Matematine˙ logika - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/Diskrecioji_1/MATEMATINE_LOGIKA.pdf · ka, taiko matematinius metodus ir susiformavo kaip matematikos skyrius

Skyrius 2

Matematine logika

Graikiškas žodis logos (�� ) reiškia „minti“, „žodi“, „prota“, „savoka“. Logi-

ka arba formalioji logika nagrineja teisingo mastymo desnius ir formas, kai sam-protavimu turinys nera svarbus. Matematine logika, dar vadinama simboline logi-ka, taiko matematinius metodus ir susiformavo kaip matematikos skyrius. Josobjekta sudaro matematiniu teoremu irodymai ir matematines teorijos. Matema-tine logika yra matematikos pagrindu tyrimu irankis. Šis matematikos skyriusvadinamas irodymu teorija arba metamatematika. Kompiuterines technikos pletrapaskatino nauju logikos taikymu atsiradima: duomenu ir žiniu baziu, ekspertiniusistemu, kitu dirbtinio intelekto kurimo proceso elementu.

2.1 Teiginiu algebra

2.1.1 Teiginio savoka

Logika nagrineja mastymo desnius, užtikrinancius jo taisyklinguma, t. y. api-brežtuma, neprieštaringuma, nuosekluma, pagristuma. Viena pagrindiniu, baziniu,pirminiu logikos savoku yra teiginys – toks sakinys, tvirtinimas, reiškimas, kurisvisada yra arba teisingas, arba klaidingas. Pavyzdžiui, sakinys „2>5“ klaidingasir todel yra teiginys. Sakiniai „mokykis“ arba „nerukyk“ nera teiginiai. Sakinys„ � � “ irgi nera teiginys, kadangi jis gali buti ir teisingas, ir klaidingas, priklau-somai nuo ir � reikšmiu1 .

Pateiksime kitu teiginiu pavyzdžius:��: „Kaunas nera Lietuvos sostine“.

1Tokio pavidalo sakiniai vadinami predikatais ir bus nagrinejami veliau (žr. 2.5.1).

1

2 SKYRIUS 2. MATEMATINE LOGIKA

��: „Vasaris yra žiemos menuo“.��: „ � yra iracionalusis skaicius“.��: „Jonas Petraitis nera technikos universiteto studentas“.

Nagrinejamu logikoje samprotavimu turinys nera svarbus: logika domisi tei-singu samprotavimu sudarymo formomis. Todel svarbios yra tik teiginiu reikšmes:tiesingas arba klaidingas, kurios žymimos „TRUE“, „FALSE“, „T“, „F“, „t“, „k“,„1“, „0“, �� ir vadinamos loginemis konstantomis. Abstraktieji teiginiai žymi-mi raidemis su indeksais arba beju:

�� , � �� , � � �� ir vadinamiloginiais kintamaisiais. Taigi teiginiu

� �,� �

,��

reikšme yra „tiesa“, o teiginio� �

reikšmes mes galime ir nežinoti ir gali buti patogiau ji laikyti loginiu kintamuoju.

2.1.2 Logines operacijos

Matematine logika nagrineja matematiniu samprotavimu formas ir placiai nau-doja simbolius bei formules. Iš teiginiu, kuriuos galima pavadinti pirminiais, ele-mentariais arba loginiais kintamaisiais, sudaromi nauji, sudetiniai teiginiai. Nau-jiems teiginiams sudaryti apibrežiamos logines operacijos, kurios formalizuojamatematiniu teoremu irodymus. Tarkime, kad � ir � yra teiginiai (loginiai kin-tamieji). Atliekant su � ir � logines operacijas (veiksmus), gaunami nauji teiginiai.

Apibrežimas. Teiginio�

neigimu vadinamas naujas teiginys, kuri žymime�

arba � � ir skaitome „ne�

“, „netiesa, kad�

“. Kai loginio kintamojo�

reikšmeyra „tiesa“, tai kintamojo

�reikšme yra „klaida“, ir atvirkšciai, kai

�– „klaida“

—�

– „tiesa“.Ši neigimo operacijos apirežima patogu užrašyti tokia lentele

� ��

Pavyždžiui, teiginys� �

skaitomas „netiesa, kad Kaunas nera Lietuvos sostine“ir yra klaidingas.

Neigimo operacija atliekama su vienu kintamuoju ir vadinama unariaja arbavienviete. Kitos logines operacijos atliekamos su dviem kintamaisiais ir vadinamosbinariosiomis arba dvivietemis.

2.1. TEIGINIU ALGEBRA 3

Apibrežimai (binariosios logines operacijos):

disjunkcija žymima � (skaitoma „ � arba � “): teiginys �� yra teisingas, kaiteisingas bent vienas iš teiginiu � , � (t. y. teisingas yra bent kuris nors iš � ,� , taciau jie gali buti teisingi ir abu);

konjunkcija žymima � (skaitoma „ � ir � “): teiginys �� yra teisingas, kaiteisingi abu teiginiai � , � (t. y. teisingas ir � , ir � );

implikacija žymima � ( skaitoma „jei � , tai � “ arba „iš � išplaukia � “): teiginys� � � yra klaidingas tik tuo atveju, kai teiginys � yra teisingas, o � –klaidingas (t. y. implikacija klaidinga kai iš tiesos išplaukia melas, o visaiskitais avejais implikacija yra teisinga);

ekvivalentumas žymima � (skaitoma „ � tada ir tik tada, kai � “): teiginys �� yra teisingas, kai abu teiginiai � , � yra teisingi arba abu klaidingi (darsakome, kad salyga � yra butina ir pakankama salygai � 2.

Surašykime apibrežtas logines operacijas i lentele.

� � ��

Taigi, jei raide � pažymetas teiginys „Jonas yra studentas“, – „Petras yrastudentas“, tai teiginys �� skaitomas „Jonas arba Petras yra studentas“ ir reiškia,kad kuris nors iš ju, arba jie abu (t. y. bent vienas iš ju) yra studentas. Teiginys�� skaitomas „Jonas ir Petras yra studentai“ ir reiškia, kad jie abu (t. y. ir vienas,ir kitas) yra studentai. Teiginys �� skaitomas „jei Jonas yra studentas, tai irPetras – studentas“, t. y. iš prielaidos, kad „Jonas yra studentas“ galima padarytiišvada, kad ir „Petras yra studentas“. Teiginio �� prasme: Jonas ir Petras arbaabu yra, arba abu nera studentai.

2Jei turime implikacija �� , tai sakome, kad salyga � yra butina salygai � (kitaip � negalib uti teisinga), o salyga � yra pakankama salygai � (jos pakanka, kad teiginys � b utu teisingas).


Dar karta pastebekime, kad teiginiu turinys visai nesvarbus ir gali netureti pras-mes. Pavyzdžiui, teiginys „jei Kaunas Lietuvos sostine, tai visi skaiciai yra neigia-mi“ užrašomas matematines logikos simboliais

� � �ir yra teisingas.

Pastabos1. Disjunkcija kartais yra vadinama logine suma, o konjunkcija – logine sandauga.Jei logines konstantas

�ir�

pažymeti � ir � bei i simbolius � ir � žiureti kaip iskaicius, tai � � � �� , � �� . Operacija � vadinama sudetimimoduliu du: �� . Sudetis moduliu dukartais vaidinama griežtaja disjunkcija ir žymima �� .2. Implikacija galima apibrežti šiomis išvedimu taisyklemis:a) iš teisingos prielaidos (antecedento) išplaukia tik teisinga išvada (konsekventas);b) klaidinga išvada išplaukia tik iš klaidingos prielaidos.3. Logines operacijos literaturoje gali buti pažymetos ir kitaip:� , � (neigimas), � (konjunkcija), � , � (implikacija), � , � ,

� (ekvivalentumas).

2.2 Teiginiu algebros formules

2.2.1 Propozicines formules

Teisingu loginiu formuliu sudarymo taisykles nepriklauso nuo apibrežtu loginiuoperaciju turinio3 . Noredami pabrežti, kad nagrinesime logines formules tik kaipalgebrinius (formaliuosius) reiškinius ir šiu formuliu reikšmiu kol kas neskaiciuo-sime, kintamuosius (loginius) vadinsime propoziciniais, operacijas vadinsime pro-pozicinemis jungtimis, o pacias formules – propozicinemis.

Apibrežimas. Teiginiu algebros abecele vadinama aibe

� �� "! � � � �

� � � � � # %$'& �

Aibes�

elementai – propoziciniai kintamieji, propozicines jungtys bei skliaustaivadinami raidemis. Baigtines abeceles

�raidžiu sekos vadinamos žodžiais.

Kai kurie žodžiai vadinami teiginiu skaiciavimo virš aibes�

formulemis. For-mules apibrežiamos ju sudarymo taisyklemis:

3Jos gali b uti apibrežtos ir kitaip. Žr. 2.4.2

2.2. TEIGINIU ALGEBROS FORMULES 5

(1) � �� "! � � � � yra formules;(2) jei

�yra formule, tai

# � ��$– formule;

(3) jei�

ir�

yra formules,tai

# � � � $,# � � � $

,# � � � $

,# � � � $

– formules;(4) kitu formuliu nera.

PavyzdžiaiŽodis � � � �� nera formule, kadangi sudarytas ne pagal (1)–(4) taisykles.Žodis

� # # �� $ � # # � � � $ � � $ $ yra formule, kuri sudaryta taip. Kintamasis �yra formule pagal (1) taisykle. Žodis

� � # �� $ yra formule pagal (2) taisykle.Kintamieji � , � ir � pagal (1) yra formules. Pagal (3) gauname dar dvi formules� � # � � � $ ir

� � # � � � � $ . Galutinai pagal (3) turime� # � � � � � $ .

Susitarkime ieinancias i formule kitas formules vadinti jos poformuliais. Taigiformules

� �,� �

ir� �

yra formules�

poformuliai.

2.2.2 Formules gylis

Visu formuliu aibe � galima apibrežti ir taip.

Apibrežimas (rekursinis)

�� "! � � � �� # � � $�� & �

� # � � � $�� & �� # � � � $�� & �

� # �� $�� & �� # �� $�� & �

� ��! � #"#"#"

��

Apibrežimas. Formules�

gyliu vadinamas skaicius $� &%('*)+-,/.10 $ .

Taigi propoziciniai kintamieji sudaro aibe �� ir yra nulinio gylio formules.Aibe � � sudaro propoziciniai kintamieji ir visos ju kombinacijos su viena propozi-cine jungtimi. Aibe � � sudaryta iš visu aibes � � formuliu bei formuliu, gaunamuiš ju, taikant viena propozicine jungti.

Anksciau išnagrineto pavyzdžio formules� # # �� $ � # # �� $ � � $ $ pofor-

muliai� �

ir� �

turi gyli � , poformulis� �

yra gylio 2 , o pacios formules�

gylislygus 3 .


Žodis � � � � � � , kaip jau buvo mineta, nera sudarytas pagal (1)-(4) taisyk-les ir todel nera formule. Noredami ji pataisyti, turime rašyti papildomus skliaus-tus: �� # � � # � � $ $

. Taciau šiu skliaustu prasme akivaizdi ir jie yra praktiškainereikalingi. Galima susitarti nerašyti išoriniu skliaustu. Tada � � �� # � � $

yraformule.

Dar svarbesnis yra susitarimas del operaciju prioriteto. Operacijos � , � , � ,� , � surašytos prioriteto mažejimo tvarka, t. y. neigimas ( � ) turi aukšciausiaprioriteta, o ekvivalentumas ( � ) – žemiausia. Tada, jei

� � # � � $yra formule, tai

ir� � � � yra ta pati formule. Jei

# � � � $ � �yra formule, tai

� � � � �irgi

yra ta pati formule.Atkreipkime demesi, kad operaciju prioritetu nustatymas neleidžia visai at-

sisakyti skliaustu. Pavyzdžiui, formule� � � � � reiškia tik antra iš dvieju iš esmes

skirtingu formuliu: � # � � � $ � � arba � � � # � � � $. Formuliu užrašymas

be skliaustu pavidalu " � � �� $ � �� " vadinamas prefiksiniu, o kitas pavi-dalas – " � � �� $ � �� " – postfiksiniu (tradicinis pavidalas su skliaustais– infiksinis). Prefiksinis bei postfiksinis formuliu pavidalai leidžia visai nerašytiskliaustu. Pavyzdžiui, prefiksiniu pavidalu užrašyta formule � � � � � � gal-ima perrašyti taip: � �� . Cia pažymeta � � � � � � � .Taigi perrašome formule infiksiniu pavidalu: � # � � � $ � � . Ta pacia formuleužrašome postfiksiniu pavidalu: � �� . (Cia buvopažymeta � � � � ). Panašiai užrašome formules � � � � � � � � � � � ir� �� # � � � � � $ �� .

Pastebekime, kad lygybes ženklas ( ) reiškia tik kita tos pacios formules pavi-dala ir nera teiginiu algebros abeceles elementas. Kitame paragrafe mes apibrešimeloginiu formuliu lygiavertiškumo arba ekvivalentumo (

� ) savoka.

2.3 Logikos formuliu semantika

2.3.1 Tautologijos

Tarkime, kad � # � � � � �� $ yra loginiu kintamuju rinkinys,� # � $

–logine formule.

Apibrežimai

Loginiu kintamuju �� reikšmiu � � � & rinkini � # � � � � �� $ vadinameloginiu kintamuju interpretacija. Pavyzdžiui, ��

�� # � � � $

ir� �� # � � � $

yra dvi kintamuju# � � � $ interpretacijos

2.3. LOGIKOS FORMULIU SEMANTIKA 7

Formule�

vadinama ivykdoma su interpretacija � , jei� # � $ �

.Pavyzdžiui, formule � � � yra ivykdoma su interpretacija � # � � $

.

Formule�

vadinama tautologija (tapaciai teisinga), jei ji yra ivykdoma subet kuria interpretacija. Tautologijas žymime ženklu � .

Formule�

vadinama prieštara (tapaciai klaidinga), jei su bet kuria inter-pretacija � :

� # � $ �. Pastebekime, kad

�yra prieštara tada ir tik tada, kai

� � yra tautologija.

Formules�

ir � vadinamos ekvivalenciomis, jei su bet kuria interpretacija� :� # � $ �� # � $ . Ekvivalencias formules žymime ženklu

� . Pastebekime,kad ekvivalenciosios formules turi tris savybes4 : refleksyvumo (

� � �);

simetriškumo (jei� � � � �

, tai� � � � �

); tranzityvumo (jei� � � � �

ir� � � � �, tai

� � � � �).

Formules�

ir � yra ekvivalencios tada ir tik tada, kai formule# � �� $ yra

tautologija. Arba trumpiau,� � � � �

tada, ir tik tada, kai � � � � � �.

Pastaba. Vietoje žodžiu tada, ir tik tada, kai butu galima rašyti kuri norsekvivalentumo ženkla ( � , � , � ). Tada pastarasis teiginys užrašomas taip:

� � �� . Tokiu atveju reikia susitarti, kad ( � ) reiškia predikatu kalbos

ekvivalentuma, o ( � ) musu paaiškinimu kalbos – metateorijos ekvivalentuma.

Pateiksime ekvivalenciuju formuliu pavyzdžius.

� � � � �;� �� ;� �� ;� � � � �;� � � � �;� �� ;� �� # � � �� $ ;� � � � �

;� � � � �;� � � � �;� � � � �

.

Visas formules galima irodyti paprasciausiu patikrinimu. Pavyzdžiui, formules�

ir� � �

visada igyja ta pacia reikšme:

4žr.


kai� �

, turime� � � � � � �

;kai

� �, turime

� � � � � � �.

Taigi irodyta, kad� � � � �

.

2.3.2 Teisingumo lenteles

Žinodami ieinanciu i logine formule loginiu kintamuju reikšmes, atliekame lo-gines operacijas (žr. ??) ir surandame loginiu formuliu reikšmes, kurias irašome iteisingumo reikšmiu lentele.

Pavyzdys. Formules

� # � � � � � � $ # � � � � � $ � # � � � � � $

reikšmes bei ju skaiciavimo eiga nusako ši teisingumo reikšmiu lentele.

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � � � � � � $� � � � � � � ��

2.3.3 Logikos desniai

Tautologijos dar vadinamos logikos desniais. Surašykime svarbiausius iš ju ilentele5 .

5Atkreipkime demesi, kad ekvivalentumo ženklas � yra logine operacija. Visu lenteles formuliureikšme lygi � , t. y. jos visos yra tautologijos.


Pavadinimas Formule

negalimo treciojodesnis

� � �

dvigubas neigimas � � �prieštaravimas �� tapatybesdesnis

�� "modus ponens" �� # �� $ � �"modus tollens"

# � � � $ � �� silogizmas

# �� $ � # � � � $ � �� kontrapozicija �� de Morgano desniai

� � ��

Visas formules galima irodyti, sudarant ju teisingumo reikšmiu lenteles. Irodyki-me, pavyzdžiui, pirmaji de Morgano6 desni:

� � � � ��

2.3.4 Konjunkcijos ir disjunkcijos savybes

Kaip ir anksciau, visos pateikiamos tautologijos irodomos tiesioginiu patikri-nimu. Taigi visu formuliu teisingumo lenteles dešinysis stulpelis bus užpildytaslogine konstanta

�.

6Augustus de Morgan (1806 – 1871) – škotu matematikas ir logikas.


Pavadinimas Formule

idempotentumas � � � � ��

konjunkcijoskomutatyvumas(perstatomumas)

�� disjunkcijoskomutatyvumas(perstatomumas)

� � �� konjunkcijosasociatyvumas(jungiamumas)

# �� $ � � � �� # � � � $

disjunkcijosasociatyvumas(jungiamumas)

# � � � $ � � � � � # � � � $

distributyvumas(skirstomumas)

�� # � � � $ � � � � � �� # � � � $ � # � � � $

absorbcijios(sugerties)desniai

�� # �� $ � ��

2.3.5 Implikacijos savybes

Surašykime i lentele dar kelias nesunkiai patikrinamas tautologijas.

Pavadinimas Formule

ivedimo irpašalinimoschemos

�� # �� $# �� $ � # # � � # �� $ $ � # �� $�$�� # �� $� � �� # � � � $ � # �� $

distributyvumo(skirstomumo)desniai

�� # �� $ � �� # �� $ � # �� $�� # �� $ � # �� $�� # � � � $ � # �� $


2.3.6 Tautologiju nustatymo taisykles

Teisingumo reikšmiu lenteles metodas yra universalus, bet reikalauja daug dar-bo. Kartais irodyti, kad formule yra tautologija galima greiciau, taikant atskyrimo(modus ponens) taisykle.

Teorema. Tarkime, kad formules�

ir� � � yra tautologijos. Tada formule

� irgi yra tautologija, t. y. iš�

ir� �� išplaukia � �� .

Irodymas. Jei šis teiginys nera teisingas, t. y. � nera tautologija, egzistuoja tokialoginiu kintamuju interpretacija (rinkinys) su kuria formule � igyja reikšme

�–

klaida. Kadangi�

yra tautologija, gauname� � � �

ir formule� �� nera

tautologija. Tai prieštarauja padarytai prielaidai.Taigi, jei turime tautologija � � � , istate vietoje � bet kuria tautologija,

gauname nauja tautologija.

Pavyzdžiai1. Iš � � � �� ir � �� gauname � # �� $ � � � # �� $ .2. Iš � � � �� ir � �� gauname� # �� $ � � � # � � � � � $ .

Suformuluokime dar viena tautologiju irodymo taisykle. Tarkime, kad � yraformules

�poformulis. Jei formuleje

�pakeisime poformuli � formule

�, gausime

nauja formule, kuria žymesime �� . Jei formule�

buvo tautologija, jos visosreikšmes yra

�ir nepriklauso nuo � . Todel jos nepasikeis ir formule liks tautologi-

ja. Trumpiau, iš � �išplaukia � �� .

PavyzdysIš � �� gauname� �� ;� � � �� ;� # �� $ � �� # �� $ � � � � .

Kartais tautologijai irodyti patogu taikyti prieštaros bei ekvivalenciuju pert-varkiu metodus.

Pavyzdžiai1. Irodykime prieštaros metodu, kad formule

� # � � # � � � $ $yra tautologi-

ja. Sprendžiame lygti� � . Implikacija � igyja nuline reikšme tik kai � � � .


Taigi turi buti� � , # � � � $ � . Gauname, kad

# � � � $ � , o tokiureikšmiu

�nera. Todel lygtis

� � neturi sprendiniu ir visais atvejais gauname� � , t. y. formule�

yra tautologija.2. Ekvivalenciuju pertvarkiu metodu irodykime, kad formule# � � � $ � # � � � $

yra tautologija. Taikome dvigubo neigimo desni:# � � � $ � # � � � $. Reiškiniui

# � � � $taikome de Morgano desni:# � � � $ � � � � . Taigi taikydami negalimo treciojo desni, gauname

# � � � $ �# � � � $ � � .

2.3.7 Loginis išvedamumas

Apibrežimas. Formule� # � � � � �� $ vadinama loginiu formuliu� � # � � � � �� $ , � � # � � � � �� $ , �� , �� # � � � � �� $

išvada, kai�

igyja reikšme�, jei visos formules

� � igijo reikšme�.

Taigi teisingumo lenteleje� � � � � � � ��

negali buti tokiu eiluciu� � � � ��

Iš cia gauname, kad logine išvada�

yra tautologija, kai� �

,� �

, �� , � � –tautologijos.

Formuliu� � �� logine išvada žymesime taip:� � � � �� .

Teorema. (Logines išvados požymis.) Formule�

yra formules�

logine išvadatada ir tik tada, kai implikacija

� � �yra tautologija (

� � � butina ir pakanka� � � � ).Irodymas. Butinumas. Iš

� � � pagal išvados apibežima turime� � � �

(negalimas atvejis� � � �

). Kai� �

, pagal implikacijos apibrežima,� � � �. Taigi

� � � �visais atvejais ir yra tautologija.

Pakankamumas. Kai implikacija� � �

yra tautologija, teisingumo lenteleje# � � � � � $negali buti eilutes

� � �. Todel lenteleje

# � � $nera elutes

# � � $ir�

yra formules�

išvada.

Panašiai galima irodyti ir kitus logines išvados požymius:� � � � �� tada ir tik tada, kai� � � � � � � � � � �� ;� � � � �� tada ir tik tada, kai � � � � � � � � � � � ��

.

2.4. TEIGINIU SKAICIAVIMAS 13

2.4 Teiginiu skaiciavimas

2.4.1 Teisingu samprotavimu taisykles

Kai kurios tautologijos leidžia išskirti teisingu samprotavimu struktura, t. y. at-sakyti i klausima kas iš ko išplaukia. Išnagrinekime tautologija � � � # � � � $ �� . Pagal logines išvados požymio teorema (12 p.) gauname

� � � � � � .Ši samprotavimu schema – išvedimo taisykle – vadinama modus ponens taisykleir užrašoma taip

� � � ��

Ši taisykle reiškia, kad jei turime teisinga prielaida�

ir irodeme, kad prielaida� � � irgi yra teisinga, tai galime padaryti teisinga išvada � . Taigi modus ponensyra išvados atskyrimo nuo prielaidos taisykle.

Kita teisingu samprotavimu taisykle pagrista tautologija# # � �� $ � �� $ �

� � ir vadinama modus tollens:

� � � ��

Surašykime i lentele dar kelias išvedimo taisykles.

Tautologija Išvedimo taisykle

(1) ��

(2) ��

(3)# # � � � $ � # � � � $ $ �

# �� $ � # � � � $ �� # � � � $ � � � �


(4)# �� $ � # � � � $ � � �

� � � �(5)

# �� $ � # � � � $ � � � � � � �� # �� $

(6) �� # �� $ � �� # �� $� � � # � � � $

� � # � � � $

(7) �� # �� $ � �� # �� $ ��

� � � � �

(8)# �� $ � ��

� �� # � � � $# � � # � � � $ $

Šios taisykles vadinamos: (1) – disjunkcijos ivedimo; (2) – konjunkcijos paša-linimo; (3) – konstrukcine dilema; (4) – kontrapozicija; (5) – silogizmas; (6) –prielaidu perstata; (7) – prielaidu sujungimas; (8) – prielaidu atskyrimas.

2.4.2 Aksiominis metodas

Nagrinesime kita logikos desniu irodymo metoda. Pirma pasirinksime kelispradinius desnius – aksiomas, leidžiancias gauti kitus logikos desnius. Toliausuformuluosime taisykles, pagal kurias galima irodyti logikos desnius – teoremas.Visu šiu aksiomu, taisykliu ir teoremu aibe sudaro formaliaja arba aksiomine teori-ja. Kaip tokios teorijos pavyzdi, mes išnagrinesime formalizuota teiginiu skaicia-vima � .

(S) Teorijos � simboliai yra propocicines jungtys � ir � (kitos operacijos bus api-brežtos veliau), propozicines raides � , � ,

� �,� �

, �� ir pagalbiniai simboliai# %$(skliaustai ir kablialis).

(F) Teorijos � formules sudaromos pagal tokias taisykles:(a) propozicines raides yra formules;(b) jei � yra formule, tai ir

# � � $– formule;

(c) jei � ir!

yra formules, tai# � � ! $

irgi yra formule;


(d) nera kitaip (ne pagal (a)–(c)) sudarytu formuliu.Kaip ir anksciau susitarkime nerašyti išoriniu skliaustu.

(A) Kokios bebutu formules�

,�

,�

, formules

(A1)� � # � � � $ �

(A2)# � � # � � � $ $ � # # � � � $ � # � � � $ $ �

(A3)# � � � � � $ � # # � � � � $ � � $ �

yra teorijos � aksiomos.

(MP) Teorijos � išvedimo taisykle yra modus ponens: formule�

yra tiesiogineišvada iš

�ir� � �

(trumpiau rašysime MP(�

,� � �

).

Pastebekime, kad reiškiniai (A1) – (A3) yra aksiomos, kai vietoje�

,�

,�

rašomos konkrecios formules, pavyzdžiui, propoziciniai kintamieji. Todel kiek-vienas iš šiu reiškiniu apibrežia be galo daug formuliu ir jos visos vadinamos ak-siomomis, o reiškiniai (A1) – (A3) vadinami aksiomu schema.

Apibrežimas. Formules�

išvedimu iš formuliu aibes (rinkinio) � (rašome�� ) vadinama tokia baigtine formuliu seka

� �,� �

, �� , �� , kad kiekviena for-mule

� � yra

arba aksioma,

arba formule iš � ,

arba gauta iš ankstesniuju formuliu��

,��

(� �� $ , pritaikius MP taisykle;

paskutinioji išvedimo formule��

sutampa su�

.

Rinkinio � formules vadinamos hipotezemis arba išvedimo prielaidomis. Kai tokiuprielaidu nera, t. y. aibe � yra tušcioji � � , formule

�vadinama teorijos �

teorema ir žymima � � . Kai reikia pabrežti, kad kalbama apie teorija � rašoma��

Teorema. � � � �.

Irodymas. Istatome i (A2)� # � � � $

ir� �

.Trumpiau rašome �

� �� - � # � 2 $ . Taigi :# � � $ # � � # # � � � $ � � $ $ � # # # � � # � � � $ $ � # � � � $ $ �Rašydami (A1) formuleje

� � �vietoje

�(t. y. �

� �� # � � $ ), gauname# � � $ � � # # � � � $ � � $ �


Taikome gautoms formulems išvedimo taisykle MP(� �

,� �

):# � � $ # # � � # � � ��$ $ � # � � ��$ �Vel taikome aksioma �

� �� # � � $ :# � � $ � � # � � � $ �Galutinai pagal MP(

� �,� �

) taisykle gauname# �� $ � � � �

Dedukcijos teorema (Erbranas7 , 1930)Jei � yra formuliu rinkinys,

�– formule ir � � � � , tai � � � � �

.Irodymas. Tarkime, kad

� �,� �

, �� , �� yra formules�

išvedimas iš hipoteziu � irformules

�. Taigi

�� .

Pirma išnagrinekime atveji � � . Tada� �

yra arba aksioma, arba formule iš� , arba

� � � �. Pastaruoju atveju jau irodyta kad � � � �

. Pirmaisiaisdviem atvejais turime aksioma �

+�� #� � $ :� � � # � � � � $ # � � � $

ir taikome taisykle MP(� �

,� � � �

).Bendruoju atveju ( �� ) taikome matematines indukcijos principa. Darome

prielaida, kad � � � � � �, kai

� �� . Reikia irodyti teigini � � � � ��.

Formule��

atitinka viena iš šiu keturiu atveju: 1)��

yra aksioma, arba 2)�

yraformule iš � , arba 3)

��sutampa su

�arba 4)

� gauta pritaikius taisykle MP(

� � ,� � � ��), (� � ). Pirmieji trys atvejai nagrinejami, kaip jau išnagrinetas atvejis

� � .Ketvirtuoju atveju turime indukcine prielaida

� � � � � � � # � $� � � � # � � � �� $ � # � $Taikome �

� +�� +�� - � # � 2 $ :# � � # � � � �� $ $ � # # � � � � $ � # � � �� $ $ � # � 2 � $ .Pagal MP( � , � 2 � ):# � � � � $ � # � � �� $ � #�� $

.Ir vel taikome MP( � , � ). Taigi gavome

� � � ir, pagal indukcija, teiginys

� � � � ��teisingas su visais � . Todel jis teisingas, kai � � ir turime

�� arba ��

. Teorema irodyta.

Pastebekime, kad formuliu aibe gali buti tušcioji ( � � ). Tada iš dedukcijosteoremos gauname, kad iš

� � � išplaukia � � � �, t. y. išvesta implikacija� � �

yra teorijos � teorema.Irodykime dar, kad su bet kuriomis formulemis

�,�

,�

galioja išvedimas:

7Jacques Herbrand (1908 – 1931) – pranc uzu matematikas.


� � �,� � � � � � �

.Sukonstruokime toki formules

�išvedima:� � �

,� � �

,�

,�

,�

.Cia pirmosios trys formules yra hipotezes, formule

�gauname pagal MP(

�,� ��

), o formule�

– pagal MP(�

,� � �

). Taigi turime� � �

,� � �

,� � � ir

taikome dedukcijos teorema. Gauta rezultata galima užrašyti implikacijos ivedimotaisykles pavidalu:

� � � ��

PastabaAksiomose (A1) – (A3) panaudotos tik dvi logines operacijos: neigimas ( � ) beiimplikacija ( � ). Todel teiginiu algebros formules galima apibrežti nenaudojantkitu operaciju. Konjunkcijos, disjunkcijos bei ekvivalentumo operacijas apibrežia-mos taip:

(D1)# � � � $

pažymeta# � # � � � � $ $ �

(D2)# � � � $

pažymeta# # � ��$ � � $ $ �

(D3)# � � � $

pažymeta# # � � � $ � # � � ��$ $ �

Galima irodyti tokias loginiu operaciju ivedimo ir pašalinimo taisykles:

� � � ��

� � � � � � � ��

� � ��

� � � � ��

2.4.3 Formaliosios teorijos savybes

Teorijai � apibrežti nebuvo jokiu reikalavimu operacijoms � ir � . Tarkime,kad jos apibrežtos taip, kaip ir ankšciau.

Teiginiu algebros operacijos� � � � � � � � � � � ��

Su taip apibrežtomis operacijomis visos aksiomos – formules gautos pagal(A1) – (A3) schema igyja reikšme

�, todel yra tautologijos (žymime � ). Kai

�


ir� � �

yra tautologijos,�

irgi tautologija. Taigi pagal MP(�

,� � �

) taisyk-le iš tautologiju gauname tik tautologijas. Tarkime, kad

�yra teorijos � teorema

( � �). Tai reiškia, kad egzistuoja išvedimas

� �,� �

, �� , �� ir visos for-

mules� � yra arba aksiomos arba gautos pagal MP(

� �,� � � � � ), (

� � ) taisykle.Matome, kad visos formules

� � yra tautologijos. Todel irodytaTeorema. Jei � � , tai � �

.Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei � �

, tai � � .Taigi teorijos � formule yra teorema tada ir tik tada, kai ji yra teiginiu

algebros tautologija. Ši teorijos savybe vadinama pilnumu.Kita svarbi formaliosios teorijos savybe – jos neprieštaringumas: neegzistuoja

tokia teorijos formule�

, kad ir�

, ir � � yra teoremos. Iš tautologijos apibrežimoišplaukia, kad teorija � neprieštaringa.

Pateiktos lenteleje loginiu operaciju reikšmes gali buti ir kitos. Tai jau nebusteiginiu skaiciavimas, bet visos teorijos � formules gali buti apskaciuotos. Išna-grinekime daugiareikšmes logikos pavyzdi.� � � � � � � � � # � � � $

� � $ � �� $ $ � �� $ � �$ � $ � �$ $ $ � �$ � $ � �� $ � � ��

Pastebekime, kad dešinysis teisingumo lenteles stulpelis yra aksioma (A1). Jeisuskaiciuoti formuliu (A2) ir (A3) reikšmes, gausime viena konstanta

�. Tokios,

igyjancios ta pacia reikšme�

, formules vadinamos išskirtosiomis. Taigi visos (A2),(A3) aksiomos yra išskirtosios, o (A1) – nera. Pagal taisykle MP(

�,� � �

) išišskirtuju formuliu

�ir� � �

gauname išskirtaja formule�

. Iš cia išplaukia,kad formule (A1) negali buti išvesta iš formuliu (A2) ir (A3) pagal MP taisykle.Todel aksioma (A1) nepriklauso nuo kitu aksiomu.

2.5 Predikatu logika

2.5.1 Kvantoriai ir predikatai

Kai kuriu loginiu samprotavimu nepavyksta išreikšti teiginiaias. Pavyzdžiui,sakiniai

2.5. PREDIKATU LOGIKA 19

„Realusis skaicius � � � “,„ � “

nera teiginiai, kadangi jie gali buti ir teisingi, ir klaidingi, priklausomai nuo � , ,� .

Išnagrinekime šiuos samprotavimus:

„Visi Jono draugai yra studentai. Petras yra Jono draugas.Todel Petras yra studentas.“

„Kai kuriu šaliu sostines yra miestai. Todel yra sostines, kurios yra kaimai.“

Ju teisingumui nustatyti reikia ne tik žinoti ar teisingi atskiri šiu sudetiniusamprotavimu teiginiai, bet ir teisingai suprasti tokius reiškinius, kaip „visi“, „kaikurie“, „kiekvienas“ ir pan.

Iveskime dar dvi logines operacijas, kurios vadinamos egzistavimo (žymimas�) ir bendrumo ( � ) kvantoriais. Egzistavimo kvantorius nurodo, kad yra, galima

rasti, egzistuoja tam tikras objektas:� � # $ skaitoma „yra tokia (tokios) , kurios

turi savybe � “. Bendrumo kvantorius nurodo, kad savybe � turi visi objektai :� � # $ skaitoma „su visomis (kokia bebutu) , yra tenkinama salyga � “.

Noredami nagrineti tokius sakinius, kaip „ � “ turime pasitikslinti kin-tamuju , � prigimti: tai gali buti skaiciai, matricos, funkcijos ir t. t. Tokius kinta-muosius vadiname dalykiniais kintamaisiais arba tiesiog kintamaisiais ir žymime� � � �� Dalykiniu kintamuju reikšmes vadiname konstantomis iržymime � �� . Funkcija

# � � � � �� $ vadinama predikatu, jeisu bet kuria dalykiniu kintamuju � � � � �� realizacija � � �� # � � �� $ yra teiginys. Pavyzdžiui, kai � ir � yra realieji skaiciai, galime

nagrineti tokius predikatus: # � � $ = „ �

�� “,

� # � $ = „ � ' ) � �� “,� # � $ = „ ��

“.Tada

# � � $ yra teisingas teiginys, � # � $ – klaidingas. Teiginys� # $ igyja teisin-

ga reikšme (�), kai yra lygties �

� � � � šaknis.

Taikydami kvantorius ir predikatus galime sudaryti teiginius:� � � � # � � $ , � � � # � $ – teisingi teiginiai; �� # � $ – klaidingas teiginys.

Pažymekime � # � � $ sakini „ � ir � yra draugai “. Sakini „ � yra studentas “pažymekime �

# � $ , � – Jonas, – Petras. Tada samprotavimus, kad, „jei visi Jonodraugai yra studentai, o Petras yra Jono draugas, tai ir Petras yra studentas “ galime


užrašyti taip� � � #

� � $ � � # � $ � #� $

� �# $

Taigi cia � # � � $ ir �# � $ yra predikaitai, � , � – dalykiniai kintamieji, � , – kon-

stantos.

2.5.2 Operacijos su predikatatis

Predikatas # � � � � �� $ igyja reikšmes

�ir�

, priklausomai nuo kintamuju� � � � �� reikšmiu. Kiekvienas kintamasis � � priklauso tam tikrai aibei

� �ir

# � � � � �� $ � � �� . Šia aibe vadiname predikato api-brežimo sritimi. Priklausomai, nuo apibrežimo srities, predikato savybes gali išesmes pasikeisti. Pavyzdžiui, predikatas „ �

�� “ igyja reikšme

�, kai# � � $ � � � � � �

. Taciau, šio predikato reikšme gali buti ir�, jei � $ ir � yra

kompleksiniai skaiciai.

ApibrežimasPredikato

# � � � � �� $ , apibrežto srityje� �� , teisingumo

aibe vadinama aibe �� , jei predikatas igyja reikšme�

suvisais � � , �� , �� iš aibes � ir igyja reikšme

�, kai

# � � �� $� � � , t. y.� # � $ �

kai � � � # � $ �

kai � � � �Pavyzdžiui, kai predikato

# � � $ = „ ��

�� “ apibrežimo sritis yra

� �,

tai � – apskritimas su centru koordinaciu pradžioje ir spinduliu � .Apibrežimai

Predikatas # � � �� $ vadinamas

tautologija (tapaciai teisingu), kai � � �� ;prieštara (tapaciai klaidingu), kai � � ;ivykdomuoju, kai �� ;paneigiamuoju, kai �� .

ApibrežimasDu predikatai

# � � � � �� $ ir � # � � � � �� $ vadinami lygiaverciais (ek-vivalenciais), kai1) jie apibrežti toje pacioje srityje

� �� ;2) ju teisingumo aibes sutamampa: � �� .

Pavyzdžiui, predikatai � � �� ir � � �� yra ekvivalentus, jei � � �ir � � � , taciau jie nera lygiaverciai, jei pirmaji nagrineti, kai � � � � � .


ApibrežimasPredikatas � # � � �� $ vadinamas predikato

# � � �� $ logine išvada (rašome � � ), jei predikato reikšme lygi

�su visais tais � � �� , kai � igyja

reikšme�.

Logine išvada galima apibrežti ir kitaip: � � � � .Pavyzdžiui, naturaliuju skaiciu aibeje apibrežti predikatai

� � # $ $ = „ $ dalus iš 3 “ ir�� # $ $ = „ $ dalus iš 6 “.Tada � � # $ $ � � � # $ $ ir� �� 2 �� & � � �� 3 � � � � 2 �� & .

Taigi du predikatai ir � yra lygiaverciai (rašome ��

), tada ir tik tada,kai � � ir � � . Arba, kai � �� .

Tarkime, kad predikatai ir � apibrežti toje pacioje aibeje� � � � � � � � � � �

ir predikatas � yra tautologija. Tada koks bebutu predikatas , turime � � .Tarkime, kad � � ir yra tautologija. Tada predikatas � irgi yra

tautologija.

ApibrežimasPredikatas � vadinamas predikato neigimu, jei1) jis turi ta pacia apibrežimo sriti;2) igyja reikšme

�, kai lygus

�ir igyja reikšme

�, priešingu atveju.

Pavyzdžiai1.

# � $ = „ �� “, � # � $ = „ � � “.2. �

# � $ = „ � # � $ yra lygine realiojo kintamojo � funkcija “, � # � $ = „ � # � $ neralygine realiojo kintamojo � funkcija “. Pastebekime, kad � �

# � $ nera predikatas� # � $ = „ � # � $ yra nelygine realiojo kintamojo � funkcija “.

ApibrežimaiPredikatu

# � � � � �� $ ir � # � � � � �� $, apibrežtu aibese

� � � � � � � � ir �� , konjunkcija, vadinamas predikatas # � � � � �� $ � � # � � � � �� $

,apibrežtas srityje

� � � � � � � � � � � � � � � � ir igyjantis reikšme�

tik ir tiktuo atveju, kai abu predikatai ir � lygus

�.

Predikatu ir � dijunkcija, vadinamas predikatas # � � � � �� $ � � # � � � � �� $

,apibrežtas srityje

� � � � � � � � � � � � � � � � ir igyjantis reikšme�

tik ir tiktuo atveju, kai bent vienas predikatas ir � lygus

�.

PavyzdžiaiTarkime, kad atkarpoje � � �� apibrežti predikatai: # � $ „ � � � � “, � # � $ „ � � � “.


1.# �� $ � # � � � $ � # � � $ ;

2.# � � $ � � � �� ;

2.5.3 Aibiu reiškimas predikatais

Aibes�

ir�

, apibrežtos universaliosios aibes�

elementu savybemis � # � $ ir� # � $ , ir operacijos su aibemios predikatu kalba išreiškiamos taip:1) predikatai � # � $ ir

� # � $ apibrežti aibeje�

;2) aibe

�yra predikato � # � $ teisingumo aibe:

� � � �� # � $ � &;

3) aibe�

yra predikato� # � $ teisingumo aibe:

� � � � �� # � $ � &;

4) aibiu�

ir�

sajunga ir sankirta apibrežiamos predikatu � # � $ ir� # � $ disjunkcija

ir konjunkcija:� � � �� # � $ � � # � $ � & # � � � $ � �� # � $ � � # � $ � & # � � � $ � �

5) aibiu�

ir�

papildiniai apibrežiami predikatu � # � $ ir� # � $ neigimais:

� �� # � $ � & � �� # � $ � & �6) aibiu

�ir�

skirtumai apibrežiami taip:�� # � $ � � # � $ � & �� # � $ � � # � $ � & �

Taigi aibiu�

ir�

sajunga sudaro tie universaliosios aibes elementai, kurieturi savybe � # � $ arba

� # � $ ( � # � $ � � # � $ ). Šiu aibiu sankirta sudaryta iš elementu,turinciu abi savybes � # � $ ir

� # � $ ( � # � $ � � # � $ ). Iš disjunkcijos ir konjunkcijoskomutatyvumo ir asociatyvumo savybiu išplaukia aibiu sajungos ir sankirtos ko-mutatyvumas ir asociatyvumas:

� � � � � � �� # � � � $ � � � � # � � � $ # �� $� � �� # �� $ �

Visos aibiu teorijos formules (žr. ??, ?? p.) išplaukia iš logikos desniu (t. y. išoperaciju � , � , � , � , � . Irodykime, pavyzdžiui, de Morgano formule:

�� # � $ � � # � $ � & � � � � # � $ � � # � $ � &

� � � � # � $ � & � � � � � # � $ � & � � �


2.5.4 Termai ir formules

Predikatu logika formalizuojama pagal ta pacia schema kaip ir teiginiu logika:apibrežiama abecele, formuliu sudarymo taisykles, aksiomos bei išvedimo taisyk-les.

Veiksmams su dalykiniais kintamaisiais pažymeti naudojamos funkcines raides.Pavyzdžiui, dvieju skaiciu � � , � � suma � �

�� galima išreikšti funkcine raide

�� # � � � � $ . Taigi žymime visus leistinus dalykiniu kintamuju bei konstantu reiš-

kinius � �� ir vadiname juos funkcinemis raidemis. Tai gali buti,pavyzdžiui, aritmetines operacijos arba trigonometrines funkcijos. Toliau nagrine-jame visus reiškinius, kuriuos galima sudaryti, taikant tas operacijas arba funkcijas.

ApibrežimasTermais vadiname reiškinius, kuriuos galima gauti pagal šias taisykles:(a) kiekviena konstanta arba kintamasis yra termas;(b) jei � yra funkcine raide ir

� � � � �� – termai, tai � # � � � � �� $ yra ter-mas;(c) nera termu, gautu ne pagal (a), (b) taisykles.

Predikatu kalbos abecele apibrežiama kaip šiu elementu aibe:1) loginiu operaciju: � , � , � , � , � ;2) pagalbiniu simboliu: skliaustu ( ) bei kablelio (,);3) kvantoriu: � ,

�;

4) kintamuju;5) konstantu;6) funkciniu raidžiu;7) predikatiniu raidžiu (predikatu).

Jei� � � � �� yra termai, o yra predikatas, tai

# � � � � �� $ vadinameelementariaja formule (atomine formule).Predikatu skaiciavimo formules apibrežiamos šiomis taisyklemis:(a) elementariosios formules yra formules;(b) jei

�ir�

yra formules, � – kintamasis, tai# � � $,# � � � $

,# � � � $

,# � � � $

,# � � � $

,# � � � $

,# � � ��$

yra formules;(c) nera formuliu, gautu ne pagal (a), (b) taisykles.

2.5.5 Suvaržytieji ir laisvieji kintamieji

ApibrežimasKintamojo ieitis i formule nusakoma šio kintamojo simboliu bei jo vietos formuleje


numeriu. Vietos, kur prieš kintamaji yra kvantorius, neskaiciuojamos.Pavyzdys

Formuleje # � � $ � � � # � # � � $ � �� $ yra

viena kintamojo � ieitis;dvi kintamojo � ieitys;trys kintamojo � ieitys.

Kaip ir teiginiu algebros formulese (žr. 2.2.1) galima išskirti predikatu skaicia-vimo formuliu poformulius. Išnagrineto pavyzdžio formuleje turime poformulius�� , � # � � $ , � # � � $ � � � � ir t. t.

Kintamojo � ieitis i formule�

vadinama laisvaja, jei ji nepriklauso jokiai for-mules

�daliai (poformuliui), prasidedanciai � � arba

� � . Priešingu atveju kinta-mojo � ieitis vadinama suvaržytaja formuleje

�. Kintamasis vadinamas laisvuoju

formuleje�

, jei jis turi bent viena laisvaja ieiti. Formule vadinama uždaraja, jei jineturi laisvuju kintamuju.

Kai visi formules�

kintamieji � � � � �� yra laisvieji, rašome� # � � � � �� $ .Susitarkime, kad formules

�, �� ir

� � � yra ekvivalencios, kai�

nepriklausonuo � .

2.5.6 Predikatu skaiciavimo desniai

Egzistavimo ir bendrumo kvantoriu reiškimas vienas kitu� � # � $ � � � # � $�� # � $ � � � # � $� � # � $ � � � # � $� � # � $ � � � # � $

Pirmosios dvi formules dar vadinamos de Morgano desniais predikatams.

Kvantoriu saveika su konjunkcija ir disjunkcija

�� # � # � $ �� # � $ $ � � � � # � $ � �� # � $� � # � # � $ � � # � $ $ � � � � # � $ � � � � # � $

� � # # � $ � ! $ � � � # � $ � !�� # # � $ � ! $ � � � # � $ � !� � # # � $ � ! $ � � � # � $ � !


� � # # � $ � ! $ � � � # � $ � !# � � � # � $ � �� # � $ $ � �� # � # � $ �� # � $ $# � � � # � $ � � � � # � $ $ � � � # � # � $ �� # � $ $

Pastebekime, kad bendrumo kvantorius neturi distributyvumo savybes disjunkci-jos atžvilgiu: bendru atveju nera ekvivalencios formules � � # � # � $ � � # � $ $ ir� � � # � $ � � � � # � $ .

Egzitavimo kvantorius neturi distributyvumo savybes konjunkcijos atžvilgiu:nera ekvivalencios formules

� � # � # � $ � � # � $ $ ir� � � # � $ � � � � # � $ .

Kvantoriu saveika su implikacija

� � # # � $ � � $ � # � � # � $ $ � �� # # � $ � � $ � # � � # � $ $ � �� # � � # � $ $ �� # � � # � $ $� � # � � # � $ $ �� # � � # � $ $

Irodykime, pavyzdžiui, pirmaja formule. Ji nebus tautologija, jei ekvivalentumooperandai igyja skirtingas reikšmes, t. y. turime du atvejus:

� � # # � $ � � $ � # � � # � $ $ � � � # � $

� � # # � $ � � $ � # � � # � $ $ � � � � # 2 $Pirmuoju atveju turi buti

# � $ �ir � �

. Todel� � # � $ �

ir# � � # � $ $ ��

. Taigi atvejis (1) neimanomas. Antruoju atveju turi buti� � # � $ �ir � �

. Tada kaireje (2) formules puseje turi buti # � $ � � � � � �

su visais � . Bet tai prieštarauja, kad� � # � $ �

. Taigi atvejis (2) irgiyra negalimas ir pirmoji formule irodyta.

Kvantoriu pašalinimo ir ivedimo desniai

�� # � $ � # � $ # � $ � � � # � $

Kvantoriu komutatyvumas

�� # � � $ � � � � � # � � $� � � � # � � $ � � � � � # � � $� � � � # � � $ � � � � � # � � $


2.5.7 Aksiomines teorijos savoka

Teorijos simboliai yra logines operacijos, kvantoriai, pagalbiniai simboliai,dalykiniai kintamieji ir predikatines raides. Dar teorija gali tureti funkciniu raidžiuir dalykiniu konstantu. Taigi skirtingos teorijos skiriasi simboliu abecelemis, taciaupagrindine abeceles dalis yra butina.

Teorijos aksiomas sudaro dvi aksiomu grupes: logines aksiomos ir tikrinesteorijos aksiomos (nelogines). Šios formules yra teorijos logines aksiomos:

(A1)� � # � � ��$

;

(A2)# � � # � � � $ $ � # # � � � $ � # � � � $ $

;

(A3)# � � � � � $ � # # � � � � $ � � $

;

(A4)# � � # � # � $ $ � � # � $ ;

(A5)� # � $ � # � � � # � $ $ .

Kaip ir teiginiu skaiciavimas, teorija turi išvedimo taisykles:

(MP) modus ponens taisykle:

� � � �� ;

( � – taisykle)� � � # � $

� � � # � � � # � $ $ ;

(�

– taisykle)� # � $ � �

� # � � # � # � $ $ � � .

Tikrines teorijos aksiomos apibrežia konkrecia teorija. Jei teorija apibrežtatik loginemis aksiomomis bei išvedimo taisyklemis, turime formalizuota predikatuskaiciavima.

Parodykime, kaip irodomos predikatu skaiciavimu teoremos.Pavyzdys. � � # � � � # � $ $ � � � # � � � # � $ $ :(a) � � # � � � # � $ $ hipoteze;(b) � � # � � � # � $ $ � # � � � # � $ $ (A4);(c)

� � � # � $ (a), (b) ir (MP);(d)

� � # � � � # � $ $ (c) ir (� – taisykle);

Parodykime, kaip gali buti apibrežtos teorijos tikrines aksiomos. Tarkime, kadteorija neturi funkciniu raidžiu bei dalykiniu konstantu ir turi tik viena predikatineraide . Teorija apibrežiamia dviem tikrinemis aksiomomis


(a) � � # � # � � $ $ ;(b) � �� # # � � $ �� # � � $ � # � � $ $ .Tarkime, kad predikatas

# � � $ turi tokia prasme „ � � “. Tada predikato� # � � $ prasme yra „ �� “ ir aksiomos (a), (b) vadinamos antirefleksyvumubei tranzityvumu. Taigi turime aksiomine dalines tvarkos teorija.

Kitas aksiomines teorijos pavyzdys yra grupiu teorija. Turime viena predi-katine raide

# � � $ , viena dalykine konstanta � ir viena funkcine raide � # � � $ .Teorios tikrines aksiomos yra šios:

(a) � �� # � # � � # � � $ $ � # � # � � $ � $ $ ;(b) � � # � # � � $ � $ ;(c) � � � � # � # � � $ � $ ;(d) � � # � � $ ;(e) � �� # � � $ � # � � $ ;(f) � �� # � � $ � # � � $ � # � � $ ;(g) � �� # � � $ � # � # � � $ � # � � $ $ �� # � # � � $ � # � � $ $ .Pastebekime, kad cia � yra grupes neutralusis elementas, predikatas

# � � $ reiškialygybe „ � � “, funkcine raide � # � � $ pažymeta grupes operacija �� . Taigi,pavyzdžiui, aksiomas (a), (b) ir (c) galima užrašyti ir taip:

(a) � �� # �� # �� $ $ # # �� $ � � $ ;(b) � � # �� $ � ;

(c) � � � � # �� $ � .Panašiai galima perrašyti ir kitas aksiomas. Komutatyvioji grupe reikalauja darvienos aksiomos: � �� # � # � � $ � # � � $ $ arba � � � � �� .

Pastebekime, kad lygybes predikatas ( ) apibrežiamas tokiomis savybemis:

(refleksyvumas) � � � � ;

(keitinys)# � � $ � # � # � � $ � � # � � $ $ , � # � � $ - bet kuri teorijos formule.

Jei šios savybes yra teorijos aksiomos arba teoremos, vadinama teorija sulygybe.


2.5.8 Formalioji aritmetika

Formalioji aritmetika apibrežiama viena predikatine raide # � � $ , viena kon-

stanta � ir trimis funkcionalinemis raidemis � # � $ , � # � � $ ir� # � � $ . Teorijos

tikrines aksiomos:

(A1) # � � $ � #

# � � $ � # � � $ $ ;

(A2) # � � $ �� # � # � $ � # � $ $ ;

(A3) � # � � # � $ $ ;(A4)

# � # � $ � # � $ $ �� # � � $ ;(A5)

# � # � � $ � $ ;(A6)

# � # � � # � $ $ � # � # � � $ $ ;(A7)

# � # � � $ � $ ;(A8)

# � # � � # � $ $ �� # � # � � $ � $ $ ;(A9)

� # � $ � # � � # � # � $ � � # � # � $ $ � � � � # � $ $ , � # � � $ - bet kuri teorijosformule.

Taigi cia predikatas # � � $ reiškia lygybe, konstanta � yra � , funkcinemis raidemis

� # � � $ ir� # � � $ pažymetos sudeties ir daugybos operacijos, raide � # � $ reiškia

skaiciu ��

� . Pastebekime, kad iš (A3) išplaukia, kad cia visi � yra naturalieji.Aksioma (A9) vadinama matematines indukcijos principu.

Naturaliuju skaiciu formaliuju apibrežimu yra daug. Pateiksime dar vienaformaliosios aritmetikos aksiomu sistema. Predikatu skaiciavimas turi1) dalykine konstanta � ;2) dvivietes funkcijas

�ir � , vienviete (paskesniojo nario) funkcija � ;

3) dvivieti predikata ;4) aksiomu schemas ( – bet kuri formule,

�,� �

,� �

– bet kurie termai):# � � $ # # � $ � � � # # � $ � # � � $ $ � � � # � $ ;# � � $ � � � � � � � � � � �

;# � � $ � # � � � $ ;# � � $ � � � � � # � � � � � � � � � $;# � � $ � � � � � � � � � � � ;# � � $ �

��

;# �� $ � � � � � � # � � � � � $ � ;# ��$ � �� ;# ��$ � � � � � � � � � � ��

.

2.6. ALGORITMU TEORIJA 29

2.5.9 Giodelio nepilnumo teoremos

Aksiominis metodas turi principinius apribojimus. Juos nustato Giodelio8 teo-remos, kurias pateiksime be irodymo.

Teorema. Bet kuri pakankamai turininga (pavyzdžiui, kai jai priklauso formaliojiaritmetika) formalioji teorija turi tokia teisinga formule

�, kad nei

�, nei � � nera

išvedamosios šios teorijos formules.

Teorema. Bet kurioje pakankamai turiningoje (pavyzdžiui, kai jai priklauso for-malioji aritmetika) formaliojoje teorijoje formule

�, tvirtinanti, kad ši teorija yra

neprieštaringa, nera išvedamoji.

Pastebekime, kad tai nereiškia, kad teorija yra prieštaringa (formalioji aritmetikaneprieštaringa). Tai reiškia, kad teorijos neprieštaringumas negali buti nustaty-tas pacios teorijos priemonemis. Jis gali buti nustatytas kitos, platesnes teorijospriemonemis.

2.6 Algoritmu teorija

2.6.1 Algoritmo savoka

Algoritmas yra viena iš pagrindiniu matematikos savoku. Žodis algoritmaskyla nuo matematiko pavardes9 ir pradžioje reiške aritmetiniu veiksmu taisyklesdešimtaineje sistemoje. Veliau šis žodis igyjo platesne prasme ir pradejo reikštitam tikru veiksmu rinkini. Kuri laika ši žodi vartojo tik matematikai, kaip ivairiuuždaviniu sprendimo taisykles, pavyzdžiui, kvadratines lygties sprendimo žings-nius arba kampo dalijimo pusiau skriestuvu ir liniuote procedura. Dabar algoritmugalima pavadinti ir maisto gaminimo aprašyma kulinarineje knygoje, naudojimositelefonu automatu instrukcija, tekstinio pranešimo mobiliuoju telefonu siuntima irpan.

Nuo Euklido10 laiku algoritmo savoka yra susijusi su dvieju naturaliuju skaiciudidžiausiojo bendrojo daliklio radimu. Taigi kaip matematinio uždavinio sprendi-

8Kurt Gödel (1906 – 1978) – austru logikas ir matematikas.9al-Chorezmi (Algorithmi) (787 – apie 850) – Vidurines Azijos matematikas ir astronomas.

10 �� (apie 3a. pr. m. e.) – senoves Graikijos matematikas.


2.1: Euklido algoritmas

mo proceso aprašymo, pavyzdi panagrinekime Euklido algoritma: rasti kuo didesninaturaluji skaiciu � , kuris butu dalus iš abieju naturaliuju skaiciu � ir � .

Pavaizduokime veiksmu atlikimo schema (2.1 pav.).Pavyzdys

Raskime skaiciu � �� ir � � 2 didžiausiaji bendraji dalikli � , taikydami Euklidoalgoritma. Surašome algoritmo veiksmus:1) �

� � , � � �� ;2) �

�� ;

3) �� , � � � ;

4) � �� ;5) �

� � �� , � � ;6) � �� ;7) �

� �� , � � ;8) � �� .

Taigi gauname � 3 – didžiausiaji skaiciu � ir � 2 dalikli.Analizuojant ivairius algoritmus, galima išskirti bendruosius ju parametrus:

1) pradiniai duomenys (2.1 pav. atveju du naturalieji skaiciai);2) galimi galutiniai rezultatai (musu pavyzdžio atveju visada surandamas naturalu-


sis skaicius, taciau yra uždaviniu, kurie negali buti išpresti ir reikia numatyti kalaikyti rezultatu);3) galimi tarpiniai rezultatai;4) pradžios taisykle;5) pabaigos taisykle (musu atveju algoritmas baigia darba, kai � � );6) atliekamos operacijos (cia palyginimas, atimtis ir priskyrimas (

� ));7) rezultato gavimas (cia � � � ).

2.6.2 Tiuringo mašina

Minetu parametru ir taisykliu formalizavimas buvo atliktas 1936 m. kaip ab-strakciosios skaiciavimo Tiuringo11 mašinos aprašymas. Ši mašina buvo sek-mingas bandymas suformuluoti matematini algoritmo apibrežima ir, tikriausiai,nera priklausoma nuo realiuju kompiuteriu, kadangi pirmoji eletronine skaicia-vimo mašina pasirode tik po 9 metu12. Tiuringo mašina turi neribota atminti –begaline padalyta sekcijomis juosta. Visos šios juostos sekcijos yra sunumeruotos.I kiekviena juostos sekcija galima rašyti ir iš jos galima skaityti po viena turimosbaigtines abeceles raide. Skaityma bei rašyma atlieka Tiuringo mašinos galvute,kurios veiksmus sudaro baigtine mašinos b usenu aibe. Algoritmas apibrežiamaskaip programa, kuria sudaro judancios išilgai juostos galvutes veiksmai: rašytiarba skaityti esamoje sekcijoje (lasteleje), pereiti juostos sekcijos atžvilgiu kairen,dešinen arba likti toje pacioje pozicijoje, pakeisti galvutes busena arba baigti darba.

Apibrežkime Tiuringa mašina smulkiau. Mašinos juosta turi be galo daug vie-nodu lasteliu (sekciju), taciau netušciu lasteliu gali buti tik baigtinis skaicius. Tai-gi i kiekviena juostos lastele irašytas tik vienas iš šiu simboliu �� , � � , �� , � .Baigtine aibe

� �� & vadinama Turingo mašinos abecele. Vienasabeceles symbolis (susitarkime, kad tai yra �� ) vadinamas tušciuoju. Kiekvienulaiko momentu Turingo mašinos juosta turi toki pavidala:

� � � � � � � � � �� Mašinos galvute parodytu laiko momentu turi busena

� . Busenu aibe

� � � � �� &

irgi yra baigtine. Busena� � vadinsime stabdos busena. Tiuringo

mašinos juosta su nurodyta galvutes vieta ir busena vadiname mašinos momentiniuaprašu. Momentini apraša galima apibudinti ir taip

� � � � � � � � �� 11Alan Mathison Turing (1912 – 1954) – anglu matematikas.12Pirmoji ESM sukurta JAV 1946 m.


Jei mašina nera stabdos busenoje (t. y.� � � � ) kitu laiko momentu13 ji atlieka

šiuos veiksmus:1) skaito iš lasteles simboli � � � �

;2) rašo i ta pacia lastele simboli � � � �

;3) pasislenka viena lastele i kaire, i dešine arba lieka toje pacioje lasteleje;4) igyja nauja busena

� � �.

Šie veiksmai priklauso nuo mašinos programos, kuri gali buti užrašyta tokiosperejimu lenteles pavidalu� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �� 0 � � � 0 � � � 0 � � � 0 � �� 0 � � � 0 � � � � � � 0 � � � 0 � � � 0 � �

Cia � � pažymeta mašinos galvutes judejimo komanda: � – pereiti viena lastelei kaire,

�– i dešine, � – nejudeti. Viena lenteles (programos) komanda galima

užrašyti ir taip: � � � � � � �� Pavyzdžiai1. Tiuringo mašinos abecele sudaro du simboliai � ir � , o busenu aibe yra tokia: � ,� �

,� �

. Tarkime, kad turime programa

� �� '� � � � � � � � � � � � � � � � � � %� � �� &

Taigi Tiuringo mašina� � �� & � � �� & � � � & 14 nekeicia juostoje irašytu

simboliu, nekeicia mašinos busenos ir neduoda galvutes judejimo komandu. Aki-vaizdu, kad ši mašina nekeicia juostos turinio ir niekada nesustoja.2. Pakeiskime programa

� �� '� � � � � � � � � '� � �� &

ir išnagrinekime mašina� � � � �� & ,

� �� & ,� � � �� & .

Matome, kad galvute skaito simboli � , pasislenkia viena lastele i dešine ir pereina istabdos busena. Taigi jei juostoje yra irašytu simboliu � ir esanti busenoje

� �(arba� �

) galvute skaito kuri nors iš ju, mašina sustoja. Jei galvute skaito � , tai vietoje jorašomas � ir galvute pasislenka i dešine. Tarkime, kad laiko momentu � mašinos� �

juostoje yra irašas � � � � � � � � � � � � � ir galvute yra parodytoje vietoje. Tadamašina baigia darba laiko momentu

�ir jos darbo eiga bus tokia

13Turingo mašina veikia diskreciaisiais laiko momentais � , � , � , �� .14Cia parodyta mašinos abecele, b usenu aibe, programa, tušciasis simbolis ir stabdos b usena.


� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Pastebekime, kad mašinos� �

busena� �

nieko nesiskiria nuo busenos� �

ir progama � galima sutrumpinti: �� &

,� � �� & .

3. Tarkime, kad turime programa

� � � � ��

Parodykime Tiuringo mašinos� � � � �� & darbo eiga, kai pradiniu laiko

momentu aprašas sutampa su išnagrinetu atveju� �

:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Matome, kad mašinos busenos

� �buvis programoje leido pastumpti galvute

ne tik i žodžio pradžia, bet ir dviem pozicijomis kairen. Šis pavyzdys yra geraspaaisiškinimas Tiuringo mašinu modifikavimu galimybiu. Tarkime, kad naujasmašinos aprašas apibrežiamas ne trimis, o tik dviem simboliais

� � � � � � �� arba� � � � � � � �arba� � � � � � � � �

Tokia mašina vienu laiko momentu negali ir keisti i lastele irašyta simboli, irjudinti galvute. Apibrežkime dar viena mašinos busena

� � �� , i kuria pereina mašinaatlikus komanda

� � � � � � �� . Tada galima apibrežti dar $�

� ( � � � �� $ )komanda

� � �� , � � � � � � & . Taigi gauname mašina, ekvivalencia

mašinai� � � � � � �� .


Išnagrinekime dar kelis Tiuringo mašinu pavyzdžius.Pavyzdys. Dvieju naturaliuju skaiciu sudetis.Naturaluji skaiciu

�galima išreikšti

�iš eiles irašytais Tiuringo mašinos juostoje

vienetais. Tada skaiciu�

ir

suma užrašome tokiu mašinos aprašu

� � �� kartu

� �kartu� ��

� � � � � � � � � � �

Tiuringo mašinos abecele� ��

� &, busenu aibe

� � � �� & . Progra-ma apibrežkime tokia lentele

� � � � � ��

� � � ��

� � � � � � ��

Kai pradiniu laiko momentu galvutes busena yra� �

ir galvute skaito dešiniji vieneta,mašina sustoja esant tokiam momentiniam aprašui

� � ��

� � � kartu� ��

� � � � � � � � � � � � �

Pavyzdžiui, jei pradiniu momentu turime �� , skaiciavimo eiga bus tokia:

��

��

��

��

��

��

� � � � � � � � � � ��

�� Pavyzdys. Vieneto pridejimas dešimtaineje skaiciavimo sistemoje.Tiuringo mašinos abecele

� � � � � �� & , busenu aibe� � � ��& . Progra-

ma yra tokia (apibrežkime tik butinas komandas): pradiniu laiko momentu galvuteskaito dešiniji simboli ir turi busena

�. Jei skaitomas simbolis � nera � , jis keicia-

mas i simboli ��

� ir mašina prereina i stabdos busena � . Kai �� , jo vietojerašomas � ir galvute, nekeisdama mašinos busenos, pasislenka i kaire. Taigi turimetoki pavyzdi:

� 2�2 � � � � � � � 2�2 � � � � � � � 2 � 2 � � � � � � 2�� 3 � � � �2.6.3 Rekursyviosios funkcijos

Apibrežkime formaliaja funkciju sistema, kuria sudaro bazines funkcijos ir tamtikros nauju funkciju generavimo taisykles. Bazines funkcijos yra šios naturaliuju


argumentu funcijos:1) nuline funkcija: � # � $ � su visais � ;2) paskesniojo nario funkcija � # � $ �

�� su visais � ;

3) projekciju funkcijos � � � # � � � � �� $ � � su visais � � , � � , �� , �� , � � 2 �� $ .

Pavyzdžiui, � �� # � � $ � � , � �

�� # � � � � $ � � , � �� # � � � � � � � � $ � � . Paste-

bekime, kad reiškiniai � �� # � � � � $ arba � �

�� # � � � � � � � � $ neturi prasmes.Suformuluokime nauju funkciju sudarymo taisykles.

1. Kompozicija. Turime funkcijas � # � � � � �� $,� � # � � � � �� $ ,

� � # � � � � �� $ , �� , � � # � � � � �� $ . Sudarome nauja funkcija (funkcijukompozicija):

� # � � � � �� $ � # � � # � � � � �� $ �� # � � � � �� $ �� # � � � � �� $ $ �

Pavyzdžiui, funkcija � # � � � � �� $ � gauname taip:� # � � $ � # � � $ , � � # � � � � �� $ � � � # � � � � �� $ ir� # � � � � �� $ � # � � � # � � � � �� $ $ � .

Funkcija � ��

� gauname panašiai: � # � � $ � # � � $ ,� � # � � � � �� $ � � � # � � � � �� $ , � # � � � # � � � � �� $ $ � �

�� .

2. Primityvioji rekursija. Turime funkcijas� # � � � � �� $ ,� # � � � � �� $ $ �� . Funkcija � # � � � � �� $ apibrežia-

ma taip:

� # � � � � �� $ � # � � � � �� $ � # � � � � ��

�� $ � # � � � � �� # � � �� $ $ �

Pavyzdžiui, funkcija � # � � � � $ � �� galima gauti taip:

� # � � � $ � �� # � � $ � �

� # � � � ��

� $ � # � �� # � � � � � # � � � � $ $ � # � � � � $

��

Apibrežimas. Funkcija vadinama primityviai rekursyviaja, jei ji gali buti gau-ta iš baziniu funkciju, atlikus baigtini skaiciu kompoziciju ir primityviuju rekursiju.Visu primityviai rekursyviuju funkciju aibe žymesime PR.

Funkcija � # � $ 3 gaunama taip: � # � # � # � $ $ � # � # � $ $ � # � # � $�

� $ � # ��

� $ � # 2 $ 2�

� 3 . Todel ji yra primityviai rekursivioji.Galima parodyti, kad primityviai rekursyviosios yra funkcijos � � � , � , � � ,

daugianariai su naturaliaisiais koeficientais ir kt.


Pastebekime, kad visos primityviai rekursyviosios funkcijos apibrežtos bet ku-rioms argumentu reikšmems, t. y. visur apibrežtos. Nagrinesime funkcijas, kuriosgali buti apibrežtos tik kai kurioms argumentu reikšmems.

Apibrežimas. Minimizavimo operatoriumi vadiname operacija � , kuri api-brežiama taip. Tarkime, kad

� # � � � � � � � � � $ – bet kuri funkcija. Fiksuojamereikšmes � � � , � �� , �� , � � ir žymime �� # � � � � �� $ � � mažiausia skaiciu� , toki, kad1) su visais

�, � � � � funkcija

� # � � � � �� $ apibrežta ir teigiama;2)

� # � � � � �� $ apibrežta ir lygi nuliui.Jei bent viena iš šiu salygu negalioja, sakome, kad operacija �� # � � � � �� $ � � neapibrežta.

Pavyzdžiui, kai� # � � $ � � �

�� . Turime �� ,

�� 2 . Operacijos �� # � � $ � � , �� # � � $ � � , �� # 2 � $ � � , �� # 3 � $ � � , �� # � � $ � � , �� # � � $ � � neapibrežtos naturaliujuskaiciu aibeje.

Apibrežimai. Sakome, kad funkcija

� # � � � � �� $ �� # � � � � �� $ � �gauname minimizavimo operatoriumi. Ši funkcija gali buti apibrežta ne visomsargumentu reikšmems. Visu funkciju, gaunamu iš baziniu funkciju kompozici-jos, primityviosios rekursijos ir minimizavimo operacijomis, aibe (klase) vadina-ma daliniu rekursyviuju funkciju aibe (žymime DR). Kai kurios iš šiu funkcijuapibrežtos visur ir sudaro bendruju rekursyviuju funkciju klase (žymime BR).

Turime � � � � � � � �

Tarkime, kad Tiuringo mašinos abecele yra� � � � � & . Kokie bebutu

naturalieji skaiciai � � , � � , �� , �� , juos galima pavaizduoti mašinos juostoje:

� � � ��

� � � �

� � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � �� 0

� ��

� � � � � � � � � � �Turime funkcija � � # � � � � �� $ . Jei po baigtinio skaiciaus žingsniu mašinasustoja standartineje busenoje

� � � ��

� ��

��


tai sakome, kad Tiuringo mašina apskaiciuoja funkcijos � # � � �� $ reikšme � .Kai mašina apskaiciuoja visas funkcijos reikšmes, sakome, kad funkcija apskai-ciuojamoji.

Teorema. Funkcija yra apskaiciuojamoji tada ir tik tada, kai ji yra dalinerekursyvioji funkcija.

Tarkime, kad Tiuringo mašinos�

juostoje pradiniu laiko momentu irašytasnaturalusis skaicius � (t. y. užkoduotas mašinos abeceles simboliais, pvz., nuliaisir vienetais). Mes žinome, kad mašina gali sustoti, t. y. pereiti i stabdos b usenaatlikus baigtini skaiciu žingsniu, o gali ir nesustoti po bet kurio skaiciaus žingsniu.Pirmuoju atveju sakome, kad skaicius (žodis) � yra priimtinas mašinai, o antruoju– nepriimtinas. Jei nagrinejama bet kuri Tiuringo mašina ir bet kuris naturalu-sis skaicius (sakome, kad tai yra masinis uždavinys), atsakyti i klausima ar žodispriimtinas mašinai negalima.

Patikslinkime ši teigini. Visas Teiloro mašinas�

galima sunumeruoti! Tarkime,kad $ mašinos

�numeris. Reikia sukonstruoti nauja Teiloro mašina , kuri prade-

da darba, kai juostoje irašyti du žodžiai

� � � ��

� ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � � � � �

Mašina turi baigti darba su momentiniu aprašu

� � � � � ��

kai žodis � priimtinas mašinai�

. Priešingu atveju, t. y., kai žodis � nepriimtinasmašinai

�, ji sustoja su momentiniu aprašu

� � � � � �� Irodyta, kad tokia Tiuringo mašina neegzistuoja. Kitaip tariant, baigtinumo

problema algoritmiškai neišsprendžiama.

Neišsprendžiamu problemu yra daug. Pavyzdžiui, negalima nustatyti, ar betkuri Tiuringo mašina perveda žodi �

�i žodi �

�.

Documents

Matematine˙ logika - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/Diskrecioji_1/MATEMATINE_LOGIKA.pdf · ka, taiko matematinius metodus ir susiformavo kaip matematikos skyrius