California State University, Northridge      

MATH 093 HYBRID WORKBOOKS   

Spring 2010   

            

2

Chapter 1  Equations, Inequalities and Applications 

 1.1    The Addition Property of Equality  Learning Objectives: 

1.  Use the Addition Property of Equality to solve linear equations. 2.  Simplify an equation and then use the Addition Property of Equality. 3.  Write word phrases as algebraic expressions. 4.  Key Vocabulary:  solving, equivalent equations, addition property of equality.  

A.   Using the Addition Property Definitions: 

1.  Linear Equation in One Variable • is an equation of the form CByAx =+ , where  BA,  and C are any real numbers 

and 0≠A . 2.  Addition Property of Equality:     

• If ba = , then cbca +=+ , where ba,  and c are any real numbers. 3.  Distributive Property:         

• ( ) acabcba +=+  and   ( ) acabcba −−=+− , where  ba,  and c are any real numbers.  

Example 1.   Solve each equation.  Check each solution. 1.    518 −=− t                            

2.   43

32

−=+a    

       

 B.  Simplifying Equations Steps to Simplify Equations: 

1.  Simplify each sides of equation as much as possible. 2.  If an equation contains parentheses, use the distributive property to remove the      parentheses. 3.  Using the proper of equality to solve the resulted equation. 

3

Example 2.     Solve each equation.    1.  103658 +−=++− xxx                         2.  5.171.527.249.14 ++=+−+− aaa            

3.  1 1 5 16 3 6 2

x x− − = +                     

            4.  ( ) ( ) 315523 −=+−−− yy  

           

4

C.  Writing Algebraic Expressions  Algebraic Expressions—are expressions that contain variable.  Example 3.      Write each algebraic expression described.  1.  Two numbers have a sum of 72.  If one number is x, expresses the other number in terms of x. 

        

2.  A 6‐foot board is cut into two pieces.  If one piece is y feet long, express the other length in terms of y. 

        3.  On a recent car trip, Raymond drove x miles on day one.  On day two, he drove 170 miles 

more than he did on day one.  How many miles, in terms of x, did Raymond drive for both days combined? 

          

1.1 Exercise  Solve each equation.  

1.  158 =+x         2.  129 =−y           3.  7.52.4 −=−r      

4. 41

85

=+ k         5.  xx 151114 =−         6.  23359 −=− xxx    

7.  211812 +=− yy     8.  9201721 −=− pp       9.  1439511 +=−+ yyy  

5

10.  xxxx 2716351224 ++=+−+         11.  1.3118.137.27 +=−+− xxx  

12. 65

127

32

125

−−=− yy             13.  ( ) kk 71461219 +=−−      

14.  ( ) 12354 +=− xx               15.  ( ) xx 293 −=−−          

16.  ( ) ( ) zzz 23827 =−+−    

17.  Two angles have a sum of o146 .  If one angle is ox , express the other angle in terms of ox . 

18.  A 12‐foot board is cut into two pieces.  If one piece is y feet long, express the other length in   terms of y.  19.  From Chicago, it is 31 more miles to Montreal than it is to New York City.  If it is m miles to   New York, express the distance to Montreal in terms of m.                                  

6

1.2     The Multiplication Property of Equality  Learning Objectives: 

1.   Use the multiplication property of equality to solve linear equations. 2.   Use both the addition and multiplication properties of equality to solve linear 

  equations. 3.   Write word phrases as algebraic expressions. 4.    Key Vocabulary:  reciprocal, consecutive integers. 

 A.  Using the Multiplication Property  Multiplication Property of Equality:       

• If  ba =  then  bcac =   where  ba,  and c are any real numbers.  Example 1.  Solve the following linear equations.  1.  248 −=− x                           

2.  5.211

=−

y  

      3.  xx 5.15.329.18.5 −−=+−                      4.  ( ) ( )248144 −−−=−x         

7

B.  Writing Algebraic Expressions  Example 2. Write each algebraic expression described.  Simplify if possible.   1.  If x represents the first of two consecutive even integers, express the sum of the two integers 

in terms of x.        2.  If y represents the first of three consecutive odd integers, express the sum of the first and 

third integer in terms of y.         

 1.2 Exercise  Solve each equation. 

1.  488 =− x           2.  37−=− x           3.  18119

−=y  

4.  212

=d             5.  0

17=

−p           6.  75.103.4 =x  

7.  14157

=− y           8.  3156 =−x           9.  819 =+− x      

10.  41712 −=+− y         11.  197.019 =− k         12. 37

324 =+− x  

13.      4125

=+b           14.  032487 =+−− zz       15.  xx 5142615 −=+    

16.  102.05.04 −=− xx       17.  zzzz 6758 −−=−   18.  If x is the first of three consecutive even integers, write their sum as an algebraic   expression in x.  19.  Houses on one side of a street are all numbered using consecutive odd integers.  If the first   house on the street is numbered x, write an expression in term of x for the sum of five house   numbers in a row.    

8

1.3    Further Solving Linear Equations  Learning Objectives: 

1.   Apply the general strategy for solving a linear equation. 2.   Solve equations containing fractions and decimals 3.   Recognize identities and equations with no solution. 4.   Key Vocabulary:  least common denominator (LCD), identity, no solution. 

 Steps for Solving Linear Equations  

1.   If an equation contains fractions, multiply both sides by the LCD to clear fractions. 2.    If an equation contains decimal, multiply both sides by the power of ten according to the      numbers of the decimal digit. 3.   If and equation contains parentheses, use distributive property to remove the         parentheses. 4.  Simplify each side of the equation by combining like terms. 5.  Get all variable terms on one side and all numbers on the other side by using the      addition or the multiplication property of equality. 6.  Check the solution by substituting the result into the original equation.  

Example 1.  Solve the following linear equations.  1.  ( ) 4156 =−− aa                            2.  ( ) ( )45323 +=−− xx          

3. 4

514

56 yy−=+

+−                    

        

9

4.  ( ) 570150006.005.0 =−+ xx                             

5.  16

233

+=−xx  

           1.3 Exercise  Solve each equation.  1.  xx 158712 +=−        2.  ( ) xx 10743 −=−−       3.  ( ) ( ) 837135 ++=− nn   4.  ( ) ( ) 1435526 −=−−+ xx     5.  ( ) ( ) 283247 =+− xx       6.  ( ) 171154 =−−− x  

7.  63148 −=+ xx         8.  ( ) aaa 31119 +=−+−     9. 92

32

94

=−x      

10.  yy =−1083          11.  6

54

3−=−

xx         12.  ( ) ( )4

526

34 −=

− kk  

 13.  ( ) ( )16832.08052.076.0 =+x       14.  ( ) ( )20007.012.002.020044.0 +=+− yyy       

15.  ( ) 427

210−=

+ yy       16. 21

32

65

=−x         17.  ( ) ( )xx 10541058 +=−  

 18.  ( ) ( ) 3466349 −−=− yy   19.  The perimeter of a geometric figure is the sum of the lengths of its sides.  If the perimeter 

of a trapezoid is 29 cm, and the length of the sides are  ( )52,,2 +xxx  and  x cm, find the length of each side. 

 

10

1.4    An Introduction to Problem Solving  Learning Objectives: 

1.     Translate a problem to an equation, and then use the equation to solve the problem. 2.  Key Vocabulary:  understand, translate, solve, and interpret. 

 General Strategy for Problem Solving  

1.  Understand the problem by doing the following • Read and reread the problem carefully. • Choose a variable to represent the unknown quantities. • Construct a drawing if needed. 

2.  Translate the problem into an equation. 3.  Solve the equation using algebra. 4.  Verify the solution (Check if the answer making sense). 

 Example 1.       Solve each word problem.    1. Eight is added to a number and the sum is doubled, the result is –11 less than the number.  

Find the number.           2. The difference between two positive integers is 42.  One integer is three times as great as the 

other.  Find the integers.            3. When you open a book, the left and right page numbers are two consecutive natural 

numbers.  The sum of their page numbers is 349.   What is the number of the page that comes first? 

     

11

4.  A college graduating class is made up of 450 students.  There are 206 more girls than boys.  How many boys and girls are in the class? 

        5.  A 22‐ft pipe is cut into two pieces.  The shorter piece is 7 feet shorter than the longer piece.  

What is the length of the longer piece?          6.  A triangle has three angles, A, B, and C.  Angle C is 18° greater than angle B.  Angle A is 4 

times angle B.  What is the measure of each angle?  (Hint:  The sum of the angles of a triangle is 180°). 

        

  

1.4 Exercise  Solve each word problem.  

1.  The sum of five times a number and 87  is equal to the difference between six times a number 

  and41 .  Find the number. 

 2.  Eight times the sum of a number and  2−  is the same as nine times the number.  Find the   number.  

12

3.  Twice the difference of a number and seven is equal to five times the number plus one.   Find   the number. 

 4.  If the sum of a number and −3 is doubled the result is 12 times the number. Find the number.  7.  Sue makes twice as much money as Tom. If the total of their salaries is $78,000, find the   salary of each.  8.   Peggy Fleming won two more U.S. Figure Skating Championships than Dorothy Hamill. If the   total championship for both is 8, find how many each won.  9.   A 30‐inch board is to be cut into three pieces so the second piece is twice as long as the first   piece and the third piece is three times as long as the first piece. Find the length of all three   pieces.  10.  A 56‐inch board is to be cut into three pieces so the second piece is three times as long as the   first piece and the third piece is four times as long as the first piece. Find the length of all   three pieces.  11.  A carpenter gave an estimate of $980 to build a cover over a patio. His hourly rate is $28 and   he expects to need $560 in materials. How many hours does he expect the job to take?  12.  A mechanic charged $239 to repair a car, including $107 in parts and 6 hours of labor. How 

much does she charge per hour for labor?   

13.   An appliance repairman charges $75 to come to your house and $35 per hour. During one week, he visited 9 homes and his total weekly income was $1305. How many hours did he spend working on appliances?  

 14.  Two angles are supplementary if their sum is 180°. One angle measures four times the   measure of an angle supplementary to it. Find the measure of the angle.   15.  Two angles are complementary. The second angle is six less than three times the first. Find   the two angles.  16.  The height of a soup can is 3.5 cm more than its diameter. If the sum of the height and the   diameter is 16.5, find each dimension.   17.  Find two consecutive even integers so that three times the smaller is 40 more than two times   the larger.   18.  Find three consecutive odd integers whose sum is negative 93.   19.  Karl’s license plate is four consecutive integers with a sum of 26. What is his license plate   number?   20.  The sum of the angles of any four‐sided polygon is 360°. If the measures of the angles of a   four‐sided polygon are four consecutive odd integers, find the measure of each angle.  

13

1.5   Formulas and Problem Solving  Learning Objectives: 

1.   Given a formula and values, solve for the unknown. 2.   Solve a formula or equation for one of its variables. 3.   Solve word problems. 4.   Key Vocabulary:  formula, perimeter, area, volume. 

 A.  Using Formulas to Solve Problems  Formula—describes a known relationship among quantities.  Example 1.  Substitute the given values into each given formula and solve for the unknown     

variable.    

1.  Distance Formula:    rtd = ; t = 9, d = 63                               

2.  Volume of a pyramid:    1 ;3

V Bh=  V= 40, h = 8 

                                  

   B.  Solving a Formula for a Variable  Steps for Solving Equations for a Specified Variable 

1.  Multiply both sides of equation to clear fractions if they occur. 2.  Use the distributive proper to remove parentheses if they occur. 3.  Simplify each side of the equation by combining like terms if needed. 4.  Get all terms containing the specified variable on one side and all other terms on the 

    other side by using the addition property of equality. 5.  Get the specified variable alone by using the multiplication property of equality.  

Example 2.      Solve each formula for the specified variable.   

1.  12

A bh=  for b.                   

     

14

2.  ( )radL ++= π2  for a.             Example 3.      Solve 

1.  Convert the record high temperature of 102°F to Celsius.  (Use the formula F = 9 325

C + ) 

           2.  You have decided to fence an area of your backyard for your dog.  The length of the area is 1   meter less than twice the width.  If the perimeter of the area is 70 meters, find the length and   width of the rectangular area. 

           

   1.5 Exercise  Substitute the given values into the formula and solve for the unknown variable.  1.   rtD =  when  272=D  and  68=r  

2.  hrV 2

31π=  when  1.47=V  and  3=r  (Leave the answer in term of π.) 

15

3.  3

34 rV π= when  5=r (Leave the answer in term of π.) 

4.  ( )hbBA +=21  when  8,5.45 == BA  and  7=h . 

5.    ( )hbBA +=21  when  15,177 == BA  and  11=b . 

6. 12

12

xxyym

−−

=  when  3,5,15 212 ==−= xyy  and  81 =x  

7.  12

12

xxyym

−−

=  when  7,3,31

21 === xym  and  21 −=x  

Solve the following applications.  8.   Wade has 126 inches of 1‐inch wide bias tape for a border on a rectangular banner. If the   banner needs to be 48 inches long, what is the maximum width it could be?  9.   It is 328 miles from Guymon to Tulsa. How long should it take Manuella to drive from   Guymon to Tulsa if she averages driving 50 miles per hour? Use the formula rtd = .  

10.  The formula  3259

+= CF can be used to convert temperatures in degrees Celsius to degree 

  Fahrenheit. Convert Istanbul, Turkey’s 28° C average daily high in July to Fahrenheit.  11.  Find how many piranhas you can put in a cylindrical tank whose diameter is 4 feet and   whose height is 1.25 feet if each piranha needs 1.5 cubic feet of water.  12.  Which has more pizza, one 20‐inch pizza or two 15‐inch pizzas, if the size indicates the   diameter of a round pizza?  Solve each formula for the specified variable.  

13.  dcbaP +++= for d       14.  1074 =− yx for  y       15. AhV31

= for A

           

16

1.6   Solving Linear Inequalities  Learning Objectives: 

1. Graph inequalities on a number line. 2. Use the addition property of inequality to solve inequalities. 3. Use the multiplication property of inequality to solve inequalities. 4. Use both properties to solve inequalities. 5. Solve problems modeled by inequalities. 6. Key Vocabulary:  inequality, <, <, >, >, addition property of inequality, multiplication 

property of inequality, at least, no less than, at most, no more than, is less than, is greater than. 

A.  Graphing Inequalities on a Number Line  Inequality—is a statement that contains <, <, >, > symbols.  Example1.        Graph each inequality on a number line. 1.  5−≤x          

2.  m≤−23     

      3.  05 ≤<− t         B.  Solving the Inequalities using the Addition and Multiplication Property of Inequality Properties of Inequalities—Let a, b and c be real numbers, then 1.  Addition Property: 

• If ba < , then  cbca +<+  and If ba > , then cbca +>+ .  2.  Positive Multiplication Property: (c is positive) 

• If ba < , then  bcac <  and If ba > , then bcac > .  3.  Negative Multiplication Property: (c is negative) 

• If ba < , then  bcac >  and If ba > , then bcac < .  

0 2 4 -2 -4 6 -6

0 2 4 -2 -4 6 -6

0 2 4 -2 -4 6 -6

17

CAUTION!  If multiply or divide by a negative number, the inequality sign change to opposite.  Example 2.  Solve each inequality.  Graph the solution set.    1.  1524 +−>−− aa         

2.  953

≤− x  

        3.     ( ) 2421218 +−≥−− yy              

 4.       ( ) ( )3712

218

+>+ xx  

          

0 2 4 -2 -4 6 -6

0 10 20 -10 -20 30 -30

0 2 4 -2 -4 6 -6

0 2 4 -2 -4 6 -6

18

C.     Solving Applications Involving Inequalities  Key words: Is less than        means    <      At most      means       ≤  Is greater than      means    >      At least      means      ≥  No more than      means    ≤       Not equal to     means    ≠   Is less than or equal to  means    ≤       Is greater than or equal to  means    ≥   Example 2.     Solve the following.  1.  Eight more than twice a number is less than negative twelve. Find all numbers that make 

this statement true.            

2.  One side of a triangle is six times as long as another sides, and the third side is 8 inches long.  If the perimeter can be no more than 106 inches, find the maximum lengths of the other two sides.  

           1.6 Exercise  Graph each on a number line. 

1.  2−>x             2. 23

≤y             3.  13 <≤− x  

Solve each inequality.  4.  46 −≥−x           5.  6527 +<− xx         6.  4534 −<− xx  

7.  155 ≥− x           8.  1.27.0 −>− y         9.  xxx 257 −≥−  

19

10.  ( )52354 +<+− xx               11.  ( ) ( )353672 −<− xx      

12.  ( ) ( ) 221245328 +−≥−+ xxx           13.  ( ) ( ) 3124311537 +−≤−− xxx  

14.  ( ) ( ) 125483 +−−≥+−− xxx           15.  ( ) ( ) 135517 −−>−−− xxx  

16.    ( ) ( )12413

61

−<+− xxx  

 Solve the following   17.  Nine more than four times a number is greater than negative fourteen. Find all numbers that   make this statement true.   18.  Miranda needs an average of at least 90 to get an A in a course. She has earned scores of 82, 

87 and 94 on her tests. The final exam counts as two tests. What score does she need on the final to get an A?  

 19.  Tamara scored an 86 and a 92 on her last two math exams. What must she score on her third 

exam to have an average of at least a 93?   

20.  Alex has at most 90 yards of fencing available to enclose a rectangular garden. If the width of the garden is to be 15 yards, find the maximum length that the garden can be.  

                 

20

Chapter 2  Graphs and Linear Functions  2.1     Linear Equations and Their Solutions  Learning Objectives: 1. Plot ordered pairs of numbers on the rectangular coordinate system. 2. Graph paired data to create a scatter diagram. 3. Find the missing coordinate of an ordered pair solution, given one coordinate of the pair. 4. Key Vocabulary:  ordered pair, origin, quadrant, x­axis, y­axis, rectangular coordinate system, 

coordinate plane, x­coordinate, y­coordinate, paired data, scatter diagram, solution of an equation in two variables. 

 Linear Equation—is an equation of the form  cbyax =+  or bmxy += , where a, b, and c are any 

real numbers.  m is the slope and  ( )b,0  is the y‐intercept. Solutions of Equations—is an ordered pair  ( )yx,  that satisfies the given equation meaning  

            when substitute the given ordered pair into the given equation will             result a true statement. 

Example 1.    Complete each ordered pair so that it is a solution of the given linear equation.  1.  62 =+ yx ;   ( ),2                               

2.  231

−= xy ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31,  

      

Example 2.    Complete the table for the equation 131

−= xy . 

x   y  

3−    

0    

  0  

21

 2.1 Exercise  Complete each ordered pair so that it is a solution of the given linear equation.  

1.  27 =− yx ;  ( ),2                2.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+ ,

61;11312 yx  

Complete the table of values for each given linear equation.   3.  824 =− yx                4.     2−=x                                        

x   y  

0     0   2 

x   y  

  0   4−    3 

22

2.2    Graphing Linear Equations by Plotting Points  Learning Objectives: 

1. Graph a linear equation by finding and plotting ordered pair solutions.   2. Graph a linear equation and use the equation to make predictions. 3. Key Vocabulary:  linear equation in two variables, graph of the equation, horizontal line, 

vertical line.  

Example 1.      For each equation, find three ordered pair solutions.   Then use the ordered pairs           to graph the equation.   1.  842 =+− yx                               

2.  231

−−= xy  

                                        4.  4−=x           

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

23

5.  3=y                   

    

 2.2 Exercise  For each equation, find three ordered pair solutions by completing the table. Then, use the ordered pairs to graph the equation.   1.   7=− yx             2.  xy 3−=       3.  82 +−= xy                  Graph each linear equation.  Label at least three points on the graph grid.  4.    1535 += xy             5.  yx 6=             6.  1052 =− yx     

7.  xy41

−=             8.  62 =+− yx          9.  432

−= xy  

 Write the statement as an equation in two variables. Then graph the equation.  10.  The y‐value is 6 less than the x‐value.  11.   The sum of x and y is 7.     

x   y  

0   3     0 

x   y  

0   2     3 

x   y  

0   1   5   

y

x

5

55−

5−

24

2.3     Graphing Lines Using Intercepts  Learning Objectives: 

1. Identify intercepts of a graph. 2. Graph a linear equation by finding and plotting intercept points. 3. Identify and graph vertical and horizontal lines. 4. Key Vocabulary:  x­intercept, y­intercept, vertical line, horizontal line. 

A.   Graphing Lines Using Intercepts    1.  The x­intercept of a line is the point where the graph crossing the x‐axis. 

      To find the x­intercept •  Let y = 0, then solve for x.  Ordered pair for x‐intercept:   ( )0,a  

  2.  The y­intercept of a line is the point where the graph crossing the y‐axis.      To find the y­intercept 

•  Let x = 0, then solve for y.  Ordered pair for y‐intercept:   ( )b,0   Steps to Graph a Line Using the Intercepts.   1.  Find the x‐intercept ( )0,a .   2.   Find the y‐intercept ( )b,0 .   3.   Graph the points  ( )0,a  and  ( )b,0  , then connect them with a line.    Example 1.    Graph and label at least two points on the graph grid.   1.  1025 =+ yx               2.  03 =+ yx             

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

25

B.  Graphing Vertical and Horizontal Lines    1.   The Graph of  ax =  is a vertical line with x‐intercept  ( )0,a .  

  2.    The Graph of  by = is a horizontal line with y‐intercept  ( )b,0 .  Example 3.   Graph and label at least two points on the graph grid.    1.     033 =−x                  

     

    2.     024 =+ y  

    

           2.3     Exercise  Identify the intercepts and intercepts points.  1. 

     

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

26

2.  

     3. 

      4.  Graph the line with x‐intercept at −8 and y‐intercept at 6.  Graph each linear equation by finding x‐ and y‐intercepts.  Label the x‐and y‐ intercepts on the graph grid.  5.  5=− yx         6.  63 −= yx           7.  1863 =− yx           8.  xy −=           9.  5=y             10.  6−=x       11.  Two lines in the same plane that do not intercept are called parallel lines. Graph the line    x = − 2. Then graph a line parallel to the line x = − 2 that intersects the x‐axis at 3. What is the 

equation of this line?                

27

2.4     The Slope of a Line  Learning Objectives: 

1. Find the slope of a line given two points of the line. 2. Find the slope of a line given its equation including horizontal and vertical lines. 3. Compare the slopes of parallel and perpendicular lines. 4. Slope as a rate of change. 5. Key Vocabulary:  slope, rise, run, zero slope, undefined slope. 

 A.  The Slope of Two Points 

 The slope m if the line going through the points  ( )11 ,yx  and  ( )22 ,yx  where  21 xx ≠  is given    by      B.  The Slopes of Vertical and Horizontal Lines.        1.     Vertical line  ax =  has _______________________________________________________________.          2.     Horizontal line  by =  has _______________________________________.  Example 1.      Find the slope of the line going through  1.      ( ) ( ).3,2and4,3 −−       2.    ( ) ( ).1,3and1,4 −                              3.      ( ) ( ).1,2and4,2 −−         

28

C.  The Slopes of Equations     bmxy +=   Slope of  bmxy +=  is ______________________.  The y‐intercept is ___________________.  Steps of Finding a Slope from the Equation:     1.  Write the given equation in the form _____________________________________.     2.   Identify the slope and y‐intercept.  Example 3.   Find the slopes and the y‐intercept of the following lines.  1.  423 =− yx                       2.  632 =+ yx         D.  Finding Parallel and Perpendicular Lines 

1.    Parallel Lines • Two lines are parallel if  21 mm = but 21 bb ≠ . 

2.    Perpendicular Lines   

• Two lines are Perpendicular  if  ( )( ) 121 −=mm  or 1

21

mm −

=  or  2

11

mm −

=  

Example 4.     Decide whether the pair of lines is parallel, perpendicular or neither.  

1.  842

32=−

=−yx

yx               

      

29

2.    5363

=−=+

yxyx

     

          2.4 Exercise 

 Find the slope of each equation. 1.              

     2.   

        3.   

      Find the slope of the line that goes through the given points.   4.   ( )1,2  and  ( )5,4         5.  ( )3,7−  and  ( )6,7 −−        6.  ( )2,8 −  and  ( )3,5 −   

7. ( )9,6 −− and (−7, −10)

30

Find the slope of each line.  

8.  512 +−= xy        9.  1174 =− yx        10.  05 =+y       11.  yx 8−=  

Determine whether the lines are parallel, perpendicular, or neither. 

12.   14242

=−=+

yxyx

         13. 1234843

−==−

xyyx

           14. 9575

=+=+

yxyx

 

Use the points given, (a) find the slope of the line parallel and (b) find the slope of the line perpendicular to the line through each pair of points.   15.    ( )3,8  and  ( )6,14            16.    ( )6,5 −−  and  ( )9,7                                            

31

2.5    Equations of Lines  Learning Objectives 

1. Use the slope‐intercept form to write an equation of a line. 2. Use the slope‐intercept form to graph a linear equation. 3. Use the point‐slope form to find an equation of a line given its slope and a point on the 

line. 4. Use the point‐slope form to find an equation of a line given two points on the line. 5. Use the point‐slope form to solve word problems. 6. Key Vocabulary:  standard form, slope­intercept form, point­slope form. 

 A.   Equations of Lines 

1.    Standard Form:      CByAx =+  2.    Slope­intercept Form:  bmxy += ;  m = slope;     ( )b,0 = y‐intercept 3.    Point­Slope Form:  )( 11 xxmyy −=− ;  ( )11, yx  = given point;   m = slope  4.    Horizontal Line:     by = ;         0=m ,        ( )b,0 = y‐intercept;  x‐intercept = none 5.    Vertical Line:     ax = ;  m = undefined;  ( )0,a  = x‐intercept;  y‐intercept = none 

Example 1.  Find the slope‐intercept equation of the line that goes through the point  ( )4,2 −  and has a slope  3−=m , then graph. 

             Example 2.     Find the slope‐intercept equation of the line having slope 5 and y‐intercept 4− , 

then graph.            

 

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

32

B.  Finding the equation of lines given two points  Steps for finding the slope­intercept equation of a line given two points   1.     Find the slope. 2.     Find the equation of the line by first using the point‐slope form, and then write the equation 

in the form of .bmxy += . 3.     To graph, plot the given points ( )11 ,yx , ( )22 ,yx  and joint them with a line.  Example 3.     Find the slope‐intercept equation of the line going through the points                      ( ) ( )4,3and2,5 −− , then graph. 

          

         2.5 Excise  Write the equation of each line in the form  bmxy +=   

1. 4,32

−== bm 2. 4,81

=−= bm 3. 0,127

== bm 4.  9,0 −== bm   

Use the slope‐intercept form to graph each equation.  Label at least two points on the graph grid. 

5.  32 +−= xy       6.  253

−= xy         7.  43 =+ yx       8.  823 =− yx  

Find the slope‐intercept equation of the line with given slope and passing through the given point.  

9.  ,9=m through  ( )1,3       10.  ,7−=m through  ( )6,1 −−      11.   ,81

−=m through  ( )5,16−  

Find the equation of the line passing through each pair of points. Write the equation in the form CByAx =+  

12.    ( )7,4 and  ( )12,5       13.  ( )7,3 −  and ( )11,3 −−        14.  ( )2,9−  and  ( )0,0    

y

x

5

55−

5−

33

A certain type of notebook earned a stationary company $12,000 in profit the first year and $22,000 the third year.   15.   Assume the relationship between years on the market and profit is linear. Use ordered pairs   of t, years on the market, and p, profit to write an equation of the relationship.   16.   Use the equation to predict the profit the fifth year.                                          

34

2.6  Introduction to Functions  Learning Objectives: 

1. Identify relations, domains, and ranges. 2. Identify functions. 3. Use the vertical line test. 4. Use function notation. 5. Key Vocabulary:  relation, domain, range, function, vertical line test, function notation. 

 A.  Identifying Relations, Domains and Ranges:   Definition: Relation—is a set of ordered pairs. Domain of the relation—is the set of all possible x‐values. Range of the relation—is the set of all possible y‐values. Types of Functions 1.  Linear Function:  bmxy += ;    Domain:   all real numbers;                       Range:     all real numbers 2.  Quadratic Function:  cbxaxy ++= 2 ;   Domain:  all real numbers 

3.  Rational Function:  QPy = ;    Domain:  all real numbers except  0=Q  

                    Range:  all real numbers except  0=y  Example 1.        Find the domain and range:    1.  ( ) ( ) ( ){ }3,1,6,4,4,6 −−−=T              

 2.  ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

11,

xyyx  

      3.  ( ){ }2, xyyx =                  

35

B.  Identifying  Functions  Function—is a set of ordered pairs in which each domain value has exactly one range value; that 

is, no two different ordered pairs have the same first coordinate.  Function Notation:    ( )xf   read “ f  of x” or “f  evaluate at x”  Example 2.  Determine whether the relations are functions:  1.  ( ) ( ) ( ){ }3,1,6,4,4,6 −−−=T                  2.    ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,3,1,6,4,4,6 −−−=T      3.  ( ){ }13, −= xyyx                       4.  ( ){ }2, xyyx =      5.  ( ){ }2, yxyx =      C.  Using the Vertical Line Test Vertical Line Test—if a vertical line can be drawn so that it intersects a graph more than once, 

then graph is not the graph of a function. Example 3.   Determine whether the graph is that of a function. 1.                               2.                                       

y

x

5

–

–5

y

x

5

–

5 –5

36

D.  Evaluating Functions  Example 4.  Let  ( ) 423 23 −+−= xxxxf , find   1.  ( )2−f                            2.  ( ) ( )12 −− ff                 2.6 Exercise  Find the domain and range of each relation.  1. {(−9, 12), (0, 8), (12, −15), (3, 15)} 2. {(7, −7), (4, − 7), (−5, 17)}  Determine which relations are also functions.   3. {(−9, 12), (0, 8), (12, −15), (3, 15)} 4. {(−2, 4), (12, 14), (−2, − 4)} Use vertical line test to determine whether each graph is the graph of a function.  5. 

     6. 

37

    Given the function  ( ) xxf 94 −= , find the indicated function values.   7.  ( )1−f           8.  ( )2f             9.  ( )0f   Given the function  ( ) 72 −= xxf , find the indicated function values.   10.  ( )0f           11.  ( )5−f             12.  ( )2f                                  

38

2.7    Graphing Linear Inequalities in Two Variables  Learning Objectives: 

1. Determine whether an ordered pair is a solution of a linear inequality in two variables. 2. Graph a linear inequality in two variables. 3. Key Vocabulary:  linear inequality in two variables, half­planes, boundary line. 

 Linear Inequality—is an equation of the form:  CByAx <+ ;      CByAx >+ ;     

CByAx ≤+ ;      CByAx ≥+   A.   Graphing Linear Inequalities in Two Variables  Steps to graph linear inequalities.     

1.    Solve inequality in the form  .bmxy +>  2.    If inequality involving  ≥≤ or , draws a solid line.           If inequality involving  < or >, draws a dashed line. 3.   Pick a test point. Substitute the values in the inequality.          If the result is true, shade the side that contain the test point.          If a false statement, shade the other side.  

CAUTION!  If multiply or divide by a negative number, the inequality sign change to opposite. Example 1.      Graph the following inequality and label at least two points on the graph grid.  1.  43 +−≤ xy                         2.  02 ≥+x                            

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

39

3.  02 <−y             2.7 Exercise  Determine which ordered pairs are solutions of the linear inequality  243 ≥− yx   1. (−1, −2) 2.  (2, 1) 3. (3, 2)  Graph each inequality and label at least two points on the graph grid.  4.  44 >− yx       5.  xy 5<         6.  yx 4−≤        7.  1628 ≥− yx  

                 

y

x

5

55−

5−

40

Chapter 3  Systems of Linear Equations  3.1  Solving Systems of Equations by Graphing  Learning Objectives: 

1. Decide whether an ordered pair is a solution of a system of linear equations.  2. Solve a system of linear equations by graphing. 3. Identify special systems:  those with no solution and those with an infinite number of 

solutions. 4. Key Vocabulary:  system of linear equations, parallel lines, no solution, infinite number of 

solutions, inconsistent system, consistent system, dependent equation, independent equations. 

A.  Deciding Whether an Ordered Pair Is a Solution  System of Equations—consists at least two or more linear equations. 

Example. ⎩⎨⎧

=−−=−

021234

.1yx

yx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−+=+−

0222

5.2

zxzxy

zyx

Solution of the system—is the point(s) where the graphs intersect.  Example 1.  Is  ( )9,3  a solution of?   

     ⎩⎨⎧

=−=−

xyyx

3325 

    Three types of the System of Equations. 1.  Consistent System 

• Two lines intersect at one point ( )yx, . • Has one solution ( )yx, . • 21 mm ≠  • When solve the system, get x = a number, y = a number.  

 2.  Inconsistent System 

• Two lines are parallel. • Has no solution. • 21 mm =  and  21 bb ≠  • When solve, get false statement. 

  

x

y

x

y

41

3.  Dependent System • Two lines lie on top of the others (same line). • Has infinitely many solutions. • 21 mm =  and  21 bb =  • When solve the system, get true statement.  

 B.  Solving Systems of Equations by Graphing  Steps for solving linear system by graphing.    

1.  Solve and graph each equation separately. 2.  Identify type of systems (consistent, inconsistent, or dependent). 3.   State number of solution (one solution, infinitely many solutions or no solution). 

 Example 1.  Solve, graph, label type of system and state number of solution.  

1. ⎩⎨⎧

=−=+

04242

yxyx

             

             

2.   ⎩⎨⎧

−=−=−

86233

xyxy

 

                    

y

x

5

55−

5−

y

x

5

55−

5−

x

y

42

3. ⎩⎨⎧

=+=+

82442

xyyx

 

                               3.1 Exercise  Determine whether the ordered pair satisfies the system of linear equations.

1. ⎩⎨⎧

−=+−=

152

yxyx

( )1,2− 2. ⎩⎨⎧

=+=−102

632yxyx

( )2,0 −

3.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=+

xy

yx

31

619

32

43

( )2,6−

Solve each system of equations by graphing.  State the solution(s) and type of system. 

4. ⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−=

4

132

xy

xy 5.

3632

==+

xyx

6. ⎩⎨⎧

−==−

413

yyx

7. ⎩⎨⎧

−=−−=+

823423

yxyx

        8. ⎩⎨⎧

−=+=−

33413

yxyx

        9. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

121

22

yy

yx 

         

y

x

5

55−

5−

43

3.2    Solving Systems of Linear Equations by Substitution  Learning Objectives: 

1. Use the substitution method to solve a system of linear equations. 2. Key Vocabulary:  substitution method. 

 Steps to solve linear system by substitution:      

1.  Solve one of the equations for one of its variable:   x or y. 2.  Substitute the resulting found in step 1 into the other equation. 3.  Solve the equation found in step 2 to find the value of one variable. 4.  Substitute the value found step 3 in any original equations containing both variables to              find the value of the other variable. 5.  Check the solution by substituting the numerical values of the variables in both original      equations. 

 Example 1.  Solve, label type of system and state number of solution.  

1.   ⎩⎨⎧

−=−=−

122663

xyyx

           

          

2.   

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=+

41

64

13

2

yx

yx 

                               

44

 3.2 Exercise  Solve each system of equations by substitution.  State the solution(s) and type of system.  

1. ⎩⎨⎧

=+−=

14213

yxyx

          2. ⎩⎨⎧

−==−

3274

xyyx

        3. ⎩⎨⎧

−=−=+

44366

yxyx

 

 

4. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

8

521

21

yx

yx          5. 

⎩⎨⎧

=−−=−

221135

yxyx

      6. ⎩⎨⎧

=−=+

yxxy6214

713   

 

7. ⎩⎨⎧

−=−−=−

27472

yxyx

          8. ⎩⎨⎧

=−=+64733

yxyx

       10. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

353

1553

xy

yx 

                               

45

3.3    Solving Systems of Linear Equations by Addition Method   Learning Objectives: 

1. Use the addition method to solve a system of linear equations. 2. Key Vocabulary:  addition method, elimination method, opposite. 

 Steps to solve a system of two linear equations by the addition method:        

1.  Rewrite each equation in standard form:      CByAx =+ . 2.  If necessary, multiply one or both equations by a nonzero number so that the        coefficients of a chosen variable in the system are opposites. 3.  Add both equations. 4.  Find the value of one variable by solving the resulting equation from step 3. 5.  Find the value of the second variable by substituting the value found in step 4 into either     one of the original equations. 6.  Check the solution by substituting the numerical values of the variables in both original                      equations. 

 Example 1.      Solve, label type of system and state number of solution.  

1.   ⎩⎨⎧

−==+

1143645

xyyx

            

           

2. ⎩⎨⎧

+−==+

12.002.004.06.01.02.0

yxyx

  

                              

46

3. 

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=+

235

2

565

yx

yx

 

                 3.3 Exercise        Solve each system of equations by addition. State the solution(s) and type of system. 

1. ⎩⎨⎧

−=+−=+

95232

yxyx

2. ⎩⎨⎧

−=−=+

2552053

yxyx

3. ⎩⎨⎧

=−−=−−

183464

yxyx

4. ⎩⎨⎧

+−=−+=

yxyx

4536412

5. ⎩⎨⎧

=+=−

24841863

baba

6. ⎩⎨⎧

=−−=+−

10521687

yxyx

7. 

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−=+

121

61

421

31

yx

yx        8. 

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

=+

25

21

52

xy

yx          9. 

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

=+

421

82

xy

yx   

            

47

3.4   Applications of System of Linear Equations  Learning Objectives: 

1. Use a system of equations to solve problems.  Problem­Solving Steps:       1.  UNDERSTAND the problem by do the following:   

• Read and reread the problem. • Identify what is given and what is the question. • Choose two variables to represent the two unknowns being asked. • Construct a drawing if needed. 

2.  TRANSLATE the problem into two equations. 3.  SOLVE the system of equations. 4. INTERPRET the results:  Check the proposed solution in the stated problem and state your               conclusion. 

 A.  Finding Unknown Numbers  Example 1. The sum of two numbers is 56.  Their difference is 12.  What are the numbers?          B.  Solving a Problem about Prices  Formula:    Number of tickets ×price per ticket = total price  Example 2.  Admission prices at a local weekend fair were $ 5 for children and $7 for adults.  

The total money collected was $3379, and 587 people attended the fair.  How many children and how many adults attended the fair?  

   Numbers of tickets  ×   Price per ticket  =  Total price children    ×     =   adults    ×     =            

48

C.  Coin Problems    Total Value = numbers of coins×  value of each coin  Example 3.  Tim has $ 1.10 in quarters and nickels.  How many quarters and nickels does she 

have if he has 14 coins in total?    Numbers of coins  ×   Value of each coin  =  Total value quarters    ×     =   nickels    ×     =                    D.  Investment Problems      tI Pr=        Where I = interest earn, P = principal, r = interest rate,  t =  time (in year)  Example 4.  Lit invested $6000, part at 6% and the rest at 4%.  How much is invested at each 

rate if the annual income from the two investments is $290?  

  P  ×   r  × 

t  = I 

Account 1    ×     × 

  =  

Account 2    ×     × 

  =  

           

49

E.  Mixture Problems      Formula:      Amount of solution = number of liters ×  percent of the solution  Example 5.  A pharmacist wants to make 50 liters of a 60% alcohol solution.  She currently has a 

20% alcohol solution and a 70% alcohol solution.  How many liters of a 20% alcohol solution and a 70% alcohol solution she needs to make 50 liters of a 60% alcohol solution?  

  Number of liters  ×   Percent of solution  =  Amount of solution Solution 1    ×     =   Solution 2    ×     =   Mixture    ×     =                   F.  Geometry Problems  Example 6.    The perimeter of a rectangle is 58 inches. The length is 5 more than three times the          width.  Find the length and the width.                

50

3.4 Exercise  Solve each problem using systems of equations.  1.  The sum of two numbers is 56. Their difference is 4. Find the two numbers.  2.  The sum of two numbers is 44. The second number is 5 more than twice the first. Find the   numbers.  3.  The difference between two numbers is 16. Five times the smaller is the same as 8 less than   twice the larger. Find the numbers.  4.  Two records and three tapes cost $31. Three records and two tapes cost $29. Find the cost of   each record and tape.  5.  At school, two photography packages are available. Package A contains 1 class picture and   10 wallet‐size pictures for $19. Package B contains 2 class pictures and 15 wallet‐size   pictures for $31. Find the cost of a class picture and the cost of a wallet‐size picture.  6.  A broker invested a total of $4500 in two different stocks. One stock earned 9% per year.   The other earned 6% per year. If $360 was earned from the investment, how much money   was invested in each?  7.  The price of admission for a concert was $9 for adults and $4 for children. Altogether, 1770   tickets were sold, and the resulting revenue was $14,680. How many adults and how many   children attended the concert?  8.  A druggist has one solution that is 10% iodine and another solution that is 50% iodine. How   much of each solution should the druggist use to get 100 ml of a mixture that is 20% iodine?  9.  A chemist has one solution that is 20% alcohol and another that is 60% alcohol. How much   of each solution should the chemist use to get 100 ml of a solution that is 52% alcohol?  10.  The perimeter of a rectangle is 54 cm. Two times the height is 3 cm more than the base. Find   the length of the height and length of the base.  11.  The sum of the legs of a right triangle is 17 inches. The longer leg is 2 more than twice the   shorter. The hypotenuse is 13 in. Find the length of each leg.  12.  Two angles are complementary. The larger angle is 6 less than 5 times the smaller angle.   Find the measure of each angle.  13.  Todd has 27 total coins in his bank, all dimes and quarters. The coins have a total value of   $4.95. How many of each coin does he have?  14.  Nary has $2.20 in dimes and nickels.  She has 26 coins in total.  How many dimes and nickels   does she have? 

51

Chapter 4  Exponents and Polynomials 

 4.1 EXPONENTS   Learning Objectives: 

1. Evaluate exponential expressions. 2. Use the product rule for exponents. 3. Use the power rule for exponents, products, and quotients. 4. Use the quotient rule for exponents, and define a number raised to the 0 power. 5. Decide which rule(s) to use to simplify an expression. 6. Key Vocabulary:  exponential expression, power, raised, product rule, same base, simplifying 

an exponential expression, power rules, quotient rule, zero exponent.   Exponential Expression—is expression of the form:        43421

timesn

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,  where a is the based, n is the exponent. 

 Exponential Properties.    If m and n are integers, and x and y are any real number,  0y,0x ≠≠ , then  

1.  =⋅ nm xx           2.  ( ) =nmx             3.  ( ) =mxy        

       

4.  =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛m

yx            5.  =

n

m

xx             6.  =0x          

              7.  =− 0x             8.  ( ) =− 0x    CAUTION!    ( ) mmm yxyx +≠+   and   ( ) mmm yxyx −≠−   Example 1.  Evaluate each expression.  

1.  ( )27−               2.  26−             3. 2

41⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−      

                       

52

4.  243 ⋅                     5.  02 88 −                 6.  2y4−  when  5−=y         Example 2.  Use the properties of the exponent to simplify.  Write the results using exponents.  1.  ( )( )6423 yx5yx3 −−                            

2. 2

3

42

z2yx3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

         

      

3.  ( )( )222

4

ba6

ab12                        

       4.    ( )052 yx5                             

53

5.  00 9x +                  

  4.1 Exercise  

Evaluate each expression.  

1. 28 2. 28− 3. ( )28− 4. 2

71⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

5. 25 22 − 6. 6x2 when x = −2 7. 3xy

2 when x = − 1 and y = −5

Simplify each expression.  

8. (4y3)(−3y

7) 9. (3z

11)(−5z

2)(z

4) 10.

2

2

33⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

zxy 11. 33

73

248

yxyx

12. −3x0

13. ( )32310 zxy− 14. 3

3

7

204

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xy

                          

54

4.2   Negative Exponents and Scientific Notation  Learning Objectives: 

1. Simplify expressions containing negative exponents. 2. Use the rules and definitions for exponents to simplify exponential expressions. 3. Convert numbers in standard form to scientific notation. 4. Convert numbers in scientific notation to standard form. 5. Key Vocabulary:  negative exponents, scientific notation, standard form. 

 Properties of Negative Exponents:      If m and n are integers, and x and y are any real number,  0y,0x ≠≠ , then 

1. n

n

x1

x =−         2.  nn

xx1

=−

          3.  =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−m

yx

m

mm

xy

xy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛  

4.  =⋅ nm xx   nmx +       5.  ( ) =nmx   mnx          6.  ( ) =mxy   mm yx      

       

7.  =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛m

yx  

m

m

yx        8.  =

n

m

xx   nmx −   = 

mnx1−      9.  =0x  1 

 10.    10 −=− x          11.  ( ) 10 =− x   Example 1. Write using positive exponents and simplify the following.  

1.  33−              2. 3

21

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛               3. 

4

a2

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛      

          4.  21 55 −− +       Example 2. Write using negative exponents.      

1. 581                      2. 

6x7  

    

55

Example 3.  Performed the indicated operation and simplify.  Write answer using positive exponents. 

 1.  64 33 ⋅−                  2.  77 xx ⋅−                  

3.  6

4

yy −

                 

  

4. 3

36

45

ba4ba3

−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛         

     Scientific Notation—is an expression of the form:     n10a×  where  10a1 <≤  and n is the power.  1.  Convert a number to scientific notation  Steps:       1.    If decimal point in the given number moves to left, n is positive.       

2.    If decimal point in the given number moves to right, n is negative.  Example 4.    Write the given number in scientific notation.  1.  6,350,000                           2.  0.00245                    2.  Convert scientific notation to a number  Steps:      1.  If n is positive, moves decimal point in the given number to the right.              2.  If n is negative, move decimal point in the given number to left.  

56

Example 5. Write the given scientific notation in standard notation.  1.  41056.6 ×                          2.  3104.3 −×                4.2 Exercise  Simplify each expression. Write results with positive exponents. 

1.  25−           2. 4

31 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−        3.  11 54 −− +        4.  7

6

−

−

qp  

5.  ( ) 343 −yx        6. 2

92

35

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

yxyx       7.  ( )

( ) 12

345−−

−−−

xyxy       8.  ( )

( ) 21

432

3 −− bacba  

Write each number in scientific notation.  9.  12,000,000,000                10.    0.00031  Write each number in standard form.  11.  710784.1 −×                   12.  1010052.6 ×                    

57

4.3  Introduction to Polynomial  Learning Objectives: 

1. Define term and coefficient of a term. 2. Define polynomial, monomial, binomial, trinomial, and degree. 3. Evaluate polynomials for given replacement values. 4. Simplify a polynomial by combining like terms. 5. Simplify a polynomial in several variables. 6. Write a polynomial in descending powers of the variable and with no missing powers of 

the variable. 7. Key Vocabulary:  coefficient, constant, polynomial, monomial, binomial, trinomial, degree of 

a term, degree of the polynomial.  A.  Classifying Polynomial Polynomial—is a finite sum of terms of the form  nax , where a is a real number and n is a whole 

number. Term—is a number or the product of a number and variables raised to powers separated by plus 

or minus signs. Numerical Coefficient (coefficient)—is the numerical factor of each term. Constant term—is the term that contains only a number. Types of Polynomials 1.  Monomial—is a polynomial with one term. 2.  Binomial— is a polynomial with two terms. 3.  Trinomial— is a polynomial with three terms. 4.  Polynomial— is a polynomial with four or more terms.  Example 1.     Classify as monomial, binomial, or trinomial.  1.  2643 yy ++−                     2.  )1(3)9(8 −−+ xx                B.  Finding the Degree of a Polynomial  Degree of a Polynomial—is the greatest degree of any term of the polynomial.  Note:      1.     A constant term has zero degree.       2.     Zero polynomial has no degree.  Example 2.     Find the degree of the terms and the degree of the polynomial.  1.  9             2.  825 2 −+− zz             3.  42222 yxyxyx +−                                

58

C.  Writing a Polynomial in Descending Order  Example 3. Write in descending order:  1.  xxx 2834 32 +−+−                   2.  13 2 −+− yy       D.  Evaluating Polynomials  Example 4.      Find the value of   ,9016)( 2 +−= ttP when  2=t          E.  Simplifying Polynomials by Combining Like Terms Like Terms—are terms that contain exactly the same variables raised to exactly the same            powers. To Combine Like Terms—is to combine the coefficient of the like term.  Example 5.  Simplify by combining like terms.  1.  3223 5263 yxxy −+−     2.  2.88.16.113.67.3 33 −−++− xxxx       

3.  xxxx83

212

41

72 33 +−+−  

     

59

4.  22222222 5427 xyxxyyyx +−+−+          Example 5.  Find the total area of the rectangles.                  4.3 Exercise  Simplify each expression. Write results with positive exponents.  1.  Complete the table for the polynomial     745 23 −−− xxx     

Term  Coefficient 35x    

  4−  

x    

7−    

 Find (a) the degree of each of each term (b) the degree of the following polynomials (c) determine whether it is a monomial, binomial, trinomial, or none of these.  2. 127 −x 3. 2435 xx +− 4. 43342 537 ababa ++−     

x

2 x2

x3 x2

x2

6

3

x4

x2 3

1

60

Find the value of each polynomial when (a)  0=x  and (b)  1−=x   5.  43 −x           6.  262 +− xx           7.  725 23 +− xx   Simplify each of the following by combining like terms.  8.  33 912 xx +         9.  xxx 6177 22 +−         10.  22 4.31.36.24.5 yyyy −−−                                            

61

4.4 Adding and Subtracting Polynomials  Learning Objectives: 

1. Add polynomials. 2. Subtract polynomials. 3. Add or subtract polynomials in one variable. 4. Add or subtract polynomials in several variables. 5. Key Vocabulary:  combine like terms. 

 A.  Adding or subtracting Polynomials To Add or to subtract Polynomials is to add or subtract the coefficient of the like terms.  Example 1.     Perform the indicated operation 1.  Add:       385 2 −+ xx   and  xx 583 2 −+−               2.  Subtract   2845 yy +−  from    yy 46 2 −                        3.  Subtract   13 +x  from   the sum of  34 −x  and  25 +x .       4.  ( ) ( )2222 7362 babababa −+−++−       5.  ( ) ( )22222222 287935 yxyyxyyxyx +−+−−+−+          

62

 4.4 Exercise  Add or subtract as indicated.  1.  ( ) ( )95374 2 +−+− xxx           2.  ( ) ( )19217312 22 −+++− aaaa   3.  ( ) ( )45753 22 −−−+− aaa         4.  ( ) ( ) ( )83467415 222 −−−−++− aaaaa   

5.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 2

65

948

43

31 2222 yxyx     6.  ( ) ( )222222 5117772 yxyxyxxyyx +−−−+−  

                                    

63

4.5 Multiplying Polynomials  Learning Objectives 

1. Multiply monomials. 2. Multiply a monomial by a polynomial. 3. Multiply two polynomials. 4. Multiply polynomials vertically. 5. Key Vocabulary:  polynomial, monomial, binomial, trinomial. 

 A.  Multiplying Two Monomials  Steps.    1.  Multiply the coefficient with the coefficient.         2.  Multiply the like variable by adding their power.  Example 1.  Multiply:       1.  ( )( )43 54 yy−                           2.  ( )( )xx −− 45          B.  Multiplying a Monomial and a Binomial  Distributive Property:    ( ) acabcba +=+   and   ( ) acabcba −−=+−   Example 2. Multiply:  1.      ( )ba 34 −                         2.  ( )4332 23 −+− xxx                 C.  Multiplying Two Binomials Using Distributive Property  

( )( ) =++ dcba ( ) ( ) bdbcadacdcbdca +++=+++   Example 3.  Multiply.  

64

1.  ( )( )1432 −− aa                         2.  ( )252 yx −                3.  ( )( )4523 2 +−− xxx                             4.5 Exercise  

1.  ( )( )43 32.4 xx−         2.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 56

103

95 yy         3.  ( )( )( )72 245 xxx −  

 4.  ( )5353 2 −−− baba       5.  ( )32232 9745 bbaaab −−       6.  ( )( )5247 +− xx   

7.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

41

43 xx         8.  ( )( )343 2 +−− yyy       10.  ( )( )52552 22 −++− xxxx  

 11. Find the area of a rectangle with sides  ( )34 +x ft. and ( )72 −x ft.  12.  Find the area of a triangle with height  x6 in. and base  ( )19 −x  in.                

65

4.6     Special Products of Polynomials  Learning Objectives: 

1. Multiply two binomials using the FOIL Method. 2. Square a binomial. 3. Multiply the sum and difference of two terms. 4. Use special products to multiply binomials. 5. Key Vocabulary:  FOIL method, squaring a binomial. 

 Special Products of Polynomials:   1.  Product of Two Binomials:    ( )( ) bcbdadacdcba +++=++  2.  The Square of a Binomial Sum:    ( ) ( )( ) 222 2 bababababa ++=++=+  3.  The Square of a Binomial Difference:  ( ) ( )( ) 222 2 bababababa +−=−−=−  

4.  The Product of the Sum and Difference of Two Terms:  ( )( ) 22 bababa −=−+   Example 1.       Multiply.  1.  ( )( )5392 −+ yy                           2.  ( )232 −y        3.        ( )32+y                               

4.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yxyx

312

312                  

     

66

5.  ( )( )3232 ++ yyy             4.6 Exercise  Multiply. 

1.  ( )210+x       2.  ( )2211 −a       3. 2

75⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −y       4.  ( )( )1010 −+ xx  

5.  ( )( )4747 22 +− yy       6.  ( )( )yxyx −+ 88         7.  ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yaya

53

53  

                           

67

4.7   Division of Polynomials  Learning Objectives: 

1. Divide a polynomial by a monomial. 2. Use long division to divide a polynomial by a polynomial other than a monomial. 3. Key Vocabulary:  dividend, quotient, divisor. 

 A.  Dividing a Polynomial by a Monomial  

Addition Rule:    0; ≠+=+ C

CB

CA

CBA

 

 Example 1.     Divide the following.  

1.  2

23

41248

yyyy +−                       

      2.  234 927 xxx −−  by  29x−         B.  Dividing a Polynomial by a Binomial  Example 2.     Divide    162 2 −+ yy  by  5+y                               

68

4.7 Exercise  Divide.  

1. 6

182436 2 −− xx         2. p

pp7

2142 23 −         3. a

xx4

61216 3

−+−  

 

4. xy

yxxyyx33327 2432 −−     5. 

14117 2

−+−

xxx         6. 

52021203 23

+−++

aaax  

 

7. 52

1024236 23

−−+−

xxxx  

                                  

69

Chapter 5  Factoring Polynomials  5.1 The Greatest Common Factors  Learning Objectives: 

1. Find the greatest common factor of a list of numbers. 2. Find the greatest common factor of a list of terms 3. Factor out the greatest common factor from the terms of a polynomial. 4. Factor by grouping. 5. Key Vocabulary:  factors, factored form, factoring, factoring out, greatest common factor, 

GCF, factoring by grouping.  A.  Finding the Greatest common Factor (GCF) of Numbers Greatest common Factor (GCF)—is the largest common factor of the integers in the list.  Steps to find the GCF.     1.    Write each of the numbers as a product of prime number using exponent for repeated     number.   2.     Choose the number that has the lowest exponent, then find their product.   3.     For the common variable, choose the smallest exponent  Example 1.  Find the GCF of:        1.  45, 60 and 108                               2.  58 9,12 xx  and  830x−                     

70

B.  Factoring Out the Greatest Common Factor  Example 2.    Factor completely:  1.  186 +a                              2.  42 366 xx −−     3.  3567 25102015 xxxx ++−                   

4. 52

51

54 2 +− aa    

    5.  ( ) ( )225 −−− yxy        5.1 Exercise  Find the GCF for each list.   1.  35, 45           2.  748 ,, aaa           3.  22324 28,7,14 yxyxyx−   Factor out the GCF from each polynomial.  4.  124 −a           5.  xyyxyx 2763 223 ++      6.  2131563 234 +−++ yyyy   7.  22355 21147 yxyxyx −−   8.  ( ) ( )323 +++ xxy       9.  ( ) ( )232 22 +−+ bba   Factor the following four‐term polynomials by grouping.  10.  yxyx 5153 +++      11.  yxxyx 217124 2 +−−     12.  yxxyx 10563 2 +−−           13.  35202112 23 −−+ xxx          

71

5.2 Factoring Trinomial of the Form         cbxx ++2   Learning Objectives: 

1. Factor trinomials of the form   cbxx ++2 . 2. Factor out the greatest common factor and then factor a trinomial of the form   cbxx ++2 . 3. Key Vocabulary:  factor, product, sum, binomials, prime. 

 A.  Factoring Trinomials of the Form             cbxx ++2  Steps for Factoring  cbxx ++2 :   Find two integers whose product is c and whose sum is b.    1.    If b and c are positive, then both integers must be positive. 

    cbxx ++2  =  ( )( )++ xx  2.    If c is positive and b is negative, then both integers must be negative. 

cbxx +−2  =  ( )( )−− xx   

3.    If c is negative, one integer must be positive and one negative. cbxx −+2  =  ( )( )−+ xx   bigger number is +; smaller number  −is   cbxx −−2  =  ( )( )−+ xx   smaller number is +; bigger number  −is  

 Example 1.  Factor completely:  1.  782 +− xx                              2.  298 xx ++                 3.  1442 −+ yy                               4.  425262 20 ybybyb ++−      

72

5.  22 86 aaxx ++            5.2 Exercise  Factor the following trinomials completely. Write “prime” if they do not factor.  1.  36132 ++ xx         2.  56152 +− xx           3.  2762 −− xx  

4.  10832 −+ xx         5.  372 ++ xx             6.  21102 +− xx  

7.  2452 −− xx          8.  6322 −+ xx            9.  60355 2 ++ xx  

10.  2336105 xx +−         11.  xxx 54 23 −−           12.  32 214 yyy +−−  

13.  234 32202 yyy +−       14.  xxx 105363 23 +−         15.  534 3549 yyy +−−  

                        

73

5.3    FACTORING TRINOMIALS OF THE FORM      1,2 ≠++ acbxax    Learning Objectives 

1. Factor trinomials of the form  1,2 ≠++ acbxax . 2. Factor out the GCF before factoring a trinomial of the form    cbxax ++2 . 3. Key Vocabulary:  greatest common factor, coefficient. 

 A.  The ac Test for  cbxax ++2   ac TEST for Factoring of   cbxax ++2  

cbxax ++2  is factorable if there is two integers with product ac and sum is b.  Example 1.     Determine whether the polynomial is factorable:  1.  234 2 ++ yy                         2.  253 2 ++ yy               3.  xx 329 2 −−                   B.  Factoring  cbxax ++2  by trial and error  Example 2.  Factor completely:  1.  253 2 ++ xx                             2.  6318 2 −+ xx        

74

3.  22 656 yxyx −−                              4.  yyy 21112 23 −−−                     5.3 Exercise  Complete the following.  1.  ( )( )1316 2 +=−− yyy          2.  ( )( )52584 2 −=−− yyy  3.  ( )( )2310133 2 +=−− yyy         4.  ( )( )25215 2 +=−+ yyy   Factor the following trinomials completely. Write “prime” if they do not factor.  5.  2715 2 −+ xx          6.  3108 2 +− xx          7.  10116 2 −− xx   8.  8189 2 ++ xx          9.  21721 2 +− xx          10.  10318 2 −− aa    11.  151112 2 −− xx          12.    4415 2 −− aa         13.  144514 2 −− aa    14.  2444 2 ++− aa          15.  359142 2 ++ xx          16.  22 156550 yxyx −+   17.  xxx 1053318 23 −−        18.  aaa 256530 23 +−        19.  4322 31310 yxyyx −−         

75

5.4      Factoring Trinomials of the Form  1,2 ≠++ acbxax by Grouping 

Learning Objectives 1. Use the grouping method to factor trinomials of the form ax2 + bx + c. 2. Key Vocabulary:  grouping method, trinomial. 

A.  Factor using the Grouping Method Step for factoring a trinomial by grouping 

1.    Factor out a greatest common factor, if there is one other than 1. 2.    For the resulting trinomial 1,2 ≠++ acbxax , find two numbers whose product is ac     and whose sum is b. 3.    Write the middle term, bx, using the factors found in step 2. 4.    Factor by grouping. 

 Example 1.     Factor completely.  1.  9124 2 +− xx                             2.  501520 2 −− xx                     3.  2615 xx +−                               4.  6197 2 −− xx                   

76

5.  xxx 504545 23 −+                               5.4     Exercise  Factor by grouping.  1.  231421 2 +++ xxx        2.  5153 2 +−− xxx        3.  3186 2 +++ xxx   4.  273 2 ++ xx          5.  295 2 −− xx           6.  31710 2 ++ nn    7.  18174 2 +− mm          8.    6313063 2 ++ aa       9.  aaa 62212 23 ++    10.  mmm 64260 23 +−        11.  xxx 9811218 23 −+        12.  xxx 356510 23 −+   13.  yxyyx 5136 2 −+                      

77

5.5      Factoring Squares of Binomials  Learning Objectives: 

1. Recognize perfect square trinomials. 2. Factor perfect square trinomials. 3. Factor the difference of two squares. 4. Key Vocabulary:  perfect squares, perfect square trinomial, square of a binomial, difference 

of two squares.  Factoring Perfect Square Trinomials 1.  Perfect Square Trinomials.         ( )( ) ( )222 2 bababababa +=++=++      ( )( ) ( )222 2 bababababa −=−−=+−  2.  Difference of Two Squares.         ( )( )bababa −+=− 22      22 ba +  is prime (cannot be factored)       To be a perfect square trinomial, a trinomial must satisfy 3 conditions: 

1.     The first and last terms ( 2a and  2b ) must be perfect squares 2.     There must be no minus signs before  2a and  2b  3.     The middle term is  ab2 or  ab2−   

Example 1.     Determine whether the expression is the perfect square:  1.  22 4129 yxyx +−                         2.  992 ++ yy                  Example 2.  Factor completely:  1.  962 ++ yy                             

78

2.  4129 2 ++ xx          3.  22 25309 yxyx +−                          4.  259 2 −x                        

5. 41

91 2 −y                        

       6.  814 −y                       7.  yy 455 3 −                               

79

 5.5     Exercise  1.  Is  11025 2 ++ yy a perfect square trinomial?  

Fill in the blank so that the trinomial is a perfect square trinomial  2.  25_______16 2 ++ xx             3.  121_______9 2 ++ yy   Factor completely.  1.  49142 ++ xx         2.  25309 2 +− xx         3.  9622 ++ xyyx  

4.  456020 2 ++ xx         5.  aaa 147423 23 ++       6.  22 506018 ayaxyax +−  

7.  252 −x             8.  499 2 −x           9.  264 y−  

10.  2251 x−            11.  494 −x             12.  8116 4 −y  

13.  yy 218 3 −           14.  24 1275 xx −           15. 6492 −x  

                          

80

5.6      Solving Quadratic Equations by Factoring  Learning Objectives: 

1. Solve quadratic equations by factoring. 2. Solve equations with degree greater than 2 by factoring. 3. Key Vocabulary:  quadratic equation, standard form, zero factor property, GCF. 

 Quadratic Equation in Standard Form—is an equation of the form  

      02 =++ cbxax ,  where a, b, c are real numbers.  Principle of Zero Product:      If  0or00 === bathenab   Steps for Solving Quadratic Equations 

1.  Perform the necessary operations on both sides of the equation so that the right‐hand     side is 0. 2.  Use the general factoring strategy to factor the left side of the equation, if necessary. 3.  Use the Principle of Zero Product to solve each of the resulting equations. 4.  Check the results by substituting the solutions obtained in step 3 in the original       equation. 

 Example 1.  Solve each of the following  1.  ( )( ) 0431059 2 =−−+ xxx                               2.  383 2 =+ xx              

81

3.  ( ) 132 −=+yy                                    4.  ( )( ) ( ) 713225 −+=+− xxx                  5.6     Exercise  Solve each equation.  1.  ( )( ) 0211 =−+ xx       2.  ( )( ) 01325 =+− xx       3.  ( )( ) 02152 =+− xxx  

4.  ( )( ) 05275 =−− xx       5.  0652 =−+ xx         6.  0532 2 =−− xx  

7.  0254 2 =−y          8.  025204 2 =++ xx       9.  mm 112 =  

10.  xx 4322 −=          11.  169 2 =y           12.  0128 23 =++ nnn  

13.  yy 28 3 =           14.  24235 2 −=− pp        15.  www 80405 23 −=  

    

82

5.7     Quadratic Equations and Problem Solving  Learning Objectives: 

1. Translate words to algebraic expressions. 2. Solve problems that can be modeled by quadratic equations. 3. Key Vocabulary:  Pythagorean Theorem, right triangle, hypotenuse, legs. 

 Consecutive Numbers  1.  Consecutive     

Number 1st number 

x  2nd number 

1+x  3rd number 

2+x  4th number 

3+x  2.  Consecutive        Odd Number 

1st number x  

2nd number 2+x  

3rd number 4+x  

4th number 6+x  

3.  Consecutive     Even Number 

1st number x  

2nd number 2+x  

3rd number 4+x  

4th number 6+x  

 Example 1.  The square of a number minus twice the number is 63.  Find the numbers.          Example 2.  The length of a rectangular garden is 5 feet more than its width.  The area of the 

garden is 176 square feet.  Find the length and the width.           Example 3.    Find two consecutive odd integers whose product is 23 more that their sum.        

83

Example 4.    A student dropped a ball from the top of a 64‐foot building. The height of the ball         after t seconds is given by the quadratic equation h = −16t

2 + 64.  How long will it 

        take the ball to hit the ground?             Pythagorean Theorem  In any right triangle                                                                                                                                                                                                                                    222 cba =+      Example 5.      The length of one leg of a right triangle is 7 meters less than the length of the            other leg.  The length of the hypotenuse is 13 m.  Find the lengths of the legs.                       

Leg b

Leg a Hypotenuse c

84

5.7     Exercise  Solve. 1.   A rectangle has an area of 24 square inches. The width is represented by  3−x  and the   length is  2+x .   Find the dimensions.  2.  The length of a rectangle is 3 cm more than the width. The area is 70 2cm .   Find the   dimensions of the rectangle.  3.  The length of a proposed rectangular flower garden is 6 m more that its width. The area of   the proposed garden is 72m2. Find the dimensions of the proposed flower garden.  4.  A square field had 5 m added to its length and 2 m added to its width. The field then had an   area of 130 m2. Find the length of a side of the original field.  5.  A rock is dropped from a 784 foot cliff. The height h of the rock after t seconds is given by the   equation h = −16t

2 + 784. Find out how many seconds pass before the rock reaches the 

  ground.  6.  One leg of a right triangle measures 6 m while the length of the other leg measures x meters.   The hypotenuse measures (2x – 6) m.  Find the length of all 3 sides.  7.   The longer leg of a right triangle measures two feet more than twice the length of the shorter   leg. The hypotenuse measures 3 feet more than twice the shorter leg. Find the length of all   three sides.  8.  Find the length of a ladder leaning against a building if the top of the ladder touches the   building at a height of 12 feet. Also, the length of the ladder is 4 feet more than its distance   from the base of the building.  9.  One leg of a right triangle is 14 meters longer than the other leg. The hypotenuse is 26   meters long. Find the length of each leg.  10.  Eight more than the square of a number is the same as six times the number. Find the   number.  11.  Fifteen less than the square of a number is the same as twice the number. Find the numbers.  12.  Seven less than 4 times the square of a number is 18. Find the number.  13.  Find two consecutive positive odd integers whose product is 35.  14.  The sum of the squares of two consecutive integers is 41. Find the integers.  15.  Find two consecutive odd integers such that the square of the first added to 3 times the   second is 24.  

85

Chapter 6  Rational Expressions and Functions  6.1       Simplifying Rational Expressions  Learning Objectives: 

1. Find the value of a rational expression given a replacement number. 2. Identify values for which a rational expression is undefined. 3. Simplify or write rational expressions in lowest terms. 4. Write equivalent forms of rational expressions. 5. Key Vocabulary:  rational expressions, simplifying rational expressions. 

 

Rational Expression—is an expression of the form QP ;  P and Q are any polynomials;  0≠Q  

A.  Evaluating Rational Expressions  Standard Form of a Fraction:  For  0≠b   

1. ba

ba

ba

ba

−−

−=−

=−

=−                 2. ba

ba

ba

ba

=−

−=−

−=−−    

       

Example 1.     Find the value of    3;225

2

2

−=−−−+ x

xxxx

 B.  Identifying When a Rational Expression is Undefined   A rational expression is undefined when the denominator is 0.  Example 2.  Find values for which the rational expression is undefined.  

1. 32 +m

m                              

     

86

2. 54

12 −−

+yy

y  

       

3. 93

2 ++

nn                

      C.  Simplifying Rational Expressions 

1.  Fundamental Rule of Fractions:    BA

BCAC

= ;    0,0 ≠≠ CB  

2.  Quotient of Additive Inverses (“­1 trick”)    

  a.  1=++

=++

baab

abba                b.  1−=

−−

=−−

baab

abba  

 Step to Simplify a Rational Expression 1.     Completely factor the numerator and denominator. 2.  Cancel the common factor in the numerator and denominator by replace the quotient of the 

common factors by the number 1, since 1=aa . 

3.     Rewrite the expression in simplified form.  Example 3.  Simplify.  

1.  4

2

63xy

yx−                          

    

2.  ( )( )nm

nm−−−−

36 22

 

   

87

3. yx

yx4812

123−−                        

      

4. xyxx+

−  

       

5. y

y+−

392

                         

        

6. 5

25 2

−−

yy  

        

7. y

yy−−+

3122

 

      

88

6.1 Exercise  Find the value of the following rational expressions when x = 3 and y = −2  

1. 724−+

xx             2. 

13

2

−yy             3. 

837

2

2

−−++

yyyy  

 Find any real number for which each rational expression is undefined.  

4. x

x7

5+             5. 303175 3

−+

xx             6. 

19272 +− xx    

 Simplify each rational expression.  

7. 1812

6−x

          8. 205123

−−

xx              9. 

xx++

1919      

   

10. x

x−−

1212             11. 

baba

+−− 88             12. 

2453

2 −−+xx

x  

   

13. 14

5194 2

−−+

xxx         14. 

811872

2

2

+−−−xx

xx           15. 366722 2

−−

xx  

                        

89

6.2   Multiplication and Division of Rational Expressions  Learning Objectives: 

1. Multiply rational expressions. 2. Divide rational expressions. 3. Convert between units of measure. 4. Key Vocabulary:  reciprocal, unit fractions. 

A.  Multiplying Rational Expressions 

Multiplication Rule:   BDAC

DC

BA

=⋅ ;  0,0 ≠≠ DB  

Steps for multiplying a rational expression 1. Completely factor numerators and denominators. 2. Multiply the numerators and the denominators. 3. Simplify by canceling the common terms in the numerator and denominators. 

 Example 1.   Simplify and multiply.  

1.  22 2115

57

mn

nm⋅

−                       

    

2.  22

1075

xyx ⋅  

      

3. 3

22

122

+−

⋅−−−

yy

yyy                    

      

4. 1223

25316

2

2

2

2

−−−−

⋅++−+

xxxx

xxxx  

     

90

B.  Dividing Rational Expressions  

Division Rule:   BCAD

CD

BA

DC

BA

=⋅=÷ ;  0,0,0 ≠≠≠ CDB  

 Example 2.  Simplify and divide.  

1.  ( )3592

−÷+− y

yy                      

      

2. y

yyy

−−

÷−+

416

44 2

 

       

3. 145103

762

2

2

2

2

−+−−

÷−+−+

xxxx

xxxx  

             6.2 Exercise  Perform the indicated operation and simplify if possible.  

1. xx

x47

148 3

⋅           2.  342

3

549 b

baba

⋅−                3. 5

3217

2 xxx

x −⋅

− 

   

91

4. y

yyyyy 4

3651811

2

2 +⋅

−−+−       5.  22

222

2954

2054

yxyxxx

xyx

−−+

⋅+−     6.  2

2

4

3

2312

yyx

yx

÷  

     

7.  ( )( )( ) 83

26834

4−

÷−+

+xxx

x     8. aba

ababa

−÷

+−

2

22 2         9. 124145

62

2

2

−−−−

÷−+

xxxx

xx  

 

10. xyx

yxx

125

825102 −

÷+−      11. 

xx

xxxx

xx

−+

÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+⋅

−−

613

4133242

3616

2

2

2

2

 

                                      

92

6.3     Adding and Subtracting Rational Expressions  Learning Objectives: 

1. Add and subtract rational expressions with a common denominator. 2. Find the least common denominator of a list of rational expressions. 3. Write a rational expression as an equivalent expression whose denominator is given. 4. Key Vocabulary:  least common denominator (LCD, equivalent expressions. 

 A.  Adding and Subtracting Rational Expressions with the Same Denominator  

Rule:   B

CABC

BA +

=+.        and      

BCA

BC

BA −

=−. ;   0≠B  

 Example 1.   Perform the indicated operations.  

1.  ( ) ( )151

154

−+

− yy                   

    

2.  ( ) ( )272

279

+−

+ yy 

    

3. 214

52214

2322 −+

−−

−++

xxx

xxx                    

        B.  Finding the Least Common Denominator of Rational Expressions Lowest Common Denominator (LCD)—is the smallest algebraic expression that is a multiple of                           all the denominators. Example 2.  Find the LCD for each rational expression.  

1.  45 361,

201

xx                     

   

93

2. aaa 9

6,273

42 ++

     

        C.  Writing Equivalent Rational Expressions 

  Recall Multiply Rule:   BA

BCAC

=  

 Example 3.    Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the 

given denominator. 

1. mm 72

?83

=                        

      

2.    22 9?

3 babaa

−=

+  

         

3.  ( )( )( )531?

3225

23 ++−=

−+−

xxxxxxx                     

          

94

 6.3 Exercise  Add or subtract as indicated. Simplify the result if possible.  

1. 1711

17+

a 2. nm

nm

411

413

+ 3. 8

408

5−

−− yyy

4. 61910

6712

−+

−−+

xx

xx 5.

28396

28327

22 −+−

−−+

−xx

xxx

x

Find the LCD for the following lists of rational expressions.

6. yx

y 157,

515

7 7. 159

2,31

−yx

y 8.

xyyx −−31,24

9. 209

1211,3512

922 ++

−++ xx

xxx

Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression whose denominator is the given polynomial.  

10. ( )1333937

+=

++

abaa 11.

45361512411

22 −=

−−

xxy

12. ( )( )( )44832410

2 −++=

−+ xxxxx 13. ( )( )( )364183

723 +−+

=−−

−xxxxxxx

x

                  

95

6.4     Adding and Subtracting Rational Expressions with Different Denominators  Learning Objectives: 

1. Add and subtract rational expressions with different denominators.  A.  Adding and Subtracting Rational Expressions with Different Denominators Steps for Adding or Subtracting Rational Expressions with Different Denominators  1.  Find the LCD. 2.  Write all fractions as equivalent ones with the LCD as the denominator. 3.  Add (or subtract) numerators and keep denominators. 4.  Reduce the result if possible.  Example 1.  Perform each indicated operation.  Simplify if possible.  

1. y2

53+                          

       

2. yy −

−−−

47

45  

         

3. 1

12

2+

−− yy

                     

          

96

4. 6

29

322 −−

+− xxx

             

 

5. 23

265 22 ++−

++ xxxxx                              

               6.4 Exercise  Add or subtract as indicated. Simplify the result if possible.  

1. xx 53

47+       2.  23

24xx

+      3. 63

32

5−

−− xx

    4. 16287

92 −

+− x

xx

 

 

5. xx −

+− 9

39

11     6.  54+

x      7.  3

710

+−x

      8. ( )26

16

1+

−+ xx

 

 

9. 2

137

−+

bb      10. 

23

1054

+−

−+ a

aa

a         11. 7

656

172 −

−−+ xxx

 

 

12. 910

198 22 +−−

−− xxxxx         13. 

1003

20122

2084

222 −+

++−

−− xxxxx 

  

97

6.5     Solving Equations Containing Rational Expressions  Learning Objectives: 

1. Solve equations containing rational expressions. 2. Solve equations containing rational expressions for a specified variable. 3. Key Vocabulary:  rational expressions. 

 A.  Solving Rational Equations Steps to solve rational equations. 

1. Find the LCD. 2.  State the restriction (numbers that make the rational expression undefined). 3. Multiply the numerator of each term by the LCD to clear fraction. 4.  Solve the equation and compare the result with the restriction. 5. Verify the answer. 

 Example 1.     Solve and state the restriction of each rational equation.  

1. 1031

54

=+x

                         

          

2.  762 +=+ xx

 

                 

98

3.  23

23

6+

+=

+−

xx

xx  

                  

4. 2

12

4423

2 −=

++

−−

xxxx  

                         

99

B.  Solving Fractional Equations for a Specified Variable  

Example 2.       Solve for a:    ( )1r

1raSn

−−

=  

          

Example 3.        Solve for b:   xba111

=+  

             6.5    Exercise  Solve each equation.  

1.  427

=+x           2. 

yy 623

615=+           3. 

4423

−=

−+

aa

a 

 

4.  132

7=

−a          5. 

16

1 +=

− xxx         6. 

322

32

−+

=−+ x

xx

x  

 

7. 81

82

42

=−

−+ tt         8. 

131

192

131

2 −−

−=

+ yyy 

 Solve each equation for the indicated variable.  

9. 2b

hA= for h          10. 

2h

bBA

=+

 for B        11. GVRN +=  for V 

100

Chapter 7  Roots and Radicals  

 7.1    Introduction to Radicals  Learning Objectives: 

1. Finding square roots. 2. Finding cube roots. 3. Finding nth roots. 4. Approximating square roots. 5. Simplifying radicals containing variables. 6. Key Vocabulary:  root, positive or principal square root, negative square root, radical, 

radical sign, radicand, radical expression, cube root, index, irrational number.  A.  Finding Square Roots      If a is a positive real number, and if   ab =2   then   ab =  and  ab −=   Square Roots Property:   For any real number 0≥a , then  1.  aaaa =⋅=2                2.  aaaa −=⋅−=− 2   3.  a−  = not a real number          4.  00 =            5.  11 =   Example 1.  Find the square root of the following.  1.  169                                    

2. 2581

−        

    3.  81.0             4.  25−      

101

B.   Finding the Higher Roots 1.    Cube Roots Property:    For any real number, then  aaaaa =⋅⋅= 33 3  

2 Fourth Roots Property:   For any real number,  0≥a , then  aaaaaa =⋅⋅⋅= 44 4  

3 Fifth Roots Property:    For any real number, then  aaaaaaa =⋅⋅⋅⋅= 55 5   Example 2.  Find the root or indicate that the root is not a real number.  1.  3 27                           

2.  3278

−  

    3.  4 81−                            4.  4 81−     Example 3.  Find each root.  Assume that all variables represent positive numbers.  1.  481x      2.  10 8 2x y z              3.  3 6 9 327a b c            

102

7.1 Exercise  Find each square root. Indicate if the number is not real.  

1.  81       2. 491       3.  144−       4.  9−       5.  3 64−  

 6.  3 125       7.  4 16−       8.  5 243       9.  5 1024−   Find each root. Assume that each variable represents a nonnegative real number.  10.  616y         11.  2081z         12.  3 153125 yx−    

                                

103

7.2    Simplify Radicals  Learning Objectives: 

1. Use the product rule to simplify radicals. 2. Use the quotient rule to simplify radicals. 3. Use both rules to simplify radicals containing variables. 4. Simplify cube roots. 5. Key Vocabulary:  perfect squares. 

 A.  The Product Rule and Quotient Rule 

1. Product Rule for Radicals:     If  a  and  b  are two real numbers, then   baba ⋅=⋅   2. Quotient Rule for Radicals:    

   If  a  and  b  are two real numbers, then   ba

ba= ;  0≠b  

Example 1.  Simplify completely.        1.  98                       2.  1072x        

3.  3 40                       4. 167       

        

5. 1083016                       6. 

246 34ba  

       

104

7. ab

ababab

545

56 22

⋅                  

               7.2 Exercise  Simplify each expression. Assume all variables represent real numbers.   

1.  75       2.  99       3.  72       4. 6445       5. 

2584

−  

 

6.  325y       7.  8645 yx     8.  456y

      9.  10

298x

y       10.  20

9

yx  

 

11.  256       12.  67117 yx     13.  3 56       14.  312514       15.  3

12532  

                

105

7.3   Adding and Subtracting Radicals  Learning Objectives: 

1. Add or subtract like radicals. 2. Simplify square root radical expressions, and then add or subtract any like radicals. 3. Simplify cube root radical expressions, and then add or subtract any like radicals. 4. Key Vocabulary:  like radicals. 

 A.  Properties for Adding or Subtracting Radicals       1.  ( ) bcabcba +=+               2.  ( ) bcabcba −=−   Example 1.  Add or subtract as indicated.  1.  20 5 3 5+                              

2. 92

252

+                

        3.  3 7 5 21 8 21 10 7+ − −            Example 2.  Add or subtract by first simplifying each radical and then combining any like 

radicals.  Assume that all variables represent positive numbers.  1.  10 48 3 75− −            

106

2.  xx 18685 +−          3.  22 835 xxx ++−            4.  10128123 33 −+−     

  

5.  33 2505128 −             

   

7.3 Exercise  Add or subtract as indicated.  Assume that all variables represent positive numbers.  1.  102823212 ++−               2.  5626863 −−+  

3.  244520542 −+−              4.  xxx 2169 +−  

5. 163

643

+                     6.  xxx 11819 22 −+  

7.  44 51024040 xxxx −−+           8.  xxxx 23505472 2 −−+  

9.  333 259592 −+                 10.  3 33 3 813273 zz +  

11.  33 51024040 xxxx −−+            12.  332 23505472 −−+ xx  

107

7.4      Multiplying and Dividing Radicals  Learning Objectives: 

1. Multiply radicals. 2. Divide radicals. 3. Rationalize denominators. 4. Rationalize using conjugates. 5. Key Vocabulary:  product rule for radicals, quotient rule for radicals, rationalizing, 

conjugates.  A.  Multiplying and Dividing Radicals Radical Properties.   If a and b are real numbers,  0b ≠ , then 1.  abba =⋅               2.  aaaaa =⋅=⋅        

3. ba

ba=                 4.  ( ) cabacba +=+        

5.  ( ) acabcba +=+  

 Examples 1.  Multiply and simplify.  Assume that all variables represent positive real           numbers. 1.  x15x5 3 ⋅                          2.  ( )2x3           3.  ( )236 +                              4.  ( )( )259958 ++       

108

5.  ( )2834 −                         

6. 2

150  

       

7. xy

yx2

24 43

 

     

  B. Rationalize denominators—is to rewrite the expression so that the denominator does not 

contain a radical expression. Step to rationalize denominators 

1.  Simplify the radical if needed. 2.  Multiply the numerator and the denominator by the radical in the denominator. 3.  If there is two terms in the denominator, multiply the it’s conjugate.     a.  ba +   its conjugate   ba −      b.  ba −   its conjugate   ba +  

 Example 2.   Rationalize each denominator and simplify.  Assume that all variables represent 

positive real numbers.  

1. 5

7                             

     

109

2. 125              

      

3. 36

2

−                             

           7.4 Exercise  Multiply or divide and simplify completely.  Assume that all variables represent positive real numbers.  1.  142 ⋅           2.  ( )28 y             3.  yxyx 222 218 ⋅  

4.  ( )7310 −         5.  ( )( )5257 −+       6.  ( )( )13235 −+  

7.  ( )223 −y           8. 3

120             9. yx

yx2

35

3

96 

Rationalize each denominator and simplify.  Assume that all variables represent positive real numbers.  

10. 32              11. 

185             12. 

yy

35  

13. 12

3+

            14. x+3

9             15. 23

13−+  

    

110

7.5    Solving Radical Equations  Learning Objectives: 

1. Solve radical equations by using the squaring property of equality once. 2. Solve radical equations by using the squaring property of equality twice. 3. Key Vocabulary:  radical equations. 

Properties for solving radical equations   1.  If  ax =  then  22 ax =  

  2.  If  ax =  then  2ax =  

Steps for solving radical Equations       1.  Isolate the square root terms containing the variable.   2.  Square both sides of the equation.   3.  Simplify both sides of the equation   4.  Solve the resulting equation.   5.  Check all possible solutions in the original equation.  Example 1.  Solve:  1.  51 =+x                            2.  052 =+−y               

111

3.  33 −=−+ xx                  4.  124 +=+ xx                        5.  011233 =−−+ xx                

112

7.5  Exercise  Solve each equation.  1.  25 =+x             2.  253 =+x           3.  583 =+x  

4.  845 +=− xx         5.  xxx 42216 2 =++       6.  xxx 2234 2 =++  

7.  174 +−= xx           8.  356 =++x         9.  624 += xx  

10.  122 +−= xx           11.  481 =−− xx         12.  xx =−+ 152  

13.  39 −=+ xx           14.  28 −=− xx         15.  4333 +=+− xx  

 

                                 

113

7.6    Radical Equations and Problem Solving  Learning Objectives: 

1. Use the Pythagorean Theorem to solve problems. 2. Solve problems using formulas containing radicals. 3. Key Vocabulary:  right triangle, Pythagorean Theorem. 

 A.  Using the Pythagorean Theorem 

 Pythagorean Theorem—In any right triangle 

                    222 cba =+    Example 1.  Use the Pythagorean Theorem to find the length of the unknown side of each right 

triangle.  Give an exact answer. 1.              

           Example 2.   Find the length of the unknown side of each right triangle with sides a, b, and c, 

where c is the hypotenuse.  Give an exact answer. 1.  a = 15, b = 20              Example 3.   Solve.  Give an exact answer. 1.  A baseball diamond is a square measuring 90 feet on each side.  What is the distance from 

first base to third base?         

a

b

c

6

14

c

114

2.  A firefighter places a 37‐foot ladder 9 feet from the base of the wall of a building.  Will the top reach a window ledge that is 35 feet above the ground? 

          B.   Solving Applications Containing Radicals Formula  Example 4.   The formula  ghv 2=  is used to determine the velocity, v, in feet per second, of an 

object after it has fallen at a certain height,  g is the acceleration due to gravity and h is the height the falling object.  On Earth, the acceleration g due to gravity is approximately 32 feet per second.  Find the velocity of an object after it has fallen 20 feet. 

       7.6 Exercise  Use the Pythagorean Theorem to find the unknown side of each triangle. Give an exact answer.  1.                  2.                3.        Find the length of the unknown side of each right triangle with sides a, b and c where c is the hypotenuse. Give an exact answer. 3.  6,3 == ba             4.  10,20 == ca         5.  76,22 == cb  

6.  A 26‐inch diagonal TV screen is 20 inches wide. Find its height.   Give an exact answer. 

7.  A 18‐inch diagonal computer monitor screen is 12 inches high. Find its width.  Give an exact   answer.  Police use the formula  fds 30= to estimate the speed s of a car in miles per hour, given the distance d the car skidded and the type of road surface  .f   For wet concrete,  f is 0.35.  

5 5

14 8

9

6

115

8.  Find how fast a car is going if it skidded 193 feet on wet concrete.   Give an exact answer. 

9.  Find how far a car will skid if the driver tries to stop when going 65 miles per hour on wet   cement.  Give an exact answer.  

The formula 4dt =  related the distance d, in feet, an object falls in t seconds, assuming air 

resistance does not slow the object down.    10.   Find how far, to the nearest tenth of a foot, an object falls if it takes 7.2 seconds to hit the    ground.   Give an exact answer.   The maximum distance d, in kilometers, that you can see from a height of h meters is  hd 5.3=    19.   Suppose you are riding a glass elevator up the side of the building.  Find your height when    you first see a landmark you know is 17 kilometers away.   Give an exact answer.  20.   From the top of a building you can see 50 kilometers.  Find the height of the building.  Give   an exact answer.                       

116

Chapter 8  Quadratic Equations   8.1  Solving Quadratic Equations Using the Square Root Property  Learning Objectives: 

1. Review factoring to solve quadratic equations. 2. Use the square root property to solve quadratic equations. 3. Use the square root property to solve applications. 4.     Key Vocabulary:  zero factor property, square root property  

A.  Solving Quadratic Equation using the Square Root Property Quadratic Equations—is an equation of the form:  02 =++ cbxax  Square Root Property of Equations: If a is a positive number and      ax =2  then  ax ±=   Example 1.  Solve the following.  1.  132 =x                                   2.  0349 2 =−x        3.  ( ) 366 2 =+x                                4.  ( ) 05316 2 =+−x          

117

5.  0722316

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −y    

          B.  Applications of Quadratic Equations  Example 2.  Solve the following applications.  Give exact answer.  1.  Use the formula  216h t= to solve the following:  determine the time of a stuntman’s fall if he jumped 

from a height of 450 feet.    

             2.  Use the formula for the area of a square  2A s=  where s is the length of a side.  If the area of a 

square is 40 square inches, find the length of the side.              

118

8.1 Exercise  Use the square root property to solve each quadratic equation.  

1.  252 =x            2. 6412 =x              3.  492 −=x      

4.  310 2 =x           5  0112 =−x 6.  471 2 =x     

11.  ( ) 312 2 =−x          12. 161

41 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −m          13.  ( ) 25112 2 =−y   

14.  ( ) 8074 2 =−x  

15. The area of a circle is found by the equation 2rA π= . If the area of a certain circle is 20π square meters, find its radius. Give exact answer.  20.  A square gymnastics mat has a diagonal of 35 feet. Find the length of each side.   Give exact   answer.                              

x 35 ft.

x

119

8.2   Solving Quadratic Equations by Completing the Square  Learning Objectives: 

1. Solve quadratic equations of the form  2 0x bx c+ + =  by completing the square. 2. Solve quadratic equations of the form  2 0ax bx c+ + =  by completing the square. 3. Key Vocabulary:  completing the square, coefficient, perfect square trinomial 

A.  Completing the Perfect Square   Recall a perfect square:       A perfect Square:        Steps to make the expression a perfect square  • Divide the coefficient of x term by 2, and then square the result to obtain the last term.     Example 1.  Find the missing term(s) to make the expression a perfect square.  1.  +− xx 122             =    ( )2         2.  ++ xx 52                =    ( )2          B.    Solving Quadratic Equation by Completing the Square:        02 =++ cbxax   Steps for solving quadratic by completing the square:   

1.   Rewrite the equation to the form   cbxax 2 −=+ . 2.   The coefficient of  2x must be 1.    

3.   Compute 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b  and add to both sides of the equation. 

4.   Rewrite the left hand‐side as a perfect square. 5.   Use the square root property  ( )axax ±=⇒=2 to solve the resulting equation. 

    

120

Example 2.     Solve by completing the square.  1.    027244 2 =+− xx                               2.   0463 2 =++ xx                 3.    ( )( ) 614 −=−+ xx                

121

 8.2  Exercise  Solve each quadratic equation by completing the square.   1.  27122 −=+ xx         2.  492 =− xx             3.  0742 =−+ xx  

4.  ( ) 307 =−xx         5.  36123 2 =− xx           6.  5124 2 += xx  

7.  81742 2 =++ xx       8.  0152 2 =+− xx           9.  03147 2 =++ xx  

10.  0102 =− xx  

                                    

122

8.3     Solving Quadratic Equations by Quadratic Formula  Learning Objectives: 

1. Identify the values of a, b, c in the quadratic equations. 2. Use the quadratic formula to solve quadratic equations. 3. Approximate solutions to quadratic equations. 4. Key Vocabulary:  quadratic formula, standard form. 

 Quadratic Formula:   The solutions of  02 =++ cbxax ,  0≠a  are      Steps for solving quadratic equation using quadratic formula:   

1.  Rewrite the quadratic equation in standard form  02 =++ cbxax . 2.  If the equation contains fraction, then clear the fraction first.  3.  Identify a, b and c. 4.  Substituting these values in the quadratic formula.  

Example 1.  Solve.  1.  442 += xx                             

2. 41

83

4

2

=− xx    

           

123

8.3 Exercise  Use the quadratic formula to solve each quadratic equation.  1.  0762 =−− xx           2.  03102 2 =++ xx         3.  0136 2 =−x  

4.  xx =− 562             5.  147 2 =x             6.  223 2 −= xx  

7.  xx −= 14 2             8. 72

715 2 =− xx           9. 

4134 2 =− xx  

                                    

  

124

8.4    Graphing Quadratic Equations  Learning Objectives: 

1. Graph quadratic equations of the form  2y ax= . 2. Graph quadratic equations of the form  2y ax bx c= + + . 3. Key Vocabulary:  parabola, vertex, symmetric about the y­axis, line of symmetry, x­intercept,  

y­intercept, vertex formula. 

The graph of      cbxaxy ++= 2 ,  0≠a  is parabola that  1.  Open upward if a is positive.           2.  Open downward if a is negative. 

              A.  Graphing Parabolas by Plotting Points  Example 1.  Graph and label at least 5 points on the graph grid.  

1.  2

21 xy −=  

                 

-10

y

–10

10

10

x

x

y

y-intercept

x-intercept

Line of symmetry

Vertex x

y

y-intercept x-intercept

Line of symmetry

Vertex

125

2.  22 −= xy                B.  Graphing Parabolas Using the Intercepts and the Vertex Vertex—is the lowest point on a parabola that opens upward or the highest point on a parabola           that opens downward.  Steps for graphing a factorable quadratic equations. 1.   Find the y‐intercept by letting  0=x  and then solve for y. 2.   Find the x‐intercept by letting   0=y  and then solve for x. 

3.    Find the vertex by findabx

2−

= , then substitute the result into the equation and solve for y. 

  4.  Plot the points found in steps 1—3 and draw a parabola.  Example 1.  Graph the following equation.  Label the x, y‐intercepts and the vertex.  1.  962 +−= xxy                   

-10

y

–10

10

10

x

-10

y

–10

10

10

x

126

2.  322 +−−= xxy                          8.4  Exercise  Graph each quadratic equation by finding and plotting five ordered pair solutions.  

1. 24xy =   2.  22xy −=     3.  2

32 xy =

For each equation by      a) Find the y‐intercept   b) Find the x‐intercept(s)        c) Find the vertex       d) Sketch the graph and label all points found in (a)‐(c).  4.  782 ++= xxy           5.  322 −−= xxy         6.   862 −+−= xxy  

7.  442 −+−= xxy          8.  432 −−= xxy         9.  652 ++= xxy  

10.  542 −−= xxy  

  

 

  

 

-10

y

–10

10

10

x