Matematika_Carolija Prirodnih Brojeva

7/29/2019 Matematika_Carolija Prirodnih Brojeva

http://slidepdf.com/reader/full/matematikacarolija-prirodnih-brojeva 1/34

Čarolija prirodnih brojeva

Nives Jozić

Nastupno predavanje: Filozofski fakultet, 8. prosinca 2010.



2/34

Zašto osnovne znamenke, kojima zapisujemosve brojeve, izgledaju baš tako?

Osnovne znamenke



3/34

U počecima bilježenja brojeva, arapske znamenke suizgledale na sljedeći način:

Primijetite da svaka znamenka, osim nule, odreñujeneke kutove. Broj kutova u znamenci odgovara brojukoji ta znamenka predstavlja.



4/34

Znamenke i kutovi (istaknuti crvenim točkicama):

NEMAKUTOVA



5/34

Osnovne znamenke pomoću broja 4= 4 - 4 + 4 - 4

= 4 - 4 + 4 : 4

= ( 4 * 4 ) : (4 + 4)

= ( 4 + 4 + 4 ) : 4

= ( 4 - 4 ) * 4 + 4

= ( 4 * 4 + 4 ) : 4

= ( 4 + 4 ) : 4 + 4

= 4 + 4 - 4 : 4

= 4 + 4 + 4 - 4

= 4 + 4 + 4 : 4

Svoju godinu roñenja zapišite pomoću broja 4 koristeći 4osnovne operacije.



6/34

Savršeni brojeviPitagora je smatrao da BROJ UPRAVLJA SVEMIROM, a

njegovi sljedbenici Pitagorejci (5. i 6. st. prije Krista) da je

Svijet splet harmonije i broja te da se sve zakonitostiSvijeta mogu izraziti brojevima.

U traganju za tajnim zakonitostima brojeva otkrili su tzv.

savršene brojeve 6 i 28:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

SAVRŠENI BROJ je broj koji je

jednak zbroju svihsvojih djelitelja(osim sebesamog).Svi poznati savršeni brojevi

završavaju sa 6 ili 28.



7/34

Drevni židovi su koristiti brojeve za dokazivanje postojanjeBoga.Tvrdili su da stvaranje svijeta u 6 dana mora bitiistinito jer je 6 prvi savršeni broj.

Euklid (3. st. Prije Krista) je otkrio još dva savršena broja:

496 i 8128.Mnogi grčki matematičari i filozofi bavili su se savršenim

brojevima, ali ih nisu uspijevali pronaći. Pa je jedanzapisao:

Savršeni brojevi su prekrasni. Ali ne treba smetnuti suma da su lijepe stvari rijetke, a bezličnih s

nedostatcima ima u izobilju.Peti savršeni broj otkriven je tek 1460. godine:

33 550 336.



8/34

Postavljena je hipoteza: Ako je broj oblika prost,

tada je broj oblika savršen broj.

12 1n +

−

( )12 2 1n n +

−

Do sada nitko nije dokazao ni opovrgao ovu hipotezu, atvrdnja vrijedi za svaki poznati savršeni broj.

Danas se zna mnogo savršenih brojeva.

Pokušajte sami pronaći jednog.

Pitanje koje su postavili Pitagorejci još nije

odgovoreno: Postoje li neparni savršeni brojevi?



9/34

Brojevi blizanci

Prosti brojevi koji se razlikuju za dva zovu se brojeviBLIZANCI.

Brojevi blizanci su brojevi:a) 5 i 7b) 11 i 13c) 17 i 19

Provjerite sami je li postoji još koji blizanacprostih brojeva.



10/34

Sprijateljeni brojeviSPRIJATELJENI BROJEVI su parovi brojeva sa svojstvom da je

svaki od njih jednak zbroju svih djelitelja (osim njega

samoga) svog broja prijatelja.Sprijateljeni brojevi su 220 i 284.

Djelitelji broja 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Djelitelji broja 284: 1, 2, 4, 71, 142 (bez njega samoga)

1+2+4+71+142 = 220

Švicarski matematičar EULER je u 18. st. pronašao šezdesetparova sprijateljenih brojeva.

Pronañite sami jedan par sprijateljenih brojeva.



11/34

Tajna broja 73.Uzmite po želji jedan četveroznamenkasti broj i upišite

ga dva puta u kalkulator (na primjer: 12341234).

Provjerite je li upisani broj djeljiv sa 137?

Nakon što ste ga podijelili sa 137, dobiveni rezultatpodijelite četveroznamenkastim brojem kojeg steodabrali na početku.

Vaš rezultat je broj 73.



12/34

Kako to znam?

Zaključujemo: Ako smo upisali četveroznamenkastibroja dva puta to je isto kao da smo taj broj pomnožilis 10 001:

35623562 = 3562 10 001= 3562 137 73

Upisani osmeroznamenkasti broj je djeljiv odabranimčetveroznamenkastim brojem te brojevima 137 i 73.

Osmislite sami jedan sličan zadatak.

23 101 = 2323234 1001 = 234234

2345 10001 = 23452345



13/34

Misteriozni broj 22.

Odaberite bilo koje tri različite znamenke.Koristeći ih napišite sve moguće dvoznamenkaste brojeverazličitih znamenaka.Podijelite zbroj dvoznamenkastih brojeva sa zbrojem

odabranih znamenki.

Va Vašš rezultat je 22.rezultat je 22.



14/34

Kako to znam?

xy = 10x + yxz = 10x + zyx = 10y + x

yz = 10y + zzx = 10z + xzy = 10z + y

xy+xz+yx+yz+zx+zy == 22x+22y+22z =

= 22 (x+y+z)

+

Ako taj zbroj podijelimo sa zbrojemznamenaka (x+y+z) rezultat ćeuvijek biti 22.

Koristimo algebru za objašnjenje ovog aritmetičkogfenomena.

Neka su x, y, z tri različite znamenke. Svi mogućidvoznamenkasti brojevi različitih znamenaka su:

xy, xz, yx, yz, zx, zy.



15/34

Kvadrati brojeva 13 i 16Kad bi ovi brojevi mogli govoriti čuli bismo zanimljiv

dijalog meñu njima.

Šesnaestica kaže trinaestici: Želim ti pokazati zašto

te smatram svojim prijateljem. Moj kvadrat je 256, azbroj znamenaka u njemu iznosi 13.

A trinaestica odgovara: Onda si i ti meni prijatelj!

Moj kvadrat je 169, a zbroj znamenaka je 16.



16/34

Kvadrati brojeva na 5

252 = {broju 2 (2+1) dopišemo 25} = 625

752 = {broju 7 (7+1) dopišemo 25} = 5625

Kvadrat broja koji završava na 5, završavat će s 25.

Broj ispred zadnje znamenke množimo s njegovimneposrednim sljedbenikom, a rezultat zapišemoispred 25. Primjer:



17/34

Brojevi i geometrija



18/34

1. Poligonalni brojevi

Brojevi se mogu predstavljati točkicama tako da oneformiraju pravilni geometrijski lik – poligon:

Triagonalni brojevi – TROKUTNI Tetragonalni brojevi – KVADRATNI Pentagonalni brojevi – PETEROKUTNI Heksagonalni brojevi – ŠESTEROKUTNI …



19/34

TROKUTNI brojevi: 1, 3, 6, 10, 15…

10 = 1+2+3+4

( )11 2 3 ...

2n n

n +

+ + + + =TVRDNJA: Zbroj prvihn prirodnih brojeva dajen-ti trokutni broj.

1 = 1

3 = 1+26 = 1+2+3



20/34

KVADRATNI brojevi: 1, 4, 9, 16, …

21 3 5 ... (2 1)n n + + + + − =

TVRDNJA: Zbroj prvihn neparnih brojeva

daje n-ti kvadratni broj.

1 = 1 = 12

1+3 = 4 = 22

1+3+5 = 9 = 32

1+3+5+7 = 16 = 42



21/34

PTEROKUTNI brojevi: 1, 5, 12, 22, 35…

35 = 10+25

TVRDNJA:n –ti peterokutni broj dobije sezbrajanjem (n-1)-vog trokutnog i

n-tog četverokutnog:

( ) ( )21 3 12 2

n n n n n

− ⋅ −+ =

1 = 15 = 1+4

12 = 3+922 = 6+16



22/34

ŠESTEROKUTNI brojevi: 1, 6, 15, 28, …

1 = 16 = 2 315 = 3 5

28 = 4 745 = 5 9

n –ti šesterokutni broj:

( )2 1n n ⋅ −



23/34

2. Pascalov trokut

Brojeve zapisujemo slažući ih u trokut tako da redzapočinjemo s 1 i završavamo s 1, a izmeñu je broj

jednak zbroju dvaju iznad njega.



24/34

1

3610

15212836

Trokutnibrojevi

1

2

3

4

5

6

7

8

Red

1

4916

25364964

1

248

163264128

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Četverokutni brojevi

Zbroj poretcimaPascalov trokut



25/34

Razmnožavanje zečeva

1

1

2

3

58

13

21

34

5589

…

Na početku je jedan par zečeva.

Svaki mjesec jedan par okoti novi par, počevši od drugog mjeseca.



26/34

3. Pravilni poliedriPravilna geometrijska tijela sa svojstvom:

• Strane su pravilni mnogokuti• Meñu stranama jednaki kutovi

• Iz svakog vrha jednak broj bridova

Ima ih samo pet!



27/34

Platonova tijela

2302012ikosaedar

2301220dodekaedar 21286oktaedar

21268kocka

2644tetraedar

v + s -

b =

Broj

bridova b:

Broj

strana s:

Broj

vrhova v:

Tijelo



28/34

Tetraedar: 3 60°= 180°

Oktaedar: 4 60°= 240°

Ikosaedar: 5 60°= 300°

Zbroj kutova uz svaki vrh mora biti manji od 360°.

6 bridova iz jednog vrha – NE MOŽE.

1. Uzmimo za strane – trokute.



29/34

Kocka: 3 90°= 270° Dodekaedar: 3 108°= 324°

Zaključak:Strane pravilnih poliedara

mogu biti samo pravilnitrokuti, kvadrati i pravilnipeterokuti.

Ukupno ih je 5.

3 120° = 360°

4 brida iz jednog vrha – NE MOŽE.

2. Uzmimo za strane – kvadrate. 3. Uzmimo za strane – peterokute.

4 brida iz jednog vrha – NE MOŽE.

4. Uzmimo za strane – šesterokute.

NE MOŽE – ni sa 3 brida.



30/34

Prirodni brojevi usvakodnevnom životu…



31/34

Zrakoplovne karte označene su 10-znamenkastim brojem

nakon kojega slijedi jedna kontrolna znamenka.Kontrolna znamenka jednaka je ostatku pri dijeljenju s 7.

Primjer: Ako je 10-znamenkasti broj 3458120129 tada je

kontrolna znamenka 2, jer 3458120129 podijeljeno sa 7daje 494017161 i ostatak 2, pa će na karti biti napisanbroj 34581201292.

Ova metoda je uspješna u 903 od 963 slučaja što dajepribližno 93.77%, tj. sa 93.77% uspješnosti otkriva sepogreška jedne znamenke.

1. ZRAKOPLOVNE KARTE



32/34

Na naljepnici svakog proizvoda nacrtane su tamne crte, aispod njih su brojevi. Posljedna znamenka je kontrolna.Dogovorno, europski kodovi imaju 8 ili 13 znamenaka.

Sve znamenke osim prve i zadnje se pomnože prvim brojems lijeva. Sve se zbroji te se doda broj tako da izračunatizbroj bude djeljiv s 10. Taj dodani broj je ujedno ikontralna znamenka. Npr. u broju 5 996175232290,kontrolna znamenka je 0, a ostale se množe s 5.

Ova metoda sa 100 % uspješnosti otkriva pogrešku jedneznamenke, a s približno 89 % otkriva zamjenu susjednihznamenaka.

2. EUROPSKI KOD NA PROIZVODIMA



33/34

3. Inspiracija - Goldbachova slutnjaNjemački matematičar Christian Goldbach je 1742. u pismu

Euleru postavio hipotezu:

Svaki parni broj veći od 2 može se zapisati

kao zbroj 2 prosta broja.

Tvrdnja još nije dokazana, a nagrada je 1.000.000$

Roman preveden na hrvatski jezik:Stric Petros i Goldbachova slutnja



34/34

I za kraj …brojevna poruka:

Documents

Matematika_Carolija Prirodnih Brojeva