MatemÆtica en Colombia y Sistemas de numeración

Matemática en Colombia y Sistemas de numeraciónClase 3

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas

Margarita María Toro V.

Universidad Nacional de Colombia

16 de Febrero 2015

Margarita María Toro V. (Universidad Nacional de Colombia)Lines 2 - 4 pm 16 de Febrero 2015 1 / 41

Información General

Profesora: Margarita María Toro Villegaswww.medellin.unal.edu.co/~mmtoro

Oficina: Bloque 43-250 (tel. 4309850)

Correo: [email protected]

Horas de oficina: Miércoles 2-4 p.m. y viernes 10 a 12 a.m.


Diversión con la lógica

1 Marta, Victoria y Ana están paradas una al lado de la otra. Victoriasiempre dice la verdad, Marta siempre dice mentiras y Ana a vecesdice la verdad y otras veces dice mentiras.Quien está a la izquierda dice: Victoria está en el centro.Quien está en el centro dice: Yo soy Ana.Quien está a la derecha dice: Marta está en el centro.¿Cómo están situadas ?

2 La carretera que sale de Robledo se bifurca con un ramal que va aSan Jerónimo y otro que va a San Pedro. En la bifurcación hay dospersonas, una siempre dice la verdad y la otra siempre dice mentiras.¿Cómo hacer una sola pregunta para saber el ramal que va para SanPedro? (La pregunta que se hace debe admitir solamente dosrespuestas: si o no)


Diversión con la lógica

3. Se le dá a la señora Suma la suma de dos números y al señorProducto el producto de dos números.Suma llama a Producto y le dice : Usted no ha podido adivinar misuma.Al otro día Producto llama a Suma y le dice : ya adiviné su suma.Al otro día Suma llama a Producto y le dice: ya adiviné su producto.Los dos números están entre 2 y 100. ¿Cuáles son los números?

4. Un levantador de pesas mandó fundir 12 pesas idénticas. Al recibirlasdel fabricante, éste le dijo que había una de ellas que pesaba diferentede las demás, pero que no sabía si pesaba más o pesaba menos.Seguro del fracaso del cliente, el fabricante le ofreció gratis las pesassi lograba determinar cuál era la pesa diferente utilizando sólo tresveces una balanza. En efecto, el levantador de pesas se ganó laspesas. ¿Qué estrategia utilizó?


Matemática en Colombia

El 13 de marzo de 1762, Mutis inaugura la cátedra de matemáticas en elColegio Mayor del Rosario con la presencia del virrey Mesía de la Cerda, lavirreina y la sociedad santafereña.Este es un hito histórico, que es considerado como el inicio de lasmatemáticas en el país.En su discurso inaugural, Mutis, entre otras cosas, dijo:“Los más de los hombres han creído que las matemáticas son un estudio alque muy pocos deberían destinarse. La fuente de este error ha nacido de lainutilidad que ellos se imaginan o de la ponderada dificultad de estaciencia; pero si llegaran a conocer la necesidad de las matemáticas, lafacilidad con que se adquieren y su estrecho enlace con las demás arte yciencias, convendría en que todos las deberían aprender”.



Más adelante continúa afirmando: “Todos los misterios, facultades,ejercicios, ocupaciones y empleos dignos del hombre reciben copiosísimasluces de las matemáticas”.

El discurso de Mutis se puede leer en:http://www.colombiaaprende.edu.co/html/productos/1685/articles-200229_botanica.pdf



Los indigenas que habitaron lo que hoy es Colombia no tenían el grado dedesarrollo matemático de los Incas o los mayas. Durante las épocas de LaConquista y La Colonia llegaron personajes que, con algunas excepciones,poco o nada podían contribuir al desarrollo de las ciencias naturales y lasmatemáticas. Con excepción de Gonzalo Jiménez de Quesada que teníaalgo de formación, los demás se destacaron por su barbarismo e ignorancia.

José Celestino Mutis (1732-1808) fue sacerdote, médico, matemático,botánico, astrónomo y humanista Al llegar a la Nueva Granada encontró laeducación en un estado lamentable. Las cuatro operaciones de laaritmética se consideraban subversivas, el geocentrismo y la doctrinacristiana impregnaban la conciencia de los criollos.



La influencia de Mutis fue fundamental en la formación de José Félix deRestrepo, Francisco José de Caldas, Lino de Pombo y todo ese grupo depersonas que hicieron parte del primer clamor por nuestra independencia.

Caldas José Felix Restrepo Lino de Pombo1768-1816 1760-1832 1797-1862



Una mención especial se merece Francisco José de Caldas, considerado pormuchos como el primer científico e ingeniero colombiano y también comoel primer matemático nacido en Colombia.Caldas fundó, por orden de Juan del Corral, la Academia Militar deIngenieros, primer instituto superior para formar ingenieros en Colombia,en 1813 en la entonces República de Antioquia.Caldas elaboró el plan de estudios y tuvo a su cargo las asignaturas dearitmética, álgebra, trigonometría y geometría durante los dos años quefuncionó dicha academia. Él mismodictó la primera clase de matemáticasen



Para Bolívar y Santander, la educación era fundamental, para serverdaderamente independientes. Así que a partir de 1819 la instrucciónpública se convirtió en una prioridad.

En 1826 se aprobó la primera ley que reglamenta la educación en laRepública y se establecen tres universidades centrales en Santafé, Caracasy Quito y tres más en Tunja, Cartagena y Popayán.

Los estudios en dichas universidades fueron los de filosofía, jurisprudencia,medicina, teología y ciencias naturales.



El plan de estudio de Santander, relativamente bien pensado, jamás seejecutó en su totalidad. La orientación hacia las ciencias se quedó en ley yel derecho tomó un papel protagónico.

Otra vez, con la ley del 1 de diciembre de 1841, la conocida como ReformaOspina, se pretendió cambiar nuevamente la educación, que en el caso delas universidades se componía de cinco facultades, cuatro mayores: cienciasfísicas y matemáticas, medicina, jurisprudencia y ciencias eclesiásticas yuna menor: la facultad de literatura y filosofía.

Pero la facultad de ciencias y matemáticas se quedó en el deseo.


Matemática en Colombia. Creación del Colegio Militar

La creación del colegio Militar en 1847, fue un paso significativo para laenseñanza superior de las matemáticas. El claustro tenía como objetivoformar oficiales científicos del Estado Mayor, en ingeniería, artillería,caballería e infantería. El Instituto inició actividades el 2 de enero de 1848,con fin de formar hombres preparados para el desarrollo vial de este país,con el propósito de mejorar y facilitar la actividad económica y el comerciode exportación.De esta institución educativa surgieron los primeros textos colombianos dematemáticas para la enseñanza superior, imitando el espíritu de la escuelafrancesa, en particular de la École Polytéchnique.Lino Pombo escribió sus “Lecciones de Geometría Analítica”en 1850 y sus“Lecciones de aritmética y álgebra” en 1858.


Matemática en Colombia. Creación del Colegio Militar

El colegio Militar fue cerrado, en 1854 por el golpe militar del general JoséMaría Melo y reabierto nuevamente en 1866 por el presidente Mosqueracon el nombre de Colegio Militar y Escuela Politécnica, bajo la dirección deLorenzo María LLeras. Él rebajó el nivel de los estudios matemáticos con elpropósito de admitir un máximo de estudiantes de los sectores no altos dela sociedad capitalina, realzar los beneficios populares del Colegio eimpulsar una mayor movilidad social que favoreciera a la fracción liberal ensu lucha contra la oposición formada por la aristocracia.


Matemática en Colombia. Creación de la UniversidadNacional

La creación de la Universidad Nacional en 1868, absorbe al Colegio Militargenerándose un ambiente más favorable para las matemáticas, y se tiene laopción de un título doble opcional, uno en ingeniería y otro de Profesoren Matemáticas.El siglo XIX termina con la Guerra de los Mil Días que llevó al cierre de launiversidad. Sin embargo, Julio Garavito logró aglutinar algunosestudiantes en el Observatorio Astronómico y allí, junto con otrosprofesores, se logró continuar con el estudio de las matemáticas. Lareapertura de la Nacional en 1902 y su nueva reglamentación en 1903excluyen el título de profesor en matemáticas.



Julio Garavito Imagen de Garavito en el billete1865-1920 de 20.000

Garavito obtuvo sus títulos de Profesor de Matemáticas y de IngenieroCivil en la Universidad Nacional de Colombia. En 1892 fue director delObservatorio Astronómico Nacional. Sus trabajos de investigación fueronpublicados en la revista Los Anales de Ingeniería, desde 1890 y que fue sudirector desde 1897.


Matemática en Colombia.

En los años treinta y cuarenta del siglo XX las matemáticas en Colombiase vieron fortalecidas por la llegada de refugiados españoles y alemanesque huían de la guerra. Pero quienes tuvieron un papel relevante fueronCarlo Federici y Yu Takeuchi.

Carlo Federici Yu-Takeuchi1906-2005 1927-2014



Carlo Federici se vinculó a la facultad de Ciencias de la UniversidadNacional en 1948 y en 1951 crea el programa de Matemáticas, entrandoasí las matemáticas modernas a la universidad colombiana.

La Revista de Matemáticas Elementales se funda en el 1952, la SociedadColombiana de Matemáticas en 1955 y el Departamento de Matemáticas yEstadística en 1956.

Sociedad Colombiana de Matemáticas: http://www.scm.org.co/



Yu Takeuchi fue profesor de la Universidad Estatal de Ibaraki desde 1951hasta 1962. Llegó a Colombia con una comisión del gobierno japonés porun programa de intercambio en el año de 1959 y desde entonces fueprofesor de la Universidad Nacional de Colombia hasta 1989.Fue el gran impulsor de los textos de matemáticas escritos en Colombia,en español. Fue el autor de varios libros, muchos de los cuales no sóloescribió, sino editó, imprimió y vendió a unos precios que en ocasiones nocubrían ni siquiera los costos de producción ya que siempre pensó que loslibros debían ser accesibles a todos. Recorrió el país dictando cursos yconferencias. Contribuyó en la apertura de programas de pregrado ypostgrado.


Matemática en Colombia. Vínculo con la Educación

1956, Primer Seminario Colombiano sobre la Enseñanza de la Matemáticaen el Nivel Universitario. Bogotá. Se considera el primer CongresoColombiano de Matemáticas.Conclusión: Los profesores no saben suficientes matemáticas.

1961, Primera Conferencia Inteamericana sobre Educación Matemática.Patrocinio de la OEA. Asistieron 23 pises y matemáticos importantes.Introducción en Colombia de la “Matemática Moderna”.Este tema da lugar a muchas discusiones filosóficas y políticas.


Matemática en Colombia. Universidades

Universidad Nacional de Colombia. Creada en 1868. Fue (y es) centrodel desarrollo de las matemáticas en Colombia.Escuela de Minas, creada en 1887. Se anexó a la Universidad deAntioquia entre 1903 y 1911. Fue anexada a la Universidad Nacional en1939

La Pontificia Universidad Javeriana, fundada en 1623 por los Jesuitas.Suspendida en 1767 por la expulsión de los jesuitas y restaurada en 1930.Primeros cursos del cálculo se dictaron en 1951. En 1972 se creó laCarrera de Matemáticas.



Universidad Colegio Mayor de Nuestra Señora del Rosario, fundadaen 1653. Primer colegio mayor creado en América. El 13 de marzo de1762, Mutis inaugura la cátedra de matemáticas en el Colegio Mayor delRosario. Caldas fue alumno de Mutis en las clases de matemáticas. Con laindependencia dejó de tener interés en ciencias.

Universidad de Antioquia, fundada por el general Francisco de PaulaSantander en 1822. Adquiere su nombre actual en 1871. La escuela deingeniería se funda en 1874 y en 1879 se ordena la creación de la Escuelade Minería de la Universidad de Antioquia, que se funda realmente en1883 y se convierte en la Escuela Nacional de Minas.En 1969 se crea la carrera de Matemáticas Puras.



Universidad del Cauca, fundada en 1827, por el general Francisco dePaula Santander. Tuvo como primer profesor de matemáticas a Lino dePombo. En 1997 se crea la carrera de matemáticas.

Universidad de los Andes, fundada en 1948 (empezó a funcionar en1949). Ha desempeñado un papel central en el desarrollo de lasmatemáticas. Desde sus inicios sus fundadores se preocuparon mucho porlas matemáticas. Trajeron a dictar cursos y charlas a matemáticos tanprestigiosos como Solomon Lefschetsz y John von Newmann. Juan Horváthse vinculó a la universidad y creó el Departamento de Matemáticas en1951 y estuvo hasta 1957, año en el que se fue para Estados Unidos.También se vinculó a la Universidad Nacional. Fue el primer departamentode matemáticas del país. Fue precursor de temas modernos. Ayudo a lacreación de la Sociedad Colombiana de Matemáticos.


Matemática en Colombia. Actualidad

A partir de la década de los cincuenta, la Universidad Nacional hace unacampaña de colonización e influye en la enseñanza de las matemáticas entoda Colombia. Los egresados de la Carrera de Matemáticas empezaron aenseñar en todas las universidades, tanto públicas como privadas deColombia y moldearon la forma de enseñar matemáticas.Uno de los hechos que más ha contribuido en la formación de losmatemáticos en Colombia es la creación de los posgrados.



El primero se creó en la Facultad de Minas de la Universidad Nacional en1968 con el nombre “Magister en Ingeniería con especialidad enMatemáticas aplicadas”.Fue liderado por Peter Santamaría, decano de la Facultad de Minas, ytenía como profesores a los de la Universidad Nacional de Bogotá. Másadelante se crearon posgrados en la Nacional de Colombia, (Bogotá), laUniversidad de Valle, la Universidad de los Andes, etc.Peter Santamaría también trajo para la Facultad de Minas el primercomputador que llegó a Medellín y uno de los primeros de Colombia.



El primer doctorado en Matemáticas se creó en la Universidad Nacional deColombia, y el primer Doctor en Matemáticas es Francisco Caicedo,profesor de la Universidad Nacional. Dato curioso: el director de tesis deFrancisco Caicedo fue Alfonso Castro, profesor en ese momento de laUniversidad de North Texas en Denton y quien había estudiado la Carrerade Matemáticas en la Nacional en Bogotá y había sido alumno deFrancisco.Alfonso pasó de allí a University of Texas en San Antonio y después aAlfonso Castro es ahora profesor de Harvey Mudd College en California ymantiene estrechos lazos con Colombia. Es miembro de la AcademiaColombiana de Ciencias y se ganó el Premio Colombiano de matemáticasen 2013.


Premio Nacional de Matemáticas

Creado por la Sociedad de Matemáticas y apoyado por la Universidad deAntioquia.2013. Alfonso Castro, Harvey Mudd College2011. José Raul Quintero, Universidad del Valle.2009. Jorge Cossio, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.2007. Victor Albis, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.2005. Xavier Caicedo. Universidad de los Andes.1993. Carlos Ruiz, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.1992. Guillermo Restrepo, Universidad de Valle.1991. Alonso Takahashi, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.1990. Jairo Charris, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.1989. Yu Takeuchi, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.


Matemática en Colombia. Lecturas Recomendadas

La Historia del Cálculo en Colombia de Ivan Castro Chadid, GrupoEditorial Iberoamericano, 1997.La Historia de la Matemática en Colombia de Gabriel Poveda Ramos,Ediciones Unaula, 2014.Matemáticas en Colombia en el siglo XIX, Clara Elena Sanchez, Llull(Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias, Vol 22(1999), 687-705.


Sistemas de numeración. Griegos.

El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, quefuncionaba de forma parecida al romano, que deriva de este sistema através del etrusco. La fórmula acrofónica era la siguiente:I = 1, Π = 5, ∆ = 10,H = 100, X= 1000 y M = 10 000.Se denomina acrofónico porque, con excepción del símbolo para 1 (unmero trazo vertical), los demás procedían de la primera letra de cadanúmero en escritura arcaica: ΠENTE (pénte, « cinco» ), ∆EKA(déka,« diez» ), HEKATON(hekatón, « cien» ), XIΛIOI (chílioi, «mil» ), MYPIAΣ(myrías « diez mil» ).Existían también combinaciones de Π para 50, 500, 5000 y 50 000añadiéndole versiones diminutas de los símbolos de las distintas potenciasde diez.


Sistemas de numeración. Babilonios.

Antes del año 1.700 a.C los babilonios idearon un sistema de numeraciónposicional (las cifras valen según su posición dentro del número) ysexagesimal (en base 60 cada unidad grande está formada por 60 unidadesmás pequeñas). El sistema utiliza dos signos básicos: la unidad, una cuñaen posición vertical. La decena, una cuña en posición horizontal.Combinando éstas se pueden escribir los 59 primeros números (Noutilizaron el cero hasta el 400 A. C.,utilizando dos cuñas oblícuas).

116,503 = 32× 602 + 21× 60+ 43


Numeración Maya

Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (base 20)(aunque mixto, en base 5 para representar los primeros 19 números)similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.También desarrollaron el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.Números del 0 al 19

Figura: Numeración Maya 0-19Margarita María Toro V. (Universidad Nacional de Colombia)Lines 2 - 4 pm 16 de Febrero 2015 30 / 41

Representación de números arbitrarios


Detalle de la Estela 1, encontrada en el sureste de Veracruz (México).


Sistemas de numeración

Base b = 10

Potencias de 10

5139 = 5× 103 + 1× 102 + 3× 10+ 9× 100

21074 = 2× 104 + 1074= 2× 104 + 1× 103 + 74= 2× 104 + 1× 103 + 7× 10+ 4


Base 7

Potencias de 7 :

70 = 1, 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2401, 75 = 16807...

5139 = 2× 74 + 337= 2× 74 + 6× 72 + 43= 2× 74 + 6× 72 + 6× 7+ 1

En base 7, el número 5139 se escribe como 20661.


En base b = 12,

Símbolos para los "dígitos"{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,D,O} .

Potencias de 12:120 = 1, 121 = 12, 122 = 144, 123 = 1728, 124 = 20736, ...

5139 = 2× 123 + 1683= 2× 123 + 11× 122 + 99= 2× 123 + 11× 122 + 8× 12+ 3

En base 12, el número 5139 se escribe como 2O83


Primeros enteros en sistema binario

A continuación se muestran los primeros veinte enteros positivos escritosen sistema binario

Decimal 25 24 23 22 21 20

1 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 1 03 0 0 0 0 1 14 0 0 0 1 0 05 0 0 0 1 0 16 0 0 0 1 1 07 0 0 0 1 1 18 0 0 1 0 0 09 0 0 1 0 0 110 0 0 1 0 1 0

Decimal 25 24 23 22 21 20

11 0 0 1 0 1 112 0 0 1 1 0 013 0 0 1 1 0 114 0 0 1 1 1 015 0 0 1 1 1 116 0 1 0 0 0 017 0 1 0 0 0 118 0 1 0 0 1 019 0 1 0 0 1 120 0 1 0 1 0 0


Teoría de los sistemas de numeración

Fijemos un entero b > 1. Todo número entero n ≥ 0 admite unadescomposición única

n = qrbr + qr−1br−1 + · · ·+ q0, (1)

con qi , r enteros no negativos.

Comenzamos por hallar br , la potencia más grande de b que nosobrepasa a n (br ≤ n). Luego dividimos a n entre br . Llamemos qr alcociente y n′ al residuo de esta división. Es decir: n = qrbr + n′, con0 ≤ r < br .Es claro que qr ha de ser un entero no negativo menor que b, de otramanera br+1 ≤ n, lo cual contradiría el hecho de que br es lapotencia más alta menor o igual a n.

Repetimos el mismo procedimiento para n′ : hallamos bs ≤ n′ tal quen′ = qsbs + n′′, con 0 ≤ qs < b. De aquí que n = qrbr + qsbs + n′′.El proceso se repite hasta que el residuo sea cero.




n = qrbr + qr−1br−1 + · · ·+ q0, (1)


Comenzamos por hallar br , la potencia más grande de b que nosobrepasa a n (br ≤ n). Luego dividimos a n entre br . Llamemos qr alcociente y n′ al residuo de esta división. Es decir: n = qrbr + n′, con0 ≤ r < br .

Es claro que qr ha de ser un entero no negativo menor que b, de otramanera br+1 ≤ n, lo cual contradiría el hecho de que br es lapotencia más alta menor o igual a n.





n = qrbr + qr−1br−1 + · · ·+ q0, (1)







n = qrbr + qr−1br−1 + · · ·+ q0, (1)



Repetimos el mismo procedimiento para n′ : hallamos bs ≤ n′ tal quen′ = qsbs + n′′, con 0 ≤ qs < b. De aquí que n = qrbr + qsbs + n′′.

El proceso se repite hasta que el residuo sea cero.




n = qrbr + qr−1br−1 + · · ·+ q0, (1)





Al final se encuentra una expresión para n de la forman = qrbr + qsbs + · · ·+ qlbl . Es claro que añadiendo sumandos"mudos"qjbj , con qj = 0, la suma puede escribirse como en 1.

Theorem

La expresión n = qrbr + qsbs + · · ·+ qlbl es única.

Demostración.Supongamos dos escrituras para n

n = qrbr + · · ·+ q0 = arbr + · · ·+ a0.

Sin pérdida de generalidad podemos asumir que a0 ≥ q0 (para el casoa0 ≤ q0, el razonamiento es idéntico). De la igualdad anetrior se deduceesta otra:

(qr − ar )br + · · ·+ (q1 − a1)b1 = a0 − q0.El lado izquierdo es divisible por b, por tanto b también divide aa0 − q0 ≥ 0. Pero esta diferencia es menor que b, por consiguientea0 − q0 = 0, es decir,a0 = q0.



Theorem



n = qrbr + · · ·+ q0 = arbr + · · ·+ a0.





Theorem



n = qrbr + · · ·+ q0 = arbr + · · ·+ a0.




Demostración de la unicidad

Demostración (Continuación) Factorizando b en el lado izquierdo seobtiene

b((qr − ar )br−1 + · · ·+ (q1 − a1)) = 0.Como b 6= 0, se deduce que

(qr − ar )br−1 + · · ·+ (q1 − a1) = 0.

Si el paso anterior se repite, se deduce entonces que q1 = a1. Continuamosde esta manera. Esto nos lleva a concluir que a2 = q2, . . . , ar = qr .


Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1× 26 + 48, q6 = 1, n′ = 48

48 = 1× 25 + 16, q5 = 116 = 1× 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.

La representación en base 2 es112 = 1× 26 + 1× 25 + 1× 24 + 0× 23 + 0× 22 + 0× 21 + 0Lo que se escribe como 111000 (base 2).

La prueba de la unicidad sigue los pasos del teorema anterior.


Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1× 26 + 48, q6 = 1, n′ = 4848 = 1× 25 + 16, q5 = 1

16 = 1× 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1× 26 + 48, q6 = 1, n′ = 4848 = 1× 25 + 16, q5 = 116 = 1× 24 + 0, q4 = 1

El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112

112 = 1× 26 + 48, q6 = 1, n′ = 4848 = 1× 25 + 16, q5 = 116 = 1× 24 + 0, q4 = 1El residuo es cero y por tanto el procedimiento termina. Añadimosq3 = q2 = q1 = q0 = 0.




Ejemplo

b = 2, n = 112


La representación en base 2 es112 = 1× 26 + 1× 25 + 1× 24 + 0× 23 + 0× 22 + 0× 21 + 0

Lo que se escribe como 111000 (base 2).



Ejemplo

b = 2, n = 112





Ejemplo

b = 2, n = 112





Tarea para la próxima semana

Tratar de resolver alguno de los problemas de la diversión con lógica.Aquí lo importante es tratar de escribir claramente el razonamiento.Incluso, si no puede resolver el problema, vale la pena escribir losintentos que hizo y los argumentos que utilizó.

Leer sobre la vida de alguno de los matemáticos colombianos.

Leer sobre la historia de las matemáticas en Colombia.

Desarrollar un método para pasar un número de un sistema en base ba un número en sistema binario. ¿Qué tan eficiente es su método?




















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