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Valério – Atividade de Complementar – 3º – 08/2010 1
MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA
Professor(a): Piloto
Turma: SEMI 02º Material deste professor para esta atividade
Assunto: Fenômenos Periódicos 01º Material para esta turma
Fenômenos Periódicos
A ciência estuda muitos fenômenos que são periódicos, isto é, que se repetem a cada vez que transcorre um determinado intervalo de tempo (este intervalo de tempo é chamado “período”). A variação da pressão sanguínea ou da profundidade do mar em um local conforme a maré são exemplos de fenômenos periódicos.
Podemos admitir que estes fenômenos são, razoavelmente, representados (modelados) por funções da forma:
f(x) = A + B sen(Cx + D)
ou
f(x) = A + B cos(Cx + D)
onde, caso não sejam impostas condições em contrario, adotaremos a seguinte
Convenção
B > 0; C > 0 D é o valor de menor módulo.
Assim sendo:
A B valor máximo de f(x)
A B valor mínimo de f(x)
(lembre-se: convencionamos que B > 0)
2período de f(x)
C
(lembre-se: convencionamos que C > 0) D é determinado por um “estado” da função sendo que
um “estado” é um conjunto das seguintes informações: valor de x, digamos x0 valor de f(x0) comportamento (cresc/decresc) de f(x) em x0 Exercício Descreva com uma senóide (função da forma
P(t) = A + Bsen(Ct + D)) a profundidade do mar em um dia em determinado local, sabendo que nesse dia na maré alta a profundidade do mar foi 1,6m e na maré baixa 0,2m. As marés altas ocorreram às 2h e às 14h e as marés baixas ocorreram às 8h e às 20h. Considere a contagem do tempo em horas a partir da meia noite.
Esboce o gráfico de P(t).
Testes Dicas:
a) cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb b) lembre-se do conceito de “amplitude” adotado em
física.
01) Considerando a função posição
x(t) 2cos 0,4 t6
, com x dado em centímetros e
t em segundos, de um corpo em movimento harmônico simples, assinale o que for correto.
01) Nas mesmas unidades acima, podemos também
expressar x(t) na forma
3 cos(0,4 t) sen(0,4 t) , em que t 0.
02) O período do movimento é 2
segundos
04) O primeiro instante t em que x(t) = 2cm é
55t
12 segundos.
08) A amplitude do movimento é 2cm. 16) No intervalo de tempo [0,6], o corpo passa
somente duas vezes pela posição em que x(t) = 0.
02) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2πt)
descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é de 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em
t = 0s; t = 0,75s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a
pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
Valério – Atividade de Complementar – 3º. – 08/2010 2
03) (Unifesp) O eletrocardiograma é um dos exames mais comuns da prática cardiológica. Criado no início do século XX, é utilizado para analisar o funcionamento do coração em função das correntes elétricas que nele circulam. Uma pena ou caneta registra a atividade elétrica do coração, movimentando-se transversalmente ao movimento de uma fita de papel milimetrado, que se desloca em movimento uniforme com velocidade de 25 mm/s. a figura mostra parte de uma fita de um eletrocardiograma.
Sabendo que a cada pico maior está associada uma
contração do coração, e que a distância entre dois picos consecutivos é de 20mm, a frequência cardíaca dessa pessoa, em batimentos por minuto, é:
a) 60. d) 95 b) 75 e) 100 c) 80
04) (Mack-SP) Uma partícula realiza um MHS (movimento
harmônico simples), segundo a equação
x 0,2 cos t2 2
, no SI. A partir da posição de
elongação máxima, o menor tempo que esta partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio é:
a) 0,5s. d) 4s. b) 1s. e) 8s. c) 2s.
05) (UFG-GO) O gráfico mostra a posição em função do
tempo de uma partícula em movimento harmônico simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4s. A equação da posição em função do tempo para este movimento harmônico é dada por x = Acos(ωt + φ). A
partir do gráfico, encontre as constantes A, ω e φ.
06) Dada a função trigonométrica f(x) = acos(bx + c), para a qual se sabe que o valor máximo de f (x) é 6,
f(0) = −6, o período de f é igual a , e que a, b e c são
constantes positivas com c menor que 2 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) O valor de a é 6 . 02) O valor de b é 1.
04) O valor de c é 2 . 08) O valor mínimo de f (x) é -6.
16) f(x) = f(x + ) para todo x real. 07) Uma bomba de água aspira e expira água a cada três
segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).
a) y = 2 + 2sen t3
b) y = 2 + 2sen 2
t3
c) y = 3 + sen t3
d) y = 3 + sen 2
t3
e) y = - 3 + 2sen t3
08) Considere uma partícula realizando um MHS com
função horaria x(t) = A. cos(φ + ωt). Desta forma, x(t) representa a posição assumida pela partícula em função do instante t, a partir de t0 = 0, A representa a
amplitude do movimento φ, sua fase inicial e ω sua pulsação. Na figura temos o gráfico dessa função horária, segundo um certo referencial.
Ache valores positivos para as constantes A, φ e ω.
09) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo
tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções
C(x) = 2 – cos X
6e V(x) = 3 2 .sen
X
12;
0 ≤ x ≤ 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
a) 500 d) 2.000 b) 750 e) 3.000 c) 1.000
10) No hemocentro de um certo hospital, o número de
doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2006, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão
Valério – Atividade de Complementar – 3º. – 08/2010 3
S(t) = A – cos t 1
6 com A uma constante
positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 ≤ t ≤ 11. Determine:
a) a constante A, sabendo que no mês de fevereiro
houve 2 mil doações de sangue. b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.
11) Utilizando um pequeno bastão e uma tigela com água,
uma pessoa produz na superfície da água ondas circulares.
Sabendo que a distancia entre duas cristas consecutivas das ondas produzidas é de 2 cm, e a amplitude das ondas é de 0,3cm, obtenha uma função relacionando a altitude h da superfície da água (em relação ao nível da água em repouso) para o momento que em x = 0 temos h = 0 e a função seja crescente em x = 0.
Atenção! Parece mas não é!
12) O crescimento de plantas é afetado pela luz solar e,
portanto, as taxas de crescimento de plantas não são constantes durante um período normal de 24 horas. Analisando dados empíricos, o crescimento de uma certa espécie de planta em ambiente controlado foi
modelado por uma função h(t) = 0,2t + 0,03 sen( 2 t ),
em que h é a altura da planta em polegadas, t é o tempo em dias medido a partir de t = 0 (meia noite) de uma certa data. Em relação ao exposto, assinale o que for correto.
01) O gráfico de h, em um sistema ortogonal de
coordenadas, é uma semirreta no primeiro quadrante partindo da imagem.
02) A planta não ultrapassa a altura de 10 polegadas.
04) A sequência dos números h1
k4
, obtida
fazendo k = 1, 2, 3, ..., é uma progressão aritmética de razão 0,2.
08) h (t + 1) = h(t) + 0,2, para todo t real não-negativo.
16) Em 72 h, a planta cresce 0,6 polegadas.
Atenção! Parece mas não é! 13) Considerando a função f(x) = 2
-x/12cos x, com
0≤ x ≤ 12 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) A função f é periódica com período .
02) As raízes da função f são também raízes da função g(x) = cosx.
04) Para x > 12, tem-se que 1
f(x)2
.
08) O valor máximo de f é 1. 16) O valor mínimo de f é -1.
Gabarito:
01) 13 02) a) P(0) = 100; P(0,75) = 80
b) em t = 0,75s 03) B 04) D
05) A = 2; 2
06) 25 07) D 08) Conforme as condições impostas pelo problema:
3x(t) 0,1cos t
2 2
Conforme convencionamos seria
x(t) 0,1cos t2 2
09) C 10) a) A = 3
b) em maio e em novembro 11) h(x) = 0,3sen(π.x) 12) 12 13) 14