Matematyka 2

Metoda operatorowa cz 2

Odwrotna transformata Laplace’a

Literatura

M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999

D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii PB, Białystok, 2001

W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT, Warszawa, 1984

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN, Warszawa, 1983

Delta Diraca

Przykład.

U

C + -

Delta Diraca

Przykład.

0gdy

0gdy0)(

t

tt

01

gdy

10gdy

1lub

1gdy0

)(

2

2

tn

tnn

nttnn

nt

nt

tfn

Własności delta Diraca

• ℒ[(t)] = 1

• ℒ[(t-t0)] = e-tos

• ℒ[n(t)] = sn; n = 1, 2, …

•

s

ktk

t

)(L

Delta Diraca

Twierdzenie 7. (o filtrowaniu) Filtrowanie polega na tym, że spośród wszystkich

wartości przyjmowanych przez funkcję f całka wybiera tę, którą funkcja przyjmuje w punkcie t0.

)()()( 00 tfdttttf

Delta Diraca

Przykład. Obliczyć transformatę Laplace’a funkcji

f(t) = t·1(t)-(t)

Splot

Definicja 3. Splotem funkcji f i g na przedziale

(-, ) nazywamy funkcję (t) określoną w następujący sposób:

dtgft )()(:)(

Splot

WAŻNY PRZYPADEK: jeżeli obie funkcje f i g są

równe zeru dla t<0, wówczas: oraz (f*g)(t) = 0 dla t<0.

0dla)()(:))(*(

0

tdtgftgft

Splot

Przykład. Obliczyć splot funkcji

f(t) = sint·1(t) i g(t) = et ·1(t)

Własności splotu

• f*g = g*f -

• (f*g)*h = f*(g*h) -

• f*(g+h) = f*g + f*h -

• |f*g| ≤ |f|*|g|

• Jeżeli f i g są oryginałami, to ich splot też jest

oryginałem.

Własności splotu

Twierdzenie 8. (Borela o splocie) Jeżeli f i g są oryginałami, to istnieje

transformata ich splotu oraz

ℒ [f*g] = ℒ[f]· ℒ[g]

Splot

Przykład. Korzystając z twierdzenia Borela wyznaczyć

transformatę Laplace’a splotu funkcji

f(t) = sint*cost

Splot

Przykład. Korzystając z twierdzenia Borela wyznaczyć

transformatę Laplace’a splotu funkcji

f(t) = e-t sint*e-t

Odwrotna

transformata Laplace’a

Sformułowanie zadania

Dla danej funkcji zmiennej zespolonej F(s) znaleźć

taką funkcję f(t), że F(s) jest jej ℒ-transformatą.

Problem sprowadza się do rozwiązania równania w postaci:

w którym F(s) jest funkcją holomorficzną w

pewnym obszarze, a f(t) funkcją określoną w przedziale [0,).

)(0

sFdtstf st

Podstawowe własności

• ℒ-1[aF1(s)+bF2(s)] = aℒ-1[F1(s)]+bℒ-1[F2(s)]

• ℒ-1[F(cs)] = 1/c f(t/c), c>0

• ℒ-1[e-tosF(s)] = f(t-t0)·1(t-t0)

• ℒ-1[F(s+)] = e-t f(t)

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

2

2)(

ssF

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

4

3)(

2

s

ssF

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

1

1)(

2

2

s

ssF

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

ss es

se

ssF 2

2 1

1)(

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

52

1)(

2

sssF

Podstawowe własności

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

)2)(1(

23)(

ss

ssF

Twierdzenie Heaviside’a

Twierdzenie 9. (o rozkładzie) Jeżeli funkcja F(s) jest funkcją wymierną postaci gdzie P(s) i Q(s) są wielomianami takimi, że stopień

P(s) jest niższy niż stopień Q(s) i jeżeli Q(s) ma tylko pierwiastki jednokrotne sk, k=1, 2, …, n, to

)(

)()(

sQ

sPsF

n

k

ts

k

k kesQ

sPsFL

1

1

)('

)()]([

Twierdzenie Cuchy’ego

Twierdzenie 10. (Cauchy’ego o residuach) Załóżmy, że na prawo od prostej z=+jω, (gdzie

s=x+jω i <x, ω-dowolne) funkcja F(s)est ma skończoną liczbę biegunów sk, k=1, 2, …, n. Wówczas zachodzi równość

n

k

tsss

k

kesFsFL

1

1 )(res)]([

Twierdzenie Cuchy’ego

Jeżeli funkcja F(s) ma zespolone bieguny sprzężone, to Obliczanie residuum

stss

stss

stss esFesFesF

kkk)(resRe2)(res)(res

)()!1(

1)(res 0)1(

)1(

lim0

0sFss

ds

d

ksF

k

k

k

ss

s

Twierdzenie Cuchy’ego

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

)1(

1)(

22

sssF

Twierdzenie Cuchy’ego

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji:

)4()3(

1412)(

22

2

ss

sssF

Twierdzenie Cuchy’ego

Przykład. Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a

funkcji: (wykorzystać twierdzenie Borela)

)1)(1(

5)(

2

sssF

Metoda operatorowa

Odwrotna transformata Laplace’a

KONIEC