Materia Matematicas II

PORCENTAJE

Porcentaje es una parte de un cien

20% Por cada 100 unidades tomo 20. Tanto por ciento.

5% Por cada 100 unidades tomo 5. Tanto por ciento.

0,09% Por cada 1 unidad tomo 0,09. Tanto por uno.

Ejemplos

TANTO POR CIENTO. TANTO POR UNO

4% 0.04 0.05 5%

12% 0.12 0.19 19%

50% 0.50 0.65 65%

170% 1.70 3.29 329%

51

4% 5.25% 0.0525

71

2% 7.5% 0.075

123

4% 12.75% 0.1275

193

5% 19.60% 0.196

UTILIDADES DEL PORCENTAJE.

U= PV- PC

U= Utilidad

PV= Precio de Venta

PC= Precio de compra o Costo.

Hallar la utilidad de un pantaln cuyo precio de costo es $40 y su utilidad es de

17% sobre el precio.

DATOS

U= 0.17 PV= PC (U)

PV= 40 PV= 40 (0,17)

PC=? PV= 46,80

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO.

Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de vista es $930 y se

aplica un descuento del 9% por la compra al contado.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (1 0.09)

d= 0.09 PF= 930 (0.91)

PF= 846, 30

Hallar el precio de una factura de una cocina cuyo precio de lista es $930 y se

ofrece un descuento de

% al contado.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d)

PV= 930 PF= 930 (0. 9275)

d= 0.0725 PF= 862,58

Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio es de $1,650 y se

ofrece descuento de 2% y 11% respectivamente por su compra.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1- d)

PV= 1,650 PF= 1,650 (0. 98) (0.89)

d= 0.02 y 0.11 PF= 1,439.13

Hallar el precio de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista

es $700 y se ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12%.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 700 PF= 700 (1 0.03) (1 + 0.12)

d= 0.03 PF= 700 (0. 97) (1.12)

i= 0.12 PF= 760, 48

Hallar el precio de factura de un electrodomstico cuyo precio de lista es $190 y se

ofrece un descuento de 3%, 6% y se aplica impuestos del 5% y 17%.

DATOS.

PF=? PF= PV (1- d) (1 + 12)

PV= 190 PF= 190 (1 0.09) (1 + 0.22)

d= 0.03 y 0.06 PF= 190 (0. 91) (1.22)

i= 0.05 y 0.17 PF= 210,94

Hallar la Utilidad de un pantaln, si el precio de compra es de $30 y de desea

vender en $45.

DATOS.

PC= 30 U= PV - PC

PV= 45 U= 45 - 30

U=? U= 15

A qu precio se debe marcar un vestido para su venta y si se compr en $190 y se

desea ganar el 18% sobre el precio de compra.

DATOS.

PC= 190 PV= PC ( 1 + im )

PV=? PV= 190 (1.18)

U=0.18 PV= 224,20

A qu precio se debe marcar un calentador, cuyo precio de compra es de $75 y

desea obtener una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Hallar tambin la

utilidad con respecto al precio de venta y al precio de compra.

DATOS.

PC= 75 PV= PC + U U= PV - PC

PV=? PV= 75 + 0.20 PV U= 93.75 - 75

U=0.20 PV 0.20 PV = 75 U= 18.75

0.80 PV = 75

PV = 75

0.80

PV = 93,75

Utilidad en funcin del PV

93.75 100%

18.75 X= 18.75100

93.75 = 20

Utilidad en funcin del PC

75 100%

18.75 X = 18.75100

75 = 25

Hallar el precio de compra de un artculo que se vendi en $130 con una utilidad

del 35% sobre el precio de compra.

PC=? PV = PC + U U= PV - PC

PV= 130 130 = PC + 0.35 PC U= 130 3.71

U= 0.35% PC 130

35 = PC U = 126,29

PC= 3.71

Utilidad en funcin del PC

130 100%

126,29 X = 126.29100

130 = 97.15

CALCULO DE n e i

1.- ( 1 + i)n =

+ (

)3 + 50

( 1 + i)n = 5225

56

(1

21)

( 1 + i)n =( 5225

56) =

i= 24,10

2.- ( 1 + i)4 =

+

=604 - ( 7 -

)5

( 1 + i)4 = 604 ( 7 - 12

7 )5 -

12

7 - 4-

1

3

( 1 + i)= 12,948.39

3.- ( 1 + i)6 +

+

= 202 + ( 1 -5,3)4 + (

-

)

( 1 + i)6 = 738.15

(1

6)

( 1 + i)n =( 738.15) = 123.03 1=122,03 * 100=12,202

4.- ( 2 + i)15 +

-

= ( 3-

)2 + 4

1

7

( 2 + i)15 = 10639

588

( 2 + i)15 = -78,707

5.- ( 1 +

) = 3-

+

(9 12)2

( 1 + 3

2 ) =

53

3

log ( 1 + 3

2 )n =log

53

3

n=log

53

3

log 5

2

=

n=1,247

0.3979=

n=3,13

6.- (

)2 + 1+

=5 -

+ 2

(

)3

log ( 3

2 )n =log 32446,54

n=log 32446,54

log 3

2

= 25,62

7.-

- ( 2+

)n = 3

- 5 2 (

-

)2 + 73

- ( 2+ 25

8 )n = 343,75446

No hay logaritmo

Progresiones Aritmticas

2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20. Progresin Aritmtica creciente

6 , 11 , 16 , 21 , 26 , 31

30 , 28 , 24 , 20 Progresin Decreciente Ascendente

CALCULO DE LA DIFERENCIA

Seleccin de 2 trminos consecutivos de la progresin y resta el segundo menos el

primero

2-5=3

1. 7,

, -

, - 10 ,

-

d=4

3 7

d= - 17

3

2. 8,

, -

, -

-

d= - 31

5

3. 4,

, 10, 13, 16, 19

d= 3

4. ,

,

,

-

,

, 3

d= 9

20

CALCULO DEL LTIMO O ENESIMO TRMINO

6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Es una progresin

3, 5, 7, 11, 15, 19.No es una progresin

1 , 1 + , 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, 1 + 7, 1 + 8, 1 + 9

Primer trmino ms diferencia

37 t = 1 + 36

193 t = 1 + 192

589 t = 1 + 588

Para hallar el ltimo trmino aplicamos.

1 =

= / = + ( 1)

=

=

=

CALCULO DE LA SUMA DE TERMINOS DE LA PROGRESIN ARITMTICA

Para sumar los trminos de una progresin aritmtica deducimos la siguiente frmula.

= ( 1 + ) + ( 1 + 2) + . . . + ( 2) + ( ) + (1)

Reordenando tenemos

= + ( 2) + ( ) + . . . +( 1 + ) + ( 1 + 2) 1 (1)

Sumando miembros a miembros (1+ 2) tenemos:

2 = (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + + (1 + ) + (1 + ) +

2 = (1 + )

Despejando tenemos =

2 (1 + )

Sustituyendo la frmula del ltimo trmino en esta ecuacin tenemos:

=

2 [21 + ( 1)]

EJERCICIOS EN CLASE

Hallar el trmino 49 y la suma de la progresin siguiente.

6, 13

1 = 6

= ?

= 49

= 7

= ?

= 1 + ( 1)

= 6 + (49 - 1) 7

= 6 + (48)7

= 6 + 336

= 342 //

=

2 (1 + )

= 49

2 (6 + 342 )

= 49

2 (348 )

= 8526 //

Hallar el trmino 153 y la suma de la progresin siguiente:

50, 60

1 = 50

= ?

= 153

= 10

= ?

= 1 + ( 1)

= 50 + (153 1)10

= 50 + (152)10

Halar el trmino 39 y la suma de la progresin siguiente:

7

4 ,

3

5

1 =7

4

= ?

= 39

= 23

20

= ?

= 1 + ( 1)

= 50 + (153 1)10

= 50 + (152)10

= 50 + (1520)

= 1570 //

=

2 (1 + )

= 153

2 (50 + 1570 )

= 153

2 (1620 )

= 123.930

= 1 + ( 1)

=7

4+ (39 1)

23

20

=7

4+ (38)

23

20

=7

4+ (

437

10)

= 839

20

=

2 (1 + )

= 39

2 (

7

4

839

20 )

= 39

2 (

7

4

839

20 )

= 39

2 (

7

4

839

20 )

= 39

2 (

201

5 )

= 7839

10

Hallar el trmino 85 de la suma y la progresin siguiente:

1

2 ,

3

5

1 =1

2

= ?

= 85

= 1

10

= ?

= 1 + ( 1)

=1

2+ (85 1)

1

10

=1

2+ (84)

1

10

=1

2+ (

42

5 )

= 89

10

=

2 (1 + )

= 85

2 (

1

2+

89

10 )

= 85

2 (

47

50 )

= 799

20

1. Una persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primer

mes $40 el segundo mes $ 48 el tercer mes $ 56 as sucesivamente. Hallar el precio total

del computador si los pagos lo hizo durante un ao y medio.

DATOS

1 = 40

= ?

= 18

= 8

= ?

= 1 + ( 1)

= 40 + (18 1)8

= 40 + (17)8

= 40 + (136)

= 176

=

2 (1 + )

= 18

2 (40 + 176 )

= 18

2 (40 + 176 )

= 18

2 (216 )

= 1944

2. Interpolar cuatro medios aritmticos entre 7 y 32.

7,12,17,22,27,32 //

DATOS

1 = 7

= 32

= 6

=

= 1 + ( 1)

32 = 7 + (6 1)

32 = 7 + (5)

32 = 7 + 5

32 7 = 5

25 = 5

= 25

5

= 5

=

2 (1 + )

= 6

2 (7 + 32 )

= 6

2 (39 )

= 117

3. El cuarto trmino de una progresin aritmtica es 34 el sexto termino de esa misma

progresin es 52 halle la suma si la progresin consta de 7 trminos.

1 ; 1 + ; 1 + 1; 1 + 2; 1 + 3

1; 2; 3 ; 4

4 = 1 + 3 6 = 1 + 5

34 = 1 + 3 52 = 1 + 5

34 = 1 + 3

52 = 1 + 5

18 = 2

= 18

2

= 9

52 = 1 + 5 (9)

52 = 1 + 45

52- 45 = 1

7 = 1

7; 16; 25; 34; 43; 52; 61

PROGRESIONES GEOMETRICAS

Es una serie de nmeros ordenados, tal que cada trmino posterior al primero se obtiene

multiplicando o dividiendo un nmero fijo llamado razn de la progresin.

EJEMPLO

4, 12, 36, 108

7, -12, 63, -189.. LAS TRES SON PROGRESIONES

CRECIENTES

6, 24, 61, 384..

81, 23, 9, 3, 1, 1

3 ,

1

9 ,

1

27 ES UNA PROGRESION DECRECIENTE

La razn es el segundo trmino dividido por el primero

36,108

= 108 36 = 3

63 ; 21

= 63 21

= 3

96 ; 384

= 384 96

= 4

27; 9

= 9 27

= 1

3

Es una progresin creciente cuando la razn es un nmero entero.

Es una progresin decreciente cuando la razn es una fraccin.

CLCULO DEL ENESIMO O LTIMO TRMINO Y LA SUMATORIA

Para hallar el ltimo trmino aplicamos

1 =

= / = 1 . (1)

=

=

=

SUMA DE LOS TRMINOS.- Para sumar los trminos de una progresin geomtrica

deducimos la siguiente formula.

= 1 + 1 + 12 + 1

3 + . + 1( 2) + 1

( 1) (1)

= 1 + 1 + 12 + 1

3 + . . + 1( 1) (2)

= 1 1

(1 ) = 1 1

Despejando tenemos

= 1 1

()

1

MULTIPLICANDO POR -1 TENEMOS

= 1

() 1 1

Si al ltimo trmino multiplicamos por r y sustituimos en la ecuacin obtenemos otra

frmula.

= 1(1)

= 1()

= 1 .

1

Hallar el trmino 39 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica

7, 28, 112

1 = 7

= ?

= 39

= 4

= ?

= 1 . (1)

= 7 . 4(391)

= 7 . 4(38)

= 5,28 1023

= 1 1

()

1

= 7 7 (4)39

1 4

= 7 7 (4)39

1 4

= 7,05 1023

Hallar el trmino 54 y la suma de los trminos dada la siguiente progresin geomtrica.

7, 28

1 = 7

= ?

= 54

= 4

= ?

= 1 . (1)

= 7 . 4(541)

= 7 . 4(53)

= 5,68 1032

= 1 1

()

1

= 7 7. 4(54)

1 4

= 7,57 1032

Hallar el trmino 62 de la siguiente progresin

3

4 ;

5

7

1 =3

4

= ?

= 62

= 20

21

= ?

= 1 . (1)

=3

4 .

20

21

(621)

=3

4 . (

20

21)(61)

= 0,038

=

34

34

.2021

(62)

(1 2021

)

= 14,79

Una maquina tiene un costo de $ 35000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del

4% del valor que tiene al principio del ao determine el costo de la mquina al final del

dcimo cuarto ao de uso.

1 = 33600

= ?

= 14

= 0,04

= 1 . (1)

= 33600 (, 96)13

= 19763, 57

= 1 . ()

= 35000 (0,96)14

= 19763, 57

Determine el valor de una maquina al cabo de 20 aos de uso si su costo inicial fue de

20000 y al final de cada ao sufre una depreciacin del % del precio que tuvo al

principio del ao.

1 = 19350

= ?

= 20

= 0,0325

= 20000

= 1 . (1)

= 19350 . 0,0325(201)

= 19350 . 0,0325(19)

= 10328,79

PROGRESIONES ARMONICAS

Es el reciproco de la progresin aritmtica

5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68. ARITMTICA

1

5 ;

1

12 ;

1

19 ;

1

26 ;

1

33 ;

1

40 ;

1

47 ;

1

54 ;

1

61 ;

1

68 ARMNICA

Hallar el trmino 17 y la suma de los 17 primeros trminos de la progresin siguiente.

3, 11, 19, 27, 35

= 1 + ( 1)

= 3 + (17 1)8

= 131

=

2 (1 + )

= 17

2 (3 + 131 )

= 1139

= 1

131

= 1

1139

1

3 ;

1

11 ;

1

19 ;

1

27 ;

1

35

INTERS SIMPLE

Banco tasa pasiva - tasa de retorno

Usuario tasa activa - tasa de inters

= Tasa de inters

=

Calcular la tasa de inters de un capital $ 230 que genera un inters de 35.

Datos

= 230

= 35

=

=

35

230 = 15.217%

Calcular la tasa de inters de un capital $ 13,600 que genere un inters de 235

= 13,600

= 235

=

=

235

13,600 = 1.727%

Calcular la tasa de inters de un capital $ 21,980 que genere un inters de 5,320

= 21,980

= 5,320

=

=

5,320

21,980 = 24.204%

= . .

=

=

=

=

Hallar el inters de un capital $ 920 colocados con una tasa de inters del 4% durante 2

aos.

=?

= 920

= 0.04

= 2

= . .

= 920(0.04)(2)

= 73.60

Hallar el inters de un capital $ 23,570 colocados con una tasa de inters del 61

4%

durante 1 ao y 6 meses.

=?

= 23,570

= 0.0625

= 1.5

= . .

= 23,570(0.0625)(1.5)

= 2,209.69

Hallar el inters de un capital $ 9,550 colocados con una tasa de inters del 7% durante

8 meses.

=?

= 9.550

= 0.07

=8

12

= . .

= 9,550(0.07)(8

12)

= 445.67

Hallar el inters de un capital $ 2,200 colocados con una tasa de inters del 4% durante

170 dias.

=?

= 2,200

= 0.4

=170

30

= . .

= 2,200(0.04)(170

30)

= 498.70

TIPOS DE INTERS SIMPLE

1. Inters simple exacto

Cuando se utiliza ao calendario 365 o 366

2. Inters simple ordinario

Cuando uso el ao comercial 360 das o todos los meses tienen 30 das.

Calculo del tiempo.

Fecha Final

- Fecha Inicial

Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Agosto del 2006 hasta el 31 de Diciembre del 2007.

TIEMPO APROXIMADO

2007 12 31

2006 08 30

1 4 1

481 das

TIEMPO EXACTO

265

- 242

123

+ 365

488 das

Hallar el tiempo transcurrido desde el 30 de Mayo del 2011 hasta el 25 de Febrero del siguiente

ao.

TIEMPO APROXIMADO

2012 02 25

2011 05 30

2011 14 25

2011 05 30

2011 13 55

2011 05 30

0 8 25

265 das

TIEMPO EXACTO

56

- 150

- 94

+ 365

271 das

Hallar el tiempo que transcurre desde el 15 de Septiembre del 2006 hasta el 02 de Mayo del

2009.

TIEMPO APROXIMADO

2009 05 02

2006 09 15

2008 17 02

2006 09 15

2008 16 32

2006 09 15

2 7 17

947 das

Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.

TIEMPO EXACTO

122

- 258

- 136

+1095

959 das

Se aumenta da porque el ao 2008 es bisiesto.

Hallar el inters de una cantidad de $ 3,200 colocados al 3% desde el 7 de Noviembre del 2001

hasta 15 de Abril del siguiente ao.

DATOS

= 3,200

= 0.3

TIEMPO APROXIMADO

2002 04 15

2001 11 7

2001 16 15

2001 11 7

0 5 8

158 das

TIEMPO EXACTO

105

- 311

- 206

+ 365

159 das

Inters Simple Exacto con Tiempo

Aproximado

Inters Simple Ordinario con Tiempo

Aproximado

, (. ) (

) = .

3,200(0.03) (158

360) = 42.13

Inters Simple Exacto con Tiempo Exacto Inters Simple Ordinario con Tiempo Exacto

, (. ) (

) = .

3,200(0.03) (159

360) = 42.40

Hallar el inters simple de una capital de $ 5,600 colocados a una tasa de 7% desde el 3 de

Mayo del 2010 hasta 15 de Abril del 2012 en sus dos formas.

DATOS

= 5,600

= 0.07

TIEMPO APROXIMADO

2012 04 15

2010 05 3

2011 16 15

2010 05 3

1 11 12

703 das

Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto

TIEMPO EXACTO

105

- 123

+ 365

713 das

Se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto


Aproximado


Aproximado

, (. ) (

) = .

5,600(0.07) (703

360) = 765.49


, (. ) (

) = .

5,600(0.07) (713

360) = 776.38

Hallar el inters simple en sus dos formas de un capital de $ 8,300 colocados con una tasa de

12% desde el 30 de Septiembre del 2011 hasta el 5 de Junio del siguiente ao.

DATOS

= 8,300

= 0.12

TIEMPO APROXIMADO

2012 06 05

2011 09 30

2011 16 05

2011 09 30

2011 16 35

2011 09 30

0 8 5

246 das Es 247 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.

TIEMPO EXACTO

156

- 273

+ 365

248 das Es 249 das se aumenta 1 da porque el ao 2012 es bisiesto.


Aproximado


Aproximado

, (. ) (

) = .

8,300(0.12) (246

360) = 680.60


, (. ) (

) = .

8,300(0.12) (249

360) = 688.90

Monto

= +

= + . .

= ( . . )

= = = =

CALCULO DE TIEMPO

=

=

1.-En que tiempo tiene un capital de $ 2800 genera $ 65 al 7 %

Datos:

C= $ 2800

I= 65

i=0,07

2.-En que tiempo tiene un capital de $ 7000 gana $ 130 con una tasa del 11 %

Datos:

C= $ 7000

I= 130

i=0,11

3.-En que tiempo tiene un capital de $ 4500 gana $ 135 con una tasa del 0,5 %

Datos:

= 65

2800 0,07

t= 0,331632 aos 3 meses 29 dias 9 horas

t= 119 das

= 130

7000 0,11

t= 0, 168831168 aos 2meses 0 dias 18 horas

t= 61 das

= 135

4500 0,05

t= 6 meses

C= $ 7000

I= 130

i=0,11

4.-En que tiempo tiene un capital de $ 3900 se convierte en $ 11200 con una tasa

del 17 % semestral

Datos:

C= $ 3900

i=0,17

M= 11200

CLCULO DE LA TASA DE INTERS

= . . = ( + . )

=

. =

.

A que tasa de inters se debe colocar un capital de $ 8,300 para que genere un

inters de $ 45 durante 7 meses.

DATOS

= 8,300 =45

8,300(7

12)

= 45 = 00,09294%

= 7

Hallar a que tasa de inters semestral se debe colocar un capital de $ 5,200 desde el

5 de Enero hasta el 3 de Diciembre del mismo ao para obtener el triple.

DATOS

= 5,200 =15,600 5,200

5,200( 332

180)

= 11200 3900

3900 0,17

t= 11 meses 66 meses 2 das

t= 1982 dias

= 45 = 108,4337%

= 332 d

= 15,600

A que tasa de inters trimestral se debe colocar un capital de $ 8,000 para que nos

produzca

veces ms desde el 6 de Abril hasta el 9 de Mayo del mismo ao.

DATOS

= 8,000 =14,000 8,000

8,000( 33

90)

= = 204,5455%

= 33 d

= 14,000

Hallar a que tasa de inters de un capital de $ 6,900 que se convierte en 13,700 en 8

meses.

DATOS

= 6,900 =13,700 6,900

6,900( 8

12)

= = 147,8261%

= 8

= 13,700

CLCULO DE SALDOS DEUDORES

Algunas instituciones y casas comerciales que trabajan con crditos utilizan uno de los

dos mtodos.

Acumulacin de intereses o mtodo de lagarto

Intereses sobre saldos deudores

PROBLEMAS

Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14.000 con un tasa del 2%

mensual para 321 aos. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000(1 + (0,02 42)) = 25.760

42

=42 meses =25.760 = 613,33

= 0,02 =

= 25.760 14.000

= 1.760

MTODO DE SALDOS DEUDORES

=

# = ( ) = +

= 14.000

42 1 = 14.000(0,02 1) 1 = 333,33 + 280

= 333,33 1 = 280 1 = 613,33

= ( ) = + = , + ()(, )

2 = 13.66.67(0,02 1) 2 = 333,33 + 273,23 = 339,86

2 = 273,23 2 = 606,66

=

(, + , ) =

# = . , .

= 20.016,99 =20.016,99

42 = 6.016,99

= 476,60 =6.016,99

(14.00042)

= 1,0233%

Una agencia de autos vende automviles en $20.000 con una cuota inicial del 30% y el

resto a 40 meses plazos con una tasa del 13%. Determine el valor de la cuota mensual

por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000 (1 + (0,13 40

12)) =

20.066,67

40

=40 meses =20.066,67 = 501,67

= 0,13 Anual =

= 20.066,67 14.000

= 6.606,67


=

# = ( ) = +

= 14.000

40 1 = 14.000 (0,13

1

12) 1 = 350 + 151,67

= 350 1 = 151,67 1 = 501,67

= ( ) = + = , +

()(, )

2 = 13.650 (0,13 1

12) 2 = 350 + 147,88 = 353,86

2 = 147,88 2 = 497,88

=

(, + , ) =

# = . , .

= 17.110,60 =17.110,60

40 = 3.110,6

= 427,77 =3.110,6

(14.00040)

= 0.5555%

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

=

El 7 de diciembre se firm un documento de $ 3.600 a 190 das plazo. Hallar el

descuento racional de ese documento si se descuenta el 5 de Abril del siguiente ao con

una tasa del 3% mensual.

341 13.500 3.600

-190 341dias 95das i=0,03 166das

531 =

(+) =

365 =3.600

(1+(0.0371

30))

= 3.600 3.361,34

166 =3.361,34 = 238,66

COMPROBACIN

= ( )

= 3.361,34 (0.03 (71

30))

= 238.66

Determine el descuento racial de un pagare de $ 4.800 firmados el 6 de Octubre del 200

con una tasa del 17% desde su suscripcin hasta el 4 de Abril del 2011 si se descuenta

el 29 de Noviembre del 2010 con una tasa del 22% semestral.

279 4.800 = , 3.600

-94 279--2009 333das i=0,03 94--2010

730 = ( + ) =

(+)

545 das = 4.800 (1 + 0,17 (545

360)) =

6.035,33

(1+0,22(126

180))

= 6.035,33 = 5.229,92

= COMPROBACIN

= 6.035,33 5.229,92 = 5.229,92(0,22) (126

180)

= 805,41 = 805,41

El 7 de Enero se firma un pagare por $5.800 con una tasa del 22% trimestral este

documento se tiene que pagar el 29 de Diciembre del mismo ao. Hallar el descuento

racional si se descuenta 20 das antes de su vencimiento con una tasa de 0,01%.

365 5.800 = ,

-7 7 enero 20 das i=0,0001 29 diciembre

356 Das 7 365

= ( + ) =

(+)

= 5.800 (1 + 0,22 (356

90)) =

10.847,29

(1+0,0001(20

30))

= 10.847,29 = 10.846,57

= COMPROBACIN

= 10.847,29 10.846,57 = 10.846,57(0.0001) (20

30)

=0,72 = 0,72

DESCUENTO BANCARIO

El descuento bancario se calcula de la siguiente manera

= = ( )

=

=

=

=

Hallar el descuento bancario de un banco, aplica a un cliente que descuenta un pagare

de $7.900 el da de hoy a 120 das plazo consideran una tasa del 13%.

7.900 7.900

0 d=0,13 120 das

= 7.900(0,13) (120

360)

= 432,33

Determinar el descuento bancario de un documento $ 8.900 firmado el 7 de Febrero a

220 das plazo con una tasa de inters del 11% si se descuenta el primero de Mayo del

mismo ao con una tasa del 17% trimestral.

8.900 = 0,11

7 febrero 1 mayo 220 das

38 121 258

= ( + ) =

= 8.900 (1 + 0,11 (220

360)) = 9.498,28(0,17) (

137

90)

= 9.498,28 = 2.457,94

= ( ) =

= 9.498,28 (1 0,17 (137

90)) = 2.457,94 7.040,34

= 7.040,34 = 2.457,94

DESCUENTO SIMPLE

= =

= = ( )

=

()

El 7 de Octubre se firma un documento de $ 5.800 con una tasa de 13% a 310 das

plazo. Hallar el valor efectivo que se recibe, si se descuenta este documento el 5 de

Febrero del siguiente ao con una tasa del 19% trimestral.

280 5.800 = ,

-225 7 Octubre 15 Febrero 29 Diciembre

365 280 36 i=0,19 225

310das

= 5.800 (1 + 0,13 (310

360)) = 6.445,28 (1 0,19 (

189

90))

= 6.445,28 = 3.876.02

= COMPROBACIN

= 6.445,28 3.876.02 =

= 2.573,26 = 6.445,28(0,19) (189

90)

D = 2.573,26

Cuanto debe solicitar Margarita en el Banco de Pichincha para obtener $7.300 con una

tasa del 15% para dentro de 130 das plazo.

=

() =

7.300

(10,15(130

360))

= 7.718,06

Relacin entre la tasa de inters (i) y la tasa de descuento

1. La tasa de inters simple se utiliza en el descuento racional o matemtico y se

aplica generalmente sobre el capital.

2. La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica

en el monto

Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagare de $8.000 a 290 das

plazo si se descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.

800 = ,

0 55 290

= 0,11

=

(+) = ( ) =

=800

(1+0,11(55

90))

= 800 (1 0,11 (55

90)) = 800(0,11) (

55

90)

= 749,60 = 746,22 = 53,78

La relacin entre las tasas queda establecida de la siguiente forma.

= ( + ) =

()

=

() =

(+)

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 das.

=

() =

0,22

(10,22(140

360))

= 24,0583%

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.

=0,25

(10,25(8

12))

= 3%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 33% durante 230 das.

=0,33

(1+0,33(230

360))

= 27,2540%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 30% durante 8 meses.

=0,30

(1+0,30(8

12))

= 25%

Una persona realiza el descuento de un pagare a 220 das plazo por $8.700. 40 das

antes de la fecha de vencimiento con una tasa del descuento del 11% ese mismo da el

Banco de Pichincha redescuento el documento en el Banco Internacional con una tasa

del 7%. Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el Banco del

Pichincha.

= 8.700(1 + 0,11) (40

360) = 8.700(1 0,07) (

40

360)

= 8.593,67 = 8.632,34

Recibe el persona Recibe el banco

UNIDAD N=2

ECUACIONES DE VALOR

= ( + ) =

(+)

=

(+) = ( )

Fecha Montos F .F valor actual

Las Ecuaciones de Valor se utiliza para resolver problemas de matemtica financiera

donde se remplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento

por una o varias fechas de referencia por un valor o varios valores previo acuerdo ante

acreedor y deudor.

Reemplazar un conjunto de valores, deudas, obligaciones para un solo valor.

Comparacin de oferta para comprar y vender.

Para calcular el moto de una serie de depsitos a corto plazo.

Para calcular el capital de una serie de depsitos d cort plazo.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones de $15.000 a 60 das plazo, $20.000 a

130 das plazo, $30.000 a 250 das plazo, $35.000 a 300 das plazo. La empresa desea

remplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 330 das plazo.

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 250 300 310

= + + +

1 = 270 = 15.000 (1 + 0,15 (270

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

200

360)) +

2 = 200 30.000 (1 + 0,15 (80

360)) + 35.000 (1 + 0,15 (

30

360))

3 = 80 = 104.796,67

4 = 30

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy.

X

15.000 20.000 30.000 35.000

0 60 130 250 300

F .F

= + + +

2

3 4

1 =0,15

2

3

4

1

=0,10

=15.000

(1+0,15(60

360))

+20.000

(1+0,15(130

360))

+30.000

(1+0,15(250

360))

+35.000

(1+0,15(300

360))

= 91.887,40

En el problema numero 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos

pagos iguales a los 200 y 350 das plazo, tomado como fecha focal a los 200 das.

X

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 200 250 300 350

F .F

= + + +

= 15.000 (1 + 0,15 (140

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

70

360)) +

30.000

(1+0,15(30

360))

+

35.000

(1+0,15(100

360))

(1+0,15(150

360))

= 99.446,09 0,9411

=99.446,09

1,9411

= 51.231,82

Una persona debe $2.600 a 90 das plazo con una tasa del 1,5% mensual; $4.000 a 140

das plazo con una tasa del 6 %trimestral; $7.000 a 220 das plazo con una tasa del 9%

semestral; $11.000 a 300 das plazo con una tasa del 17% esta persona desea remplazar

todas estas deudas por una solo pago a los 200 das plazo con una tasa de descuento del

11%. Hallar el valor de dicho pago.

1 = 2.600 (1 + 0,015 (90

30)) =2.717

2 = 4.000 (1 + 0,06 (140

90)) =54.373,33

3 = 7.000 (1 + 0,09 (220

180)) =7.770

4 = 11.000 (1 + 0,17 (300

360)) =12.558,33

2 3 1

1 2

X

2.717 4.373,33 7.770 12.558,33

0 40 60 63 65 200

= 1 + 2 + 1 + 2 F .F

=2.717

(10,11(110

360))

+4.373,33

(10,11(60

360))

+ 7.770 (1 0,11 (20

360)) + 12.558,33 (1

0,11 (100

360))

=27.163,62

Una persona desea vender su terreno y recibe tres ofertas $2.000 al contado y 2.000 a 1

ao plazo; la segunda 1.500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazos;

tercero 600 al contado con una letra de 400 a 2 meses plazos y 2 letras de 1500 cada

una a los 5 y 9 meses plazo respectivamente. Determine cual oferta le conviene al

vendedor si se recarga una tasa del 2% mensual.

Primera oferta

X X = 2.000 +2.000

(1+0,02(12))

2.000 2.000 X = 3.612,90

0 12 meses

F.F

Segunda oferta

X X = 2.500 +1.250

(1+0,02(7))+

1.250

(1+0,02(11))

2.500 1.250 1.250 X = 3.621,08

0 7 11meses

F.F

Tercera oferta

X

600 400 1.500 1.500

0 2 meses 5 meses 9 meses

F.F X = 600 +400

(1+0,02(2))+

1.500

(1+0,02(5))+

1.500

(1+0,02(9))

X = 3.619,44

2 1

1 2

Desde el punto de vista del vendedor le conviene la segunda oferta

Desde el punto de vista del comprador le conviene la primera oferta

Hallar el monto de una serie de depsitos de $ 450 que se hacen durante 4 meses

con una tasa del 7%. M

450 450 450 450

1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12)) + 450 (1 + 0,07 (

1

12)) + 450

X = 1.815,75

Si el problema anterior se utiliza una tasa anticipada y los meses por anticipado

cual es el monto.

450 450 450 450

0 1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (4

12)) + 450 (1 + 0,07 (

3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12))

+ (1 + 0,07 (1

12))

X = 1.826,25

Determinar el valor de la deuda original si Jessica deposita cada mes durante 5

meses con una tasa del 11%

X 350 350 350 350 350

0 1 2 3 4 5

X =350

(1+0,11(5

12))

+350

(1+0,11(4

12))

+350

(1+0,11(3

12))

+350

(1+0,11(2

12))

+350

(1+0,11(1

12))

X = 1.703,43

CUENTAS DE AHORRO

La seorita Avils tiene una cuenta de ahorro en la cual realiza las siguientes

transacciones:

2l 10-01 depositas 1500 para abrir su cuenta

El 13-02 deposita 500 el 5-03 retira 800

El 10-04 retira 500 el 9-05 deposita 600.

Cuanto tendr en su cuenta si se aplica una tasa de inters de 8% al final del primer

semestre.

Depsitos (+) retiro (-)

I1 = 1500(0,08) (17

360) I1 =

800(0,08) (117

360)

I1 = 57 I1 = 20,80

I2 = 500(0,08) (137

360) I1 =

500(0,08) (81

360)

I1 = 15,22 I1 = 9

I3 = 600(0,08) (52

360) IC = I1 + I2

I1 = 6,93 TC = 20,80 + 9

TA = I1 + I2 + I3 IL = TA TC = ,

TA = 57 + 15,22 + 6,93 IL = 79,15 29,80 CC =800+500

= , IL = 49,35 CC =1.300

CA = 1.500 + 500 + 600

CA = 2.600

CL = 2.600 1.300 M = 1.300 + 49,35

CL = 1.300 M = 1.349,35

La seorita XX posee una cuenta de ahorro con $200 el 30-06 y realiza los siguientes

transacciones,

04-07 deposita $600,

El 09-08 retira $700,

El 20-09 retira $300,

El 20 -10 deposita $150,

El 20-01 retira $200.

Liquide esta cuenta al 31 -12 con una tasa del 9%.

Una persona tiene una cuenta de ahorros en lo que realiza las siguientes transacciones:

1.600 deposita el 3-01 para abrir su cuenta.

12-02 retira $600

4-03 deposita 200

15-04 retira 500

2-06 deposita 900

5-07 retira 300

9-09 retira 100

29-10 retira 400

La cuenta se liquida semestralmente para el primer semestre se reconoce con una tasa del

7% y la segunda semestre con una tasa del 5% cuanto tendr esta persona el 31-12.

FECHA DEPOSITO RETIRO SALDO

10-ene 1.500 1500 57

13-feb 500 2000 15,22

05-mar 800 1200 20,8

10-abr 500 700 9

09-may 600 1300 6,93

30-jun 4,35 1349,35 79,15 29,8

(+) INTERES(-)


30-jun 2.000,00 2.000,00 92,00

04-jul 600,00 2.600,00 27,00

09-ago 700,00 1.900,00 25,20

20-sep 300,00 1.600,00 7,65

20-oct 150,00 1.750,00 270,00

20-ene 200,00 1.550,00 0,55

31-dic 88,30 1.638,30 121,70 33,40

(+) INTERES(-)

INTERS COMPUESTO

El inters simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez

El inters compuesto se utiliza a largo plazo y se utiliza dependiendo los periodos

Hallar el inters simple t el inters compuesto de un capital de $10000 colocados al

17% durante 5 periodos

INTERS SIMPLE

= 10000(1 + 0.17(5))

= 18500

= 18500 1000

= 8500


03-ene 1.600,00 1.600,00 55,37

12-feb 600,00 1.000,00 16,10

04-mar 200,00 1.200,00 4,59

15-may 500,00 700,00 4,47

02-jun 900,00 1.600,00 4,90

30-jun 44,30 1.644,30 64,86 20,57

30-jun 1.644,30 42,02

05-jul 300 1.344,30 7,46

09-sep 100 1.244,30 1,57

29-oct 900 2.144,30 7,88

23-dic 400 1.744,30 0,44

40,43 1.784,73 49,90 9,47

(+) INTERES(-)

INTERS COMPUESTO

= 1000(1 + 0,17(1))

= 11.700

= 1170(1 + 0,17(1))

= 13.689

= 13689(1 + 0,17(1))

= 16.016,13

= 16.016,13(1 + 0,17(1))

= 18.738,87

= 18.738,87(1 + 0,17(1))

= 21,924.48

= 21,924.48(1 + 0,17(1))

= 11,924.48

VARIABLES

=

= ()

i= tasa de inters

j= tasa nominal

m= la convertibilidad en 1 ao

n= total de periodos

=

= .

Determine el nmero de periodos de convertibilidad (n) y la tasa de inters (i) durante 11 aos

13% convertible semestralmente.

=0.13

2

= 0,065

= 6,50% semestres

= 2(11)

= 22

Hallar (i), (n) durante 7 aos con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente

=0.14

2,4

= 4,58%

= 2,4(7)

= 16,8

Hallar (i), (n) durante 5 aos con una tasa del 6,5% capitalizable trimestralmente

=0.065

4

= 1,63%

= 4(5)

= 20

Hallar i ,n de un capital colocado a inters compuesto durante 12 aos y u ,eses con una tasa del

20% convertible cuatrimestral.

=0.20

6,67

= 2,99%

= 3(12)

= 37

Hallar i,n colocado con una tasa de inters compuesta durante 4 aos 10 meses con una tasa del

9% compuesto bimensual

=0.09

6

= 1.5%

= 6(4)

= 29

MONTO COMPUESTO

= (1 + )

= (1 +

).

Una empresa obtiene un prstamo de $ 3500 a 8 aos plazo con una tasa del 17% capitalizable

mensualmente hallar el inters compuesto

= 3500

= 0.17

= 2

= 8

= 35000 + (1 +0.17

2)(2(8))

= 129.105,24

I= M C

I= 94.105,24

Una empresa tiene un prstamo $25000 a 15 aos plazo con una tasa del 19% capitalizable

quimestralmente

= 25000 + (1 +0.19

2.4)(36)

= 38.8177,38

I= M C

= 388177 25000

I= 363171,38

CONVERTIBILIDAD CONTINUA O INSTANTANEA

= (1 + )

Determine el monto de un capital de $ 25000 a inters compuesto durante 15 aos y 9 meses si

la tasa de inters es

a) Tasa 7% efectivo

i= 0,07

n= 15,75

= 2500(1,007)(15,75)

= 72566,22

b) Tasa 7 % compuesta

quimestralmente

i= 0,029

n= 37,8 quimestres

= 2500(1,02916)(37,8)

= 74095,79

c) 7% compuesto cuatrimestral

i= 0,0233

n= 47,25

= 2500(1,02333)(47,25)

= 74.333,08

d) 7% compuesto trimestral

i= 0,0175

n= 63

= 2500(1,0175)(63)

= 74.577,59

e) 7 % bimensual

i= 0,01167

n= 94,50

= 2500(1,01167)(94,5)

= 74.836,49

f) 7 % compuesto mensual

i= 0,00583

n= 45,3

= 2500(1,0583)(189)

= 75.004,36

g) 7% compuesto diariamente

i= 0,071

n= 5745

= 2500(1,000194)(5745)

= 76.195,14

h) 6% compuesto instantneamente

i= 0,007

n= 15,75

= 2500(2,7182)(0,07.15,75)

= 75.289,65

Determine el monto de un capital de$ 39000 a 9 aos 7 meses si la tasa es:

a) Tasa 9% efectivo

i= 0,09

n= 9,58

= 39000(1,09)(9,58)

= 89.045,19

b) Tasa 11 % semestral

i= 0,0055

n= 19,17

= 3900(1,055)(19,17)

= 108846.45

c) 13% compuesto quimestral

i= 0,05416

n= 23

= 3900(1,033)(18,20)

= 7.949.98

d) 12% compuesto cuatrimestral

i= 0,04

n= 28,75

= 3900(1,033)(22,75)

= 8,162.95

e) 19 % trimestral

i= 0,0475

n= 38,33

= 3900(1,0475)(38,33)

= 10,539.54

f) 11 % compuesto bimensual

i= 0,1833

n= 57,5

= 3900(1,1833)(57,5)

= 62.232,80

g) 13% compuesto mensual

i= 0,0183

n= 115

= 3900(1,0183)(115)

= 92.363,85

h) 18% convertible diariamente

i= 0,0005

n= 3495

= 3900(1,0005)(3495)

= 22.377.14

i) 9% instantneamente

i= 0,09

n= 9,58

= 3900(2,7182)(0,099,58)

= 92,363.85

MONTO COMPUESTO CON PERIODO FRACCIONARIO

Cuanto tiempo de plazo no coincide con el periodo de convertibilidad se utiliza este mtodo

Determine n en 4 aos 11 meses si se convierte semestral.

=4(12) + 11

6

=59

6

= 9 + 5

6

Determine 12 en 9 aos 3 meses si se convierte quimestral

=9(12) + 3

5

=111

5

= 22 + 1

5

Determine n en 20 aos 8 meses si se convierte cuatrimestral

=20(12) + 8

4 = 62

=248

5

Determine n en 7 aos 11 meses si se convierte trimestralmente

=7(12) + 11

3

=95

3

= 31 + 2

3

Hallar n en 11 aos 9 meses convertible bimensualmente

=11(12) + 9

2

=141

2

= 70 + 1

2

Para resolver este tipo de problemas existen dos mtodos formas nuevas de resolver

1. MTODO MATEMTICO se utiliza la calculadora con el valor exacto E.

2. MTODO COMERCIAL se utiliza la parte entera para calcular el inters

compuesto y la parte fraccionaria para el inters simple.

PROBLEMAS

1. Determine el monto de una deuda de $4.700 a inters compuesto durante 9 aos

y 7 meses con una tasa del 10% compuesto semestralmente.

= 9 (12) + 7

6

=115

6

= 19 1

6

MTODO MATEMTICO

= 4.700 (1,05)(

1156

)

= 11.973,64

MTODO COMERCIAL

= 4.700 (1,05)(19) (1 + 0,05 (1

6))

= 11.975,64

2. Determine el monto de un capital de %8.500 a seis aos y 7 meses plazo con una

tasa del 13% convertible quimestralmente.

= 6 (12) + 7

5

=79

5

= 15 4

5

3. Determine el monto de un capital de $2.800 a 9 aos 5 meses plazo con una tasa

del 14% capitalizable trimestralmente.

= 9 (12) + 5

3

=113

3

= 37 2

3

TASAS EQUIVALENTES

TASA NORMAL (j) Es aquella que se convierte varias veces en un ao.

MTODO MATEMTICO

= 8.500 (1,05417)(

395 )

= 19.561, 73

MTODO COMERCIAL

= 8.500 (1,05417)(15) (1 + 0,05417 (4

5))

= 19.566,04

MTODO COMERCIAL

= 2.800 (1,035)(113

3 ) (1 + 0,035(2

3)

= 10.232,18

MTODO MATEMTICO

= 2.800 (1,035)(

1133 )

= 10.230,84

TASA EFECTIVA (i) Es aquella que acta una sola vez en el ao.

DOS TASAS ANUALES DE INTERS Con diferentes periodos de convertibilidad

son equivalentes si producen el mismo inters compuesto al final de un ao.

1. Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa del 19,252% efectiva.

= 100 (1.045)(4)

= 119, 25

2. Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa efectiva del 19,125%

efectiva.

= () () ()

= 100 (1,19522)

= 119, 25

1 + = ( 1 +

)

= ( 1 +

) 1

= [( 1 + )1

1]

A que tasa efectiva una tasa nominal del 15% convertible bimensualmente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,15

6)6 1

= 0,159693

= 15,9694%

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 8 % convertible diariamente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,08

360)360 1

= 0,08327

= 8,3277%

A que tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente una tasa efectiva del

9%.

= [( 1 + )1

1]

= 2 [( 1 + 0.09 )12 1]

= 2 [( 1.09 )12 1]

= 0,088061

= 8,8061%

A que tasa nominal convertible instantneamente equivalente una tasa efectiva del 10%.

No se puede resolver por no hay el tiempo

A que tasa nominal convertible instantneamente equivalente una tasa efectiva del 10%

cuatrimestralmente.

= [( 1 + )1

1]

= 3 [( 1.10 )13 1]

= 0,0968

= 9,6840%

A que tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una tasa efectiva del 21%.

= [( 1 + )1

1]

= 12 [( 1.21 )1

12 1]

= 0,192142

= 19,2142%

Una persona dese invertir %55.000 durante 7 aos y tiene las siguientes opciones

a) Una tasa de inters del 421 % efectiva

b) Una tasa de inters del 4% compuesta semestralmente.

c) Una tasa del 4,8% convertible trimestralmente

d) Una tasa del 4,9% cuatrimestralmente.

Cul de las opciones le sugiere usted.

a) Una tasa de inters del 421 % efectiva

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,045

7)7 1

= 0,045877

= 4,5877%

b) Una tasa de inters del 4% compuesta semestralmente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,04

2)2 1

= 0,0404

= 4,04%

c) Una tasa del 4,8% convertible trimestralmente

= ( 1 + 0,048

4)4 1

= 0,048871

= 4,8871%

d) Una tasa del 4,9% cuatrimestralmente.

= ( 1 + 0,049

3)3 1

= 0,049804

= 4,9805%

Se le sugiere la opcin d.

TASAS ANTICIPADAS

Calculo de la tasa de inters anticipada

Esta tasa se utiliza para cobrar o pagar por anticipado

1 + = ( 1

) SOLO CUANDO EXISTA LA PALABRA

ANTICIPADA

= ( 1

) 1

= [1 (1 + ) 1

]

A que tasa de inters efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 20%

convertible semestralmente.

= ( 1

) 1

= ( 1 0,20

2)( 2) 1

= 0,234568

= 23,4568%

A que tasa de inters efectiva anticipada es el equivalente una tasa anticipada del 17%

compuesto quimestralmente.

= ( 1

) 1

= ( 1 0,17

2,4)( 2,4) 1

= 0,192821

= 19,2821%

A que tasa de inters anticipada convertible bimensualmente es equivalente una tasa

efectiva anticipada del 14%.

= [1 (1 + ) 1

]

= 6 [1 (1 + 0,14 ) 16 ]

= 12,9608%

A que tasa anticipada capitalizada mensualmente es equivalente una tasa efectiva

anticipada del 15%.

= [1 (1 + ) 1

]

= 12 [1 (1 + 0,15) 1

12 ]

= 0,138951

= 13,8951%

CALCULO DE LA TASA DE INTERS EFECTIVA

= (1 + )

= (

)

1

1

A que tasa efectiva un capita de $300 se convierte en $1.500 durante 5 aos

= (1.500

300)

15

1

= 0,3797

= 37,9739%

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $8.000 se convierte en

$19.000 con una tasa del 20% durante 6 aos determine la tasa efectiva equivalente.

= (

)

1

() 1

4= (

19.000

8.000)

16

(4) 1

= 0,146796

= 14,6796%

= (1 +

) 1

= (1 + 0,146796

4)4 1

= 0,155076

= 15,5076%

A que tasa anual convertible cuatrimestralmente un capital de $3.600se duplicara en 4,5

aos determine la tasa anual efectiva equivalente.

CALCULO DEL TIEMPO

= (1 + )

= (

)

1

() 1

3= (

7.200

3.600)

113

(5) 1

= 0,158056

= 15,8056%

= (1 +

) 1

= (1 + 0,158056

3)3 1

= 0,166529

= 16,6529%

= (1 + )

log

= . log(1 + )

= log (

)

log(1 + )

En qu tiempo un capital de $ 3.200 se convierte en $8.100 con una tasa efectiva del

10%.

= log (

)

log(1 + )

= log (

8.1003.200)

log(1 + 0.10)

= 9,7441

= 9 , 8 , 28 .

En qu tiempo un capital de 8.200 se convertir en 3

4 veces ms con una tasa del 25%

convertible semestralmente.

= log (

)

log(1 + )

= log (

14.3508.200 )

log(1,125)

2

= 4,7512

= 2,3756

2 , 4 , 15

En qu tiempo un capital de $4.000 se triplicara con una tasa del 8% compuesta

mensualmente.

= log (

)

log(1 + )

= log (

12.0004.000

)

log(1,0067)

2

= 164.5206

= 13.71

13 , 8 , 16

CALCULO DEL CAPITAL

= ( + )

=

( + )

Capital fecha actual monto

Fecha fecha de fecha de

Suscripcin negociacin vencimiento

Determine el valor actual de una letra de cambio cuyo valor al vencimiento al final de 6

aos es de $8.900 con una tasa del 9% convertible semestralmente.

=

( +

) .

= 8.900

(1, 045)12

= 5.248,01

Determine el valor actual de un documento cuyo valor es $5.100 durante 6 aos y 6

meses con una tasa del 12% compuesta trimestralmente.

=

( +

) .

= 5.100

(1, 03)26

= 2.364,84

Determine el valor actual de un documento de $13.800 a 7 aos 8 meses plazo con una

tasa del 16% capitalizable cuatrimestralmente.

=

( +

) .

= 13.800

(1,533)23

= 4.180,05

Ejercicios en clase

un documento de $3.800 se firme el da de hoy para 230 das plazo con una tasa del

16% compuesta semestralmente hallar el valor actual del documento si se negocia 50

das antes de su vencimiento con una tasa del 22% capitalizable trimestralmente.

3.800 i = 0,08 sem 4.192,68

0 50 230 d

= ( + )

= 3.800(1 + 0.08)230180

= 4.192, 68

= 50

= 0,055

=

( +

) .

= 4.192,68

(1,055)5090

= 4069, 81

Una persona tiene un pagare firmado el primero de febrero por $5.300 a 300 das plazo

con una tasa 33% compuesta mensualmente hallar el valor del documento si se vende el

20 de mayo con una tasa 25% capitalizable quimestralmente.

5.300 i = 0,0275 6.951,75

01 -03 140 300 d

332 d

= ( + )

= 5.300(1 + 0.0275)30030

= 6.951,75

=

( +

) .

= 6.951,75

(1,1042)192150

= 6123,41

CLCULO DE SALDOS DEUDORES

Algunas instituciones y casas comerciales que trabajan con crditos utilizan uno de los

dos mtodos.

Acumulacin de intereses o mtodo de lagarto

Intereses sobre saldos deudores

PROBLEMAS

Una cooperativa de ahorro y crdito otorga un prstamo de $ 14.000 con un tasa del 2%

mensual para 321 aos. Determine el valor de la cuota mensual por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000(1 + (0,02 42)) = 25.760

42

=42 meses =25.760 = 613,33

= 0,02 =

= 25.760 14.000

= 1.760


=

# = ( ) = +

= 14.000

42 1 = 14.000(0,02 1) 1 = 333,33 + 280

= 333,33 1 = 280 1 = 613,33

= ( ) = + = , + ()(, )

2 = 13.66.67(0,02 1) 2 = 333,33 + 273,23 = 339,86

2 = 273,23 2 = 606,66

=

(, + , ) =

# = . , .

= 20.016,99 =20.016,99

42 = 6.016,99

= 476,60 =6.016,99

(14.00042)

= 1,0233%

Una agencia de autos vende automviles en $20.000 con una cuota inicial del 30% y el

resto a 40 meses plazos con una tasa del 13%. Determine el valor de la cuota mensual

por los dos mtodos.

MTODO DEL LAGARTO

DATOS = ( + ) =

#

= 14.000 = 14.000 (1 + (0,13 40

12)) =

20.066,67

40

=40 meses =20.066,67 = 501,67

= 0,13 Anual =

= 20.066,67 14.000

= 6.606,67


=

# = ( ) = +

= 14.000

40 1 = 14.000 (0,13

1

12) 1 = 350 + 151,67

= 350 1 = 151,67 1 = 501,67

= ( ) = + = , +

()(, )

2 = 13.650 (0,13 1

12) 2 = 350 + 147,88 = 353,86

2 = 147,88 2 = 497,88

=

(, + , ) =

# = . , .

= 17.110,60 =17.110,60

40 = 3.110,6

= 427,77 =3.110,6

(14.00040)

= 0.5555%

DESCUENTO RACIONAL O SIMPLE

=

El 7 de diciembre se firm un documento de $ 3.600 a 190 das plazo. Hallar el

descuento racional de ese documento si se descuenta el 5 de Abril del siguiente ao con

una tasa del 3% mensual.

341 13.500 3.600

-190 341dias 95das i=0,03 166das

531 =

(+) =

365 =3.600

(1+(0.0371

30))

= 3.600 3.361,34

166 =3.361,34 = 238,66

COMPROBACIN

= ( )

= 3.361,34 (0.03 (71

30))

= 238.66

Determine el descuento racial de un pagare de $ 4.800 firmados el 6 de Octubre del 200

con una tasa del 17% desde su suscripcin hasta el 4 de Abril del 2011 si se descuenta

el 29 de Noviembre del 2010 con una tasa del 22% semestral.

279 4.800 = , 3.600

-94 279--2009 333das i=0,03 94--2010

730 = ( + ) =

(+)

545 das = 4.800 (1 + 0,17 (545

360)) =

6.035,33

(1+0,22(126

180))

= 6.035,33 = 5.229,92

= COMPROBACIN

= 6.035,33 5.229,92 = 5.229,92(0,22) (126

180)

= 805,41 = 805,41

El 7 de Enero se firma un pagare por $5.800 con una tasa del 22% trimestral este

documento se tiene que pagar el 29 de Diciembre del mismo ao. Hallar el descuento

racional si se descuenta 20 das antes de su vencimiento con una tasa de 0,01%.

365 5.800 = ,

-7 7 enero 20 das i=0,0001 29 diciembre

356 Das 7 365

= ( + ) =

(+)

= 5.800 (1 + 0,22 (356

90)) =

10.847,29

(1+0,0001(20

30))

= 10.847,29 = 10.846,57

= COMPROBACIN

= 10.847,29 10.846,57 = 10.846,57(0.0001) (20

30)

=0,72 = 0,72

DESCUENTO BANCARIO

El descuento bancario se calcula de la siguiente manera

= = ( )

=

=

=

=

Hallar el descuento bancario de un banco, aplica a un cliente que descuenta un pagare

de $7.900 el da de hoy a 120 das plazo consideran una tasa del 13%.

7.900 7.900

0 d=0,13 120 das

= 7.900(0,13) (120

360)

= 432,33

Determinar el descuento bancario de un documento $ 8.900 firmado el 7 de Febrero a

220 das plazo con una tasa de inters del 11% si se descuenta el primero de Mayo del

mismo ao con una tasa del 17% trimestral.

8.900 = 0,11

7 febrero 1 mayo 220 das

38 121 258

= ( + ) =

= 8.900 (1 + 0,11 (220

360)) = 9.498,28(0,17) (

137

90)

= 9.498,28 = 2.457,94

= ( ) =

= 9.498,28 (1 0,17 (137

90)) = 2.457,94 7.040,34

= 7.040,34 = 2.457,94

DESCUENTO SIMPLE

= =

= = ( )

=

()

El 7 de Octubre se firma un documento de $ 5.800 con una tasa de 13% a 310 das

plazo. Hallar el valor efectivo que se recibe, si se descuenta este documento el 5 de

Febrero del siguiente ao con una tasa del 19% trimestral.

280 5.800 = ,

-225 7 Octubre 15 Febrero 29 Diciembre

365 280 36 i=0,19 225

310das

= 5.800 (1 + 0,13 (310

360)) = 6.445,28 (1 0,19 (

189

90))

= 6.445,28 = 3.876.02

= COMPROBACIN

= 6.445,28 3.876.02 =

= 2.573,26 = 6.445,28(0,19) (189

90)

D = 2.573,26

Cuanto debe solicitar Margarita en el Banco de Pichincha para obtener $7.300 con una

tasa del 15% para dentro de 130 das plazo.

=

() =

7.300

(10,15(130

360))

= 7.718,06

Relacin entre la tasa de inters (i) y la tasa de descuento

3. La tasa de inters simple se utiliza en el descuento racional o matemtico y se

aplica generalmente sobre el capital.

4. La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica

en el monto

Hallar el descuento racional y el descuento bancario de un pagare de $8.000 a 290 das

plazo si se descuenta 55 das antes de su vencimiento con una tasa del 11% trimestral.

800 = ,

0 55 290

= 0,11

=

(+) = ( ) =

=800

(1+0,11(55

90))

= 800 (1 0,11 (55

90)) = 800(0,11) (

55

90)

= 749,60 = 746,22 = 53,78

La relacin entre las tasas queda establecida de la siguiente forma.

= ( + ) =

()

=

() =

(+)

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 das.

=

() =

0,22

(10,22(140

360))

= 24,0583%

A que tasa de inters equivale una tasa de descuento del 25% durante 8 meses.

=0,25

(10,25(8

12))

= 3%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 33% durante 230 das.

=0,33

(1+0,33(230

360))

= 27,2540%

A que tasa de descuento equivale una tasa de 30% durante 8 meses.

=0,30

(1+0,30(8

12))

= 25%

Una persona realiza el descuento de un pagare a 220 das plazo por $8.700. 40 das

antes de la fecha de vencimiento con una tasa del descuento del 11% ese mismo da el

Banco de Pichincha redescuento el documento en el Banco Internacional con una tasa

del 7%. Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el Banco del

Pichincha.

= 8.700(1 + 0,11) (40

360) = 8.700(1 0,07) (

40

360)

= 8.593,67 = 8.632,34

Recibe el persona Recibe el banco

UNIDAD N=2

ECUACIONES DE VALOR

= ( + ) =

(+)

=

(+) = ( )

Fecha Montos F .F valor actual

Las Ecuaciones de Valor se utiliza para resolver problemas de matemtica financiera

donde se remplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento

por una o varias fechas de referencia por un valor o varios valores previo acuerdo ante

acreedor y deudor.

Reemplazar un conjunto de valores, deudas, obligaciones para un solo valor.

Comparacin de oferta para comprar y vender.

Para calcular el moto de una serie de depsitos a corto plazo.

Para calcular el capital de una serie de depsitos d cort plazo.

Una empresa tiene las siguientes obligaciones de $15.000 a 60 das plazo, $20.000 a

130 das plazo, $30.000 a 250 das plazo, $35.000 a 300 das plazo. La empresa desea

remplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 330 das plazo.

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 250 300 310

= + + +

1 = 270 = 15.000 (1 + 0,15 (270

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

200

360)) +

2 = 200 30.000 (1 + 0,15 (80

360)) + 35.000 (1 + 0,15 (

30

360))

3 = 80 = 104.796,67

4 = 30

En el problema anterior determine el valor de pago si lo hacemos el da de hoy.

X

15.000 20.000 30.000 35.000

0 60 130 250 300

F .F

= + + +

=15.000

(1+0,15(60

360))

+20.000

(1+0,15(130

360))

+30.000

(1+0,15(250

360))

+35.000

(1+0,15(300

360))

= 91.887,40

En el problema numero 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos

pagos iguales a los 200 y 350 das plazo, tomado como fecha focal a los 200 das.

X

15.000 20.000 30.000 35.000 X

0 60 130 200 250 300 350

2

3 4

1 =0,15

2

3

4

1

=0,10

2 3 1

1 2

F .F

= + + +

= 15.000 (1 + 0,15 (140

360)) + 20.000 (1 + 0,15 (

70

360)) +

30.000

(1+0,15(30

360))

+

35.000

(1+0,15(100

360))

(1+0,15(150

360))

= 99.446,09 0,9411

=99.446,09

1,9411

= 51.231,82

Una persona debe $2.600 a 90 das plazo con una tasa del 1,5% mensual; $4.000 a 140

das plazo con una tasa del 6 %trimestral; $7.000 a 220 das plazo con una tasa del 9%

semestral; $11.000 a 300 das plazo con una tasa del 17% esta persona desea remplazar

todas estas deudas por una solo pago a los 200 das plazo con una tasa de descuento del

11%. Hallar el valor de dicho pago.

1 = 2.600 (1 + 0,015 (90

30)) =2.717

2 = 4.000 (1 + 0,06 (140

90)) =54.373,33

3 = 7.000 (1 + 0,09 (220

180)) =7.770

4 = 11.000 (1 + 0,17 (300

360)) =12.558,33

X

2.717 4.373,33 7.770 12.558,33

0 40 60 63 65 200

= 1 + 2 + 1 + 2 F .F

=2.717

(10,11(110

360))

+4.373,33

(10,11(60

360))

+ 7.770 (1 0,11 (20

360)) + 12.558,33 (1

0,11 (100

360))

=27.163,62

2 1

1 2

Una persona desea vender su terreno y recibe tres ofertas $2.000 al contado y 2.000 a 1

ao plazo; la segunda 1.500 al contado y 2 letras de 1250 a los 7 y 11 meses plazos;

tercero 600 al contado con una letra de 400 a 2 meses plazos y 2 letras de 1500 cada

una a los 5 y 9 meses plazo respectivamente. Determine cual oferta le conviene al

vendedor si se recarga una tasa del 2% mensual.

Primera oferta

X X = 2.000 +2.000

(1+0,02(12))

2.000 2.000 X = 3.612,90

0 12 meses

F.F

Segunda oferta

X X = 2.500 +1.250

(1+0,02(7))+

1.250

(1+0,02(11))

2.500 1.250 1.250 X = 3.621,08

0 7 11meses

F.F

Tercera oferta

X 600 400 1.500 1.500

0 2 meses 5 meses 9 meses

F.F X = 600 +400

(1+0,02(2))+

1.500

(1+0,02(5))+

1.500

(1+0,02(9))

X = 3.619,44

Desde el punto de vista del vendedor le conviene la segunda oferta

Desde el punto de vista del comprador le conviene la primera oferta

Hallar el monto de una serie de depsitos de $ 450 que se hacen durante 4 meses

con una tasa del 7%. M

450 450 450 450

1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12)) + 450 (1 + 0,07 (

1

12)) + 450

X = 1.815,75

Si el problema anterior se utiliza una tasa anticipada y los meses por anticipado

cual es el monto.

450 450 450 450

0 1 2 3 4

X = 450 (1 + 0,07 (4

12)) + 450 (1 + 0,07 (

3

12)) + 450 (1 + 0,07 (

2

12))

+ (1 + 0,07 (1

12))

X = 1.826,25

Determinar el valor de la deuda original si Jessica deposita cada mes durante 5

meses con una tasa del 11%

X 350 350 350 350 350

0 1 2 3 4 5

X =350

(1+0,11(5

12))

+350

(1+0,11(4

12))

+350

(1+0,11(3

12))

+350

(1+0,11(2

12))

+350

(1+0,11(1

12))

X = 1.703,43

CUENTAS DE AHORRO

La seorita Avils tiene una cuenta de ahorro en la cual realiza las siguientes

transacciones:

2l 10-01 depositas 1500 para abrir su cuenta

El 13-02 deposita 500 el 5-03 retira 800

El 10-04 retira 500 el 9-05 deposita 600.

Cuanto tendr en su cuenta si se aplica una tasa de inters de 8% al final del primer

semestre.

Depsitos (+) retiro (-)

I1 = 1500(0,08) (17

360) I1 =

800(0,08) (117

360)

I1 = 57 I1 = 20,80

I2 = 500(0,08) (137

360) I1 =

500(0,08) (81

360)

I1 = 15,22 I1 = 9

I3 = 600(0,08) (52

360) IC = I1 + I2

I1 = 6,93 TC = 20,80 + 9

TA = I1 + I2 + I3 IL = TA TC = ,

TA = 57 + 15,22 + 6,93 IL = 79,15 29,80 CC =800+500

= , IL = 49,35 CC =1.300

CA = 1.500 + 500 + 600

CA = 2.600

CL = 2.600 1.300 M = 1.300 + 49,35

CL = 1.300 M = 1.349,35

La seorita XX posee una cuenta de ahorro con $200 el 30-06 y realiza los siguientes

transacciones,


10-ene 1.500 1500 57

13-feb 500 2000 15,22

05-mar 800 1200 20,8

10-abr 500 700 9

09-may 600 1300 6,93

30-jun 4,35 1349,35 79,15 29,8

(+) INTERES(-)

04-07 deposita $600,

El 09-08 retira $700,

El 20-09 retira $300,

El 20 -10 deposita $150,

El 20-01 retira $200.

Liquide esta cuenta al 31 -12 con una tasa del 9%.

Una persona tiene una cuenta de ahorros en lo que realiza las siguientes transacciones:

1.600 deposita el 3-01 para abrir su cuenta.

12-02 retira $600

4-03 deposita 200

15-04 retira 500

2-06 deposita 900

5-07 retira 300

9-09 retira 100

29-10 retira 400

La cuenta se liquida semestralmente para el primer semestre se reconoce con una tasa del

7% y la segunda semestre con una tasa del 5% cuanto tendr esta persona el 31-12.

INTERS COMPUESTO


30-jun 2.000,00 2.000,00 92,00

04-jul 600,00 2.600,00 27,00

09-ago 700,00 1.900,00 25,20

20-sep 300,00 1.600,00 7,65

20-oct 150,00 1.750,00 270,00

20-ene 200,00 1.550,00 0,55

31-dic 88,30 1.638,30 121,70 33,40

(+) INTERES(-)


03-ene 1.600,00 1.600,00 55,37

12-feb 600,00 1.000,00 16,10

04-mar 200,00 1.200,00 4,59

15-may 500,00 700,00 4,47

02-jun 900,00 1.600,00 4,90

30-jun 44,30 1.644,30 64,86 20,57

30-jun 1.644,30 42,02

05-jul 300 1.344,30 7,46

09-sep 100 1.244,30 1,57

29-oct 900 2.144,30 7,88

23-dic 400 1.744,30 0,44

40,43 1.784,73 49,90 9,47

(+) INTERES(-)

El inters simple se utiliza a corto plazo y se calcula una sola vez

El inters compuesto se utiliza a largo plazo y se utiliza dependiendo los periodos

Hallar el inters simple t el inters compuesto de un capital de $10000 colocados al

17% durante 5 periodos

INTERS SIMPLE

= 10000(1 + 0.17(5))

= 18500

= 18500 1000

= 8500

=

= .

Determine el nmero de periodos de convertibilidad (n) y la tasa de inters (i) durante 11 aos

13% convertible semestralmente.

=0.13

2

= 0,065

= 6,50% semestres

= 2(11)

= 22

Hallar (i), (n) durante 7 aos con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente

INTERS COMPUESTO

= 1000(1 + 0,17(1))

= 11.700

= 1170(1 + 0,17(1))

= 13.689

= 13689(1 + 0,17(1))

= 16.016,13

= 16.016,13(1 + 0,17(1))

= 18.738,87

= 18.738,87(1 + 0,17(1))

= 21,924.48

= 21,924.48(1 + 0,17(1))

= 11,924.48

VARIABLES

=

= ()

i= tasa de inters

j= tasa nominal

m= la convertibilidad en 1 ao

n= total de periodos

=0.14

2,4

= 4,58%

= 2,4(7)

= 16,8

Hallar (i), (n) durante 5 aos con una tasa del 6,5% capitalizable trimestralmente

=0.065

4

= 1,63%

= 4(5)

= 20

Hallar i ,n de un capital colocado a inters compuesto durante 12 aos y u ,eses con una tasa del

20% convertible cuatrimestral.

=0.20

6,67

= 2,99%

= 3(12)

= 37

Hallar i,n colocado con una tasa de inters compuesta durante 4 aos 10 meses con una tasa del

9% compuesto bimensual

=0.09

6

= 1.5%

= 6(4)

= 29

MONTO COMPUESTO

= (1 + )

= (1 +

).

Una empresa obtiene un prstamo de $ 3500 a 8 aos plazo con una tasa del 17% capitalizable

mensualmente hallar el inters compuesto

= 3500

= 0.17

= 2

= 8

= 35000 + (1 +0.17

2)(2(8))

= 129.105,24

I= M C

I= 94.105,24

Una empresa tiene un prstamo $25000 a 15 aos plazo con una tasa del 19% capitalizable

quimestralmente

= 25000 + (1 +0.19

2.4)(36)

= 38.8177,38

I= M C

= 388177 25000

I= 363171,38

CONVERTIBILIDAD CONTINUA O INSTANTANEA

= (1 + )

Determine el monto de un capital de $ 25000 a inters compuesto durante 15 aos y 9 meses si

la tasa de inters es

j) Tasa 7% efectivo

i= 0,07

n= 15,75

= 2500(1,007)(15,75)

= 72566,22

k) Tasa 7 % compuesta

quimestralmente

i= 0,029

n= 37,8 quimestres

= 2500(1,02916)(37,8)

= 74095,79

l) 7% compuesto cuatrimestral

i= 0,0233

n= 47,25

= 2500(1,02333)(47,25)

= 74.333,08

m) 7% compuesto trimestral

i= 0,0175

n= 63

= 2500(1,0175)(63)

= 74.577,59

n) 7 % bimensual

i= 0,01167

n= 94,50

= 2500(1,01167)(94,5)

= 74.836,49

o) 7 % compuesto mensual

i= 0,00583

n= 45,3

= 2500(1,0583)(189)

= 75.004,36

p) 7% compuesto diariamente

i= 0,071

n= 5745

= 2500(1,000194)(5745)

= 76.195,14

q) 6% compuesto instantneamente

i= 0,007

n= 15,75

= 2500(2,7182)(0,07.15,75)

= 75.289,65

Determine el monto de un capital de$ 39000 a 9 aos 7 meses si la tasa es:

i) Tasa 9% efectivo

i= 0,09

n= 9,58

= 39000(1,09)(9,58)

= 89.045,19

j) Tasa 11 % semestral

i= 0,0055

n= 19,17

= 3900(1,055)(19,17)

= 108846.45

k) 13% compuesto quimestral

i= 0,05416

n= 23

= 3900(1,033)(18,20)

= 7.949.98

l) 12% compuesto cuatrimestral

i= 0,04

n= 28,75

= 3900(1,033)(22,75)

= 8,162.95

m) 19 % trimestral

i= 0,0475

n= 38,33

= 3900(1,0475)(38,33)

= 10,539.54

n) 11 % compuesto bimensual

i= 0,1833

n= 57,5

= 3900(1,1833)(57,5)

= 62.232,80

o) 13% compuesto mensual

i= 0,0183

n= 115

= 3900(1,0183)(115)

= 92.363,85

p) 18% convertible diariamente

i= 0,0005

n= 3495

= 3900(1,0005)(3495)

= 22.377.14

r) 9% instantneamente

i= 0,09

n= 9,58

= 3900(2,7182)(0,099,58)

= 92,363.85

MONTO COMPUESTO CON PERIODO FRACCIONARIO

Cuanto tiempo de plazo no coincide con el periodo de convertibilidad se utiliza este mtodo

Determine n en 4 aos 11 meses si se convierte semestral.

=4(12) + 11

6

=59

6

= 9 + 5

6

Determine 12 en 9 aos 3 meses si se convierte quimestral

=9(12) + 3

5

=111

5

= 22 + 1

5

Determine n en 20 aos 8 meses si se convierte cuatrimestral

=20(12) + 8

4 = 62

=248

5

Determine n en 7 aos 11 meses si se convierte trimestralmente

=7(12) + 11

3

=95

3

= 31 + 2

3

Hallar n en 11 aos 9 meses convertible bimensualmente

=11(12) + 9

2

=141

2

= 70 + 1

2

Para resolver este tipo de problemas existen dos mtodos formas nuevas de resolver

3. MTODO MATEMTICO se utiliza la calculadora con el valor exacto E.

4. MTODO COMERCIAL se utiliza la parte entera para calcular el inters compuesto y

la parte fraccionaria para el inters simple.

PROBLEMAS

4. Determine el monto de una deuda de $4.700 a inters compuesto durante 9 aos y 7

meses con una tasa del 10% compuesto semestralmente.

= 9 (12) + 7

6

=115

6

= 19 1

6

5. Determine el monto de un capital de %8.500 a seis aos y 7 meses plazo con una tasa del

13% convertible quimestralmente.

= 6 (12) + 7

5

=79

5

= 15 4

5

6. Determine el monto de un capital de $2.800 a 9 aos 5 meses plazo con una tasa del 14%

capitalizable trimestralmente.

= 9 (12) + 5

3

=113

3

= 37 2

3

MTODO MATEMTICO

= 4.700 (1,05)(

1156 )

= 11.973,64

MTODO COMERCIAL

= 4.700 (1,05)(19) (1 + 0,05 (1

6))

= 11.975,64

MTODO MATEMTICO

= 8.500 (1,05417)(

395 )

= 19.561, 73

MTODO COMERCIAL

= 8.500 (1,05417)(15) (1 + 0,05417 (4

5))

= 19.566,04

MTODO COMERCIAL

= 2.800 (1,035)(113

3 ) (1 + 0,035(2

3)

= 10.232,18

MTODO MATEMTICO

= 2.800 (1,035)(

1133 )

= 10.230,84

TASAS EQUIVALENTES

TASA NORMAL (j) Es aquella que se convierte varias veces en un ao.

TASA EFECTIVA (i) Es aquella que acta una sola vez en el ao.

DOS TASAS ANUALES DE INTERS Con diferentes periodos de convertibilidad son

equivalentes si producen el mismo inters compuesto al final de un ao.

3. Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa del 19,252% efectiva.

= 100 (1.045)(4)

= 119, 25

4. Hallar el monto de un capital de $100 con una tasa efectiva del 19,125% efectiva.

= () () ()

= 100 (1,19522)

= 119, 25

1 + = ( 1 +

)

= ( 1 +

) 1

= [( 1 + )1

1]

A que tasa efectiva una tasa nominal del 15% convertible bimensualmente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,15

6)6 1

= 0,159693

= 15,9694%

A que tasa efectiva es equivalente una tasa nominal del 8 % convertible diariamente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,08

360)360 1

= 0,08327

= 8,3277%

A que tasa nominal capitalizable semestralmente es equivalente una tasa efectiva del 9%.

= [( 1 + )1

1]

= 2 [( 1 + 0.09 )12 1]

= 2 [( 1.09 )12 1]

= 0,088061

= 8,8061%

A que tasa nominal convertible instantneamente equivalente una tasa efectiva del 10%.

No se puede resolver por no hay el tiempo

A que tasa nominal convertible instantneamente equivalente una tasa efectiva del 10%

cuatrimestralmente.

= [( 1 + )1

1]

= 3 [( 1.10 )13 1]

= 0,0968

= 9,6840%

A que tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una tasa efectiva del 21%.

= [( 1 + )1

1]

= 12 [( 1.21 )1

12 1]

= 0,192142

= 19,2142%

Una persona dese invertir %55.000 durante 7 aos y tiene las siguientes opciones

e) Una tasa de inters del 421 % efectiva

f) Una tasa de inters del 4% compuesta semestralmente.

g) Una tasa del 4,8% convertible trimestralmente

h) Una tasa del 4,9% cuatrimestralmente.

Cul de las opciones le sugiere usted.

e) Una tasa de inters del 421 % efectiva

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,045

7)7 1

= 0,045877

= 4,5877%

f) Una tasa de inters del 4% compuesta semestralmente.

= ( 1 +

) 1

= ( 1 + 0,04

2)2 1

= 0,0404

= 4,04%

g) Una tasa del 4,8% convertible trimestralmente

= ( 1 + 0,048

4)4 1

= 0,048871

= 4,8871%

h) Una tasa del 4,9% cuatrimestralmente.

= ( 1 + 0,049

3)3 1

= 0,049804

= 4,9805%

Se le sugiere la opcin d.

TASAS ANTICIPADAS

Calculo de la tasa de inters anticipada

Esta tasa se utiliza para cobrar o pagar por anticipado

1 + = ( 1

) SOLO CUANDO EXISTA LA PALABRA ANTICIPADA

= ( 1

) 1

= [1 (1 + ) 1

]

A que tasa de inters efectiva anticipada es equivalente una tasa anticipada del 20% convertible

semestralmente.

= ( 1

) 1

= ( 1 0,20

2)( 2) 1

= 0,234568

= 23,4568%

A que tasa de inters efectiva anticipada es el equivalente una tasa anticipada del 17%

compuesto quimestralmente.

= ( 1

) 1

= ( 1 0,17

2,4)( 2,4) 1

= 0,192821

= 19,2821%

A que tasa de inters anticipada convertible bimensualmente es equivalente una tasa efectiva

anticipada del 14%.

= [1 (1 + ) 1

]

= 6 [1 (1 + 0,14 ) 16 ]

= 12,9608%

A que tasa anticipada capitalizada mensualmente es equivalente una tasa efectiva anticipada del

15%.

= [1 (1 + ) 1

]

= 12 [1 (1 + 0,15) 1

12 ]

= 0,138951

= 13,8951%

CALCULO DE LA TASA DE INTERS EFECTIVA

= (1 + )

= (

)

1

1

A que tasa efectiva un capita de $300 se convierte en $1.500 durante 5 aos

= (1.500

300)

15

1

= 0,3797

= 37,9739%

A que tasa anual capitalizable trimestralmente un capital de $8.000 se convierte en $19.000 con

una tasa del 20% durante 6 aos determine la tasa efectiva equivalente.

= (

)

1

() 1

4= (

19.000

8.000)

16

(4) 1

= 0,146796

= 14,6796%

= (1 +

) 1

= (1 + 0,146796

4)4 1

= 0,155076

= 15,5076%

A que tasa anual convertible cuatrimestralmente un capital de $3.600se duplicara en 4,5 aos

determine la tasa anual efectiva equivalente.

CALCULO DEL TIEMPO

= (1 + )

= (1 + )

log

= . log(1 + )

= log (

)

log(1 + )

En qu tiempo un capital de $ 3.200 se convierte en $8.100 con una tasa efectiva del 10%.

= log (

)

log(1 + )

= log (

8.1003.200)

log(1 + 0.10)

= 9,7441

= 9 , 8 , 28 .

= (

)

1

() 1

3= (

7.200

3.600)

113

(5) 1

= 0,158056

= 15,8056%

= (1 +

) 1

= (1 + 0,158056

3)3 1

= 0,166529

= 16,6529%

En qu tiempo un capital de 8.200 se convertir en 3

4 veces ms con una tasa del 25% convertible

semestralmente.

= log (

)

log(1 + )

= log (

14.3508.200 )

log(1,125)

2

= 4,7512

= 2,3756

2 , 4 , 15

En qu tiempo un capital de $4.000 se triplicara con una tasa del 8% compuesta mensualmente.

= log (

)

log(1 + )

= log (

12.0004.000 )

log(1,0067)

2

= 164.5206

= 13.71

13 , 8 , 16

CALCULO DEL CAPITAL

= ( + )

=

( + )

Capital fecha actual monto

Fecha fecha de fecha de

Suscripcin negociacin vencimiento

Determine el valor actual de una letra de cambio cuyo valor al vencimiento al final de 6 aos es

de $8.900 con una tasa del 9% convertible semestralmente.

=

( +

) .

= 8.900

(1, 045)12

= 5.248,01

Determine el valor actual de un documento cuyo valor es $5.100 durante 6 aos y 6 meses con

una tasa del 12% compuesta trimestralmente.

=

( +

) .

= 5.100

(1, 03)26

= 2.364,84

Determine el valor actual de un documento de $13.800 a 7 aos 8 meses plazo con una tasa del

16% capitalizable cuatrimestralmente.

=

( +

) .

= 13.800

(1,533)23

= 4.180,05

Ejercicios en clase

un documento de $3.800 se firme el da de hoy para 230 das plazo con una tasa del 16%

compuesta semestralmente hallar el valor actual del documento si se negocia 50 das antes de su

vencimiento con una tasa del 22% capitalizable trimestralmente.

3.800 i = 0,08 sem 4.192,68

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Materia Matematicas II