Matemática Financeira - · PDF filee os juros compostos, bem como suas respectivas fór-mulas e aplicações. Tratam, também, de taxas equiva- ... juros e à Matemática Financeira

Matem

ática Financeira

Matemática Financeira

Fundação Biblioteca NacionalISBN 978-85-7638-794-7

1.ª edição

Matemática FinanceiraAlberto Suen

© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

S944 Suen, Alberto

Matemática Financeira./Alberto Suen. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2007.

176 p.

ISBN: 978-85-7638-794-7

1. Matemática Financeira 2. Juros 3. Descontos 4. Séries de pagamentos I. Título

CDD 650.01513

IESDE Brasil S.A Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR 0800 708 88 88 – www.iesde.com.br

Todos os direitos reservados.

Alberto SuenDoutor em Administração de Empresas pela Fundação Getúlio Vargas (FGV). Doutorando em Finanças pela Universidade de São Paulo (USP). Mestre em Administração pela USP. MBA em Ad-ministração de Empresas na Vanderbilt Universi-ty (EUA) e em Negócios Internacionais na Reims School of Management/Tsinghua University (China). Especialista em Administração Contábil Financeira pela FGV. Diretor regional da Profes-sional Risk Managers International Association (PRMIA) no Brasil e Diretor-Presidente da Ascent Brasil. Professor dos cursos de MBA do Ibmec São Paulo e da Fundação Instituto de Adminis-tração (FIA) e professor extracarreira da FGV.

sum

ário

sum

ário

sum

ário

sum

ário

A importância da Matemática Financeira 7

7 | Primórdios da Matemática Financeira

9 | Importância da Matemática Financeira

10 | Conceitos básicos e o valor do dinheiro no tempo

15 | Taxa de juros e regimes de capitalização e de juros

19 | Fluxos de Caixa

Taxa de juros simples 25

25 | Juros simples e capitalização simples

36 | Taxa proporcional e taxa equivalente

40 | Juro comercial e juro exato

41 | Saldo médio, prazo médio e taxa média

Taxa de juros compostos 53

53 | Juros compostos e capitalização composta

56 | Fórmulas de juros compostos

65 | Equivalência de taxa de juros compostos: taxas equivalentes

67 | Equivalência de capitais

68 | Taxa efetiva e taxa nominal

70 | Calculadoras e planilha financeira

Séries de pagamentos 85

85 | Fluxo de caixa e série de pagamento

86 | Séries de pagamentos uniformes

107 | Séries de pagamentos não uniformes

119 | Calculadoras e planilha financeira

Descontos 135

135 | Taxa de desconto x taxa de juros

138 | Desconto simples

148 | Desconto composto

Gabarito 163

Referências 175

Apresentação Matem

ática FinanceiraA Matemática Financeira está mais presente em nosso dia-a-dia do que podemos imaginar. Estamos sempre aplicando seus conceitos básicos, como o pagamento antecipado de um título, a compra de um automóvel à vista, o financiamento de um imóvel e suas parcelas, entre outros. As ferramentas da Matemática Financei-ra são de extrema importância para a tomada de deci-sões em uma empresa, trazendo maior rentabilidade e maximização dos lucros. Daí a sua importância, pois quando bem utilizada possibilita a melhor decisão de acordo com a situação financeira envolvida. O primeiro capítulo traz um breve histórico e a impor-tância da Matemática Financeira em nosso cotidiano. Alguns conceitos básicos são apresentados para uma maior familiarização dos termos utilizados no decor-rer dessa disciplina. Os dois capítulos seguintes abordam os juros simples e os juros compostos, bem como suas respectivas fór-mulas e aplicações. Tratam, também, de taxas equiva-lentes e proporcionais, taxas efetivas e nominais.O capítulo quatro versa sobre fluxos de caixa, séries de pagamentos uniformes (que podem ser classifica-das em postecipadas, antecipadas, mistas e infinitas) e séries de pagamentos não uniformes, assim como as respectivas fórmulas. O último capítulo traz o conceito de desconto simples e desconto composto, bem como seus principais tipos. Além disso, trata da importante diferenciação entre taxa de desconto e taxa de juros. É importante ressaltar que os capítulos três (juros compostos) e quatro (séries de pagamentos) trazem a utilização de calculadoras financeiras e planilhas financeiras devido ao grau de complexidade dos cálculos abordados, facilitando-os. Todos os cálculos presentes neste livro foram desenvolvidos em calcu-ladoras financeiras, por isso, pode haver diferença nos resultados dos mesmos caso o aluno utilize calculado-ras mais simples.

A importância da Matemática Financeira

Primórdios da Matemática FinanceiraA Matemática Financeira está presente no cotidiano da humanidade

desde a Antiguidade, e seus princípios, de forma aprimorada, perduram até os dias atuais. A Matemática foi, paulatinamente, sendo utilizada para o comércio e para as finanças em decorrência da necessidade de melhor en-tendimento entre as atividades de troca. A idéia de “juros” apareceu natural-mente a partir do momento em que o homem constatou a relação entre o capital e o tempo.

O homem percebeu que a moeda possuía um valor temporal, ou seja, um capital emprestado (ou adquirido) representava um recurso que deixou de ser investido em algo e por isso merecia uma “remuneração” adicional que justificasse o empréstimo, uma espécie de compensação. Assim sendo, as políticas relativas a juros foram ajustadas conforme o período da história, entretanto, mesmo na atualidade é possível identificar os resquícios das prá-ticas antigas.

Na Antiguidade, os juros eram pagos através de sementes ou de outros bens agrícolas ou pecuários. Os empréstimos de sementes eram pagos na próxima colheita, num prazo de um ano, e por isso, o cálculo dos juros era realizado numa base anual, o que demonstra a idéia do prazo de pagamento.

Inicialmente, as relações comerciais eram efetuadas pelo escambo (troca) de mercadorias, o que resultou numa necessidade de estabelecer um siste-ma de equivalência e definir alguns padrões econômicos e de unidade. A partir disso era possível estimar um valor econômico e, conseqüentemente, facilitar a comercialização. Esse processo de desenvolvimento comercial de-mandava a padronização dos valores e nesse sentido a utilização de metais foi um dinamizador da economia, tornando-se futuramente a “moeda de troca” oficial.

A origem das instituições bancárias está estreitamente relacionada aos juros e à Matemática Financeira como um todo. Durante o auge do Renas-

8


cimento comercial e no decorrer das guerras de conquistas de terras, as moedas das diversas nações (países) eram cambiadas com bastante freqüên-cia, isso porque dentro de um determinado país somente poderia ser utiliza-da a moeda vigente naquela localidade. Assim sendo, comerciantes, viajan-tes, pessoas de um modo geral, quando viajavam para o exterior precisavam adquirir a moeda local. Posteriormente, os comerciantes e investidores pas-saram a acumular essas moedas estrangeiras e a se dedicar unicamente para o câmbio monetário.

Para a retirada de empréstimo ou troca de moedas eram cobrados juros, ou seja, uma remuneração pelo capital emprestado e, em alguns casos, essa remuneração já considerava o risco do atraso ou pior o do “não-pagamento”. O cambista ficava alocado sentado num banco de madeira próximo ao mer-cado, e justamente dessa situação originou-se o nome banqueiro e banco (como sinônimo de capital).

Vale ressaltar que os primeiros bancos estão atrelados à Igreja, ou melhor, foram criados pelos sacerdotes. No século XII surgiu o primeiro banco priva-do que foi fundado, em Veneza, pelo Duque Vitali. Nos séculos seguintes até o XV, o crescimento dos bancos privados foi bastante significativo, gerando uma rede bancária estruturada. Como conseqüência disso, a Igreja acabou tendo suas atividades bancárias atingidas e reduzidas drasticamente. Esse desenvolvimento bancário impulsionou a evolução da Matemática Comer-cial e Financeira, servindo de mola propulsora para as atividades econômico-financeiras existentes nos dias de hoje.

A Matemática Financeira da atualidade resulta das transformações e ne-cessidades de padronizar, mensurar e avaliar empréstimos, investimentos, bem como previsões de movimentação de capital no mercado, descontos, resultados dos investimentos (valor futuro) etc.

Todas essas atividades fazem parte do cotidiano das pessoas, tanto direta quanto indiretamente. Isso significa que quando uma pessoa compra um sofá, uma geladeira, um carro e resolve parcelar o pagamento em prestações ou financiar, ela já está realizando algumas práticas da Matemática Financeira.

Esse conhecimento financeiro é crucial para todas as profissões e indiví-duos, pois tendo ciência do funcionamento da lógica do capital (investimen-to, retorno, empréstimo, custo etc.) é possível planejar onde, quando, quanto e como investir tanto o recurso da empresa quanto o próprio e, dessa forma, planejar e controlar o dinheiro no tempo.


9

Importância da Matemática FinanceiraA Matemática Financeira envolve mais que Matemática. Envolve conceitos

e convenções adotados pelo mercado financeiro. Por vezes, os procedimen-tos de cálculo não são explícitos nos contratos financeiros ou então exigem conhecimentos de contabilidade, estatística, econometria e finanças, além de outras áreas de estudo. Além disso, a prática mostra que a falta de teoria tende a acarretar desastres financeiros. A mera aplicação das regras usadas pelo mercado, sem maior análise do raciocínio e do contexto do que está sendo feito, prejudica o planejamento e a tomada de decisões.

Reconhece-se que a Matemática chega a ser aterrorizante para muitos estudantes. E quando vem acompanhada de termos e conceitos financei-ros, aparentemente distantes da realidade dos estudantes, pode até ocorrer retrocesso de sua capacidade de aprendizado. Assim, é preciso perceber o quanto a Matemática Financeira faz parte do dia-a-dia de todos. O dinheiro é uma preocupação fundamental para as pessoas. O que acontece com o dinheiro precisa ser dominado até por uma questão de sobrevivência.

Esse conhecimento matemático pode ser aplicado em situações corri-queiras, por exemplo, para calcular algum tipo de poupança/investimento, um pequeno negócio ou até mesmo as prestações de financiamento de um carro novo podendo optar pelo pagamento parcelado ou à vista.

Além disso, os conceitos matemáticos normalmente envolvidos na Ma-temática Financeira não chegam a ser particularmente complexos. Muitas vezes, noções de aritmética básica são suficientes para resolver os proble-mas. O fundamental é saber distinguir a lógica por trás dos termos e jargões utilizados pelo mercado financeiro. Assim como ocorre com o aprendizado de línguas, é preciso estar bem a par do significado das palavras, quando não de sua gramática, antes de se arriscar a escrever poemas. A Matemática Financeira talvez fosse melhor compreendida se fosse chamada de “Matemá-tica adotada pelo Mercado Financeiro” ou então “Matemática em Conven-ções Financeiras”.

Essa Matemática é essencial para o processo de tomada de decisões das organizações, e sua utilização, de forma adequada, possibilita um maior ren-dimento, bem como a maximização dos resultados organizacionais, avalia-ção de investimentos e negócios, além da redução e compreensão dos pro-blemas com recursos financeiros.

10


Nessas atividades econômico-financeiras existe uma relação entre o risco e o retorno. Mensurar o retorno de um investimento é uma atividade da Matemática Financeira. E a análise do risco é uma questão que impacta a tomada de decisão e diz respeito à possibilidade de não obter o resultado esperado.

Quanto maior o risco maior precisa ser o retorno para compensar o investimento.

Risco Retorno

Uma das primeiras noções a ser apreendida é a relação do dinheiro com o tempo. O dinheiro tem valor diferente ao longo do tempo, $1,00 hoje não é a mesma coisa que $1,00 daqui a um mês ou daqui a um ano. Essa consta-tação é muito importante para o nosso curso, pois a Matemática Financeira nos apresentará instrumentos para calcularmos a relação entre o valor do dinheiro e o tempo em que ele será recebido ou pago.

Conceitos básicos e o valor do dinheiro no tempoUm dos mais importantes princípios da Matemática Financeira que pre-

cisa ser devidamente compreendido é o valor do dinheiro no tempo, ou seja, o capital de hoje não tem o mesmo valor que o de amanhã. Isso quer dizer que os valores monetários se modificam ao longo do tempo, podendo ser desvalorizado ou valorizado (rendimento).

A análise do valor do dinheiro no tempo apresenta metodologias para a avaliação dos custos das operações financeiras e/ou rendimentos, possi-bilitando, dessa forma, uma tomada de decisão mais assertiva dos recursos financeiros.

Para iniciarmos esse estudo do valor do dinheiro no tempo, alguns con-ceitos básicos necessitam ser compreendidos, tais como: período, juros, principal ou valor presente, montante ou valor futuro, valor presente líquido, fluxo de caixa, capitalização, desconto, taxa real, taxa efetiva, taxa nominal, taxas equivalentes e amortização.


11

Período

O período diz respeito ao tempo/prazo em que o juro é ganho ou pago. Esse tempo pode ser apresentado em dias, meses, trimestre, semestre, ano etc. Vale ressaltar que as atividades financeiras devem prever quando e por quanto tempo se dará a cessão do recurso financeiro (data de início e fim da transação e a duração). O total de períodos é a soma de todos os períodos.

Juros

Juro é o valor ganho por ou quantia paga pelo uso do dinheiro, ou seja, é uma remuneração sobre algum valor aplicado ou emprestado. Mas por que existem os juros? Por três razões principais: para recompensar/remunerar o capital; para compensar o risco envolvido na transação financeira – atrasos, inadimplência etc. e, por fim, para atribuir valor ao tempo.

Os juros aparecem como taxa, ou seja, um coeficiente determina o índice de remuneração do capital. Essa remuneração corresponde ao valor utiliza-do por um determinado período. Essas taxas sempre se referem a uma uni-dade de tempo e podem ser apresentadas em dois formatos: taxa percentual e taxa unitária.

A taxa percentual é o valor dos juros para cada centésima parte do capi-tal: 10%, 15%.

Exemplo: um pequeno empresário está pensando em pegar um emprés-timo de $1.000,00 para investir em novos equipamentos, entretanto, a taxa de percentual é de 15% ao ano.

Nesse exemplo para calcular os juros basta usar o seguinte raciocínio:

Juros = ($1.000,00/100) . 15 = $150,00

O valor encontrado é quanto a mais terá que ser pago para poder ad-quirir o empréstimo.

A taxa unitária se firma na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade monetária em um determinado período.

No exemplo citado anteriormente, a taxa de percentual de 15% ao ano indica um rendimento de 0,15 (15%/100) por unidade de capital aplicada.

Juro = $1.000,00 . (15/100) = $150,00

12


Para transformar a taxa percentual em unitária, basta dividir a taxa per-centual por 100, e para a conversão inversa é preciso multiplicar por 100.

Exemplo:

% Unitária 5 0,05

12 0,12

18 0,18

20 0,20

50 0,50

Vale ressaltar que os juros podem ser cobrados de duas formas: simples e composta.

Juros simples: os juros são sempre aplicados sobre o valor inicial da operação, não importando o período e o valor futuro.

Exemplo: um jovem decidiu comprar um carro, mas para completar o valor da entrada ele precisou pedir emprestado para o seu pai $2.000,00. A taxa de juros ocorrerá pelos juros simples de 5% ao mês. Dessa forma, o valor a ser pago no mês subseqüente será de $2.100,00. No segundo mês $2.200,00, e no terceiro mês $2.300,00, ou seja, a taxa é sempre aplicada no valor inicial $2.000,00.

Juros compostos: os juros são aplicados sobre o saldo no início do período anterior. Isso quer dizer que os juros de cada período são incorporados ao valor inicial e passam a render juros também.

Exemplo: uma mulher pega um empréstimo de $100,00 com sua vizinha, porém esta resolve cobrar juros compostos sobre o valor do empréstimo de 5%. Se o pagamento ocorrer no mês subseqüente à aquisição do emprésti-mo, o valor a ser pago é de $105,00, se ocorrer após o segundo mês, o valor será de $110,25. No terceiro mês, o valor já estará em $115,76 e assim suces-sivamente. Ou seja, a taxa é aplicada no valor do mês anterior – no primeiro mês foi sobre o $100,00 depois sobre $105,00 etc.

Vale ressaltar que, tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pelo fato de fracionar os prazos. Na práti-ca, a maioria das transações financeiras acontece através do regime compos-to, tanto na compra de produtos como geladeira, fogão como também em


13

relatórios de financiamento de um bem que pode demorar muitos anos. En-tretanto, é importante compreender o regime de juros simples, pois é atra-vés dele e do “domínio” dessa lógica financeira que se consegue entender e aplicar os juros compostos.

Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)

É o valor financeiro no início da transação, ou seja, o capital inicialmente investido. O valor presente é o capital (investido hoje) de um pagamento que será feito no futuro. Também conhecido como: Valor Aplicado ou Valor Atual.

Montante ou Valor Futuro (M ou VF)

É o valor do dinheiro no final da transação, emprestado ao tomador acres-cido dos juros cobrados, ou seja, é a quantia para qual um fluxo ou série de fluxo de caixas crescerá por um determinado prazo quando composta a uma dada taxa de juros.

Valor Presente Líquido (VPL)

O VPL se dá através da subtração do investimento inicial do valor presen-te das entradas de caixa, descontadas a uma taxa igual ao custo de capital da empresa.

VPL = investimento inicial – valor presente das entradas de caixa

É uma técnica sofisticada de análise de orçamentos de capital, que des-conta os fluxos de caixa da empresa a uma taxa definida. Essa taxa, geral-mente denominada de taxa de desconto, custo de oportunidade ou custo de capital, refere-se ao retorno mínimo que deve ser obtido por um projeto, de forma a manter inalterado o valor de mercado da empresa.

Linha do tempo: fluxo de caixa

De acordo com Weston (2000), uma das ferramentas mais importantes na análise do valor do dinheiro é a linha de tempo, que é aplicada para auxiliar na visualização do que está acontecendo na situação proposta. É uma repre-sentação gráfica empregada para ilustrar o timing dos fluxos de caixa.

0 1 2 3 4 5Tempo

14


O tempo 0 é o hoje, o tempo 1 é o prazo a partir de hoje, o tempo 2 são dois períodos a partir de hoje e assim sucessivamente. Observe que cada marca corresponde ao final de um período. Assim sendo, os fluxos de caixas são colocados diretamente abaixo das marcas de corte e as taxas de juros são mostradas diretamente acima da linha de tempo. Fluxo de caixa são os movimentos monetários identificados através de um conjunto de entradas e saídas.

0 1 2 3 4 5

Tempo

Fluxo de caixa–500,00

10%

É importante ressaltar que nos fluxos de caixa ocorrem entradas (um de-pósito, um custo ou uma quantia paga) e saídas (um recebimento), e a sua utilização permite que se visualize no tempo o que ocorre com o capital. Ainda neste capítulo será explicado mais sobre esse assunto.

Capitalização

É o processo aritmético que define o valor final de um fluxo de caixa ou de uma série de fluxo de caixa quando os juros compostos são aplicados.

Desconto

É o processo que define o valor presente de um fluxo ou uma série de fluxos de caixa. Ou seja, é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado avaliado n períodos antes do seu vencimento. É o processo inverso da capitalização. As operações de desconto podem ocor-rer tanto no regime de juros simples quanto no de compostos. Assim sendo pode-se ter:

Desconto simples: geralmente utilizado nas operações de curto prazo. Dentro dessa categoria existem dois tipos: o desconto racio-nal (“por dentro”) e o desconto bancário (“por fora” ou comercial).

Desconto composto: utilizado normalmente em operações de longo prazo. Também apresenta as mesmas categorias que o des-conto simples.

Taxa Real

Taxa calculada com base em todos os encargos do desconto bancário.


15

De acordo com Assaf (2001), em um contexto inflacionário devem ser iden-tificadas na taxa nominal (prefixada) uma parte devida à inflação, e outra identificada como legítima, real, que reflete “realmente” os juros que foram recebidos e pagos.

Taxa Efetiva

É a taxa que apresenta a mesma unidade de tempo dos períodos de capi-talização. Exemplo: 100% ao ano, com capitalização anual.

Taxa Nominal

É a taxa oferecida ou contratada, ou seja, é a taxa de juros adotada nor-malmente nas transações correntes de mercado, englobando efeitos da inflação já previstos para o período de duração da operação. É empregada em uma unidade de tempo que não coincide com os períodos de capitaliza-ção. Geralmente, a taxa nominal é apresentada na unidade de tempo anual. Exemplo 15% ao ano, com capitalização mensal.

Taxas Equivalentes

Taxa equivalente é a própria taxa de proporção da transação financeira. Ou seja, taxas que se equivalem em retorno, mesmo apresentando prazos e valores diferentes.

Regra básica: de acordo com Assaf (2001), nas fórmulas financeiras, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem estar especificados na mesma unidade de tempo.

Amortização

Conforme Assaf (2001), a amortização está relacionada exclusivamente ao pagamento do valor presente, o qual é efetuado, normalmente, mediante parcelas periódicas (mensais, trimestrais, semestrais e anuais). Alguns poucos tipos de empréstimos possibilitam que o capital emprestado seja amortiza-do por meio de um único pagamento ao final do período.

Taxa de juros e regimes de capitalização e de juros A relação entre o valor do dinheiro e o tempo em que ele é pago ou re-

cebido depende da taxa de juros, de seu regime de juros e de seu regime de capitalização. A taxa de juros funciona como o preço do dinheiro, ou seja, é

16


essa taxa que remunera o dinheiro aplicado à medida que o tempo passa. Os regimes de juros e de capitalização nos mostram a forma como a taxa de juros deve incidir sobre o montante aplicado.

Considere o seguinte problema:

Antônio é casado com Maria, ele tem 30 anos e ela 28. O casal tem dois filhos. Ambos trabalham e a renda familiar é de $5.000,00 por mês, o que lhes permite poupar cerca de $500,00 por mês. Caso o casal poupe esse valor mensal por 30 anos, quanto esse casal terá de renda mensal, supondo que receberão um valor, mensalmente, por mais 20 anos?

Temos que saber interpretar e selecionar as informações do texto que são necessárias para uma resposta adequada, além de efetuar algumas suposi-ções. Se não fizermos suposições, o problema não tem solução.

Nada é dito se a renda mensal de $5.000,00 irá se manter mesmo depois de 30 anos ou se os filhos irão contribuir com a renda do casal. Pode ser que as idades relacionadas sugiram que o casal se aposente e que passe a viver da poupança acumulada, mas isso já é uma suposição.

Assim, aceitemos que, para ter uma solução para o problema, temos duas pessoas que planejam poupar determinada quantia durante dado tempo e depois vão gastar o total poupado ao longo de outro dado tempo. Não im-portam o nome ou tamanho da família nem mesmo o total da renda familiar. Não importa questionar do que vão viver Antônio e Maria daqui a 50 anos, depois que eles tiverem, respectivamente, 80 e 78 anos de idade e tiverem gasto toda a poupança. Importam apenas a quantia poupada por período, a duração do período de referência, o número de períodos de poupança e o número de períodos em que essa poupança será gasta.

A quantia poupada é $500,00 ao mês. A pergunta sobre a renda também se refere a período mensal. O número de meses de poupança em 30 anos é 12 vezes 30, isso é, 360 meses. O número de meses em que a poupança será gasta é 12 vezes 20, isto é, 240 meses.

Como o enunciado do problema não informa se o dinheiro poupado é re-munerado por alguma instituição bancária ou financeira depositária de pou-pança – podendo, por exemplo, ser simplesmente escondido debaixo do col-chão da cama do casal –, então a solução é multiplicar $500,00 por 360 meses e depois, com a suposição adicional de que a renda mensal derivada da pou-pança seja sempre igual ou uniforme, dividir o resultado por 240 meses.


17

Poupança acumulada: $500,00 a.m. . 360 meses = $180.000,00

Despoupança mensal: $ . ,

$ , . .180 000 00240

750 00 meses

= a m.

Assim, ao final de 30 anos, o casal terá acumulado $180.000,00. Pelos pró-ximos 20 anos, o casal pode gastar $750,00 por mês, antes de esgotar sua poupança.

Mas se isso realmente se suceder, então o casal terá perdido a oportuni-dade de aplicar sua poupança e obter mais dinheiro para o seu conforto, sem falar da possibilidade que o valor do dinheiro seja corroído pela inflação.

Vamos supor, então, que há uma taxa de juros que remunera a poupan-ça. A taxa de juros é o preço do dinheiro aplicado ou emprestado ao longo do tempo. Assim, ela é expressa em forma de taxa por período, sendo que costumamos abreviar da seguinte forma: ao mês por “a.m.” e ao ano por “a.a.”. Por exemplo: 0,5% a.m. quer dizer que o preço do dinheiro será de 0,5% do montante ao mês (calculando-se temos o valor $2,50).

Voltando ao problema, vamos supor mais ainda e determinar que a taxa de juros seja mesmo de 0,5% ao mês. Ou seja, meio por cento de $500,00 será pago ao aplicador pela instituição que recebe a poupança depois que esses $500,00 ficarem depositados por um mês. Em termos monetários, será pago 0,005 vezes $500,00 ao final de um mês.

Cabe observar que não é raro encontrar estudantes que tenham dificul-dade para pensar e calcular em termos de porcentagem e proporções. Para estes, recomenda-se a leitura do Ampliando seus conhecimentos ao final do capítulo.

Entretanto, podemos nos perguntar como esses $2,50 serão somados ao total da poupança. Alertamos que a resposta não é tão óbvia assim. Afinal, esses $2,50 vão ser simplesmente acumulados à parte e depois entregues ao aplicador ao fim de dado prazo? Esses $2,50 serão multiplicados por 360 meses? A taxa de juros irá também remunerar esses $2,50 junto com o que já tiver sido poupado? Além disso, a taxa de juros de 0,5% incide apenas sobre $500,00? A poupança acumulada não deveria render juros?

Somente a informação da taxa de juros não é suficiente. Precisamos então definir o regime de juros.

18


O regime de juros se relaciona à base de incidência dos juros. Conforme já comentado anteriormente, no regime de juros simples, a taxa de juros incide apenas sobre o capital aplicado inicialmente, e no regime de juros compos-tos, a taxa de juros incide tanto sobre o capital inicial quanto sobre os juros agregados a esse capital.

Mas isso ainda não é suficiente. Precisamos definir o regime de capitalização.

O regime de capitalização se relaciona ao tempo em que os juros devem ser incorporados ao capital. No regime de capitalização periódica, os juros são agregados apenas ao final do prazo definido na taxa de juros. No regime de capitalização contínua, os juros são agregados ao principal a cada unida-de infinitesimal de tempo, o que obriga a que recalculemos o juro.

Agora, passemos a mais dois problemas:

Renata deseja adquirir um automóvel novo e o vendedor lhe afirma que o veículo custará $20.000,00 à vista. Se for a prazo, o automóvel poderá ser financiado com juros de 0,5% ao mês. Para um financiamento de 24 meses, qual seria o valor mensal a ser pago por Renata?

José está enfrentando um dilema: aplicar a sua poupança de $200.000,00 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB) que paga 1% ao mês e reno-vá-lo mês a mês ou aplicar em um novo negócio que promete, após 6 meses, um saque de $2.500,00 mensais. José entende que os níveis de risco pare-cem ser diferentes nos dois exemplos. Como tomar uma decisão adequada?

Mais uma vez, precisamos de conceitos, informações e suposições adicio-nais. No primeiro problema, precisamos saber, pelo menos, se haverá paga-mento de entrada no financiamento e se o valor das prestações será cons-tante. No segundo problema, precisamos saber de algumas características do CDB, por quanto tempo o novo negócio irá render $2.500,00 mensais e a que se referem os riscos entendidos por José. Em ambos os problemas, pre-cisamos das regras da Matemática Financeira para efetuar os cálculos.

De qualquer forma, os exemplos mostram que no dia-a-dia enfrentamos situações tanto na vida pessoal como na vida profissional que, para serem resolvidos, necessitam do instrumental da Matemática Financeira.


19

Fluxos de CaixaApenas para finalizar a relação entre dinheiro e tempo, vamos reforçar o

conceito de fluxo de caixa, lembrando que para melhor esquematização dos problemas de Matemática Financeira, muitas vezes é útil pensar em termos de fluxos de caixa. Os fluxos de caixa são os conjuntos de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.

Os diagramas de fluxos de caixa são esquemas que representam valores monetários ao longo do tempo.

Por exemplo:

$ $

$ $ $

O esquema representa o recebimento de valores representados pelas flechas ao longo do tempo, representado pela linha horizontal. A seta para cima, por convenção geralmente aceita, representa a entrada de valores em nosso caixa. A seta voltada para baixo representa a saída de valores de nosso caixa. Naturalmente, isso depende do ponto de vista de qual caixa está sendo referido.

Por exemplo, voltando ao problema de Antônio e Maria, com a solução sem juros, temos como diagrama de fluxo de caixa possível:

$500,00 $500,00 $500,00 $500,00

mês1 2 3 360

$750,00 $750,00 $750,00

361 362 600

20


Os fluxos de caixas podem ser identificados de diversas maneiras e tipos em termos de período de ocorrência (postecipados, diferidos ou antecipa-dos), de valores (variáveis ou constantes), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes) e de duração (limitados ou indeferidos).

Tipos de fluxo de caixa

Período de ocorrênciaPostecipados

Antecipados

Diferidos

PeriodicidadePeriódicos

Não-periódicos

DuraçãoLimitados (finitos)

Indefinidos (infinitos)

ValoresConstantes

Variáveis

De acordo com Zdanowicz (1998, p. 19), o fluxo de caixa pode ser defi-nido como:

[...] instrumento que permite ao administrador financeiro planejar, organizar, coordenar, dirigir e controlar os recursos financeiros [...] para um determinado período [ou ainda] [...] é um instrumento que relaciona o conjunto de ingressos e desembolsos de recursos financeiros pela empresa em determinado período.

É importante salientar que esse instrumento pode ser utilizado em diver-sos períodos tais como meses, semestres, anos etc. Além disso, possibilita avaliar o reflexo de uma despesa nova ou até mesmo de uma diminuição de receita na estrutura financeira.

Ampliando seus conhecimentos

Cálculo com porcentagens e proporções

Basicamente, “por cento” significa algo dividido por 100. Por exemplo:

10% significa 10 dividido por 100, ou seja, 0,1

1% é igual a 0,01 e 0,1% é igual a 0,001

100% é igual a 1

200% é igual a 2


21

Porém, mais que uma questão de notação, o cálculo com porcentagens envolve cálculo com proporções. Assim, 10% de $100,00 é igual a $10,00; e 10% de $199,00 é igual a $19,90.

Para resolver problemas de proporções, alguns estudantes ainda usam regra de três. Porém, esse é um procedimento demorado. É mais rápido multi-plicar a porcentagem, em número real, pelo valor em questão. Por exemplo:

10% de $100,00 : 0,1 . $100,00 = $10,00

10% de $199,00 : 0,1 . $199,00 = $19,90

25% de $5.000,00 : 0,25 . $5.000,00 = $1.250,00

48,5% de $2.000,00 : 0,485 . $2.000,00 = $970,00

Geralmente, mesmo que o enunciado dos problemas de Matemática Fi-nanceira esteja expresso em porcentagem, as contas para sua solução devem ser feitas com os números reais.

Quando se soma ou se subtrai proporções de um valor – isto é, quando se aplica uma taxa de variação sobre um valor –, é mais rápido multiplicarmos pelo fator de variação em questão. Sua forma básica é

Fator de variação = (1 + taxa de variação)

Há outras formas possíveis, mas a exposta acima, por enquanto, nos é con-veniente. Por exemplo:

$25.000,00 mais 40% de $25.000,00 : $25.000,00 + 0,40 . $25.000,00 = $25.000,00 . (1 + 0,40) = $35.000,00

$4.200,00 mais 15% de $4.200,00 : $4.200,00 . (1 + 0,15)

= $4.830,00

$3.360,00 mais 12% de $3.360,00 : $3.360,00 . 1,12 = $3.763,20

$8.000,00 menos 35% de $8.000,00 : $8.000,00 – 0,35 . $8.000,00 = $8.000,00 . (1 – 0,35) = $5.200,00

$370,00 menos 0,5% de $370,00 : $370,00 . (1 – 0,005) = $368,15

O estudante deve estar alerta quando se envolvem alterações da base de cálculo. Por exemplo: uma quantia que varia 10% e depois cai em 10%, não volta à mesma quantia inicial.

22


Atividades de aplicação1. Assinale a afirmativa correta.

a) No regime de juros simples, a taxa de juros incide sobre o montan-te final resultante de uma aplicação inicial.

b) No regime de juros simples, a taxa de juros incide sobre tanto sobre o capital inicial quanto sobre os juros agregados a esse capital.

c) No regime de capitalização periódica, os juros são agregados ape-nas ao final do prazo relacionado à incidência da taxa de juros.

d) No regime de capitalização periódica, os juros são agregados a cada unidade infinitesimal de tempo.

e) No regime de capitalização contínua, os fluxos de caixa são perpe-tuidades.

2. Assinale a afirmativa incorreta.

a) O preço do dinheiro é expresso pela taxa de juros.

b) A remuneração do dinheiro aplicado ao longo do tempo é expres-sa pela taxa de juros.

c) Perpetuidades são fluxos de caixa infinitos.

d) Em um diagrama de fluxo de caixa, entradas e saídas de caixa pos-suem direções opostas.

e) O valor do dinheiro sempre se mantém constante ao longo do tempo.

3. Para dado período, assinale o valor do juro de uma quantia de $850,00 quando a taxa de juros é 5%.

a) $0,43

b) $4,25

c) $42,50

d) $425,00

e) $425,50


23

4. Para dado período, calcule a taxa de juros de uma quantia de $760,00 se o valor do juro é $80,00.

a) 1,05% ou 0,0105

b) 1,05% ou 0,00105

c) 10,5% ou 0,105

d) 10,5% ou 0,0105

e) 10,5% ou 0,00105

Documents

Matemática Financeira - · PDF filee os juros compostos, bem como suas respectivas fór-mulas e aplicações. Tratam, também, de taxas equiva- ... juros e à Matemática Financeira