Matemática - mined.gob.sv de... · El programa de estudio de Matemática para Educación Media presenta una propuesta curricular que responde a las interrogan - tes que toda maestra

Educación Media Matemática

Educación Media Matemática

Ing. Carlos Mauricio Canjura LinaresMinistro de Educación

Lic. Óscar de Jesús Águila ChávezDirector Nacional de Educación Media (Tercer Ciclo y Media)

Director del Proyecto ESMATE

Ing. Wilfredo Alexander Granados PazGerente de Gestión y Desarrollo Curricular de Educación Media

Coordinador del Proyecto ESMATE

Equipo técnico autoral y de diagramación del Ministerio de Educación

Coordinadora del diseño y revisión técnicaAna Ester Argueta Aranda

Corrección de estilo Marlene Elizabeth Rodas Rosales

Lic. Francisco Humberto CastanedaViceministro de Educación

Dra. Erlinda Hándal VegaViceministra de Ciencia y Tecnología

Lic. Félix Abraham Guevara MenjívarJefe del Departamento de Educación en Ciencia Tecnología e Innovación (Matemática)

Coordinador del equipo de Tercer Ciclo y Bachillerato, Proyecto ESMATE

Lic. Gustavo Antonio Cerros UrrutiaJefe del Departamento de Especialistas en Currículo de Educación Media

Coordinador del equipo de Educación Básica, Proyecto ESMATE

▪ Ana Ester Argueta Aranda▪ Diana Marcela Herrera Polanco

▪ Francisco Antonio Mejía Ramos▪ César Omar Gómez Juárez

Diseño y revisión de diagramación Judith Samanta Romero de Ciudad Real

Primera edición, 2018.Derechos reservados. Prohibida su venta y su reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del MINED.

372.704 4M893 Matemática : programa de estudio [recurso electrónico] : edu-

cación media / equipo técnico autoral Ana Ester Argueta Aranda, Diana Marcela Herrera Polanco, Francisco Mejía Ramos, César Omar Gómez Juárez. -- 1a ed. -- San Salvador, El Salv. : MINED, 2018.

1 recurso electrónico, (290 p. : il. ; 30x23 cm.) Datos electrónicos (1 archivo : pdf, 3.5 mb).-- www.mined.gob.sv/index.php/esmate. ISBN 978-99961-70-56-0 (E-book) 1. Matemáticas-Enseñanza-Programas. 2. Métodos de enseñanza.

I. Argueta Aranda, Ana Ester, 1991-, equipo técnico autoral. II. Título.

BINA/jmh

Estimadas maestras y maestrosReciban un saludo cordial y nuestro más sincero respeto y agradecimiento por el trabajo que realizan día con día.

Desde la administración del Ministerio de Educación (MINED), hemos dado pasos muy concretos para fortalecer y acompa-ñar la labor docente que ustedes realizan y en coherencia con los ejes estratégicos del Plan Nacional de Educación en Fun-ción de la Nación, particularmente con el fortalecimiento de la matemática, hemos visto oportuno robustecer la propuesta de formación con la creación de libros de texto y programas de estudio actualizados.

El equipo que ha liderado este proyecto denominado Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemática en Educación Bá-sica y Educación Media (ESMATE), ha sido conformado por especialistas en el área, comprometidos por dar una respuesta educativa que ayude a todos a la mejor comprensión de los saberes matemáticos. Dicho equipo ha tenido como apoyo la experiencia de docentes que trabajan con la asignatura de matemática en todo el país.

Tenemos claridad y convicción para afirmar que el apoyo a la enseñanza de la matemática generará para nuestro país una sociedad capaz de resolver eficiente y oportunamente problemas complejos que se presentan en el diario vivir, construyen-do así un país más educado y productivo.

Les invitamos a que consideren este programa de estudio como una herramienta fundamental para el desarrollo de sus clases.

Una vez más, agradecemos toda la labor docente que realizan.

Carlos Mauricio Canjura LinaresMinistro de Educación

Francisco Humberto CastanedaViceministro de Educación

Erlinda Hándal VegaViceministra de Ciencia y Tecnología

ÍndiceI. Introducción del programa de estudio de MatemáticaparaEducaciónMedia ...............................1

II. PlandeestudiodeMatemáticaparaEducaciónMedia ...................................................................................... 5

IV. Lineamientos metodológicos ...................................... 9V. Lineamientosdeevaluación.......................................11CompetenciasyunidadesdidácticasdeEducaciónMedia..........................................................13

VI. Glosario ...................................................................... 76III. PresentacióndelaasignaturadeMatemática ...................................................................................... 6

Componentes curriculares ........................................................................ 1

a. Competencias de unidad.................................................................... 1

b. Contenidos......................................................................................... 1

b.1Contenidosprocedimentales.....................................................b.2Contenidosactitudinales...........................................................

12

c.Evaluación........................................................................................... 2

Descripciónypresentacióndelformatodeunaunidaddidáctica.............. 2

Enfoquedelaasignatura:Resolucióndeproblemas.................................. 6

Competencias transversales a desarrollar .................................................. 6

a.Razonamientológicomatemático..................................................... 6

b.Comunicaciónconlenguajematemático.......................................... 6

c.AplicacióndelaMatemáticaalentorno............................................ 6

Ejestransversales...................................................................................... 5

Bloquesdecontenido................................................................................. 6

Relacióndeunidadesdidácticasybloquesdecontenidodeprimerañodebachillerato ................................................................................................. 7

Relacióndeunidadesdidácticasybloquesdecontenidodesegundoañodebachillerato ................................................................................................. 8

Competenciasdeprimerañodebachillerato........................................ 13

Unidadesdelprogramadeprimerañodebachillerato......................... 14

Competenciasdesegundoañodebachillerato..................................... 47

Unidadesdelprogramadesegundoañodebachillerato...................... 48

El programa de estudio de Matemática para Educación Media presenta una propuesta curricular que responde a las interrogan-tes que toda maestra o maestro se hace al planificar sus clases.

Este programa de estudio está diseñado a partir de componen-tes curriculares y se desarrolla en el siguiente orden:

• Descripción de las competencias y el enfoque que orienta el desarrollo de la asignatura.

• Presentación de los bloques de contenido que responden a los objetivos de la asignatura y permiten estructurar las unida-des didácticas.

• El componente de metodología ofrece recomendaciones específicas que perfilan una secuencia didáctica. Describe cómo formular proyectos en función del aprendizaje de com-petencias.

• La evaluación se desarrolla por medio de sugerencias y crite-rios aplicables a las funciones de la evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

Finalmente, se presentan de manera articulada las competencias de unidad, contenidos e indicadores de logro por unidad didácti-ca en cuadros similares a los formatos del plan de unidad. Aunque el programa de estudio desarrolle los componentes curriculares,

no puede resolver situaciones particulares de cada aula; por lo tanto, se debe desarrollar de manera flexible y contextualizada.

Componentes curricularesa. Competencias de unidad. Están estructuradas en función del

logro del conocimiento, por ello se formulan de modo que orientan a una acción. Posteriormente se enuncian concep-tos, procedimientos y actitudes como parte de la competen-cia para articular los tres tipos de saberes. Al final se expresa el “para qué” o finalidad del aprendizaje, conectando los con-tenidos con la vida y las necesidades del alumnado.

b. Contenidos. El programa de estudio propicia mayor compren-sión de la asignatura a partir de sus fuentes disciplinares, ya que presenta los bloques de contenido de forma descriptiva, los contenidos contribuyen al logro de los objetivos por medio de las competencias. El autor español Antoni Zabala1 define los contenidos como: “El conjunto de habilidades, actitudes y conocimientos necesarios para el desarrollo de las compe-tencias”. Se pueden integrar en tres grupos según estén re-lacionados con: el saber, el saber hacer y el ser; es decir, los contenidos conceptuales (hechos, conceptos, sistemas con-ceptuales), los contenidos procedimentales (habilidades, téc-nicas, métodos, estrategias, etcétera), y los contenidos actitu-dinales (actitudes, normas y valores). Estos contenidos tienen la misma relevancia, ya que sólo integrados reflejan la impor-tancia articulada del saber, saber hacer, saber ser y convivir. Merecen especial mención los contenidos procedimentales por el riesgo de que se entiendan como metodología.

b.1. Los contenidos procedimentales no son nuevos en el cu-rrículo, ya que la dimensión práctica o de aplicación de los conceptos se ha venido potenciando desde hace varias décadas.

I. Introducción del programa de estudio de Matemática para Educación Media

1Zabala, A. (s.f). Marco Curricular. Documento de referencia y consulta para el Ministerio de Educación., p. 21

Competencias/Objetivos

Contenidos

Orientación sobre metodología

Orientación sobre evaluación /Indicadores de

logro

Componentes curriculares

¿Para qué enseñar?

¿Qué debe aprender el estudiantado?

¿Cómo enseñar?

¿Cómo, cuándo y quéevaluar?

Interrogantes

1

2 3

Al darles la categoría de contenidos procedimentales “quedan sujetos a planificación y control, igual como se preparan adecuadamente las actividades para ase-gurar la adquisición de los otros tipos de contenidos”2.

b.2. Los contenidos actitudinales deberán planificarse igual que los contenidos conceptuales y procedimentales, por tener la misma importancia. Las personas compe-tentes tienen conocimientos y los aplican con determi-nadas actitudes y valores.

La secuencia de contenidos presentada en los progra-mas de estudio es una propuesta orientadora para or-denar el desarrollo, pero no es rígida. Sin embargo, si se considera necesario incluir contenidos nuevos, desarro-llar contenidos de grados superiores en grados inferiores, o viceversa se deberá tomar un acuerdo en el Proyecto Curricular de Centro (PCC) que respalde dicha decisión.

c. Evaluación. En este programa de estudio se hace énfasis en los indicadores de logro3, debido a que estos son evidencias del desempeño esperado en relación con los objetivos y conteni-dos de cada unidad. Su uso para la evaluación de los apren-dizajes es muy importante ya que señalan el desempeño que debe evidenciar el alumnado y que deben considerarse en las actividades de evaluación y de refuerzo académico.Los docentes deben comprender el desempeño descrito en el indicador de logro y hacer las adecuaciones pertinentes para atender las diversas necesidades del alumnado. Sin em-bargo, modificar un indicador implica un replanteamiento en los contenidos (conceptuales, procedimentales, y actitudina-les), por lo tanto se recomienda discutirlo con otros colegas del centro y con la directora o el director, para acordarlo en el PCC.

El programa de estudio presenta los indicadores de logro nume-rados de acuerdo con un orden correlativo por cada unidad di-

dáctica. Por ejemplo, 2.1 es el primer indicador de la unidad 2, y el número 5.3 es el tercer indicador de la unidad 5. Refuerzo académico. Se insiste en utilizar los resultados de la eva-luación para apoyar los aprendizajes del alumnado. Por lo tanto, los indicadores de logro deberán guiar al docente para ayudar, orientar y prevenir la deserción y la repetición. Al describir los desempeños básicos que se espera lograr en un grado especí-fico, los indicadores de logro permiten reconocer la calidad de lo aprendido, el modo cómo se aprendió y las dificultades que enfrentaron los estudiantes. Así se puede profundizar sobre las causas que dificultan el aprendizaje, partiendo de que muchas veces no es por descuido o incapacidad del alumnado.

Descripción y presentación del formato de una unidad didáctica• El número y nombre de unidad: describe los datos generales.• Tiempo asignado para la unidad: contiene el número de horas

asignadas a esa unidad.• Competencias de unidad: lo que se espera que alcancen los

alumnos y las alumnas. • Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales:

incluyen los conceptos, procedimientos y actitudes que las alumnas y alumnos deben adquirir como parte del proceso de enseñanza-aprendizaje.

• Los indicadores de logro: son una evidencia de que el alumna-do está alcanzando las competencias.

• Conceptos claves: contiene los elementos más importantes de la unidad.

• Notación: se presentan los que se han utilizado en la unidad.

2Ibíd.,p. 103.3Para mayor información, leer el documento Evaluación al servicio del aprendizaje y del desarrollo. Ministerio de Educación. San Salvador, 2015.

2 3

Indicadores de logro

Tiempo asignado para la unidad

Contenidos conceptuales

Contenidos procedimentales

Número y nombre de la

unidad

CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES

COMPETENCIA DE UNIDAD

CONTENIDOS INDICADORES DE LOGRO

Utilizar las propiedades de los números reales: orden, escritura y operaciones; para resolver problemas.

Operaciones con raíces cuadradas ▪ Descomposición de los radicandos en sus factores primos.

1.1 Efectúa operaciones elementales con raíces cuadradas.

▪ Multiplicación utilizando la propiedad distributiva y productos notables.

1.2 Efectúa operaciones combinadas con raíces cuadradas.

Racionalización ▪ Aplicación del producto de raíces cua-dradas.

1.3 Racionaliza fracciones con denominador a.

▪ Multiplicación por el conjugado del de-nominador.

1.4 Racionaliza fracciones con denomina-dor a ± b o a ± b.

Número neperiano y áureo ▪ Estimación de los números neperiano y áureo utilizando expresiones algebraicas y construcciones geométricas.

1.5 Realiza cálculos de los números neperiano y áureo.

Números reales-Recta numérica-Números decimales

▪ Comparación y clasificación de números reales usando la recta numérica.

1.6 Ubica los números reales en la recta nu-mérica.

▪ Clasificación de números decimales como periódicos y no periódicos.

1.7 Clasifica los números decimales en racio-nales e irraciones.

Números reales1Tiempo probable: 10 horas

Competencia de unidad

4 5

Notación

Contenidos actitudinales

Conceptos claves



ACTITUDINALES

Valor absoluto ▪ Utilización de la función valor absoluto. 1.8 Calcula el valor absoluto de números rea-les.

Intervalos ▪ Representación de intervalos utilizando la recta numérica.

1.9 Representa intervalos en la recta numéri-ca o en la notación de conjunto.

Raíz cuadrada Racionalización Recta numérica Función valor absoluto

Raíces cuadradas Número real Número decimal Intervalos

▪ Seguridad al operar las raíces cuadradas.▪ Claridad al identificar los números reales como los puntos de la recta numérica o como los números decimales.▪ Confianza al representar los intervalos en la recta numérica o en la notación de conjunto.

Conceptos claves

Notación

Raíz cuadrada del número a: Número áureo: ϕ Número neperiano: e Números decimales periódicos: –0.7 = –0.777...

Conjunto de los números racionales: ℚ Conjunto de los números reales: ℝ Valor absoluto:|| Intervalo abierto: ]–2, 3[

a

4 5

II. Plan de estudio de Matemática para Educación MediaA continuación se presenta la cantidad de horas clase por cada grado de Educación Media:

La cantidad de horas clase necesarias para desarrollar todos los contenidos de las unidades didácticas es de 192, por lo que las 48 horas restantes los docentes pueden utilizarlas para realizar evaluaciones, capacitaciones y otras actividades que el Ministe-rio de Educación o el centro educativo requiera.

Para implementar el plan de estudios, se deberán realizar ade-cuaciones curriculares en función de las necesidades de los es-tudiantes y de las condiciones del contexto. Esta flexibilidad es posible gracias al PCC, en el que se registran los acuerdos de los docentes de un centro escolar sobre los componentes curricu-lares, a partir de los resultados académicos del alumnado, de la visión, misión y diagnóstico del centro escolar escrito en su Pro-yecto Educativo Institucional.

Las maestras y los maestros deberán considerar los acuerdos pe-dagógicos del PCC y la propuesta de los programas de estudio como insumos clave para su planificación didáctica. Ambos ins-trumentos son complementarios.

Ejes transversales son contenidos básicos que deben incluirse oportunamente en el desarrollo del plan de estudio. Contribuyen a la formación integral del educando, ya que a través de ellos se consolida “una sociedad democrática impregnada de valores, de respeto a la persona y a la naturaleza, constituyéndose en

horas semanales

horas anuales

horas semanales

horas anuales

6 240 6 240

PrimerAño

4Ministerio de Educación (1999). Fundamentos curriculares de la Educación Nacional. El Salvador., p. 115-116.

orientaciones educativas concretas a problemas y aspiraciones específicas del país”4.

Los ejes que el currículo salvadoreño presenta son:• Educación en derechos humanos• Educación ambiental• Educación en población• Educación preventiva integral• Educación para la igualdad de oportunidades• Educación para la salud• Educación del consumidor• Educación en valores

SegundoAño

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III. Presentación de la asignatura de MatemáticaLa asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades intelectuales, como: el razonamiento lógico y flexi-ble, la imaginación, la inteligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad, entre otras. Estas capacidades tienen una aplica-ción práctica en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Enfoque de la asignatura: Resolución de pro-blemas

El enfoque de la asignatura responde a la naturaleza de la Ma-temática: resolver problemas en los ámbitos científicos, técnicos, sociales y de la vida cotidiana. En la enseñanza de la matemáti-ca se parte de que, en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento que puede utilizarse siempre.

En este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida, más que un simple requisito de promoción. Por tanto, el docente debe generar situaciones en que el estudiantado explore, aplique, argumente y analice los conceptos, procedimientos algebraicos, algoritmos; sistematice e interprete información, y otros tópicos matemáticos acerca de los cuales debe aprender.

Competencias transversales a desarrollar

a. Razonamiento lógico matemático

Esta competencia promueve en los estudiantes la capacidad para identificar, nombrar, interpretar información, compren-der procedimientos, algoritmos y relacionar conceptos. Estos procedimientos fortalecen en los estudiantes la estructura de un pensamiento matemático, superando la práctica tradicio-nal que partía de una definición matemática y no del descu-brimiento del principio o proceso que da sentido a los saberes numéricos.

b. Comunicación con lenguaje matemático

Las notaciones y símbolos matemáticos tienen significados precisos, diferentes a los del lenguaje natural. Esta compe-tencia desarrolla habilidades, conocimientos y actitudes que promueven la descripción, el análisis, la argumentación y la interpretación utilizando el lenguaje matemático, desde sus contextos, sin olvidar que el lenguaje natural es la base para interpretar el lenguaje simbólico.

c. Aplicación de la Matemática al entorno

Es la capacidad de interactuar con el entorno y en él, apo-yándose en sus conocimientos y habilidades numéricas. Se caracteriza también por la actitud de proponer soluciones a diferentes situaciones de la vida cotidiana. Su desarrollo impli-ca el fomento de la creatividad, evitando el uso excesivo de métodos basados en la repetición.

El objetivo fundamental con el desarrollo de las competencias de unidad es fortalecer las competencias transversales, y estas a su vez, aunadas a las de las otras asignaturas, son la clave para potenciar las capacidades productivas y ciudadanas y formar así salvadore-ños comprometidos con los desafíos y necesidades de la nación.

Bloques de contenido

El programa de estudio de Educación Media está estructurado sobre la base de seis bloques de contenidos:

• Números • Geometría analítica• Álgebra • Trigonometría• Funciones • Estadística

A continuación se describen las unidades didácticas y su relación con los bloques de contenidos.

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Relación de unidades didácticas y bloques de contenido del programa actual de Primer Año de Bachillerato

Unidades Bloquedecontenido

Unidad 1: Números reales. Operaciones con raíces cuadradas, racionalización, números neperia-no y áureo, números decimales, valor absoluto de un número real, intervalo. Números

Unidad 2: Operaciones con polinomios y números complejos. Productos notables, factorización, división de polinomios, definición y operaciones con números complejos, raíces de un polinomio. Álgebra

Unidad 3: Desigualdades. Propiedades de las desigualdades, definición y solución de desigualda-des lineales, desigualdad triangular, desigualdad de las medias aritmética y geométrica, desigual-dades con expresiones racionales.

Álgebra

Unidad 4: Funciones reales. Definición y notación de funciones, función cuadrática, valor máximo y mínimo, definición y solución de desigualdades cuadráticas, otras funciones. Funciones

Unidad 5: Resolución de triángulos oblicuángulos. Razones trigonométricas para ángulos agudos, triángulos notables, ángulos de elevación y depresión, razones trigonométricas para cualquier án-gulo, identidad pitagórica, ley de los senos, ley del coseno.

Trigonometría

Unidad 6: Identidades y ecuaciones trigonométricas. Identidades trigonométricas de los ángulos –θ, 90° – θ, 180° – θ, θ + 180°, θ – 180°, 90° + θ, teoremas de la adición, del ángulo doble, del ángulo medio, solución de ecuaciones trigonométricas.

Trigonometría

Unidad 7: Vectores y números complejos. Definición de vector, operaciones con vectores, base vectorial, producto escalar, representación geométrica y forma trigonométrica de los números complejos, fórmula de Moivre.

Geometría analítica

Unidad 8: Estadística descriptiva. Población y muestra, variables, muestreo, medidas de tenden-cia central, de dispersión y de posición. Estadística

PROGRAMAACTUALPRIMERAÑODEBACHILLERATO

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Relación de unidades didácticas y bloques de contenido del programa actual de Segundo Año de Bachillerato

Unidades Bloquedecontenido

Unidad 1: Ecuaciones. Ecuaciones bicuadráticas, con radicales, racionales, sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. Álgebra

Unidad 2: Línea recta. Puntos y segmentos, definición de línea recta y pendiente, ecuación de una línea recta, posiciones relativas entre rectas, ángulos entre rectas. Geometría analítica

Unidad 3: Secciones cónicas. Lugar geométrico, definición y ecuación de una parábola, circunfe-rencia, elipse o hipérbola. Geometría analítica

Unidad 4: Funciones trascendentales I. Definición y propiedades de potencias, operaciones con potencias, definición de raíz n-ésima y sus operaciones, función exponencial: gráfica, dominio y rango, monotonía, asíntotas y desplazamientos, ecuaciones exponenciales.

Funciones

Unidad 5: Funciones trascendentales II. Funciones biyectivas, composición de funciones, funcio-nes inversas, definición y propiedades de logaritmo, operaciones con logaritmos, función logarít-mica: gráfica, dominio, rango, monotonía y asíntotas, ecuaciones logarítmicas.

Funciones

Unidad 6: Sucesiones aritméticas y geométricas. Patrón, sucesión y término general, sucesión aritmética y diferencia, sucesión geométrica y razón, suma parcial o serie. Álgebra

Unidad 7: Métodos de conteo. Definición y operaciones con conjuntos, diagrama de árbol, princi-pios de la suma y de la multiplicación, permutaciones y combinaciones. Estadística

Unidad 8: Probabilidad. Definición de probabilidad, experimento, espacio muestral y evento, pro-babilidad teórica, eventos mutuamente excluyentes, axiomas de Kolmogórov, probabilidad condi-cional, experimentos repetidos.

Estadística

PROGRAMAACTUALSEGUNDOAÑODEBACHILLERATO

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IV. Lineamientos metodológicosEl proceso de aprendizaje de la matemática requiere de metodo-logías participativas que generen la búsqueda de respuestas en el estudiante, promoviendo su iniciativa y participación en un clima de confianza que le permita equivocarse sin temor, desarrollar su razonamiento lógico y comunicar ideas para solucionar proble-mas del entorno. Se deben hacer esfuerzos para evitar explicacio-nes largas de parte de los docentes y procurar que el estudianta-do disfrute la clase de Matemática, la encuentren interesante y útil porque construyen nuevos aprendizajes significativos.

Para desarrollar este proceso, se presenta como propuesta meto-dológica el trabajo por Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP). Esta metodología, junto a otras actividades planificadas, promueve la conversión de los tradicionales “ejercicios-problema o problemas de lápiz y papel” a verdaderas situaciones proble-matizadoras que impliquen al estudiantado la necesidad de utili-zar herramientas heurísticas para resolverlas; por lo tanto suscitará el desarrollo de las competencias demandadas en la asignatura.

a. Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP)

El trabajo por RSP debe tener en cuenta las siguientes condi-ciones:

1) Seleccionar el ámbito o escenario de búsqueda e inda-gación, especificando las variables, los objetivos de esa búsqueda, identificando la problemática y los medios dis-ponibles.

2) Recopilar y sistematizar la información de fuentes primarias o secundarias que promuevan la objetividad y exactitud del análisis y pensamiento crítico.

3) Utilizar la deducción de fórmulas para seleccionar el pro-ceso algorítmico que mejor se adecue a la resolución de problemas.

4) Expresar con lenguaje matemático y razonamiento lógico la solución al problema planteado.

5) Establecer otras situaciones problemáticas significativas que permitan transferir los saberes conceptuales, procedi-mentales y actitudinales aprendidos en la aplicación del RSP.

El profesorado debe considerar que las actividades propuestas correspondan con los conocimientos previos del estudiante. De igual forma, es necesario adecuar el proyecto a una situación contextualizada, considerando las diferencias individuales de la población estudiantil.

El disponer de diversos procedimientos metodológicos-didác-ticos proveerá en cada estudiante un aprendizaje significativo; pero también es importante que el docente se asegure de que el procedimiento lógico empleado haya sido debidamente apren-dido.

b. Aplicabilidad del aprendizaje

El desarrollo de los saberes matemáticos de bachillerato debe ser transferible a situaciones del entorno, haciendo al estudiante competente en la aplicabilidad a problemas reales que enfren-ta. En el área matemática es fácil estructurar problemas relacio-nados con el ambiente particular del joven, ya que consciente o inconscientemente la utiliza. La metodología con base en com-petencias es, por tanto, compatible con la realidad, haciendo procedimientos algorítmicos abstractos aplicables a situaciones reales. Entre más locales sean los problemas o más conexión ten-gan con la experiencia de vida, más comprensibles y familiares resultan los diferentes procedimientos matemáticos.

c. Uso de recurso tecnológico para el aprendizaje en mate-mática

Uno de los componentes innovadores en esta propuesta es eluso de software matemático para modelar procesos o

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construcciones, con el fin de proporcionar herramientas que vayan acorde a la dinamización de la matemática. Para ello, al final de algunas unidades se proponen prácticas para que los estudiantes puedan verificar algunos resultados obtenidos en la unidad y se plantean otras situaciones a resolver utilizan-do el software matemático.

d.Elaprendizajecomoprocesoabierto,flexibleyperma-nente

La creación del acto educativo o el ambiente en el que se ejecuta el proceso-aprendizaje para ser congruente con la nueva metodología deberá ser abierto, flexible y permanente, incorporando los avances de la cultura, la ciencia y la tecno-logía que sean pertinentes, basado en metodologías activas y variadas que permitan personalizar los contenidos de aprendi-zaje y promuevan la interacción de todos los estudiantes.

Los diferentes recursos con los que se cuenta ahora pueden hacer que la Matemática sea comprendida con mayor faci-lidad. El acceso a herramientas técnicas debe lograr que el saber sea flexible y permanente por el grado de ocupación que este demanda.

Es importante enfatizar que los docentes deben esforzarse en su formación permanente, de esta forma será agradable di-señar con creatividad experiencias educativas que marquen positivamente las capacidades de los estudiantes.

e. Consideración de situaciones cercanas a los intereses de los estudiantes

Los intereses del estudiantado varían de acuerdo a regiones o situaciones de su entorno, de aquí la habilidad del profeso-rado para interpretar los gustos por los cuales son motivados estos. Es preciso evaluar si los intereses de los estudiantes, pue-den ser aplicables a la experiencia educativa.

Los juegos de vídeo o juegos de mesa suelen ser muy atracti-vos para los adolescentes; en Matemática, por ejemplo, existe un gran esfuerzo por convertir en juegos temas como: fraccio-nes, factorización, progresiones, etcétera. Se comprueba que la utilización de estas situaciones cercanas a los estudiantes pueden desarrollar, con mayor rapidez, habilidades en ellos, haciéndolos competentes en su desarrollo académico.

f. Rol activo del alumno en el aprendizaje de la Matemática

Concebidos como actores en la resolución de problemas, son ellos quienes aportan soluciones. Las explicaciones del do-cente deben ser breves, esforzándose, sobre todo, en hacer trabajar al alumnado, proporcionándole oportunidades para dialogar y comparar lo que han comprendido, destinando a la vez tiempo para el trabajo individual, desarrollando un cu-rrículo más amplio, equilibrado y diversificado, susceptible a ser adaptado a las necesidades individuales y socioculturales del alumnado.

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V. Lineamientos de evaluaciónLos lineamientos para la evaluación de los aprendizajes estable-cidos por el Ministerio de Educación (Evaluación al Servicio del Aprendizaje y del Desarrollo, MINED 2015) muestran el marco nor-mativo para determinar las pautas y procedimientos a utilizar. Asi-mismo, se debe tomar como referencia el documento “Currículo al Servicio del Aprendizaje” (MINED 2007) para establecer e im-plementar los acuerdos de evaluación en el centro educativo, los cuales se encuentran planteados en el PCC.

a. Evaluación diagnóstica: cuando se comienza el año, y al inicio de cada nueva unidad, se puede realizar la evaluación diagnós-tica de forma general, resolviendo una serie de situaciones pro-blemáticas aplicadas a la vida; en estas se pondrán en eviden-cia las competencias que posee cada estudiante al momento de utilizar diferentes algoritmos para la resolución de problemas. De esta forma, se potenciará el proceso de aprendizaje.

b. Evaluación formativa: merecen especial atención los cono-cimientos equivocados o acientíficos del alumnado, ya que las competencias de esta asignatura demandan el descubri-miento, la apertura de espacios para el ensayo o el error, y la comprobación de supuestos.

c. Evaluación sumativa: de acuerdo con la naturaleza de la ad-quisición de las competencias, la prueba objetiva sólo es una actividad entre otras. Se debe diseñar de manera que evalúe contenidos conceptuales y procedimentales independientes o integrados y tomando en cuenta los indicadores de logro.

Se recomienda incluir actividades que evalúen los aprendiza-jes de los estudiantes enfrentándolos a una situación proble-mática que se resuelva con la aplicación de procedimientos: identificar, clasificar, analizar, explicar, representar, argumen-tar, predecir, inventar; y la utilización de conocimientos con determinadas actitudes.

Recomendaciones generales de evaluación, según el tipo de contenido referido en los indicadores de logro

Evaluación de contenidos conceptuales: la comprensión de un concepto determinado no debe basarse en la repetición de definiciones. Se deben reconocer grados o niveles de pro-fundización y comprensión, así como la capacidad para utili-zar los conceptos aprendidos. Para ello se recomienda:

• Observar el uso que el alumnado hace de los conceptos en diversas situaciones individuales o en trabajo de equipo: debates, exposiciones y, sobre todo, diálogos.

• Ejercicios que consistan en la resolución de conflictos o pro-blemas a partir del uso de los conceptos y no tanto en una explicación de lo que entendemos sobre los conceptos.

• Pruebas objetivas que requieran relacionar y utilizar los conceptos en situaciones determinadas.

• El diálogo y la conversación pueden tener un enorme po-tencial para saber lo que el estudiante conoce.

Evaluación de contenidos procedimentales: estos implican un “saber hacer”. Las actividades adecuadas para conocer el grado de dominio o las dificultades en este tipo de aprendiza-je deben ser:

• Actividades que propongan situaciones en que se utilicen estos contenidos.

• Las habituales pruebas de papel y lápiz sólo se pueden uti-lizar cuando los contenidos procedimentales precisen pa-pel para su ejecución.

• Actividades abiertas realizadas en clases, que permitan un trabajo de atención por parte del profesorado y la obser-vación sistemática de cómo cada uno de los alumnos tras-lada el contenido a la práctica.

La finalidad de evaluar contenidos procedimentales es verificar cómo el estudiante es capaz de utilizar el saber hacer en otras

situaciones y si lo hace de manera flexible. Por tanto, se debe tener en cuenta:

• El conocimiento del procedimiento o conocimiento de las acciones que lo componen, el orden en que deben suce-der, condiciones en que se aplica, entre otros.

• El uso y aplicación de este conocimiento en situaciones planteadas.

• La corrección de las acciones que componen el procedi-miento.

• La generalización del procedimiento, el funcionamiento y exigencias en otras situaciones.

• El grado de acierto en la elección de los procedimientos.• La automatización del procedimiento, la rapidez y seguridad

con que se aplica, y el esfuerzo que implica su ejecución.

Evaluación de contenidos actitudinales: las actitudes se infie-ren a partir de la respuesta del alumnado ante una situación que se evalúa. Las respuestas pueden ser:

• Verbales: son las más usadas, sobre todo en la construcción de escalas de actitudes a partir de cuestionarios.

• De comportamiento manifiesto en el aula.• El análisis de cualquier actitud debe tener en cuenta estos

componentes: a) cognitivo: capacidad para pensar; b) afectivo: sentimientos y emociones; c) tendencia a la acción: el alumnado actúa de cierta manera para expresar significa-dos relevantes.

Las actividades integradoras

Permiten evaluar si el estudiante ha logrado los objetivos a través de sus conocimientos: saber, saber hacer y saber ser. Proceso de elaboración y ejecución de actividades integradoras:

• Seleccionar los indicadores de logro.• Establecimiento de la situación-problema que requiere so-

lución.• Definir la ponderación que tendrá la actividad y sus criterios

de evaluación.

• Decidir si la actividad se realizará de forma individual o gru-pal.

• Definir el tiempo y espacio para realizar la actividad.• Disponer de los materiales que se utilizarán.• Seleccionar y describir la técnica de evaluación: observa-

ción, prueba objetiva, revisión de trabajo escrito, portafolio, entre otros.

• Elaborar el instrumento de evaluación: lista de cotejo, esca-la de valoración, rúbrica.

• Incluir la autoevaluación y coevaluación de los alumnos y las alumnas según los acuerdos previos.

• Proporcionar a los alumnos y alumnas las orientaciones ne-cesarias para desarrollar las actividades de evaluación.

• Apoyo constante a los alumnos y las alumnas durante la ejecución de la actividad.

La clave para elaborar las actividades de evaluación integrado-ras es el establecimiento de una situación, que requiere una so-lución más o menos cercana a la realidad del alumnado, que le obligan a actuar y por lo tanto, a tomar decisiones.

Importancia de los criterios para ponderar las actividades de evaluaciónLos criterios son abstracciones sobre las características del desem-peño de un estudiante en una tarea. Pueden ser aplicados a una variedad de tareas y al mismo tiempo tomar un claro significado en el contexto de cada tarea en particular. Deben ser selecciona-dos por su valor metacognitivo en relación con el aprendizaje de los estudiantes y a la enseñanza de los maestros5.

El profesorado tiene la oportunidad de establecer criterios en el proceso de evaluación, complementarios a los indicadores de lo-gro, sin sustituirlos. Algunos ejemplos en Matemática son:

• Pertinencia en el establecimiento de métodos y claridad en la formulación de preguntas acerca de los problemas del entorno.

• Curiosidad e interés por descubrir y aplicar otras alternati-vas de solución de problemas.

5Traducción "Designing an Assessment System For The Future Work Place" (P 195-198) en John R. Frederiksen and Alan Collins. En Lauren B. Resnick & John G. Wirt. Linking School and Work, Roles for Standards and Assessment. 1996. California: Jossey - Bass Publishers.

12

Competencias de grado

▪ Factorizar y dividir polinomios aplicando las propiedades de los números complejos y teoremas de álgebra para la resolución de problemas matemáticos sobre raíces y desigualdades.

▪ Identificar las características de las funciones reales a par-tir del análisis de su ecuación y su gráfica para modelar y resolver situaciones del entorno.

▪ Calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo y resolver triángulos utilizando el plano cartesiano y leyes de los senos y del coseno

Primer añode Bachillerato

para resolver problemas del entorno y ecuaciones trigonométricas.

▪ Aplicar las operaciones y propiedades geométricas de los vectores en la resolución de operaciones con números complejos.

▪ Utilizar las medidas de tendencia central, dispersión y posición para analizar información sobre situaciones del en-torno que impliquen toma de decisiones.




14

Utilizar las propiedades de orden, escritura y operaciones de los números reales pararesolver problemas.

Operaciones con raíces cuadradas ▪ Descomposición de los radicandos en sus factores primos.

1.1 Efectúa operaciones elementales conraíces cuadradas.

▪ Multiplicación utilizando la propiedaddistributivayproductosnotables.

1.2 Efectúa operaciones combinadas conraíces cuadradas.

Racionalización ▪ Aplicación del producto de raíces cua-dradas.

1.3 Racionalizafraccionescondenominadora.

▪ Multiplicaciónporelconjugadodelde-nominador.

1.4 Racionaliza fracciones con denomina-dor a ± b o a ± b.

Número neperiano y áureo ▪ Estimacióndelosnúmerosneperianoyáureoutilizandoexpresionesalgebraicasy construcciones geométricas.

1.5 Realiza cálculos de los números neperiano y áureo.

Números reales-Rectanumérica-Númerosdecimales

▪ Comparaciónyclasificacióndenúmerosreales usando la recta numérica.

1.6 Ubicalosnúmerosrealesenlarectanu-mérica.

▪ Clasificación de números decimalescomo periódicos y no periódicos.

1.7 Clasificalosnúmerosdecimalesenracio-nales e irraciones.

Números reales1Tiempoprobable:10horas

Primerañodebachillerato



ACTITUDINALES

15

Valor absoluto ▪ Utilizacióndelafunciónvalorabsoluto. 1.8 Calculaelvalorabsolutodenúmerosrea-les.

Intervalos ▪ Representacióndeintervalosutilizandola recta numérica.

1.9 Representaintervalosenlarectanuméri-ca o en la notación de conjunto.

Raízcuadrada Racionalización Rectanumérica Función valor absoluto

Raícescuadradas Númeroreal Númerodecimal Intervalos

▪ Seguridad al operar las raíces cuadradas.▪ Claridadalidentificarlosnúmerosrealescomolospuntosdelarectanuméricaocomolosnúmerosdecimales.▪ Confianzaalrepresentarlosintervalosenlarectanuméricaoenlanotacióndeconjunto.

Conceptos claves

Notación

Raízcuadradadelnúmeroa: Númeroáureo:ϕ Númeroneperiano:e Númerosdecimalesperiódicos:–0.7 =–0.777...

Conjuntodelosnúmerosracionales:ℚ Conjuntodelosnúmerosreales:ℝ Valorabsoluto:|| Intervaloabierto:]–2,3[

a





16 17

Adquirir habilidades en la factorización y división de polinomios, identificando lascondicionesnecesariasparalaaplicacióndelosmismosyutilizarlosenlaverificacióndeteoremasenálgebraylaresolucióndeproblemasdematemática.

Productos notables- Grado de un polinomio- Producto de la forma (x + a)(x + b)- Cuadrado de un binomio- Producto de la suma por la diferencia de

binomios- Producto de la forma (ax + b)(cx + d)- Cubo de un binomio

▪ Determinación de coeficientes, térmi-nos y grado de un polinomio.

2.1 Identifica las variables y coeficientesdeunpolinomio,ycalculaelgradoconrespecto a una variable o a sus térmi-nos.

▪ Desarrollo del producto de un binomio por un binomio utilizando productosnotables.

2.2 Realiza productos notables que sonde la forma (x + a)(x + b), (a ± b)2 y (a + b)(a – b).

2.3 Realizaproductosnotablesquesondela forma (mx + a)(mx + b),(ax ± by)2 y (ax + by)(ax – by).

2.4 Desarrolla el producto notable de laforma (ax + b)(cx + d).

▪ Desarrollo del producto notable (ax ± by)3 por simple inspección.

2.5 Realizaelproductonotabledelaforma(ax + by)3.

2.6 Realizaelproductonotabledelaforma(ax – by)3.

Operaciones con polinomios

y números complejos2

Tiempoprobable:37horas




16 17

▪ Resolucióndeproblemasqueinvolucrencombinaciones de productos notables.

2.7 Desarrolla operaciones con polinomios utilizandolosproductosnotables.

Factorización-Factorcomúnmonomioypolinomio-Trinomiodelaformax2 + (a + b)x + ab-Trinomiocuadradoperfecto- Diferencia de cuadrados-Métododelatijera

▪ Determinación del factor comúnmonomioopolinomioenunaexpresiónalgebraica a través de la descomposición en factores primos.

2.8 Factoriza polinomios cuyo factor co-múnesunmonomioounpolinomio,utilizandolaspropiedadesasociativaydistributiva.

▪ Factorización de trinomios y binomiosen productos notables.

2.9 Factoriza trinomios de la formax2 + (a + b)x + ab en el producto nota-ble (x + a)(x + b).

2.10 Factoriza polinomios que son trino-mios cuadrados perfectos o diferencia de cuadrados en los productos nota-bles (x ± a)2 y (x + a)(x – a).

2.11 Factoriza polinomios que son trino-mios cuadrados perfectos o diferencia de cuadrados en los productos nota-bles (ax ± by)2 y (ax + by)(ax – by).

▪ Factorizacióndetrinomiosutilizandoelmétododelatijera.

2.12 Utiliza el método de la tijera parafactorizar trinomios en el producto(ax + b)(cx + d) donde a,b,c y d son enterospositivos.

2.13 Utiliza el método de la tijera parafactorizar trinomios en el producto(ax + b)(cx + d) donde a,b,c y d son enteroscualesquiera.


CONCEPTUALES



18 19

▪ Resolución de problemas que involu-cren combinaciones de métodos de factorización.

2.14Factorizapolinomiosextrayendoelfac-torcomúnmonomiodesustérminos.

2.15Factorizapolinomiosasociandotérmi-nos que tienen factor común mono-mio.

División de polinomios- División de un polinomio por un monomio- División larga de polinomios-Divisiónsintética-Teoremadelresiduo-Teoremadelfactor

▪ División de un polinomio por un mono-miousandoelrecíprocodeunaexpre-sión algebraica.

2.16Realizaladivisióndeunpolinomioporunmonomiomultiplicandoporelrecí-proco del divisor.

▪ División de un polinomio por un polino-mio usando el algoritmo de la división de polinomios (división larga) o división sintética.

2.17Realizaladivisióndeunpolinomioporun polinomio utilizando el algoritmode la división.

2.18 Efectúaladivisióndeunpolinomioporun binomio de la forma x – autilizandoladivisiónsintética.

2.19Utilizaladivisiónsintéticacuandoeldi-videndo no posee todas las potencias de la variable.

▪ Aplicación del teorema del residuo en la división de polinomios.

2.20Calculaelresiduodeladivisióndeunpolinomio por un binomio de la forma x – autilizandoelteoremadelresiduo.




18 19

▪ Aplicación del teorema del factor en la factorización de polinomios de gradotres.

2.21 Utiliza el teorema del factor parafactorizar polinomios de la formax3 + mx2 + nx + k cuando se conoce uno de sus factores lineales.

2.22 Factoriza polinomios de la formax3 + mx2 + nx + k encontrando los di-visores del término independiente y aplicando el teorema del factor.

▪ Resolucióndeproblemasqueinvolucrencombinacionesdemétodosdefactoriza-ción y división de polinomios.

2.23 Factorizapolinomiosaplicandolosmé-todosdefactorizaciónydivisióndepoli-nomios.

Ecuación cuadrática y números complejos-Resolucióndeecuacionescuadráticasusan-dofactorizaciónylafórmulageneral

-Númerocomplejo:parterealyparteima-ginaria

-Operacionesconnúmeroscomplejos:suma,resta,multiplicaciónydivisión

-Raícescuadradasdenúmerosnegativos-Discriminantedelaecuacióncuadrática-Raícesdeunpolinomio

▪ Solución de ecuaciones cuadráticasusandofactorización.

2.24 Resuelve ecuaciones cuadráticasutilizando factorización en la forma(x + a)(x + b)oelmétododelatijera.

▪ Solución de ecuaciones cuadráticasusando la fórmula general.

2.25 Resuelveecuacionescuadráticasutili-zandolafórmulageneral.

▪ Determinación de la parte real y la par-teimaginariadeunnúmerocomplejoapartirdesudefinición.

2.26 Identificalaparterealylaparteimagi-nariadeunnúmerocomplejo.

▪ Cálculodeoperacionesbásicasconnú-meroscomplejosutilizandoalgoritmosdesuma,multiplicaciónydivisión.

2.27 Efectúalasuma,restaymultiplicacióndenúmeroscomplejos,ydeterminaelconjugadoyelmódulodeunnúmerocomplejo.


20 21

CONCEPTUALES



20 21

2.28 Efectúa el cociente de dos númeroscomplejosmultiplicandoporelconju-gado del divisor.

▪ Determinación de las raíces cuadradas de números reales negativos usandonúmeroscomplejos.

2.29 Encuentralasraícescuadradasdenú-merosrealesnegativosylosescribeenla forma a + bi.

▪ Cálculo del discriminante de una ecua-cióncuadráticaparadeterminarelnú-mero de soluciones.

2.30 Determina el número de solucionesreales o imaginarias de una ecuación cuadrática utilizando su discriminan-te.

▪ Factorización de un polinomio en elconjuntodelosnúmeroscomplejos.

2.31 Factoriza polinomios de grado dos otresutilizandonúmeroscomplejos.

▪ Cálculo de las raíces de un polinomio usandonúmeroscomplejos.

2.32 Calculalasraícesdeunpolinomiodealosumogradotres,usandonúmeroscomplejos.

ACTITUDINALES▪ Seguridadalaplicarproductosnotablesymétodosdefactorización.▪ Confianzaenlaaplicacióndelalgoritmodeladivisióndepolinomiosyladivisiónsintética.▪ Precisiónenelmanejodenúmeroscomplejos,susoperacionesyelcálculoderaícesdeunpolinomio.


20 2120 21

Conceptos claves

Polinomio Diferencia de cuadrados Solucióndeecuacionescuadráticas

Coeficientesytérminosdeunpolinomio Métododelatijera Númerocomplejo

Grado de un término División de polinomio Parte real y parte imaginaria

Grado de un polinomio Divisiónsintética Raízcuadradadeunnúmeronegativo

Productos notables Teoremadelresiduo Discriminantedelaecuacióncuadrática

Factorcomún Teoremadelfactor Raícesdeunpolinomio

Trinomiocuadradoperfecto

Notación

Cuadradodeunbinomio:(ax ± by)2 Divisiónsintética: Parterealdeunnúmerocomplejo:Re(z)

Sumapordiferenciadebinomios:(ax + by)(ax – by) Dividendoa

Cociente Residuo

Parteimaginariadeunnúmerocomplejo:Im(z)

Cubodeunbinomio:(ax ± by)3 Conjugadodeunnúmerocomplejo:z

Trinomiocuadradoperfecto:a2x2 ± 2abxy + b2y2 Unidadimaginaria:i=–1 Módulodeunnúmerocomplejo:|z|

Diferenciadecuadrados:a2x2 – b2y2 Númerocomplejo:z = a + bi Discriminantedeunaecuacióncuadrática:Δ = b2–4ac





22 23

Resolver desigualdades lineales y no lineales con una variable haciendo uso de laspropiedades de desigualdad para la demostración o comprobación de teoremas matemáticos, así como la interpretación y resolución de situaciones del entorno queimpliquenelusodelasmismas.

Desigualdad ▪ Identificacióndelarelacióndedesigual-dadalsumaromultiplicarporunnúme-ro real.

3.1 Determinael símbolode relaciónquehace verdadera una desigualdad cuan-do se suma el mismo número real aambos miembros.

3.2 Determinael símbolode relaciónquehace verdadera una desigualdad cuan-dosemultiplicaelmismonúmeroreala ambos miembros.

Desigualdad lineal- Solución algebraica de una desigualdad

lineal-Solucióngráficadeunadesigualdadlineal- Aplicaciones de la desigualdad lineal

▪ Usodeladefinicióndedesigualdadli-neal en situaciones - problemas.

3.3 Expresasituacionesde lavidacotidia-nautilizandodesigualdadeslinealesdeuna variable.

▪ Solución de desigualdades lineales de una variable aplicando propiedades de desigualdad.

3.4 Resuelve desigualdades lineales de laforma x + b ≥ c o x + b ≤ c.

3.5 Resuelve desigualdades lineales de laforma ax ≥ c o ax ≤ c.

3.6 Resuelve desigualdades lineales de laforma ax + b ≥0oax + b ≤0.

Desigualdades3Tiempoprobable:15horas




22 23

▪ Solución de desigualdades lineales de unavariableusandolagráficadelafun-ción lineal.

3.7 Resuelve desigualdades linealesutilizando la gráfica de la funcióny = ax + b.

▪ Solución de situaciones - problemas aplicando la desigualdad lineal.

3.8 Utiliza desigualdades lineales para in-terpretarmatemáticamenteyresolversituacionesdelavidacotidiana.

Desigualdades no lineales- Construcción de triángulos- Desigualdad triangular-Desigualdaddelasmediasaritméticay

geométrica-Desigualdadesconexpresionesracionales

▪ Construcción de un triángulo dadas las longitudes de sus lados.

3.9 Verifica si es posible trazar triángulosusando regla y compás dadas las longi-tudes de sus lados.

▪ Determinación del rango de valores para la longitud del lado de un triángulo usando la desigualdad triangular.

3.10 Identifica los posibles valores para lalongitud del lado de un triángulo dadas las longitudes de los otros dos.

▪ Demostración de la desigualdad trian-gular|a + b|≤|a|+|b|apartirdelosposibles valores de a y b.

3.11 Verifica la desigualdad triangular|a + b|≤|a|+|b|paranúmerosrea-les a y b.

▪ Demostración de la desigualdad de las mediasaritméticaygeométricausandola propiedad x2 ≥0.

3.12 Verifica la desigualdad de las mediasaritmética y geométrica para númerosrealesnonegativos.

▪ Solución de desigualdades que invo-lucran expresiones racionales cuyosnumerador ydenominador son1 yunpolinomio lineal de una variable respec-tivamente.

3.13 Resuelvedesigualdadesdelaforma>0o<0.1

ax + b1

ax + b


24 2524 25

ACTITUDINALES▪ Seguridad en la aplicación de propiedades para la solución de desigualdades lineales de una variable.▪ Interés en la comprobación y solución de desigualdades no lineales.

Conceptos claves

Desigualdad Función lineal Desigualdaddelasmediasaritméticaygeométrica

Desigualdad lineal Desigualdad triangular Desigualdadesconexpresionesracionales

Transposicióndetérminos

Notación

Menoroigualque:≤ Mayorque:> Media geométrica de a y b:abMenorque:< Valorabsolutodelnúmeroa:|a| Mediaaritméticadea y b:Mayoroigualque:≥ Desigualdadtriangular:|a + b|≤|a|+|b|

a + b2





24 2524 25

Identificarloselementosycaracterísticasdelasfuncionescuadráticas,cúbicasdelaformaf(x) = ax3,racionalese irracionales,haciendousodetablasdevaloresydesusgráficaspararesolverproblemassobremonotoníaysituacionesdelavidacotidiana,einterpretargráficamentelasolucióndeunadesigualdadcuadrática.

Funciones reales4Tiempoprobable:40horas

Definición de función-Notacióndefunciónf(x)-Gráficadeunafunción- Dominio y rango

▪ Determinación del valor de la variable dependiente o imagen a partir de laecuación de una función.

4.1 Calculaelvalordef(x) usando la ecua-ción de la función y el valor de x.

▪ Identificacióndecurvasenelplanocar-tesiano correspondientes a gráficas defunciones usando la prueba de la recta vertical.

4.2 Utiliza la prueba de la recta verticalparaidentificargráficasdefunciones.

▪ Determinación del dominio y rango de unafunciónapartirdesuecuación.

4.3 Encuentra el dominio y rangode fun-ciones lineales y de la forma f(x) = ax2 utilizandolaecuacióndelafunción.

Función cuadrática-Gráficadeunafuncióncuadrática:parábo-la,vértice,dominioyrango

-Desplazamientosverticalesyhorizontales- Forma general de la ecuación de la función cuadrática

- Condiciones iniciales

▪ Trazo de la gráfica de las funcionesf(x) = ax + b o f(x) = ax2 + c usando des-plazamientosverticales.

4.4 Elabora la gráfica y encuentra el do-minio y el rango de las funciones g(x) = ax + b o f(x) = ax2 + c,usandodes-plazamientosverticales.

▪ Trazodelagráficadeunafuncióncuadrá-ticade la forma f(x) = a(x – h)2 usando desplazamientoshorizontales.

4.5 Grafica y encuentra el dominio y ran-go de la función g(x) = a(x – h)2 para h > 0 usando desplazamientos hori-zontalesdef(x) = ax2.


CONCEPTUALES



26 27

4.6 Grafica y encuentra el dominio y elrango de la función g(x) = a(x – h)2 para h < 0 usando desplazamientoshorizontalesdef(x) = ax2.

▪ Gráficadelafuncióncuadráticadelafor-ma f(x) = a(x – h)2 + kusandodesplaza-mientoshorizontalesyverticales.

4.7 Grafica y encuentra el dominio y elrango de la función g(x) = a(x – h)2 + k usandodesplazamientosverticalesdef(x) = a(x – h)2.

4.8 Grafica y encuentra el dominio y elrango de la función g(x) = a(x – h)2 + k usandodesplazamientoshorizontalesyverticalesdef(x) = ax2.

▪ Determinación de elementos de la fun-cióncuadráticaf(x) = ax2 + bx + c usan-do el método de completar cuadrados.

4.9 Completa cuadrados en la ecuaciónde la función f(x) = ax2 + bx para tra-zarsugráficayencontrarsudominioy rango.

4.10 Completa cuadrados en la ecuaciónde la función f(x) = x2 + bx + c para trazarsugráficayencontrarsudomi-nio y rango.

4.11 Completa cuadrados en la ecuaciónde la función f(x) = ax2 + bx + c para trazarsugráficayencontrarsudomi-nio y rango.

▪ Determinación de la ecuación de una funcióncuadráticaapartirdecondicio-nes iniciales.

4.12 Encuentralaecuacióndeunafuncióncuadrática que satisface determina-das condiciones.




26 27

Aplicaciones de la función cuadrática- Monotonía-Valormáximoomínimo-Aplicacionesdelvalormáximoomínimo-Interseccióndelagráficadeunafuncióncuadráticaconlosejesdecoordenadas

-Desigualdadescuadráticas

▪ Análisis de la monotonía de una función cuadráticaenunintervalodado,usandoelvérticeylagráficadelafunción.

4.13 Determina la monotonía de una fun-cióncuadráticaenunintervalodadoyencuentra el rango de valores para f(x).

▪ Análisis del rango de valores para una funcióncuadráticaf(x)usandolagráficade la función.

4.14 Determinalosvaloresquetomaf(x) a partirdelosvaloresdex,siendof una funcióncuadrática.

▪ Resolución de situaciones - problemasaplicandoelvalormáximoomínimodeunafuncióncuadrática.

4.15 Utilizaelvalormáximodeunafuncióncuadráticapararesolverproblemasdelavidacotidiana.

4.16 Utilizaelvalormínimodeunafuncióncuadráticapararesolverproblemasdelavidacotidiana.

▪ Determinación de los puntos de inter-seccióndelagráficadeunafuncióncua-dráticaconlosejesdecoordenadas.

4.17 Encuentra las coordenadas del puntode intersección de la gráfica de unafuncióncuadráticaconelejey usando la ecuación de la función.

4.18 Encuentralascoordenadasdelospun-tosdeinterseccióndelagráficadeunafuncióncuadráticaconelejexapartirde la ecuación de la función.

▪ Solución de desigualdades cuadráticasanalizandolagráficadelafuncióncua-dráticaasociada.

4.19 Resuelve desigualdades de la formaf(x) ≥ 0,donde f es una función cua-dráticacuyaparábolaesabiertahaciaarriba y corta al eje x en dos puntos.


CONCEPTUALES



28 29

4.20 Resuelve desigualdades de la formaf(x) ≥ 0,donde f es una función cua-dráticacuyaparábolaesabiertahaciaarriba y corta al eje xenunooningúnpunto.

4.21 Resuelve desigualdades de la formaf(x) ≤ 0,donde f es una función cua-dráticacuyaparábolaesabiertahaciaarriba.

4.22 Aplica propiedades de desigualdadpara resolver desigualdades cuadráti-cascuyocoeficientedex2esnegativo.

▪ Solucióndeecuacionescuadráticasuti-lizandoelcuadrodevariación.

4.23 Utilizael cuadrodevariaciónpara re-solverdesigualdadescuadráticas.

4.24 Aplica propiedades de desigualdadesyutilizaelcuadrodevariaciónparare-solverdesigualdadescuadráticas.

Otras funciones reales

- La función f(x) = ax3

- La función f(x) =

- Las funciones f(x) = a x y g(x) = ax

▪ Construccióndelagráficadelafunciónf(x) = x3 usando tablas de valores.

4.25 Elabora la gráfica de la función de laforma f(x) = x3 ubicando puntos en el plano cartesiano que satisfacen laecuación de la función.

▪ Trazo de la gráfica de la funcióng(x) = ax3apartirdelanálisisdelvalorde a.

4.26 Grafica funciones de la formag(x) = ax3 para a >0usandolagráficade f(x) = x3.

ax + bcx + d




28 29

4.27 Grafica funciones de la formag(x) = – ax3 para a >0usandolagráfi-ca de f(x) = x3.

▪ Deduccióndelagráficadelafuncióndeproporcionalidad inversa y sus despla-zamientosusandotablasdevaloresylaecuación de la función.

4.28 Encuentra las ecuaciones de las fun-cionesqueresultandedesplazarhori-zontalyverticalmentelagráficadelafunción f(x) = k

x .

▪ Trazo de la gráfica de la funciónf(x) = k

x – p + qusandodesplazamien-toshorizontalesyverticales.

4.29 Encuentralasecuacionesygraficalasasíntotas de la función f(x) = k

x – p + q paratrazarlagráficadef.

▪ Análisis de los elementos de f(x) = ax + b

cx + d utilizando la formak

x – p + q.

4.30 Escribe la función f(x) = ax + bcx + d en la

forma f(x) = kx – p + q para encontrar

susasíntotasytrazarsugráfica.

▪ Estudiodeloselementosdefuncionesde la forma f(x) = a xapartirdetablasde valores para x.

4.31 Grafica y encuentra el dominio y elrango de funciones irracionales de la forma f(x) = a x.

▪ Estudiodeloselementosdefuncionesde la forma f(x) = axapartirdetablasde valores para ax.

4.32 Grafica y encuentra el dominio y elrango de funciones irracionales de la forma f(x) = ax.

Práctica en software matemático- Puntos sobre el plano cartesiano-Gráficadefuncioneslinealesycuadráticas-Desplazamientosverticalesyhorizontales

de funciones

▪ Usodeherramientasdelsoftwarema-temáticopara colocarpuntos sobreelplano cartesiano y trazar gráficas defunciones.

4.33 Exploralasherramientasdeunsoftwa-rematemáticoparaubicarpuntosenelplanocartesianoytrazarlasgráficasde funciones lineales y cuadráticas.


30 31

CONCEPTUALES



30 31

▪ Trazodegráficasdefuncionescuadrá-ticasusandoherramientasparadespla-zamientos verticales del softwarema-temático.

4.34 Utilizalasherramientasdeunsoftwa-reparavisualizarlosdesplazamientosverticales de funciones cuadráticasy la elaboración de la parábola de f(x) = x2apartirdepuntos.

▪ Trazodegráficasdefuncionescuadrá-ticas usando herramientas para des-plazamientoshorizontalesdelsoftwarematemático.

4.35 Utilizalasherramientasdeunsoftwa-reparavisualizarlosdesplazamientoshorizontalesdefuncionescuadráticasy la elaboración de otras funciones a partirdepuntos.

Conceptos claves

Notación

ACTITUDINALES▪ Usoapropiadodelanotacióndefunción,dominioyrango.▪ Precisiónenlaelaboracióndegráficasdefuncionescuadráticasysuselementos.▪ Confianzaenlaaplicacióndeconceptosypropiedadessobrefuncionescuadráticas.▪ Interésporexploraryanalizarloselementosdeotrasfuncionesquenosoncuadráticas.▪ Responsabilidadycompañerismoenelusodelsoftwarematemático.

Función,dominioyrango Parábola,vértice Función de proporcionalidad inversa

Ecuaciónygráficadeunafunción Monotonía,valormáximoymínimo Función racional

Desplazamientosverticalesyhorizontales Desigualdadcuadrática Asíntota

Funcióncuadrática Cuadro de variación Función irracional

Notacióndefunción:f(x),g(x),h(x) Funcióncuadrática:f(x) = a(x – h)2 + k; f(x) = ax2 + bx + c Funcióndeproporcionalidadinversa:f(x) =

Dominio de f(x):Df Desigualdadcuadrática:ax2 + bx + c ≥0;ax2 + bx + c ≤0; Funcionesirracionales:f(x) = a x; f(x) = axRangodef(x):Rf ax2 + bx + c >0;ax2 + bx + c <0

kx





30 3130 31

Resolvertriángulosutilizandolasherramientasdelatrigonometríayaplicarloadiferentessituaciones del entorno.

Razones trigonométricas de ángulos agudos-Razonestrigonométricasdeunángulo

agudo-Triángulosrectángulosnotables-Aplicacionesdelasrazonestrigonométri-

cas- Ángulo de depresión y elevación

▪ Escrituradelasrazonestrigonométricasde un ángulo agudo de un triángulo rec-tángulo.

5.1 Establece las razones trigonométricasde un ángulo agudo de un triángulo rec-tánguloentérminosdelahipotenusa,ellado opuesto y adyacente a dicho ángu-lo.

▪ Aplicación de la definición de razonestrigonométricas para calcular las razo-nes trigonométricas de un triángulo rec-tángulo.

5.2 Calcula las razones trigonométricasseno, coseno y tangente de un ánguloagudo.

▪ Cálculo de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo utilizando se-mejanzadetriángulos.

5.3 Utiliza los triángulosnotablesy seme-janzaparaencontrarlasmedidasdeloslados de un triángulo rectángulo.

▪ Cálculo de las razones trigonométricas delosángulosde30°,45°y60°.

5.4 Determinalasrazonestrigonométricasdelosángulosde30°,45°y60°.

▪ Aplicaciónde las razones trigonométri-cas para calcular la medida de los lados de un triángulo rectángulo.

5.5 Encuentralamedidadelosladosdeuntriángulo rectángulo conocidas la medi-dadeunladoyunánguloagudoutili-zandorazonestrigonométricas.

Resolución de triángulos

oblicuángulos5Tiempoprobable:33horas


CONCEPTUALES



32 33

▪ Aplicacióndelasrazonestrigonométri-cas para calcular la medida de los ángu-los agudos de un triángulo rectángulo.

5.6 Encuentra la medida de los ángulosagudos de un triángulo rectángulo co-nocidas lasmedidasdedos lados,uti-lizando las razones trigonométricasseno,cosenoytangente.

▪ Resolución de problemas del entornoutilizandotriángulosrectángulosyrazo-nes trigonométricas.

5.7 Utilizatriángulosrectángulosyrazonestrigonométricas para resolver proble-mas del entorno.

▪ Cálculo de ángulos de depresión apli-candorazonestrigonométricas.

5.8 Utilizalasrazonestrigonométricasparacalcular ángulos de depresión en pro-blemas del entorno.

▪ Cálculo de ángulos de elevación aplican-dorazonestrigonométricas.

5.9 Utilizalasrazonestrigonométricasparacalcular ángulos de elevación en proble-mas del entorno.

▪ Elaboracióndeunclinómetroparame-dir ángulos de elevación.

5.10Construye un clinómetro casero parahacer mediciones de ángulos de eleva-ción.

Razones trigonométricas de ángulos no agudos

- Distancia entre dos puntos- Simetrías en el plano cartesiano- Ángulos en el plano cartesiano-Razonestrigonométricasdecualquier

ángulo-Identidadpitagórica

▪ Aplicación de la fórmula de la distancia entre dos puntos que se encuentranubicados en el plano cartesiano.

5.11Calculaladistanciaentredospuntosdelplano cartesiano.

▪ Identificación de las coordenadas delpunto simétrico respecto a los ejes coor-denados,alorigenyalarectaidentidadde un punto del plano cartesiano.

5.12Determina las coordenadas del puntosimétrico de un punto del plano carte-siano respecto al eje x,alejey,alorigenyalarectaidentidad.




32 33

▪ Identificación del signo y el cuadrantealqueperteneceunánguloenelplanocartesiano.

5.13Determina el signo y el cuadrante alque pertenece un ángulo en el planocartesiano.

▪ Elaboracióndegráficosenelplanocar-tesiano de ángulos mayores a 360° ymenoresa–360°.

5.14Graficaenelplanocartesianoángulosmayoresa360°ymenoresa–360°.

▪ Cálculo de razones trigonométricas deun ángulo en el plano cartesiano.

5.15Determinalasrazonestrigonométricasdeunángulodefinidoporlaparteposi-tivadelejexyOP,dondePesunpuntodel plano cartesiano.

▪ Uso de triángulos notables para calcular razones trigonométricas de ángulos enel plano cartesiano.

5.16Calcula lasrazonestrigonométricasdeángulosenelplanocartesiano,utilizan-do los ángulos de triángulos notables.

▪ Uso de ángulos de referencia para calcu-larlasrazonestrigonométricasdeángu-losentre0°y360°.

5.17Representa las razones trigonométri-cas de ángulos no agudos en términos deángulosqueesténentre0°y90°.

▪ Usodelsignodelasrazonestrigonomé-tricas y del plano cartesiano para deter-minar el valor de un ángulo si se conoce unadesusrazonestrigonométricas.

5.18 Calcula el ángulo si se conoceunadesusrazonestrigonométricas.

▪ Determinación de las razones trigo-nométricasutilizandola identidadpita-górica.

5.19Calcula las razones trigonométricas decualquieránguloutilizandolaidentidadpitagórica si se conocen algunos datos de este.


CONCEPTUALES



34 35

Resolución de triángulos- Área de un triángulo- Ley de los senos- Ley del coseno-Resolucióndetriángulos- Aplicaciones de la ley de los senos y la ley

del coseno

▪ Usodelasrazonestrigonométricasparacalcular el área de triángulos oblicuán-gulos.

5.20Calculaeláreadeuntriángulooblicuán-guloutilizandotrigonometría.

▪ Deducción y aplicación de la ley de los senos para calcular la medida de un lado de un triángulo.

5.21Calcula la medida de un lado de untriángulo conocidas las medidas de dos ángulos y un lado opuesto a uno de es-tosángulos,aplicandolaleydelosse-nos.

▪ Aplicación de la ley de los senos para calcular la medida de un ángulo de un triángulo.

5.22 Calcula la medida de un ángulo de un triángulo conocidos dos lados y un án-guloopuestoaunodeestoslados,apli-cando la ley de los senos.

▪ Uso de la ley de los senos para determi-narelnúmerodetriángulosquepuedenconstruirse si se conocen las medidas de dos lados y un ángulo opuesto a uno de estos.

5.23Determinaelnúmerodetriángulosquepueden construirse cuando se conocen las medidas de dos lados y un ángulo opuesto a uno de estos.

▪ Deducción y aplicación de la ley del co-seno para determinar la medida de un lado de un triángulo.

5.24Encuentralamedidadeunladodeuntriángulo si se conocen las medidas de dos lados y el ángulo comprendido en-treellos,aplicandolaleydelcoseno.

▪ Aplicación de la ley de los senos o del coseno para calcular la medida de los tres ángulos de un triángulo.

5.25 Calcula la medida de los ángulos de un triángulo si se conocen las medidas de sus tres lados.




ACTITUDINALES

3534 35

▪ Seguridadaldeterminarlasrazonestrigonométricasdeunángulo.▪ Confianzaalgraficarángulosenelplanocartesiano,determinarsusignoyelcuadrantealquepertenece.▪ Interés en aplicar la ley de los senos y del coseno para la resolución de problemas del entorno.

Razóntrigonométrica Triángulonotable Distancia entre dos puntos Ángulo de referencia

Razónseno Ángulo de elevación Simetría en el plano cartesiano Área de un triángulo

Razóncoseno Ángulo de depresión Cuadrante Ley de los senos

Razóntangente Identidadpitagórica Triángulodereferencia Ley del coseno

Conceptos claves

Notación

Razóntrigonométricaseno: Razóntrigonométricacoseno: Razóntrigonométricatangente:

ÁreadeuntriánguloABC:(ABC) DistanciaentreelpuntoPyQ:d(P,Q)sen θ = op

hipadyhipcos θ = op

adytan θ =

▪ Resolución de problemas del entornoque involucren triángulos oblicuángu-los.

5.26Utilizalaleydelossenosylaleydelco-senopararesolverproblemasqueinvo-lucren triángulos oblicuángulos.


36 37




36

Deducir identidades trigonométricas básicas mediante propiedades de simetría en elplano,parael cálculodevalores trigonométricosexactosy la resolucióndeecuacionestrigonométricas.

Identidades trigonométricas- De ángulos opuestos- De ángulos complementarios y suplemen-

tarios-Teoremadelaadición-Teoremadelángulodoble-Teoremadelángulomedio

▪ Uso de las identidades de los ángulosopuestos, complementarios y suple-mentarios para escribir una razón tri-gonométrica en términos de un ángulo agudo.

6.1 Representarazonestrigonométricasentérminos de ángulos agudos utilizandolas identidades trigonométricas de án-gulosopuestos,complementariosysu-plementarios.

▪ Uso de las identidades de los ángulos θ+180°,θ–180°y90°+ θ para escribir una razón trigonométrica en términosde un ángulo agudo.

6.2 Representarazonestrigonométricasentérminos de ángulos agudos utilizandolas identidades trigonométricas de losángulos θ+180°,θ–180°y90°+ θ.

▪ Deducción de las identidades trigo-nométricas del ángulo adición.

6.3 Demuestra las identidadestrigonomé-tricas del ángulo adición.

▪ Uso de las identidades del ángulo adi-ciónparacalcularvaloresexactosdera-zonestrigonométricas.

6.4 Calculavaloresexactosderazonestri-gonométricasutilizandoángulosespe-cialesylasidentidadesdelánguloadi-ción.

▪ Deducción de las identidades trigo-nométricas del ángulo doble.

6.5 Deduce y aplica las identidades trigo-nométricas del ángulo doble.

Identidades y ecuaciones

trigonométricas6Tiempoprobable:15horas




36 37

▪ Deducción de las identidades trigo-nométricas del ángulo medio.

6.6 Deduce y aplica las identidades trigo-nométricas del ángulo medio.

▪ Usodelasidentidadesdelángulodobley del ángulo medio para calcular valores exactosderazonestrigonométricas.

6.7 Calcula valores exactos de razones tri-gonométricasutilizandolasidentidadesdel ángulo doble y del ángulo medio.

Ecuaciones trigonométricas ▪ Usodevaloresconocidosderazonestri-gonométricas para resolver ecuaciones trigonométricas.

6.8 Resuelve ecuaciones trigonométricasutilizando razones trigonométricas co-nocidas.

▪ Transformación de ecuaciones trigo-nométricas a cuadráticas utilizando laidentidadpitagórica.

6.9 Resuelve ecuaciones trigonométricasutilizando la identidad pitagórica paratransformarlas en ecuaciones cuadrá-ticas donde intervenga una sola razóntrigonométrica.

▪ Usodelaidentidaddelángulodobledelcoseno en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

6.10Resuelve ecuaciones trigonométricasaplicandolaidentidaddelángulodobledel coseno para transformarlas en ecua-ciones donde aparezcan razones conángulo θ.

▪ Aplicación de la identidad del ángulodoble del seno para resolver ecuaciones trigonométricas.

6.11Resuelve ecuaciones trigonométricasaplicandolaidentidaddelángulodobledel seno para transformarla en una don-deaparezcanrazonesconánguloθ.

▪ Usode larelaciónentresecante,cose-canteycotangenteconelcoseno,senoy tangente para la resolución de ecua-ciones trigonométricas.

6.12Resuelverazonestrigonométricasapli-candolarelaciónentrelasrazonestri-gonométricassecante,cosecanteyco-tangenteconlasrazonescoseno,senoy tangente.


38 3938 39

ACTITUDINALES

▪ Confianzaenladeduccióndelasidentidadestrigonométricas.▪ Seguridadenelusodelasidentidadestrigonométricasparalaresolucióndeecuaciones.▪ Interésalcalcularvaloresexactosderazonestrigonométricas.

Identidadtrigonométrica Ecuacióntrigonométrica Identidaddelánguloadición

Identidaddelángulodoble Identidaddelángulomedio

Teoremadelaadición:cos(α – β) = cos α cos β + sen α sen βcos(α + β) = cos α cos β – sen α sen βsen(α + β) = sen α cos β + cos α sen βsen(α – β) = sen α cos β – cos α sen β

Teoremadelángulodoble:cos 2θ = cos2 θ – sen2 θ = 2 cos2 θ–1=1–2sen2 θ

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

tan 2θ = 2tan θ1–tan2 θ

Teoremadelángulomedio:

cos2 θ2

= 1+cosθ2

sen2 θ2

= 1–cosθ2

tan2 θ2

= 1–cosθ1+cosθtan(α + β) =

tan α + tan β1–tanα tan β

tan(α – β) = tan α – tan β1+tanα tan β

Conceptos claves

Notación





38 3938 39

Conocer los conceptos básicos sobre vectores, sus operaciones y relacionarlos con larepresentacióngeométricade losnúmeroscomplejos, comparando la representaciónylasoperacionesdevectoresenelplanocartesianoconlosnúmeroscomplejosenelplanocomplejo,parafundamentar losresultadosmásimportantessobrevectoresyaplicarlosen otras áreas.

Vectores-Definicionessobrevectores-Operacionesconvectores- Base y coordenadas-Operacionesdevectoresencoordenadas- Vectores y coordenadas de puntos- Paralelismo

▪ Identificacióndelanormadeunvector,vectores iguales, unitarios y ortogona-les.

7.1 Identificalanormadeunvector,vecto-res iguales,unitariosyortogonales in-terpretandoladefinición.

▪ Representacióngráficade lasoperacio-nes básicas con vectores.

7.2 Dibuja el vector resultante de suma o resta de vectores.

7.3 Dibujaelvectorresultantedemultipli-carunvectorporunnúmeroescalar.

▪ Expresióndeunvectorencoordenadasrespecto de una base vectorial.

7.4 Determinalascoordenadasdeunvec-torutilizandounabasevectorial.

▪ Determinación de las coordenadas del resultado de las operaciones básicas con vectores.

7.5 Determina las coordenadas del vector resultantedeunproductoporescalar,una suma o una resta de vectores.

▪ Expresióndeunvectorenelplanocar-tesiano.

7.6 Expresa las coordenadas deun vectorcualquieraenelplanocartesianocomocoordenadas de un punto.

Vectores y números

complejos7Tiempoprobable:25horas


CONCEPTUALES



40 41

▪ Resolucióndeproblemassobrevectoresparalelos.

7.7 Utiliza ladefinicióndeparalelismoen-tre vectores para resolver problemas convectoresexpresadosencoordena-das.

Producto escalar de vectores- Proyección ortogonal- Producto escalar de vectores paralelos- Producto escalar de vectores no paralelos- Forma trigonométrica del producto escalar- Producto escalar de vectores en coordena-

das de una base ortonormal

▪ Construcción de la proyección ortogonal de un vector sobre otro.

7.8 Dibuja la proyección ortogonal de un vector sobre otro en diferentes casos.

▪ Aplicaciónde ladefinicióndeproductoescalar de vectores paralelos.

7.9 Calcula el producto escalar de vectores paralelos.

▪ Cálculo del producto escalar de vectores no paralelos.

7.10Efectúaelproductoescalardevectoresno paralelos utilizando proyección or-togonal.

7.11Realizaelproductoescalardevectoresutilizando la forma trigonométrica delproducto escalar.

▪ Aplicación de las propiedades del pro-ducto escalar para determinar el pro-ducto escalar de vectores en coordena-das de una base ortonormal.

7.12Determinaelproductoescalardevec-tores en coordenadas de una base or-tonormal.

Números complejos-Representacióngeométricadeunnúmero

complejo-Resultadosgeométricosdelasoperacionesbásicasconnúmeroscomplejos

-Formatrigonométricadeunnúmerocom-plejo

▪ Representacióndeunnúmerocomplejoen el plano complejo.

7.13Representaunnúmerocomplejoenelplano complejo.

▪ Representacióngeométricade lasope-raciones básicas con números comple-jos.

7.14Representalasoperacionesbásicasconnúmeros complejos en el plano com-plejo.




40 41

-Resultadosgeométricosdelamultiplica-ciónydivisióndenúmeroscomplejos

- Fórmula de Moivre

▪ Usodelmóduloyelargumentoparaex-presarunnúmerocomplejoensuformatrigonométrica.

7.15Expresaunnúmerocomplejoensufor-matrigonométricautilizandosumóduloy su argumento.

▪ Aplicación de la forma trigonométrica deunnúmerocomplejoparaanalizarelresultado geométrico de la multiplica-ciónydivisióndenúmeroscomplejos.

7.16Determinaelproductodedosnúmeroscomplejos utilizando su forma trigo-nométrica.

7.17Determinaelcocientededosnúmeroscomplejos utilizando su forma trigo-nométrica.

▪ UtilizacióndelafórmuladeMoivreparacalcularelresultadodeelevarunnúme-ro complejo a una potencia.

7.18Calculaelresultadodeelevarunnúme-rocomplejoaunapotenciautilizandolafórmula de Moivre.

Práctica en software matemático-Representacióndevectoresycálculode

operaciones básicas-Resolucióndeproblemasconvectores

▪ Uso de software matemático para re-presentar y operar vectores.

7.19Utiliza un software matemático pararepresentar y efectuar operaciones con vectores.

▪ Usodesoftwarematemáticopararesol-ver problemas con vectores.

7.20Utilizaunsoftwarematemáticoparare-solver problemas con vectores.


42 4342 43

ACTITUDINALES

Vector Vectores ortogonales Vectores unitarios Producto escalar

Normadeunvector Vectores paralelos Base ortonormal Fórmula de Moivre

Módulodeunnúmerocomplejo Argumentodeunnúmerocomplejo

▪ Confianzapararepresentarvectoresylasoperacionesdesuma,restayproductoporescalar.▪ Interés por comprender el concepto de producto escalar y aplicarlo a diferentes situaciones.▪ Esfuerzoporrepresentarnúmeroscomplejosysusoperacionesdemaneragráficayayudaasuscompañerosenlasactividadesdiarias.▪ Seguridadenelusodesoftwarematemáticopararesolversituacionesconvectoresysusoperaciones.

Conceptos claves

Notación

VectordeterminadoporAyB:AB Vectorcualquiera:u Normadeunvectoru:∥u∥ Productoescalar:u ∙ vMódulodeunnúmerocomplejo:|z| Basevectorial:(i,j) Basecanónicadelplano:(e1,e2)





42 4342 43

Analizarseriesdedatosdefenómenosdelarealidad,aplicandoconceptosydefinicionessobreestadísticadescriptiva,paratomardecisionesadecuadasenlosmomentosoportunos.

Muestreo: estadísticos y parámetros-Definicionesbásicassobreestadística-Tiposdemuestreo- Medidas de tendencia central- Medidas de dispersión-Coeficientedevariación

▪ Aplicacióndelasdefinicionesbásicasdeestadísticadescriptiva.

8.1 Aplica las definiciones de población,muestrayvariable,yclasifica lasvaria-blesentrecualitativasnominalesyordi-nales o cuantitativas discretas y conti-nuas.

▪ Ejecuciónyplanificacióndeactividadessobre muestreo aleatorio simple y siste-matico.

8.2 Planifica y aplica técnicasdemuestreoaleatoriosimpleysistemático.

▪ Aplicacióndelmuestreoprobabilísticoasituacionesdelavidacotidiana.

8.3 Aplica elmuestreo probabilístico a si-tuacionesdelavidacotidiana.

▪ Análisis de la técnica de muestreo no probabilísticomásadecuadaparasitua-cionesespecíficas.

8.4 Identifica la técnica de muestreo noprobabilístico más adecuada para si-tuacionesespecíficas.

▪ Construcción de tablas de frecuencia y cálculo de las medidas de tendencia central y de dispersión para un conjunto de datos agrupados.

8.5 Elabora tablas de frecuencia y calculalas medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados.

Estadística descriptiva8



44 45

CONCEPTUALES



44 45

▪ Estimacióndelasmedidasdetendenciacentral para una muestra y una pobla-ción en datos agrupados.

8.6 Calcula las medidas de tendencia cen-tral para una muestra y una población en datos agrupados.

▪ Estimacióndelasmedidasdedispersiónpara una muestra y una población en datos agrupados.

8.7 Calcula las medidas de dispersión para una muestra y una población en datos agrupados.

▪ Cálculoyanálisisdelvalordelcoeficien-te de variación para comparar series de datos diferentes.

8.8 Utilizael coeficientedevariaciónparaanalizar larepresentatividaddelame-diaaritméticaen seriesdedatosdife-rentes.

Medidas de posición-Cuartiles- Diagrama de caja y bigotes-Decilesypercentiles

▪ Cálculo e interpretación de los valores de los cuartiles de una serie de datossimple.

8.9 Determinayanalizaloscuartilesdeunaserie de datos simple.

▪ Construcción,apartirdelamediana,deldiagrama de caja y bigotes de una serie de datos simple.

8.10Elaborayanalizaeldiagramadecajaybigotes de una serie de datos simple.

▪ Análisis de los diagramas de caja y bi-gotes de series de datos en una misma escala.

8.11Comparalosdiagramasdecajaybigo-tes de series de datos en una misma es-cala.

▪ Cálculo e interpretación de los valores delosdecilesypercentilesdeunaseriede datos simple.

8.12Determina y analiza los deciles y per-centilesdeunaseriededatossimple.

Práctica con software matemáticoAnálisisestadísticodescriptivodeunaseriede datos

▪ Uso de un software matemático pararealizaranálisisestadísticodescriptivo.

8.13Utiliza un software matemático pararealizarelanálisisestadísticodescripti-vo de una serie de datos.


44 4544 45

ACTITUDINALES

Muestreoprobabilístico Medidas de tendencia central Coeficientedevariación Diagrama de caja y bigotes

Muestreonoprobabilístico Medidas de dispersión Cuartil Decilesypercentiles

▪ Dedicaciónparaaplicarlosconceptosbásicossobreestadísticadescriptivaeinterpretarlainformaciónobtenida.▪ Confianzaenaplicarlosconceptossobremedidasdeposiciónenelanálisisdedatosdelavidacotidiana.▪ Seguridadenelusodeunsoftwarematemáticoadecuadoparaelanálisisdeseriesdedatos.

Conceptos claves

Notación

Mediaaritméticapoblacional:μ Modapoblacional:Mo Medianapoblacional:Me Desviacióntípicapoblacional:σ

Mediaaritméticamuestral:x̅ Modamuestral:x Medianamuestral:x Desviacióntípicamuestral:sCoeficientedevariación:CV Rangointercuartílico:RI


Competencias de grado

▪ Resolver ecuaciones bicuadráticas, con radicales o ra-cionales aplicando conceptos y herramientas de resolu-ción de ecuaciones lineales y cuadráticas.

▪ Determinar la ecuación de una línea rec-ta y de las secciones cónicas a partir de su definición para utilizarlo en la resolución de problemas sobre geometría y situaciones del en-torno.

▪ Establecer las características de las funciones tras-cendentales mediante el análisis de sus ecuacio-nes y sus gráficas para demostrar identidades y resolver ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas.

▪ Determinar el término general de sucesiones aritméticas y geométricas para calcular sumas parciales.

Segundo añode Bachillerato

▪ Utilizar los principios de conteo, permutaciones y combinaciones en el cálculo de probabilidades de eventos de la vida cotidiana.




48

Resolverecuacionesbicuadráticas,radicales,racionalesysistemasdeecuacioneslinealesycuadráticas,utilizandoherramientasderesolucióndeecuacioneslinealesycuadráticaspara aplicarlo en problemas algebraicos.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones-Ecuacionesbicuadráticas-Ecuacionesradicales-Ecuacionesracionales- Sistemas de ecuaciones lineales y cuadrá-ticas

▪ Usode cambiode variable y factoriza-ción para resolver ecuaciones bicuadrá-ticas.

1.1 Resuelve ecuaciones bicuadráticas dela forma x4 + Bx2 +C=0.

▪ Cálculo de soluciones de ecuaciones bi-cuadráticasdelaformaAx4 + Bx2 + C = 0.

1.2 Resuelve ecuaciones bicuadráticas dela forma Ax4 + Bx2 +C=0.

▪ Resolucióndeecuacionesradicalesme-diante la reducción a ecuaciones linea-les.

1.3 Calculasolucionesdeecuacionesradi-calesquepuedenreducirseaecuacio-nes lineales.

▪ Cálculo de soluciones de ecuaciones ra-dicalesquepuedenreducirseaecuacio-neslinealesocuadráticas.

1.4 Resuelveecuacionesradicalesquepue-den reducirse a ecuaciones lineales o cuadráticas.

▪ Reducción de ecuaciones radicales aecuaciones cuadráticas para encontrarsus soluciones.

1.5 Resuelve ecuaciones radicales reduci-blesaecuacionescuadráticas.

▪ Cálculodelmínimocomúnmúltiplodepolinomios.

1.6 Determina elmínimo comúnmúltiplode dos o más polinomios.

Ecuaciones1Tiempoprobable:10horas

Segundoañodebachillerato



ACTITUDINALES

49

▪ Resolucióndeecuacionesracionales. 1.7 Resuelveecuacionesracionales,conpo-linomios de grado uno y dos.

▪ Usodelmétododesustituciónparare-solver sistemas de ecuaciones donde una es lineal y la otra es de grado dos en una de las incógnitas.

1.8 Resuelvesistemasdeecuacionesdondeuna es lineal y la otra es de grado dos en una de las incógnitas.

Ecuaciónbicuadrática Ecuaciónradical Ecuaciónracional Mínimocomúnmúltiplodepolinomios

Conceptos claves

▪ Seguridadalresolverecuacionesbicuadráticas,radicales,racionalesysistemasdeecuaciones.▪ Interésaldeterminarelmínimocomúnmúltiplodedosomáspolinomios.





50 51

Deducir los conceptos sobre pendiente y ecuación de una línea recta a partir de suscaracterísticasenelplanocartesianoparautilizarloenladeterminacióndelasposicionesrelativasentrerectasyaplicarloenlaresolucióndeproblemasyteoremassobregeometría.

Puntos y segmentos- Distancia entre dos puntos-Divisióndeunsegmentoenunarazón

dada- Punto medio de un segmento

▪ Determinación de la distancia entre dos puntos usando el valor absoluto y el teorema de Pitágoras.

2.1 Calcula la distancia entre dos puntosubicados sobre la recta numérica o en el plano cartesiano.

▪ Cálculo y determinación del valor y coordenadas del punto que divide unsegmento en una razón dada a partirde la propiedad fundamental de las proporciones.

2.2 Encuentraelvalordelpuntoquedivi-de un segmento sobre la recta numéri-caenunarazóndada.

2.3 Encuentra las coordenadas del puntoquedivideunsegmentoenelplanocar-tesianoenunarazóndada.

▪ Deducción del valor y coordenadas del punto medio de un segmento como el puntoquelodivideenrazón1:1.

2.4 Determinael valoro las coordenadasdel punto medio de un segmento.

▪ Aplicación de la distancia entre dos puntos y división de un segmento en unarazóndada.

2.5 Resuelve problemas utilizando la dis-tancia entre dos puntos y división de unsegmentoenunarazóndada.

Línea recta2Tiempoprobable:26horas




50 51

Línea recta- Pendiente-Ecuacióndeunarectaensuformapunto-

pendiente-Ecuacióndeunarectadadosdospuntos-Rectasparalelasalosejesdecoordenadas- Forma general de la ecuación de una recta

▪ Identificación del conjunto de puntosque forman una línea recta usando lapendiente.

2.6 Identificapuntossobrelamismalínearectautilizandoelvalordesupendien-te.

▪ Deducción de la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto sobre la línea.

2.7 Determina la ecuación y grafica unarectautilizandoelvalordesupendien-te y las coordenadas del punto sobre ella.

▪ Aplicación de la forma punto - pendiente de la ecuación de una recta dados dos puntos sobre la línea.

2.8 Determinalaecuaciónygraficalarec-taquepasapordospuntosconocidos.

▪ Deducción de la ecuación de una recta paralela a uno de los ejes de coordenadas usando la forma punto - pendiente.

2.9 Encuentralaecuaciónygraficalarectaparalela a uno de los ejes de coordena-dasquepasaporunpuntodado.

▪ Trazo de la gráfica de la ecuación dela forma ax + by + c=0despejandolavariable y o x.

2.10 Graficalíneasrectascuyaecuaciónesde la forma ax + by + c=0.

Posiciones relativas entre rectas- Intersección de una recta con los ejes de

coordenadas- Intersección entre rectas-Rectasparalelasyperpendiculares- Distancia de un punto a una recta- Ángulo de inclinación de una recta- Ángulo entre rectas

▪ Deducción de las coordenadas de los puntos de intersección de una línea recta con los ejes de coordenadas a partirdesuecuación.

2.11 Encuentra las coordenadasdel puntode intersección de una línea recta con el eje x.

2.12 Encuentra las coordenadasdel puntode intersección de una línea recta con el eje y.

▪ Identificación de las coordenadas delpunto de intersección de dos rectas a partirdelasolucióndelsistemaformadopor sus ecuaciones.

2.13 Determinalascoordenadasdelpuntode intersección entre dos rectas.


52 53

CONCEPTUALES



52 53

▪ Identificación de rectas paralelas apartirdesusecuacionesyvalordesuspendientes.

2.14Verifica el paralelismo entre rectas apartirdelvalordesuspendientes.

▪ Identificación de rectas perpendicula-resapartirdesusecuacionesydelpro-ducto de sus pendientes.

2.15Verificaperpendicularidadentrerectasutilizandosuspendientes.

▪ Cálculo de la distancia de un punto a una recta usando las coordenadas del punto y la ecuación general de la recta.

2.16Calculaladistanciadeunpuntoaunarecta.

▪ Establecimientodelarelaciónentreelvalor de la pendiente de una línea recta y su ángulo de inclinación.

2.17Calculaelángulodeinclinacióndeunarecta usando el valor de su pendiente.

▪ Establecimientodelarelaciónentrelosvalores de las pendientes de dos rectas no paralelas y el ángulo formado entre ellas.

2.18 Calculaelánguloformadoentredosrec-tas no paralelas usando los valores de sus pendientes.

▪ Aplicación de las relaciones de parale-lismo o perpendicularidad entre líneas rectas.

2.19 Resuelve problemas de geometría uti-lizando las relaciones de paralelismo yperpendicularidadentrerectas,ydistan-cia entre dos puntos.

Práctica en software matemático- Puntos y segmentos en el plano cartesia-

no-Líneasrectas:intersecciones,paralelasyperpendiculares,ángulodeinclinaciónyángulo entre rectas.

▪ Construcción de segmentos y líneas rectas en el plano cartesiano a partirdepuntosyecuaciones,utilizandounsoftwarematemático.

2.20 Utilizaunsoftwarematemáticoparaela-borar segmentos y líneas rectas dados dospuntososuecuación,yparacalcularcoordenadas del punto medio y valor de la pendiente.




ACTITUDINALES

52 5352 53

▪ Determinación de las coordenadas del puntodeintersecciónentredosrectas,medidas de ángulos y construcción de rectas paralelas y perpendiculares.

2.21 Utiliza un software matemático paraencontrar las coordenadas del punto deintersecciónentredosrectas,calcu-lar el ángulo de inclinación y el ángulo entrerectas,yelaborarrectasparalelaso perpendiculares.

▪ Interésporcalcularoencontrarladistanciaentredospuntosylascoordenadasdelpuntoquedivideaunsegmento.▪ Precisiónyseguridadaldeterminarlasecuacionesdelíneasrectasytrazarlasenelplanocartesiano.▪ Perseveranciaenlaidentificaciónderectasparalelasyperpendiculares,ymedidasdeángulos.▪ Compromisoyresponsabilidadalutilizarelsoftwarematemáticoparaloscontenidossobrelínearecta.

Conceptos claves

Distancia entre dos puntos Línea recta Distancia de un punto a una recta

Divisióndeunsegmentoenunarazóndada Ecuacióndeunalínearecta Ángulo de inclinación de una recta

Punto medio de un segmento Rectasparalelas Ángulo entre rectas

Pendiente Rectasperpendiculares

DistanciaentrelospuntosAyB:d(A,B) Distancia desde un punto P a una recta l:d(P,l)

Notación


54 55




54

Determinar la estructura, elementos y propiedades de las cuatro secciones cónicas,deduciendoyanalizandolasecuacionesdecadaunadeellas,parautilizarloenlaresolucióndeproblemasdeaplicaciónendiferentesáreascientíficas.

La parábola- Lugar geométrico de una ecuación-Ecuacióndeunlugargeométrico-Ecuacióncanónicadeunaparábola-Desplazamientosparalelosdeunapará-

bola- Proceso para completar cuadrados per-

fectos-Ecuacióngeneraldelaparábola-Rectassecantesytangentesalaparábola- Aplicaciones de la parábola

▪ Elaboración de la gráfica del lugargeométrico que determina una ecua-ción.

3.1 Graficael lugargeométricodetermina-do por una ecuación.

▪ Interpretación de las condiciones de un problema para deducir la ecuación de un lugar geométrico.

3.2 Deduce la ecuación que determina unlugar geométrico con condiciones da-das.

▪ Construcción del lugar geométrico de unaparábolautilizandodoblecesenpa-pel vegetal.

3.3 Identifica el lugar geométrico de unaparábola.

▪ Interpretación de las condiciones de un problema para deducir la ecuación de una parábola.

3.4 Deduceygraficalaecuacióndeunapa-rábolaconvérticeenelorigendadoselfocoyladirectriz.

▪ Generalización y aplicación de los des-plazamientosparalelosparagraficarpa-rábolas.

3.5 Encuentraygraficalaecuacióndeunaparábola desplazada paralelamenterespecto a los ejes de coordenadas.

▪ Expresióndeunpolinomiodegradodoscomo cuadrado perfecto.

3.6 Completacuadradosperfectosenunaexpresiónalgebraica.

Secciones cónicas3





54 55

▪ Elaboracióndelagráficadeunaparábo-la dada su ecuación general usando el método para completar cuadrados.

3.7 Determinalascoordenadasdelvérticeytrazalagráficadeunaparábolaapar-tirdesuecuacióngeneral.

▪ Interpretacióngráficadelasolucióndeun sistema de una ecuación lineal y una cuadrática.

3.8 Encuentralascoordenadasdelospun-tos de intersección entre la ecuación de unalínearectayunaparábolautilizan-do sus ecuaciones.

▪ Cálculo del valor de un parámetro en un sistema de una ecuación lineal y una cuadrática.

3.9 Determina el valor de un parámetroparaqueunalínearectaseatangenteauna parábola.

▪ Resolucióndeproblemassobreobjetosparabólicos aplicando las propiedades reflectivasdelfoco.

3.10Utilizalapropiedadreflectoradelfocopara resolver problemas de aplicación sobre objetos parabólicos.

La circunferencia-Ecuacióncanónicadeunacircunferencia-Desplazamientosparalelosdeunacircun-

ferencia-Ecuacióngeneraldelacircunferencia-Rectastangentesysecantesalacircunfe-

rencia- Aplicaciones de la circunferencia

▪ Interpretación de las condiciones de un problema para deducir la ecuación de una circunferencia.

3.11Deduceygraficalaecuacióndeunacir-cunferencia con centro en el origen y radio dado.

▪ Generalización y aplicación de los des-plazamientosparalelosparagraficarcir-cunferencias.

3.12Encuentraygraficalaecuacióndeunacircunferencia cuyo centro es un punto diferente del origen.

▪ Elaboracióndelagráficadeunacircun-ferencia dada su ecuación general uti-lizandoelmétodoparacompletarcua-drados.

3.13Determinael centro yel radiodeunacircunferencia a partir de su ecuacióngeneral y traza su gráfica en el planocartesiano.

▪ Aplicación del resultado sobre la rec-ta tangente a una circunferencia en un punto dado.

3.14Deduce la ecuación de la línea rectatangente a una circunferencia en un punto dado.


CONCEPTUALES



56 57

▪ Determinación de las coordenadas de los puntos de intersección de una recta y una circunferencia.

3.15Encuentra lascoordenadasde lospun-tos de intersección de una recta y una circunferencia.

▪ Resolución de problemas del entornoaplicando propiedades de la circunfe-rencia.

3.16Utilizalaspropiedadesylaecuacióndela circunferencia para resolver proble-mas del entorno.

La elipse-Ecuacióncanónicadeunaelipse-Elementosypropiedadesdelaelipse-Desplazamientosparalelosdeunaelipse-Ecuacióngeneraldelaelipse- Aplicaciones de la elipse

▪ Construcción del lugar geométrico de unaelipseutilizandomaterialesdeusocotidianoohaciendodoblecesenpapelvegetal.

3.17 Identifica el lugar geométrico de unaelipse.

▪ Interpretación de las condiciones de un problema para deducir la ecuación de una elipse.

3.18Deduce la ecuación de una elipse concentroenelorigenapartirdelosfocosy el valor del semieje mayor.

▪ Análisis de la ecuación canónica de la elipseparaidentificarsuselementos.

3.19 Identifica los elementos de una elipsedada su ecuación para graficarla en elplano cartesiano.

▪ Aplicacióndelosdesplazamientospara-lelosparagraficarelipses.

3.20Encuentra la ecuación de una elipsedesplazada paralelamente respecto alosejesdecoordenadasytrazasugráfi-ca.

▪ Elaboraciónde la gráficadeunaelipsedada su ecuación general utilizando elmétodo para completar cuadrados.

3.21Determinaloselementosdeunaelipseapartirdesuecuacióngeneralytrazasugráficaenelplanocartesiano.




56 57

▪ Resolución de problemas del entornoaplicando propiedades de la elipse.

3.22Utilizalaspropiedadesdelosfocosylaecuación de la elipse para resolver pro-blemassobreobjetoselípticos.

La hipérbola-Ecuacióncanónicadeunahipérbola-Elementosypropiedadesdelahipérbola-Desplazamientosparalelosdeunahipér-

bola-Ecuacióngeneraldelahipérbola- Aplicaciones de la hipérbola

▪ Construcción del lugar geométrico de una hipérbola utilizando dobleces enpapel vegetal.

3.23 Identificaellugargeométricodeunahi-pérbola.

▪ Interpretación de las condiciones de un problema para deducir la ecuación de una hipérbola.

3.24Deduce la ecuación de una hipérbolacentrada en el origen dado los focos y el valor de a.

▪ Análisis de la ecuación canónica de la hi-pérbolapara identificarvértices, focos,asíntotas,etc.

3.25 Identificaloselementosdeunahipérbo-ladadasuecuaciónparagraficarlaenelplano cartesiano.

▪ Aplicacióndelosdesplazamientospara-lelosparagraficarhipérbolas.

3.26Encuentraygrafica laecuacióndeunahipérbola desplazada paralelamenterespecto a los ejes de coordenadas.

▪ Elaboraciónde lagráficadeunahipér-boladadasuecuacióngeneralutilizandoel método para completar cuadrados.

3.27Determinaloselementosdeunahipér-bola a partir de su ecuación general ytrazasugráficaenelplanocartesiano.

▪ Resolución de problemas del entornoaplicando propiedades de la hipérbola.

3.28Utilizalaspropiedadesdelosfocosylaecuación de la hipérbola para resolver problemas sobre objetos hiperbólicos.

Práctica en software matemático-Gráficadelasecuacionescanónicasdelas

secciones cónicas

▪ Usodelasherramientasdeunsoftwarematemático para graficar seccionescónicas.

3.29Utiliza un software matemático paragraficarylocalizarloselementosdelascónicasapartirdesuformacanónica.


CONCEPTUALES



58 59

ACTITUDINALES

Lugar geométrico Circunferencia:centroyradio Hipérbola:asíntotas Vértices

Parábola:directriz,eje Elipse:ejes Focos Rectastangentesysecantes

▪ Interés por comprender los conceptos sobre secciones cónicas y aplicarlos en situaciones de la vida real.▪ Seguridadalrealizarloscálculoseidentificarloselementosylasgráficasdelasseccionescónicas.▪ Voluntadparacolaborarconsuscompañerosparaqueaprendanloscontenidossobreseccionescónicas.▪ Compromisoenelusocorrectodelsoftwarematemáticoparaelcontenidodeseccionescónicas.

Conceptos claves

Notación

-Gráficadelasecuacionesgeneralesdelassecciones cónicas

-Propiedadesreflectivasdelosfocosdelascónicas

-Resolucióndeproblemassobreseccionescónicas

▪ Manejo de hojas de cálculo para intro-ducirloscoeficientesdelaecuaciónge-neralygraficarlasseccionescónicas.

3.30Grafica la cónica determinada por unaecuacióngeneralutilizandounsoftwarematemáticoadecuado.

▪ Verificacióndelaspropiedadesreflecti-vasdelascónicasapartirdelasherra-mientasdeunsoftwarematemático.

3.31Comprueba las propiedades de los fo-cosdelasdiferentescónicasrealizandoconstruccionesenunsoftwarematemá-ticoadecuado.

▪ Modelaje de las condiciones de un pro-blemaapartirdeunsoftwarematemá-tico.

3.32Utilizaunsoftwarematemáticoparare-solver problemas sobre secciones cóni-cas.

Ecuacióncanónicadelaparábola: Ecuacióncanónicadelacircunferencia:

Ecuacióncanónicadelaelipse: Ecuacióncanónicadelahipérbola:



COMPETENCIAS DE UNIDAD


58 59

Realizar operaciones con potencias de números reales, utilizando las propiedades quefacilitan su desarrollo, para resolver ecuaciones y describir las características de lasfuncionesexponenciales.

Funciones trascendentales

I4Tiempoprobable:20horas

Potencia-Exponentepositivo-Exponentenegativoycero

▪ Asociación adecuada de factores en pro-ducto y cocientes de potencias.

4.1 Expresacomopotencia,productosyco-cientesconigualbaseyexponenteposi-tivo.

4.2 Expresacomopotenciaproductosyco-cientesconigualexponentepositivo.

▪ Interpretaciónde laspotencias conex-ponenteceroynegativousandodivisiónde potencias con la misma base.

4.3 Expresa potencias con exponentes ne-gativoscomofraccionesconexponentepositivoyviceversa.

Raíz n-ésima-Simplificación-Multiplicaciónydivisiónderaícescon

igual índice-Raízderaíz- Suma y resta de raíces semejantes-Potenciadeunaraíz

▪ Descomposición en factores primos. 4.4 Escribepotenciasdenúmeroscomoraí-ces n-ésimas.

▪ Asociación de factores en la descompo-sición del radicando.

4.5 Calcula raícesn-ésimas descomponien-do el radicando en factores primos.

▪ Utilizacióndeladescomposiciónenfac-tores,lapropiedadasociativayladefini-ciónderaízn-ésima.

4.6 Determinaelproducto,cocienteyraízderaíces simplificando los resultados a sumínimaexpresión.


60 61

CONCEPTUALES



60 61

▪ Simplificaciónde raícesyoperacióndetérminos semejantes.

4.7 Sumayrestaraícessemejantesysimplifi-calapotenciadeunaraízescribiendolosresultadosensumínimaexpresión.

Exponente racional-Raízn-ésimayexponenteracional-Multiplicaciónydivisiónderaícescon

diferente índice

▪ Interpretación del exponente racionalcomolaraízdeunapotencia.

4.8 Utiliza exponentes racionales para re-presentar raíces n-ésimasdeunnúmeroy viceversa.

▪ Realizacióndeoperacionesconexponen-te racional y raíces n-ésimas.

4.9 Aplica las propiedades de los exponen-tes, combinando exponentes racionalesy enteros.

▪ Aplicacióndelexponenteracionalyope-raciones con fracciones.

4.10Aplicalaspropiedadesdelosexponentesracionales para realizar operaciones deraícescondistintoíndice.

Función exponencial-Gráfica- Simetría-Características:dominio,rango,monoto-

nía y asíntotas-Desplazamientosverticalesyhorizontales

▪ Construcción de la función f(x) = ax a par-tirdetablasylocalizacióndepuntosenelplano cartesiano.

4.11Graficafuncionesexponencialesutilizan-dotablasylocalizandopuntosenelpla-no cartesiano.

▪ Aplicación de las propiedades de sime-tría.

4.12Graficafuncionesexponencialesutilizan-do simetrías respecto de los ejes de coor-denadas y el origen.

▪ Análisis de las características de la fun-ciónexponencial.

4.13Determinalascaracterísticasdeunafun-ción exponencial dada (dominio, rango,monotonía y asíntotas).

▪ Uso de los desplazamientos paralelos alos ejes coordenados.

4.14Graficafuncionesexponencialesutilizan-dodesplazamientoshorizontalesyverti-cales.




ACTITUDINALES

60 6160 61

▪ Aplicación de las propiedades de sime-tríaydesplazamientos.

4.15Elabora la gráfica de funciones expo-nencialesutilizandosimetríaydesplaza-mientos.

Ecuaciones exponenciales ▪ Resolución de ecuaciones exponencia-les usando la descomposición en facto-res primos.

4.16Resuelveecuacionesexponencialesutili-zandoigualdaddepotenciasconlamis-ma base.

▪ Realización de cambio de variable enecuacionesexponenciales.

4.17Resuelveecuacionesexponencialesquesereducenaecuacionescuadráticaspormedio de un cambio de variable.

Potencia Índicedelaraíz Exponenteracional Simetría

Base Radicando Funciónexponencial Asíntota

Exponente Simplificación Desplazamiento Ecuaciónexponencial

Raízn-ésima

Raízn-ésimadelnúmeroa: an

Dominio de la función f(x):Df Rangodelafunciónf(x):Rf

▪ Seguridad al efectuar operaciones con raíces n-ésimas.▪ Confianzaalutilizarelexponenteracionalenoperacionesconraícesn-ésimas.▪ Precisiónalelaborarlagráficadeunafunciónexponencial.

Conceptos claves

Notación





62 63

Describir los elementos y características de la función logaritmo y de las funcionestrigonométricas seno, coseno y tangente por medio de su definición o gráfica parainterpretar situaciones modeladas por funciones.

Funciones trascendentales

II5Tiempoprobable:37horas

Función-Funcióninyectiva-Funciónsobreyectiva-Funciónbiyectiva- Composición de funciones- Función inversa

▪ Identificación de funciones inyectivasapartirdelaecuaciónygráficadeunafunción.

5.1 Identificafuncionesinyectivasdemane-ragráficayalgebraica.

▪ Identificación de funciones sobreyecti-vasapartirde laecuaciónygráficadeuna función.

5.2 Identifica funciones sobreyectivas demaneragráficayalgebraica.

▪ Aplicacióndelosconceptosdeinyectivi-dadysobreyectividad.

5.3 Identificasiunafunciónesbiyectivaores-tringesudominioorangoparaquelosea.

▪ Evaluacióndeunafunciónenotra. 5.4 Determina la ecuación de la composi-ción de dos funciones.

▪ Interpretación gráfica o algebraica delos valores pertenecientes al dominio de una composición de funciones.

5.5 Determina el dominio de la composición defuncionesutilizandoladefinición.

▪ Deducción de la ecuación de la función inversa.

5.6 Determina la ecuación de la función in-versa de una función dada.

▪ Aplicacióndelconceptodebiyectividadde una función.

5.7 Determina la función inversa de una fun-ciónanalizandodominioyrango.




62 63

Logaritmo- Propiedades-Operacionesconlogaritmos

▪ Relación y utilización del concepto depotencia y logaritmo.

5.8 Expresa igualdades de potencias comoigualdades de logaritmos y viceversa.

▪ Descomposición en factores primos del argumento y la base de un logaritmo.

5.9 Calculaellogaritmodeunnúmeroexpre-sándolo como potencia.

5.10Efectúaoperacionesde logaritmosutili-zandosuspropiedades.

▪ Aplicación de la propiedad de cambio de base para logaritmos.

5.11Utiliza lapropiedaddelcambiodebasede un logaritmo para calcular el logarit-modeunnúmero.

Función logarítmica-Gráfica- Dominio y rango- Monotonía

▪ Construcción de la función f(x)=log x, apartirdetablasylocalizacióndepuntosen el plano cartesiano.

5.12Graficafuncioneslogarítmicasutilizandotabla de valores y colocando puntos en el plano cartesiano.

▪ Análisis y comparación de los elementos de las funciones logarítmicayexponen-cial.

5.13Determinalafuncióninversadeunafun-ciónlogarítmicaoexponencial.

Ecuaciones logarítmicas ▪ Resolución de ecuaciones logarítmicasaplicandoladefinicióndelogaritmos.

5.14Resuelve ecuaciones logarítmicas, apli-cando propiedades de potencias.

▪ Resuelve ecuaciones logarítmicas apli-cando propiedades de logaritmos.

5.15Resuelve ecuaciones logarítmicas utili-zando propiedades de logaritmos y po-tencias.

Logaritmo base 10 y natural ▪ Aplicación del logaritmo base 10 en elcálculodedígitosdeunnúmeronatural.

5.16Determina la cantidaddedígitos de unenteropositivoutilizandologaritmobase10ycalculalogaritmonaturaldeunnú-mero usando calculadora.


CONCEPTUALES



64 65

Funciones trigonométricas-Razonestrigonométricas- Círculo trigonométrico- Periodicidad

▪ Determinación de las razones trigo-nométricasdeunánguloapartirdelascoordenadas de un punto.

5.17Calcula las razones trigonométricas deun ángulo determinado por un punto P en el plano cartesiano.

▪ Determinación de las coordenadas de

un punto en el círculo trigonométrico.5.18Grafica en el círculo trigonométrico el

punto P(cos θ, senθ) para un ángulo θ dado.

▪ Interpretacióndeunarotaciónde360°o180°enelcírculotrigonométrico.

5.19Utiliza la periodicidad para evaluar lasfunciones seno y coseno en ángulos ma-yoresa360°ymenoresa0°.

5.20Utiliza la periodicidad para calcular latangente de ángulos mayores a 180° ymenoresa0°.

Gráfica de las funciones trigonométricas- Función seno- Función coseno- Función tangente- Periodo- Amplitud-Desplazamientos

▪ Construcción de la gráfica de las fun-cionessenoycosenoutilizando tablas,localizacióndepuntosenelplanocarte-siano y periodicidad.

5.21Grafica lafunciónsenoutilizando lape-riodicidad.

5.22Grafica la función coseno utilizando laperiodicidad.

▪ Interpretación geométrica de la tangen-te por medio del círculo trigonométrico.

5.23Representaelvalordelatangentedeunángulo utilizando el círculo trigonomé-trico.

▪ Construccióndelagráficadelafunción

tangente utilizando tablas, localizaciónde puntos en el plano cartesiano y pe-riodicidad.

5.24Graficalafuncióntangenteutilizandolaperiodicidad.




64 65

▪ Análisisdelperiodo,amplitudydespla-zamientosde lasgráficasde las funcio-nestrigonométricasapartirdetablasylocalizacióndepuntosenelplanocarte-siano.

5.25Grafica funciones trigonométricas deltipoy = Asen θ y y = sen Bθ.

5.26Grafica funciones trigonométricas deltipoy = sen θ + k.

5.27Grafica funciones trigonométricas deltipoy = sen(θ – α).

5.28Grafica las funciones trigonométricasdeltipoy = Asen B(θ – α).

Sistema circular de ángulos ▪ Aplicación del arco subtendido por un ángulo en el círculo trigonométrico.

5.29Convierteángulosdelsistemasexagesi-mal al sistema circular y viceversa.

Práctica en software matemático-Gráficadelasfuncionestrigonométricas

en el plano cartesiano-Gráficadelasfuncionestrigonométricasapartirdelcírculotrigonométrico

-ElmétododeexhaucióndeArquímedes

▪ Elaboracióndelasgráficasdelasfuncio-nes trigonométricas en el plano carte-sianousandoherramientasdesoftware.

5.30 Identifica la variación de las funcionestrigonométricas al cambiar su periodo,amplitudyalrealizardesplazamientos.

▪ Construcción de las funciones trigo-nométricas a partir del círculo trigo-nométrico.

5.31Utiliza las herramientas del softwarepara construir las funciones seno y cose-noapartirdelcírculotrigonométrico.

5.32Utiliza las herramientas del softwarepara construir la función tangente a par-tirdelcírculotrigonométrico.

▪ Aproximacióndelvalordeπporelméto-dodeexhaución.

5.33Explica el método de exhaución en elcírculo trigonométrico por medio de un softwareparaaproximarelvalordeπ.


66 6766 67

▪ Seguridadalexplicarlascaracterísticasdeunafuncióninyectiva,sobreyectivaobiyectiva.▪ Confianzaaloperarlogaritmospormediodelaspropiedadesestudiadas.▪ Perseverancia al trabajar los problemas planteados a lo largo de la unidad.

Funcióninyectiva Función inversa Ecuaciónlogarítmica Periodo

Funciónsobreyectiva Logaritmo Círculo trigonométrico Amplitud

Funciónbiyectiva Función logarítmica Función trigonométrica Radián

Composición de funciones

Composición de f con g:f∘g Logaritmo base a de b:logab Ángulo tradianes:t rad

Funcióninversa:f –1 Círculotrigonométrico:CT Funcionestrigonométricas:senθ,cosθ,tanθ

ACTITUDINALES

Conceptos claves

Notación





66 6766 67

Establecer el término general de una sucesión aritmética y geométrica para calculartérminososumasparciales,utilizandolaspropiedadesdeestassucesiones.

Sucesiones aritméticas-Términogeneral- Suma parcial

▪ Identificacióndepatronesmatemáticosmediante la deducción de la regla quelos genera.

6.1 Identifica patrones numéricos o de fi-gurasyestablecelareglaquelosgene-ra.

▪ Usodeladefinicióndetérminogeneralpara establecer una fórmula general de una sucesión.

6.2 Determina el término general de una sucesión.

▪ Usodeladefinicióndesucesiónaritmé-tica.

6.3 Determinasiunasucesiónesaritméti-cautilizandosudefinición.

▪ Cálculo de términos de una sucesión aritmética mediante la determinaciónde su término general.

6.4 Estableceeltérminogeneraldeunasu-cesiónaritméticayloutilizaparacalcu-lar algunos términos de esta.

▪ Cálculo de la suma parcial de una suce-siónaritmética.

6.5 Calcula la suma parcial de una sucesión aritmética.

Sucesiones aritméticas y geométricas6



68 69

CONCEPTUALES



68 69

▪ Determinacióndelnúmerodetérminosque deben sumarse de una sucesiónaritméticaparaobtenerunasumapar-cialespecífica.

6.6 Calculaelnúmerodetérminosquede-bensumarsedeunasucesiónaritméti-ca si se conoce la suma parcial.

▪ Resolucióndeproblemassobresucesio-nesaritméticas.

6.7 Resuelve problemas sobre sucesionesaritméticassiseconocenalgunosdatosde estas.

Sucesiones geométricas-Términogeneral- Suma parcial

▪ Usodeladefinicióndesucesióngeomé-trica.

6.8 Determina si una sucesión es geométri-cautilizandosudefinición.

▪ Uso de las propiedades de las sucesio-nes geométricas para determinar el tér-mino general.

6.9 Encuentraeltérminogeneraldeunasu-cesión geométrica.

▪ Cálculo de la suma parcial de una suce-sión geométrica.

6.10Calculalasumaparcialdeunasucesióngeométrica.

▪ Cálculodelnúmerodetérminosquede-ben sumarse de una sucesión geométri-ca para obtener una suma parcial espe-cífica.

6.11Determinaelnúmerode términosquedeben sumarse de una sucesión geomé-tricaparaobtenerunasumaespecífica.

▪ Resolución de problemas donde inter-vengan sucesiones geométricas.

6.12Resuelve problemas sobre sucesionesgeométricas si se conocen algunos da-tos de estas.


68 6968 69

ACTITUDINALES

▪ Confianzaalcalculartérminosdeunasucesiónaritméticaogeométrica.▪ Seguridadalcalcularsumasparcialesdesucesionesaritméticasogeométricas.

Patrónmatemático Sucesiónaritmética Sucesión geométrica Término

Términogeneral Diferenciadeunasucesiónaritmética Razóndeunasucesióngeométrica Suma parcial

Conceptos claves

Notación

Términogeneraldeunasucesión:an Términogeneraldeunasucesiónaritmética:an = a1 + d(n–1)

Términogeneraldeunasucesióngeométrica:an = a1rn–1 Sumatoria de una sucesión an:i=1

nai


70 71




70

Plantear estrategias para realizar conteos sobre diferentes situaciones del entorno,utilizandolosprincipiosbásicosdeconteo,laspermutacionesycombinaciones.

Teoría de conjuntos- Conjunto y elemento- Diagrama de Venn- Cardinalidad de un conjunto-Operacionesconconjuntos

▪ Lectura y análisis de los conceptos so-bre teoría de conjuntos y diagramas de Venn.

7.1 Define los conceptos sobre teoría deconjuntos y diagramas de Venn.

▪ Interpretacióndel lenguajecotidianoallenguaje de la teoría de conjuntos.

7.2 Determinalaunión, intersección,dife-rencia y complemento de conjuntos.

▪ Uso de los diagramas de Venn para es-tablecer las propiedades de la cardinali-dad de conjuntos y de sus operaciones.

7.3 Calcula la cardinalidad de conjuntos yde sus operaciones.

▪ Aplicación de las propiedades de la car-dinalidad de las operaciones con con-juntos.

7.4 Resuelveproblemasaplicandolaspro-piedades de la cardinalidad de las ope-raciones con conjuntos.

Principios básicos de conteo- Diagrama de árbol- Principio de la suma -Principiodelamultiplicación-Factorialdeunnúmero

▪ Identificacióndeloselementosdeldia-grama de árbol.

7.5 Utilizaeldiagramadeárbolpararesol-ver situaciones sobre conteo.

▪ Aplicación del principio de la suma para resolver problemas sobre conteo.

7.6 Aplica el principio de la suma para re-solver problemas sobre conteo.

Métodos de conteo7





70 71

▪ Aplicacióndelprincipiodelamultiplica-ción para resolver problemas sobre con-teo.

7.7 Aplica el principio de la multiplicaciónpara resolver problemas sobre conteo.

▪ Desarrollode la expresióndel factorialdeunnúmero.

7.8 Calculaelresultadodeexpresionesconfactoriales.

Permutaciones- Concepto de permutación-Permutacionesconrepetición- Permutaciones circulares-Permutacionesconobjetosrepetidos- Conteo por el complemento

▪ Identificación de las condiciones parautilizarlaspermutaciones.

7.9 Utiliza laspermutacionespara resolverproblemas sobre conteo.

▪ Resolución de problemas que involu-cran principios básicos de conteo y per-mutaciones.

7.10 Integralaspermutacionesconlosprin-cipios de la suma y la multiplicaciónpara resolver problemas sobre conteo.

▪ Resolucióndeproblemas sobreconteoaplicando permutaciones con repeti-ción.

7.11Resuelveproblemas sobre conteoapli-candopermutacionesconrepetición.

▪ Establecimientodelasdiferenciasentreun arreglo lineal y uno circular.

7.12Usa las permutaciones circulares pararesolver problemas sobre conteo.

▪ Análisis de las condiciones y solución de unproblemasobreconfiguracionescir-culares.

7.13Establece una estrategia para resolverproblemassobreconfiguracionescircu-lares.

▪ Identificaciónde las condicionesdeunproblema sobre permutaciones con ob-jetosrepetidos.

7.14Determinalasolucióndeproblemasso-bre conteo donde se involucren objetos repetidos.


72 73

CONCEPTUALES



72 73

▪ Identificación de las condiciones parautilizarconteoporelcomplemento.

7.15Aplica el conteo por el complementopara resolver problemas sobre conteo.

Combinaciones- Concepto de combinaciones- Conteo de caminos-Identidadescombinatorias-TriángulodePascal-BinomiodeNewton-Técnicadelosseparadores

▪ Identificación de las condiciones parautilizarlascombinaciones.

7.16Utiliza las combinacionespara resolverproblemas sobre conteo.

▪ Planteamientodeestrategiasque inte-gran combinaciones y los principios bá-sicos de conteo.

7.17 Integralascombinacionesconlosprin-cipios de la suma y la multiplicaciónpara resolver problemas sobre conteo.

▪ Aplicación de las combinaciones en el conteo de los caminos más cortos en una cuadrícula.

7.18Determina la cantidad de caminos delongitud mínima para ir de un punto A a un punto B dentro de una cuadrícula.

▪ Construcción de cuadrículas para de-mostraridentidadescombinatorias.

7.19Demuestra identidades combinatoriasutilizandoconteodecaminos.

▪ Creación de situaciones a partir de lascuales se puede contar de dos maneras diferentes.

7.20Realizademostracionessobre identida-des combinatorias planteando dos for-masdecontarunasituaciónespecífica.

▪ Visualización y justificación del patrónquedefinealtriángulodePascal.

7.21Establecelarelaciónqueexisteentreloscombinatorios en el triángulo de Pascal.

▪ AplicacióndelbinomiodeNewtonparadeterminarelcoeficientedeuntérminoen el desarrollo de un binomio.

7.22AplicaelbinomiodeNewtonparadeter-minarelcoeficientedeuntérminoeneldesarrollo de un binomio.

▪ Uso de la técnica de los separadores en la resolucióndeproblemasque involu-cranclasesdeobjetosidénticos.

7.23Utilizaseparadorespararesolverproble-mas de conteo que requieran escogergruposdeobjetosidénticos.


72 7372 73

ACTITUDINALES

Diagrama de árbol Permutación TriángulodePascal Identidadescombinatorias

Factorialdeunnúmero Combinación BinomiodeNewton

▪ Interés por comprender la teoría de conjuntos y aplicarla en otros temas.▪ Responsabilidadenlaresolucióndeproblemascorrespondientesalosprincipiosbásicosdeconteo.▪ Seguridadalaplicarlaspermutacionespararesolverdiferentestiposdeproblemas.▪ Predisposiciónparaelaprendizajedelascombinaciones.

Conceptos claves

Notación

Pertenencia:a ∈ A Conjunto:A={1,2,3,a,b,c} Conjuntovacío:∅ Interseccióndeconjuntos:A⋂B

Cardinalidaddeunconjunto:n(A) Subconjunto:B⊂ A Unióndeconjuntos:A⋃B Complementodeunconjunto:Ac

Factorial:n! Permutación:nPr Combinación:nCr


74 75




74

Aplicar los conceptosbásicos sobreprobabilidad, resolviendoproblemasdel entorno ycalculando probabilidades para tomar decisiones acertadas y oportunas en situaciones específicasdelavidacotidiana.

Axiomas de Kolmogórov- Conceptos básicos sobre probabilidad-Regladeadicióndelaprobabilidad-AxiomasdeKolmogórov-AplicacióndelosaxiomasdeKolmogórov:

probabilidad del complemento

▪ Recreación de experimentos para pre-decir resultados y comparar la probabili-dadexperimental.

8.1 Defineyaplicalosconceptosdeproba-bilidad,experimentoaleatorio,espaciomuestral, evento,probabilidadexperi-mental y evento simple.

▪ Aplicación de la cardinalidad de conjun-tos para calcular la probabilidad teórica de un evento.

8.2 Calcula la probabilidad teórica para si-tuacionesespecíficas.

▪ Correspondencia de la regla de adición paralaunióndedoseventos,conlacar-dinalidad de la unión de dos conjuntos.

8.3 Resuelve problemas de probabilidadaplicando la regla de adición para la unióndedoseventosexcluyentesonoexcluyentes.

▪ Generalización de la regla de adiciónparalaparticióndeunconjunto.

8.4 Encuentralaprobabilidaddeuneventoquepuedeparticionarse.

▪ Cálculo de la probabilidad de eventos específicos.

8.5 CompruebayaplicalosaxiomasdeKol-mogórov.

▪ Aplicación de la unión de conjuntos y la regladeadiciónparaeventosexcluyen-tes.

8.6 Determina la probabilidad de un even-to calculando la probabilidad del even-to complementario.

Probabilidad8Tiempoprobable:17horas




74 75

Probabilidad condicional- Fórmula de la probabilidad condicional- Aplicaciones de la probabilidad condicio-

nal-Aplicacióndelaprobabilidadcondicional:Teoremadeprobabilidadtotalyteoremade Bayes

-Experimentosindependientes-Aplicacionesdelosexperimentosinde-

pendientes y las combinaciones

▪ Uso de tablas de doble entrada para in-terpretar la noción de probabilidad con-dicional.

8.7 Aplica la probabilidad condicional para resolversituacionesespecíficas.

▪ Aplicación de la fórmula de probabilidad condicional.

8.8 Determina la probabilidad de la inter-sección de dos eventos aplicando el teo-rema del producto para la probabilidad.

▪ Planteamientodeestrategiasquecom-binan principios básicos de conteo y probabilidad condicional.

8.9 Combina los principios básicos de con-teo con los conceptos de probabilidad condicional para resolver problemas.

▪ Aplicación sobre probabilidad total y TeoremadeBayes.

8.10Resuelve problemas de aplicación delteorema de probabilidad total y teore-ma de Bayes.

▪ Cálculo de la probabilidad de experi-mentos independientes.

8.11Calcula laprobabilidaddequeocurranal menos dos experimentos indepen-dientes.

▪ Aplicacióndelaprobabilidaddeexperi-mentos independientes y combinacio-nes en la distribución de probabilidad binomialymultinomial.

8.12Encuentra probabilidades para valoresespecíficos de la distribución binomialomultinomial,utilizandolosconceptosde independencia de experimentos ycombinaciones.

▪ Aplicacióndelaprobabilidaddeexperi-mentos independientes y combinacio-nes en la distribución de probabilidad binomialnegativa.

8.13Aplica los conceptos de experimentosindependientes y combinaciones en la resolución de problemas sobre el cálcu-lo de probabilidades para valores espe-cíficosdeladistribuciónbinomialnega-tiva.


ACTITUDINALES

Probabilidad Espaciomuestral Probabilidadexperimental Probabilidad condicional

Experimentoaleatorio Evento Probabilidad teórica Experimentosindependientes

▪ Responsabilidadparatomardecisionesbasadasenelcálculodeprobabilidades.▪ Interésencolaborarconsuscompañerosparaelaprendizajedeloscontenidossobreprobabilidad.

Conceptos claves

Notación

Probabilidadexperimental: Pe(A) Espaciomuestral:S Probabilidadteórica:P(A) Probabilidadcondicional:P(A/B)


VI. Referencias bibliográficas▪ MinisteriodeEducación(2008).Currículo al servicio del aprendizaje.ElSalvador.

▪ MinisteriodeEducación(1999).Fundamentos curriculares de la educación nacional.(Versióndivulgativa).ElSalvador.

▪ MinisteriodeEducación(2008).Programa de estudio de Matemática, Educación Media.ImpresoenPerúporQuebecorWorld.

▪ Zabala,A.,yotro(2008).Práctica Educativa. Cómo enseñar.Barcelona,España:EditorialGraó.

▪ Zabala,A.,yotro(2007).11 ideas clave. Cómo aprender y enseñar competencias.Barcelona,España:EditorialGraó.

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