Matemáticas y ajedrez: dos caras de la creatividad humana · Muchos predecesores del juego del ajedrez en varios lugares de Asia como China, Japón, India; considerados los más

Un poco de historia del ajedrez La era moderna: desarrollo de los programas Ajedrecistas y matemáticos

Matemáticas y ajedrez: dos caras de lacreatividad humana

Razvan Gabriel Iagar

CSIC Asturias, Oviedo, 30 de Abril de 2019


Outline

1 Un poco de historia del ajedrez

2 La era moderna: desarrollo de los programas

3 Ajedrecistas y matemáticos


Aspectos históricos


Los inicios del ajedrez

Muchos predecesores del juego del ajedrez en varios lugares de Asia comoChina, Japón, India; considerados los más cercanos: el chaturanga indio, quese jugaba entre 4 jugadores, y más tarde el shatranj persa, con piezas similaresal ajedrez moderno. Entre las grandes diferencias, la pieza Dama (alferza) eramuy débil, con un movimiento muy reducido (una casilla en diagonal).

Posiciones iniciales para Chaturanga y Shatranj

Más tarde, los árabes aprendieron y desarrollaron el shatranj. El periodo árabese considera su primera época dorada, entre los siglos IX-XI.De esa época se tienen los primeros intentos de desarrollar de forma científicauna teoría de aperturas (es decir, un conjunto de estrategias para los comienzosde partidas). Las posiciones teóricas recomendadas se denominaban tabiyas.


Los comienzos del ajedrez moderno

El ajedrez entró en Europa a través de la conquista árabe, y no es sorprendenteque fuera a través de España. Se considera que el nacimiento del ajedrezmoderno se produjo en Valencia entre 1470-1490.

El mayor cambio: las nuevas reglas del movimiento de la Dama (las actuales),que la convierten en la pieza más potente; se piensa que el cambio se hizo enhomenaje (o teniendo como inspiración) a la muy poderosa (en aquella época)Reina Isabel de Castilla.

Los primeros tratados de ajedrez modernos se publican en España: FranceschVicent de Segorbe (Valencia) escribe Libre dels Jochs Partits dels Schacs enNombre de 100 ordenat e compost (1495). Poco después se publica tambiénen Castilla el tratado Repeticion de Amores e Arte de Axedres con CLJuegos de Partido por Luis Ramirez de Lucena (Salamanca, 1498). También laprimera partida publicada y conocida con las reglas modernas se juega enValencia: Francesc de Castellvi-Narcis Vinyoles 1-0, Valencia, 1475.

Investigaciones muy recientes por el historiador (y ajedrecista) valenciano JoseAntonio Garzón, publicadas en el libro El regreso de Francesch Vicent: Lahistoria del nacimiento y expansión del ajedrez moderno (Valencia, 2005)


Los comienzos del ajedrez moderno

Luis Ramirez de Lucena y una página de su tratado de ajedrez.


Primeras conexiones con las matemáticas: teoría de losfinales

En los finales elementales de partida, la geometría del tablero juega un papelfundamental. Y los primeros jugadores e investigadores de finales de partidautilizaron un pensamiento matemático (geométrico).

El ejemplo más elemental: la regla del cuadrado para decidir si un peón llegaa coronar (convertirse en dama) o no en función de la posición del rey contrario.Un poco más complicado: las casillas conjugadas (o correspondientes) en losfinales de reyes y peones. Son un conjunto de reglas matemáticas de cómoganar/hacer tablas dichos finales.

Teoría de los finales de torre también tiene reglas geométricas para resolver lasposiciones de Lucena, Philidor y otras más complejas.

Siguen algunas figuras ilustrativas (elementales) que presentan esos temas.


La regla del cuadrado

La regla del cuadrado en finales de peones


Casillas conjugadas

Las casillas conjugadas en finales de peones


El puente de Lucena

El puente de Lucena


Primeras conexiones con las matemáticas: problema de las8 damas

En la época romántica, las escuelas de ajedrez italiana (Gioacchino Greco),francesa (Philidor, Saint-Amant, La Bourdonnais) e inglesa (Staunton),desarrollaron mucho el ajedrez. También matemáticos han empezado aproponer problemas relacionados con el tablero.Un ejemplo famoso es el "Problema de las 8 damas": en cuántos modosdiferentes (no equivalentes mediante rotaciones) se pueden colocar 8 damassobre un tablero, de forma que no se ataquen una a otra. El problema fuepropuesto por Max Bezzel (1848) y estudiado por matemáticos de genio comoCarl Gauss o Georg Cantor (que lo generalizó a N damas en tableros NxN)Se obtuvieron 12 posiciones "independientes" (no equivalentes mediantesimetría), como por ejemplo:


Primeras conexiones con las matemáticas: problema delcaballo

Otro problema matemático muy antiguo relacionado con el tablero de ajedrezfue: encontrar todos los recorridos posibles de un caballo partiendo de unaesquina, pasando una sola vez por cada casilla y acabando el movimiento en laesquina de partida.

Leonhardt Euler hizo el primer estudio serio del problema (1759)demostrando que hay varios caminos cerrados. En el presente, sabemos que hayrealmente muchos: ¡13.267.364.410.532 recorridos posibles! Por ejemplo:

Varios recorridos del caballo


Desarrollo moderno del ajedrez.Los módulos informáticos


Los módulos en ajedrez

Existe la CREENCIA FALSA de que los potentes módulos informáticos deajedrez han resuelto el juego (es decir, han encontrado la estrategia para seguirun juego perfecto, desde el principio al final de una partida), acabando así conla competición. Tal cosa es IMPOSIBLE actualmente y en el futuro al menos amedio plazo, debido a la enorme complejidad de las posibilidades en ajedrez.Por lo contrario, la introducción y el desarrollo de los módulos informáticos hacontribuido decisivamente al espectacular desarrollo de la calidad de losanálisis y del juego actual.

No se sabe si alguna vez un módulo informático podrá resolver el ajedrez, peroes muy extendida la conjetura de que no será posible. Falta una demostraciónmatemática de esta conjetura, por tanto ninguna de las dos posibilidades no sepuede considerar rigurosamente cierta. Por ahora, tampoco es posible establecerde forma objetiva la mejor jugada en muchas posiciones de medio juego.

En la actualidad, los más potentes módulos informáticos superan en fuerza dejuego al mejor jugador humano. Algunos ejemplos: Houdini, Stockfish,Komodo, Rybka, Fritz.


Función de evaluación y algoritmos minimax

Los algorítmos utilizados por los módulos informáticos tienen mucha basematemática y hay muchos matemáticos involucrados en su desarrollo.

El primer desarrollo teórico en el famoso artículo de Claude Shannon (1950)llamado "Programming a Computer for Playing Chess", donde clasifica losprogramas en Tipo A y Tipo B

Los programas de Tipo A utilizan la fuerza bruta como método de selección,algo considerado en aquel tiempo inviable, y Shannon apoya los programas deTipo B, que utilizan estrategias (similares a las de los maestros humanos) paraseleccionar ciertas jugadas "candidatas" y solo analizar las posiciones sucesivasa partir de esas jugadas. Es una importante optimización en costecomputacional pero surge el problema de como hacer esa búsqueda de jugadas,dada la complejidad del ajedrez.

Shannon introduce la noción de función de evaluación, como una función queasocia a cada posición un valor matemático. Por ejemplo, los módulos evaluanel material como: Dama=9, Torre=5, Alfil, Caballo=3, Peón=1; también seevaluan con valor numérico otros aspectos posicionales, estratégicos o tácticoscomo: seguridad del rey, peones débiles o aislados, actividad de piezas, controldel centro etc.



Un ejemplo de función de evaluación tiene la forma siguiente:

f (P) = 9(Q − Q′) + 5(R − R′) + 3(B − B′ + N − N′) + (P − P′)

− 0.5(D − D′ + S − S′ + I − I′) + 0.1(M − M′) + ...

donde Q, R, B, N, P son los números de damas, torres, alfiles, caballos, peonesblancos en la posición (y con primas los correspondientes negros), D, S, I dan elnúmero de peones blancos doblados, atrasados o aislados (y con primas negros),M, M′ representan una medida de la movilidad de piezas de los dos bandos etc.



Las funciones de evaluación pueden variar muchísimo de un módulo a otro (seha llegado a ver valoraciones muy distintas de una misma posición complicadaevaluada por diferentes módulos, todos considerados muy fuertes, a la vez). Alprincipio se utilizaban funciones de evaluación lineales, es decir unacombinación lineal de ciertos factores posicionales con sus pesos específicos

f (P) =N∑

i=1

WiFi,

mientras que más recientemente funciones de evaluación más complejas hansido consideradas (basadas en correlaciones entre factores).La evaluación que da una función de evaluación es estática: intenta evaluar solola posición fija dada. Pero para poder avanzar, se necesita entender comocambia la valoración cuando se efectuan jugadas. Este paso se basa enalgorítmos de tipo minimax, es decir, algorítmos que tratan de maximizar laevaluación matemática en función de las posibilidades de las blancas, luegominimizar la evaluación en función de las posibilidades de las negras en lasiguiente jugada, y así de forma recursiva hasta la profundidad deseada. Esosalgorítmos se implementan mejor sobre estructuras de árboles, donde el nivelpadre es la posición actual, el nivel 1 lo forman las posiciones que surgen alefectuar una jugada etc.



El primer programa práctico que ha podido jugar una partida: Turochamp,ideado por Alan Turing (1948-1950) y puesto en práctica por DavidChampernowne después de la muerte de Turing (1953), ganando una partidacontra una jugadora de nivel principiante.Turing y Champernowne introducen en la técnica computacional la idea deposición estable, es decir aquella donde no hay jugadas tácticas decisivas comoamenazas de mate, de capturas de piezas importantes, de coronación de unpeón. Los dos teóricos y ulteriormente Hans Berliner (1973) consideraban queun algoritmo bueno tiene que parar su búsqueda no después de una profundidadfija establecida (por ejemplo, 8 jugadas) sino cuando encuentre una posiciónestable, incluyendo así un sistema de búsqueda de longitud variable enfunción de la posición alcanzada al final de la búsqueda de longitud fijaimpuesta.Eso permite atacar el famoso problema del horizonte (Berliner 1973, Pearl1982), es decir, aquel efecto indeseable que hace que la valoración del módulosea altamente equivocada dado que la secuencia decisiva de jugadas ocurredespués de su horizonte de búsqueda, o que sugiera jugadas inútiles o ilógicaspara posponer un desenlace que parece inminente, para después del horizontede búsqueda.



Esta idea se ha materializado más tarde, por el trabajo de la escuela rusaconcentrada en torno al gran campeón del mundo M. Botvinnik y suscolaboradores (M. Donskoy y otros), en las llamadas extensiones, que sonprolongaciones de análisis en las ramas del árbol de búsqueda con una o dosjugadas más al final de la profundidad inicial impuesta, y en condicionesespecificadas de antemano. Por ejemplo, extensiones que buscan jugadas dejaque, extensiones que buscan jugadas de captura y las analizan, extensionesque van hasta el final de líneas "forzadas", extensiones de jugadas de peónpasado etc. Hay muchos tipos de extensiones y hoy en día se usan de maneraextensiva.


Métodos de selección

Pero aparte de todo lo anterior, es necesario establecer técnicas para seleccionaraquellas jugadas "interesantes" (que merecen ser analizadas en primer lugar), yasí reduciendo el coste computacional. Es la misma forma en la que piensan losjugadores humanos.

El algoritmo que se ha impuesto como el más usado es la poda α-β (McCarthyet al, 1956-1965), un algoritmo minimax que elimina ramas enteras del árbol debúsqueda trabajando con una acotación superior y una acotación inferior para laevaluación realizada hasta un determinado momento y eliminando directamenteaquellas ramas que no mejoran esas cotas

α representa el valor máximo alcanzado hasta el momento actual por aquelbando que quiere maximizar su evaluación en un algoritmo minimax; β es elvalor mínimo alcanzado por el bando que pretende minimizar su evaluación.

Pearl (1982) ha probado matemáticamente que la poda α-β es un algoritmoóptimo. Es fácil ver que si la fuerza bruta tiene una complejidad O(kN) (dondeN es la profundidad deseada y k es una media de jugadas posibles en cadapaso), la poda α-β tiene una complejidad O(kN/2).


Métodos de selección

Otros métodos de selección: las tablas de transposición (Greenblatt 1967) sonunas matrices grandes (estructuras de datos) que mantienen un código para cadaposición ya alcanzada y analizada en la búsqueda efectuada. Así se evitatrabajar de nuevo cuando se da una transposición (llegar a la misma posición deajedrez por otro orden de jugadas).

La heurística de la jugada asesina (Akl y Newborn, 1977) es una forma deordenar las jugadas candidatas (que se analizan primeras), basada en la idea deque una jugada muy fuerte ("asesina") puede ser empleada para muchasposiciones muy similares o contra muchas jugadas posibles del bando rival, portanto se exige que dicha jugada "asesina" sea analizada en primer lugar en cadaiteración

Heurística de la jugada nula y otras técnicas (Adelson-Velsky 1975, Botvinniket. al., 1985-1990, Beal 1990).


El éxito de los programas actuales

Con todas estas mejoras y con el crecimiento de la fuerza computacional de losordenadores modernos, los programas han superado poco a poco a los mejoresjugadores humanos.

Hitos importantes: primera victoria de un ordenador contra un gran maestro:HiTech, desarrollado por H. Berliner (1988); primera performance de nivel degran maestro: Deep Thought, desarrollado por Feng-Hsiung Hsu (1989); matchDeep Blue-Kasparov (1996) perdido por la máquina con 2-4; match DeeperBlue-Kasparov (1997) ganado por Deeper Blue 3,5-2,5.

Hoy en día los mejores programas tienen una fuerza de juego considerada entorno a 3500 puntos Elo, mientras que el mejor jugador humano (el actualcampeón mundial Magnus Carlsen) solo ha alcanzado un récord de 2882.

Muy recientemente (2018): nuevo programa AlphaZero que gana al mejorprograma "clásico" (Stockfish), construido a base de algoritmos Monte-Carlo(probabilistas) y auto-aprendizaje, partiendo solo desde el conocimiento de lasreglas del ajedrez (sin estrategias implementadas). Gran avance en AI.


Mejoras en el juego y la comprensión

El desarrollo de los módulos informáticos ha llevado a una sustancial mejora enla comprensión humana del ajedrez, en la mejora de los análisis de apertura(descubriéndose nuevas líneas y variantes, algunas muy agudas y dinámicas,corrigiendo análisis existentes que no eran del todo correctas) y la comprensiónestratégica de ciertos factores (estructuras complejas de peones,compensaciones por desequilibros de material). Los maestros actuales enfocansus análisis de una forma muy diferente a los de antes, debido a quitarsealgunas "dogmas" de pensamiento muy establecidas en la era anterior.

El juego de las damas, mucho menos complejo que el ajedrez (ya que todas laspiezas son del mismo valor) se resolvió en 2007 (J. Schaeffer y colaboradores)tras probar que existe el juego "ideal" y acaba en tablas. Se usó un enormeesfuerzo computacional a lo largo de dos décadas y una idea que no se puedeextrapolar al ajedrez.

Los investigadores clasificaron los finales con 10 o menos piezas (en damas) yprobaron que todo juego "correcto" debe llegar a algunas de esas posiciones.Eso en ajedrez no ocurre. Pero la pregunta de si el juego de ajedrez puede serresuelto surgió con fuerza.


Mejoras en el juego y la comprensión

La respuesta de todos los especialistas es que al menos a medio plazo (algunosopinan que nunca), no se podrá resolver el ajedrez.

El desarrollo computacional permitió un gran avance en la comprensión de losfinales de partida, estableciéndose las tablas de Nalimov (2013/14), bases dedatos de finales que resuelven todos los finales con a lo sumo 7 piezas en totalen el tablero (2 reyes y 5 otras piezas de cualquier tipo). Esto ya ha sido unenorme esfuerzo computacional y sumando una pieza más supone un esfuerzocomputacional demasiado grande, imposible hoy en día. E imaginemos lacomplejidad de llegar a 32 piezas...

Concluimos que las matemáticas y la ciencia de la computación, lejos de matarel juego y la competición, contribuyen de forma permanente y esencial aldesarrollo del ajedrez.


Destacados ajedrecistas que han sidotambién matemáticos


Adolf Anderssen

Adolf Anderssen (Breslavia, 1818-Breslavia, 1879) es considerado el primer"campeón del mundo" no oficial,

reinando desde 1851 (al ganar el fuerte torneo de Londres) hasta 1866 (cuandoperdió un match contra W. Steinitz). Es famoso en la historia del ajedrez pordos de sus partidas, Anderssen-Kieseritsky (Londres 1851), conocida como Lainmortal y Anderssen-Dufresne (Berlin, 1852) conocida como La siempreviva.

Anderssen ha sido toda su vida profesor de matemáticas, trabajo que nuncaquiso dejar.


Emanuel Lasker

Emanuel Lasker (Berlinchen, 1868-Nueva York, 1941) fue el más longevocampeón mundial de ajedrez, manteniendo la corona entre 1894-1921,derrotando a Steinitz (2 veces), Tarrasch, Schlechter, Marshall (entre otros) ysiendo finalmente derrotado por Capablanca. Se mantuvo en la élite mundialhasta 1936-1937, con una edad muy avanzada.

Fue también un destacado investigador en el campo del álgebra abstracta: elTeorema de Lasker-Noether es hoy fundamental en la teoría de los ideales.Publicó artículos de investigación en revistas como Nature o MathematischeAnnalen. Colaboró con David Hilbert en el grupo de matemáticos de Gotinga.


Max Euwe

Max (Machgielis) Euwe (Amsterdam, 1901-Amsterdam, 1981) ha sido elquinto campeón mundial oficial de ajedrez (1935-1937), tras vencer aAlexander Alekhin (y luego perder la corona derrotado por el mismo).

Ostenta el record absoluto de títulos de campeón de Holanda, con 12.Al retirarse del ajedrez competicional, ostentó la presidencia de la FIDE entre1970-1978, en un periodo muy difícil para el ajedrez (con la ascensión delcampeón americano Robert Fischer y la adversidad con la Unión Soviética).También reconocido autor de libros instructivos de ajedrez, ha escrito más de70, y muchas generaciones se han formado con sus libros. Los más reconocidosson Practical Chess Lessons, The road to chess mastery o The logical approachto chess.


Max Euwe

Max Euwe fue también un destacado matemático, y nunca dejó esta profesióndurante su vida. Obtuvo su doctorado por la Univ. de Amsterdam en 1926 ynunca abandonó su cargo de profesor.

Una de sus publicaciones más interesantes (1929) es la demostración teórica deque puede haber una partida de ajedrez infinita, evitando triples repeticiones deposición (que según las leyes de ajedrez, resulta en tablas). En la demostraciónutiliza la sucesión binaria (secuencia infinita de 0s y 1s) denominada deThue-Morse, codificando las posibles jugadas como códigos binarios de esasucesión, que tiene la propriedad de que no hay "triples repeticiones", es decirsubsucesiones XXX dentro de un código grande.

Posteriormente, Euwe ha sido uno de los pioneros en investigar la creación demódulos computacionales de ajedrez, siendo presidente de la comisiónholandesa de investigación en autómatas desde 1959 y luego de una comisióneuropea similar entre 1961-1963.


Mikhail Botvinnik

Mikhail Botvinnik (Repino, 1911-Moscú, 1995) fue campeón mundial deajedrez entre 1948-1963 (con 2 cortas interrupciones entre 1957-1958 y1960-1961).

Considerado uno de los mejores jugadores de todos los tiempos, es uno de losfundadores de la Escuela Soviética de ajedrez, y tras la retirada de lascompeticiones (en 1970) ha sido un destacado entrenador y fundador de lafamosa Escuela Botvinnik, dos de sus alumnos estrella siendo los futuroscampeones mundiales y "leyendas vivas" del ajedrez, Garry Kasparov yVladimir Kramnik. Ha sido apodado El patriarca del ajedrez ruso.Es también uno de los primeros ajedrecistas en utilizar procedimientoscientíficos en el análisis de aperturas y posiciones de ajedrez.


Mikhail Botvinnik

No era matemático de formación, sino ingeniero e informático. Obtuvo sudoctorado en ingeniería eléctrica en 1951. Pero sus trabajos en inteligenciaartificial tenían sólidas bases matemáticas.

Entre estos trabajos, destacamos su investigación en el desarrollo de programasinformáticos para jugar al ajedrez, desarrollando un algorítmo de búsquedaselectiva que durante un periodo ha sido uno de los primeros programascapaces de tomar decisiones complejas (después de 1970 se volvió obsoleto).

Recibió el título de Doctor honorífico en matemáticas por la Univ. de Ferrara(Italia) en 1971, por sus investigaciones en la ciencia de la computación.


John Nunn

John Nunn (Londres, 1955) es un gran maestro de ajedrez y matemático inglés.

Como ajedrecista, ha estado en el Top 10 mundial, y ha ganado muchos torneosinternacionales a lo largo de su carrera, siendo campeón europeo juvenil en1975 y logrando medallas de oro individuales en las Olimpiadas en dosocasiones.También es un especialista en la resolución de problemas artísticos de ajedrez,siendo campeón del mundo de esta especialidad en 2004, 2007 y 2010.Es también un autor muy destacado de libros de ajedrez muy instructivos,recibiendo varios premios internacionales por sus libros, entre los cualesdestacan Secrets of Grandmaster Chess, Understanding Chess Move by Move oUnderstanding Chess Middlegames.


John Nunn

Como matemático, John Nunn fue un "niño prodigio", acabando su carrera enmatemáticas en Oxford a los 18 años (en 1973) y su doctorado también en laUniv. de Oxford en 1978. Su tesis trata de los H-espacios finitos, en el campode la topología algebráica, y es considerada una de las mejores tesis doctoralesen su área. Obtuvo una plaza de profesor en Oxford que mantuvo hasta 1981,cuando se dedicó plenamente al ajedrez.

A partir de los ’90, John Nunn utiliza técnicas de data mining en lainvestigación de finales en ajedrez, utilizando las tablas de finales y publicandosus estrategias en varios libros.

También ha desarrollado un interés por la astronomía, llegando a escribir variosartículos en este campo.


Karsten Muller

Karsten Muller (Hamburgo, 1970) es un gran maestro de ajedrez alemán,considerado una de las mayores autoridades en finales de partidas en nuestrostiempos (y encargado de la página especializada ChessBase por hacer análisisde finales). Autor de tratados destacados de finales como Fundamental ChessEndings (con F. Lamprecht, 2001) y How to Play Chess Endings (con W.Pajeken, 2008)

Ha obtenido un título de doctor en matemáticas por la Univ. de Hamburgo en2002 y sigue teniendo interés en las matemáticas, sobre todo en el área de lateoría de juegos.


FIN¡Muchísimas gracias por

vuestra asistencia!

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