MatemàtiquesGUIA DIDÀCTICA

BIBLIOTECA DEL PROFESSORAT

La guia didàctica Matemàtiques 6, per a sisé curs de primària, és una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creada en el departament d’Edicions Educatives de Santillana Educación, S. L./Edicions Voramar, S. A., dirigit per Teresa Grence Ruiz i Immaculada Gregori Soldevila.

En la seua elaboració ha participat l’equip següent:

TEXT I EDICIÓ José Antonio Almodóvar Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán

IL·LUSTRACIÓ Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina

EDICIÓ EXECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz

DIRECCIÓ DEL PROJECTE Domingo Sánchez Figueroa

DIRECCIÓ I COORDINACIÓ EDITORIAL DE PRIMÀRIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

PR

IMÀ

RIA

Direcció d’art: José Crespo

Projecte gràfic: Estudio Pep Carrió Fotografia de la coberta: Leila Méndez

Cap de projecte: Rosa Marín Coordinació d’il·lustració: Carlos Aguilera Cap de desenvolupament de projecte: Javier Tejeda Desenvolupament gràfic: Jorge Gómez i Raúl de Andrés

Direcció tècnica: Jorge Mira

Coordinació tècnica: Jesús Muela i Laura Gil de Tejada Confecció i muntatge: Jorge Yugo i Eva Hernández Correcció: Marta Soriano i Empar Tortosa Documentació i selecció fotogràfica: Nieves Marinas

Fot ografies: F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/J. Latova; EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; NASA/Jacques Descloitres, MODIS Land Rapid Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NOVA YORK; ARXIU SANTILLANA.

Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transfor-mació d’aquesta obra només pot ser feta amb l’autorització dels seus titulars, llevat de les excepcions que estableix la llei. Contacteu amb CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.

© 2015 by Edicions Voramar, S. A./Santillana Educación, S. L.C/ València, 44 46210 Picanya, ValènciaPRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-9058-340-1 Depòsit Legal: M-32302-2015CP: 672666

ÍndexMapa de continguts ..................................................... 4

Guions didàctics

Unitat 11. Àrees i volums ........................................... 6

Unitat 12. Estadística i probabilitat .......................... 24

Solucionari Projecte Final d’etapa ............................ 53

Solucionari L’essencial ............................................. 78

Unitat Informació i activitats

1 Números naturals. Operacions 6

Números fins a nou xifres Operacions combinades

Operacions amb números naturals Números romans

2 Potències i arrel quadrada 22 Potències Expressió polinòmica d’un número

Potències de base 10 Arrel quadrada

Tractament de la informació. Gràfiques lineals de dues característiques

3 Números enters 38

Números enters Suma i resta d’enters

La recta entera. Comparació Coordenades cartesianes

4 Divisibilitat 54

Càlcul de tots els divisors MCM i MCD

Criteris de divisibilitat Problemes d’MCM i d’MCD

Tractament de la informació. Gràfiques lineals de dues característiques

5 Fraccions. Operacions 70 Reducció a denominador comú Suma i resta de fraccions

Comparació de fraccions Multiplicació i divisió de fraccions

REPÀS TRIMESTRAL

6Números decimals. Operacions 88

Suma i resta de números decimals Aproximacions i estimacions

Multiplicació de números decimals

7Divisió de números decimals 102

Divisió de decimal entre natural Aproximació de quocients

Divisió de natural entre decimal Expressió decimal d’una fracció

Divisió de decimal entre decimal

Tractament de la informació. Histogrames

8Proporcionalitat i percentatges 118

Proporcionalitat Escales: plànols i mapes

Problemes de percentatges

9 Mesura 132 Longitud, capacitat i massa Superfície

Sistema sexagesimal

Tractament de la informació. Histogrames

10 Volum 148

Volum amb un cub unitat Volum d’ortoedres i cubs

El metre cúbic. Submúltiples Volum i capacitat

El metre cúbic. Múltiples

REPÀS TRIMESTRAL

11 Àrees i volums 164

Àrees de figures planes Àrees de cossos geomètrics

Cossos geomètrics. Poliedres regulars Volums de cossos geomètrics

12Estadística i probabilitat 180

Variables estadístiques. Freqüències Mediana. Rang

Mitjana i moda Probabilitat

Tractament de la informació. Anàlisi crítica de gràfics

REPÀS FINAL

PROJECTE FINAL D’ETAPA Descobreix les matemàtiques en…

Unitat Informació i activitats

Números naturals. Operacions 6

Números fins a nou xifres Operacions combinades

Operacions amb números naturals Números romans

Potències i arrel quadrada 22 Potències Expressió polinòmica d’un número

Potències de base 10 Arrel quadrada

Tractament de la informació. Gràfiques lineals de dues característiques

Números enters 38

Números enters Suma i resta d’enters

La recta entera. Comparació Coordenades cartesianes

Divisibilitat 54

Càlcul de tots els divisors MCM i MCD

Criteris de divisibilitat Problemes d’MCM i d’MCD

Tractament de la informació. Gràfiques lineals de dues característiques

Fraccions. Operacions 70 Reducció a denominador comú Suma i resta de fraccions

Comparació de fraccions Multiplicació i divisió de fraccions

REPÀS TRIMESTRAL

Números decimals. Operacions 88

Suma i resta de números decimals Aproximacions i estimacions

Multiplicació de números decimals

Divisió de números decimals 102

Divisió de decimal entre natural Aproximació de quocients

Divisió de natural entre decimal Expressió decimal d’una fracció

Divisió de decimal entre decimal

Tractament de la informació. Histogrames

Proporcionalitat i percentatges 118

Proporcionalitat Escales: plànols i mapes

Problemes de percentatges

Mesura 132 Longitud, capacitat i massa Superfície

Sistema sexagesimal

Tractament de la informació. Histogrames

Volum 148

Volum amb un cub unitat Volum d’ortoedres i cubs

El metre cúbic. Submúltiples Volum i capacitat

El metre cúbic. Múltiples

REPÀS TRIMESTRAL

Àrees i volums 164

Àrees de figures planes Àrees de cossos geomètrics

Cossos geomètrics. Poliedres regulars Volums de cossos geomètrics

Estadística i probabilitat 180

Variables estadístiques. Freqüències Mediana. Rang

Mitjana i moda Probabilitat

Tractament de la informació. Anàlisi crítica de gràfics

REPÀS FINAL

PROJECTE FINAL D’ETAPA Descobreix les matemàtiques en…

Solució de problemes Càlcul mental Saber fer

Relacionar enunciat i resolució

Passos per a resoldre un problema

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 xifres

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 xifres

Triar un pressupost

Explicar què s’ha calculat

Buscar dades en diversos gràfics

Restar 1.001, 2.001, … de números de 4 xifres

Restar 999, 1.999, ... de números de 4 xifres

Analitzar la difusió d’una notícia

Traure conclusions d’un enunciat

Buscar dades en diversos textos i gràfics

Dividir un número natural entre desenes i centenes

Calcular la fracció d’un número

Interpretar dades geogràfiques

Elaborar taules a partir d’informacions

Fer una taula

Sumar per compensació: sumar i restar el mateix número

Sumar per compensació: restar i sumar el mateix número

Organitzar un campament

Determinar la representació gràfica d’una situació

Representar la situació

Restar per compensació: sumar el mateix número

Restar per compensació: restar el mateix número

Estudiar la puresa d’una joia

Canviar les dades

Anticipar una solució aproximada

Multiplicar un número natural per 2

Multiplicar un número natural per 5

Analitzar accions de la borsa

Extraure dades de la resolució

Representar dades amb dibuixos

Multiplicar un número natural per 11

Multiplicar un número natural per 9

Entendre l’etiqueta d’un aliment

Escriure preguntes a partir d’una taula o gràfica

Resoldre problemes començant pel final

Estimar sumes i restes de números decimals aproximant els termes a les unitats

Interpretar informació científica

Escriure la pregunta que es respon amb uns càlculs

Representar gràficament la situació

Sumar un número decimal i un de natural

Restar un número natural d’un de decimal

Analitzar dades hidrològiques

Triar preguntes que es puguen resoldre

Començar amb problemes més senzills

Estimar productes aproximant el número decimal a les unitats

Multiplicar un número decimal per desenes i per centenes

Treballar amb densitats

Triar la solució correcta

Reduir el problema a un altre problema conegut

Calcular el 10 % d’un número

Calcular el 50 % d’un número

Dissenyar envasos

Determinar diverses solucions

Fer un diagrama d’arbre

Calcular el 20 % d’un número

Calcular el 25 % d’un número

Realitzar un control de qualitat

Solució de problemes Càlcul mental Saber fer

Relacionar enunciat i resolució

Passos per a resoldre un problema

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 xifres

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 xifres

Triar un pressupost

Explicar què s’ha calculat

Buscar dades en diversos gràfics

Restar 1.001, 2.001, … de números de 4 xifres

Restar 999, 1.999, ... de números de 4 xifres

Analitzar la difusió d’una notícia

Traure conclusions d’un enunciat

Buscar dades en diversos textos i gràfics

Dividir un número natural entre desenes i centenes

Calcular la fracció d’un número

Interpretar dades geogràfiques

Elaborar taules a partir d’informacions

Fer una taula

Sumar per compensació: sumar i restar el mateix número

Sumar per compensació: restar i sumar el mateix número

Organitzar un campament

Determinar la representació gràfica d’una situació

Representar la situació

Restar per compensació: sumar el mateix número

Restar per compensació: restar el mateix número

Estudiar la puresa d’una joia

Canviar les dades

Anticipar una solució aproximada

Multiplicar un número natural per 2

Multiplicar un número natural per 5

Analitzar accions de la borsa

Extraure dades de la resolució

Representar dades amb dibuixos

Multiplicar un número natural per 11

Multiplicar un número natural per 9

Entendre l’etiqueta d’un aliment

Escriure preguntes a partir d’una taula o gràfica

Resoldre problemes començant pel final

Estimar sumes i restes de números decimals aproximant els termes a les unitats

Interpretar informació científica

Escriure la pregunta que es respon amb uns càlculs

Representar gràficament la situació

Sumar un número decimal i un de natural

Restar un número natural d’un de decimal

Analitzar dades hidrològiques

Triar preguntes que es puguen resoldre

Començar amb problemes més senzills

Estimar productes aproximant el número decimal a les unitats

Multiplicar un número decimal per desenes i per centenes

Treballar amb densitats

Triar la solució correcta

Reduir el problema a un altre problema conegut

Calcular el 10 % d’un número

Calcular el 50 % d’un número

Dissenyar envasos

Determinar diverses solucions

Fer un diagrama d’arbre

Calcular el 20 % d’un número

Calcular el 25 % d’un número

Realitzar un control de qualitat

Àrees i volums11Continguts de la unitat

SABER GEOMETRIA

• Àrees de figures planes.

• Cossos geomètrics.

• Poliedres regulars.

• Àrees de cossos geomètrics.

• Volums de cossos geomètrics.

SABER FER

GEOMETRIA

• Càlcul d’àrees de figures planes: paral·lelograms, polígons regulars, cercles i figures compostes.

• Reconeixement i classificació de cossos geomètrics (prismes, piràmides, cossos redons…) i elements.

• Identificació dels poliedres regulars i característiques.

• Càlcul d’àrees de cossos geomètrics (prismes, piràmides i cossos redons).

• Càlcul de volums de cossos geomètrics (prismes, piràmides i cossos redons).

• Resolució de problemes d’àrees i volums.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

• Elecció de la solució correcta a un problema entre diverses opcions.

• Resolució de problemes reduint-los a problemes coneguts.

TASCA FINAL • Dissenyar envasos.

SABER SER FORMACIÓ EN VALORS

• Valoració de la utilitat del càlcul d’àrees i volums en diferents situacions quotidianes.

• Interés per realitzar els càlculs de manera acurada i expressar les solucions correctament.

6

Banc de recursos per a la unitat

BIBLIOTECA DEL PROFESSORAT

Programació didàctica d’aula

Recursos per a l’avaluació

• Avaluació de continguts. Unitat 11: proves de control B i A.

• Avaluació per competències. Prova 11.

• Rúbrica. Unitat 11.

Ensenyament individualitzat

• Pla de millora. Unitat 11.

• Programa d’ampliació. Unitat 11.

Projectes de treball cooperatiu

• Projecte del tercer trimestre.

Recursos complementaris

• Fitxes per al desenvolupament de la intel·ligència.

• Manual d’ús de la calculadora.

• Operacions i problemes.

Aprenentatge eficaç

• Tècniques d’estudi i preparació d’exàmens.

Projectes interdisciplinaris

• Programa d’educació en valors.

• Programa d’educació emocional.

• Intel·ligències múltiples.

RECURSOS DIGITALS

LlibreMèdia

• Unitat 11: activitats i recursos.

LlibreNet

MATERIAL D’AULA

Làmines

ALTRES MATERIALS DEL PROJECTE

Quadern de l’alumne

• Tercer trimestre. Unitat 11.

Solució de problemes. Mètode DECA

SUGGERIMENT DE TEMPORITZACIÓ

Abril JunyMaig

PRIMÀRIA

PRIMÀRIA

Matemàtiques

Tercer trimestre

Matemàtiques

Tercer trimestre

Ma

tem

àti

qu

es

PRIMÀRIA

Tercer

trim

est

re

ES0000000025297 668573_Matematicas_6-3_VOR_24427.indd 1

04/03/2015 16:07:08

ES0000000025301 668617_Cdno_Matematicas_6-3_VOR_24884

PR

IMÀ

RIA

PR

IMÀ

RIA

QUADERN

QUADERN

MatemàtiquesTercer trimestre

MatemàtiquesTercer trimestre

ES0000000025301 668617_Cdno_Matematicas_6-3_VOR_24884.indd 1 11/03/2015 12:58:10

7

164

11 Àrees i volums

Com eren les tombes a Egipte abans de les piràmides?

Si et pregunten com eren les tombes dels faraons en l’antic Egipte, de segur que penses en les piràmides. És veritat que en aquella època tenien forma de piràmide amb base quadrada, però si hi investigues, comprovaràs que les tombes anteriors eren distintes.

Les tombes dels primers faraons eren cambres subterrànies. Sobre aquestes s’alçaven construccions de base rectangular i parets inclinades amb forma de trapezi, amb el sostre també rectangular. Aquest tipus de tomba s’anomena mastaba. La forma era com si hagueren llevat amb un tall la part superior d’una piràmide de base rectangular.

Les mastabes van donar pas a un altre tipus de monument format amuntegant mastabes. Eren les piràmides escalonades. Més tard, aquestes piràmides escalonades van evolucionar a les piràmides que coneixes.

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 4 13/03/2015 13:20:36

Propòsits• Reconéixersituacionsrealsonintervenencossosgeomètrics.

• Recordarelsconceptesbàsicsnecessarisperaldesenvolupamentde la unitat.

Previsió de dificultats• L’aprenentatgedelesfórmulesexigeixunesforçd’atenciói memorització.Alprincipipotajudarelsalumneselfetdetindreaclasseunmuralambunatauladefórmules,totique,posteriorment,convéquetreballensenseaquestsuportgràfic.Quanfacenlesactivitats,demaneu-losqueescriguensemprelafórmulaqueutilitzen.Tambéésinteressantpreguntar-losdetantentantquinesdadesnecessitenperapoderaplicarcadafórmulaperquèvageninterioritzantlesrelacionsexistentsencadacosentrel’àreaoelvolumilesmesuresnecessàriesperacalcular-los(base,altura,radi,perímetre…).

Treball col·lectiu sobre la làminaDemaneuaunalumnequellijaeltextipregunteualaclassequinstermesgeomètricshiixen.Exploreulesideesprèviesielscontingutssobrecossosgeomètricsiàreesqueelsalumnesrecordendecursosanteriors.

1 Elsostredelamastabatenialamateixaformaquelabase,peròlasuperfícieeramenor.

2 Lamastabatenia8vèrtexs,6 caresi12arestes.

3 Lapiràmidedebasequadradaté5vèrtexs,5caresi8arestes.

4 Lescareslateralsdelapiràmidesóntrianglesisòscelesiacutangles.

5 S’obtindrienduespeces:unapiràmidedebasepentagonaliunpoliedre.Lapiràmidetindria6cares,6vèrtexsi10arestes.El poliedreobtingut,quenoés

Altres maneres de començar

• Dibuixeuenlapissarraunesquantesfiguresplanesicossosgeomètrics,indiqueualsalumnesquesónrepresentacionsdellocsiobjectes,iposeu-nealgunsexemplesencomú:finquesocampsdecultiu,envasos,depòsits,edificis…

Feu-lospreguntesicomentarisperquècomprenguenlautilitatdetrobar-nelesàreesielsvolums.Perexemple:

– Compodemsaberquantcostaaquestafinca,siensdonenelpreudelmetrequadratdeterreny?

– Compodemsaberquantsmetresdecartóesnecessitarienperafermilenvasoscomaquest?

8

165

Llig, comprén i raona

1 Observa el dibuix. El sostre de la mastaba, té la mateixa superfície que la base?

2 Quants vèrtexs té la mastaba? I cares? I arestes?

3 La piràmide de base quadrada que hi ha al fons del dibuix, quants vèrtexs té? I cares? I arestes?

4 De quin polígon tenen forma les cares laterals de la piràmide?

5 EXPRESSIÓ ORAL. Si tallares una piràmide que tinguera com a base un pentàgon amb un tall paral·lel a la base, com serien els dos cossos obtinguts? Descriu-los.

Què en saps ja?

TASCA FINAL

Dissenyar envasos

Al final de la unitat dissenyaràs envasos per a diferents productes. Abans, treballaràs amb els cossos geomètrics, les àrees i els volums.

SABER FER

c

c

b

h

b b

Cercle

A 5 p 3 radi2

A 5 p 3 r 2

Usa 3,14 com a valor de p.

hr

h

Àrees de figures planes

Quadrat Rectangle i romboide

A 5 costat 3 costat A 5 base 3 altura

A 5 c 3 c 5 c 2 A 5 b 3 h

Triangle

A 5 base 3 altura2

5 b 3 h2

1 Calcula l’àrea de cada figura plana.

Un quadrat de costat (c) 4 cm.

Un rectangle i un romboide de base (b) 5 cm i altura (h) 3 cm.

Un triangle de base (b) 12 cm i altura (h) 6 cm.

Un cercle de radi (r) 10 cm.

2 Pensa i contesta.

En duplicar la longitud del costat d’un quadrat, què passa amb l’àrea?

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 5 13/03/2015 13:20:38

UNITAT 11

un prisma, ja que les seues bases no són iguals, tindria 7 cares, 10 vèrtexs i 15 arestes.

Què en saps ja?Amb aquestes activitats l’alumne recordarà algunes fórmules d’àrees de figures planes conegudes ja de cursos anteriors i que li seran necessàries en el treball posterior realitzat en la unitat.

1 • A 5 4 cm 3 4 cm 5 16 cm2

• A 5 5 cm 3 3 cm 5 15 cm2

• A 5 (12 cm 3 6 cm) : 2 5 36 cm2

• A 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2

2 En duplicar la longitud del costat d’un quadrat, la seua àrea es multiplica per 4.

Notes

Competències

• Competència lingüística. En l’activitat d’Expressió oral els alumnes han de descriure cossos geomètrics sense l’ajuda d’una representació gràfica. Demaneu-losqueusentermesmatemàticsis’expressendemaneraclara i raonada.

• Aprendre a aprendre. Comenteu als alumnes que ja coneixien com trobar àrees i perímetres de figures planes i que en aquesta unitat seguiran avançant en aquests coneixements i aprendran a calcular àrees i volums de cossos geomètrics. Indiqueu-los que ara passaran de les dues dimensions a les tres dimensions.

Intel·ligència

lingüística

9

166

1 Mesura les diagonals de cada rombe i calcula’n l’àrea.

2 Calcula l’àrea de cada rombe.

La diagonal major mesura 10 cm i la diagonal menor, 6 cm.

La diagonal menor mesura 7 m i la diagonal major, 8 m.

Cada diagonal mesura 12 cm.

Una milotxa amb forma de rombe té un pal llarg que mesura 8 dm i un pal curt que mesura 5 dm.

3 Pensa i resol. Utilitza un dibuix.

Un rombe està format per quatre triangles rectangles iguals els costats dels quals mesuren 6 cm, 8 cm i 10 cm, respectivament.

Calcula l’àrea del rombe com la suma de les àrees dels triangles.

Quant mesura la diagonal menor del rombe? I la diagonal major?

Troba l’àrea del rombe amb la fórmula usual. Obtens el mateix resultat que abans?

Àrea del rombe

Quina és l’àrea d’aquest rombe?

Fixa’t que si tracem paral·leles a cada diagonal del rombe pels seus vèrtexs, es forma un rectangle.

La base del rectangle és igual a la diagonal major del rombe, D, i l’altura del rectangle és igual a la diagonal menor, d.

Observa que la part groga té la mateixa àrea que la part taronja. És a dir, l’àrea del rombe és la meitat de l’àrea del rectangle.

Àrea del rombe 5 àrea del rectangle2

5 diagonal major 3 diagonal menor2

5 D 3 d

2

Àrea 5 D 3 d

2 5 5 cm 3 2 cm

2 5 5 cm2

d 5

2 c

m

D 5 5 cm

h 5

d 5

2 c

m

d

D

b 5 D 5 5 cm

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 6 13/03/2015 13:20:39

Propòsits• Calcularl’àread’unrombe.

• Resoldreproblemesrealsqueimpliquenelcàlculd’àreesderombes.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Mostreucomespotobtindrelafórmuladel’àread’unrombeapartirdel’àread’unrectanglequetingacomabaseladiagonalmajoricomaalturaladiagonalmenor.Indiqueu-lostambéquepodemobtindrel’àreacomlasumadelesàreesdelsquatretrianglesrectanglesenquèestàdividitperlesdiagonals.

Per a reforçar.Demaneualsalumnesquedibuixendiferentsrombesenunfull(indiqueu-losquen’hihaproudetraçarduesperpendiculars,marcar-hilalongituddecadadiagonaliunirelspuntsobtinguts).Després,digueu-losqueelspassenalcompanyperquèaquestencalculelesàrees.

Activitats1 A 5 (6cm 3 2cm):256cm2

A 5 (3cm 3 2cm):253cm2

A 5 (6cm 3 4cm):2512cm2

2 •   A 5 (10cm 3 6cm):25530cm2

  •   A 5 (8cm 3 7cm):25528cm2

•   A 5 (12cm 3 12cm):25572cm2

•   A 5 (8dm 3 5dm):25520dm2

3 •   A 5 (8cm 3 6cm):2524cm2

A 5 4 3 24cm2596cm2

  •   d 52 3 6cm512cm D 52 3 8cm516cm

•   A 5(16cm 3 12cm):25596cm2Elresultatéselmateix.

Notes

Altres activitats

• Demaneualsalumnesquebusquentotselsrombeslesdiagonalsdelsqualssiguennúmerosentersitinguenunaàreaquehàgeudefinit;perexemple,48cm2.Després,podeudemanar-losqueendibuixenalguns,elsretallenielscomparenpersuperposició.

• Entregueualsalumnesenunfullquadratsdediferentsgrandàries,demaneraqueelsseuscostatsfacencentímetresexactes.Sol·liciteu-losqueentracenlesdiagonalsicalculenl’àreadecadauncomuncasparticularderombe.Demaneu-losquelacomparenamblaqueobtindrienusantlafórmuladel’àreadelquadrat.Estractaqueinvestiguenlarelacióentrelalongituddelcostatdelquadratiladelaseuadiagonal.

10

167

11Àrea de polígons regulars

Quina és l’àrea d’aquest pentàgon regular?

Tots els polígons regulars es poden descompondre en triangles iguals, unint el centre amb els vèrtexs.

La base de cada triangle és un costat del polígon i l’altura és el segment que uneix el centre del polígon amb el punt que indica la meitat del costat. Aquest segment s’anomena apotema, ap.

L’àrea del polígon és la suma de les àrees de tots els triangles obtinguts.

Si col·loquem els triangles en fila, la seua àrea total és la meitat de l’àrea d’un romboide la base del qual és el perímetre del polígon, P, i l’altura del qual és l’apotema, ap.

Àrea del polígon regular 5 àrea del romboide

2 5 perímetre 3 apotema

2 5

P 3 ap2

Àrea 5 P 3 ap

2 5

10 cm 3 1,4 cm2

= 7 cm2

1 Observa cada polígon regular i contesta.

En quants triangles iguals es pot dividir?

Quina és l’àrea, sabent que l’àrea de cada triangle marcat és 5 m2?

2 Calcula l’àrea de cada polígon regular.

Càlcul mental

10 % de 6 10 % de 30 10 % de 800

10 % de 9 10 % de 80 10 % de 420

0,1 3 5 0,1 3 67 0,1 3 3.000

0,1 3 7 0,1 3 79 0,1 3 5.200

Calcula el 10 % d’un número o multiplica per 0,1: divideix entre 10

40 : 10 5 410 % de 40

0,1 3 40

ap1,4 cm

c 5 2 cm b 5 c 5 2 cm

h 5 ap 5 1,4 cm

h 5 ap 5 1,4 cm

b 5 P 5 5 3 2 cm 5 10 cm

c 5 10 cm

ap 5 6,9 cm

c 5 6 cm

ap 5 7,2 cmc

c

ap ap

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 7 13/03/2015 13:20:40

UNITAT 11

Propòsits• Calcularl’àreadepolígonsregulars.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Ésimportantqueels alumnesvegenunsentitenlesfórmules,jaqueaixòels ajudaràamemoritzar-lesoarecordar-lesencasd’oblit.Assenyaleucoms’obtéelromboidea partirdelstrianglesenquèpodemdividircadapolígonregular,imostreuquel’àreadelpolígonéslameitatdel’àread’aquestromboide.

Per a reforçar.Entregueualsalumnesdiferentspolígonsregularsdibuixatsenunfullelscostatsdelsqualsfacencentímetresexactes.Digueu-losquehitracenlacircumferènciaquepassapertotselsvèrtexsiquemesurendesprésl’apotemadelpolígon.Perúltim,demaneu-losqueencalculenlesàrees.

Activitats1 Quadrat:

• En4triangles.

• A54 3 5m2520m2

Hexàgonregular:

• En6triangles.

• A56 3 5m2530m2

2 • A5(50cm 3 6,9cm):25 5172,5cm2

• A5(48cm 3 7,2cm):25 5172,8cm2

Càlcul mental• 0,6

• 0,9

• 0,5

• 0,7

• 3

• 8

• 6,7

• 7,9

• 80

• 42

• 300

• 520

Notes

Altres activitats

• Dibuixeuenlapissarraunquadratde4dmdecostatidemaneuaunalumnequehitracelesduesdiagonals.Mostreuqueelpuntonestallenlesdiagonalséselcentredelquadrat,traceu-hil’apotemairaoneuencomúquemesura2dm.Demaneualsalumnesqueencalculenl’àreadeduesmaneres:perlafórmulausualdel’àreadelquadratiperlafórmuladel’àread’unpolígonregular,iquecomprovenques’obtéelmateixresultat.

11

168

Cossos geomètrics: tipus i elements

Els poliedres són cossos geomètrics les cares dels quals són polígons.

Els prismes i les piràmides són poliedres. Els prismes tenen dues cares paral·leles i iguals anomenades bases, i la resta de les cares són paral·lelograms. Les piràmides tenen una base, i la resta de cares són triangles. S’anomenen segons el polígon que forma les bases.

Els elements són:

Hi ha cossos geomètrics que no són poliedres. Els cossos redons són cossos amb superfícies corbes.

Els elements són:

1 Classifica cada cos.

2 Copia en el quadern les oracions verdaderes.

Tots els poliedres són prismes o piràmides.

Tots els prismes i totes les piràmides són poliedres.

Els cossos redons tenen totes les superfícies corbes.

Un poliedre té sempre més de 3 cares.

Un prisma té sempre un nombre parell de vèrtexs.

base

base

vèrtex o cúspide

Prisma hexagonal

Cilindre Esfera

Piràmide hexagonal

aresta bàsica basearesta bàsica

aresta lateral cara lateral

cara lateral

superfície lateral corba

aresta lateral

vèrtex

radi

vèrtex

vèrtexgeneratriu

Con

superfície lateral corba

base

radi

superfície corba

radi

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 8 13/03/2015 13:20:41

Propòsits• Reconéixerelscossosgeomètricsmésimportants:prismes,piràmidesicossosredons,idistingir-neelselements.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteuambelsalumneslesdiferènciesentrepoliedresicossosredons,ielselementsdelsdiferentscossosgeomètrics.Recordeu-losqueelsprismesi piràmidess’anomenavenpelpolígondelabase.Escriviuenlapissarraunesquemaenquèquedeclaraladivisiódelscossosgeomètrics:poliedres(i,dinsd’aquests,prismes,piràmidesialtrespoliedres)icossosredons(i,dinsd’aquests,cilindres,consiesferes).

Per a reforçar.Dibuixeudiferentscossosgeomètricsenlapissarra(odemaneuaalgunalumnequehofaça)perquèelscompanysdiguendequincosestractaiquinsensónelselements.

Activitats1 Piràmidepentagonal.

Esfera.

Poliedre.

Con.

Prismahexagonal.

Cilindre.

2 Sónverdadereslasegona,quartaicinquenaoracions.

Notes

Altres activitats

• Formuleuaclassepreguntessimilarsalessegüents,demanantquehiresponguenenelquadernd’unamaneraraonada:

– Potunprismatindrenomésduescareslaterals?

– Pottindreunprismadosdesenvolupamentsdiferents?

– Pottindreunapiràmidemenysdequatrevèrtexs?

– Potunprismatindreunnombreimparelldevèrtexs?

– Potunapiràmidetindreunnombreimparelld’arestes?

12

169

11

1 Observa els cinc poliedres regulars i completa la taula en el quadern.

2 Pensa i contesta.

Les cares d’un dodecaedre són pentàgons regulars de costat 10 cm i apotema 6,9 cm. Quina és l’àrea d’una de les cares? I de totes les cares?

Les cares d’un octaedre són triangles equilàters de base 8 cm i altura 6,9 cm. Quina és l’àrea d’una de les cares? I de totes les cares?

Poliedres regulars

Des de l’antiguitat, hi ha hagut un tipus de poliedres que ha interessat molts matemàtics. Són els poliedres regulars.

Els poliedres regulars són aquells que tenen com a cares polígons regulars iguals entre si i en cada vèrtex del poliedre coincideix el mateix nombre de cares. Només n’hi ha aquests cinc:

Observa les figures i escriu quins poliedres formen en plegar-les.

Raonament

Tetraedre

4 cares

Octaedre

8 cares

Icosaedre

20 cares

Cub

6 cares

Dodecaedre

12 cares

Nom del poliedre regular

Nombre de cares

Polígon de les cares

Aquestes figures són desenvolupaments.

Plegant-les es poden formar cossos geomètrics.

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 9 13/03/2015 13:20:42

UNITAT 11

Propòsits• Reconéixerelspoliedresregulars,elselementsilescaracterístiques.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Assenyaleuqueelspoliedresregularsnosolshandetindrelescaresiguals,sinóquen’hadeconcórrerigualnombreencadavèrtex.Indiqueuquenomésexisteixenelscincpoliedresmostratsenlapàginaidemaneu-losquen’enuncienlescaracterístiques.

Per a ampliar.Demaneualsalumnesqueesbrinenelnombredevèrtexsi arestesdecadapoliedreregular.Ajudeu-loscomentantquepodenpartirdelnombred’arestesivèrtexsdecadacaraimultiplicar,peròquehand’anarambcompteperquècadacostatdelescaresicadavèrtexestàcompartitambaltrescares.

Activitats 1 Tetraedre:4cares,triangles

equilàters.Octaedre:8cares,trianglesequilàters.Icosaedre:20cares,trianglesequilàters.Cub:6cares,quadrats.Dodecaedre:12cares,pentàgonsregulars.

2 • A5(50cm 3 6,9cm):255172,5cm2A512 3 172,5cm2552.070cm2

• A5(8cm 3 6,9cm):25527,6cm2A58 3 27,6cm25220,8cm2

RaonamentFiguraverda:cub.

Figuraroja:tetraedre.

Figuramorada:ortoedre.

Figuragroga:piràmidepentagonal.

Altres activitats

• Proporcioneualsalumnesdesenvolupamentsdelspoliedresregularsidemaneu-losqueelsconstruïsquen.D’aquestamanera,elspodranconéixermilloritreballarelrecompted’elementsenelscasosenquèhagentingutmésdificultats.

• Realitzeuactivitatssimilarsal’activitat2delllibre,proporcionantalsalumnesdadessobreelspolígonsdelescaresidemanant-losquecalculenl’àreadelpoliedreregularassociat.

13

170

Àrees de prismes i piràmides

1 Calcula l’àrea de cada cos geomètric. Fixa’t en el desenvolupament que té.

2 Calcula l’àrea de cada cos.

L’àrea d’un cos geomètric s’obté sumant les àrees de totes les superfícies que el delimiten.

L’àrea d’un prisma és la suma de les àrees de les dues bases (polígons iguals) més les àrees de les cares laterals (paral·lelograms).

A 5 ABASES 1 ACARES LATERALS

ABASES 5 2 3 8 cm 3 3 cm 5 48 cm2

AC. LATERALS 5 2 3 3 cm 3 5 cm 1 2 3 8 cm 3 5 cm 5

5 30 cm2 1 80 cm2 5 110 cm2

A 5 48 cm2 1 110 cm2 5 158 cm2

L’àrea d’una piràmide és la suma de l’àrea de la base més la suma de les àrees de les cares laterals (triangles).

A 5 ABASE 1 ACARES LATERALS

ABASE 5 10 cm 3 8 cm 5 80 cm2

AC. LATERALS 5 2 3 10 cm 3 13,7 cm

2 1 2 3

8 cm 3 14 cm2

5

5 137 cm2 1 112 cm2 5 249 cm2

A 5 80 cm2 1 249 cm2 5 329 cm2

RECORDA

L’àrea d’un polígon regular és igual al perímetre per l’apotema dividit entre 2.

8 cm

3 cm5 cm

10 cm 8 cm

10 c

m

10 cm

h 5 12 cm

ap 5 6,9 cm

8 cm

5 cm

5 cm

5 cm

3 cm8 cm

13,7 cm 14 cm

10 cm8 cm

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 10 13/03/2015 13:20:43

Propòsits • Calcularàreesdeprismesi piràmides.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteuambelsalumneselsdosexemplesresoltsenelquadreteòricideixeuclarquel’àreadelcoséslasumadelesàreesdetotselspolígonsqueformenlesseuescares.Encasde dificultats,podeudibuixarenlapissarraeldesenvolupamentdelscossosperquèelsalumnescomprenguenmilloraquestarelació.Assenyaleulaimportànciadesabercalcularlesàreesdefiguresplanesal’horad’obtindrelesàreesdelsprismesilespiràmides.

Per a reforçar. Demaneualsalumnesquecalculenlesàreesdediferentsprismesipiràmidesobtingutscanviantlesdadesdelesfiguresquehihaenlapàgina.Entregueualsalumnesdiferentsdesenvolupamentsplansretolatsi demaneu-losquediguenquincosesformaapartird’aquestsiquinaseràl’àread’aquestcos.

Activitats1 • A52 3 5cm 3 3cm1

12 3 3cm 3 8cm112 3 5cm 3 8cm55158cm2

• A55cm 3 5cm114 3 (5cm 3 8cm):255105cm2

2 • A56 3 10cm 3 10cm55600cm2

• A5(48cm 3 6,9cm):2116 3 (8cm 3 12cm):255453,6cm2

Notes

Competències

• Competència matemàtica, científica i tecnològica.L’activitat1permetrealitzaruntreballmoltinteressantrelacionatamblavisióespacial.Proporcioneualsalumneseldesenvolupamentdecadacosperquèprenguenconsciènciadelarelacióquehihaentrelarepresentacióplanailaseuacorrespondènciaenl’espai.Demaneuaunalumnequeiscaalapissarra,copiecadadesenvolupamenti,ambl’ajudadelscompanys,retolecadaundelssegmentsdeldesenvolupamentd’acordamblaretolaciódelscossosgeomètrics.

14

171

11Àrees de cossos redons

1 Calcula l’àrea de cada cos. Fixa’t en el desenvolupament de cada un.

2 Pensa i calcula l’àrea de cada cos redó.

Un pot de conserves cilíndric de radi 8 cm i altura 12 cm.

Un con de plàstic de radi 10 cm i generatriu 20 cm.

Una bola de fusta de radi 40 cm.

L’àrea d’un cos redó s’obté sumant les àrees de les superfícies, planes o corbes que el delimiten.

En totes les fórmules s’usa la longitud del radi (r) del cos. En el cas del cilindre s’usa també la longitud de l’altura (h) i en el cas del con, la longitud de la generatriu (g).

Àrea del cilindre

A 5 ABASES 1 ASUP. CORBA

A 5 2 3 p 3 r2 1 2 3 p 3 r 3 h

Àrea del con

A 5 ABASE 1 ASUP. CORBA

A 5 p 3 r2 1 p 3 r 3 g

Àrea de l’esfera

A 5 ASUP. CORBA

A 5 4 3 p 3 r2

Pensa i contesta. Després, calcula i comprova la resposta.

Un cilindre, un con i una esfera tenen el mateix radi, 10 cm. L’altura del cilindre i la generatriu del con mesuren també les dues 10 cm. Quin dels tres cossos creus que té una àrea més gran? Quin creus que té una àrea més menuda?

Raonament

L’esfera NO té desenvolupament pla.

3 cm10 cm

5 cm8 cm

hg

r

r

r

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 11 13/03/2015 13:20:44

UNITAT 11

Propòsits • Calcularàreesdecilindres,consi esferes.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Mostreualsalumneslessimilitudsamblesàreesdeprismesipiràmides(l’àreadecadacosésl’àreadelessuperfíciesqueelformen)ilesdiferències(en elscossosredonsnoespotparlardecares).Dibuixeuenlapissarraelsdesenvolupamentsplansdecilindresi consicomenteuquintermedelafórmulas’associaambcadapartdeldesenvolupament.

Per a reforçar. Entregueualsalumnesdiferentsdesenvolupamentsplansretolatsidemaneu-losquediguenquincosesformaapartird’aquestsi quinaseràl’àread’aquestcos.

Activitats1 • A52 3 p 3 (3cm)21

12 3 p 3 3cm 3 8cm55207,24cm2

• A5 p 3 (5cm)211 p 3 5cm 3 10cm55235,5cm2

2 • A52 3 p 3 (8cm)2112 3 p 3 8cm 3 12cm551.004,8cm2

• A5 p 3 (10cm)211 p 3 10cm 3 20cm55942cm2

• A54 3 p 3 (40cm)25520.096cm2

Raonament• ACILINDRE52 3 p 3 (10cm)21

12 3 p 3 10cm 3 10cm551.256cm2

• ACON5 p 3 (10cm)211 p 3 10cm 3 10cm55628cm2

• AESFERA54 3 p 3 (10cm)2551.256cm2

Elcilindreil’esferatenenlamateixaàrea.Elcosdemenoràreaéselcon.

Altres activitats

• Demaneualsalumnesqueexplorencomvarial’àreadelscossosredonsquancanvienlesdimensions.Digueu-losquen’agafencasosconcretsperintentarenunciarunareglageneral.Perexemple:

– Uncilindrequetingaeldoblederadiid’alturaqueunaltre,téeldobled’àrea?

– Quintémajoràrea:uncilindrederadiialturaigualsounaesferaambelmateixradiqueelcilindre?

– Unconquetingalameitatderadiqueunaltreilamateixaaltura,télameitatd’àrea?

Intel·ligència

espacial

15

172

Volums de prismes i piràmides

1 Calcula el volum de cada cos.

2 Calcula el volum de cada cos. Fes-ne un dibuix aproximat.

Un prisma de base triangular i altura 10 cm. La base és un triangle de 7 cm de base i 5 cm d’altura.

Una piràmide amb una base quadrada de 10 cm de costat i una altura de 12 cm.

3 Calcula el volum d’aquest cos. Fixa’t bé en els cossos que el componen.

El volum d’un prisma és el producte de l’àrea d’una base per l’altura.

V 5 ABASE 3 h

ABASE 5 8 cm 3 3 cm 5 24 cm2

V 5 24 cm2 3 5 cm 5 120 cm3

El volum d’una piràmide és un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura. L’altura de la piràmide és el segment perpendicular a la base traçat des del vèrtex o la cúspide. No la confongues amb l’altura de les cares laterals.

V 5 ABASE 3 h

3

ABASE 5 P 3 ap2

5 6 3 10 cm 3 8,7 cm2

5 261 cm2

V 5 261 cm2 3 15 cm

3 5 1.305 cm3

5 cm

3 cm8 cm

10 cm

15 cm

8,7 cm

8 cm

8 cm

8 cm

9 cm10 cm

8 cm

5,2 cm

6 cm

8,7 cm

20 cm 10 cm10 cm

10 cm5 cm

5 cm

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 12 13/03/2015 13:20:45

Propòsits• Calcularvolumsdeprismesi piràmides.

• Trobarvolumsdecossosgeomètricscompostos.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteulesfórmulesdelsvolumsdeprismesipiràmides.Potsermoltinteressantconstruir,apartirdelseudesenvolupament,un prismaiunapiràmidequetinguenlamateixaàreadelabaseilamateixaaltura,iqueelsalumnescomproven,omplintlapiràmideper exempleambarena,queel volumdetrespiràmidesequivalaldelprisma.Assenyaleulaimportànciade noconfondre,enlespiràmides,l’alturadelapiràmideambl’alturade lescareslaterals.

Per a reforçar. Demaneualsalumnesquerealitzendibuixosdeprismesi piràmidesielsretolenperquèelscompanysencalculenlesàreesielsvolums.

Activitats1 • V5(8cm 3 8cm) 3 8cm5

5512cm3

• ABASE5(9cm 3 10cm)5590cm2V5(90cm2 3 8cm):355240cm3

• ABASE5(36cm 3 5,2cm):25593,6cm2V5(93,6cm2 3 8,7cm)55814,32cm3

2 • ABASE5(7cm 3 5cm):25517,5cm2V517,5cm2 3 10cm55175cm3

• ABASE510cm 3 10cm55100cm2V5(100cm2 3 12cm):355400cm3

3 • V520cm 3 5cm 3 5cm1110cm 3 10cm 3 10cm551.500cm3

Altres activitats

• Amésderealitzarmésactivitatsdecàlculdevolumsdefigurescompostesapilant-ned’altres(activitat3),ésinteressanttreballarambelsalumnesactivitatsenquèintervenenprismesquetenen«forats»,iqueaquestssiguentambéprismes.Assenyaleuqueelvolumd’aqueststipusdeprismesespotobtindrecomelvolumdelcosmajormenyselvolumqueocupaaquest«forat».Mostreuqueelvolumresultantnodepéndelaposicióquetingaaquest«forat».

16

2

173

11

1 Calcula el volum de cada cos redó.

Un pot de conserves cilíndric de radi 10 cm i altura 15 cm.

Un con de plàstic de radi 12 cm i altura 16 cm.

Una bola de vidre de radi 4 cm.

2 Calcula el volum de cada cos.

Volums de cossos redons

El volum d’un cilindre i d’un con es calculen de forma similar al d’un prisma i una piràmide, respectivament. El de l’esfera es calcula de forma diferent.

En totes les fórmules s’usa la longitud del radi (r) del cos. En el cas del cilindre i el con s’usa també la de l’altura (h).

Volum del cilindre

V 5 ABASE 3 h

V 5 p 3 r2 3 h

Volum del con

V 5 ABASE 3 h3

V 5 p 3 r2 3 h

3

Volum de l’esfera

V 5 4 3 p 3 r3

3

Càlcul mental

50 % de 6 50 % de 60 50 % de 6.000

50 % de 8 50 % de 90 50 % de 4.200

0,5 3 4 0,5 3 46 0,5 3 8.000

0,5 3 12 0,5 3 84 0,5 3 2.600

Calcula el 50 % d’un número o multiplica per 0,5: divideix entre 2

80 : 2 5 4050 % de 80

0,5 3 80

10 cm

8 cm

6 cm 6 cm

5 cm

h

r

rh

r

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 13 24/03/2015 7:42:34

UNITAT 11

Propòsits• Calcularvolumsdecilindres,consiesferes.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteulessimilitudsenlesfórmulesdeprismesicilindresideconsipiràmides,indicantquelabasede cilindresi consésuncercle.Comenteuel casespecialdel’esfera,indicantquenotédesenvolupamentpla.

Activitats1 • V5 p 3 (10cm)2 3 15cm5

54.710cm3

• ABASE5 p 3 (12cm)255452,16cm2

V5(452,16cm2 3 16cm):3552.411,52cm3

• V5(4 3 p 3 (4cm)3):35593,6cm2 3 8,7cm55267,95cm3

2 V5 p 3 (5cm)2 3 10cm55 785cm3

V5 (p 3 (6cm)2 3 8cm):35

5301,44cm3

V5 (4 3 p 3 (6cm)3):35

5904,32cm3

Càlcul mental• 3

• 4

• 2

• 6

• 30

• 45

• 23

• 42

• 3.000

• 2.100

• 4.000

• 1.300

NotesAltres activitats

• Demaneualsalumnesqueexplorencomvarienelsvolumsdelscossosredonsencanviaralgunadelesseuesdimensions.Perexemple:

– Sielradid’unaesferaéseldoblequeeld’unaaltra,comn’éselvolum?

– Uncilindretéd’iguallongitudelradiil’altura,iuncontéelmateixradiieltripled’altura.Comensónelsvolums?

• Proposeuactivitatsdecàlculdevolumsdecossoscompostosapartirdediversoscossosredons,perexempleunmolíformatperuncilindrequehitéuncondamunt.

17

174

Tria la solució correcta calculant mentalment. Després, comprova la resposta.

1 En una almàssera tenien un depòsit gran de 4 kl ple d’oli. L’envasaren tot en garrafes de 0,5 dal d’oli cada una. Quantes garrafes van obtindre?

A. Van obtindre 8 garrafes. C. Van obtindre 800 garrafes.

B. Van obtindre 8.000 garrafes. D. Van obtindre 80.000 garrafes.

2 Un camió pot transportar 3 t i 5 q de càrrega. Va carregat amb 6 paquets de 500 kg cada un. Quants quilos més pot portar?

A. Pot portar 50 kg més.

B. No pot portar més pes.

C. Pot portar 5.000 kg més.

D. Pot portar 500 kg més.

3 Sònia ha de col·locar plaques de fusta en el terra d’una pista de 2 dam2. Utilitzarà plaques quadrades de 2 dm de costat. Quantes plaques utilitzarà?

A. Utilitzarà 5.000 plaques.

B. Utilitzarà 1.000 plaques.

C. Utilitzarà 500 plaques.

D. Utilitzarà 2.000 plaques.

A la fàbrica han envasat 1.000 litres de suc de pinya en brics de 200 cm3 cada un.Quants brics de suc han obtingut?

Calcula mentalment i tria la solució correcta.

A. Han obtingut 5 brics de suc.

B. Han obtingut 50.000 brics de suc.

C. Han obtingut 500.000 brics.

D. Han obtingut 5.000 brics.

Saps que 1 cm3 5 1 ml, per tant cada bric conté 200 ml. Amb 1 litre de suc (1.000 ml) s’obtindran 1.000 : 200 5 5 brics. En total seran 5 3 1.000 5 5.000 brics de suc. La resposta correcta és la D.

Triar la solució correcta entre unes quantes

Solució de problemes

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 14 13/03/2015 13:20:52

Propòsits • Triarlasoluciócorrectaaunproblemaentrediverses.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Treballeuelproblemaresoltmostrantlaformadetriarlasoluciócorrecta.Potfer-seresolentelproblemaibuscant-la,ovalorantperacadaunadeles respostessielvolumtotaldelsbricscoincideixambl’envasat.

Per a reforçar.Demaneualsalumnesqueelaborenellsasolesproblemessimilarsalstreballatsenlapàgina.Resoleu-nealgunsencomú.

Activitats1 4.000:55800

LarespostacorrectaéslaC.

2 3.50023.0005500LarespostacorrectaéslaD.

3 20.000:455.000LarespostacorrectaéslaA.

Notes

Altres activitats

• Ésinteressantplantejarproblemessimilarsalsproposatsenaquestapàginaperpotenciarenelsalumneslacapacitatd’estimacióquantreballenambmesures.Estractaquesiguencapaçosdedescartarràpidamentdiversesdelessolucionserròniesenvorequenotenensentitenlasituacióplantejada.Abansdeferproblemesd’aquesttipus,comenteuambellslesunitatsdemesuraprincipalsperquètinguenpresentcomsónenlarealitat.

18

Resol els problemes reduint-los de primer a un problema que sàpies resoldre.

1 Ramir ha fet una sanefa i n’ha pintat de taronja una part. Quina àrea ha pintat de taronja?

2 Lluís ha fet un disseny unint peces iguals formades amb un rectangle i un semicercle. Quina és l’àrea?

3 INVENTA. Escriu un problema similar als d’aquesta pàgina que puga resoldre’s reduint-lo a un altre de conegut.

175

11

Resol els problemes reduint-los de primer a un problema que sàpies resoldre.

1 Ramir ha fet una sanefa i n’ha pintat de taronja una part. Quina àrea ha pintat de taronja?

2 Lluís ha fet un disseny unint peces iguals formades amb un rectangle i un semicercle. Quina és l’àrea?

3 INVENTA. Escriu un problema similar als d’aquesta pàgina que puga resoldre’s reduint-lo a un altre de conegut.

Anna ha comprat una estoreta de banyde plàstic formada per cercles amb buits quadrats. Quina àrea de plàstic en cm2 té l’estoreta?

Per a resoldre el problema la millor tàctica és reduir-lo de primer a un problema que sàpies fer: calcular l’àrea de cada una de les peces que formen l’estoreta.

L’àrea de cada peça és igual a l’àrea del cercle menys l’àrea del buit quadrat.

Àrea del cercle 5 p 3 r2 5 p 3 52 cm2 5 78,5 cm2

Àrea del quadrat 5 c2 5 52 cm2 5 25 cm2

Àrea d’una peça 5 78,5 cm2 2 25 cm2 5 53,5 cm2

L’estoreta té 50 peces (5 files de 10 peces cada una).

Àrea de l’estoreta 5 50 3 53,5 cm2 5 2.675 cm2

Solució: L’estoreta té una àrea de 2.675 cm2.

Reduir el problema a un altre problema conegut

Solució de problemes

8 cm8 cm

8 cm

12 c

m

10 cm

5 cm

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 15 13/03/2015 13:20:54

Intel·ligència

intrapersonal

UNITAT 11

Propòsits • Resoldreproblemesreduint-losaaltresproblemesconeguts.

Suggeriments didàcticsPer a explicar. Porteuacapambla classeelproblemaresolt.Feu-losvorequeelproblemaplantejat,complexenprincipi,jaquehiintervenengranquantitatdecerclesambbuitsal’interior,potreduir-seaunproblemamoltméssenzilliquejasabenresoldre:calcular,peraunasolapeça,quinaésl’àreadecolorroig.Indiqueulaimportànciad’analitzarsempreelsproblemesacuradament,abansdellançar-sea realitzarcàlculs,perquèd’aquestaanàlisipotdeduir-seunaformamoltmésràpidaisenzilladeresolució.

Per a reforçar. Demaneualsalumnesqueplantegenalscompanysproblemessimilarsalstreballats,quepuguenresoldre’sapartird’altresproblemesconeguts.

Activitats1 Àreatriangle5

5(8cm 3 8cm):2532cm2Àreataronja520 3 32cm255640cm2

2 Àreapeça5 8cm 3 12cm11 p 3 (4cm)2:255121,12cm2 Àreaverda512 3 121,12cm2551.453,44cm2

3 Respostalliure(R.L.).

Notes

Competències

• Iniciativa i actitud emprenedora.Al’horaqueelsalumnesplantegenactivitatssimilarsalestreballadesenlapàgina,animeu-losautilitzarelsconeixementsnousdelaunitat(àreesivolumsdecossosgeomètrics).Intenteuqueproposensituacionsrealsicreatives,estimulantenellsl’actitudemprenedora,iresoleu-nealgunesencomúambtotalaclasse.

19

176

ACTIVITATS

1 VOCABULARI. Defineix cada un d’aquests termes.

Poliedre. Cos redó.

Prisma. Cilindre.

Piràmide. Con.

Poliedre regular. Esfera.

2 Classifica cada cos.

A B C

D E F

G H I

3 Observa cada cos i contesta.

És un poliedre? Per què?

És un prisma? Per què?

És una piràmide? Per què?

4 Compta i escriu per a cada poliedre de l’activitat 3.

Nombre de cares

Nombre de vèrtexs

Nombre d’arestes

5 Compta i comprova.

Compta en diferents poliedres d’aquesta unitat les cares (C), els vèrtexs (V) i les arestes (A), i comprova que es compleix la relació d’Euler: C 1 V 5 A 1 2.

6 Escriu a quin poliedre regular correspon cada desenvolupament.

7 Calcula l’àrea dels poliedres de l’activitat 6 suposant que:

– Cada triangle té 10 cm de base i 8,7 cm d’altura.

– Cada quadrat té 8 cm d’aresta.

8 Calcula l’àrea i el volum d’aquests cossos. Fixa’t bé en les mesures.

9 Troba l’àrea i el volum d’aquests cossos. Pensa quines dades necessites.

10 Pensa i contesta. Després calcula i comprova la resposta.

El radi d’una esfera és el doble que el d’una altra. L’àrea, és també el doble? Quina relació hi ha entre els seus volums?

5 dm

3 m

8 d

m

8 cm

4 cm

4 cm

12 cm

9 cm12 cm

10 cm 15 cm

8 cm

12 c

mES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 16 13/03/2015 13:20:55

Propòsits• Repassarelscontingutsbàsicsde launitat.

• Aplicarlesmatemàtiquesendiferentscontextos.

Activitats1 R.L.

2 A.Tetraedre. B.Esfera.C.Ortoedre. D.Con.E.Piràmidepentagonal.F.Cub. G.Prismatriangular.H.Octaedre. I.Cilindre.

3 Costaronja: • Ésunpoliedre,lescaressón

polígons. • Noésunprisma,lesbases

nosóniguals. • Noésunapiràmide,lescares

lateralsnosóntriangles. Cosgroc: • Ésunpoliedre,lescaressón

polígons. • Ésunprisma,téduesbases

igualsiparal·lelesilescareslateralssónrectangles.

• Noésunapiràmide,lescareslateralsnosóntriangles.

4 Costaronja:5cares,6vèrtexsi9arestes. Cosgroc:6cares,8vèrtexsi12arestes.

5 Comproveu-hoencomúen algunscasosamblaclasse.

6 Cubiicosaedre.

7 Cub:6 3 8cm 3 8cm5384cm2Icosaedre:20 3 (10cm 3 8,7cm):255870cm2

8 • A52 3 8cm 3 4cm112 3 8cm 3 4cm112 3 4cm 3 4cm5160cm2V58cm 3 4cm 3 4cm55128cm3

• A52 3 p 3 (5dm)2112 3 p 3 5dm 3 8dm55408,2dm2V5 p 3 (5dm)2 3 8dm55628dm3

• A54 3 p 3 (3m)25113,04m2

V54 3 p 3 (3m)3:355113,04m3

Altres activitats

• Demaneualsalumnesqueportenaclassediferentsenvasosdeproductesambformesvariades.Digueu-losqueenprenguenlesmidesqueestimennecessàriesiqueencalculenlesàreesielsvolums(enalgunscasospodrancomprovarsihohanfetbéapartirdelacapacitatretoladaenl’envàs).Enelcasd’envasoslesformesdelsqualsnosiguenprismes,piràmidesocossosredons,demaneu-losquetractend’idearmètodesperacalcular-nelesàreesivolumsaproximats(perexemple,posant-hidamunttrossosdepaperquadriculat,omplint-losd’aiguaimesurant-laambunaprovetaméstard…).

20

177

11

11 Pensa i dibuixa.

Sara vol fer una capsa cúbica i ha dibuixat diversos desenvolupaments. Identifica els que poden formar un cub i dibuixa’n tu altres de possibles.

12 Resol.

La gran piràmide de Keops té una base quadrada de 230 m de costat i una altura de 136 m. L’altura de les cares laterals és de 178 m. Quin és el volum de la piràmide? I l’àrea?

Imagina un con enorme amb dimensions molt similars a la gran piràmide: radi de 115 m, altura de 136 m i generatriu de 178 m. Quin seria el volum? I l’àrea? Són majors o menors que els de la piràmide?

En un cub de 20 cm d’aresta s’han introduït 8 esferes de 5 cm de radi. Quin volum del cub queda buit?

13 Pensa i resol.

A la fàbrica de batuts tenen un gran depòsit cilíndric i pensen a construir-ne un altre de forma diferent.

El depòsit cilíndric està ple de batut de xocolate. Té 10 m d’altura i el radi de la base és la meitat. Quants litres hi ha al depòsit?

El contingut del depòsit s’usarà per a omplir brics les dimensions dels quals són 6 cm, 4 cm i 10 cm. Quants n’ompliran?

A la fàbrica dubten entre construir un depòsit cúbic amb 15 m d’aresta o un d’esfèric amb 15 m de diàmetre, ambdós de xapa metàl·lica. En quin es gastarà més xapa metàl·lica per a construir-lo? Quin podrà contindre més batut?

14 Jaume ha pintat de roig una esfera de 10 cm de radi i l’ha tallada en 4 parts iguals. Quina és l’àrea roja i el volum de cada part?

Demostra el teu talent

Problemes

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 17 13/03/2015 13:20:57

UNITAT 11

9 • A 5 12 cm 3 12 cm 1 1 4 3 (12 cm 3 10 cm) : 2 5 5 384 cm2

V 5 (144 cm2 3 8 cm) : 3 5 5 384 cm3

• A 5 p 3 (9 cm)2 1 1 p 3 9 cm 3 15 cm 5 5 678,24 cm2 V 5 p 3 (9 cm)2 3 12 cm : 3 5 5 1.017,36 cm3

10 L’àrea és 4 vegades major i el volum és 8 vegades major.

11 Formen un cub les figures roja i groga.

12 • A 5 134.780 m2 V 5 2.398.133,33 m3

• A 5 105.802,3 m2 V 5 1.882.534,66 m3 L’àrea i el volum són menors que els de la piràmide.

• VCUB 5 (20 cm)3 5 8.000 cm3 VESFERA 5 4 3 p 3 (5 cm)3 : 3 5 5 523,33 cm3

VESFERES 5 8 3 523,33 cm3 5 5 4.186,66 cm3

VBUIT 5 3.813,33 cm3

13 • V 5 p 3 (5 m)2 3 10 m 5 5 785 m3 5 785.000 ℓ

• V 5 6 cm 3 4 cm 3 10 cm 5 5 240 cm3 5 0,24 ℓ 785.000 : 0,24 5 5 3.270.833,33 Ompliran 3.270.833 brics i sobraran 0,08 ℓ.

• ACUB 5 6 3 (15 m)2 5 1.350 m2 AESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)2 5 5 706,5 m2

VCUB 5 (15 m)3 5 3.375 m3 VESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)3 : 3 5 5 1.766,25 m3

Es gastarà més xapa per a construir el cub i contindrà més batut.

Demostra el teu talent14 L’àrea roja de cada part és la

quarta part de l’àrea de l’esfera, ja que les quatre parts són iguals. El volum també n’és la quart part.

AROJA 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2 V 5 p 3 (10 cm)3 : 3 5 5 1.046,66 cm3

Competències

• Competència social i cívica. El context de l’activitat 13 permet entaular una xarrada amb els alumnes sobre diferents valors socials i cívics. Podeu comentar aspectes com la importància de les mesures de seguretat en el treball, el respecte per totes les professions, la necessitat de realitzar les nostrestasquessempredeformaresponsableicorrecta,laconveniènciadetreballarenequipentasquesdifícilsicomplexes…Demaneu-losqueaportenlesseuesideesiexperiències.

21

178

Dissenyar envasos

A l’empresa de Laura treballen en el disseny d’envasos nous. Els seus clients els donen les dimensions dels objectes que volen envasar, o bé les condicions que han de complir els envasos, i ells els presenten diferents opcions perquè trien la que preferisquen.

Laura resol ara diversos encàrrecs. Ajuda-la amb el que has aprés en la unitat.

1 Pensa i resol.

Laura ha de presentar a Lactis Martí, una empresa que ven llet, diferents models d’envasos. Ha preparat aquestes opcions:

Troba l’àrea de cartó plastificat que necessita cada envàs i la capacitat que tindrà. Quin envàs trobes que és millor per a l’empresa? Raona la resposta.

Una empresa de productes esportius vol dissenys d’envasos per a pilotes de petanca. El diàmetre de cada una és 8 cm i cada envàs n’inclourà tres.

Opció 1 Cilindre Opció 2 Ortoedre

Radi: 4 cm 8 cm 3 8 cm 3 24 cm

Altura: 24 cm

Calcula l’àrea de plàstic que necessita cada envàs. En quin envàs queda més volum buit? Quin envàs és millor?

2 TREBALL COOPERATIU. Penseu i investigueu.

Junt amb el company o la companya, dibuixeu diferents possibilitats d’envasos amb forma d’ortoedre per a contindre 6 pilotes de petanca com les de dalt. Calculeu l’àrea de plàstic usada en cada opció i el volum buit que queda en l’envàs.

SABER FER

Envàs model A

Ortoedre

Base: 4 cm 3 10 cmAltura: 25 cm

Envàs model B

Ortoedre

Base: 5 cm 3 10 cmAltura: 20 cm

Envàs model C

Cub

Aresta: 10 cm

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 18 13/03/2015 13:20:59

Intel·ligència

interpersonal

Propòsits • Desenvoluparlacompetènciamatemàticaresolentproblemesreals.

• Repassarcontingutsclau.

Activitats pàg. 1781 • ModelA:

A5780cm2V51.000cm351ℓ

ModelB:A5700cm2V51.000cm351ℓ

ModelC:A5600cm2V51.000cm351ℓ

Totstenenigualcapacitat.Elecció:R.L.

• Opció1:A5703,36cm2VBUIT5401,92cm3

Opció2:A5896cm2VBUIT5732,16cm3Elecció:R.L.

2 R.L.

Activitats pàg. 1791 •   Trentamilionsquaranta-cincmil

dos-centstres. 

    •   Quatre-centsdosmilionshuit-centsmilnou-centsvint.

    •  27unitatsi803mil·lèsimes.

    •  134unitatsi99centèsimes.

2 •  5 3 102

• 79 3 102

•  2.506 3 10

3 •  3, 14,4

•  7, 57,8

•  8, 79,9

•  9, 99,10

4 •  1,2,3,4,6,12,24

    •  80

•  2

Desenvolupament de la competència matemàtica

• L’aplicaciódelesmatemàtiquesauncontextrealicreatiucomelmóndeldissenypermetundesenvolupamentmotivadord’aquestacompetència.Ésmoltimportant,al’horadeltreballcooperatiu,queelsalumnesdecadagrupplanifiquendeformaacuradaelprocésqueseguiranperaobtindrelespossiblesconfiguracionsdel’envàsilescaracterístiquesdecadauna.Demaneu-lostambéqueraonenquinapossibilitatcreuenqueéslamillor.

22

179

REPÀS ACUMULATIU

1 Escriu com es llig cada número.

30.045.203 27,803

402.800.920 134,99

2 Expressa usant potències de base 10.

500 7.900 25.060

3 Calcula entre quins números està cada arrel quadrada.

• 14 • 57 • 79 • 99

4 Calcula.

Tots els divisors de 24.

MCM (8, 10 i 16)

MCD (4, 12 i 14)

5 Ordena de menor a major cada grup.

115

188

2,4 2,139

152

7,49 7,488 375

6 Expressa en la unitat indicada.

En dm: 0,5 km; 6 dam i 150 mm

En cl: 5.200 ml; 0,03 hl i 4 dal

En hg: 0,007 t; 3,2 kg i 2.900 cg

En h: 540 min; 43.200 s

En m2: 0,07 hm2; 5 dam2 i 800 cm2

7 Completa en el quadern.

8 Pensa i contesta.

Un moble de 2 m de longitud mesura en un plànol 4 cm. A quina escala està fet aquest plànol?

11 Lídia va pagar 120 € per 4 caixes de pomes de 15 kg cada una. Si el preu del quilo és el mateix, quant hauria pagat per 7 caixes de 20 kg cada una?

12 Conxa ha fet un viatge de 540 km. Sap que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ de gasolina. Quants litres de gasolina ha gastat?

13 En un depòsit hi ha 5 kl i 4 hl d’un líquid. En total pesen 4,86 t. Quants kg pesaran 7 hl d’aquest líquid?

14 Si una parcel·la de 5 ha es divideix en 8 trossos iguals, quants dam2 té cada tros?

15 A la piscina de Lluís caben 12 m3 d’aigua. Ara hi ha 4.000 ℓ. Quants dm3 més d’aigua hi caben?

9 Sílvia contestà ahir 400 correus. Un cinqué eren de companys seus; el 60 %, de clients, i la resta, de la directora. Quants correus de la directora va contestar ahir?

10 Martí tenia un depòsit de 5 hm3. L’amplià i el volum actual és un 20 % més gran. Quants litres caben al depòsit nou?

Problemes

11

0,004 hm3 5 … m3

45.000 m3 5 … dam3

2.800 dam3 5 … hm3

1,5 dm3 5 … ℓ

80 cm3 5 … cl

4.000 ℓ 5 … m3

ES0000000025297 668573-Unidad 11_24217.indd 19 13/03/2015 13:21:00

UNITAT 11

5 •  2,139 , 511

, 8

18 , 2,4

• 537

 , 7,488 , 7,49 , 2

15

6 •  5.000 dm; 601,5 dm

•  520 cl; 4.300 cl

•  70 hg; 32,29 hg

•  9 h; 12 h

•  700 m2; 500,08 m2

7 4.000 m3

45 dam3

2,8 hm3

1,5 ℓ

8 cl

4 m3

8 200 : 4 5 50 L’escala és 1:50.

9 1/5 de 400 5 80 60 % de 400 5 240 400 2 80 2 240 5 80 Va contestar 80 correus de la directora.

10 5 hm3 1 20 % de 5 hm3 5 5 6 hm3 5 6.000.000.000 ℓ Hi caben sis mil milions de litres.

11 120 : (4 3 15) 5 2 Cada quilo costa 2 €. 7 3 20 3 2 5 280 Hauria pagat 280 €.

12 540 : 100 5 5,4 5,4 3 7,1 5 38,34 Ha gastat 38,34 ℓ.

13 4.860 : 5.400 5 0,9 Un litre pesa 0,9 kg. 700 3 0,9 5 630 Pesaran 630 kg.

14 500 : 8 5 62,5 Cada tros té 62,5 dam2.

15 12 m3 5 12.000 ℓ 12.000 2 4.000 5 8.000 Hi caben 8.000 ℓ més, és a dir, 8.000 dm3.

Notes

Repàs en comú

• UnavegadarealitzadeslesactivitatsdelapàginadeRepàs,pregunteu als alumnes amb quines han tingut més dificultats i de quin tipus han sigut aquestes.Repasseuelsprocedimentsiconceptesimplicatsiproposeu-los-enaltresdesimilarsperassentarbétotselsconeixementsdelcurs.Tambépodeudemanar-losqueproposenaquestesactivitatsextraordinàriesderepàsalscompanys.

23

Estadística i probabilitat12

Continguts de la unitat

SABERESTADÍSTICA I PROBABILITAT

• Variables estadístiques.

• Freqüències absolutes i relatives.

• Mitjana, mediana, moda i rang.

• Probabilitat.

SABER FER

ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

• Reconeixement del concepte de variable estadística.

• Diferenciació entre variables estadístiques quantitatives i qualitatives.

• Recompte de dades i obtenció de taules de freqüències, calculant freqüències absolutes i freqüències relatives.

• Càlcul de la mitjana aritmètica i la moda d’un conjunt de dades.

• Càlcul de la mediana i el rang d’unes dades.

• Obtenció de la probabilitat de diferents esdeveniments aleatoris.

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

• Determinació de diverses solucions a un problema.

• Resolució de problemes portant a cap un diagrama d’arbre.

TASCA FINAL • Realitzar un control de qualitat.

SABER SER FORMACIÓ EN VALORS

• Valoració de la importància de l’ordre en el recompte de dades.

• Interés per presentar les dades i els resultats d’una investigació de forma neta i ordenada.

24

SUGGERIMENT DE TEMPORITZACIÓ

Banc de recursos per a la unitat

BIBLIOTECA DEL PROFESSORAT

Programació didàctica d’aula

Recursos per a l’avaluació

• Avaluació de continguts. Unitat 12: proves de control B i A.

• Avaluació per competències. Prova 12.

• Rúbrica. Unitat 12.

Ensenyament individualitzat

• Pla de millora. Unitat 12.

• Programa d’ampliació. Unitat 12.

Projectes de treball cooperatiu

• Projecte del tercer trimestre.

Recursos complementaris

• Fitxes per al desenvolupament de la intel·ligència.

• Manual d’ús de la calculadora.

• Operacions i problemes.

Aprenentatge eficaç

• Tècniques d’estudi i preparació d’exàmens.

Projectes interdisciplinaris

• Programa d’educació en valors.

• Programa d’educació emocional.

• Intel·ligències múltiples.

RECURSOS DIGITALS

LlibreMèdia

• Unitat 12: activitats i recursos.

LlibreNet

MATERIAL D’AULA

Làmines

ALTRES MATERIALS DEL PROJECTE

Quadern de l’alumne

• Tercer trimestre. Unitat 12.

Solució de problemes. Mètode DECA

Abril JunyMaig

PRIMÀRIA

PRIMÀRIA

Matemàtiques

Tercer trimestre

Matemàtiques

Tercer trimestre

Ma

tem

àti

qu

es

PRIMÀRIA

Tercer

trim

est

re

ES0000000025297 668573_Matematicas_6-3_VOR_24427.indd 1

04/03/2015 16:07:08

ES0000000025301 668617_Cdno_Matematicas_6-3_VOR_24884

PR

IMÀ

RIA

PR

IMÀ

RIA

QUADERN

QUADERN

MatemàtiquesTercer trimestre

MatemàtiquesTercer trimestre

ES0000000025301 668617_Cdno_Matematicas_6-3_VOR_24884.indd 1 11/03/2015 12:58:10

25

Propòsits• Reconéixer situacions reals en

què intervenen mitjanes d’una magnitud.

• Recordarelsconceptes bàsicsnecessarisperaldesenvolupamentde la unitat.

Previsió de dificultats• Enladiferenciaciódefreqüènciesabsolutesifreqüènciesrelatives,assenyaleuquelesprimeressón unnúmeronatural,mentrequelessegonessónfraccions.Treballeusempreelcàlculsimultanidelsdostipusdefreqüències.

• Enelreconeixementdeles diferentsmesuresestadístiques ielprocésquesesegueixperacalcularcadauna,deixeuclarel conceptedecadamesura iambquintipusdedadespotobtindre’s.Treballeudeprimerelcàlcul amb conjunts de dades senzillesi enacabantambdadesméscomplexes(dadesrepetides,dadesdecimals…).Téinterésespecialeltreballambconjunts de dades amb diverses modes (conceptedifícilperalsalumnes).

Treball col·lectiu sobre la làminaDemaneu a un alumne que llija el textipregunteualaclassequèsignificalaparaulamitjana. Demaneu-losqueaportenexemplespropisde contextosenquèisca.

1 L’alçada mitjana s’obté sumant toteslesalçadesi dividintentreeltotalde dades.Ensdónaunaidea del valor central d’aquesta magnitud.

No vol dir que totes mesuraren elmateix,ésunamesuraqueensajudaa obtindreunaideadel valor entorn del qual estan situades les dades.

2 Enungrupmenutsíqueéspossibleferuncàlculdirecte,mesuranttotesles personesperobtindre’nla mitjana.Enungrup

Altres maneres de començar

• Demaneualsalumnesquebusqueneneldiccionarilaparaulaestadística icomenteu-neelssignificats.Mostreuqueenlasocietatactualésunaeinaimportantperaconéixerl’opiniópúblicaiperapoderprendredecisionsdetipuscomercial.Digueu-losqueaportenexemplesd’informacionsqueespodriendeterminarmitjançantestudisestadístics.

• Sol·liciteualsalumnesquebusqueniretallen(endiarisorevistes)notíciesenlesqualsisquenresultatsestadístics.Després,feuunaposadaencomúsobrequès’haestudiat,elsresultatsques’hanobtingutiquèsignifiquen.

180

12 Estadística i probabilitat

Com ha evolucionat l’alçada mitjana dels éssers humans?

Al llarg de la història, l’alçada mitjana de l’ésser humà ha experimentat canvis a causa de diferents factors, especialment l’alimentació i les condicions sanitàries.

A l’imperi romà, els homes més alts eren reclutats i l’alçada mitjana no superava 1,76 m. L’alçada mitjana del ciutadà romà era d’1,65 m.

Durant els segles posteriors la caiguda en la qualitat i quantitat d’aliments provocà un descens de l’alçada mitjana.

Les armadures de l’època medieval mostren que l’alçada mitjana era d’1,60 m i en el segle XVIII els uniformes de soldats indiquen que no arribaven a 1,60 m.

Des del final del segle XIX fins a hui les condicions sanitàries i les millores alimentàries han provocat que l’alçada mitjana haja augmentat considerablement.

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 20 13/03/2015 13:00:47

26

UNITAT 12

gran no és operatiu, i se sol prendre una mostra representativa de la població.

3 Si són tots més alts, l’alçada mitjana augmentarà.

4 Només és possible obtindre la mitjana de variables que siguen numèriques, ja que és necessari realitzar una operació per a obtindre-la. Es pot obtindre en estatures, pesos, notes…, i no es pot en color favorit, mes de naixement…

Què en saps ja?La tècnica d’agrupació de dades i el recompte i el càlcul de la mitjana són continguts importants per a abordar amb èxit la unitat. Assegureu-vos que els alumnes els coneixen i dominen.

1 • Dada:6,nombredevegades:2. Dada:7,nombredevegades:5. Dada:8,nombredevegades:2. Dada:9,nombredevegades:3.

• Dada:3,nombredevegades:5. Dada:4,nombredevegades:3. Dada:5,nombredevegades:4.

2 • Mitjana513

• Mitjana54

• Mitjana52

• Mitjana55

Notes

Competències

• Competència lingüística. En l’activitat d’Expressió oral, els alumnes han de ser capaços de raonar les seues opinions de manera clara. Animeu-los a utilitzar en la mesura que siga possible termes matemàtics.

• Aprendre a aprendre. Comenteu amb els alumnes els coneixements que ja tenien de cursos anteriors sobre estadística i probabilitat. Assenyaleu que en aquesta unitat hi seguiran avançant. Feu-los sempre prendre consciència que l’aprenentatge és un procés continu.

181

Llig, comprén i raona

1 Què vol dir alçada mitjana? Significa que totes les persones mesuren el mateix?

2 EXPRESSIÓ ORAL. Explica com calcularies l’alçada mitjana del teu grup d’amics i la dels habitants de la teua comunitat autònoma. Pot fer-se de la mateixa forma?

3 Si a una classe de 6é arriben diversos alumnes nous més alts que tots els que hi ha ara, què passarà amb l’alçada mitjana?

4 Pots calcular la mitjana de qualsevol característica? Digues exemples d’algunes en què sí que siga possible i d’altres en què no es puga calcular.

Què en saps ja?

TASCA FINAL

Realitzar un control de qualitat

Al final de la unitat faràs un control de qualitat. Abans, treballaràs amb l’estadística i la probabilitat.

SABER FER

Agrupació de dades en una taula

Si hem de fer càlculs amb moltes dades, cal comptar quantes voltes es presenta cada dada i després agrupar els resultats en forma de taula.

Els punts en 18 tirades de daus són:

6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4

Recompte:

1 III 3 voltes

2 I 1 volta

3 IIII I 6 voltes

4 IIII 5 voltes

5 I 1 volta

6 II 2 voltes

1 Fes el recompte i agrupa cada grup de dades en una taula.

6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7

3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4

Càlcul de la mitjana

Per calcular la mitjana d’un grup de números, segueix aquests passos:

1r Suma totes les dades.

3 1 5 1 8 1 4 1 9 1 7 5 36

2n Divideix la suma entre el nombre de dades.

366

5 6

La mitjana és 6.

2 Calcula la mitjana de cada grup de números.

10, 8, 12, 15, 20

2, 3, 5, 7, 6, 2, 4, 3

1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3

4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6

3 5 8 4 9 7

Puntuació Nre. de voltes

1 3

2 1

3 6

4 5

5 1

6 2

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 21 13/03/2015 13:00:52

Intel·ligència

lingüística

27

Propòsits• Diferenciarentrevariablesestadístiquesquantitativesiqualitatives.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Deixeuclarala caracteritzaciódelstipusde variablesquepotestudiarl’estadística:lesvariablesquantitativestenencomarespostavalorsnumèrics,ilesqualitatives,valorsquenosónnumèrics,sinód’unaltretipus.Demaneualsalumnesqueaportenalgunexempledecadatipusde variable.

Per a reforçar.Demaneualsalumnesquebusquenenquestesendiferentsfonts.Després,feuunaposadaen comúpercomentarlesvariablesques’hanestudiatidequintipussón.

Activitats1 R.L.pelquefaalespreguntes.

• Edat:quantitativa.

• Nacionalitat:qualitativa.

• Menjarpreferit:qualitativa.

• Pes:quantitativa.

• Alçada:quantitativa.

• Colordelsulls:qualitativa.

2 R.L.

3 • Llibresllegitsdurantelcurs;quantitativa.

• Esportpreferit;qualitativa.

• Colorpreferit;qualitativa.

• Nombredegermans;quantitativa.

• Fruitapreferida;qualitativa.

• Dinersestalviats;quantitativa.

Notes

Altres activitats

• Formeugrupsdetresoquatrealumnesidemaneu-losqueelaborenunabateriadepregunteslesrespostesdelesqualspodranserdetipusquantitatiuoqualitatiusegonsunadescripcióqueelsdoneu(perexemple,3variablesquantitativesi4dequalitatives).Cadagruphad’entregarlesseuespreguntesaunaltregrupperquèhiresponga(analitzantdeprimersielnombredevariablesdecadatipuséselqueheuindicat).

• Unavegadarecopiladeslesrespostesalespreguntesanteriors,cadagrupd’alumneshaderealitzarunataulaenquèincloguenelsresultatsdelcàlculdelesfreqüènciesabsolutesilesfreqüènciesrelativescorresponentsalesdadesobtingudes.

182

Francesc treballa en una agència de viatges i vol tindre més informació sobre els gustos i costums dels viatgers. Per això, ha fet una enquesta a diverses persones sobre el seu últim viatge. Com que les preguntes són variades, ha obtingut dades de diferents tipus.

L’estadística s’encarrega d’extraure informació de les dades. El lloc visitat, la duració del viatge, el preu, el mitjà de transport utilitzat… són variables estadístiques. N’hi ha de dos tipus:

Pregunta: Quants dies durà el viatge? Respostes: 5, 20, 7, 14… Totes les respostes són números. La duració d’un viatge és una variable quantitativa.

Pregunta: Quin mitjà de transport va utilitzar en el viatge? Respostes: avió, cotxe, tren… Les respostes no són números. El mitjà de transport utilitzat és una variable qualitativa.

1 Escriu quina pregunta faries per obtindre informació sobre cada variable i digues si la variable és quantitativa o qualitativa.

L’edat. El pes.

La nacionalitat. L’alçada.

El menjar preferit. El color dels ulls.

2 Escriu tres variables quantitatives i tres variables qualitatives.

3 Observa cada grup de respostes i escriu quina pot ser la variable estadística i de quin tipus és.

8, 5, 7, 9, 5

futbol, bàsquet, futbol, tenis, karate

roig, blau, verd, rosa, blau

1, 2, 0, 1, 1

poma, meló, pruna, pera, pinya

65, 32, 40, 89, 23

Variables estadístiques

L’estadística recull dades per a extraure’n informació.

Les variables estadístiques poden ser quantitatives (tenen valors numèrics) o qualitatives (tenen valors no numèrics).

RECORDA

Pensa si les respostes són numèriques o no.

L’edat: Quants anys tens? És una variable quantitativa.EXEMPLE

8, 5, 7, 9, 5

Variable estadística: notes d’un examen. Tipus de variable: quantitativa.

EXEMPLE

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 22 13/03/2015 13:00:55

28

UNITAT 12

Propòsits• Diferenciaricalcularlesfreqüènciesabsolutesirelativesd’unconjuntdedades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Assenyaleuquelesfreqüènciesabsolutessónnúmerosi lesfreqüènciesrelativessónfraccions.

Mostreuquelasumadelesfreqüènciesabsoluteséssempreigualalnombretotaldedades,ilasumade lesfreqüènciesrelativesésiguala1.

Per a reforçar.Presenteualsalumnestaulesdefreqüènciesincompletes,enquèhagen d’ompliralgunescel·lesapartirde lesdadesd’altrescel·lesidelnombretotaldedades.

Activitats1 Gos;7,7/12.

Gat;4,4/12.Conill;1,1/12.

• Lasumadelesfreqüènciesabsolutesés12.Coincideixamb eltotaldedades.

• Lasumadelesfreqüènciesrelativesés1.

2 R.L.

Càlcul mental• 1

• 2

• 7

• 100

• 90

• 60

• 1.000

• 2.000

• 3.000

Notes

Altres activitats

• Demaneualsalumnesquerealitzencàlculsdefreqüènciesabsolutesifreqüènciesrelativesdedadesobtingudesal’atzaromitjançantexperimentació.Perexemple:

– Anotareltercerdígitdelnúmerodetelèfondetotselsalumnesdelaclasseiestudiarlesfreqüènciesdelesxifres.

– Llançarunamonedaoundau10vegadesiobtindrelesfreqüènciesdelspossiblesresultats.Siagrupeuelsalumnesperquèrealitzenl’experiment,podeucomentardespréslesdiferènciesentrelesfreqüènciesdelesdadesdecadagrupilesfreqüènciesdelesdadesglobalsdelaclasse(lesfreqüènciesrelativesd’aquestsúltimsprenenvalorsmoltsimilarsalaprobabilitatdecadaresultatpossible).

183

12

Isabel ha preguntat a 10 companys quin número de calçat usaven i ha anotat les respostes.

Observa la dada 34:

S’hi presenta 3 vegades. La freqüència absoluta de 34 és 3.

En total hi ha 10 dades. La freqüència relativa de 34 és 3

10.

Isabel compta les vegades que es presenta cada dada i construeix la taula de freqüències.

Suma: 10 (nombre total de dades)

Suma: 1010

5 1

Freqüència absoluta i freqüència relativa

1 Completa en el quadern la taula de freqüències. Després, contesta.

Ivan ha anotat la mascota preferida dels seus dotze amics:

gos gat gos conill

gos gos gat gos

gat gos gos gat

Quina és la suma de les freqüències absolutes? Amb què coincideix?

Quina és la suma de les freqüències relatives?

2 Tira un dau 10 vegades i construeix la taula de freqüències dels resultats. Llança una moneda 12 vegades i construeix també la taula de freqüències.

Càlcul mental

20 % de 5 20 % de 500 20 % de 5.000

20 % de 10 20 % de 450 20 % de 10.000

0,2 3 35 0,2 3 300 0,2 3 15.000

Calcula el 20 % o multiplica per 0,2: divideix entre 5

45 : 5 5 920 % de 45

0,2 3 45

La freqüència absoluta d’una dada és el nombre de vegades que es presenta.

La freqüència relativa d’una dada és el quocient entre el nombre de vegades que es presenta aquesta dada i el nombre total de dades.

Mascota gos

Freqüència absoluta

Freqüència relativa

Número de calçat 34 35 36 37

Freqüència absoluta 3 4 2 1

Freqüència relativa3

104

102

101

10

Número de calçat

34 35 37 34 3535 36 35 36 34

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 23 13/03/2015 13:01:01

Intel·ligència

naturalista

29

Propòsits• Calcularlamitjanaaritmèticad’unconjuntdedadesnumèriques.

• Determinarlamodaolesmodesd’un conjuntdedades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteuelprocésquecal seguirperatrobarlamitjanaambdadesagrupades.Mostreulaimportànciad’analitzarlesdadesabansdecalcularperasabersiésnecessariagrupar-lesdeprimer.Assenyaleuquelamitjanaescalculanomésambdadesnumèriquesi quenotéperquècoincidirambalgunadelesdades.

Indiqueuquelamodaésladadaolesdadesambmajorfreqüènciaabsoluta.Deixeuclarquepotnohavercapmoda,obéhaverunamodaomésd’una,depenentdelconjuntdedades.Mostreuquelamodapotcalcular-sesiguenlesdadesquantitativesoqualitatives.

Per a reforçar.Demaneualsalumnesquecreenconjuntsdedadesquecorresponguenaunadescripcióbasadaenlamitjanailamodasimultàniament.Perexemple,sol·liciteuqueescriguenunconjuntdecincdadesambmitjana3imodes1i5.

Activitats1 Mitjana52

Moda52

• Lamitjanailamodacoincideixen.

• Nocoincideixensempre.

2 • Mitjana56.Moda57

• Mitjana53.Moda52

• Mitjana510.Moda510

3 • Hiha25alumnes.

• Majorfreqüènciaabsoluta:7.Corresponaxilòfoniflauta.Lesmodessónxilòfoniflauta,hiha2modes.

• Noespotcalcularlamitjana,jaquelavariablenoésnumèrica.

Altres activitats

• Formeugrupsdetresalumnes.Demaneuacadagrupquepregunteadeupersoneselpes(enkg)il’alçada(encm).Digueu-losqueanotenlesdadesarreplegades,quelestabuleniqueencalculenlesfreqüènciesabsolutesirelativesi,després,lamitjanadelspesosidelesalçades.Feuunaposadaencomúpercomentarelsresultatsifeu-losobservarqueambduesmitjanesdepenendelespersonesalesqualshagenpreguntat(sisónxiquets,sisónadults…)idelsvalorsextremsdelconjuntdedades.

184

Mitjana i moda

1 Calcula la mitjana i la moda. Després, contesta.

Roser ha anotat en la taula el nombre de cistelles que va fer cada jugadora del seu equip en un partit.

Coincideixen la mitjana i la moda de les dades?

Han de coincidir sempre aquests dos valors?

2 Calcula la mitjana i la moda d’aquests grups de números.

3, 10, 7, 7, 4, 5

1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2

10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10

L’entrenador ha anotat el pes dels 12 jugadors de l’equip. Com que alguns pesos es repeteixen, agrupa les dades en la taula següent:

Quin és el pes mitjà?

Calcula la mitjana de les dades:

1r Multiplica cada dada per la freqüència absoluta i suma els productes.

62 3 2 1 63 3 1 1 64 3 4 1 65 3 5 5 5 124 1 63 1 256 1 325 5 768

2n Divideix la suma entre el nombre de dades.

Nre. de dades: 2 1 1 1 4 1 5 5 12 768 : 12 5 64

El pes mitjà és 64 kg.

Quin és el pes que més es repeteix?

La dada que més es repeteix és 65, perquè és la que té més freqüència absoluta (5). Aquesta dada s’anomena moda.

La moda dels pesos és 65 kg.

La mitjana d’un grup de dades s’obté en dividir la suma dels productes de cada dada per la seua freqüència absoluta, entre el nombre total de dades.

La moda és la dada (o dades) amb major freqüència absoluta.

Pes en quilos 62 63 64 65

Freqüència absoluta 2 1 4 5

Nombre de cistelles

0 1 2 3 4

Freqüència absoluta

1 2 4 2 1

POSA ATENCIÓ

Si hi ha dades repetides, agrupa-les en una taula.

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 24 13/03/2015 13:01:06

30

UNITAT 12

4 Resposta model (R. M.).

•   2, 7, 11, 12

    •  10, 10, 8, 8, 14

    •   1, 2, 4, 4, 4, 7

    •   3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

5    •   Preu mitjà: 16 €. Moda: 12 €.

    •   Distància mitjana: 3,5 km. 

Saber mésSi la mitjana dels quatre números és 8, això vol dir que la seua suma  és igual a 4 3 8 5 32. Per tant, la suma dels cinc números serà:  32 1 3 5 35, i la mitjana dels cinc serà: 35 : 5 5 7.

Raonament•   Poden ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

•   Menor valor: 1 (si tots els  resultats són 1). Major valor: 6 (si tots els  resultats són 6).

•   Pot ser un número que no haja  eixit; si trau cinc vegades 2 i cinc vegades 6, la mitjana serà 4. Pot ser també un número decimal; si trau cinc vegades 1 i cinc vegades 2, la mitjana serà 1,5.

Notes

Altres activitats

•   Demaneu als alumnes que calculen la moda o les modes dels resultats dels experiments realitzats en l’apartat Altres activitats de la pàgina 29 d’aquesta guia. 

•   Proposeu als alumnes activitats que els permeten aprofundir en el nombre màxim de modes que pot tindre un conjunt de dades, en funció de quantes dades hi haja. Per exemple, després de dur a terme l’activitat 4, demaneu-los que intenten escriure un conjunt de 8 dades amb 1 moda, 2 modes,  3 modes... 

185

12

3 Observa la taula de freqüències absolutes i contesta.

En classe de Música han anotat el nombre d’alumnes que toquen cada instrument.

Quants alumnes hi ha en la classe de Música?

Quina és la major freqüència absoluta? Quines dades la tenen? Quines són les modes? Quantes n’hi ha?

Pots calcular la mitjana de les dades? Per què?

4 Pensa i escriu.

Quatre números la mitjana dels quals siga 8.

Cinc números la mitjana dels quals siga 10.

Sis números la moda dels quals siga 4.

Set números que tinguen dues modes.

Problemes

5 Resol.

Mila ha comprat uns quants llibres d’aquests preus (en €):

10 12 26 12 16 12 20 16 20

Quin és el preu mitjà dels llibres? Quina és la moda dels preus?

Elisa ha fet aquesta setmana diversos recorreguts amb bici. Les distàncies en quilòmetres han sigut les següents:

3,2 5,4 1,6 4,5 2,8

Quina és la distància mitjana dels recorreguts?

Pensa i contesta.

David llança un dau 10 vegades i anota els resultats.

Quins valors poden tindre les dades?

Quin és el menor valor que pot tindre la mitjana? I el major?

Pot ser la mitjana un número que no li haja eixit cap vegada? Pot ser un número decimal?

Raonament

La mitjana de quatre números és 8. Si hi afegim un 3, quina és la mitjana dels cinc números?

SABER MÉS

Instrument Freqüència

Pandero 5

Xilòfon 7

Platerets 3

Flauta 7

Claves 3

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 25 13/03/2015 13:01:06

31

186

Mediana

1 Calcula la mediana de cada grup de números.

5, 8, 6 10, 14, 7, 15

2, 9, 18, 2, 15 20, 30, 60, 20, 50, 60

7, 3, 4, 2, 3, 4, 9 8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11

2 Pensa i escriu.

Cinc números la mediana dels quals siga 10.

Sis números la mediana dels quals siga 8.

3 Resol.

Begonya ha comprat 5 camisetes per als seus nebots, de les talles 3, 4, 5, 8 i 10 anys. Quina és la mitjana d’aquestes talles? I la mediana?

Carles té al jardí 4 poals plens d’aigua, de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ i 27 ℓ de capacitat, respectivament. Quina és la mitjana d’aquestes capacitats? I la mediana?

POSA ATENCIÓ

En ordenar les dades, escriu tots els números tot i que es repetisquen.

Patrícia ha tallat tires de paper per adornar un fanalet:3 tires blaves de 25 cm, 15 cm i 20 cm, respectivament,i 4 tires roges de 12 cm, 18 cm, 14 cm i 16 cm.Quina és la mediana de les longituds de les tires blaves?I de les tires roges?

Per calcular la mediana de les 3 tires blaves:

1r Ordena les dades.

2n Busca la dada que ocupa el lloc central.

15 20 25

Dada central

La mediana és 20 cm.

Per calcular la mediana de les 4 tires roges:

1r Ordena les dades.

2n Busca les dues dades centrals i calcula’n la mitjana.

12 14 16 18

Dades centrals

La mediana és 15 cm.

La mediana d’un grup amb un nombre senar de dades és, una vegada ordenades, la dada que ocupa el lloc central.

La mediana d’un grup amb un nombre parell de dades és, una vegada ordenades, la mitjana de les dues dades centrals.

14 1 16

2 5 15

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 26 13/03/2015 13:01:07

Propòsits •   Calcular la mediana d’un conjunt  de dades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar. Assenyaleu la necessitat d’ordenar les dades abans de calcular la mediana. Recalqueu que han de considerar totes les dades, encara que estiguen repetides.

Comenteu amb els alumnes que la mediana és un paràmetre interessant, ja que ens permet afirmar que el 50 % de les dades hi està per damunt i el 50 %, per davall, mentre que amb la mitjana no podem saber res sobre la distribució dels valors de les dades. 

Per a reforçar. Escriviu en la pissarra exemples de càlcul de medianes (alguns que siguen correctes i d’altres que no ho siguen). Demaneu als alumnes que detecten els exemples que són erronis i els corregisquen.

Activitats1    •  Mediana 5 6

    •  Mediana 5 9

    •  Mediana 5 4

    •  Mediana 5 12

    •  Mediana 5 40

    •  Mediana 5 9

2    R. M. 

    •   9, 9, 10, 11, 12

    •   4, 6, 6, 10, 11, 12

3    •   Mitjana 5 6 anys Mediana 5 5 anys

    •   Mitjana 5 25 ℓ Mediana 5 26 ℓ

Notes

Altres activitats

•   Organitzeu la classe en grups d’alumnes, de manera que en uns grups el nombre d’alumnes siga parell i en altres, imparell. Indiqueu-los que cada membre del grup ha de dir, per exemple, el nombre de dies per setmana  que porta a cap alguna activitat extraescolar. Han d’anotar les dades  i calcular-ne la mitjana. 

•   Enuncieu en veu alta quatre números. Demaneu als alumnes que afigen  un número a aquests quatre, el que ells trien, i que calculen la mitjana dels cinc números obtinguts. Comenteu en comú diferents resultats, i mostreu que el valor de la mitjana varia en funció de la relació del número que ells han triat amb els que els havíeu enunciat (si és major, si és menor, si hi està comprés…). 

32

1 Calcula la mitjana i el rang de cada grup de dades.

12, 20, 5, 7 8, 10, 7, 8, 7 7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24 7, 5, 13, 5, 5 12, 9, 20, 14, 20, 15

2 Resol.

Alícia ha anotat els minuts que tarden a arribar els autobusos de dues línies per vore quina de les dues funciona millor.

Quin ha sigut el temps mitjà d’espera en cada línia? I el rang dels temps d’espera?

En quina línia ha variat més el temps d’espera d’uns autobusos a altres? En quina és major el rang?

187

12Rang

1 Calcula la mitjana i el rang de cada grup de dades.

12, 20, 5, 7 8, 10, 7, 8, 7 7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24 7, 5, 13, 5, 5 12, 9, 20, 14, 20, 15

2 Resol.

Alícia ha anotat els minuts que tarden a arribar els autobusos de dues línies per vore quina de les dues funciona millor.

Quin ha sigut el temps mitjà d’espera en cada línia? I el rang dels temps d’espera?

En quina línia ha variat més el temps d’espera d’uns autobusos a altres? En quina és major el rang?

Daniel estudia com varia la temperatura al llarg del dia en dos pobles.

Calcula la temperatura mitjana de cada poble.

Marblau 11 1 13 1 14 1 15 1 13 1 12

6 5 13

Campol 8 1 11 1 17 1 18 1 14 1 10

6 5 13

La temperatura mitjana és igual als dos pobles.

Després, calcula el rang de les dades de cada poble. El rang és la diferència de la dada major i la menor.

Marblau

La dada major és 15 i la menor és 11.

15 2 11 5 4 El rang és 4.

Les temperatures no varien molt: les dades estan pròximes a la mitjana.

Campol

La dada major és 18 i la menor és 8.

18 2 8 5 10 El rang és 10.

Les temperatures varien bastant: algunes dades estan lluny de la mitjana.

El rang dóna idea de la proximitat de les dades a la mitjana. Es calcula restant la dada menor de la dada major.

Càlcul mental

25 % de 4 25 % de 800 25 % de 4.000

25 % de 12 25 % de 120 25 % de 8.000

0,25 3 40 0,25 3 320 0,25 3 16.000

Calcula el 25 % o multiplica per 0,25: divideix entre 4

32 : 4 5 825 % de 32

0,25 3 32

Minuts d’espera

Línia A Línia B

5

8

6

6

5

3

4

14

7

2

Temperatures en ºC

Marblau 11 13 14 15 13 12

Campol 8 11 17 18 14 10

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 27 13/03/2015 13:01:08

UNITAT 12

Propòsits • Trobarelrangd’unconjuntde dadesnumèriques.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Expliqueuqueelrangdónaideadelaproximitatdelesdadesalamitjanaiqueelseucàlculesfarestantladadamenordelamajor.Repasseuambelsalumneselsparàmetresestadísticsestudiatsalllargdelaunitatperquèquedenclareslesdiferènciesentreaquestsilamaneradecalcular-los.

Per a reforçar. Proposeualsalumnesesbrinarelrangdegrupsdedadescomlesedatsdelsmembresdelaseuafamília,latalladecalçatdelaclasse…Digueu-losquehandeplanificarcomobtindrelesdadesitabular-les,i desprésrealitzarelscàlculsperamostrar-losalscompanys.

Activitats1 • Mitjana511.Rang515

• Mitjana516.Rang515

• Mitjana58.Rang53

• Mitjana57.Rang58

• Mitjana58.Rang56

• Mitjana515.Rang511

2 • MitjanalíniaA56minRanglíniaA53minMitjanalíniaB56minRanglíniaB512min

• Lamitjanaéslamateixa,peròel rangésmoltmajoren la líniaB,jaqueésmésvariableeltempsd’espera.

Càlcul mental• 1

• 3

• 10

• 200

• 30

• 80

• 1.000

• 2.000

• 4.000

Notes

Competències

• Competència social i ciutadana. Lasituacióplantejadaenl’activitat2,unestudisobreelstempsd’esperaendueslíniesd’autobusos,permetrealitzarambelsalumnesundebatsobrevalorsrelacionatsamblacompetència.Comenteu,perexemple,laimportànciadecomportar-secorrectamentenelsmitjansdetransportpúblicsidecedirelseientalespersonesqueméshorequerisquen,lanecessitatdepotenciarperpartdetotsl’úsdeltransportpúblic…

33

188

Probabilitat

1 Calcula i escriu per a cada cas la probabilitat corresponent.

Manel trau de la bossa una fruita a l’atzar.

Traure una poma roja.

Traure una taronja.

Traure una pera.

Traure una poma.

Traure una fruita de color verd.

Quina fruita és més probable traure: poma, taronja o pera? Quines fruites són les menys probables?

2 Calca en el quadern i pinta perquè les oracions siguen certes.

Hi ha boles verdes, blaves i roges.

La probabilitat de traure una bola verda i blava és la mateixa.

Traure una bola roja és l’esdeveniment menys probable.

Hi ha boles verdes, blaves i roges.

La probabilitat de traure bola roja és major que un mig.

Traure bola verda és el doble de probable que traure bola blava.

Casos menors que 5Casos possibles

Estrella té un dau i el llança. Quina és la probabilitat que el númeroobtingut siga menor que 5?

El resultat en llançar un dau depén de l’atzar. No podem saber quin resultat concret eixirà, però sí saber, per a cada resultat, la probabilitat que passe.

La probabilitat és el quocient entre el nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles.

Casos favorables: 1, 2, 3, 4

Casos possibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Probabilitat de traure un número menor que 5 46

La probabilitat de traure un número menor que 5 és 46

.

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 28 13/03/2015 13:01:09

Propòsits• Calcularprobabilitatsd’esdeveniments.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Assenyaleuquelaprobabilitatésunamesuramatemàticadelapossibilitatqueunesdevenimentpasse,peròquenosignificaqueaquestesdevenimenttindràlloc,jaqueelsfenòmensenquès’aplicasónaleatoris.Així,unaprobabilitatde2/3voldirque,enungrannombrede repeticionsd’aquestfenomen,2 decada3vegadesocorreràaquestesdeveniment,perònoindicaqueen3 repeticionsaquestesdevenimentocórrega2 vegadesnecessàriament.

Definiulaprobabilitatcomunquocientmenorquelaunitat,idigueuque,perapoderaplicarla fórmula,totselsesdevenimentselementalshandetindrelamateixaprobabilitat.Treballeuelscasosd’esdevenimentscompostos,formatsperlauniód’algunsesdevenimentselementals(comara,traurereiocavall)olanegaciód’unesdeveniment(notraureoros),atésquetenenunacomplexitatespecial.

Activitats1 • 3/11

• 2/11

• 2/11

• 7/11

• 6/11

Mésprobable:poma.Menysprobable:peraitaronja.

2 • 1bolaroja,2deblavesi2 deverdes.

• 5bolesroges,2deverdesi 1 deblava.

3 • 8/40

• 3/40

• 12/40

• 6/40

• 9/40

Altres activitats

• Dibuixeuenlapissarraquatreruletesdivididesendeupartsiguals.Formeuquatregrupsd’alumnesidemaneuquecadaunpintelliurementunadelesruletesambcolorsroig,blau,grociverd.Entregueuacadagrupquatretargetesperquèhiescriguen,ambfraccions,laprobabilitatqueenlaseuaruletaiscacadacolor.Mescleulessetzetargetesidemaneuaunsquantsalumnesque,perordre,agafenunatargetaal’atzar,lamostrenidiguenperaquinaruletaoruletesescompleixl’escritenlatargeta.

• Demaneualsalumnesqueproposenactivitatssimilarsal’activitat2,demaneraqueelscompanyshagendecompletarunarepresentaciógràficaquecompliscaunescondicionsdeterminades(esdonaranenfunciódeprobabilitats).

34

2

189

12

3 Calcula cada probabilitat en traure a l’atzar una carta d’una baralla espanyola.

Un rei o un as.

Un cavall que no siga de bastons.

Un 3, un 4 o un 5.

Un as, un 3 o un rei que siguen d’ors o copes.

Una figura que no siga d’espases.

Problemes

4 Resol.

Maite llança 3 monedes diferents. Què és més probable: traure almenys una cara o traure dues creus?

Pere i Bru tenen una bossa amb targetes numerades de l’1 al 20. Trauen un número a l’atzar. Guanya Pere si ix un divisor de 20 i guanya Bru si ix un número parell major que 10. – És un joc just? Per què? – Quina probabilitat hi ha que guanyen els dos?

I que no guanye ningú?

En un espectacle de màgia hi ha 215 assistents. Si es tria un espectador a l’atzar, troba la probabilitat que:

– Siga xiquet o xiqueta. – Siga de sexe femení.– No siga un home. – No siga xic o xica jove.– Siga adult. – No siga home ni jove.

Pensa i contesta.

En un grup de 16 persones que tenen mascota, la probabilitat de triar una persona que tinga

un gos és 1016

i la probabilitat de triar una

que tinga un gat és 8

16. Com és això possible?

Raonament

Un dau té 4 cares amb 2 punts, 1 cara amb 1 punt i 1 cara amb 3 punts.

Troba la probabilitat que en llançar-lo isca:

– Un 2.– Un número parell.– Un 1 o un 2.

SABER MÉS

Un rei o un asCasos favorables: 4 reis i 4 asos, 8 en totalCasos possibles: 40 (nre. de cartes)

Probabilitat d’un rei o un as: 840

EXEMPLE

70 xiquets65 xiquetes20 xics joves15 xiques joves30 dones 15 homes

ESPECTADORS

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 29 13/03/2015 13:01:10

UNITAT 12

4 • P (almenys una cara) 5 7/8 P (dues creus) 5 3/8 És més probable almenys una cara.

• P (guanye Pere) 5 6/20 P (guanye Bru) 5 5/20 No és un joc just. P (guanyen els dos) 5 1/20 P (no guanye ningú) 5 10/20

• 135/215 110/215 200/215 180/215 45/215 165/215

Saber mésP (un 2) 5 4/6

P (un número parell) 5 4/6

P (un 1 o un 2) 5 5/6

RaonamentÉs possible perquè hi ha 8 persones que tenen gos, 6 persones que tenen gat i 2 persones que tenen gos i gat.

Notes

Altres activitats

• Introduïuenunacaixaquatretargetesdecartolinaambelsnúmeros 1,2,3i4,respectivament,imostreu-lesalsalumnes.Expliqueuquejugaran atraure,sensemirar,duestargetesdelacaixaalhora,iplantegeulespreguntessegüents,oaltresdesimilars,perarespondre-hiraonadament deformacol·lectiva:

– Quins són els resultats possibles d’aquest joc? Quants n’hi ha?

– Quina probabilitat hi ha que els números de les dues targetes que s’agafen siguen el 3 i el 4?

– Iqueenunadelestargetesestigal’1?

35

190

En un banc d’aliments han recollit 2.500 kg de menjar. Un percentatge l’han aportat supermercats, però la major quantitat ha sigut aportada per ciutadans. Quants quilos de menjar han aportat els supermercats?

El problema té moltes solucions possibles. Pots donar un valor al percentatge aportat pels ciutadans. Fixa’t bé que ha de ser major que el percentatge aportat pels supermercats, és a dir, ha de ser major del 50 %. Amb aquest valor calcula després la solució.

Percentatge aportat pels ciutadans: 80 %.

80 % de 2.500 5 2.000

2.500 2 2.000 5 500

Solució: Els supermercats han aportat 500 kg.

Dóna tu un altre valor al percentatge dels ciutadans i calcula la solució nova.

Determinar diverses solucions a un problema

Solució de problemes

Troba dues solucions per a cada problema.

1 En una ruta de senderisme van participar 120 persones. Un cinqué eren majors, i de la resta de persones hi havia més adults que xiquets. Quants adults més que xiquets hi va haver?

2 Miquel tenia 250 €. Gastà un 60 % per comprar una cafetera i una batedora, i la resta de diners els va usar per a comprar una bicicleta. Quant gastà en la cafetera menys que en la bicicleta?

3 Laura és major que el seu germà Raül. D’ací a 5 anys, les edats dels dos sumaran 37 anys. Quants anys és major Laura que Raül?

4 Els dos terços de les fotos fetes per Marisa eren d’animals i la resta, de plantes. De les fotos d’animals, la majoria eren fotos d’aus i la resta, d’amfibis. Si Marisa va fer 120 fotos, quantes fotos d’aus més que de plantes va fer?

5 Una pàgina web va tindre 5.000 visites. Menys de la meitat van ser d’Europa, un 20 % més van ser d’Amèrica i la resta, d’Àsia. Quantes visites va tindre d’Amèrica més que d’Àsia?

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 30 13/03/2015 13:01:12

Propòsits • Obtindrediferentssolucionsd’unproblemavariant-nelesdades.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Treballeuelproblemaresoltassenyalantquelasoluciódel problemavariaràenfunciódelvalorquedonemal percentatgeaportatpelsciutadans.Mostreulanecessitatquelesdadesques’inventenverifiquenlescondicionsdel resultatitinguensentitenlasituaciódelproblema.Crideul’atenciósobrelaimportànciade comprovarquelasolucióobtingudatésentit.

Activitats• Percentatgeaportatpelsciutadans:70%.70%de2.50051.7502.5002 1.7505750Elssupermercatshanaportat750kg.

1 R.L.Comenteuencomúdiversesdelespropostesdelsalumnesvalorant-nelacorrecció.

2 R.L.

3 R.L.

4 R.L.

5 R.L.

Notes

Altres activitats

• Demaneualsalumnesqueformengrupsreduïtsiproposenproblemessimilarsalstreballatsenlespàgines190i191.Digueu-losquecomproven,abansdepassar-losalscompanys,queéspossibleresoldre’ls.Realitzeuunaposadaencomúambalguns,verificantlacorrecciódelsplantejamentsi,enelcasdelsdiagramesd’arbre,quepodenresoldre’sutilitzantaquestatècnica.

36

Resol aquests problemes fent un diagrama d’arbre.

1 Quants camins diferents es poden seguir per a anar des del punt A fins al punt E?

2 Sole ha anat a comprar. Dubta entre les possibilitats següents: comprar una falda o un pantaló. Si tria la falda, pot ser blava o verda. Si tria el pantaló, pot ser curt o llarg. Hi ha pantalons curts blaus i rosa, i pantalons llargs blancs, blaus i verds. Quantes peces diferents pot comprar Sole?

3 Marc té dos calaixos en l’escriptori. Al primer hi ha 4 retoladors rojos i 3 de blaus. Al segon n’hi ha 3 de rojos, 2 de blaus i 5 de verds. Si tria a l’atzar un retolador de cada calaix, quina probabilitat hi ha que no n’hi haja cap de blau?

4 INVENTA. Escriu un problema similar als d’aquesta pàgina que es resolga més fàcilment fent un diagrama d’arbre.

191

12

Resol aquests problemes fent un diagrama d’arbre.

1 Quants camins diferents es poden seguir per a anar des del punt A fins al punt E?

2 Sole ha anat a comprar. Dubta entre les possibilitats següents: comprar una falda o un pantaló. Si tria la falda, pot ser blava o verda. Si tria el pantaló, pot ser curt o llarg. Hi ha pantalons curts blaus i rosa, i pantalons llargs blancs, blaus i verds. Quantes peces diferents pot comprar Sole?

3 Marc té dos calaixos en l’escriptori. Al primer hi ha 4 retoladors rojos i 3 de blaus. Al segon n’hi ha 3 de rojos, 2 de blaus i 5 de verds. Si tria a l’atzar un retolador de cada calaix, quina probabilitat hi ha que no n’hi haja cap de blau?

4 INVENTA. Escriu un problema similar als d’aquesta pàgina que es resolga més fàcilment fent un diagrama d’arbre.

Quants camins diferents es poden seguir per a anar des del poble A fins a G sense passar dues vegades pel mateix poble?

Per resoldre el problema, realitza un diagrama d’arbre, completant per ordre tots els camins possibles.

Des d’un poble, escriu el poble o els pobles als quals es pot anar. No oblides cap camí.

Des del punt A es pot anar fins a B; des de B fins a D i després fins a G, o bé fins a E i després fins a G.

Des del punt A es pot anar fins al punt C i després fins a G, o bé fins a C i després fins a F i G.

Solució:

Hi ha 4 camins possibles: ABDG, ABEG, ACG i ACFG.

Fer un diagrama d’arbre

Solució de problemes

A

B

C

D

G

G

G

G

E

F

A

C

BD

G

F

E

AC

B D

E

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 31 13/03/2015 13:01:13

UNITAT 12

Propòsits • Resoldreproblemesfentundiagramad’arbre.

Suggeriments didàcticsPer a explicar. Comenteuelproblemaresolt,mostrantlautilitatdeldiagramad’arbreperanooblidarcappossibleresultat.Indiqueu-nelautilitatenelsproblemesdeprobabilitat,peraobtindretotselsesdevenimentspossibles,itreballeuencomúl’activitat2,realitzanteldiagramad’arbreassociat.

Activitats1 Hiha4caminsdiferents:

ABDE,ABDCE,ACE,ACDE.

2 Potcomprar7pecesdiferents:faldablava,faldaverda,pantalócurtblau,pantalócurtrosa,pantalóllargblanc,pantalóllargblau,pantalóllargverd.

3 Hiha12casosroig-roig,8casosroig-blau,20casosroig-verd,9casosblau-roig,6casosblau-blaui15casosblau-verd.P(capblau)532/70

4 R.L.

Notes

Competències

• Iniciativa i actitud emprenedora.Al’horaqueelsalumnesplantegenactivitatssimilarsalestreballadesenlespàginesdesoluciódeproblemes,animeu-losautilitzarsituacionsrealsicreatives,estimulantenellslainiciativailacapacitatd’emprendre,iresoleu-nealgunesencomúambtotalaclasse.

Intel·ligència

intrapersonal

37

192

ACTIVITATS

1 Classifica cada variable estadística en quantitativa o qualitativa.

Nombre de cromos d’una col·lecció.

Edat.

Sexe.

Localitat on viu.

Nombre d’alumnes d’una classe.

Gelats venuts en una parada un dia.

Mes d’aniversaris.

Alçada en centímetres.

2 Completa la taula de freqüències en el quadern i contesta.

Juli ha preguntat als amics quin és el seu color preferit i han contestat: 6 el roig, 5 el blau, 3 el verd, 4 el negre, 4 el rosa i 1 el taronja.

Color

Freqüència absoluta

Freqüència relativa

Quina és la suma de les freqüències absolutes? A quants amics ha preguntat Juli?

Quina és la suma de les freqüències relatives?

3 Fes un recompte i construeix la taula de freqüències.

Ester ha anotat la talla de les camisetes que ha venut hui a la seua botiga:

10 8 6 12 14 6 14 8

12 10 12 8 12 12 10 8

4 VOCABULARI. Explica com es calcula cada mesura estadística i posa’n un exemple amb aquest grup de números.

5 7 8 6 5 6 10 12 5 6

5 Calcula la mitjana, la mediana, la moda i el rang d’aquests grups de números.

6, 9, 7, 4, 9

10, 12, 20, 16, 12, 20

13, 10, 15, 10, 15, 13, 15

12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8

5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10, 2

6 Observa la taula i calcula.

En una classe d’infantil hi ha diversos puzles de diferent nombre de peces.

Nre. de peces del puzle

4 6 9 12

Freqüència absoluta

1 7 10 2

Quants puzles hi ha a la classe?

Quina és la mitjana del nombre de peces dels puzles? I la moda?

Quants puzles hi ha amb menys peces que la mitjana? I amb més peces?

7 Pensa i contesta.

Pot ser la mitjana d’un grup de números un número diferent de tots?

En un grup de tres números, ha de ser la mediana un d’aquests? I en un grup de quatre números?

Pot tindre un grup de cinc números tres modes? I dues modes?

8 Calcula cada probabilitat.

Es tria a l’atzar un número de l’1 al 30.

És un número parell.

Té dues xifres.

És senar i major que 25.

Té dues xifres que sumen 5.

No és parell ni múltiple de 3.

Mitjana Moda MedianaRang

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 32 13/03/2015 13:01:15

Propòsits• Repassarelscontingutsbàsicsdelaunitat.

• Aplicarlesmatemàtiquesendiferentscontextos.

Activitats1 • Quantitativa.

• Quantitativa.

• Qualitativa.

• Qualitativa.

• Quantitativa.

• Quantitativa.

• Qualitativa.

• Quantitativa.

2 Freq.abs.:6,5,3,4,4,1.Freq.rel.:6/23,5/23,3/23,4/23,4/23,1/23.

• Lasumaés23.Vapreguntara23amics.

• Lasumaés1.

3 Dada F. abs. F. rel.

6 2 2/16

8 4 4/16

10 3 3/16

12 5 5/16

14 2 2/16

4 R.L. Mitjana57.Modes55i6Mediana56.Rang57

5 • Mitjana57.Moda59Mediana57.Rang55

• Mitjana515.Modes512i20Mediana514.Rang510

• Mitjana513.Moda515Mediana513.Rang55

• Mitjana510.Modes58i12Mediana510.Rang54

• Mitjana56.Modes54,5i9Mediana55.Rang58

6 • Hiha20puzles.

• Mitjana58peces.Moda59peces.

• Hiha8puzlesambmenyspecesquelamitjanai12puzlesambmés.

Altres activitats

• Proposeualsalumnesactivitatsd’investigacióambquèpuguentreballarlesvariacionsenelsvalorsdelesmesuresestadístiquesenfunciódelespossiblesvariacionsquehihajaenlesdades.Perexemple:

– Escriviuquatrenúmerosicalculeu-nelamitjana.Sumeuelnúmeroquevulgueuacadaundelsquatrenúmerosicalculeulamitjanadelsnúmerosresultants.Quinarelacióhihaentrelaprimeramitjanailasegona?

– Escriviusisnúmerosicalculeu-nelamitjana.Multipliqueuelsnúmerosper2icalculeulamitjanadelsnúmerosresultants.Quinarelacióhihaentrelesmitjanes?Quèocorresienllocdelesmitjanesencalculemelsrangs?

38

11 Pensa i resol.

Elsa participa en un torneig de sis partits de tenis. Ha jugat ja cinc partits, amb les duracions següents:

Quina és la mitjana de les duracions en minuts dels cinc partits jugats? És més o menys d’1 hora? Quina és la mediana i el rang d’aquestes duracions?

Quants minuts ha de durar el sisé partit?

– Perquè la mitjana siga 1 hora. – Perquè la mitjana siga 59 minuts.

– Perquè la moda siga 46 minuts. – Perquè el rang siga 38.

193

12

9 Pensa i contesta.

Els pesos en quilos de les motxilles que porten un grup d’amics són:

Pes en quilos 4 5 6 7

Freqüència absoluta 1 3 2 1

– Quant pesa la motxilla més pesant? I la més lleugera?

– Quin és el rang dels pesos?

– Quantes motxilles porten? Escriu els pesos ordenats de major a menor. Quina és la mediana?

L’edat de cinc cosins és 8, 9, 3, 4 i 6 anys. Quina és l’edat mitjana? Quina serà l’edat mitjana dels 5 cosins d’ací a dos anys? Quina relació hi ha entre les dues mitjanes?

10 Resol.

En una floristeria venen 10 cossiols amb flors a aquests preus en euros:

15 18 20 15 14

18 15 12 18 15

Troba la mitjana, la moda, la mediana i el rang dels preus.

En una bossa hi ha 10 targetes verdes i 5 targetes roges. Es van traent targetes de la bossa a l’atzar i no s’hi tornen a ficar. Calcula la probabilitat que:

– La primera targeta siga verda.

– Si la primera ha sigut verda, la segona també ho siga.

– Si les tres primeres han sigut roges, la quarta siga verda.

11 Pensa i resol.

Elsa participa en un torneig de sis partits de tenis. Ha jugat ja cinc partits, amb les duracions següents:

Quina és la mitjana de les duracions en minuts dels cinc partits jugats? És més o menys d’1 hora? Quina és la mediana i el rang d’aquestes duracions?

Quants minuts ha de durar el sisé partit?

– Perquè la mitjana siga 1 hora. – Perquè la mitjana siga 59 minuts.

– Perquè la moda siga 46 minuts. – Perquè el rang siga 38.

12 La mitjana de cinc números és 6. Quin número cal afegir-los perquè la mitjana dels sis números siga 8?

13 Lorena té en un calaix 6 calcetins rojos i 8 de blaus. Quants n’ha de traure sense mirar per a estar segura de tindre’n dos del mateix color?

Demostra el teu talent

Problemes

1r partit 46 minuts

2n partit 58 minuts

3r partit 1 hora i 5 minuts

4t partit 42 minuts

5é partit 1 hora i 14 minuts

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 33 13/03/2015 13:01:16

UNITAT 12

7 • Sí; per exemple, el conjunt 1, 4, 10 té com a mitjana 5.

• Enungrupde3númerossí, enunde4númerosno.

• Nopottindre3modes,jaque3

3 2 5 6 .5,peròsí 2modes;perexemple,elconjunt1,2,2,3,3té comamodes2i3.

8 • 15/30

• 21/30

• 2/30

• 18/30

• 10/30

9 • Méspesant:7kg. Méslleugera:4kg. Rang53kg Porten7motxilles. Lamedianaés5kg.

• Mitjana56anys Mitjanaen2anys58anys Lamitjanaaugmentaen2anys respectedelamitjanaanterior.

10 • Mitjana516€.Moda5 15 € Mediana515€.Rang58€

• P(primeraverda)510/15 P(segonaverda)59/14 P(quartaverda)510/12

11 • Mitjana557minuts Ésmenysd’1hora. Mediana558minuts Rang532minuts

• Mitjana1hF75min Moda46minF 46 min Mitjana59minF 69 min Rang38minF36min

Demostra el teu talent12 Lasumaés:5 3 6 530.

Silamitjanadelssisés8, lasumahadeser:63 8 548. Pertant,aquestnúmerohadeser:48230518.

13 Sientrausetéssegurqueentindràdosdelmateixcolor.

Notes

Competències

• Competència social i cívica.Elcontextdel’activitat11,untorneigdetenis,facilitarealitzarunaxarradaoundebatambelsalumnessobrediferentsvalorssocialsicívics.Podeucomentaraspectescomlaimportànciadel’esportivitatieljocnetilapràcticaacuradadel’esportd’acordamblesnostrescircumstànciesfísiques,elrespectealesinstal·lacionsesportives inormesdeltorneig,lanecessitatdelapràcticaesportivaperalanostrasalut…

39

194

Realitzar un control de qualitat

Els processos de fabricació industrial estan sotmesos a un control de qualitat.

El control de qualitat consisteix a analitzar, durant totes les etapes de la fabricació, diferents dades que informen si tot funciona com deu.

En molts casos es prenen diversos exemplars dels objectes fabricats i se’n mesura la longitud, el pes, la mida… Si s’hi detecta algun error considerable, es retira aquest lot i es revisa el procés.

1 Calcula i resol.

En una fàbrica de formatges la temperatura de la llet ha d’estar al voltant de 39 ºC. Prenen la temperatura dels depòsits cada cinc minuts. Si la mitjana de les temperatures en aquest temps s’aparta més de mig grau dels 39 ºC, la llet del depòsit es rebutja.

Analitza si aquests depòsits han de ser rebutjats:

A la planta d’envasament de pomes s’analitza el rang dels seus diàmetres. Si en un lot el rang és major que 2 cm, es reclassifiquen les pomes una altra volta.

Estudia quins lots han de reclassificar-se:

Lot 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6Lot 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6Lot 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8

2 TREBALL COOPERATIU. Trieu i proposeu.

Tria amb el company o la companya un producte industrial i proposeu un criteri de control de qualitat basat en estadístiques. Exposeu-lo a la classe amb exemples de lots acceptats i rebutjats.

SABER FER

Depòsit 3 38,5º 39,5º 39º 39,5º 38,5º

Depòsit 1 38º 39º 39º 40º 39º Depòsit 2 40º 39º 40º 40º 41º

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 34 13/03/2015 13:01:21

Propòsits • Desenvoluparlacompetènciamatemàticaresolentproblemesreals.

• Repassarcontingutsclau.

Activitats pàg. 1941 • Depòsit1.Mitjana539ºC

Nohadeserrebutjat.Depòsit2.Mitjana540ºCHadeserrebutjat.Depòsit3.Mitjana539ºCNohadeserrebutjat.

• Lot1.Rang54cmS’hadereclassificar.Lot2.Rang52cmNos’hadereclassificar.Lot3.Rang53cmS’hadereclassificar.

2 R.L.

Activitats pàg. 1951 •   7U.demilió18CM1

19DM15D14USetmilionshuit-centsnorantamilcinquanta-quatre. 

    •   3D.demilió14U.demilió11 5CM12UM16UTrenta-quatremilionscinc-centsdosmilsis.

    •   2C.demilió1 1D.demilió11 6U.demilió18DM113UM19C12DDos-centssetzemilionshuitanta-tresmilnou-centsvint.

    •   6C.demilió14U.demilió11 7CM14D11USis-centsquatremilionsset-centsmilquaranta-u.

2 •  128

• 243

• 10.000

•  7

• 8, 75,9

3 •  35

•  60

•  2

•  5

4 • 85

    • 2012

    •  6,15

•  10,102

•  0,7

    •  0,009

   

Desenvolupament de la competència matemàtica

• L’aplicaciódelesmatemàtiquesauncontextrealdelmóndelaindústriapermeteldesenvolupamentadequatd’aquestacompetència.Assenyaleul’aplicaciódel’estadísticaencontextosrealscomelmostrat.Al’horadelarealitzaciódeltreballcooperatiu,demaneualsalumnesqueplanifiquenambcuraelprocésqueseguiranitractendeproposarsituacionsreals(investigantcontextosenelsqualsesdugaatermeelcontrol).Demaneu-losquesiguenclarsal’horad’exposarelcriterideseleccióielscàlculsrealitzatsambelsdiferentslotsomostres.

Intel·ligència

interpersonal

40

195

REPÀS ACUMULATIU

1 Descompon cada número i escriu com es llig.

7.890.054 216.083.920

34.502.006 604.700.041

2 Calcula.

27 35 104 • 49 •75

3 Calcula.

MCM (5 i 7) MCD (8 i 10)

MCM (10 i 12) MCD (15 i 20)

4 Escriu amb xifres.

Cinc huitens Set dècimes

Dotze vintens Nou mil·lèsimes

Sis unitats i quinze centèsimes

Deu unitats i cent dos mil·lèsimes

5 Calcula.

712

1 4

15

89

2 5

18

34

3 67

9

10 :

26

6 Calcula.

8,54 3 26 9,12 : 8

73 3 9,06 345 : 4,6

35,7 3 8,5 61,36 : 5,9

7 Calcula.

3,5 3 (25,7 2 8,46)

21,95 1 9,01 : 5,3

702 : 6,5 2 14,93 3 0,8

8 Completa en el quadern les igualtats següents.

0,6 dam2 5 … m2 9,23 m3 5 … dm3

5 dm2 5 … mm2 48 dm3 5 … cm3

2.470 cm2 5 … m2 150 dm3 5 … m3

9 Calcula.

L’àrea i el volum d’un cub de 12 cm d’aresta.

L’àrea i el volum d’un cilindre de radi 10 cm i altura 20 cm.

12 Un televisor que costava 400 € incrementà el seu preu un 10 %. Després, el nou preu es va reduir un 10 %. Quant costava el televisor al final? És cert que el preu final era un 99 % de l’inicial?

13 En un laboratori han rebut 4 bosses de 2 hg i 5 dag d’un compost. En necessiten 0,7 kg i 20 g per a un experiment. Quants mil·ligrams de compost els sobraran després de l’experiment?

14 En un mapa la distància entre dues ciutats és 8,5 cm. L’escala del mapa és 1 : 400.000. Quina distància les separa en la realitat? Dues ciutats separades 800 km, a quina distància estaran en el mapa?

10 En una piscina de boles hi ha deu mil boles. Cada una té 8 cm de diàmetre. Quin volum tenen en total? Quina àrea de plàstic s’ha usat per a fabricar-les?

11 Jaume pagà en una botiga 7,65 € per 4,5 kg de creïlles i 10,72 € per 8 kg de cebes. Quant hauria pagat en total per 10 kg de creïlles i 9 kg de cebes?

Problemes

12

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 35 13/03/2015 13:01:23

UNITAT 12

5 6051

1811

149

1027

6 •  222,04

•  661,38

•  303,45

•  1,14

•  75

•  10,4

7 •  60,34

•  23,65

•  96,056

8 60 m2

50.000 mm2

0,247 m2

9.230 dm3

48.000 cm3

0,15 m3

9 • A 5 6 3 (12 cm)2 5 864 cm2 V 5 (12 cm)3 5 1.728 cm3

• A 5 2 3 p 3 (10 cm)2 1 1 2 3 p 3 10 cm 3 20 cm 5 5 1.884 cm2

V 5 p 3 (10 cm)2 3 20 cm 5 5 6.280 cm3

10 VBOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)3 : 3 5 5 267,94 cm3 V 5 267,94 cm3 3 10.000 5 5 2.679.400 cm3 ABOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)2 5 5 200,96 cm2 A 5 200,96 cm2 3 10.000 5 5 2.009.600 cm2

11 7,65 : 4,5 5 1,7 10,72 : 8 5 1,34 10 3 1,7 3 9 3 1,34 5 29,06 Hauria pagat 29,06 €.

12 400 3 1,1 5 440 440 3 0,9 5 396 Costava 396 €. És cert, era un 99 %.

13 4 3 250 g 5 1.000 g 0,7 kg i 20 g 5 720 g 1.000 g 2 720 g 5 280 g Els en sobraran 280.000 mg.

14 1 cm 5 4 km 8,5 3 4 5 34 Les separen 34 km. 800 : 4 5 200 Estaran a 200 cm de distància.

Notes

Repàs en comú

• Proposeualsalumnesquepreparenhuitqüestionsrelacionadesamb elscontingutsestudiatsenaquestaunitatilesrespostescorresponents.Demaneu-losquecadaunformulelespreguntesquehapreparatauncompanyperquèaquestlesresolga;desprésquelidigasilesrespostes sóncorrectes,iquelin’expliquelaresolucióencasd’existirdificultats osilacontestacióéserrònia.Exposeu-nealgunesalaclasseiaprofiteu peraaclarirelspossiblesdubtesquehihaja.

41

196

1 Observa el gràfic anterior. Després, contesta.

Quins plats van ser els preferits al setembre i l’octubre? Per què creus que va passar així?

Joan, el cambrer, comentà que la gent que va triar pasta va anar augmentant des d’agost fins a octubre. Tenia raó segons el gràfic?

Maria, la caixera, creia que a partir de setembre seria millor no servir ensalada fins a l’arribada de l’estiu. Creus que tenia raó? Per què?

2 Raona i contesta.

Al restaurant han de fer la compra enguany per als mesos d’agost, setembre i octubre. Han anotat aquestes decisions. Creus que tenen raó a partir de la informació de l’any passat?

Comprar la mateixa quantitat de verdures per a ensalada els tres mesos.

Comprar la mateixa quantitat de pasta per a agost que per a octubre.

Anar augmentant la quantitat d’ingredients per a guisats a mesura que avance la tardor.

Incloure gaspatxo en el menú a partir de setembre.

Tractament de la informació

Analitzar gràfics de barres

En el gràfic es representa el nombre de persones que van demanar cada tipus de primer plat al restaurant Nyam-nyam en tres mesos de l’any passat.

Fixa’t que a l’agost més gent va preferir els plats frescos (ensalades) als plats més calents.

Agost

Setembre

Octubre

0 200 30010050

Ensalada GuisatPasta

Mes

Nre. de persones

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 36 13/03/2015 13:01:28

Propòsits • Analitzarcríticamentgràficsde barres.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Recordeuambelsalumneslescaracterístiquesmésimportantsdelsgràficsdebarres.Mostreu-nelautilitatperasintetitzarinformacióiassenyaleuqueenaquestapàginatreballaremtantla interpretació(analitzantlacorrecciódediferentsafirmacions),comlapresadedecisionsapartirdelainformacióqueaportenelsgràfics.

Activitats1 • Guisat.

Probablementperquèeltempseramésfred.

• Novaaugmentartoteltemps,d’agostasetembrevadisminuir.

• Llevarl’ensaladanoésconvenient,jaquefinsitotal’octubre50personeslavan demanar.

2 • Incorrecta,alsetembreil’octubrehauriendecomprar-nemenys.

• Incorrecta,hihaunavariaciógranenelnombredeclientsquelademanen,encaraquecomquela pastanoesfamalbépodrienaprofitar-la.

• Correcta,elnombredeclientsquedemanaguisatvaaugmentant.

• Incorrecta,elnombrede clientsquedemanaplatsfrescosdisminueixapartirde l’agost.

Notes

Altres activitats

• Prepareudiferentsgràficsdebarres,utilitzantalguntipusdeprogramainformàticoagafant-nedediferentsfonts(diaris,Internet…).Entregueu-losalsalumnesiproposeu-losquefacenunaanàlisisimilaralaquehanrealitzatenaquestapàgina,tantenunciantfrasescorrectescomprenentdecisionsperalfutursobrelabasedelesdadesaportadespelgràfic.

42

UNITAT 12

197

12

1 Observa la gràfica anterior i contesta.

Què ha passat amb el reciclatge de vidre a Valldellum en aquests mesos? I amb el reciclatge a Solana?

Quin mes va començar a reciclar-se més a Solana que a Valldellum?

L’ajuntament pensa portar alguns contenidors de vidre des de Solana a Valldellum. Creus que fa bé? Per què?

2 Fixa’t en la gràfica, llig el text i contesta.

Qui va estalviar més al maig que al gener?

Laura, ha anat estalviant més de mes en mes? I Sara?

Qui creus que ha de fer un esforç per a complir el seu propòsit?

A l’ajuntament estudien les dades de reciclatge a la ciutat. La gràfica mostra els quilos de vidre reciclats en dos barris en diversos mesos.

Fixa’t que d’agost a setembre va augmentar el nombre de quilos de vidre reciclats als dos barris.

Analitzar gràfiques lineals

Laura Sara

180

140

100

60

20

gen. maigabr.marçfebr.

Din

ers

esta

lvia

ts (

€)

4.000

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

500

0ag. des.nov.oct.set.

Valldellum Solana

3.5003.700

3.4003.200 3.400

2.6002.800 2.900 2.900

2.700

No

mb

re d

e q

uilo

s

Mes

Mes

Dues amigues, Laura i Sara, s’han proposat estalviar cada vegada més. En la gràfica han representat els diners que han estalviat cada mes.

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 37 13/03/2015 13:01:30

UNITAT 12

Propòsits • Analitzarcríticamentgràfiqueslineals.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Recordeuambelsalumnescoms’interpretavenlesgràfiqueslineals.Mostreu-nelautilitatperaposardemanifestl’evolucióde variablesalllargdeltemps,itreballeulainterpretaciódelagràficaoferidaenlapàginaambelsalumnes.

Activitats1 • AValldellumhadisminuïtla

quantitatdevidrereciclat,mentrequeaSolanahaaugmentat.

• AlnovembreSolanavacomençara reciclarmés queValldellum.

• R.M.Seriabomotivar elsveïnsdeValldellumareciclar,peròdur-himéscontenidorspotsernoésel millor.Amés,retirarcontenidorsdeSolanapotdisminuirlaprogressióquehiestàhaventenelreciclatge.

2 • Saravaestalviarmésalmaig quealgener,iLauratambé.

• Lauravacomençarestalviantmés,peròalmarçvabaixar elseuestalvii esvamantindreconstantdesdellavorsfins almaig. Saravacomençardisminuint elseuestalvialfebrer,peròdesdellavorsfinsalmaigelvaanaraugmentant.

• Laurahad’esforçar-semés.Sarasíqueestàestalviantmés demesenmes.

Notes

Altres activitats

• PodeuutilitzarlesgràfiqueslinealspresentadesenTractamentdelainformaciódelesunitats2i4delllibreperarealitzarambelsalumnesactivitatssimilarsalespresentadesenaquestapàgina.Demaneu-losqueelaborenconclusionscorrectesapartird’aquestesgràfiquesiquelesanalitzendeformacrítica.

43

198

1 Observa el pictograma de dalt i contesta.

Quants enviaments van repartir en 2014 i 2015?

El nombre d’enviaments, va créixer o va disminuir entre aquests anys?

A l’empresa de missatgeria han decidit comprar més furgonetes per a repartir. Per què penses que ho han fet?

2 Fixa’t en el pictograma, llig el text i contesta.

En el gràfic tens les empanades venudes en una botiga els últims dies segons la mida (grans, 8 persones; xicotetes, 4 persones).

En analitzar el pictograma, a la botiga han pres aquestes decisions. Indica si et semblen correctes o no i per què.

Els dimecres i dijous faran les mateixes empanades de cada tipus.

El dia que més empanades grans faran serà dissabte.

Faran sempre 3 empanades xicotetes.

Cap dia faran menys de 2 empanades grans.

Faran sempre 3 empanades grans.

En el pictograma s’han representat els enviaments repartits per una empresa de missatgeria els últims anys.

Fixa’t que en 2012 repartiren 2.500 enviaments, i en 2013 repartiren 1.000 enviaments més.

Tractament de la informació

Analitzar pictogrames

8 persones 4 persones

dc. ds.dv.dj.

Any

Dia

20132012 20152014

500 enviaments1.000 enviaments

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 38 13/03/2015 13:01:31

Analitzar pictogramesPropòsits • Analitzarcríticamentpictogrames.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteuambelsalumneselpictogramapresentat,recordantquecadasímboltéunvalorique,peraobtindreelvalortotalencadames,calrealitzaruncàlcul.Indiqueulessimilitudsidiferènciesambelsgràficsdebarres.

Activitats1 •   2014F5.000enviaments

2015F5.500enviaments

    •   Elnombred’enviamentsvacréixerd’anyenany.

    •   Perquèespensenqueelspròximsanysaugmentaràel nombred’enviamentsi necessitaranmésmitjanspera repartir.

2 R.M.

• Correcta,elnombred’empanadesdecadatipusés moltsimilar.

• Correcta,eldiaenquèmésempanadesgransvenenés dissabte.

• Incorrecta,potserquehihajadiesenquèelsensobrealguna.

• Correcta,totselsdiesenvenen2omés.

• Incorrecta,hihadiesquevenenmenysde3empanades.

NotesAltres activitats

• Agrupeuelsalumnesdedosendosidemaneu-losqueinventenidibuixenunpictogramasimilaralstreballatsenaquestapàgina.Assenyaleuquetotselspictogrameshand’inclourelallegendaiestarcorrectamentretolats.Després,demaneu-losqueredactenafirmacionssobreelpictogramaidecisionsapartird’aquest(correctesiincorrectes).Méstard,digueu-losquese’lsintercanvieniquecadaparelladetectelesafirmacionsidecisionsincorrectesdelgràficqueharebut.

44

UNITAT 12

199

12

1 Observa l’histograma anterior i contesta.

A l’empresa usen unes capses per a enviaments que pesen entre 100 g i 500 g. Quantes capses d’aquest tipus van utilitzar ahir?

L’encarregat diu que hi va haver més enviaments de més de 200 g que enviaments de menys pes. Té raó?

El pes total dels enviaments de menys de 200 g, va poder superar els 6 kg? Per què?

2 Observa l’histograma, raona i contesta.

Un científic ha elaborat un histograma amb el nombre de fruits en un tipus de planta. Raona si cada enunciat és cert o no.

El més comú és que la planta tinga entre 5 i 8 fruits.

El menys comú és que tinga menys de 5 fruits.

Hi ha més plantes amb menys de 8 fruits que amb més de 8.

L’histograma mostra els enviaments lliurats ahir per la missatgeria classificats segons els pesos.

Fixa’t que només 12 enviaments van pesar 500 o més grams. El grup més nombrós va ser el dels enviaments que pesaven menys de 100 grams.

Analitzar histogrames

21

18

15

12

9

6

3

0Menys de 100

De 200 a 500

De 100 a 200

Més de 1.000

De 500 a 1.000

No

mb

re d

’en

viam

ents

Pes en grams

280

240

200

160

120

80

40

0

D’1 a 5

De 8 a 10

De 5 a 8

Més de 15

De 10 a 15

No

mb

re d

e p

lan

tes

Nombre de fruits

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 39 13/03/2015 13:01:33

Propòsits • Analitzarcríticamenthistogrames.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Recordeuamblaclasselescaracterístiquesdelshistogrames:laseuadivisióenintervalsdelavariableicomelvalorsuperiordecadaintervalnos’hiinclou,sinóenl’intervalsegüent.Comenteul’histogramadel’exempleifeualgunespreguntesperassegurar-vosqueelsalumnesrecordencoms’hitreballava.

Activitats1 •  Vanutilitzar33capses.

    •   Notéraó,hivahaver39enviamentsmenorsde200gi27enviamentsde200gomés.

    •   Esvanfer39enviaments;si,perexemple,totserende pesmajorque154g,llavorselpestotalvapodersuperarels6kg.

2 •   Certa,ésl’intervalambmajornombredeplantes.

    •   Falsa,elmenyscomúésquetinga15omésfruits.

    •   Falsa,hiha320plantesambmenysde8fruitsi360plantesamb8fruitsomés.

Notes

Altres activitats

• PodeuutilitzarelshistogramespresentatsenTractamentdelainformaciódelesunitats7i9delllibreperarealitzarambelsalumnesactivitatssimilarsalespresentadesenaquestapàgina.Demaneu-losqueelaborenconclusionscorrectesapartird’aquestshistogramesiqueelsanalitzendeformacrítica.

45

200

1 Observa el gràfic de sectors anterior i contesta.

Quin mitjà de transport és el més utilitzat?

Maria pensa que vénen més empleats amb els seus propis vehicles que amb transport públic. Té raó?

El pròxim mes l’aparcament de l’empresa estarà en obres. Seria una bona idea posar més autobusos de l’empresa? Per què?

2 Observa el gràfic de sectors, raona i contesta.

En una empresa de gelats han donat a tastar quatre sabors nous a 720 persones perquè trien el que més els agrade.

El gràfic mostra els resultats.

Quantes persones més han preferit els sabors de fruita als altres sabors?

Creus que seria una bona idea fer un únic sabor de fruita, mesclant taronja i llima? Per què?

L’empresa ha decidit fabricar només els sabors triats per més de 200 persones. Quins sabors fabricarà?

El gràfic de sectors mostra els mitjans de transport que usen els 1.440 treballadors d’una empresa per a arribar al treball.

Arriben a treballar amb autobús de l’empresa 600 treballadors. És el segon mitjà més utilitzat.

Calcula tu quants treballadors arriben en la resta de mitjans de transport.

Tractament de la informació

Analitzar gràfics de sectors

Autobús d’empresa

Tren i metro

Cotxe

Moto

Taronja

Nata

Llima

Xocolate

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 40 13/03/2015 13:01:35

Analitzar gràfics de sectorsPropòsits • Analitzarcríticamentgràficsde sectors.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Recordeuamblaclasselescaracterístiquesdelsgràficsdesectors,coms’obtél’amplituddecadasectorilapossibilitatquebrindenderealitzarcomparacionsqualitativesdeformaràpida.Realitzeuencomúelcàlculdelstreballadorsquearribenentreni metro,idemaneu-losquefacenellssolslarestadecàlculs.

Activitats•   TrenimetroF80ºF320treballadorsCotxeF150ºF600treballadorsMotoF20ºF80treballadors

1 •  S’utilitzaméselcotxe.

    •   Notéraó,enelsseusvehiclesvénen680treballadorsientransportpúblic(incloent-hil’autobúsd’empresa)760.

• Ésbonaideaperquèelscotxesimotosnopodranaparcari,així,elstreballadorshipodranarribardeformaméssenzilla.

2 TaronjaF120ºF240personesNataF60ºF120personesLlimaF100ºF200personesXocolateF80ºF160persones

    •   Hanpreferit160personesméselssaborsdefruitesqueelsquenosóndefruites.

    •   R.M.Podriaserinteressantexperimentarunnousabor,jaqueelsdefruitaagradenmolt,peròsensedeixardeproduirtaronjaillima.

• Fabricarànoméstaronja.

Altres activitats

• Prepareudiferentsgràficsdesectors,utilitzantalguntipusdeprogramainformàticoagafant-nedediferentsfonts(diaris,Internet…).Entregueu-losalsalumnesiproposeu-losquefacenunaanàlisisimilaralarealitzadaenaquestapàgina,tantenunciantfrasescorrectescomprenentdecisionsperalfutursobrelabasedelesdadesaportadespelgràfic.

46

UNITAT 12

201

12

1 Observa el climograma anterior i copia les oracions que siguen verdaderes.

Només en cinc mesos les precipitacions superaren els 80 mm.

Les temperatures de gener a juny van anar sempre en augment.

Les màximes temperatures coincideixen amb les mínimes precipitacions.

Si en un mes va ploure més de 100 mm, la temperatura mai va superar els 15 ºC.

2 Fixa’t en el gràfic següent i raona si les afirmacions són correctes.

En el gràfic de sectors es mostra el nombre de turistes de l’any passat segons la seua procedència i en els pictogrames, els diners gastats per tots ells.

Els turistes espanyols gastaren 90.000 €.

Hi va haver més turistes estrangers que espanyols.

La mitjana de despesa per persona en els turistes americans va ser de 500 €.

La mitjana de despesa per persona en els turistes espanyols va ser major que la mitjana dels turistes americans.

L’ajuntament ha de fer una campanya per a potenciar el turisme asiàtic, ja que és el que més gasta per persona.

En el climograma es representen les dades de precipitacions i temperatures en una ciutat cada mes de l’any passat. Les precipitacions s’indiquen en el gràfic de barres i les temperatures en la gràfica lineal.

Fixa’t que el mes de juny no va ploure gens i la temperatura va ser de 22 ºC.

Analitzar gràfics mixtos

Turistes a Platjablava

Amèrica1.200

€ €€ €

€ 20.000 € € 10.000 €

€€ €€ €

€€ €

Àsia900

Espanya1.500

400

350

300

250

200

150

100

50

0

28

24

20

16

12

8

4

0gen.

150

14

juny

0

22

maig

25

20

oct.

50

20

abr.

50

18

des.

150

16

set.

25

24

març

100

nov.

100

18

ag.

0

26

febr.

125

15 15

jul.

0

26

Pre

cip

itac

ion

s (m

m)

Tem

per

atu

res

(ºC

)

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 41 13/03/2015 13:01:36

Propòsits • Analitzarcríticamentgràficsmixtos.

Suggeriments didàcticsPer a explicar.Comenteualsalumnesquetambépodemrealitzargràficsmixtos,ésdir,gràficsenquèisqueninformacionsdediferentstipusmesclades.Assenyaleuqueenaquestcashihaunitsungràficdebarresamblesprecipitacionsiunagràficalinealamblestemperatures.Feu-losvorequeperainterpretar-loshemdeconsiderarl’eixverticalpertinent,encaraqueenaquestcashiixentotselsvalorsretolatsperfacilitareltreballdelsalumnes.

Treballeutambéencomúelgràficquehihaenl’activitat2,onesmesclenungràficdesectorsi unpictograma.

Activitats1 Sónverdadereslesoracions

primeraitercera.

2 • Falsa,vangastar80.000€.

• Certa.

• Falsa,vaserde50€.

• Certa.

• Certa.

Notes

Altres activitats

• Demaneualsalumnesquepreparengràficsmixtossimilarsalstreballatsenaquestapàgina(podenfinsitotvariar-neelsvalorssimplement)ipreparenoracionsquesiguencorrectesiincorrectes.Després,digueu-losquese’lsintercanvieniqueanalitzenlesoracionsdelcompany.Feuunaposadaencomúd’aquellscasosenquèsorgisquendiscrepàncies.

47

Repàs final

NÚMEROS

1 Escriu com es llig. 2 Escriu amb xifres.

5.099.204 154

612

Trenta-dos milions dotze mil.

28.902.113 7,95

675.000.870 24,016

903.070.015 305,607

3 Aproxima cada número a l’ordre indicat.

A les centenes de miler: 387.915; 4.678.113 A les unitats: 4,76; 13,292; 309,714

Als milions: 6.600.129; 13.299.999 A les dècimes: 9,28; 37,386; 426,098

4 Compara en el quadern. Col·loca el signe adequat.

35.090.126 35.100.032 54

65

1,86 1,9 23 29

176.234.892 176.240.625 54

65

2,134 2,134 24 11

5 Dibuixa uns eixos cartesians i representa aquests punts.

A (23, 12) B (25, 24) C (11, 13) D (1 2, 25) E (23, 0) F (0, 15)

6 Ordena cada grup de números de menor a major.

OPERACIONS

7 Calcula.

78.999 1 16.741 1.235 3 349 65.117 : 704

84.006 2 9.878 6.127 3 890 86.450 : 934

9 3 (5 2 4) 20 : 5 2 (8 2 4) 12 : 6 1 3 3 5

18 2 9 : 3 (9 1 6) 3 2 2 13 20 2 2 3 (8 : 2)

8 Calcula aquestes potències i arrels.

74 107 19 • 16 • 100 • 39

85 93 56 • 25 • 49 • 70

202

Quatre-cents milions huit-cents mil u.

Setze dotzens. Huit vintens.

Tres unitats i dotze mil·lèsimes.

148

1,8 125

2 3,4 3 25

165

3310

4,52 451100

4,6 4.5081.000

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 42 13/03/2015 13:01:38

Propòsits • Repassarcontingutsclau.

Números1 • Cincmilionsnoranta-noumil

dos-centsquatre.

• Vint-i-huitmilionsnou-centsdosmilcenttretze.

• Sis-centssetanta-cincmilionshuit-centssetanta.

• Nou-centstresmilionssetantamilquinze.

• Quinzequarts.

• Sisdotzens.

• 7unitatsi95centèsimes.

• 24unitatsi16mil·lèsimes.

• 305unitatsi607mil·lèsimes.

2 • 32.012.000

• 400.800.001

•1216

•208

• 3,012

3 • 400.000;4.700.000

• 7.000.000;13.000.000

• 5;13;310

• 9,3;37,4;426,1

4 • ,

• ,

• .

• .

• ,

• 5

• .

• ,

5

6 •8

14,1,8,2,

512

•5

16,

1033

,3,45352

•..

1 0004 508

,100451

,4,52,4,6

A

E

B

F

C

D

48

UNITAT 12

9 Calcula.

Tres múltiples de 9. MCM (8 i 20) MCM (6, 10 i 5)

Tots els divisors de 24. MCD (10 i 9) MCD (20, 12 i 16)

10 Opera amb fraccions.

47

1 29

154

2 86

52

3 37

113

: 46

212

2 54

: 23

611

1 2 308

2 3 95

3 2 215

: 2 203

2 ( 38

: 4) 3 25

11 Calcula.

3,099 1 2,76 28,2 : 3 3,8 3 1,9 2 2 : 0,4 1 2

7,8 2 2,195 185 : 2,5 1,8 : (8,468 2 3,2 3 2,64)

4,76 3 2,94 10,927 : 4,9 8,9 3 1,023 2 11,78 : 6,2

12 Divideix per obtindre en el quocient les xifres decimals indicades.

2 xifres 27,13 : 9,2 85,4 : 17,6 3 xifres 3,45 : 0,127 19,4 : 2,6

MESURA

13 Completa en el quadern cada canvi d’unitat.

14 Ordena cada grup de mesures de major a menor.

9.084 cm 0,0087 km 9 m 910 dm

2,6 dal 0,27 hl 256 ℓ 2.600 dl 25.800 cl

890.000 mg 88 kg 871 hg 91 dag

30.000 s 4 h i 7 min 210 min 4 h i 500 s

0,09 ha 1.100 m2 1.300.000 cm2 12 dam2

475 ℓ 480 dm3 479.000 cm3 481.000 ml

203

0,091 km 5 … dm

135.000 cm 5 … hm

9.700 dm 5 … dam

7.200 s 5 … min 5 … h

4 h i 5 min 5 … s

30.000’’ 5 …º, …’ i …’’

0,12 dal 5 … ml

250.000 cl 5 … kl

1,32 kl 5 … dl

45.000 cm2 5 … m2

0,08 dam2 5 … cm2

3,7 ha 5 … m2

0,075 t 5 … kg

37.000 mg 5 … dag

241.000 dg 5 … kg

30.000 dm3 5 … m3

0,07 m3 5 … kl

4.000.000 cm3 5 … ℓ

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 43 13/03/2015 13:01:43

Operacions7 • 95.740

• 431.015

• 74.128

• 5.453.030

• q592,r5349

• q592,r5522

• 9 • 0 • 17

• 15 • 17 • 12

8 2.401 10.000.000 1

32.768 729 15.625

4 10 6, 39 ,7

5 7 8, 70 ,9

9 • 0,9,18 • 40 • 30

• 1,2,3,4,6,8,12,24

• 1 • 4

10 •6350

•1229

•1415

•211

•8

69

•1128

•43 •

518

•1021

•.240

1 591

11 • 5,859 • 9,4 • 4,22

• 5,605 • 74 • 90

• 13,9944 • 2,23 • 7,2047

12 • q52,94;q54,85

• q527,165;q57,461

Mesura13 • 910dm 13,5hm 97dam

• 1.200ml 2,5kl 13.200dl

• 75kg 3,7dag 24,1kg

• 120min52h 14.700s 8°209

• 4,5m2 80.000cm2 37.000m2

• 30m3 0,07kl 4.000ℓ

14 • 910dm.9.084cm.9m. .0,0087km

• 2.600dl.25.800cl.256ℓ. .0,27hl.2,6dal

• 88kg.871hg. .91dag.890.000mg

• 30.000s.210min. .4hi500s.4hi7min

• 12dam2 .1.100m2 . .0,09ha.1.300.000cm2

• 481.000ml.480dm3 . .479.000cm3 .475ℓ

49

44

Repàs final

15 Pensa i contesta.

Marc ha dibuixat un plànol a escala 1 : 500. Hi ha traçat una línia de 4 cm. Quants metres mesura aquesta línia en la realitat? Quines dimensions tindrà en aquest plànol una piscina de 30 m de llarg i 10 m d’ample?

En el mapa d’Elionor 1 cm representa 4 km en la realitat. Quina és l’escala numèrica d’aquest mapa? Dibuixa’n l’escala gràfica.

GEOMETRIA

16 Calcula l’àrea d’aquestes figures planes.

Un quadrat de costat 6 cm. Un cercle de diàmetre 24 cm.

Un romboide de base 8 cm i altura 4 cm.

Un triangle de base 15 cm i altura 10 cm.

Un hexàgon regular de costat 9 cm i apotema 7,8 cm.

17 Classifica cada cos geomètric.

18 Calcula l’àrea i el volum de cada cos geomètric.

ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

19 Calcula la mitjana, la mediana, la moda i el rang de cada grup de números.

18, 12, 22, 14, 22, 14 17, 19, 17, 19, 14, 19, 14

13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11 4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3

20 Troba cada probabilitat en triar a l’atzar un número de l’1 al 30.

Que siga senar. Que siga major de 20 i divisor de 10.

Que siga parell i múltiple de 6. Que no siga parell ni múltiple de 3.

204

9 cm 18 cm18 cm

15 cm

9 cm

12 cm

9 cm

20 c

m

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 44 13/03/2015 13:01:44

15 • 1cm55m Lalíniamesura20m. Tindrà6cmdellarg i2cmd’ample.

• 4km5400.000cm L’escalaés1:400.000.

0 4 8 12

Quilòmetres

Geometria16 • A 536cm2 • A 5452,16cm2

• A 532cm2

• A 575cm2

• A 5210,6cm2

17 Prismaquadrangular;octaedre;poliedre;cilindre;piràmidequadrangular;con;esfera.

18 • A 5486cm2;V 5729cm3

• A 5864cm2;V 51.296cm3

• A 55.024cm2; V 533.493,3cm3

Estadística i probabilitat19 •   Mitjana517;mediana516;

moda514i22;rang510

    •   Mitjana513;mediana513; modes511i15;rang54

    •   Mitjana517;mediana517; moda519;rang5 5

     •   Mitjana55;mediana54; modes53,4i8;rang58

20 •  15/30

    •  5/30

•  0

•  10/30

21 •   2/5de8005320 30%de8005240 800232022405240 Hiha240freixes.

    •  N’hivahaver15graus.

    •   527,45:75 75,35 75,35 3 1451.054,9 75,35 3 95678,15 14càmerescostaran1.054,90 €,i9càmeres,678,15 €.

50

UNITAT 12

45

2

21 Resol.

Al parc hi ha 800 arbres. Dos cinquens són xops; un 30 %, pins, i la resta, freixes. Quants freixes hi ha?

Dimarts la temperatura mínima va ser de 23 ºC i la màxima de 12 ºC. Quants graus de diferència va haver-hi entre ambdues?

Un lot de 7 càmeres fotogràfiques iguals costa 527,45 €. Quant costaran 14 càmeres? I 9 càmeres?

Mònica va al perruquer cada 20 dies i Carles, cada 30. Hui han coincidit allí. Quants dies passaran fins que tornen a coincidir?

Al magatzem tenien 5 t i 4 q de taronges. Les envasaren en bosses de 4 kg i mig cada una i cada bossa la van posar a la venda per 2 €. Si van vendre cinc sisens de les bosses, quants diners van obtindre?

Miquel ha apegat 49 fotos quadrades formant un quadrat. Quantes fotos hi ha en cada costat del quadrat?

Sònia comprà 12,5 kg de pomes per 17 € i Pau comprà 10 kg per 14 €. Quin va obtindre un preu més bo per quilo?

El sou d’Alexandre en 2013 era 1.700 € cada mes. En 2014 augmentà un 2 % i en 2015 augmentà un 1 %. Quant cobrava cada mes en 2015? Cobrava un 3 % més que en 2013?

Un examen constava de dues parts. En la primera, Tània va tardar 1 h i 28 min i en la segona va tardar 39 min i 40 s menys que en la primera. Quant tardà en la segona part? I en total?

En una parcel·la de 90.000 m2 es reservaran 6 parcel·les de 40 dam2 cada una per a habitatges i la resta es dividirà en 5 zones verdes. Quants metres tindrà cada zona?

Un depòsit esfèric de 20 m de diàmetre està ple per la meitat de suc. S’envasarà el suc en envasos de 200 ml cada un. Quants envasos es podran omplir?

Marisa ha anotat el nombre de clients que visità cada restaurant les dues setmanes anteriors. Hi va haver 30 visitants 5 dies, 28 visitants 2 dies, 24 visitants 2 dies i 22 visitants 5 dies. Quina va ser la mitjana de clients? I la mediana? I el rang?

205

ES0000000025297 668573-Unidad 12_24215.indd 45 13/03/2015 13:01:45

• MCM (20 i 30) 5 60 Passaran 60 dies.

• 5.400 : 4,5 5 1.200 5/6 de 1.200 5 1.000 1.000 3 2 5 2.000 Van obtindre 2.000 €.

• 49 5 7. Hi ha 7 fotos.

• 17 : 12,5 5 1,36; 14 : 10 51,4 Va obtindre millor preu Sònia.

• 1.700 3 1,02 3 1,01 5 1.751,34 Cada mes cobrava 1.751,34 €. 1.700 3 1,03 5 1.751 Cobrava un 3,02 % més.

• 1 h 28 min 2 39 min 40 s 5 5 48 min 20 s Va tardar 48 min 20 s en la segona part. 1 h 28 min 1 48 min 20 s 5 5 2 h 16 min 20 s Va tardar 2 h 16 min 20 s en total.

• 90.000 2 6 3 4.000 5 66.000 66.000 : 5 5 13.200 Cada zona tindrà 13.200 m2.

• 4 3 p 3 (10 m)3 : 3 5 5 4.186,6 m3 4.186,6 : 2 5 2.093,3 m3 2.093.300 : 0,2 5 10.466.500 Es podran omplir 10.466.500 envasos.

• Mitjana 5 26 visitants Mediana 5 26 visitants Rang 5 8 visitants

Notes

51

SOLUCIONARI

Final d’etapa

Índex

Descobreix les matemàtiques en…

Els números a la Xina ...................................................................... 210

Els números gegants ...................................................................... 211

El sudoku ....................................................................................... 212

Els números perfectes .................................................................... 213

Els quadrats màgics ....................................................................... 214

Les fraccions egípcies .................................................................... 215

Els cercles decimals de Simon Stevin ............................................. 216

Els decimals xinesos ....................................................................... 217

La marató ....................................................................................... 218

El càlcul de les mesures d’un quadre .............................................. 219

Les unitats de mesura especials ..................................................... 220

Els senyals amb pendent ................................................................ 221

Els angles en les estrelles dobles .................................................... 222

El triangle egipci ............................................................................. 223

Els pentòminos ............................................................................... 224

La mida DIN A ................................................................................ 225

La forma dels taulells ...................................................................... 226

El truc d’Arquimedes ...................................................................... 227

Els trencaclosques amb àrees ........................................................ 228

La relació entre àrea, volum i calor .................................................. 229

Les mitjanes enganyoses ................................................................ 230

Les audiències televisives ............................................................... 231

55

Activitats1 12

56

534

790

869

972

2 212

214

245

Notes

Els números a la XinaEls xinesos van utilitzar diferents formes de representar números. Una de les més populars consistia en l’escriptura de pals verticals i horitzontals. Observa com representaven els números de l’1 al 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Verticals

Horitzontals

Per a no confondre els pals que representaven cada xifra amb els de la xifra següent, utilitzaven la notació vertical per a les unitats i les centenes, i l’horitzontal per a les desenes i els milers. D’aquesta manera s’alternaven verticals amb horitzontals. Així escrivien els números 18, 394 i 5.627:

1 8 3 9 4 5 6 2 7

També feien servir dues formes per a escriure els números negatius.

Primera forma. Utilitzaven el color roig per als números positius i el negre per als negatius. Fixa’t en aquests exemples.

Segona forma. Ratllaven l’última xifra dels números negatius, com pots vore en aquest exemple.

9 29

1 Representa amb la notació xinesa de pals horitzontals i verticals aquests números.

2 Representa aquests números enters de les dues formes que has vist en aquesta pàgina.

12 534 86956 790 972

Primera forma ▶ …

Segona forma ▶ …

12

Primera forma ▶ …

Segona forma ▶ …

214

Primera forma ▶ …

Segona forma ▶ …

245

32 232

210

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 50 13/03/2015 13:01:49

56

SOLUCIONARI

Activitats 1 • 3 3 100.000 5300.000

Hiha300.000bacteris.

• 4 3 5.000.000 5 20.000.000 Hiha20milionsdeglòbuls rojos.

• 31.680:2451.320 Enunahoraparpellegem 1.320vegades.

2 • 3CM Tres-centsmil.

• 2D.demilió Vintmilions.

• 1UM13C12D Miltres-centsvint.

3 • R.M.Enunminut, 20respiracions. Enunahora, 1.200respiracions. Enundia, 28.800respiracions. Enunany, 10.512.000respiracions.

• R.M.Enunminut, 70pulsacions. Enunahora, 4.200pulsacions. Enundia, 100.800pulsacions. Enunany, 36.792.000pulsacions.

4 Un1seguitde24zeros.

Notes

Els números gegantsPer a trobar números molt grans, n’hi ha prou amb observar-nos detingudament:

Al cap podem arribar a tindre més de 100.000 pèls.

Una porció de la nostra pell de la mida d’un euro té uns 100.000 bacteris.

En una goteta de sang hi ha uns 5.000.000 de glòbuls rojos.

En un dia podem parpellejar unes 31.680 vegades.

1 Llig i calcula.

Quants bacteris hi ha en una porció de pell equivalent a 3 monedes d’euro?

Quants glòbuls rojos hi ha en 4 gotetes de sang?

Quantes vegades parpellegem en una hora?

2 Descompon i escriu com es llig cada un dels números que has obtingut en l’activitat 1.

3 Llig i calcula.

Amb l’ajuda d’un rellotge, compta les vegades que respires en un minut.

Quantes respiracions hauràs fet en una hora? I en un dia? I en un any?

Amb l’ajuda d’un rellotge, compta el nombre de pulsacions que tens per minut.

Quantes pulsacions tindràs en una hora? I en un dia? I en un any?

4 Llig i contesta.

– Un 1 seguit de 6 zeros és un milió.

– Un 1 seguit de 12 zeros és un bilió.

– Un 1 seguit de 18 zeros és un trilió.

Com s’escriurà un quadrilió?

211

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 51 13/03/2015 13:01:51

Intel·ligència

naturalista

57

El sudokuEl sudoku és un passatemps que es va popularitzar al Japó en 1986, tot i que el seu origen està als Estats Units.

El sudoku és una quadrícula de 9 files i 9 columnes, dividida en 9 caixes iguals de 3 files i 3 columnes, en què figuren números de l’1 al 9.

El joc consisteix a:

Completar cada fila i cada columna amb els números de l’1 al 9 sense que hi haja cap xifra repetida en cada fila o columna.

Els nou números de cada una de les nou caixes han de ser diferents.

1 Copia en el quadern i completa el sudoku de dalt.

2 Pensa com s’organitza un sudoku i contesta.

Quin és el valor de la suma dels números que formen una fila qualsevol d’un sudoku? I dels números d’una columna? I dels números de qualsevol de les nou caixes?

Quant val la suma dels 81 números que formen el sudoku? Cal sumar els 81 números? Com pots calcular-la de manera ràpida?

Quant val el producte dels números de cada fila? I el producte dels 9 números de cada caixa?

5 3 7

6 1 9 5

9 8 6

8 5 6 3

4 2 8 3 1

7 1 2 6

6 2 8 4

2 4 1 9 5

3 8 7 9

212

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 52 13/03/2015 13:01:54

Activitats1

5 3 4 6 7 8 9 1 2

6 7 2 1 9 5 3 4 8

1 9 8 3 4 2 5 6 7

8 5 9 7 6 1 4 2 3

4 2 6 8 5 3 7 9 1

7 1 3 9 2 4 8 5 6

9 6 1 5 3 7 2 8 4

2 8 7 4 1 9 6 3 5

3 4 5 2 8 6 1 7 9

2 • Entotselscasossumen 45.

• Sumen405(45 3 9). N’hihaproudemultiplicar les9filespelvalorde lasumadecadafila.

• Elsdosproductesvalen 362.880.

Notes

58

Els números perfectesUn número és perfecte quan és igual a la suma de tots els seus divisors, sense incloure el mateix número.

Vegem-ne alguns exemples.

És el 6 un número perfecte?

1r Calculem tots els divisors de 6.

Divisors de 6 1, 2, 3 i 6

2n Sumem tots els divisors del número, excepte el 6.

1 1 2 1 3 5 6

6 5 6

El número 6 és un número perfecte.

És el 8 un número perfecte?

1r Calculem tots els divisors de 8.

Divisors de 8 1, 2, 4 i 8

2n Sumem tots els divisors del número, excepte el 8.

1 1 2 1 4 5 7

7 Þ 8

El número 8 no és un número perfecte.

1 Calcula els divisors de cada número i esbrina quin és un número perfecte.

10 2 25 12 14 28

2 Llig aquests criteris de divisibilitat i calcula.

Un número és divisible per 4 quan les dues últimes xifres formen un número múltiple de 4.

Un número és divisible per 6 quan és divisible per 2 i per 3.

POSA Atenció

Molt pocs números tenen la propietat de ser números perfectes.

elS nÚmerOS diviSibleS Per 4

270 439 504

2.094 6.124 8.022

elS nÚmerOS diviSibleS Per 6

240 325 416

1.248 2.720 4.632

3 Pensa i escriu.

Cinc números divisibles per 2 que no siguen divisibles per 3.

Cinc números divisibles per 3 que no siguen divisibles per 5.

Cinc números divisibles per 4 i cinc números més divisibles per 6.

213

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 53 13/03/2015 13:01:58

SOLUCIONARI

Activitats1 • 1,2,5,10

112155 8 No és perfecte.

• 1,2 No és perfecte.

• 1,5,25 1155 6 No és perfecte.

• 1,2,3,4,6,12 11213141 6 516 No és perfecte.

• 1,2,7,14 11217510 No és perfecte.

• 1,2,4,7,14,28 1121417114528 És perfecte.

2 Divisiblesper4:504i6.124. Divisiblesper6:240,1.248i 4.632.

3 • R.M.4,8,16,20,28

• R.M.6,12,18,24,36

• R.M.12,16,20,24,28 12,18,24,30,36

Notes

59

Els quadrats màgicsUn quadrat màgic és una quadrícula en què figuren números col·locats de forma que la suma de cada fila, columna i diagonal és sempre la mateixa. Ja es coneixien a la Xina fa més de 4.000 anys.

En el famós gravat Malenconia, de Dürer, hi ha un quadrat màgic, amb la peculiaritat que en ajuntar els números de les dues caselles centrals de l’última fila (1514) figura l’any en què es va realitzar aquest gravat.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

1 Copia el quadrat màgic anterior i comprova que la suma dels números de cada fila, columna i diagonal és igual a 34.

2 Copia en el quadern i completa els quadrats màgics amb fraccions.

223

423

323

623

817

317

517

217

Els números que falten són fraccions de denominador 23.

La suma dels números de cada fila, de cada columna i de cada diagonal

és igual a 1523

.

Els números que falten són fraccions de denominador 17.

La suma dels números de cada fila, de cada columna i de cada diagonal

és igual a 1517

.

214

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 54 13/03/2015 13:01:59

Activitats1 Totes les files, columnes

i diagonals sumen 34.

2

232 23

9 23

4

237 23

5 23

3

236 23

1 23

8

178 17

1 17

6

173

517

17

7

174 17

9 17

2

Notes

60

Les fraccions egípciesEls egipcis només van fer servir les fraccions de numerador 1, i la resta de fraccions les escrivien com a combinació d’aquestes.

Qualsevol fracció es pot expressar com a suma de fraccions de numerador 1.

Observa’n alguns exemples:

1 Suma en el quadern les fraccions de numerador 1 i esbrina quina fracció expressen.

2 Observa l’exemple i calcula la fracció de numerador 1 que falta en aquestes sumes.

3 Calcula totes les fraccions que s’obtenen en multiplicar dues fraccions de cada grup.

12

1 14

5

15

1 17

5

14

1 18

5

15

1 110

5

13

1 5 25

18

1 5 940

13

1 14

1 15

5

12

1 17

1 14

5

15

1 5 1130

12

1 5 35

12

1 5 35

5 35

2 12

5 110

12 1

3

14

15

17

13 1

6

15 1

9

18

111

112

12

1 13

5 36

1 26

5 3 1 2

6 5

56

12

1 14

1 120

5 1020

1 520

1 1

20 5

10 1 5 1 120

5 1620

Suma de fraccions de numerador 1

Suma de fraccions de numerador 1

215

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 55 13/03/2015 13:02:04

SOLUCIONARI

Activitats1 •

43

•3512

•83

•103

•6047

•2825

2 • 5 151

• 5 101

• 5 61

• 5 1

10

3 •81

101

61

201

121

151

•451

151

401

271

721

241

•1 1 1 1 1 1

84 42 77 72 132 66

Notes

61

1r Col·locava els números disposant en la mateixa columna els cercles amb el mateix número.

2n Sumava com si foren números naturals, escrivint en el resultat, davall de la columna de cada cercle, el cercle corresponent.

1 Escriu aquests números decimals usant la notació de Simon Stevin.

2,34 34,9 15,76 6,078 2,195

2 Calcula aquestes sumes i restes usant el procediment de Stevin.

9,71 1 45,1

21,8 2 7,34

23,9 1 8,67

432,75 2 17,8

2,78 1 34,6 1 2,123

Els cercles decimals de Simon StevinEl belga Simon Stevin (1548-1620) és un dels pares de la forma actual d’escriptura dels números decimals.

Simon Stevin indicava la part entera d’un número decimal situant al darrere un 0 dins d’un cercle; les dècimes, amb un 1 dins d’un cercle; les centèsimes, amb un 2; i les mil·lèsimes, amb un 3.

Així, el número decimal 3,785 s’escrivia així:

3,785 ▶ 3 0 7 1 8 2 5 3

Observa com calculava 5,239 1 7,651 usant aquesta notació.

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

El resultat de la suma 5,239 1 7,651 és 12,890.

Per calcular restes de decimals seguia un procediment similar a la suma. Observa aquest exemple: 12,59 2 9,32.

El resultat de la resta 12,59 2 9,32 és 3,27.

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

12 0 8 1 9 2 0 3

12 0 5 1 9 2

2 9 0 3 1 2 2

3 0 2 1 7 2

216

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 56 13/03/2015 13:02:09

Activitats1 • 20 3 1 4

• 340 9 1

• 150 7 1 6 2

• 60 0 1 7 2 8 3

• 20 1 1 9 2 53

2 1

9 0 7 1 1 2 450 1 1

540 8 1 1 2

1

230 9 1 8 0 6 1 7 2

320 51 7 2

1

20 7 1 8 2 34 0 6 1 20 1 1 22 3 3

39 0 51 0 2 3 3

2

210 8 1 7 0 3 1 4 2

14 0 4 1 6 2

2

4320 7 1 52 17 0 8 1

414 0 9 1 52

Notes

62

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 100 1.000 10.000

Observa quin és el valor d’aquest número.

3 3 10.000 1 2 3 1.000 1 6 3 100 1 9 3 10 1 7 5 32.697

Per a escriure els números decimals tenien un símbol per a expressar les dècimes, un altre per a les centèsimes i un altre per a les mil·lèsimes.

Observa com s’escriu el número decimal 0,379.

S’escriu el 3 juntament amb el símbol de les dècimes; després el 7, juntament amb el símbol de les centèsimes i, finalment, el 9, amb el símbol de les mil·lèsimes.

0,379 ▶

3 0,1 7 0,01 9 0,001

Els decimals xinesosUna altra forma d’escriure els números a la Xina, diferent de la que ja has vist, usava aquests símbols. Fixa’t en el valor que tenien:

1 Escriu cada número que hi ha representat.

2 Expressa amb símbols xinesos els números decimals següents.

4,26 1,098

0,004 0,578

123,05 6,983

15,06 59,007

Dècimes Centèsimes Mil·lèsimes

▼ ▼ ▼

0,1 0,01 0,001

217

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 57 13/03/2015 13:02:16

SOLUCIONARI

Activitats1 0,213

2,45 234,098

0,591 29,368 76,007

2 •

•

•

•

•

•

•

•

Notes

63

1 Llig el text anterior i contesta.

Quants quilòmetres va recórrer Filípides des de Marató fins a Atenes? Quants metres eren?

Quin any es va incloure la marató en els Jocs Olímpics? Quants anys fa que s’hi va incloure?

2 La vara és una unitat antiga de longitud que equival a 0,836 m. Calcula la longitud en metres de cada circuit.

Quin circuit té una longitud major que la distància recorreguda en una marató?

3 Llig i calcula.

El guanyador de la marató de Berlín 2008 va ser l’etíop Haile Gebrselassie, que va utilitzar uns 3 minuts, aproximadament, a recórrer cada quilòmetre.

Quants minuts, aproximadament, va usar per a córrer la marató si la distància recorreguda va ser de 42 km?

Quantes hores i quants minuts va tardar?

Quant de temps més que Dennis Kinetto va tardar Haile Gebrselassie?

La maratóL’any 490 aC el soldat grec Filípides recorregué a peu uns 40 km, des de Marató fins a Atenes, per anunciar la victòria sobre l’exèrcit persa. Després de recórrer aquesta distància, Filípides va morir de fatiga.

En honor de la gesta de Filípides, es creà una competició amb el nom de marató, que es va incloure, per primera vegada, en els Jocs Olímpics d’Atenes en 1896.

Actualment, la carrera de marató consisteix a recórrer una distància de 42,195 quilòmetres i es realitza en diverses ciutats amb caràcter popular.

El rècord del món el té el kenyà Dennis Kinetto, que en 2014 va recórrer aquesta distància en 2 hores, 2 minuts i 57 segons.

1.500 vares 50.000 vares 60.000 vares

218

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 58 13/03/2015 13:02:17

Activitats1 • Varecórrer40km,40.000m.

• S’hivaincloureen1896, fa120anys(prenent comadata2016).

2 1.500 3 0,83651.254m 50.000 3 0,836541.800m 60.00030,836550.160m Eltercercircuittéunalongitudmajorquelamarató.

3 • Vausaraproximadament126 minuts.

• Vatardar2horesi6minuts.

• Vatardar3minuts i3segonsmés.

Notes

64

El càlcul de les mesures d’un quadreLara mira, en un fullet, informació sobre la pròxima exposició de pintura. Aquests són alguns dels quadres que s’hi podran vore.

La verema (Goya) Escala 1 : 30

Xica d’esquena (Dalí) Escala 1 : 12

1 Llig i contesta.

A quina escala està feta la foto del quadre La verema? Què significa una escala 1 : 30?

A quina escala està feta la foto del quadre Xica d’esquena? Què significa una escala 1 : 12?

2 Calcula en metres.

El llarg i l’ample real del quadre La verema.

El llarg i l’ample real del quadre Xica d’esquena.

El perímetre de cada quadre.

El perímetre en el fullet de cada quadre.

3 Calcula.

L’àrea que té cada quadre en el fullet.

L’àrea real de cada quadre.

219

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 59 13/03/2015 13:02:24

SOLUCIONARI

Activitats1 • Escala 1:30. Un centímetre

en la imatge són 30 cm en la realitat.

• Escala 1:12. Un centímetre en la pàgina són 12 cm en la realitat.

2 • 9,2 cm 3 30 5 276 cm 6,3 3 30 5 189 cm Mesura 276 cm de llarg i 189 cm d’ample.

• 9,2 cm 3 12 5 110,4 cm 6,3 3 12 5 75,6 cm Mesura 110,4 cm de llarg i 75,6 cm d’ample.

• 2 3 276 1 2 3 189 5 930 La verema té un perímetre de 930 cm. 2 3 110,4 1 2 3 75,6 5 372 Xica d’esquena té un perímetre de 372 cm.

• 2 3 9,2 1 2 3 6,3 5 31 Els dos quadres tenen un perímetre de 31 cm.

3 • 9,2 cm 3 6,3 cm 5 57,96 cm2

Els dos tenen una àrea en el fullet de 57,96 cm2.

• 276 cm 3 189 cm 5 5 52.164 cm2

La verema té una àrea de 52.164 cm2. 110,4 cm 3 75,6 cm 5 5 8.346,24 cm2

Xica d’esquena té una àrea de 8.346,24 cm2.

Notes

65

Les unitats de mesura especialsLes unitats de longitud que coneixem (km, m, dm…) ens serveixen per a expressar una gran quantitat de mesures que trobem en la vida quotidiana.

Tanmateix, per a expressar la distància entre dues estrelles o la longitud d’un bacteri, aquestes unitats resulten massa xicotetes o massa grans. Per això, utilitzem altres unitats més adequades.

Per a expressar la distància entre dues estrelles usem l’any llum.

Un any llum és la distància que recorre la llum en un any i és igual a 9.468.000.000.000 km.

1 any llum 5 9.468.000.000.000 km

Per a expressar l’ample d’un bacteri fem servir la micra.

Una micra és la mil·lèsima part del mil·límetre.

1 micra 5 0,001 mm

1 Llig i calcula.

2 Resol.

La distància del Sol a Mercuri, que és el planeta més pròxim, és de 57.900.000 km. Quants minuts i segons tarda a arribar la llum del Sol a Mercuri?

La distància del Sol a la Terra és de 150.000.000 km. aproximadament. Quants minuts i segons tarda a arribar la llum del Sol a la Terra?

L’estrella més pròxima al nostre sistema solar és Proxima Centauri, que està a 39.700.000.000.000 km de la Terra. A quants anys llum està aquesta estrella de la Terra?

L’estrella polar es troba a uns 300 anys llum de la Terra. A quants quilòmetres està aquesta estrella de la Terra?

Quants quilòmetres recorre la llum en un minut? I en una hora?

Quants quilòmetres recorre la llum en una dècima de segon? I en una centèsima?

Velocitat de la llum

La llum recorre 300.000 km en un segon.

220

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 60 13/03/2015 13:02:27

Activitats1 • En1minutrecorre

18.000.000km. En1horarecorre 1.080.000.000km.

• En1dècimarecorre 30.000km. En1centèsimarecorre 3.000km.

2 • Tarda3minuts i13segons.

• Tarda8minuts i20segons.

• Estàa4,19anysllum delaTerra.

• Estàaunadistànciade 2.840.400.000.000.000km delaTerra,uns2.840bilions dekm.

Notes

Intel·ligència

naturalista

66

Els senyals amb pendentPossiblement has vist alguna vegada un senyal similar al que figura en la foto en algun tram de carretera. Saps què significa?

Aquest senyal ens indica que per cada 100 metres recorreguts en la carretera descendim 10 metres d’altura.

10 m

100 m

1 Copia en el quadern i completa en cada esquema el significat del senyal.

2 Observa cada esquema, copia el senyal en el quadern i escriu-hi el percentatge.

100 m 100 m 100 m 100 m9 m 7 m 8 m 6 m

221

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 61 13/03/2015 13:02:32

SOLUCIONARI

Activitats1 100 m

10 m

100 m 4 m

100 m 6 m

100 m12 m

2

9 %

7 %

8 %

6 %

Notes

67

Els angles en les estrelles doblesSi mires al cel una nit estrellada, podràs vore estrelles molt pròximes les unes de les altres. Dues estrelles que estan molt pròximes, vistes des de la Terra, s’anomenen estrelles dobles.

Les dues mesures que defineixen les estrelles dobles són:

Separació: és la distància entre les dues estrelles (línia verda).

Angle de posició: és l’angle que forma la línia que uneix les dues estrelles amb el nord (angle taronja).

N

O

S

E

1 Mesura l’angle de posició d’aquestes estrelles dobles.

2 Copia i dibuixa l’angle de posició d’aquestes estrelles dobles. Després, escriu-ne la mesura.

3 Llig i calcula.

La separació entre dues estrelles dobles és igual a 8.138’’. Quants graus, minuts i segons són?

La separació entre dues estrelles dobles és la longitud d’un arc i es mesura en segons.

222

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 62 13/03/2015 13:02:37

Activitats1 70º 65º 85º

2 110°

120°

130°

3 Són 2º, 159 i 380.

Notes

68

SOLUCIONARI

El triangle egipciEl triangle sagrat egipci és el triangle rectangle els costats del qual mesuren 3, 4 i 5 unitats.

En l’antic Egipte utilitzaven aquest triangle per a obtindre angles rectes en diverses construccions.

El triangle egipci té propietats notables:

Plutarc comprovà que el cub de la seua àrea és igual a la suma dels cubs dels costats.

Pitàgores demostrà que el quadrat del costat més llarg és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats.

1 Observa el triangle i comprova en el quadern l’afirmació de Plutarc.

2 Comprova en cada triangle la propietat que demostrà Pitàgores.

Àrea del triangle ▶ …

Àrea del triangle al cub ▶ …

Cubs dels costats ▶ …, …, …

Suma dels cubs dels costats ▶ … 1 … 1 … 5 …

3 Calcula el quadrat del costat més llarg.

3 cm 3 cm

5 cm3 cm

4 cm

6 cm 9 cm

12 cm 15 cm

5 cm5 cm

10 cm15 cm

16 cm 20 cm

4 cm 4 cm

8 cm 12 cm

223

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 63 13/03/2015 13:02:39

Activitats1 Àrea 5 6 cm2

Àrea al cub 5 216 cm2

Cubs dels costats 5 27 cm3, 64 cm3, 125 cm3

Suma dels cubs 5 216 cm3

2 • (6cm)2 1(8cm)2 5 100 cm2 (10cm)2 5 100 cm2

• (9cm)2 1(12cm)2 5 225 cm2 (15cm)2 5 225 cm2

3 • (12cm)2 1(16cm)2 5(20cm)2

• (15cm)2 1(20cm)2 5(25cm)2

Notes

69

1 Reprodueix les dotze peces en un paper quadriculat i retalla-les. Usa quatre quadradets per a cada quadrat de la peça. Fes també un tauler de 8 per 8 caselles fent servir quatre quadradets per a cada casella.

2 Juga una partida amb el company fent servir el material que has construït en l’activitat 1.

3 Utilitza les dotze peces i intenta completar el rectangle següent.

Els pentòminosEn 1953 el nord-americà Solomon Golomb va donar a conéixer el joc dels pentòminos.

Consta de dotze peces, que són els dotze polígons que es poden construir a partir de cinc quadrats iguals, unint els costats entre si.

Cada pentòmino recorda una lletra de l’alfabet.

Per a jugar-hi una partida es necessita un tauler de 8 3 8 caselles, cada una de la mateixa mida que els quadrats dels pentòminos.

Les peces se situen a l’abast d’ambdós jugadors, que van col·locant en el tauler les peces per torns.

Cada peça es col·loca sobre el tauler, de manera que tape cinc caselles, sense trepitjar-se una peça amb una altra. Perd el primer jugador que no puga col·locar-hi cap peça.

F

P

W

I

T

X

L

U

I

N

V

Z

224

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 64 13/03/2015 13:02:43

Activitats1 R. L.

2 R. L.

3 R. M. Hi ha 368 solucions.

Notes

70

SOLUCIONARI

1 Observa el dibuix anterior i calcula.

Quants centímetres de llarg mesura un DIN A4? I un DIN A5?

Quants centímetres d’ample mesura un DIN A4?

Com calcularies l’ample d’un DIN A5 a partir d’un DIN A4?

Quants centímetres d’ample mesura un DIN A5?

2 Observa els dibuixos i calcula. Quin és el llarg d’un DIN A6?

El llarg d’un DIN A6 és igual a l’ample d’un DIN A5?

Com calcularies l’ample d’un DIN A6?

Quin és l’ample d’un DIN A6?

Partint del DIN A6, sabries dibuixar el DIN A7? Quines serien les mesures?

La mida DIN AEn la major part del món, les mides de paper s’acullen a la norma DIN. La mida DIN A4 és igual a 29,7 cm de llarg per 21 cm d’ample.

Observa com es forma el DIN A5 a partir del DIN A4.

DIN A4

29,7 cm

21 cm

DIN A5

DIN A5

21 cm

DIN A6 DIN A6

DIN A5

DIN A6

225

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 65 13/03/2015 13:02:47

Activitats 1 •   Llarg DIN A4: 29,7 cm.

Llarg DIN A5: 21 cm.

• Ample DIN A4: 21 cm.

• Dividint el llarg del DIN A4 entre 2.

• Ample DIN A5: 14,8 cm.

2 •   Llarg DIN A6: 14,8 cm.

• Sí, els dos coincideixen.

• Dividint el llarg del DIN A5 entre 2.

• Ample DIN A6: 10,5 cm.

• Llarg DIN A7: 10,5 cm. Ample DIN A7: 7,4 cm.

DIN A6

DIN A7

DIN A7

Notes

71

1 Amb l’ajuda d’un regle i un transportador, esbrina quins són polígons regulars i escriu en el quadern la mesura dels angles.

2 Dibuixa un disseny amb taulells en què en un vèrtex coincidisquen les figures següents.

Dos hexàgons regulars i un quadrat.

Tres hexàgons regulars.

Sis triangles equilàters.

Amb quines d’aquestes tres combinacions pots cobrir una superfície plana?

La forma dels taulellsRecorda que un polígon regular és el que té tots els costats i tots els angles iguals. Els polígons regulars més senzills són: el triangle equilàter, el quadrat i el pentàgon.

Els taulells amb forma de polígon regular es poden combinar de moltes formes per a cobrir una superfície plana sense deixar-hi buits ni trepitjar-se l’un amb l’altre. Només ha de complir-se que en el vèrtex en què coincideixen els taulells la suma de tots els angles siga igual a 360°.

Observa l’exemple següent, en cada vèrtex coincideixen dos quadrats i tres triangles equilàters.

60° 1 60° 1 90° 1 60° 1 90° 5 360°

60°60°

90° 90°

60°

60°

90°

60°90° 90°

108°

108° 108°

108° 108°

60°

90°

A B C D E

60° 90° 120°

226

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 66 13/03/2015 13:02:48

Activitats1 Són regulars B, D i E.

2 •

•

•

• Es pot cobrir una superfície plana amb els dissenys de tres hexàgons i sis triangles.

Notes

72

SOLUCIONARI

1 Aplica la idea d’Arquimedes i aproxima l’àrea de cada figura, seguint els passos que s’indiquen.

2 Aproxima l’àrea de cada figura utilitzant el procediment d’Arquimedes.

Àrea polígon roig 5 …

L’àrea de la figura inicial és

de … aproximadament.

El truc d’ArquimedesArquimedes es considera un dels grans matemàtics de la història i va ser el que trobà un mètode per a calcular l’àrea del cercle.

Aquest mètode consistia a anar dibuixant dins del cercle polígons cada vegada amb més costats. En augmentar el nombre de costats del polígon, l’àrea s’aproximava més a l’àrea del cercle.

1r Dibuixa al voltant de la figura una línia poligonal tan pròxima com pugues a la vora de la figura donada (línia poligonal roja).

2n Compta els quadrats que tanca aquesta línia poligonal i escriu-ne l’àrea. L’àrea de la figura inicial està molt pròxima a la del polígon roig.

227

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 67 13/03/2015 13:02:49

Activitats1 Àrea polígon roig 5 31

L’àrea de la figura inicial és de 31 aproximadament.

2

Àrea polígon roig 5 18 L’àrea de la figura inicial és de 18 aproximadament.

Àrea polígon roig 5 29

L’àrea de la figura inicial és de 29 aproximadament.

Àrea polígon roig 5 31,5

L’àrea de la figura inicial és de 31,5 aproximadament.

Notes

73

Els trencaclosques amb àreesJa saps calcular l’àrea de moltes figures. Coneixent aquestes àrees, pots esbrinar l’àrea d’altres que, a primera vista, semblen molt complicades. Només has de pensar com descompondre la figura en altres figures d’àrea coneguda.

Quina és l’àrea de la zona blava? Observa com ho resolem.

2 cm

2 cm

L’àrea de la zona blava és igual a 3,14 cm2.

1r Dibuixem el cercle de centre A i radi 1 cm.

2n La figura donada està formada per quatre parts iguals. Cada una és la quarta part de l’àrea del cercle.

3r L’àrea de la figura donada és igual a l’àrea del cercle de radi 1 cm.

Àrea del cercle

p 3 12 5 3,14 cm2

1 cm1 cm

1 cm

A

G

F

1 Calcula l’àrea de cada figura. Pensa abans de calcular.

2 Calcula l’àrea de les figures següents.

2 cm 2 cm

1 cm

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

228

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 68 13/03/2015 13:02:52

Activitats1

L’àrea rosa és 2 vegades l’àrea ratllada, que és igual a la quarta part de l’àrea d’un cercle de radi 2 cm menys l’àrea del triangle de base 2 cm i d’altura 2 cm.

ARATLLADA 5 p 3 (2 cm)2 : 4 2

2 (2 cm 3 2 cm) : 2 5 1,14 cm2

Per tant, l’àrea de la zona rosa és: 2 3 1,14 5 2,28 cm2

L’àrea rosa és igual a la quarta part de l’àrea del cercle de radi 2 cm menys l’àrea de les tres zones ratllades. A 5 p 3 (2 cm)2 : 4 5 3,14 cm2

AZONES 5 (1 cm)2 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 5 2,57 cm2 AROSA 5 0,57 cm2

2

L’àrea groga és la diferència de les àrees de dos triangles. A 5 (1 cm) 3 (2 cm) : 2 2 2 (1 cm) 3 (1 cm) : 2 5 0,5 cm2

L’àrea verda és igual a l’àrea de mig cercle d’1 cm de radi. A 5 p 3 (1 cm)2 : 2 5 1,57 cm2

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

1 cm

74

SOLUCIONARI

La relació entre àrea, volum i calorQuin animal es refreda abans: un ratolí o un elefant? Se sap que els cossos perden calor més ràpidament si tenen l’àrea més gran que el volum. Observa els cubs de la figura.

Aquest cub té 6 cares que són quadrats d’1 cm de costat.

A. d’una cara ▶ 1 cm 3 1 cm 5 1 cm2

A. de 6 cares ▶ 6 3 1 cm2 5 6 cm2

V. ▶ 1 cm 3 1 cm 3 1 cm 5 1 cm3

Comparem el número corresponent a l’àrea i al volum, i veiem que el de l’àrea és major que el del volum.

Àrea ▶ 6 . 1 ◀ Volum

Aquest cub perd calor ràpidament.

Aquest cub té 6 cares que són quadrats de 8 cm de costat.

A. d’una cara ▶ 8 cm 3 8 cm 5 64 cm2

A. de 6 cares ▶ 6 3 64 cm2 5 384 cm2

V. ▶ 8 cm 3 8 cm 3 8 cm 5 512 cm3

Comparem el número corresponent a l’àrea i al volum, i veiem que el de l’àrea és menor que el del volum.

Àrea ▶ 384 , 512 ◀ Volum

Aquest cub conserva la calor més temps.

1 cm

1 cm1 cm

8 cm

8 cm8 cm

1 Calcula l’àrea i el volum d’aquests cubs.

2 Compara l’àrea i el volum dels cubs de l’activitat 1 i contesta.

Si hagueres d’agafar un cub que perda calor ràpidament, quin triaries? Per què?

I si hagueres de triar un cub que conservara la calor molt de temps? Per què?

1 cm 3 cm 5 cm7 cm

A B C D

229

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 69 24/03/2015 7:43:31

Activitats1 A 5 6 3 (1 cm)2 5 6 cm2

V 5 (1 cm)3 5 1 cm3

A 5 6 3 (3 cm)2 5 54 cm2

V 5 (3 cm)3 5 27 cm3

A 5 6 3 (5 cm)2 5 150 cm2

V 5 (5 cm)3 5 125 cm3

A 5 6 3 (7 cm)2 5 294 cm2

V 5 (7 cm)3 5 343 cm3

2 •   Perden calor els cubs A, B i C, ja que l’àrea és major que el volum.

    •   Conserva la calor el cub D, ja que l’àrea és menor que el volum.

Notes

75

Les mitjanes enganyosesA l’hora de calcular la mitjana d’unes dades cal pensar bé què volem calcular i quines dades cal tindre en compte. Fixa’t en l’exemple següent.

S’ha preguntat a quatre persones quants llibres lligen cada any i les respostes han sigut:

30 16 0 14

Podríem pensar a calcular la mitjana de llibres llegits per cada persona:

30 1 16 1 0 1 144

5 604

5 15

Cada persona llig 15 llibres de mitjana, segons les dades. Però, si ens hi fixem bé, hi ha una persona que no llig gens i la mitjana s’allunya molt d’aquest valor (0). Podríem també calcular la mitjana de llibres llegits per les persones que sí que lligen.

La mitjana en aquest cas és: 30 1 16 1 143

5 603

5 20

Aquesta mitjana s’aproxima més a les dades de les persones que sí que lligen i és un resultat més adequat que la mitjana anterior.

1 En cada cas, indica quines dues mitjanes pots calcular i calcula-les. Explica quina de les dues és més adequada.

Les peces de fruita que va consumir cada xiquet per setmana van ser: 8 4 0 3 5

El nombre de vegades que van anar al cine l’any passat va ser: 9 0 7 0 0 8

El nombre de germans que té cada xiquet és: 3 1 0 0

El nombre de dies que faltà cada xiquet a escola l’any passat va ser: 8 5 2 0 7 8

230

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 70 13/03/2015 13:02:57

Activitats1 •   Podem trobar la mitjana

de peces de fruita en general, 4 peces, i la mitjana de peces de fruita dels xiquets que es van menjar alguna fruita, 5 peces. És més adequada la segona.

    •   Podem trobar la mitjana de germans en general, 1 germà, i la mitjana de germans dels xiquets que tenen algun germà, 2 germans. És més adequada la segona.

• Podemtrobarlamitjanadevegades en general, 4 vegades, i la mitjana de vegades de les persones que van anar alguna vegada al cine, 8 vegades. És més adequada la segona.

• Podemtrobarlamitjanadefaltes en general, 5 faltes, i la mitjana de faltes dels xiquets que hi van faltar alguna vegada, 6 faltes. És més adequada la segona.

76

SOLUCIONARI

Les audiències televisivesPer esbrinar l’audiència televisiva, es tria una mostra de 10.000 persones que represente la població del país.

En cada casa s’instal·la un ordinador connectat a la televisió que enregistra en tot moment quin canal se sintonitza.

Amb aquesta informació es calcula el ràting i la quota (share), que estimen l’èxit o el fracàs d’un programa. Observa com es calculen.

Ràting 5 Nombre de cases que veuen el programa en un moment donat

Nombre total de cases de la mostra

Quota 5 Nombre de cases que veuen el programa en un moment donatNombre total de cases que veuen la televisió en aquest moment

1 Observa la mostra de 20 cases i el canal que sintonitza cada una. Les cases negres tenen el televisor apagat.

2 Llig i calcula.

En una mostra de 100 cases, 35 cases veuen el canal 2 en un moment determinat.

Quin és el ràting d’aquest canal?

El canal 4, en aquest moment, té més ràting que el canal 2. Quantes cases, com a mínim, veuen aquest canal?

En aquest moment, 54 cases veuen el canal 6 i hi ha 1.200 cases que tenen connectat el televisor. Quina és la quota del canal 6?

Quantes cases veuen cada canal?

Quantes cases no veuen cap canal?

Quin és el ràting del canal 2? I el del canal 4?

Quina és la quota del canal 1? I del canal 5?

Quin és el ràting i la quota del canal 3?

2

3

2

5

2

1

5

5

4

5

3

4

5

2

1

231

ES0000000025297 668573-Unidad 13_24216.indd 71 13/03/2015 13:03:00

Activitats1 •   Canal 1: 2 cases.

Canal 2: 4 cases. Canal 3: 2 cases. Canal 4: 2 cases. Canal 5: 5 cases.

• No en veuen cap 5 cases.

• Ràting canal 2 5 204

Ràting canal 4 5 202

    •   Quota canal 1 5 152

Quota canal 5 5 155

    •   Ràting canal 3 5 202

Quota canal 3 5 152

2   •   Ràting canal 2 5 10035

• El veuen com a mínim 36 cases.

• Quota canal 6 5 .1 20054

Notes

77

SOLUCIONARI

L’essencial

TASCA 11 • Huitmilionsset-centscincmildos-cents

quatre.

• Tresmilionsnoumilcinc-cents setanta-huit.

• Vint-i-setmilionstrenta-unmildos-centscinquanta.

• Cinquantamilionscenthuitanta-setmil quatre.

• Tres-centsvintmilionscinc-centsseixanta-set mildos-centstrenta-nou.

• Nou-centssetanta-unmilionshuitantamil sis-cents.

2 • 407.830.112

• 219.020.700

• 800.037.040

TASCA 23 • 7U.demilió14CM15DM16UM18C1

19D11U57.000.0001400.0001 150.00016.000180019011

• 1D.demilió13U.demilió17DM1 15UM18C18D12U510.000.0001 1 3.000.000170.00015.000180018012

• 4C.demilió15D.demilió16U.demilió1 18CM12C14U5400.000.0001 150.000.00016.000.0001800.000120014

• 9C.demilió18D.demilió15DM17UM1 14D11U5900.000.000180.000.0001 150.00017.00014011

TASCA 34 • ,

• ,

• ,

• ,

• .

• ,

5 • 98.760.654.9.876.564.9.807.654. .9.768.564

• 3.699.999,32.730.126,32.760.123, ,36.102.884

TASCA 46 • 5.000;9.000;18.000;29.000;376.000;

402.000

• 7.000.000;10.000.000;38.000.000; 674.000.000

7 • R.M.27.888;27.892;27.914;27.904;27.899

• R.M.339.999;338.777;341.222;343.888; 337.666

TASCA 58 • sisé • dotzé • vint-i-huité

• nové • desseté • trenta-nové

• 6é

• 5é

• 11é

• 16é

• 22é

• 36é

9 Vaacabarenelhuitélloc.

TASCA 610 • 37 2.042 94 16.250

• XXXIV CDXIX MMDCXXXV LXXXIX CMLXXIV VIIICMLXXXVI

TASCA 711 • 28

• 220

• 130

• 140

• 250

• 112

• 27

• 270

• 114

TASCA 812 • ,

• ,

• .

• .

• .

• ,

• .

• .

13 • 29, 28, 24,0, 12, 13

• 211, 27, 25 , 11, 14, 112

TASCA 914 • A (13,0),B (14,13),C (12,14),D(0,12),

E (23,12),F (23,0),G (24,22),H(0,24), I (14,23)

15 BE H

C A

G F

D

• PuntsA,C,FiH.

• PuntB.

TASCA 1016 • divisor

• múltiple/divisible

• múltiple/divisible

• divisor

• nomúltiple

• divisor

• nodivisor

• múltiple/divisible

80

17 R.M.

• 0,4,8,12,16

• 0,7,14,21,28

• 0,6,12,18,24

• 0,9,18,27,36

TASCA 1118 • Divisiblesper2:18,40,90,48,180.

Divisiblesper3:18,90,45,15,48,180. Divisiblesper5:40,90,45,15,180. Divisiblesper9:18,90,45,180. Divisiblesper10:40,90,180.

TASCA 1219 • Div(17)51,17.Primer.

Div(28)51,2,4,7,14,28.Compost. Div(13)51,13.Primer. Div(20)51,2,4,5,10,20.Compost. Div(19)51,19.Primer. Div(25)51,5,25.Compost. Div(34)51,2,17,34.Compost.

TASCA 1320 • 15

• 24

• 36

• 35

• 30

• 18

TASCA 1421 • 10

• 4

• 6

• 1

• 2

• 4

22 • ElMCMéselnúmeromajordelsdosielMCD n’éselmenor.

• No,sielsdossónparells,elMCDseria comamínim2.

23 • MCM(2,4i10)520 Passaran20dies.

• MCD(40i28)54 Posarà4pecesencadabossa.

TASCA 15

24 • 921 6

31 3

43 4

51 6

61 4

109

• 7

15

314

274

845

7

65

979

TASCA 16

25 • 411

5243

6

10 51

64

29

5421

26

TASCA 1727 • Elsparellssegon,tercericinqué.

28 • 2

10 55 •

636

56 •5

90 518 •

372

524

29 R.L.

30 R.M. •146

5 219 •

422

5 633

•108

1512

5

• 1618

2427

5 •620

930

5

31 •23 •

715

•23 •

710

•21

TASCA 18

32 • ;4842

4816

2421

248

i i • ;162144

162117

1816

1813

i i

• ;1233

1280

1233

1280

i i • ;2050

2018

1025

109

i i

•.

,..

.; ,

1 296756

1 2961 944

1 296720

3621

3654

3620

ii

TASCA 1933 • , • . • , • , • ,

TASCA 2034 • 42centèsimes:0coma42.

• 175mil·lèsimes;0coma175.

• 9centèsimes;0coma09.

• 8unitatsi4dècimes;8coma4.

• 6unitatsi83centèsimes;6coma83.

• 9unitatsi136mil·lèsimes;9coma136.

• 27unitatsi8centèsimes;27coma08.

• 46unitatsi34mil·lèsimes;46coma034.

• 135unitatsi9dècimes;135coma9.

• 207unitatsi42centèsimes;207coma42.

35 • 0,7

• 0,09

• 0,042

• 3,4

• 2,15

• 6,008

• 9,5

• 3,04

• 8,295

TASCA 2136 • 1d13c50,110,03

• 7d12c19m50,710,0210,009

• 1U13c15m5110,0310,005

• 2D19U17d5201910,7

• 6U12d14c5610,210,04

• 3D12c18m53010,0210,008

• 8D12U14d5801210,4

• 7D12U11m5701210,001

• 4C17D16c540017010,06

• 3C19U15m53001910,005

81

TASCA 2237

0

3

1

3,1

2

3,2

3

3,3

4

3,4

5

3,5

TASCA 2338 • .

• .

• ,

• ,

• ,

• ,

• .

• .

39 • 3,654.3,645.3,546.3,465.3,456

• 9,4.9,323.9,32.9,316.9,288

TASCA 2440 • 0 3 8 9 10 14

• 0,04 0,12 2,78 4,63 8,33 27,63

41 • R.M.4,68;4,72 • R.M.2,342;2,339

TASCA 25

42 •1070,09

10075

6,135.1 000346

2,49.100

1 6280,479

43 • R.M.100893

TASCA 2644 • 32.662

• 637.269

• 275.036

• 15,965

• 18,926

• 27,691

• 56,45

• 37,317

• 34,999

45 • R.M.3.28914.220;7.3001209

• R.M.23,212,564;20,761 5,004

• R.M.3,214,8;2,2515,75

TASCA 2746 • 14.688

• 97.643

• 141.878

• 2,435

• 11,034

• 10,545

• 22,45

• 18,683

• 12,9

47 • 115

• 1.674

• 999

• 5,45

• 1,14

• 6,144

• 0,84

• 20,35

• 1,13

48 • R.M.9.50922.000;9.9892 2.480

• R.M.5,8622,02;9,9826,14

• R.M.18,22 3,2;15,932 0,93

49 • 8,2517,9516,15;8,2514,276512,526; 7,914,276512,176;8,252 7,950,35; 8,2524,27653,974;7,92 4,27653,624

TASCA 2850 • 315.360

• 625.240

• 127.098

• 17,155

• 129,3108

• 17,85104

• 356,1

• 18,72

• 1.305,48

51 • 36.500

• 89.000

• 7.280.000

• 650

• 3,9

• 25

• 12.500

• 827.000

• 0,6

TASCA 2952 • q5634,r5 30

• q5687,r5206

• q50,916

• q51,742,r5 0,002

• q5128

• q584,r5 3,2

• q582

• q50,52,r50,057

53 • 308

• 619.482

• 109

• 23,904

• 586

• 15,2

• 0,53

• 191,8

• 3,7

54 • 0,28

• 0,46

• 0,129

• 0,1175

• 0,95

• 0,644

• 0,045

• 0,0372

• 0,289

• 0,675

• 0,04756

• 0,0869

55 • Duesxifres: • 1,14 • 2,91 • 1,75 Tresxifres: • 1,125 • 1,494 • 1,123

TASCA 30

56 • 4,34,4,49, 29

• 0,874, 87

,0,9

• 2,799, 5

14 ,2,83

TASCA 3157 • 36;base:3,exponent:6

• 63;base:6,exponent:3

• 55;base:5,exponent:5

• 104;base:10,exponent:4

• 27;base:2,exponent:7

• 92;base:9,exponent:2

58 • 112;121

• 93;729

• 45;1.024

• 106;1.000.000

59 • 3

• 2

• 1

• 4

• 7

• 6

82

60 • 631015

• 9 3 10

• 8 3 102 1 131014

• 7 3 102 13

• 2 3 103 17 3 1011

• 5 3 103 18 3 102 12 3 1013

• 3 3 104 19 3 103 12 3 102 17 3 1014

• 4 3 104 13 3 102 12

61 • 5 • 8, 80 ,9 • 6 • 4, 20 ,5

• 5, 26 ,6 • 9 • 7, 50 ,8 • 10

62 • 7

• 64

• 2

• 5

• 81

• 3

TASCA 3263 • 2

• 7,58

• 7

• 14,364

• 32

• 25,174

• 51,957

• 16

• 12,08

• 0,047

TASCA 3364 • 700

• 100

• 12,8

• 4,5

• 6.600

• 2.700

• 15,2

• 2,4

• 92.300

• 9.500

• 21,9

• 14,4

65 • 36.000 162.000 5.168.000

• 7,44 48,1 105

TASCA 34

66 • 9

10

• 5

18

• 4

17

•1573

• 8

•7

66

• 25

•845

67 • R.M.43

1 85

• R.M.511

1 54

TASCA 3568 •

94

• 54

• 38

• 9

13

• 29

• 743

•38

•8

19

69 •56

• 14

• 1011

•27

•2

49

•67

70 • R.M.8

17 2

86 • R.M.

527

2 52

TASCA 36

71 • 821

•1033

•165

• 6

•7

30

•427

• 12

• 49

TASCA 37

72 • 3

14

•1522

•45

•9827

•73

• 12

• 20

• 451

73 • R.M.53

3 32

• R.M.9

12:

31

TASCA 38

74 • 259

• 90521

• 2

17

• 154

•203

•152

TASCA 39

75 • 0,055 100

5 • 0,095

1009

• 0,125 10012

• 0,405 10040

• 0,555 10055

• 0,875 10087

76 • 15

• 15

• 90

• 2.100

• 2.380

• 4.416

77 • 4.00024.800 2 3.600 2 4.608

78 • 20%de30,30%de40,30%de90, ,45%de90

TASCA 4079 • 5 2 10 2 4 2 7 2 8

Dalt:3 2 6 2 8;baix:28

80 • 21:753;3 3 5 515;24:358 Cincquilosdepereslihauriencostat15€. Amb24€n’hauriapogutcomprar8kg.

• 840:75120;120 3 4 5480 Quatremàquinesprodueixen480peces.

• 24:654;100:4525 Sónmorenosel25%delsalumnes.

• 1cmsón800cm58m. 5 3 8 540;3 3 8 524 Eljardímesura40mdellarg i24md’ample.

• 1cmsón20.000cm5200m. 4.000:200520 Mesura20cmenelmapa.

83

TASCA 4181 • 38.000dm

• 7.500cm

• 0,975kl

• 20cl

• 137.500mg

• 290.000cg

• 4,5dam

• 125mm

• 4.280dl

• 35ℓ

• 0,089kg

• 0,47dag

• 25m

• 8,75km

• 600ml

• 0,93kl

• 14g

• 92,6kg

82 • 6.505,9m 400,171m

• 0,79ℓ 0,793ℓ

• 490g 90,61g

83 • 0,45dam545dm.4,49m.0,03hm

• 0,3kl.280ℓ.2.750dl.2,7hl

• 171dag.17hg.1,65kg.18.200cg. .1.800dg

84 • 420dam

• 12q

• 4,45dal

• 420hg

TASCA 4285 • 240min 192min 60min

• 54.0000   25.6800 43.4450

• 6h56min40s 8h58min20s 12h15min

• 51°209 81°409 83°249

86 • 18.120s,304min,5hi7min

• 5ºi209 ,5ºi1.4000 ,20.0000

87 • 7h44min 8h7min17s

• 59º19490 38º259490

• 1h28min 3h51min3s

• 15º39480 10º389250

88 • 1h47min32s

• 44º599100

TASCA 4389 • 9.500m2 • 0,009dam2 • 3,8dm2

• 0,045km2 • 70.000.000.000mm2

• 1.200.000cm2

• 9,75ha

• 200ca

• 428dam2

• 0,0995ha

• 4ha

• 0,7ca

90 • 9.000.003,7dm2 4.000.000,5dm2

• 16,059dam2 80,00326dam2

91 • 0,27km2 .275dam2 .2,7hm2 527.000m2

• 970.000mm2 59.700cm2 .0,96m2 . .95dm2

• 0,5ha55.000ca550dam2 .5a 5500m2

92 • Calafegir-hi9.950m2.

• Calrestar-ne1,3m2. Calrestar-ne0,8m2.

TASCA 4493 • 160dam3

• 0,45m3

• 42.000ℓ

• 0,0035ℓ

• 9dam3

• 0,028m3

• 0,176dm3

• 0,995m3

• 0,038dm3

• 900.000cm3

• 40dm3

• 70.000dm3

94 • 9hm3 .90dam3 .9.000m3

• 0,12m3 .12dm3 .1.210cm3

• 600ℓ.0,06kl560dm3 .6.000ml

TASCA 4595 • 1bitlletde200€,1bitlletde5€,1moneda

de2€,1d’1€,1de20ct.,1de10ct. i1de5ct.

• 1bitlletde500€,1bitlletde100€,1bitlletde 50€,2bitlletsde20€,2monedesde 20ct.i1de2ct.

• 1bitlletde500€,1bitlletde200€,1bitlletde 100€,1bitlletde50€,1bitlletde20€,1 bitlletde10€,1bitlletde5€,1moneda de2€,1monedade1€,1monedade50ct., 1monedade20ct.,1monedade10ct.,1 monedade5ct.,1de2ct.i1d’1ct.

• 1bitlletde500€,2bitlletsde200€, 1monedade20ct.i1de5ct.

96 • Falten140,50€.

• Falten65,40€.

• Falten264,40€.

TASCA 4697 • R.L.

98 • Paral·leles:tiu.Secants:ris,rit,riu,sit, siu.Perpendiculars:sit,siu.

99 • Rectar: tangenta2isecanta1. Rectas: secanta2isecanta1. Rectat: exteriora2iexteriora1.

TASCA 47100 • 80º:agut;120º:obtús,150º:obtús.

101 • agut • obtús

• obtús • pla

84

102 Adjacents,adjacents,consecutius, consecutius.

103

TASCA 48

104

105

TASCA 49106 • R.L.

107 • Triangleregular;quadrilàter;eneàgon;octàgon;decàgon;heptàgonregular;hexàgon;pentàgonregular.

108 • Isòscelesacutangle;escaléobtusangle;isòscelesrectangle;escaléacutangle;equilàteracutangle;isòscelesobtusangle;escalérectangle.

109 • R.L.

110 • A:trapezoide;B:trapezoide;C:trapezi; D:paral·lelogramrombe;E:paral·lelogramquadrat;F:paral·lelogramromboide; G:paral·lelogramrectangle;H:trapezi; I:trapezoide;J:trapezi.

111

112 • Triangle:70º.Quadrilàter:70º.

113 • Mesuren55ºcadaun.Mesuren20ºcadaun.

TASCA 50114 • P 510cm;A 56,25cm2

P 510cm;A 56cm2 P 512,56cm;A 512,56cm2

115 • A 5(5 3 10cm 3 6,9cm):25172,5cm2

• A 5(12cm 3 10cm):2560cm2

• A 5(20cm 3 8cm):2580cm2

• A 540cm 3 15cm5600cm2

• A 5 p 3 (4m)2 550,24m2

116 • P 516cm P 512cm

117 • A 53cm 3 0,8cm1(3cm 3 2,5cm):25 56,15cm2

• A 5 p 3 (2cm)2 2 4 3 (1cm)2 58,56cm2

TASCA 51118 • Poliedre,esfera,poliedre,poliedre,con,

poliedre,poliedre,cilindre.

119 • Piràmidehexagonal:7cares,7vèrtexs,12arestes.Poliedre:5cares,6vèrtexsi9arestes.Prismahexagonal:8cares,12 vèrtexs,18 arestes.Prismaquadrangular:6cares,8vèrtexs,12arestes.

120 • Cub;prismatriangular;piràmidepentagonal; cilindre;con.

TASCA 52121 • A 52 3 6 cm 3 3 cm12 3 6 cm 3 10cm1

12 3 3 cm 3 10cm5216cm2

• A 59cm 3 9 cm14 3 (12cm 3 9 cm):25 5297cm2

• A 5(6 3 8 cm 3 6,9cm):21 16 3 (8cm 3 12cm):25453,6cm2

• A 52 3 p 3 (5cm)2 12 3 p 3 5 cm 3 10cm5 5471cm2

• A 5 p 3 (6cm)2 1 p 3 6 cm 3 10cm5

5 301,44cm2

• A 54 3 p 3 (7cm)2 5615,44cm2

122 • V 5(6cm)3 5216cm3

• V 5(10cm 3 10cm 3 8 cm):35266,6cm3

• V 5(6 3 10cm 3 8,7cm):2 3 15cm53.915cm3

• V 5 p 3 (5cm)2 3 10cm5785cm3

• V 5 (p 3 (8cm)2 3 12cm):35803,84cm3

• V 5(4 3 p 3 (10cm)3):354.186,6cm3

123 • A 510m310m365600m2 V 510m310m310m51.000m3

• A 543 p 3(20dm)2 55.024dm2 V 543 p 3(20dm)2:3533.493,33dm3

• (200cm)3]4343 p 3(10cm)3:35 57.923,253,34cm3

85

•   A 5 p 3 (10 dm)2 1 2 3 p 3 10 dm 3 1 dm 5

5 376,8 dm2 V 5 p 3 (10 dm)2 3 1 dm 5 314 dm3

TASCA 53124   

Dada F. abs. F. rel.

0 2 2/15

1 3 3/15

2 2 2/15

3 4 4/15

5 2 2/15

6 1 1/15

7 1 1/15

Dada F. abs. F. rel.

Roig 3 3/9

Verd 3 3/9

Blau 2 2/9

Taronja 1 1/9

TASCA 54125   •   Mitjana 5 11, mediana 5 11,  

modes 5 10 i 11, rang 5 3

    •   Mitjana 5 6, mediana 5 6,  modes 5 5 i 7, rang 5 2

    •   Mitjana 5 14, mediana 5 13,  moda 5 13, rang 5 13

    •   Mitjana 5 6, mediana 5 5,  moda 5 2, rang 5 10

    •   Mitjana 5 11, mediana 5 11,  modes 5 10 i 12, rang 5 4

    •   Mitjana 5 2, mediana 5 2,  moda 5 2, rang 5 4

126   •   R. L.

TASCA 55127   •   10/40    •   36/40

    •   3/40    •   24/40

    •   20/40

TASCA 56128  •   (15.939 1 3.597) : 48 5 407 

Haurà de pagar 407 €.

    •   2.850 3 228 2 3.006 3 208 5 24.552 Augmentarà en 24.552 €.

    •   MCD (40 i 32) 5 8 Cada bossa pesa 8 kg.

    •   2 h 47 min 13 s 1 35 min 54 s 5 5 3 h 23 min 7 s  Ha durat 3 h, 23 min i 7 s.

    •   Fa més fred a la ciutat B. Hi ha 4 graus de diferència.

    •   1813

 . 4021

 

Conté més aigua la primera. 

1813

 1 4021

 5 360449

 

La suma és 360449

.

    •   180 : 3 5 60; 60 3 4 5 240 Tenia 240 barres de pa per a vendre.

    •   3,5 3 6,20 1 6 3 0,75 1 2,8 3 1,30 5 5 29,84 40 2 29,84 5 10,16 Li tornen 10,16 €.

    •   4,55 : 3,5 5 1,3; 5,32 : 2,8 5 1,9 1,3 1 2 3 1,9 5 5,1 Costaria 5,10 €.

    •   42 % de 150 5 63 150 2 63 2 57 5 30 150 : 30 5 5; 100 : 5 5 20 El 20 % dels quadres són bodegons. Hi ha 63 paisatges, 57 retrats  i 30 bodegons.

129   •   Hi van anar 180 dones.

    •   Hi van anar 240 persones.

    •   Va ser igual tots els dies.

    •   Hi van anar més persones dissabte.

    •   S’hi van recaptar 600 €.

    •   200 3 3 1 80 3 2,50 5 800 S’hi van recaptar 800 €.

    •   3/5 de 240 5 144 15 % de 240 5 36 240 2 144 2 36 5 60 Va convidar 60 persones. 240 : 60 5 4; 100 : 4 5 25 Eren un 25 % del total.

    •   250 : 5 5 50; 500.000 : 200 5 2.500  S’hi serviran 50 entrepans i 2.500 begudes.

    •   3 3 (225 1 270) 5 1.485 Va estar oberta 1.485 minuts.

    •   2/3 de 60 5 40; 2/7 de 140 5 40 Va haver el mateix nombre de jubilats i jubilades.

86

Notes

87