Embed Size (px)
Citation preview
ISBN 978-9955-879-62-6
DEM
O
Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 9 klas÷“ kūr÷:
Laimut÷ Ališauskien÷. Egidijus Bajorinas, Nijol÷ Drazdauskien÷, Diana Gustien÷, Rolandas Jakštys, Juozas Mačys, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Saul÷ Sem÷nien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Arūnas Ūsaitis, Vygintas Vilimas, Elmundas Žalys. Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius. 9 klas÷“
PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:
Kornelija Intien÷, Jolanta Knyvien÷, Vida Meškauskait÷, Daiva Riukien÷, Regina Rudalevičien÷, Raimonda Siaurusaityt÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Valdas Vanagas, Albina Vilimien÷, Virginija Viniautien÷.
Technologijos © TEV, 2008–2014
DEM
O
Pagrindiniai skyreliai
1. Šaknys1.1. Kvadratas ir kvadratinė šaknis 10 1.2. √1, √2, √3, √4, √5 121.3. Skaičiaus √2 vieta skaičių tiesėje 141.4. √a+√a 161.5. √a·b 181.6. √a:b 201.7. Reiškiniai su kvadratinėmis šaknimis 22
2. aTsTUMas TaRP TaŠkŲ2.1. Atstumas tarp skaičių tiesės taškų 402.2. Skaičių tiesės atkarpos vidurio taškas 422.3. Atstumas tarp koordinačių plokštumos taškų 442.4. Koordinačių plokštumos atkarpos vidurio taškas 46
3. REIŠkInIaI sU VIEnU kInTaMUOJU3.1. Reiškinio su vienu kintamuoju reikšmės 64 3.2. Reiškinys f (x )=ax+b 66 3.3. Reiškinys f (x )=a 683.4. Reiškinys f (x )=ax 2 703.5. Reiškinys f (x )=ax 3 723.6. Lygčių ir nelygybių sprendimas braižant grafikus 74
4. LyGČIŲ sIsTEMOs4.1. Lygtis su dviem nežinomaisiais 924.2. Lygties ax+by=c grafikas 94 4.3. Lygčių sistema 964.4. Lygčių sistemos grafinis sprendimas 984.5. Lygčių sistemos sprendimas keitimo būdu 1004.6. Lygčių sistemos sprendimas sudėties būdu 102
x
3
DEM
O
}}
Du kauliukai
{4
Prieš skyriaus turinio puslapį yra įvadas, kurio tikslas – patraukliai supažindinti su tema, nagrinėjama šiame skyriuje.
Pateikiama skyriaus teorijos santrauka ir pavyzdžiai.
Uždavinių atverstiniai žinioms pagilinti ir įtvirtinti. Paskutiniai uždaviniai, pažymėti ženkleliu , skirti smalsesniems.
Samprotavimai, įrodymai, uždaviniai skirti tiems, kurie nori žinoti daugiau.
Stipresniems mokiniams skirti skyreliai
Praėjus beveik penkiolikai metų nuo pirmojo TEV vadovėlio pasirodymo, pristatome jau trečiąją savo matematikos vadovėlių seriją. Atnaujinus Pagrindinio ugdymo bendrąsias programas, teko peržiūrėti tiek vadovėlių turinį, tiek jų formą. Kartu pasistengėme į naująją seriją „Matematika Tau +“ perkelti ir atnaujintų programų dvasią.
Galbūt matematinės beletristikos mėgėjai mūsų vadovėliuose pasiges spalvingų piešinukų, pamokymų, kaip susikrauti kuprinę, dvasingų pokalbių „aplink“ matematiką. Tačiau juose ras daug tikrosios matematikos: įdomios ir patraukiančios, užkrečiančios ir viliojančios, įvairių poreikių ir skirtingos motyvacijos vaikams. Ir realių taikymų, ryšių su aplinkiniu pasauliu bei kitais mokomaisiais dalykais.
Informacija mokiniui
tauMatematika
DEM
O
5
Mes kuriame vadovėlius, orientuotus į ateitį, skirtus šiuolaikiškiems vaikams ir kūrybingiems mokytojams. Kiekvienas TEV vadovėlių komplektas nuo šiol turės bent vieną kompiuterinę mokymo priemonę, kiekvieno vadovėlio kompiuterinę versiją bus galima rasti internete.
Mes siekiame, kad mokiniai ne tik skaitytų vadovėlio tekstą, bet ir dirbtų su vadovėliu, pasitelkę kompiuterines mokymo priemones, naudotųsi interneto ištekliais, bendrautų su mokytojais, taikant informacinių technologijų pasiekimus ugdymo procese.
Mes norime, kad mokytojai ne tik aktyviai naudotų prie vadovėlio priderintas papildomas mokymo priemones, bet ir patys tobulintų vadovėlio turinį, diferencijuotų mokymą, integruotų matematiką su kitais dalykais, naudodami mobilias interaktyvias kompiuterines (MIKO) knygas, kurios įeina į kiekvienos klasės vadovėlių komplektą.
Mūsų tikslas buvo parengti vadovėlių komplektą – pagalbininką mokytojui, draugišką bet kuriam mokiniui. Kaip tai pavyko – sužinosime po kelerių metų, tačiau atsiliepimų, pastabų, kritikos laukiame visada. Mūsų vadovėlių komplektai yra „gyvi“, atsinaujinantys, nuolat tobulinami, todėl visa tai, kas padėtų pagerinti mūsų kūrinį, atsiras kituose leidimuose.
Ačiū Jums iš anksto!
struktûra
Šios vadovėlio dalies pradžioje rasite atverstinį „Vasara baigėsi..., ir vėl matematika...“ Jis skirtas projektiniams darbams,
susipažinimui su vadovėliu, pasirengimui rimtam darbui.
O šios vadovėlio dalies pabaigoje rasite atverstinį „Ar verta spėlioti?“. Jei
išnagrinėsite jame iškeltas problemas, taps kur kas aiškiau, kaip atsakinėti
„Kengūros“ konkurso metu.
Baigiamieji skyreliai skirti:• Pasitikrinti, kaip pavyko suprasti ir
įsiminti skyriuje nagrinėtus dalykus.• Pasikartoti ankstesnę medžiagą ir
pasirengti nagrinėti kitą skyrių.
Pagrindinių skyrelių atverstiniai, skirti visiems mokiniams:• Kairiajame puslapyje yra teorinė
medžiaga. Ji pateikiama klausimais ir užduotimis, kurias atlikti padeda šauktukas ir klaustukas . Kas yra svarbiausia – surašyta lentoje.
• Dešiniajame puslapyje yra tik su tuo skyreliu susiję uždaviniai.
Išnagrinėjus pagrindinių skyrelių medžiagą, grįžtama prie įvadiniame puslapyje nagrinėto klausimo. DE
MO
Baigėsi vasara...
6
Siame matematikos vadovelyje is viso yra 8 skyriai (po 4 kiekvienoje dalyje).Kiekvieno is pirmuju 7-iu skyriu apytiksle apimti puslapiais galima uzrasytitaip:
30 ± 10.
Lietuvoje devintokai turi mokytis apie 36 savaites.
1 klausimelis. Manydami, kad kiekviena is 8-iu skyriu Jus mokysites vienodailaiko, apskaiciuokite, kelios savaites teks vienam skyriui.
Per savaite devintokams turi buti 3–4 matematikos pamokos.
2 klausimelis. Kiek vidutiniskai matematikos pamoku per mokslo metus tu-ri vykti devintokams? Atsakyma uzrasykite pavidalu a ± b (t. y. taip, kaipuzrasytas 1–7 skyriu puslapiu skaicius).
Kaip neretai pasitaiko, dalis pamoku del rimtu, ne visai rimtu ar net visainerimtu priezasciu neivyksta...
3 klausimelis. Manydami, kad neivyks 10% matematikos pamoku, apskaiciuo-kite, kiek pamoku ivyks 3 savaitines pamokas ir kiek –– 4 savaitines pamokasturintiems devintokams.
DEM
O
Ir vėl matematika...
7
Sunku tiketis, kad kiekvienas is jusu visose tose pamokose dalyvausite –– ligos,keliones, varzybos, konkursai, siaip bloga nuotaika...
4 klausimelis. Apskaiciuokite, keliose matematikos pamokose dalyvaus devin-tokas, jei jis praleis desimtadali vyksianciu pamoku, o turi:a) tris pamokas per savaite; b) keturias pamokas per savaite.
5 klausimelis. Kaip manote, kuris is sio vadovelio veikeju –– ar –– gavotikslesni rezultata? Kodel taip manote?
. .
Paskutine uzduotele –– projektinis darbelis. Jei jums patinka rinkti statistineinformacija, tai galite pabandyti kruopsciai surinkti duomenis apie siais metaisvyksiancias matematikos (galima ir ne matematikos) pamokas. Mokslo metugale tuos duomenis apdorokite ir padarykite isvadas. Turetu buti idomu...
DEM
O
1 skyrius
8
Veiksmai ir skaiciai
Imkime naturaliuosius skaicius:
N = {1, 2, 3, ...}.„Pazaiskime“ su naturaliaisiais skaiciais, atlikdami mums zinomus veiksmus:1) sudeti, atimti; 2) daugyba, dalyba; 3) kelima laipsniu, saknies traukima.1) Sudedant naturaliuosius skaicius, gaunamas skaicius visada yra naturalusis.
Pavyzdziui: 3 + 1 = 4, 3 + 3 = 6, 2 + 5 = 7.Atimant naturaliuosius skaicius, gaunamas skaicius nebutinai yra naturalu-sis. Pavyzdziui: 3 − 3 = 0, 3 − 5 = −2.
2) Dauginant naturaliuosius skaicius, gaunamas skaicius visada yra naturalu-sis. Pavyzdziui: 3 · 1 = 3, 3 · 3 = 9, 1 · 1 = 1.Dalijant naturaliuosius skaicius, gaunamas skaicius nebutinai yra naturalu-sis. Pavyzdziui: 1 : 3 = 1
3 , 5 : 2 = 2,5.
3) Keliant naturaliuoju laipsniu bet koki naturaluji skaiciu, gaunamas skaiciusyra naturalusis. Pavyzdziui: 32 = 9, 23 = 8, 17 = 1.Traukiant sakni is naturaliojo skaiciaus, gaunamas skaicius nebutinai yranaturalusis. Pavyzdziui:
√9 = 3,
3√
8 = 2,√
10 = ?, 3√
9 = ?.
DEM
O
Šaknys
9
• Prisiminsime, ką vadiname kvadratine šaknimi iš neneigiamo skaičiaus.
• Mokysimės suprasti ir užrašyti skaičius, iš kurių kvadratinė šaknis „neišsitraukia“.
• Mokysimės atlikti veiksmus su kvadratinėmis šaknimis.
1.1. Kvadratas ir kvadratinė šaknis 10 1.2. √1, √2, √3, √4, √5 121.3. Skaičiaus √2 vieta skaičių tiesėje 141.4. √a+√a 161.5. √a·b 181.6. √a:b 201.7. Reiškiniai su kvadratinėmis šaknimis 22
Apibendriname 24Sprendžiame 26 Besidomintiems 30
√2 – iracionalusis skaičiusKai nebuvo skaičiuotuvų
Testas 32Pasitikriname (atsakymai – 120 puslapyje) 34 Kartojame 36 Prisimename tai, ko prireiks kitame skyriuje 37
Šiame skyriuje nagrinėsime skaičius, iš kurių „neišsitraukia“ kvadratinė šaknis.
√9 = 3; √10 = ?; √11 = ?; √12 = ?; √13 = ?; ...DEM
O
Šaknys110
1.1. KVADRATAS IR KVADRATINĖ ŠAKNIS
1 užduotis. Apskaiciuokite kvadrato plota S, kai jo krastine a lygi:a) 2 cm; b) 3 dm; c) 4 m.
S cm= 2
?
a 3 cm=
2 užduotis. Apskaiciuokite kvadrato krastines ilgi a, kai jo plotas S lygus:a) 4 cm2; b) 9 dm2; c) 16 m2.
S 9 cm= 2
a = cm?
3 užduotis. Kam lygi kvadrato krastine a, kai jo plotas S lygus:
a) 5 cm2? b) 10 dm2? c) 17 m2?
DEM
O
11
1. Apskaiciuokite kvadratines saknies reiksme.a)
√16; b)
√1600; c) −√
0,0016; d)√
225; e)√
2,25; f) −√225;
g)√
14; h)
√49; i)
√94; j)
√21
4; k) −√
2536; l) −
√111
25 .
2. Parasykite teigiama skaiciu, kurio kvadratas (antrasis laipsnis) lygus:
a) 100; 0,01; 110 000 ; b) 256; 2,56; 25 600; 1
256; c) 916 ; 25
121; 169 ; 121
25 ;
d) 179; 61
4; 21425; e) 10; 20; 1
20 ; 310 ; 12
3; 234 .
3. Pakelkite kvadratu (antruoju laipsniu) skaicius:
a)√
5;√
0,5; −√5; −√
0,5; b)√
212;
√32
3; −√
212; −
√32
3.
.
4. 1) Uzrasykite, kam lygi kvadrato krastine a, jei kvadrato plotas:a) S = 3 cm2; b) S = 12 mm2; c) S = 0,5 m2.
2) Apskaiciuokite kvadrato plota S, jei jo krastine:a) a = √
2 cm; b) a = √3 mm; c) a = √
5 dm.
5. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuokite x reiksme.
a) b) c)
4m
3 m
xx x
8 cm
1
0
c
m
10
13 13
d) e) f)
3 cm
xc
m
x x
8
8 8
2cm
4
6
DEM
O
Šaknys112
1.2.√
1,√
2,√
3,√
4,√
5, ...
Surasykime pirmuosius desimt naturaliuju skaiciu:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ir kvadratines saknis is ju:
√1
√2
√3
√4
√5
√6
√7
√8
√9
√10
Užduotis.1) Skaiciuotuvu nustatykite tu saknu reiksmes. Tas reiksmes, kurios nera na-
turalieji skaiciai, suapvalinkite iki desimtuju.
10 3,1622776601683793
2) Koks zenklas (>, < ar =) turetu buti parasytas vietoj kvadrateliu?
√1
√2
√3
√4
√5
√6
√7
√8
√9
√10DE
MO
13
6. Skaiciuotuvu nustatykite apytiksle saknies reiksme. Atsakyma pateikitesuapvaline iki simtuju.
a)√
11; b)√
78; c)√
205; d)√
99.
7. Koks aitvaro virves ilgis x metrais?Atsakyma parasykite desimtuju tikslumu.
x10 m
20 m8. Skaicius surasykite didejimo tvarka.
a)√
5;√
4;√
2;√
1; −√2; −√
5; 0;
b)√
2;√
7;√
6; −√6; −√
2; −√7;
c) −√0,5;
√23; −
√35;
√34;
√0,67.
:
9. Skaicius surasykite mazejimo tvarka.
a)√
2; −√2;
√3; −√
3; −√1;
√1;
b)√
8; −√8;
√9;
√19; −√
9;√
10;
c)√
213; 2; −3,2; −
√151
4;√
2,2; −√11.
10. Apskaiciuokite staciakampio nezinomos krastines ilgi. Atsakyma suapva-linkite iki sveikojo skaiciaus.
x cm
xcm
4
c
m
4
c
m
1
d
m
0
a) b) c)
6 cm x dmx m
xcm
2m
9
c
m4
m
11. Jonas apskaiciavo skritulio plota S, zinodamas, kad jis 3,14 karto didesnisuz skritulio spindulio ilgio r kvadrata. Koks to skritulio spindulio ilgis,jei jo plotas:
a) S = 6,28 cm2? b) S = 15,7 dm2? c) S = 31,4 mm2?Atsakyma parasykite simtosios tikslumu.
DEM
O
Šaknys114
1.3. SKAIČIAUS√
2 VIETA SKAIČIŲ TIESĖJE
Uzrasykime skaiciu, kurio kvadratas lygus 2. Tas skaicius yra√
2.I skaiciuotuva iveskime skaiciu 2 ir paspauskime mygtuka su zenklu √ .
2 1,4142135623730950
Užduotis. Remdamiesi desimtaine√
2 reiksme, nustatykite, tarp kokiu:1) gretimu naturaliuju skaiciu yra skaicius
√2, ir pazymekite apytiksle jo vieta
skaiciu tieseje (vienetine atkarpa imkite lygia 10 langeliu ilgiui);
1 <√
2 < 21 2
2
2) gretimu desimtainiu trupmenu, turinciu viena skaitmeni po kablelio, yraskaicius
√2, ir pazymekite apytiksle jo vieta skaiciu tieseje.
1,4 <√
2 < 1,5
1,41 1,5 2
2
3) gretimu desimtainiu trupmenu, turinciu du skaitmenis po kablelio, yra skai-cius
√2, ir pazymekite apytiksle jo vieta skaiciu tieseje.
Tesiant si procesa, galima nustatyti vis tikslesne√
2 vieta skaiciu tieseje. Deja,tas procesas begalinis ... O kaip pazymeti tikslia
√2 vieta skaiciu tieseje?
0 1
1
1
22
2
OA
B
DEM
O
15
12. Nustatykite, tarp kokiu gretimu naturaliuju skaiciu yra kiekvienas duotasisskaicius, ir nurodykite kiekvieno ju apytiksle vieta skaiciu tieseje.
√3; √
5; √6; √
8; √10; √
12.
13. 1) Skaiciu tieseje pazymekite iracionaliuosius skaicius√
5 ir −√5, brai-
zydami statuji trikampi, kurio statiniu ilgiai yra 1 ir 2.2) Braizydami statuji trikampi, skaiciu tieseje pazymekite skaiciu
√8;
skaiciu −√10.
14. Skaiciu tieseje taskais pazymeti iracionalieji skaiciai, kurie yra surasytidebeselyje.
A
L
B
M
C
N
D
P
E
R
F
S T
a)
b)
1) Koks skaicius kuri taska atitinka?2) Tarp kokiu pazymetu tasku yra taskas O(0)? G(1)? Z(−1)?
15. Ant apskritimo pazymetas taskas A. Apskritimas padetas ant skaiciu tiesestaip, kad taskas A yra toje tieseje.
a) b)
0 01 1
A A
1 cm
Apskritimas pradeda riedeti skaiciu tiese ir rieda tol, kol taskas A vel atsi-duria skaiciu tieseje. Su kuriuo skaiciumi sutaps taskas A, jei apskritimospindulio ilgis lygus 1 cm? 2 cm? Atsakyma parasykite 0,1 tikslumu.
DEM
O
Šaknys116
1.4.√
a + √a
Prisiminkime, kaip uzrasoma vienodu demenu suma.Pavyzdziui:
3 + 3 = 3 · 2 = 6
a + a = a · 2 = 2a
x + x + · · · + x︸ ︷︷ ︸n demenu
= x · n = nx
1 užduotis. Uzrasykite, kam lygi vienodu iracionaliuju skaiciu suma.a)
√2 + √
2;√
2 + √2 + √
2;√
2 + √2 + √
2 + √2;
b)√
3 + √3;
√3 + √
3 + √3;
√3 + √
3 + √3 + √
3 + √3;
c)√
x + √x;
√x + √
x + √x;
√x + √
x + √x + √
x + √x + √
x + √x.
2 užduotis. Sudekite (atimkite) iracionaliuosius skaicius, kuriu posakniai yravienodi.a) 5
√3 + 2
√3; 5
√3 − 4
√3; 2
√3 + 5
√3; 5
√3 − 6
√3;
b) 5√
x + 2√
x; 5√
x − 4√
x; 2√
x + 5√
x; 5√
x − 6√
x.DEM
O
17
16. Atlikite veiksmus su iracionaliaisiais skaiciais.a)
√15 + √
15; b) 2√
15 + √15; c) 3
√15+12
√15+√
15;
d)√
15 − √15; e) 2
√15 − √
15; f)√
15 − 2√
15;
g)√
7 + 2√
7 − 4√
7; h) 5√
10 − 7√
10 + 4√
10 − √10.
17. Apskaiciuokite pavaizduotos figuros perimetra.a)
d)
b)
e)
c)
f)
18. 1) Sudekite (atimkite).a) 2
√3 + 2,5
√3; b) 1
2
√2 + 1,5
√2;
c)√
5 + 1,1√
5; d) 23
√6 + 0,25
√6;
e) 2,5√
3 − 2√
3; f) 12
√2 − 1,5
√2;
g)√
5 − 1,1√
5; h) 23
√6 − 0,25
√6.
19. 1) Apskaiciuokite reiskinio√
4 + √9 reiksme.
2) Nustatykite reiskinio√
13 apytiksle reiksme desimtuju tikslumu.3) Koki zenkla (< ar >) reikia parasyti vietoj kvadratelio:√
4 + √9
√4 + 9?
4) Nustatykite, koki zenkla (< ar >) reikia parasyti vietoj kvadratelio.a)
√25 + √
100√
25 + 100; b)√
16 + √25
√16 + 25;
c)√
81 − √64
√81 − 64; d)
√100 − √
49√
100 − 49.
20. Naudodamiesi skaiciuotuvu, nustatykite, kuris skaicius yra didesnis:
a) 1 + √2 ar
√3; b)
√5 − √
3 ar 12; c)
√7 + √
12 ar√
122 − √26.
DEM
O
Šaknys118
1.5.√
a · b
1 užduotis. Imkime dvieju neneigiamu skaiciu 4 ir 9 sandauga 4 · 9 irpanagrinekime kvadratine sakni is tos sandaugos:
√4 · 9.
1) Apskaiciuokite posaknyje esancios sandaugos reiksme.2) Is gautojo skaiciaus istraukite sakni.3) O dabar saknis istraukite is kiekvieno dauginamojo (4 ir 9) atskirai ir isiti-
kinkite, kad teisinga tokia lygybe:
√4 · 9 = √
4 · √9.
2 užduotis. O dabar posaknyje imkime sandauga, kurios vieno dauginamojosaknis neistraukiama:
√4 · 10.
1) Sakni is sandaugos uzrasykime kaip saknu is tu dauginamuju sandauga:
√4 · 10 = √
4 · √10.
2) Raskite√
4 reiksme. Is 10 saknis neissitraukia.Vadinasi,
√4 · 10 = 2 · √
10..
Rasome:√
40 = 2√
10.Sakome: Iskeleme dauginamaji pries saknies zenkla.
DEM
O
19
21. Apskaiciuokite pasinaudodami formule√
a · b = √a · √
b.
a)√
9 · 25; b)√
64 · 100; c)√
49 · 144;
d)√
400 · 0,16; e)√
0,04 · 225; f)√
10 000 · 529.
22. Pritaike formule√
a · √b = √
a · b, apskaiciuokite sandaugos reiksme.a)
√2 · √8; b)
√3 · √12; c)
√50 · √2; d)
√24 · √6; e)
√7 · √28.
23. Iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla.
a)√
9 · 5; b)√
16 · 10; c)√
15 · 25; d)√
11 · 100; e)√
36 · 3.
24. Posaknyje esanti skaiciu isskaide dauginamaisiais, iskelkite dauginamajipries saknies zenkla.
a)√
12; b)√
18; c)√
20;
d)√
27; e)√
50; f)√
48.
25. Iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla ir suprastinkite.a)
√8 + 3
√2; b)
√12 + 2
√3; c) 2
√20 − √
5; d) 3√
50 − √72.
26. Atskliauskite.a)
√2 · (
7 + √2); b)
√3 · (
6 − 2√
3);
c)√
5(√
2 + √5); d)
√7(√
3 − √7);
e) −√3(2 + √
2); f) −√
2(√
2−√3);
g) −√8(√
2+√5);h)
√6(√
2 − 2√
5).
27. Ikelkite dauginamaji po saknies zenklu.
a) 3√
2; b) 4√
2; c) 5√
2;
d) 10√
3; e) 6√
5; f) 10√
10.
28. Apskaiciuokite trikampio perimetra ir plota.
A A A
B BB
C C C
a) b) c)
4 2 8 2 5 3
4 36 2
3 2
5 2
,
DEM
O
Šaknys120
1.6.√
a : b
1 užduotis. Imkime dvieju teigiamu skaiciu 100 ir 25 dalmeni 100 : 25 irpanagrinekime kvadratine sakni is to dalmens:
√100 : 25.
1) Apskaiciuokite posaknyje esancio dalmens reiksme.2) Is gautojo skaiciaus istraukite sakni.3) O dabar, istrauke saknis is dalinio ir is daliklio, isitikinkite, kad teisinga
tokia lygybe:
√100 : 25 = √
100 :√
25.
2 užduotis. Isitikinkite, kad teisinga tokia lygybe:√
9
16=
√9√16
.
3 užduotis. Nesinaudodami skaiciuotuvu, raskite saknies√
214 reiksme.
DEM
O
21
29. Apskaiciuokite pritaike formule√
a : b = √a :
√b.
a)√
9 : 16; b)√
25 : 4; c)√
81 : 36;
d)√
10 000 : 6400; e)√
169 : 0,04; f)√
4,84 : 2,56;
g)√
144400 ; h)
√2251225 ; i)
√1,96196 ;
j)√
1 916; k)
√17
9; l)√
279.
30. Pritaike formule√
a√b
=√
ab, apskaiciuokite trupmenos reiksme.
a)√
50√2
; b)√
48√3
; c)√
45√5
; d)√
7√700
; e)√
10√40
; f)√
6√96
.
31. Apskaiciuokite.
a)√
49 · 3 1
16; b)√
1681 · 121
4; c)√
5 116 · 100
225 ;
d)√
11125 · 625
2025 ; e)√
21425 · 10 1
36; f)√
3 61100 · 136
64 .
32. Suprastinkite. Kur galima, iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla.
a) 7√
2√2
; b) 5√
310
√3; c)
√8
4√
2; d) 6
√3√
27; e) 3
√28
2√
7; f) 4
√12√48
.
33. Raskite duotuju skaiciu suma, skirtuma, sandauga ir dalmeni.
a)√
8 ir√
2; b)√
5 ir√
20; c)√
12 ir√
27; d)√
90 ir√
40.
DEM
O
Šaknys122
1.7. REIŠKINIAI SU KVADRATINĖMIS ŠAKNIMIS
Prisiminkime:
• Kai reiskinyje yra tik sudeties ir atimties veiksmai, tai tie veiksmai atliekamiis kaires i desine ta tvarka, kuria yra surasyti.
1 2 3
• Kai reiskinyje yra tik daugybos ir dalybos veiksmai, tai tie veiksmai atliekamiis kaires i desine ta tvarka, kuria yra surasyti.
1 2 3
• Kai reiskinyje yra sudeties, atimties, daugybos ir dalybos veiksmai, tai pir-miausia dauginame ir dalijame, o tada –– sudedame ir atimame.
1 243
• Kai reiskinyje yra laipsniu, tai pirmiausia apskaiciuojame laipsniu reiksmes.
1
1
2
6
2
4
3
35
DEM
O
23
34. Apskaiciuokite skaitinio reiskinio reiksme.a)
√9 · 23 − 6 : (−2); b)
√9 · (
23 − 3)
: (−2);
c)√
2 · (√2 − 2
√8) + (
2√
3)2; d) −√
50 · (3√
2 + √50
) −( √
82√
9
);
e)√
2 · (√18 − 22) + √
32; f) −√25 · (−3)2 + 4
√50√2
.
35. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.
a)(√
x + √x + 5
) · x, kai x = 4; x = 0; x = 1;
b) x2 ·√
x2 − 1, kai x = 1; x = −1; x = 2;
c) 1x+1 + 2√
x+3, kai x = 1; x = −2; x = 4.
36. 1) Uzrasykite, kam lygus apskritimo ilgis C ir jo ribojamas plotas S, jeito apskritimo spindulio ilgis r lygus:
a)√
2 cm; b)√
3 dm; c)√
5 m.2) Apskaiciuokite to apskritimo ilgio ir ploto apytiksles reiksmes (π ir
saknies reiksmes suapvaline iki desimtuju).
37. Pritaike formule (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, apskaiciuokite.
a)(3 + √
2)2; b)
(√3 + 4
)2; c)(5 − √
2)2; d)
(√10 − 2
)2;
e)(√
5 + √3)2; f)
(√2 + 2
√3)2; g)
(√5 − √
3)2; h)
(√2 − 2
√3)2.
38. Atspekite, su kuria x reiksme reiskinio:
a)√
x + √x reiksme lygi 0; lygi 2; lygi 20;
b)√
x2 + 1 reiksme lygi√
2.
DEM
O
Šaknys124
APIBENDRINAME
Neneigiamas skaicius, kurio kvadratas ly-gus skaiciui a, vadinamas kvadratinesaknimi is a. Rasoma
√a.
(√a)2 = a,√
a � 0, a � 0
Is neneigiamo skaiciaus a traukdami kvad-ratine sakni, ieskome tokio neneigiamoskaiciaus b, kurio kvadratas lygus a.
√a = b, b2 = a,
a � 0, b � 0
Kvadratine saknis is skaiciaus, kuris neraracionaliojo skaiciaus kvadratas, yra ira-cionalusis skaicius.
√2,
√3 –– iracionalieji skaiciai
• Iracionaliojo skaiciaus negalima uzrasy-ti paprastaja trupmena (a
b, a ∈ Z, b ∈ N).
• Iracionaliojo skaiciaus negalima uzrasy-ti nei baigtine desimtaine trupmena, neibegaline desimtaine periodine trupmena.
• Iracionaluji skaiciu rasant desimtainetrupmena, gaunama trupmena yra bega-line neperiodine.
√2 = 1,41421356...√3 = 1,73205080...
Skaicius π –– iracionalusis skaicius. π = 3,1415...
Kvadratiniu saknu savybes:
1)√
a · b = √a · √
b, a, b � 0√
4 · 9 = √4 · √
9 = 2 · 3√4 · 10 = √
4 · √10 = 2 · √
10
2)√
a : b = √a :
√b, a � 0, b > 0√
ab
=√
a√b
√9 : 4 = √
9 :√
4 = 3 : 2√49 =
√4√9
= 23
3) a · √b = √
a2 · b, a, b � 0 3√
5 = √32 · 5 = √
45
4)√
a2 = |a|√
42 = 4,√
(−4)2 = 4
Nubrezti atkarpas, kuriu ilgiai lygus√
2,√3,
√4,
√5, ..., galima remiantis sta-
ciaisiais trikampiais.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
DEM
O
25
Skaiciu aibes
Naturaliuju skaiciu aibe zymima raide N:
N = {1, 2, 3, ...}. .
Prie naturaliuju skaiciu aibes prijunge skaiciu 0 ir skaicius, priesingus natura-liesiems, gauname sveikuju skaiciu aibe. Ji zymima raide Z:
Z = {1, 2, 3, ...} ∪ {..., −3, −2, −1} ∪ {0} == {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Prie sveikuju skaiciu aibes prijunge trupmeninius skaicius (kurie nelygus svei-kiesiems skaiciams), gauname racionaliuju skaiciu aibe. Racionaliuju skaiciuaibe zymima raide Q:
Q = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ∪
∪
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..., −75, −6
5 , −45, −3
5, −25 , −1
5, 15 , 2
5, ...
..., −74, −6
4 , −54, −3
4, −24 , −1
4, 14 , 2
4, ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..., −72, −5
2 , −32, −1
2, 12, 3
2 , 52, 7
2 , ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prie racionaliuju skaiciu prijunge skaicius, kuriu negalima uzrasyti paprasto-siomis trupmenomis (tie skaiciai vadinami iracionaliaisiais, ju aibe zymimaraide I), gauname realiuju skaiciu aibe. Realiuju skaiciu aibe zymima raide R:
R = Q ∪ I.
Q
ZN
I
R
DEM
O
Šaknys126
SPRENDŽIAME
39. Apskaiciuokite.
a) 0,6√
196 − √289; b) 4√
144− 1
2√
36;
c) 6 − (5 ·
√425 + √
0,49); d) 3
4√
0,16 −√
0,640,2 + 51
6.
40. Ar yra tokia x reiksme, su kuria butu teisinga uzrasytoji lygybe? Atsaky-ma pagriskite.a)
√x = 1; b)
√x = −1; c) −√
x = 5;
d) −√x = −√
5; e)√
x + 3 = 0; f)√
x + 3 = 10.
41. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.a)
√8 − 2x, kai x = 4; x = −12; x = 0,8; x = 1; x = −1;
b)√
x+2√x−2
, kai x = 0; x = 1; x = 0,36; x = 14; x = 2.
42. Apskaiciuokite reiskinio√
b2 − 4ac reiksme, kai:a) a = 1, b = 8, c = 15; b) a = 1, b = 4, c = −5;
c) a = 1, b = −7, c = 12; d) a = 4, b = −5, c = 1;
e) −a = 5, b = −7, −c = 1; f) a = 2, b = −2, c = −5;
g) a = 1, b = 2, c = −1; h) a = 12 , b = −1
2, c = −112.
43. Apskaiciuokite aitvara ir laivo bures vaizduojanciu figuru plotus.
9 cm
1
3
c
m
5 cm
a) b)
3
4
16
5
7
44. Turistai is stovyklavietes pasuko siaures kryptimi ir nuejo a kilometru.Trumpai pailseje, jie iskeliavo rytu kryptimi ir nuejo dar b kilometru.Kokiu atstumu s nuo stovyklavietes nukeliavo turistai, jei:a) a = 2 km, b = 3 km? b) a = 4 km, b = 5 km?
c) a = 3,5 km, b = 4,5 km? d) a = 2320 m, b = 1 km 100 m?
Nurodykite tikslia bei apytiksle (1 m tikslumu) s reiksmes.
DEM
O
27
45. Pakelkite kvadratu.
a) 2√
5; b) −0,5√
9; c) 12
√12; d) 2
9
√81; e) −1,1
√23
4.
46. Apskaiciuokite.
a)(3√
9)2 + (
0,5√
4)2; b) −33 + 0,2
(−√25
)2 + 30;
c) 0,08 · (√100
)2 − 5−2; d) 25 :(√
0,5)2 · (5
7
)−1;
e)√√
81 +√√
9; f)√√
625 −√√
4.
47. 1) Apskaiciuokite tikslia x reiksme.
1
m
x m
x
x
6
m
8
10
a) b) c)
2 12
0
,5
8
0
2) Apskaiciuokite figuros perimetra.3) Apskaiciuokite figuros plota.
48. Surasykite skaicius didejimo tvarka.
1,4;√
2;√
1910; 1,22; 2
√0,499.
49. Surasykite skaicius mazejimo tvarka.
−5 110; −√
26; −3√
3; −√
24910 ;
(−15
)−1.
50. Apskaiciuokite kvadrato krastines ilgi, kai duotas jo plotas.
a) 6 m2; b) 35 m2; c) 120 m2; d) 5 arai; e) 7 hektarai.
Atsakyma uzrasykite metrais simtuju tikslumu.
51. Apskaiciuokite tikslia reiskinio reiksme.
a)√
(x − 2)2 + (y + 2)2, kai x = −2, y = −5;
b)√
(2 − x)2 + (3 − y)2, kai x = −1, y = −2;
c)√
(x − 8)2 + (y − 1)2, kai x = 10, y = −4;
d)√
(5 − x)2 + (6 − y)2, kai x = 2, y = 3.
DEM
O
Šaknys128
52. a) Ant skaiciu tieses nubraize statuji tri-kampi, kurio statiniu ilgiai lygus 1 ir 3,pazymekite skaiciu tieses taskus, atitin-kancius skaicius
√10 ir −√
10.b) Ant skaiciu tieses nubraize statuji tri-
kampi, pazymekite skaiciu tieses taskus,atitinkancius skaicius
√13 ir −√
13.
0 1 5
2
1
+
2
2
2
53. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.
a)(3 − 2
√5)(
3 + 2√
5); b)
(13 · √
3 − √5)(1
3 · √3 + √
5);
c)(2√
7 − 0,2√
3)(
0,2√
3 + 2√
7); d)
(6√
2 + 4√
3)(
4√
3 − 6√
2).
54. Suraskite visus iracionaliuosius skaicius√
n (cia n –– naturalusis skaicius),kurie skaiciu tieseje yra tarp:a) 2 ir 3; b) 4 ir 5; c) 7 ir 8; d) 1
2
√24 ir 0,5
√40.
55. Iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla ir suprastinkite.
a) 19
√108; b) 0,1
√180; c) −3
8
√128;
d) 1,25√
320; e) 0,02√
300; f) −0,05√
175.
56. Ikelkite dauginamaji po saknies zenklu.
a) 5√
3; b) 3√
5; c) 6√
10;
d) 10√
6; e) 8√
2; f) 2√
8.
57. Palyginkite reiskiniu reiksmes, iskeldami dauginamaji pries saknies zenk-la.
a) 4√
2 ir√
8; b) 5√
3 ir√
12; c)√
20 ir 3√
5; d) 2√
7 ir√
28.
58. Palyginkite reiskiniu reiksmes, ikeldami dauginamaji po saknies zenklu.
a) 2√
3 ir√
10; b) 10√
5 ir√
550; c)√
170 ir 5√
6; d)√
216 ir 6√
6.
59. Suprastinkite reiskini.
a) 2√
3 + 7√
3 − √2; b)
√20 − √
75 + √48;
c)√
32 + √50 − √
18; d) 2√
27 − 3√
75 − √10;
e) 12
√200 − √
162 + (√7)2; f)
(2√
3)2 − 1
9
√63 + 3
4
√112.
60. Suprastinkite reiskini.a)
√10 + 2
√10 − 4
√10; b)
√5 − √
20 + 2√
80;
c)√
27 − √243 + 13
√3; d)
√a + 2
√a − 4
√a;
e)√
y − √4y +
√y4 ; f)
√0,25ab − √
2,25a · √4b.
DEM
O
29
61. Pakelkite kvadratu.
a)(2 + 4
√6)2; b)
(√5 + 1
2
)2; c)(√
2 + 1,5)2; d)
(√12+2
√11
2
)2;
e)(5 − 2
√2)2; f)
(0,1 − 10
√3)2; g)
(√3 − 1
3
√6)2; h)
(10
√3 − √
5)2.
62. Apskaiciuokite.
a)√
0,25 · 179; b)
√214
25 · 10 916; c)
√5 1
16 ·(√80−√125
);
d)(√
44 + √99
) · √11; e)
√2·√32√3·√27
; f)√
5·√80√6+√
216;
g)√
60√15
·√
10√90
; h)√
500√5
:√
3√48
; i)√
05 ·
√3√13
.
63. Automobilis vaziavo keliu, kurio dangos trinties koeficientas lygus 0,5.Koks buvo automobilio greitis pries staigu stabdyma, jei to stabdymokelias buvo lygus: a) 15 m? b) 25 m? c) 35 m?Atsakyma uzrasykite km/h vienetu tikslumu.
64. Sraigrasparniui pakilus nuo laivo denio, pilotas mato horizonto linija, kurinuo laivo nutolusi 100 km atstumu. Kokiame aukstyje yra sraigtasparnis?
?
100 km
s (km)
h(m
)
DEM
O
Šaknys130
√2 –– iracionalusis skaicius
Irodykime, kad skaicius√
2 nera racionalusis skaicius, t. y.√
2 nelygu jokiai trupmenai ab, kur
a ir b –– naturalieji skaiciai.
1) Tarkime priesingai, kad yra tokia trupmena ab, kuri lygi
√2:
a
b= √
2.
Beje, galime laikyti, kad trupmena ab
yra nesuprastinama, t. y. tokia trupmena, kurioje a
ir b neturi bendru dalikliu (kitaip mes ja suprastintume).2) Pakelkime abi uzrasytos lygybes puses kvadratu:
(a
b
)2 = (√2)2 ⇒ a2
b2= 2.
Gautosios lygybes abi puses padauginkime is b2:
a2
b2= 2
∣∣ · b2 ⇒ a2 = 2b2.
3) Panagrinekime gautaja lygybe
a2 = 2b2.
Kadangi desines puses reiskinys 2b2 dalijasi is 2, tai ir kaires puses reiskinys a2 dalijasiis 2 (nes tie reiskiniai lygus). O tai reiskia, kad ir skaicius a dalijasi is 2 (jei a nesidalytuis 2, tai ir a · a nesidalytu is 2).
4) Kadangi a dalijasi is 2, tai yra toks naturalusis skaicius c, su kuriuo teisinga lygybe:
a = 2 · c.
5) I lygybe a2 = 2b2 vietoj a irasykime 2c:
(2c)2 = 2b2 ⇒ 4c2 = 2b2 ⇒ b2 = 2c2.
Gautoji lygybe b2 = 2c2 rodo, kad ir skaicius b2, taigi ir b, dalijasi is 2.6) Tare, kad
√2 = a
b, kur a ir b yra naturalieji skaiciai, o trupmena a
byra nesuprastinama (a
ir b neturi bendru dalikliu), irodeme, kad a dalijasi is 2 (zr. 3) zingsni) ir kad b dalijasi is2 (zr. 5) zingsni) –– priestara!
7) Vadinasi,√
2 �= ab, t. y.
√2 nera racionalusis skaicius.
UZDAVINELIS. Irodykite, kad skaicius√
3 yra iracionalus.
IRODYKITE FORMULES. Abi lygybes puses keldami kvadratu, irodykite formule:
a)√
a · b = √a · √b (a, b � 0); b)
√a : b = √
a :√
b (a � 0, b > 0).
DEM
O
Besidomintiems31
Kai nebuvo skaiciuotuvu
O kokia vieta realiame gyvenime uzima iracionalieji skaiciai, tokie kaip√
2? Turbut negirdejo-te sakant: „Prasom pasverti
√2 kg mesos!“. Bet gali tekti kalbeti apie kvadrato, kurio krastine
lygi, pvz., 1 m, istrizaines ilgi (tikslus jos ilgis nusakomas skaiciumi√
2 m). Realiame gyve-nime tokiais skaiciais nepiktnaudziaujama ... Gyvenime pakanka imti apytiksles iracionaliujuskaiciu reiksmes, kurios suprantamos kiekvienam.Siandien tereikia paspausti skaiciuotuvo klavisa ir gauname
√2 apytiksle reiksme, kuria suap-
valiname iki reikiamo zenklu skaiciaus.O kaip elgtis neturint skaiciuotuvo ar kompiuterio?Apskaiciuokime
√2 apytiksle desimtaine reiksme su trimis zenklais po kablelio.
Zinome, kad
12 < 2, o 22 > 2, t. y. 12 < 2 < 22,
todel skaicius√
2 yra tarp naturaliuju skaiciu 1 ir 2: 1 <√
2 < 2. Taigi,
√2 = 1, ...
Raskime pirmaji skaitmeni po kablelio. Nuosekliai kelkime kvadratu skaicius 1,1; 1,2 ir t. t,kol gausime daugiau uz 2:
1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25.
Kadangi 1,52 > 2, tai 1,62 jau musu nebedomina. Nustateme, kad 1,42 < 2 < 1,52. Vadinasi,1,4 <
√2 < 1,5. Taigi, skaiciaus
√2 pirmasis tikslus desimtainis skaitmuo po kablelio yra 4:
√2 = 1,4...
Kad rastume antraji skaitmeni po kablelio, is eiles kelkime kvadratu 1,41; 1,42, ... –– kolgausime daugiau uz 2:
1,412 = 1,9881; 1,422 = 2,0164.
Nustateme, kad 1,412 < 2 < 1,422. Vadinasi, 1,41 <√
2 < 1,42. O tai reiskia, kad√
2antrasis tikslus desimtainis skaitmuo po kablelio yra 1:
√2 = 1,41...
Tesdami si procesa, skaiciaus√
2 desimtainiame uzrase galime gauti tiek zenklu po kablelio,kiek mums reikia.Bet tai, zinoma, reikalauja daug laiko.Zmogus tam ir sukure „protingas“ masinas, palengvinancias jo gyvenima.
UZDAVINELIS, kuri spresdami nesinaudokite skaiciuotuvu ...1) Tarp kokiu naturaliuju skaiciu yra skaicius
√3?
2) Tarp kokiu desimtainiu trupmenu, turinciu viena skaitmeni po kablelio, yra skaicius√
3?3) Tarp kokiu desimtainiu trupmenu, turinciu du skaitmenis po kablelio, yra skaicius
√3?
DEM
O
Šaknys132
TESTAS
65.√
100 =A 10 ir −10 B 10 C −10 D 100
66.(√
16)2 =
A√
16 B 162 C 16 D −16
67. Reiskinio√
x − √y reiksme, kai x = 9, y = 4 lygi:
A 5 B 1 C√
5 D 13
68. Kas turi buti parasyta vietoj , kad lygybe −√64 = butu teisinga?
A 8 B −8 C 8 arba −8 D −64
69.√
5 apytiksle reiksme simtuju tikslumu lygi:
A 2,24 B 2,23 C 2,236 D 2,2
70.√
6 reiksme yra tarp
A 1 ir 2 B 3 ir 4 C 2 ir 3 D 5 ir 7
71. 5√
11 · 3√
11 =A 1815 B 15
√11 C 225 D 165
72.√
175 =A 7
√5 B 7
√25 C 5
√7 D 175
73. Pavaizduoto staciakampio plotas lygus:
A√
7 B 4√
7 C 7√
2 D 2√
77
2
74.(3√
5 + 2√
3)(
3√
5 − 2√
3) =
A 9√
5 − 4√
3 B 9 C 5 D 33
75.√
16 + 25 =A 9 B
√41 C 41 D 5
DEM
O
33
76.√
32 + 72 =A 10 B
√10 C
√58 D 5
77. 6√
5 − √5 =
A 5√
5 B√
5 C 6 D 30
78. Suprastine reiskini√
27 + √24 − √
48, gauname:
A 7√
3 + 2√
6 B 7√
6 C 5√
3 + √6 D 2
√6 − √
3
79. Koks zenklas turi buti parasytas vietoj :√
9 + √4
√9 + 4?
A = B < C > D �
80.(√
7)2 − (√
5)2 =
A√
2 B 2 C√
7 − √5 D 12
81.(√
7 − √5)2 =
A 2 B√
2 C 2 − 2√
35 D 12 − 2√
35
82.√
25 · 100 =A 500 B 250 C 50 D 15
83. 2√
3+√3√
3=
A 2 B 3 C 2√
3 D√
3
84. Staciakampio, kurio matmenys√
5 cm × 10 cm, istrizaine lygi:
A√
50 cm B 105 cm C√
105 cm D(10 + √
5)
cm
85.√
24 :√
6 =A 6
√2 B 2 C 2
√6 D 4
86. ABCD –– kvadratas. Kam lygus nuspalvintosfiguros plotas?
A√
122 B
√20 C 8 D 4
A
B C
D
4
DEM
O
Šaknys134
PASITIKRINAME
87. Ar lygybe yra teisinga?
a)√
16 = 4; b)√
36 = −6; c) −√1 = −1; d)
(√0)2 = 0.
88. Apskaiciuokite.
a)√
25 − √64; b) 1
3
√81 − (√
2)2;
c)(2√
7)2 · (−√
5)2; d) 2,5
√144 :
(√6)2.
89. Apskaiciuokite pavaizduotos figuros perimetra ir plota.
a) b) c)
f)
20
29
30 8 cm
35
851
2
d) e)
6
0
6
m
m
90. Skaiciuotuvu apskaiciuokite kvadratines saknies reiksme.
a)√
7; b)√
29; c)√
105; d)√
500.Atsakyma pateikite simtuju tikslumu.
91. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.
a)(2√
5)2 − √
13 · √13; b) 3 · (−√
6)2 + 0,2 · (√3
)2; c) 3√
7·√721 .
92. Apskaiciuokite kvadrato perimetra P ir istrizaines ilgi d, kai kvadratoplotas lygus: a) 13 cm2; b) 20 cm2; c) 48 mm2.
93. Surasykite skaicius didejimo tvarka.
a)√
8;√
15; −2√
3; 3√
4; −√17;
b) 0,3;√
1115; −0,1; −√
0,3;√
127.
94. Skaiciuotuvu nustatykite apytiksle saknies reiksme desimtuju tikslumu irnurodykite jos apytiksle vieta skaiciu tieseje.
a)√
11; b)√
28; c)√
50; d) −√10.
DEM
O
35
95. Apskaiciuokite pritaike formule (a + b)(a − b) = a2 − b2.a)
(√11 + 4
)(√11 − 4
); b)
(5√
2 − 20)(
5√
2 + 20);
c)(√
5 − 2√
3)(√
5 + 2√
3); d)
(3√
2 + 1)(
1 − 3√
2).
96. Apskaiciuokite pritaike formule (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.
a)(6 − √
3)2; b)
(√5 + √
7)2; c)
(2√
2 − √8)2.
97. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.a)
√6x + 4, kai x = 10; x = 0; x = 0,14;
b) 3x2 − 6, kai x = √7; x = −√
10; x = 4√
3.
98. Apskaiciuokite reiskinio reiksme.
a)√
2 · √18; b)
√50 · √2; c)
√45 · √
80; d)√
18√2
;
e)√
50√2
; f)√
540√15
; g)√
9 · 25; h)√
719 .
99. Iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla.a)
√1000; b)
√40; c)
√135; d)
√320.
100. Suprastinkite.a) 6
√3 + 4
√3 + 2
√3; b) 9
√5 + √
5 − 3√
5; c)√
11 + 4√
11 − √7.
101. Atskliauskite.a)
√6 · (4 + √
6); b) 2√
3 · (√3 + 4
); c) 3
√5 · (√
5 − √3).
102. Iskelkite dauginamaji pries saknies zenkla ir suprastinkite.
a) 2√
160 − 3√
40; b) 10√
20 + √180; c) 1
4
√48 − 1
3
√27.
103. Apskaiciuokite.
a)√
144 · 81100 ; b)
√0,04 · 4 41
100; c)√
8,22 − 1,82; d)√
145 · 1
5.
104. Geometrine figura sudaryta is kvadrato ir dvie-ju lygiakrasciu trikampiu. Kvadrato plotas ly-gus 36 cm2. Apskaiciuokite figuros perimetrair plota.
105. Lemputes galia 40 vatu. Jos kaitinimo siulelio varza 32 omai. Kokiai op-timaliai elektros sroves itampai pritaikyta si lempute? Atsakyma (voltais)suapvalinkite iki vienetu.
DEM
O
Šaknys136
KARTOJAME
106. Kas daugiau:a) 20% skaiciaus 50 ar 50% skaiciaus 20?b) 15% skaiciaus 40 ar 40% skaiciaus 15?c) 22% skaiciaus 33 ar 33% skaiciaus 22?d) b% skaiciaus a ar a% skaiciaus b?
107. Raskite skaiciu A, jei zinoma, kad:a) 20% skaiciaus A lygu 17,5; b) 15% skaiciaus A lygu 221
3;
c) 25,5% skaiciaus A lygu 25,5; d) 3313% skaiciaus A lygu 662
3.
108. Kiek procentu skaiciaus A sudaro skaicius b, jei:a) A = 100, b = 12? b) A = 250, b = 10?
c) A = 72, b = 26? d) A = 44,4, b = 213?DE
MO
37
PRISIMENAME TAI, KO PRIREIKS KITAME SKYRIUJE
109. Raskite kiekvieno duotojo skaiciaus moduli:
5; 2,3; 412; 0; −5; −2,3; −101
3.
110. Raskite skaiciu tieseje suzymetus taskus atitinkanciu skaiciu modulius.
0 1
B C A D
111. Koordinaciu plokstumoje nubraizytas keturkampis ABCD.
0
1
1
2
2
3
–1
–1–2–3
–2
A B
CD
1) Surasykite keturkampio virsuniu koordinates.2) Koks yra keturkampis ABCD?
A Kvadratas B Staciakampis C Lygiagretainis D Trapecija3) Apskaiciuokite keturkampio plota.
112. 1) Nusibraizykite koordinaciu plokstuma.2) Toje plokstumoje nubraizykite:
a) statuji trikampi ABC;b) lygiasoni trikampi LMN ;c) kvadrata OPRS;d) lygiasone trapecija KV UZ.
3) Surasykite jusu nubraizytu figuru virsuniu koordinates.
DEM
O
120
Atsakymai
1.1. Kvadratas ir kvadratinė šaknis
1. a) 4; b) 40; c) −0,04; d) 15; e) 1,5; f) −15; g) 12; h) 2
3 ; i) 32; j) 11
2;
k) −56; l) −11
5.
2. a) 10; 0,1; 1100; b) 16; 1,6; 160; 1
16; c) 34; 5
11 ; 43 ; 11
5 ; d) 113; 21
2; 135;
e)√
10;√
20;√
120;
√3
10;√
123;
√23
4.
3. a) 5; 0,5; 5; 0,5; b) 212; 32
3; 212; 32
3.
4. 1) a) a = √3 cm; b) a = √
12 mm; c) a = √0,5 m.
2) a) S = 2 cm2; b) S = 3 mm2; c) S = 5 dm2.
5. a) x = 5 m; b) x = 6 cm; c) x = 12; d) x = √13 cm; e) x = √
20;f) x = √
48.
DEM
O
121
Atsakymai
1.2.√
1,
√2,
√3,
√4, ...
6. a)√
11 = 3,31662479036... ≈ 3,32;b)
√78 = 8,83176086633... ≈ 8,83;
c)√
205 = 14,3178210633... ≈ 14,32;d)
√99 = 9,94987437107... ≈ 9,95.
7. x ≈ 22,4 m.
8. a) −√5; −√
2; 0;√
1;√
2;√
4;√
5;b) −√
7; −√6; −√
2;√
2;√
6;√
7;
c) −√
35; −√
0,5;√
23;
√0,67;
√34 .
9. a)√
3;√
2;√
1; −√1; −√
2; −√3;
b)√
10;√
9;√
8;√
19; −√
8; −√9;
c) 2;√
213;
√2,2; −3,2; −√
11; −√
1514.
10. a) x = √45 = 6,7... ≈ 7 (cm);
b) x = √12 = 3,4... ≈ 3 (m);
c) x = √50 = 7,0, ... ≈ 7 (dm).
11. a) r = √2 = 1,1414... ≈ 1,41 (cm);
b) r = √5 = 2,236... ≈ 2,24 (dm);
c) r = √10 = 3,162... ≈ 3,16 (mm).
DEM
O
122
Atsakymai
1.3. Skaičiaus√
2 vieta skaičių tiesėje
12. 1 <√
3 < 2; 2 <√
5 < 3; 2 <√
6 < 3; 2 <√
8 < 3; 3 <√
10 < 4;3 <
√12 < 4.
00 1 2 3 4
3 5 6 8 10 12
13.
0
0 0
1
1 12
1
2
2
5
8
1
0
5
8– 10
– 5
1)
2)
3
14. 1) a) A(−√5), B(−√
2,5), C(√
13
), D
(√157
), E
(√21
2
), F
(√3);
b) L(−√
10), M
(−
√9910
), N
(−
√145
), P
(−√0,001
), R
(√1
10
),
S(√
2), T
(23
4
).
2) a) O yra tarp B ir C; G yra tarp C ir D; Z yra tarp B ir C;b) O yra tarp P ir R; G yra tarp R ir S; Z yra tarp N ir P .
15. a) 6,3 arba −6,3; 12,6 arba −12,6; b) 7,3 arba −5,3; 13,6 arba −11,6.DEM
O
123
Atsakymai
1.4.√
a + √a
16. a) 2√
15; b) 3√
15; c) 16√
15; d) 0; e)√
15; f) −√15; g) −√
7; h)√
10.
17. a) 4√
3 cm; b) 3√
7 dm; c) 6√
5 m; d) 8√
10 mm;e) 5
√15 cm; f) 7
√a cm.
18. a) 4,5√
3; b) 2√
2; c) 2,1√
5; d) 1112
√6; e) 0,5
√3; f) −√
2;
g) −0,1√
5; h) 512
√6.
19. 1) 2 + 3 = 5; 2)√
13 = 3,60... ≈ 3,6; 3)√
4 + √9 >
√4 + 9;
4) a)√
25 + √100 >
√25 + 100;
b)√
16 + √25 >
√16 + 25;
c)√
81 − √64 <
√81 − 64;
d)√
100 − √49 <
√100 − 49.
20. a) 1 + √2 ≈ 2,4 >
√3 ≈ 1,7; b)
√5 − √
3 ≈ 0,504 > 12;
c)√
7 + √12 ≈ 6,1 >
√122 − √
26 ≈ 5,9.
DEM
O
124
Atsakymai
1.5.√
a · b
21. a) 15; b) 80; c) 84; d) 8; e) 3; f) 2300.
22. a) 4; b) 6; c) 10; d) 12; e) 14.
23. a) 3√
5; b) 4√
10; c) 5√
15; d) 10√
11; e) 6√
3.
24. a)√
12 = √4 · 3 = 2
√3; b)
√18 = √
9 · 2 = 3√
2;c)
√20 = √
4 · 5 = 2√
5; d)√
27 = √9 · 3 = 3
√3;
e)√
50 = √25 · 2 = 5
√2; f)
√48 = √
16 · 3 = 4√
3.
25. a) 2√
2 + 3√
2 = 5√
2; b) 2√
3 + 2√
3 = 4√
3; c) 4√
5 − √5 = 3
√5;
d) 15√
2 − 6√
2 = 9√
2.
26. a) 7√
2 + 2; b) 6√
3 − 6; c)√
10 + 5; d)√
21 − 7; e) −2√
3 − √6;
f) −2 + √6; g) −4 − 2
√10; h) 2
√3 − 2
√30.
27. a)√
18; b)√
32; c)√
50; d)√
300; e)√
180; f)√
1000.
28. a) P = 12√
2, S = 12; b) P = 24√
2, S = 48; c) P = 12√
3, S = 18.
DEM
O
125
Atsakymai
1.6.√
a : b
29. a) 34; b) 5
2 ; c) 32 ; d) 5
4; e) 65; f) 118 ; g) 3
5; h) 37 ; i) 1
10 ; j) 54 ; k) 4
3; l) 53 .
30. a) 5; b) 4; c) 3; d) 110; e) 1
2 ; f) 14 .
31. a) 23 · 7
4 = 76 = 11
6; b) 49 · 7
2 = 149 = 15
9; c) 94 · 10
15 = 32 = 11
2; d) 65 · 25
45 = 23;
e) 85 · 19
6 = 7615 = 5 1
15; f) 1910 · 10
8 = 198 = 23
8 .
32. a) 7; b) 12; c) 1
2 ; d) 2; e) 3; f) 2.
33. a)√
8 = 2√
2;2√
2 + √2 = 3
√2, 2
√2 − √
2 = √2, 2
√2 · √2 = 4, 2
√2 :
√2 = 2;
b)√
20 = 2√
5;√5 + 2
√5 = 3
√5,
√5 − 2
√5 = −√
5,√
5 · 2√
5 = 10,√5 : (2
√5) = 1
2;
c)√
12 = 2√
3,√
27 = 3√
3;2√
3 + 3√
3 = 5√
3, 2√
3 − 3√
3 = −√3, 2
√3 · 3
√3 = 18,
2√
3 : (3√
3) = 23;
d)√
90 = 3√
10,√
40 = 2√
10;3√
10 + 2√
10 = 5√
10, 3√
10 − 2√
10 = √10, 3
√10 · 2
√10 = 60,
3√
10 : 2√
10 = 32.
DEM
O
126
Atsakymai
1.7. Reiškiniai su kvadratinėmis šaknimis
34. a) 3 · 8 + 3 = 27; b) 3 · (8 − 3) : (−2) = 3 · 5 : (−2) = −7,5;c) I budas. 2 − 2 · √
2 · √8 + 4 · 3 = 2 − 2
√16 + 12 = 2 − 8 + 12 = 6;
II budas.√
2 ·(√2−4√
2)+4 ·3 = √2 ·(−3
√2)+12 = −6+12 = 6;
d) −30 − 50 −√
23 = −80 −
√2
3 ; e) 6 − 4√
2 + 4√
2 = 6;f) −5 · 9 + 20 = −25.
35. a) 20; 0; 1 + √6; b) 0; 0; 4
√3; c) 1; 1; 1
5 + 2√7
.
36. a) C = 2√
2π ≈ 2 ·1,4 ·3,1 = 8,68 (cm), S = 2π ≈ 2 ·3,1 = 6,2 (cm2);b) C = 2
√3π ≈ 2·1,7·3,1 = 10,54 (dm), S = 3π ≈ 3·3,1 = 9,3 (dm2);
c) C = 2√
5π ≈ 2 ·2,2 ·3,1 = 13,64 (m), S = 5π ≈ 5 ·3,1 = 15,5 (m2).
37. a) 11 + 6√
2; b) 19 + 8√
3; c) 27 − 10√
2; d) 14 − 4√
10; e) 8 + 2√
15;f) 14 + 4
√6; g) 8 − 2
√15; h) 14 − 4
√6.
38. a) 0; 1; 100; b) −1 ir 1.
DEM
O
127
Atsakymai
Sprendžiame
39. a) 0,6 · 14 − 17 = −8,6;b) 4
12 − 112 = 3
12 = 14;
c) 6 − (5 · 2
5 + 0,7) = 6 − 2,7 = 3,3;
d) 34 · 0,4 − 0,8
0,2 + 516 = 3
10 − 4 + 516 = 1 7
15 .
40. a) x = 1, nes√
1 = 1; b) ne, nes√
x � 0; c) ne, nes −√x � 0;
d) x = 5, nes −√5 = −√
5; e) ne, nes√
x � 0 ir√
x + 3 � 0;f) x = 49, nes
√49 + 3 = 10.
41. a) Kai x = 4, tai√
8 − 2x = 0; kai x = −12, tai√
8 − 2x = 4√
2;kai x = 0,8, tai
√8 − 2x = √
6,4; kai x = 1, tai√
8 − 2x = √6;
kai x = −1, tai√
8 − 2x = √10;
b) kai x = 0, tai√
x+2√x−2
= −1; kai x = 1, tai√
x+2√x−2
= −3;
kai x = 0,36, tai√
x+2√x−2
= 137 ; kai x = 1
4, tai√
x+2√x−2
= 53;
kai x = 2, tai√
x+2√x−2
=√
2+2√2−2
.
42. a) 2; b) 6; c) 1; d) 3; e)√
29; f) 2√
11; g) 2√
3; h)√
314.
43. a) 84 cm2; b) 327,5.
44. a)√
13 km ≈ 3,6055 km ≈ 3606 m;b)
√41 km ≈ 6,4031 km ≈ 6403 m;
c)√
32,5 km ≈ 5,7008 km ≈ 5701 m;d)
√6592400 m ≈ 2568 m.DE
MO
128
Atsakymai
Sprendžiame
45. a) 20; b) 2,25; c) 3; d) 4; e) 3131400 .
46. a) 9 · 9 + 0,25 · 4 = 81 + 1 = 82; b) −27 + 0,2 · 25 + 1 = −25,5;c) 0,08 · 100 − 1
25 = 72425; d) 25 : 0,5 · 7
5 = 70;
e)√
9 + √3 = 3 + √
3; f)√
25 − √2 = 5 − √
2.
47. 1) a)√
5 m; b)√
56; c) 2√
10;2) a) (
√6 + √
5 + 1) m; b) 4√
2 + 8√
3; c) 4√
5 + 2√
10;
3) a)√
52 m2; b) 8
√6; c) 10.
48.
√1910; 1,4; 2
√0,4999;
√2; 1,22.
49. −√
24910 ;
(−15
)−1; −√26; −5 1
10; −3√
3.
50. a) 2,45 m; b) 5,92 m; c) 10,95 m; d) 22,36 m; e) 264,58 m.
51. a) 5; b)√
34; c)√
29; d) 3√
2.
DEM
O
129
Atsakymai
Sprendžiame
52. Patarimas. Trikampio statinius imkite lygius 2 ir 3.
53. a) −11; b) −423; c) 27,88; d) −24.
54. a)√
5,√
6,√
7,√
8; b)√
17,√
18, . . .,√
24;c)
√50,
√51, . . .,
√63; d)
√7,
√8.
55. a) 19 · 6
√3 = 2
3
√3; b) 0,1 · 6
√5 = 0,6
√5; c) −3
8 · 8√
2 = −3√
2;
d) 1,25 · 8√
5 = 10√
5; e) 0,02 · 10√
3 = 0,2√
3;f) −0,05 · 5
√7 = −0,25
√7.
56. a)√
75; b)√
45; c)√
3600; d)√
600; e)√
128; f)√
32.
57. a) 4√
2 > 2√
2; b) 5√
3 > 2√
3; c) 2√
5 < 3√
5; d) 2√
7 = 2√
7.
58. a)√
12 >√
10; b)√
500 <√
550; c)√
170 >√
150; d)√
216 = √216.
59. a) 9√
3 − √2; b) 2
√5 − 5
√5 + 4
√3 = −3
√5 + 4
√3;
c) 4√
2 + 5√
2 − 3√
2 = 6√
2; d) 6√
3 − 15√
3 − √10 = −9
√3 − √
10;e) 1
2 · 10√
2 − 9√
2 + 7 = −4√
2 + 7;
f) 4 · 3 − 19 · 3
√7 + 3
4 · 4√
7 = 12 − 13
√7 + 3
√7 = 12 − 8
3
√7.
60. a) −√10; b)
√5 − 2
√5 + 8
√5 = 7
√5; c) 3
√3 − 9
√3 + 13
√3 = 7
√3;
d) −√a; e)
√y − 2
√y +
√y
2 = −12√
y;f) 0,5
√ab − 1,5
√a · 2
√b = −2,5
√ab.
DEM
O
130
Atsakymai
Sprendžiame
61. a) 100+16√
6; b) 514 +√
5; c) 4,25+3√
2; d) 612 +2
√3; e) 33−20
√2;
f) 300,01 − 2√
3; g) 323 − 2
√2; h) 325 − 20
√15.
62. a) 0,5 · 43 = 2
3; b) 85 · 13
4 = 265 = 51
5; c) 94 · (
4√
5 − 5√
5) = −21
4
√5;
d)(2√
11 + 3√
11) · √11 = 5
√11 · √
11 = 55; e)√
2·4√2√
3·3√3
= 89;
f)√
5·4√5√
6+6√
6= 20
7√
6; g)
√6·√10·√10√15·√15·√6
= 10√
615
√6
= 23;
h) 10√
5√5
· 4√
3√3
= 10 · 4 = 40; i) 0.
63. a) ≈ 39 km/h; b) ≈ 50 km/h; c) ≈ 59 km/h.
64. ≈ 816 m.
DEM
O
131
Atsakymai
Testas
65. B.
66. C.
67. B.
68. B.
69. A.
70. C.
71. D.
72. C.
73. D.
74. D.
75. B.
DEM
O
132
Atsakymai
Testas
76. C.
77. A.
78. D.
79. C.
80. B.
81. D.
82. C.
83. B.
84. C.
85. B.
86. C.
DEM
O
133
Atsakymai
Pasitikriname
87. a), c), d) –– taip; b) –– ne.
88. a) −3; b) 1; c) 140; d) 5.
89. a) P = 60, S = 210;
b) P = 100, S = 150√
10;
c) P = 24 cm, S = 16√
3 cm2;
d) P = 16 + 8√
5, S = 32√
5;
e) P = 10 + 2√
35, S = 5√
35;
f) P = 4√
3 mm, S = 3 mm2.
90. a) 2,65; b) 5,39; c) 10,25; d) 22,36.
91. a) 7; b) 18,6; c) 1.
92. a) P = 4√
13 cm, d = √26 cm;
b) P = 8√
5 cm, d = 2√
10 cm;
c) P = 16√
3 mm, d = 4√
6 mm.
93. a) −√17; −2
√3;
√8;
√15; 3
√4;
b) −√0,3; −0,1; 0,3;
√1115;
√12
7.
94.
0
0 0
01
1 1
111 3,3ª
50 7,1ª – 10 –3,2ª
28 5,3ª
a)
c) d)
b)
DEM
O
134
Atsakymai
Pasitikriname
95. a) −5; b) −350; c) −7; d) −17.
96. a) 39 − 12√
3; b) 12 + 2√
35; c) 0.
97. a) 8; 2; 2,2; b) 15; 24; 138.
98. a) 6; b) 10; c) 60; d) 3; e) 5; f) 6; g) 15; h) 223.
99. a) 10√
10; b) 2√
10; c) 3√
15; d) 8√
5.
100. a) 12√
3; b) 7√
5; c) 5√
11 − √7.
101. a) 4√
6 + 6; b) 6 + 8√
3; c) 15 − 3√
15.
102. a) 4√
40 − 3√
40 = √40;
b) 10√
20 + 3√
20 = 13√
20;
c)√
3 − √3 = 0.
103. a) 10,8; b) 0,42; c) 8; d) 35.
104. P = 36 cm, S = (36 + 18
√3)
cm2.
105. U ≈ 36 V.
DEM
O
135
Atsakymai
Kartojame
106. Abu skaiciai yra lygus.
107. a) 87,5; b) 14889; c) 1131
3; d) 200.
108. a) 12 %; b) 4 %; c) 3619 %; d) 5 85
333 %.
DEM
O
136
Atsakymai
Prisimename tai, ko prireiks kitame skyriuje
109. 5; 2,3; 412; 0; 5; 2,3; 101
3.
110. A – 2,5; B – 4; C – 2,5; D – 4.
111. 1) A(−3; 2), B(1; 2), C(2; −2), D(−3; −2); 2) D. 3) 18.
112. Be komentaru...DE
MO
ISBN 978-9955-879-62-6
DEM
O
ISBN 978-9955-879-76-3
DEM
O
Pagrindiniai skyreliai
3
5. KVADRATINĖS LYGTYS 5.1. Kvadratinė lygtis 6 5.2. Lygtis ax 2 + bx = 0 85.3. Lygtis ax 2 + c = 0 10 5.4. Sprendžiame sudėtingesnes lygtis ax 2 + c = 0 12 5.5. Kvadratinės lygties sprendinių formulės 14 5.6. Kvadratinės lygties sprendinių skaičius 165.7. Sudėtingesnės kvadratinės lygtys 18 5.8. Tekstiniai uždaviniai 20
6. PANAŠIEJI TRIKAMPIAI TRIKAMPIŲ PANAŠUMO POŽYMIAI 6.1. Kokie trikampiai vadinami panašiaisiais 44 6.2. Trikampių panašumo požymis pagal du kampus 46 6.3. Trikampių panašumo požymis pagal dvi kraštines
ir kampą tarp jų 48 6.4. Trikampių panašumo požymis pagal tris kraštines 50 PANAŠIŲJŲ TRIKAMPIŲ SAVYBĖS 6.5. Kaip nuo trikampio atkirsti panašų į jį trikampį 60 6.6. Trikampio vidurio linija ir jos savybės 62 6.7. Kam lygus panašiųjų trikampių plotų santykis 64 6.8. Trikampio pusiaukraštinių savybė 66
7. ERdVINIAI KūNAI KūGIO PAVIRŠIAUS PLOTAS IR TūRIS 7.1. Kūgis 84 7.2. Kūgio paviršiaus plotas 86 7.3. Kūgio tūris 88 PIRAMIdĖS PAVIRŠIAUS PLOTAS IR TūRIS 7.4. Taisyklingosios piramidės 94 7.5. Taisyklingųjų piramidžių aukštinės 96 7.6. Piramidės paviršiaus plotas 98 7.7. Piramidės tūris 100
8. STATISTIKA IR TIKIMYBĖS 8.1. Kas taikliausias? 118 8.2. Kas atvirs dažniau? 120 8.3. Ar yra ryšys? 122
DEM
O
5 skyrius
4
Uzdaviniai –– panasus, o lygtys –– skirtingos
Paveikslelyje pavaizduotas staciakampis sklypas. To sklypo vienas krastas yra14 metru ilgesnis uz kita krasta.
1 UZDAVINYS.1) Trumpesniojo krasto ilgi pazymeje x-u, uzrasykite formule, kuria remiantis
butu galima apskaiciuoti sio sklypo:a) perimetra P ; b) plota S.
2) Naudodamiesi formulemis, apskaiciuokite sklypo perimetra ir plota, kaix = 50 m.
2 UZDAVINYS.Apskaiciuokite sklypo trumpesniojo krasto ilgi x, kai zinoma, kad sklypo pe-rimetras P = 92 metrai.
3 UZDAVINYS.Apskaiciuokite sklypo trumpesniojo krasto ilgi x, kai zinoma, kad sklypo plotasS = 480 kvadratiniu metru.
DEM
O
Kvadratinės lygtys
5
• Pakartosime,kaipsprendžiamosnepilnosioskvadratinėslygtys ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ir ax2 = 0.
• Mokysimėsspręstipilnąsiaskvadratineslygtis ax2 + bx + c = 0.
5.1. Kvadratinė lygtis 6 5.2. Lygtis ax 2 + bx = 0 8 5.3. Lygtis ax 2 + c = 0 105.4. Sprendžiame sudėtingesnes lygtis ax 2 + c = 0 125.5. Kvadratinės lygties sprendinių formulės 145.6. Kvadratinės lygties sprendinių skaičius 165.7. Sudėtingesnės kvadratinės lygtys 185.8. Tekstiniai uždaviniai 20
Apibendriname 22Sprendžiame 24 Besidomintiems 28
Diskriminantas – iš kur jis atsirado?Kam lygi kvadratinės lygties sprendinių suma ir sprendinių sandauga?Bikvadratinės lygtys
Testas 34Pasitikriname (atsakymai – 124 puslapyje) 36Kartojame 38Prisimename tai, ko prireiks kitame skyriuje 40
Šiameskyriujenagrinėsimekvadratineslygtis,t.y.tokiaslygtis,kuriasgalimaužrašytitaip:
ax2 + bx + c = 0.DEM
O
Kvadratinės lygtys56
5.1. KVADRATINĖ LYGTIS
1 užduotis. Uzrasykite kvadratine lygti ax2 + bx + c = 0, kurioje:a) a = 2, b = 3, c = 1; b) a = 3, b = −2, c = 4;
c) a = 1, b = −1, c = 0; d) a = −1, b = 0, c = −2.
2 užduotis. Pasakykite kvadratines lygties ax2 + bx + c = 0 koeficientu a,b ir c reiksmes, jei ta lygtis yra:
a) 2x2 + 3x + 1 = 0; b) 3x2 − 2x + 4 = 0;
c) −x2 + x + 4 = 0; d) x2 − 5 = 0.
3 užduotis. Tikrindami kiekviena debeselio skaiciu,nustatykite, kurie is ju yra duotosios lygties sprendiniai.
a) 2x2 + 3x + 1 = 0; b) x2 − 5x + 6 = 0;c) x2 − 1 = 0; d) x2 + 2x = 0.
DEM
O
7
1. Uzrasykite kvadratine lygti ax2 + bx + c = 0, kurioje:
a) b) c) d) e) f) g) h) i)a = 2 −2 −2 1 −1 1 1
2 −23 −1
2b = 3 3 −3 2 −2 1 0 1 0c = 1 −1 2 −4 4 1 2 0 0
2. Parasykite kvadratines lygties ax2 + bx + c = 0 koeficientu a, b ir c
reiksmes, jei ta lygtis yra:
a) 3x2 − 17x + 4 = 0; b) −2x2 + 3x − 1 = 0; c) x2 + x − 4 = 0;
d) x2 − x + 3 = 0; e) −x2 + x − 3 = 0; f) −x2 − x = 0;
g) −0,2x2 + 2x = 0; h) −15x2 − 5 = 0; i) 1
3x2 = 0.
3. Duotaja lygti parasykite kaip ax2 + bx + c = 0 ir nurodykite koeficientua, b ir c reiksmes.a) x(x − 4) = 0; b) −2x(x − 1) = 0; c) x(4 + x) = 4;
d) (4x − 1)x = 12; e) 1
2x − x2 = 2; f) 0,4x2 = x(x − 1).
4. Tikrindami kiekviena is skaiciu −2; 0; 1, nustatykite, kurie is ju yraduotosios lygties sprendiniai.
a) x2 − 4 = 0; b) x2 − 1 = 0; c) 2x2 = 0;
d) x2 − x = 0; e) −x2 + 2x = 0; f) 4x2 + 3x = 0;
g) x2 + x − 2 = 0; h) 4x2 + 4x − 8 = 0; i) −x2 − x + 2 = 0.
5. Paveikslelyje pavaizduotas staciakampis (S –– jo plotas).
x
x x – 1x + 2
a) b) c)
S 3 cm= 2
S 1,5= cm
2 S 1= m
2
––
1x
1 2
Naudodamiesi paveikslelio duomenimis:1) Uzrasykite lygti x reiksmei apskaiciuoti.2) Gautaja lygti uzrasykite kaip ax2+bx+c = 0 ir nurodykite koeficientu
a, b ir c reiksmes.
3) Tikrindami debeselyje surasytas x reiksmes,nustatykite, kurios is ju yra jusu gautoskvadratines lygties sprendiniai.
4) Kokio ilgio (centimetrais) yra staciakampiokrastines?
–3; –2; –1;
0;
1; 2; 3.
DEM
O
Kvadratinės lygtys58
5.2. LYGTIS ax2 + bx = 0
Užduotis. Imkime kvadratines lygtis, neturincias laisvojo nario, pavyzdziui:
a) x2 + 5x = 0; b) x2 − x = 0; c) 2x2 + 8x = 0.
Isspreskite kiekviena ta lygti, kairiaja jos puse skaidydami dauginamaisiais.
DEM
O
9
6. Kairiaja lygties puse skaidydami dauginamaisiais, isspreskite lygti:a) x2 + 4x = 0; b) y2 − 12y = 0; c) −2z2 + 8z = 0;
d) x2 + 4,6x = 0; e) y2 − 7,02y = 0; f) −z2 − 3,4z = 0;
g) x2 + 13x = 0; h) y2 − 4
5y = 0; i) −5z2 + 427z = 0.
7. Raskite lygties sprendinius.a) x2 = 12x; b) y2 = −8y; c) −3z2 = 4z;
d) x2 = 0,2x; e) y2 = 1,3y; f) −2z2 = −2,8z;
g) x2 = 215x; h) y2 = − 6
13y; i) −z2 = −415z.
8. Trys draugai sprende kvadratine lygti −2x2 + 6x = 0.
1) Kuris sprendimas jums priimtiniausias?2) Isspreskite kvadratine lygti jums patogiu budu.a) 3x2 − 6x = 0; b) 4y2 + 8y = 0; c) 5z2 − 15z = 0;
d) −2x2 + 16x = 0; e) −12y2 − 24y = 0; f) −6z2 + 42z = 0;
g) 12x2 + 5x = 0; h) −1
3y2 + 8y = 0; i) 12z = − 112z2;
j) −8x = −14x2; k) 7y = −1
4y2; l) −13z2 = 4
5z.
9. Su kuriomis y reiksmemis duotojo dvinario reiksme lygi 0?a) 2
3y2 + 1,4y; b) 0,3y + 12y2; c) 4,2y2 − 3,2y; d) −y2 − y.
10. Nezinoma skaiciu pazymekite x. Tada sudarykite duotaji sakini atitinkan-cia lygti. Apskaiciuokite tos lygties sprendinius.a) Nezinomo skaiciaus kvadratas lygus trecdaliui to nezinomo skaiciaus.b) Du trecdaliai nezinomo skaiciaus lygus vienam ketvirtadaliui to nezi-
nomo skaiciaus kvadrato.Atsakyme nurodykite teigiamaji nezinoma skaiciu.
DEM
O
Kvadratinės lygtys510
5.3. LYGTIS ax2 + c = 0
1 užduotis. Isspreskite lygti, kairiaja jos puse skaidydami dauginamaisiais.
a) x2 − 25 = 0; b) x2 − 100 = 0.
2 užduotis. Isitikinkite, kad duotoji lygtis sprendiniu neturi.
a) x2 + 25 = 0; b) x2 + 100 = 0.DEM
O
11
11. Isspreskite lygti ir pasitikrinkite, ar teisingai issprendete.
a) x2 − 4 = 0; b) y2 − 25 = 0; c) z2 − 169 = 0;
d) x2 − 14 = 0; e) y2 − 1
25 = 0; f) z2 − 49 = 0;
g) x2 − 0,01 = 0; h) y2 − 0,25 = 0; i) z2 − 2,25 = 0.
Naudodamiesi pavyzdziais, isspreskite 12–15 uzdaviniu lygtis.
12. a) x2 = 100; b) y2 = 25;
c) x2 = 14; d) y2 = 1
9;
e) x2 = 4,41; f) y2 = 0,0001;
g) x2 = 1625; h) y2 = 1 9
16 .
13. a) 5x2 − 500 = 0; b) 2y2 − 8 = 0;
c) −3x2 + 12 = 0; d) −4y2 + 64 = 0;
e) 2x2 = 18; f) −5y2 = −20;
g) 10x2 = 0,1; h) −3y2 = −43.
14. a) 12x2 = 2; b) 1
3y2 = 3;
c) −12x2 = −1
2; d) −19y2 = −4
9;
e) −14x2 + 1 = 0; f) −1
5y2 + 20 = 0;
g) 17x2 − 4
7 = 0; h) 111y2 − 4
11 = 0;
i) 913 − 1
13x2 = 0; j) 47 − 1
7y2 = 0.
15. a) 4x2 − 9 = 0;b) 16x2 = 9;c) −25x2 + 9 = 0;d) −81 = −4y2;e) 4
9y2 = 1,69;
f) −49y2 = 0.
16. Sudare kvadratine lygti, apskaiciuokite, koks skaicius buvo sugalvotas,jei:a) sugalvota skaiciu pakelus kvadratu ir atemus 10 000, buvo gautas 0;b) sugalvota skaiciu pakelus kvadratu ir pridejus 4, buvo gauta 5;c) sugalvoto skaiciaus kvadrata padauginus is 2 ir atemus 12,5, gauta 0;d) sugalvoto skaiciaus kvadrata padauginus is −3 ir atemus −3, gauta 3.
DEM
O
Kvadratinės lygtys512
5.4. SPRENDŽIAME SUDĖTINGESNES LYGTIS ax2 + c = 0
1 užduotis. Isspreskite lygti, kairiaja jos puse skaidydami dauginamaisiais.
a) x2 − 10 = 0; b) x2 − 7 = 0; c) x2 − 2 = 0.
2 užduotis. Isitikinkite, kad duotoji lygtis sprendiniu neturi.
a) x2 + 10 = 0; b) x2 + 7 = 0; c) x2 + 2 = 0.
3 užduotis. Nustatykite lygties sprendinius.
a) 2x2 − 20 = 0; b) 2x2 + 20 = 0; c) 12x2 − 5 = 0; d) 3
2x2 + 15 = 0.
DEM
O
13
17. Isspreskite lygti ir pasitikrinkite, ar teisingai issprendete.a) x2 − 3 = 0; b) y2 − 6 = 0; c) z2 − 11 = 0;
d) x2 − 12 = 0; e) y2 − 1
3 = 0; f) z2 − 110 = 0;
g) x2 − 0,1 = 0; h) y2 − 1,7 = 0; i) z2 − 2,3 = 0.
Isspreskite 18–20 uzdaviniu lygtis.
18. a) x2 − 12 = 0; b) y2 − 24 = 0;
c) 20 − x2 = 0; d) 27 − y2 = 0;
e) x2 = 108; f) y2 = 54;
g) −x2 = −125; h) −18 = −y2;
i) x2 = 0,001; j) y2 = 1125 .
19. a) x2 − 225 = 0; b) y2 − 81
3 = 0;
c) x2 = 92; d) y2 = 7
100;
e) −x2 = −163 ; f) −y2 = − 3
16;
g) x2 = 149; h) y2 = 2 5
16;
i) −2 125 = −x2; j) −31
4 = −y2.
20. a) 2x2 − 9 = 0; b) 3x2 − 25 = 0; c) 5x2 − 16 = 0;
d) 6x2 = 4; e) 7x2 = 100; f) 11x2 = 144;
g) −25 = −3x2; h) −49 = −17x2; i) −121 = −5x2.
21. Skritulio plotas lygus 36 cm2. Kvadrato plotas didesnis uz skritulio plota12 cm2. Apskaiciuokite kvadrato krastines ilgi.
22. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuokite y reiksme.
y
4y
a) b) c)
0,2y
y
1,2y
0,2y
S� 5 cm= 2
S� 12 m= m
2
S� 2= m
2
23. Raskite teigiama skaiciu, kurio dviguba kvadrata sumazine 16 vienetu,gausime 0.
DEM
O
Kvadratinės lygtys514
5.5. KVADRATINĖS LYGTIES SPRENDINIŲ FORMULĖS
Užduotis. Isspreskite kvadratine lygti x2 − 5x + 6 = 0.
1) Nurodykite lygties koeficientus a, b, c.
2) Apskaiciuokite diskriminanta D, t. y. reiskinio b2 − 4ac reiksme.
3) Is diskriminanto istraukite kvadratine sakni:√
D.
4) Apskaiciuokite viena lygties sprendini: x = −b+√D
2a.
5) Apskaiciuokite antra lygties sprendini: x = −b−√D
2a.
6) Patikrinkite, ar gautosios x reiksmes tenkina lygti.
7) Parasykite atsakyma. DEM
O
15
24. Duota kvadratine lygtis:a) 2x2 + 3x + 1 = 0; b) 2x2 − 3x + 1 = 0; c) 2x2 + 5x + 2 = 0;
d) 2x2 − 7x + 3 = 0; e) 3x2 + 11x + 6 = 0; f) 4x2 − 11x + 6 = 0;
g) x2 + x − 30 = 0; h) x2 − x − 12 = 0; i) x2 − x − 20 = 0;
j) 3x + 2x2 + 1 = 0; k) −1 + 3x − 2x2 = 0; l) 2x2 + 3 + 7x = 0.
1) Uzrasykite lygti kaip ax2 + bx + c = 0 ir nurodykite koeficientus a,b ir c.
2) Apskaiciuokite diskriminanto reiksme.3) Raskite, kam lygi kvadratine saknis is diskriminanto.4) Apskaiciuokite lygties sprendinius.
25. Apskaiciuokite lygties sprendinius.
a) x2 − 12x − 3 = 0; b) x2 + 1
2x − 3 = 0; c) x2 − 53x − 26 = 0;
d) x2 + 212x + 1 = 0; e) x2 − 41
2x + 412 = 0; f) 4x2 − 22
5x − 920 = 0;
g) 7x − 3x2 − 2 = 0; h) x2 + 54 − 3x = 0; i) −4 − 3
2x2 − 7x = 0.
26. Apskaiciuokite kvadratines lygties nezinoma koeficienta, kai zinomas toslygties diskriminantas D.a) x2 + x + c = 0, D = 49; b) ax2 + 5x + 4 = 0, D = 9;
c) x2 + bx + 10 = 0, D = 9; d) 2x2 − 3x + c = 0, D = −7;
e) ax2 − x − 1 = 0, D = −3; f) −x2 + bx + 3 = 0, D = 13.
DEM
O
Kvadratinės lygtys516
5.6. KVADRATINĖS LYGTIES SPRENDINIŲ SKAIČIUS
Užduotis. Duotos trys kvadratines lygtys:
I x2 + 2x − 8 = 0 II x2 − 6x + 9 = 0 III x2 + 3x + 5 = 0
1) Apskaiciuokite I lygties diskriminanta. Raskite tos lygties sprendinius. Kiekskirtingu sprendiniu turi ta lygtis? Palyginkite diskriminanto reiksme su 0ir parasykite zenkla >, < arba =:
D 0.
2) Apskaiciuokite II lygties diskriminanta. Raskite tos lygties sprendinius.Kiek skirtingu sprendiniu turi ta lygtis? Palyginkite diskriminanto reiksmesu 0 ir parasykite zenkla >, < arba =:
D 0.
3) Apskaiciuokite III lygties diskriminanta. Ar turi prasme kvadratine saknisis to diskriminanto? Paaiskinkite kodel. Palyginkite diskriminanto reiksmesu 0 ir parasykite zenkla >, < arba =:
D 0.
4) Remdamiesi issprestais pavyzdziais, pasakykite, kaip nuo diskriminantozenklo priklauso kvadratines lygties sprendiniu skaicius.
DEM
O
17
27. Apskaiciuokite kvadratines lygties diskriminanta, o tada nurodykite, kieksprendiniu turi ta lygtis.
a) 2x2 + 5x − 7 = 0; b) 3x2 − 7x + 8 = 0;
c) 4x2 + 4x + 1 = 0; d) 9x2 − 6x + 2 = 0;
e) 2x2 + x + 67 = 0; f) x2 + 12x + 36 = 0;
g) −4 − 2x2 + 7x = 0; h) −3x2 − 5 + x = 0;
i) −10 + 12x − 3x2 = 0; j) −5 + x2 = 0.
28. Persibraizykite ir uzpildykite lentele.Kvadratine lygtis Koeficientai Diskrimi- Sprendiniu Sprendiniai
a b c nantas skaicius x1 = −b−√D
2ax2 = −b+√
D2a
x2 + x + 10 = 0 1 1 10 −39 0 – –
3x2 + 2x − 7 = 0 3 2 −7 88 2 −1−√22
3−1+√
223
x2 − 14x + 49 = 0 1 −14 49 0 1 7 –
4x2 + 6x + 9 = 0
2x2 − 3x + 1 = 0
x2 + 16x + 48 = 0
x2 − x − 7 = 0
2x2 + 3x − 2 = 0
−2x2 + x + 3 = 0
29. Kvadratine lygtis x2 − 2x + c = 0 turi du skirtingus sprendinius.1) Ar tos lygties koeficientas c gali buti lygus
a) 0? b) −1? c) 1? d) 5?2) Nurodykite visu galimu c reiksmiu intervala.
30. Uzrasykite kokia nors kvadratine lygti ax2 + bx + c = 0, kuri:a) turetu du skirtingus sprendinius; b) turetu vieninteli sprendini;c) neturetu sprendiniu; d) turetu du sprendinius x = 1, x = 2.
DEM
O
Kvadratinės lygtys518
5.7. SUDĖTINGESNĖS KVADRATINĖS LYGTYS
Užduotis. Isspreskite lygti.
a) x2 − 25 = x − 5; b) x(x − 3) = 2; c) 10x2 = 2(9x + 2).
DEM
O
19
31. Isspreskite lygti ir pasitikrinkite, ar teisingai issprendete.a) x2 − 4x = x − 6; b) x2 + 2x = 5 − 2x; c) x2 + x = 24 − 4x;
d) x2 + 5x = 4x + 42; e) 8x2 + 2x = −8x − 3; f) 2x2 − 4x = 2 − x.
32. Su kuriomis y reiksmemis:
a) tr inaris y2 − 11y + 31 igyja reiksme, lygia 1?
b) daugianariu y2 − 5y − 3 ir 2y − 5 reiksmes yra lygios?
c) dvinario 7y + 1 reiksmes lygios trinario 3y2 − 2y + 1 reiksmems?
d) trinario −2y2 + 5y + 6 reiksmes lygios dvinario 4y2 + 5y reiksmems?
33. Isspreskite lygti.
a) x2−12 − x = 2;
b) x2−48 − 2x+3
5 = 1;
c) x2+36 − x+4
3 = 5;
d) 3x+45 − x2−4x−6
10 = −1;
e) x2+2x+112 − 7−x
4 = x2 ;
f) 3−x5 = x−2
4 + x2−4x+48 .
34. Raskite lygties sprendinius.a) x(x − 1) = 72; b) y(y + 1) = 56; c) z(z − 8) = −15;
d) x(3x − 1) − 3 = 1; e) y(2y − 1) − 1 = 2; f) z(3z + 11) − 4 = 10;
g) 3x(x + 4
3
) = −20; h) 5y(y + 4
5
) − 28 = 0; i) 2z(z − 3
2
) = −1.
35. Su kuriomis nezinomojo reiksmemis duotoji lygybe yra teisinga?a) (x − 5)2 = 225; b) (x + 8)2 = 169; c) (2x − 1)2 = 4;
d) (3 − 5x)2 = 81; e) 4(x + 3)2 = 12; f) 12(x − 4)2 = 5.
36. Raskite lygties sprendiniu suma ir sandauga.
a) x(x−3)6 − x
2 = 0; b) x(x+1)3 + 8+x
4 = 2; c) (x+1)(x−1)2 − x−1
3 = 1.
DEM
O
Kvadratinės lygtys520
5.8. TEKSTINIAI UŽDAVINIAI
Užduotis. Pries pradedami mokytis si skyriu, nemokejome spresti uzdavinio:
Apskaiciuokite staciakampio perimetra, jei zinoma, kad viena jo krastine 14 milgesne uz kita, o plotas lygus 480 m2 (zr. 4 psl., 3 UZDAVINYS).
Isspreskite ji dabar.
Prisiminkime
S a b
:
sta= ◊ ¨= ¨
čiakampio plotas
2( + ) stačiakampio perimetrasP a b
a
b
x
x + 4
DEM
O
21
37. Reikia aptverti staciakampi sklypa, kurio vienas krastas 10 m ilgesnis uzkita. Sklypo plotas lygus 1200 m2. Apskaiciuokite tvoros ilgi.
38. Apskaiciuokite staciakampio plota, jei vienastaciakampio krastine yra 14 cm ilgesne uz ki-ta, o istrizaines ilgis yra 34 cm.
a
c
b
c a b2
+= 2 2
39. Staciakampio plotis sudaro 75% jo ilgio. Apskaiciuokite sio staciakampioperimetra, jei jo plotas lygus 48 cm2.
40. Skaiciu 120 isreikskite sandauga dvieju skaiciu, kuriu pirmasis 2 vienetaismazesnis uz antraji.
41. Dvieju vienas po kito einanciu naturaliuju skaiciu sandauga 109 vienetaisdidesne uz ju suma. Raskite siuos skaicius.
42. Apskaiciuokite staciojo trikampio statiniu ilgius, jei vienas ju 4 cm trum-pesnis uz kita, o izambines ilgis yra 20 cm.
43. Saleje is viso yra 884 vietos. Vietu skaicius eileje yra 8 vienetais didesnisuz eiliu skaiciu. Kiek eiliu yra saleje?
44. Paveiksleli 12 cm × 18 cm uzklijavus ant lapo,kurio plotas lygus 280 cm2, susidare vienodoplocio remeliai. Koks remeliu plotis? tevukas
I n t e r n e t i n ë p a r d u o t u v ë
45. Paveikslelyje parodyta, kaip is staciakampio kartono lapo padaryta atviradezute: lapo kampuose iskirpti kvadrateliai, kuriu krastines lygios 5 cm, irsusidare krastai uzlenkti. Kokio dydzio buvo kartono lapas, jeigu jo ilgisbuvo dvigubai didesnis uz ploti, o gautos dezutes turis lygus 1500 cm3?
5
5
xcm
2 cmx 2 – 10x x–
1
0
5
46. Is uosto vienu metu isplauke du garlaiviai: vienas i siaure, antras –– i rytus.Po 2 valandu atstumas tarp ju buvo 60 km. Raskite kiekvieno garlaiviogreiti, jei vienas ju per valanda nuplaukia 6 km daugiau negu kitas.
47. Jeigu kiekvienas sachmatu turnyro dalyvis suzaistu po viena partija sukiekvienu kitu dalyviu, tai is viso butu suzaista 231 partija. Kiek yraturnyro dalyviu?
DEM
O
Kvadratinės lygtys522
APIBENDRINAME
Lygtys, kurias galima uzrasyti kaip
ax2 + bx + c = 0,
kuriose a, b, c –– skaiciai (a �= 0),x –– nezinomasis, vadinamos kvadratine-mis lygtimis.
5x2 − x + 1 = 0a = 5, b = −1, c = 1
Kvadratines lygtys, kuriose:• arba b = 0 → ax2 + c = 0,• arba c = 0 → ax2 + bx = 0,• arba ir b, ir c = 0 → ax2 = 0,vadinamos nepilnosiomis kvadratinemislygtimis.
x2 −9 = 0 (a = 1, b = 0, c = −9)x2 + 3x = 0 (a = 1, b = 3, c = 0)2x2 = 0 (a = 2, b = 0, c = 0)
Nepilnoji kvadratine lygtis ax2 = 0 turiviena sprendini: x = 0.
2x2 = 0,x = 0.
Nepilnoji kvadratine lygtis ax2 +bx = 0turi du sprendinius: x1 = 0 ir x2 = −b
a .Ja patogu spresti kairiaja puse skaidantdauginamaisiais:ax2 + bx = 0,x(ax + b) = 0,x = 0 arba ax + b = 0,
x = −ba .
x2 + 3x = 0,x(x + 3) = 0,x = 0 arba x + 3 = 0,
x = −3.
Nepilnoji kvadratine lygtis ax2 + c = 0gali arba tureti du skirtingus sprendinius
x1 =√
− ca ir x2 = −
√− c
a , arba netureti
sprendiniu:• kai − c
a > 0, tai lygtis turi du sprendi-nius;
• kai − ca < 0, tai lygtis sprendiniu neturi.
4x2 − 16 = 0,x2 − 4 = 0,x2 − 22 = 0,(x − 2)(x + 2) = 0,x1 = 2, x2 = −2.
4x2 + 16 = 0,x2 + 4 = 0, sprendiniu nera.
Lygties ax2+c = 0 (kur − ca > 0) spren-
dinius galima rasti kairiaja puse skaidantdauginamaisiais pagal formulea2 − b2 = (a − b)(a + b).
x2 − 2 = 0,x2 − (√
2)2 = 0,(
x − √2)(
x + √2) = 0,
x1 = √2, x2 = −√
2.
DEM
O
23
Pilnaja kvadratine lygti patogu sprestinaudojantis diskriminantu.ax2 + bx + c = 0D = b2 − 4ac –– diskriminantas• Kai D > 0, tai
x1 = −b−√D
2a,
x2 = −b+√D
2a
–– du sprendiniai.
• Kai D = 0, taix = −b
2a–– vienas sprendinys.
• Kai D < 0, tai lygtis sprendiniu neturi.
x2 − 5x + 6 = 0,D = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1,x1 = 5−1
2 = 2,
x2 = 5+12 = 3.
x2 − 4x + 4 = 0, D = 0, x = 2.
x2 − 5x + 7 = 0,D = −3, sprendiniu nera.
Dar karta uzdavinys apie staciakampi sklypa
Grizkime prie jau du kartus mineto uzdavinio (zr. 4 psl. ir 20 psl.).
Salyga. Staciakampio sklypo vienas krastas yra 14 m ilgesnis uz kita krasta.To sklypo plotas lygus 480 m2. Kam lygus to sklypo krastu ilgiai?
Sprendimas.1) Vieno krasto ilgi pazymekime x, kito –– y.2) Pagal salyga: x − y = 14.3) Pagal salyga: x · y = 480.4) Sudarome lygciu sistema:{
x − y = 14,x · y = 480.
x
y
5) Is sistemos pirmos lygties isreikskime x ir ta israiska istatykime i antralygti.{x = 14 + y,(14 + y) · y = 480; →
{x = 14 + y,
y2 + 14y − 480 = 0.
6) Issprendziame gauta kvadratine lygti:
y2 + 14y − 480 = 0, D = 2116,√
D = 46,
y1 = −30 (netinka pagal uzdavinio prasme), y2 = 16.
Vadinasi, y = 16.7) Apskaiciuojame x reiksme: x = 14 + y = 14 + 16 = 30.
Atsakymas. Sklypo krastai lygus 16 m ir 30 m.
DEM
O
Kvadratinės lygtys524
SPRENDŽIAME
48. Parasykite duotaja lygti kaip ax2 + bx + c = 0 ir nurodykite koeficientua, b ir c reiksmes.a) 2x(x + 2) = 8x + 3; b) x(x − 15) = 3 · (108 − 5x);
c) x2−15 = 5; d) 9−x2
5 = x;
e) 2x2+x3 − 2−3x
4 = x2−66 ; f) x2+x
4 − 3−7x20 = 0,3.
49. Isspreskite kvadratine lygti, neturincia laisvojo nario.
a) 4,2x − x2 = 0; b) −3,4y + y2 = 0; c) z2 − 17,6z = 0;
d) 1,2x2 = 4,2x; e) 3,6y2 = −4y; f) 3,2z2 = 12z;
g) 15x + x2 = 0; h) 12
5y + y2 = 0; i) z2 − 1527z = 0;
j) 12x = 4x2; k) −22
3y2 = 12y; l) −74z = −2
7z2;
m)−25x2 − 3x = 0; n) −12
5y2 + y = 0; o) 4,2z − 15z2 = 0.
50. Su kuria nelygia nuliui x reiksme:a) du trecdaliai nezinomo skaiciaus x kvadrato lygus dvigubam tam ne-
zinomam skaiciui?b) penktadalis nezinomo skaiciaus x lygus trigubam to nezinomo skai-
ciaus kvadratui?c) 22% nezinomo skaiciaus x ir puse to nezinomo skaiciaus kvadrato
skirtumas lygus 0?
51. Su kuria a reiksme pavaizduotu figuru plotai yra lygus?
aa
a a
7 cm
5 mm
a) b)
52. Raskite nepilnosios kvadratines lygties neigiama sprendini.
a) 12x2 = 8; b) −1
3y2 = 3; c) −4 = −19z2;
d) x2 = 23; e) −y2 = 11
2; f) z2 = −423;
g) 2x2 = 1,2; h) −y2 = 7,2; i) 12z2 = −6,4;
j) x2 − 145 = 0; k) −y2 − 11
9 = 0; l) −3z2 = −223 .
DEM
O
25
53. Su kuria a reiksme pavaizduotu figuru plotai yra lygus (π reiksme imkitelygia 3)?
a a
3 + 2a
3–
2a
a) b)
30∞5
3
3
54. Raskite teigiama lygties sprendini.
a) x2−15 = 5; b) 9−x2
6 = 1;
c) 4 = y2−52 ; d) −7 = y2−1
3 ;
e) −z2+14 = 1; f) 5 = 1−z2
5 ;
g) x2+12 = 4; h) x2+1
3 = 5.
55. Isspreskite lygti.
a) 4y2−56 − 2y2−3
4 = 3; b) 5y2+96 − 4y2−9
5 = 3;
c) 3y2−118 + 74−2y2
12 = 10; d) 8y2−35 + 9y2−5
4 = 2;
e) y2−12 = 2y2−3
5 + 1; f) y2−54 − 15−y2
5 = y2−43 ;
g) x2 − x2
3 = x2
4 − x5 ; h) −x−1
2 + x2−13 = −x2−1
4 + x−16 .
56. Isspreskite lygti.
a) 4x2 − 43x + 1
9 = 0; b) 125y2 − 6
5y + 9 = 0;
c) (2z − 3)2 = 11z − 19; d) (x + 2)2 = 3131 − 2x;
e) 15x2 + 17 = 15(x + 1)2; f) (y − 2)2 + 48 = (2 − 3y)2;
g) x2−12 − 11x = 11; h) z2+z
2 = 8z−73 .
57. Su kuriomis y reiksmemis:a) dvinariu y2 − 6y ir 5y − 18 reiksmes yra lygios?b) trinariu 3y2 − 4y + 3 ir y2 + y + 1 reiksmes yra lygios?c) trinaris 3y2 − 8y − 2 igyja reiksme, lygia 1?d) dvinario y − 1 kvadratas lygus 111
25?e) dvinario 5y + 1 kvadratas lygus 0?f) dvinario −11y − 11 kvadratas lygus −11?
DEM
O
Kvadratinės lygtys526
58. Raskite lygties sprendinius.a) (4 − x)2 = 1; b) (4 + x)2 = −16;
c) (2,5 − x)2 = 1,44; d) (4,5 + x)2 = 0,01;
e)(32
5 + x)2 = 1
4; f)(x − 11
2
)2 = −49;
g) 2(5y − 2,1)2 − 2,88 = 0; h) −3(5 − 3,2z)2 − 3,63 = 0;
i) 2(4 − 1
3x)2 − 100 = 0; j) −(
7 − 23y
)2 + 38 = 0.
59. Raskite kvadratines lygties didziausia sprendini.a) 5(x + 1) = x(x − 1);b) x(x − 15) = 3(108 − 5x);c) 47 − x(3x + 4) = 2(17 − 2x) − 62;d) (3x − 8)2 − (4x − 6)2 + (5x − 2)(5x + 2) = 96;e) (2x − 7)2 + (3x − 5)2 − (4x − 9)(4x + 9) = 2(64 − 29x).
60. Staciojo trikampio statiniu ilgiai vienas nuo kito skiriasi 4,6 cm, o izam-bines ilgis lygus 7,4 cm. Apskaiciuokite statiniu ilgius.
61. Staciakampio plotas lygus 60 cm2, o krastiniu ilgiu skirtumas lygus 4 cm.Raskite to staciakampio krastiniu ir istrizaines ilgius.
62. Pagal brezinio duomenis sudare ir issprende lygti, apskaiciuokite stacia-kampio ilgi ir ploti.
a) b) c)
1,5x
x
0,3y
y+
1
2,5z – 1
z+
1
0,96 m
2
10,8 dm
2
1000 mm
2
DEM
O
27
63. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuokite staciakampio trum-pesniosios krastines ilgi x (P –– perimetras, S –– plotas).
x
x
a) b)
P
S
62 cm
240 cm
== 2
BD
P
17 cm
46 cm
==
A
B C
D
64. a) Dvieju skaiciu skirtumas lygus 5, o ju kvadratu suma lygi 157. Raskitetuos skaicius.
b) Dvieju skaiciu suma lygi 2, o ju kvadratu suma lygi 202. Raskite tuosskaicius.
65. 1) Paveikslelyje pavaizduotas reiskinio ax2 + c (a, c –– skaiciai) grafikas.
0 0 0
1
1
1
1
1
yx
+
1
=2
yx
1
=2
–
yx
–
+
1
=2
a) b) c)
–1
2) Paveikslelyje pavaizduotas reiskinio ax2+bx (a, b –– skaiciai) grafikas.
0 0 0
1
1 2
1
yx
x+
2
=2
yx
x2
=2
–
yx
x–
+
2
=2
a) b) c)
–1
–1
–1
–22
Nustatykite, su kuriomis x reiksmemis reiskinio reiksmes lygios 0; dides-nes uz 0; mazesnes uz 0; lygios 1.
66. Nurodykite galimas a reiksmes, jei zinoma, kad lygtis ax2 − 5x + 3 = 0:a) turi du skirtingus sprendinius; b) turi vieninteli sprendini.
67. Staciakampio sodo ilgis 5 kartus didesnis uz ploti. Jei sodo ploti padidin-tume 9 m, tai jo plotas padidetu 4 kartus. Kokie yra sodo matmenys?
DEM
O
Kvadratinės lygtys528
Diskriminantas –– is kur jis atsirado?
Isveskime kvadratines lygties ax2 + bx + c = 0, a �= 0, sprendiniu formules, kuriomis jau nekarta rememes.Padalykime visus lygties ax2 + bx + c = 0 narius is a. Is a dalyti galima, nes a �= 0 (antraiplygtis nebutu kvadratine):
x2 + b
ax + c
a= 0.
Is trinario x2 + bax + c
aisskirkime dvinario kvadrata. Tenka gudrauti (nari b
ax parasykime taip
2 · b2a
· x bei pasitelkime nuliui lygu skirtuma(
b2a
)2 − (b2a
)2):
x2 + b
ax + c
a= x2 + 2 · x · b
2a+
(b
2a
)2
︸ ︷︷ ︸dvinario kvadratas
−(
b
2a
)2
+ c
a=
=(
x + b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2.
Gavome lygti:
(x + b
2a
)2 − b2 − 4ac
4a2= 0.
Panagrinekime trupmena b2−4ac4a2 . Trupmenos vardiklyje yra reiskinys 4a2. Kadangi a �= 0,
tai 4a2 visada teigiamas. Vadinasi, trupmenos zenklas priklauso tik nuo skaitiklio zenklo.Skaitiklyje yra reiskinys b2 − 4ac. Sis reiskinys gali buti tiek teigiamas, tiek neigiamas, tieklygus nuliui. Reiskinys b2 − 4ac vadinamas kvadratines lygties diskriminantu ir zymimasraide D.
Panagrinekime lygti:(x + b
2a
)2 − D4a2 = 0.
Tos lygties sprendiniu skaicius priklauso nuo diskriminanto zenklo.• Kai D < 0, tai D
4a2 < 0 (paaiskinkite kodel). Vadinasi, turime:
(x + b
2a
)2
+ Teigiamas skaicius = 0.
Si lygtis sprendiniu neturi (paaiskinkite kodel).• Kai D = 0, tai kvadratine lygtis turi viena sprendini:
(x + b
2a
)2
− 0
4a2= 0,
(x + b
2a
)2
= 0, x + b
2a= 0, x = − b
2a.
DEM
O
Besidomintiems29
• Kai D > 0, tai D4a2 > 0 (paaiskinkite kodel). Vadinasi, turime:
(x + b
2a
)2 − D
4a2= 0, kur
D
4a2> 0.
Si lygtis turi du sprendinius. Kairiaja lygties puse isskaidykime dauginamaisiais:
(x + b
2a
)2
−(√
D
4a2
)2
= 0,
(x + b
2a
)2
−(√
D
2a
)2
= 0,
(x + b
2a−
√D
2a
)(x + b
2a+
√D
2a
)= 0,
(x + b − √
D
2a
)(x + b + √
D
2a
)= 0.
Is cia:
arba x + b − √D
2a= 0, arba x + b + √
D
2a= 0,
x1 = −b − √D
2a, x2 = −b + √
D
2a,
x1 = −b + √D
2a, x2 = −b − √
D
2a.
Taigi kvadratines lygties ax2 + bx + c = 0 sprendinius galima rasti pagal formules:
x1 = −b + √b2 − 4ac
2a, x2 = −b − √
b2 − 4ac
2a.
Jas galima uzrasyti kaip viena formule:
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac
2a.
Kvadratines lygties sprendima galima pateikti schema:
D� 0
D � 0
D �0
��
b
a2
x � �
x1
� � ���
2
b D
a
x2
� � ���
2
b D
a
Sprendiniø nëra
ax bx c2
+ + 0�
DEM
O
Kvadratinės lygtys530
Kam lygi kvadratinės lygties sprendinių suma irsprendinių sandauga?
Imkime kvadratine lygti
ax2 + bx + c = 0,
turincia du sprendinius.Ta lygti galima redukuoti, t. y. parasyti lygtimi, kurios koeficientas prie x2 butu lygus 1.Tam tereikia abi lygties puses padalyti is a. Is a dalyti galima, nes a �= 0 (antraip lygtis nebutukvadratine):
ax2 + bx + c = 0∣∣ : a, (a �= 0)
x2 + b
ax + c
a= 0.
Redukuotoje lygtyje koeficienta prie x pazymekime raide p, o laisvaji nari –– raide q:
b
a= p,
c
a= q.
Kitaip sakant, bet kuria kvadratine lygti galima uzrasyti taip:
x2 + px + q = 0.
Raskime redukuotosios kvadratines lygties sprendinius ir paziurekime, kam lygi ju suma irkam lygi ju sandauga.Sprendziame lygti:
x2 +px +q = 0.
1) Randame D = p2 − 4 · 1 · q = p2 − 4q .2) Randame lygties sprendinius:
x1 = −p − √D
2, x2 = −p + √
D
2.
3) Apskaiciuokime tu sprendiniu suma:
x1 + x2 = −p − √D
2+ −p + √
D
2= −p − √
D − p + √D
2= −2p
2= −p.
DEM
O
Besidomintiems31
4) Apskaiciuokime tu sprendiniu sandauga:
x1 · x2 = −p − √D
2· −p + √
D
2=
=(−p − √
D) · (−p + √
D)
4= −(
p + √D
) · (−p + √D
)4
=
=(p + √
D) · (
p − √D
)4
= p2 − (√D
)2
4= p2 − D
4.
Kadangi D = p2 − 4q , tai gauname
x1 · x2 = p2 − D
4= p2 − (
p2 − 4q)
4= p2 − p2 + 4q
4= 4q
4= q.
Taigi mes ka tik irodeme vadinamaja Vijeto teorema:
Jei redukuotoji kvadratine lygtis x2 + px + q = 0 turi du sprendinius x1 ir x2, tai
x1 + x2 = −p,
x1 · x2 = q.
Teisingas ir atvirkstinis teiginys:
Jei skaiciu m ir n suma lygi −p, o ju sandauga lygi q , tai sie skaiciai yra lygties x2+px+q = 0sprendiniai, t. y. x1 = m, x2 = n.
Uždaviniai1. Duota kvadratine lygtis turi du sprendinius.
a) x2−11x+10 = 0; b) x2−15x+50 = 0; c) x2+17x+30 = 0; d) x2−3x−40 = 0.
Nespresdami lygties pasakykite, kam lygi jos sprendiniu suma, sprendiniu sandauga, irnustatykite sprendinius.
2. Naudodamiesi Vijeto teorema, apskaiciuokite lygties sprendinius.
a) x2 + x − 1 = 0; b) x2 + 5x + 6 = 0;c) 2x2 − 10x + 8 = 0; d) −3x2 + 3x + 36 = 0;e) 2x2 − 8x + 8 = 0; f) x2 + 2x + 1 = 0.
3. 1) Uzrasykite kokia nors kvadratine lygti, kurios sprendiniai butu duotieji skaiciai.a) x1 = 5, x2 = −2; b) x1 = −3, x2 = −2; c) x1 = 6, x2 = 8.
2) Uzrasykite kvadratine lygti, kurios sprendiniai butu tie patys duotieji skaiciai, o:a) koeficientas prie x2 butu lygus 5;b) koeficientas prie x butu lygus −3;c) laisvasis narys butu lygus 1
2 .
DEM
O
Kvadratinės lygtys532
Bikvadratines lygtys
Lygtys, kurias galima uzrasyti kaip
ax4 + bx2 + c = 0; x –– nezinomasis, a, b, c –– skaiciai, nelygus 0,
vadinamos bikvadratinemis.
UZDAVINYS. Isspreskime bikvadratine lygti
x4 − 10x2 + 9 = 0.
Bikvadratine lygti galima pakeisti kvadratine. Nezinomaji x2 pazymekime kokia nors raide,pavyzdziui, raide t . Tada:
x2 = t, x4 = (x2
)2 = t2.
Lygtyje x4 − 10x2 + 9 = 0 vietoj x2 parase t , o vietoj x4 parase t2, turime lygti, kuriosnezinomasis yra t , o pati lygtis –– kvadratine:
t2 − 10t + 9 = 0.
Issprendziame ta kvadratine lygti –– randame t reiksmes:
t1 = 1, t2 = 9.
Griztame prie zymejimo x2 = t –– randame x reiksmes.
Kai t = 1, tai:
x2 = 1,
x2 − 1 = 0,
(x − 1)(x + 1) = 0,
x = 1 arba x = −1.
Kai t = 9, tai:
x2 = 9,
x2 − 9 = 0,
(x − 3)(x + 3) = 0,
x = 3 arba x = −3.
Vadinasi, lygtis x4 − 10x2 + 9 = 0 turi 4 sprendinius.
Atsakymas. x = −3, x = −1, x = 1, x = 3.
DEM
O
Besidomintiems33
Uždaviniai1. Duota bikvadratine lygtis:
a) x4 − 5x2 + 4 = 0; b) x4 − 9x2 + 20 = 0; c) x4 − 2x2 + 34 = 0;
d) x4 + x2 − 20 = 0; e) x4 − 3x2 − 4 = 0; f) x4 + x2 − 34 = 0;
g) x4 − 3x2 + 4 = 0; h) 5x4 + x2 + 15 = 0; i) −x4 + x2 − 1 = 0.
1) Kiek sprendiniu turi bikvadratine lygtis?
2) Apskaiciuokite bikvadratines lygties sprendinius.3) Pabaikite sakini: Jei bikvadratine lygtis turi 4 sprendinius, tai ...
2. Uzrasykite kokia nors bikvadratine lygti, kuri:a) neturi sprendiniu; b) turi du sprendinius; c) turi keturis sprendinius.
3. Sudarykite bikvadratine lygti, kuri:a) turi keturis sprendinius: x1 = 5, x2 = −5, x3 = 2, x4 = −2;b) turi du sprendinius: x1 = 1, x2 = −1.
4. Ivede nauja nezinomaji, isspreskite lygti:
a)(x2 − 1
)2 + 2(x2 − 1
) + 1 = 0; b)(2x2 + 2
)2 − 2(2x2 + 2
) − 8 = 0.
DEM
O
Kvadratinės lygtys534
TESTAS
68. Kiek sprendiniu turi kvadratine lygtis:a) x2 + x = 0? A Nei vieno B Viena C Du
b) x2 − 1 = 0? A Nei vieno B Viena C Du
c) x2 + 1 = 0? A Nei vieno B Viena C Du
d) x2 + x + 1 = 0? A Nei vieno B Viena C Du
e) x2 + x − 1 = 0? A Nei vieno B Viena C Du
f) x2 + 2x + 1 = 0? A Nei vieno B Viena C Du
69. Imkime kvadratine lygti
ax2 + bx = 0 (cia a �= 0).
Turime tris teiginius:a) Kai b = 0, tai lygtis turi viena sprendini (x = 0).b) Kai b �= 0, tai lygtis turi du skirtingus sprendinius.c) Vienas lygties sprendinys lygus 0.Kurie is teiginiu yra teisingi?A Tik a) B Tik b) C Tik c) D Tik a) ir b) E Tik a) ir c)F Tik b) ir c) G Visi trys
70. Imkime kvadratine lygti
ax2 + c = 0 (cia a �= 0).
Ar teisingas teiginys?a) Kai c = 0, tai lygtis turi viena sprendini (x = 0).b) Kai a > 0 ir c > 0, tai lygtis sprendiniu neturi.c) Kai a < 0 ir c < 0, tai lygtis turi du sprendinius.d) Kai a > 0, o c < 0, tai lygtis sprendiniu neturi.e) Kai a < 0, o c > 0, tai lygtis turi du sprendinius.
A Taip B NeA Taip B NeA Taip B NeA Taip B NeA Taip B Ne
71. Nurodykite maziausia lygties sprendini.a) 2x2 = 0; A −1 B 0 C 2 D Lygtis sprendiniu neturib) x2 = 9; A −9 B −3 C 0 D 3 E 9c) −2x2 − 2 = 0;
A −2 B −1 C 0 D 1 E 2 F Lygtis sprendiniu neturid) x2 + 2x − 2 = 0;
A −2 B −1 C −2√
3 D −1 − √3 E −1 + √
3F Lygtis sprendiniu neturi
DEM
O
35
72. Nuo 24 cm2 ploto staciakampio ABCD, kurio viena krastine 5 cm trum-pesne uz kita, nukirptas statusis trikampis (paveikslelyje jis nuspalvintas).
A
B C
D
1) Nukirpto trikampio plotas lygus:
A 24 cm2 B 12 cm2 C 2√
6 cm2 D 2√
3 cm2
2) Sio staciakampio perimetras lygus:
A 10 cm B 5 cm C 22 cm D 11 cm
3) Staciakampio istrizaines ilgis lygus:
A 11 cm B 73 cm C 8,5 cm D√
73 cm
73. Nuo kvadrato nukirptas 24 cm2 ploto statusis trikampis, kurio vienas sta-tinis 2 cm ilgesnis uz kita statini.
1) Kam lygus nukirpto trikampio statiniu ilgiai?
A 6 cm, 4 cm B 8 cm, 4 cm C 12 cm, 12 cm D 6 cm, 8 cm
2) Trikampio izambine yra 6 cm trumpesne uz kvadrato istrizaine. Kokskvadrato istrizaines ilgis?
A 10 cm B 16 cm C 12 cm D 14 cm
3) Koks kvadrato krastines ilgis?
A 128 cm B 11,3 cm C 8√
2 cm D 256 cm
4) Koks likusios kvadrato dalies plotas?
A 104 cm2 B 128 cm2 C 48 cm2 D 69,3 cm2
74. Jei lygties ax2 + 2x + 2 = 0 koeficientas a = 0, tai ta lygtis:
A turi du sprendinius B turi viena sprendiniC sprendiniu neturi D turi be galo daug sprendiniu
DEM
O
Kvadratinės lygtys536
PASITIKRINAME
75. Isspreskite kvadratines lygtis ax2 + bx = 0.
a) x2 + 2x = 0, x2 − 2x = 0, −x2 + 2x = 0, −x2 − 2x = 0;
b) 3x2 + 5x = 0, 3x2 − 5x = 0, −3x2 + 5x = 0, −3x2 − 5x = 0;
c) 12x2 + 1,5x = 0, 3
2x2 − 0,5x = 0, −212x2 + 1,5x = 0.
76. Isspreskite kvadratines lygtis ax2 + c = 0.
a) x2 − 4 = 0, x2 + 4 = 0; b) x2 − 9 = 0, x2 + 9 = 0;
c) x2 − 0,25 = 0, x2 + 0,25 = 0; d) x2 − 19 = 0, x2 + 1
9 = 0;
e) −x2 + 100 = 0, −x2 − 100 = 0; f) x2 = 0, 2x2 = 0, −x2 = 0;
g) x2 − 5 = 0, x2 + 5 = 0, −x2 + 5 = 0, −x2 − 5 = 0;
h) 2x2 − 20 = 0, −2x2 + 19 = 0, −2x2 + 21 = 0, −2x2 − 22 = 0.
77. Isspreskite kvadratine lygti ax2 + bx + c = 0.
a) x2 − 7x + 12 = 0; b) x2 − 6x + 5 = 0; c) x2 + 8x + 7 = 0;
d) 2x2 − 3x + 4 = 0; e) 2x2 + 12x + 18 = 0; f) 2x2 + 3x + 40 = 0;
g) x2 − 4x + 1 = 0; h) 4x2 − 4x + 1 = 0; i) 9x2 + 24x + 16 = 0;
j) 2x2 − 5x − 3 = 0; k) 3x2 − 8x + 5 = 0; l) 36x2 − 12x + 1 = 0.
78. Kam lygus pavaizduoto staciakampio perimetras? (Staciakampio vidujenurodytas jo plotas.)
a) b) c)
x x
8 m
2
10 cm
2
4,4 mm
2
2,5x 1,1x
y
– y1
2
79. Staciakampio formos sklypo plotas yra 800 m2. Sklypas aptvertas 120 milgio tvora. Apskaiciuokite sklypo ilgi ir ploti.
80. Staciojo trikampio vienas statinis 3 cm ilgesnis uz kita, o jo izambinesilgis yra 15 cm. Raskite sio trikampio statiniu ilgius ir apskaiciuokite joplota.
DEM
O
37
81. Staciojo trikampio perimetras lygus 48 cm, o izambines ilgis yra 20 cm.Apskaiciuokite trikampio plota.
82. a) Raskite skaiciu, kurio kvadratas 12 vienetu didesnis uz pati skaiciu.b) Vienas skaicius 10 vienetu didesnis uz kita, o ju sandauga lygi 144.
Raskite tuos skaicius.c) Dvieju vienas po kito einanciu naturaliuju skaiciu kvadratu suma ly-
gi 13. Raskite tuos skaicius.
83. Aplink staciakampi gelyna, kurio krastai yra 2 m ir 4 m ilgio, yra vienodoplocio takelis. Apskaiciuokite takelio ploti, jei jo plotas yra 9 kartusdidesnis uz gelyno plota.
x
x
4 m
2m
84. Staciakampio ABCD plotis 4 cm mazesnis uz ilgi. Nukirptas to stacia-kampio kampas. Nukirptojo trikampio statiniai 2 cm trumpesni uz stacia-kampio ploti. Likusios staciakampio dalies plotas lygus 78 cm2.
A
B C
D
1) Kam lygus staciakampio krastiniu ilgiai?2) Koks nukirptojo trikampio plotas?3) Koks nukirptojo trikampio perimetras?
85. Uzrasykite kokia nors kvadratine lygti, kuri:a) turi du skirtingus sprendinius;b) turi vieninteli sprendini;c) neturi sprendiniu;d) turi du vienas kitam priesingus sprendinius;e) turi du sprendinius, kuriu vienas lygus 0.
DEM
O
Kvadratinės lygtys538
KARTOJAME
86. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuokite pavaizduotos figurosperimetra ir plota.
3 cm
6
cm
a) b) c) d)
2 cm14 cm
2
,5
c
m
1d
m
1
0
,8
cm
2
c
m
3
5
,5
e) f) g) h)
3
3,5
3,2
5
5
60∞
a b
c
r
r
a
a
a
h
b
ba
a a
b b
h
h c
DEM
O
39
87. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuo-kite:a) BD; b) AD; c) AB;d) S�ADB ; e) S�DBC ; f) S�ABC .
A
B
CD
45∞
1
0
8
88. Naudodamiesi brezinio duomenimis, apskaiciuo-kite trikampio perimetra, plota ir aukstines, nu-breztos i izambine, ilgi.
A
BC30∞
10
30∞ 30∞a
2 ◊ a
89. Staciojo trikampio ABC statiniai lygus 5 cm ir12 cm. CD –– aukstine, nubrezta i izambine.Apskaiciuokite aukstines CD ilgi.
A
BC
D
12
5
90. Duota: MN –– trikampio KLM pusiaukrastine,�KNM –– lygiakrastis, KL = 20 cm.
Apskaiciuokite:a) ∠K; b) ∠LNM; c) MN .
K
L
M
N
DEM
O
Kvadratinės lygtys540
PRISIMENAME TAI, KO PRIREIKS KITAME SKYRIUJE
91. Lygiasonio trikampio KLM (KL = LM = 3 cm)pusiaukampine EL lygi 2 cm.1) Ar �KLE = �MLE? Atsakyma pagriskite.2) Ar ∠K = ∠M? Atsakyma pagriskite.
K
L
ME
3) Apskaiciuokite EM ilgi.4) Kokio ilgio yra �KLM aukstine, nubrezta is virsunes L?5) Apskaiciuokite �KLM plota.
6) Isitikinkite, kad �KLM aukstine, nubrezta is virsunes K, lygi 4√
53 cm.
92. a) Paveikslelyje pavaizduotas lygiagretainis ABCD.
1) Paaiskinkite, kodel lygiagretainio istrizainedalija lygiagretaini i du lygius trikampius.
A
B C
DAB CD
AD BC
||||
2) Surasykite tu trikampiu atitinkamas krastines ir atitinkamus kampus.
b) Paveikslelyje pavaizduotas lygiagretainis LMNP .
1) Kiek trikampiu galima pamatyti siame pa-veikslelyje? Kurie is ju yra lygus? L
M N
P
O
2) Isitikinkite, kad S�LMO = S�OMN .
93. Ar paveikslelyje pavaizduoti trikampiai yra lygus? Atsakyma pagriskite.
a) b)
30∞30∞ 60∞
3
3
7
7
3 3
3
6
DEM
O
41
94. a) Valdas eina 5 km/h greiciu. Per kiek laiko jis nueis kelia, kuris ze-melapyje pavaizduotas 36 cm ilgio atkarpa? Zemelapio mastelis yra1 : 40 000.
b) Ukininkas nori apseti staciakampi lauka mieziais. Plane, kurio mastelis1 : 20 000, to lauko matmenys yra 9 cm × 7 cm. Kiek tonu mieziureikes ukininkui, jei 1 ha apseti reikia 0,3 t mieziu?
c) Plane, kurio mastelis 1 : 400, pavaizduotas apskritas lauko baseinas.Jo plotas plane lygus 18,84 cm2. Koki plota baseinas uzima tikroveje?
d) Pavaizduota figura sudaryta is trikampio ir pusskritulio (zr. pav.).
6
c
m
6
c
m
1) Apskaiciuokite figuros krasto ilgi ir plota.2) Nubraizykite sia figura masteliu 1 : 2 (dvigubai mazesne jos kopija).
Apskaiciuokite tos sumazintos kopijos krasto ilgi ir plota.3) Apskaiciuokite figuros, dvigubai didesnes uz pradine, ilgi ir plota.
e) Apskaiciuokite nezinoma proporcijos nari.
1) x2 = 6
3; 2) 8x = 4
5; 3)√
32 = x
6 ; 4) 1,2√5
= 3x .
DEM
O
124
Atsakymai
5.1. Kvadratinė lygtis
1. a) 2x2 + 3x + 1 = 0; b) −2x2 + 3x − 1 = 0; c) −2x2 − 3x + 2 = 0;d) x2 + 2x − 4 = 0; e) −x2 − 2x + 4 = 0; f) x2 + x + 1 = 0;g) 1
2x2 + 2 = 0; h) −23x2 + x = 0; i) −1
2x2 = 0.
2.a) b) c) d) e) f) g) h) i)
a = 3 −2 1 1 −1 −1 −0,2 −15
13
b = −17 3 1 −1 1 −1 2 0 0
c = 4 −1 −4 3 −3 0 0 −5 0
3. a) x2−4x = 0; b) −2x2+2x = 0; c) x2+4x−4 = 0; d) 4x2−x− 12 = 0;
e) −x2 + 12x − 2 = 0; f) −0,6x2 + x = 0.
a) b) c) d) e) f)
a = 1 −2 1 4 −1 −0,6
b = −4 2 4 −1 12 1
c = 0 0 −4 −12 −2 0
Pastaba. Galimas ir kitas atsakymas, kuri gauname abi lygties pusesdaugindami, pavyzdziui, is −1.a) −x2 + 4x = 0; b) 2x2 − 2x = 0; c) −x2 − 4x + 4 = 0;d) −4x2 + x + 1
2 = 0; e) x2 − 12x + 2 = 0; f) 0,6x2 − x = 0.
4. a) −2; b) 1; c) 0; d) 0; 1; e) 0; f) 0; g) −2; 1; h) −2; 1; i) −2; 1.
5. a) 1) x · (x + 2) = 3; 2) x2 + 2x − 3 = 0; a = 1, b = 2, c = −3;3) −3; 1; 4) 1 cm ir 3 cm.
b) 1) x ·(12x−1
) = 1,5; 2) 12x2−x−1,5 = 0; a = 1
2, b = −1; c = −1,5;3) −1; 3; 4) 3 cm ir 0,5 cm.
c) 1) (x − 1)2 = 1; 2) x2 − 2x = 0; 3) 0; 2; 4) 100 cm.
DEM
O
125
Atsakymai
5.2. Lygtis ax2 + bx = 0
6. a) x(x + 4) = 0, x = 0, x = −4;b) y(y − 12) = 0, y = 0, y = 12;c) z(−2z + 8) = 0, z = 0, z = 4;d) x(x + 4,6) = 0, x = 0, x = −4,6;e) y(y − 7,02) = 0, y = 0, y = 7,02;f) z(−z − 3,4) = 0, z = 0, z = −3,4;g) x
(x + 1
3
) = 0, x = 0, x = −13;
h) y(y − 4
5
) = 0, y = 0, y = 45;
i) z(−5z + 42
7
) = 0, z = 0, z = 67.
7. a) 0; 12; b) 0; −8; c) 0; −43; d) 0; 0,2; e) 0; 1,3; f) 0; 1,4; g) 0; 2
15 ;
h) 0; − 613; i) 0; 41
5.
8. a) 0; 2; b) 0; −2; c) 0; 3; d) 0; 8; e) 0; −2; f) 0; 7; g) 0; −10; h) 0; 24;i) 0; −144; j) 0; 32; k) 0; −28; l) 0; −22
5.
9. a) 0; −2,1; b) 0; −0,6; c) 0; 1621; d) ∅.
10. a) x2 = 13x; x = 0, x = 1
3. Atsakymas. 13.
b) 23x = 1
4x2; x = 0, x = 223 . Atsakymas. 22
3.
DEM
O
126
Atsakymai
5.3. Lygtis ax2 + c = 0
11. a) −2; 2; b) −5; 5; c) −13; 13; d) −12; 1
2; e) −15; 1
5; f) −23; 2
3.g) −0,1; 0,1; h) −0,5; 0,5; i) −1,5; 1,5.
12. a) −10; 10; b) −5; 5; c) −12; 1
2; d) −13; 1
3 ; e) −2,1; 2,1; f) −0,01; 0,01;
g) −45; 4
5; h) −54; 5
4 .
13. a) −10; 10; b) −2; 2; c) −2; 2; d) −4; 4; e) −3; 3; f) −2; 2;g) −0,1; 0,1; h) −2
3; 23.
14. a) −2; 2; b) −3; 3; c) −1; 1; d) −2; 2; e) −2; 2; f) −10; 10; g) −2; 2;h) −2; 2; i) −3; 3; j) −2; 2.
15. a) −32; 3
2; b) −34; 3
4 ; c) −35; 3
5 ; d) −92; 9
2; e) −3920; 39
20; f) 0.
16. a) x2 − 10 000 = 0; −100 arba 100;b) x2 + 4 = 5; −1 arba 1;c) 2x2 − 12,5 = 0; −2,5 arba 2,5;d) −3x2 − (−3) = 3, −3x2 + 3 = 3 , −3x2 = 0, x2 = 0; 0.
DEM
O
127
Atsakymai
5.4. Sprendžiame sudėtingesnes lygtis ax2 + c = 0
17. a) −√3;
√3; b) −√
6;√
6; c) −√11;
√11; d) −
√12;
√12; e) −
√13;
√13;
f) −√
110;
√110; g) −√
0,1;√
0,1; h) −√1,7;
√1,7; i) −√
2,3;√
2,3.
18. a) −2√
3; 2√
3; b) −2√
6; 2√
6; c) −2√
5; 2√
5; d) −3√
3; 3√
3;e) −6
√3; 6
√3; f) −3
√6; 3
√6; g) −5
√5; 5
√5; h) −3
√2; 3
√2;
i) −√0,001;
√0,001; j) −1
5
√15; 1
5
√15 .
19. a) −√
25 ;
√2
5 ; b) − 9√3; 9√
3; c) − 3√
2; 3√
2; d) −
√7
10 ;√
710 ; e) − 4√
3; 4√
3;
f) −√
34 ;
√3
4 ; g) −√
133 ;
√133 ; h) −
√374 ;
√374 ; i) −
√515 ;
√515 ; j) −
√132 ;
√132 .
20. a) − 3√2; 3√
2; b) − 5√
3; 5√
3; c) − 4√
5; 4√
5; d) − 2√
6; 2√
6; e) − 10√
7; 10√
7;
f) − 12√11
; 12√11
; g) − 5√3; 5√
3; h) − 7√
17; 7√
17; i) − 11√
5; 11√
5.
21. 4√
3 cm.
22. a)√
52 cm; b) 2
√30 mm; c) 5√
3m.
23. 2x2 − 16 = 0, x = 2√
2.
DEM
O
128
Atsakymai
5.5. Kvadratinės lygties sprendinių formulės
24.a b c D
√D x1 x2
a) 2 3 1 1 1 −1 −12
b) 2 −3 1 1 1 1 12
c) 2 5 2 9 3 −2 −12
d) 2 −7 3 25 5 3 12
e) 3 11 6 49 7 −3 −23
f) 4 −11 6 25 5 2 34
g) 1 1 −30 121 11 −11 5
h) 1 −1 −12 49 7 −3 4
i) 1 −1 −20 81 9 5 −4
j) 2 3 1 1 1 −1 −12
k) −2 3 −1 1 1 1 12
l) 2 7 3 25 5 −3 −12
25. a) −32; 2; b) −2; 3
2 ; c) 6; −133 ; d) −2; −1
2; e) 2; 1; f) 3−√334
10 ; 3+√334
10 ;
g) −7−√73
6 ; −7+√73
6 ; h) 52; 1
2 ; i) 4; 23 .
26. a) c = −12; b) a = 1; c) b = −7 arba b = 7; d) c = 2; e) a = −1;f) b = −1 arba b = 1.DE
MO
129
Atsakymai
5.6. Kvadratinės lygties sprendinių skaičius
27. a) D = 80, du; b) D = −47, nei vieno; c) D = 0, viena;d) D = −36, nei vieno; e) D = −535, nei vieno; f) D = 0, viena;g) D = 17, du; h) D = −59, nei vieno; i) D = 4, du; j) D = 20, du.
28.a b c D Spr. sk. x1 x2
4x2 + 6x + 9 = 0 4 6 9 −108 0 – –
2x2 − 3x + 1 = 0 2 −3 1 1 2 12 1
x2 + 16x + 48 = 0 1 16 48 64 2 −12 −4
x2 − x − 7 = 0 1 −1 −7 29 2 1−√29
21+√
292
2x2 + 3x − 2 = 0 2 3 −2 25 2 −2 12
−2x2 + x + 3 = 0 −2 1 3 25 2 32 −1
29. 1) a), b) –– taip; c), d) –– ne; 2) c ∈ (−∞; 1).
30. d) ax2 − 3ax + 2a = 0, a �= 0.
DEM
O
130
Atsakymai
5.7. Sudėtingesnės kvadratinės lygtys
31. a) x2 − 5x + 6 = 0, D = 1, x1 = 2, x2 = 3;kai x = 2, tai 22 − 5 · 2 + 6 = 0 –– lygybe teisinga;kai x = 3, tai 32 − 5 · 3 + 6 = 0 –– lygybe teisinga.
b) x2 + 4x − 5 = 0, D = 36, x1 = −5, x2 = 1;c) x2 + 5x − 24 = 0, D = 121, x1 = −8, x2 = 3;d) x2 + x − 42 = 0, D = 169, x1 = −7, x2 = 6;e) 8x2 + 10x + 3 = 0, D = 4, x1 = −3
4 , x2 = −12;
f) 2x2 − 3x − 2 = 0, D = 25, x1 = −12 , x2 = 2.
32. a) y2 − 11y + 31 = 1, y2 − 11y + 30 = 0, D = 1, y1 = 5, y2 = 6;
b) y2 − 5y − 3 = 2y − 5, y2 − 7y + 2 = 0, D = 41, y1 = 7−√41
2 ,
y2 = 7+√41
2 ;c) 7y + 1 = 3y2 − 2y + 1, y2 − 9y = 0, y(y − 9) = 0, y1 = 0, y2 = 9;d) −2y2+5y+6 = 4y2+5y, 6y2−6 = 0, y2−1 = 0, y1 = 1, y2 = −1.
33. a) x2 − 2x − 5 = 0,√
D = 2√
6, x1 = 1 − √6, x2 = 1 + √
6;b) 5x2 − 16x − 84 = 0,
√D = 26, x1 = −1, x2 = 4,2;
c) x2 − 2x + 1 = 0, D = 0, x = 1;d) x2 − 10x − 16 = 0,
√D = 6, x1 = 2, x2 = 8;
e) x2 − x − 20 = 0,√
D = 9, x1 = −4, x2 = 5;f) 5x2 − 2x − 24 = 0,
√D = 22, x1 = −2, x2 = 2,4.
34. a) x2 − x − 72 = 0,√
D = 17, x1 = −8, x2 = 9;b) y2 + y − 56 = 0,
√D = 15, y1 = −8, y2 = 7;
c) z2 − 8z + 15 = 0,√
D = 2, z1 = 3, z2 = 5;d) 3x2 − x − 4 = 0,
√D = 7, x1 = −1, x2 = 4
3;
e) 2y2 − y − 3 = 0,√
D = 5, y1 = −1, y2 = 32;
f) 3z2 + 11z − 14 = 0,√
D = 17, z1 = −143 , z2 = 1;
g) 3x2 + 4x + 20 = 0, D < 0, ∅;h) 5y2 + 4y − 28 = 0,
√D = 24, y1 = −2,8, y2 = 2;
i) 2z2 − 3z + 1 = 0, D = 1, z1 = −12, z2 = 1.
35. a) x1 = −10, x2 = 20; b) x1 = −21, x2 = 5; c) x1 = −12, x2 = 3
2;
d) x1 = −2,4, x2 = −1,2; e) x1 = −√3 − 3, x2 = √
3 − 3;f) x1 = −√
10 + 4, x2 = √10 + 4.
36. a) x2 − 6x = 0, x1 = 0, x2 = 6; x1 + x2 = 6, x1 · x2 = 0;b) 4x2 + 7x = 0, x1 = 0, x2 = −7
4; x1 + x2 = −74, x1 · x2 = 0;
c) 3x2 − 2x − 7 = 0,√
D = 2√
22, x1 = 1−√22
3 , x2 = 1+√22
3 ;
x1 + x2 = 23 , x1 · x2 = −7
3.
DEM
O
131
Atsakymai
5.8. Tekstiniai uždaviniai
37. (x + 10) · x = 1200, x2 + 10x − 1200 = 0,√
D = 70,x1 = −40 (netinka), x2 = 30. Kai x = 30,tai P = 2 · (x + x + 10) = 140 m.
1200 m
2
x
x + 10
38. x2 + (x + 14)2 = 342, x2 + 14x − 480 = 0,√
D = 46,x1 = −30 (netinka), x2 = 16. Kai x = 16,tai S = x · (x + 14) = 480 cm2.
x
x + 14
3
4
c
m
39. 0,75x ·x = 48, x2 = 64, x1 = −8 (netinka), x2 = 8.Kai x = 8, tai P = 2 · (x + 0,75x) = 3,5x = 28 cm. 48 cm
2
x
0,7
5x
40. (x − 2) · x = 120, x2 − 2x − 120 = 0,√
D = 22, x1 = −10, x2 = 12.Kai x = −10, tai x − 2 = −12: −10 · (−12) = 120.Kai x = 12, tai x − 2 = 10: 10 · 12 = 120.Atsakymas. −12 · (−10) = 120, 10 · 12 = 120.
41. x ·(x+1)−(x+(x+1)) = 109, x2 +x−2x−1 = 109, x2 −x−110 = 0,√D = 21, x1 = −11 (netinka), x2 = 11.
Atsakymas. 11 ir 12.
42. x2 + (x − 4)2 = 202, x2 − 4x − 192 = 0,√
D = 28;x1 = −12 (netinka), x2 = 16.Atsakymas. 16 cm ir 12 cm.
x
x–
4
43. x · (x + 8) = 884, x2 + 8x − 884 = 0,√
D = 60, x1 = −34 (netinka),x2 = 26.Atsakymas. 26 eiles.
44. (18+2x)·(12+2x) = 280, 2(9+x)·2(6+x) == 280, (9+x)·(6+x) = 70, x2+15x−16 = 0,√
D = 17, x1 = −16 (netinka), x2 = 1.
Atsakymas. 1 cm.
18
12
x
x
xx
45. (2x − 10) · (x − 10) · 5 = 1500, (2x − 10) · (x − 10) = 300,2(x − 5) · (x − 10) = 300, (x − 5) · (x − 10) = 150,x2 − 15x − 100 = 0,
√D = 25, x1 = −5 (netinka), x2 = 20.
Atsakymas. 20 cm × 40 cm.
DEM
O
132
Atsakymai
5.8. Tekstiniai uždaviniai
46. (2x)2 + (2x + 12)2 = 602,4x2 + 4x2 + 48x + 144 = 3600,8x2 + 48x + 144 = 3600,x2 + 6x + 18 = 450,x2 + 6x − 432 = 0,√
D = 42, x1 = −24 (netinka), x2 = 18.Atsakymas. 18 km/h, 24 km/h.
6
0
k
m
( + 6) 2 kmx ◊
x2
km
◊
Š
R
47. Jei yra n dalyviu, tai kiekvienas dalyvis suzaidzia po n · (n − 1) partiju.Is viso turnyre suzaidziama n·(n−1)
2 partiju. Vadinasi, n·(n−1)2 = 231,
n2 − n − 462 = 0,√
D = 43, n1 = −21, u2 = 22.Atsakymas. 22 dalyviai.
DEM
O
133
Atsakymai
Sprendžiame
48. a) 2x2 − 4x − 3 = 0; a = 2, b = −4, c = −3;b) x2 − 324 = 0; a = 1, b = 0, c = −324;c) x2 − 26 = 0; a = 1, b = 0, c = −26;d) −x2 − 5x + 9 = 0; a = −1, b = −5, c = 9;e) 7x2 + 13x = 0; a = 7, b = 13;f) 5x2 + 12x − 9 = 0; a = 5, b = 12, c = −9.
49. a) 0; 4,2; b) 0; 3,4; c) 0; 17,6; d) 0; 3,5; e) 0; −119; f) 0; 6,4; g) 0; −1
5;
h) 0; −125; i) 0; 152
7; j) 0; 18; k) 0; − 3
16; l) 0; 259; m) 0; −712;
n) 0; 27 ; o) 0; 22.
50. a) 23x2 = 2x, x = 3; b) 1
5x = 3x2, x = 115;
c) 0,22x − 12x2 = 0, x = 0,44.
51. a) 7a = a2, a = 7 cm; b) 5a = a2
2 , a = 10 mm.
52. a) −4; b) ∅; c) −6; d) −√
23; e) ∅; f) ∅; g) −√
0,6; h) ∅; i) ∅;
j) −√
145; k) ∅; e) −2
√2
3 .
DEM
O
134
Atsakymai
Sprendžiame
53. a) (3a − 2)(3a + 2) = 3a2, 9a2 − 4 = 3a2, 6a2 − 4 = 0, 3a2 − 2 = 0,
a =√
23;
b) a·√3a2 = 3+5
2 · √3,
√3a2 = 8
√3, a2 = 8, a = 2
√2.
54. a) x2 = 26, x = √26; b) x2 = 3, x = √
3; c) y2 = 13, y = √13;
d) y2 = −20, ∅; e) z2 = −3, ∅; f) z2 = −24, ∅; g) x2 = 7, x = √7;
h) x2 = 14, x = √14.
55. a) y1 = −√2, y2 = √
2; b) ∅; c) y1 = −√25,8, y2 = √
25,8;
d) y1 = −1, y2 = 1; e) y1 = −3, y2 = 3; f) y1 = −√
1757 , y2 =
√1757 ;
g) x1 = 0, x2 = 1,2; h) x1 = 17, x2 = 1.
56. a) x = 16; b) y1 = 10, y2 = 20; c) z1 = 13
4 , z2 = 4;d) y1 = −59, y2 = 53; e) x = 0; f) y1 = −2, y2 = 3;g) x1 = −1, x2 = 23; h) z1 = 2, z2 = 7
3.
57. a) y2 − 6y = 5y − 18, y2 − 11y + 18 = 0, y1 = 2, y2 = 9;b) 3y3 − 4y + 3 = y2 + y + 1, 2y2 − 5y + 2 = 0, y1 = 1
2, y2 = 2;
c) 3y2 − 8y − 2 = 1, 3y2 − 8y − 3 = 0, y1 = −13, y2 = 3;
d) (y − 1)2 = 3625 , y − 1 = −6
5, y1 = −15; y − 1 = 6
5 , y2 = 215;
e) (5y + 1)2 = 0, y = −15;
f) (−11y − 11)2 = −11, ∅.DEM
O
135
Atsakymai
Sprendžiame
58. a) x1 = 3, x2 = 5; b) ∅; c) x1 = 1,3, x2 = 3,7; d) x1 = −4,6, x2 = 4,4;e) x1 = −3,9, x2 = −2,9; f) ∅; g) y1 = 0,18, y2 = 0,66; h) ∅;
i) x1 = 12 − 15√
2, x2 = 12 + 15√
2; j) y1 = 21−3√
38
2 , y2 = 21+3√
38
2 .
59. a) 3 + √14; b) 18; c) 5; d) 2; e) 3.
60. x2 + (x + 4,6)2 = 7,42, x2 + x2 + 9,2x + 21,16 − 54,76 = 0,2x2 + 9,2x − 33,6 = 0, x2 + 4,6x − 16,8 = 0, 5x2 + 23x − 84 = 0,√
D = 47, x = 2,4 cm.Atsakymas. 2,4 cm, 7 cm.
61. x · (x + 4) = 60, x2 + 4x − 60 = 0, x = 6 cm; y2 = 62 + 102,y = √
136 = 2√
34 cm.Atsakymas. Krastines –– 6 cm ir 10 cm, istrizaines –– 2
√34 cm.
62. a) 1,5x · x = 0,96, x2 = 0,64, x = 0,8;
b) 0,3y · (y + 1) = 10,8, y2 + y − 36 = 0; y = −1+√145
2 ;
c) (2z − 1) · (z + 1) = 1000, 2z2 + z − 999 = 0, z = −1+√7993
4 .
Atsakymas. a) 0,8 m ir 1,2 m; b) −3+3√
14520 dm, 1+√
1452 dm;
c) 3+√7993
4 mm, 5+√7993
4 mm.
DEM
O
136
Atsakymai
Sprendžiame
63. a) (31 − x) · x = 240, x2 − 31x + 240 = 0, x1 = 15, x2 = 16.Kai x = 15, tai kita krastine lygi 16.Kai x = 16, tai kita krastine lygi 15.Vadinasi, staciakampio krastines yra 15 cm ir 16 cm.
b) AB2 = 172 − x2, AB = P2 − x = 23 − x, (23 − x)2 = 172 − x2,
529 − 46x + x2 = 289 − x2, x2 − 23x + 120 = 0, x1 = 8, x2 = 15.Kai x = 8 cm, tai AB = 15 cm; kai x = 15 cm, tai AB = 8 cm.Atsakymas. a) 15 cm, b) 8 cm.
64. a) x2 + (x + 5)2 = 157, x2 + 5x − 66 = 0, x1 = −11, x2 = 6;b) x2 + (2 − x)2 = 202, x2 − 2x − 999 = 0, x1 = −9, x2 = 11.
Atsakymas. a) −6 ir −11; 11 ir 6; b) −9 ir 11.
65. 1) a) Nera x reiksmiu, su kuriomis x2 +1 = 0. Su visomis x reiksmemisx2 + 1 > 0. Nera x reiksmiu, su kuriomis x2 + 1 < 0. Kai x = 0, taix2 + 1 = 0.b) x2 − 1 = 0, kai x = −1 ir x = 1;x2 − 1 > 0, kai x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞);x2 − 1 < 0 , kai x ∈ (−1; 1).c) x2 + 1 = 0, kai x = −1 ir x = 1; x2 + 1 > 0, kai x ∈ (−1; 1);x2 + 1 < 0, kai x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
2) a) x2 + 2x = 0, kai x = −2 ir x = 0;x2 + 2x > 0, kai x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞);x2 + 2x < 0, kai x ∈ (−2; 0).b) x2 − 2x = 0, kai x = 0 ir x = 2;x2 − 2x > 0, kai x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞);x2 − 2x < 0, kai x ∈ (0; 2).c) −x2 + 2x = 0, kai x = 0 ir x = 2; −x2 + 2x > 0, kai x ∈ (0; 2);−x2 + 2x < 0, kai x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
66. ax2 − 5x + 3 = 0. D = 25 − 4 · a · 3 = 25 − 12a.a) D > 0, 25 − 12a > 0, a < 2 1
12; b) D = 0, 25 − 12a = 0, a = 2 112.
67. (x + 9) · 5x = 20x2, x = 3. Atsakymas. 3 m × 15 m.
DEM
O
137
Atsakymai
Besidomintiems
1. a) 11; 10; 1 ir 10;b) 15; 50; 5 ir 10;c) −17; 30; −15 ir −2;d) 3; −40; −5 ir 8.
2. a) −1−√5
2 ; −1+√5
2 ;b) −3; −2;c) 1; 4;d) −3; 4;e) 2;f) −1.
3. 1) a) ax2 − 3ax − 10a = 0, a �= 0;b) ax2 + 5ax + 6a = 0, a �= 0;c) ax2 − 14ax + 48a = 0, a �= 0.
2) a) 5x2 − 15x − 50 = 0,5x2 + 25x + 30 = 0,5x2 − 70x + 240 = 0;
b) x2 − 3x − 10 = 0,−3
5x2 − 3x − 185 = 0,
314x2 − 3x + 72
7 = 0;
c) − 120x2 + 3
20x + 12 = 0,
112x2 + 5
12x + 12 = 0,
196x2 − 7
48x + 12 = 0.DE
MO
138
Atsakymai
Besidomintiems
1. 1) a), b), c) –– keturis, d), e), f) –– du, g), h), i) –– nei vieno.2) a) −2, −1, 1, 2;
b) −√5, −2, 2,
√5;
c) −√
62 , −
√2
2 ,√
22 ,
√6
2 ;d) −2, 2;e) −2, 2;
f) −√
22 ,
√2
2 ;3) yra dvi vienas kitam priesingu skaiciu poros.
2. Nereikia atsakymu.
3. a) x4 − 29x2 + 100 = 0;b) x4 − 2x2 + 1 = 0.
4. a) x = 0; b) x1 = −1, x2 = 1.
DEM
O
139
Atsakymai
Testas
68. a) C; b) C; c) A; d) A; e) C; f) B.
69. G.
70. a) A; b) A; c) B; d) B; e) A.
71. a) B; b) B; c) F; d) D.DE
MO
140
Atsakymai
Testas
72. 1) B; 2) C; 3) D.
73. 1) D; 2) B; 3) C; 4) A.
74. B.
DEM
O
141
Atsakymai
Pasitikriname
75. a) x = −2; 0; x = 0; 2; x = 0; 2; x = 0; −2;b) x = −5
3; 0; x = 0; 53 ; x = 0; 5
3 ; x = −53; 0;
c) x = −3; 0; x = 0; 13; x = 0; 3
5 .
76. a) x = −2; 2; ∅; b) x = −3; 3; ∅; c) x = −0,5; 0,5; ∅;d) x = −1
3; 13 ; ∅; e) x = −10; 10; ∅; f) x = 0; x = 0; x = 0;
g) x = −√5;
√5; ∅; x = −√
5;√
5; ∅;
h) x = −√10;
√10; x = −
√91
2;√
912; x = −
√101
2;√
1012; ∅.
Pastaba. Zenkliukas ∅ (skaitome –– tuscia aibe) zymi, kad lygtis spren-diniu neturi.
77. a) x = 3; 4; b) x = 1; 5; c) x = −7; −1; d) ∅; e) x = −3; f) ∅;g) x = 2 − √
3; 2 + √3; h) x = 1
2; i) x = −113; j) x = −1
2; 3;
k) x = 1; 123; l) x = 1
6.
78. a) 14 cm; b) 12 m; c) 8,4 mm.
79. 20 m, 40 m.
80. 9 cm, 12 cm, 54 cm2.
DEM
O
142
Atsakymai
Pasitikriname
81. 96 cm2.
82. a) −3; 4; b) −18 ir −8; 8 ir 18; c) 2 ir 3.
83. 3 m.
84. 1) 12 cm ir 8 cm; 2) 18 cm2; 3) 12 + 6√
2 cm.
85. Tinka lygtis ax2 + bx + c = 0, kurioje a �= 0 ir:a) b2 − 4ac > 0;b) b2 − 4ac = 0;c) b2 − 4ac < 0;d) b = 0, c �= 0, c
a < 0;e) b �= 0, c = 0.
DEM
O
143
Atsakymai
Kartojame
86. a) P = 15 cm, S = 94
√15 cm2;
b) P = 9 cm, S = 52
√3 cm2;
c) P = 44,8 cm, S = 120 cm2;d) C = 4π cm, S = 4π cm2;
e) P = 8,5 +√
852 , S = 3
4
√85;
f) P = 2√
85, S = 21;g) P = 16,4 + 2
√14,76, S = 14,76 + 3,2
√14,76;
h) C = 5π , S = 6,25π .
DEM
O
144
Atsakymai
Kartojame
87. a) 6; b) 6; c) 6√
2; d) 18; e) 24; f) 42.
88. P = 30 + 10√
3, S = 50√
3, h = 5√
3.
89. 4 813.
90. a) 60◦; b) 120◦; c) 10 cm.DE
MO
145
Atsakymai
Prisimename tai, ko prireiks kitame skyriuje
91. 1) Taip –– pagal dvi krastines ir kampa tarp ju.2) Tai –– atitinkamieji kampai.3)
√5 cm. 4) 2 cm. 5) 2
√5 cm2.
6) h·LM2 = S�KLM , h·3
2 = 2√
5, h = 4√
53 .
K
L
M
h
3
c
m
92. a) 1) �ABD = �CDB, nes, pavyzdziui, AB = CD, AD = BC,∠A = ∠C.2) AB, CD; AD, CB; BD –– bendra; ∠A, ∠C; ∠B, ∠D; ∠D, ∠B.
b) 1) 8 trikampiai: �OLM , �OMN , �ONP , �OPL, �LNM, �LNP ,�PMN , �PML. �OLM = �ONP , �OMN = �OPL,�LNM = �LNP , �PMN = �PML.2) LO = ON , o aukstine nubrezta is M yra bendra.
93. a) Taip –– pagal dvi krastines ir kampa tarp ju.b) Taip. 60∞
30∞
30∞
3 3
3
6
3 3
DEM
O
146
Atsakymai
Prisimename tai, ko prireiks kitame skyriuje
94. a) 36 cm → 14,4 km; 14,4 (km) : 5 (km/h) = 2,88 h = 2 h 52 min 8 s.b) 180 000 cm × 140 000 cm = 1800 m × 1400 m;
S = 2 520 000 m2 = 252 ha. 252 · 0,3 = 75,6 (t).
c) S = π ·(400 ·
√18,84
π
)2 = 160 000 · 18,84 = 3 014 400 (cm2) == 301,44 m2.
d) 1) Krasto ilgis lygus 6 cm + 6 cm + 6√
2 · π cm = 12 + 6√
2π cm.Plotas lygus 6·6
2 + π · (3√
2)2 = 18 + 18π (cm2).
2) Krasto ilgis –– 6 + 3√
2π cm, plotas –– 18+18π4 = 9+9π
2 (cm2).
3) Krasto ilgis –– 24 + 12√
2π cm, plotas –– 4 · (18 + 18π) cm2.
e) 1) 4; 2) 10; 3) 3√
3; 4) 3√
51,2 = 5
√5
2 .
DEM
O
O kitiems mokytojams labiau patinka „Tikrinamieji darbai“.Čia 16 savarankiškų ir 7 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus), o uždavinių dar daugiau – iš viso 396!
Net 15 savarankiškų ir 8 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus) – visoms IX klasės matematikos temoms! Iš viso 283 uždaviniai!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta mokytojai☺
Papildomi uždaviniai, skirti visoms pagrindinės mokyklos temoms. Visi su sprendimais ar nurodymais ir atsakymais. Nors uždaviniai sunkoki, jokių korepetitorių nereikia, kai sprendimai labai aiškūs.
Manome, kad mūsų vadovėliuose uždavinių pakanka. Bet jeigu pritrūksite arba jie pasirodys per paprasti, išbandykite uždavinyną. Jame rasite net 555 uždavinius, o jų atsakymai yra svetainėjehttp://matau.vadoveliai.lt
Jei reikia spręsti, bet neaišku, nuo ko pradėti, atsiverskite pratybų sąsiuvinį. Jame galite skaičiuoti, braižyti, piešti, spalvinti. O sėkmingai žengę pirmąjį žingsnį, galėsite imtisir sunkesnių užduočių.
Jei nebepadeda nei draugų, nei mokytojų patarimai, pabandykite žvilgtelėti į „Patarimų“ knygeles. Žinoma, jos skirtos mokytojams, bet kai ką naudingo ten gali rasti ir mokiniai. Pavyzdžiui, sprendimus ar visų uždavinių teisingus atsakymus. Patarimas: tik nereikia nusirašinėti☺
jûSø PAGALBININKAI
DEM
O
ISBN 978-9955-879-76-3
DEM
O
