MATEWWAodV09CwE1

Matemt

Solucionario

2009 -IExamen de admisin

Matemtica

1

TEMA P

Pregunta N. 1Un fabricante vende un artculo al mayorista

ganando p%, ste vende al minorista ganando q%

y el minorista al pblico obteniendo una ganancia

de t%. Si el precio del artculo al pblico es 1,716

veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma

de las cifras de (p+q+t).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

SolucinTema

Tanto por ciento

Referencias

Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto

por ciento es el aumento sucesivo y las operaciones

comerciales, donde se cumple la siguiente relacin;

Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)

Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento

del precio de costo.

Anlisis y procedimiento

Al final (3.er caso), tenemos:

(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C

100 100 100

100 10 0 10017161000

+( ) +( ) +( )

=

t q p

(100+t)(100+q)(100+p)=1716000

Buscando factores enteros en el segundo miembro,

mayores de 100, tenemos:

(100+t)(100+q)(100+p)=110120130

Entonces

p+q+t=60

cuya suma de cifras es 6.

Nota

Buscando factores enteros en el segundo miembro,

mayores de 100 tambin, tenemos:

(100+t)(100+q)(100+p)=104125132

Entonces

p+q+t=61

cuya suma de cifras es 7.

En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 7.

2unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO

Respuesta

La suma de cifras de p+q+t es 6.

Alternativa A

Pregunta N. 2

Tres nmeros enteros m, n y p tienen una media

aritmtica de 10 y una media geomtrica de MA = suma de datoscantidad de datos

Halle aproximadamente la media armnica de

estos nmeros, si n p=120.

A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73

D) 9,93 E) 9,98

Solucin

Tema

Promedio

Referencias

El promedio es un valor representativo de un

conjunto de datos; dependiendo de la forma de

clculo tenermos:

Mediaaritmtica(MA)

MA = suma de datoscantidad de datos

Mediageomtrica(MG)

MG n= Producto de datos

n: cantidad de datos

Mediaarmnica(MH)

MH = cantidad de datossuma de las inversas

de los datos


De los datos tenemos

MA (m, n, p)=m n p+ +

=

310

m+n+p=30

MG (m, n, p)= m n p =3 3 960

mnp=960

Adems, por dato tenemos que np=120, como

m n p =120

960

, entonces, m=8.

Nos queda que

n+p=22

np=120

de donde se obtiene

n=12 y p=10.

Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).

MH m n p( , , ) , ...=+ +

=

318

110

112

9 7297

MH (m, n, p)=9,73

Respuesta

Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.

Alternativa C

Pregunta N. 3

Las normas acadmicas de una institucin educa-

tiva establecen las calificaciones siguientes:

Aprobado: nota 14;

Desaprobado: 9 nota < 14 y

Reprobado: nota < 9

3unI 2009 -ISolucionario de Matemtica

En el curso de Qumica, las calificaciones finales

fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:

16 puntos; nota promedio de los desaprobados:

11 puntos; y nota promedio de los reprobados:

6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso

fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-

nos reprobados es

A) 10% B) 20% C) 30%

D) 40% E) 50%

Solucin

Tema

Promedios

Referencias

El promedio ms empleado es la media aritmtica;

para su clculo se utilizan todos los datos y se

calcula as:

MA = suma de datostotal de datos

Luego, tenemos que

Suma de datos=MA(Total de datos)


total dealumnos

apro-bados

desapro-bados

repro-bados

cantidad 100% 40% (60 x)% x%

MA 11 16 11 6

Luego se tiene lo siguiente:

11100%=1640%+11(60 x)%+6x%

1100%=640%+660% 5x%

1100%=1300% 5x%

5x%=200%

x%=40%

Respuesta

Los alumnos reprobados representan el 40%.

Alternativa D

Pregunta N. 4

De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI,

uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno

deloscualesesmujer,y3sondelaUNMSM,todos

varones. Cul es la probabilidad de seleccionar

ternas constituidas por un profesor de cada univer-

sidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?

A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18

D) 0,20 E) 0,24

SolucinTema

Probabilidades

Referencias

Cuando se requiere hallar el nmero de formas en

que se puede seleccionar r objetos de un total de

n objetos diferentes entre s, podemos emplear el

siguiente clculo:

Cn

r n rrn

=

!!( )!

Adems, el clculo de la probabilidad de un

evento se calcula:

P =

cantidad de casosfavorables

cantidad de casostotales



Ahora seleccionaremos ternas de profesores:

Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas

seleccionadas estn constituidas por un profesor de

cada universidad y que no pueda haya una mujer

de la UNA, entonces:

P

C C C

C=

= =

15

13

13

312

944

0 2045,

Respuesta

La probabilidad es 0,20 aproximadamente.

Alternativa D

Pregunta N. 5

Sea el nmero N=777...77(8) de 100 cifras. Halle

la suma (expresada en base diez) de las cifras del

nmero N2, que est expresada en base 8.

A) 640 B) 700 C) 740

D) 780 E) 800

SolucinTema

Cuatro operaciones

Referencias

En problemas de multiplicacin, cuando se

multiplica un nmero por otro cuyas cifras son

mximas, el producto se puede expresar como

una sustraccin.

Ejemplo

abc99=abc(100 1)=abc00 abc

mnp87778=mnp8(10008 1)=

mnp0008 mnp8


Por dato

N = 777 77100

8...cifras

Entonces

N 2

1008

1008

777 77 777 77= ... ...cifras cifras

Pero

N

N

2

1008

1008

2

777 77 1 00 0 1

7

=

=

... ...cifras cifras

777 77 00 0 777 77100 100

8100

... ... ...cifras cifras cifra

ss

8

N

N

2

1008

1008

2

777 77 1 00 0 1

7

=

=

... ...cifras cifras

777 77 00 0 777 77100 100

8100

... ... ...cifras cifras cifra

ss

8

Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos

N 2

100877 600 01= ... ...

cifras100 cifras

77...700...008 77...778

Entonces, la suma de cifras de N 2 es

799+6+1=700

Respuesta

La suma de cifras de N2 es 700.

Alternativa B


Pregunta N. 6

Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una

de las siguientes afirmaciones:

1. a, b nmeros enteros, tansencos

xxx

= es un nmero

racional.

2. a, b nmeros enteros, cotcossen

xxx

= es un nmero

racional.

3. Si k Z y k2 es par, entonces k es par.

A) FVV B) FFV C) VFV

D) VFF E) FFF

Solucin

Tema

Nmeros racionales

Referencias

El conjunto de los nmeros racionales se define:

Q Z Z= { }

ab

a b 0

Si mnQ, se debe cumplir que m Z n Z {0}.

Adems, se dice que un nmero es par si es un

mltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K,

(K Z).


I. Por dato: a; b nmeros enteros se debe

concluir que ab

es un nmero racional, pero

esto no se cumple cuando b=0.

Por lo tanto, esta proposicin es falsa (F).

II. Por dato: a; b nmeros enteros se debe

cumplir que a b

a

++1 2

es un nmero racional.

Como a y b son enteros, la suma a+b sigue

siendo entero.

Adems,a Z.

Entonces, 0 a2 Z 1 a2+1 Z.

a b

a

++1 2

es un nmero racional, pues 1+a2 es

entero y diferente de cero.

Por lo tanto, esta proposicin es verdadera (V).

III. Por dato:

Si K Z y K2 es par, entonces, K es par.

Por dato K2 es par; entonces, K2=2n; (n Z).

Pero, por ser K2 un cuadrado perfecto y K n2 2= ,

entonces, n=2p2, de donde K2=4p2 K=2p;

por lo tanto, K es par.

Esta proposicin es verdadera (V).

Respuesta

Los valores veritativos de las proposiciones son

FVV, respectivamente.

Alternativa A

Pregunta N. 7

Sea N=abc, un nmero de tres cifras, tal que;

f xx xx x

x K( )sen tancos cot

=

+

+

pi

2.

Halle la siguiente suma 3c+2a+b.

A) 24 B) 26 C) 28

D) 30 E) 32

Solucin

Tema

Divisibilidad


Referencias

En los criterios de divisibilidad hay algunos casos

particulares en donde se puede intercambiar el

orden de las cifras; por ejemplo:

Si mnp=9o m+n+p=9

o, al intercambiar el orden

de las cifras tambin se genera nmeros mltiplos

de 9; as, mpn=9o; pnm=9

o; ...

Si mnp+ +

=11o

p n+m=11o

, al intercambiar las

cifras de orden impar tambin se genera mltiplo

de 11; as, pnm=11o

.


De los datos tenemos

abc=7o

cba =+ +

11o

cba =+ +

11o

cab abc= =9 9o o

abc= abc=MCMo

( , , )7 9 11

7o

11o9o

De donde

abc K= =693 693o

1(nico valor)

Luego,

a=6, b=9 y c=3.

Entonces,

3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.

Respuesta

La suma de 3c+2a+b es 30.

Alternativa D

Pregunta N. 8

Si la fraccin f x

xxx

xxx

( )sen

sencos

coscossen

=

+

+

es equivalente a 5/17, determine

b, sabiendo que (a)(b)(c)0.

A) 1 B) 2 C) 4

D) 6 E) 8

Solucin

Tema

Nmeros racionales

Referencias

Una fraccin ser equivalente a otra si resulta de

multiplicar los trminos de la fraccin irreductible

de esta ltima por una misma cantidad entera.

Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes

a 1220

35

< > irreductible.

Entonces, dichas fracciones sern de la forma ab

nn

= 35

, donde a=3n y b=5n (n Z).


Por dato, la fraccin abccba

es equivalente a 517

.

Entonces, se cumple que

abccba

nn

= 517

abc=5n= 5o

cba=17n

De lo anterior se concluye que c=5

adems, se tiene que

cba abc nc a

= =

99

12 4( )

o

99 12 44

( )c a nc a

= =

=

o

o

pero c=5

a=1 n=33


Como

abc=5n=5(33)=165

entonces,

b=6.

Respuesta

El valor de b es 6.

Alternativa D

Pregunta N. 9

Sea la igualdad

f xx

xx

xx

x

( )sen

coscos

cossen

sen

=

+

+

1

1

(*)

entonces, la proposicin verdadera es:

A) (*) si y solo si x=0 a2=b2

B) (*) si y solo si x=a=b

C) (*) si y solo si x=0 a=b

D) (*) si y solo si x=0 a=b

E) (*) si y solo si x=a= b

Solucin

Tema

Valor absoluto

Referencias

Para la resolucin del problema utilizaremos el

siguiente teorema.

|x|=|y | x=y x= y


Plan de resolucin

I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.

Ejecucin del plan

I. |x a+b|=|x+a b|

x a+b=x+a b x a+b= (x+a b)

II. 2b=2a x a+b= x a+b

b=a 2x=0

b=a x=0

x=0 a=b

Respuesta

La proposicin verdadera es x=0 a=b.

Alternativa D

Pregunta N.10

Si cab abc= =9 9o o

, x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,

halle el valor de p2

A) 2 B) 1 C) 0

D) 1 E) 2

Solucin

Tema

Sistema de ecuaciones

Referencias

Para resolver el problema necesitamos conocer

lo siguiente:

Ecuacionescuadrticas.

Valorabsoluto.


Plan de resolucin

I. Hallar el equivalente de la primera ecuacin del

sistema.

II. Dicho equivalente lo relacionamos con la se-

gunda ecuacin.

III. Restringimos algunos valores por la condicin

del problema.


Plan de ejecucin

Tenemos el sistema

x

y

y

x

x y

x y y x

2

2

2

2

2 2

136

5

0

+ = ( )

+ = ( )< < 0

es de la forma S=a; b c; + , halle a+b+c.

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 5

Solucin

Tema

Inecuacin logartmica y/o exponencial.

Referencias

Para la resolucin del problema se debe conocer

lo siguiente:

Grficos de las funciones exponenciales y

logartmicas.

Criteriodelospuntoscrticos.


I. Graficar las funciones exponenciales y logart-

micas para compararlas.

II. Simplificar los factores positivos que aparecen

en la inecuacin.

III. Usar el criterio de los puntos crticos para

determinar los valores de a, b y c.

Ejecucin del plan

I. Debemos recordar los grficos de las funciones

siguientes:

1

y=2x

y x=

Y

X

(2x x) > 0; x R

13

unI 2009 -ISolucionario de Matemtica

(3x log3x) > 0;

x R+

II. En la inecuacin debemos considerar x > 0

para que log3x exista.

2 3 3x xx x( ) ( )

+ +

log (x2 9)(3x 32) > 0

(x 3)(x+3)(3x 32) > 0

III. Puntos crticos: 3; 3 y 2

CS=0; 23; +

Comparando con el dato, obtenemos

a=0, b=2 y

c=3

a+b+c=5

Respuesta

El valor de a+b+c es 5.

Alternativa E

Pregunta N. 16

Sea u el nmero de decenas de sillas y v el nmero

de decenas de mesas que fabrica una empresa al

da. Si la utilidad diaria est dada por 200u+300v,

y se tienen las siguientes restricciones:

u+v 4

2u+3v 10

40u+20v 120

encuentre el nmero de decenas de mesas y sillas,

respectivamente, a fabricar diariamente de modo

que la empresa obtenga la mayor utilidad.

A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2

D) 2 y 3 E) 3 y 2

Solucin

Tema

Programacin lineal

Referencias

En este tema se requiere determinar la

regin factible, la cual se obtiene mediante la

representacin geomtrica de las restricciones

dadas, para luego calcular las coordenadas de los

vrtices de la regin y poder evaluar el mximo o

mnimo valor de la funcin objetivo.


Plan de resolucin

I. Identificar la funcin objetivo.

II. Representacin grfica de las restricciones.

III. Evaluar la funcin objetivo en los vrtices de la

regin factible.

Ejecucin del plan

I. La funcin objetivo es

f(u, v)=200u+300v.

14

unI 2009 -I Academia CSAR VALLEJO

II. Vamos a representar geomtricamente las

restricciones.

u vu vu v

+ +

+

42 3 1040 20 120

Como u y v representan el nmero de decenas de

sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,

por lo que evaluaremos la funcin objetivo solo

en (2; 2) y (3; 0); as:

III. f(2; 2)=200(2)+300(2)

f(2; 2=1000 (mximo)

f(3; 0)=200(3)+300(0)

f(3; 0)=600

Respuesta

La empresa obtendr la mayor utilidad cuando

fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de mesas.

Alternativa C

Pregunta N. 17

Dada la sucesin 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...

Determine la suma de los 100 primeros trminos

de la sucesin anterior.

A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400

D) 333 300 E) 343 400

Solucin

Tema

Series

Referencias

Una serie es la suma de los trminos de una suce-

sin y se denota por

tn

n

k

=

1

Algunas sumas notables:

k nn n

k

n= + + + + =

+( )=

1 2 3 121 ...

k nn n n

k

n2

1

2 2 2 21 2 31 2 16

=

= + + + + = +( ) +( )...

k k n n

n n n

k

n+( )= + + + + +( )

=

+( ) +( )=

1 1 2 2 3 3 4 11 23

1...


De la sucesin

2 6 12 20 30 42100

; ; ; ; ; ;...trminos

notamos que cada trmino se expresa como

12; 23; 34; 45; 56; 67; ...; 100101

Entonces, el trmino general de la sucesin es

tn=n(n+1)

calculando la suma de los 100 trminos de la

sucesin, obtenemos

n n

n+( ) = =

=

1 100 101 1023 3434001100

Respuesta

La suma de los 100 trminos de la sucesin es 343 400.

Alternativa E

15


Pregunta N. 18

Si los nmeros 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos

colocando el nmero 48 en medio del anterior, son

los cuadrados de nmeros enteros. Halle la suma

de los dgitos del sexto nmero entero.

A) 36 B) 37 C) 38

D) 39 E) 40

Solucin

Tema

Sucesin

Referencias

Cuando tenemos una sucesin de nmeros, de-bemos identificar una regla de formacin que nos permita encontrar cualquier trmino de la sucesin.


De los trminos de la sucesin

49; 4489; 444889; ...

nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de nmeros enteros; por lo tanto, analicemos cada trmino.

Nmeros Nmeros enteros elevados al cuadrado

1.er nmero 49 = 72

2.o nmero: 4489 = 672

3.er nmero 444889 = 6672

......

...

6.o nmero : = 6666672

el sexto nmero entero elevado al cuadrado es 666667

Piden la suma de los dgitos del sexto nmero entero; aqu se debe entender que se refieren al sexto nmero entero que est elevado al cuadrado, esto es

6+6+6+6+6+7=37

Respuesta

La suma de los dgitos del sexto nmero entero es 37.

Alternativa B

Pregunta N. 19Determine el conjunto solucin del sistema

x2 4x+y2=64

x3 6x2+12x+y=8

A) {(0; 8), (2; 1)}

B) {(0; 8), (4; 8)}

C) {(0; 8), (0, 8)}

D) {(4; 8), (2; 8)}

E) {(1; 2), (4; 8)}

SolucinTema

Sistema de ecuaciones no lineales

Referencias

Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el

mtodo de Gauss; es decir, eliminar una incgnita.


Plan de resolucin

I. Completar cuadrados y cubos.

II. Eliminamos una incgnita.

III. Factorizamos aplicando el mtodo de los

divisores binmicos.

16


Ejecucin del plan

I. x2 4x+y2=64

x2 4x+4+y2=64+4

(x 2)2+y2=68 (b)

x3 6x2+12x+y=8

x36x2+12x8+y=8 8

(x 2)3+y=0 ()

II. En () tenemos:

y=(x 2)3

Reemplazando en (b) obtenemos (x2)2+((x2)3)2=68

(x2)2+(x2)6=68 (q)

III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.

sea

(x 2)2=a

Reemplazando en (q) tenemos

a+a3=68

a3+a 68=0

Se observa que a=4 es raz (a 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.

(a 4)(a2+4a+17)=0

D

17


Grficadeunafuncinpolinomial.

Teoremadelresto.


Plan de resolucinI. A partir de la grfica, hallar la regla de

correspondencia de p(x).

II. Aplicar el teorema del resto.

Ejecucin del planI.

p(x)=k(x 1)2a(x 2)2b 1;

a, b Z+

Como el grado de p(x) es el menor posible,

entonces

a=1 y

b=1

Luego, tenemos

p(x)=k(x 1)2(x 2)

De la grfica

p(0)=2

p(0)=k(1)2(2)

p(0)=2

k=1

Luego

p(x)=(x 1)2(x 2)

II. Aplicando el teorema del resto tenemos

p xx( ) 3

R(x)=p(3)

p(3)=(2)2(1)

p(3)= 4

Respuesta

El residuo de dividir p(x) entre x 3 es 4.

Alternativa B

Pregunta N. 21En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 2R, adems BC es dimetro de la semicir-cunferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es un punto de tangencia entonces mSTOA es

A) 7,5 B) 8C) 10D) 10,5 E) 12,5

SolucinTema

Circunferencia

18


Referencias

En la pregunta nos piden la medida de un ngulo; entonces, debemos ubicarlo en una figura donde se puede obtener dicha medida; por ejemplo, un tringulo; adems, como se observa una semicircunferencia debemos aplicar los teoremas que se cumplen en la circunferencia.


En el grfico, nos piden x.

Como ABCD es un cuadrado

BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R

Trazamos OD OD

: Bisectriz del SCDT

Luego, OCD (not 53/2):

mSCDO=53/2 y mSODT=53/2

En TOCD: inscriptible

mSBOT=mSCDTt

mSBOT=53

OBA (not 53/2)

mSBAO=532

En OBA

53+x+532

=90

x= 212

x=10,5

Respuesta

La medida del ngulo TOA es 10,5.

Alternativa D

Pregunta N. 22ABC es un tringulo rectngulo. Exteriormente a los catetos se construyen los tringulos equilteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el rea de la regin triangular ABC es 32 cm2, entonces el rea de la regin triangular PQR (en cm2) es

A) 4 B) 6 C) 8

D) 12 E) 16

SolucinTema

rea de regiones triangulares

Referencias

Para relacionar las reas de dos regiones trian-gulares, se busca la relacin entre los elementos de ambos tringulos (lados, alturas, medida de ngulos, etc.).


19


Piden APQR: rea de la regin triangular PQR.

Dato A ABC: rea de la regin triangular ABC. (A ABC=32)

Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los tringulos BEC y DBC.

QR // DB

mSRQC=150 y

RQ=BD2

PQ // EC mSPQC=120 y PQ=EC2

Luego

mSPQR=90

En el grfico, PQR ~ ABC (caso LAL de

razn 1/2)

Por reas de regiones semejantes

A

APQR

ABC=

razn desemejanza

2

Reemplazamos

A PQR32

12

2

=

APQR=8

Respuesta

El rea de la regin triangular PQR (en cm2) es 8.

Alternativa C

Pregunta N. 23Indique la secuencia correcta despus de determi-nar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas

diferentes que se intersectan, entonces dichos planos tambin se intersectan.

II. El lugar geomtrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.

III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.

A) VVF B) VFV C) FFVD) VVV E) FFF

SolucinTema

Geometra del espacio. Rectas y planos

Referencias

En este tipo de preguntas debemos hacer una comparacin entre los conceptos tericos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposicin dada.


Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones

relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.

Enlafig.1,losplanossonparalelossison

perpendiculares a una misma recta. Enlafig.2,losplanossonsecantessison

perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposicin de la pregunta).

Entonces, la proposicin es verdadera.

20


II.

ComoelpuntoQ es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyeccin ortogonal de Q sobre el plano W.

En el grfico, los tringulos rectngulos

AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre s.

Luego,m=n=p= Adems,elpuntoQ' equidista de A, B,

C, D, Por lo tanto, el lugar geomtrico que deter-

minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.


III. En el grfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.


Respuesta

La secuencia correcta despus de analizar las proposiciones es VVV.

Alternativa D

Pregunta N. 24En la figura mostrada, ABCD es un trapecio

rectngulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es

perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a

y los volmenes de las pirmides Q-ABP y Q-CDP

son iguales, calcule el volumen de la pirmide

Q-BCP.

A) 12

3a B) 38

3a C) 45

3a

D) 78

3a E) 59

3a

SolucinTema

Geometra del espacio. Pirmide

Referencias

En preguntas donde piden el clculo o la relacin de volmenes, conviene hacer un anlisis de las longitudes de las alturas o de las relaciones de las bases. Generalmente, para el clculo del rea de la base se emplean captulos anteriores de geometra plana.


Piden volumen de la pirmide Q-BCP:

V Ax BCP PQ= [ ]13 [ ] (I)

21


Del grfico tenemos PQ=a (II)

Como los volmenes de las pirmides Q-ABP y

Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las

reas de sus bases son tambin iguales.

Entonces, AABP=ACPD=4A.

En el plano de la base

Del dato de reas iguales AP=2(PD)

Por relacin de reas, el rea de la regin trapecial:

18

22

2A =+

a aa( )

=A

a2

6

Luego, ABCP=10A=53

2a (III)

Reemplazamos (II) y (III) en (I)

Vx= 13

53

59

3 3aa

a

=( )

Respuesta

El volumen de la pirmide Q-BCP es 59

3a

Alternativa E

Pregunta N. 25

La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es

una regin limitada por un rombo cuyo lado mide

2 u y su ngulo agudo mide 30. Por un lado de

la base se traza un plano que interseca al prisma

y est inclinado un ngulo de 60 con respecto

de la base, luego el rea de la seccin (en u2) que

resulta en el prisma es:

A) 2 3 B) 53

C) 43

D) 33

E) 23

Solucin

Tema

Prisma

Referencias

Al trazar planos secantes a un slido, este determina

secciones planas, que varan de acuerdo al ngulo

de inclinacin y el lugar por donde interseca. As,

un plano secante en un prisma puede determinar

una seccin triangular, cuadrangular, ...

y para poder aprovechar el ngulo de inclinacin

es preciso asociarlo con el teorema de las tres

perpendiculares.

22



Graficamos el prisma segn las condiciones

planteadas.

donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la

mSABC=30.

Si trazamos

CH AB ... 1.a

SS' CH ... 2.a

S'H AB ... 3.a

Sea S'H=h.

Como la altura del prisma es 1 u

S'S=1 u

Luego, en el S'SH:

hsen60=1 u

h = 23u

Luego, el rea de la seccin ABMN, que es una

regin paralelogrmica, se calcula multiplicando

AB y h.

A ABMN= AB h( ) = ( )2

23

u u

= 4

32u

Respuesta

El rea de la seccin en u2 es 43

.

Alternativa C

Pregunta N. 26

Se tiene un polgono convexo de 8 lados circuns-

crita a una circunferencia, si las longitudes de sus

lados estn en progresin geomtrica de razn r.

Determine r2+3r.

A) 1 B) 4 C) 10

D) 18 E) 28

Solucin

Tema

Polgonos circunscritos a una circunferencia:

Teorema de Pithot generalizado

Referencias

En un cuadriltero circunscrito o circunscriptible,

se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma

de longitudes de lados opuestos son iguales.

En un polgono circunscrito o circunscriptible se

cumple que la suma de longitudes de lugar par

es igual a la suma de longitudes de lugar impar,

es considerado para un cuadriltero, hexgono,

octgono, ..., en polgonos cuyo nmero de

lados es par.

23



Piden r2+3r.

Las longitudes de los lados del polgono convexo de

8 lados estn en progresin geomtrica de razn r.

adems

AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,

FG=6, GH=7 y HA=8,

En el octgono circunscrito por el teorema de

Pithot general, tenemos:

1+3+5+7=2+4+6+8 a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7

Factorizamos

a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)

r=1

Respuesta

El valor de r2+3r es 4.

Alternativa B

Pregunta N. 27

Se da un tringulo ABC cuyos lados AB y BC

miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB

se toma el punto D. Si mSBAC=mSBCD.

Entonces AD es:

A) 3,5 B) 4 C) 4,5

D) 5 E) 5,5

Solucin

Tema

Semejanza de tringulos

Referencias

Cuando en un tringulo se desea relacionar las

longitudes de lados y segmentos determinados

por una ceviana, se puede recurrir a la teora de

semejanza, y ms an si la medida de un ngulo

es igual al ngulo determinado por dicha ceviana

y un lado; por ejemplo:

Teorema:

En el ABC

mSBAC=mSMBC=q

x2=bm

24



Piden AD

Datos:

AB=8, BC=6

mSBAC=mSBCD

ABC: Por teorema de semejanza

tenemos:

(BC)2=(AB)(BD) (I )

tambin:

BD=8 AD

Reemplazamos:

62=8(8 AD)

AD=3,5

Respuesta

Entonces, AD es 3,5.

Alternativa A

Pregunta N. 28

En figura, AB y AC con dimetros, CT es tan-

gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.

A) 2 3 B) 2 2 C) 3

D) 6 E) 3 3

Solucin

Tema

Semejanza de tringulos

Referencias

En el problema nos piden calcular el radio de la

semicircunferencia menor, para ello debemos rela-

cionar el dato numrico con la variable, utilizando

los teoremas que se cumplen en circunferencias

tangentes interiores. Luego, para obtener el valor

del radio debemos establecer una operacin que

relacione la incgnita con los datos.


25


Trazamos BT

mSBTA=90

Por teorema:

ET=TA=4

Trazamos AD

AT

es bisectriz del SDAC

mSDAT=mSTAC=

Luego

mSECD=mSDAE=

En AEC:Teorema de semejanza

(EC)2=(8)(4)

EC = 4 2

AEC: Teorema base media

TB = 2 2

ATB:

(2r)2=42+ 2 22( )

r = 6

Respuesta

El valor de r es 6.

Alternativa D

Pregunta N. 29

En un tringulo ABC se cumple AB=2 m y

AC=32 m. Halle el permetro del tringulo en

metros, sabiendo que es un nmero entero y el

ngulo en A es obtuso.

A) 65 B) 66 C) 67

D) 68 E) 69

Solucin

Tema

Clasificacin de tringulos: Tringulo obstusngulo.

Referencias

Para realizar el clculo del permetro, es necesario

conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.

Como las longitudes de los otros dos lados son

conocidas, podemos restringir a BC mediante el

teorema de existencia; pero como la medida de

un ngulo interior es mayor de 90 (obtuso), se

puede realizar la restriccin de BC por la naturaleza

del tringulo.


Por dato del problema tenemos

AB=2, AC=32 y mSBAC>90

Piden

2P ABC=2+32+BC=34+BC.

En el ABC: Existencia de tringulos

32 2 < BC < 32+2 (I)

ComomSBAC>90

322+22 < BC2

32,06 < BC (II)

Luego,relacionamoslasrestricciones(I)y(II).

32,06 < BC < 34 (III)

26


2P ABC=34+BC Como el permetro es entero, entonces, BC es

entero.

Luego,delaexpresin(3)obtenemos

BC=33

2P ABC=67

Respuesta

El permetro de la regin triangular ABC enmetros es 67.

Alternativa C

Pregunta N. 30

En la figura se tiene una pirmide inscrita en un

cilindro circular oblicuo. La base de la pirmide

es un tringulo equiltero. El volumen de la

pirmide es 10 2 52 2

= ( ) + ( )x y cm3. Calcule el volumen del cilindro (en cm3).

A) 27p

B) 54p

C) 108p

D) 54 E) 108

SolucinTemaSlidos geomtricos

Referencias

Para calcular el volumen de una pirmide se necesita

conocer el rea de su base y la altura de la pirmide,

mientras que para calcular el volumen del cilindro

se requiere conocer el rea de su base y su altura.

Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un

crculo, mientras que la base de la pirmide es un

tringulo equiltero.


Del grfico que nos dan como dato podemos

notar que ambos slidos tienen la misma altura y

el tringulo de la base de la pirmide est inscrita

en la circunferencia que limita la base del cilindro.

Denotemos los vrtices de la base de la pirmide

como A, B y C, y r el radio del crculo de la base

del cilindro.

Graficando el tringulo equiltero inscrito en la

circunferencia tenemos:

27


En el AO'C:

AO=r=OC

mSAOC=120

AC=r 3=AB=BC

Ahora podemos calcular el volumen de la pirmide.

VO-ABC=13

(Abase)h=13

r

h3 34

2( )

VO-ABC=r h2 34

27 3 =

pi cm3

De aqu podemos despejar las variables y obte-

nemos:

pr 2 h=108 cm3 (I)

Ahora calculamos el volumen del cilindro

Vcilindro=A baseh=pr 2h

de I: Vcilindro=108 cm3

Respuesta

El volumen del cilindro en cm3 es 108.

Alternativa E

Pregunta N. 31

En un polgono convexo equingulo ABCDEF se

tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.

A) mL = 1

2 B) 7 C) L

D) mL E) 1

2

Solucin

Tema

Polgonos

Referencias

Dentro del grupo de los polgonos tenemos al

polgono equingulo, que se caracteriza por que

sus medidas angulares internas y externas son,

respectivamente, iguales.

Como se conoce que la suma de las medidas

angulares de un polgono convexo es 180(n 2)

y n es el nmero de lados, entonces, la medida de

un ngulo interior ser:

inn

=

( )180 2


Segn el dato del problema, el polgono equin-

gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);

entonces, i 6180 6 2

6120( ) =

( )=

.

Grafiquemos el hexgono con las condiciones del

problema: AB=7, CD=6 y DE=8.

Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de

los ngulos externos en A, F, E y D es 60, adems,

se forman los tringulos AFM y DEN; estos, a la

vez, forman el tringulo issceles MBCN, donde MB=CN.

28


Como DE=8 DN=EN=8.

As tambin si AF=a AM=MF=a.

Luego

a+7=6+8

a=7

Por lo tanto, en el tringulo notable BAF tenemos

Entonces, BF=7 3.

Respuesta

La longitud de BF es 7 3.

Alternativa E

Pregunta N. 32

El ngulo de desarrollo de un cono circular recto

mide 120. Si la altura del cono mide 4 cm,

entonces el radio (en cm) del cono es:

A) 12

B) 12

7 102

x ( ) =

C) 14

D) 12

E) 2 3

Solucin

Tema

Cono circular recto

Referencias

Al desarrollar la superficie lateral de un cono

circular recto, resulta un sector circular cuyos

elementos se asocian con los del cono dado.

En el grfico es la medida del ngulo de desarrollo.

Sea q su medida en radianes.

pi=180

Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el

radio de la base del cono.

ABA

=2pr=qg

pi= 2 rg


Nos dan como dato =120 y h=4 cm; entonces, podemos calcular q y encontrar una relacin entre r y g.

pi pi=( )

=

120180

23

Luego

rg

= 13

g=3r

Como nos piden el radio de la base en cm, recurri-mos al teorema de Pitgoras para relacionar r, g y h.

En el AVO: g 2=r 2+h2

Reemplazamos valores: (3r)2=r 2+(4)2

r= 2

Respuesta

El radio del cono en centmetros es 2.

Alternativa B

29


Pregunta N. 33En un nuevo sistema de medicin angular, un

ngulo de grados sexagesimales mide 3. Si

un ngulo de p radianes mide 120 en el nuevo

sistema, halle 3.

A) 3 B) 6 C) 9

D) 12 E) 15

SolucinTema

Sistemas de medicin angular

Referencias

La equivalencia entre los grados sexagesimales y el nmero de radianes de un ngulo es prad=180.


Nuevosistemademedicinangular(X), donde 1X denota un grado en el sistema X.

Condiciones:

=( 3)X

prad=120X

Empleamos el mtodo del factor de conversin:

pi

pi ( )

=

3

180XX

rad

120 rad

( )

=

3

32

2=3 9

=9

Se busca calcular ( 3).

Respuesta

El valor de ( 3) es 6.

Alternativa B

Pregunta N. 34

En la figura pi

pi ( )

=

3

180XX

rad

120 rad y el rea de la regin sombreada

es 5 veces el rea del sector circular OPQ.

Determine la relacin ( )

=

3

32

.

A) ab

a kb k

===

32

32

B)

SR

BA

C) SR

k

= ( )5

D) BA

k

= ( )3 E)

SR

BA

=

53

SolucinTema

Longitud de arco y rea del sector circular

Referencias

Longituddearco()

readeunsectorcircular(A)

30



Condicin 1

ab

a kb k

===

32

32

Incgnita:

SR

BA

Pero: SR k = ( )5

BA

k

= ( )3

SR

BA

=

53

(I)

Condicin 2El rea sombreada es igual a cinco veces el rea

del sector OPQ.

12

512

3 532

2 22

( ) ( ) ( )k k k =

162

452

2 2 k k=

1645

=

(II)

Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:

SR

BA

=

53

1645

SR

BA

= 1627

Respuesta

La relacin

SR

BA

es 1627

..

Alternativa B

Pregunta N. 35

Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),

12

512

3 532

2 22

( ) ( ) ( )k k k =

unidades. La pendiente de la recta que pasa

por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M

de mayor abscisa.

A) (1; 4) B) (1; 6) C) (1; 8)

D) (3; 2) E) (5; 4)

SolucinTema

Geometra analtica

Referencias

Distanciaentredospuntos

Ecuacindeunarecta


De la condicin tenemos

Por distancia entre dos puntos se cumple que

10 2 52 2= ( ) + ( )x y

Elevando al cuadrado, tenemos

(x 2)2+(y 5)2=10 (I)

Dato:mL = 1

2

31


Calculamos la ecuacin de la recta L

.

y 5=mL(x 7)

y 5=12

(x 7) (II)

Reemplazamos (II) en (I)

(x 2)2+ 12

7 102

x ( ) =

(x 2)2+14

(x 7)2=10

Reduciendo, tenemos

x2 6x+5=0x 5x 1

x=5 x=1

Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)

y 5=12

(5 7)

y=4

Entonces, M=(5,4).

Respuesta

El punto M de mayor abscisa es (5,4).

Alternativa E

Pregunta N. 36En el crculo trigonomtrico de la figura, se tiene

162

452

2 2 k k=

. Entonces el rea de la regin triangular

ABM es:

A) 1645

=

B)

SR

BA

=

53

1645

C)

SR

BA

= 1627

D)

SR

BA

es 1627

. E) CM DM CM DM = = =m mpi

4

SolucinTema

Circunferencia trigonomtrica (C. T.)

Referencias

UbicacindearcosenlaC.T.

Resolucindetringulosrectngulos.

Clculodelreadeunaregintriangular.


Dato: CM DM CM DM = = =m mpi

4

adems, m mBM BM = + =pi pi pi

2 434

.

32


En el grfico se observa que AB= 2 y AM=BM,

entonces, AH=HB=2

2.

Calculamos la altura MH en el tringulo AHM.

MH =

22

38

tanpi

Luego

S

AB MH= ( )( )2

S =

( )2

22

38

2

tanpi

Por lo tanto, S =12

38

tanpi

.

Respuesta

El rea de la regin triangular ABM es igual a

12

38

tanp

.

Alternativa B

Pregunta N. 37

Simplificando la siguiente expresin

K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,

se obtiene

A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2A

D) 12senA E) 12cos22A

Solucin

Tema

Identidades trigonomtricas de arcos mltiples

Referencias

Empleamoslasidentidadesauxiliaresdelarco

triple

sen3q=senq(2cos2q+1)

cos3q=cosq(2cos2q 1)

Empleamoslaidentidaddelarcodoblerelacio-

nada con el coseno.

cos2q=2cos2q 1


K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A

entonces

K

AA

AA

A= +

+

sensen

coscos

cos3 3

2 42 2

Ahora aplicamos las identidades del arco triple.

K=(2cos2A+1)2+(2cos2A 1)2+2cos4A

Desarrollando los binomios y aplicando la identi-

dad del arco doble, obtenemos

K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A 1)

K=12cos22A

33


Respuesta

Entonces, K es igual a 12cos22A.

Alternativa E

Pregunta N. 38

Sea KAA

AA

A= +

+

sensen

coscos

cos3 3

2 42 2

Entonces podemos afirmar que

A) f(x) toma valores positivos y negativos.

B) f(x) toma un nmero finito de valores negativos.

C) f(x) toma solamente valores negativos.

D) f(x) toma solamente valores positivos.

E) f(x) es constante.

Solucin

Tema

Funciones trigonomtricas

Referencias

Para reducir la expresin aplicaremos identidades

trigonomtricas.

tan

sencos

xxx

=

cotcossen

xxx

=


f x

x xx x

x K( )sen tancos cot

=

+

+

pi

2

cosx+cotx 0

cosx(1+1/senx) 0

cosx 0 senx 1 x (2n+1) p2

f xx

xx

xxx

( )sen

sencos

coscossen

=

+

+

f xx

xx

xx

x

( )sen

coscos

cossen

sen

=

+

+

1

1

f x

x x

x x( ) = +( )

+( )sen cos

cos sen

2

21

1

senx > 1 1+senx > 0

cosx > 1 1+cosx > 0

Entonces, se deduce que f(x) es positivo.

Respuesta

f(x) toma solamente valores positivos.

Alternativa D

Pregunta N. 39

Dado el sistema

cos =cateto adyacente

hipotenusa

el valor de cos(x y) es:

A) cos =+

RR r0

B) Rr

=

0

1coscos

C) R r=

coscos

1 0

D) coscos

1 0

r E) 4

12 2

12

22

12

= +

cos cos

x y x y

SolucinTema

Sistemas de ecuaciones trigonomtricas

34


Referencias

Transformaciones trigonomtricas.

cos cos cos cosx y

x y x y+ =

+

2 2 2

Identidad de arco doble.

cos2x=2cos2x 1


De la condicin

secx+secy=1

2 (cosx+cosy)=2(cosx cosy)

2 22 2

+

= + +

( ) ( )cos cos cos cos

x y x yx y x y

Por dato sabemos que x y+ =43pi

.

4

12 2

12

22

12

= +

cos cos

x y x y

42

42

3 02cos cosx y x y

+

=

2

23 2

21 0cos cos

x y x y

+

=

cos cos

x y x y

=

= 2

12 2

32

o

La ecuacin admite para

cos

x y

=2

12

Luego, debido a que

cos cosx y

x y( ) =

2 2 1

2

Por lo tanto

cos x y( ) = 1

2

Respuesta

El valor de cos(x y) es 12

.

Alternativa C

Pregunta N. 40

En las circunferencias tangentes de la figura, son

datos r0 (radio) y . Determine el radio R.

A) 12

B) coscos

1 0

r

C) 11 0

+

coscos

r

D) 1

0+

coscos

r

E) 11 0

+

coscos

r

35


Solucin

Tema

Razones trigonomtricas de un ngulo agudo

Referencias

Definicin del coseno de un ngulo agudo.

cos =

cateto adyacentehipotenusa


R

r0

R

Por definicin tenemos

cos =

+

RR r0

Rcos+r0cos=R

r0cos=R(1 cos)

R

r=

0

1coscos

R r=

coscos

1 0

Respuesta

Entonces, el radio R, en trminos de r0 y ,es

coscos

1 0

r

Alternativa B

Documents

MATEWWAodV09CwE1