunqciisjamizrdadia;
b)oriklebadifunqciisjamiklebadia;
g)orizrdadifunqciisnamravlizrdadia.
13 f(x)funqciagansazRvruliadaklebadia [–1;4]Sualedze.cnobilia,romf(2)=5.amoxseniTutolobaf(x)>5.
14 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba
a) y=2–|x|; b)x
x
1
22
+; g) x x2
2+ - ; d) x x2 6 7
4 2- + .
15 ipoveTfunqciisudidesidaumciresimniSvnelobamocemulSualedze.
a)y=2+x–x2 x∈[-1;3]; b)y=4+x 31-
x∈[0;2]; g)y=2 3x3 3x-- x∈[1;4].
16 naxazzemocemuliay=ax2+bx+cfunqciisgrafiki. ipoveTa; bdackoeficientebisniSnebi.
17 naxazze mocemulia y=x2–7x+c funqciis grafikidaKL=5KO.ipoveTc-smniSvneloba.
K LO
51
18* k-sramniSvnelobisaTviseqnebamocemulfunqciaTagrafikebs1)erTi;2)ori;3)arcerTigadakveTiswertili:a)y=3x–9; y=x2–(2k+1)x+8k; b)y=x2–2kx+1; y=–3.
19 ipoveTfunqciisumciresidaudidesimniSvneloba:
a)y=–2x2+5x–1, x∈[0;3]; b)y=–0,5x2+2x–7, x∈[1;4]; g)y=x2–3x+4, x∈[–3;1]; d)y=2x2–5x–1, x∈[–4;2].
20 x-isramniSvnelobisaTvismiiRebsgamosaxulebaudidesanumciresmniS-vnelobas?ipoveTesmniSvneloba:
a)x2–4x+1; b)x(x–2)–1; g)–x(x+3)–4; d)x–3x2.
21 ipoveTricxvi,romlis: a)namravlimasze25-iTmetricxvzeiqnebaumciresi: b)gasamkecebelinamravlimasze1-iTmetricxvzeiqnebaumciresi; g)meoTxedisnamravlimasze3-iTnaklebricxvzeiqnebaumciresi.
22. aageTSemdegfunqciaTagrafikebi: a) y=|3x+5|; b)y=3|x|–7; g)y=|x2–15x+54|; d) y= |x–5|+3; e) y=x2+2|x|–3; v) y=|x2–x–2|+2;
z)yx 51=+
; T)| |
yx 51=+
; i)| |
yx 51=+
.
52
ITavi
SeamowmeSenicodna:
1. cnobilia,romfunqciazrdadia(–∞;–2)da[1;5]SualedebSi,xolomisnulebia:x=–4dax=–0,5,maSinaseTifunqciisgrafikiiqneba:
a)f; b)g; g)h; d)j.
2. mocemulifunqciebidanluwia:
a)f; b)g; g)h; d)j.
3. mocemuliwirebidankentifunqciisgrafikia:
a)f; b)g; g)h; d)j.
4. y=|x–1|+|x+1|funqcia: a)luwia;b)kentia;g)arcluwia,arckentia;d)wrfivia.
5. Tuf (x)=x2+x–1,maSinf(x–1)=: a)x2–x–1; b)x2–1; g)x2+x–1; d) x2–x+1.
53
9. ABCD marTkuTxedSi Caxa-zulia paralelogrami ise,rogorc es naxazzea. pa-ralelogramis farTobi um-cires mniSvnelobas miiRebs,rocax udris:
a)1sm; b)7sm; g)4sm; d)3sm.
10. y=|–x2+bx+c|funqciasgaaCnia:a)umciresimniSvneloba; b)udidesimniSvneloba;g)umciresimniSvnelobacdaudidesimniSvnelobac;d)arcerTipasuxisworiararis.
6.SemdegifunqciebidanI. y=x2–x4; II. y=x2–3; III. y=4x3+16 luwia: a)mxolodI; b)mxolodII; g)mesame; d)IdaII.
7.Tumocemuliaax4+bx2+cfunqciadaf(5)=3,maSinf(-5)= a) 3; b) -3; g) 9; d)pasuxsvergavcemT.
8. y=x2–5x+6funqciisumciresimniSvnelobaa. a) y=-2; b) y=
41- ; g) y=0; d) y=1.
54
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva
0
y
x–x
(–x;f(x)) (x;f(x))
0 x
–x
(–x;–f(x))
–f(x)
(x;f(x))f(x)
y
● y=f(x)funqciasewodebaluwi,Tumisigan-sazRvris are simetriulia 0-is mimarTdagansazRvris aridan aRebulinebismierix-Tvissruldeba:f(x)=f(–x).
● y=f(x)funqciasewodebakenti,Tumisigan-sazRvris are simetriulia 0-is mimarT dagansazRvris aridan aRebuli nebismieri x-Tvissruldeba:f(–x)=–f(x).
● y=f(x)funqciasewodebazrdadigansazRvrisarisraime (a,b) SualedSi, Tu nebismieri x1,x2∈(a,b)-Tvis,rocax1< x2,maSinf(x1)<f(x2).
● y=f(x)funqciasewodebaklebadigansazRvrisarisraime(a,b)SualedSi,Tunebismierix1,x2∈(a,b)-Tvis,rocax1< x2,maSinf(x1)>f(x2).
● argumentis im mniSvnelobas, romlisaTvisacfunqciismniSvnelobanulistolixdeba,fun-qciisnuliewodeba.
● Sualeds, romelSic funqcia niSans inarCunebs (andadebiTia an uaryofiTi), funqciis niSanmudmivobisSualediewodeba.
0 xx1 x2
f(x2)
f(x1)
y
0 xx1 x2
f(x2)
f(x1)
y
y
x0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
-2
-1
4
3
2
1
y
x0
dad
ebiT
i
funqcia
uaryofiTi u
aryofiTi
y=
k>0 k<0
● y= funqciisgrafiks
hiperbolaewodeba.