MATERIAL 1

ESCUELA SUPERIOR DE TAPACHULAINVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

MATERIAL PRIMERA SESIÓN

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESUNIDAD I.- INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el enfoque científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la Segunda Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por todo esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el enfoque científico a éste y a otros problemas de estrategia y táctica.

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La investigación de operaciones es la aplicación del Método Científico a los problemas de decisión de las empresas y otras organizaciones, incluyendo el gobierno y la milicia. La investigación de operaciones sirve para la toma de decisiones óptima y del modelado de sistemas determinísticos y probabilísticos que se origina en la vida real.

En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluyen la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa

I.S.C. ALDO JOVANI TOLEDO AGUILAR Página 1



también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. De esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.

Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos los múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.

PREGUNTAS A RESOLVER UNIDAD I.1. ¿Cuándo inicio la investigación de operaciones?2. ¿Qué es la IO?3. ¿Para qué sirve la investigación de operaciones?4. ¿En qué áreas se puede aplicar la investigación de operaciones?




UNIDAD II.- ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Para poder comprender la programación lineal definimos que modelo es una traducción de la realidad física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos matemáticos.

El modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

La programación lineal es la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada entre todas las alternativas de solución.

MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: los métodos más usados de solución de problemas de programación lineal:

Método gráfico. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.

El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.

Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Los pasos necesarios para realizar el método son (7):

1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles. 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.




4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

Método simplex. Careciendo de la ventaja visual asociada con la representación gráfica del espacio de soluciones, el método simplex emplea un proceso iterativo que principia en un punto extremo factible, normalmente el origen, y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo factible a otro, hasta que se llega por último al punto óptimo.

Existen reglas que rigen la selección del siguiente punto extremo del método simplex: 1. El siguiente punto extremo debe ser adyacente al actual.

2. La solución no puede regresar nunca a un punto extremo considerado con la anterioridad.

El algoritmo simplex da inicio en el origen, que suele llamarse solución inicial. Después se desplaza a un punto extremo adyacente. La elección específica de uno a otro punto depende de los coeficientes de la función objetivo hasta encontrar el punto óptimo. Al aplicar la condición de optimidad a la tabla inicial seleccionamos a Xi como la variable que entra. En este punto la variable que sale debe ser una de las variables artificiales.

Los pasos del algoritmo simplex son (6):

1. Determinar una solución básica factible inicial.

2. Prueba de optimidad: determinar si la solución básica factible inicial es óptima y sólo si todos los coeficientes de la ecuación son no negativos ( >= 0 ). Si es así, el proceso termina; de otra manera se lleva a cabo otra interacción para obtener la nueva solución básica factible inicial.




3. Condición de factibilidad.- Para todos los problemas de maximización y minimización, variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (positiva). Una coincidencia se anula arbitrariamente.

4. Seleccionar las variables de holgura como las variables básicas de inicio.

5. Selecciona una variable que entra de entre las variables no básicas actuales que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función objetivo. Si no existe la solución básica es la óptima, si existe pasar al paso siguiente.

6. Realizar el paso iterativo.

a) Se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable con el coeficiente negativo que tiene el valor mayor valor absoluto en la ecuación. Se enmarca la columna correspondiente a este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote.

b) Se determina la variable básica que sale; para esta, se toma cada coeficiente positivo (>0) de la columna enmarcada, se divide el lado derecho de cada renglón entre estos coeficientes, se identifica la ecuación con el menor cociente y se selecciona la variable básica para esta ecuación.

c) Se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla en la forma apropiada de eliminación de Gauss, abajo de la que se tiene. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1, se divide todo el renglón entre el número pivote, entonces

Renglón pivote nuevo = renglón pivote antiguo número pivote

Para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de Gauss para obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica Xj en los otros renglones, para realizar este cambio se utiliza la siguiente fórmula:

Renglón nuevo = renglón antiguo - (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo)

Cuando el coeficiente es negativo se utiliza la fórmula:

Renglón nuevo = renglón antiguo + (coeficiente de la columna pivote X renglón pivote nuevo)




TIPOS DE SOLUCIONES: Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL: Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general. El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad. Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Z = valor de la medida global de efectividad xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,…,n) cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,…,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1,x2,….,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi y aij (para i = 1,2,….,m y j = 1,2,….,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo.

1.- ¿Qué es la programación lineal?2.- ¿A que se le llama método grafico?3.- ¿Qué es una solución factible?4.- ¿Qué es una región factible no acotada?5.- ¿Qué es una región factible de solución múltiple?




UNIDAD III.- PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (<= o >=) o en sentido estricto (< o >).Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:1. Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de

soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o

semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un

punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.

2. La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones.

Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.Tipos de regiones factibles. - Con solución única- Con solución múltiple: Si existe más de una solución.- Con solución no acotada: Cuando no existe límite para la función objetivo.- No factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes

A continuación se analizara el ejercicio 1 para la comprensión de la programación lineal y su método grafico.




Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos. El sistema de igualdades o desigualdades a las que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman problemas de programación matemática. En particular, aquellas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considérese el siguiente problema de producción con dos variables.

Ejercicio 1.- El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?

Maíz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs.

Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada. Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dólares, está dada por:

P=40x+30y Que es la función objetivo por maximizar.

Maíz Trigo Elementos disponibles

Horas 2 1 Hectáreas 1 1 800

Utilidad por unidad $40 $30 480La cantidad total de tiempo par hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad:

2x+y<800




En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x+y, y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que

x>0 y>0

En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P=40x+30y sujeta a las desigualdades

2x+y<800 x+y<480

x>0 y>0

Solución GráficaLos problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional (si no es inconsistente) define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica. Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a

2x+y<800x+y<480x>0, y>0

El sistema de desigualdades anterior define la región plana S que aparece en la figura siguiente. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce

Como solución factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar entre todos los puntos del conjunto S el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del problema de programación lineal en cuestión.Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejemplo, es fácil ver que el punto (200, 150) está en S y, por




lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto (200,150) está dado por P=40(200)+30(150)=12.500. Ahora si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto de S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de P formará el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así este método no es adecuado.Es mejor cambiar de punto de vista: en vez de buscar el valor de la función objetivo P en un punto factible, se asignará un valor a la función P y se buscarán los puntos factibles que correspondieran a un valor dado de P. Para esto supóngase que se asigna a P el valor 6000. Entonces la función objetivo se convierte en 40x+ 30y = 6.000, una ecuación lineal en x e y; por lo tanto, tiene como gráfica una línea recta L1 en el plano. Está claro que a cada punto del segmento de recta dado por la intersección de la línea recta L1 y el conjunto factible S corresponde el valor dado 6000 de P. Al repetir el proceso, pero ahora asignando a P el valor de 12.000, se obtiene la ecuación 40x+ 30y =12.000 y la recta L2 lo cual sugiere que existen puntos factibles que corresponden a un valor mayor de P. Obsérvese que la recta L2 es paralela a L1, pues ambas tienen una pendiente igual a –4/3. Esto se comprueba con facilidad escribiendo las ecuaciones en explícita de la recta.En general, al asignar diversos valores a la función objetivo, se obtiene una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente igual a –4/3. Además, una recta correspondiente a un valor mayor de P está más alejada del origen que una recta con un valor menor de P. El significado es claro. Para obtener las soluciones óptimas de este problema, se encuentra la recta perteneciente a esta familia que se encuentra más lejos del origen y que interseque al conjunto factible S. La recta requerida es aquella que pasa por el punto P(320,160) (Fig. 6), de modo que la solución de este problema está dado por x=320, y=160 ( es decir que el granjero López deberá sembrar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo), lo que produce el valor máximo P=40(320)+30(160)=17.600.

Ejercicio 2.- Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos. ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca A Marca B Requerimientos mínimosHierro 40 mg 10 mg 2400 mg

Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mgVitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg

Costo por píldora (US$) 0,06 0,08

Solución:




Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, está dado por

C = 6x+ 8y

que representa la función objetivo por minimizar.

La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad.

40x+10y>2400

Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades:

10x+15y>2100 5x+15y>1500

respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a

40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500

x>0, y>0 El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).

Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue




Vértice C=6x + 8yA (0,240) 1920B(30,120) 1140C(120,60) 1200D(300,0) 1800

La tabla muestra que el mínimo de la función objetivo C=6x+8y ocurre en el vértice B(30,120) y tiene un valor de 1140. Así el paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40.

Dualidad: La dualidad consiste en dos tipos el primal y dual un problema busca maximizar y el otro minimizar se utilizan para reducir el esfuerzo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.

1. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son respectivamente 8, 12,9 unidades. Supongamos que




debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando 2 productos A y B cuyos contenidos por Kg. son: 600 y 400.

2. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas 5 de plátano y 20 de manzanas dos mayoristas pueden suministrarse para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta en


A B NECESIDADES

PROTEÍNAS 2 1 8

HIDRATOS 6 1 12

GRASAS 1 3 9

TOTAL 600 400



contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas 1 de plátanos y 2 de naranjas el mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas 1 de plátanos y 7 de manzanas sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300km calcular ¿cuántos contenedores habrán de comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero reducido el mínimo de distancia de lo solicitado?

3. En una pastelería se hacen 2 tipos de tartas: vienesas y real. Cada tarta vienesa necesita un cuarto de relleno por cada kg. De bizcocho y produce un beneficio de 250 pts., mientras que una tarta real necesita medio kg. De relleno por cada kg. De bizcocho y




produce 400 ptas. De beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 kg de bizcocho y 50 de kg de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tartas de cada tipo.¿Cuántas tartas vienesas y reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

4. Un herrero con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio hace bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20000 y 15000 bolívares, cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo emplearía 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y




para de montaña 2 kg de ambos metales, ¿cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

5. Un naranjero acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50,000.00 pesos le ofrecieron 2 tipos de naranja las de tipo “A” a $50.00 el kg y las de tipo “B” a $80.00 el kilogramo, sabiendo que solo dispone de su camioneta 700 kg como máximo y piensa vender el kg de naranja tipo “A” a $58.00 y la de tipo “B” a $90.00 por kg.




¿Cuántos kilogramos de cada tipo de naranja deberá comprar para obtener el máximo beneficio?

6. Supóngase que un fabricante tiene dos recursos disponibles, R1 y R2, estos dos recursos pueden usarse para producir 2 productos diferentes A y B, de acuerdo con la siguiente regla: para el producto A se usa 1 unidad de R1 y 4 unidades de R2; para el producto B se




usa 1 unidad de R1 y 2 unidades de R2. El fabricante tiene 3 unidades de R1 y 8 unidades de R2, disponibles.Las ganancias que recibe por los dos productos terminados son de $3.50 por unidad A y $2.50 por unidad B ¿Cuántas unidades de A y B deben producir para maximizar sus ganancias?

7. El señor Martínez fue llamado para la consulta a la compañía sigma que con sus dos maquinas automáticas pueden hacer montajes de motocicletas.




La compañía tiene un contrato para armar como mínimo 60 motocicletas de 4 cilindros, 120 de 2 cilindros y 150 de un cilindro diariamente. Le cuesta $200,000.00 operar la primera máquina y se pueden hacer montajes de 1, 4 y 6 motocicletas de 4, 2 y 1 cilindro.Le cuesta $300,000.00 operar la segunda máquina y esta realiza dos montajes diariamente de cada motocicleta.El señor Martínez tiene que encontrar la combinación de motocicletas que se deben de montar con estas dos maquinas para minimizar el costo de operación.

8. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana, un traje requiere 1 m2

de algodón y 3 m2 de lana, un vestido requiere de 2 m2 de cada una de las telas. Calcular el




número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

UNIDAD IV.- MÉTODO SIMPLEX




Para poder comprender el método simplex debes tener en cuenta los siguientes conocimientos adquiridos anteriormente como son:

REGLA DE LOS SIGNOS

Regla de los signos para la suma

1. Si los números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Regla de los signos para la multiplicación y la división

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

10 / 5 = 2




(−10) / (−5) = 2

10 / (−5) = − 2

(−10) / 5 = − 2

DIVISIÓN, MULTIPLICACIÓN, SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.

La suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador). Ejemplo:

3 4---- ----4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 3 x 4 : 4 = 3

Numerador de la segunda fracción: 4 x 4 : 2 = 8

3º Tenemos pues una fracción que es:

3 8---- ----4 4

Como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1.


http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm



4º Suma:

3 8 11---- + ---- = ---4 4 4

La resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Ejemplo:

6 1---- ----4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 6 x 4 : 4 = 6

Numerador de la segunda fracción: 1 x 4 : 2 = 2

3º Tenemos pues una fracción que es:

6 2---- ----4 4

Como los denominadores son idénticos podemos restarla como en el caso 1.


http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm



4º Resta:

6 2 4---- - ---- = ---4 4 4

Es muy sencillo. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Ejemplo:

3 7 3x7 21

---- x ---- = ------- = ---2 4 2x4 8

Es muy sencillo. Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

4 3 4x9 36

---- : ---- = ------- = ---5 9 5x3 15

MÉTODO SIMPLEX




El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xnSujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1

a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bmx1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.2. Todas las restricciones son de igualdad.3. Todas las variables son no negativas.4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

CAMBIO DEL TIPO DE OPTIMIZACIÓN.




Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F.

Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

Para tener una idea más clara sobre el método simplex analice el siguiente problema.

Zmax = 6x1 + 8x2 s.a. 5x1 + 2x2 ≤ 20

x1 + 2x2 ≤ 10x1, x2, ≥ 0

Zmax = 6x1 + 8x2 + 0H1 + 0H2

5X1 + 2X2 + H1 + 0H2 = 20

X1 + 2X2 + 0H1 + H2 = 10

X1, X2, H1, H3 > 0

DUAL

Zmin= 20 y1 + 10 y2

5y1 + y2 > 6

2y2 + 2y2 >8

y1, y2 > 0

6 8 0 0




Cj X1 X2 H1 H2 Bj0 H1 5 2 1 0 200 H2 1 2 0 1 10Zj 0 0 0 0Cj-Zj 6 8 0 0

( 1 2 0 1 10) / 2

(½ 1 0 ½ 5) ( -2)

-1 -2 0 -1 -105 2 1 0 20---------------------------------------4 0 1 -1 10

6 8 0 0Cj X1 X2 H1 H2 Bj0 H1 4 0 1 -1 108 X2 ½ 1 0 ½ 5Zj 4 8 0 4Cj-Zj 2 0 0 -4

(4 0 1 -1 10) / 4

(1 0 ¼ ¼ 5/2) (-1/2 )

-½ 0 -1/8 1/8 -5/4½ 1 0 ½ 5---------------------------------------0 1 -1/8 5/8 15/4

6 8 0 0




Cj X1 X2 H1 H2 Bj6 X1 1 0 1/4 1/4 5/28 X2 0 1 -1/8 5/8 15/4Zj 6 8 1/2 13/2Cj-Zj 0 0 -1/2 -13/2 45

SOLUCIÓN PRIMALZmax = 45X1= 5/2X2= 15/4

SOLUCIÓN DUALZmin = 45Y1= 1/2

Y2= 13/2


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