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El 26 de septiembre del 2010 se celebró el gran Premio deSingapur, la 15.ª prueba del mundial de Fórmula 1. Lacarrera constaba de 61 vueltas a un circuito de 5 067 mde longitud. Fernando Alonso, el automovilista español,hizo una carrera espectacular que le dio la victoria, conlo cual se situó en segunda posición del campeonato atan solo 11 puntos del líder, el australiano Mark Webber.
a) Calcula la distancia total en km que tienen que recorrer todos los pilotospara completar el gran Premio.
b) ¿Qué expresión algebraica nospermite calcular la velocidad mediade los pilotos en esta carrera?
c) Halla la velocidad media de los cinco primeros pilotos clasificadosen este gran Premio.
Polinomios
Pilotos Tiempo Tiempo (h)
1. Fernando Alonso 1h 57' 53" 1,964
2. Sebastian Vettel 1h 57' 55" 1,965
3. Mark Webber 1h 58' 26" 1,973
4. Jenson Button 1h 58' 27" 1,974
5. Nico Rosberg 1h 58' 43" 1,979
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Polinomios 73
Recuerda y resuelve
Qué es una expresión algebraica.
1 Si designamos un número cualquiera por x, escribe una expresión para:
a) El triple del número.
b) Una quinta parte de x.
c) La mitad del cuadrado de ese número.
2 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su expresión algebraica:
a) Un número par I) 2n � 1
b) Un número impar II) x, x � 1
c) Un número y el que le sigue III) 3a
d) El triple de un número IV) 2z
Qué es un monomio.
3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio:
a) d)
b) e)
c) f)
4 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:
Cómo se opera con monomios.
5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones a un solomonomio:
a) b) c) � 2x
6 Opera y simplifica estas potencias:
a) d)
b) e)
c) f)
7 Opera y simplifica:
a) d)
b) − � 9x e)
c) � (3x) f) � (2x)(6x3) (3x2)
x7 (2x4)3
6x4 � 3x2 �2y5 � (�4y4)
(2a2)5 ((�45)�2)2
z4 � z5 y�9 � y�2
x2 � x4 a4 � a�2
9y3 � 11y3 �x2 � 5x2 3x2
5x2, 4y, 5p2, �2y5, 12x5, �9y, �x2
14
mn2
62m3
�10y7
�3x2y3
x6
�2x3
Las expresiones algebraicas seutilizan para traducir enunciados al lenguaje matemático.
Por ejemplo, si queremos expresar«el doble de la suma de un númeromás seis», utilizaríamos números y letras combinados medianteoperaciones matemáticas. La expresión algebraica sería:
2 � (n� 6)
Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o más indeterminaciones elevadas aexponentes naturales (parte literal).El grado de un monomio es la sumade los exponentes de la parte literal.
Así, el coeficiente de es 4; suparte literal, , y su grado, 5. O bien,el coeficiente de es 1; su parteliteral, , y su grado, 1 � 2 � 3.
Dos monomios son semejantes sitienen la misma parte literal.
xy2xy2
x54x5
Para sumar, o restar, dos monomiossemejantes, se suman o se restan loscoeficientes y se deja la misma parteliteral:
� � ; � � �
Las propiedades de las operacionescon potencias son:
� � ; � �
(k � � � ; � 1; �a
Para multiplicar o dividir dosmonomios, se multiplican o se dividensus coeficientes y sus partes literales:
7 � (�5x3) � �35 � �35
(4 ) � (2x) � � 2x
am�nanam
x2
x42
x5x2�3x2
kn am �n
am�nan
a1a0am)nam
x2
16x49x47x4 11y3 5y36y3
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Expresiones algebraicas
Las expresiones que permiten resolver las situaciones anteriores son:a) Paga mensual � 2n, donde n es la edad de cada hijo.b) Velocidad � 100/t; donde t es el tiempo en segundos de cada alumno.c) Volumen � �r2h, donde r es el radio, y h, la altura en dm de la piscina.
Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas enlas que intervienen números y letras. Las letras se denominan variables oindeterminadas.
1.1. Valor numérico de una expresión algebraica¿Cuántos litros de agua necesitaremos para llenar una piscina que tiene
30 dm de profundidad y 50 dm de radio?Tan solo tenemos que sustituir los valores en la fórmula:
V � �r2h � � � 502 � 30 � 235 619 L
El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores delas variables es el resultado de sustituir las variables por su valor y realizar lasoperaciones indicadas.
1
74 UNIDAD 574
Observa las siguientes situaciones:
a) Ángel y Rocío deciden repartir mensualmente la paga a sus hijos de lasiguiente manera: 2 € al mes por cada año de su edad actual. ¿Cómo podríacada uno de sus hijos saber la paga total mensual que le corresponde?
b) Un profesor de Educación Física cronometra a sus alumnos mientras corren100 metros. ¿Cómo podrá determinar a qué velocidad han realizado laprueba sus alumnos?
c) Una persona construye en su casa una piscina de fondo circular. ¿Cómopodría calcular cuántos litros de agua necesitará para llenarla?
Observa y resue lve
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
a) La mitad de la suma de dos números enteros consecutivos.
, donde n es el primer número.
b) El precio de una camiseta que ha sido rebajada un 20 %.
0,8p, donde p es el precio inicial.
n � (n � 1)
2
EJERCICIOS RESUELTOS
2 Calcula el valor numérico para cada una de las expresiones del ejercicioresuelto anterior para n � 10 y p � 25.
a) � 10,5
b) 0,8 � 25 � 20
10 � (10 � 1)
2
R e c u e r d a
Cuando en una expresión algebraicados letras, o un número y una letra,están juntos sin ningún signo inter-medio, significa que se están multi-plicando. Así:
ab significa «a por b»
2x significa «2 por x»
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Polinomios 75
Actividades
� Escribe la expresión algebraica correspondiente acada uno de los siguientes enunciados:
a) La mitad de la diferencia de dos números.
b) Un tercio de un número.
c) La suma del cubo de un número más cinco.
d) El siguiente de un número natural.
e) La suma de dos números impares consecutivos.
f) El producto de dos números pares consecutivos.
� Escribe la expresión que permite calcular:
a) El espacio recorrido por un coche que se desplaza a unavelocidad constante v durante un tiempo t.
b) El perímetro de un cuadrado de lado x.
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetosson a y b.
d) El área de un rectángulo que tiene por lados n y p.
� Asocia cada uno de los siguientes enunciados conuna expresión algebraica de las indicadas abajo:
a) La quinta parte de la suma de un número y el triple desu cuadrado.
b) La suma de la quinta parte de un número y el triple desu cuadrado.
c) El doble de la suma de un número al cuadrado y otronúmero.
d) La suma del doble de un número al cuadrado y otronúmero.
e) El cubo de la suma de dos números.
f) La suma de los cubos de dos números.
� � � � y
� � 2( � y) � x�
�� Escribe un enunciado para cada una de las siguien-tes expresiones algebraicas:
a) x� y d) g)
b) x� y e) h)
c) f) 3x� i)
� Indica la expresión algebraica que permite con-testar a la pregunta planteada en cada caso:
a) Si una camiseta cuesta p euros, ¿qué precio tienen 3 ca-misetas con el 20 % de descuento?
b) Si ahora tienes y años, ¿qué edad tendrás dentro de 6 años? ¿Y qué edad tenías hace 4 años?
c) La entrada a un parque temático cuesta x euros, y mon-tar en cada atracción, y euros; ¿cuánto te gastarías simontas en 5 atracciones?
� Halla en cada caso el valor numérico para x� 3:
a) x� 5 c) � 1 e) �3x�
b) �2x� 6 d) 5(x� 5) f)
� Calcula el valor numérico de las expresiones algebrai-cas para cada uno de los valores dados:
a) � � 2x� 1, para x��2, x� �1, x� 0 y x� 2.
b) , para x� 1, x� y x� 0.
c) � , para x� 2 y x� �1.
� Averigua en cada caso el valor numérico de estasexpresiones algebraicas para los valores indicados:
a) x� y, para x� 3 e y� �5.
b) 2x� � 3z, para x� �1, y� 2 y z� �2.
c) a2 � 3a� b2, para a� y b� 3.
� Escribe la expresión algebraica que permite hallar loindicado en cada apartado y después calcúlala para el valordado:
a) El volumen de un cubo de arista x, para x� 1 m.
b) La velocidad media de un coche que recorre s km en tmin, para s� 30 km y t� 25 min.
c) El perímetro de un rombo de lado a, para a� 3 cm.
d) El área de un círculo que tiene por radio r, para r� 2 dm.
�� La familia de María gasta mensualmente una quintaparte de sus ingresos en alimentación, la mitad del resto enpagar préstamos al banco y 300 € en otros gastos. Escribe una expresión que indique los gastos mensuales de la familia. Si los ingresos de la familia de María son de 2 500 €, ¿a cuántoascienden los gastos?
��� Encuentra la expresión algebraica del área y delperímetro de cada una de estas figuras. Después halla suvalor para a� 5 cm, b� 4 cm y h� 2 cm.
a)
b)
c)
y3
12
1 � 2x2
2(x � 3)
5
15
5x � 12 � x
2x2x3
(1 � x)2
x2x2
(3x � 2y)2
(x � y)2
2y2
2x2
x2 � y2x2 � y2
(x � y)2
3x215
x2x � 3x2
5
2x2(x � y)3x3 � y3
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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Polinomios
Observa las siguientes expresiones algebraicas:
2x � 5y 5 � 2x � 1 4ab � a 7 � � 8
Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios.
Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada unode estos monomios se llama término.
Así, por ejemplo:� 3x � 6 es un polinomio.
Sin embargo, no es un polinomio.
� Se define el grado de un polinomio como el mayor de los grados de sustérminos.
� El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado0, término independiente.
� Al polinomio con dos términos se le denomina binomio.
2.1. Valor numérico de un polinomioObserva el siguiente polinomio:
P(x) � 3 � 2x � 1Si sustituimos la x por 2, obtendremos el valor numérico del polinomio:
P(x � 2) � 3 � � 2 � 2 � 1 � 15
El valor numérico de un polinomio, para x � a, es el número que resulta alsustituir la variable x por el valor a.
22
x2
1�x
�2x3 � �
3 x2
x2
z2z3x2 25
2
76 UNIDAD 576
Notación de un polinomio
Un polinomio se suele designarpor una letra mayúscula seguidade las variables entre paréntesis.
Ejemplos:
P(x) � 2 � 3
Q(a, b) � � � 4ab3ab4
x2
Polinomios completos
Cuando un polinomio tiene tér-minos de todos los grados inter-medios entre el término principaly el independiente, recibe el nom-bre de polinomio completo.
Un polinomio ordenado y com-pleto es, por ejemplo, este:
x4 � 3x3 � 2x2 � x � 1
Polinomios ordenados
Si los términos de un polinomio fi-guran en orden creciente, o decre-ciente, de sus grados, se dice quees un polinomio ordenado.
Son ejemplos de polinomios orde-nados los siguientes:
P(x) �
Q(x) � 3� 6x� 3x4
x4 � 3x3 � x � 1
EJERCICIOS RESUELTOS
3 Dados los siguientes polinomios, determina el grado, el término principaly el término independiente.
Polinomio GradoTérminoprincipal
� 4a�b3ab2 3 3ab2
� 5x� 14x2 2 4x2
Términoindependiente
0
�1
EJERCICIOS RESUELTOS
4 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valoresindicados.
a) P(x) � , para x � �1.
P(�1) � �3 � � 2 � � 1 � 4
b) Q(x, y) � � 3xy � 5y, para x � 1 e y � 2.
Q(1, 2) � 2 � � 2 � 3 � 1 � 2 � 5 � 2 � �12
(�1)2(�1)3
12
2x2y
�3x3 � 2x2 � 1
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Polinomios 77
Actividades
� Escribe un polinomio de grado 6 que tenga cinco tér-minos, el coeficiente del término de grado 2 igual a �1 ycomo término independiente 0.
� Ordena de forma creciente los términos de los si-guientes polinomios:
a) P(x)�
b) Q(x)�
c) R(x)�
� Ordena de forma decreciente los términos de los poli-nomios e indica después los términos, el término indepen-diente y el grado:
a) P(x)�
b) Q(x)�
c) S(x)�
� Contesta a las siguientes indicaciones:
a) Polinomio cuyos términos están escritos en orden cre-ciente de sus grados.
b) Determina qué representa el número 2 en el polinomioP(x)� 3x2 � 8x� 1.
c) Lo son los monomios que tienen la misma parte literal.
d) Polinomio con dos términos.
e) Monomio de grado 0 de un polinomio.
f) ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y �1 en el poli-nomio P(x) del apartado b)?
g) Polinomio al que no le falta ningún término.
� Indica si está completo cada uno de estos polinomiosy, en caso contrario, señala qué términos le faltan:
a) A(x)�
b) B(x)�
c) C(x)�
� Calcula el valor numérico de los siguientes polino-mios para el valor dado en cada caso:
a) P(x)� � 3, para x� �1.
b) P(x)� � 2x� 1, para x� 0.
c) P(x)� � 3, para x� .
d) P(x)� � 3x� 3, para x� 2.
e) P(x)� � 3x� , para x� �3.
� Calcula los valores numéricos de estos polinomiospara los valores que se indican:
a) P(x)� , para x� 1 y x� �1.
b) Q(x)� , para x� 0 y x� 3.
c) R(x)� , para x� 2 y x� �3.
d) S(x)� , para x� �2 y x� �1.
�� Asocia cada polinomio con un valor de la variabley con su valor numérico para dicho valor:
1. P(x) � � 2x � 1
2. P(x) � � � x � 2
3. P(x) � � � x � 2
4. P(x) � � 2
I) x � 0
II) x � 2
III) x � �1
IV) x � �3
a) 2
b) 20
c) 6
d) �98
� Indica cuáles de las siguientes expresiones algebrai-cas son polinomios y, en caso de que no lo sean, explica porqué:
a) � 2x
b) � � x
c) � � x
� ¿Cuántos términos tiene un polinomio completode grado 3? ¿Y uno de grado 4? ¿Y uno de grado 15? ¿Y si elgrado es n?
�� Contesta si las siguientes afirmaciones son verdade-ras o falsas y razona tu respuesta:
a) Un polinomio completo siempre está ordenado.
b) Un polinomio ordenado tiene que tener término inde-pendiente.
c) Un polinomio no puede tener el mismo valor numéricopara dos valores distintos de la variable.
d) Un polinomio no puede tener dos valores numéricosdistintos para un mismo valor de la variable.
e) El polinomio P(x)� es un polinomio incom-pleto.
2x3
2x3
5x2
5x2
x2
3x2
3x3 � 2x2 � x
5x
3x2
25
x25x3
5x3
5x2 � 4
3x2 � 5x � 2
x4 � x2 � 5x � 3
5x3 � 3x2 � 3x � 1
23
�19
x3
12
x2
�12
8x2
x3
2x2
8x3 �15
x2 � 5x
3x4 � 7x2 � 4 � x3
5x3 � 3x6 � 2x2 � 8x4 � 2 � x � x5
�32
�23
x2 � 5x7 � 8x5
3x4 � 3x � 2x3 � 1
�23
x3 � x2
5x4 � 8x6 � x3 � 3
�5x3 � x2
5x2 � 4x5 � 3x � 2x4 � x3 � 8
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
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Operaciones con polinomios
3.1. Suma y resta de polinomios
+
El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos suscoeficientes.
Así, el polinomio opuesto de Q(x)� �5x�1 es �Q(x)�� �5x�1.
+
2x2 2x2
3
78 UNIDAD 578
T e n e n c u e n t a
Un signo menos delante de un pa-réntesis cambia el signo a todos lostérminos del polinomio que estándentro del paréntesis. Por ejemplo:
3 � (2x2 � 3) � 3 � 2x2 � 3
Actividades
� Dados los siguientes polinomios, realiza las sumasindicadas:
P(x)� Q(x)�
R(x)� S(x)�
a) Q(x)� S(x) c) Q(x)� R(x) e) P(x)� Q(x)� R(x)
b) P(x)� R(x) d) P(x)� Q(x) f) P(x)� Q(x)� S(x)
� Dados los siguientes polinomios, efectúa las operacio-nes indicadas:
P(x)� Q(x)� R(x)�
a) P(x)� Q(x) g) P(x)� Q(x)� R(x)
b) P(x)� Q(x) h) Q(x)� R(x)� P(x)
c) P(x)� R(x) i) P(x)� Q(x)� R(x)
d) P(x)� R(x) j) P(x)� [Q(x)� R(x)]
e) Q(x)� R(x) k) Q(x)� [P(x)� R(x)]
f) Q(x)� R(x) l) P(x)� [Q(x)� R(x)]
� Realiza las operaciones, teniendo en cuenta que lospolinomios no están completos:
a) ( � 6x� 4)� ( � � 2x� 1)
b) ( � 6x� 4)� ( � � 2x� 1)
c) (2x� 5)� ( � � 5x)
d) (� � � 2)� ( � � x)� (2x� 5)
� Efectúa estas operaciones, teniendo en cuenta quelos polinomios no están ordenados:
a) (�9x� � � 1)� (�5� � 3x)
b) (�8x� � )� ( � 7x� )
�� Realiza las siguientes operaciones de polinomioscon coeficientes racionales:
a)
b)
c)
d)
e)
�� ¿Qué polinomio se debe sumar a P(x)� � 4x� 5para obtener cada uno de los siguientes?
a) c) 4x e) �5
b) � d) 0 f) � x� 3
�� ¿Qué polinomio se resta a Q(x)� 2 � � � 5para obtener cada uno de los siguientes polinomios?
a) � c) 0 e) � 2x
b) � 8 d) � x f) �10x� 9
��� Copia y escribe los elementos que faltan:
a) P(x)� � � � � x� 6 Q(x)� � � � 5
P(x)� Q(x)� � � � 4x �
b) A(x)� � � � 3x� 4 B(x)� � � � � 2x �
A(x)� B(x)� � � � �x� 12
5x4
x3
5x5 7x3 8x4 3x3
26
x2 3x4 2x3
x6 4x3 3x2 x2
27
�32
x2 �13
x � 2�� �12
x2 �43
x � 1��3
2x2 �
13
x � 2�� �12
x2 �43
x � 1��2
5x3 �
12
x � 3�� ��2x3 �15
x2��2
5x3 �
12
x � 3�� ��2x3 �15
x2��3
8x2 �
52
x �34�� ��1
4x2 �
38
x �14�� �x2 �
18�
28 3x2
3x2
3x2 5x2
29 x4 x3 3x2
x4 � 5x3
x5x5 2x3 3x2
7x5 2x4
5x25x3 x2
x2
x2
x4
x3x4
3x4
x3
x3
x3
2x42x2
3x2
3x2
2x4
2x4
8x3
5x4
5x4
2x2 � 5x � 3 5x2 � 2 �3x2 � x � 4
3x2 � 1
�x2 � x � 32x3 � 5x2 � 2x � 1
5x4 � 6x3 � 2x2 � 3x � 4
30
25
24
23
Para sumar dos polinomios, su-mamos sus monomios semejan-tes y dejamos indicadas las sumasde los monomios no semejantes.
Q(x) � P(x) � � � 3xP(x) � Q(x) � � � 5x � 1
P(x) � Q(x) � � � 2x � 12x23x3
2x2
4x23x3
Para restar dos polinomios, se su-ma al primero el opuesto del se-gundo.
Q(x) � P(x) � � � 3xP(x) � Q(x) � � � 5x � 1
P(x) � Q(x) � � � 8x � 16x2
4x23x3
3x3
2x2
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3.2. Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer poli-nomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los térmi-nos semejantes.
Polinomios 79
EJERCICIOS RESUELTOS
5 Multiplica P(x) � Q(x) siendo P(x) � 4x � 2 y Q(x) � .
Vamos a resolverlo de dos formas distintas:
Método 1:P(x) � Q(x) � (4x � 2) � ( � � 2x � 1) �
� 4x � ( � � 2x � 1) � 2 � ( � � 2x � 1) �
� � � � 4x � � � 4x � 2 � � � � 8x � 2
Método 2:P(x) � � � 2x � 1
� Q(x) � 4x � 2
�2 � P(x) & � � � 4x � 2
4x � P(x) & � � � 4x
P(x) � Q(x) & � � � 8x � 214x214x34x4
8x212x34x4
6x22x3
3x2x3
14x214x34x46x22x38x212x34x4
3x2 3x2
3x2
x3x3
x3
x3 � 3x2 � 2x � 1
Actividades
� Realiza las siguientes multiplicaciones de un mono-mio por un polinomio:
a) 2( � � 5x� 3) d) �x(� � � 5x� 3)
b) 2x( � � 5x� 3) c) � ( � � 5x� 3)
c) � f) �
�� Efectúa estas multiplicaciones de polinomios:
a) (5x � 1) � (2x � 4)
b) (� � 1) � (3� x)
c) (2� x) � ( � 3x� 1)
d) (2x� 3) � (� � 3x� 2)
e) ( � 3x� 2) � (x� 1)
f) (�3x� 2) � ( � � 2x� 1)
g) ( � � 3x� 5) � ( � 5x)
h) (x� 1) � (x� 4) � (x� 3)
i) (1� x) � (1� ) � (1� )
j) ( � 3x� 2) � (�5x� 1� )
k) ( � 3x� 2) � ( � 3x� 2)
l) ( � 3x� 2) � ( � 3x� 2)
m) (� � � 1) � ( � x� 1)
n) ( � � 2x� 7) � (� � 1)
�� Copia en tu cuaderno y completa los elementos quefaltan en la siguiente multiplicación:
� � x� 4
� �x � �
� � �x �
� � � � 20x
� � � � x � 12
�� Realiza las operaciones y simplifica:
a) 2(x� 3)� 5(x� 3)
b) (x� 1) � (x� 3)� (2x� 1) � (x� 3)
c) 5x( � 1)� ( � � 3) � (� )
d) ( � 3x) � ( � 2)� ( � 1) � ( � 4)
e) [( � 2x� 3)� ( � 2x� 3)] � ( � x)
f) [( � )� ( � )] � ( � 3)
� Dados los polinomios A(x), B(x) y C(x), realiza las ope-raciones indicadas:
A(x)� � x� 1 B(x)� � 2x C(x)� x� 3
a) 2A(x)� B(x)� C(x) d) [A(x)� C(x)] � B(x)
b) A(x) � [B(x)� 3C(x)] e) 2A(x)� [B(x)� C(x)]
c) A(x) � B(x)� C(x) f) C(x) � [A(x)� B(x)]
� Calcula los siguientes cubos:
a) b) c) d)2x23x3
2x2
4x5
x3x4
(x � 2)3
2x2x3
(3x � 2)3(2x � 1)3(x � 1)3
5x2
15x2
x2
x2
x3
x3
25x3
3x3
x4
x4
2x2
2x3
7x3 5x3
5x2
x3
2x2 x4
6x2
2x2
2x2
3x2
x4
x2
x2 x2
x2
x2
3x2
2x2
3x3
3x2
x2
2x2
5x2
5x2
5x2
x3
x2
x2
x2
x3
x3
x3
x3
��32
x2 �276
x � 3��49
x��15
x3 � 2x � 3� �53
x2�x32x2 2x22x2x3
2x2x3
36
35
34
33
32
31
Potencias de polinomios
Las potencias de un polinomio sonun caso particular de la multiplica-ción de polinomios. Veamos unejemplo:
Calculemos , siendo P(x) �
� � 1
� �
� ( � 1) � ( � 1) � ( � 1) �
� ( � 1) � ( � � � 1) �
� ( � 1) � ( � 2 � 1) �
� � 2 � � � 2 � 1 �
� � 3 � 3 � 1x4x6
x4x4
x2
x2x2x6
x2x4x2
x4 x2x2x2
x2x2x2
(x2 � 1)3�P(x)� 3
�P(x)� 3
x2
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3.3. Identidades notables
Realizamos los productos:� (A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � � 2AB �
� (A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � � 2AB �
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primeromás el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado delsegundo:
El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado delprimero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cua-drado del segundo:
Realizamos el producto:(A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � �
La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de suscuadrados:
(A � B) � (A � B) � A2 � B2
A2 B2
(A � B)2 � A2 � 2AB � B2
(A � B)2 � A2 � 2AB � B2
(A � B)2 A2 B2
(A � B)2 A2 B2
80 UNIDAD 580
¿Cómo se puede expresar con un polinomio el área de este cuadrado?
El lado del cuadrado mide a � b;por tanto, su área será . Site fijas en la figura, verás que:
� � 2ab �
¿Cómo se puede expresar con un polinomio el área del cuadrado azul?
El lado del cuadrado azul midea � b; por consiguiente, su área se-rá . Fíjate ahora en la figuray verás que:
� � 2ab �
(a � b)2
b2a2(a � b)2
b2a2(a � b)2
(a � b)2
a
ab
ab b2
a2
b
a
b
a
(a � b)2
b
a
bb2ab
ab
Supongamos que tenemos dos monomios, A y B, y queremos calcular el cua-drado de la suma, , y el cuadrado de la diferencia, , de esosmonomios.
a) ¿Qué resultado obtendrías?
b) ¿Puedes simplificar este resultado?
(A � B)2(A � B)2
Observa y resue lve
Queremos calcular ahora el producto de la suma de dos monomios por su dife-rencia, es decir, (A� B) � (A� B). ¿Qué obtenemos?
Observa y resue lve
EJERCICIOS RESUELTOS
6 Calcula .
(3x2 � 2x5)2 � (3x2)2 � 2 � 3x2 � 2x5 � (2x5)2 � 9x4 � 12x7 � 4x10
(3x2 � 2x5)2
EJERCICIOS RESUELTOS
7 Calcula .
(2x � x3)2 � (2x)2 � 2 � 2x � x3 � (x3)2 � 4x2 � 4x4 � x6
(2x � x3)2
EJERCICIOS RESUELTOS
8 Calcula � .(7x5 � 2x6)
(7x5 � 2x6) � (7x5 � 2x6) � (7x5)2 � (2x6)2 � 49x10 � 4x12
(7x5 � 2x6)
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 80
Polinomios 81
Actividades
� Utiliza las identidades notables para calcular lossiguientes cuadrados de binomios:
a) (x� f) (5x�
b) (x� g)
c) (2x� h)
d) (2x� i)
e) (5x� j)
�� Utiliza las identidades notables para calcular estoscuadrados de binomios:
a) c)
b) d)
� Utiliza las identidades notables para calcular lassiguientes multiplicaciones de binomios:
a) (x� 1) � (x� 1) d) ( � 5) � ( � 5)
b) (x� 3) � (x� 3) e) ( � 3) � ( � 3)
c) (3x� 1) � (3x� 1) f) �
�� Calcula:
a) (x� y (1�
b) ( � y (x�
c) (x� y (2y�
¿Podrías sacar alguna conclusión a la vista de los resultadosque has obtenido? Justifícala.
�� Expresa los siguientes polinomios como el cuadradode una suma de dos monomios:
a) � 2x� 1 d) � 2xy�
b) � 4x� 4 e) � 4x� 1
c) � 6x� 9 f) � 12x� 4
�� Expresa estos polinomios como el cuadrado de ladiferencia de dos monomios:
a) � 10x� 25 d) � 2xy�
b) � 4x� 1 e) � 10x� 1
c) � 12x� 4 f) � 8x� 4
�� Expresa los siguientes binomios como la suma dedos monomios por su diferencia:
a) � 4 d) � 49
b) � 25 e) 16�
c) � 100 f) 64�
��� Expresa como producto de dos factores:
a) � 12x� 9 d) � x�
b) � 625 e) � � 16
c) � 10x� 1 f) � 1
�� Copia en tu cuaderno y completa estas expre-siones, sabiendo que se trata de identidades notables:
a) (�� � � � 12x� �
b) (�� � � � 9� �
c) (�� 5 � � �x� �
d) ( � � � �� �� 81
e) (�� � ) � (�� � )� � 49
f) (�� 3) � (�� 3)� � �
� Halla el valor numérico de las siguientes expresionespara x� 3 e y� 2 y empareja las que den el mismo resultado. ¿Qué observas?
a) (x� y f) �
b) 4(x� y) g) � 2xy�
c) (x� y h) �
d) (x� y) � (x� y) i) � 2xy�
e) ( � )� j) 4x� 4y
� Expresa con un polinomio el área de cada una deestas figuras:
a)
b)
� Copia y completa las siguientes expresiones paraque sean el cuadrado de un binomio:
a) � 2x� � c) � 6x� �
b) � �� 25 d) � � 4x� 1
�� Desarrolla los productos y simplifica el resultado:
a)
b) �4( � 2x)� ( � 2x) � ( � 2x)
c)
d) (� � ( � 2x) � (7x� 1)
e) �3[(x� � ]� (�
x2
9x2
4x2 1)2 x2 3x3)2
3x32x2 � 3x5)2
(2x3 � x)2 � (4x6 � x2)
2x22x2x2
(x2 � 2x)2 � (x2 � 2x)2
4x2
y2
y2
y2
y2
y2
5x2 4x2
)2
)2
16x2
4x2
x6
x4
2x4
x4
)2
)2
)2
)2 36x2
14
9x4
8x2
25x2
4x2
36x2
25x2
9x2 4x2
4x2
y2
y2
9x2
4x2
3x2)2x)23x2
x)22y)2
x)21)2
�32
x � 3x2��32
x � 3x2�4x24x2
�12
x2 �23
x�2
�13
x4 �25
x3�2
�32
x2 �23
x3�2
�2x5 �17
x3�2
(2x2 � 3x)2
(3x2 � 5x3)2
(x2 � 4y)2
(x2 � 4y)2
1)2
1)2
3)2
3)2
2)2
2)2
2x2 2x2
x2
x2
x2
x2
x2
x2x2
x2
x2
x2
x2
x2 x2
x2
x2
x2
x2
x � 2
x �
2
x � 1
x � 1
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
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3.4. División de polinomiosDivisión de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término delpolinomio entre el monomio.
División entera de polinomiosLa división entera de polinomios es similar a la división entera de núme-
ros reales. Observa cómo se divide P(x) � 3 � 5 � 4 � 3x � 1 entreQ(x) � � 2x:
En la división de polinomios se cumple que el dividendo, D(x), es igual al producto del divisor, d(x), por el cociente, C(x), más el resto, r(x):
D(x) & D(x) � d(x) � C(x) � r(x)r(x) C(x)
d(x)
x2x2x4x5
82 UNIDAD 582
Actividades
� Realiza las siguientes divisiones:
a) (2x � 6) � 2
b) ( � ) �
c) ( � � 15x) � 5x
� Efectúa estas divisiones de po-linomios:
a) ( � 5x � 3) � (x � 3)
b) ( � � 2x � 8) � (2x � 3)
c) ( � � 5x) � ( � 3)
d) ( � � ) � (3x � 1)
� Divide los polinomios indica-dos y comprueba el resultado utili-zando la expresión D � d � c � r.
a) D(x) � � � � � � 1y d(x) � � 1
b) D(x) � � � � yd(x) � � x
�� Calcula el resto de una divi-sión de la que conoces el dividen-do, D(x); el divisor, d(x); y el cocien-te, C(x):
� D(x) � � � 2x
� d(x) � � x
� C(x) � x � 1
4x2
3x2
3x3
2x32x27x34x42x5
x9 x7 x5 x3 x2
x2
x23x39x4
10x3
2x4 3x3
2x22x2
2x2
x35x4
x25x72x5
53
52
51
50
Grados de los polinomios queintervienen en una división
Al dividir polinomios, hay que teneren cuenta que:
� El grado del dividendo tiene queser mayor o igual que el grado deldivisor.
� El grado del resto ha de ser me-nor que el del divisor.
� El grado del cociente es la dife-rencia entre el del dividendo y eldel divisor.
EJERCICIOS RESUELTOS
9 Calcula � .
( � � ) � ( ) � ( ) � ( ) � ( ) � ( ) � (� ) � ( ) �
� � � 23x26x23x59x6 3x2 9x6 3x2 3x5 6x2 3x2
x33x4
(3x2)(9x6 � 3x5 � 6x2)
EJERCICIOS RESUELTOS
10 Comprueba en la división del ejemplo anterior que se cumple queD(x) � d(x) � C(x) � r(x).
Dividendo: D(x) � � � � 3x � 1; Divisor: d(x) � � 2x; Cociente:C(x) � � � 2x; Resto: r(x) � 3x � 1.
d(x) � C(x) � r(x) � ( � 2x) � ( � � 2x) � (3x � 1) �� ( � � � � � ) � (3x � 1) � � � � 3x � 12x36x42x3x4 3x5 5x4 4x24x23x5
x23x3
3x34x25x43x5
x2
x2
x2
1. Se comprueba que ambos poli-nomios están ordenados y sedeja un espacio donde falte untérmino de algún grado.
� � � � 3x� 13x5 5x4 4x2 x2 � 2x
2. Se divide el término principaldel dividendo entre el términoprincipal del divisor:
� �
Este resultado es el primer tér-mino del cociente.
3x5 x2 3x3
� � � � 3x� 13x3
3x5 5x4 4x2 x2 � 2x
3. Se multiplica por cada tér-mino del divisor, y el resultadose le resta al dividendo.
3x3 � � � � 3x� 1� �
� � 3x� 1x4 4x2
3x5 6x4 3x33x5 5x4 4x2 x2 � 2x
4. Se repite el proceso hasta queel polinomio obtenido tengaun grado menor que el divisor.
� � � � 3x� 1� � � � 2x
� � 3x� 1� �
� � 3x� 1� �
3x� 1
2x32x3
2x3x4
4x24x2
4x2x4
3x3 x26x43x54x25x43x5 x2 � 2x
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 82
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios demenor grado.
Factorizar mediante identidades
Cuando un polinomio sea el resultado de desarrollar una identidad notable,se puede volver a dicha identidad y así factorizar el polinomio:
A(x) � � 4 � (x � 2) � (x � 2)B(x) � � � ( � x) � ( � x)C(x) � � 8x � 16 � � 2 � 4x � � (x � 4)
La división exactaObserva ahora esta división exacta de polinomios:
�2 � 5 � 2x�2 � � 2x
4 � 2x�4 � 2x
0La división es exacta cuando el resto es 0, por lo que:
Dividendo � Divisor � CocientePor consiguiente: 2 � 5 � 2x � (2x � 1) � ( � 2x).
Cuando un polinomio puede ser dividido de forma exacta, se puede factorizarasí:
Dividendo � Divisor � Cociente & D(x) � d(x) � C(x)
Sacar factor común
Observa que en el polinomio P(x) � 12 � 6 � 10 todos los términoscontienen la expresión 2 :
P(x) � 2 � 6 � � � 2 � 3 � � x � 2 � 5 �
Por tanto, es posible extraer este factor común a todos los términos delpolinomio y escribir:
P(x) � 2 (6 � 3x � 5)x2 x3
x2x2x2 x3
x2x3 x2x5
x2x2
x2x2x3x2x3 2x � 1
x2x3 x2
242x2
x2x2x2
x2
x2
x4
4
Polinomios 83
Actividades
� Identifica identidades notablesy factoriza:
a) � �
b) � �
c) �
� Divide la expresión:
( � � x � 3) � (x � 3)
Utiliza el resultado para factorizar eldividendo.
� Saca factor común:
a) �
b) �
c) � � 5
d) � � 3x
e) � � b2cab2a2b2c2
15x4
2x3y424x2y
6x2y12x6
3x2
x2
x3
9x4
9x26x4x6
4x44x6x8
56
55
5x2
18x3 6x2
54
EJERCICIOS RESUELTOS
11 Extrae factor común en los polinomios.
a) A(x) � � � b) B(x) � � � � x
A(x) � 3x � ( � � x) B(x) � x � (�3x � � 1) 4x24x4y33y8
4x33x23x29xy8 12x5y3
Observa las siguientes expresiones:
A(x) � � 4 B(x) � � C(x) � � 8x � 16
¿Cómo podrías transformar estas sumas en productos?
x2x2x4x2
Piensa y deduce
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 83
84 UNIDAD 584
ProblemaA partir de dados de 1 cm de arista queremos formar cubos cuya arista mida 1 cm,2 cm, 3 cm, … Encuentra una expresión algebraica que indique el número dedados necesarios para formar cada cubo en función de la medida de su arista.
Resolución1. Vamos a resolver el problema para cubos cuya arista valga 1 cm, 2 cm y 3 cm.
� Con un solo dado formamos el cubo cuya arista vale 1 cm.
� Para el cubo de 2 cm de arista, necesitamos 8 dados.
� Para el cubo de 3 cm de arista, necesitamos 27 dados.
2. Intentamos deducir una regla de formación a partir de los casos particulares:
� El cubo de 1 cm de arista tiene 1 planta formada por 1 dado.
� El cubo de 2 cm de arista tiene 2 plantas formadas por dados cada una.
� El cubo de 3 cm de arista tiene 3 plantas formadas por dados cada una.
3. Intentamos generalizar los resultados obtenidos:
Un cubo cuya arista sea de n unidades tendrá n plantas y cada una de esasplantas será un cuadrado de lado n, es decir estará formada por dados. Luego,para formar el cubo de n cm de arista necesitaremos n � � dados.
Otros problemas
�� ¿Cuántos cuadrados 2 � 2 como el marcado en rojo pue-des colorear en la figura? Escribe una expresión algebraica queexprese el número de cuadros 2 � 2 incluidos en una figura cuyolado esté formado por n cuadrados.
n3n2n2
32
22
1
Resolver casos particulares
Una forma de resolver unproblema es buscar todos
los casos posibles.
Una forma de afrontar un problema es resolvercasos particulares que tepermitan generalizar hastaconseguir tu objetivo.
Estrategias para resolver problemas
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 84
Polinomios 85
Expresiones algebraicas1 � Expresa algebraicamente estos enunciados:
a) El cubo de la suma de tres números.
b) El producto de dos números menos el producto de suscuadrados.
c) Diez unidades menos la suma de dos números imparesconsecutivos.
d) La quinta parte del doble de la suma de dos números.
e) El doble de un número más la quinta parte de otro.
f) La diferencia entre el doble de un número y el triple deotro.
g) La diferencia de los cubos de dos números.
h) Cinco unidades más que el diez por ciento de un nú-mero.
2 �� Escribe un enunciado para cada expresión:
a) 2x � y d) (x �
b) 2(x � y) e) �
c) f) � y
3 �� Indica algebraicamente el perímetro y el área decada una de estas figuras:
a) c)
b) d)
4 �� Comprueba la siguiente igualdad para los valoresn � 5 y n � 10:
1 � 2 � 3 � … � n �
5 �� Escribe la expresión algebraica que permite calcularel volumen de un cubo de arista x. Halla el volumen parax � 1, x � 3 y x � 5. ¿Tiene sentido calcular el volumen parax � �2? ¿Por qué?
6 �� Escribe la expresión algebraica que permite calcularel precio final de un artículo que cuesta p euros después deuna rebaja del 20 %. Halla el precio final para p � 15 €.
�3
xy2
(1 � n) � n
2
3x � 2
3x �
2
3x � 2
y
x � 5
x
x
2x
2x � 1
2x �
1
3a
a �
1
a � 2
a
x2
x2 y2
y)2
Monomios. Operaciones con monomios7 � Indica cuál es el grado, el coeficiente y la parte literalde los siguientes monomios y escribe luego un monomiosemejante a cada uno de ellos:
a) a b) � c) d)
8 � Realiza las siguientes sumas de monomios:
a) 5x � 7x � 3x c) � � �
b) � � � d) � � �
9 � Efectúa los productos:
a) � c) �3x � �
b) � 4xyz d) � 8ab �
Polinomios10 � Indica los términos, los coeficientes, el término inde-pendiente y el grado de cada uno de los siguientes polino-mios:
a) � 5x � 6 � � 3 c) �5x � �
b) � � 6x � d) � � � �
11 � Escribe un polinomio que sea:
a) Completo, ordenado, creciente y de grado 5.
b) Incompleto, de grado 10, que tenga �2 como coeficien-te del término de grado 5 y cuyo término independientevalga 0.
12 �� Calcula, en cada caso, el valor de a para que el valornumérico del polinomio sea el indicado:
a) P(x) � � x � a & P(�1) � 9
b) Q(x) � � � x � a & Q(2) � 21
c) R(x) � � � 2x � a & R(0) � 5
d) S(x) � ax � 5 & S(2) � 11
Operaciones con polinomios13 � Realiza estas sumas y restas:
a) ( � 3x � 9) � ( � 5x � 2)
b) ( � 3x � 9) � (� � 5x � 2)
c) ( � 3x � 9) � (� � 5x � 2)
d) (� � � 2) � ( � 5) � ( � x � 3)
e) � � � �� �� � � �12
x5 34
x2 12
52
x5 2x4 x2
5x4 8x3 x2 x4
2x2 3x2
2x2 3x2
2x2 3x2
x3
x4 x2
3x2
2x3 4x4 54
2x5 x3 18x2 72
x
3x2 x4 x6 9x8
12
x2y2 a2b (�8a3)
2y2 (�3y2) (�5x2) 3x4y
x5 5x2 3x2 x5 13
x3 54
x2 2x2 3x2
25
x2 15
x 3x2 35
x2
3a2 2x3y5 37
x3
Ejercicios y problemas
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 85
86 UNIDAD 586
14 � Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) (� ) � (4x)
b) � � � � �c) ( � 2x � 1) � (2x � 1)
d) ( � � 2) � ( � 3x)
e) ( � � � � 7) � ( � � 2)
15 � Opera y simplifica estas expresiones:
a) 2(x � 5) � 10
b) 5(x � 2) � 6(x � 3)
c) x( � 2x � 3) � 3(x � 1)
d) 7( � 2) � � x � 1 � (x � 3) � (x � 1)
e) (x � 1) � (x � 1)� (x � 1)
16 �� Opera las siguientes expresiones y reduce a una solafracción:
a) �
b) �
c) � �
d) � �� ( � 2) � (2x � 3)
17 � Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), realiza lasoperaciones indicadas:
P(x) � � 5x � 1 Q(x) � � � � 3 R(x) �
a) P(x) � Q(x) � R(x) c) P(x) � Q(x) � R(x)
b) [P(x) � Q(x)] � R(x) d) P(x) � [Q(x) � R(x)]
18 � Dados P(x) � � x � 2 y Q(x) � � 3x � 1, halla lassiguientes potencias:
a) [P(x)] b) [P(x)] c) [Q(x)] d) [Q(x)]
19 � Calcula:
a) (x � 5 g) (3x � 2) � (3x � 2)
b) (3x � 7 h) ( � 5x
c) (x � 5) � (x � 5) i) ( �
d) ( � 1 j) ( � 1) � ( � 1)
e) � � 3� � � � 3� k)
f) l)�75
x � 2�2
�2x �34�
2
2x � 3x2
6x2 � 1
32 � x
2
�x3 �17
x�21
2x
12
x
5x2)2
)2x2 x2x2
x3
)26x2)2
)2
32 2 4
2x2x2
2x22x2x33x2
x253
43
x12
2x � x2
62x3
2x � 34
x � 14
2
x2 5x3
x3
3x22x55x2x32x43x5
x25x4x3
3x2
410
x552
x3
5x2
20 � Opera y simplifica:
a) (x � 2 � (x � 2
b) (x � 2 � (x � 2
c) (1 � 3x � 4(4 � 2x
d) (3x � 2) � (3x � 2)� x(3 � 5x
e) 3 � � 2
f) � �
21 �� Efectúa las divisiones de polinomios y compruebalos resultados utilizando D � d � c � r:
a) ( � � 4x) � (x � 1)
b) ( � � � ) � ( � 1)
c) ( � � � 4x) � (x � 2)
d) ( � � � � 2x � 1) � (2x � 1)
Factorización de polinomios22 � Utiliza las identidades notables para factorizar lossiguientes polinomios:
a) � 2x � 1 d) � � 1
b) � 12x � 4 e) � � 4
c) � 20x � 4 f) � �
23 � Factoriza los siguientes polinomios expresándoloscomo una suma por diferencia de monomios:
a) � 36 c) � e) � 81
b) 49 � d) � 1 f) �
24 � Comprueba que las siguientes divisiones son exactasy utilízalas para factorizar el dividendo:
a) ( � � x) � (x � 1)
b) ( � � 4x � 4) � ( � 2)
25 �� Factoriza las siguientes expresiones extrayendofactor común:
a) � � 10x
b) � 15x � 20
c) � �
d) 3(x � 5) � 5(x � 5)� 8(x � 5)
e) ( � 3) � 3x( � 3) � 4( � 3)
f) � �
x4x2
25x2116
4x2
23
x2 13
x13
x2 x2 x2 x2
6x4 4x3 12x2
5x3
2x3 3x2
x4 2x3 x2
x3 2x2
14
x4 x2
9x2
25x2 19
x2 13
x14
9x2 x4 4x2
x2 x4 2x2
10x5 5x4 4x3 2x2
8x4 24x3 13x2
2x5 x4 5x3 2x2 x2
2x3 3x2
�x �12� �x �
12� �x �
12�
2
�13
x � 5�2 1
2�x �13�
2
)2
)2 )2
)2 )2
)2 )2
Ejercicios y problemas
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Polinomios 87
Problemas con expresiones algebraicas26 � El primero de tres números consecutivos es a � 1.Calcula el producto de los tres números.
27 � Luis tiene x años, y su madre, el triple que él. ¿Quéedad tendrá Luis dentro de siete años? ¿Y su madre? Resuelveel problema para x � 14.
28 � La altura de un rectángulo es 3 m menor que subase. ¿Cuál será la expresión de su área? Calcula el área enel caso de que la base mida 12 m.
29 �� Escribe en lenguaje algebraico el desarrollo delsiguiente juego y simplifica el resultado para explicar cómose puede averiguar el número inicial:
Piensa un número, súmale 2, multiplica el resultado por 10,divide lo que te dé entre 5, resta 4 al resultado, anota lo queobtienes finalmente.
30 �� En un jardín hay el doble de petunias que de gera-nios. Si se siembran cinco geranios más y se transplanta aotro jardín una tercera parte de las petunias, ¿qué expresiónrefleja el total de plantas que tiene ahora el jardín? ¿Cuántasplantas habrá al final si al principio había 24 petunias?
31 ��� Una clase de 3.° de ESO comienza el curso con xchicos e y chicas. A las dos semanas, María y Ana se cambiande colegio, al tiempo que cinco chicos vienen a estudiar aesa misma clase. Al mes, la clase va a visitar un museo juntocon otros grupos, de manera que se dobla el número dechicos, mientras que el de chicas se incrementa en 21. En elprimer turno de visita solo dejan entrar a una cuarta partede los chicos y a un tercio de las chicas:
Escribe la expresión algebraica que indica el número de chi-cos y chicas que entra al museo en ese turno.
Ejercicios y problemas
Traduces un enunciado a una expresiónalgebraica, y viceversa1 Escribe una expresión algebraica que traduzca lossiguientes enunciados:
a) El triple de la diferencia de dos números.
b) El cuadrado de un número impar.
2 Redacta un enunciado que se corresponda con lassiguientes expresiones:
a) b) �
Hallas el valor numérico de una expresiónalgebraica3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresio-nes algebraicas para el valor de la variable indicada:
a) 6x� 4, para x � �2.
b) 2x � , para x � 5 e y � 9.
c) , para x � �1 e y � 0.
d) �2 , para x � 2.
Identificas los elementos de un polinomio y calculas valores numéricos4 Escribe un polinomio ordenado y completo de grado5 cuyo término principal tenga por coeficiente �2 y cuyotérmino independiente sea 6.
5 Dado el polinomio P(x) � � � , calcula P(1),
P(�1) y P(0).
Realizas operaciones con polinomios6 Efectúa las operaciones indicadas:
P(x) � � � x � 3
Q(x) � � � 6x � 4
R(x) � 4x � 1
a) P(x) � Q(x)� R(x) e) 2P(x) � 5R(x)
b) P(x) � Q(x) f) (x)
c) R(x) � [P(x) � Q(x)] g) (x)
d) (x) h) Q(x) � R(x)
7 Realiza la siguiente división de polinomios:
(� � � � 6x � 3) � (�2x � 1)
Factorizas polinomios8 Encuentra identidades notables y úsalas para factori-zar los siguientes polinomios:
a) � �
b) �
9 Extrae factor común en las siguientes expresiones:
a) � 6ab�
b) � � �
10 Utilizando la división del ejercicio 7, factoriza elsiguiente polinomio:
� � � � 6x � 3
R2
x35x46x5
4x3y12x3y24x4y48x5y
12a23a3b2
x24x6
9x66x5x4
R3
Q2
x35x46x5
x2
5x22x3
32
xx212
x3
�x6
6x2y
y
3
�x � y y2x2
Evaluación
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