MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 8º Números complejos ... · UNIDAD 4 GRADO 8º Números complejos, Inecuaciones y desigualdades. 2 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

MATEMÁTICAS

UNIDAD 4

GRADO 8º

Números complejos,

Inecuaciones y desigualdades



2

LOGRO:

Identifica los conjuntos de números que pertenecen a los números

Reales y realiza operaciones básicas con estos y con los números

complejos.

INDICADORES DE LOGRO:

Reconoce los componentes de un número complejo.

Representa números complejos en el plano cartesiano.

Suma y resta números complejos.

Multiplica y divide números complejos.

Identifica los diferentes símbolos de las desigualdades y el intervalo

que resulta de cada uno de ellos.

Resuelve inecuaciones de primer grado con una incógnita

Resuelve inecuaciones con denominadores

¿POR QUÉ COMPLEJOS?, ¿SON

MÁS ENREDADOS QUE LOS OTROS?



3

ACTIVIDAD

¿Qué es para ti algo imaginario?

¿Cuál es la diferencia entre algo real y algo imaginario?

¿En qué momentos de tu vida utilizas más tu imaginación?

¿Cómo crees que puede escribirse un número imaginario?

¿Para qué crees que sirven los números imaginarios?

TRABAJEMOS EN NUESTRO

APRENDIZAJE



4

Historia Números Complejos

Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una

simple ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los

números reales. Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos

que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el

conjunto de los números complejos.

Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el

número i, tal que i2=-1. Este número i no es un número real y se llama

la unidad imaginaria, pero i2 si es un número real.

Así pues, se hace la invención de unos números que pasan por la mente

de alguien y por lo tanto se llaman números imaginarios.

Definición.Un número complejo z es una combinación lineal de la

forma (a,b), en donde a y b son números reales.

Al número “a” se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la

parte imaginaria de z, b = Im(z).

A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la

forma estándar de z.

Ejemplos:

Z Re(z) Im(z)

7 + 5 i 7 5

-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3

-9 i = 0 + (-9) i 0 -9

4 = 4 + 0 i 4 0



5

Números Complejos

Unidad imaginaria:

Se llama así al número y se designa por la letra i.

Ejemplo:

Aquí reemplazamos por i por lo tanto 2 , es lo mismo que 2i

Números imaginarios:

Un número imaginario se denota por bi, donde b es un número real,e

i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos

calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



6

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto

vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el

resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo 1

i22

i22 = (i4)5 · i2 = 1 · (− 1) = - 1

Ejemplo 2

i72

73 4

1 18

i72 = (i4)18·i = 1 ·i = i



7

ACTIVIDAD

Encontrar el valor de cada una de las siguientes potencias de i:

a) i23

b) i27

c) i32

d) i45

e) i72

f) i47

g) i13

h) i19

i) i52

Números complejos en forma binómica

Al número a + bile llamamos número complejo en forma binómica.

El número ase llama parte real del número complejo.

El número bse llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a +

0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un

número imaginario puro.

TRABAJEMOS EN

NUESTRO APRENDIZAJE

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



8

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejosa + bi y −a − bi se llaman opuestos.

Los números complejosz = a + bi y z = a − bi se llaman

conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma

componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El

eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo

a + bi se representa por el punto (a,b), lo que se conoce como afijodel

numero complejo.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



9

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X, ylos

imaginarios sobre el eje imaginario, Y.



10

ACTIVIDAD

En tu cuaderno representa gráficamente o en el plano cartesiano los

siguientes números complejos.

a) 4+6i b) 7+8i

c) 3+5i d)6+6i

e) 11+3i f) 4+4i

g) 7+4i h) 9+8i

i) 2+3i

Operaciones con números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y

restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO


APRENDIZAJE



11

Ejemplo:

(5 + 2i) + (− 8 + 3i) − (4 − 2i)

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i

= −7 + 7i

ACTIVIDAD

Suma y resta los siguientes números complejos

a) (8+3i), (4-6i)

b) (5+7i), (3-2i)

c) (3+9i), (2 + i)

d) (5-3i), (8 – 2i)

e) (3-4i), (9 – 4i)

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE



12

f) (4 – 2i), (-7-3i)

g) (9 + 9i), (3 + 3i)

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad

distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que

i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2i) · (2 − 3i)

(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



13

ACTIVIDAD

Multiplica los siguientes números complejos

a) (8+3i), (4-6i)

b) (5+7i), (3-2i)

c) (3+9i), (2 + i)

d) (5-3i), (8 – 2i)

e) (3-4i), (9 – 4i)

f) (4 – 2i), (-7-3i)

g) (9 + 9i), (3 + 3i)

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE



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División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el

denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el

conjugado de éste.

Recordemos que la conjugada de un polinomio es otro polinomio que al

multiplicarlo dará como resultado una diferencia de cuadrados.

=

= (ac – adi + bci – bdi2)/(c2 – cdi + cdi – d2i2)

= (ac (– adi + bci) – bdi2)/(c2 – d2i2)

= (ac – bdi2) + (bc – ad)i/(c2 – d2i2)

= ((ac - bd 2) + (bc – ad)i) / (c2 – d2 2 )

= ((ac + bd) + (bc – ad)i) / (c2 – d2)

= (ac + bd) + (bc – ad)i

(c2 – d2) (c2 – d2)

Ejemplo:

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



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ACTIVIDAD

Divide los siguientes números complejos

a) (8+3i), (4-6i)

b) (5+7i), (3-2i)

c) (3+9i), (2 + i)

d) (5-3i), (8 – 2i)

e) (3-4i), (9 – 4i)

f) (4 – 2i), (-7-3i)

TRABAJEMOS EN

NUESTRO

APRENDIZAJE



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DESIGUALDADES:

Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad; también se les

dice así a las relaciones que se establecen entre magnitudes que no son

iguales y los símbolos que se utilizan para expresar dichas relaciones

son:

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD

< > ≤ ≥

Dichas expresiones establecen relaciones entre números o letras (que

representan números) facilitando la ubicación de los números uno

respecto del otro.

Ejemplos:

4<5, -7<-3, 77>3, 13>-13, 4≤7, 11≥3,x ≤ 2

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO

MENOR QUE

MAYOR QUE

MENOR O

IGUAL QUE

MAYOR O

IGUAL QUE



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x-3 ≥ y

Las desigualdades pareciera algo muy fácil de aprender pero la

utilización de este tema es fundamental en temas avanzados y

complicados de la matemática.

ACTIVIDAD

Establece la relación adecuada entre los siguientes términos poniendo

entre ellos el símbolo de desigualdad adecuado.

a. 8 ____ 3

b. -8 ____ -3

c. (71-3) ____ (3-71)

d. 11x (-5) _____ 5x (-11)

e. 3x9 ______ (-3)x(-9)

f. 12x12 ______ 12x(-12)

g. 13x2x4 ______ 13x (-2)x(-4)


APRENDIZAJE



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INECUACIONES:

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las

operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las

inecuaciones.

Ejemplos de inecuaciones:

x ≤ 2,

x-3 ≥ y

x2-5x ≤ 4

xy-3> 0

CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones se clasifican dependiendo del número de incógnitas y

del grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



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INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg.

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incóg

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incóg.

xy-3 > 0 2º grado; 2 incóg.

El grado de la inecuación depende del exponente que tenga la variable.

ACTIVIDAD

1. Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cuáles son

inecuaciones indicando su grado y número de incógnitas:

a) 2x ≤ -2 b) -3 ≥ 2 c) x2y>1

d) x2-5y ≤ 0 e) 2x-2y ≥ 2(x-y)

f) 4(x-3) -2 <2(x-1) g) x-y2 < 2x-y h) 3x3+2y ≥ x2

2. En la siguiente actividad escribe en frente de cada expresión en los

espacios en blanco si es o no una desigualdad, el grado y el número

de incógnitas que tiene dicha expresión:


APRENDIZAJE



20



21

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una

desigualdad, resulta otra del mismo sentido.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por

un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por

un mismo número negativo, resulta otra del sentido contrario.

Ejemplos

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



22

ACTIVIDAD

a) Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la

columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la

desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda.

x-3 > 5 Sumar 3

x+7 > 8 Restar 7

4x < 12 Dividir entre 4

-2x ≥ 8 Dividir entre (-2)

x-9 > -2 Sumar 9

-3x ≤ 9 Dividir entre -3


APRENDIZAJE



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b) Completa la siguiente tabla con la respuesta correcta en cada caso

trasladando cada solución del recuadro a su correspondiente circulo:

RESOLVER UNA INECUACIÓN

Consiste en buscar el valor o valores de la(s) incógnita(s) para que la

desigualdad sea verdadera.

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN

Las soluciones de una inecuación son todos los valores de la (s) variable

(s) para los que se cumple la desigualdad.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



24

Normalmente estos valores se dan en intervalos de números que

pueden ser de las siguientes formas:

a) Un intervalo abierto: es aquel que empieza en un número real y

termina en otro número real o en el infinito pero que no incluye como

posible solución a los números que delimitan el intervalo; estos

intervalos se encuentran representados por desigualdades

relacionadas con el signo “mayor que” (>) o por el signo “menor que”

(<).

Ejemplo:

3<x<9

Solución

x (3, 9) pero no son soluciones del intervalo ni 3 ni 9 sino todos los

números reales que se encuentran entre ellos. La representación se da

con paréntesis.

b) Un intervalo cerrado: es aquel que empieza en un número real y

termina en otro número real pero que incluye como posible solución a

los números que delimitan el intervalo; estos intervalos se encuentran

representados por desigualdades relacionadas con el signo “mayor o

igual que” (≥) o por el signo “menor o igual que” (≤).

Ejemplo:-3≤x≤7

Solución

x [3, 9] son soluciones del intervalo 3, 9 y todos los números reales que

se encuentran entre ellos. La representación se da con corchetes.

c) Un intervalo abierto - cerrado o cerrado – abierto es aquel que

empieza en un número real y que incluye como posible solución al



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número que empieza el intervalo pero no al que lo termina, o incluye

como posible solución al número que termina el intervalo pero no al

que lo empieza. Se representa siempre con un paréntesis el lado del

número que delimita la inecuación pero no está incluido en las

soluciones y se representa siempre con un corchete el número que si

va incluido en las soluciones de la inecuación.

Ejemplo:

9 ≥ x> 2

Soluciones: los número que se encuentran en el intervalo entre 2

y 9 pero en este caso el 9 está incluido en las soluciones pero el 2

no.

x (2, 9]

d) Un intervalo al infinito es aquel en el que al menos uno de los

extremos es infinito (∞) o menos infinito (-∞) y el otro es un número

real o el infinito.

Ejemplo:

3<x

Soluciones: los números que son mayores que 3 pero el 3 no está

en el conjunto de soluciones.

x (3, ∞)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a

las siguientes formas básicas:

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0



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Donde a y b son números reales.

ACTIVIDAD

1. Resuelve las siguientes inecuaciones en tu cuaderno hallando el

intervalo solución para x.

a)2x + 6 < 0 b) 3x – 2 ≥0 c) 5x + 8 ≤ 0d) 7x < 0

e) –x + 4 < 0 f)–2x – 5 ≥ 0 g) –4x ≥ 0 h)15x–25 ≤ 0

2. En el siguiente cuadro une con una flecha la inecuación con la

solución correcta, realiza el procedimiento en tu cuaderno.


APRENDIZAJE



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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES

Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos

inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas

obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión

cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.

El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:

1. Quitar paréntesis.

2. Quitar denominadores.

3. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una

de las formas básicas).

4. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una

de las formas básicas).

Ejemplo:

Resolvamos la inecuación:

1. Quitar paréntesis.

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



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2. Quitar denominadores

3. Reducir términos semejantes

4. Resolver la inecuación:

X < 3

ACTIVIDAD

Resuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado:

a) 6x –3 > 5x – 7

b) – (x - 9) ≤–2 (x–3) + 5

c) –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) – 3

d) 6 (2x – 1) – 7 ≤ –2 (5x – 2) + 5x


APRENDIZAJE



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e) 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x – 5)

f) (x – 2) (x + 3) ≤ x (x – 1) – 8

g) <–

h) –

> -

i) –

> x+4 <

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