Matemticaii Espinozaramos 130812143018 Phpapp02 Part8

574 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

i *¡ k /(* ¡ ) *./(*;)0 0 1 1 1

1 0.25 4 0.7619 3.0476

2 0.50 2 0.5714 1.1428

3 0.75 4 0.4324 1.7296

4 1.00 1 0.333 0.333

Suma 7.253

— « — (1+3.0476+1.1428 +1.7296 + 0.333) * — (7.253) = 0.6044 Jojc2 +jt+ l 3 12V

© Aproximar la integral definida por la regla de Simpson usando el valor indicado 2n. r1 dxJo Vl+JC2

, 2n = 4

Solución

f ( x)= dx ... Ax= — = - = 0.254 ^ 7 4 4

f - r ^ = T * 4 r ( / < * 0 > + 4 / ( * l ) + Z / ( * 2 ) + 4 / ( ^ 3 ) + / ( * 4 ) )

i *¡ k /(* ¡) L /(x ,)0 0 1 1 1

1 0.25 4 0.9701425 3.88057

2 0.50 2 0.8944272 1.7888544

3 0.75 4 0.8 3.2

4 1.00 1 0.7071068 0.7071068

Suma 10.576531

In te g r a c ió n N u m é r ic a 575

f1 , = * — (10.576531) * (0.0833)(10.576531) * 0.88137763

1Calcular el error para la regla de Simpson: Es = ------ (b - a)f* (¿)(Ax) *

180

f ( x ) = ■*** => f iv(x) = 105jt4(l+ x 2) 9/2, como [0,1]Vl+Jt2

/ ív(0) = 0 , / " ( ! ) = 10522.627416

para k=0. Es = - - l- ( l) (0 ) ( I )2 =0 180 4

k= 1, E = — — (1)(--- — -----)(-)2 = —1.61124*10”*180 ' 22.627416 4

—1.61124 < ^ < 0

( 7) Calcular el valor aproximado de la integral definida por la regla de Simpson para el

valor indicado 2n. f sen x dx , 2n = 6 Jo

Solución

f(x) = senx, Ax= —, x0 = 0 , x{ = x0 + iAx6

i *¡ k Ax3

/(* ;) - y ■/(*:)

0 0 1 n/18 0.000 0.174532925

1 n/6 4 it/18 0.500 0.34906585

2 ji/3 2 7t/18 0.866025 0.302299753

3 n/2 4 it/18 1.0000 0.6981317

4 2n/3 2 n/18 0.866025 0.302299753

5 5ti/6 4 71/18 0.50000 0.34906585

6 JT 1 71/18 0.0000 0.000000

2.175395831


fsenx t ic a — (2.175395831) = (0.174532925)(2.175395831) Jo 3

.*. f senx dx » 0.379678197 Jo

6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I. Usando los métodos de los trapecios y de Simpson, estimar el valor de cada integral, redondear las soluciones de cuatro cifras decimales.

© r2dxJ, t * n=4X

Rpta. T: 2.7500 , S : 2.6667

© r1 dx ---T ' n = 4Jol + jc2

Rpta. T : 0.7828 , S : 0.7854

©-21 x3dx. n = 4 Jo

Rpta. T : 4.2500 . S : 4.0000

©f2 31 x dx, n = 8 Jo

Rpta. T : 4.0625 , S : 4.0000

II.

a)

Aproxime las integrales usando.

El método de los trapecios. b) El método de Simpson,

©p*/21 cosx dx9 n = 4 Jo

Rpta. a) 0.957 b) 0.978

© fV l + jr3dx, n = 2 Jo

Rpta. a) 3.41 b) 3.22

© f -\/xa/i- x d x , n = 4 Jo

Rpta. a) 0.342 b) 0.372

© f senx2í¿c, n = 2 Jo

Rpta. a) 0.334 b) 0.305

In te g r a c ió n N u m é r ic a 5 11

©ñn< 4I x teje dw n = 4 Jo

Rpta. a) 0.194 b) 0.186

©ri 2J e x dx , n = 4 Rpta. a) — = 0.212

6413f>b) * 0.035

1024

111. Por la regla del trapecio aproximar la integral:

©f4 *dx _ _ £h \ o +s

Rpta. 1.13

©r* x dx , i n = 6

2^¡4 + x2Rpta. 9.47

© f x 2T¡16-x4dx,n = 4Jo Rpta. 6.156

© r4 ^1------T ’ n = 4-1/4 + X'

Rpta. 1.227

IV. Por la regla de Simpson, aproximar la integral.

© i V m -jc2dx. 2n = 6 Rpta. 0.561* .

© J V i2 6 - jc3í£c, 2n = 4 Rpta. 35.306

ijx3 - x d x , 2n = 4 Rpta. 11.140

[ Vi + x3í£c, 2n = 6 Rpta. 3.24Jo

578 E d u a rd o E s p in o z a R a m o s

CAPITULO VII

7 . E C U A C IO N E S P A R A M E T R IC A S .-

7.1 REPRESENTACION DE CURVAS EN FORMA PARAMETRIC A _______________________________________________

Las coordenadas (x,y) del punto P de una curva pueden estar dadas en función de una tercera variable, llamado parámetro es decir:

A la expresión dada en (1) se denomina ecuaciones paramétricas, en donde cada valor de t le corresponde un punto p(f(t). g(t)) del plano XY.

El lugar geométrico que describe el punto P se denomina curva parametrizada de la ecuación paramétrica, para obtener la ecuación cartesiana se elimina el parámetro t y de esa manera se obtiene una ecuación en forma cartesiana.

y,~ F(x) 6 B(x,y} - 0

Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.

x = 2 t, y = -5lSolución

Para trazar la gráfica primeramente hacemos una tabulación

E c u a c io n e s a r a m é tr ic a s 579

t X y0 0 0

1 2 -5

2 4 -10

-1 -2 5

-2 -4 10

( 2) x = t - 1, y = rSolución

Para trazar la grafica hacemos una tabulación.

t X y0 -1 0

1 0 1

-1 -2 1

2 L 4

-2 -3 4

Ejemplos.- Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas pasando a coordenadas cartesianas.

x = -I + eos 0 , y = 2 + 2 sen 0

Solución

[jc = —1 + COS0

y = 2 + 2 sen 6

jt + l = cos 6v - 2 , elevando al cuadrado para eliminar el parámetro.-----= sen^


(jc+1)2 + ——— = cos2 0+sen2fl =1

( V — ' l ì(jc + 1)2 + 4 -1 , que es una elipse

© x = t, y = -

Solución

Para obtener la ecuación cartesiana, eliminaremos el parámetro t.

Consideremos dos funciones f y g derivables en un intervalo [a,b] tal que:

... (a)

son las ecuaciones paramétricas.

La derivada — cuando x e y están dados en forma paramétrica se obtiene aplicando dx

la regla de la cadena, es decir:

E c u a c io n e s a r a m é tr íc a s 581

dydv ~.dt r ß iO. ( { \ .JfcOdx dx / \ l f 'T~ Ufiú

dtpara obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir:

— (ÉL)d 2y _ d dy d dy dt _ d¿d¿_dx2 dx dx dt dx dx dx

di

d g'U) / '( / )g " ( / ) - /" ( / )g ’(/)d 2y _ di f ' j t ) _dx2 ./'(/) ./'(/)

d 2y nÉC2 ( f i o ?

Generalizando se tiene:

OBSERVACION.-

dx A?*(01) La primera derivada — = - — - nos permite determinar los intervalos dedy f ' d )

crecimiento y decrecimiento de acuerdo al signo de la derivada.

2) La segunda derivada = L HIß. í í l L ífl£ nos permite determinar ladx2 (/'(O)

dirección de la concavidad en cada punto de la curva.

Ejemplo.- Calcular la derivada — de las funciones dadas en forma paramétrica.dx


©X -

/ +1. í 1

> = WSolución

/ + 1

y = í - ^ ) 2 t+\

x ' ( t )= -

y'U) =

i(/ + 1)2 2/

(/ + !)'

2/dy_y'V)_ (/ + D'Í¿T jc’( / )

2/1 t + 1

(/ + 1)2

dydx

2/

/+1

© Lv = a(/-sen /) ;rpara t = —

I y = £/(l-eos 0 2Solución

Íjt = a(/ -sen/) I >’ = £/(!-eos/)

JV(/) = tf(l-COS/) !>•’(/) = asen/

dy y'(t) asen/ sen {dx jc’(/) a(\ -eos/) 1 —eos/

r/v sen/dx 1 — eos/

dydx t=LL 1-0

= 1 => dydx

= 1

©

Ejemplos.- Encontrar la ecuación de la tangente y normal de la curva especifica en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.

x —1~ +1, y = t* + 2/, t = -2Solución

El punto para t = -2 es P(5,-12)

E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 583

dy v*(/) 3 r + 2 dv— = ------= --------- => mi. - —dx x'(t) 2 i dt r=-2

L, : y + 12 = - —(jc-5 )

1 2 ?m¡ ------- = — por lo tanto / : y+ 12 = — (x-5)m¡ 7 1

© x = 4cost, y = 2sen2 / , /= —3

Solución

7T 3El punto para t =— es P(2,—)

dy _ y'U) _ 4 sen icos/ dx x’(t) -4sen/

-cosí

mi = n:— 3

7T 1= — eos— = — 3 2

7.3 APLIC ACIONES DE EAS ECIJACIONES PARAMETRICAS -

73.1 AREA BAJO UNA CURV A DADA F.N FORMA PAR4METR1CA.-

Consideremos una curva C definida mediante las ecuaciones paramétricas.

Entonces el área de la región acotada por está curva, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b se expresa mediante la integral


J a

donde a y p se determinan de las ecuaciones a = fla); b = f(p) y g(t) > 0 en [u.P]

Ejemplo.- Hallar el área contenida en el interior de la astroide y = # cos /

r = /;sen3 / .

Solución

Aplicando la simetría, el área de la región es dado por

■/<A= 4f Z(t).f'{t)dtJa

ahora calculamos los límites de integración.

x = f (t) = a eos3/ => f(a) = 0 => tí eos1 a =0 => a = —

f(p) = a => c/cos3/i=¿/ => p = 0

/ (t) = a eos3/ / ’(/) = -3#cos2 /sen/

J'/J rO . , f n» 2 , ,g (/)/',í/)rf/ = 4l ftsen t(-3a cos~ t sen Delt =\2ah\ sen icos'l di

a J t 2 J O

12ab A sen 4/ sen 2/ ,*,2 3ab ,n „ f 3¿7/?7r(----------------------- ) / = ----- (-----0 - ( j) = -------fs //o 2 4 R8 2 8

/í = -------U~

1 X 2 L O N G I T U D U E A R C O C U A N D O L Á C U R V A . E S 0 A 0 A i m E C U A C I O N E S

P A R A M E T R I C A S . -

Si la ecuación de la curva C es dada en forma paramétrica mediante un par de funciones con derivadas continuas, es decir:


entonces la longitud de la curva C es:

Ejemplo.- Hallar la longitud del arco de la curva x = t3, y = / 2 desde t = 0

hasta t = 4.Solución

x = t

v = /2

— = 3r dt

^ = 2/ di

L = f4,/(— )2 + (— )2ífr = = f4 t j 9 r + 4 di =— (9r + 4)3'2 / 4Jo v dt Jo Jo 27 ' 0

= ¿ (3 7 ^ 3 7 -1 )» 27 ¿ = ^-(37^37-1)»

Si la curva es dada por las ecuaciones paramétricas: C : \ X donde — , —[>• = >•(/) dt dt

son continuas en a < t < p, entonces el área de la superficie obtenido por rotación alrededor del eje X, del arco de la curva desde t = a hasta t = p es expresado por la fórmula:

jfA = l n \ j i f t ) . H í t t p »

, m : Vd i d t

OBSERVACION.- Cuando se rota alrededor del eje Y y el área de la superficie esdado por:

A ~ 2 ñ fVoJ(í)2 + ( $ ) 2d i«ta ■:>.


Ejemplo.- Hallar el ¿rea de la superficie de la esfera engendrada al rotar un círculo de radio 4 alrededor de un diámetro.

Solución

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación del círculo de radio 4 es:

x 2 + v2 =16, cuyas ecuaciones paramétricas son x = 4 eos t , y = 4 sen t entonces:

— = - 4 sen / , — = 4 eo s /, donde el área de la superficie es dado por: di dt

A = 2 n f^ v(í)J(— )2 +(— )2dt = 2 n f 4seiW l6cos2 / + 16sen2 1 dt Ja V dt dt Jo

= 211 f l 6sen / dt = -32n eosi /* = 64nw2 Jo /o

NOTA.- Cuando t varia desde t = 0 hasta t = n se obtiene el semicírculo de diámetro sobre el eje X.

o Hallar el área de la región bajo un arco de la curva x = at, y = a( 1 — eos t).

Hallar el área limitada por la cicloide dada por: x(t) = a(t — sen t), y(t) = a( 1 — eos t), y por el eje X entre dos puntos sucesivos de intersección con el eje X.

E c u a c io n e s a r a m é tr ìc a s 587

Solución

A = í >•(/)*'(/) diJo'

pin

A = a(l-cos/)tf(l -cos/)d/ Jo

. - sen2/ ,2 7>í =a~(---- 2sen/+—-----) / = ¿r (311-0) = 3n¿r9 a f o A=3Uaû7.

Hallar el área de la región limitada por la cardioide

Solución

[x = #(2 eos/-eos 2/) [>* = ¿7(2 sen/-sen 2 / )

Como la cardioide es simétrica su área es:

rPA = 2 ></)xf(/) dt de donde jtf(/)=2tf(serí2/-sen/)Ja

Íjc = £7(2 cosí- eos 2í ) r**\ .. => /í = 2j v(t)x (l)dl[v = a(2 sen i-sen 2t) Jn

J.C)a( 2 sen t - sen 2t )2a(sen 2t - sen t)dt71

7 f°A=&a~ (sen/-cos/.sen/)(2sen/cos/-sen/)d/Jtt

7 f° ? ?/! = -8cr sen- /(I-3 eos/+ 2 eos- t)dtJn

„ 7 , 3r sen i eos / -, sen 2/ eos 2/ ,o^ = - 8a 1 (------ ------- -----sen / ------------------) /4 2 8 ' n

A = -8 a2( 0 - — ) = 6a2n 4

/I = 6 a 2Tl


© Hallar la longitud de un arco completo de la cicloide j*

©

x = a(t-sent) — ¿7(1 - C O S Í )

[x - a ( t - sen t) \y = a(\ - eos t)

dx~dtdy~dt

Solución

-a(\ -eos/)

= a sen /

= a^2 J ¡2 sen ~^dt = 2a| sen ~^dt = 2a[2 eos = ~Aa[-l -1] = 8a

L = 8a

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del Folium de Descartes3a i 3a t2x =-----y = --------- 1*1.

1+/3 1+|*Solución

A = y(t)x'(t)dt donde Ja

x(l) = 3at 3 c(l-2 t3)l + f3

para a = 0, p = +x

Luego el área de la región es:

(1 + r ')


M r 3a(l -2 f3)r 'J iar_Jo i+,3 (1+/3)2

cit n f+0°= 9 a - i Jo

r - 2 /5 (1 + r3)3

di

:9^ r ^ _ _ 2 r 4 ± i L rf,]Jo n + í 3)3 Jo (r> + i)3

= 9<j2[- 1 2 ,+ -------- T tV o = - 72(1 + / 3)2 3(1+ r ’)

. 3o2 ,A = -----u~

(ó ) Encontrar la longitud total de la curva dada por: x = a(2 eos t — eos 2t),

y = a(2 sen t - sen 2t).

Solución

Como la curva es simétrica con respecto al eje X, y además se tiene que cuando t varia de t = O hasta t = n el punto P(x,y) recorre la parte superior de la curva, entonces.

L - 2 f j A ^Jo V di didi

jx = a{2 eos t - eos 2t) |y = ¿7(2 sen/-sen 2t)

— = a{-2 sen / + 2 sen 2t) didv— = a(2cos/-2cos/ 2t) dt

L = 2¡ J a 2(-2 sent + 2 sen 2/)2 + a2 (2eos/ - 2 eos/ 2t)2 dt h

= 8a I**Jo

71 1-eos/ dtCK f t K

= 8ij sen—di = -16a eos— / = 16oJo 2 2 ' 0

L = 16a.

© Calcula el area de la superficie generada por la rotación alrededor del eje X, del arco


Solución

x - e senty - e cost

= e'(sen/ + cos/)dx dt

— = er (eos/-sen/) dt

A - 2/rf v(t)J(— )2 +(— )2dt = 2n\ í?'eost^JledtJo ' \ dt dt Jo

A = 2 ^2n j e2' cost dt = — (e2f(sent + 2cost))/* ~

. 2^2n n 2.. A - — — (e -2)u

( i ) Hallar el área de la superficie generada por la rotación alrededor del eje Y, del arco de

la curva >• = —(x2 -21nx), x e [1,4].4

Solución

Parametrizando la curva se tiene:

x —t1 7 , t e [1,4], calculando sus derivadas.

v= — ( r -21n/)4

— = 1; - = — ( / - - ) , de donde el área de la supei *lcie es: dt dt 2 t

= 2/rji4 z ^ = 2n [ ' ^ (/+; }2d/

= 2n í —(í+~)dt = n f (l2 +1 )dt = 7r(— + /) / 4 = 24n Ji 2 / Ji 3 ' 1

A = 2 4 m r

E c u a c io n e s a ra m é tr ic a s 591

2 2( ? ) Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse = 1, alrededor:

a~ b~

a) Del eje OX b) Del eje OY (a > b)

Solución

\ ~ y“+ 1 parametrizandoésta curva: x = acost , y = b sen t

cr b~

Por ser simétrica con respecto al eje X se tiene:

Para x = 0 => / = — ; x = a => t - 02

jx = crcos/ I y = 6senf

dx— =-a sen /^ , que al reemplazar tenemos:

dt

A = 4/r J,,. b sen isla2 sen2 / + 62 eos2 / dt = 4/r¿>sen t^Ja2 + (b2 - a 2} eos2/ dt

A = 4bn:jn sent ^ a 2 - ( a 2 - b 2)cos2 / d/ = 4ny]a2 - b 2 cosr sen/ <

. A TTrcos/ I ¿/2 1 a 2 ^ a 2 - b 2 ,oA = 4nâ~ - b ~[—— J •• •• ■— cos~ / +---- ----- — aresen------------eos/]/2 U 2 - ¿ 2 2(a2 - b 2) a ! ”n-

evaluando y simplificando se tiene:

^ a 2 - b 2 E a

^ = 2/rfc2 + aresen E donde E =


en forma similar para la parte b).

a n 2 nb2 . l + £ , , „ 4 a 1 - b *A = 2m + -----ln(------ ) donde EE 1 - E a

@ Calcular el área de la superficie obtenida al rotar un arco comprendido de la cicloide.

\x = a(/-sen /) .< , alrededor de la tangente a la cicloide en su punto mas alto.[y = a(l-cos /)

Solución

Un arco completo de la cicloide se obtiene cuando t varia desde 0 hasta 2n, en donde

el punto mas alto en este intervalo es cuando

dydy ¿i asen/ , , t dxt = 7i y como — =Jr~ =----------- entonces la pendiente de la tangente es — =0.dx dx a{ 1-cosf) dt r=n

di

Luego la ecuación de la tangente es y = 2a. Como la distancia del punto (x,y) de la cicloide a la recta tangente es (2a—y) por lo tanto el área pedida es:

A = 2 n \2\ 2 a - . v ) J Á 2 H ^ r d t Jo V dt dt

¡x = a(l-sent)I v = fl(l—eos/)

dx— = a(l-cos/) dtdv— = a sen t di

A - 2 n \ (2a - y h (— ) 2 + (— ) 2d i , reemplazando se tiene: Jo V di dt


i f2* i t t i 21 tA = 2jia I 2cos~ — .2sen — dt =#a~n eos" — .sen — dtJo 2 2 Jo 2 2

7 i16 a _/r 3r ,2«: 16¿T7Tr t 327tzr^ = ----------.eos— / = ---------- [ - 1- 1] = --------** 9 / 0 1 L J 2

. 32m 2 -> /í = --------w

7*5 EJER C IO O S PROFUESTOS -

1. Construir las gráficas de las siguientes ecuaciones dadas en forma paramétrica:

©x = 2' +2“'

y = 2 '- 2 ~ ' ©A: = fl(2cos/-cos2 0 y = ß(2sen/-sen 21)

©

a

■\/l + ratv =

©

/ - IX = -----í + 11

> = 7

©x = t - t~ y = t2 - í 3

© '

© x = t 2 -2 t y = t 2 +2t

© jc = -Vi- t >■ = aresen r

© -t ©x = e 2t -1 y = \ - e l

© [x = 3seru ly = 4tgísecf

[x = /- tg h f I y = sec ht


x =3-Jt—2 y = 2 ^ 4 - /

1jc = -

/y = ln\í\

II. En cada una de las ecuaciones, encontrar — , en donde:dx dx~

©x = arctg/

y = ln(l + r ) © I jc = a eos / i y = a sen t

©[x = a(senf-/cosí) [y = a(cos/ + /senf) © x = ln/

> - / 3

© x = aresen/©

x = lní 1

y =i - t

@x = e eos/ y =er sen t ©

x = ln/

y - i "

©jx ~aG-asenG |y = a -a c o s0 ©

y — e +cos/ x - e -senr

x = / — sen t y — {t—n)2 © 2/ ,x =e +1

y = l - e '

III. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto correspondiente al valor del parámetro que se indica:

©[x = l + 3sení nI v = 2 - 5 cosí 6 © [x = 2 sen/

|y = 5cos/n /= — 3

©[x = er(l-sen/) nI y = er(l-cos/) ’ 4 © x = 2 eos i n

, / = —y = 2 sen3/ 4


©x =

y =

2l /3 + 1 3?2

r 3 + 1

, t = 0 ©x = 4cos/ n>' = 2sen3/ ’ 3

©

IV.

©

©

©

[jc = 3 sen / - 8 5;rlv = 5 + 2sen/ ' 4

\x~ae cosí, t = 0

( í ) Hallar el área de la región limitada por el astroide x = a eos3 / , y - a sen3 /

Rpta. 3 a n i8

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide,

x = a(t-sent), y = a (l-c o s t) . Rpta. 3a 2n u 2

Hallar el área de la figura limitada por una rama de la Trocoide, x = at —bsent,

y = a -b c o s t , (0<b< a). Rpta. (b2 +2ab)nu2

Hallar el area de la región encerrada por los lazos de las curvas.

a) jc = 3/2, >* = 3/ — / 3 Rpta. ^ ^ - u 2

b) x — / — / 2, y - t 3 -3t

c) x = cos3/, y - eos2 /.sen/

81 2 Rpta. — u20

Rpta. 3/rT

~ A n a ( n - 2 ) 2Rpta. ---------- - u

(? ) Hallar el área de la región encerrada por las curvas: x = —<—, y w 1 + r 1 + /

t e [0,+ o>, y el eje Y.


(ó ) Hallar el área de la región limitada por la curva x = a eos5 t , y = b sen5

15a27r 2 Rpta. --------u128

Calcular el área de la región limitada por la curva cerrada x = -----—, y1 + r

a2(4 -n )n 2Rpta. ------------- u4

© Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por:

y = í3 -12 /. Rpta. 129.6 u2

© Hallar el área encerrada por el lazo de la curva dada por: x = t 2 - t , y =

81 ,Rpta. — u ~V 20

© Hallar el área encerrada por: x = í 3 - t . y - r + t . Rpta. ^ w 2

V.

® Hallar la longitud del arco de la envolvente del círculo:

x = a(cos t + 1 sen t), y = a(sen t - 1 eos t) desde t = 0 hasta t = T.

Rpta.

Hallar la longitud de la envolvente de la elipse x = c 2 eos3 / a

3 »3

(c2 =a2 - b 2). Rpta. A(—------- — )ab

Hallar la longitud de un arco de la cicloide dada por: xy = a( 1 - eos t). Rpta. 8a

1 + / ‘

x = t 2 - 2 1 ,

/ 3 - 3 / .

c2 sen3 1 : b ’

a(t — sen t).


(T) Hallar la longitud de la curva dada por: x = a(2 eos t - eos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t).

Rpta. 16a

2

(T) Calcular la longitud de la curva cuyas ecuaciones son * = — + / , v = — - / de

rt= 0 hastat= l. Rpta. l + -ln (l+ V 2 )

(ó ) Determinar la longitud de la curva x = e ' sen / , y = e ' eos í , desde t = 0

hasta t = n. Rpta. 71)

2 4( 7) Hallar la longitud del arco de la curva cuyas ecuaciones son: x - — , y = — ,

2 4

l < t <2 . Rpta. -(4VÍ7-V2)H-ln(4 + ^ ? )4 1 + /2

(? ) Encontrar la longitud del arco de la curva dada por: x = l - a tgh(—), v = a sec h(—)a a

desde t = -a hasta t = 2a. Rpta. [ln(cosh2)-ln(cosh(-l))]

( 9) Hallar la longitud de la curva dada en coordenadas paramétricas x = e 2í sen 3/,

v = e2r eos3/. desde el origen hasta el punto en que t = ln 2. Rpta.

^ 0) Las ecuaciones paramétricas de una curva son:|,y = 50(1 - eos / ) + 50(2 *-/) sen / v = 50 sen i + 50(2 - / ) sen /

Determinar la longitud de la curva entre los puntos i = 0 y 1 = 2. Rpta. 100

Determinar las ecuaciones paramétricas de una curva jrscn/ + ycost = /2,

x eos l — y sen t = 2t, en donde t es el parámetro, se pide hallar la longitud de la curva•>71 7l~ + ^4comprendida entre los puntos 1 = 0 y / = — . Rpta. — —— n

59K E d u a rd o E s p in o z a R a m o s

^2 ) Calcular la longitud de arco de la curva paramctrizada.

x = (t2 -2)scn / + 2/cos/, v - ( 2 - / ' i )cos/ + 2 /scn /, desde 1 = 0 hasta t = n.

n 1Rpta. -y-

^3 ) Hallar la longitud de arco de cada un de las curvas siguientes:

a) x = e sen / , y - e 1 eos / , 1 e [0,rc] Rpta. V2(i' -1)

2 1 yb) x = 4 t - v = — + — .desde t= 1 hasta t = 3. Rpta. —

S 4/ 6

c) x = ef (cost + /sen/), v= V (sen /-/cos/) t e [0.2tt] Rpta. 2U’2* 1)

14j Calcular la distancia recorrida por una partícula que viaja a lo largo de la curva dada

en forma paramétrica v = / 2 -3 , y = 3t durante el tiempo t e [0,2].

VI.

Rpta. 5 — In 3

© Hallar el área de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje OX, de la1 ^8 i *)cicloide x = a{2 eos t eos 2l), y - a(2 sen t — sen 2t). Rpta. - j - a~mi=

© Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide:x = a(t - sen t), y = a( 1 — eos t) alrededor:

64¿?2a) del eje OX Rpta. ------ k u "

b) del eje O Y Rpta. 16a ~n ~u ~

32 ac) de la tantieme a la cicloide en su punto supei iur Rpta. -------n u


Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX, las curvas dadas por:

12a) x = acos3t , y = asen* t Rpta. — a 2n u 2

b) y = e * . x > 0 Rpta. — ( e " - 2 ) n u 25

( 4) Encontrar el arco de la superficie generada al girar alrededor del eje X la curvaO /*t

x = ef sen / , y = e* cosr* /e [0 ,—]. Rpta- — — (en -2 )

Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje Y la curva x = t + 1,2 'y

y = ■— +1. t g [0.4], Rpta. (26^/26 - 2^2 )u 2

600 E d u a rd o E sp in o za R a m o s

CAPITULO VIII

8 . C O O R D E N A D A S P O L A R E S -

8.1 INTRODUCCION.-

El sistema de coordenadas polares consiste de una distancia y la medida de un ángulo respecto de un punto fijo y una semirecta fija. El punto fijo se llama el polo (u origen) y se denota por “o’\ la semirecta fija se llama eje polar que denotaremos por O A y se gráfica horizontalmente y a la derecha.

el polo eje polaro------------------------------------------ ►A

Sea P un punto distinto del polo “O” y 0 e ángulo en radianes cuyo lado inicial es___ ___O A y su lado terminal OP . Entonces: si r es la distancia dirigida desde “O” a V4P”

(r = | OP |) un conjunto de coordenadas del punto P está dado por r y 0 y denotaremos por: P(r,0) (ver gráfico).

Ejemplo.- Graficar los puntos PA4,—), A ( 4 - —) , /^(-4 ,—), f tí-4 ,“ —)4 ' 4 4 4

Solución

C o o rd e n a d a s P o la re s 601

8.2 RELACION ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES,______________ _ _ _ _ _ ___________________

Suponiendo que el polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen del sistema cartesiano y el eje polar coincide con el eje X en sentido positivo.

Luego, cualquier punto P del plano tiene por representación en coordenadas polares P(r,0) y cartesianas P(x,y).

P(r,Ö) En el A OAP se tiene: tg0 =■ 0 = arctg(—) x

1 1 7= * “ + > • “ => r = - / * 2 + V2


Que es la relación entre coordenadas polares y cartesianas.

7Ejemplo.- Trazar el punto (-6,— ) y encontrar sus coordenadas cartesianas.4

Solución

Como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces:

x = -6 eos — = -3a/24

V = -6 sen— =3^2 4

7?r 4

Luego ( a*, y ) = ( - 3 ^ 2 3 ^ 2 )

Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es

dada por jr2 + v2 =ff2

Solución

Se conoce que:[x = rcos0 I v = rsen0

2 7 Â' = r eos" O2 2 *>v = r sen ’ (y

a “ + ,v - r

Coino x2 + y2 =a2 => r 2 =a2 => r =a

Por lo tanto la ecuación polar es

Ejemplo.- Encontrar una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana es V" — 4(x + l) .

Solución

Se conoce que: x = r eos 0» y = r sen Ü. Lueô reemplazando en la ecuación

y■- = 4(x + l) entonces

r 1 sen2 0 - 4 / eos0 - 4 = 0

r~ sen‘ 0 = 4(r eo s 0 +1 ) de donde


2(cos0±l) , , , 2 2Entonces r = ------- -----de donde r =-------------- o r - ------------sen2 6 1 — eos0 l + cos0

Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es:

r 2 =2 sen 6 .

Solución

Se sabe que r 1 = x 2 + y 2, y= rsen 0 sen 0 = ~r

Como r 2 =2 sen 6 => x 2 + y 2 =

(x2 -i-y2 h jx2 + y 2 = 2y

Ejemplo.- Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación es: r 2 = 6 .

Solución

y vConocemos que: tg 6 = — => 6 = arctg(—)x x

r 2 =x2 + y2 como r2 =6 => x 2 + j 2 =arctg(—)

O LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES,_______ ! _ _ _ _________ t________■■ : " ■

Consideremos la recta L que pasa por el punto A(a,o) y que es perpendicular al eje polar ó a su prolongación, su ecuación cartesiana es dada por x = a. como x = r eos 0 entonces su ecuación polar es: r eos 0 = a.

Cuando a > 0, la recta L se encuentra a la derecha del polo; cuando a < 0 la recta L se encuentra a la izquierda del polo.

2 y

V*2 + y2


L L

A(a,0)0

___A(a,0) 0 *

a < 0a > 0

Consideremos una recta L que pasa por el punto A ( a ^ ) que es paralelo al eje polar.

Su ecuación cartesiana es y = a, como y = r sen 0, entonces su ecuación polar es: rsen 0 = a.Cuando a > 0, la recta se encuentra arriba del eje

L polar; Cuando a < 0, la recta se encuentra por71 debajo del eje polar; cualquier recta que pase por el2 polo, su ecuación es 0 = k, donde k es la medida

0 del ángulo que forma la recta con el eje polar.

La ecuación de la circunferencia con centro en el polo y radio k es r = ± k es decir, el punto P(r,0) pertenece a la circunferencia sí y solo sí | OP |= k .

C o o rd e n a d a s P o la r e s 605

Luego si la distancia | OP |= k , entonces r = ± k es la ecuación de la circunferencia de centro en el polo y radio igual a k.

P(r,0) pertenece a la circunferencia y como AOPA es recto por ser inscrito en una

circunferencia. Luego cos0 = — de donde r = 2a eos 0.2a

1. Encontrar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica.

© x 2 + y 2 + 4x = 0 © x 2 + y2 +4x + 4y = 0

© x 2 = 6y - y 2 © x 3 =4y2

© (x2 + y2)2 =4(x2 - y 2) © x 3 +y3 -3axy = 0

©2x

y x 2 +1 © y 2 - 4 x - 4 = 0

© 3x2 +4>-2 - 6 x- 9 = 0 ©V 37 X

y “ o2a~x

© jc4 +jc2>'2 —(x + y)2 = 0 ©/ 2 2x 3 \ f 2 2 / 2(x + y ) =16x y (x

© (x2 + y 2)2 =4x2 y 2 © x 2 +y 2 - 4 x + 2y = 0

© 2x2 - y 2 =0 © (x2 + y2)2 =2 a 2xy


II. Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada:

© r = 3 sen 0 + 5 eos 0 © r 2 =2sen0

© r 2 eos 20 = 10 © r 2 = eos©

© r 2 =4cos2 0 © r 2 = 6

© r = 2 sen 30 © r 6 = r2 eos2 6

© r = a 0 © 3r = -------------2 + 3 sen 6

© r 2 =4 sen 2 6 © r = 1 + 2 sen 0

@ 9r —-------------4-5cos0 © r 2 eos 20 = 3

© r = 2 eos 20 © r sen 20 = 3

© /•sen2 6 =4cos0 © r = 2(1 + sen 0)

© 6 4j* —

2-3sen0t* —

3-2cosß

© r = a sen 0 + b eos 0 © r = a(l — eos 0)

8.5 TRAZADO DE CURVAS EN COORDEN vDAS POLARES.-

La gráfica ó lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es:

G = {(r.O) c- RxR l r ~ fft))}

DISCUSION DE UNA ECUACION POLAR.-

Para facilitar el trazado de la gráfica de una ecuac ón en coordenadas polares es conveniente establecer el siguiente análisis.


ler. Las Intersecciones:

a) Con el eje polar: se hace 0 = nn, n e Z

b) Con el eje a 90°: se hace 6 =—+nn , n e Z

2do. Simetrías:

a) Con respecto al eje polar: se reemplaza (r,-0) por (r,0) si no cambia la ecuación, la curva presenta simetría.

b) Con respecto a eje a 90°: se reemplaza (r,0) por (r,jr — 0) y por (-r,-0) si laecuación no cambia la curva es simétrica.

c) Con respecto al polo: se sustituye (r,0) por (-r,0) si la ecuación no cambia la curva es simétrica.

3er. Tabulación:

Se determinan los valores de r correspondiente a los valores asignados a 0 en el dominio y se ordenan los pares.

4to. Trazado de la Gráñca:

En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.

\ M e j e m p lo s ,- Discutir y graficar las ecuaciones.

( ! ) r = a(l + eos 0) (La Cardioide)

Solución

a) Intersecciones:

i) Con el eje polar: 0 = nrc, n € Z

r = a(l + cosmr)

608 Eduardo Espinoza Ramos

S í n = 0 = > r = 2 a , ( 2 a , 0 )

S í n = 1 = > r = 0 , (O.tt)

s i n = - 1 = > r = 0 , ( 0 , - tc)

S í n = 2 = > r = 2 a , ( 2 a , 2 7 i ) = ( 2 a , 0 )

i¡) C o n e l e j e a — : + n e Z2 2

s i n = 0 , 6 = — , r = a , ( a , — )2 2

s i n = 1 , r = a ^

s i n = - 1 , G = - j < r = a > ( a - y ) = ( ° > y )

iii) C o n e l p o l o : r = 0 = > c o s 0 = - l = > 0 = r r , 3n

b) Simetrías:

i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r . - 0 ) p o r ( r , 0 ) .

r = a ( l + e o s 0 ) = a ( l + c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e l r i a .

71¡i) C o n r e s p e c t o a l e j e 0 = — : ( r . 0 ) p o r ( r , 7 t — 0 )

r = a ( l + e o s 6 ) * a ( l + c o s ( n - 0 ) ) = > 2 s i m e t r í a

¡ ü ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , ü ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , 0 4 - t i)

r = a ( 1 + e o s 0 ) * a ( 1 + c o s ( n - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

c) Tabulaciones:

0 0 1 5 °

OO

4 5 ° 6 0 ° 7 v° 9 0 °

r 2 a 1 . 9 7 a 1 . 8 7 a 1 . 7 0 a 1 . 5 a ’■ 2 6 a a

Coordenadas Polares 609

U Y

r 2 = 5 e o s 2 6 ( l e m n i s c a t a )

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n e l e j e p o l a r : 0 = n 7 c , n € Z

r 2 = 5 e o s 2 n n

S í n = 0 , 0 = 0 , r = ± 4*> = > ( ^ 5 , 0 ) y ( - ^ , 0 )

s i n = 1 , 0 = tu, r - ± 4 5 ( 4 5 9n ) y ( - 4 5 9n )

s i n = - 1 , 0 = -ti, r = ± ^ 5 = > ( 4 5 , - n ) y ( - 4 5 - n )


ii) C o n e l e j e a — : 0 = — + « / r , n e Z 2 2

S í n = 0 , r 2 = - 5 , 3 r e R

s i n = 1 , r 2 = - 5 , 3 r e R

s i n = - 1 , r 2 = - 5 , 2 r e R

ili) C o n e l p o l o r = 0 .

S i r = 0 e o s 2 0 = 0 6 = —4 2 4

b) Simetría:

i) C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r , - 0 )

r 2 = 5 e o s 2 0 = 5 c o s ( - 2 0 ) = 5 e o s 26> = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : ( r , 0 ) p o r (T,n - 0 )

r 2 = 5 c o s 2 ( 7 r - 0 ) = 5 c o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r , x t + 0 )

r 2 = 5 e o s 26 = ( ~ r ) 2 - r 2 ^ > 3 s i m e t r í a .

c) i ul ulación.

0 0 n 71 Tt TT

6 ~4 7 TR ±-V3 ± 1.58 0 a a


r = 2 sen 30 (Rosa de tres pétalos)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: Q = nn

si n = 0 , 0 = 0 , r = 2 sen 0 = 0, (0 ,0)

si n = 1, 0 = 7i, r = 2 sen 3 n = 0, (0 ,tt)

si n = 2, 0 = 2tc, r = 2 sen 671 = 0, (0,27t)

si n = 3, 0 = 371, r = 2 sen 971 = 0 , (0,3tü)

¡i) C o n respecto al eje a — : 6 = — +nn


s i n = 2 , 0 = — , r = 2 s e n ^ ^ = - 2 , ( - 2 , — )2 3 2

^ 7n -i 21;r _s i n = 3 , 0 = — , r - 2 s e n ------------ = 2 , ( 2 , — )

2 2 2

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0

s i r = 2 s e n 3 0 = 0 = > 3 0 = = > 0 = y

b) Simetría:


s i r = 2 s e n 3 0 * 2 s e n ( - 3 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e je a — : ( r , 0 ) p o r ( r , n - 0 )2

s i r = 2 s e n 3 0 = 2 s e n 3 ( 7 i - 0 ) = 3 s e n 3 0 = > B s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 )

s i r = 2 s e n 3 0 = - 2 s e n 3 0 = > 3 s i m e t r í a .

c) Tabulación:

e 71 n n 71 5 / r 71 1 0 5 °

T i ~6 ~4 y 7 2 2

R 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2 - 1 . 4 1 4

e 2n 3n 5n l l T T 71 1 3 tt I nT T ~6 1 2 2 6

R 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4 - 2

e 5n 4n 1 7 tt 3n 2 8 5 ° 5n l nT T 1 2 T T 4

R - 1 . 4 1 4 0 1 . 4 1 4 2 1 . 4 1 4 0 - 1 . 4 1 4


e H tt

6

23>r

12

2 n

r -2 -1.414 0

“V

© r = a(l - 2 eos 0)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: 0 = n n, n e Z

n = 0, 0 = 0, r = -a, (-a,0)

n = 1, 0 = n, r = 3a, (3a,n)

n = -l, 0 = 71, r = 3a, (3a,-7i)


A n 71 /s i n = 0 , 0 = — , r = a , ( a , — )

2 2

, 3/r 3/rsi n = 1, r= a. (fl,— )

s i n = - 1 , 6 r = a , ( a , - — )2 2


b) Simetría:


r = a ( l - 2 e o s 0 ) = a ( l - 2 c o s ( - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

¡ i ) C o n r e s p e c t o a l e je — : ( r , 0 ) p o r ( r , 7 i - 0 )2

r = a ( 1 - 2 e o s 0 ) * ¿7(1 — 2 c o s ( 7 r - 0 ) ) = > 3 s i m e t r í a

Iii) C o n r e s p e t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) ó ( r j r + 0 ) .

r = a ( l — 2 e o s 0 ) ^ a ( l - 2 e o s ( 7 i + 0 ) = > 3 s i m e t r í a ,

c) Tabulación:

0 0 3n n n n 5n n~12 J ~4 y 1 7 1

R - a - 0 . 9 5 a - 0 . 7 3 a - 0 . 4 1 a 0 0 . 4 8 5 a a

0 I n 2n 3 ; r 5n \ \ n 2n1 2 3 4 ~6 1 2

r 1 . 5 1 a 2 a 2 . 4 1 a 2 . 7 3 a 2 . 9 5 a 3 a

L o s d e m á s p u n t o s e s d e c i r d e 7 t a 2n s e h a c e p o r s i m e t ía .


1-COS0Solución

a) Intersecciones:

i) C o n respecto al eje polar: 0 = nn, n e Z

2si n = 0, 0 = 0 , r = — , 3 r e R

0

si n = 1, 0 = ti, r = 1, (l,n)

si n = -1,0 = -n , r= 1, (l,-7t)


ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y : 6 = y + n n , n e Z

_ _ Tí 7t _si n = 0, r = 2> í2»-y)

t /i 3;r o /-*si n = l , 0 = — , r = 2 , ( 2 , — ) 2 2

¡ii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r = 0

2r = 3 0 q u e v e r i f i q u e :l - c o s f l

b) Simetría:


2 21 — e o s 0 1 - c o s ( - 0 )

= > 3 s i m e t r í a

7Tii) C o n r e s p e c t o a l e j e — : ( r , 0 ) p o r ( r nn - 0 )

r = = > 3 s i m e t r í al - c o s 0 l - c o s ( / r - 0 ) 1 - C O S 0

i i i ) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( ~ r , 0 ) o ( r , 7 t + 0 ) .

c) Tabulación:

0 0 1 5 °

OOry 4 5 ° 6 0 ° 7 5 ° 9 0 °

r oc 5 7 .1 4 4 .9 2 6 .8 2 4 2 . 6 6 2

0 1 0 5 ° 1 2 0 ° 1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °

OOQC

r 1 .6 1 .3 3 1 .1 7 1 .0 7 1 .01 1


r = 3 eos 20 (Rosa de tres pétalos)

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n el eje polar: 0 = nn, n e Z

si n = 0, 0 = 0, r = 3, (3,0)

si n = 1, 0 = 7i, r = 3, (3,it)

si n = 2 . 0 = 271, r = 3, (3,271) = (3,0)

si n = -1, 0 = -7i, r = 3, (3,-k ) = (3,7r)

71 71ii) C o n respecto al eje a y : 6 = — + n n , n € Z


s i n = O , 6 = — . r = - 3 , ( - 3 . — ) 2 2

i o 3?r 1 rs i n = l , 6 = — , r = - 3 , ( - 3 , — )

2 2

„ 5n _ , , 5tt. , , 3 i r s i n = 2 , 0 = — , r — - 3 , ( - 3 , — ) = ( - 3 , — )

. ^ 7T , _ 7TX , _ 7Ts i n = - l , 6 = -------- , r = - 3 , ( - 3 ) = ( - 3 , — )

2 2 2


c o m o r = 3 e o s 2 6 = 0 ==>4 4

b) Simetría:


s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s ( - 2 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a — : ( r * 0 ) p o r ( r , 7 t - 0 )2

s i r = 3 e o s 2 0 = 3 e o s 2(n - 0 ) = 3 e o s 0 = > 3 s i m e t r í a

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : ( r , 0 ) p o r ( - r , 0 ) o ( r , 7 i + 0 )

r = 3 e o s 2 ( n + 0 ) = 3 e o s 2 0 = > 3 s i m e t r í a ,

c) Tabulación:

0 0 n n n n 75° 90°

12 I J yr 3 3^3

23.5 0 -3.5 3-^3

2- 3


e 1 0 5 ° 1 2 0 ° n4

1 3 5 ° 1 5 0 ° 1 6 5 °

r 3 /3 - 1 . 5 0 0 1 .5 3 ^ 3

2 2

0

0Ooc

1 9 5 ° 2 1 0 ° 2 2 5 ° 2 4 0 ' 2 5 5 °

r 3 3 -V 3

2

1 .5 0 - 1 . 5_ 3 ^

2

0 2 7 0 ° 2 8 5 ° 3 0 0 ° 3 1 5 ° 3 3 0 ° 3 4 5 ° 3 6 0 °

r - 33 ^

2

- 1 . 5 0 1 .5 3-J3

2

3


© r = 2 — 2 sen 6Solución

a) Intersecciones:

í ) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n i r , n e Z

s i n = 0 , 0 = 0 . r = 2 , ( 2 , 0 )

s i n = 1 , 0 = 7r, r = 2 , ( 2 , tt)

s i n = - 1 , U = - T i , r = 2 , ( 2 , - tt) = ( 2 , tt)

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e y . ; 0 = ~ + n n , n e Z

s i n = 0 , 6 - y , r = 0 , ( 0 , y )

1 n 371 A f A ,As i n = l . f l = - , r = 4 , ( 4 . — ) = ( 4 , - y )

s i n = » l , 0 - ~ , r = 4 , ( 4 - ^ )2 2

iii) C o n r e s p e c t o a l p o l o : r - 0

r = 2 - 2 s e n 0 = O = > s e n 0 = 1 = > 6 =2

b) Simetría:

h C o n r e s p e c t o a l e j e p o l a r : ( r , 0 ) p o r ( r . - Ü )

r = 2 - 2 s e n 0 * 2 - 2 s e n ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e je a y : ( r , 0 ) p o r ( r . T i - 0)

r = 2 - 2 sen 0 = 2 - 2 sen (jt - 0) => 3 simetría


c) Tabulación:

e 0 n n n 7r 5/r 7r

12 6 7 y T T ~2

R 2 1.48 1 0.58 0.26 0.66 0

e l i t12

2nT

3n~4

5n~6

llTT

12

71 13tt

12

R 1.51a 2a 2.41a 2.73a 3a 2 2.51

0 7 tt 5n 4 tt 11 n 3/r \9n 5/r

6 4 T 12 T 12 TR 3 3.41 3.73 3.92 4 3.93 3.73


© r = 20, 0 g [0,2tt] ( e s p i r a l d e A r q u í m e d e s )

Solución

a) Intersecciones:

i) C o n r e s p e c t o a l e je p o l a r : 0 = n r c , n e Z

s i n = 0 , 0 = 0 , r = 0 . ( 0 . 0 )

s i n = l , 0 = T r , r = 2 n ; . ( 6 . 2 8 , k )

s i n = 2 , 0 = 2 7 ü, r = 4 7 r , ( 1 2 . 5 7 , 2 tt)

i i ) C o n r e s p e c t o a l e j e a 9 0 ° : 6 = y + u n , n e Z

s i n = 1 ' Q = ~ Y ■> r = 3 j r , ( 9 . 4 2 , ^ )

s i n = - l , 0 = - — , r = - J t , ( 3 . 1 4 , - — ) 2 2


r = 2 6 = 0 , 0 = 0 , ( 0 , 0 )

b) Simetría:


r = 2 0 * 2 ( - 0 ) = > 3 s i m e t r í a

ii) C o n r e s p e c t o a l e j e a y : ( r , 0 ) p o r ( r , j t - 0 )

r = 20* 2(tt - 0) => 2 simetría


üi) C o n respecto al polo: (r,0) por(-r,0) o (r,7r + 0)

r = 20 * 2(7t + 0) => 2 simetría

c) Tabulación:

e 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°r 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14

6 105° 120° 135° 150° 165° 180° 195° 210°

r 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 6.81 7.33

0 225° 240° 255° 270° 300° 315° 330° 360°

r 7.85 8.38 8.9 9.42 10.5 11 11.5 12.6

n Ái


8.7 EJERCICIOS PROPÜESTOS,-

©

©

©©©

©©©

i a

Í23

D i s c u t i r y g r a f i c a r l a s s i g u i e n t e s c u r v a s

r = 4 e o s 3 0 ( R o s a d e t r e s p é t a l o s )

r = 2 - 4 e o s 0 ( C a r a c o l )

r 2 = a 2 e o s 26 ( L a l e m n i s c o t a )

r = a s e n 2 0 ( R o s a d e c u a t r o p é t a l o s )

r = 4 — 4 e o s 0

r = 6 e o s 4 0

r = 7 s e n 5 0

r = 2 - 2 s e n 0

© r =s e n 6

( L a r e c t a )

/■ = e° ( e s p i r a l l o g a r í t m i c a )

( ó ) r = ~ ( E s p i r a l d e A r q u í m e d e s )

( I ? ) r ( l — 2 e o s 0 ) = 4 ( h i p é r b o l a )

( í o ) r = | 2 a e o s 0 |

12) r = 3 — 3 s e n 0

14) r = 1 + 2 e o s 0

r = 2 e o s 2 0

1 7 ) r = b + a e o s 0 ( b > a > 0 ) ( L i m z o n ) ( 1 8 ) r = 2 a t g 0 - s e n 0 ( C i s o i d e )

^ 9 ) r = a ( 2 + e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 20) r = 4 e o s 0

( 2 ^ r = a ( 1 — 2 e o s 0 ) ( C a r a c o l d e P a s c a l ) ( 22) r = 3 e o s 2 0

r = 4 s e n 2 0

r = 2 ( 1 + s e n 0 )

r = 3 + 3 e o s ©

26) /*1-2COS0

© 1 - 2 s e n 0

© r 2 = 9 s e n 20

( S i ) r~ = - 2 5 e o s 2 O

2S) ;• = 4sen ©.eos- 6

30) , 2 = -4 sen 26

32) /• =


r = |cos 20| (^4) r = |sen 30|

© r = 2 eos 40 ( 3 ^ r = 6 eos 50

8.8 DISTANCIAPOLARES.

ENTRE DOS PINTOS EN COORDENADAS

Consideremos dos puntos en coordenadas polares Px (rx ,6 X) y P2 (rl 96 2) y cuyos

componentes en el sistema de coordenadas cartesianas son Px (xl 9y \) y P2 (x l 9y 2)

y c o m o la distancia entre dos puntos es dado por:

d(Pl ,P2 )=^j(x2 - x , ) 2 + (y2 ~ ^ i ) 2

d(Pi?P2) = ^jx¡ +y¡ +x2 +y¡ -2(XjX2 +y¡y2)

d(P¡,P2) = V ri2 + r2 ~ 2rxr2 cos(0, - 0 2 )

Solución

d(Pl ,P2) = -y]9 + 2 5 - 2(-3)(5) cos(75° - 45°) =V34+30cos30° = 3 4 + 1 5 = ^ 4 9 = 7

d(P1,P2) = 1


8.9 INTERSECCION PE CURVAS EN COORDENADAS POLARES.

L a s i n t e r s e c c i o n e s d e d o s c u r v a s d a d a s e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s , s e d e t e r m i n a

r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n r y 0 .

Ejemplo.- H a l l a r l o s p u n t o s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s

r = a ( l + 2 c o s 0 ) , r = a e o s 0

Solución

R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s s e t i e n e :

s u s t i t u y e n d o e l v a l o r e n c u a l q u i e r a d e l a s e c u a c i o n e s s e t i e n e r = - a t l u e g o e l p u n t o d e

i n t e r s e c c i ó n e s ( - a , 7 i ) ( s i r = 0 , a m b a s e c u a c i o n e s t i e n e n s o l u c i ó n ) .

O B S E R V A C I O N . - C o n s i d e r e m o s l a e c u a c i ó n d e u n a c u r v a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s .

E n e f e c t o : n = 0 , r = f ( 0 )

n = 1 , - r = f ( 0 + 2 n) = > P(-r, 0 + T i)

P ( - r . 0 + 2 t t )

n = 2. r = f ( 0 + 2 k ) = > P ( r , 0 + 2n)

p o r l o t a n t o ( 1 ) y ( 2 ) s o n e q u i v a l e n t e s .

L u e g o p a r a h a l l a r l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s c u r v a s r = f ( 0 ) y r = g ( 0 ) s e

M g u e l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

a ( l + 2 e o s 0 ) = a e o s 0

= > e o s 0 = - 1 = > 0 = 71

r- ífe )

l a m i s m a c u r v a e s t a d a d a p o r : p i l t -.(2)


1) Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (2) en cada

una de ellas.

Jr = /,(0) f r = f 2m \r = h { 0 )l ^ g . í e ) ’ \ r = g 2( e y \ r = g 3 l0 )

2) Se resuelven las ecuaciones simultaneas.

| i r - / , » )

V = 8(0I I r - * , (6)

3) Se verifica si el polo es un punto de la intersección haciendo r = 0, en cada

ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la misma)

Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas. r = 2 eos 0 y r = 2 sen 0

Solución

Calculando las ecuaciones distintas de las dos curvas para el cual aplicamos.

(-l)n r = f (6 + n n ) y n c Z se tiene:

para n = 1,f—r = 2 eos (0 + n) j r = 2 eos 0l-r = 2 sen(0 + n) \ r - 2 sen 0

C o m o se obtiene las mismas ecuaciones entonces es suficiente resolver el sistema de

ecuaciones iniciales.

Ír = 2 c o s 0 n=> sen 0 = eos 0 => tg 0 = 1 => 0 = —

r = 2 s e n 0 4

r = 2 c o s — = ^ 2 => r = V 2 4

luego el punto de intersección de las curvas es P(-j2 .— )4


Ejemplo.- Hallar los puntos de intersección de las curvas r = 4(1 + sen 0) y

r(l— sen 6) = 3

Solución

Calculemos las distintas ecuaciones de las curvas dadas, para lo cual aplicamos.

( - l ) V = /(0 + /i/r), n e z se tiene

para n = 1, <

r = 4(1 + sen(0 + /r)) 3r =

r = 4(1 — sen 0)

3

l-sen(0 4 - /r )\ - r

1 + sen 0

para n = 2, «

r = 4(l + sen(0 + 2/r))

3r —---------------l-sen(0 + 2/r)

\r = 4(1 + sen 0)

3

l - s e n 0

El sistema (2) va repitiendo, luego para hallar los puntos de intersección resolveremos

los sistemas de ecuaciones dada.

r - 4(1- sen 0)

3r —l + sen0

1 + sen 01 - sen 2 0 = —

4

3 „ J3eos“0=— => eos0 = ± —4 2

e=~-, e = — ,6 6 6 6

c o m o r = 4(sen 0 - 1 )

- r = 4(sen-^--l) = — 2 , r - 2

- r = 4(sen-^--l) = -2 , r = -2

P 3(2 , ^ ) , P 4 ( 2 , - ^ ) 6 6


8.10 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES.

Consideremos la ecuación de una curva dada por

C: r = f ( 0 )

Sabemos que las coordenadas cartesianas y polares están relacionados por:

x ~ r eos 0 , y - r sen 6 » . (2)

Luego al reemplazar (1) en (2) en la ecuación de la curva lo escribiremos en la forma.

; | y #?: /(e).senö

que son las ecuaciones paramétricas de la curva con parámetro 0.

Ahora calculamos la derivada de cada ecuación paramétrica con respecto al

parámetro 0.

[x = /(0 ) .c o s0 Iv = /(0 ) .sen 0

^ = f ' (0) eos 0 - /(0) sen 0

dy_d 6

= f ' ( 6 ) sen 0 + f ( 6 ) eos 0

luego calculamos — es decirdx

dydy _ de _ / ' ( 0 ) s e n 0 + /(0)coS 0 = r m x g e + m dx dx_ / ’(O) eos 0 - / ( 0 ) s e n e f (6 ) - /(0) tg 0

de

n —

d y r ( 0 ) l g e + f ( 0 ) l g O d e + r

dx / ' ( 0 ) - / ( 0 )tgo dr__r i ßd B B


d y .. tg0.d r— i-r

dedx dr

m-rtgíí

C o m o la — representa la pendiente de la recta tangente a la curva, se tiene que: dx

Si a es el ángulo formado por la recta tangente y el eje polar, entonces:

, r + i g 0 . ~...4 S L

- - ' • t g e

Si P(r,0) es el punto de tangencia y 8 es el ángulo que forma el radio vector OP y la

tangente, veremos los siguientes casos:

i )

Se deduce que a = 0 + 5 => 5 = a - 0, aplicando tangente se tiene: tg 5 = tg (a - 0)

i¡)


S = a + 7 T - 0 => f t =7 T + ( a - 0 ) d e d o n d e

tg 8 = tg{7T + ( a - 0 ) = t g ( a - 0 ) p o r lo ta n to e n a m b o s c a s o s s ig n i f i c a q u e :

. n dr- t 0 r + lg 6 . —

tg 8 = t g ( a - 0 ) d e d o n d e tg S = — — — - — c o m o tg a = ^1 + t g a . t g 0

/ + t g 0 . — - t g 0 d 6

dr

tg<5 =•de

r i g e

1 +

r + r tg” e, , dr dr 2 n dr

r + tg£.— — + t r 0 . —dfí e dB B dO

dr- — r t g e de

É Lde

- n g e

t s _ r ( 1 + t g - O ) _ r _ / ( f l )

g dr 2 fl4 dr f ' ( 0 )------(1 + t g 0) ------ J ' ’de 5 de

Ejemplo.- H a l la r e l á n g u lo a y 8 , e l v a lo r d e la p e n d ie n te d e la ta n g e n te e n e l p u n to

d a d o .

( ? ) r = 4(1 + s e n 0), P(4,0°)

Solución

r = 4(] + sen 0) => — = 4 eos 0 => —de de

= 4

e=o

tg« =

„ drr + lge.—* de

É Lde

- n g e

4 + 0t g a = -------- = 1

4 - 0

tg a = 1 na = —4


f ' ( 0 ) 4 4

( ? ) r = a(l - eos 0) 0 = - , a > 0 w 6

Solución

r = a(l — eos 0) => = a sen 6 => —d6> rfO

_ a

e = l ”2

r = a(l — eos 0) para 0 = — => r = — (2 - ^ 3 )6 2

r + tg0.— —(2—y¡3)+—. ^ ~tg a = — — — — => t g a = — --------

^ - r t g e d 6 2 2 3

i ^ c o m o tg a = 1 => a = —

5 4

* a n n 71S ~ a ~ 6 =------ => —4 6 12

Consideremos una función continua y positiva en el intervalo [a,p], suponiendo

— ► — ►que la curva C tenga por ecuación r = f{0) y dos radios vectores OP¡ y OP2

que pasan por las rectas 0 = a y 0 = p


r = f(0)

Pi

6 = a

El area de un sector circular es igual al semiproducto del radio por el arco.

Luego el área del i-ésimo sector circular es:

Luego el área de los n sectores circulares es:

Teniendo en cuenta que la integral definida, expresa geométricamente el área bajo una

curva, por lo tanto el área buscada es el limite de los n sectores circulares, es decir:

A - tim ~ il: f r - mft — Um / .... ..............—p...2 2 -

i r ¿ívla

Luego el área determinada por el radio vector de la curva al desplazarse de la posición

— ^ —yOPx a la posición OP2 es expresada por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = a(l + eos 0).

Solución


1 fP 01 r

a = i lr - d O

r = f(0) = a(l + cos 0)

0

a = 2[— a 1 {\ +cos 6 ) 2 d 6 ] 2 Jo

- o 1 f (l + 2 c o s 0 + cos2 6 )d6 - a 2 (— + 2 sen fl +S e n )/* Jo 2 4 ' 0

. 3¿r;r iA - ---- i f ~

O B S E R V A C I O N . - Consideremos dos función f,g : [a,p] => R tales que

0 < g(G) < f(0), V 0 <e [a,p] y sea R el sector limitado

por los gráficos r = g(0), r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p entonces el área de la

región R es expresado por la fórmula.

Ejemplo.- Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a sen 30 que está

fuera del círculo r = a.

Solución

Seanrx =2¿*sen30 r, = a


El volumen V del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la

región R limitada por la curva r = f(0) y las rectas 0 = a y 0 = p es dado por

la fórmula,

de l3 Ja ;________ i

Ejemplo.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ¿7 eos2 6

alrededor del eje polar.

Solución

Consideremos una función r = f(0) continua en el intervalo [a,p]; c o m o

x = r eos 0, y = r sen 0, por diferenciación se tiene:

í dx = eos 6 .dr - r sen 6 .d 0 \ — (l) [dy = sen 6 .dr + r eos 6 .d6

Si en coordenadas cartesianas se tiene ds c o m o la hipotenusa de un triángulo de

catetos dx, dy. Entonces.

(<kf ~(dxf Hdy?. ...(2)


e = p— ►

x

Ahora reemplazando (1) en (2) se tiene:

(ds)2 = (cos0 . d r - r sen 6 .d 6 ) 2 + (sen ti.dr + r eos 6 .d6 ) 2

(ds)2 = c o s 2 6 (dr)2 + r 2 sen2 6 (d6 ) 2 - 2 sen0 eos0 .dr.d0 + sen2 6 (dr)2 +

+ r 2 eos2 6 (d6 ) 2 + 2r sen0 eosO.drdi)

(ds) 2 = ( s e n 2 0 + eos2 6 )(dr) 2 + r 2(sen2 6 + eos2 6 )(d6 ) 2

(ds) 2 =(dr ) 2 + r2 (dO)2 extrayendo la raíz cuadrada

ds = 4 ¡ d ñ 2 + r 2 (dO) 2 = J r 2 + ( ~ ) 2 d 6

Integrando ambos miembros de a hasta p.

que la longitud del arco de la curva desde A hasta B.

T E O R E M A . - Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,P], entonces

la longitud de la curva r = f(0), desde, Px(rl 9a) hasta P2 (r29(})

está expresado por:


tEjemplo.- Hallar la longitud total de la cardioide r = a(l + eos 0)

Solución

r = a(l + cos0)d rde

= - a sen 0

L = f J/-2 +(r')2dO Ja

c o m o la gráfica es simétrica.

L = 2 ^ -y/o2(1 + eos6 ) 2 + a 2 sen2 6 d 6

L = 2-^2a í -v/2 eos— d 6 = 8a sen— /* = 80 Jo 2 2 ' 0

L = 8a

18.12 KJKKCl<IOSDESARROLiAPt)S.-

Calcular el área de la región limitada por la lemniscata r 2 = 9 eos 20 .


© Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 46Solución

©

©

Del gráfico se tiene:

1 f*'4 i r*/4 ■>A = 4[— jo r ■2rf0] = 2 £ o 2 sen 4 0 ¿ 0

2 2 A ^ <í /\ é7[/A d | . “>i4 = — — eos 4 0 / o = - — [-l-l] = <r

2 /f) 2

A = a 2u 2

Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes r = a0.

Solución

] #*2 K 7 7Del gráfico se tiene: A = — (r{ - r,~ )d6

^ * donde, rx = a 6 y r2 = a (6 + 2n)

A = -[2*[a2(e + 27r)-a2e 2]d02 Jo

/. ^ = 8fl2^ 3!/2

Hallar el área de la región encerrada por la Lemniscata r 2 = 4 sen 20

Solución

0 = n / 2La gráfica es simétrica con respecto al polo,

entonces

e=0 ^ z { r rideH ‘í¡mwMX 2

A = - 2 c o s 2 6 / o ' = -2[-l-l] = 4

/. = 4m


© Hallar el área de la región encerrada por la curva r = a sen 20

Solución

C o m o la gráfica es simétrica con respecto a ios dos

ejes entonces.

1 cRl- o cKÍ- *>A =4/1, = 4[- Jo ¡-dB] = 2jo a 2 sen

2 f / í 2 2 ^ s e n 4 0 v ,jt/2 a 27rA = a \ (1— c o s 4 0 ) í/ 0 = a ( 6 -------- ) / = -----Jo 2 n 2

. o'tt ■>.. A =---- u~

2

© Encontrar el área c o m ú n de las dos circunferencias r = 2 sen 0 y r = 2 eos 0.

Solución

Ubiquemos la región c o m ú n

Calculando las intersecciones

ir = 2 c o s 0

r = 2 s e n 0sen 0 = eos 0

nt g 0 = 1 = > 6 = —

4

también se intercepta en el polo (origen) es decir

para r = 0 se satisface las ecuaciones

] /«TT/4 - 1 rntl - rn i 4 rm lA = - \ (2sen e ) 2d 6 + ~~\ (2cos0)2¿ 0 =2[ sen2 0.¿0 + cos 2 6 .d6 ]

2 Jo 2 Jí) J?r / 4

.4 = n í - c o s z s w s t r o + « » 2 e ) í e = (e - ” “ ) / " 4 + , e + i ? !“ ) / " !Jo Jtt.4 2 ' 0 2 ' nl


( f y Encontrar el área de la región acotada por la curva r = 2a eos 0 y que se encuentra

Hiera del circulo r = a.

Solución

Calculando la intersección

IV = 2a eos 0

iY

k

n/ —

/ 3//

~ 4 < — \/* \ \/ / \ \

\ \' \ 1 ......... *

\ ° ' ' t ay Í2a X\ lX MX r

'

I r = acosfí = —

2

de donde 6 = — , 0 = — 3 3

C o m o se tiene simetría respecto al eje polar.

1 pR1 i J cu -i -y -i ■) A = 2[— i (2acos0)2í / 0 - - a dO] = 4a í eos2 6.d0 - a 2 f d e

2 Jo 2 Jo Jo Jo

n / 3

©

. , 2 f/í3 2a l*n 1 2/„ S e n 2 0 4/ff/3 fiTTTA = 2a J (1 + co s20 )d 6 -a ® / 0 = 2cr (0 + — — — )/() — —

. 7 ,Tl V 3 t *»/. /4 = a (— + — — )«“

3 2

Calcular el volumen de un sólido obtenido por rotación de la región acotada por la

curva r = a eos2 6 alrededor del eje polar.

Solución

Por simetría se tiene:

V = 2 [ - y £ V eos6 0sen0.</0]

y _ 4a37i _cos7 0 jn . i _ 4a^jz ^1 21


® Calcular el volumen del sólido

a > 0 alrededor del eje X.

obtenido al hacer girar la cardioide r = a(l + eos 0),

Solución

Ubicando la región se tiene:

■> Del gráfico se observa que el sólido de revolución

se obtiene de hacer girar alrededor del eje X la

región de la parte superior de la cardioide.

27T Cn „ 1 2 n ( l+ C O S 0 ) 4 f l3 tnV = — <r(l + cos0) senfl.¿/0 = --------------- ----- /3 Jo 7 3 4 /o

3

© Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región

R: a < r < a 4 2 sen 26 , a > 0, alrededor del eje polar..

Solución

Ubicando la región de las curvas polares que encierran c o m o R: a < r < a^J 2 sen 26 ,

a > 0, entonces r = a circunferencia.

r 2 = a 22sen26 , 0 e[0,y]U[/r,— ] donde la ecuación r 2 - 2a 2 s e n 20

corresponde a la gráfica de la Lemnicata.


Por simetría se tiene V = 2VX

F = 2[— i [(úh/2sen 26) ]senO.dB------------- í a senOMG]3 Jtt/12 3 J/r /12

4/r [f5'1'1 2 2V2(sen20)3/2 sen0.</0-a3 Psen0.rf0] 3 J« 7 !2 Jff/12

K [J* o 32-v/2(sen20)3/z senfíxiO+ cos6/

rSa/12

V =4 ,1a 3 ,5»/12 3

[f5íI ‘V 2 V 2 ( s e n 2 0 ) 3,2 s e n 0 ¿ 0 + - L/1 2 -yj2.

...d)

7TSea 0 = --- r = > d 0 = -dz, reemplazando en (1)

4

J*5tt /12 1 _ i í«^/o - ? -

(sen 26) ' sen = —= (eos z) “ (eos z)dz =7r /12 *yj2. J 71'

3?r + 8

32. - (2 )

Reemplazando (2) en (1) se tiene: F = [2^2. +_!_]«y2


©0

Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r = asee2(— ), cortado de la

m i s m a por la recta perpendicular que pasa por el polo.

Solución

C o m o - — < 0 < —2 2

0 or 2 = a 2 sec4(— ) d e d o n d e r = o s e c 2(— )

dr 26 6— = a sec— . te—d e 2 * 2

L = r 2 J o 2 sec4 A + Ö 2 sec4 A tg2 A dO J - n / 2 V 2 2 2

©

L = [ n 2 a see3( - )dO = 2a[4 ¿ +ln(-j2 +1)] J-ít/2 2

. 0

U n móvil recorre una pista que sigue la trayectoria de la espiral de Arquímedes.

Solución

drr = a0 => — = ade

► Ja V dede

L = [2n Ja2e 2+a2dO = a t J ü ^ d O Jo Jo

L = a [ - 4 Ü ^ 2 - ^ - ^ e + ^ ü ^ 2 \ ] j2"

\\


L = a[n^J 1 + 4tt2 + -i-ln|2tt+ -\/lh-4?r2 |]

(l3) Hallar la longitud del bucle (Lazo) de la curva polar r = sec3(y)

Solución

Por simetría se tiene: L

I-

J'n n> . f +(í ‘

i/«

■>,,0 dr 3 6 0r = see (— ) => -— = sec (— ).tg(— ) 3 d e 3 3

)+sec6 (|).tg2(|) de

Z, = fl£sec4 (y)rf0 = 12^3 /. Z, = 12-^3

8.13 EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I. Halle los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dado:

©2r = 3

r = 3 sen 6 © > = 3

Ir = l + cosG

© {r = 2 c o s 0

r = 2 s e n 0 © /• - 2 eos 20

r — 2 sen 6

©Y = 4 er = n 12 ©

[r = cosí? -1

r = eos 26

©V = 1 - sen 0r = eos 20 ©

r 2 = 2cos0r = 1


©

©

©

r = 4 tg 0.sen0

r — 4 c o s 0

r = 2 eos 0

r = 2 ^ 3 sen 0

r = 4(1 + sen 0) r(l-sen0) = 3

r sen 0 = 4 r eos 0 = 4

> = tg0

r = 4 s e n 0

r 2 sen 20 = 8

r c o s 0 = 2

= 4

e = 4

r = sen 0

= sen 20

r = 4 s e n 0 c o s 2 0

r = sen 0

r = 1 + eos 0

r = l - s e n 0

II. Calcular el área de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica.

(í) r = a eos 0, 0 < 0 < n ß

© r = a(l - eos 0)

r = 4 eos 20

r = a eos 50

Rpta. 0.37 a~ u

Rpta. a 2u 2

Rpta. An u 2

Rpta. ^ — u 2

r = a sen 20

I n(ó) r = a(l + 2 sen 0), 0 = - - ^ , 0 =

n . Tía 7 Rpta. — — u~

Rpta. 2 7T +3^3

^7) r = eos 30 Rpta. —u4

o


©r = b + a eos 0, (0 < b < a) Rpta. ”1{a2 +21J2)

2

©r = a eos 0 Rpta.

7UJ2 2------- U2

©2 2 sen 36r = a ------

cosí?Rpta. cr2 ( | - l n 2 ) M 2

©r = 2 sen 30 Rpta. n u 2

©r 2 = 9 sen 2 6 Rpta. 9 u 2

©r = 4 — 4 eos 0 Rpta. 24n u 2

© r 2 = 4 sen 26 Rpta. 4 u 2

© r 2 = 2 a 2 sen 30 Rpta. 4a 2 u 2

III.

n /a(V ) Hallar el área interior a r = 4 sen 6 eos2 6 y exterior a r = sen 0 Rpta. — + ----

6 8

© Calcular el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 30 y exterior al

q 2círculo r = a, a > 0. Rpta. — (2^ + 3*\/3)w2

6

©3 ti — 8

Hallar el área c o m ú n a las cardioides r = a( 1 ± eos 0) Rpta. — -— a 2u 2

( T ) Hallar el área encerrada por las curvas r =------ — y r = 2a en el intervalo de

cos-(-)

0 = 0 a 6 = - .2

aRpta. - ( 3 7 i - 4 ) u 4


Calcular el área exterior a la lemniscata r 2 = 2a2 eos20 comprendida dentro del

1 r% "*■ 3^3 2 2circulo r =a. Rpta. ----------a u

© Hallar el área de la regirá que es interior a la curva r = 3a eos 2 0 y exterior a la curva

r = a( l + cos20). a > 0 . Rpta. a 2(4n+ — J Í 5 - 6 a )4

3 V n - b a )

D o n d e a es tal eos 2a = — -4

( 7 ) Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 40 . Rpta. a 2u 2

Q j ) Hallar el área limitada por la parábola r = a sec2(— ) y las semirectas 0 = — y

n 14-8^2 2 2Rpta. --------- a Lu ¿

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 30 que esta fuera del

a 2ncirculo r = a. Rpta. — — u 2

© Calcular el área de la superficie obtenida al rotar, alrededor del eje polar, la

Lemniscata r 2 = a 2 eos2 0 . Rpta. 2na2(2 -^ ¡2 )u 2

(11) Hallar el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje X la curva

r = a(l + eos 0), a > 0, 0 < 0 < Jt. Rpta. ~

(12) Hallar el área de la superficie generada 1 rotar la curva r = 2a eos 0 alrededor del

ejeX. Rpta. 4 o 2tt

(13) Hallar el área de la superficie generada al hacer girar la circunferencia r = 2a sen 0

* ■ 2 _ 2alrededor del eje a — . Rpta. 4a n


^ 4 ) Hallar el área dentro de r = 8 eos 0 y a la derecha de la recta r = 2 sec 0.

Rpta. ^ ^ - + 4^3

(l5) Hallar el área de la región dentro de r = 10 sen 0 y encima de la recta r = 2 cosec 0.

Rpta. 25/T-58+10-V5-50arcsen(-|=)-v/5

© Hallar el área de la región encerrada por las curvas:

a) r = ee , 0 < 0 < n , r = e 6' 2 , 0 < 0 < n y los rayos 0 =2n y 0 = 3n.

Rpta.

b) r = e6 , 27t<0<37t, r = 0, 0 < 0 < n y los rayos 0 = 0 y 0 = 71.

Rpta. j - [ 3 e An (e2n - ) 2 n 3]

^ 7) Encontrar el área de la región limitada por la curva.

a) (x2 + y 2) 3 = 4 a 2xy(x2 - y 2), a > 0 . Rpta. a 2

b) x 4 + y 4 = x 2 + y 2 Rpta.

IV.

Calcular la longitud de la curva r - a sec2(— ) desde 0 = 0 hasta 6 = — .2r ^

Rpta. a[V2 +ln(l+-\/2)]

© Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde el punto (2,— )

hasta el punto (— ,2). Rota '

*¿)


© Hallar la longitud de la curva r = 2b tg 0. sen 0, b > 0 desde 0 = 0 desde 6 - — .3

© Calcular la longitud del arco de la curva r = sen3(^-) comprendida entre

O < 0 < — . Rpta. — (271-3-^3)2 8

© Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica r = aem , ( m > 0), que se

encuentre dentro del círculo r = a. Rpta. +m

(ó) Hallar la longitud del arco de la curva r = a sen1 (— ), a > 0. Rpta.2 2

'

Cj) Hallar la longitud del arco de la curva 6 = — (/■ + — ), desde r = 1 hasta r = 3.2 r

4 + ln3

^ 2

© Calcular la longitud del arco de la curva r - 6 2 , entre 0 < 0 < tt.

Rpta.

® G ixCalcular la longitud del arco de la curva r = <?cos3 (— ), entre O < 0 < — .

3 2

Rpta. —(2n + 3^3)X

(lo) Hallar la longitud del arco de la parte de la parábola r - ¿7sec2(^-), cortada por la

recta perpendicular que pasa por el polo. Rpta. 2a[42 +ln(-s/2 + l)]w


(íí) Calcular la longitud del arco de la curva r = sen 0 desde 0 e [0,2tt].

Rpta. n ú

(12) Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes r = a0.

Rpta. an-J^ñ2 + l + —la \2n+ -^4n 2 + 1 12

(13) Calcular la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = 1 desde 0, hasta

4 3 50, = - . Rpta. ln(— ) + —2 3 H 2 12

(Í4 ) Si R es la región exterior a la circunferencia r = eos 0 e interior a la cardioide

r = 1 — eos 0. calcular la longitud de su perimetro. Rpta. 4-^3 + y

3 < m© Calcular la longitud total de la curva r = o s e n 3(— ). Rpta.

3 2

© ) Encontrar la longitud de la espiral logaritmica r = — desde (r,,6 l ) hasta (r2,02 ) .0

Rpta. a ln ^ — ^ L l + ^ a 2 + r 2 - ^ j a 2 +r2 r2( a + ^ a 2 + r 2 )

© ) Hallar la longitud de r = 4 — 4 eos 0.

V.

© Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación alrededor del eje polar de la

figura acotada por la cardioide r = 4 + 4 c o s 0 y las rectas 0 = 0 y 0 = y .

Rpta. 160;r « 3


(7) Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación de la figura limitada por una

semi espira de la espiral de Arquímedes r = a0, desde a > 0, 0 < 0 < ir.

2a*n 2 ( n 2 -6) 3 Rpta. ------- -------- u

© Hallar el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la curva

. 576 3r = 3 sen 20. Rpta. ----n u

35

( 4) Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la superficie

.3_2

a < r< a ^ 2 sen20 , a > 0 alrededor del eje polar. Rpta.a n 3 u2 4 2

© Hallar el volumen en coordenadas polares por la curva r = a tg 0 al girar alrededor

del eje polar y entre los límites 6 =— y 0 = 0. Rpta. ^[61n(3 +t/2)-7t/2]w34 2

652 Eduardo Espinota Ramos

í A P E N D I C E

I. LOGARITMOS.-

a * = N , a > 0 < = > jr = loga N x = ey <=> y = loge x = Lux

( 1 ) loga AB = loga A + loga B

( 2 ) loga — = log„ A - loga BB

® log a A " = n L o g aA

G ) log0 C Í = - l o g a A n

© log Nlog¿ N = log,, o.loga N = -y-g b (cambio de base)

II . ...... ECUACIONES CUART1CAS.-

x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s= 0, sum a n d o (ax + b)2

x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)2

x4 + 2px3 + (a2 + q)x2 + 2 (r + ab)x + s + b2 = (ax + b)2

(x2 + px + k)2 = (ax + b )2

x4 + 2px3 + (p2 + 2k)x2 + 2pkx + k 2 = (ax + b)2

Apéndice 653

2 p k - 2r ~ lab

p k - r = ab

(p k - r )2 = a 2b2 =>

(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2kp - q) (k2 - s)

simplificando: 2k3 - qk2 + (2pr - 2s)k - p 2 s - r 2 + qs = 0

Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + px + k)2 = (ax + b)2

I1L ECUACIONES CUBICAS -

x 3 + px2 + qx + r = 0 haciendo x = y - p/3

'*1 î 7 2 p qi

se transforma en y + (q - p /3) y + ---- ----27 3

y3 + Q y + R = 0

se hace y = A + B

x2 + px + k = ± (ax + b) de donde *Jt2 + ( p - a ) x + k - b = 0

x 2 +(p + a )x+ k + b = 0

donde


0 y = k f (x ) = c=> — = k f ' (x )dx

Q ) y = f { x ) ± g ( x ) ^ > — = f ' ( x ) ± g ( x )dx

(4) y = f ( x ) = x"=> — = f ' ( x ) = nxn ldx

© y = f ( x ) . g ( x ) ^ — = f ' { x ) .g { x ) + f ( x ) .g ' ( x )dx

® . f (x) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f { x ) . g ' ( x )y - ----- => — = --------------- i----------

g(x) dx g(x)~

© > = ( / ( * ) ) " = > — = « í/ ,(jc))""1 ./'(*)dx

V. DERIVADAS DE LAS. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS 1NVERSAS.-

© >» = sen(/(x)) => — = cos/(x)./*(x)dx

( 2) y = cos(/(x)) => — - —sen( f (x ) ) . f ' ( x )dx

© y = tg(/(*)) => — = see2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx

( 4 ) y = ctg(/(x)) => — = -cos ec2( f (x))./’(x)dx

( 5) y = sec( f (x)) => — = sec( /'(x)).tg(/(x))./'(x)dx

( ? ) y = coser(/(x)) => — = -costr ( f (x)).ctg(/'(x))./'(x)dx

Apéndice 655

\ , r . s . dy f ' ( X )\ 1 ) y = are. sen (/(*)) => — = ■

dx J l - f - ( x )

v, dy -/'(*)W y - arc.cos{f (x)) =>— =—. -

* V 1- / ( * )

® rfv r w>• = are. tg ( / (x)) => — = ----- V----

<¿v ! + / - ( * )

,nl A , ,, „ dy - f (x)10} y = arc.e tg( / (x)) — = 2

dx 1 + / (x)

n i / rt » ^11) y = arc.szc(f(x)) = > — = ■

1

¿y -/'(x)111 y = arc.cosec(f (x)) => —

VI, ». * i OGARITP

w L ' a u iMICAS.-'

,AS: FUNCIONES' EXPONENCIALES • V

® dy logfl ey = l o g „ ( / ( x ) ) = > - f = -^ - ./ '(x ), a * 0 , 1

í¿í /(x)

© ,v = In(/(x))/'(x)

rfr /(x)

© >• = fl/(x) => — = af(x) .Ln a . f ( x )dx

© v = / <,> => — = / M . f { x ) dx

© y = ( . f ( x f lx) ^> — = g ( x ) ( f ( x ) f (xy i . r ( x ) + ( f ( x ) f (x)ln( f(x)) .g '(x)dx


VIL DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS.*

© y = senh ( / (x)) => — = cosh(/(x))./'(x)dx

© > = cosh(/(*)) => — = senh(/(x))./’(x)dx

>’ = tgh(/(x))=> — = secA2 (/(.v))./'(x)dx

© j> = ctgh(/(x)) => — = -cos ech2 ( f ( x ) ) . f ’(x)dx

© y = sech(f(x))=> — = - se ch ( f ( x ) )A g h ( f ( x ) ) . f ' ( x )dx

© y t eos eh(f (x )) => — = -cosech(f(x )) .c tgh(/(x)). f ’(x)dx

- «ív /'(x)(J7; >• = ore. senh( A x ) ) => — = ■ -

rfy ± f ' ( x )^ 8) y = ore. cosh(/(x)) => — =

dx 1/ / 2 (x)-l

® í/v r ( x )^ = are.tgh(/(x)) => — = - ^ 5 ------------------ , - < ffr) < 1

dx 1 - f ~ { x )

dv f ’(x)10) y = arc.c tgh(/(x)) => — = — — ---- , (fix)) > 1

dx l - / - ( x )

1 1 1 « ,/r / « ^1 1 ) 3; = arc. see h ( f (x)) => — = '

dx / ( x ) V l - f \ x )

Apéndice 657

dv -/'(x) 12) y = are. cosech(f (x)) => — = ■

dx |/(x ) |V l+ /2(Jc)

...................................................................................................................■'■■■■

© Jodx = ax + c

© J d (f(x)) = f{x) + c

© J (/(x) ± g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx

\ x ndx=—-- + c, n * - 1J /i +1

»+1

f undu = —— +c, n * - \J n + 1

© J-^=Ln|«| + c

| eVw = eu + c

(5 ) f audu = + c, a > O, a 1J lno

® r rfw 1 u— j = — a r c t g — + c

^ J uL -a~ 2aU - Q

u + a+ c


J o 2 - « 2 2a

í/ + tf

u - a+ c

© jrf« .u= are. sen(— ) + c

©y¡u~ +a~

a

= Z,wL + ^ u 2 + a 2 + c

+ c

ó) J Va2 - icd u = - -a/o2 -w2 +y-c/r.sen —+ <

7) J* Vw2 - a 2d u - ^ 4 u 2 - a 2 - — Lnu + •ju2 - a 2

(l8) JVtr + a2du=—^ju2 +a2 + — Lnu + -Ju2 +a2

+ c

+ c

19J sen udu = -cosw + cj

(20) J eos udu = sen 1/ + c

(21) J tg udu = -L«|cos w|+ c

© J c tg wí/w = £«|sen u\ + c

/ see wí/w = ¿;/|sec u + tg «| + c

@ 1 eos ecudu = Líbeos ecu —c tg «| + c

Apéndice 659

© sec2 udu = lgu + c

© cosec2udu = -c lg u + c

© secw tgu rfw = s e c w + c

© cos ecu.c tg udu = - cos ecu + c

© senh udu - cosh u + c

© cosh udu = senhw + c

© tgh udu = Ln|coshw| + c

© c tgh udu = L/?|sec hu\ + c

© sec frudu = tghw + c

© cos ech2udu = -c tgh u + c

© sec hu. tgh udu = - sec hu + c

© cos ech u. c tgh udu = - cos ech u + c

© sen(bu)du = <■»(0 sen(,’" ) - ♦ ca +bL

© au , , x , au (a cos bu + b sen(bu)) e cos (bu)du = e -------- j--- — — + ca +b

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