MATEMÁTICA - upvix.com.br · 2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA Prof. Favalessa ÂNGULOS E POLÍGONOS QUESTÕES ÂNGULOS E PARALELAS QUESTÃO 1 Calcule a medida de

2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA

Prof. Favalessa

ÂNGULOS E POLÍGONOS – QUESTÕES

ÂNGULOS E PARALELAS

QUESTÃO 1

Calcule a medida de cada um dos oito ângulos representados na figura abaixo, onde as retas r e s são paralelas e cortadas pela transversal t:

QUESTÃO 2

Calcule a medida do ângulo α representado abaixo, sabendo que as retas e são paralelas:

QUESTÃO 3

Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule as medidas dos ângulos internos e externos do triângulo representado na figura.

1


QUESTÃO 4

Na figura abaixo, as retas r e s são cortadas por duas transversais t e u. Calcule as medidas dos ângulos x e y:

QUESTÃO 5

(Cesgranrio) As retas r e s da figura são paralelas e cortadas pela transversal t. Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale:

a) 90o b) 85o c) 80o d) 75o e) 60o

TRIÂNGULOS

QUESTÃO 1

Quantos triângulos que possuem 2 lados medindo 17cm e 25cm possuem perímetro expresso por um número inteiro de centímetros? QUESTÃO 2

Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm, qual será a medida do perímetro desse triângulo? QUESTÃO 3

Na figura abaixo, a medida de AD é igual a medida de BD. Calcule as medidas de x, y e z.

QUESTÃO 4

Calcule a soma das medidas dos ângulos assinalados na figura abaixo:

2


QUESTÃO 5

(UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer quadros consecutivos, temos os três ângulos de um triângulo. Determine a medida do ângulo x:

QUADRILÁTEROS QUESTÃO 1

Uma das diagonais de um retângulo faz um ângulo de 36o com um de seus lados. Calcule o ângulo obtuso formado pelas diagonais.

QUESTÃO 2

Na figura abaixo, GBDC e GDEF são dois quadrados e AGB é um triângulo equilátero. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo AFD:

QUESTÃO 3

(FUVEST) No retângulo abaixo, o valor em graus de (α + β) é:

a)50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220

QUESTÃO 4

Na figura, BC é a bissetriz do ângulo OCD. Determine o valor de γ:

a) 40° b) 35° c) 60° d )30° e) 45°

3


QUESTÃO 5

(Fuvest) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm.

A área do triângulo, em , é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

POLÍGONOS QUESTÃO 1

Qual o polígono convexo cujo número de lados é igual ao número de diagonais?

QUESTÃO 2

Qual o polígono regular que possui 20 diagonais?

QUESTÃO 3

Calcule a soma dos ângulos internos do eneágono regular.

QUESTÃO 4

Qual o polígono regular que possui ângulo interno igual a 108o?

QUESTÃO 5

Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?

QUESTÃO 6

O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular mede 30o. Quantas diagonais possui esse polígono?

QUESTÃO 7

(UERJ) Observe o desenho ao lado.

Ele representa uma folha retangular com 8 cm x 13 cm, que foi recortada formando duas figuras I e II, que, apesar de distintas, possuem a mesma área. A diferença entre o perímetro da figura I e da figura II, em cm, corresponde a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

4


QUESTÃO 8

(UERJ) Uma grade retangular é montada com 15 tubos de 40 cm na posição vertical e com 16 tubos de 50 cm na horizontal. Para esse tipo de montagem, são utilizados encaixes nas extremidades dos tubos, como ilustrado abaixo:

Se a altura de uma grade como essa é igual ao comprimento de x tubos, e a largura equivale ao comprimento de y tubos, a expressão que representa o número total de tubos usados é: a) + x + y –1 b) xy + x + y + 1 c) xy + 2x + 2y d) 2xy + x + y

GABARITOS :

Paralelas: 1) 4 de 60 e 4 de 120 2) 40 3) ângulos internos 40o , 60o e 80o ; ângulos externos 120o ; 140o e 100o 4) y = 160o x = 110o 5) A Triângulos : 1) 33 2) 90 cm 3) z = 40o ; y = 30o ; x = 80o 4 ) 180o 5 ) 15o

Quadriláteros 1) 108o 2) 75o ; 60o ; 45o 3) D 4) B 5) A Polígonos : 1) Pentágono 2) Octógono 3) 1260o 4) Pentágono 5) Octógono 6) 54 7) D 8) D

RESOLUÇÃO:

1) Solução. Os ângulos indicados são correspondentes agudos. Logo, possuem a mesma medida. Os ângulos obtusos são suplementares.

12060180)6060)60.(2)

60318060120460120430

2602)

obtusosângulosiii

agudosângulosii

xxxxxx

xi

.

Resposta: Há 4 ângulos agudos de 60° e 4 ângulos obtusos de 120°. 2)

5


Solução. Observando a figura temos que: 4050909050 . 3) Solução. O ângulo interno de 60° é interno suplementar de 120°. Como as retas r e s são paralelas, os ângulos de 120° e (2x + 4x) são congruentes. Logo, 6x = 120° => x = 20°. Então o ângulo interno (2x) mede 40° e o de (4x) mede 80°. O ângulo y mede 80°, pois é alterno interno de (4x). O ângulo b é suplementar de y. Logo, b = 180° – 80° = 100°. Resposta: Se os ângulos internos medem 60°, 40° e 80°, os externos serão os respectivos suplementares 120°, 140° e 100°. 4) Solução. O ângulo x é suplementar de 70°. Logo, x = 180° - 70° = 110°. Da mesma forma, y é suplementar de 20°. Logo, y = 180° - 20° = 160°. 5) Solução. Os ângulos A e B são suplementares. Utilizando as informações, temos:

9045135)

135)45.(3,.45418018041803

3180

)

ABii

BLogoAAAAAB

ABi

.

TRIÂNGULOS 1) Solução. De acordo com a condição de existência e supondo o terceiro lado medindo L, temos:

331)941(42817251725 LLL .

Há um total de 34 triângulos possíveis. 2) Solução. O terceiro lado terá que medir 38 cm, pois se medisse 14 cm, a soma 14 + 14 < 38, não satisfaria a condição de existência. Logo, o perímetro é: 38 + 38 + 14 = 90 cm. 3) Solução. O triângulo ABD é isósceles. Escrevendo as relações angulares nos triângulos indicados, temos:

3015018018070)80180100)

408021801002)

yxyiii

xxii

zzzi

.

Resposta: x = 80°, y = 30° e z = 40°.

6


4) Solução. Identificando os três triângulos na figura, temos:

180180360180180180

180360180180

180)180()180(180180

yy

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x

.

5) Solução. Os três ângulos de um triângulo somam 180°. Completando os espaços indicados com ângulos a e b, temos:

15165180651001801806510080180)(180180

80100180180100

xxxbx

bbxabbxa

xaxaxa

.

QUADRILÁTEROS 1) Solução. As diagonais de um retângulo cortam-se ao meio, formando triângulos isóscels. Observando a figura, temos: x = 180° - (36° + 36°) = 108°. 2)

Solução. Os quadrados DEFG e BCDG estão justapostos e possuem as mesmas medidas. O triângulo equilátero AGB possui como base o lado BG do quadrado. Logo, FG = AG. Dessa forma o triângulo AFG é isósceles. O

7


mesmo acontece com o triângulo AGD. Isósceles com AG = GD. A diagonal FD do quadrado DEFG é bissetriz do ângulo reto. Observando a figura, temos:

60154545ˆ451530ˆ

153021801502

)

75453045ˆ306021801202

)

yDÀngulo

yxAÀngulo

yyy

ii

xFÀngulo

xxxi

. Os ângulos pedidos são: 45°, 60° e 75°.

3)

a)50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 Solução. Identificando o quadrilátero cuja soma dos ângulos internos vale 360°, temos:

1301309018018040360

36090180180403609040180180180180

yx

yy

xx

.

3) Solução. Observando os ângulos indicados na figura, temos:

35145180180)1451025180º18025)

102160180180160)

yiii

yxyii

xxxi

.

5) Solução. Identificando os triângulos e calculando as áreas, temos:

211121

21

12)2).(1(

2:

1:)

21

2)1).(1(

1:

1:)

21

2)1).(1(

1:

1:)

totalÁrea

YÁreaEGaltura

BDbaseiii

YÁreaBDaltura

BCbaseii

XÁreaEFaltura

BCbasei

.

8


POLÍGONOS 1) Solução. Utilizando as fórmulas convenientes, temos:

50

0)5.(05232)3.(

2)3.(

22

n

nnnnnnnnn

nn

nladosden

nnd

.

Como o número de lados não pode ser nulo, n = 5. O polígono é o pentágono. 2) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:

58

0)5).(8(0403403202)3.(

202)3.(

22

n

nnnnnnn

nn

d

nnd

.

Como o número de lados não pode ser negativo, n = 8. O polígono é o octógono. 3) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:

1260)7.(180)29.(1809

)2.(180i

i Sn

nS.

4) Qual o polígono regular que possui ângulo interno igual a 108o? Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:

572360360.72360.108.180

.108360.180108)2.(180

108

)2.(180

nnnnn

nnn

n

An

nA

i

i

.

O polígono é o pentágono. 5) Solução. Utilizando a fórmula conveniente, temos:

818014401080360.1801080360.180

1080360..180360.3)2.(180360

)2.(180

nnnn

nn

n

nn

n

nA

n

nA

e

i

.

O polígono é o octógono.

9


6) Solução. Considere um polígono regular genérico mostrado na figura. Os ângulos consecutivos medem (2x). O ângulo formado por suas bissetrizes é vértice de um triângulo isósceles cujos lados congruentes são raios da circunferência circunscrita. Temos:

54)9).(6(2

)312.(122)3.()

1230360360.150.180

.150360.180150)2.(180)

150)75.(2)2()

7523018018030)

nndiv

nnn

nnn

niii

xAii

xxxi

i

.

O polígono possui 54 diagonais. 7)

Solução. Calculando os perímetros e a diferença pedida, temos:

618224218224222182855222428882:2

212

1

xxxxPPxxP

xxP.

8) Solução. Repare que o total de emendas em cada direção é sempre uma unidade a mais que o total de tubos: i) horizontal: 4 tubos. Logo 5 emendas. Em cada uma entrará uma vertical composta de 3 tubos. Logo, na vertical haverá 3.(4 + 1) = 15 tubos. ii) vertical: 3 tubos. Logo 4 emendas. Em cada uma entrará uma horizontal composta de 4 tubos. Logo, na horizontal haverá 4.(3 + 1) = 16 tubos. O total de tubos é então: T = 3.(4 + 1) + 4 (3 + 1) = 15 + 16 = 31. Considerando altura com x tubos na altura, haverá (x + 1) emendas. Logo se encaixará uma horizontal com y tubos. Da mesma forma, a largura com y tubos possui (y + 1) emendas com cada uma encaixando uma vertical com x tubos. Logo o total será: Total = y(x + 1) + x(y + 1) = xy + y + xy + x = 2xy + x + y.

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RAZÕES E PROPORÇÕES – QUESTÕES QUESTÃO 1

(ENEM) Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa seleção, deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os jogadores deverão ter mais de

14 anos, estatura igual ou superior à mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 87

têm mais de 14

anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 21

têm estatura igual ou superior à mínima exigida e,

destes, 32

têm bom preparo físico. A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 32 e) 42 QUESTÃO 2

(UERJ) Muitas jóias são constituídas por ligas feitas de uma mistura de ouro puro com outros metais. Uma jóia é

considerada de ouro n quilates se 24n

de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro, maior ou igual a 1 e

menor ou igual a 24. Uma aliança de ouro 15 quilates tem massa igual a 4 g. Para transformar essa aliança em outra, de ouro 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar, em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a: a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 QUESTÃO 3

(PUC) Uma indústria opera com custo fixo de produção (sem contar os impostos) de 100 000 reais por ano e tem de pagar impostos sobre 30% de seu faturamento bruto. Quando deve faturar para que seu lucro seja de, no mínimo, 40 000 reais? a) R$500.000,00 b) R$230.000,00 c) R$140.000,00 d) R$200.000,00 QUESTÃO 4

(UERJ) Um medicamento, para ser administrado a um paciente, deve ser preparado como uma solução aquosa de concentração igual a 5%, em massa, de soluto. Dispondo-se do mesmo medicamento em uma solução duas vezes mais concentrada, esta deve ser diluída com água, até atingir o percentual desejado. As massas de água na solução mais concentrada, e naquela obtida após a diluição, apresentam a razão.

a) 75

b) 95

c) 199

d) 157

QUESTÃO 5

(ENEM) A varfarina é um fármaco que diminui a agregação plaquetária, e por isso é utilizada como anticoagulante, desde que esteja presente no plasma, com uma concentração superior a 1,0 mg/L. Entretanto, concentrações plasmáticas superiores a 4,0 mg/L podem desencadear hemorragias. As moléculas desse fármaco ficam retidas no espaço intravascular e dissolvidas exclusivamente no plasma, que representa aproximadamente 60% do sangue em volume. Em um medicamento, a varfarina é administrada por via intravenosa na forma de solução aquosa, com concentração de 3,0 mg/mL. Um indivíduo adulto, com volume sanguíneo total de 5,0 L, será submetido a um tratamento com solução injetável desse medicamento. Qual é o máximo volume da solução do medicamento que pode ser administrado a esse indivíduo, pela via intravenosa, de maneira que não ocorram hemorragias causadas pelo anticoagulante? a) 1,0 mL b) 1,7 mL c) 2,7 mL d) 4,0 mL e) 6,7 mL QUESTÃO 6

(UERJ) Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários. O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a: a) 10 b) 12 c) 13 d) 15

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QUESTÃO 7

(ENEM) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos, mas aproximadamente 64 toneladas de cada 100 toneladas que se produz são perdidas ao longo da cadeia produtiva. Em relação ao total de alimentos produzidos, a perda de alimentos é distribuída da seguinte forma: 20 toneladas na colheita, 8 toneladas no transporte e armazenamento, 15 toneladas na indústria de processamento, 1 tonelada no varejo e 20 toneladas no processamento culinário e hábitos alimentares.

Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 26 out. 2011 (adaptado).

De acordo com os dados apresentados, os alimentos que são perdidos no processamento culinário e nos hábitos alimentares representam qual porcentagem em relação ao total de alimentos que são perdidos no país? a) 12,28% b) 20,00% c) 31,25% d) 36,00% e) 44,00% QUESTÃO 8

(ENEM) Em 2010, cerca de 3,24 milhões de passageiros foram transportados entre os Estados Unidos e o Brasil, de acordo com dados divulgados pela Agência Nacional de Aviação Civil (Anac). O gráfico mostra a distribuição relativa do número de passageiros transportados entre o Brasil e os cinco destinos mais procurados, dos quais apenas dois países são europeus: França e Portugal. De acordo com esses dados, o valor mais aproximado para a quantidade total de passageiros transportados em 2010 entre o Brasil e os países europeus mostrados no gráfico é: a) 874 800 b) 1 018 285 c) 1 481 142 d) 2 499 428 e) 3 240 000 QUESTÃO 9

(PUC) Duas torneiras jogam água em um reservatório, uma na razão de 1 m3 por hora e a outra na razão de 1 m3 a cada 5 horas. Se o reservatório tem 12 m3, em quantas horas ele estará cheio? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 QUESTÃO 10

(FUVEST) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? a) R$22.500,00 b) R$24.000,00 c) R$25.350,00 d) R$39.000,00 QUESTÃO 11

(ENEM) Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante Φ = 1,618... Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata à modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura. Analisando a fotografia de cinco candidatas, I, II, III, IV e V, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas: • Candidata I: M1 = 11 cm; M2 = 5,5 cm e M3 = 7 cm. • Candidata II: M1 = 10,5 cm; M2 = 4,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata III: M1 = 11,5 cm; M2 = 3,5 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata IV: M1 = 10 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. • Candidata V: M1 = 10,5 cm; M2 = 4 cm e M3 = 6,5 cm. A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi: a) I b) II c) III d) IV e) V QUESTÃO 12

(ENEM) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212.... O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são: a) 103 em cada 330 b) 104 em cada 333 c) 104 em cada 3 333 d) 139 em cada 330 e) 139 em cada 330

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QUESTÃO 13

(UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? a) 1 b) 2 c) 20 d) 25 e) 50 QUESTÃO 14

(ENEM) Em uma cidade, os impostos que incidem sobre o consumo de energia elétrica residencial são de 30% sobre o custo do consumo mensal. O valor total da conta a ser paga no mês é o valor cobrado pelo consumo acrescido dos impostos. Considerando x o valor total da conta mensal de uma residência e y o valor dos impostos, qual é a expressão que relaciona x e y?

a) 3,13,0 x

y b) xy 3,0 c) 3,1x

y d) 3,03,1 x

y e) xy 7,0

GABARITOS 1) b. 2) c. 3) d. 4) c. 5) d. 6) b. 7) c. 8) d. 9) b. 10) b. 11) e. 12) a. 13) e. 14) a.

RESOLUÇÃO:

1. Solução. Identificando as quantidades, temos:

osselecionadfísicopreparobomiii

mínimaestaturaii

anosalunosi

142132:)

214221:)

424887:)14()

.

2. Solução. Para 15 quilates, temos: gouromassaii

gtotalmassai

5,26154

2415:)()

4)()

.

Para 18 quilates será acrescentada quantidade m de ouro puro:

0,25,04

5,2343

5,24335,2

2418

2472

5,2)4(2418:)()

)4()()

mmm

m

mm

mm

mmouromassaii

gmtotalmassai

.

3. Solução. Considerando F o faturamento bruto e I o valor do imposto pago, temos que: I = 0,3F. O lucro será a diferença positiva entre o faturamento bruto e a soma das despesas (custo e imposto).

0002007,00001400001407,0000403,0000100

000403,0000100

FFFF

Lucro

Fimposto

Custo

.

4. Solução. O que varia entre a solução mais concentrada e a menos concentrada é a quantidade de água. Mais concentrada, menos água. Menos concentrada, mais água. Sendo M a massa do medicamento, A (massa de água na menor concentração) e A’ (massa de água na menor concentração), temos:

199

9545

'.9590

'..2

'.05,0.1,0

95,0'9,0

'.05,0.1,0

95,09,0

'.1,09,0'.1,01,0%10'

:

.05,095,0.05,005,0%5:

A

A

A

A

A

A

A

A

M

M

AMAMMAM

MaconcentradMais

AMAMMAM

MaconcentradMenos

.

13


5. Solução. Se o volume do sangue é 5,0 L, então o plasma corresponderá a 60% de 5,0 L = 3,0 L. Considerando X o volume da solução a ser ministrada, temos:

mLmg

mLmgV

V

mg

mL

mgii

L

mg

L

mg

L

mgMáximoi

0,40,3

)).(0,12(0,120,3)

30,12

330,40,4:)

.

6. Solução. As velocidades dos atletas são:

min/205,7:) kmciclistai ; min/

305,7:) kmcorredorii

O ponto de encontro é alcançado ao mesmo tempo por ambos os atletas.

125,790

5,7)5,4(20

5,4225505,730225

5,720

5,730225

305,75,7:)

5,720

205,7

:)

T

xxxx

xxcorredorTii

xxciclistaTi

.

7. Solução. Estabelecendo a razão, temos: %25,313125,06420

)(/.

T

T

perdidoTotal

HábitosCulinárioP.

8. Solução. O percentual total para os países europeus (França e Portugal) é de (11% + 16%) =27%. Estabelecendo a relação, temos:

milhõesmilhões

NNmilhões 499429,2

35)24,3).(27(

%27%3524,3

.

9. Solução. Considerando as torneiras como T e T’, temos:

106512

5612:12')

56

511':

51'

1:1)

3

33

3

emmenchemTTii

menchemTTJuntasmencheT

mencheThi

.

10. Solução. Considerando P o preço do carro sem o imposto, temos:

000153,150019500193,1 PP .

Com imposto passando a 60%, temos:

0002415000)6,1(' P .

11.Solução. Calculando as razões, temos:

14


85,15,3

5,6;76,1

5,6

5,11:IIICandidata

44,15,4

5,6;615,1

5,6

5,10:IICandidata

27,15,5

7;57,1

7

11:ICandidata

;

625,14

5,6;615,1

5,6

5,10:VCandidata

625,14

5,6;53,1

5,6

10:IVCandidata

.

A candidata V apresentou suas razões aproximadamente 1,6. 12. Solução. Encontrando a fração geratriz, temos:

330103

9903093312101000

...1212,3121000...1212,310

...31212,0

xxxx

x

x

.

13. Solução. Pelo percentual há 99 homens. Saindo N homens, temos:

5002,01989998,098,0989998,0

10099

NNNNNN

N.

14. Solução. De acordo com as informações, temos:

3,13,03,13,03,03,0

3,03,0

.3,0 xyyxyyxy

yx

yCx

yCCy

.

15

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MATEMÁTICA - upvix.com.br · 2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA Prof. Favalessa ÂNGULOS E POLÍGONOS QUESTÕES ÂNGULOS E PARALELAS QUESTÃO 1 Calcule a medida de