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Matemática e Música: A Relação entre Ciência e Arte... – Silva & Barros
Revista Diálogos – set. / out. / 2018 – N.º 20 342
MATEMÁTICA E MÚSICA: A RELAÇÃO ENTRE CIÊNCIA E
ARTE - UM ESTUDO SOBRE A SÉRIE HARMÔNICA.
Josevaldo Gomes da Silva ( UPE)1
Janaína Viana Barros ( UPE)2
d.o.i. 10.13115/2236-1499v2n20p342
RESUMO
Este artigo objetiva traçar uma breve síntese da belíssima e
importante relação de duas grandiosas áreas do conhecimento - a
matemática e a música - e estabelecer uma aproximação significativa no
cerne dos documentos estudados. Ademais, busca-se aqui ensejar uma
reflexão no que diz respeito à estreita conexão entre estas duas áreas,
com um enfoque mais agudo sobre a série harmônica, capturando-a no
centro da explicação do conceito de divergência e convergência de
séries; tal como sobre uma breve apresentação histórica do trabalho
bem sucedido de grandes matemáticos que a desenvolveram, em
especial, Pitágoras. Neste ponto, trazer à tona uma apreciação especial
desta série é o intento, de sorte a percebê-la e denotá-la na sua real
importância na construção da escala musical, permitindo a introdução
da noção de intervalos, e sua principal aplicação na música. Para tanto,
sob as condições expostas, naturalmente retornaremos ao período
histórico onde tudo começou, no qual Pitágoras realizou o experimento
do monocórdio. Nesse sentido, este trabalho está fundamentado,
principalmente, em Oscar João Abdounur (2003) com seu livro
matemática e música – O pensamento analógico na construção de
significados -, na dissertação de mestrado de Marcos do Carmo Pereira,
intitulada – Matemática e música De Pitágoras aos dia de hoje -, e em
artigos relacionados a fim de externar tais procedimentos e, por
conseguinte, concretizá-los trazendo à luz os objetivos, da melhor
maneira possível, que compreendem este labor.
Palavras-chave: Série Harmônica, Relação, Matemática e Música,
Reflexão.
1 Graduando em Licenciatura Plena em Matemática (UPE). E-mail:
[email protected] 2 Prof.ª Dra. Em ciência de materiais (UFPE). E-mail: [email protected]
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ABSTRACT This article aims to draw a brief synthesis of the beautiful and
important relation of two great areas of knowledge - mathematics and
music - and to establish a significant approximation at the heart of the
documents studied. In addition, it is sought here to reflect on the close
connection between these two areas, with a sharper focus on the
harmonic series, capturing it at the center of the explanation of the
concept of divergence and convergence of series; such as on a brief
historical presentation of the successful work of great mathematicians
who developed it, especially Pythagoras. At this point, to bring up a
special appreciation of this series is the attempt, in order to perceive it
and denote it in its real importance in the construction of the musical
scale, allowing the introduction of the notion of intervals, and its main
application in music. For this, under the exposed conditions, we will
naturally return to the historical period where it all began, in which
Pythagoras performed the monochord experiment. In this sense, this
work is mainly based on Oscar João Abdounur (2003) with his book on
mathematics and music - Analogic thought in the construction of
meanings -, in the master dissertation of Marcos do Carmo Pereira,
entitled - Mathematics and music De Pitágoras and related articles in
order to express such procedures and, therefore, to put them into
practice by bringing to light the objectives that best comprise this work.
Keywords: Harmonic Series, Relation, Mathematics and Music,
Reflection.
INTRODUÇÃO
Pois bem: sons e acordes, quando uma pessoa se depara com
estes tipos de situações, em geral, mal pode ela perceber a real relação
ali existente entre matemática e música. Mas, ao contrário do que
muitos pensam, a matemática é, de fato, imprescindível para se entender
e estruturar a música em todo o seu arcabouço teórico que forja e traz à
tona a beleza musical. Voltaremos o olhar, nesse sentido, à antiguidade que, sem
dúvida, foi um período fundamental em que se construiu e se deu
significado a muitas coisas. Ademais, para entender esse processo
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torna-se necessário um estudo mais aprofundado sobre a Série
Harmônica; donde extrairemos o máximo de informações e descobertas
possíveis para, assim, engajar e qualificar nosso objeto de pesquisa: a
relação supracitada.
Com efeito, pois, por um lado, tudo se inicia na escola
pitagórica, na concepção da música segundo Pitágoras. Aqui percebe-se
o fascínio que a música exerce desde a antiguidade até os dias correntes,
que pode ser bem explicado no mito grego de Orfeu, poeta e músico.
Diz a lenda que, quando cantava e tocava sua lira3, tinha o poder de
acalmar os rios e mesmo os animais; de modo que todos se rendiam aos
encantos de sua música. Sabe-se, por outro lado, que a matemática é indispensável para
a humanidade, desde as coisas mais simples até as mais complexas que
possamos imaginar, todas presentes em nossas vidas. Dessa forma, no
que concerne à evolução da música não haveria de ser diferente: dentre
os mais variados aspectos que a compõe, faz-se necessário o uso da
matemática, seja na construção da escala musical - em que se determina
os sons que ouvimos, seja na teoria musical, propriamente dita, que
desnuda todo o esforço e trabalho dispendido por grandes matemáticos
em épocas diversas. Uma pessoa que nunca estudou música, que jamais passou, na
graduação, pelas disciplinas de calculo diferencial e integral
dificilmente conhecerá e/ou terá o seu primeiro contato com a série
harmônica. Mas, mesmo entre os que já a estudaram, é algo claro que o
olhar unilateral concentrado ou na música ou na matemática
isoladamente não revela o real e completo motivo, tampouco as
principais relações que ambas as áreas estabelecem de contribuição
mútua para determinados fins. Nesse sentido, busca-se aqui estreitar a relação matemática /
música. Para tanto, além de todo arcabouço histórico / teórico
fundamentado, aborda-se neste trabalho o conceito indispensável em
matemática de divergência de uma série numérica. Além disso, todo o
comportamento musical aqui exposto, denotado pela série harmônica,
faz-se contributo significativo para notarmos a matemática bela que há
por traz de toda a beleza musical, dos sons, das escalas, da melodia, do
solo, do arranjo, etc. A qual apreciamos e ouvimos hoje.
3 Instrumento musical parecido com a harpa
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Portanto, esta breve classificação dos conhecimentos
demonstram-nos os distintos lugares das áreas, assim como, os
diferentes papéis na sociedade, na qual ainda parece impossível
vislumbrar uma relação direta entre os conhecimentos musicais e
matemáticos. Ainda assim, tanto na história da matemática quanto na
história da música, há estudos que identificam a comunhão, o
casamento desses conhecimentos; e a pretensão aqui lançada é a de
revelar isto.
ONDE TUDO COMEÇOU: CONTEXTO HISTÓRICO.
Nesta seção é auspicioso, portanto, apresentar onde tudo
começou, ou seja, fazer um breve relato da história da música. Os fatos
aqui apresentados não obedecem uma ordem cronológica, mas serão
descritos de uma maneira a ser a mais fácil de ser assimilada. Convém
ressaltar que a primeira escala, tomada como base para a atual, fora
descoberta por Pitágoras, celebre figura conhecida matematicamente
e/ou filosoficamente.
Segundo Abdounur (2003), a matemática e a música possuem
laços profundos estudados desde a Antiguidade. Os primeiros indícios
de algum tipo de relação entre essas duas áreas, aparentemente tão
distintas, perderam-se com o passar do tempo, visto que, para quase
todos os povos antigos, os registros sobre estes dois assuntos
encontram-se em documentos separados. “Por volta do ano 1000 d.C., na
Itália, viveu um monge chamado
Guido D’Arezzo. Ele gostava muito
de cantar louvores a Deus e, dentre
os cantos que entoava, havia um em
especial: a Oração a São João
(Sancte Ioannes, em latim). O
monge pegou as iniciais de cada
verso da oração para dar nome às
notas musicais que conhecemos:
DÓ, RÉ, MI, FÁ, SOL, L Á, SI. É
claro que as notas já existiam,
apenas não tinham nomes. Outros
povos, como os gregos, e mais tarde
os anglo-saxões, usavam letras para
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representar as notas” (PEREIRA,
2013).
Tais letras essas as quais chamamos e conhecemos para quem
tem uma certa proximidade a música de cifras A, B, C, D, E, F, G; que
nada mais são do que as notas musicais. Veja a seguir a distribuição
correta da cifra a sua respectiva nota: C D E F G A B DÓ RÉ MI FÁ SOL L Á SI
No que concerne aos documentos, é incontornável, uma vez
mais, citar os gregos, em especial: Pitágoras, ao qual daremos a devida
atenção logo mais neste trabalho. Apesar de muitos não saberem, em
geral, o conhecerem apenas pelo seu famoso teorema que recebe seu
nome, o famoso Teorema de Pitágoras, ele foi responsável pela feitura
da primeira escala musical que se tem notícia até o presente momento.
Como é de conhecimento de todos, na antiguidade, a música exerceu
um fascínio em todas as civilizações que existiam; foram, assim, os
filósofos gregos que se dedicaram a ela e a estudaram de maneira,
digamos, mais profunda. De fato, quando os lemos, logo enxergamos,
por parte deles, uma busca incessável cujo objetivo principal sempre
fora entender os fenômenos que ocorriam no universo e a partir daí
buscar uma explicação plausível para os fatos. Segundo Boyer (1996), o primeiro registro realmente que
estabelece associação entre a matemática e a música, ocorre por volta
do século VI a.C. na Grécia Antiga, na Escola Pitagórica. Por meio de
um instrumento de uma corda, os pitagóricos relacionaram intervalos
musicais ao conceito de frações.
PITÁGORAS: O EXPERIMENTO DO MONOCÓRDIO E A
ESCOLA PITAGÓRICA. “A música é uma ciência que
necessita possuir um estatuto
definido. Suas regras devem ser
extraídas de um princípio claro,
inconcebível sem o auxílio da
matemática. Apesar de toda a
experiência que eu possa ter
adquirido em música por associar-
me a ela por tanto tempo, devo
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confessar que somente com o auxílio
da matemática, minhas ideias
tornaram-se claras e a luz substituiu
uma escuridão da qual eu não
estava ciente” (Abdounur, 2003,
apud Rameau, 1722).
Segundo Abdounur (2003) os pitagóricos, por assim dizer,
foram os únicos até Aristóteles a fundamentar e desenvolver
cientificamente a música, começando a desenvolvê-la, de modo que
tornaram-se os mais preocupados por tal assunto. Possivelmente
inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento que era
composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos
sobre uma prancha ou mesa, possuindo um cavalete móvel colocado
sob a corda para dividi-la em duas seções. Em seus experimentos Pitágoras evidenciou relações entre o
comprimento de uma corda e a altura musical do som emitido quando
ela é tocada. Ele observou que, pressionando uma corda num ponto
situado à metade ou 1/2, e tocando-a, a mesma produzia um som
aparentemente bem próximo ao da corda inicialmente solta, o que, em
teoria musical, chama-se de oitava do som original. Da mesma forma
observou que pressionando a 2/3 do seu tamanho original, ouvia-se um
som que denomina-se uma quinta acima. Analogamente, da pressão
exercida num ponto situado a 3/4 do comprimento da corda em relação
a sua extremidade, ouvia-se uma quarta do tom emitido pela corda
inteira. A partir desta experiência, os intervalos mencionados passaram
a serem denominados consonâncias pitagóricas. Consequentemente, de tal experimento realizado por Pitágoras,
fez-se a descoberta da relação entre razões de números inteiros,
mediante a qual fora criado um sistema musical através dessas relações. Os pitagóricos observaram que notas diferenciadas por
intervalos de oitava apresentavam certa proximidade musical, as quais
foram definidas como uma classe de equivalência4, em que duas notas
4 O termo referente a classe de equivalência refere-se a um conceito matemático
definido a partir de uma relação de equivalência. Uma relação R sobre um conjunto E
desta natureza deve, dados a, b e c em E, ser reflexiva (aRa, para todo a em E),
simétrica (se aRb, então bRa) e transitiva (se aRb e bRc, então aRc); donde chamamos
classe de equivalência determinada por a módulo R ao subconjunto de E constituído
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somente tornam-se equivalentes se o intervalo existente entre elas for
um número inteiro de oitavas, podendo reduzir distintas oitavas a
apenas uma, possuindo assim notas equivalentes em todas as outras
oitavas e na oitava base (ABDOUNUR, 2003).
No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma
tensão relativa), descobriu-se as regras que relacionavam a altura da
nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações
que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números
inteiros simples do tipo 1/2, 2/3, 3/4, etc. Tais relações podem ser
visualizadas na guitarra proposta por Pitágoras na Figura 1. Portanto,
Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações
numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior
(CARLOS, 2015).
Figura 1 – Representação da Guitarra proposta por Pitágoras.
Fonte: http://www.upscale.utoronto.ca
Relativamente aos documentos, a escola pitagórica possuía um
código de conduta bastante rígido. O vegetarianismo, por exemplo, era
imposto a seus membros, aparentemente porque o pitagorismo aceitava
a doutrina da metempsicose, ou transmigração das almas, ou seja:
por todos os elementos x tais que xRa. No caso em questão, a relação de equivalência
sobre o universo das notas é a seguinte: Duas notas são equivalentes se diferirem em
intervalo por um número inteiro de oitavas. Podemos observar que a relação assim
estabelecida satisfaz as condições referidas acima; definindo, tão logo, como classes
de equivalência conjuntos que possuem mesmas notas a menos de um número inteiro
de oitavas.
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existia ali uma preocupação de que se podia matar um animal que fosse
moradia da alma de um amigo morto; entre outros e variados tipos de
preceitos da escola pitagórica. “Os membros da Escola Pitagórica
recebiam uma educação formal,
onde constavam quatro disciplinas:
Geometria, Aritmética, Astronomia
e Música e constituíam as artes
liberais cujo conteúdo tornou-se
conhecido na Idade Média como o
Quadrivium, que era considerado a
bagagem cultural necessária de uma
pessoa bem educada. A palavra
matemática (Mathematike, em
grego) surgiu com Pitágoras, que foi
o primeiro a concebê-la como um
sistema de pensamento, fulcrado em
provas dedutivas. Os pitagóricos
elevaram a matemática à categoria
das ciências liberais, isto é,
tornaram-na independente das
necessidades práticas e a
transformaram em uma atividade
puramente intelectual. Na filosofia
pitagórica afirmava-se que “Tudo é
número”, ou seja, na concepção
cosmogônica dos primeiros
pitagóricos, a extensão era
descontínua, constituída de unidades
indivisíveis separadas por um
intervalo” (CARLOS, 2015).
Talvez a mais notável característica da escola pitagórica tenha
sido a confiança que conservavam para com o estudo da matemática e
da filosofia, bases morais de sua conduta.
Para os pitagóricos a matemática se relacionava mais
com o amor à sabedoria do que com as exigências da vida
prática; e essa foi sua tendência a partir daí. É difícil
separar história real daquilo que é lenda no que tange a
Pitágoras, pois ele representava tantas coisas ao povo: filósofo, astrônomo, matemático, abominador de feijões,
santo, profeta, milagreiro, mágico, charlatão; que foi uma
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das figuras mais influentes da história. O que é inegável,
pois seus seguidores, sejam iludidos, sejam inspirados,
espalharam, e muito bem, suas crenças por quase todo o
mundo grego. Se é impossível atribuir certas descobertas
específicas ao próprio Pitágoras, ou mesmo coletivamente
aos pitagóricos, é importante entender o tipo de atividade
com que, segundo a tradição, a escola estava associada
(BOYER, 1996).
A SÉRIE HARMÔNICA
Provavelmente a mais famosa das séries em matemática é a série
harmônica, a qual tem seu n-ésimo termo dado por 1/n, em que n é um
número inteiro positivo.
Segundo Ávila (1995, p.55-56) apesar de ser uma das séries
mais simples dentre as séries divergentes com o termo geral tendendo a
zero; para uma aluno iniciante e inexperiente em séries infinitas tudo
leva-o a crer que tal série, a saber:
deva ser convergente, e não divergente. Afinal, somos levados
pelo fato de os termos estarem decrescendo para zero após uma soma
muito grande de termos; todavia, é preciso realizar uma análise bastante
cuidadosa. Ainda nesse campo da série harmônica, existe uma outra série
harmônica especial que convém citar aqui: a série harmônica alternada,
definida por:
Estudado com um pouco mais de afinco as disciplinas de cálculo
diferencial e integral, é posto e abordado vários testes dos quais ao
momento mais adequado se lança mão para mostrar quando uma série
converge ou diverge.
DIVERGÊNCIA DA SÉRIE HARMÔNICA
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Segundo Eves (2004) a demonstração de que a série harmônica,
de fato, é divergente aparece tardiamente e foi feita pelo Bispo Nicole
Oresme (1320-1382) no século XIV. A dificuldade está no fato de que o
crescimento da série harmônica não explicita naturalmente sua
divergência, pois, para termos muito grandes a soma tem crescimento
cada vez menor. Para isso é bom vermos no gráfico como isso
acontece.
Figura 2 – Crescimento da Série Harmônica
Fonte:
http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/arquivos/Coloquio_Serie_Harmonica_Poster_Matheu
s_Arthur_Paulo_12-11-2012_v5.pdf
No que toca a demonstração; percebamos que podemos agrupar
os termos da série da seguinte forma:
Se olharmos bem, nota-se que cada termo entre parênteses é
maior do que 1/2. Por exemplo:
Então, é claro que
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Logo, a série harmônica é divergente. Conforme queríamos
demonstrar.
RELAÇÃO, APROXIMAÇÃO E APLICAÇÃO DA SÉRIE
HARMÔNICA: A COMUNHÃO DA CIÊNCIA COM A ARTE.
É aqui onde a noção de intervalo5 aparece, iremos, assim,
perceber o que são e como se comportam, não aprofundando tanto, pois
nosso objetivo é sua real ligação com a série harmônica. Os intervalos,
dessa forma, são essências musicalmente para quem deseja melhor
compreender a formação dos acordes, a formação das próprias escalas,
a formação de um campo harmônico etc. Portanto, faz-se necessário interiorizarmos bem este nome:
intervalo; pois mesmo não adentrando tanto teremos uma breve
introdução a eles falando de um outro assunto que já foi
trabalhado no presente trabalho, ou seja, é impossível falar de
intervalos, que são esses distanciamentos entre duas ou mais notas sem
antes entendermos algo muito importante, o foco principal deste labor, a
Série Harmônica.
Vejamos, o ouvido humano consegue distinguir diferentes
qualidades de sons, por exemplo, imagine que estejam na sua frente, por
trás de uma cortina, dois instrumentos que você não sabe quais são; mas
os vou dizer: são eles um piano e um violão. Neste ponto, pense que
no piano se tocou uma determinada nota e que, do mesmo modo,
também o violão com a mesma afinação. Certamente, você já ouviu o som de um piano e de um violão,
ainda que você não seja um músico profissional ou um profundo
conhecedor da teoria musical; de modo que certamente irá conseguir
distinguir o som emitido por um piano daquele emitido por um violão;
aqui você deve ser perguntar: como isso é possível, posto que o piano e
o violão são instrumentos diferentes? Como podemos conceber que
5 Intervalos são o distanciamento entre dois sons, ou melhor dizendo duas notas
musicais.
Matemática e Música: A Relação entre Ciência e Arte... – Silva & Barros
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mesmo que eles toquem a mesma nota com a mesma afinação,
conseguimos distinguir um instrumento do outro? A resposta é simples, isso se chama timbre
6 que, na verdade, é
um nome muito utilizado pelos músicos no momento de uma compra,
ao analisar o som de um instrumento. E são exatamente essas
propriedades físicas do som que o levam a perceber a diferença entre o
som de um piano e o som de um violão mesmo quando executam a
mesma nota e novamente você se pergunta: por que usar o exemplo do
piano e do violão? E por que estou me referindo a palavra timbre?
Simplesmente pelo motivo de que o timbre, para que seja perceptível ao
seu ouvido, é o resultado da Série Harmônica objeto de nosso estudo. Conheceremos, agora, o significado da palavra Série
Harmônica7 na música, para isto usaremos exemplos populares,
quando se toca apenas uma nota (quando digo nota não me refiro a
acorde na realidade nós estamos ouvindo com aquela nota um conjunto
de frequências mais agudas no qual o nosso ouvido ainda não consegue
captar, em que se capta um som em conjunto).
Em um primeiro momento, podemos até nos surpreender com tal
fato, mais por exemplo, se você tocar uma nota, ou seja, um corda solta
usando o exemplo do violão, na realidade, aquela nota está produzindo,
ou melhor, propagando várias outras notas. Isto é: quando tocamos uma
nota ela tem uma certa vibração e com essa vibração vem junto uma
sequência de outras notas matematicamente organizadas e
sistematizadas entre si que formam os famosos Harmônicos. Segundo Anderle (2001) o som emitido por um instrumento
musical é resultado de uma vibração. A série harmônica é resultado dos
sons geradores, mais as notas agudas. Se tomarmos como exemplo a
corda de um violão, notaremos que, além de vibrar em toda a sua
extensão, ela também vibra em sua metade, em sua terça parte, em sua
quarta e quinta partes, etc. produzindo sons cada vez mais agudos. A
vibração da corda pode ser definida como ciclos ou Hertz. [...] A série
harmônica é fisicamente infinita e suas primeiras 16 notas surgem ao
6 Timbre é algo que pode ser definido como a impressão sonora, ou o colorido
particular de cada som 7 Série Harmônica é um conjunto de frequências sonoras que soam em simultaneidade
com um nota principal
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subdividir uma corda vibrante (experiência de Pitágoras) em 2 – 3 – 4 –
5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 partes iguais. Vejamos melhor o que Anderle (2001) descreveu na figura a
seguir:
Figura 3 – Subdivisão de harmônicos
Fonte: http://pt.scribd.com/doc/56289539/Apostila-Acustica-Eletrica-Em-
Audio
Segundo Bartz (2010) a quantidade de harmônicos de um som
fundamental é infinita. Quanto mais afastados do som fundamental
estes sons estiverem, menos audíveis e consonantes os harmônicos vão
ficando com relação à nota principal. Os intervalos entre os harmônicos
também se tornam menores. A série harmônica nos permite observar os
intervalos consonantes e dissonantes com relação a uma nota específica.
Assim, como a série diverge no infinito, esses harmônicos
tendem a se tornar imperceptíveis aos nossos ouvidos, pois essas
frequências são muito agudas, praticamente os nossos tímpanos, nossos
ouvidos não tem tal incrível capacidade de perceber os harmônicos.
Assim sendo, voltamos a Pitágoras, em que discorremos sobre o seu
importante experimento que fora fundamental para sua descoberta, qual
seja: o distanciamento das notas musicais exatamente em cima desse
conceito que encerra os harmônicos.
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Poucos músicos sabem que uma frequência harmônica para que
ela possa existir, depende de três fatores que são óbvios e naturais; mas
que merecem devida atenção: para existir ela depende de um
comprimento, uma espessura e de uma tensão. O comprimento é o
distanciamento de uma ponta a outra de uma corda: o tamanho da corda.
A espessura é exatamente a grossura, por assim dizer, dessa corda e,
quando falamos da tensão, ela é precisamente a distância que a corda
percorre quando ela está em vibração como vimos na figura 3.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao analisarmos a comunhão matemática / música no cerne dos
documentos, é notável que, de fato, uma é base para se entender a
outra, dessa forma sobressai-se do estudo aqui feito, as relações que
poucos imaginam existirem, embora tais áreas, sob a perspectiva de
muitos, parecem tão distintas. O fato é que, por traz de uma das artes
mais populares do mundo, não é de todo evidente que a matemática é
capaz de proporcionar por traz do talento de um artista, que ela o
sustenta, o fundamenta e o dá suporte. Do que segue que, de todo labor exposto tudo se volta e leva-nos
a Pitágoras, o mesmo que, em grande medida, apenas é conhecido pelo
famoso teorema que carrega o seu nome. Fora a partir dele que
conhecemos a comunhão de coisas aparentemente distintas. Sendo
assim, temos muito a agradecê-lo pela dedicação em entender, nomear e
classificar tudo aquilo que nos é imprescindível hoje. É relevante, claro,
ressaltar que jamais conseguiremos explicar uma destas áreas apenas
com a outra, ou seja, apenas com um olhar unilateral ou isoladamente,
principalmente no que tange a música, em que sabemos que, por
envolver um lado artístico, é algo mais subjetivo, dependente da
pessoa, do sujeito.
Apesar disso, propusemos neste trabalho denotar a relação,
amiúde supracitada, a fim de compreender, de fato, como surgiu e como
se desenvolveu a série harmônica no centro dos documentos oficiais;
estudar os conceitos matemáticos existentes; e realizar uma análise
criteriosa para entendermos de forma concreta sua divergência, sua
estrutura e sua principal aplicação intimamente relacionada às notas
musicais.
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Finalmente, queremos deixar claro que, obviamente, existem
trabalhos a serem desenvolvidos ainda, como também em andamento.
São duas áreas complexas e, ao mesmo tempo fascinantes, em que
grandes nomes como o de Pitágoras serem sempre foram lembrados
pelo legado histórico e a importância que tiveram.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABDOUNUR, O. J. Matemática e música: o pensamento analógico na
construção de significados / Oscar João Abdounur.- 3ª. Ed. – São Paulo:
Escrituras Editora, 200. – ( Coleção ensaios transversais).
ANDERLE, D. Série Harmônica – Sesc, 2001. ÁVILA, G. A Série Harmônica e a Fórmula de Euler - MacLaurin.
Revista Matemática Universitária, São Paulo, n. 19, p.55-63, 1995.
ÁVILA, G. As Séries Infinitas. In: Revista do Professor de
Matemática–nº 30. SBM. São Paulo, 1996.
BARTZ, G. Série Harmônica, 2010. BOYER, C. B. História da Matemática. 2ª. ed. São Paulo: Ed. Edgard
Blucher, 1996. BORO, M. C., FRANCISCON, H. M., MERLI, R. F., “Série infinita
harmônica e as notas musicais”, Faculdade de Apucarana – Congresso
multidisciplinar – FAP, 2012. BROMBERG, C., “ Música e História da Matemática”, Vol. 6. 2012.
CUNHA, A. C., FERREIRA, F.P. R., MOTTA, M. C., “Análise da
Lentidão da Divergência da Série Harmônica: Uma Contradição à
nossa Intuição”, Universidade Federal de Campina Grande – UFCG,
2012.
EVES, H. Introdução à História da Matemática / Howard Eves;
tradução Hygino H. Domingues. 5ª. ed. – Campinas, SP : Editora da
Unicamp, 2011. MIRITZ, J. C. D., “ Matemática e Música”, Universidade Federal do
Rio Grande –FURG, 2015. MORAES, F. D. C., Manual de redação matemática / Daniel Cordeiro
de Moraes Filho. – Rio de Janeiro: SBM, 2014. 1ª ed.
Matemática e Música: A Relação entre Ciência e Arte... – Silva & Barros
Revista Diálogos – set. / out. / 2018 – N.º 20 357
MORAES, M. A., “ matemática E Música Grega”, Instituto Superior
de Educação Faculdade Guairacá, 2011. PEREIRA, M. C. “Matemática e Música De Pitágoras aos dias de
hoje”, Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, 2013.
SANTOS, D. R. A., Matemática e música, 2006.