Matematika Teknik1.pdf

8/17/2019 Matematika Teknik1.pdf

1/159

MMAATTEEMMAATTIIKKAA

TTEEKKNNIIKK

%100

1

1

+

+ −

=

i

iia

x

x xε

MATERI KULIAH

DDiissuussuunn oolleehh YYaann SSuu j jeennddrroo MMaaxxiimmiiaannuuss

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS JANABADRA

YOGYAKARTA

2008

MATEMATIKA

TEKNIK


2/159

i

BAGIAN PERTAMA ……………………………………………. 1

BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………. 2

1.1 Skalar …………………………………………………………………. 2

1.2 Vektor ……………………………………………………………….. 2

1.3 Vektor Satuan ………………………………………………………. 3

1.4 Penjumlahan Vektor ………………………………………………. 6

1.5 Perkalian Vektor ……………………………………………………. 7

1.6 Vektor Orthogonal dan Vektor Normal ……………………….. 9

1.7 Latihan-latihan ……………………………………………………… 10

1.8 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 11

BAB II MATRIKS ………………………………………………………………. 12

2.1 Definisi Matriks ………………………………………………………. 12

2.2 Operasi Matriks ……………………………………………………... 13

2.3 Matriks Bentuk Khusus ……………………………………………... 15

2.4 Penyekatan matriks ……………………………………………….. 19

2.5 Latihan-latihan ……………………………………………………... 20

2.6 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 20

BAB III DETERMINAN ………………………………………………………... 213.1 Definisi Determinan ………………………………………………... 21

3.2 Minor dan Kofaktor ………………………………………………... 22

3.3 Sifat-sifat Determinan ……………………………………………... 24

3.4 Perhitungan dengan Kondensasi Pivot ……………………….. 25

3.5 Perhitungan dengan Kondensasi Pivot terbesar ……………. 27

3.6 Latihan-latihan ……………………………………………………... 28

3.7 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 30

BAB IV INVERS SUATU MATRIKS …………………………………………... 31

4.1 Definisi invers matriks ………………………………………………. 31

4.2 Matriks kofaktor …………………………………………………….. 314.3 Matriks adjoint ……………………………………………………… 32

4.4 Invers suatu matriks ………………………………………………... 33

4.5 Sifat-sifat invers ……………………………………………………… 35

4.6 Mencari invers dengan transformasi berurutan ……………... 35

4.7 Latihan-latihan ……………………………………………………... 41

4.8 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 42

BAB V OPERASI MATRIKS DENGAN SOFTWARE ………………………… 43

5.1 Penulisan Matriks dalam Lembar Kerja Microsoft® Excel …... 43

5.2 Operasi Matriks dengan Microsoft®

Excel …………………….. 455.3 Operasi Matriks dengan Mathcad® ……………………………. 52

DAFTAR ISI


3/159

ii

BAGIAN KEDUA …………………………………………………… 59

BAB VI PENDAHULUAN …………………………………………………….. 60

6.1 Pendahuluan ……………………………………………………….. 60

6.2 Kesalahan (error) …………………………………………………... 60

6.3 Kesalahan Absolut dan Relatif ………………………………….. 61

6.4 Deret Taylor …………………………………………………………. 64

6.5 Diferensial Numerik ………………………………………………… 66

6.5 Latihan-latihan ……………………………………………………... 71

6.6 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 71

BAB VII SISTEM PERSAMAAN LINIER ……………………………………… 74

7.1 Pendahuluan ……………………………………………………….. 74

7.2 Sistem Persamaan Dalam Bentuk Matriks …………………….. 74

7.3 Metoda Eliminasi Gauss ………………………………………….. 75

7.4 Metoda Gauss – J ordan ………………………………………….. 78

7.5 Metoda Iterasi ……………………………………………………… 80

7.6 Latihan-latihan ……………………………………………………… 85

7.7 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 85

BAB VIII AKAR-AKAR PERSAMAAN ………………………………………. 90

8.1 Pendahuluan ……………………………………………………….. 90

8.2 Metoda Setengah Interval ……………………………………..... 91

8.3 Metoda Interpolasi Linier ……………………………………….... 94

8.4 Metoda Newton-Raphson ……………………………………….. 96

8.5 Metoda Secant …………………………………………………….. 978.6 Metoda Iterasi ………………………………………………………. 99

8.7 Latihan-latihan ……………………………………………………… 101

8.8 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 106

BAB IX INTERPOLASI ………………………………………………………… 107

9.1 Pendahuluan ……………………………………………………….. 107

9.2 Interpolasi Linier ……………………………………....................... 108

9.3 Interpolasi Kuadrat ……………………………………………….... 110

9.4 Bentuk Umum Interpolasi Polinomial ………..………………….. 113

9.5 Latihan-latihan ……………………………………………………… 114

9.6 Daftar Pustaka ………………………………………………………… 114

BAB X INTEGRASI NUMERIK ………...………………………………………. 115

10.1 Pendahuluan ……………………………………………………….. 115

10.2 Metoda Trapesium …………………………………....................... 117

10.3 Metoda Trapesium dengan Banyak Pias …….……………….... 119

10.4 Metoda Simpson ……………………………………………..…….. 122

10.5 Integral dengan Panjang Pias Tak Sama …………..………….. 128

10.6 Metoda Kuadratur ………………………………………………….. 129

10.7 Latihan-latihan .……………………………………………………… 132

10.8 Daftar Pustaka .……………………………………………………… 133


4/159

1

BAGIAN

alam lima bab pertama akan diberikan pengetahuan

tentang aljabar matriks. Tujuan dari buku ini adalah untukmemenuhi kebutuhan mahasiswa yang akan mempelajari

bagian-bagian dari aljabar matriks dari sisi pandangan praktis.Diharapkan setelah mempelajari buku ini mahasiswa akan dapatlebih mudah memahami analisis struktur dengan cara matriks.

Pada bagian ini akan dipelajari tentang definisi matriks,bentuk-bentuk operasi matriks, cara-cara mencari determinan daninvers matriks. Pada akhir bagian ini akan dikenalkan juga cara-cara penyelesaian matriks dengan perangkat lunak (software),yaitu: Microsoft® Excel dan Mathcad®.

Bab

I Pendahuluan

II Matriks

III Determinan

IV Invers Suatu Matriks

V Operasi Matriks dengan Software

D


5/159

Matematika Teknik yan sujendro m

2

BAB I PENDAHULUAN

Besaran fisis dapat dikelompokkan dalam bentuk dua golongan besar,yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Sebelum membahas aljabar matriks,

ada baiknya ditinjau lebih dahulu konsep tentang skalar dan vektor.

1.1 Skalar

Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya memiliki nilai saja, ataucukup dinyatakan dengan sebuah bilangan saja dengan satuan yang sesuai,misalnya panjang, temperatur ruangan, massa, waktu dan sebagainya. Salahsatu contoh besaran skalar adalah laju kendaraan, yang dapat dinyatakandengan sebuah bilangan tunggal (misalnya 75), dengan catatan satuan bilanganitu telah ditentukan (contoh: kilometer per jam). Arah gerak dari laju kendaraantidak ditentukan secara jelas.

1.2 Vektor

Vektor merupakan besaran dalam bentuk yang lain, yang sifatnya lebihrumit dari pada skalar, dan tidak dapat dinyatakan hanya dengan sebuahbilangan tunggal. Besaran vektor baru terdefinisi secara lengkap bila selainditetapkan besar (magnitude) dengan satuannya, juga diketahui ke manaarahnya. Beberapa besaran yang terdapat dalam mekanika dasar, misalnyagaya, momentum, kecepatan, dan percepatan. Untuk menggambarkan vektorsecara lengkap, besaran vektor dinyatakan dengan tiga bilangan dan suatusistem vektor, sehingga besaran vektor disebut vektor berdimensi 3. Sebagai

gambaran vektor dapat dilihat pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1. Suatu vektor F dan komponennya

Vektor F digambarkan dengan anak panah, yang memiliki panjang dan

arah. Dengan demikian jelas bahwa vektor tidak dapat dinyatakan hanya dengansebuah bilangan tunggal saja, tetapi harus lengkap besar dan arahnya.

y

x

z

Fy

Fx

Fz

F

O


6/159


3

Besar vektor adalah besaran skalar yang diperlihatkan oleh panjangvektor; misal: jika vektor F adalah vektor gaya, maka besarnya mungkin 10Newton, yang diperlihatkan dengan skala yang sesuai dengan panjang daripangkal anak panah sampai ujung. Besar suatu vektor mempunyai nilai nonnegatif, yaitu positif atau nol, dan pada umumnya dinyatakan dengan tanda

mutlak, contoh: besar F ditulis sebagai F .

Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah garisyang digambarkan dengan ketentuan:a. panjang garis tersebut menyatakan besar dari besaran vektor dengan skala

yang telah ditetapkan,b. arah garis menunjukkan ke arah mana besaran vektor tersebut bekerja.

Penunjukan arah dinyatakan dengan ujung anak panah.

1.3 Vektor satuan

Seringkali lebih mudah menyatakan suatu vektor dalam bentuk vektorsatuan (vektor yang besarnya satu), yang terletak pada garis yang sama denganvektor tersebut. Sebagai gambaran, Gambar 1.2. menunjukkan vektor satuan fyang terletak pada garis yang sama dengan vektor F. Jika vektor F dinyatakandalam bentuk satuan ini, maka vektor F dapat ditulis dalam bentuk F = F.f,dengan F menyatakan nilai skalar dari vektor. Jika vektor F mempunyai arahyang sama dengan vektor satuan f, maka nilai skalar F akan positif dan samadengan besarnya vektor F. Tetapi bila arah vektor F berlawanan arah denganarah vektor satuan f, maka F akan negatif. Dengan kata lain, tanda dari nilaiskalar menentukan apakah vektor tersebut searah atau berlawanan arah dengan

vektor satuan tersebut.

Gambar 1.2. Vektor satuan

Dari Gambar 1.1. terlihat bahwa pada vektor F, jika ketiga sudut antaravektor F dengan sumbu x, y, z diberikan, maka arah positif dari vektor akan

tertentu, dengan demikian bila besar vektor juga diketahui, maka vektor dapatditentukan dengan lengkap.

y

x

z

j

ik

f

O


7/159


4

Cara yang lebih baik untuk menentukan vektor adalah dengan komponenarah x, y, dan z. Vektor komponen dari vektor F adalah Fx, Fy, dan Fz. Komponenini dapat dijumlahkan secara vektor untuk memperoleh vektor F; penjumlahan iniditunjukkan oleh persamaan vektor sebagai berikut.

F = Fx + Fy + Fz Vektor komponen Fx, Fy, dan Fz masing-masing dapat dituliskan dalam

bentuk vektor satuan i, j, dan k yang terletak pada sumbu x, y, dan z. Dengandemikian, vektor Fx, Fy, dan Fz masing-masing dapat dinyatakan dalam bentukFxi, Fy j, dan Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz merupakan nilai skalar dari vektorkomponen. Sehingga vektor F dapat dinyatakan sebagai:

F = Fxi + Fy j + Fzk

Untuk memperoleh cara penulisan vektor yang sederhana, vektor satuan i, j, dan k dihilangkan dan hanya menggunakan komponen skalarnya. Vektor F

dituliskan sebagai:

F = Fx, Fy, Fz atau F = [Fx Fy Fz]

Untuk menyajikan vektor berdimensi 3 diperlukan tiga buah bilangan.Secara umum, suatu vektor adalah barisan berurutan dari bilangan-bilangan.Dari definisi tersebut memungkinkan untuk membentuk vektor berdimensibanyak, sebagai contoh,

barisan bilangan [7 –1 4 2 8] menyatakan suatu vektor berdimensi 5.

Dalam aljabar matriks perlu dibedakan antara vektor baris, yaitu vektor

yang komponennya dituliskan horisontal, dan vektor kolom, yaitu vektor yangkomponennya ditulis vertikal.

Vektor A dan B adalah vektor baris, sedang vektor C dan D adalah vektorkolom.

[ ]37= A [ ]71646 −= B

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=

3

6C

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

4

0

3

2

7

D

Perbedaan antara vektor baris dan vektor kolom hanya pada penyajiannyasaja. Untuk menghemat tempat vektor kolom ditulis dalam bentuk baris denganmenggunakan tanda { }, untuk menunjukkan bahwa vektor tersebut adalah vektorkolom.

{ }363

6=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=C


8/159


5

{ }40327

4

0

3

2

7

−=

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= D

Cara lain untuk menentukan arah dari suatu vektor dalam ruang adalahdengan menentukan sudut antara arah positif vektor dengan sumbu-sumbukoordinat orthogonal x, y, dan z. Sudut-sudut tersebut dengan besarnya vektormenentukan arah vektor tersebut.

Gambar 1.3. Penentuan arah vektor dengan cosinus arah

Misalkan OP = r = ai + bj + ck, maka:

α cos=r

a, α cosr a =

β cos=r

b, β cosr b =

γ cos=r

c, γ cosr c =

2222r cba =++

2222222 coscoscos r r r r =++ γ β α

1coscoscos 222 =++ γ β α

Jika α cos==r

al ,

β cos==r

bm , maka 1222 =++ nml

γ cos== r

c

n ,

y

x

z

b

ac

P

O

α

β

γ

r


9/159


6

[l m n], yang ditulis dalam tanda kurung siku, disebut sebagai cosinusarah vektor OP. Masing-masing menyatakan harga cosinus dari sudut yangterbentuk oleh vektor tersebut dengan ketiga sumbu kerangka acuan.

1.4 Penjumlahan Vektor

Dua vektor atau lebih yang berdimensi sama (banyaknya elemen sama)dapat dijumlahkan secara vektor untuk mendapatkan sebuah vektor baru. Contohpada Gambar 1.4. menunjukkan dua buah vektor berdimensi 3 yaitu F1 dan F2 sembarang. Hasil penjumlahan F1 dan F2 dinyatakan dalam gambar sebagai FR (vektor jumlah atau vektor resultant). Cara penjumlahan adalah denganmenjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian. Contoh:

z y x F F F F 1111 =

z y x F F F F 2222 = , maka FR yang merupakan jumlah kedua vektor

tersebut adalah:

z z y y x x R F F F F F F F 212121 +++=

Persamaan ini dapat dianggap sebagai hukum jajaran genjang untukmenggabungkan dua vektor berdimensi 3. Definisi ini berlaku umum, artinyadapat digunakan untuk vektor berdimensi lain.

Gambar 1.4. Penjumlahan vektor

Contoh:

[ ]82417 −−= A [ ]40921 −= B

[ ]1221318 −=+= B AC Cara yang sama dapat dilakukan pula pada penjumlahan vektor kolom

dan pengurangan vektor

[ ]42536 −−−=−= B A D

y

x

z

F2

F1

FR

O


10/159


7

Seringkali dalam perhitungan diperlukan vektor nol, yaitu vektor dengansemua elemennya bernilai nol. Contoh:

[ ]000000 =

Vektor nol ini mempunyai peran yang sama dengan nol (0) pada aljabarskalar. Contoh bila jumlah vektor A dan B adalah vektor nol, maka persamaanvektornya adalah:

A + B = 0 ( A, B, dan 0 mempunyai dimensi yang sama)

Penjumlahan vektor dengan vektor itu sendiri menghasilkan vektor barudengan nilai skalar semua elemennya dua kali lebih besar dari nilai skalarelemen vektor awal.

[ ]n A A A A A A 2........222 21==+

1.5 Perkalian Vektor

Dua bentuk hasil kali yang diperoleh dari perkalian vektor adalah:

1. Perkalian skalar (disebut juga perkalian dot atau perkalian titik). Disebutsebagai perkalian skalar karena hasil perkaliannya berupa skalar, disebutperkalian dot karena perkalian skalar dari dua buah vektor A dan B ditulis A·B (dibaca A dot B).

z y x z y x A A Ak A j Ai A A =++=

z y x z y x B B Bk B j Bi B B =++= , maka C adalah perkalian skalar yang

didefiniskan sebagai:

z z y y x x B A B A B A B AC ++=⋅=

Hubungan ini dapat digunakan untuk menentukan usaha dari sebuah gayayang bergerak dengan perpindahan tertentu. Sebagai contoh: vektor A adalahsebuah vektor gaya yang tetap dan vektor B didefiniskan sebagaiperpindahan dari A, sehingga usaha yang dilakukan oleh gaya A adalahperkalian skalar A·B, dari persamaan tersebut tampak bahwa perkalian inibersifat komutatif, yaitu: A·B = B·A.

Perkalian skalar digunakan untuk menentukan komponen skalar dari sebuahvektor dalam arah tertentu, dilakukan dengan melakukan perkalian skalar

antara vektor tersebut dengan vektor satuan yang komponen arahnya inginditentukan. Sebagai contoh: perkalian skalar dari vektor A di atas denganvektor satuan i, j, dan k. Vektor satuan dapat ditulis dalam bentuk:

[ ]001=i , [ ]010= j , [ ]100=k

maka perkalian skalarnya adalah: A·i = Ax A·j = Ay A·k = Az

Dengan demikian, perkalian skalar antara A dengan vektor satuan i akanmenghasilkan komponen skalar A dalam arah x, dengan cara yang samadiperoleh juga pada arah y dan z.


11/159


8

Yang perlu diperhatikan adalah apabila dua buah vektor berdimensi 3 salingtegak lurus (orthogonal), maka perkalian skalarnya sama dengan nol.Kesimpulan ini dapat diperoleh dari pemisalan vektor A dan vektor B sebagaivektor yang orthogonal, dengan sumbu x sebagai arah vektor A dan sumbu yuntuk vektor B. Komponen-komponen tertentu dari A dan B akan mempunyai

harga: Ay = Az = 0 Bx = Bz = 0

Jika vektor A dan B mempunyai arah yang sama, maka perkalian skalarnyasama dengan hasil kali harga skalarnya. Misal vektor A dan B mempunyaiarah yang sama (arah sumbu x), maka perkalian skalar kedua vektor adalahperkalian AxBx.

Cara lain untuk menyatakan perkalian skalar antara 2 vektor dimensi 3 A danB adalah (lihat Gambar 1.5):

A·B = α cos B A

dengan A dan B adalah besar vektor A dan B dan α adalah sudut terkecil

antara dua vektor tersebut. Dari persamaan ini dapat dikatakan bahwaperkalian skalar sama dengan besar vektor A dikalikan dengan besar

proyeksi vektor B pada vektor A (yaitu α cos B ) demikian pula sebaliknya.

Untuk vektor orthogonal , sudut α = 90º, maka perkalian skalar yangdihasilkan adalah sama dengan nol. Untuk vektor-vektor yang sejajar denganarah yang sama, maka sudut α = 0º, sehingga perkalian skalarnya samadengan hasil kali besar kedua vektor. Jika vektor-vektor tersebut sejajardengan arah yang berlawanan, maka sudut α = 180º, perkalian skalarnya

sama dengan hasil kali besar kedua vektor dalam tanda negatif.

Gambar 1.5. Perkalian vektor

Definisi perkalian skalar dari dua buah vektor berdimensi 3 dapat berlakuumum untuk perkalian-perkalian vektor-vektor yang berdimensi lebih besar,

misalnya A dan B adalah vektor berdimensi n dengan:

y

x

z

B

F1

A

O

α


12/159


13/159


10

Suatu vektor disebut normal bila besar vektor ini sama dengan vektorsatuan. Vektor normal dapat diperoleh dari vektor lain dengan membagi tiapkomponen vektor itu dengan besarnya. Sehingga vektor normal adalah vektorsatuan yang mempunyai arah yang sama (dalam ruang dimensi n) dengan vektoryang diberikan.

Contoh: vektor berdimensi 6 [ ]140323 −= A

Besar vektor A adalah:

( ) ( ) 3914023 22222 =+++−+= A

vektor satuan yang diperoleh dari normalisasi vektor A sama dengan:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −==

39

1

39

40

39

3

39

2

39

3

39

1 Aa

Cara normalisasi yang ditunjukkan di sini adalah membuat vektor samadengan vektor satuan, cara ini merupakan cara yang paling umum dalamnormalisasi vektor.

1.7 Latihan-latihan

1. Tentukan jumlah A + B dan C + D, dan selisih A – B , dan C – D, jika vektor A,B, C, dan D ditentukan sebagai berikut.

[ ]7,16,03,42,7 −= A [ ]9,14,28,110,11 −−= B

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

3,4

0,1

0,17,1

C ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

0,3

8,6

7,04,2

D

2. Dari vektor-vektor soal no. 1 tentukan vektor-vektor R1 dan R2 denganketentuan sebagai berikut.

R1 = 3A – 2B R2 = 5C + 2D

3. Tentukan vektor R3 agar persamaan 2A – 3B + R3 = 0 ini terpenuhi, jika Adan B adalah vektor-vektor berdimensi 5 sebagai berikut.

[ ]82417 −−= A [ ]40921 −= B

4. Tentukan komponen vektor A pada arah vektor B jika:

[ ]532 −= A , [ ]241 −= B

5. Tentukan sudut α antara vektor A dan vektor B pada soal no. 4

6. Tentukan perkalian vektor AxB, dan BxA untuk vektor-vektor berikut ini.

[ ]236 −= A

[ ]174 −=

B


14/159


15/159


12

BAB II MATRIKS

2.1 Definisi matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan riil (atau elemen) atau kompleksyang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array)persegi panjang.

Bentuk yang paling umum dari sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang yang dapat digambarkansebagai berikut.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

A A A

A A A

A A A

A

......

........................

......

......

21

22221

11211

(1.1)

Bilangan-bilangan A11, A12, …..., A1n yang menyusun rangkaian itu disebutelemen atau unsur dari matriks. Indeks pertama elemen menunjukkan baris,indeks kedua menunjukkan kolom tempat elemen itu berada.

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks m x n (m kali n) atau matriks berorder m x n. Order matriks ditentukan oleh banyaknyabaris dan kolom. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah baris dankolomnya sama (m = n).

Bentuk suatu matriks ditunjukkan dengan menuliskan jajarannya di antarakurung siku, misalnya ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

836

275 adalah matriks 2 x 3 dengan 5, 7, 2, 6, 3, 8

adalah merupakan elemen-elemennya.

Dalam menyatakan matriks, yang disebut pertama adalah jumlah baris,kemudian jumlah kolom.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

576

787

232

465

adalah matriks berorder 4 x 3, yaitu matriks dengan 4 baris

dan 3 kolom.

Tiap-tiap elemen dari suatu matriks memiliki alamat atau tempat yangdapat ditentukan dengan menggunakan sistem dua indeks, indeks pertamamenyatakan baris, dan indeks kedua menyatakan kolom. Contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

34333231

24232221

14131211

A A A A

A A A A

A A A A

, A23 menunjukkan elemen yang terletak pada baris

kedua dan kolom ketiga.


16/159


13

2.2 Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dua buah matriks A dan B dapat dilakukan apabila keduamatriks itu berorder sama. Matriks-matriks seperti itu disebut matriks-matriksyang sesuai untuk penjumlahan. Jumlah dua buah matriks adalah matriks lainyang berorder sama dengan elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen yang sesuai dari kedua matriks tersebut. Jika A + B = C, maka tiapelemen C akan mempunyai bentuk:

Aij + Bij = Cij (1.2)

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

401

321, B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

400

256

A + B = C = ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+++−

−+−+

801

137

440001

235261

Dari contoh di atas tampak bahwa penjumlahan matriks bersifat komutatifdan asosiatif. . Contoh: A + B = B + A, atau A + (B + C) = (A + B) + C. Dengandemikian berarti penjumlahan matriks dapat dilakukan untuk sembarang urutandan dapat dikelompokkan dalam berbagai susunan.

Pengurangan matriks mempunyai syarat yang sama dengan penjumlahan.

Dari contoh di atas tampak bahwa A – B = D, dengan

D = ( ) ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ −

−−=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ −−−−

−−−−−

001

575

440001

235261

2. Perkalian matriks

a. Perkalian dengan skalar: Suatu matriks dapat dikalikan dengan suatubilangan skalar, yaitu dengan mengalikan setiap elemennya dengan bilanganskalar itu. Bila A adalah matriks berorder m x n dan λ adalah sebuah skalar,maka hasil kali λA adalah matriks B yang berorder m x n dengan Bij = λAij.

3D =

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−−

003

152115, – D =

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

001

575

Kebalikannya juga berlaku, yaitu faktor yang sama dapat dikeluarkan darisetiap elemen. Contoh:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

501535

452510 dapat dituliskan sebagai ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

1037

9525 x

b. Perkalian dua buah matriks: Dua buah matriks dapat dikalikan, satu denganyang lain, hanya jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.


17/159


14

Contoh: [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

232221

131211

aaa

aaaa A ij , dan [ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

3

2

1

b

b

b

bb i , maka

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

++++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=

323222121

313212111

3

2

1

232221

131211 ..babababababa

b

b

b

aaaaaab A

Contoh 1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

40

121

91516

543532

9.15.38.2

9.65.78.4

9

5

8

.132

674

Contoh 2

Jika A = [aij] =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

43

72

51

, dan B = [bij] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

6852

1348

maka A·B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

6852

1348.

43

72

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++

++++

=

6.41.38.43.35.44.32.48.3

6.71.28.73.25.74.22.78.2

6.51.18.53.15.54.12.58.1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++

++++

=

2433292012824

4225663581416

301403254108

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

27413232

44624330

31432918

Perhatikan bahwa perkalian matriks (3 x 2) dengan matriks (2 x 4) meng-hasilkan matriks berorder (3 x 4). Yaitu order (3 x 2) x order (2 x 4) → order (3 x4)

Secara umum, perkalian matriks (l x m) dengan matriks (m x n) akanmenghasilkan matriks berorder (l x n).

Contoh 3Suatu matriks hanya dapat dikuadratkan jika matriks tersebut merupakan

matriks bujur sangkar, yaitu matriks dengan jumlah baris sama dengan jumlahkolom.

(sama)


18/159


15

Jika A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

25

74

A2 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

25

74.

25

74 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=

4351020

14283516

2.27.55.24.5

2.77.45.74.4

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3930

4251

Perkalian matriks biasanya tidak komutatif, yaitu A·B ≠ B·A

Contoh 4

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21, B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

87

65

A.B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

5043

2219

8.46.37.45.3

8.26.17.25.1

B.A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

4631

3423

4.82.73.81.7

4.62.53.61.5

Hukum asosiatif dan distributif berlaku juga untuk perkalian matriks danhubungan-hubungan berikut ini .

(AB)C = A(BC)A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BC

Contoh 5: hitunglah hasil kali A·B dan A·C matriks-matriks berikut ini.

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

02

01, B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 14

32, C = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

51

32

Hasilnya adalah: A·B = ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

64

32 , dan A·C = ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡

64

32

Dari contoh terlihat bahwa meskipun matriks B dan C tidak sama, tetapidapat diperoleh A·B = A·C

2.3 Matriks Bentuk Khusus

1. Matriks transpos

Matriks transpos adalah matriks baru yang dibentuk dengan menukarkan

baris dan kolom suatu matriks.Baris pertama menjadi kolom pertama,Baris kedua menjadi kolom kedua,Baris ketiga menjadi kolom ketiga, dan seterusnya.

Jika matriks semula adalah A, maka transposnya dinyatakan sebagai AT.

Jika matriks A adalah matriks asal yang berorder m x n,

A =

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmm

n

n

A A A

A A A

A A A

.....

....................

.....

.....

21

22221

11211


19/159


16

maka transposnya (AT) adalah matriks berorder n x m.

AT =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnnn

m

m

A A A

A A A

A A A

.....

....................

.....

.....

21

22212

12111

Jika A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

52

97

64

, maka AT = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

596

274

Dari definisi matriks transpos tampak bahwa suatu matriks transposditransposkan akan kembali menjadi matriks asal.

(AT)T = A

Berlaku juga matriks transpos dari jumlah 2 buah matriks sama dengan jumlah matriks-matriks transposnya(A + B)

T = A

T + B

T

Matriks transpos dari perkalian 2 buah matriks sama dengan hasil kalimatriks-matriks transposnya tetapi dengan susunan terbalik.

(A·B)T = B

T·A

T

Jika A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

513

672, dan B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

51

73

04

, maka

A·B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3220

7935 , (A·B)T = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡3279

2035

2. Matriks bujur sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang berorder m x m

Contoh:

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

471

986

521

adalah matriks 3 x 3

Matriks bujur sangkar (Aij) disebut simetrik jika aij = a ji

Contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

495

982

521

, matriks tersebut simetris terhadap diagonal utamanya. Dalam

keadaan ini berlaku A = AT

Matriks bujur sangkar (Aij) disebut anti-simetrik jika aij = - a ji


20/159


17

Contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

495

982

521

, dalam hal ini berlaku A = – AT

3. Matriks nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Matriks nol dapatberupa matriks bujur sangkar atau persegi panjang, dan matriks nol inimempunyai fungsi dalam aljabar matriks sama seperti nol dalam aljabar skalaratau sebagai vektor nol dalam aljabar vektor. Sebuah matriks nol biasa ditulis 0.

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000

000

000

Jika A·B = 0, tidak dapat disimpulkan bahwa A = 0, atau B = 0, karena jika:

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

936

312, dan B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

42

64

91

, maka

A·B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

42

64

91

.936

312 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−+

−−−+

00

00

36185418126

12618642

Terlihat bahwa A·B = 0, tetapi A ≠ 0, atau B ≠ 0

Sebagai contoh untuk menyatakan suatu sistem persamaan linearhomogen dalam bentuk matriks, dapat ditulis:

AX = 0, dengan 0 adalah sebuah matriks kolom yang semua elemennyanol

4. Matriks diagonal

Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen-elemen nol kecualielemen-elemen pada diagonal utamanya disebut matriks diagonal. Contoh:

Dn =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn D

D

D

D

.......00

.....................

0.......0

0.......0

33

22

11

, notasi D digunakan untuk menunjukkan

sebuah matriks diagonal berorder n, dan elemen Dij adalah nol untuk i ≠ j.

Contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

700

020

005


21/159


18

Salah satu bentuk khusus dari matriks diagonal adalah matriks skalar,yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan harga skalar λ:

Sn =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

λ

.......00

.....................

0.......0

0.......0

5. Matriks satuan

Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalutamanya sama dengan satu, atau matriks skalar yang nilai λ = 1,

In =

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1.......00

.......1..............

0.......10

0.......01

Jika A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

697

831

425

, dan I =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

010

001

maka A·I = , sehingga A·I = A

Serupa dengan itu jika kita bentuk perkalian I·A akan diperoleh

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

100

010

001

.⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

697

831

425

=⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

++++++++++++

++++++

697

831

425

600900700

080030010

004002005

= A

A·I = I·A = A, jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan 1dalam ilmu hitungan dan aljabar.

6. Matriks simetri, matriks skew, matriks skew simetri

Matriks simetri adalah matriks dengan elemen Aij pada baris ke i kolom ke j sama dengan elemen A ji pada baris ke j kolom ke i, contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

653

542

321

. Karena hubungan antar elemen matriks seperti itu sehingga

matriks transpos dari suatu matriks simetri sama dengan matriks itu sendiri, atauA = A

T.

Matriks skew adalah matriks dengan elemen-elemen yang tidak terletakpada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif, Aij = - A ji untuk i ≠ j, danelemen diagonal utamanya sebarang asal tidak semuanya 0 (nol), Contoh:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

653

542

321


22/159


19

Matriks skew simetri adalah matriks dengan elemen-elemen yang tidakterletak pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif, A ij = – A ji untuk i≠ j, dan elemen diagonal utamanya semuanya 0 (nol), Contoh:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−−

−

053

502

320

7. Matriks segitiga bawah

Matriks segitiga bawah mempunyai elemen nol di sebelah atas dan kanandiagonal utamanya, maka Aij = 0 untuk i < j. Bentuk matriks adalah :

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnn A A A A

A A A

A A

A

..........................................

0.......

0.......0

0.......00

321

333231

2221

11

8. Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas mempunyai elemen nol di sebelah atas dan kanandiagonal utamanya, maka Aij = 0 untuk i > j. Bentuk matriks adalah :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn

n

n

n

A

A A

A A A

A A A A

.......000

...................................

.......00

.......0

.......

333

22322

1131211

2.4 Penyekatan matriks

Elemen-elemen suatu matriks dapat dibagi menjadi berbagai kelompokatau submatriks untuk memudahkan penanganan matriks-matriks yangberukuran besar, yang mungkin hanya sebagian saja dari elemen matrikstersebut yang diperlukan.

Apabila suatu matriks dibagi menjadi beberapa kelompok, maka matrikstersebut dikatakan disekat atau dipartisi. Digunakan garis-garis melintang untukmenandai penyekatan matriks tersebut. Pada matriks A yang berorder 4 x 5berikut ini disekat menjadi empat kelompok, yang masing-masing merupakansuatu matriks.

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

A A A A A

A A A A A

A A A A A

A A A A A


23/159


24/159


21

BAB III DETERMINAN

3.1 Definisi determinan

Determinan mempunyai peranan penting dalam mencari invers,penyelesaian persamaan linear, dan penentuan persamaan karakteristik nilaieigen (eigenvalue).

Dalam penyelesaian persamaan linear dengan dua bilangan tak diketahuiX1 dan X2 berikut ini.

A11X1 + A12X2 = B1 A21X1 + A22X2 = B2, dalam bentuk matriks persamaan tersebut dapat

ditulis.

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

2221

1211

B

B

X

X

A A

A A

Penyelesaian persamaan tersebut adalah

21122211

2121221

A A A A

B A B A X

−

−= , dan

21122211

1212112

A A A A

B A B A X

−

−=

Dari penyelesaian tersebut tampak bentuk A11 A22 – A12 A21 yang pentingdalam penentuan solusi persamaan simultan. Bentuk ini diberi notasi singkat:

2221

121121122211

A A

A A A A A A =− , agar dari

2221

1211

A A

A A diperoleh A11 A22 – A12 A21 maka

suku-sukunya harus dikalikan secara diagonal, hasil kali22

11 A

A dikurangi

dengan hasil kali21

12

A

A

2221

1211

A A

A Adisebut determinan order kedua (ada dua baris dan dua kolom).

Secara umum determinan didefinisikan sebagai susunan bilanganberbentuk bujur sangkar yang diselesaikan menurut aturan-aturan matematika

tertentu.Order suatu determinan ditentukan oleh jumlah baris dan jumlah kolom

dalam determinan. Dari suatu matriks bujur sangkar sembarang dapat dibentuksebuah determinan yang berorder sama dengan matriks tersebut. Jika A adalahsebuah matriks, maka determinan yang dibentuk dari elemen-elemen matriks A

disebut determinan dari sebuah matriks dan diberi notasi det( A) atau A .

Contoh:

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

, maka determinan dari A adalah


25/159


22

Det( A) =

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A =

A11, A12, ………. Disebut sebagai elemen determinan. Jika elemen-elemenini berupa bilangan, maka penjabaran determinan ini akan menghasilkan suatubilangan tunggal.

Penjabaran determinan digambarkan dalam wujud skema anak panahberikut ini.

2221

1211

)()(

A A

A A

−+

3231313231

2221232221

1211131211

)()()()()()(

A A A A A

A A A A A

A A A A A

−−−+++

(a) (b)

Det( A) =

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A =

A11 A22 A33 – A11 A23 A32 + A12 A23 A31 – A12 A21 A33 + A13 A21 A32 – A13 A22 A31

Contoh:

42

542

82

743

84

751

842

754231

+−=

= (40–28) – 3(32–14) + 2(16–10) = – 30

3.2 Minor dan kofaktor

Minor suatu determinan adalah determinan lain yang dibentuk denganmenghilangkan kolom dan baris dengan jumlah yang sama banyak darideterminan semula. Order sebuah minor ditentukan oleh banyaknya baris atau

kolom pada minor itu sendiri.

Contoh: dari suatu determinan order 4 jika dihilangkan satu baris dan satukolom akan diperoleh minor order 3, jika dihilangkan dua baris dan dua kolomakan diperoleh minor order 2, dan seterusnya. Dari determinan berikut ini akandiperoleh determinan berorder 2 dengan menghapus baris pertama dan kolomsembarang. Jadi dengan menghapus baris pertama dan masing-masing kolompertama, kedua, dan ketiga akan diperoleh:

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A = , minor :


26/159


27/159


24

Suatu determinan dapat dihitung melalui kofaktor-kofaktornya dari salahsatu baris atau kolomnya. Baris (atau kolom) dari determinan tersebut dipilihsembarang, kemudian setiap elemen dalam baris (atau kolom) itu dikalikandengan kofaktor dari elemen tersebut. Jumlah dari hasil kali ini adalah nilaideterminannya. (cara ini dikenal sebagai penjabaran kofaktor atau penjabaran

Laplacian). Penjabaran dalam kofaktor dari elemen baris pertama dapat ditulissebagai berikut.

Contoh:C C C

A A A A A A A131312121111 +−=

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211 A A A A A A A A A A A A A A A −+−−−=

Contoh:

46

239

51

238

51

467

591

486

273

−+−== A

= –7(30–4) + 8(15–2) – 9(12–12)= – 182 + 104 = – 78

Hitung determinan order 4 berikut ini.

1035

2110

0431

2132

−

−

−

−

= D , D merupakan simbul dari determinan sembarang

yang diketahui. Jika determinan dijabarkan dengan elemen pada baris pertama,maka setiap elemen baris pertama harus dikalikan.

( )035

110

431

2

135

210

031

1

105

210

041

3

103

211

043

2

−

−

−

−

−

+−

−

−−

−

−

−

= D

Setiap determinan berorder 3 (minor) pada penjabaran ini dapat dihitungdengan kofaktor, sehingga diperoleh hasil:

D = 2(25) + 3(–41) + (37) – 2(2) = – 40

3.3 Sifat-sifat determinan

Menjabarkan determinan dengan elemen yang sangat banyak akansangat menjemukan, dengan mempelajari sifat-sifat determinan makaperhitungannya akan dapat disederhanakan. Berikut ini diberikan beberapa sifat-sifat utama determinan.1. Nilai determinan dapat diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dalam

suatu baris (kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali itu.2. Harga determinan tidak berubah jika baris diganti menjadi kolom dan kolom

menjadi baris.


28/159


25

22

11

21

21

B A

B A

B B

A A=

3. Jika dua baris atau dua kolom tempatnya ditukarkan, tanda determinanberubah.

21

21

21

21

A A B B

B B A A −=

4. Jika ada dua baris atau kolom yang identik, maka harga determinan tersebutsama dengan nol.

011

11 = B B

A A

5. Jika elemen-elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan denganfaktor yang sama, maka determinannyapun dikalikan dengan faktor tersebut.

21

21

21

21

B B

A Ak

B B

kAkA=

6. Jika elemenelemen salah satu baris atau kolom ditambah atau dikurangidengan kelipatan elemen-elemen baris atau kolom lain yang bersesuaian,maka harganya tidak berubah.

21

21

221

221

B B

A A

BkB B

AkA A=

−

−

3.4 Perhitungan dengan kondensasi Pivot

Perhitungan dengan metoda ini didasarkan pada sifat-sifat determinan

yang telah dijelaskan sebelumnya. Langkah hitungan ini adalah denganmembuat semua elemen kecuali satu dari suatu baris atau kolom tertentumenjadi nol, kemudian determinan itu dapat dihitung pada suku elemen tak nolyang dikalikan dengan kofaktornya.

Kofaktor ini merupakan determinan dengan order yang lebih rendah,sehingga bila langkah ini diulang lagi akan diperoleh determinan berorder 3 yangpenyelesaiannya lebih mudah. Langkah-langkah dasar dijelaskan sebagaiberikut.

nnnnn

n

n

n

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

A

.......

...................................

.......

.......

.......

321

3333231

2232221

1131211

=

Misal akan dibuat baris kedua semua elemen kecuali A22 bernilai nol.Elemen A22 ini dikenal sebagai elemen pivotal atau disingkat pivot. Elemen A22 dibuat menjadi bernilai 1 dengan cara membagi semua elemen baris kedua ataukolom kedua dengan A22. Bila baris kedua yang dibagi dengan elemen pivot

sehingga diperoleh:


29/159


26

nnnnn

n

n

n

A A A A

A A A A

A

A

A

A

A

A

A A A A

A A

..........................................

.......

.......1

.......

321

3333231

22

2

22

23

22

21

1131211

22=

Langkah selanjutnya adalah menjumlahkan hasil kali kolom kedua dengansuatu skalar ke kolom-kolom yang lain, sehingga semua elemen kecuali elemenpivot sama dengan nol. Contoh: kalikan kolom kedua dengan – A21/A22,kemudian dijumlahkan ke kolom pertama. Maka elemen baris kedua kolompertama bernilai nol.

nnnnnn

n

n

n

A A A A A

A A

A A A A A

A A

A

A

A

A

A A A A A

A A

A A

.......

...................................

.......

.......10

.......

32222

211

333323222

2131

22

2

22

23

113121222

2111

22

−

−

−

=

Langkah yang sama dilakukan agar elemen pada baris kedua kolom ke 3,4, ……. dan n menjadi nol, sehingga diperoleh determinan sebagai berikut.

nnnnn

n

n

B B B B

B B B B

B B B B

A A

.......

...................................

.......

0.......010

.......

322

3333231

1131211

22=

Determinan ini akan sama dengan elemen pivot dikalikan dengan kofaktor,yang berupa determinan berorder n – 1 dengan elemen B11, B13, ……, B1n.Dengan mengulang langkah-langkah ini beberapa kali akan diperoleh determinan

yang berorder makin lama makin kecil, dan akhirnya akan diperoleh determinanberorder tiga yang mudah perhitungannya. Karena hitungan ini didasarkan ataselemen pivot yang berturut-turut akan mengecilkan order determinan, makametode ini dikenal dengan nama kondensasi pivot.

Contoh:

5102

3421

02310

2432

−

−= D


30/159


27

Karena telah ada elemen yang bernilai nol, akan lebih mudah apabiladijabarkan menurut kolom yang memuat nilai nol, misal dipilih kolom ke empat.

5102

3421

02310

125,11

2

−

−

= D , Baris pertama dibagi 2, Baris ketiga dan keempat

dijadikan 0

Jika baris pertama dikalikan 3 lalu dikurangkan pada baris ke 3, danselanjutnya baris pertama dikalikan 5 lalu dikurangkan pada baris ke 5, makadiperoleh:

095,77

025,22

02310

125,11

2

−−−

−−−

−= D

Dengan menjabarkan berdasarkan kolom terakhir, akan diperoleh:

( )95,77

25,22

2310

12

−−−

−−−

−

−= D

Perhitungan determinan berorder 3 dapat dilakukan dengan kondensasipivot atau metoda lain sehingga akan diperoleh hasil:

D = 2(–1)(68) = – 136

3.5 Perhitungan dengan kondensasi Pivot terbesar

Setiap elemen dalam determinan dapat digunakan sebagai elemen pivot.Sering terjadi kesalahan dalam perhitungan, untuk mengurangi kesulitanperhitungan dilakukan pemilihan elemen pivot yang tepat. Salah satu cara adalahmenggunakan elemen dengan bilangan terbesar sebagai elemen pivot. Dipilihelemen terbesar dalam determinan sebagai pivot pertama dan dilakukan prosesseperti yang telah dijelaskan sebelumnya, sehingga diperoleh determinanberorder satu lebih rendah. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai didapat

nilai determinan tersebut.

Cara yang biasa digunakan adalah dilakukan pertukaran baris dan ataukolom dalam determinan sehingga elemen terbesar terletak pada sudut kiri atas,kemudian elemen tersebut digunakan sebagai elemen pivot. Sebagai contohdigunakan determinan pada contoh sebelumnya.

5102

3421

02310

2432

−

−= D


31/159


28

Elemen terbesar (10) terletak pada baris kedua, maka baris keduaditukarkan dengan baris pertama, sehingga pivot terletak pada posisi awal.Langkah selanjutnya adalah membagi baris pertama dengan elemen pivot.

5102

3421

2432

02,03,01

10

5102

3421

2432

02310

−

−

−=

−

−

−

Tanda minus ditambahkan pada determinan karena pertukaran baris.Baris pertama dikalikan dengan suatu skalar yang sesuai kemudian dijumlahkanke baris-baris yang lain untuk mendapatkan elemen-elemen lain kecuali elemenpivot bernilai nol.

( )56,06,0

32,47,1

24,44,2

110

56,06,00

32,47,1024,44,20

02,03,01

10 −=

−

−

Elemen terbesar adalah lima. Dilakukan pertukaran baris ketiga denganbaris pertama kemudian kolom pertama dengan kolom pertama. Karenadilakukan dua kali pertukaran, maka tanda determinan tidak berubah.

( )

4,24,42

7,12,43

6,06,05

10

24,44,2

32,47,1

56,06,0

10

56,06,0

32,47,1

24,44,2

110-D −=+==

Baris pertama dibagi lima maka determinan menjadi:

( )4,24,42

7,12,43

12,012,01

510−= D

Baris kedua dan ketiga dikurangi dengan perkalian skalar baris pertama,sehingga diperoleh:

( )16,216,40

34,184,30

12,012,01

50

4,24,42

34,184,30

12,012,01

510 −=−= D

( ) 13672,2.5016,4.34,116,2.84,35016,216,4

34,184,350 −=−=−−=−

3.6 Latihan-latihan

1. Hitunglah determinan D berikut ini dengan mengunakana. metoda penjabaran

b. kofaktor dari elemen dalam suatu barisc. kofaktor dari elemen dalam suatu kolom


32/159


29

104

541

213

1 −

−

= D ,

253

104

212

2

−

−

= D

2. Untuk nilai x berapa determinan berikut ini sama dengan nol

102

46

213

x D −

−

=

3. Hitunglah determinan order 4 berikut ini dengan metoda penjabaran dengankofaktor

1302

4103

5421

3012

1

−

−

−

= D ,

10102

0551

10510

20155

2−−

−

= D

4. Dengan menggunakan kondensasi pivot, hitung determinan di bawah ini.

21613

43042

28231

14505

03124

−−−

−

−−

−

= D


1302

4103

5421

3012

1

−

−

−

= D ,

10102

0551

10510

20155

2−−

−

= D


21101203

5123

1102

−−

−

−

= D


113102

232220

402113

413021

213102

304211

−−

−−

−

−−−

−−

= D


33/159


30

3.7 Daftar Pustaka

Bambang Triatmodjo, 2002, Metode Numerik, Beta Offset, YogyakartaBinsar Hariandja, 1997, Analisis Struktur Berbentuk Rangka Dalam Formulasi

Matriks, Aksara Husada, Bandung.

Gere, James M., Weaver, William Jr., 1987, Aljabar Matriks untuk Insinyur,Erlangga, Jakarta.

Stroud, K.A., 1996, Matematika untuk Teknik, Erlangga, Jakarta.Supartono, FX., Teddy Boen, 1987, Analisa Struktur dengan Metode Matrix, UI-

Pers, Jakarta.


34/159


31

BAB IV INVERS SUATU MATRIKS

4.1 Definisi invers matriks

Invers suatu matriks bujur sangkar A, ditulis A

–1

, dan didefinisikan sebagaimatriks yang bila dikalikan dengan matriks asal A akan menghasilkan matriksidentitas (I). Matriks invers selalu sebuah matriks bujursangkar yang berordersama dengan matriks asal, dan hanya matriks bujursangkar yang mempunyaiinvers. Hubungan antara matriks asal dengan inversnya dinyatakan sebagaiberikut.

A·A –1

= A –1

·A = I

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa sebuah matriks dan inversnyaselalu komutatif.

Ada kesamaan antara kebalikan suatu bilangan skalar pada aljabar skalar

dan invers suatu matriks. Bila dua bilangan a dan b mempunyai hubungan ab =1, maka b sama dengan a –1. Pada aljabar matriks hubungan yang serupa adalah:

AB = I ,dari hubungan ini terlihat bahwa B adalah invers dari A, atau

B = A –1 dan sebaliknya

A = B –1

4.2 Matriks kofaktor

Dalam pengembangan metoda untuk memperoleh invers suatu matriks,perlu didefinisikan lebih dahulu yang disebut dengan matriks kofaktor. Matrikskofaktor adalah matriks yang dibentuk dengan menggantikan setiap elemen darisuatu matriks bujur sangkar dengan kofaktornya. Kofaktor-kofaktor tersebutdiperoleh dari determinan matriks asal. Untuk menunjukkan matriks kofaktordapat dilihat dari matriks A berorder 3 di bawah ini.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A

Matriks kofaktor dari A, dengan notasi A

C

, adalah:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=C C C

C C C

C C C

C

A A A

A A A

A A A

A

333231

232221

131211

Setiap kofaktor diperoleh dari determinan A:

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A =

Jadi kofaktor-kofaktor adalah:


35/159


36/159


33

4.4 Invers suatu matriks

Untuk menunjukkan hubungan antara matriks adjoint dengan operasiinvers, perhatikan hasil perkalian suatu matriks dengan adjointnya.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=C C C

C C C

C C C

a

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

AA

332313

322212

312111

333231

232221

131211

misalkan matriks hasil kali ini

dinyatakan dengan B:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

333231

232221

131211

B B B

B B B

B B B

B AAa

maka berarti bahwa elemen-elemen matriks B merupakan hasil perkalian antarabaris-baris pada matriks A dengan kolom-kolom pada matriks A

a.

C C C A A A A A A B 13131212111111 ++= , elemen-elemen lain dapat diperoleh dengan

cara yang sama:C C C

A A A A A A B 23132212211112 ++=

C C C A A A A A A B 33133212311113 ++= , dan seterusnya sampai semua elemen B

dihitung.

Elemen B11 terdiri dari elemen-elemen baris pertama yang dikalikandengan kofaktor dari elemen-elemen yang sama. Dengan demikian B11 identik

dengan penjabaran A dengan kofaktor dari elemen-elemen baris pertama, oleh

sebab itu harganya harus sama dengan determinan A . Elemen B12 juga terdiri

dari elemen-elemen baris pertama matriks A, tetapi dikalikan dengan kofaktor-

kofaktor baris kedua dari A . Penjabaran seperti ini akan menghasilkan nilai nol,

selanjutnya diperoleh bahwa semua elemen kecuali yang terletak pada diagonalutama bernilai nol. Jadi hasil kali matriks A dengan matriks adjoint A

a adalah:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

A

A

A

AAa

00

00

00

hasil ini dapat disederhanakan menjadi: I A AAa =

Jika kedua ruas dibagi dengan A , diperoleh I A

A A

a

= , sehingga A

A A

a

=−1

Persamaan ini menunjukkan bahwa invers suatu matriks sama denganmatriks adjoint dibagi dengan determinan matriks tersebut. Dari persamaantersebut juga diperoleh bahwa invers suatu matriks hanya ada bila determinan

matriks tersebut tidak sama dengan nol. Jika A =0, maka matriks tersebutdikatakan singular dan tidak memiliki invers.


37/159


34

Sebagai gambaran diberikan contoh sebagai berikut.

Contoh 1. Cari invers matriks dari ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

43

12 A

Matriks kofaktornya adalah ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

21

34C

A

dan matriks adjointnya ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

23

14a

A

determinan 538 −=+−= A

Invers matriks adalah matriks adjoint dibagi dengan determinannya:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

−==

−

4,06,0

2,08,0

23

14

5

11

A

A A

a

Hasil invers ini diperiksa dengan mengalikan A dengan A-1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=−

10

01

4,06,0

2,08,0

43

121 AA

Contoh 2. Cari invers matriks order 3 berikut ini.

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

312

421

023

B

Matriks kofaktornya adalah

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

4128

796

5510C

B

dan matriks adjointnya

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

475

1295

8610a

B

determinan 40= B

Invers matriks adalah matriks adjoint dibagi dengan determinannya:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−==−

475

1295

8610

40

11

B

B B

a

4.5 Sifat-sifat invers

Banyak sifat-sifat serta aturan-aturan yang berkaitan dengan inversmatriks yang berguna dalam penyelesaian masalah, antara lain:1. invers dari invers matriks adalah matriks asal,

(A-1)-1) = A, asal matriks A tidak singular,


38/159


35

2. invers suatu matriks adalah tunggal. Artinya bila AB = I, dan AC = I, maka B =C = A

-1

4.6 Mencari invers dengan transformasi berurutan

Salah satu cara untuk mencari invers suatu matriks adalah denganmetoda transformasi berurutan. Dalam metoda ini dilakukan pembentukanmatriks-matriks transformasi yang mengubah bentuk suatu matriks menjadimatriks identitas melalui beberapa operasi yang berurutan. Jika matriks-matrikstransformasi sudah diperoleh, invers matriks tersebut sama dengan hasil kalimatriks-matriks transformasi. Bila A adalah matriks asal, dan T1, T2, …….., Tn adalah matriks transformasi. Jika A dikalikirikan dengan matriks transformasiakan diperoleh matriks identitas.

Tn…….. T2 T1 A = I, sehingga invers dari A adalah: A-1 = Tn …….. T2T1

Jika matriks-matriks transformasi sebagai pengalikiri, maka operasi-operasi tersebut bekerja pada baris-baris matriks A.

Ciri utama dari metoda transformasi berurutan adalah penyelesaian darimatriks-matriks transformasi itu sendiri. Contoh penyelesaian dengan metodatransformasi berurutan adalah sebagai berikut.

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

A A A

A A A

A A A

A

......

........................

......

......

21

22221

11211

Dimisalkan juga bahwa matriks-matriks transformasinya berperan sebagaipengalikiri yang pengoperasiannya akan berkaitan dengan baris-baris darimatriks A.

Matriks transformasi yang pertama adalah matriks yang akan mengubahkolom pertama A menjadi kolom pertama pada matriks identitas. Hasil inidiperoleh dengan membagi baris pertama matriks A dengan A11 , kemudianmenjumlahkan kelipatan baris pertama dengan baris-baris lainnya. Operasielementer yang dibutuhkan adalah penskalaran dan penggabungan. Matriks

transformasi T1, yang menjalankan penskalaran dan penggabungan adalah:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

1.......0

............................

0.......1

0.......01

11

1

11

21

11

1

A

A

A

A

A

T

n

T1 dibentuk dari matriks identitas, kemudian operasi-operasi yangdiinginkan pada matriks A dilakukan pada matriks identitas. Baris pertama pada


39/159


40/159


37

Proses mengubah kolom di atas diulang sebanyak n kali sampai hasilkalinya berupa matriks identitas:

Tn…….T2T1 A = I

Sebagai gambaran tentang metoda transformasi berurutan ini dapat dilihat

pada contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1 cari invers matriks

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

43

12 A

Invers matriks akan diselesaikan dengan operasi-operasi terhadap baris,maka matriks transformasinya akan berfungsi sebagai pengalikiri dari A. MatriksT1 dibentuk hingga mengubah elemen pertama baris pertama menjadi satu danelemen pertama pada baris kedua menjadi nol.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

15,1

05,0

1

01

11

21

111

A

A

AT

Hasil kali T1 A = B , sehingga:

B B

B AT =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

22

121

0

1

5,20

5,01

43

12

15,1

05,0

Untuk mengubah matriks B menjadi matriks identitas diperlukan matrikstransformasi kedua T2 dengan susunan sebagai berikut.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=4,00

2,01

10

1

22

22

12

2

B

B

B

T

Hasil kali T2B akan menjadi matriks identitas:

I AT T BT =⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

= 10

01

5,20

5,01

4,00

2,01122

Dengan demikian transformasi yang diperlukan untuk mengubah matriks A menjadi matriks identitas telah diperoleh, sehingga invers matriks A adalah:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−==−

4,06,0

2,08,0

15,1

05,0

4,00

2,0112

1T T A

Contoh di atas menunjukkan cara transformasi dengan pengkalikirian,sehingga matriks transformasi melakukan operasi atas baris-baris. Prosedur

yang sama dapat dilakukan dengan pengkalikananan terhadap matriks A.


41/159


38

Dengan demikian matriks transformasi akan melakukan operasi terhadap kolom-kolom matriks asal.

Contoh 2 cari invers matriks ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

43

12 A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −=

10

5,05,0

10

1

11

12

113 A

A

AT

dan hasil kali AT3 dinyatakan sebagai D adalah:

D D D

AT =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

22213

01

5,25,1

01

10

5,05,0

43

12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=4,06,0

01101

2222

214

D D

DT

Hasil kali DT4 akan menjadi matriks identitas:

I T AT DT =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−==

10

01

4,06,0

01

5,25,1

01434

Dengan demikian transformasi yang diperlukan untuk mengubah matriks A menjadi matriks identitas telah diperoleh, sehingga invers matriks A adalah:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

==−

4,06,0

2,08,0

4,06,0

01

10

5,05,0

431

T T A

Contoh 3 diketahui matriks A berorder 3, cari inversnya dengan operasi terhadapbaris-baris.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

145

012

31420

A

Menentukan matriks transformasi T1 :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

1025,0

011,0

0005,0

1T

Hasil kali B AT =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

25,05,00

30,04,00

15,07,01

145

012

31420

1025,0

011,0

0005,0

1

Matriks transformasi T2 adalah:


42/159


39

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

125,10

05,20

075,11

2T

Hasil kali selanjutnya adalah:

C AT T =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

125,000

750,010

375,001

145

012

31420

1025,0

011,0

0005,0

125,10

05,20

075,11

12

Matriks transformasi T3 adalah:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

800

610

301

3T

Hasil kali terakhir akan menghasilkan matriks identitas. Jadi invers matriks A adalah:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

==−

8103

652

321

1025,0

011,0

0005,0

125,10

05,20

075,11

800

610

301

1231

T T T A

Dengan cara yang sama dapat diperoleh invers matriks denganmelakukan operasi-operasi kolom.

Pada uraian penyelesaian dengan metoda transformasi berurutan di atasmatriks-matriks transformasi dituliskan satu persatu, kemudian dari hasil kalimatriks-matriks transformasi diperoleh invers matriksnya. Dengan bentukpenyajian seperti itu perhitungan-perhitungan menjadi lebih rumit, sehingga perludisusun perhitungan yang lebih sistematis. Pada bentuk operasi pada baris,ditambahkan matriks identitas di samping kanan matriks yang akan dicariinversnya, kemudian lakukan transformasi yang sama pada matriks identitas.Jika semua transformasi sudah selesai dilakukan, maka di sebelah kiri akandiperoleh matriks identitas dan di sebelah kanan diperoleh invers matriksnya.Jika pengoperasian dilakukan pada kolom, maka penambahan matriks identitas

diletakkan di bawah matriks asal. Setelah transformasi selesai, maka di sebelahatas terdapat matriks identitas, dan di sebelah bawah diperoleh invers matriks.

Contoh 4: penyelesaian digunakan matriks A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

43

12

Penulisan matriks menjadi: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

10

01

43

12

Dilakukan transformasi seperti pada contoh sebelumnya. Setiaptransformasi dilakukan juga pada matriks identitasnya.


43/159


40

Langkah pertama jadikan elemen pertama baris pertama menjadi 1dengan membagi baris tersebut dengan dua.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

10

05,0

43

5,01, selanjutnya baris kedua dikurangi dengan 3 kali baris

pertama

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

15,1

05,0

5,20

5,01. Baris kedua dibagi dengan – 2,5.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

4,06,0

05,0

10

5,01, selanjutnya baris pertama ditambah 0,5 kali baris

kedua.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4,06,0

08,0

10

01, sehingga A

–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 4,06,0

08,0

Dengan operasi-operasi ini, matriks A telah ditransformasikan menjadimatriks identitas, dan matriks identitas telah ditransformasikan menjadi matriksinvers. Dengan cara yang sama dapat dilakukan pula pada operasi-operasikolom.

Contoh 5: Matriks

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

103

245

132

B

Penyelesaian:

Penulisan matriks menjadi:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

100

010

001

103

245

132

Untuk mentransformasikan kolom pertama matriks B menjadi matriksidentitas dilakukan tiga langkah sekaligus:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

102

3

012

5

002

1

2

1

2

90

2

1

2

70

2

1

2

31

Mentransformasikan kolom kedua matriks B menjadi matriks identitasdilakukan tiga langkah sekaligus:

a. baris kedua dibagi – 7/2b. baris pertama dikurangi 3/2 kali baris kedua

a. baris pertama dibagi – 2b. baris kedua dikurangi – 5 kali baris pertama

c. baris ketiga dikurangi 3 kali baris pertama


44/159


41

c. baris ketiga ditambah 9/2 kali baris kedua

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

17

9

7

12

0

7

2

7

5

07

3

7

4

7

100

7

110

7

201

Mentransformasikan kolom ketiga matriks B menjadi matriks identitasdilakukan tiga langkah sekaligus:

a. baris ketiga dibagi – 1/7b. baris pertama dikurangi – 2/7 kali baris ketigac. baris kedua dikurangi 1/7 kali baris ketiga

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

7912

111

234

100

010

001

Matriks B telah ditransformasikan menjadi matriks identitas, dan matriksidentitas telah ditransformasikan menjadi matriks invers.

4.7 Latihan-latihan

Soal nomor 1 sampai dengan 7 dikerjakan dengan matriks adjoint

1. Carilah invers dari setiap matriks di bawah ini:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

21

241 A , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

25

132 A , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

1273 A

2. Carilah invers dari matriks di bawah ini:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4021

217

112

A


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

1272

25111194

B


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

615

420

312

C



45/159


42

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

475

1295

1005

D


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

613

152

324

E


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

475

1295

8610

F

8. Tentukan invers dari matriks segitiga bawah berorder empat di bawah ini.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

3204

0223

0011

0002

G

Penyelesaian selanjutnya menggunakan metoda transformasi berurutan

9. Inverskan matriks di bawah ini dengan operasi pada baris:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

= 74

85

1 A , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= 1812

54

2 A

10. Inverskan matriks di bawah ini dengan operasi pada kolom:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

52

961 B , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

1510

542 B

11. Inverskan matriks di bawah ini dengan operasi pada baris kemudiancocokkan hasilnya dengan operasi pada kolom:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−=

110

253

412

1C ,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−−

=

301

521

324

2C

4.8 Daftar Pustaka

Bambang Triatmodjo, 2002, Metode Numerik, Beta Offset, YogyakartaBinsar Hariandja, 1997, Analisis Struktur Berbentuk Rangka Dalam Formulasi

Matriks, Aksara Husada, Bandung.Gere, James M., Weaver, William Jr., 1987, Aljabar Matriks untuk Insinyur,

Erlangga, Jakarta.Stroud, K.A., 1996, Matematika untuk Teknik, Erlangga, Jakarta.

Supartono, FX., Teddy Boen, 1987, Analisa Struktur dengan Metode Matrix, UI-Pers, Jakarta.


46/159


47/159


44

dengan jumlah baris 5 buah dan 3 buah kolom, dengan letak sel bebas (tidakharus dimulai pada sel A1) seperti pada contoh berikut ini.

Matriks A =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

867

3104

523

311

102

. Elemen-elemen matriks diisikan pada

lembar kerja seperti terlihat pada Gambar 5.1. berikut ini.

Gambar 5.1. Cara penulisan matriks pada lembar kerja

Angka dua diisikan pada sel B2, nol pada sel C2 dan seterusnya,sehingga matriks A diisikan semuanya dalam sel B2 sampai dengan sel D6, ataubiasa dituliskan sebagai B2:D6.

Bentuk-bentuk operasi matriks adalah berupa operasi penjumlahan danpengurangan, perkalian, determinan, dan invers matriks.

Perhitungan matematika dan trigonometri dengan Microsoft Excel dapatdilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan fasilitas Help (Lotus 1-2-3 Help) dan dengan formula. Penjumlahan dan pengurangan matriks dapatdilakukan langsung dalam lembar kerja seperti yang telah dikenal dalampengolahan data Excel. Operasi-operasi matriks dengan menggunakan fasilitas

Lotus 1-2-3 Help hanya dapat dilakukan untuk perhitungan perkalian danmencari invers matriks. Pada penggunaan formula dapat dihitung bentuk-bentukoperasi determinan, invers, perkalian, dan transpos matriks.


48/159


45

5.2 Operasi Matriks dengan Microsoft® Excel

1. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Sebagai contoh digunakan penjumlahan dan pengurangan matriks seperticontoh pada Bab II.

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

401

321, B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

400

256

A + B = C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++−

−+−+

801

137

440001

235261

A – B = D =( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−

−−−−−

001

575

440001

235261

Matriks A dan matriks B diisikan ke dalam lembar kerja. Matriks A pada

sel B2:D3, dan matriks B pada sel F2:H3.

a. Penjumlahan A + B = C, ketik formula =B2+F2 pada sel B6 dan tekan tombol, atau ketik = dan bawa kursor ke sel B2, ketik + dan bawa kursor ke sel F2

dan tekan tombol . Selanjutnya copy isi sel B6 ke B6:D7 dan . Maka hasilpenjumlahan dapat dilihat pada sel B6:D7.

b. Pengurangan A – B = C, ketik formula =B2–F2 pada sel F6 dan tekan tombol, atau ketik = dan bawa kursor ke sel B2, ketik – dan bawa kursor ke sel F2

dan tekan tombol . Selanjutnya copy isi sel F6 ke F6:H7 dan . Maka hasilpenjumlahan dapat dilihat pada sel F6:G7.

Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilihat padaGambar 5.2. berikut ini.

Gambar 5.2. Penjumlahan dan pengurangan matriks


49/159


46

2.

Documents

Matematika Teknik1.pdf