Materi APM Edisi Juni-Juli

1

BERBAGAI ALAT PERAGA

UNTUK PEMBELAJARAN LIMIT DERET GEOMETRI DI SMA

Oleh: Tim Unit Media Alat Peraga Matematika

Jenjang/Kelas/Semester : SMA/XII/2

Aspek : Aljabar

Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep baris dan deret dalam

pemecahan masalah

Kompetensi Dasar : 4.1. Menentukan suku ke- n barisan dan jumlah n

suku deret aritmetika dan geometri

Alat peraga berikut dimanfaatkan sebagai motivasi pada permulaan pembelajaran

yaitu sebelum memasuki materi limit deret geometri.

1. Alat peraga Limit Deret Setengah

2. Alat peraga Limit Deret Sepertiga

3. Alat peraga Limit Deret Seperempat

Tiga macam alat peraga tersebut di atas digunakan untuk memperagakan deret

setengah, sepertiga, dan seperempat yang direpresentasikan dalam bentuk keping-

keping pecahan.

Pemanfaatannya dalam pembelajaran antara lain dapat dilakukan dengan peragaan

oleh guru yaitu siswa diminta mengamati peragaan kemudian dibimbing untuk

menyimpulkan hasil dari limit deret setengah, sepertiga, dan seperempat. Setelah

melalui peragaan, selanjutnya guru menjelaskan pembuktiannya secara deduktif.

Alternatif lainnya adalah dengan penyelidikan oleh siswa yaitu siswa

menggunakan alat peraga tersebut untuk “menemukan” hasil dari limit deret

setengah, sepertiga, dan seperempat. Dalam hal ini, guru memberikan instruksi

dan beberapa pertanyaan untuk membimbing siswa menemukan hasil yang

dimaksud.

Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dapat dikembangkan lebih lanjut oleh

guru dengan berpedoman pada petunjuk penggunaan alat peraga limit deret

sebagai berikut.

2

1. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SETENGAH

Kegunaan : Untuk menunjukkan limit deret geometri dengan rasio 2

1.

Gambar :

Peraga limit deret setengah terdiri atas sebuah papan bingkai dan enam keping

pecahan yang terdiri atas keping 32

1 ,

16

1 ,

8

1 ,

4

1 ,

2

1 dan

64

1.

Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dengan peragaan :

1. Ambil semua keping maka akan terlihat bingkai persegi berwarna putih.

Tunjukkan kepada siswa bahwa kotak putih pada bingkai menunjukkan

sebuah persegi satuan.

2. Keping-keping dimasukkan ke bingkai satu per satu dengan cara :

Masukkan keping 2

1 (tulisan

2

1 tidak

terlihat). Tanyakan kepada siswa “berapa

nilai keping ini?”. Jawaban yang diharapkan

adalah “2

1”. Tanyakan kepada siswa

”mengapa 2

1?” (karena banyaknya keping

ada dua bagian yang sama). Setelah itu

balikkan keping tersebut sehingga tulisan 2

1

terlihat.

3

Masukkan keping 4

1 (tulisan

4

1 tidak terlihat). Tanyakan kepada siswa

“berapa nilai keping ini?”. Jawaban yang diharapkan adalah “4

1”. Setelah

itu balikkan keping tersebut sehingga tulisan 4

1 terlihat. Tanyakan kepada

siswa ”mengapa nilai keping tersebut 4

1?” (karena banyaknya keping ada

empat bagian yang sama).

Demikian seterusnya hingga keping 64

1 terpasang seperti terlihat pada

gambar.

3. Lewat peragaan di atas mudah dipahami bahwa jika pengisian dengan keping-

keping yang semakin kecil (mengikuti pola sebelumnya), maka jumlah

keping-keping tersebut mendekati 1 dan tidak mungkin melebihi 1.

Kita dapat menuliskan sebagai berikut :

1 16

1

8

1

4

1

2

1

atau

1 2

1

2

1

2

1

2

1432

atau

12

1

1nn

Pembuktian :

Salah satu cara untuk membuktikan secara deduktif adalah :

Misalkan 16

1

8

1

4

1

2

1S akibatnya

16

1

8

1

4

1

2

1S .

Dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh :

16

1

8

1

4

1

2

1 S

16

1

8

1

4

1

2

1S

2

1

2

1S

1 S

Sehingga 1 16

1

8

1

4

1

2

1

4

LIMIT DERET SEPERTIGA

1

3

1

9

1

27

1

81


1 3

2. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SEPERTIGA


1.

Gambar :

Peraga limit deret sepertiga terdiri dari sebuah papan bingkai dan 5 keping

berpasangan yang menunjukkan 81

1 ,

27

1 ,

9

1 ,

3

1 dan

243

1.

Alternatif pemanfaatan dalam pembelajaran dengan penyelidikan :

1. Peraga limit deret diberikan pada siswa dalam keadaan keping telah diambil

dari bingkai. Beritahukan pada siswa bahwa bingkai persegi berwarna putih

menunjukkan sebuah persegi satuan.

2. Siswa diminta untuk memasukkan keping ke bingkai satu per satu dengan

cara:

Masukkan keping 3

1 (warna merah dan ada tulisan

3

1) kemudian

masukkan keping 3

1 pasangannya. Pahami bahwa keping-keping tersebut

memang sepertiga, untuk menunjukkannya mintalah siswa mengimpitkan

kedua keping tersebut dan ternyata memang sama saling menutupi.

5

Setelah itu secara berurut seperti di atas masukkan keping 81

1 ,

27

1 ,

9

1

dan243

1.

3. Tanyakan kepada siswa ”jika pengisian dilanjutkan dengan keping-keping

yang semakin kecil secara terus menerus (mengikuti pola sebelumnya), maka

berapakah jumlah keping-keping merah dan kuning?” Jawaban yang


1 3

1 9

1 27


1 3

1 9

1 27

1 81


1 3

1 9

1 27

6

diharapkan adalah ”1”. Minta siswa memperhatikan bahwa keping warna

merah dan kuning bentuknya identik dan menempati luasan yang sama.

4. Tanyakan kepada siswa ”Berdasarkan pengamatan tersebut, berapakah hasil

dari ? 81

1

27

1

9

1

3

1 ”. Jika siswa menemui kesulitan, mintalah

siswa untuk memperhatikan susunan keping yang berwarna merah. Jawaban

yang diharapkan adalah 2

1

81

1

27

1

9

1

3

1

atau

2

1

3

1

1nn

Pembuktian :

Salah satu cara untuk membuktikan secara deduktif adalah :

Misalkan 243

1

81

1

27

1

9

1

3

1S akibatnya

243

3

81

3

27

3

9

3

3

33 S =

81

1

27

1

9

1

3

11

Dengan menggunakan metode eliminasi diperoleh :

S3 81

1

27

1

9

1

3

11

S = 243

1

81

1

27

1

9

1

3

1

1 2S

2

1 S

Jadi

243

1

81

1

27

1

9

1

3

1 =

2

1

7

3. Nama Alat Peraga : LIMIT DERET SEPEREMPAT


1.

Gambar :

Peraga limit deret seperempat terdiri dari sebuah papan bingkai dan 3 kelompok

keping komponennya masing-masing 4 buah keping yang menandakan pecahan

64

1 ,

16

1 ,

4

1 dan

256

1.

4

1

16

1

64

1

256

1

Penggunaan :

1. Pasang keping pertama dari salah satu kelompok warna dan pahami (dengan

cara tanya jawab, diskusi, eksplorasi dan semacamnya) bahwa keping pertama

8

ini menunjukkan 4

1, karena banyaknya keping ada empat bagian yang sama

maka nilai dari setiap bagiannya adalah 4

1.

2. Secara sama seperti di atas, lakukan untuk memahami bahwa keping

berikutnya adalah 16

1,64

1, dan

256

1:

3. Setelah itu ambil semua keping dan susun kembali menjadi bentuk:

4. Dengan peragaan di atas dapat dipahami dengan melihat pola dan susunan

keping-kepingnya (lihat salah satu warna) bahwa:

Kita dapat menuliskan sebagai berikut :

3

1

256

1

64

1

16

1

4

1

9

Setelah menggunakan alat peraga motivasi diawal pembelajaran, memasuki materi

limit deret geometri dapat menggunakan alat peraga berikut.

Nama Alat Peraga : LIMIT DERET GEOMETRI

Kegunaan : Untuk menurunkan rumus deret geometri dengan

rasio r, untuk 0 < r < 1.

Gambar :

Alat peraga terdiri dari bingkai, empat

keping trapesium yang sebangun (warna

merah dan hijau) dan satu keping

berbentuk segitiga (warna kuning).

Penggunaan :

Letakkan keping-keping trapesium ke dalam bingkainya.

1 r r2 r

3

1

1 – r

r r2

r3 r

4

10

Jika keping-keping trapezium sebangun tersebut diteruskan, maka akan mengisi

segitiga dengan sisisiku 1 dan (1 + r + r2 + r

3 + … ). Perhatikan bahwa segitiga

ini sebangun dengan segitiga kuning yang mempunyai sisisiku (1 – r) dan 1.

Akibatnya

1

1

1

132

r

rrr 1)

sehingga diperoleh rumus deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio r

untuk 0 < r < 1 yaitu :

rrrr

1

1 1 32 2)

Untuk mendapatkan rumus barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r

untuk 0 < r < 1, kalikan kedua ruas pada Persamaan 2) dengan a.

r

aararara

1 32

Berbagai alat peraga untuk pembelajaran limit deret geometri ini berfungsi membantu

siswa untuk berpikir dengan menggunakan objek konkrit. Dengan demikian,

diharapkan konsep deret geometri akan lebih mudah dipahami.

Documents

Materi APM Edisi Juni-Juli