Matemáticas para el diseño - · PDF filefundamentos teoricos para arribar al uso de las computadoras como instrumento inseparable del diseÑador como en el pasado lo fue el lapiz

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANAUNIDAD AZCAPOTZALCO Coordinación de Extensión Universitaria

Sección Editorial

Casa abierta al tiempo

Matemáticaspara el diseñoIntroducción a la teoría de la simetría

Felipe Monroy Pérez

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Matemáticaspara el diseñoIntroducción a la teoría de la simetría

Felipe Monroy Pérez

División de Ciencias Básicas e Ingeniería

Departamento de Ciencias Básicas

México, 1989





PREFACIO

UN PROBLEMA CENTRAL EN LA ENSEÑANZA UNIVERSITARIA DEL

DISEÑO HA SIDO EL DEFINIR LA MATEMATICA ADECUADA QUE EL

ESTUDIANTE Y FUTURO PROFESIONAL DEL DISEÑO DEBE TENER UN SU

CURRICULA, ESTA DISCUSION ESTA LEJOS DE RESOLVERSE, ME

ATREVO A AFIRMAR QUE EN MUCHAS DE LAS ESCUELAS DE DISEÑO Y

ARQUITECTURA AUN NO SE HA DETECTADO CABALMENTE ESTA

PROBLEMATICA.

LAS ACTUALES ESCUELAS DE DISEÑO TIENEN SU ORIGEN EN LAS

TRADICIONALES ESCUELAS DE ARQUITECTOS-CONSTRUCTORES, Y LA

MAYORIA DE LOS RESPONSABLES DE LA DOCENCIA EN LOS TRONCOS

COMUNES HAN TENIDO SU FORMACION EN ESTAS ESCUELAS, ES COMUN

OIR COMENTARIOS COMO " ...EL DISEÑADOR ( LEASE ARQ.-CONST.)

'TIENE QUE SABER' CALCULAR INTEGRALES, CENTROS DE MASA,

MAXIMOS Y MINIMOS, ETC".

LA ACTUAL REVOLUCION TECNOLOGICA EN LA INFORMATICA Y LA

COMPUTACION OBLIGA A REPLANTEAR IDEAS Y A ROMPER INERCIAS,

PARA PROPORCIONAR LAS HERRAMIENTAS TEORICAS Y PRACTICAS QUE

LA EPOCA IMPONE.

ESTE LIBRO ES PARTE DE UNA PROPUESTA GENERAL: LA

MATEMATICA PARA EL DISEÑO ES AQUELLA QUE PROPORCIONE LOS

FUNDAMENTOS TEORICOS PARA ARRIBAR AL USO DE LAS COMPUTADORAS

COMO INSTRUMENTO INSEPARABLE DEL DISEÑADOR COMO EN EL PASADO

LO FUE EL LAPIZ LA REGLA Y EL COMPAS.



EN LA FORMACION MATEMATICA DEL DISEÑADOR SE DEBIAN

INCLUIR LOS SIGUIENTES TOPICOS: GEOMETRIA ORNAMENTAL,

COMBINATORIA Y TEORIA DE GRAFICAS, CALCULO APLICADO EN UNA Y

DOS VARIABLES; ESTOS TEMAS DEBIAN APOYARSE FUERTEMENTE CON

UN SOFWARE DISEÑADO AD HOC.

EN HABLA HISPANA, EXISTE UNA ESCASA LITERATURA EN LA

DIRECCION DE ESTA PROPUESTA , SOBRESALE EL MAGNIFICO TEXTO

DE ALSINA-TRILLAS [ 4 ] , AUNQUE UNA PRIMERA LECTURA DE ESTE

LIBRO PODRIA RESULTAR DIFICIL.

ESTE LIBRO SE COMPONE DE TRES CAPITULOS, DESARROLLADOS EN

FORMA CONSTRUCTIVA, ES DECIR, LA COMPRENSION DE UN CAPITULO

DEPENDE DEL CONOCIMIENTO DEL PRECEDENTE. SE HAN SELECIONADO

UNA BUENA CANTIDAD DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE APLICACION; EL

MATERIAL SE PUEDE CUBRIR EN UN CURSO REGULAR DE 'MÉTODOS

MATEMATICOS PARA EL DISEÑO .

MUCHAS PERSONAS AYUDARON A REALIZAR ESTE TRABAJO, QUIERO

AGRADECER PARTICULARMENTE AL PROF. GERMAN ALDAY DEL

DEPARTAMENTO DE TECNICAS Y PROCESOS DE REALIZACION DE LA

DIVISION DE CYAD POR SU PACIENCIA PARA CONOCER LOS SECRETOS

DE LA L-PLUS-0, Y SUS COMPATIBILIDADES; A LA PROFA. MARISELA

GUZMAN GOMEZ DEL DPTO. DE CIENCIAS BASICAS DE LA DIVISION DE

CBI POR SUS VALIOSAS SUGERENCIAS Y SU DESINTERESADA AYUDA ; Y

A LA SRA. NORMA CABALLERO POR SU ESMERADO TRABAJO, MUCHO DE

ESTO NO HUBIRA SIDO POSIBLE SIN SU AYUDA.

FELIPE MONROY PEREZ

DPTO. CIENCIAS BASICAS

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA.

AZCAPOTZALCO

1989



CONTENIDO

GRUPOS Y MATRICES

1.1 GRUPOS 7

1.2 ACCIÓN DE UN GRUPO 16

1.3 EJERCICIOS 21

1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES 22

1.5 MATRICES Y DETERMINANTES 26

1.6 EJERCICIOS 31

I I . ISOMETRIAS

2.1 EL GRUPO LINEAL 33

2.2 EL GRUPO ORTOGONAL 43

2.2.1 ROTACIONES EN PLANO 44

2.2.2 ROTACIONES EN EL ESPACIO 45

2.2.3 REFLEXIONES 48

2.2.3 REFLEXIONES EN EL PLANO 49

2.2.4 REFLEXIONES EN EL ESPACIO 52

2.3 TRANSLACIONES 53

2.4 EL GRUPO ISO(F) 56

2.5 EJERCICIOS 63



I I I . TEORÍA DE LA SIMETRÍA

3.1 INTRODUCCIÓN 65

3.2 EL GRUPO SIM(F) 67

3.3 GRUPOS DIHEDRICOS Y CÍCLICOS 69

3.4 EL TEOREMA DE LEONARDO 74

3.5 EJERCICIOS 77

3.6 ISOMETRIAS QUE FIJAN RECTAS 79

3.7 GRUPOS DE FRISOS 84

3.8 EJERCICIOS 93

3.9 GRUPOS DE TAPICES 96

3.9.1 LA RESTRICCIÓN CRISTALOGRÁFICA 99

3.9.2 LOS CINCO GRUPOS FUNDAMENTALES 103

3.9.3 LAS AMPLIACIONES 106

3.9.4 EL TEOREMA DE FEDOROV 109

3.10 EJERCICIOS 112



I. GRUPOS Y MATRICES

1.1 GRUPOS

SIMETRÍA Y GRUPOS SON CONCEPTOS INTRÍNSECAMENTE RELACIONADOS

LOS GRUPOS SON LA HERRAMIENTA PARA 'MEDIR' LA SIMETRÍA DE

OBJETOS Y FENÓMENOS NATURALES. HERMANN WEYL ( 1885-1955 ) EN

SU LIBRO SIMETRÍA DEFINE LA TEORÍA DE LA SIMETRÍA COMO EL

ESTUDIO DE UNA GEOMETRÍA DETERMINADA POR LA ACCIÓN DE CIERTOS

GRUPOS , LA NOCIÓN DE QUE UNA GEOMETRÍA ES DEFINIDA POR MEDIO

DE GRUPOS DE TRANSFORMACIONES FUE DESARROLLADA POR FÉLIX KLEIN

( 1849-1925 ) EN SU CELEBRE DISCURSO CONOCIDO COMO EL PROGRAMA

DE ERLANGEN ; Y POR SOPHUS LIE ( 1842-1899 ) EN SUS TRABAJOS

SOBRE GRUPOS DE TRANSFORMACIONES . DESDE LA MITAD DEL SIGLO

PASADO EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA Y EN PARTICULAR DE LA SIMETRÍA

POR MEDIO DE LOS GRUPOS HA SIDO LA LINEA QUE HA REGIDO EL

PENSAMIENTO DE LA MAYORÍA DE LOS MATEMÁTICOS , SIN EMBARGO , EL

CONCEPTO DE GRUPO FUE DESARROLLADO DESDE EL SIGLO XVII

DESTACÁNDOSE EL TRABAJO DEL MATEMÁTICO FRANCÉS EVARISTE GALOIS

QUIEN MURIÓ TRÁGICAMENTE EN UN DUELO DE HONOR.



SIN PRETENDER ENUNCIAR FORMALMENTE LAS DEFINICIONES VAMOS A

ESTUDIAR EN ESTE APARTADO DOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES QUE SON EL

HILO CONDUCTOR EN EL ESTUDIO DE LA SIMETRÍA.

GRUPO

ACCIÓN DE UN GRUPO EN EL ESPACIO

LLAMAREMOS ESPACIO AL TRIDIMENSIONAL O BIDIMENSIONAL SEGÚN

SEA EL CASO ; MAS TARDE PRECISAREMOS ESTE CONCEPTO DE

DIMENSIÓN .

UN GRUPO ES UN CONJUNTO NO-VACIO DE ELEMENTOS PARA LOS CUALES

ESTA DETERMINADA UNA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA , ES DECIR UNA

REGLA QUE PERMITE CALCULAR PRODUCTOS ENTRE SUS ELEMENTOS.

DESARROLLAREMOS UN EJEMPLO PARA ILUSTRAR EL CONCEPTO DE

ESTRUCTURA DE GRUPO.

TOMEMOS TRES BOLAS NUMERADAS Y TRES CASILLAS TAMBIÉN

NUMERADAS Y LA PREGUNTA "DE CUANTAS FORMAS SE PUEDEN ACOMODAR

LAS BOLAS EN LAS CASILLAS" ; CUANTAS COMBINACIONES SON POSIBLES

COMO ES USUAL EN MATEMÁTICAS REQUERIMOS DE UNA NOTACIÓN

ADECUADA PARA ESTUDIAR EL PROBLEMA, EN ESTE CASO ES CONVENIENTE

DESCRIBIR LOS ARREGLOS POR MEDIO DE PERMUTACIONES , ARREGLOS

RECTANGULARES COMO:



DONDE LOS NÚMEROS DE ARRiBA REPRESENTAN LOS DE LA CASILLA Y

LOS DE ABAJO LOS DE LAS BOLAS, POR EJEMPLO:

1 2 3

2 3 1

REPRESENTA EL ARREGLO QUE SE ILUSTRA:

FIGURA 1. 1

ES DECIR EN LA CASILLA 1 ESTA LA BOLA 2 , EN LA CASILLA 2 ESTA

LA BOLA 3 Y FINALMENTE EN LA CASILLA 3 ESTA LA BOLA 1.TENEMOS

SEIS ARREGLOS POSIBLES QUE DENOTAREMOS CON LETRAS GRIEGAS :

e =

1 2 31

1 2 3

1 2 31

3 1 2

a =

1 2 3"

2 3 1

1 2 31

1 3 2



1

CONSIDERANDO ESTOS OBJETOS COMO LOS ELEMENTOS DE NUESTRO

CONJUNTO , DEFINIMOS AHORA UNA OPERACIÓN ENTRE ELLOS .

EL PRODUCTO DE DOS PERMUTACIONES ES LA PERMUTACIÓN QUE SE

OBTIENE AL REARREGLAR LAS BOLAS DE DERECHA A IZQUIERDA CON LA

CONVENCIÓN DE QUE UNA VEZ QUE UNA BOLA ES ACOMODADA EN UNA

CASILLA LA RENUMERA .

EJEMPLO :

EL PRODUCTO • t = « SE VE COMO

FIGURA 1.2



DEBE OBSERVARSE QUE AL CAMBIAR EL ORDEN DE LAS PERMUTACIONES

NO SE OBTIENE SIEMPRE EL MISMO RESULTADO , COMO PUEDE VERSE AL

CALCULAR EL PRODUCTO . r • C .

2 3

(n iñ

ES DECIR:

1 2 31

2 1 3

FIGURA 1.3

1 2 31

1 3 2

1 2 31

2 3 1

PERO:

1 2 31

1 3 2

1 2 31

2 1 3

1 2 3"|

3 1 2

ESTE EJEMPLO MUESTRA QUE UNA OPERACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO

PUEDE SER NO CONMUTATIVA ; UNA OPERACIÓN DEFINIDA ES CONMUTATIVA

. SI EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO.



DOS REQUISITOS DEBEN CUMPLIRSE PARA TENER UN GRUPO. A SABER:

> UN CONJUNTO SUBYACENTE NO~VACIO

> UNA OPERACIÓN ENTRE SUS ELEMENTOS

TENEMOS ENTONCES UN CONJUNTO: < e, a, , *, 5, o Y

UNA OPERACIÓN DEFINIDA PARA ELLOS ; EN ESTE CASO COMO HAY SOLO

UN NUMERO FINITO DE ELEMENTOS PODEMOS CALCULAR LA TOTALIDAD DE

LOS PRODUCTOS Y ESCRIBIRLOS EN UN ARREGLO QUE SE DENOMINA TABLA

DE CAYLEY PARA GRUPOS FINITOS . ESTA TABLA SE FORMA DE LA

SIGUIENTE MANERA : SE COLOCAN LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO EN UN

RENGLÓN Y EN UNA COLUMNA Y LOS PRODUCTOS SE CALCULAN EN LAS

INTERSECCIONES QUE SE OBTIENEN TRAZANDO PARALELAS . A LA MANERA

DE LA TABLA DE PITAGORAS

®

€

a

/}

V

s

i

e

e

a

V

s

í

a

a

€

S

i

Y

€

1

y

8

y

y

i

8

€

A

a

8

8

y

1

a

€

i

8

y

a

€TABLA 1 . 1

12



SE DEBE OBSERVAR QUE NUNCA HAY REPETICIÓN DE ELEMENTOS . TANTO

EN LOS RENGLONES COMO EN LAS COLUMNAS , POR LO QUE , CADA

ELEMENTO APARECE UNA Y SOLAMENTE UNA VEZ EN CADA RENGLÓN Y

COLUMNA.

UNA VEZ QUE SE HA DEFINIDO LA OPERACIÓN EL CONJUNTO ADQUIERE

UNA ESTRUCTURA . EL LECTOR PUEDE PENSAR EN EL SIGUIENTE EJEMPLO

BURDO PERO ILUSTRATIVO: UN EDIFICIO NO ES CIERTA CANTIDAD DE

ARENA. GRAVA. CEMENTO Y VARILLA , SI NO ESTOS MATERIALES

ORGANIZADOS EN UNA ESTRUCTURA PREVIAMENTE DISECADA.

CON LA OPERACIÓN DEFINIDA TENEMOS DOS ELEMENTOS DISTINGUIDOS .

EL ELEMENTO NEUTRO DE LA OPERACIÓN . Y EL INVERSO DE CADA

ELEMENTO.

DADA UNA OPERACIÓN EN UN CONJUNTO , UN ELEMENTO e SE LLAMA

ELEMENTO NEUTRO PARA LA OPERACIÓN SI CUMPLE :

e ° a = a ° e = a V a

EN NUESTRO EJEMPLO EL ELEMENTO e FUNCIONA COMO ELEMENTO

NEUTRO DE LA OPERACIÓN DADA POR LA TABLA.

EL INVERSO DE UN ELEMENTO a CON RESPECTO A UNA OPERACIÓN

DADA ES OTRO ELEMENTO DEL CONJUNTO DENOTADO a"1 ( o - a SEGÚN

SEA EL CASO ) QUE CUMPLE:

-1 -1a • a =a • a = e



PARA NUESTRO EJEMPLO SE TIENE:

- 1

0 - 1 - .ry 22

5 = 5

UNA OPERACIÓN SE DICE QUE ES ASOCIATIVA SI CUMPLE

a » ( b « c ) = ( a » b ) « c V a , b , c

UN GRUPO ES UN CONJUNTO CON UNA OPERACIÓN QUE CUMPLE :

* EL PRODUCTO DE DOS ELEMENTOS ESTA EN EL CONJUNTO

> EXISTE UN ELEMENTO NEUTRO

> TODO ELEMENTO TIENE INVERSO

> LA OPERACIÓN ES ASOCIATIVA

SI EL LECTOR VERIFICA QUE LA OPERACIÓN DEFINIDA EN NUESTRO

CONJUNTO ES ASOCIATIVA . TENEMOS AQUÍ EL PRIMER EJEMPLO DE GRUPO.

INTUITIVAMENTE PODEMOS DECIR QUE UN GRUPO ES UN CONJUNTO CON

ESTRUCTURA INTERNA DADA POR UNA OPERACIÓN .EL GRUPO DE LAS

PERMUTACIONES QUE HEMOS DESCRITO HASTA AHORA RECIBE EL NOMBRE DE

GRUPO SIMÉTRICO DE ORDEN TRES Y SE SIMBOLIZA COMO S 3 .



UNA CARACTERÍSTICA DE ESTE GRUPO ES QUE PUEDE SER DESCRITO POR

MENOS ELEMENTOS NOTEMOS QUE:

a Y ADEMAS -1

POR LO QUE DENOTANDO a • a = a2 SE TIENE ENTONCES QUE c,

a. a2 . 7 Y SUS PRODUCTOS DETERMINAN TODO EL CONJUNTO , O

SEA . EL CONJUNTO DE PERMUTACIONES SE PUEDE ESCRIBIR TAMBIÉN

COMO:

S 3 = { G , a , a , y, a - y , • a • y }

DE ESTA MANERA LA TABLA QUEDA COMO:

£

a

F

a ?

£

£

a

a *

V

ay

a

a

a'é

£

ce1 Y

aY

Y

a-1

a"

€

a

aY

Y

a'Jy

Y

Y

aY

amiy

e

a-'

a

a'*Y

a'JY

V

aY

a

€

a-1

aY

aY

a-'Y

Y

a-1

a

c

TABLA 1.2



EN UN GRUPO SIEMPRE SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

( a « b )" = b" • a" V a,b

( a"1 r1 = a Va

QUE LLAMAREMOS LAS LEYES DE LOS SIGNOS.

1 .2 A C C I Ó N D E U N G R U P O

DADO UN GRUPO NOS INTERESA CONOCER SU ACCIÓN EN EL ESPACIO

TRIDIMENSIONAL O BIDIMENSIONAL SEGÚN SEA EL CASO , PODEMOS PENSAR

QUE UNA VEZ QUE EL GRUPO ACTÚA EN EL ESPACIO SE TIENE GEOMETRÍA

EN EL SIGUIENTE EJEMPLO VEREMOS LA ACCIÓN DEL GRUPO SIMÉTRICO

EN EL PLANO CONSIDEREMOS UN TRIANGULO EQUILÁTERO CON CENTRO EN

EL ORIGEN DE COORDENADAS DEL PLANO SUPONGAMOS QUE UNO DE LOS

VÉRTICES SE ENCUENTRA SOBRE EL EJE VERTICAL Y QUE SE TIENE UNA

NUMERACIÓN EN SENTIDO ANTIHORARIO DE CADA UNO DE LOS VÉRTICES .

h



CADA ELEMENTO DEL GRUPO S 3 PRODUCE UN MOVIMIENTO GEOMÉTRICO .A

SABER :

a a ROTACIÓN DE 120»

0 s ROTACIÓN DE 240»

7 3 L -REFLEXIÓN

6 s IRREFLEXIÓN

J; m L3-REFLEXI0N

e a ROTACIÓN DE O»; o 3 6 0 .

Y LA ESTRUCTURA ESTUDIADA PARA S3 PRODUCE UNA GEOMETRÍA:

a

a'1

a

ar1

€

a'1

e

a

Á/ / iY

aY

a'V

a1)'

Y

aY

a Y

a'* Y

Y

Y

! (**Y!i

! a Y!

a Y

Y

aY

Y

a'ly

€

a

a

e

a'1

a

e

TABLA 1.3



AMPLIANDO DE MANERA NATURAL A TODO EL PLANO LA ACCIÓN DEL

GRUPO , PODEMOS DECIR ENTONCES QUE LA ACCIÓN DEL GRUPO

SIMÉTRICO DE ORDEN 3 PRODUCE LA SIGUIENTE GEOMETRÍA:

> EL CONJUNTO DE MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE UN TRIANGULO

EQUILÁTERO FORMAN UN GRUPO.

LAS ROTACIONES EN MÚLTIPLOS DE 120°

UN GRUPO.C ZONA 1 )

2 n] FORMAN A SU VEZ

* EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES ES UNA ROTACIÓN ( ZONA 4 )

> UNA ROTACIÓN POR UNA REFLEXIÓN ES UNA REFLEXIÓN ( ZONAS 2 , 3 )

ESTA DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA DE S 3 ES UNA REPRESENTACIÓN DEL

GRUPO.

FIGURA 1.5

UN GRUPO ES UN OBJETO ABSTRACTO

LA ACCIÓN DE UN GRUPO PRODUCE GEOMETRÍA



UN SUBGRUPO ES UN SUBCONJUNTO DEL GRUPO

QUE CON LA MISMA OPERACIÓN ES UN GRUPO

LAS ROTACIONES EN MÚLTIPLO DE n/3 FORMAN UN SUBGRUPO DE S 3

CON CARACTERÍSTICAS PARTICULARES, SE TIENE QUE « ES SU PROPIO

INVERSO , ENTONCES SI ESCRIBIMOS e = a° EL SUBGRUPO ES :, 0 1 2 .{ a , a , a >

ESTE ES UN EJEMPLO DE LO QUE SE-LLAMA U N GRUPO CÍCLICO , ES

DECIR , UN GRUPO CUYOS ELEMENTOS SON LAS POTENCIAS DE UN

ELEMENTO DISTINGUIDO . O BIEN LOS MÚLTIPLOS SI LA OPERACIÓN EN

EL GRUPO SE DENOTA ADITIVAMENTE . ESTE ELEMENTO SE LLAMA EL

GENERADOR DEL GRUPO. LOS GRUPOS CÍCLICOS FINITOS NOS AYUDARAN

AL ANÁLISIS DE LA SIMETRÍA DE CIERTAS FIGURAS PLANAS.

VEAMOS OTRO EJEMPLO DE GRUPO CÍCLICO. TOMEMOS EL CONJUNTO DE

LOS NÚMEROS {1, 2 , 3, 4 , 5 > Y DEFINAMOS LA OPERACIÓN COMO

UNA SUMA QUE SE CALCULA SIGUIENDO LAS MANECILLAS DEL RELOJ EN EL

SIGUIENTE ARREGLO PENTAGONAL:

FIGURA 1.6.



SE TIENE ASI LA SIGUIENTE TABLA:

+

1

2

3

4

5

i

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

51.4

AQUÍ 5 ES EL ELEMENTO NEUTRO . Y EL GRUPO ES CÍCLICO

GENERADO POR EL ELEMENTO 1 Y SUS MÚLTIPLOS. UNA

REPRESENTACIÓN DE ESTE GRUPO SE OBTIENE CUANDO ESTE ACTÚA EN EL211

PLANO POR MEDIO DE ROTACIONES DE ESTE CASO EL

PRODUCTO SE INTERPRETA COMO UNA ROTACIÓN EN UN ÁNGULO QUE ES LA

SUMA DE LOS ÁNGULOS CORRESPONDIENTES A CADA FACTOR PENSAMOS

AHORA EN LOS MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE UN PENTÁGONO REGULAR QUE

TIENE UN VÉRTICE SOBRE EL EJE HORIZONTAL

.72°

FIGURA 2 . 7



1.3 EJERCICIOS

1 . CALCULAR LA TABLA DE CAYLEY PARA PERMUTACIONES DE CUATRO

ELEMENTOS Y ANALIZAR SU PRESENTACIÓN GEOMÉTRICA EN LOS

MOVIMIENTOS RÍGIDOS DE UN CUADRADO .

2 . DEMUESTRE LAS LEYES DE LOS SIGNOS.

3. CUALES DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS FORMAN UN GRUPO Y BAJO

QUE ESTRUCTURA :

IR Z (N Q

4 . PROPORCIONE UNA ESTRUCTURA DE GRUPO AL CONJUNTO DE LAS

VOCALES

5. ESTUDIE LA ESTRUCTURA DE GRUPO DE LAS MOVIMIENTOS RÍGIDOS

DE LAS SIGUIENTES LETRAS ESCRITAS EN TIPOGRAFÍA STANDAR.

A B 0 P Q M

6 . ESTUDIE LA ESTRUCTURA DE . LA " ARITMÉTICA BINARIA"



1.4 TRANSFORMACIONES LINEALES

LAS TRANSFORMACIONES LINEALES SON HERRAMIENTA IMPRESCINDIBLE

PARA EL ESTUDIO DE LAS SIMETRÍAS DE FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL

ESPACIO Y CONSTITUYEN EL OBJETO DE ESTUDIO DE LA LLAMADA ALGEBRA

LINEAL , ENUNCIAREMOS EN ESTE APARTADO EN FORMA SUCINTA ALGUNOS

RESULTADOS ELEMENTALES PARA R2 & R3 QUE TIENEN IMPLICACIONES

GEOMÉTRICAS , EL LECTOR HARÍA BIEN EN DESARROLLAR ALGUNOS

EJEMPLOS NUMÉRICOS PARA CADA UNA DE LAS DEFINICIONES.

IDENTIFICAREMOS INDISTINTAMENTE COMO PUNTOS o VECTORES A

LOS ELEMENTOS DEL PLANO O DEL ESPACIO ; FORMALMENTE SON DADOS POR

MEDIO DE PARES O TERCIAS ORDENADAS DE NÚMEROS REALES LLAMADAS

COORDENADAS , USAREMOS LETRAS MAYÚSCULAS PARA DENOTARLOS; A LOS

NÚMEROS REALES LES LLAMAREMOS ESCALARES Y LOS DENOTAREMOS CON

LETRAS GRIEGAS.

FIGURA 1 . 8



PARA GANAR UN POCO DE CLARIDAD EN EL CONCEPTO DE UNEALIDAD

CONVENIMOS EN LLAMAR LINEA A UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN ,

ES DECIR . UNA RECTA DE LA FORMA : A XQ CON A e R & X UN

VECTOR FIJO , LLAMADO VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA .

UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL TRANSFORMA

LINEAS EN LINEAS

FORMALMENTE T : R3 > R3 ES LINEAL SI CUMPLE:

v a , b ESCALARES & .X , Y VECTORES .

CLARAMENTE LA FUNCIÓN IDÉNTICAMENTE CERO ES LINEAL, POR LO QUE

LA DEFINICIÓN INTUITIVA DEL RECUADRO ANTERIOR SE COMPLEMENTA

DICIENDO QUE UNA TRANSFORMACIÓN ES LINEAL, SI TRANSFORMA LINEAS

EN LINEAS O EN PUNTOS EN EL CASO DE T • 0 . FIJANDO LOS

VECTORES X & Y DE LA DEFINICIÓN ANTERIOR OBTENEMOS QUE U N A

TRANSFORMACIÓN LINEAL TRANSFORMA PLANOS EN PLANOS.

DAMOS AHORA LA DEFINICIÓN DE BASE:

UNA BASE PARA ^ ( R2 ) SON TRES ( DOS ) VECTORES

NO COPLANARES ( NO COLINEALES ) .



FORMALMENTE EL NUMERO DE ELEMENTOS DE UNA BASE DETERMINA LA

DIMENSIÓN DEL ESPACIO . ASI PODEMOS DECIR QUE R3, TIENE DIMENSIÓN

TRES.

LA BASE CANÓNICA PARA R3 SON LOS VECTORES:

¿ = ( 1 , O , O ) , ¿ = ( 0 , 1 , 0 ) % - ( O , O , 1 )

DE LA MISMA FORMA LA BASE CANÓNICA PARA EL PLANO ES :

( 1 . 0 ) ( 0 , 1 )

DADA UNA BASE PARA EL ESPACIO. TODO VECTOR SE ESCRIBE COMO

COMBINACIÓN LINEAL DE LOS ELEMENTOS DE LA BASE :

( X , Y , Z ) = X ¿ + Y ¿ + Z &

POR EJEMPLO:

( 2. , -1 , -5 ) = 2 I - % -5 k

Y LOS NÚMEROS x , Y , z SE LLAMAN LAS COORDENADAS DEL

VECTOR CON RESPECTO A LA BASE .

DADOS DOS VECTORES X - ( Xi , Yi , 2i ) Y - ( Xa , Ya . Zz )

EL NUMERO :

X'Y = Xi X2 + Yi Y2 + Zi Z2

SE LLAMA EL PRODUCTO INTERNO .

PARA EL VECTOR X - ( x . Y , z ). EL NUMERO:

¡ x i =



/ p p p

«... / X 2 + Y2 + Z2

SE LE LLAMA LA NORMA DE VECTOR .

ESTOS; DOS NÚMEROS NOS SIRVEN PARA ESTUDIAR LA GEOMETRÍA DE

LOS VECTORES Y LAS TRANSFORMACIONES LINEALES .

DADOS DOS VECTORES X Y DIFERENTES DE CERO LA SOLUCIÓN * DE

LA ECUACIÓN .

X-Y = 1 X ¡ ¡ Y ¡ eos *

TOMADA EN EL INTERVALO [ o , 2 * ] . SE LLAMA EL ÁNGULO ENTRE

LOS VECTORES X & Y SE DENOTA < X Y .

CLARAMENTE SI X-Y = O . SIN SER AMBOS NULOS . LA SOLUCIÓN

ES • « TT/2 , EN ESTE CASO DECIMOS QUE LOS VECTORES SON

OCTOGONALES ESCRIBIENDO ESTO COMO X ± Y , DOS LINEAS SON

PERPENDICULARES SI SUS VECTORES DIRECTORES SON ORTOGONALES .

UNA BASE DEL ESPACIO SE LLAMA BASE ORTOGONAL SI LOS VECTORES

QUE LA COMPONEN SON ORTOGONALES DOS A DOS. SE LLAMA ORTONORMAL SI

ADEMAS DE SER ORTOGONAL CADA VECTOR DE LA BASE TIENE NORMA 1

CLARAMENTE LA BASE CANÓNICA ES UNA BASE ORTONORMAL DEL ESPACIO.

EJEMPLO :

LOS VECTORES

X = ( l/v/3 , 1/1/3 , 1A/3 )

Y = ( 1/V2 , o , -1/1/2 )

Z = ( -1/V6 , 2/1/6,-1/1/6 )

FORMAN UNA BASE ORTONORMAL PARA R3



UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL SE CONOCE

CUANDO SE CONOCE SU EFECTO EN LOS VECTORES DE UNA BASE

TOMANDO LA BASE CANÓNICA PARA EL ESPACIO ESTO ES CLARO , PUES

TODO VECTOR SE ESCRIBE COMO :

( X , Y , Z ) = X ¿ + Y ¿ + Z &

Y POR LO LINEALIDAD SE TIENE :

T ( x , Y , z.) » x T í + Y T h z T fe

POR LO QUE BASTA CONOCER LA IMAGEN DE LOS VECTORES DE LA

BASE.

1.5 MATRICES Y DETERMINANTES

CONSIDEREMOS UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINIDA EN LOS

ELEMENTOS DE LA BASE CANÓNICA, COMO SE ESCRIBIÓ EN EL PÁRRAFO

ANTERIOR: T ( X , Y , Z . ) = X T ¿ + Y T ¿ + Z T * . ENTONCES

COLOCANDO LOS VECTORES T I , T i . T k , COMO COLUMNAS DE

UN ARREGLO RECTANGULAR . OBTENEMOS LO QUE SE LLAMA L A M A T R I Z DE

LA TRANSFORMACIÓN LINEAL CON RESPECTO A LA BASE CANÓNICA.



SE PUEDE PROBAR QUE LAS PROPIEDADES DE ESTA MATRIZ NO

DEPENDEN DE LA BASE ELEGIDA . O SEA . SIEMPRE ES POSIBLE HACER UN

CAMBIO DE BASE QUE PRESERVA LAS PROPIEDADES DE LA MATRIZ .

EJEMPLO.

LA MATRIZ DE LA TRANSFORMACIÓN:

T ( X , Y , Z ) = ( X , X - Y , Z - X )

SE OBTIENE COLOCANDO COMO COLUMNAS LOS VECTORES:

T ( o , i , o ) = ( o . - i . o )

T ( o , o . i ) = ( o , o , i )

ES DECIR:

1 O O

1 -1 O

-1 O 1

DE ESTA FORMA TENEMOS ESTABLECIDA UNA CORRESPONDENCIA QUE A

CADA TRANSFORMACIÓN LINEAL LE ASOCIA UNA MATRIZ. SE TIENE TAMBIÉN

LA RELACIÓN INVERSA QUE A CADA MATRIZ LE ASOCIA UNA

TRANSFORMACIÓN LINEAL, CABE INSISTIR QUE ESTA CORRESPONDENCIA NO

DEPENDE DE LA BASE ELEGIDA.



PARA DEFINIR ESTA CORRESPONDENCIA NECESITAMOS LO QUE SE LLAMA

LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ. ESTA SE OBTIENE COMO SU NOMBRE LO

INDICA "TRANSPONIENDO" RENGLONES Y COLUMNAS. LA TRANSPUESTA DE LA

MATRIZ A SE DENOTA COMO A \

DADA UNA MATRIZ LA TRANSFORMACIÓN LINEAL ASOCIADA SE ENCUENTRA

MULTIPLICADO UN VECTOR ( x , Y , z ) TRANSPUESTO , POR LA MATRIZ

Y LEYENDO EL RESULTANDO TRANSPUESTO.

EJEMPLO:

1

1

-1

0

-1

0

0 "0

1

• x "

Y

z= X

z

X

-

-

Y

X

QUE COINCIDE CON EL EJEMPLO DE ARRIBA.

EN CONCLUSIÓN:

CADA TRANSFORMACIÓN LINEAL TIENE ASOCIADA UNA MATRIZ

TODA MATRIZ DETERMINA UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

POR OTRA PARTE EXISTE UN NÚMERO ASOCIADO A CADA MATRIZ

CUADRADA QUE PROPORCIONA INFORMACIÓN SOBRE LA GEOMETRÍA DE LA

TRANSFORMACIÓN , ESTE NUMERO ES LLAMADO EL DETERMINANTE DE LA

MATRIZ , UNA FORMA FÁCIL DE CALCULARLO ES POR EL MÉTODO DE

MENORES , QUE CONSISTE EN SIGNAR CADA ENTRADA DE ACUERDO A UN

ARREGLO SIMILAR AL "TABLERO DE AJEDREZ " ; ELEGIR UN RENGLÓN O



COLUMNA DE LA MATRIZ Y LUEGO REDUCIR EL ORDEN DE LA MATRIZ EN

CADA UNA DE LAS ENTRADAS SUPRIMIENDO EL RENGLÓN Y LA COLUMNA A LA

QUE PERTENECEN. ITERANDO ESTE PROCESO HASTA OBTENER UNA MATRIZ DE

ORDEN 1x1 CUYO DETERMINANTE POR DEFINICIÓN SERA EL VALOR DE LA

ENTRADA .

EJEMPLO:

DET

2

O

- 1 O

2 1

O O

= ( =

(ELIGIENDO LA 3 a . COLUMNA)

O 21+0 DET

+ O DET

- 1 DET01 |1

21

- 1

O

= - 1

DISTINGUIREMOS DOS TIPOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

SEGÚN SEA EL DETERMINANTE DE SU MATRIZ.

A ES SINGULAR SI DET (A) = O

A ES N O SINGULAR SI DET (A) 4 O

EL DETERMINANTE MIDE LA FORMA COMO CAMBIA EL ÁREA O EL VOLUMEN

DE FIGURAS PLANAS O SOLIDOS.



POR EJEMPLO . TOMEMOS LA TRANSFORMACIÓN:

T ( x , Y) = ( 2X + Y , Y )

T DEFORMA UN CUADRADO DE ÁREA 1 EN UN PARALELOGRAMO DE ÁREA 2

LO CUAL ERA DE ESPERARSE PUES LA MATRIZ DE T TIENE DETERMINANTE 2

NOS INTERESAN LAS TRANSFORMACIONES LINEALES QUE TIENEN MATRIZ

NO SINGULAR PUES TRANSFORMAN VOLÚMENES EN VOLÚMENES Y ÁREAS EN

ÁREAS DEFORMAN SIN APLASTAR, ES DECIR , NO COLAPSAN FIGURAS.

A MANERA DE RESUMEN SE TIENE QUE UNA TRANSFORMACIÓN

NO-SINGULAR:

TRANSFORMA:

LINEAS EN LINEAS Y SOLO EN LINEAS

PLANOS EN PLANOS Y SOLO EN PLANOS

EL ORIGEN EN EL ORIGEN EN FORMA ÚNICA

OBSERVACIÓN IMPORTANTE

HEMOS LIMITADO NUESTRA DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL

TOMANDO COMO DOMINIO Y CONTRADOMINIO AL MISMO ESPACIO Y DE ESTA

FORMA OBTUVIMOS MATRICES CUADRADAS,SIN EMBARGO, LA DEFINICIÓN

PUEDE DARSE PARA ESPACIOS DE DIMENSIONES DISTINTAS OBTENIENDO

MATRICES RECTANGULARES.



1.6 EJERCICIOS

1. LOCALIZAR LOS SIGUIENTES PUNTOS:

( - 1 , 2 , 0 ) ( 6 . 7 )

( 7 , 0 , - 3 ) ( - 4 . 3 )

( - 3 , 2 . 6 ) ( 1 , 9 )

( 4 , 4 , 3 ) ( -3 ,-3)( 0 , - 1 , 0 ) ( 0 , 0 )

2. DIBUJAR LAS SIGUIENTES LINEAS:

A ( 1 , 2 )A ( 4 .-3 )x (-1 , 0 )

3. DETERMINAR POR MEOIO DE LA DEFINICIÓN CUALES DE LAS

SIGUIENTES TRANSFORMACIONES SON LINEALES.

T ( X , Y , Z ) = ( X 2 , X + Y , Z )

T( X , Y , Z ) = ( X ,-Z . 0 )

T( X , Y , Z ) = ( X2+ Y » Z2+ X , Y )

T( X , Y , Z ) * ( -X , "Y , ~Z )

T( x , Y , z ) = ( 2x , -3z , x + Y )

T ( X , Y , Z ) = ( X . Y , Z )

4 .PARA LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DEL EJERCICIO ANTERIOR

ENCUENTRE LA MATRIZ CON RESPECTO A LA BASE CANÓNICA.

5 .ESCRIBA TRES BASES DISTINTAS DE LA CANÓNICA PARA EL

ESPACIO DE TRES DIMESIONES.



6.DAD A UNA BASE ARBITRARIA DEL ESPACIO, FORMAR UNA MATRIZ

TOMANDO COMO COLUMNAS LOS ELEMENTOS DE LA BASE:

O QUE PUEDE DECIR DEL DETERMINANTE.

O QUE PASA SI LA BASE ES ORTONORMAL.

7. CONSIDERE TRES VECTORES X . Y , Z Y TRES ESCALARES <* , £

, 7 . ESCRIBA ( E ) O ( V )SI LA EXPRESIÓN ES ESCALAR O

VECTOR

| X + Y ¡ X ( )

X Y + a ( )

( ( a X ) ( P Y ) ) X . . . . . . . ( )

( X + Y )Z ( )

( a X + P Y + r Z ) ( )

8. TOMANDO X - ( 2. -3 . 6 ) Y - ( 0 , -1 . 5 )

Z - ( 9, -8 , 6 ) a = .25 P = 8 y = 4

CALCULE LOS VECTORES O ESCALARES DEL EJERCICIO ANTERIOR

9 PARA LOS VECTORES DEL EJERCICIO ANTERIOR CALCULE

<XY <XZ <JYX <YZ

10 CALCULE EL DETERMINANTE DE LAS SIGUIENTES MATRICES:

-2

1

- 4

6

9

89

1

0

7

7

- 1

456

0

-2

1

9

0

0

8

-1

0

56

67

0

9

8

0

- 8 9

798

0

1

0

2

0

0

1



II. ISOMETRIAS

2.1 EL GRUPO LINEAL

CONSIDEREMOS UN OBJETO F c R3. MOVIÉNDOSE EN FORMA ARBITRARIA.

DOS TIPOS DE MOVIMIENTOS SON POSIBLES, LOS MOVIMIENTOS RÍGIDOS,

QUE NO DEFORMAN F; Y LOS MOVIMIENTOS TOPOLOGICOS QUE DEFORMAN A F

SIN LLEGAR A ROMPERLO, ESTIRÁNDOLO* COMPRIMIÉNDOLO, ETC. PODEMOS

PENSAR QUE LA CONSISTENCIA DEL OBJETO ES ELÁSTICA.

LIMITAREMOS NUESTRO ESTUDIO A LAS TRANSFORMACIONES RÍGIDAS,

LLAMADAS TAMBIÉN ISOMETRIAS, LA HERRAMIENTA INDICADA PARA TRATAR

ESTOS OBJETOS SON LAS MATRICES, LAS CUALES FORMAN UN GRUPO.

IDENTIFICAREMOS INDISTINTAMENTE TRANSFORMACIONES LINEALES Y

MATRICES, A LA TRANSFORMACIÓN IDÉNTICAMENTE CERO LE ASOCIAMOS LA

MATRIZ CON TODAS SUS ENTRADAS IGUALES A CERO, Y A LA

TRANSFORMACIÓN IDENTIDAD T( X ) = X LE ASOCIAMOS LA MATRIZ

IDENTIDAD:

1 O O

O 1 O

O O 1



TENEMOS ENTONCES LOS OBJETOS DE NUESTRO GRUPO DEFINIREMOS

AHORA LA OPERACIÓN, PARA TRANSFORMACIONES LINEALES TENEMOS LA

COMPOSICIÓN: POR COMPOSICIÓN ENTENDEMOS LA TRANSFORMACIÓN QUE SE

OBTIENE AL OPERAR UNA ENSEGUIDA DE LA OTRA.

EJEMPLO:

T ( X , Y , Z ) - ( 2 X - Y . Z , - Y )

S ( X . Y , 2 ) = ( - X , X + Y , Z )

PARA LA COMPOSICIÓN SE TIENE:

T • S ( X, Y , Z ) - < - 3X - Y . Z . -X -Y )

Y TAMBIÉN:

S " T ( X , Y , Z ) > ( - 2 X + Y , 2 X - Y + Z , - Y )

ES DECIR LA COMPOSICIÓN DE DOS TRANSFORMACIONES LINEALES ES

OTRA COMPOSICIÓN LINEAL . ESTE "PRODUCTO" NO ES CONMUTATIVO.

POR OTRO LADO PARA LAS MATRICES EL PRODUCTO SE DEFINE EN FORMA

UN POCO MAS COMPLICADA CONSIDEREMOS DOS MATRICES A & B DEL MISMO

ORDEN DIGAMOS 3X3, SI Xx , X 2 , X3 SON LOS RENGLONES DE LA

MATRIZ A & Y , Y 2 Y 3 SON LAS COLUMNAS DE LA MATRIZ B ENTONCES SE

DEFINE EL PRODUCTO COMO LA MATRIZ:



AB [Y Y Y ]1 1 2 3 J

XiYi X1Y2 X1Y3

X2Y1 X2Y2 X2Y3

X3Y1 X3Y2 X3Y3

SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR, VERIFICAR QUE LA

OPERACIÓN ASI DEFINIDA ES NO-CONMUTATIVA Y QUE SE CUMPLE:

A = A V A NO-SINGULAR

ES DECIR, I ES EL ELEMENTO NEUTRO PARA ESTA OPERACIÓN. POR OTRA

PARTE LA OPERACIÓN ES COMPATIBLE CON LA CORRESPONDENCIA

ESTABLECIDA ENTRE TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES. POR

EJEMPLO TOMANDO LAS TRANSFORMACIONES DEL EJEMPLO ANTERIOR SE

TIENE:

T S

-> A =

-> B =

2

0

0

-1

1

0

-3

0

-1

-1

0

-1

0

1

0

-1

0

-1

0

1

0

0"

0

1

0

1

0

CLARAMENTE SE CUMPLE:

T • S •» A B S • T ->B A



EN CONCLUSIÓN:

LA MATRIZ DE LA COMPOSICIÓN ES EL PRODUCTO DE LAS

MATRICES RESPETANDO EL ORDEN

SI UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL T TIENE MATRIZ NO NINGULAR ( N O

COLAPSA) ENTONCES TIENE INVERSA ES DECIR . EXISTE UNA

TRANSFORMACIÓN LINEAL QUE DENOTAREMOS COMO T"1 Y QUE CUMPLE:

' 1T T (X) - X v X

FIGURA 2 . 1 .



PARA EL CASO DE LAS MATRICES, UNA VEZ QUE SE SABE QUE LA

MATRIZ A TIENE DETERMINANTE DIFERENTE DE CERO TAMBIÉN EXISTE LA

LLAMADA MATRIZ INVERSA DENOTADA A"1 CUMPLIÉNDOSE:

A A"1 - A~XA

UN SENCILLO ALGORITMO PARA ENCONTRAR MATRICES INVERSAS CUANDO

ESTAS EXISTEN ES EL SIGUIENTE:

* TÓMESE LA MATRIZ DE COFACTORES , QUE DENOTAMOS

COMO A Y QUE SE CALCULA COMO SIGUE: CADA

ENTRADA DE LA MATRIZ SE SUSTITUYE POR EL VALOR

DEL MENOR QUE SE OBTIENE AL OMITIR EL RENGLÓN Y

LA COLUMNA A LA QUE PERTENECE.

> LA INVERSA ES:

A-i 1 r A cof , tA = [ A J

det A

EL DETERMINANTE TIENE LA SIGUIENTE PROPIEDAD MULTIPLICATIVA:

V A , B NO SINGULARES SE CUMRLE:

det ( A B ) = ( det A ) ( det B )

EN OTRAS PALABRAS, EL PRODUCTO DE NO-SINGULARES ES NO-SINGULAR



TENEMOS ASI DEFINIDO UN CONJUNTO DE ELEMENTOS:' MATRICES

NO-SINGULARES» O TRANSFORMACIONES LINEALES QUE NO COLAPSAN, Y UNA

OPERACIÓN DEFINIDA, LA CUAL POR LA PROPIEDAD DEL RECUADRO

ANTERIOR ES CERRADA Y ADEMAS TIENE DOS ELEMENTOS DISTINGUIDOS, EL

NEUTRO I , Y EL INVERSO A"1 PARA CADA A , UNA VEZ QUE EL LECTOR

VERIFIQUE PARA MATRICES 3X3 QUE LA OPERACIÓN ES

ASOCIATIVA.TENEMOS UN GRUPO LLAMADO EL GRUPO LINEAL GENERAL DE

DIMENSIÓN TRES o DOS SEGÚN SEA EL CASO ESTE. GRUPO SE DENOTA

COMO: GL3( R ) o GL2( R ) .

COMO EL EJEMPLO ANTERIOR LO MUESTRA ESTOS GRUPOS NO SON

CONMUTATIVOS.

LA TEORÍA DE LA SIMETRÍA ESTUDIA ALGUNOS SUBGRUPOS DE ESTE

GRUPO Y SU ACCIÓN EN EL ESPACIO. ESTAMOS INTERESADOS EN LA

GEOMETRÍA DE ESTOS GRUPOS Y SUS SUBGRUPOS; VEAMOS PRIMERO PARA

DIMENSIÓN DOS.

UN MÉTODO PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO GEOMÉTRICO DE LOS

ELEMENTOS DE GL2( R ) CONSISTE EN VER LA DEFORMACIÓN UN

CUADRADO UNITARIO C.SI A e GL2( R ) ENTONCES:

A DEFORMA A C EN' UN PARALELOGRAMO QUE SE OBTIENE DE:

UN CAMBIO DE ESCALA Y UNA ZIZALLADURA

PODEMOS PENSAR LA ZIZALLADURA COMO LA ACCIÓN DE APLASTAR

SUAVEMENTE UNA CAJA DE CARTÓN SIN TAPAS.



ESTO ES PORQUE TODO ELEMENTO EN GL2( R ) SE ESCRIBE COMO UN

PRODUCTO

an ai2 r 1 ai2/a22| an O

a2i a22 I a2i/an 1 J O a22|

A B

Y ESTAS MATRICES ACTÚAN EN LA BASE COMO:

A ( 1 O ) t = ( 1 a2 i /an ) t A ( O 1 ) t s ( ai2/a22 1

B ( 1 O ) l = ( a u O )*• B ( O 1 )*" = ( O a22)t

FIGURA 2.2.



LA SIGUIENTE ES UNA TABLA DE LAS POSIBILIDADES QUE TIENE UNA

TRANSFORMACIÓN NO SINGULAR EN EL PLANO.

TABLA 2.1



EN FORMA ANÁLOGA:

TOOO ELEMENTO DE GL_( R ) DEFORMA UN CUBO UNITARIO EN

PARALELETOPO QUE SE OBTIENE DE UN CAMBIO DE

ESCALA Y UNA ZIZALLADURA.

ESTO SE SIGUE AL OBSERVAR LA SIGUIENTE DESCOMPOSICIÓN:

ana2i

a3 i

a i 2

a22

a32

ai 3

a23

a33

=

1 ai2/a22 ai3/a33

a2i/an 1 a23/a33

a3i/an a32/a22 1

an0

0

0

a22

0

0

0

a 3 3

B

FIGURA 2.3.



OTRA HERRAMIENTA PARA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA DE

TRANSFORMACIONES SON LOS PUNTOS O LINEAS INVARIANTES.

DADA A e GL3( R ) UN VECTOR x e R3 DIFERENTE DE CERO ES:

> PUNTO FIJO DE A SI A X - X

* VECTOR CARACTERÍSTICO DE A SI 3 A € R TAL QUE:

A X • A X.

SI x ES UN VECTOR CARACTERÍSTICO EL NUMERO A SE LLAMA UN

VALOR CARACTERÍSTICO. SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

> A DEJA FIJA LA RECTA A X

t> de t < A - * | ) - O

ESTA ULTIMA RELACIÓN TOMADA COMO UNA ECUACIÓN EN LA VARIABLE

A NOS AYUDA ENCONTRAR LOS VALORES CARACTERÍSTICOS CUANDO ESTOS

EXISTEN.

CLARAMENTE UN VECTOR FIJO ES TAMBIÉN UN VECTOR CARACTERÍSTICO

CON VALOR A = 1 , SIN EMBARGO UN VECTOR CARACTERÍSTICO NO TIENE

POR QUE SER FIJO.



2.2 EL GRUPO ORTOGONAL

UN ELEMENTO DE GL3( R ) SE LLAMA TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL SI

PRESERVA EL PRODUCTO INTERNO, ES DECIR .. A € GL3( R ) ES

ORTOGONAL SI:

( AX ) (A Y ) = X Y V X . Y e R3

SI SE DEFINE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS x . Y e R3 COMO EL

NUMERO : 1 x - Y || SE TIENE QUE :

T ES ORTOGONAL SI:

> PRESERVA DISTANCIAS

> PRESERVA ÁNGULOS

SE PUEDE PROBAR QUE SI UNA TRANSFORMACIÓN ES ORTOGONAL

ENTONCES EXISTE UNA BASE APROPIADA DEL ESPACIO TAL QUE LA MATRIZ

DE LA TRANSFORMACIÓN CON RESPECTO A ESTA BASE VALE +1 o -1 AL

REVÉS NO NECESARIAMENTE , ES DECIR. UNA MATRIZ DE DETERMINANTE

UNO NO TIENE POR QUE PRESERVAR EL PRODUCTO INTERNO. LAS DISTACIAS

Y LOS ÁNGULOS; EL LECTOR DEBE SER CAPAZ DE ESCRIBIR UN EJEMPLO DE

UNA MATRIZ CON DETERMINANTE UNO QUE NO SEA ORTOGONAL.



LAS MATRICES ORTOGONALES FORMAN UN SUBGRUPO DE GL3( R )

LLAMADO EL GRUPO ORTOGONAL Y ES DENOTADO COMO O3( R ) O BIEN

O2( R ) SEGÚN SEA EL CASO. PARA DIMENSIÓN DOS SE TIENE EL

SIGUIENTE RESULTADO GEOMÉTRICO:

UN ELEMENTO A e O2( R ) ES

> UNA ROTACIÓN SI det A • 1

> UNA REFLEXIÓN SI det A •• ~1

VAMOS A ESTUDIAR CON DETENIMIENTO ESTAS TRANSFORMACIONES.

2.2.1. ROTACIONES EN PLANO

FIGURA 2.4



COMO SE SEÑALO EN EL CAPITULO ANTERIOR BASTA CONOCER LA

TRANSFORMACIÓN EN LOS ELEMENTOS DE UNA BASE . P.E. LA CANÓNICA,

OBTENEMOS ASI LA MATRIZ

eos O -sen 6

sen O eos O

CLARAMENTE A € O2( R ) . ESTA MATRIZ SE LLAMA M A T R I Z DE

ROTACIÓN EN EL ÁNGULO e .UNA ROTACIÓN EN EL PLANO NO TIENE

PUNTOS FIJOS NI VECTORES CARACTERÍSTICOS DIFERENTES DE CERO .

PUES AL ESCRIBIR LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA ENCONTRAMOS UNA

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO EN x CON DISCRIMINANTE NEGATIVO.

2.2.2. ROTACIONES EN EL ESPACIO

DISTINGUIMOS TRES TIPOS DE ROTACIONES EN EL ESPACIO QUE SE

OBTIENEN DEJANDO FIJO UNO DE LOS EJES DE COORDENADAS Y HACIENDO

LA ROTACIÓN CORRESPONDIENTE SOBRE EL PLANO ORTOGONALMENTE

COMPLEMENTARIO, TENEMOS ENTONCES

R 8 = DEJA FIJO EL EJE X

R * 2 DEJA FIJO EI. EJE Y" Y

R * = DEJA FIJO EL EJE Z



FIGURA 2.5.

Y LAS MATRICES SON

e1

0

0

0

eos

sen

ee

0

-sen

eos

e6

eos Q

0

sen •

0

1

0

-sen

0

eos

•

*

eos

sen

0

*

*

-sen

eos

0

*

*

0

0

1



ESTAS MATRICES NOS PROPORCIONAN CUALQUIER OTRA ROTACIÓN DEL

ESPACIO, USANDO COORDENADAS ESFÉRICAS SE PUEDE PROBAR EL

SIGUIENTE RESULTADO:

v A e Ori( R ) CON det A * i

3 O . • , • € |O , ?.U 1 TAL QUE

A = K K „ " x

LOS ÁNGULOS © , * ,: • SE LLAMAN LO? ÁNGULOS DE EULER PARA A

I ¡CURA ;>.<>



2.2.3 REFLEXIONES

DEFINIMOS PRIMERO EL COMPLEMENTO ORTOGONAL PARA UN VECTOR O

UN CONJUNTO DE VECTORES. GEOMÉTRICAMENTE LA IDEA ES LA SIGUIENTE:

EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UNA LINEA EN R2 ES CUALQUIER OTRA

LINEA PERPENDICULAR A ELLA; EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UNA LINEA

EN R3 ES UN PLANO QUE TIENE LA PROPIEDAD DE QUE TODA LINEA SOBRE

EL ES PERPENDICULAR A LA LINEA DADA. ASI EL COMPLEMENTO

ORTOGONAL DE UN VECTOR SERA EL COMPLEMENTO ORTOGONAL DE LA LINEA

QUE DEFINE; EN CUALQUIER CASO EL ESPACIO Y SU COMPLEMENTO

ORTOGONAL EN EFECTO 'COMPLEMENTAN' DIMENSIONALMENTE EL ESPACIO.

DADO UN VECTOR " « R3, EL CONJUNTO.

SE LLAMA COMPLEMENTO ORTOGONAL DEL VECTOR " .

TODO VECTOR SE PROYECTA ORTOGONALMENTE SOBRE CUALQUIER PLANO O

LINEA QUE NO LO CONTENGA.EL LECTOR PUEDE PENSAR EN LA SOMBRA

PROYECTADA AL COLOCAR UNA FUENTE DE LUZ ' J U S T O ARRIBA' DE UN

OBJETO.

PARA TODO t, e R:I ; 3 A e R TAL QUE ( « - A u ) ES LA

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE « SOBRE « ' . DE AHÍ QUE : A = u «



FIGURA 2 . 1

SI DENOTAMOS COMO ^ LA REFLEXIÓN SOBRE EL COMPLEMENTO

ORTOGONAL DE a SE TIENE:

2.2.3. REFLEXIONES EN EL PLANO

UNA REFLEXIÓN IMPORTANTE SE OBTIENE TOMANDO EL EJE HORIZONTAL

COMO EJE REFLEJANTE ES DECIR. TOMANDO u = ( O . 1 ) SE TIENE :

o- ( j ( 1 , O ) = ( 1 , O )

(T(¡ ( O , 1 ) = ( O , - 1 )

Y LA MATRIZ QUEDA COMOi o

o - i



ESTA MATRIZ LE LLAMAREMOS LA REFLEXIÓN CANÓNICA Y NOS SIRVE

PARA ESTUDIAR EN FORMA MAS GENERAL LAS REFLEXIONES EN EL PLANO.

CONSIDEREMOS UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN Y TIENE

PENDIENTE tan e , UN VECTOR UNITARIO ORTOGONAL A ELLA ESTA

DADO POR " - ( -sen 9 , eos 0 ) = ( eos a , sen a ) DONDE :

ir + e COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.

FIGURA 2.8.

USANDO LA FORMULA ENCONTRADA ANTES SE TIENE QUE LA MATRIZ DE

LA REFLEXIÓN ES:

1 - 2 eos'" a -?. eos a son a

-2 eos a sen a 1 - 2 son a

-eos 2a

-sen 2a

-sen 2a

eos 2a



PERO OBSERVEMOS QUE ESTA MATRIZ SE PUEDE ESCRIBIR COMO EL

PRODUCTO:

eos a -sen a

sen a eos a

-1 eos a sen a

-sen a eos a

ES DECIR. LA REFLEXIÓN ES COMPOSICIÓN DE:

> UNA ROTACIÓN EN EL ÁNGULO - a

> UNA REFLEXIÓN CANÓNICA QUE FIJA EL EJE Y

<> UNA ROTACIÓN EN EL ÁNGULO + a

FIGURA y. 9.



2.2.4. REFLEXIONES EN EL ESPACIO

LA REFLEXIÓN EN R3 CON RESPECTO A UN PLANO CON UNA INCLINACIÓN

DADA AMERITA UN AJUSTE DE EJES EN FORMA ANÁLOGA A LA REALIZADA

PARA DIMENSIÓN DOS. ESTE AJUSTE ESTA DADO POR EL PRODUCTO DE TRES

MATRICES, EN ESTE CASO LA MATRIZ DE ENMEDIO ESTA DETERMINADA

POR UNA REFLEXIÓN CANÓNICA QUE TIENE TRES POSIBILIDADES QUE SE

OBTIENEN DE FIJAR CADA EJE Y REFLEJAR EN EL CORRESPONDIENTE

COMPLEMENTO ORTOGONAL, TENEMOS ASI LAS SIGUIENTES MATRICES:

i

<r

cr

=

-1

0

0

i ~

k =

" 1

0

B o

1

0

0

0

1

0

0

-1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

-1

DEJA FIJO EL PLANO YZ INVIERTE EL EJE X

DEJA FIJO EL PLANO XZ INVIERTE EL EJE Y

s DEJA FIJO EL PLANO XY INVIERTE EL EJE Z



EL CONJUNTO DE ROTACIONES DEL ESPACIO FORMAN UN SUBGRUPO DE

O_( R ) LLAMADO EL GRUPO ESPECIAL Y DENOTADO COMO SO., ( R ) .

SIN EMBARGO LAS REFLEXIONES SOBRE RECTAS 0 PLANOS QUE PASAN POR

EL ORIGEN NO FORMAN UN GRUPO PUES EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES

NUNCA ES UNA REFLEXIÓN. SE TIENE ENTONCES LAS SIGUIENTES

CONTENCIONES:

S0 3 ( R ) c O3( R ) c GL3( R )

2.3 TRANSLACIONES

VAMOS AHORA A HABLAR DE UN TIPO DE MOVIMIENTO RÍGIDO DEL

ESPACIO QUE ESTRICTAMENTE NO ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL . PERO

QUE PUEDE ESTUDIARSE POR MEDIO DE MATRICES , PARA ESTO PENSAMOS

EL PLANO XY GEOMÉTRICAMENTE EQUIVALENTE AL PLANO TRANSLADADO EN

FORMA PARALELA HASTA EL PUNTO k , ES DECIR IDENTIFICANDO

y ) = ( x , i )

OBSERVEMOS LA SIGUIENTE TRANSFORMACIÓN:

1

í)

í)

0

1

0

b

i

" X "

Y

1

' X

Y

4-

f

1

h



ESTA MATRIZ DEJA FIJO AL PLANO R2 TRANSLADADO. Y ACTÚA EN EL

REALIZANDO UNA TRANSLACIÓN DEL "ORIGEN " AL PUNTO ( a , b ).

FIGURA 2.10

DE MANERA ANÁLOGA UNA TRANSLACIÓN EN R3 ESTARA DADA POR LA

SIGUIENTE MATRIZ:

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

a

b

c

1

EN ESTE CASO LA TRANSLACIÓN ES HASTA EL PUNTO U.b.e)

IDENTIFICADO CON (a.b.c.i) € R4



LAS TRANSLACIONES FORMAN UN GRUPO BAJO LA COMPOSICIÓN, DADOS

X . Y . e R:! EXISTE UNA Y SOLO UNA TRANSLACIÓN QUE LLEVA x EN Y LA

DENOTAREMOS COMO TX Y-

DADOS p . Q , R , s € R2 NO COLINEALES SE CUMPLE:

xp o = T R S « [PQRSI ES UN PARALELOGRAMO

LAS TRANSLACIONES PRESERVAN DISTANCIAS Y ÁNGULOS . ES DECIR

X ~ Y i = i X A n( X > ~ T A J Y ) ¡I V A,B, X , Y

X Y = T Í X ) T Í Y ) V A,B, X , YAD A D

HEMOS HABLADO DE REFLEXIONES SOBRE RECTAS QUE PASAN POR EL

ORIGEN Y ROTACIONES CON CENTRO EN EL ORIGEN , AHORA CON LA AYUDA

DE LAS TRANSLACIONES PODEMOS HABLAR DE REFLEXIONES Y ROTACIONES

FUERA DE ORIGEN COMO COMPOSICIÓN DE UNA TRANSLACIÓN CON UNA

REFLEXIÓN O ROTACIÓN SEGÚN SEA EL CASO, ENTENDIENDO ESTAS ULTIMAS

EN EL SENTIDO ESTUDIADO MAS ARRIBA.



2 . 4 E L G R U P O I S O ( F )

VAMOS AHORA A ESTUDIAR EN FORMA UNIFICADA ESTOS MOVIMIENTOS

RÍGIDOS DEL PLANO Y DEL ESPACIO CON EL CONCEPTO DE ISOMETRIA,

CUYAS RAICES ETIMOLÓGICAS SON:

ISOMETRIA

I Z O I i sos IGUALDAD

e T p o v metron DISTANCIA

UNA ISOMETRIA ES UNA TRANSFORMACIÓN T : R" -»R NO

NECESARIAMENTE LINEAL QUE PRESERVA LAS DISTANCIAS . O SEA :

T x - T Y X - Y V X . Y e RJ

SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR VERIFICAR QUE BAJO LA

COMPOSICIÓN. EL CONJUNTO DE TODAS LAS ISOMETRIAS FORMAN UN GRUPO

A ESTE GRUPO LO DENOTAREMOS COMO IS03 ( R ) O COMO ISO2< R ) .

SEGÚN SEA EL CASO.

OBSERVEMOS QUE TODA TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL ES UNA ISOMETRIA

PERO AL REVÉS NO NECESARIAMENTE . ESTO ES POR EL HECHO DE QUE LAS

TRANSLACIONES NO SON TRANSFORMACIONES LINEALES Y AUN SI SON

EXPRESADAS COMO MATRICES CAMBIAN LA DIMENSIÓN DEL ESPACIO.



v T € ISO., ( R ) SE CUMPLE SOLO UNA DE LAS SIGUIENTES

PROPOSICIONES:

> T ES UNA ROTACiON

> T ES UNA REFLEXIÓN

> T ES UNA TRANSLACIÓN

UNA ISOMETRIA EN EL PLANO QUEDA DETERMINADO POR SU ACCIÓN EN

TRES PUNTOS NO COLINEALES , ES DECiR SI DOS ÍSOMETRIAS COINCIDEN

EN TRES PUNTOS NO COLINEALES ENTONCES SON LA MISMA.

TENEMOS ENTONCES TRES TIPOS DE MOVIMIENTOS RÍGIDOS EN EL PLANO

Y EN EL ESPACIO: ROTACIONES . REFLEXIONES, Y TRANSLACIONES, OTRA

NOMENCLATURA USADA PARA ESTOS MOVIMIENTOS ES LA SIGUIENTEIAS

ROTACIONES EN EL PLANO SE LLAMAN GIROS Y EN EL ESPACIO ROTACIONES

AXIALES . LAS REFLEXIONES EN EL PLANO SE CONOCEN CON EL NOMBRE

DE SIMETRÍA AXIAL, Y EN EL ESPACIO SIMETRÍA ESPECULAR (EL PLANO

REFLEJANTE ACTÚA COMO UN ESPEJO).

LA SIGUIENTE ES UNA TABLA QUE RESUME LAS POSIBILIDADES QUE

TIENEN LOS ELEMENTOS DE ISO.,( R ), ISO./ R ) TOMANDO ROTACIONES

CENTRADAS EN EL ORIGEN Y REFLEXIONES SOBRE RECTAS QUE PASAN POR

EL ORIGEN LA CUARTA COLUMNA DE LA TABLA NOS DA EL VALOR DEL

DETERMINANTE.



1S0METRIAS

TRASLACIÓN +1

TRASLACIÓNY GIRO

cos0 - sen0sen0 cos0

0 0+ 1

TRASLACIÓNY SIMETRÍAAXIAL

- 1

TRASLACIÓN1000 1 0001

\ o o o

a\bc1

+ 1

TRASLACIÓNY SIMETRÍAESPECULAR

10 00 1 00 0 - 100 0

- 1

TRASLACIÓNY ROTACIÓNAXIAL

1 0 00 cosí? — sen00 sen# cos00 0 0

+ 1

TRASLACIÓNY SIMETRÍAROTACIO-NAL

- 1000

0cosí? -sen0

0

0sen0COS0

0

- 1

TABLA 2.,



ENUNCIAMOS A CONTINUACIÓN ALGUNOS RESULTADOS ELEMENTALES ,

PERO IMPORTANTES ACERCA DEL GRUPO ISO2( R )

TODO ELEMENTO DE ISO2( R ) ES UN PRODUCTO DE UN NUMERO

FINITO DE REFLEXIONES

POR SUPUESTO QUE ESTE NUMERO NO ESTA UNÍVOCAMENTE DETERMINADO

PUES SIEMPRE ES POSIBLE AGREGAR DOS REFLEXIONES EN UN PRODUCTO

A SABER <r <r , i. E. . UNA REFLEXIÓN ES UNA INVOLUCIÓN.n n

T 6 |SO2( R ) ES :

> PAR SI SE ESCRIBE COMO EL PRODUCTO DE UN NUMERO PAR DE

REFLEXIONES-

> IMPAR SI SE ESCRIBE COMO EL PRODUCTO DE UN NUMERO IMPAR DE

REFLEXIONES.

LAS ISOMETRIAS PARES FORMA UN SUBGRUPO DE ISO2< R ) .

SI i ES UNA RECTA . ^ DENOTA LA REFLEXIÓN SOBRE i.

PARA VERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS SE RECOMIENDA

UTILIZAR LA TÉCNICA "(aldinq papen- , QUE CONSISTE EN HACER

DOBLECES SOBRE PAPEL ENCERADO PARA OBTENER TRAZOS QUE



CON AYUDA DE REGLA Y COMPÁS PROPORCIONAN UNA 'DEMOSTRACIÓN' DE

LOS RESULTADOS

I ¡ I

TEOREMA 1 Dadas I y m d o s r e c t a s e n OR2

( I I! m ) => ( <r <T = x ^ )11 1 m 2 d ( l , m )

TEOREMA Dada I recta en IR si m I y

2

, entonces:

2<r o* = Tm n PQ

donde P O son las intersecciones de I con m y

respectivamente

CADA TRANSLACIÓN ES PRODUCTO DE REFLEXIONES

PARALELAS

UNA ROTACIÓN EN CON CENTRO c ES UN ELEMENTO DE IS02( R )

QUE SE OBTIENE DE UNA TRANSLACIÓN SEGUIDA DE UN ELEMENTO DEL

GRUPO S02( R ) LA DENOTAREMOS COMO Rce.

TEOREMA 3 Dadas dos rectas i, m. si í n m

20Entonces: <r <r = R

m 1 c



TODA ROTACIÓN ES PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES CON RECTAS

CONCURRENTES Y VISCEVERSA , EL PRODUCTO DE DOS

REFLEXIONES CON RECTAS CONCURRENTES ES UNA ROTACIÓN

UNA ISOMETRIA QUE FIJA EXACTAMENTE UN PUNTO ES UNA ROTACIÓN.

EL PRODUCTO DE DOS ROTACIONES DE DIFERENTE CENTRO ES UNA

ROTACIÓN O UNA TRANSLACIÓN

SEAN RAe R * DOS ROTACIONES DE DIFERENTE CENTRO ; POR EL

TEOREMA 3 SI t ES LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS A

B.ENTONCES EXISTEN RECTAS m. , n QUE PASAN POR A Y B

RESPECTIVAMENTE TALES QUE :

- \ K - *i V

T 0/2 •

R R ° = < 7 o- = RB A n m n n m

SI | - + _*_ = ir ENTONCES OBTENEMOS UNA TRANSLACIÓN.

FINALIZAMOS ESTA PARTE CON DOS OBSERVACIONES IMPORTANTES:



> EL PRODUCTO DE DOS REFLEXIONES NUNCA ES UNA REFLEXIÓN

IS02( R ) NO ES UN GRUPO CONMUTATIVO PUES:

o dos rotaciones con d i s t in to centro no conmutan.

(<r <r =<r cr ) « [ ( m I n ) o ( m -L n ) ]m n n m "

1

i1

1i

11

11

11 ! 1

1 1 !1

1

1

1

1

1

11

1

!

1

—1 j



2.5 EJERCICIOS

1. TOMANDO LAS TRANSFORMACIONES:

X , Y , Z ) = ( 2 X - Y , X , Z +

S ( X , Y , Z ) = ( X, -Y , -Z )

R ( x , Y , z ) = ( 2x , 3Y , 5z )

ESCRIBA

T*R S*R T-S-R

2 . TOMANDO LA BASE CANÓNICA ESCRIBA LAS MATRICES CORRESPONDIENTES PARA

CADA UNA DE LAS TRANSFORMACIONES DEL EJERCICIO ANTERIOR.

3.CALCULE LA INVERSA PARA CADA UNA DE LAS TRANSFORMACIONES DEL

EJERCICIO ANTERIOR.

4. DIBUJE LA DEFORMACIÓN DEL CUADRADO UNITARIO POR LAS SIGUIENTES

MATRICES:

2

0 1

- 3

-1 0

0 1

O 1

-1 0



5. DIBUJAR LA DEFORMACIÓN DEL CUBO UNITARIO POR:

1

05l

~6

0-1

9

0

0

1

1 0 . 3

0 - 1 8

O O 1

6. ENCUENTRE LOS VALORES Y LOS VECTORES CARACTERÍSTICOS DE LAS

MATRICES DADAS EN 4 .

7.ESCRIBE Y DIBUJA <*•»•, PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES VECTORES:

u - ( -3 . O . 8 )

u - < O . O . -1 )

u - ( 2 . -1 )

a - ( -2 . "3 )

8. TOMANDO 4>

«

TI _ ir•j-, * * - g - ; ESCRIBA

R*R*z y

K *: \'9. ESCRIBA LA MATRIZ DE REFLEXIÓN CON RESPECTO A LAS SIGIUIENTES

RECTAS:

Y = 2x 3x - 2Y = O .5x +.3Y = 2X * 8Y



III. TEORÍA DE LA SIMETRÍA

3.1 INTRODUCCIÓN

HEMOS CONSTRUIDO EN LOS DOS CAPÍTULOS ANTERIORES LA

HERRAMIENTA NECESARIA PARA ESTUDIAR LA ACCIÓN DE DETERMINADOS

GRUPOS QUE PARA PATRONES DEFINIDOS PROPORCIONAN UNA GEOMETRÍA

ORNAMENTAL QUE SE CONOCE CON EL NOMBRE CLASICO DE TEORÍA DE L A

SIMETRÍA- LOS GRUPOS QUE DEFINEN ESTA TEORÍA SE LLAMAN GRUPOS

ORNAMENTALES Y TIENEN SU ORIGEN EN EL ANÁLISIS DE CRISTALES Y

ESTRUCTURAS MOLECULARES. LIMITAREMOS NUESTRO TRATAMIENTO A R2,

AUNQUE CON UN TRABAJO CUIDADOSO SE PUEDE CONSEGUIR PARA R3 UNA

GENERALIZACIÓN DE LOS MÉTODOS DE CLASIFICACIÓN SEGUIDOS. EL

LECTOR INTERESADO PUEDE CONSULTAR [ 1 1 . ES COMÚN REFERIRSE A

LOS OBJETOS QUE NOS CIRCUNDAN CON RESPECTO A SUS SIMETRÍA,

"...UN CIRCULO ES MAS SIMÉTRICO QUE UN TRIANGULO", "...ESE

DISEÑO ES POCO SIMÉTRICO", SON EXPRESIONES FRECUENTEMENTE USADAS,

QUEREMOS AHORA DARLE PRECISIÓN A ESTE CONCEPTO DE SIMETRÍA.



DADO UN CONJUNTO F c K 2 , UNA LINEA t. Y UN PUNTO p

SE TIENE LA SIGUIENTE DEFINICIÓN:

£ ES UNA LINEA DE SIMETRÍA DE F SI

<r¿ F ) = F

P ES UN PUNTO DE SIMETRÍA DE F SI

3 O• € [ O ,211 •] TAL QUE R" ( F ) = F

SE RECOMIEMDA AL LECTOR REALIZAR UN EXPERIMENTO DEL TIPO

papen, PERO CON UNA GOTA DE TINTA PARA VISUALIZAR ESTOS

CONCEPTOS. LA SIGUIENTE FIGURA ES UN EJEMPLO DE ESTO:

%

FIGURA ) . 1



3.2 EL GRUPO SIM(F)

LLAMAREMOS FIGURA A UN SUBCONJUNTO F DE R2 QUE ES CONEXO, O

UNION FINITA DE PIEZAS CONEXAS CON UN BORDE BIEN DETERMINADO . LA

FORMALIZACION DE ESTOS CONCEPTOS DE BORDE Y CONEXIDAD ESTA FUERA

DEL ALCANCE DE ESTE LIBRO , EL LECTOR INTERESADO ENCONTRARA UNA

EXPOSICIÓN ACCESIBLE DE ESTAS DEFINICIONES TOPOLOGICAS EN [ 2 h

CUANDO HABLEMOS DE FIGURA PODEMOS PENSAR EN LAS MODELOS

GEOMÉTRICOS TÍPICOS: CÓNICAS, POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES

ASI COMO UNIONES E INTERSECCIONES FINITAS DE ESTOS.

SUPONGAMOS DADA UNA FIGURA F c R2

A e ISO2( R ) ES UNA SIMETRÍA PARA F si

A( F ) = F

ES DECIR, SI LA FIGURA F QUEDA INVARIANTE BAJO LA ACCIÓN DE LA

ISOMETRIA A. PARA UNA FIGURA FIJA F EL CONJUNTO DE TODAS SUS

SIMETRÍAS FORMAN UN GRUPO BAJO LA COMPOSICIÓN. ESTE GRUPO SE

CONOCE COMO EL GRUPO DE KLEIN DE F, O EL GRUPO DE SIMETRÍA DE

F. Y LO DENOTAREMOS COMO SIM ( F ).

TENEMOS YA UN EJEMPLO DE ESTE TIPO DE GRUPOS: EL GRUPO DE

SIMETRÍA DEL TRIANGULO EQUILÁTERO ES S3 ESTUDIADO YA EN EL

PRIMER CAPITULO ; SIN EMBARGO EL EJEMPLO DEL GRUPO CÍCLICO

REPRESENTADO POR LAS ROTACIONES DEL PENTÁGONO NO ES EL GRUPO DE

SIMETRÍA DE ESTA FIGURA.



EL GRUPO DE SIMETRÍA DE UNA FIGURA F c ü 2 , 'MIDE' LA SIMETRÍA

DE LA FIGURA, PROPORCIONANDO UN DESCRIPCIÓN COMPLETA DE SU

GEOMETRÍA.

NO IMPORTA QUE TAN IRREGULAR SEA UNA FIGURA, SIEMPRE EXISTE EL

GRUPO DE SIMETRÍA, P. E. UN RECORTE INFORMAL HECHO A MANO DE UNA

HOJA DE PAPEL TIENE UN GRUPO CON UN SOLO ELEMENTO. A SABER. LA

IDENTIDAD. SIM ( F ) ES UN GRUPO QUE PUEDE SER FINITO O INFINITO.

CONMUTATIVO O NO CONMUTATIVO.

PARA LOS, GRUPOS FIN'TOS LA TABLA DE CAYLEY NOS PROPORCIONA

UNA DESCRIPCIÓN COMPLETA DE LA SIMETRÍA DE LA FIGURA. SIN EMBARGO

EN MUCHOS CASOS NO ES FÁCIL HACERLA, EL LECTOR PUEDE PENSAR LA

DIFICULTAD PARA ESCRIBIR UNA TABLA PARA SIM ( F ) SI ESTE TIENE

MAS DE 10 ELEMENTOS, SIN EMBARGO, CON EL DISEÑO DE UN BUEN

ALGORITMO REDUCIENDO LA SIMETRÍA A UN PROBLEMA DE COMBINATORIA LA

COMPUTADORA PUEDE AYUDARNOS A CUANTIF ICAR LA SIMETRÍA DE LOS

OBJETOS.

ESTUDIAREMOS TRES GRUPOS DE SIMETRÍAS:

> LOS GRUPOS DE LEONARDO: DIHEDRICOS Y CÍCLICOS

» LOS GRUPOS DE FRISOS

» LOS GRUPOS DE TAPICES

LO QUE CARACTERIZA A ESTOS GRUPOS ES EL NUMERO DE

TRANSLACIONES QUE CONTIENEN Y EL ELEMENTO MODULAR QUE SE USE PARA

REALIZARLO GEOMÉTRICAMENTE.



3.3 GRUPOS DIHEDRICOS Y CÍCLICOS

PARA n > 2 CONSIDEREMOS UN POLÍGONO REGULAR Fn DE n LADOS

INSCRITO EN UN CIRCULO CENTRADO EN EL ORIGEN QUE TIENE UNO DE

SUS VÉRTICES SOBRE EL EJE DE LAS x. SE TIENE EL SIGUIENTE

RESULTADO:

SIM ( F n ) ESTA GENERADO POR:

o cr = cr s X-REFLEXJONX

P = R2Tt/n

ESTO SIGNIFICA QUE S!M ( F ) SE COMPONE DE 2n ELEMENTOS:

2 3P, P , P

2 3cr 9 pe , p cr f p cr

n - lp cr

DONDE SE CUMPLEN LAS RELACIONES:

(T - cr = r



Y ADEMAS COMO o- p" ES UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA RECTA

QUE PASA POR EL ORIGEN, LE. . UNA INVOLUCIÓN, ENTONCES:

( < r p ) = ( c r p ) = ( p ) cr = p < r

EL GRUPO SIM ( F ) SE LLAMA EL GRUPO DIHEDRICO DE ORDEN n , Yn

SE DENOTA COMUNMENTE COMO Dn . IGUAL QUE EN EL CASO DEL TRIANGULO

EQUILÁTERO ESTUDIADO EN EL PRIMER CAPITULO, LAS POTENCIAS DE LA

ROTACIÓN P PROPORCIONAN UN SUBGRUPO QUE LLAMAREMOS EL GRUPO

CÍCLICO DE ORDEN n Y DENOTAREMOS COMO C . ES DECIR:n

rs i 2 3 4 n *C = ( P , P , P , P , P >

D = { P , P¿ , P3 , p n , <r , p<r , p¿cr , p3cr , t pn<r>

SE CUMPLE EL SIGUIENTE RESULTADO:

TEOREMA V n € ( N 3 P , Q c R2 POLÍGONOS TALES QUE

SIM ( P ) = D SIM ( Q ) - Cn n

PARA EL PRIMER CASO EL POLÍGONO ES REGULAR INSCRITO EN UN

CIRCULO. PARA EL SEGUNDO CASO EL POLÍGONO ES ESTRELLADO

CONSTRUIDO CON LAS TRISECCIONES DE LOS LADOS.



VAMOS A ESTUDIAR EL GRUPO DIHEDRICO DE ORDEN CUATRO,

CONSIDERAMOS PARA ESTO UN CUADRADO CENTRADO EN EL ORIGEN CON UNO

DE SUS VÉRTICES SOBRE EL EJE X.

\

X L ,

FIGURA 3.2

SI P DENOTA UNA ROTACIÓN DE n/2 , Y <r UNA x-REFLEXION,

ENTONCES EL GRUPO DE SIMETRÍA PARA ESTA FIGURA SE COMPONE DE OCHO

ELEMENTOS:

£ = ROTACIÓN DE 271

P = ROTACIÓN DE n/2

P2 = ROTACIÓN DE n

P s ROTACIÓN DE 3rr/2

^ E X - REFLEXIÓN

^ P = Lt~ REFLEXIÓN

r P = Y ~ REFLEXIÓN

P = L2 - REFLEXIÓN



SE DEJA COMO EJERCICIO PARA EL LECTOR CALCULAR LA TABLA DE

CAYLEY PARA ESTE GRUPO

LAS SIGUIENTES TABLAS ILUSTRAN LA CONSTRUCCIÓN PARA LOS

PRIMEROS GRUPOS DIHEDRICOS:

2 TRIANGULO ISÓSCELES C, 2 TRIANGULO ESCALENO

D2 s RECTÁNGULO

( NO CUADRADO )

C 2 s PARALELOGRAMO

( NO ROMBO )

D3 = TRIANGULO EQUILÁTERO

D. 5 CUADRADO C. =

EN GENERAL: ¡

D = n-poLIGONO REGULAR i C = n-poLIGONO ESTRELLADOn n

TABLA 3. ¡



r—r •

o V- n O -

B-rB Í^.-H H-f-Hv ' ' ^ ^ ^ X

L/l 3 . 2



3.4 EL TEOREMA DE LEONARDO

LEONARDO DA V INCI DETERMINO SISTEMÁTICAMENTE LAS POSIBLES

SIMETRÍAS DE UNA CONSTRUCCIÓN CENTRAL, DE TAL FORMA QUE AL

AGREGAR CAPILLAS Y NICHOS NO SE DESTRUÍA LA SIMETRÍA DEL NÚCLEO,

ESENCIALMENTE. LEONARDO USO LOS GRUPOS DIHEDRCOS FINITOS.

ESTA IDEA DE TRABAJAR CON SIMETRÍAS DETERMINADAS POR GRUPOS DE

POLÍGONOS CON CENTRO HA SIDO ENRIQUECIDA CON LA PRACTICA

COTIDIANA DEL DISEÑO; AL PROYECTAR EL ARQUITECTO PROCURA LA

EXISTENCIA DE UN PUNTO CENTRAL DE SIMETRÍA PARA LOCALIZAR TODOS

AQUELLOS SERVICIOS E INSTALACIONES DE USO GENERAL ( ESCALERAS,

ASCENSORES, INSTALACIONES SANITARIAS, ETC. ) EN LA PERSPECTIVA

DEL AHORRO ECONÓMICO, ESPACIAL, Y EL ENCUBRIMIENTO NATURAL DE

ESTAS. EN REALIDAD ESTA BUSCANDO UN GRUPO DIHEDRICO QUE DETERMINE

LA SIMETRÍA DE SU PROYECTO. ALGO SEMEJANTE OCURRE EN EL DISECO

DE MOBILIARIO Y HERRAMIENTA, EL CONOCIMIENTO DE LA SIMETRÍA

AYUDA A PREDECIR FUNCIONALIDAD FÍSICA. ERGONOMICA Y ESTÉTICA DE

CUALQUIER DISEÑO.

EN LA SIGUIENTE FIGURA SE BOSQUEJA UN ANÁLISIS DE LA SIMETRÍA

EN OBRAS DE LEDOUX. SOANE Y URIGHT



FIGURA 3 . 3

POR SER LEONARDO EL PRIMERO EN USAR SISTEMÁTICAMENTE ESTOS

GRUPOS, LLEVAN SU NOMBRE

G ES UN GRUPO DE LEONARDO SI

> G ES FINITO

^ G TIENE UN CENTRO DE SIMETRÍA

POR DEFINICIÓN LOS GRUPOS DE LEONARDO SON FINITOS, POR LO

TANTO NO CONTIENEN TRANSLACIONES. DE AHÍ QUE SOLO PUEDEN CONTENER

ROTACIONES Y REFLEXIONES, DISTINGUIMOS DOS CASOS:



a).SUPONGAMOS QUE G SOLO CONTIENE ROTACIONES, ENTONCES

TODAS LAS ROTACIONES TIENEN EL MISMO CENTRO PUES SI

RA , RB ^ G. ENTONCES:

R* ) '

LO QUE ES IMPOSIBLE, PUES ESTO ES UNA TRANSLACIÓN,

PODEMOS SUPONER ENTONCES QUE LOS ELEMENTOS DEL

GRUPO TIENEN CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS DE

DEL PLANO. SEA R LA ROTACIÓN DE ÁNGULO MÍNIMO,

ENTONCES: V R? € G , 3 k € ÍN TAL QUE C = M , .'•

3 n € M QUE CUMPLE <t> = 2 n / n , y EL GRUPO RESULTA

SER EL GRUPO CÍCLICO Cn-

b).SUPONGAMOS AHORA QUE G CONTIENE UNA REFLEXIÓN <r ,

ENTONCES CONTIENE A SU CUADRADO o*2 QUE SABEMOS ES

UNA ROTACIÓN, ••• CONTIENE TODAS LAS POTENCIAS DE

ESTA ROTACIÓN Y SUS PRODUCTOS CON LA REFLEXIÓN, ES

DECIR, G ES EL GRUPO DIHEDRICO Dn.

ESTE RESULTADO SE CONOCE CON EL NOMBRE DE TEOREMA DE LEONARDO

Y SE ENUNCIA COMO SIGUE:

1

TEOREMA.

i

SI

3

G

n

ES

€ ÍN

UN GRUPO DE

TAL QUE

LEONARDO

G = Cn

ENTONCES

0 G = Dn

1

!



3.5 EJERCICIOS

1. DESCRIBIR SlM( F ) PARA CADA UNA DE LAS FIGURAS SIGUIENTES:

2 . SUPONIENDO QUE CADA PATRÓN SE EXTIENDE AL INFINITO, ESTUDIAR

LA SIMETRÍA.



3. ESCRIBIR LA TABLA DE CAYLEY PARA D4>

4 . PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DETERMINAR EL GRUPO DE

SIMETRIA.( JAPANESE OPTICAL AND GEOMETRICAL ART HAJINE OUCHI )

#o## $

5. DIBUJAR LOS POLÍGONOS CORRESPONDIENTES DE C5 , C ? ,

6. DETERMINAR SIM ( F ), PARA LAS F DE LA FIGURA 3. 3



3 .6 I S O M E T R I A S Q U E FIJAN R E C T A S

ESTAMOS AHORA INTERESADOS EN ESTUDIAR SUBGRUPOS DE IS02( R )

QUE CONTENGAN TRANSLACIONES . TENEMOS DOS POSIBILIDADES :

> EL GRUPO CONTIENE UNA TRANSLACIÓN

> EL GRUPO CONTIENE MAS DE UNA TRANSLACIÓN

DE ENTRADA PODEMOS DECIR QUE ESTOS GRUPOS SON INFINITOS. PUES

SI UN GRUPO CONTIENE UNA TRANSLACIÓN ENTONCES CONTIENE TODOS SUS

MÚLTIPLOS Y POR LO TANTO ES INFINITO, SIN EMBARGO UN GRUPO PUEDE

SER INFINITO SIN QUE CONTENGA TRANSLACIONES, P.E. , EL GRUPO DEL

CIRCULO.

ANTES DE PROCEDER AL ESTUDIO DE LOS GRUPOS DE SIMETRÍA DE LOS

FRISOS, ANALIZAREMOS LOS ELEMENTOS DEL GRUPO ISO,( R ) QUE DEJAN

INVARIANTE A UNA RECTA DADA i .

SEMIGIROS (Half turn)

UN SEMIGiRO ES POR DEFINICIÓN UNA ROTACIÓN EN UN

ÁNGULO DE n .

R ( I ) =A

V A 6



UN SEMIGIRO TIENE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES

> A ES EL PUNTO MEDIO ENTRE CUALQUIER PUNTO

& SU IMAGEN

A V A € £

SI C ES EL PUNTO MEDIO ENTRE A & B

ENTONCES:

R* ( A

FIGURA 3 . 3



REFLEXIONES

DOS TIPOS DE REFLEXIONES DEJAN INVARIANTE A LA

RECTA ¿ , UNA TOMADA CON RESPECTO A í Y LAi

OTRA TOMADA CON RESPECTO A í

SE CUMPLE CLARAMENTE:

3.5

TRANSLACIONES

Si £ = A a + b ENTONCES:

x { I ) = I V n e Zn a

ES DECIR , EL GRUPO INFINITO DE TRANSLACIONES

GENERADO POR ^ DONDE a ES UN VECTOR EN LA

DIRECCIÓN DE ¿ DEJA INVARIANTE LA RECTA



REFLEXIONES CON

DESLIZAMIENTO ( glide reflection )

ESTE TIPO DE MOVIMIENTO RÍGIDO SE OBTIENE COMO

PRODUCTO DE MOVIMIENTO ESTUDIADOS ANTES.

SEAN l> m , a TRES RECTAS TALES QUE:

*> L n Y TAMBIÉN rri ^ a (.-. I \ m )

LA d-REFLEXION CON CENTRO n ESi.

> UNA d - REFLEXIÓN ES EL PRODUCTO DE UNA

REFLEXIÓN Y UN SEMIGIRO CON CENTRO EN LA

RECTA QUE REFLEJA

t> UNA el - REFLEXIÓN NO TIENE PUNTOS FIJOS ,

PERO EL PUNTO MEDIO ENTRE CUALQUIER PUNÍO Y

SU IMAGEN SE ENCUENTRA EN EL CENTRO DE LA <*

- REFLEXIÓN

COMO I , m. L n ENTONCES LOS PRODUCTOS

CONMUTAN Y SE TIENEN DOS EXPRESIONES PARA Tí

y = ( < r < r ) < r / 4 = <r ( <r 0 % ) =a v n mf I m v a I '

DONDE A = í n n & B = / 7 i n ^

UNA d - REFLEXIÓN CON CENTRO * LA

DENOTAMOS: d o ^

SE TIENE EL SIGUIENTE RESULTADO:



UNA d - REFLEXIÓN ES EL PRODUCTO DE UNA REFLEXIÓN EN UNA

LINEA i Y UN SEMIGIRO CON CENTRO EN UN PUNTO FUERA DE i

FIGURA 3.5

SEA 7 UNA d - REFLEXIÓN CON CENTRO i , SI x ES UNA TRANSLACIÓN

QUE FIJA i ENTONCES :

T K = 7 T

Y ADEMAS :

r 2 = T A CON A ?« O ( CAMINATA )

FIGURA 1.7



3.7 G R U P O S D E F R I S O S

PASAMOS AHORA AL ESTUDIO FORMAL DE LOS FRISOS . LOS FRISOS

HAN SIDO UTILIZADOS EN DISEÑOS ANTIGUOS Y MODERNOS DESEMPEÑANDO

EL DOBLE PAPEL DE ELEMENTO CONSTRUIDO Y ESPACIO SUSCEPTIBLE DE

ORNAMENTACIÓN.

PARA ARQUITECTOS DEL MOVIMIENTO MODERNO RACIONALISTA ( LE

CORBUSIER . FRANK LLOYD WRIGHT ) . LA ORNAMENTACIÓN , MAS ALLÁ

DE UN RITO. MAS QUE UN ACTO MÁGICO, ES UNA SÍNTESIS . UNA

ARTICULACIÓN DE ELEMENTOS QUE COMUNICAN UN RITMO.

CORRIENTES ACTUALES HABLAN DEL " FRISO DE LAS EDIFICACIONES

ENLAZADAS " DONDE EL CLASICO MOTIVO QUE SE REPITE A LO LARGO DE

UNA BANDA ES SUSTITUIDO POR LA PLANTA ( DEL EDIFICIO ) GENERANDO

POR TRANSLACIÓN HORIZONTAL UNA SERiE DE EDIFICIOS EN HILERA , DE

ESTA MANERA UNA VEZ DEFINIDA LA PLANTA SE TIENEN DOS

POSIBILIDADES: UN ENLAZAMIENTO SIN ESPACIOS INTERMEDIOS (

VIVIENDAS EN HILERA ) O UNA REPETICIÓN CON UN ESPACIO DE

VECINDAJE.

LA SIGUIENTE FIGURA ILUSTRA UN DISEÑO CLASICO DE LE CORBUSIER

( LA CASA DEL ARTISTA ) , DONDE APARECE UNA REPETICIÓN ENLAZADA, Y

OTRA REFLEJADA.

DE NO HABER LIMITACIONES ESPACIALES CLARAMENTE UN DISEÑO COMO

ESTE LLENARÍA UNA FRANJA INFINITA SUJETA A UN RITMO BIEN

DEFINIDO.



FIGURA 3.8

SEA F c « UNA FIGURA, Y x e |S02( R ) , UNA TRANSLACIÓN FIJA.

UN FRISO CON ELEMENTO CELULAR F ES UN CONJUNTO DEL TIPO:

9 = { T ( F ) I k 6 1 }

DE ESTA MANERA EL FRISO SE MANTIENE SIEMPRE LIMITADO POR DOS

RECTAS PARALELAS EN UNA FRANJA INFINITA QUE DE SER HORIZONTAL SE

EXTIENDE A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA.

LA CÉLULA F SE LLAMA TAMBIÉN MODULO, Y SU REPETICIÓN

SISTEMÁTICA CONSTITUYE LA BASE DEL RITMO QUE COMUNICA AL

OBSERVADOR.

DADO UN FRISO :' SIEMPRE ES POSIBLE LOCALIZAR UNA RECTA SOBRE

LA QUE 'DESCANSA' EL FRISO. QUE SIN PERDIDA DE GENERALIDAD PUEDE

ELEGIRSE HORIZONTAL. LLAMAMOS A ESTA RECTA EL CENTRO DEL FRISO.



SEA i EL CENTRO DE UN FRISO 9 Y SEA a UN VECTOR EN LA

DIRECCIÓN DE LA RECTA t ENTONCES UN GRUPO G c |S02( R ). ES EL

GRUPO DE ISOMETRIA DEL FRISO 9 CON CENTRO ¿ SI SE CUMPLE :

> g ( I ) = I V g e G

> T e G V n 6na u

POR LO ESTUDIADO ANTES . LOS ELEMENTOS DE ISOa( R ) QUE

FIJAN i SON TRANSLACIONES . REFLEXIONES , d - REFLEXIONES Y

SEMIGIROS .

SI DISTINGUIMOS ENTRE LOS GRUPOS QUE TIENEN SEMIGIROS Y LOS

QUE NO . TENEMOS LA SIGUIENTE CLASIFICACIÓN DE LOS GRUPOS DE

FRISOS.

GRUPOS QIUE INO COINTDEINEIN SEMOCOROS

EL GRUPO

SOLO CONTIENE TRANSLACIONES , ES DECIR

F = { x I n e Z >1 rúl '

EL GRUPO F¡.

SE OBTIENE CON Vx AGREGÁNDOLE ^



EL GRUPO Fj

SE OBTIENE CON Ft AGREGÁNDOLE <r¿-

EL QRUPQ Fj

SE OBTIENE CON V x AGREGÁNDOLE

(GRUPOS CON SEW DIGO ROS

EL GRUPO F 2

SE OBTIENE CON Fx Y UN SEMIGIRO

EL GRUPO Fg

SE OBTIENE CON F g AGREGÁNDOLE <r¿

GRUPO Fg

SE OBTIENE CON ?z AGREGÁNDOLE

ES EL ÚNICO GRUPO GENERADO POR UNA d - REFLEXIÓN

LA SIGUIENTE TABLA ILUSTRA LA CLASIFICACIÓN DE LOS GRUPOS DE

FRISOS.



¿

V

11

i

•i•

Jk

k

rk

A

r

k

V

ik

k

f

A

f

k

k

irik

n

k

r

ik

rk

k

ik

n< i.

r

A

rk

k

ik

n

k

rk

rk

k

V

ik

ni k

F.1

F.1

3.3.



EL ALGORITMO PARA LA CLASIFICACIÓN DE LAS GRUPOS DE FRISOS ES

COMO SIGUE:

ESTA NOTACIÓN DE ÍNDICES Y SUPERINDICES PARA LOS GRUPOS DE

FRISOS SE DEBE AL MATEMÁTICO HÚNGARO FEJES TOTH

ÍNDICES SUPERINDICES

s NO TIENE SEMIGIRO 1 s EL CENTRO ES LINEADE SIMETRÍA

2 s TIENE SEMÍGIRO 2 = EL CENTRO NO ES LINEADE SIMETRÍA PERO EXISTEUNA LINEA DE SIMETRÍAPERPENDICULAR A t

TENEMOS ASI EL SIGUIENTE RESULTADO:



I

TEOREMA

LOS ÚNICOS GRUPOS DE FRISOS QUE EXISTEN SON

{ F F1 F2 F3 F F1 F2 >\ r i ' r i ' r i ' r i ' r

2 ' ' 2 ' f 2 '

EN CONCLUSIÓN:

F% s NO TIENE PUNTOS NI LINEAS DE SIMETRÍA, EL

CENTRO NO ES UNA LINEA DE SIMETRÍA

FJ s NO TIENE PUNTOS DE SIMETRÍA Y EL CENTRO NO ES

UNA LINEA DE SIMETRÍA.

F 2 = NO TIENE PUNTOS DE SIMETRÍA , TIENE UNA LINEA

DE SIMETRÍA PERO EL CENTRO NO ES UNA LINEA DE

SIMETRÍA

F^ s NO TIENE PUNTOS NI LINEAS DE SIMETRÍA SOLO ES

INVARIANTE BAJO UNA el - REFLEXIÓN

F 2 s TIENE UN PUNTO DE SIMETRÍA PERO NO TIENE

LINEAS DE SIMETRÍA

F 2 s TIENE UN PUNTO DE SIMETRÍA Y EL CENTRO ES UNA

LINEA DE SIMETRÍA

F,¿ = TIENE UN PUNTO Y UNA LINEA DE SIMETRÍA PERO EL

CENTRO NO ES UNA LINEA DE SIMETRÍA.



UNA DESCRIPCIÓN SIMBÓLICA DE ESTOS GRUPOS SE OBTIENE AL TOMAR

UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS EQUIDISTANTES : Ao . A : , A2 .

SI Mi ES EL PUNTO MEDIO ENTRE Ai & A l + 1 . ENTONCES:

z z z zo • • o

Al Mi A2 M2 A3 M3 A4 M4

o •

/

Al Mi A2 M2o • e

A3 M3 A4

VM4

o • o#Ml °A2 "M2 "A3

/ / z /o • o o • o •

A l Mi A2 M2 A3 M3 A* M4\ \

z z / /° Al Mi A2

o •

A3 M3 A4 M4

o • o o • oA l Mi A2 M2 A3 M3 A4 M4

z z zAl Mi A'¿ " M;; " A:J * M:J A I M4

\7J . 5



FINALMENTE TENEMOS EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE FLUJO QUE

ALGORITMIZA ESTA CLASIFICACIÓN FORMAL DE LOS GRUPOS DE FRISOS:

SI

NO ES FRISO

NO

NO

"i1

NO

SI

S I

SI

NO

>

SI

t

NO

F!

FIGURA L



3.8 EJERCICIOS

1. DESCRIBIR LOS GRUPOS DE SIMETRÍAS PARA:

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

DWDWDWDWDWDWDWDWDWDWD

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

MWMWMWMWMWMWMWMWMWMWM

2 . DADAS LAS MATRICES

A = Rn-1

- i

B = CT 25

Y

- i

DISEÑAR LOS FRISOS A , B , C , AB . BC . AC



3. DETERMINAR CUALES DE LOS SIGIENTES PATRONES SON FRISOS Y EN SU

CASO CALCULAR SU GRUPO DE SIMETRA.

\ /

111

Zl

n a a a

\

T I Í I T I T I TI I\ / \ /

\

I-1 CU HA t. 10



4 . DESCRIBIR EL GRUPO DE SIMETRÍA PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES

FRISOS ( JAPANESE BORDER DESIGN's ; THEODORE MENTEN )

-Ff-• • ¡ • • • • a

i.Xi

FIGURA 3 . 1 1



3.9 G R U P O S D E T A P I C E S

ESTUDIAREMOS AHORA LOS GRUPOS DE FIGURAS QUE AL MOVERSE BAJO

LA ACCIÓN DE UN GRUPO PAVIMENTAN EL PLANO FORMANDO UNA CELOSÍA

INFINITA QUE SE EXTIENDE DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO HACIA

ARRIBA . ESTE TIPO DE 'PAVIMENTADO' NO ES AJENA AL DISECO UN

EJEMPLO DE ESTO LO TENEMOS EN EL DISTRITO FINANCIERO DE 'LA

VILLE RADIEUSE' DE LE CORBUSIER DONDE UTILIZA MOTIVOS QUE SE

REPITEN OBEDECIENDO UN RITMO. DE TAL FORMA QUE DE NO EXISTIR

LIMITANTES EN EL TIEMPO Y EN EL ESPACIO LLENARÍA TODO EL PLANO.

FIGURA 3.1'A.



UNA FIGURA F c r TAPIZA EL PLANO BAJO LA ACCIÓN DE UN GRUPO

W c ISO ( R2) SI SE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

t> R2 = I I w (

W € W

> w ( F ) n u ( p ) = 0 V u ,w € W

» SI ?w ES EL SUBGRUPO DE LAS TRANSLACIONES

DE W ENTONCES EXISTE UNA BASE { a , b }

DE K2 TAL QUE :

J as { ' T T , = T . I n , Kl 6 Z }W na mb na + nb ' '

ESTA ULTIMA PROPIEDAD ES CONSECUENCIA DEL HECHO DE QUE TODA

TRANSLACIÓN PUEDE ESCRIBIRSE COMO PRODUCTO DE DOS TRANSLACIONES

ARBITRARIAMENTE DEFINIDAS POR UN PAR DE VECTORES NO COLINEALES .

LO QUE A SU VEZ RESULTA DEL HECHO FUNDAMENTAL DE QUE SIEMPRE

EXISTE UNA BASE PARA EL ESPACIO.

LA IMAGEN DE UN PUNTO p e R2 FORMA UN C O N J U N T O DISCRETO

INFINITO QUE LLAMAREMOS LATICE DEL PLANO EN EL PUNTO p

ASOCIADA AL. GRUPO ?w .

DADO UN PUNTO p PARA CUALQUIER PAR n . m e i SE TIENE UN

PARALELOGRAMO CON VÉRTICES :

p - P , . P , - P ,n m n + l m n m + 1 n * l m + l

DONDE : A = T ( P ).n m mD + iux



ESTA FIGURA SE LLAMA UNIDAD CELULAR DEL TAPIZ.

FIGURA 3.13.

CLARAMENTE LAS CÉLULAS SOLO PUEDEN SER RECTANGULARES O

RÓMBICAS ; DADO UN TAPIZ CON GRUPO W SE CUMPLE:

ES UNION DISJUNTA DE CÉLULAS

ADEMAS SI LA CÉLULA ES RÓMBICA , Y d ES SU DIAGONAL . PARA

TODA RECTA t SE CUMPLE:

W ) •> ( t•



PARA VER ESTO TOMAMOS UN PUNTO p ARBITRARIO Y A e í . TAL

QUE T A P ES LA TRANSLACIÓN MÍNIMA NO IDÉNTICA ; SI ESCRIBIMOS Q

= <r¿ ( P ) SE CUMPLE : <rt xAp r'1 = TAQ , Y COMO A , P , Q SON

TRES PUNTOS NO COLINEALES ENTONCES : 7W = < \ P , T

A0 >

PERO | P - A || = || Q - A ¡ .-. i CONTIENE A «¿.

EN FORMA ANÁLOGA SE PUEDE PROBAR QUE SI LA CÉLULA ES

RECTANGULAR Y d ES UN LADO DEL RECTÁNGULO ENTONCES :

v l t .q. ( <r¿ € W ) -» ( l I d )

3.9.1 LA R E S T R I C C I Ó N C R I S T A L O G R Á F I C A

EL DISEÑO DE TAPICES TIENE UNA LIMITANTE GEOMÉTRICA QUE ES

CONOCIDA COMO LA RESTRICCIÓN CRISTALOGRÁFICA ESTE NOMBRE SE DEBE

A QUE EL ANÁLISIS Y LA CLASIFICACIÓN DE ESTOS PATRONES DE

PAVIMENTACIÓN PLANA HAN SIDO ESTUDIADOS EXHAUSTIVAMENTE POR

CRISTALOGRAFOS DESDE HACE MAS DE DOS SIGLOS .

EN 1879 E.S. FEDOROV PROBO QUE SOLO EXISTEN 17 GRUPOS

CONSTRUIDOS SOBRE UNA LATICE SUBYACENTE DETERMINADA POR EL GRUPO

DE TRANSLACIONES.

CONSIDEREMOS UN TAPIZ SU GRUPO DE SIMETRÍA W Y SU SUBGRUPO

DE TRANSLACIONES "J = { T ^ » x ^ | n , k e 2 }.SE TIENE EL

SIGUIENTE RESULTADO:



TEOPEMA si Rp6 W ENTONCES :

O - II — — —

OBSERVAMOS PRIMERO QUE Q = - J J - PUES DE LO CONTRARIO

TENDRÍAMOS TRASLAPES EN EL PAVIMENTADO Y NO SE

CUMPLIRÍA LA CONDICIÓN DE UNION DISJUNTA.

TENEMOS ASI UNAt n e 2 FIJA , ENTONCES V m € Z

Tna+mb ^P E S U N A R 0 T A C I 0 N C 0 N CENTRO P + na + mb

.-. 3 k € Z TAL QUE Q - ( Tn a > m b R / * ^ ) ( P ) , ES EL

PUNTO MAS CERCANO A P , POR OTRO LADO SI SE TOMAN LOS

PUNTOS:

p = RQ ( p ) o * Rp, ( o )

SE TIENEN CUATRO PUNTOS P , P' . Q . Q' QUE CUMPLEN:

| P - Q | - » P' " Q' 1 = I P' " Q »

ANALICEMOS LOS VALORES POSIBLES PARA n .

> n NO PUEDE SER MAYOR QUE 6 PUES SE CONTRADICE EL

HECHO DE QUE Q SEA EL PUNTO MAS CERCANO A P

Q

FIGURA 3 . 1 4 .

CONCLUSIÓN n < 6



SI n = 6 SE TIENE QUE 6 =

Q'FIGURA 3.15

n NO PUEDE SER IGUAL A 5 PUES SE CONTRADICE QUE

Q SEA EL PUNTO MAS "CERCANO A P

SI n = 4

Q'

i...

FIGURA 3. 16

FIGURA 1.17



SI n = 3

FIGURA 3. 18

Q P' Qf

FIGURA 3.19

t> si n = 1 0 = 2n

PPf QQ

FIGURA 3.20

ESTO SUGIERE UNA TÉCNICA PARA GENERAR GRUPOS DE TAPICES A

PARTIR DE UNA FIGURA CENTRADA EN EL ORIGEN CON GRUPO DE

LEONARDO DE ORDEN n EN UN SISTEMA DE COORDENADAS FIJADO DE

ANTEMANO . EL PAVIMENTADO SE CONSIGUE DESPLAZANDO EN UNA LATICE

LA FIGURA.



3.9.2 LOS CINCO GRUPOS FUNDAMENTALES

TENEMOS ENTONCES CINCO GRUPOS DE SIMETRÍA PARA UN TAPIZ

= < 1nMfmh

W2 = < x

VC = < T

na+rnb

27I/3na+mb '

na+mb ' P

R27T/6

na+mb ' "r

ESTOS GRUPOS SE ILUSTRAN EN LAS SIGUIENTES FIGURAS

i

i

W.



\i\

\i\

\i\

VL

i i i



\ \ \

\

\ \

w.

w,.

105DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


3.9.3 LAS A M P L I A C I O N E S

INTRODUCIENDO OTROS MOVIMIENTOS RÍGIDOS EN FORMA ANÁLOGA COMO

SE HIZO EN LOS FRISOS OBTENEMOS LOS OTROS GRUPOS , TAMBIÉN EN

ESTE CASO USAMOS LA NOTACIÓN DE T ÓTH DE ÍNDICES Y SUPERINDICES

AMPLIACIÓN DEL GRUPO

> EL GRUPO W¡

UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A LA

DIAGONAL SI LA CÉLULA ES RÓMBICA

> EL GRUPO Wj

UNA REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA

PARALELA A UN LADO SI LA CÉLULA

ES CUADRADA ( RECTANGULAR )

EL GRUPO W,

UNA d - REFLEXIÓN



AMPLIACIÓN DE W

EL GRUPO W2

REFLEXIÓN CON RESPECTO A LA

DIAGONAL SI LA CÉLULA ES RÓMBICA

EL GRUPO W2

REFLEXIÓN CON RESPECTO A UNA

PARALELA A UN LADO DE LA CÉLULA

RECTANGULAR

EL GRUPO W2

UNA d - REFLEXIÓN CON RESPECTO A

UNA LINEA QUE CONTIENE EL CENTRO

DEL SEMIGIRO Y ES PARALELA A UNO

DE LOS LADOS DE LA CÉLULA

RECTANGULAR.

EL GRUPO W?

DOS DESLIZAMIENTOS CON EJES

PARALELOS tDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]


CLARAMENTE SE CUMPLE:

W2 & W2 TIENEN EJES DE SIMETRÍA ORTOGONALES

W* TIENE SIMETRÍA C1

W^ TIENE SIMETRÍA C O

AMPLIACIÓN DE W

TENEMOS DOS CASOS EN AMBOS PODEMOS ENCONTRAR TRES EJES DE

SIMETRÍA QUE DELIMITAN UN TRIANGULO EQUILÁTERO

EL GRUPO W3 TIENE SIMETRÍA


O BIEN

AMPLIACIÓN DE W

TENEMOS DOS CASOS EN AMBOS LA CÉLULA ES RECTANGULAR Y SUS LADOS

SON LOS ÚNICOS EJES DE SIMETRÍA



EL GRUPO W, TIENE SIMETRÍA D, O4 1

BIEN


AMPLIACIÓN DE W

EL GRUPO W*

POR CADA PUNTO DE LA LATICE

PASAN SEIS EJES DE SIMETRÍA,

TOMAMOS LAS SEIS REFLEXIONES

3.9.4 EL T E O R E M A DE F E D O R O V

ESTA CLASIFICACIÓN SE CONOCE CON EL NOMBRE DE TEOREMA DE

FEDOROV Y SE ENUNCIA COMO SIGUE:

TEOREMA SOLO EXISTEN 17 GRUPOS DE TAPICES

W W

w3 w ;

w.. w!

w

K4



LA SIGUIENTE TABLA RESUME LAS POSIBILIDADES PARA LOS GRUPOS DE

SIMETRÍAS DEL PLANO.

A

ki

k

A

AA

kA

k

A

AA

kA

k

A

Ai

ki

W

A

Aik

Ak

/ wA l Ál

/ k> k

v i irAJ ik

~v vik A

\ !k>

>

VikVik

7

ir vik A

ik ik

1 i 1 i 1 i 1 .k__r k r k r w

T1 VkJ

f \J

r \ j7 1 - - - f - - -—- - -

j u u VÍ i

U U U V

A \ ik

V Y^ 4 ^



TENEMOS COMO UN EJEMPLO DE APLICACIÓN LA SIGUIENTE

INTERPRETACIÓN DE 'LA MINIATURA' , DE FRANK LLOYD D.WRIGHT COMO

W4 & W? CON SIMETRÍAS C, & D .i. ¿ 4 4

I t u l i ir.K^jpEH^ I

pui1i r

D»0

.1.1

Oni::

LJL- 'BLI'L«r

i rII

i

:

u'

ira

^

JU.1.1

^

b.21;TU

y

en. TÍO,1-? 1



3.10 EJERCICIOS

1. EN CADA CASO DETERMINE LA LATICE, LA CÉLULA Y EL GRUPO DE

SIMETRÍA.



Z N Z NN Z N ZZ N Z NN Z N Z

P b P b PP b P b PP b P b PP b P b PP b P b P

P b P b P b P b

q d q d q d q d

P b P b P b P b

Q d q d Q d Q d

\y v v/ \ / \

\y \ / v

7-

7»

^ 7« ^

f\ 7» «s.l^ J |¿^

^ \ / \

/ • / •

/ • • /

• /



i v \ i i . i , i : I; V SI :

/ rrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrr^rrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrr.

Le Corbusier's projectfor La Ville Radicuse



BIBLIOGRAFÍA.

[ 1 ] TRANSFORMATION GEOMETRY

AN INTRODUCTION TO SIMMETRY

GEORGES E. MARTIN

NEW YORK N.Y. 1984

[ 2 1 COMPUTER - AIDED ARCHITECTURAL

DESIGN

WILLIAM J . MITCHEL

VAN NOSTRAND REINHOLD C.

NEW YORK , N.Y. 1977

[ 3 3 THE GEOMETRY OF ENVIRONMENT :

AN INTRODUCTON TO SPATIAL

ORGANIZARON IN DESIGN

LIONEL MARCH & PHILIP STEADMAN

RIBA PUBLICATIONS

GREAT BRITAIN 1971

[ 4 ] LECCIONES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA

CURSO PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA

C. ALSINA E. TRILLAS

GUSTAVO GILÍ

BARCELONA 1984



Impreso en el Taller de Impresión y ReproducciónUAM-Azcapotzalco.



UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANAUNIDAD AZCAPOTZALCO Coordinación de Extensión Universitaria

Sección Editorial




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