Matemáticas II: Segundo del Grado enIngeniería Aeroespacial

Sergio Blanes

http://personales.upv.es/ serblazaInstituto de Matemtica MultidisciplinarUniversidad Politécnica de Valencia

Edificio 8-G, entrada A, piso 2

Estructura del Curso y Peso de cada parte:

Teoría y Problemas: 75%

Ecuaciones diferenciales y Transformadas de Laplace: 60%Ecuaciones en Derivadas Parciales: 40%

Prácticas de Laboratorio: 25%

Referencias:

1 L.M. Sánchez y M. Legua. Ecuaciones diferenciales yTransformada de Laplace con Aplicaciones. SPUPV 798

2 Direcciones web para resolución de ecuaciones por seriesde potencias

3 Notas sobre EDPs

Parte I

Ecuaciones diferenciales y Transformadasde Laplace

1 Ecuaciones diferenciales de primer orden2 Ecuaciones diferenciales de orden superior3 Resolución de Ecuaciones diferenciales por series de

potencias4 Sistemas de ecuaciones diferenciales5 Transformadas de Laplace

Capítulo 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1 Introducción2 Ecuaciones de variable separables

Ecuaciones diferenciales homogéneasEcuaciones diferenciales reducibles

a) Reducibles a homogéneasb) Reducibles a variable separables

3 Ecuaciones diferenciales exactasFactor integrante

4 Ecuaciones linealesEcuación de BernouilliEcuación de Riccati

5 Ecuaciones resolubles en y ′, y , x6 Trayectorias isogonales

Introducción

EjemplosEcuación Fundamental de la Dinámica

F = m · a

1 Caída libre: F = mg2 Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:

F = mg − k2v3 Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de la

velocidad: F = mg − k3v2

Velocidades límite:

v1 =∞, v2 =mgk2

, v3 =

√mgk3

Introducción

EjemplosEcuación Fundamental de la Dinámica

F = m · a

1 Caída libre: F = mg

2 Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:F = mg − k2v

3 Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de lavelocidad: F = mg − k3v2

Velocidades límite:

v1 =∞, v2 =mgk2

, v3 =

√mgk3

Introducción

EjemplosEcuación Fundamental de la Dinámica

F = m · a

1 Caída libre: F = mg2 Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:

F = mg − k2v

3 Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de lavelocidad: F = mg − k3v2

Velocidades límite:

v1 =∞, v2 =mgk2

, v3 =

√mgk3

Introducción

EjemplosEcuación Fundamental de la Dinámica

F = m · a

1 Caída libre: F = mg2 Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:

F = mg − k2v3 Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de la

velocidad: F = mg − k3v2

Velocidades límite:

v1 =∞, v2 =mgk2

, v3 =

√mgk3

Introducción

EjemplosEcuación Fundamental de la Dinámica

F = m · a

1 Caída libre: F = mg2 Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:

F = mg − k2v3 Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de la

velocidad: F = mg − k3v2

Velocidades límite:

v1 =∞, v2 =mgk2

, v3 =

√mgk3

Introducción

EjemplosMovimiento de un muelle con rozamiento y una fuerza exteriordependiente del tiempo:

md2xdt2 = −Kx − αdx

dt+ f (t)

La segunda ley de Kirchoff para un circuito cerrado con unabobina, una resistencia y un condensador en serie y una fuerzaelectromotriz dependiente del tiempo

Ld2qdt2 + R

dqdt

+1C

q = E(t)

Son ecuaciones equivalentes pero distinto significado físico

Introducción

EjemplosMovimiento de un muelle con rozamiento y una fuerza exteriordependiente del tiempo:

md2xdt2 = −Kx − αdx

dt+ f (t)

La segunda ley de Kirchoff para un circuito cerrado con unabobina, una resistencia y un condensador en serie y una fuerzaelectromotriz dependiente del tiempo

Ld2qdt2 + R

dqdt

+1C

q = E(t)

Son ecuaciones equivalentes pero distinto significado físico

Introducción

La expresión general de una ecuación diferencial (ED) deorden n es

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (1)

o, en su forma normal

y (n) = G(x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)). (2)

La solución general es una función con n constantesindependientes

G(x , y ,C1, . . . ,Cn) = 0 (3)

o en forma explícita: y = f (x ,C1, . . . ,Cn).

Introducción

La expresión general de una ecuación diferencial (ED) deorden n es

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (1)

o, en su forma normal

y (n) = G(x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)). (2)

La solución general es una función con n constantesindependientes

G(x , y ,C1, . . . ,Cn) = 0 (3)

o en forma explícita: y = f (x ,C1, . . . ,Cn).

Introducción

La expresión general de una ecuación diferencial (ED) deorden n es

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (1)

o, en su forma normal

y (n) = G(x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)). (2)

La solución general es una función con n constantesindependientes

G(x , y ,C1, . . . ,Cn) = 0 (3)

o en forma explícita: y = f (x ,C1, . . . ,Cn).

Ecuaciones de primer orden

La expresión general es:Forma explícita: y ′ = f (x , y)

Forma implícita: F (x , y , y ′) = 0Forma diferencial: P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0

La solución general viene dada por una expresión de la forma

G(x , y ,C) = 0 (4)

Para obtener la ED a partir de la familia de curvas (4) hay quederivar respecto de x y eliminar la constante C del sistema de2 ecuaciones.

Resolución gráfica. Isoclinas

Dada la ED, y ′ = f (x , y), si en cada punto de una región delplano, P = (x , y), representamos un vector proporcional a lavariación con la variable x , esto es

dPdx

= (1, y ′) = (1, f (x , y))

tendremos un campo vectorial que muestra la forma de lassoluciones (por donde se moverán las soluciones).Se puede buscar también aquellos puntos del plano que tienenla misma pendiente, f (x , y) = m, para distintos valores de laconstante m (isoclinas).

Ecuaciones de variables separables

Una ED es de variables separables si puede factorizar de laforma

y ′ = g(x)f (y) (5)

La solución viene dada por∫dy

f (y)=

∫g(x)dx + C. (6)

Esto es equivalente a si la ecuación se puede escribir como

P(x)dx = Q(y)dy (7)

cuya solución es ∫P(x)dx =

∫Q(y)dy + C. (8)

Ecuaciones de variables separables

Ejercicio 11. El cuerpo de una persona es descubierto a las02:00 y la temperatura ambiente es de 10o. El forense llega alas 02:30 y toma una temperatura de 25o en el cuerpo. Tras 30min. anota que el cuerpo tiene una temperatura de 20o.Sabiendo que durante toda la noche la temperatura ambienteha permanecido constante y que, segunla ley de enfriammientode Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo esproporcional a la diferencia entre su temperatura y latemperatura ambiente, estimar la hora de fallecimiento.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Diremos que una ED es homogénea si cumple

y ′ = f (x , y), con f (tx , ty) = f (x , y). (9)

El cambio de variable a realizar es

y(x) = x z(x) (10)

y la ED para z es

z + xz ′ = f (1, z) ⇒∫

dzf (1, z)− z

=

∫dxx

+ C. (11)

Ejemplo: y ′ = x+yx−y Sol.: ln

∣∣∣∣x (1 + y2

x2

)1/2∣∣∣∣ = arctan y

x + C

Ecuaciones diferenciales reducibles

y ′ = f(

a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c2

)Reducibles a homogéneas

Si las rectas a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 se cortanen un punto, (α, β) el cambio es

x = X + α, y = Y + β

La ecuación en las nuevas variables es homogénea

y ′ = f(

a1X + b1Ya2X + b2Y

)(12)

Ejemplo: y ′ = x+y−1x−y−1

Sol.: ln∣∣∣∣(x − 1)

(1 + y2

(x−1)2

)1/2∣∣∣∣ = arctan y

x−1 + C

Ecuaciones diferenciales reducibles

y ′ = f(

a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c2

)

Reducibles a variables separables

Si las rectas son paralelas (a1a2

= b1b2

) el cambio es

z = a2x + b2y , (o bien z = a1x + b1y)

con k = b1b2

La ecuación pasa a ser separable

1b2

(z ′ − a2) = f(

kz + c1

z + c2

)⇒ z ′ = a2 + b2f

(kz + c1

z + c2

)Ejemplo: y ′ = 1−x−y

x+y Sol.: 2y − (x + y)2 = C

Ecuaciones diferenciales exactas

Dada la EDP(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 (13)

si Py = Qx diremos que es exacta.

Existe una función potencial, U(x , y), tal que la familia decurvas equipotenciales, U(x , y) = C, son generadas por la ED

dU = Uxdx + Uydy = Pdx + Qdy = 0

dondeU =

∫Uxdx + ϕ(y) =

∫Pdx + ϕ(y) (14)

y derivando respecto a y

Uy = Q =

∫Pydx + ϕ′(y)

de donde se obtiene ϕ(y).

Ecuaciones diferenciales exactas

Si situamos el origen de potencial en el punto (x0, y0) es fácilver que ∫ x

x0

P(x , y)dx +

∫ y

y0

Q(x0, y)dy = 0 (15)

Ejemplo: 2xy dx + (x2 + y2)dy = 0Sol.: x2y + y3 = C

Factor integrante

Factor integrante es aquella función que al multiplicar la ec.(13) hace que se convierta en exacta

µ(x , y)P(x , y)dx + µ(x , y)Q(x , y)dy = 0 (16)

Se tiene que cumplir que

(µP)y = (µQ)x .

Casos especiales

a) Si Py−QxQ = g(x) ⇒ µ = e

∫g(x)dx .

b) Si Py−QxP = g(y) ⇒ µ = e−

∫g(y)dy .

Ej.: a) (4x2 − 14y)dx − 7xdy = 0, b) (y(1 + xy)dx − xdy = 0Sol.: a) x4 − 7x2y = C. b) µ(y) = 1

y2

NOTA. Toda función potencial U(x , y) = C, con EDdU = Uxdx + Uydy = 0, tiene infinitos factores integrantes.Cualquier función de U, F (U), es un factor integrante.Obsérvese que dG(U) = dG

dU dU = G′Uxdx + G′Uydy = 0 ybasta con tomar F = G′.

Ecuación diferencial linealLa ED lineal de primer orden

y ′ + P(x)y = Q(x)

tiene como solución general

y = e−∫

Pdx(

C +

∫e

∫PdxQdx

).

Para las condiciones iniciales y(x0) = y0 la solución se puedeescribir como

y = e−∫ x

x0P(s)ds

(y0 +

∫ x

x0

e∫ t

x0P(s)dsQ(t)dt

).

Ejemplo: y ′ − 2xy = x , Sol.: y = −12 + Cex2

Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati

Ecuación de Bernouilli

y ′ + P(x)y = Q(x)yn, n 6= 0, n 6= 1.

Haciendo el siguiente cambio se convierte en lineal

z =1

yn−1 , z ′ =1− n

yn y ′ ⇒ z ′+(1−n)P(x)z = (1−n)Q(x).

Ecuación lineal en z(x) ⇒ y(x) =(

1z(x)

)1/(n−1)

Ejemplo 1: y ′ + 1x y = x2y4

Sol.: z ′ − 3x z = x2 ⇒ z = x3 (C + ln x) ⇒ y = 1

z3

Ejemplo 2: y ′ − x1−x2 y = − x2

1+x1y

Sol.: y2 = 11−x2

(C − 2

(x3

3 −x4

4

))

Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati

Ecuación de Riccati.

y ′ = P(x) + Q(x)y + R(x)y2 (17)

Si conocemos una solución particular de la ED, yp(x), haremosel cambio

y = yp +1z⇒ z ′ + (Q + 2Ryp))z = −R (18)

que es una ED lineal en z(x).

Ejemplo: x2(y ′ + y2) + xy = 1, yp = − 1x

Sol.: y = 2xC+x2 − 1

x

Ecuaciones resolubles en y ′, y y x

Resolubles en y ′

(y ′)n + φ1(y ′)n−1 + · · ·+ φn−1y ′ + φn = 0 (19)

1) Reescribirla en la forma(y ′ − f1(x , y)

)· · ·

(y ′ − fn(x , y)

)= 0.

2) Resolver cada una de las ecuaciones

y ′ = fi(x , y) ⇒ Fi(x , y ,C) = 0.

La solución general, dependiente de una sola constante, C, es

F1(x , y ,C)F2(x , y ,C) · · · Fn(x , y ,C) = 0.

Ejemplo: (y ′)2 − 2yy ′ = y2(ex − 1)Sol.: (y − C exp(x + 2ex/2))(y − C exp(x − 2ex/2)) = 0

Ecuaciones resolubles en y ′, y y x

Resolubles en yDiremos que la ED es resolubles en y si se puede reescribir dela forma

y = f (x , y ′). (20)

Hacemos el cambio y ′ = p(x) y derivamos la ecuación (20)

y = f (x ,p) ⇒ p = fx + fp p′ ⇒ φ(x ,p,C) = 0.

La solución y(x) se obtiene de eliminar p del sistema deecuaciones

y = f (x ,p)φ(x ,p,C) = 0

}

Ejemplo: 4y = (y ′)2 + x2 Sol.:

{x = Cx

p−x ex

p−x

y = 14p2 + x2

Ecuaciones resolubles en y

Ejemplo 1: Ecuación de Caliraut

y = xy ′ + f (y ′).

La solución se obtiene derivando respecto de x

dpdx

(x + f ′(p)) = 0

Sol. general: p = C ⇒ y = xC + f (C)Sol singular: eliminando C del sistema

y = xp + f (C)0 = x + f ′(C)

}

Ejemplo 2: Ecuación de D’Alembert-Lagrange

y = xf (y ′) + ϕ(y ′).

y = xf (p) + ϕ(p) ⇒ p = f + (xf ′ + ϕ′)p′

Si consideramos p la variable independiente y tomamos x(p),la ecuación se convierte en lineal

dxdp

=f ′

p − fx +

ϕ′

p − f⇒ x = g(p,C).

La solución se obtiene eliminando p del sistema de ecuaciones{y = xf (p) + ϕ(p)x = g(p,C)

Ejemplo: (y ′)2 + 2xy ′ − y = 0 Sol.:

{x = 1

p2

(−2p2

3 + C)

y = 2xp + p2

Resolubles en xDiremos que la ED es resolubles en x si se puede reescribir dela forma

x = f (y , y ′).

Hacemos el cambio y ′ = p(y) y derivamos respecto a x

1 = fyp + fpdpdy

dydx

= fyp + fpp p′ ⇒ F (y ,p,C) = 0.

La solución y(x) se obtiene de eliminar p del sistema deecuaciones

x = f (y ,p)F (y ,p,C) = 0

}Ejemplo: x =

yy ′

+1

y ′2

Sol. general: x =yC

+1

C2 , Sol. singular: 4x = −y2

Trayectorias Isogonales

La solución de la ED

f (x , y , y ′) = 0 (21)

es una familia de curvas, F (x , y ,C) = 0. Por cada punto (x , y)sólo pasa una curva y su pendiente en ese punto esjustamente y ′. Si tenemos en cuenta que la tangente forma unángulo θ, entonces y ′ = tan(θ) y queremos buscar las curvasque al cortarlas forman un ángulo ω, entonces el ángulo de lasnuevas curvas será φ = θ + ω.Teniendo en cuenta que

θ = φ− ω ⇒ y ′ = tan(θ) =tan(φ)− tan(ω)

1 + tan(φ) tan(ω)

si sustituimos en (21) denotando z = y , z ′ = tan(φ)

f(

x , z,z ′ − tan(ω)

1 + z ′ tan(ω)

)= 0 (22)

Trayectorias Isogonales

Sea una familia de curvas, F (x , y ,C) = 0 cuya ecuacióndiferencial asociada viene dada por f (x , y , y ′). La familia decuras que las cortan formando un ángulo ω, G(x , z,C) = 0,son las soluciones de la ecuación diferencial

f(

x , z,z ′ − tan(ω)

1 + z ′ tan(ω)

)= 0 (23)

Si buscamos trayectorias ortogonales, ω = π2 , debemos tener

en cuenta que

limω→π/2

z ′ − tan(ω)

1 + z ′ tan(ω)) = lim

ω→π/2

− 1cos2(ω)

z ′ 1cos2(ω)

) =−1z ′