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5/26/2018 MATERIAL RETA FINAL 2013 OFICIAL SOMA FINAL.pdf

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Reta FinalCurso preparatrio para2 etapa da UFMG

Matemtica

William Thales Lobato dos Santos

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Matemtica bsica e Lgica .............................3

Sistemas lineares ...........................................17

Sequncias e Progresses .............................33

Anlise combinatria e Probabilidade ...........68

Matemtica comercial .................................100

Funes .......................................................114

Clculo algbrico e Polinmios ...................133

Exponencial e Logaritmo .............................146

Trigonometria ..............................................157

Geometria plana ..........................................174

Geometria slida .........................................207

Geometria analtica .....................................230

Prova A UFMG 2012 ...............................262

Prova B UFMG 2012 ...............................270

SUMRIO

DireoRoberto Rgis

Equipe EditorialAdelba Cristina Fernandes

Dulcineia Magalhes

Jane KadusPaola Marques

Suerlen Alves

Editorao EletrnicaCriarte Cores e Letras

Impresso / AcabamentoPS Editora Ltda.

Todos os direitos reservados.

Proibida a reproduo total ou parcial.

Editora Log Comercial Ltda.Av. do Contorno, 2276 - Floresta

Tel. (31) 3226-2502

CEP 30110-012 - Belo Horizonte - MG

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MATEMTICA BSICA E LGICA

Questo 1

(Unicamp) Um nmero inteiro positivo de trs algarismos termina em 7. Se este ltimo algarismo for colocado

antes dos outros dois, o novo nmero assim formado excede de 21 o dobro do nmero original. ENCONTREo nmero inicial.

Questo 2

(UFMG) Seja So conjunto formado por todos os nmeros naturais ntais que o mnimo mltiplo comum de ne504 igual a 5040. MOSTREtodos os elementos do conjunto S.

Questo 3

(Fuvest) A diferena entre dois nmeros inteiros positivos 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudantecometeu um engano, tendo diminudo em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus clculos,dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. DETERMINEos dois nmeros.

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Questo 4

(UFMG) Um reservatrio abastecido por duas torneiras,Ae B. A torneiraA, sozinha, enche o reservatrioem 20 horas. A torneira B, sozinha, enche o mesmo reservatrio em 18 horas. s duas horas da manh, estandoesse reservatrio vazio, as duas torneiras so abertas. Depois de 4 horas e 30 minutos, a torneira B fechada e a

torneiraAcontinua a abastecer o reservatrio. DETERMINEa hora exata em que esse reservatrio estar cheio.

Questo 5

(Fuvest) Existem dois tipos de anos bissextos: aqueles que so mltiplos de 4, mas no so de 100 e aquelesque so mltiplos de 400. Por exemplo, sero anos bissextos 2008, 2056 e 2400; no sero anos bissextos 2039e 2100.

a) O matemtico Harold Scott Mcdonald Coxeter nasceu no ano de 1907 e faleceu em 2003. Durante a vida dessegrande gemetra, quantos anos foram bissextos?

b) Sabendo que 1ode janeiro de 2007 foi numa segunda-feira, qual o primeiro ano aps 2007 em que 1o dejaneiro ser novamente numa segunda-feira?



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Questo 6

(Fuvest) Se Amlia der R$ 3,00 a Lcia, ento ambas ficaro com a mesma quantia. Se Maria der um tero do quetem a Lcia, ento esta ficar com R$ 6,00 a mais do que Amlia. Se Amlia perder a metade do que tem, ficarcom uma quantia igual a um tero do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amlia, Lcia eMaria?

Questo 7

(UFPE) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemtica, Fsica e Qumica. Sabendoque:

o nmero de alunos que cursam Matemtica e Fsica excede em 5 o nmero de alunos que cursam as trs dis-ciplinas;

existem 7 alunos que cursam Matemtica e Qumica, mas no cursam Fsica;

existem 6 alunos que cursam Fsica e Qumica, mas no cursam Matemtica;

o nmero de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas 150;

o nmero de alunos que cursam pelo menos uma das trs disciplinas 190.

DETERMINEquantos alunos cursam as trs disciplinas.



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Questo 8

(Unicamp) Caminhando sempre com a mesma velocidade, a partir do marco zero, em uma pista circular, umpedestre chega marca dos 2 500 metros s 8 horas, e aos 4 000 metros s 8h15 min.

a) A que horas e minutos o referido pedestre comeou a caminhar?

b) Quantos metros tem a pista se o pedestre deu duas voltas completas em 1 hora e 40 minutos?

Questo 9

(IME) Considere o nmero real N=3 320 14 2 20 14 2+ +

MOSTREque N inteiro e mltiplo de 4.



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Questo 10

(Unicamp) Dois barris contm, respectivamente, 200 e 250 litros de leo. O preo do litro de leo do primeiro o dobro do preo do litro do segundo. Usando-se dois outros barris, retira-se a mesma quantidade de leode cada um desses barris, em seguida, coloca-se no segundo o que foi retirado do primeiro, e vice-versa, de talmodo que as misturas passem a ter o mesmo preo por litro. CALCULEa quantidade de leo que foi retirada

de cada barril.

Questo 11

(UFJF) Uma mesa cuja massa total de 32 Kg foi construda utilizando-se dois materiais: madeira e ao. Naconfeco desse objeto, foi gasto o mesmo valor na compra de cada material. Sabendo que o custo de cadaquilograma de ao foi um tero do custo de cada quilograma de madeira, CALCULEqual a quantidade de ao

utilizada na construo dessa mesa.



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Questo 12

O nmero Nde alunos de uma escola era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 alunos,o nmero total de alunos passou a ser uma unidade maior do que um quadrado perfeito. Depois, com um novoaumento de 100 alunos, o nmero total de alunos voltou a ser um quadrado perfeito. CALCULEo valor de N.

Questo 13

(OCM) Uma turma de trabalhadores rurais, todos com a mesma capacidade de trabalho, dever roar duas reascom o mesmo tipo de vegetao, em que uma delas o dobro da outra. Durante metade de um dia, a turmacompleta trabalhou na roa de rea maior. Na outra metade desse dia, metade da turma passou para a roa derea menor e a outra metade continuou na roa maior. No final de um dia de trabalho, o servio estava feito, comexceo de uma pequena poro da roa menor. A roagem desta poro ocupou todo o dia seguinte de um dos

trabalhadores da turma. CALCULEquantos trabalhadores havia na turma.



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Questo 14

Em uma empresa de laticnios temos inicialmente em um tanqueVlitros de leite puro. Retiramos do tanque umvolume Nde leite e repomos o volume por meio de gua pura, obtendo-se assim, uma mistura homognea de guae leite. Em seguida, retiramos novamente um volume Nda mistura homognea, repondo o volume novamentecom gua pura. Se aps esses processos verificamos que a quantidade de leite puro no tanque corresponde a 9%

do volume inicial, CALCULEo valor da razo NV

.

Questo 15

(SPM) Trs atletas correm numa pista circular. Todos saem ao mesmo tempo e do mesmo lugar, cada umdesenvolvendo velocidade constante. Os atletasAe Bcorrem no mesmo sentido. Correndo no sentido oposto,Cencontra A, pela primeira vez, exatamente 90 segundos aps o incio da corrida e encontra Bexatamente

15 segundos depois. DETERMINEo tempo necessrio para queAultrapasse Bpela primeira vez.



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Questo 16

(Fuvest) Para a fabricao de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produtoA, pagando R$ 96,00, eunidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o preounitrio do produtoAexcede em R$ 2,00 o preo unitrio do produto B, DETERMINEo nmero de unidadesdeAque foi comprado.

Questo 17

Trs amigos Arnaldo, Bernardo e Carlos, foram ao mercado com suas mulheres: Denise, Estela e Fernanda. Nosabemos quem casado com quem. Cada uma das seis pessoas pagou para cada objeto comprado, tantos reaisquantos objetos comprou. Cada marido gastou 48 reais a mais do que sua esposa, alm disso, Arnaldo comprou

9 objetos a mais que Estela; e Bernardo 7 objetos a mais que Denise. Com base nesses dados, DETERMINEquem casado com quem.



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Questo 18

Dois colecionadores de selos tm, juntos, 500 selos. Cada colecionador comprou um lbum para colocar seusselos. Os dois lbuns eram idnticos, tendo o mesmo nmero de pginas. Se o primeiro colecionador colocar21 selos em cada pgina, ele vai conseguir colocar todos os seus selos e vai usar todas as pginas do lbum. Se osegundo colecionador colocar 20 de seus selos em cada pgina do lbum, sobraro alguns selos. Caso ele coloque

23 selos em cada pgina, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver ainda uma outra pgina commenos de 23 selos. DETERMINE quantas pginas h no lbum.

Questo 19

(Unicamp) Uma transportadora entrega, com caminhes, 60 toneladas de acar por dia. Devido a problemasoperacionais, em um certo dia cada caminho foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessrio,naquele dia, alugar mais 4 caminhes.

a) Quantos caminhes foram necessrios naquele dia?

b) Quantos quilos transportou cada caminho naquele dia?



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Questo 20

(PUC Rio) Um empresrio possui, em sua conta, uma quantia que corresponde a16

do valor dos equipamentos

que precisa para montar o seu escritrio. Se ele depositar R$780,00 na conta, passa a ter uma quantia, em reais,

que corresponde a35

do valor dos equipamentos.

a) Qual o valor total dos equipamentos?

b) Quantos reais esse empresrio deve depositar na sua conta para que possa comprar tudo de que precisa e,ainda, ficar com uma reserva de R$230,00?

Questo 21

Seu Almeida possua uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou os azulejosem vrias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, ento, resolveu guardar tudo emcaixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez, ficaram sobrando 4 azulejos. DETERMINEquantosazulejos seu Almeida possua.



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Questo 22

(Unicamp) Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com 400 mde comprimento. Os dois atletas correram a velocidades constantes, porm diferentes. O atleta mais rpidocompletou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17 voltas e meia, o atleta mais rpido ultrapassouo atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se:

a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta?

b) Em quanto tempo o atleta mais rpido completou a prova, que era de 10.000 metros?

c) No momento em que o atleta mais rpido cruzou a linha de chegada, que distncia o atleta mais lento haviapercorrido?



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Questo 23

Um professor aposentado pratica caminhada todos os dias com velocidade constante. Num desses dias, esqueceude observar a que horas comeara sua caminhada, no entanto, fez algumas observaes que lhe permitiudeterminar a que horas saiu de casa.

Suas observaes foram:

s 14 horas j havia percorridoABmetros, em queAe Bso os algarismos das dezenas e das unidades, res-pectivamente.

s 14 horas e 42 minutos havia percorrido BAmetros, em que BeAso os algarismos das dezenas e das uni-dades, respectivamente.

s 15 horas tinha percorridoA0Bmetros, em queA o algarismo das centenas, o algarismo das dezenas zero, nico zero desse nmero, e B o algarismo das unidades.

CALCULEa que horas comeou a caminhada do professor.



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Questo 24

(UFMG) Suponha que, num cruzamento de ruas de mo nica, as mdias de veculos que, por minuto, entram esaem desse cruzamento so mostradas neste diagrama:

a) Sejaxa mdia de veculos que entram, por minuto, no cruzamento, pela rua horizontal, no sentido leste-oeste.CALCULEo valor dex.

b) Suponha, agora, que, numa regio do centro de uma cidade, com ruas de mo nica, as mdias de veculos que,por minuto, entram ou saem dos cruzamentos so mostradas neste diagrama:

Sejamx,y, zewas mdias de veculos que, por minuto, entram ou saem de cada um dos quatros cruzamentos,mostrados nesse diagrama. CALCULEos valores dex,y, zew.



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Questo 25

(UFMG) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma das trs livrariasA, Be C. Foram obtidos os seguintes dados:

das 90 pessoas que frequentam a LivrariaA, 28 no frequentam as demais;

das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 no frequentam as demais; das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 no frequentam as demais;

oito pessoas frequentam as trs livrarias.

a) DETERMINEo nmero de pessoas que frequentam apenas umadas livrarias.

b) DETERMINEo nmero de pessoas que frequentam, pelo menos, duaslivrarias.

c) DETERMINE o nmero total de pessoas ouvidas nessa pesquisa.



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c)

x 2y 2z 4

x 3y z 9

2x y z 6

+ =

+ = + + =

d)

x 2y 10

2x 2y 4

3x 5y 26

+ =

= + =



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e)

x y 2z 3t 13

x 2y z t 8

3x y z t 1

+ + + =

+ + = + + =

f)x y 2z 3t 3

x 2y z t 2

+ + + =

+ + =



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Questo 27

(UFMG) DETERMINEos valores de a e bpara que o sistema

x y 2z 0

2x y z b

x ay z 0

+ =

+ + = + + =

a) Tenha infinitas solues.

b) No tenha solues.

c) Tenha soluo nica.



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Questo 28

DETERMINEos valores de mpara que o sistema

mx y z 0

x my z 0

x y mz 0

+ + =

+ + = + + =

tenha solues alm da trivial.



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Questo 29

(UFMG) Considere o sistema:

x y z 8

2x 4y 3z a

3x 7y 9z 254x 6y 5z 36

+ + = + + =

+ + = + + =

DETERMINEo valor de apara que o sistema tenha soluo e RESOLVAo sistema.



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Questo 30

(UFMG) Um agricultor plantou trs diferentes culturas, cobrindo uma rea total de 150 hectares (ha). Para isso, ele usou4.350 kg do aduboAe 3.900 kg do adubo B, conforme mostrado neste quadro:

Adubo A (kg/ha) Adubo B (kg/ha)

Cultura I 20 30Cultura II 30 10

Cultura III 40 60

Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$ 400,00, R$ 200,00 eR$ 800,00.

Com base nesses dados, CALCULEo lucro total do agricultor.



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Questo 31

(UFMG) Uma indstria produz trs produtos,A, Be C, utilizando dois tipos de insumos,XeY. Para a manufaturade cada Kg deAso utilizadas 1 grama do insumoXe 2 gramas do insumoY; para cada Kg de B, 1 grama deinsumoXe 1 grama de insumoYe, para cada Kg de C, 1 grama de insumoXe 4 gramas de insumoY.O preode venda do Kg de cada um dos produtosA, Be C R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda

de toda a produo deA, Be Cmanufaturada com 1 Kg deXe 2 Kg deY,essa indstria arrecadou R$ 2.500,00.DETERMINEquantos Kg de cada um dos produtosA, Be Cforam vendidos.



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Questo 32

(UFMG) Num concurso foram aplicadas a quatro candidatos trs provasA, Be Cde pesos a, be c, respectivamente.O quadro a seguir mostra as notas obtidas em cada prova e a nota final de cada um dos candidatos desse concurso.

Prova A Prova B Prova C Nota final

1o

CANDIDATO 9 8 10 92oCANDIDATO 6 8 9 8

3oCANDIDATO 5 7 8 7

4oCANDIDATO 4 7 9 6

Cada nota final obtida calculando-se a mdia ponderada das notas obtidas nas provas pelo candidato. O quartocandidato alegou que, se as notas finais dos outros trs candidatos estivessem corretas, a sua estaria incorreta.Supondo que as notas finais dos outros trs candidatos estejam corretas, CALCULE a nota final do quartocandidato.



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Questo 33

(Fuvest) Joo entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastandoR$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastandoR$ 57,00. Sabendo-se que o preo de um hambrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizaR$ 10,00, CALCULEo preo de cada um desses itens.



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Questo 34

(Fuvest) Considere o sistema de equaes nas variveisxey, dado por

Desse modo

a) RESOLVAo sistema para m = 1.

b) DETERMINEtodos os valores de mpara os quais o sistema possui infinitas solues.

c) DETERMINEtodos os valores de mpara os quais o sistema admite uma soluo da forma (x, y) = (a, 1)sendo aum nmero irracional.

24x 2m y 0

2mx (2m 1)y 0

+ =

+ =



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Questo 35

(Unicamp) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela a seguir:

Tipo de cebola Peso unitrio aproximado (g) Raio mdio (cm)

Pequena25 2

Grande 200 4

a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g.FORMULE um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhido pelaconsumidora e RESOLVA-o para DETERMINAResses valores.

b) Geralmente, as cebolas so consumidas sem casca. DETERMINEa rea de casca correspondente a 600 g decebolas pequenas, supondo que elas sejam esfricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192 cm2de rea de casca, INDIQUE que tipo de cebola fornece o menor desperdcio com cascas.



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Questo 36

(UFMG) DETERMINEtodos os valores dex,ye zque satisfazem o sistema

=

=

=

x y z

x

y z

x y z

3 3 3 1

2 42 2

14 16 4

4



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Questo 37

(UFES) Dona Lcia, preocupada com o longo tempo que seu filho Lucas passava conectado internet bem comocom a sua pouca motivao para estudar em casa, fez ao filho a seguinte proposta, que foi aceita por ele: a cada diaem que Lucas no acessasse a internet e estudasse em casa, ela lhe daria R$ 20,00; a cada dia em que ele acessassea internet, mas, em compensao, estudasse, ela lhe daria R$ 5,00, e, finalmente, a cada dia em que Lucas no

estudasse, ele devolveria R$ 15,00.a) Sabendo que, num perodo de 30 dias, a quantidade de dias em que Lucas acessou a internet e estudou foi igual

soma da quantidade de dias em que ele no acessou a internet e estudou com a quantidade de dias em que eleno estudou e que, nesse perodo, devido ao acordo, ele teve um saldo de R$ 305,00, CALCULEa quantidadede dias desse perodo em que Lucas no acessou a internet e estudou.

b) Sabendo que, em outro perodo de 30 dias, Lucas estudar todos os dias, DETERMINEtodos os possveisvalores que ele poder ganhar nesse perodo.



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Questo 38

(UFU) A prefeitura de uma cidade, preocupada com o meio ambiente e com o problema da falta de espao fsicoadequado destinado a depsitos de lixo, criou uma cooperativa de reciclagem em parceria com os moradores debaixa renda. A Tabela 1 fornece os preos de venda (em reais) de cada kg de papel, vidro e plstico referente primeira semana dos meses de setembro de 2009 e setembro de 2010; a Tabela 2 expressa a quantidade total (em

kg) vendida desses trs materiais na primeira semana dos meses mencionados acima e o rendimento (em reais)referentes venda dos materiais reciclados, obtidos nas referidas semanas.

Tabela 1

Papel Vidro Plstico

Setembro 2009 0,30 0,20 0,50

Setembro 2010 0,40 0,30 1,00

Tabela 2

Quantidade (kg) Rendimento (R$)

Setembro 2009 8.000 2.580,00

Setembro 2010 9.000 RSabe-se que, na primeira semana de setembro de 2010, foram vendidos 50% a mais de papel do que o vendido naprimeira semana de 2009 e iguais quantidades, que aquelas comercializadas na primeira semana de 2009, de vidroe plstico. INTERPRETEeANALISEo texto dado, e CALCULEo valor de R.



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Questo 39

(UERJ) Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15gols cada um. O nmero total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cincomarcaram mais de 13 gols.

CALCULEo nmero de atletas que fizeram 15 gols.



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SEQUNCIAS E PROGRESSES

Questo 40

(OPM) Uma sequncia crescente de trs termos tal que, se subtramos uma unidade do termo centralobtemos uma PAde razo 3 e se subtramos duas unidades desse mesmo termo, obtemos uma PGde razo 2.

DETERMINEa sequncia.



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Questo 41

OBSERVEa sequncia.

senx , senx , tgx

2

Sabe-se que essa sequncia uma progresso geomtrica.

DETERMINEtodos os possveis valores reais dex.



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Questo 42

(Unicamp) A ANATEL determina que as emissoras de rdio FM utilizem as frequncias de 87,9 a 107,9 MHz,e que haja uma diferena de 0,2 MHz entre emissoras com frequncias vizinhas. A cada emissora, identificada porsua frequncia, associado um canal, que um nmero natural que comea em 200. Desta forma, emissora cujafrequncia de 87,9 MHz corresponde o canal 200; seguinte, cuja frequncia de 88,1 MHz, corresponde o canal

201, e assim por diante.a) DETERMINEquantas emissoras FM podem funcionar, na mesma regio, respeitando-se o intervalo de frequn-

cias permitido pela ANATEL? Qual o nmero do canal com maior frequncia?

b) Os canais 200 e 285 so reservados para uso exclusivo das rdios comunitrias. Qual a frequncia do canal285, supondo que todas as frequncias possveis so utilizadas?



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Questo 43

(Fuvest) Em uma progresso aritmtica a1, a

2, a

3, a

4, ... , a

n a soma dos nprimeiros termos dada por S

n= bn2+ n

sendo bum nmero real. Sabendo-se que a3= 7.

a) DETERMINEo valor de be a razo da progresso aritmtica.

b) o 20otermo da progresso.

c) a soma dos 20 primeiros termos da progresso.



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Questo 44

(Unicamp) Considere o conjunto S = {n IN ; 20 < n < 500} .

a) Quantos elementos de Sso mltiplos de 3 e de 7?

b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um mltiplo de 3 ou de 7?



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Questo 45

(UFOP) A soma dos n primeiros termos de uma progresso geomtrica dada por Sn = 3n 1, sendo

n IN {0}. Pede-se:

a) ENCONTREo primeiro e segundo termos da PG.

b) OBTENHAa razo da PG.

c) EXPRESSEo termo geral an da PG.

d) UTILIZE a frmula da soma dos nprimeiros termos de uma PGparaVERIFICARque, de fato, Sn= 3n 1.



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Questo 46

(UFRJ) Observe a figura.

Nessa figura, temos q= 60 e uma linha poligonal infinita construda da seguinte maneira: l1 perpendicular a

AC, l2perpendicular a AB, l

3 perpendicular a AC e, assim por diante. CALCULEo comprimento, em cm, desta

poligonal, sabendo-se que l1= 27 cm.

A

B

C

q

l4 l

3

l2

l1



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Questo 47

(UFRJ) Felipe comea a escrever nmeros naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha aps a outra,como mostrado a seguir

1

2 3 4 3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11 12 13

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

... ... ... ...

... ... ... ...

Considerando que Felipe mantenha o padro adotado em todas as linhas

a) DETERMINEquantos nmeros naturais ele escrever na 50olinha;

b) DETERMINEa soma de todos os nmeros escritos na 50olinha;

c) PROVEque a soma de todos os elementos de uma linha sempre o quadrado de um nmero mpar.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 48

(Fuvest) Um nmero racional tem representao decimal da forma r = ab, c onde 1 a 9, 0 b 9, 0 c 9.

Supondo-se que:

a parte inteira de r o qudruplo de c;

a, be cesto em PA; b divisvel por 3.

DETERMINEo valor de c.



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42

Questo 49

(Fuvest) Sejam a1, a

2, a

3, a

4e a

5 nmeros estritamente positivos tais que log2a1, log2a2, log2a3, log2a4e log2a5

formam, nessa ordem, uma progresso aritmtica de razo q.

a) MOSTREque os nmeros a1, a

2, a

3, a

4e a

5 formam, nessa ordem, uma PG de razo 2q.

b) Sendo1

q2

= e a1= 4 , CALCULEo valor da soma a1 + a2 + a3 + a4+ a5.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 50

(UFES) O limite da soma dos termos de uma progresso geomtrica decrescente ilimitada cujo primeiro termo qe cuja razo q, vale 7 vezes o limite da soma dos cubos dos termos dessa mesma progresso geomtrica.ENCONTREos possveis valores de q.



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Questo 51

(IME) MOSTREque

a) a dzima 0,9999... igual a 1.

b) a dzima 0,XYZYZYZ..., em queX,Ye Zso algarismos distintos pode ser escrita na forma 99X 10Y Z990+ + .



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 52

(UFMG) Observe a figura.

Nesta figura, est representada uma sequncia infinita de crculos C1, C2, C3,... que tangenciam as retas se t. Cadacrculo Cn tangencia o prximo crculo Cn+1. Para todo nmero natural positivo n, rn o raio do crculo Cn.

Sabe-se que:

1

60

r 1

a =

=

Considerando essas informaes,

a) MOSTREque n 1

n

r 1r 3

+ = para todo n.

fn + 1

Cn + 1

fn

Cn

f1

C1

S

t

a



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b) DETERMINE rn em funo de n.

c) CALCULEa soma das reas de todos os crculos C1, C2, C3, ...



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 53

(ITA) Considere um tringulo issceles ABC, retngulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B,os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma

progresso geomtrica decrescente de razo r.Sendo qo ngulo ED, MOSTREque tag q=2r

2 r.



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Questo 54

(Unicamp) Doissites de relacionamento desejam aumentar o nmero de integrantes usando estratgias agressivasde propaganda. OsiteA, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em umperodo de uma semana e dobrar o nmero de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entraro100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o

siteB, que j tem 2.200 membros, acredita que conseguir mais 100 associados na primeira semana e que, a cadasemana subsequente, aumentar o nmero de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membrosentraro no siteBna primeira semana, 200 entraro na segunda, 300 na terceira, e assim por diante.

a) Quantos membros novos o siteAespera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados ositeAespera ter daquia 6 semanas?

b) Em quantas semanas ositeB espera chegar marca dos 10.000 membros?



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 55

A soma dos 10 primeiros termos de uma PA 135 e a soma dos 10 ltimos termos igual a 105. Sabendo-seque a PApossui 18 termos, DETERMINE:

a) A razo da PA.

b) O primeiro termo.

c) A expresso do termo geral.



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Questo 56

(UERJ) Duas empresas,Ae B, faro doaes mensais a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em reais,dos depsitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.

Empresas janeiro fevereiro maro abril maio

A 12.000,00 11.400,00 10.800,00 10.200,00 9.600,00B 300,00 600,00 900,00 1.200,00 1.500,00

A diferena entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes ser mantida constanteao longo de um determinado perodo.

DETERMINEo ms e o ano desse perodo em que o valor mensal do depsito da empresa A ser igual ao daempresa B.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 57

(Fuvest) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razo negativa, 12

. Alm disso, a diferena entreo stimo termo e o segundo termo da PG igual a 3.

Nessas condies, DETERMINE:

a) A razo da PG.

b) A soma dos trs primeiros termos da PG.



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 58

(ITA) A progresso geomtrica infinita (a1, a

2, a

3, ... , a

n, ...) tem razo r < 0. Sabe-se que a progresso infinita

(a1, a6, a11, ... , a5n+1, ...) tem soma igual a 8 e a progresso infinita (a5, a10, a15, ... , a5n, ...) tem soma igual a 2.

DETERMINEa soma da progresso infinita (a1, a

2, a

3, ... , a

n, ...).



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 59

(UFMG) Os nmeros reais 3, ae bso, nessa ordem, termos consecutivos de uma progresso aritmtica cujarazo positiva. Por sua vez, os nmeros reais a, be 8so, tambm nessa ordem, termos consecutivos de umaprogresso geomtrica. DETERMINEa e b.

Questo 60

(UFMG) Os nmeros a, be c, nessa ordem, esto em progresso geomtrica de razo43

. Alm disso, a 1,

b e c, nessa ordem, esto em progresso aritmtica. DETERMINEa, be c.



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RETA FINALMATEMTICA

54

Questo 61

(ITA) Seja r > 0 a razo de uma progresso aritmtica cujo primeiro termo a > 0 e considere q = 2r 33a

a razo

de uma progresso geomtrica, cujo primeiro termo tambm a. Sabendo-se que o terceiro termo da PG igual

a soma dos trs primeiros termos da PA, DETERMINEa razo ar.



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Questo 62

(Fuvest) Considere uma progresso aritmtica cujos trs primeiros termos so dados por a1= 1 + x, a

2= 6x,

a3= 2x2+ 4 em quex um nmero real.

a) DETERMINEos possveis valores dex.

b) CALCULEa soma dos 100 primeiros termos da progresso aritmtica correspondente ao menor valor de xencontrado no item a.



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Questo 63

RESOLVA os seguintes problemas de interpolao.

a) DETERMINEa razo da PAque obtemos, interpolando 12 meios aritmticos entre 78 e 13.

b) ENCONTREa razo da PAque obtemos ao interpolar nmeios aritmticos entre 1 e n2.

c) DETERMINEa PGobtida ao inserirmos 4 meios geomtricos entre 1 e 243.

d) CALCULEquantos meios geomtricos devemos inserir entre os nmeros 1 e 64 a fim de obter uma PGderazo 2.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 64

RESOLVAos seguintes problemas.

a) OBTERmtal que2 3

4 8 16 142 ..... .

m m m 5+ + + + =

b) CALCULEa soma 12 22+ 32 42+ ... + 992 1002.



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e) CALCULEa soma + + ++ + +

3 3 3...

3 1 3 3 3 3 3

f) CALCULEa soma 1 + 3a + 5a2+ 7a3+ 9a4+ 11a5...



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Questo 65

(Escola Naval) A equao ax2 + bx + c = 0 com a, be creais, admite duas razes reais e distintasx1ex

2

com x1< x

2. Sabendo que a,x

1, b, x

2, c formam nessa ordem uma PA, DETERMINEos valores de a, be c.



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Questo 67

(Unicamp) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questo, a partir da segunda, o dobrode tempo gasto para resolver a questo anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questes, exceto altima, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questes, exceto as duas ltimas, ele tenha gasto31,5 minutos.

CALCULE:

a) O nmero total de questes da referida prova.

b) O tempo necessrio para que aquele aluno resolva todas as questes da prova.



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Questo 69

(IME) Uma sequncia de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e kdo quarto termo,transforma-se a sequncia original numa PA. Uma terceira sequncia obtida somando-se os termos da PGe daPA. Finalmente, uma quarta sequncia, uma nova PA, obtida a partir da terceira sequncia, subtraindo-se 2 do

terceiro termo e sete do quarto. DETERMINEos termos da PGoriginal.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 70

(Unicamp) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferncia, pode ser construda a partirde dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, so semicircunfernciasque concordam sequencialmente nos pontos de transio, como ilustra a figura a seguir, na qual supomos que adistncia entre A e B mede 1 cm.

a) DETERMINEa rea da regio destacada na figura.

b) DETERMINE o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferncia.

R3

R1

R2

R4

AB



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Questo 71

(UFMG) Um banco oferece dois planos para pagamento de um emprstimo de R$ 10.000,00, em prestaesmensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros:

no Plano 1, o perodo de 12 meses e

no Plano 2, o perodo de 24 meses.Contudo, a prestao de um desses planos 80% maior que a prestao do outro.

a) Considerando essas informaes, DETERMINEem qual dos dois planos Plano 1 ou Plano 2 o valor daprestao maior.

b) Suponha que R$ 10.000,00 so investidos a uma taxa de capitalizao mensal igual taxa mensal de jurosoferecida pelo mesmo banco. CALCULEo saldo da aplicao desse valor ao final de 12 meses.



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Questo 72

(Unesp) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitria em 9 quadrados iguais, traando-sedois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo dediviso, para os quadrados restantes, Nvezes.

Observe o processo para as duas primeiras divises:

a) ENCONTREquantos quadrados restaro aps as Ndivises sucessivas do quadrado inicial.

b) DETERMINEa soma das reas dos quadrados removidos, quando Ncresce indefinidamente.

Quadrado de lado unitrio 1adiviso 2adiviso



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ANLISE COMBINATRIA E PROBABILIDADE

Questo 73

(UFMG) Numa escola h 10 professores de Matemtica e 15 de Portugus. Pretende-se formar com esses

professores, uma comisso de sete membros.a) QUANTAScomisses distintas podem ser formadas?

b) QUANTAS comisses distintas podem ser formadas com, pelo menos, um professor de Matemtica?

c) QUANTAScomisses distintas podem ser formadas com, pelo menos, dois professores de Matemtica e, pelomenos, trs professores de Portugus?



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Questo 74

(UFMG) Uma criana possui sete blocos cilndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares tm omesmo raio. Desses blocos, quatro tm altura igual a 20 cm e os outros trs tm altura igual a 10 cm. Ao brincar,a criana costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados.DETERMINEde quantas maneiras distintas a criana pode formar cilindros que tenham exatamente 70 cm de

altura.



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 75

(UFMG) Um baralho composto por 52 cartas divididas em quatro naipes distintos. Cada naipe constitudopor 13 cartas: 9 cartas numeradas de 2 a 10, mais Valete, Dama, Rei e s, representadas, respectivamente, pelasletrasJ, Q, KeA. Um par e uma trinca consistem, respectivamente, de duas e de trs cartas de mesmo nmeroou letra. Um full hand uma combinao de cinco cartas, formada por um par e uma trinca. Considerando essas

informaes, CALCULE:a) de quantas maneiras distintas se pode formar um full handcom um par de reis e uma trinca de 2.

b) de quantas maneiras distintas se pode formar um full handcom um par de reis.

c) de quantas maneiras distintas se pode formar um full hand.



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Questo 76

(UFMG) Para um grupo de 12 pessoas, sero sorteadas viagens para trs cidades distintasA, Be C. Cinco dessaspessoas iro para a cidadeA; quatro, para a cidade B; e trs, para cidade C. Nesse grupo, esto Adriana, Lucianae Slvio, que so amigos e gostariam de ir para a mesma cidade. Considerando essas informaes, RESPONDA:

a) De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Slvio viajem para

a cidadeA?

b) De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Slvio viajem paraa mesma cidade?

c) Qual a probabilidade de Adriana, Luciana e Slvio viajarem para a mesma cidade?



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Questo 77

(UFMG) Uma escola possui 10 professores que lecionam somente pela manh, 8 que lecionam somente tarde e5 que lecionam somente noite. Deseja-se constituir uma comisso de 4 professores dessa escola.

a) De quantas formas pode ser constituda essa comisso?

b) Das formas possveis, em quantas no haver professor que leciona pela manh?

c) Das formas possveis, em quantas no haver professor que leciona tarde?

d) Das formas possveis, em quantas haver, pelo menos, um professor que leciona pela manh e, pelo menos, umprofessor que leciona tarde?



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 78

(UFMG) Em uma viagem area, um passageiro tem, em sua bagagem, 20 livros diferentes, entre os quais umescrito em alemo e um dicionrio de alemo. Desses livros, dez pesam 200 g cada um, seis pesam 400 g cada ume quatro 500 g cada um. No entanto, ele s pode levar 2 kg de livros. Sabendo-se que pretende levar o livro emalemo e o dicionrio, que pesam, respectivamente, 200 g e 500 g. DETERMINEde quantas maneiras distintas

poder obter esses 2 kg.



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Questo 80

(UFMG) Considere os conjuntos

P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } e Q = { 23, 29, 31, 37, 41, 43 }.

a) DETERMINEo nmero total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo-se

trs fatores entre os elementos de Pe trs fatores entre os elementos de Q.

b) Escolhendo-se um dos produtos obtidos no item A, DETERMINEa probabilidade de que ele seja divisvel,pelo menos, por um dos nmeros 2 ou 29.



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 81

(UFMG) Considere duas retas paralelas re s. Sobre r, marcam-se mpontos distintos e sobre s11mpontosdistintos. Considere, ainda, todos os tringulos distintos que tm os vrtices nesses pontos marcados.

a) DETERMINEo nmero desses tringulos, quando m = 3.

b) DETERMINEo valor de msabendo que o nmero de tringulos com a base sobre s 13 vezes o nmerode tringulos com a base sobre r.



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Questo 82

(Fuvest) Uma urna contm 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Trs bolas so retiradas ao acaso, sucessivamente,sem reposio. DETERMINE

a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.

b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as trs bolas reti-radas no so da mesma cor.



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Questo 84

(UFMG) Vinte alunos de uma escola, entre os quais, Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila aleatoriamente.

a) DETERMINEa probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel, Mateus e Roger apareamjuntos, em qualquer ordem.

b) DETERMINEa probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriel e Mateus, haja, exata-mente, cinco outros alunos.



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Questo 85

Considere a palavra PAPAGAIO.

a) QUANTOS so os anagramas dessa palavra?

b) QUANTOS anagramas do itemApossuem todas as vogais juntas?

Questo 86

(UFMG) Observe a figura.

Considere os caminhos ligandoAat C, passando por B, traados a partir deA, deslocando-se sempre, ou 1 unidadepara a direita, na horizontal, ou 1 unidade para cima, na vertical. DETERMINEo nmero total de caminhos distintos,obtidos dessa forma.

C

B

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1



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Questo 87

Considere a seguinte equao x1+ x

2+ x

3+ x

4= n, n IN.

a) Quantas solues inteiras e positivas ela possui sabendo que n = 12?

b) Quantas solues inteiras no negativas ela possui sabendo que n = 12?

c) Para qual valor de nesta equao possuir 10 solues inteiras e positivas?

Questo 88

Uma pessoa dispe de 15 balas de chocolate. CALCULEde quantas maneiras ela pode distribuir essas balas para4 crianas, de modo que cada criana receba, pelo menos, uma bala.



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Questo 89

(Unicamp) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma pea teatral. Chegando ao teatro, descobriramque, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim pordiante.

a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numerao consecutiva de uma mesma fila e que osingressos foram distribudos entre elas de forma aleatria. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingres-sos de poltronas vizinhas?

b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira,a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente at a ltima fila. Se a sala contmNfilas, DETERMINEo nmero de cadeiras da sala em funo de N.

c) Considerando que a sala tem 144 cadeiras, CALCULEo valor de N.



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Questo 90

RESPONDAs seguintes perguntas a seguir.

a) De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular?

b) De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular?

c) De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular?

d) Quantos colares podemos formar usando 12 prolas pintadas com cores distintas?

e) Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos diferentes poderoformar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?

f) Trs meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos diferentes poderoformar a roda de modo que os meninos e as meninas se alternem?



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Questo 91

Uma famlia composta por seis pessoas: o pai, a me e quatro filhos. Num restaurante, essa famlia vai ocuparuma mesa redonda. Em quantas disposies diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modoque o pai e a me fiquem juntos?

Questo 92

Considere um grupo formado por 10 pessoas, sendo: 4 homens e 6 mulheres.a) DETERMINEde quantas maneiras distintas podemos dispor essas 10 pessoas em torno de uma mesa circular.

b) DETERMINEde quantas maneiras distintas podemos dispor os 4 homens e as 6 mulheres em torno dessamesa de modo que 3 quaisquer mulheres fiquem sempre juntas e um homem no se sente ao lado de outro

homem.

c) DETERMINEde quantas maneiras distintas podemos dispor os 4 homens e 4 quaisquer mulheres em tornodessa mesa de modo que cada homem tenha sempre ao seu lado duas mulheres, ou seja, uma do lado esquerdoe outra do seu lado direito.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 93

(Fuvest) Os trabalhos da diretoria de um clube so realizados por seis comisses.

Sabe-se que

cada diretor participa exatamente de duas comisses;

cada duas comisses tm exatamente um diretor comum.

a) Quantos diretores tm o clube?

b) Escolhendo-se, ao acaso, dois diretores, qual a probabilidade de que eles sejam de uma mesma comisso?



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Questo 94

As casas lotricas costumam oferecer a seus clientes a oportunidade de participarem dos jogos com sena fechada,que consistem na escolha de um carto com um certo nmero nde nmeros escolhidos entre os nmerosnaturais de 1 a 60, e na confeco de todos os cartes possveis com 6 nmeros cada um, escolhidos entre os ndisponveis com 6 n 15 .

Considere um apostador que participa de um jogo desse tipo realizado n = 15 nmeros.

a) Se R$ 1,50 o preo unitrio de um carto, qual ser o gasto total desse apostador?

b) Se os seis nmeros sorteados estiverem entre esses 15, alm de acertar a sena, quantas quadras e quantasquinas esse apostador ir acertar?



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 95

Uma urnaAtem 3 bolas vermelhas e 4 brancas e outra urna Btem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna escolhida ao acaso e nela escolhida uma bola, tambm ao acaso. Caso a bola escolhida tenha sido vermelha,DETERMINEqual a probabilidade dela ser da urnaA.

Questo 96

Uma urna contm 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contmxbolas pretas e as restantes brancas numtotal de 10 bolas. Um primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundoexperimento, as bolas das duas urnas so reunidas e destas, duas bolas so retiradas ao acaso. DETERMINEo

valor mnimo dexa fim de que a probabilidade de sarem duas bolas pretas seja maior no segundo do que noprimeiro experimento.



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Questo 97

A urna Item 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna IItem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2 brancas. Uma bola escolhida ao acaso na urna Ie colocada na urna II, em seguida uma bola escolhida na urna IIao acaso. Qual aprobabilidade de a segunda bola ser

a) Vermelha?

b) Amarela?

c) Branca?

Questo 98

Uma caixa branca contm 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contm 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende seretirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados so atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menorque 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. DETERMINEa probabilidade de se retirar uma bola verde.



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Questo 99

Em cada caso, DETERMINEo valor de n.

a)n! (n 1)! 6(n 1)! n! 25

+ =

+

b) An,3 25n = Cn, n 3

c) 1 2 3 4 ... n 1(n 1)! 240

+ + + + +=

+



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Questo 101

(UFMG) Llian possui sete pares de meias brancas, quatro pares de meias cinzas, trs pares de meias pretas e cincopares de meias azuis. Sabe-se que as meias de mesma cor so idnticas. Suponha que todas essas meias estoembaralhadas em uma gaveta e que Llian retira dela, aleatoriamente, certo nmero de meias. Considerando essasinformaes, DETERMINE

a) o nmero mnimo de ps de meia que Llian deve retirar dessa gaveta para ter certeza de ter, pelo menos, umpar de meias de uma mesma cor.

b) a probabilidade de Llian, ao retirar exatamente dois ps de meia dessa gaveta, obter um par de meias de umamesma cor.

c) a probabilidade de Llian, ao retirar quatrops de meia dessa gaveta, obter, pelo menos, um par de meias deuma mesma cor.



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Questo 102

(UFMG) Um bloco de madeira retangular e slido mede 30 cm de largura, 20 cm de comprimento e 10 cm dealtura e o seu exterior foi colorido de azul. Por meio de cortes paralelos a cada uma de suas faces, esse bloco inteiramente dividido em cubos de 1 cm de aresta, que so colocados dentro de uma urna.


1. DETERMINE a quantidade de cubos que resultou da diviso desse bloco de madeira.

2. CALCULE a probabilidade de uma pessoa retirar da urna, que contm todos os cubos em que o bloco foidividido, um cubo com, exatamente, duas faces azuis.

3. CALCULEa probabilidade de uma pessoa retirar um cubo da urna, que contm todos os cubos em que o blocofoi dividido, lan-lo sobre uma mesa e obter a face superior azul.



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Questo 103

(UFMG) Numa brincadeira, um dado, com faces numeradas de 1 a 6, ser lanado por Cristiano e, depois, porRonaldo. Ser considerado vencedor aquele que obtiver o maior nmero como resultado do lanamento. Se, nosdois lanamentos, for obtido o mesmo resultado, ocorrer empate.

Com base nessas informaes,

1. CALCULEa probabilidade de ocorrer um empate.

2. CALCULEa probabilidade de Cristiano ser o vencedor.



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Questo 104

(ITA) Dentre 4 moas e 5 rapazes deve-se formar uma comisso de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moa e 1 rapaz.DETERMINEde quantas formas distintas tal comisso poder ser formada.

Questo 105

(SPM) Dispomos de 12 bolas brancas idnticas e 1 bola preta. Essas 13 bolas devem ser distribudas em 3 caixasdistintas,A, Be C.

a) DETERMINEde quantas maneiras podemos distribu-las, admitindo que uma ou mais caixas podem ficarvazias.

b) CALCULEde quantas maneiras podemos distribu-las, de modo que nenhuma caixa fique vazia.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 106

(Fuvest) Em um jogo entre Pedro e Jos, cada um deles lana, em cada rodada, um mesmo dado honesto umanica vez. O dado cbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um nico algarismo de maneira que todos osalgarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado.

Um participante vence, em certa rodada, se a diferena entre seus pontos e os pontos de seu adversrio for, no

mnimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada.

Dessa forma, DETERMINEa probabilidade de

a) Pedro vencer na primeira rodada.

b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.

c) um dos participantes vencer at a quarta rodada.



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Questo 107

(UFMG) Cinco times de futebol, de igual excelncia, vo disputar oito edies seguidas de um torneio anual.Considerando essa informao,

1. CALCULEa probabilidade de um mesmo time vencer as duas primeiras edies desse torneio.

2. CALCULEa probabilidade de no haver vencedores consecutivos* durante a realizao das oito edies dessetorneio.* Ser considerado vencedor consecutivo o time que vencer, seguidamente, duas ou mais edies do torneio.



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Questo 108

(Fuvest)

a) Dez meninas e seis meninos participaro de um torneio de tnis infantil. De quantas maneiras distintas essas16 crianas podem ser separadas nos grupos A, B, Ce D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que osgruposAe Csero formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?

b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal ter os jogos entre Maria e Joo e entre Marta e Jos.Os vencedores de cada um dos jogos faro a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma

menina 35

, CALCULEa probabilidade de uma menina vencer o torneio.



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Questo109

(UFMG) Rodrigo e Gabriel participam de um jogo, em que usam dois dados, cada um com seis faces.

Primeiro, Rodrigo lana os dados e, quando ambos param, os meninos somam os valores das duas faces superiores.Se o resultado dessa soma for igual a 6, Rodrigo vence o jogo.

Se isso no ocorre, ento, Gabriel lana os dados e, do mesmo modo, quando ambos param, os meninos somamos valores das duas faces superiores. Se o resultado dessa soma for igual a 7, Gabriel vence.

Caso se verifique qualquer outro valor, o jogo prossegue, at que Rodrigo obtenha o total 6 ou Gabriel, o total 7.

Com base nessas informaes, CALCULEa probabilidade de Rodrigo

a) vencer o jogo no primeiro lanamento.

b) vencer o jogo fazendo, no mximo, dois lanamentos.

c) vencer o jogo.



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Questo 110

(Unicamp) O perfil lipdico um exame mdico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de gorduras(lipdios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como bom colesterol), colesterol LDL(o mau colesterol) e triglicrides (TG). Os valores desses quatro indicadores esto relacionados pela frmula de

Friedewald: CT = LDL + HDL +TG

5. A tabela a seguir mostra os valores normais dos lipdios sanguneos para

um adulto, segundo o laboratrio Sangue Bom.

Indicador Valores normais

CT At 200 mg/dl

LDL At 130 mg/dl

HDL Entre 40 e 60 mg/dl

TG At 150 mg/dl

a) O perfil lipdico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl, e que a de triglic-rides era igual a 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possvelpara o seu nvel de LDL?

b) Acidentalmente, o laboratrio Sangue Bom deixou de etiquetar as amostras de sangue de cinco pessoas.DETERMINE de quantos modos diferentes seria possvel relacionar essas amostras s pessoas, sem qualquerinformao adicional. Na tentativa de evitar que todos os exames fossem refeitos, o laboratrio analisou o tiposanguneo das amostras, e detectou que trs delas eram de sangue O+e as duas restantes eram de sangueA+.Nesse caso, supondo que cada pessoa indicasse seu tipo sanguneo, de quantas maneiras diferentes seria pos-svel relacionar as amostras de sangue s pessoas?



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MATEMTICA COMERCIAL

Questo 111

(UFMG) No ano de 2008, Joo empresta a Lucas, em primeiro de agosto, Creais. Em primeiro de setembro, Joo

empresta a Lucas mais mil reais. Em primeiro de outubro, Lucas paga a Joo dois mil e dez reais para abater partede sua dvida. Em primeiro de novembro, Lucas quita sua dvida com Joo pagando-lhe sete mil reais. Joo cobroude Lucas juros relativos s taxas mensais de 20% em primeiro de setembro, 25% em primeiro de outubro e 40%em primeiro de novembro, que incidiram sempre sobre o montante anterior. CALCULEo valor de C.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 112

(UFMG) Um empresrio tomou emprestada certa quantia, a juros de 5% ao ms. Esse emprstimo deveriaser liquidado em duas parcelas mensais fixas de R$ 11.025,00, a primeira a ser paga um ms aps a tomada doemprstimo. Entretanto, no dia do vencimento da primeira parcela, o empresrio fez o seguinte acordo com ocredor: naquele dia, ele pagaria apenas R$ 8.000,00 e, da a um ms, liquidaria o emprstimo. Os juros cobrados

seriam, ainda, de 5% ao ms. Assim sendo, CALCULEo valor da quantia a ser paga ao final do segundo ms.



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Questo 113

(UFMG) Um fabricante gastava R$ 40,00 na produo de cada unidade de uma mercadoria, que ele vendia porR$ 100,00. Sobre o preo de venda, o fabricante pagava 40% de imposto. Devido a problemas com os preosdas matrias primas, o custo de fabricao teve um aumento de 60%. Ento, para evitar uma queda acentuadana produo, o governo resolveu diminuir a alquota do imposto para 30% do preo de venda, e o fabricante

concordou em diminuir o seu percentual de lucro, de 50% para 40%. CALCULEo novo preo de venda dessamercadoria.



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Questo 114

(Fuvest) Carlos, Lus e Slvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicaoque rendia 15% ao ano. Lus, uma que rendia 20% ao ano. Slvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundoque rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicao de risco, com rendimento anual ps-fixado.Depois de um ano, Carlos e Lus tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Slvio, 93 mil reais; Lus e Slvio, 106 mil reais.

a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?

b) Qual o rendimento da aplicao de risco?



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Questo 116

(UFES) Num pas longnquo, a tributao sobre a venda de veculos novos feita por meio de um impostonico de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionrias. O preo final de um veculoao consumidor o valor estipulado pelas concessionrias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionriasento repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decorrncia da crise mundial, o governo

resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%.a)DETERMINE a queda percentual no preo final de um veculo novo ao consumidor.

b) A reduo do imposto veio acompanhada de um acrscimo de 20% nas vendas, o que no impediu que ogoverno perdesse receita. DETERMINE a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobrea venda de veculos novos.

c) Ao invs de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo que, coma reduo do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 x)% nas vendas, o governo arrecadaria umafraof(x) do que arrecadava antes. DETERMINE a lei de f(x) , para 0 x 8, e ESBOCEo grfico de f(x).



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Questo 117

(UFMG) Uma indstria produz dois tipos de fertilizante lquido,F1e F

2, usando apenas os produtos lquidos Pe Q.

O fertilizante F1 fabricado misturando-se esses produtos na proporo de 5 litros de Ppara cada 3 litros de Q.Por sua vez, o fertilizante F2resulta da mistura de 7 litros de Ppara cada 2 litros de Q.

a) DETERMINEa quantidade do produto Qa ser usada na fabricao de 260 litros do fertilizante F1.

Certa vez, durante a fabricao do fertilizante F2, verificou-se que a composio da mistura era de 80% do produto

Pe 20% do produto Q, estando, portanto, errada. J haviam sido fabricados 2 200 litros desse fertilizante. Paracorrigir esse erro, foi acrescentada mistura certa quantidade do fertilizante F1.

b) DETERMINEa quantidade do fertilizante F1que foi acrescentada mistura.



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Questo 118

Parte de um capital de R$ 5.500,00 foi aplicada a juros compostos de 20% ao ms durante dois meses. O restantefoi aplicado a juros simples de 60% ao ano no mesmo perodo. Somando-se os juros obtidos nas duas aplicaes,obtemos um valor correspondente a 56% do que foi aplicado a juros compostos. CALCULE, em reais, o valoraplicado a juros simples.

Questo 119

(UFMG) Uma fbrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mnimo, 500 unidades e,no mximo, 3.000 unidades. O preo P, em reais, de cada unidade desse produto fixado, de acordo com onmerox de unidades encomendadas, por meio desta equao:

90, se 500 x 1.000.

100 0,01x, se 1.000 < x 3.000.

P =

O custo C, em reais, relativo produo dex unidades desse produto calculado pela equao

C = 60x + 10.000O lucro Lapurado com a venda dexunidades desse produto corresponde diferena entre a receita apurada coma venda dessa quantidade e o custo relativo sua produo.


1. ESCREVAa expresso do lucro Lcorrespondente venda dexunidades desse produto para 500 x 1.000e para 1.000 < x 3.000.



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RETA FINALMATEMTICA

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2. CALCULEo preo da unidade desse produto correspondente encomenda que maximiza o lucro.

3. CALCULEo nmero mnimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo menos,R$ 26.400,00.



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Questo 121

Uma pessoa compra um veculo cujo preo vista de R$ 20.000,00 dando uma entrada de R$ 8.000,00 efinanciando o restante em 24 parcelas iguais com taxa de juros de 5% ao ms. O valor de cada parcela, aps osdevidos clculos, ficou em R$ 869,65. Ele pagou as 21 primeiras parcelas em dia e no vencimento da 22 parcelaresolve quitar o veculo. Ele pede, ento, que a penltima e ltima parcelas sejam recalculadas, para retirada dos juros

correspondentes aos meses antecipados. CALCULE o valor total que dever ser pago para quitar as trs ltimasparcelas.

Questo 122

(UFMG) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento vista ou em trs prestaes mensaisde R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um ms aps a compra. Paulo, ao invs de pagar vista, resolveudepositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupana, que lhe renderia 2% ao ms, nos prximos

trs meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dvida, fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela caderneta nasdatas de vencimento de cada prestao. MOSTREque a opo de Paulo no foi boa, CALCULANDOquanto amais ele teve de desembolsar para pagar a ltima prestao.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 123

(Fuvest) No incio de sua manh de trabalho, um feirante tinha 300 meles que ele comeou a vender ao preounitrio de R$ 2,00. A partir das dez horas reduziu o preo em 20% e a partir das onze horas passou a vender cadamelo por R$ 1,30. No final da manh havia vendido todos os meles e recebido o total de R$ 461,00.

a) Qual o preo unitrio do melo entre dez e onze horas?

b) Sabendo que 5/6 dos meles foram vendidos aps as dez horas, CALCULEquantos foram vendidos antes dasdez, entre dez e onze e aps as onze horas.

Questo 124

Um investidor norte americano traz para o Brasil 50.000 dlares, faz a converso dos mesmos para reais, aplicaos reais por um ano taxa de 18% ao ano e no resgate converte os reais recebidos para dlares e os envia paraos Estados Unidos. No dia da aplicao, um dlar valia R$ 1,10 e, um ano depois, na data do resgate um dlar

valia R$ 1,20.a) Qual a taxa de rendimento desta aplicao, considerando os valores expressos em dlares?

b) Quanto deveria valer um dlar na data do resgate, ou seja, um ano aps a aplicao, para que a taxa de rendi-

mento em dlares fosse de 12% ao ano.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 126

(Unicamp) Uma passagem de nibus de Campinas a So Paulo custa R$17,50. O preo da passagem compostopor R$ 12,57 de tarifa, R$ 0,94 de pedgio, R$ 3,30 de taxa de embarque e R$ 0,69 de seguro. Uma empresarealiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro nibus sai s 5 horas da manh e o ltimo, meia-noite.No perodo entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas de 30 minutos.

a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os nibus transportam, em mdia,36 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por dia, nas viagens entre Campinas eSo Paulo, desconsiderando as viagens de volta?

b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e esse aumento for integralmente repassado ao preo da passagem,

qual ser o aumento percentual total do preo da passagem?



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RETA FINALMATEMTICA

114

FUNES

Questo 127

(UFMG) Seja f(x) = ax2+ bx + c uma funo do segundo grau, em que a, be cso nmeros reais.

Sabe-se que o grfico dessa funo passa pelos pontos (1, 3) e (2, 6); e

essa funo possui uma nica raiz.

Considerando esses dados, CALCULEos valores de a, be c.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 128

(UFMG) Considere estas funes reais:

5 3x , se x < 1

2 194 4f(x) e g(x)= x .1 5 5 5

x , se x 13 3

+= + +

a) ESBOCE, neste plano cartesiano, o grfico de cada uma dessas funes no intervalo 3 x 7 :

b) DETERMINEo conjunto {x IR; f (x) = 0}.

c) DETERMINEo conjunto {x IR; f (x) = g (x)} .

y

x

4

2

0

2

2 2 4 6



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 129

(UFMG) O valorV, em reais, da conta mensal de energia eltrica calculado a partir do consumo C, em kWh. Paraconsumos inferiores ou iguais a 200 kWh, o valor do kWh de R$ 0,30. No entanto, para consumos superiores,o valor do kWh acrescido de 50% para a parcela que exceder a 200 kWh.

a) TRACE, no plano coordenado a seguir, o grfico deVcomo funo de C, para 0 C 600.

b) CALCULEo valor deVcorrespondente a um consumo de 500 kWh no ms.

c) CALCULEo valor de Ccorrespondente a uma conta mensal de R$ 132,00.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 130

A seguir esto representadas duas tabelas para o clculo do imposto de renda (IR) para pessoas fsicas. A Tabela 1que foi usada de 1996 at 2001 e a Tabela 2que substitui a Tabela 1desde 2002 e que est incompleta comose observa.

Tabela 1

Salrio bruto Alquota Parcela

At R$ 900,00 Isento

De R$ 900,00 at R$ 1800,00 15 % R$ 135,00

Acima de R$ 1800,00 27,5% R$ 360,00

Tabela 2

Salrio bruto Alquota Parcela

At R$ 1060,00 IsentoDe R$ 1060,00 a R$ 2112,00 15 % P

1

Acima de R$ 2112,00 27,5% P2

O IR calculado aplicando-se a alquota correspondente no salrio mensal bruto e subtraindo a parcela a deduzir.

a) ESCREVAa funo I1(x), para a Tabela 1, em quex o salrio do contribuinte e Io imposto a ser pago.



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RETA FINALMATEMTICA

118

b) DETERMINEos valores de P1e P2para que a funo I2(x)da Tabela 2seja contnua e desenhe seu grfico.

c) DETERMINEo imposto pago por um contribuinte cujo salrio mensal R$ 1.500,00, em 1996 e em 2002.FAAo mesmo para R$ 5.000,00.



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 132

(UFMG) Seja f uma funo real tal que f (x + 8) = f (x) para todo x real. O grfico de f para 4 x 4 apresentado nesta figura:

a) CALCULE7

f .4

b) CALCULEf (31).

y

x 4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4



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RETA FINALMATEMTICA

c) FAAo esboo do grfico de f para 6 x 14 .

Questo 133

(UFMG) Nesta figura, est representado o grfico da funo y = f (x), cujo domnio o conjunto

{x IR : 6 x 6} e cuja imagem o conjunto { y IR : 2 x 3} .

Sendo g (x) = f (x) + 2 e h (x) = f (x + 2) ,

a) DETERMINEg (0) e h (0).

y

x

6

3

2

3

2 4

6

1



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RETA FINALMATEMTICA

124

Questo 136

Um perueiro ganha R$ 400,00 por dia, transportando, diariamente, 80 pessoas de suas casas aos respectivoslocais de trabalho. No entanto ele descobriu que, a cada aumento de R$ 0,20 no preo da passagem, perde doispassageiros. CALCULEo nmero de passageiros que maximiza o faturamento do perueiro.

Questo 137

(UFMG) DETERMINEas dimenses do retngulo de rea mxima inscrito num tringulo issceles de altura 8 ebase 6, cuja base est sobre a base do retngulo.



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 138

(UFMG) Considere um retngulo de base 39. Suas dimenses so alteradas de modo que, a cada reduo dexemsua base, com x 0 , obtm-se um novo retngulo de rea dada por A (x) = 936 + 15 x x2.

a) MOSTREque, para 0 x 39, a altura de cada um desses retngulos pode ser escrita na forma h(x) = ax + b

e DETERMINEos valores de ae b.

b) Dentre esses retngulos, DETERMINEas dimenses do que tem rea mxima.



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RETA FINALMATEMTICA

126

Questo 139

(UFMG) Neste plano cartesiano, esto representados o retnguloABCDe as retas re s:

Sabe-se que:

a equao de r y = x + 4 e a equao de s y = 2x + 6;

os pontosDe Cpertencem, respectivamente, s retas re se tm ordenadas positivas; e

A(a, 0) e B(b, 0), sendo a < b.

a) CALCULEa rea do retnguloABCDem funo apenas deb.

b) DETERMINEo valor de bpara que a rea do retngulo seja mxima e CALCULEa medida dessa rea.

y

r

x

CD

BA s



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 140

DETERMINEtodos os valores reais dextais que:

a) 4 3x x

b)

24 x x >



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128

Questo 141

(ITA) Dado o conjunto

{ }= +


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Questo 143

Sabe-se que, para a converso de graus Fahrenheit em graus Celsius, a frmula correta

( )c F5

T T 329

= ,

em que TF e TC indicam as temperaturas em graus, respectivamente, Fahrenheit e Celsius.Quando em viagem pelos Estados Unidos, para simplificar os clculos, Pedro convertia a temperatura, dada em

graus Fahrenheit, para o valor correspondente em graus Celsius, usando a expresso

F

cT

T 172

=

Durante a estada de Pedro nesse pas, a temperatura variou de 4 F a 50 F.

Com base nessas informaes,

a) DETERMINE a temperatura, em graus Fahrenheit, em que o erro cometido por Pedro, ao usar essaexpresso, nulo.



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RETA FINALMATEMTICA

CLCULO ALGBRICO E POLINMIOS

Questo 145

(UFMG) Os polinmios P1= (x) = x2 4 e P2(x) = x

2 7x + 10 dividem o polinmio

P (x) = ax3+ bx2 12x + c, em que a, be cso nmeros reais.DETERMINEos valores de a, be c.



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RETA FINALMATEMTICA

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Questo 146

(UFMG) Seja o polinmio

nj 2 3 n 1 n

j 1

p(x) (n 1 j)x nx (n 1)x (n 2)x ... 2x x=

= + = + + + + +

em que o resto da diviso de p(x) por x 1 55. DETERMINEo grau de P(x).



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RETA FINALMATEMTICA

Questo 147

(Unicamp) Equaes do tipo x4+ ax3+ bx2+ ax + 1 = 0 so denominadas recprocas porque seus coeficientesequidistantes dos extremos so iguais

a) ENCONTREas 4 razes da equao x4 3x3+ 4x2 3x + 1 = 0.

b) DETERMINEos valores de b IR para os quais a equao x4 3x3+ bx2 3x + 1 = 0 tem pelo menos umaraiz real positiva.



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Questo 148

Um polinmio de grau 3 possui trs razes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progresso

aritmtica em que a soma dos termos igual a95

. A diferena entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da

menor raiz 24

5

. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinmio 5, DETERMINE

a) a progresso aritmtica.

b) o coeficiente do termo de grau 1desse polinmio.



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Questo 149

(UFMG) As dimenses a, be c, em centmetros, de um paraleleppedo retngulo so as razes do polinmioP(x) = 6x3 44x2+ 103x 77.

a) CALCULEo volume desse paraleleppedo.

b) CALCULEa soma das reas das faces desse paraleleppedo.

c) CALCULEo comprimento da diagonal desse paraleleppedo.



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Questo 150

(Fuvest

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