MATERIAL PARA EL CUADERNILLO DE CURSILLO DE IISP · Propiedades Intervalos de ... El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales, y

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¡Bienvenidos!

Estos apuntes han sido pensados para ayudarte a recuperar y consolidar losconocimientos matemáticos que seguramente adquiriste en el Nivel Medio, yque son la base para afianzar otros más complejos relacionados con laprofesión que elegiste.

Para que podamos alcanzar este propósito es necesario que emprendas estanueva etapa con responsabilidad y compromiso, sabiendo que nada es posiblesin esfuerzo y que nada es tan difícil, incomprensible o inalcanzable comoparece, sólo se necesita constancia, paciencia y horas de estudio. Son objetivos de este curso que te habitúes a los tiempos disponibles en un NivelSuperior para estudiar un tema, que siempre son breves, y que fortalezcas tucapacidad de resolver problemas de la manera más conveniente y en el menortiempo posible.

El material que presentamos ha sido elaborado por docentes del áreamatemática para dar a todos los estudiantes la posibilidad de realizar unapuesta al día de conceptos y habilidades en matemáticas que se suponenadquiridos en el nivel medio así como también equiparar la formación en estadisciplina de los alumnos procedentes de las diferentes escuelas.

Sugerimos a los alumnos como forma de trabajo para desarrollar este guía,repasar los conceptos teóricos básicos necesarios para abordar cada unidadantes de realizar los ejercicios propuestos, para adquirir habilidadesmatemáticas y lograr una mejor comprensión de todos los temas.

Docentes de Matemáticas

Curso Propedéutico ISSP Nº 9112 “San Pablo”2

Temas del Cuadernillo

Conjuntos numéricos Números Reales

Clasificación de los conjuntos numéricosOperaciones de números reales. Propiedades Intervalos de números realesEcuaciones e inecuaciones Ejercicios Expresiones algebraicas Polinomios

Conceptos importantesOperaciones de polinomios Factorización de polinomiosEjercicios

Trigonometría

Sistemas de Medición de ÁngulosRazones trigonométricas Resolución de Triángulos rectángulosTeoremas del seno y del coseno

Proporcionalidad

Razón y proporción. Definición, propiedadesMagnitudes concepto, clasificaciónPorcentajeIncrementos porcentualesDescuentos porcentualesEjercicios


CCONJUNTOSONJUNTOS N NUMÉRICOSUMÉRICOS

La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios pararesolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar unadeterminada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), paraestablecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), paraestablecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, -4ºC, etc.), etc.

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales está formado por aquellos que se utilizan para contar.Se designa con la letra N y se representan: N={1, 2, 3, 4, ...}Es un conjunto que tiene infinitos elementos pues si bien tiene primer término, el 1, que es elmenor de todos, no tiene último ya que es suficiente con sumar 1 a un número para obtenerotro mayor. Así, podemos afirmar también, que es un conjunto ordenado, por lo que podemosrepresentarlo sobre una recta de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas operacionescomo suma, resta, multiplicación y división.Siempre que se sumen y se multipliquen dos números naturales se obtendrá otro númeronatural, mientras que muchas veces, no sucede lo mismo si se restan.

Observen: ?20-7 137-20 358 ¿Qué sucede?

NÚMEROS ENTEROS

Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. comoopuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta deun número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y elcero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos

que N Z .

Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:

–2 –1 0 1 2 3

Veamos algunos ejemplos: El opuesto de 2 es –2.

El opuesto de –5 es 5, es decir ( 5) 5

El opuesto de 0 es ...............

De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos números enteros.


…es opuesto de…

Ejemplo: Calcular:

1) ?1223

Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir:

23 + (–12) = 23 – 12 = 11

2) ?209

Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto:

9 – (–20) = 9 + 20 = 29

Podemos observar que ahora la suma, la resta y la multiplicación de números enteros dancomo resultado otro número entero.

¿Ocurrirá lo mismo en el caso de una división? Observen:

?23

?54

818

2510

¿Hay algún número entero que cumpla con esta condición?

NÚMEROS RACIONALES

Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de losnúmeros racionales al que denotaremos con la letra Q.Un número racional es el cociente (división) de dos números enteros m y n, siendo n distinto

de cero. Por lo tanto:

0,,, nZnm

n

mQ donde m es el numerador y n el denominador.

Notemos que Z Q.

De la definición de número racional surge que todo número entero es racional, pues podemosconsiderar al entero como un racional de denominador 1, por ejemplo:

01y ZZ,13- donde 1

33

Representemos en la recta numérica algunos números racionales:

Veamos algunos ejemplos de números racionales:

5

7 es racional, pues es el cociente de 7 y 5, que son números enteros.

4 es racional pues 1

4= 4 y 4 y 1 son enteros.


0 1

0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 10

33,0 ya que 3 y 10 son

números enteros

es la expresión decimal de un número racional porque y 5

y 9 son números enteros.

es la expresión decimal de un número racional porque y

14 y 90 son números enteros.

Estos tres últimos ejemplos muestran los tres tipos diferentes de expresiones decimales quepuede tener un número racional:

Expresión decimal finita:

Expresión decimal periódica pura: ;

Expresión decimal periódica mixta: ;

Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimalpuede tener un número finito de cifras o puede tener un número infinito de cifras peroperiódica, pura o mixta.

Supongamos que nos dan el número decimal 12,233 Es una expresión decimal periódicamixta, así que ya sabemos que es un número racional y por lo tanto se tiene que poderexpresar como una fracción (cociente de dos enteros). ¿Qué fracción es?

Para hallar esta fracción, existe una regla muy simple que podemos resumir así:

periódicas no decimales cifras como 0 y tantos periódicas decimales cifras como 9 tantos

expresión) la de periódicas no cifras las ( - expresión) la de cifras las (todas

Aplicando en el ejemplo, obtenemos: 90

20989

90

23322332112,233

Recuerda que siempre se puede verificar el resultado realizando la división entre el numeradory el denominador encontrado.

Recordemos como se realizan las cuatro operaciones fundamentales en racionales: Q

SUMA Y RESTA

Igual denominador: dejando el mismo denominador se suman o restan los numeradores

b

ca

b

c

b

b

ca

b

c

b

a

a

0b

Distinto denominador: se puede buscar un denominador común o reemplazar a cada fracción por otras equivalentes a las dadas con igual denominador.

6

25

6

621101

2

7

3

5


MULTIPLICACIÓNSe multiplican los numeradores y los denominadores entre sí

20

3

54

13

5

1

4

3

0db,

db

ca

d

c

b

a

DIVISIÓN Se multiplican numerador por denominador (cruzado)

4

15

14

53

5

1

4

3

cb

da

d

c

b

a

Se puede concluir que entre dos números racionales a y b, con a < b, existe otro racional de la

forma 2

ba que verifica b

baa

2Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto Q es un conjunto denso, en contraposicióna los naturales, N, y los enteros, Z, que son conjuntos discretos.

NÚMEROS REALES

NÚMEROS IRRACIONALES ¿Se puede representar a todos los números que se conocen mediante una expresión decimalfinita o periódica?Para contestar a esta pregunta, se debe pensar en un número muy conocido, el número .¿Cuál es el valor de ? Una calculadora con 8 dígitos dará como valor de al 3,141593;una calculadora con 10 dígitos dará como valor de al 3,14159264. En algún libro dematemática se puede encontrar, por ejemplo: = 3,14159265358979323846. A los números reales cuya expresión decimal no es finita ni periódica los llamaremosnúmeros irracionales. A este conjunto lo denotaremos con I. Algunos ejemplos son:

Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica.

Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un número irracional yque el producto de dos números irracionales no siempre da un número irracional.

Buscar ejemplos en donde se verifiquen dichas afirmaciones.

Observar que si n , entonces 2n� (si 0n ) y son también números

irracionales. Se puede generalizar que si r y t I, r + t y r t� (si 0r ) son números

irracionales. Obviamente I también es un conjunto infinito de números.

El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números

reales, y se designa con la letra . Notemos que, por esta definición . Los números

reales llenan por completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y


una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, lecorresponde un punto de la recta. La relación existente entre los conjuntos numéricos la podemos graficar de la siguientemanera:

Operaciones en números reales. Propiedades

SUMA Y MULTIPLICACION

Las operaciones de suma y multiplicación definidas en cumplen ciertas propiedades.

Veamos algunas de ellas:

Sean a, b y c números reales cualesquiera.

Propiedades de la Suma de la multiplicación

Ley de cierre a b a b�

Asociativa a b c a b c * a b c a b c� � � � *

Conmutativa a b b a a b b a� �

Existencia de elemento neutroEs el 0:0 0a a a

Es el 1:1 1a a a � �

Existencia de inversoEs el opuesto aditivo:

( ) ( ) 0a a a a

Es el inverso multiplicativo:1 1

1 0a a si aa a

� � �

Distributiva del producto con respecto a la suma

a b c a c b c � � �

* Observación: La propiedad asociativa nos permite prescindir del uso de paréntesis y

escribir simplemente ó

POTENCIACION Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtienemultiplicando n veces el factor a, es decir: ......... aaaaa n


Ejemplo: a6 = a . a . a . a . a . a

Decimos entonces que es una potencia que tiene a a como base y a n como exponente.

Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para

a 0:

Nnaa

ann ,

11

0

Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Distributiva con respecto al producto (a �b)m = am �bm

Distributiva con respecto a la divisiónm

mm

b

a

b

a

Producto de potencias de igual base an �am = an + m

División de potencias de igual base mnm

n

aa

a

Potencia de potencia mnmn aa

Observación: La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

RADICACION

Para los enteros positivos ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, . Ahora

vamos a utilizar la ecuación para definir la n-ésima raíz de a.

La notación de la raíz cuadrada de 49 es . Su valor es 7 porque y . Aun

cuando , el símbolo se usa sólo con y no con , así que se tendrá un

solo valor de . Claro que siempre es posible escribir si se desea el valor negativo

. Además . Podemos observar que no tiene una raíz cuadrada real ya que

para todo número real , por lo que no tiene solución en el conjunto de los

números reales.

En general:

◊ La raíz cuadrada de se define como sigue a . A veces recibe el nombre de raíz cuadrada

principal de Si a es un número real positivo ba si y sólo si 2ba y a>0


Ejemplo: , pues (no es ni )

◊ En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos,así como el cero. Por ejemplo, 283 pues 823 51253 pues 1255 3 Se concluye que:

Si a y b son números reales cualesquiera si y sólo si

Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas.Las raíces cuadradas están definidas sólo para los números reales positivos y el cero. Lasraíces cúbicas están definidas para cualquier número real.Entonces en una regla general:

Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

Sean números reales positivos y números naturales

Observaciones: Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma

ni a la resta.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Es una propiedad que poseen los radicales cuando se puede dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número

Si el índice de la raíz es impar se puede simplificar siempre sin tener en cuenta el signo de la base del radicando. Por ejemplo:

225

5 (dividimos índice y exponente por 5)321

7

3

2

3

2

(dividimos índice y exponente por 7)

Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva, ya que sila base fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:

Curso Propedéutico ISSP Nº 9112 “San Pablo”

n a si n es par sólo tiene solución elradicando positivo realesen solución tieneno 81

3814

4

n a si n es impar tienen solución losradicandos positivos y negativos 232

3275

3

Propiedades de la Radicación

Distributiva con respecto al producto nnn baba

Distributiva con respecto a la divisiónn

n

n

b

a

b

a

Raíz de raíz mnn m aa .

10

216)2( 44 4

los resultados no coinciden.2)2(4 4 (si dividimos índice y exponente en 4)

Observación: cuando el índice es PAR y el radicando NEGATIVO, NO se puedesimplificar

Recordemos como operar con radicales:

SUMA Y RESTA

Con raíces semejantes

se extrae la raíz como factorcomún y se opera

65

26

3

165

615

866

5

2

3

15

Con raíces no semejantes.

Se descomponen cada uno de losradicandos en forma deproducto.Se aplica la propiedaddistributivaSe extrae factor comúnSe resuelve la suma algebraica

272612

26222

236224

7228

MULTIPLICACION

Y

DIVISION

Con igual índice.

Se mantiene el índice y seagrupa dentro de un mismoradicando.Si es multiplicación se sumanlos exponentes.Si es división se restan losexponentes.

3 2333 2 yxxyyx

333 2 xxyyx

Con distinto índice

Se debe buscar un índice comúnSe agrupan los factoresSe opera con propiedades de lapotencia de igual base

3 abab6 5523 2232 33 bababa

3 abab

623 2232 33

b

ababa

RACIONALIZACION DE DENOMINADORES

Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero ¿qué sucede si

hacemos la división de 3 en ? ¿Cómo realizaríamos dicha operación?

Podemos solucionar este inconveniente si encontramos un cociente equivalente al anteriorcuyo denominador sea un número racional. Al procedimiento que nos permite hallar talcociente equivalente se lo denomina racionalización de denominadores.La nacionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o losradicales, que están en el denominador de la fracción.


Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresiónequivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y eldenominador por la expresión adecuada, de forma que al operar elimine la raíz deldenominador.■ Racionalización de un radical de índice 2

Para racionalizar una expresión de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el

denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente caso: 5

8 hay

que multiplicar el numerador y denominador por 5 , de esta manera:

55

8

5

58

5

58

5

5

5

82

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que

la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz

cuadrada:

■ Racionalización de una expresión de la forma ba

Se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador ydenominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente

ejemplo: 32

2

hay que multiplicar el numerador y el denominador por 32 .

3221

322

32

322

32

322

32

32

32

222

■ Racionalización de un radical de índice mayor que 2

Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y

multiplicados por índices mayores que 3. 5 438

2

ba Primero, todas las cantidades

subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

5 4335 43 2

2

8

2

baba Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y

denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores. Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En casode que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz. 5 225 433 22 baba En este ejemplo,

es 5 222 ba , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:


ab

ba

ab

ba

ba

ba

ba

ba

ba

5 25 2

5 555

5 22

22

5 22

5 433

4

2

42

2

22

25

2

2

2

POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO

N py ,Ra donde a p m Zma p

m

y

y

Intervalos de números reales

A un conjunto de la recta real lo llamamos intervalo si contiene por lo menos dos númerosreales y también todos los números reales entre dos de sus elementos.Se llama:

Intervalo abierto: de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están entre a y b, sin considerar los extremos a y b. Se escribe como bxaRxba /, . Gráficamente

Intervalo cerrado: de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están entre a y b, incluyendo los extremos a y b. Se escribe como bxaRxba /, . Gráficamente

Intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están

entre a y b, que no incluyen al extremo a, pero incluye al extremo b. Se escribe como bxaRxba /, . Gráficamente

Intervalo abierto a la derecha de extremos a y b al conjunto de los x ε R que están entre a y b, que incluyen al extremo a, pero no incluye al extremo b. Se escribe como bxRxba /, . Gráficamente


Llamaremos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos de puntos

,/ aaxRx

,/ aaxRx

aaxRx ,/

aaxRx ,/

Ejemplos:

Consideremos los siguientes conjuntos:

5,252/ xRxA

3,3/ xRxB


TTRABAJORABAJO P PRÁCTICORÁCTICO – N – NÚMEROSÚMEROS REALESREALES

1) Completar con los símbolos , , ó según corresponda.

4 ........

........ I

N ........

{–2, , 0} ........

........

........

........ I

........ ........ ........

2) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural.

b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural.

c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo.

d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y 1

2.

e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.

3) Simplificar las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible

a) 618

189

= b) 1063

18205

=

c) 30249

181215

= d) 15100

2536

=

4) Convertir en fracciones los siguientes decimales, reduciendo a su más simple expresión: a) 0,04= b) 0,13636...= c) 0,25=

d) 0,1855...= e) 0,02727...= f) 2,444…=

5) Completar con = ó y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen:

a) ..........

b) ..........

c) ..........

d) ……

6) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:

a)

2

3

2

2

1 c)

2

122

3

aaaa

b) 4

322 2

a

a d)

5

12

32

12

2

db

dba

7) Expresar como exponente fraccionario y resolver:

a)

2

10

13

113 b)

3 a

aa c)

7

17 2 d)

5 3

32

5

55


8) Resolver:

a)

16

1

4

322

2

53

2

b)

0

1

33

9

4

8

2

c) 2398200

d) 5 325 caabc

e) 752 xyyx

9) Racionalizar:

a) 72

5

b) 25

3

c) 5 2432 cba

a

d) 3 40

20


EECUACIONESCUACIONES

Un problema de ingenio frecuente es: pensar un número, sumarle 15, multiplicar por 3 el resultado. A lo que se obtiene, restarle 9, dividirlo por 3 y restarle 8.Si la respuesta es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28. ¿Cómo se sabe?

Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas. Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar).

Entonces:

3283

9315 x.

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

32432831532839

3315

3283

9315 xx

xx

.

Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 4 al númerooriginal. De esta manera, restándole 4 a 32 es fácil descubrir cuál había sido el númeropensado en principio.

Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor eradesconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio delas… Ecuaciones.

En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamosecuación con una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son:

a) 3 x + 4 = 5 x – 8

b) 2 x2 + 20 = 24 x –20

c) log x = 3 – log (x + 2)

Resolución de ecuaciones de primer grado

Con las propiedades vistas anteriormente estamos en condiciones de resolver cualquier tipo deecuación de primer grado. Veamos ciertos casos particulares.

Sea la ecuación: 2x – 8 = 2(3 + x)

Resolución:

!ABSURDO¡xxxx

xxxx

68:operando226282

:sumaladeuniformepropiedadpor2682:vadistributipropiedadpor3282

¿Qué significa esto? ¿Habremos cometido algún error durante el desarrollo?

No se cometió ningún error. El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución enlos números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación. Elconjunto solución de dicha ecuación es vacío.

Sea la ecuación: –10x = 5(2x – 4) Resolución: -10x = 10x-20 -10x-10x =-20 -20x=-20 x= (-20)÷(-20) x= 1

INECUACIONESINECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad condicionada al valor que asuman las incógnitas (valoresdesconocidos)Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que ladesigualdad sea verdadera. Este valor de la incógnita generalmente es un intervalo de valoresque muchas veces se representa por una semirrecta. Su solución se expresa en intervalos.

Regla general para resolver una inecuación

Se sigue el mismo procedimiento que para resolver una ecuación, pero se debe tener en cuenta las siguientes propiedades:

a-Si sumamos a ambos miembros de una desigualdad un número real cualquiera, la desigualdad se mantiene en el mismo sentido. En símbolos: Sean a, b, c ε R, si a < b, entonces a + c < b + c.

b. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad resultante mantiene el sentido de la primera. En símbolos: Sean a, b, c ε R, si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c

c. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad resultante cambia su sentido respecto de la primera. En símbolos: Sean a, b, c ε R, a < b y c < 0, entonces a.c > b.c

Ejemplo: -2(x+3)<-x-2 -2x-6<-x-2 -2x+x<-2+6 -x<4 x>-4 S= (-4,+∞)


TTRABAJORABAJO P PRÁCTICORÁCTICO – E – ECUACIONESCUACIONES EE INECUACIONESINECUACIONES

1) Seleccionar las respuestas correctas:a) La solución de la ecuación 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) es:

Un numero fraccionario y entero

9//7

Un numero entero y negativo

9

Ninguna de las anteriores

b) La solución de la ecuación: 5x + 10x –6 – 9 + 4x = x + 3 – 12 es:

c) El valor de m que pertenece a N y que es solución de la ecuación

m + 3(4m – 6) = –10 + 2(3m –5) es:

2) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y determina cuando sea posible a queconjunto numérico pertenece cada una de ellas

a) )x(x 15214 b) yyyyy 2)4(5)2)(1(

c) 618593 x)x( d)

325

61

342

25

aaaa

e) )(3 axxa , siendo x la incógnita y a un número real fijo.

f) )1(445 ttt g) 8323 xx

h) 43

1

2

1 xx i) xxx 81754332

j) 15

132

5

4

3

4 xxx k)

7

32

2

1

7

52

1xx

x


15

2/3

3/2

-(3/2)


0

-(2/7)

2

Inexistente


19

3- Plantea y resuelve los siguientes problemas

a) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera partedel resto y quedan aún 1600 litros. Calcula la capacidad del depósito.

b) La semisuma de un número y su consecutivo, aumentada en la tercera parte de dichonúmero da como resultado la sexta parte de treinta y cinco.¿Cuál es el número?

4 Resolver las inecuaciones y representar sus soluciones en el eje real:

a)

0

2

54/ xx b)

0

9

5

3

2x/x c)

3

3

10y/y

d)

5

2

1246 yy./y e)

3

2

1z/z f)

x24

x21/x

a) x34,0x21x h )

3x5

5x3

/x


EEXPRESIONESXPRESIONES A ALGEBRAICASLGEBRAICAS

En el álgebra se observa que se emplean letras y otros símbolos para representar números ocantidades conocidas y desconocidas en ecuaciones y desigualdades.

Ejemplos: bn = b.b ......b ; 0b si ;1

nn

bb ; a (b + c) = a b + a c

El término expresión algebraica se emplea para cualquier combinación de variables yconstantes que se forme utilizando un número finito de operaciones.

Ejemplos: a x2 ; a x2+ b x + c ; byax

yx

2

3

; 1.7 c + 37 ; yx

yx

72

7 23

Monomio es una expresión algebraica con un solo término

Ejemplos: 4 x2 ; -8 x z3 y7 ; 7 5

7yx ; 4 a y3z

Operaciones entre Monomios:

Suma y Resta de Monomios

Para suma o restar monomios, se suman o se restan los coeficientes de términos semejantes. Ejemplos:

1) 3 x2 y + 5 x2 y = 8 x2 y

2) 7 x3 y3 - 2 x3 y3 = 5 x3 y3

3) 3 x2 y + y3 - 7 x2 y = y3 -4 x2 y

Importante: Sólo se pueden sumar o restar términos semejantes

Producto de Monomios

Cuando se multiplican monomios, se multiplican los coeficientes numéricos para obtener el

coeficiente numérico del producto. Luego se multiplican los factores re3stantes usando las

reglas de los exponentes:

Ejemplos:

1) (3 x3 ) ( - 7 b x4) = -21 b x7

2) (4 a x2 ) ( 7 b x3) = 28 a b x5

3) (-5 x y2 z3) ( 3 x2 y2) = -15 x3 y4 z3

4) 5443 6 3 2 yxyxyx

Polinomios

Se llama polinomios a la suma de monomios en los que, las variables estén elevadas apotencias naturales o cero.Ejemplos:

1) 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1, una sola variable x; se lo escribe p(x)= 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1

2) 2 x2 y – 5 x y3 dos variables x , y; se lo escribe p(x, y) = 2 x2 y – 5 x y3


3) 2x y + 3 z y - 4y tres variables x, y, z, se lo denota p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y

El grado del polinomio, está dado por el término de mayor grado.

p(x)= 2 x3 - 3 x2 + 4 x + 1 tiene grado 3.

P(x, y) = 2 x2 y – 5 x y3 tiene grado cuarto.

p(x, y, z)= 2x y + 3 z y - 4y tiene grado 2

Un polinomio con exactamente dos términos se lo denomina binomio.

Ejemplos: p(x, y)= a x2 + b y ; p(x)= 4 x + 5 ; p(x, y)= 6 x6 - 9 y

Un polinomio con exactamente tres términos es un trinomio.

Ejemplos: p(x)= 3 x3 - 2 x + 1 ; p(x, y, z, w)= 2x y + 3 z y - 4 w

Operaciones entre Polinomios

Suma y Resta

Para suma o restar dos polinomios, se suman o se restan los coeficientes de términos

semejantes.

Ejemplos:

1) ( 3 x2 + 2 x y -5 y) +(-6 xy + 6 x2 - 7 y) = 9 x2- 4 x y -12 y

2) (4 y - 3 z + 4 x y) - (7 y - 8 z - 6 x y) = -3 y + 5 z + 10 x y

3) 3 x2 + 2 x y - y3 - 8 x y = 3 x2 - 6 x y - y3

4) ( 2 x2 –5 x +3 )+( -3 x3 + 2 x –1) = - 3 x3 + 2 x2 –3 x + 2

Observación:

En caso que, se suman dos polinomios de distinto grado, la suma es un polinomio que,tiene el grado del mayor grado de los polinomios sumados.

En caso que, se suman dos polinomios de igual grado, la suma es un polinomio que,tiene el grado menor o igual al grado de los polinomios sumados.

Multiplicación

Para multiplicar un polinomio por otro, cada término de un polinomios se multiplica por cadatérmino del otro polinomio. Es decir se usa la propiedad distributiva.Ejemplos:

1) 4 x2y (3x y2+ 2 x3 y ) = (4 x2y) ( 3 x y2) + (4 x2y ) (2 x3 y) = 12 x3 y3 + 8 x5 y2.

2) ( x2 + b ) (x + c) = x2 (x + c) + b ( x + c) = x3 + c x2 + b x + b c

Otro método consiste en multiplicar de la misma manera que con los números reales. Cuandose emplea éste método, los términos semejantes se colocan en la misma columna.

Ejemplo:


4 x3 – 2 x2 + 0 x +5x 2 x2 – x – 0.5

------------------------------------------------ -2 x3 + x2 + 0 x - 2.5

- 4 x4 + 2 x3 + 0 x2 - 5 x 8 x5 - 4 x4 + 0 x3 +10 x2

-------------------------------------------------------- 8 x5 – 8 x4 + 0 x3 + 11 x2 -5 x -2.5

Productos Especiales

El producto especial (a + b) (a - b). da como resultado una diferencia de cuadrados

a2 - b2

En el siguiente ejemplo se muestra un producto especial:

Ejemplo: (x + 4) (x - 4) = x2 - 4 x + 4 x - 16 = x2 - 16.

En general: ( a+ b ) ( a- b) = a2 - a b + a b - b2 = a2 - b2

El producto especial (a + b)2 da como resultado un trinomio cuadrado perfecto a2 + 2

a b + b2

Recordemos que (a+ b)2 = (a + b) ( a+ b), si multiplicamos obtenemos:

(a+ b)2 = (a + b) ( a+ b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2

Ejemplos:

1) ( x + 3 y)2 = x2 + 6 x y + 9 y2

2) (4 a - b)2 = 16 a2 - 8 a b + b2

RECUERDA QUE: ( a + b)2 a2 + b2

( a - b)2 a2 - b2

El producto especial (a + b)3 da como resultado un cuadrinomio cubo perfecto a3 + 3

a2 b + 3 a b2 + b3

(a+ b)3 = (a + b)2 ( a+ b) y sabiendo que (a+ b)2 = a2 + 2 a b + b2

Sustituyendo, multiplicando, asociando y conmutando obtenemos:

(a+ b)3 = (a + b)2 ( a+ b) = (a2 + 2 a b + b2 ) ( a + b) = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

Es decir que: (a+ b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

Ejemplos:

1) (2 b + a )3=8 b3 + 12 a b2 + 6 a2 b + a3

2) ( y + 1 )3= y3 + 3 y2 + 3 y + 1

3) ( x - 2 )3= x3 - 6 x 2 + 12 x – 8


División de Polinomios

Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potenciasde mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a ladivisión numérica. Ejemplo: Divida 2334 2)4423( xxxxx

Veremos el algoritmo de la división para determinar los polinomios cociente y resto.

1º se ordenan según las potencias

decrecientes de la variable “x”, el

dividendo y el divisor completando, a

demás, el dividendo.

)44023( 234 xxxx

2º dividimos el primer término del

dividendo con el primer término del

divisor, obteniéndose así el primero

termino del cociente.

)44023( 234 xxxx 23 2xx 3x

3º multiplicamos el primer término del

cociente por todo el divisor.

)44023( 234 xxxx 23 2xx 3x- )63( 34 xx

4º se resta este producto del dividendo,

obteniéndose un nuevo dividendo.

)44023( 234 xxxx 23 2xx 3x- )63( 34 xx

23 08 xx 5º reiteramos el procedimiento 2º, 3º y 4º

hasta obtener el polinomio resto, de grado

menor que el divisor.

)44023( 234 xxxx 23 2xx 3x + 8- )63( 34 xx

23 08 xx

- 23 168 xx

4416 2 xx

Quedan entonces determinados el polinomio cociente C(x)= 3x+8 y el polinomio resto R(x)=4416 2 xx que verifican:

)4416()83()2(44023 223234 xxxxxxxxx

La división está bien hecha si se cumple que: Dividendo = divisor x cociente + resto

Grado (resto) < Grado (divisor)

Regla de Ruffini:


Cuando el divisor es un polinomio de la forma x a, se puede aplicar el método ya aprendido

o aplicarse la regla de Ruffini, que prescinde de las variables.

Ejemplo: Dividir (3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4) : (y +1), primero aplicando el método aprendido, y

luego aplicando la regla de Ruffini

3 0 1 -5 4-1 -3 3 -4 9X 3 -3 4 -9 13

El polinomio cociente es 3 y3 -3y2+4y - 9; y el polinomio resto es 13.

Valor Numérico de un polinomio. Teorema del resto

El valor numérico de un polinomio en x= a es el valor que se obtiene de sustituir a la

variable x por el número a y efectuar las operaciones indicadas.

Se obtiene un número al que denominaremos como p(a)

Ejemplo: El valor numérico de 3 x3 -3x2+4x-9 en x= 1, x= -1, x= a

El valor numérico del polinomio en x= 1, es p(1) = 3 ( 1) 3 –3 ( 1)2 + 4.1 -9 =- 5

El valor numérico del polinomio en x= -1, es p(-1) = 3 (- 1) 3 –3 ( -1)2 +4.(-1)-9 = -19

El valor numérico del polinomio en x = a p(a) = 2 ( a) 3 – ( a)2 +4ª -9

Cuando el valor numérico del polinomio en x= a es cero se dice que a es raíz del polinomio o

cero del polinomio.

En el ejemplo x= -1 es raíz del polinomio P(x) =2 x3 – x5 +1

Teorema del Resto

El resto de dividir un polinomio p(x) de grado mayor o igual a uno, por otro de la forma x +

a, es el valor numérico del polinomio p(x) para x= a cambiado de signo.

Demostración p(x) x + a

/ c(x) , de modo tal que p(x) = (x + a) c(x) + r ,


3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4 y +1________

-3y 4 -3y 3 3 y3 -3y2+4y-9

- 3y3 + y2 -5 y+4

3 y 3 +3y 2 ____

4y2 - 5 y+4

-4y 2 -4 y_____

-9 y + 4

9 y + 9

13

25

r

El resto de la división es r = p(-a), En el ejemplo: ( 3 y4 + 0 y3 +y2 -5y+4 ) : (y +1)

r = 3 (-1)4 + 0 (-1) 3 + (-1)2 – 5 (-1) + 4 = 13

Factoreo de Expresiones Algebraicas

A fin de simplificar el proceso de resolución cuando operamos algebraicamente, resultaconveniente, replantear distintas expresiones algebraicas, presentándolas como producto dedos o más factores, esto es factorearlas.Como su nombre lo indica entonces, factorear implica expresar un polinomio comoproducto de dos o más factores.

Veamos brevemente los distintos casos desde el más simple.

Factor ComúnTodos los términos del polinomio contienen un mismo factor numérico y/o literal; en otraspalabras, cada término es divisible por un mismo monomio. Este se extrae como monomioque multiplica a un nuevo polinomio que resulta de dividir a cada término del polinomiooriginal.Ejemplo: Factorear 5 x4 y2 - 10 x2 y3 - 15 x3 y2

Tiene como divisor máximo común a: 5 x2 y2

Luego puede extraerse como factor que multiplica a: x2 - 2 y - 3 xY esto implica que: 5 x4 y2 - 10 x2 y3 - 15 x3 y2 = 5 x2 y2 ( x2 - 2 y - 3 x )

Factoreo por Grupos

A veces el polinomio que se quiere factorear, no contiene un factor común en todos lostérminos, pero si por grupos.Ejemplo: Factorear 3 a x+ b2 y + a y + 3 b2 xAplicando la propiedad asociativa y la conmutativa, se obtiene:3 a x+ b2 y + a y + 3 b2 x = ( 3 a x + 3 b2 x) +( b2 y + a y ) factoreando en cada grupo: = 3 x ( a+ b2 ) + y ( a + b2 ) agrupando = ( a + b2 ) ( 3 x + y)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Recordemos que el cuadrado del binomio x+ y , es igual a la suma del cuadrado de las basesmás dos veces el producto de los mismos.Ejemplo: Factorear x2 + 2 x y + y2

Recordando lo trabajado en productos especiales:x2 + 2 x y + y2 = ( x + y )2

Cuatrinomio Cubo PerfectoCuatro términos, dos de los cuales son cubos perfectos; otro término es el triple producto delcuadrado de la base del primero por el segundo y el cuarto es el triple producto de la base delprimero por el cuadrado de la base del segundo.Ejemplo: Factorear 8 b3 - 12 a b2 + 6 a2 b - a3


De nuevo aplicando uno de los productos especiales, se obtiene que:8 b3 - 12 a b2 + 6 a2 b - a3 = ( 2 b - a )3

Diferencia de Cuadrados

Consideremos el caso del binomio ( a2 - b2), se puede factorear así:( a2 - b2) = ( a - b) ( a+ b) Visto como un producto especialEjemplo: Factorear ( 9 - y2 )Aplicando el producto especial (a- b) (a+ b) obtenemos:

( 9 - y2 ) = (3- y) ( 3 + y)

Factoreo de la suma o diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o

diferencia de sus bases

En primer lugar analizaremos si es posible factorear la suma de potencias por la suma odiferencia de sus bases.Ejemplos:1) Factorear x5 + 25

Como x= -2 es raíz del polinomio, el polinomio x5 + 25 es divisible por x + 2, efectuando ladivisión del polinomio x5 - 25 por x +2 se obtiene con regla de Ruffini, se obtiene el cocientey el resto 0 En consecuencia: x5 + 25 = ( x + 2 ) (x4 - 2 x3 + 4 x2 - 8 x + 16) 2) Factorear x5 - 25

Como x=2 es raíz del polinomio, el polinomio x5 - 25 es divisible por x - 2, efectuando ladivisión del polinomio x5 - 25 por x -2 se obtiene el cociente y el resto 0En consecuencia: x5 - 25 = ( x- 2 ) (x4 - 2 x3 + 4 x2 - 8 x + 16)

3) Factorear x6 - 26

Como x= 2 es raíz del polinomio, el polinomio x6 - 26 es divisible por x - 2, efectuando ladivisión del polinomio x6 - 26 por x -2 se obtiene el cociente y el resto 0En consecuencia x6 - 26= (x -2) (x5 +2 x4 + 4 x3 + 8 x2 + 16x + 32)


Trabajo practico- Expresiones algebraicas

1-Simplifique cada expresión:

a) 10 w + w2 - 8 w2 b) 7 x y2 - 5 x2 y + 4 x y2 c) 4(a+b) + 3 (b+a)

d) 2( x + 3 y) - 3(x- 2y) + 5(2 x - y) e) 9581763

1 4545

xxxxxx

2-Multiplique los siguientes polinomios:

a) (a +b) ( a+ c) b) (x+ 5 ) (x2+ 6) c) (4 x2- 2 x + 1) (3 x -2)

d) (a +8) ( a -8) e) (3 x - 2) 2 f) (a + 2)3

3- Realizar las operaciones y hallar el valor numérico de cada resultados para x= -2a) 725 23 xxx + xx 36 3 =

b) xxxxx 32643 22

c) 24x

d) 2:3325 34 xxxx

4- Factorear los siguientes polinomios a) 16 a8 b t + 64 a b9 t7 + 8 a5 b3 t +40 a4 b t5

b) 65 a c + 16 c x - 14 x y - 35 a y

c) 344226

4

5

16

25

36

9ypypyp

d) 64 x3 y3 - 24 x2 y2 + 3xy -8

1

e) 2264

16

9

25

4qpzx

f) a4 - 34

g) a3 m9 + b6 c9

h) 1,2 a2 n3 z3 + 0,8 a3 n2 z4 + 4,2 a n5 z

i) 9 a c + 6 cm- 3 c x - 6 a2 - 4 a m + 2 a x

j) 394653263

27

8b a 2

2

9

8

27cbccbaca

k) 164 x10000256

1 a

l) x3 + 43

m) 27 n3 - 64 r6

n) 2,4 b5 z3 - 1.2 b z2 + 0.6 b2 z5

o) 16 p x z - 4 p x -24 p y z + 6 p y + 8 q x z - 2 q x - 12 q y z + 3 q y

p) 81 -x 8


5) Factorear y simplificar:

3223

22

8 36 54 27

4 12 9

bbabaa

bbaa

6) Resolver previo factoreo:

a) 222

44

2 93

2

baa

ba

b

a

=

b)44

3

2

22

xx

x

x=

c)

x

x

x

x

x

xx

2

84 .

16

4 .

44x

2 44

2

2

2

=

d)

93

96

27

92

2

3

2

xx

xx

x

x


TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA

La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc.

Sistemas de Medición de Ángulos Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son:

Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).

190

oangulorect '1

60

1

''160

'1

Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.

Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central α y los radios r correspondientes,

permite tomar como medida del ángulo el cociente r

s

radio

arco Un ángulo central de 1

radián es aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio s=r

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos ladosdeterminan sobre ella un arco s de longitud igual al radio r.Para relacionar un sistema de medición con otro, observemos la siguiente tabla:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Sea el triángulo rectángulo ABC cuyos lados tienen longitudes a, b, c y de ángulos agudos B y C, como se indica en la figura. Consideremos un sistema de referencias de origen B, con ellado BA perteneciente al semieje positivo de la x y de modo que todo el triángulo resulte incluido en el primer cuadrante


Angulo Sistema sexagesimal Sistema circular

1 giro 360º 2

1 llano 180º

1 recto 90º2

30

De la definición de seno de un ángulo resulta a

bsen

Es decir: El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por la relaciónentre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa.

De la definición de coseno de un ángulo resulta a

ccos

Es decir: El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por larelación entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.

De la definición de tangente de un ángulo resulta: c

b

cos

sentg

Es decir: La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo está dado por larelación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo.

De las relaciones y de la definición de cotangente, cosecante y secante, resulta: b

cctg

b

aeccos

c

asec

Signo de las razones trigonométricas


x

y

1

C

a

c A1

b

B

31

α1º cuadrante

O° a 90°2º cuadrante

90°a 180°3º cuadrante180°a 270°

4º cuadrante270° a 360°

sen + + - -cos + - - +tg + - + -

Razones trigonométricas de ángulos notables

α 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270ºsen 0

2

1

2

2

2

3 1 0 -1

cos 12

3

2

22

1 0 -1 0

tg 03

3 1 3 0

Resolución de triángulos rectángulos rectángulo

Consiste en determinar las medidas de todos sus elementos, entendiéndose por ellos a sus lados y ángulos interiores. Se debe tener en cuenta que las expresiones a emplear deberán seleccionarse según el caso a resolver.

Relación lados y ángulos de un triángulo rectángulo

Observa el triángulo rectángulo de la figura. Los lados se relacionan con el llamado teorema de Pitágoras: 222 cba y los ángulos se relacionan con la propiedad de la suma de ángulos interiores del triángulo: º180ˆˆˆ CBAEntre los lados y los ángulos se relacionan con las razones anteriormente explicadas seno, coseno, tangente y sus reciprocas

c

a

a

cCsen

Csen

1Ccosec ˆ

b

a

a

bC

Ccos

1 Csec ˆcos

c

b

b

cCtg

Ctg

1Ccotg ˆ

Identidades importantes


► 12 osensen es llamada identidad pitagórica

►

costan

sen ►

seng

coscot

Resolución de triángulos oblicuángulos y obtusángulos

Teorema del coseno

Dado un triangulo ABC, siendo α,β,γ, los ángulos, a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

)cos(2222 abbac

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces cada lado es proporcional a su ángulo opuesto.

Trabajo práctico- Trigonometría

1-Expresar en radianes los siguientes ángulos dados en el sistema sexagesimal


a) 360º b) 130º c) 45º d) 30º e)270º

2- Expresa en el sistema sexagesimal

a) 2

3

b) 6

3

c) 4

5

3- Calcula el valor exacto cuando sea posible:

a) 2

6052

43020 eccossencossencossen

b) ºsenºeccosºcostg 90270318022

4- Indicar el signo de las siguientes funciones trigonométricas

a) sen 560º= b) tg120º= c) cos 800º= d) sec14º=

4- Plantear y resolver

a. El piloto de un avión debe calcular el ángulo de descenso de su nave, si se encuentra a 50mdel suelo a 72m de la pista de aterrizaje. ¿Cuál es dicho ángulo?

b- A 20m de la costa se encuentra un barco que debe virar un ángulo de 40º para llegar alpuerto más cercano ¿A qué distancia se encuentra del mismo?

c- Nos situamos a observar una montaña en un punto ubicado a nivel del mar y a 25 km delpico de la misma. Desde ese punto se observa con un ángulo de elevación de 7º ¿Cuál es laaltura de la montaña?

d- Una escalera se apoya en una pared y tiene su pie a 3 m de la misma. Se alcanza a unaventana que está a 16 m del suelo. ¿Qué ángulo determina la escalera con el suelo?

e- Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º

5- Plantea y resuelve los triángulos oblicuángulos

a- Dos personas A y B, se encuentran a una distancia de 200 metros una de la otra. Cuando unavión pasa por el plano vertical de las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamentecon ángulos de elevación de 40° y 53°, respectivamente. Calcula la altura del avión en esemomento.

b- Un topógrafo situado en un punto C, sitúa dos puntos A y B en los lados opuestos de unlago. Si el punto C está a 10 Km. de A y a 15 Km. de B y, además, el ángulo C mide 40°.Calcula el ancho del lago.

c- Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm y el ángulo que forman es de48º15’. Calcular la medida de sus lados.

PROPORCIONALIDADPROPORCIONALIDAD


Definición: Parte de las matemáticas que estudia las relaciones existentes entre magnitudes.

Conceptos básicos en proporcionalidad:

- Razón: Es el cociente entre dos números de la forma a/b, siendo b distinto de cero. Lostérminos de una razón se denominan: antecedente (numerador) y consecuente (denominador)

- Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Partes de una proporción: medios y extremos.

d

c

b

a a y d son los extremos y b y c son los medios.

- Propiedades de las proporciones: 1. En cualquier proporción se cumple: “Producto de medios igual a producto de extremos”

cbdad

c

b

a

2. Invirtiendo el orden de medios y extremos simultáneamente se obtienen proporcionesequivalentes, pero SIEMPRE que se cumpla la primera propiedad con los mismos números,

es decir el mismo producto de medios y extremos: c

dnteesequivale

d

c

b

a a

b a

3. Si sumamos o restamos los antecedentes y los consecuentes de dos o más razonesequivalentes obtenemos otra razón equivalente a las anteriores.

db

ca

d

c

b

a

En esta propiedad se fundamenta el cálculo de los repartos.El término desconocido en una proporción se calcula aplicando el producto de medios igual aproducto de extremos

Magnitud: Cualquier característica medible de algo. Diferenciar entre magnitud y unidades. Magnitudes:longitud, superficie, volumen, capacidad, masa, tiempo….Unidades: m, l, g, hora, mn…..

- Tipos de magnitudes: Independientes: Son aquellas que no implican una variación simultánea y

proporcional de ambas. Es decir que al variar una de ellas no hace que la otra varíenecesariamente o en la misma proporción.

Dependientes: Están relacionadas, de modo que al variar una de ellas hace que varíe

la otra.

Magnitudes dependientes (proporcionales): Pueden ser de dos tipos:

1. Magnitudes directamente proporcionales: Aquellas en las que el incremento en una de ellas provoca un incremento proporcional en laotra y una disminución en una de ellas provoca el mismo efecto en la otra. Es decir, almultiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por el mismo número.Ejemplo: nº cuadernos comprados y precio.

2. Magnitudes inversamente proporcionales: Son aquellas en las que un incremento en una de ellas provoca una disminución proporcional en la otra magnitud y viceversa. Es decir al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida entre ese mismo número.


Ejemplo: velocidad y tiempo.

PORCENTAJES

Concepto: Un porcentaje es una parte de algo referida a un todo, cuando ese todo es cien. Por

lo tanto se representa como una fracción de denominador cien: %22100

22 es decir, de cien

partes se toman 22.

Podemos establecer proporciones entre cualquier razón de datos y otra razón cuyodenominador será 100 y su numerador representará al porcentaje equivalente.

Los porcentajes son siempre proporciones directas

Analizaremos un ejemplo sencillo. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que han faltado por lanieve si en una clase de 25 alumnos han faltado 8?

1- Tabla de magnitudes

2- Completamos la tabla con los datos del problema suponiendo un total de 100 alumnos paracalcular el porcentaje, según su definición:

Alumnos totales Ausencias por la nieve

25 8

100 x

3- Aplicamos la proporcionalidad directa, ya que todos los porcentajes lo son, es decir el cociente de cada par de datos debe permanecer constante

3225

10088

100

25 xxx

Es decir han faltado un 32% o 32/100 alumnos

Incrementos porcentuales

Se utilizan cuando se aplica un incremento a un precio total: ejemplo, recargos, impuestoscomo el IVA.En ese caso, consideraremos el precio neto representará el 100, y el incremento se sumará a100 y equivaldrá al precio con el impuesto incluido.

Ejemplo: Precio sin IVA: 60 €

Precio con IVA (7%): 107

Porcentaje Precio100 60107 x


Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre directamente proporcionales:

107100

60 x aplicando la propiedad fundamental de las proporciones

60.107= 100x6420 =100x64, 20=x

Obteniendo así el precio final con el impuesto incluido.

Descuentos porcentuales

Se utilizan cuando se hacen rebajas o descuentos sobre un precio. En este caso el precioequivalente al 100, será aquel antes de practicar el descuento, y el precio con el descuentoequivaldrá a 100 menos el descuento o rebaja que se practique.

Ejemplo: Precio sin descuento: 60$

Porcentaje Precio ($)100 60100-20=80 x

Establecemos las proporciones teniendo en cuenta que los porcentajes son siempre directamente proporcionales:

80100

60 x Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

60. 80= 100x4800 =100x48=xObteniendo así el precio final con el descuento realizado.

Trabajo práctico – Proporcionalidad y porcentaje

1-Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:


2- Resolver los siguientes problemas

a-De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos haido de viaje?

b-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 8800, nos hacen un descuento del 7.5%.¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

c-El precio de un ordenador es de $ 1200 sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVAes del 16%?

d- Al comprar un monitor que cuesta $ 450 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuántotenemos que pagar?

e- Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se hacomprado en $ 80. Halla el precio de venta.

f- Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a$180 para ganar al venderlo el 10%.

g- ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a $ 280, para perder el12% sobre el precio de venta?

h-Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio deventa del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 150.


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