math 2 eme

Michle Le BrasProfesseur de mathmatiques en lyce (78)

Annie SoismierProfesseur de mathmatiques en lyce (95)

Pour comprendre et russir !

Cahier demathsde

Remerciements

Les auteurs remercient vivement les enseignantes qui ont accept de participer la relecture critique de ce cahier : Odile Chazalviel, Frdrique Feibel et Anne Le Mercier.

Les auteurs remercient galement Christiane Perdon et Jacqueline Penninckx pour leurs conseils. Les auteurs remercient leurs familles pour leur patience et leurs conseils.

Couverture: Anne-Danielle Naname / Juliette LancienMaquette intrieure: Anne-Danielle Naname / Juliette LancienComposition: DeskSchmas: PatrickHanequandRecherche iconographique: KatiaDavidoff / Booklage Illustrations: Jean-Louis GoussPhotogravure: Nord Compo

Crdits photographiques

Couverture: Frederic Cirou / PhotoAlto / Getty Images.Intrieur: 37 Annie Soismier. 41 Annie Soismier. 61 Collection particulire. 71 Seth C Fisher / Shutterstock.com. 79 Natalia Siverina / Shutterstock.com. 83 Muse de Grenoble / Adagp, Paris 2013. 87 Johnny Sajem / Shutterstock.com. 90 Olena Mykhaylova / Shutterstock.com. 93topora / Shutterstock.com; Tish1 / Shutterstock.com.

www.hachette-education.com Hachette Livre 2013, 43, quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15.ISBN : 978-2-01-135590-4Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L122-4 et L122-5, dune part, que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective , et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement des auteurs ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite .Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre franais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

650 g q. CO2

La correspondance entre le programme of ciel et les ches est disponible en ligne :www.hachette-education.com > Espace enseignants > Lyce > Disciplines gnrales > Mathmatiques > 2de

Sommaire

Partir dun bon pied Svaluer .................................................................................................... 4 Se prparer ................................................................................................ 5 Fiche 1 Fonctions et algorithmes ......................................................................... 11 Fiche 2 Premires notions sur les fonctions ...................................................... 13 Fiche 3 Rsolution graphique dquations et dinquations............................. 15 Fiche 4 Variations et extremums dune fonction ............................................... 17 Fiche 5 Fonctions affines ...................................................................................... 21 Fiche 6 Transformations dexpressions algbriques .......................................... 23 Fiche 7 Fonction carr et fonction polynme de degr 2 .................................. 27 Fiche 8 Fonction inverse et fonction homographique ........................................ 29 Fiche 9 Rsolution algbrique dquations ......................................................... 31 Fiche 10 Rsolution algbrique dinquations ..................................................... 33 Fiche 11 Mettre un problme en quation ............................................................ 37 Fiche 12 Trigonomtrie ............................................................................................ 39 Fiche 13 Si ... alors ; Si ... alors ... sinon ............................................................. 41 Faire le point ............................................................................................................. 43

Faire le point ................................................................................................................ 43

Partir dun bon pied Svaluer ................................................................................................... 46 Se prparer .............................................................................................. 47 Fiche 14 Repres et coordonnes de points .......................................................... 51 Fiche 15 Milieu et distance .................................................................................... 53 Fiche 16 Configurations du plan ............................................................................ 55 Fiche 17 Droites dans le plan ................................................................................. 57 Fiche 18 Position relative et intersection de deux droites ................................. 59 Fiche 19 Translations et vecteurs .......................................................................... 63 Fiche 20 Coordonnes de vecteurs ......................................................................... 65 Fiche 21 Somme de vecteurs ................................................................................... 67 Fiche 22 Colinarit, paralllisme et alignement ................................................ 69 Fiche 23 Gomtrie dans lespace .......................................................................... 73 Faire le point ............................................................................................................. 75

Faire le point ................................................................................................................ 43

Partir dun bon pied Svaluer ................................................................................................... 76 Se prparer .............................................................................................. 77 Fiche 24 Moyenne dune srie ................................................................................ 79 Fiche 25 Mdiane et quartiles ................................................................................ 81 Fiche 26 Simulations sur calculatrice et tableur ................................................. 83 Fiche 27 Probabilit dun vnement .................................................................... 87 Fiche 28 Arbres et tableaux ................................................................................... 89 Fiche 29 Diagrammes et tableaux croiss ............................................................. 91 Fiche 30 Intervalle de fluctuation ......................................................................... 93 Faire le point ............................................................................................................. 95

THM

E

1 FonctionsTH

ME

2 Gomtrie

THM

E

3 Statistiques et probabilits

4THM

E

1 FonctionsS'valuerPartir d'un bon pied

Pour chaque question, entourer la ou les bonne(s) rponse(s).

A B C VOIR

1. Pour calculer lexpression4+232

on commence par effectuer:32 4+2 23 1 , p. 5

2. Pour calculer lexpression5+4(3+5)

on commence par effectuer:5+4 3+5 43 1 , p. 5

3. Le nombre

15

8+ est gal : 5

868

418

8 , p. 6

4. Le nombre (-3)2 est gal : -9 -6 9 13, p. 7

5.Le nombre 9 16+ est gal : 3+4=7 25 5= 9 16 12,52+ = 21, p. 8

6. Soit f la fonction qui, un nombre non nul, associe linverse de son carr. Pour tout nombre non nul x, on a:

( ) 21

f xx

= ( ) 2f x x=- ( ) 21f x xx

= 10, p. 6

7. La fonction f dont lexpression, pour tout nombre x, est donne ci-contre est une fonction affi ne:

f(x)=5-x f(x)=2x2 f(x)=3x Fiche 5, p. 21

8. f(x)=3x+4. L e coeffi cient directeur de la droite reprsentant la fonction f est:

3 443

Fiche 5, p. 21

9. Soit la fonction f reprsente gra-phiquement ci-dessous.On a:

1

x1 20

f (x) f(0)=1 f(0)=2 f(2)=0 Fiches 2, p. 13, et 5, p. 21

10. Lquation 2x =0 a pour solu-tion:

x=0 x=-212

x= 24, p. 9, etFiche 9, p. 31

11. Si 2x>5, alors: x>5-2 52

x< 52

x> 25, p. 9

12. Une forme factorise de lexpres-sion 2x-x(x+2) est: x(2-x+2) x(x+2) x(2-x-2)

5 , p. 5, etFiche 6, p. 23

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

55

Se prparerPartir d'un bon pied

Rgles de calcul

Ordre de priorit des oprationsOn effectue les calculs dans lordre suivant: 1lintrieur des parenthses ou des racines; 2les puissances, les produits, les quotients; 3les diffrences; 4les sommes.

Sur la calculatrice, les parenthses sont indis-pensables pour calculer les quotients:

( )( )3 53 5 8

12 6 2 6 8

++ = = =+ +

3+2,5+6=11,5

1 Calculer les expressions suivantes. Vrifi er les rsul-tats laide de la calculatrice.a. A= (5+3)2 - 37 + 242

A= 2 - + 2

A= - +

A= +

A= b. B= 3 9 16+ - 5(2-4)3

B = - ( )3

B= -

B= -

B=

B=

c. C= 372 - 2 9 152 4++

C= - 2

C= - 2

C=

C=

2 Sans utiliser de calculatrice, cocher pour chaque calcul la bonne rponse.

a. 3-5+2= 3-7 -2+2

b. 32-25= 305 6-10 3(-8)

c. 10-522= 10-20 54 10-102

Dvelopper un produitDvelopper un produit, cest transformer ce produit en somme algbrique.Pour tous les nombres k, a, b et c:

k(a+b-c)=ka+kb-kc

Penser multiplier tous les nombres lintrieur des parenthses par le nombre k.

3 Dvelopper les expressions suivantes:

A=2(3+a)=2 +2 =

B=-3(c+5)=-3 -3 =

C=5x(x-3)=5x -5x =

D=-2x(5-7x)= =

E=4a(2+b-c)=

E=

4 ter les parenthses, puis simplifi er les expressions suivantes.

En tant des parenthses prcdes du signe -, il faut penser changer tous les signes qui taient situs lintrieur de la parenthse.

A=5-(x2-x+3)=5- + - =

B=x-(x2+x+1)= - - - =

C=(x-1)-(x+1)=

D=1-(x2-3x-1)=

Factoriser une sommeFactoriser une somme, cest transformer cette somme en produit.Pour tous les nombres k, a et b non nuls:

k a + k b = k (a + b)k a - k b = k (a - b)

5 Factoriser au mieux les expressions suivantes:

A=3a-18=3 -3 =

B = -2x -16= -2 + -2 =

C=10-15a=5 -5 =5( -3 )

D=9x2-5x= x- x=

E=21x-49x2= 3 - 7x= ( )

F=b2-2b= b- b= ( )

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

8

64

21

21

43

3

3

15 (-40)

+

55

3 49246

147 4

- 8

139

147

4015

5 5 (-8)

25 5 -2

16

32

32

75

3

c

x

-2x 5 + 2x 7x

4a 2 + 4a b - 4a c

8a + 4ab - 4ac

-10x + 14x2

5

3 5x2 - 15x

-3c - 15

a 6 + 2a

x2

x2x

x - 1 - x - 1 = -2

1 - x2 + 3x + 1 = -x2 + 3x + 2

x 1 -x2 - 1

x 3 -x2 + x + 2

a

x

2

7x

b 2 b b - 2

7x 7x 3 - 7x

9 x 5 x(9x - 5)

3a 2 a

8 -2(x + 8)

6 3(a - 6)

6Se prparerPartir d'un bon pied FONCTIONS

6 Factoriser au mieux les expressions suivantes:

! Penser faire apparatre 1 lorsque le facteur commun est isol.

k + k a = k 1 + k a = k (1 + a)

A=3x+3=3x+3 =3( )B=x2+x=x +x =x( )C=49(x2+1)+49=49 +49 C=D=(x+1)2+(x+1)=(x+1) +(x+1) D=E=(x-5)-(x-5)x=E=

Les fractionsUne fraction est le quotient de deux nombres entiers a et b, o b est non nul. Ce quotient est not:

ab

a est le numrateur.b est le dnominateur.

7 Sans utiliser de calculatrice, crire sous forme de fraction irrductible, cest--dire une fraction quon ne peut plus simplifi er, les fractions suivantes:

56 763 7

= =

12045

= = =

12575

= =

Pour ajouter des fractions, on les rduit au mme dnominateur.Le dnominateur commun est le plus petit multiple commun tous les dnominateurs.

8 1. Dterminer le plus petit multiple commun des nombres suivants:

a.2; 3; 6;12: b.2; 4; 5; 10:

c.2; 3; 5; 7: d.6; 9; 15; 18: 2. Calculer les sommes suivantes et donner le rsultat sous forme de fraction irrductible:

1 2 1 25 3 5 3

A = - = - = - =

3 53 5

1 1 4 1 1 45 25 15 75 75 75

B =- + - =- + -

75 75 75B=- + - =

! Penser simplifi er les fractions avant de les rduire au mme dnominateur.

5 7 3 110 14 2 2

C= - + = - + =

3 52

7 28D= - +

2 3 51 7 28

D= - + =

9 Sans la calculatrice, calculer les produits suivants et donner le rsultat sous forme de fraction irrductible:

! Penser simplifi er le produit avant de le calculer.2 5 2 53 7 3 7

A= = =

3 8 3 84 27 27 4

B= = =

53

7C=

31 1 7

C= = =

5 3 14 44 10 9 7

D= =

D =

10 Sans calculatrice, calculer les quotients suivants:

Pour diviser un nombre par une fraction non nulle, on multiplie ce nombre par linverse de la fraction.

Linverse de la fraction ba

est la fraction ba

(avec a 0 et b 0).

2 52

3 35

A= = =

5577331

B

= = = =

334

5 42

C= = = = =

1 11 2 1

12 2 2

D= = = =+ +

14

31

26

E+

= = = = =+

11 Pour chaque calcul, cocher la (ou les) bonne(s) rponse(s).

a.

72

3- =

146

-

143

-

146

--

b.

42 6

=+

4 42 6+

48

12

c.

3 154 4 =

4516

1260

15

Penser

22

1= .

Penser 3

31

= .

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

1 x + 1x + 1x 1

(x2 + 1)

(x + 1)

(x - 5) 1 - (x - 5) x

1

49 [(x2 + 1) + 1] = 49(x2 + 2)

(x + 1)[(x + 1) + 1] = (x + 1)(x + 2)

(x - 5)(1 - x)

1

8912 10

9 5

3 255 25

94 2 8

3 3

3

12 20

210 90

5

8

315

15 3

15 3 20

12

5

1015

-715

3275

-

32

32

2 28 3 4 5 49 728 28 28 28 4 - + = =

1021

1 2 29 1 9 =

57

3 5 157

5 3 14 410 9 7 4

1 1 2 1 12 1

2 3 2 3 3 = =

103

57

13

521

25

3 25 4 3 1

5 2 3

10

132

23

12 13 3+

12 16 6+

133

136

133

613

2

7Se prparerPartir d'un bon piedFONCTIONS

12 laide de la calculatrice, calculer 13

15 817

- :

TI 82 Stats.fr, 83 Casio 35+

1 : Frac

15-813 17

Effectuer les calculs suivants en donnant le rsultat sous forme dune fraction irrductible. Vrifi er le rsul-tat obtenu laide de la calculatrice.

A=2-275

A=

A= =

B=8( 1 16 3

- )

B=8( )

B=8 ( )=

C=

42

75

-=

C=

C=

C=

C=

D=

21 1

13

3

- = -+

D=1-

D=1-

D=1- =

D=

Les puissancesPropritsPour tous les nombres a, b et tous les entiers n, p:a1 = a a2 = a a an = a a a (produit de n termes gaux a)Si a et b sont des nombres non nuls, alors a0=1 et:

(P0) a-n=1na

a-n est linverse du nombre an.

(P1) anap=an+p

(P2) -= pp

nna a

a(P3) (an)p=anp(P4) (ab)n=anbn

=

n n

nab

ab

13 Sans utiliser de calculatrice, cocher pour chaque calcul la (ou les) bonne(s) rponse(s).a. 10-3= 0,001 -30 0,0001

b. 2-3= -8 0,002

18

c. -24= -16 16 -8d. (-1)7= 1 -7 -1

e. (-3)-2= 6 19

21

3-

f. 31

2

= 16

-8 18

14 Complter les galits suivantes en indiquant lapro-prit utilise:

a.10-2106=10 =10 (P )

b.(10-2)3=10 =10 (P )

c.5

1 410

10 10

-

- -=10 =10 = (P )

d.42252=(425) = =10 (P )

15 Sans utiliser de calculatrice, complter les phrases suivantes:

a.Le carr de 6 est

b.Le carr de 13

est

c.Le cube de -2 est

16 1. Donner les rsultats des calculs suivants sous forme de puissances de 10:

(0,00001)3=(10 ) =10

10000003=(10 ) =10

2. a. Effectuer ces calculs la calculatrice et recopier laffi chage obtenu ct du rsultat correspondant.

b. Que remplace lcriture 1E?

3. crire sous forme de puissance de 10 lesexpressions suivantes, affi ches par la calculatrice:

1E15: 1E-15:

17 Les proprits des puissances sappliquent-elles pour calculer les nombres suivants?

Rpondre par Oui ou Non , puis effectuer le calcul demand.

A=32+34

A= =

B=32+52

B= =

C=333

C= =

D=51027(10-2)3

D= = =

E=5102+7(10-1)3

E= =Cahi

er d

e m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

2 141 5

-10 145 5

- 45

-

1 26 6

-16

- 43

-

14 47 7

5

-

1075

10 15 7

27

10 17 5

29 13 3

+

2103

3

210

35

5 33 5

-

25

-2 + 6

-2

-5 - (-5)

2

0

1002

3 -6

41

3

41

44

36.

-8.

1.

9

-5

6

3

3

-15

18

1E-15

1E18

1 10

1015 10-15

Non

Non

Oui

Oui

Non

9 + 81

9 + 25

34

35 102 10-6

500 + 7 10-3 500,007

0,0035

90

34

81

35 10-4

8Se prparerPartir d'un bon pied FONCTIONS

Racine carreDfi nitionLa racine carre dun nombre positif a est le nombre positif dont le carr est gal a. Elle est note a .

! a est un nombre quelconque. si a 0,alors 2a est gal a

si a 0, alors 2a est gal loppos de a

18 Rpondre par Vrai ou Faux aux affi rmations suivantes. Si la phrase est fausse, proposer une correction.a. Il existe deux nombres dont le carr est 9.

b. La racine carre de 16 est 4.

c. 9 a deux racines carres: 3 ou -3.

d. La racine carre de (p-5)2 est p-5.

19 Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes:a. ( )22- = b.( )22 5 = c. 223 = d. 0,25 = e. ( )27- =

f. ( )21 2- = g. ( )11 1 11+ = 20 Simplifi er les expressions en utilisant les proprits suivantes:

Pour tous les nombres a et b positifs:a b a b =

! Penser faire apparatre des carrs sous le radical: 2a b a b =

28A= = = = 2180 6B= = = =

4 3 3C = = 2 2C = = =

75 3 25D= = = 2 2D= = =

22 50 2E= + = + 2E= + =

21 Calculer la somme A+B en utilisant les proprits des racines carres.Utiliser la calculatrice pour calculer le nombre C.Comparer les rsultats obtenus pour A+B et pour C.

! Pour calculer la racine carre dun nombre la calculatrice, il faut placer des parenthses autour de ce nombre.

Exemple:

a. 49A= 16B= 49 16C = +49 16A B+ = + =

C = donc A+B C.

b. 16A= 64B= 16 64C = +16 64A B+ = + =

C = donc A+B C.

22 Dans chaque cas, cocher la (ou les) bonnes rponse(s).a. Le nombre 3 est:

le nombre positif dont le carr est 3.

gal 3.

gal 1,5.

b. Le nombre 40 9+ est gal :23 7 2 10 3+

c. Le calcul exact du nombre ( )2 210 8- - est: 2 210 8 10 8 2- = - = 100 64 36 6- = = 36 qui est gal 6 ou -6. 100 64 164- - = -

d. Le calcul exact du nombre 20 est:

4 5 2 5 = 16 4 4 2 6+ = + = 25 5 5 5- = -

quations du premier degrPour rsoudre une quation du premier degr, on isole la variable x dans un membre de lquation.a, b, c, d sont des nombres; a est non nul.

ax+b=c -bax=c-b

On calcule d=c-b.ax=d ax= d

a

xa

-b=c +bxa =c+b

On calcule d=c+b.xa

= d ax=da

23 Rsoudre les quations suivantes:a.x-1=0 x= x=La solution de lquation est Ca

hier

de

mat

hs 2

de

Pou

r co

mp

rend

re e

t r

ussi

r

H

ache

tte

2013

La p

hoto

copi

e no

n au

tori

se

est

un d

lit

.

Vrai

Vrai

Faux. 9 admet une seule racine carre : 3.

Faux. p - 5 < 0, donc ( )25p- = 5 - p.

2

0,5 7

20 23

2 1-

11 11+

2 2

5

4 3 3

2 3

75

3 5

5 2

25

155

3

3

3 3

22 2 2 226 5 6 5

2 3 6

6 2

7 + 4 = 11

4 + 8 = 12

65 >

>80

8,06

8,94

0 + 11

1.

9Se prparerPartir d'un bon piedFONCTIONS

b.x+5=0 x= x=La solution de lquation est .c. 3x=0 x=

x=La solution de lquation est .

d. 15x =

x= x=La solution de lquation est .e. 7x=-2 x=

La solution de lquation est .

f. 3

25x=

x= =

x=

La solution de lquation est .

24 Rsoudre les quations suivantes en utilisant la rgle du produit nul.

A(x) et B(x) sont deux expressions du premier degr de la mme variable x.A(x)B(x)=0 quivaut A(x)=0 ou B(x)=0.Cas particulier: [A(x)]2=0 quivaut A(x)=0.

a. (5x-1)(x-3)=0=0 ou =0

x= ou x=

Les solutions de lquation sont et

b. 7(2-x)(x+3)=0 7 0, donc :=0 ou =0

x= ou x=Les solutions de lquation sont et c. x(-x+2)=0

=0 ou =0x= ou x=Les solutions de lquation sont et d. 3(7-x)2=030 donc =0donc =0La solution de lquation est

Inquations et intervalles

InquationsPour rsoudre une inquation du premier degr, on isole la variable x dans un membre de linquation.

ax+b>c -bax>c-bOn calcule d=c-b.

Si a0, alors:

axd

xda

ax-b>c +bax>c+bOn calcule d=c+b.

Si a0, alors:

axd

xda

25 Dterminer les valeurs de la variable x telles que:a.x-3>5 x> x>b.-3x -3 -5

-2 - 5 -7

62

--

3

153-

10

Se prparerPartir d'un bon pied FONCTIONS

27 Rsoudre dans les inquations suivantes en donnant lensemble des solutions sous forme dintervalle:a. x-8

11

1Fonctions Lorsqu tout nombre x dune partie D de on associe un nombre

rel y et un seul, alors on dfi nit une fonction sur lensemble D. D est lensemble de dfi nition de la fonction f. On note: f: D x yx est une variable. x peut prendre pour valeur nimporte quel nombre de lensemble de dfi nition D.

y = f(x) est limage de x par f. Tout nombre de lensemble D a une image unique par la fonction f.

Algorithmes Un algorithme est la description dun ensemble doprations

excutes dans un ordre prcis. On commence toujours par la dclaration des variables (on nomme

toutes lesvariables utilises et on prcise leur type: nombre ou chane de caractres).

Lalgorithme commence par un dbut et se termine par une fi n. Il contient un nombre fi ni dinstructions: affectation, entre, calcul, test, boucle, sortie, etc.

On parle dentre lorsque lon demande lutilisateur du programme de saisir, par exemple, la valeur dune variable; on parle de sortie lorsque le programme affi che, par exemple, le rsultat.

Remarque: on peut dfi nir une fonction par un algorithme, mais un algorithme ne dfi nit pas toujours une fonction.

Dfinitions

FONCTIONS

Fonctions et algorithmes

Matriser les dfinitions

1 Justifi er pourquoi chaque phrase dfi nit ou non une fonction. Lorsquil sagit dune fonction, indiquer lensemble de dfi nition D et, lorsque cela est possible, une expression algbrique qui dfi nit limage par la fonction de tout nombre rel x de D.

a. tout nombre rel, on associe son double.

Cette phrase caractrise une fonction, car tout nombre rel a un seul double.

D = Pour tout rel x, f(x) =

b. tout nombre rel non nul, on associe son inverse.

Cette phrase dfi nit une fonction, car

D = Pour tout rel x non nul, g(x) =

c. tout nombre entier positif, on associe un nombre dont il est le carr .

Cette phrase ne dfi nit pas une fonction, car

d. tout nombre entier naturel, on associe la somme de ses chiffres.

Cette phrase dfi nit une fonction, car

D =

2 Pour chaque programme de calcul, choisir, parmi les expressions proposes, celle de limage du nombre x par la fonction f.a. Ajouter 7 un nombre ; lever au carr ; prendre loppos.b. lever au carr un nombre ; prendre loppos ; ajouter 7.c. Ajouter 7 loppos dun nombre; lever au carr.

Expression Programme

f(x)=-x2+7

f(x)=(-x+7)2

f(x)=-(x+7)2

Comportement dune grenouille

en fonction du temps

Sil pleut, alors la grenouille sort

de son bocal.Sinon,

elle se cache au fond.

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ris

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t un

dl

it.

2x

\ {0}

tout nombre

rel non nul possde un seul inverse.

, par

exemple, 9 a deux images : -3 et 3.

le rsultat de la

somme de ses chiffres est unique.

Pas dfi nie par une expression algbrique.

b

c

a

1x

12

Appliquer Algo

3 1. Dans lalgorithme suivant, encadrer la phrase indi-quant une entre, puis celle indiquant une sortie.

VariablesA, B et C sont des nombres rels.DbutSaisir la valeur de A.B prend la valeur 3A+2.C prend la valeur B2.Affi cher la valeur de C.Fin

2. Soit f la fonction dfi nie par cet algorithme.Donner son ensemble de dfi nition et lexpression delimage par f dun nombre x quelconque.

D= Pour tout rel x, f(x)=

4 On considre lalgorithme suivant:

VariablesA, B, N sont des entiers naturels.DbutSaisir A.N prend une valeur alatoire entire entre 0 et 10.B prend la valeur N A.Affi cher B.Fin

1. On affecte A la valeur 5. On obtient, par exemple, B = 15.

a. Quelle est alors la valeur de N ?

b. Donner deux autres valeurs possibles pour B:

2. Cet algorithme dfi nit-il une fonction?

5 On considre lalgorithme suivant, contenant un test:

VariablesA et B sont des nombres relsDbutSaisir A.Si A0 alors B prend la valeur A. Sinon B prend la valeur -A.Fin SiAffi cher B.Fin

1. Affecter A la valeur -4.Laffi chage la sortie de lalgorithme est B=

2. Cet algorithme dfi nit une fonction.

a. Lensemble de dfi nition est D= b. Deux nombres peuvent-ils avoir la mme image?

6 Une cole prpare un sjour dune semaine dans une station de ski, pour un groupe dlves.Pour la semaine, la location dun appartement, prvu pour 10personnes au plus, revient A=2000 et celle du matriel M=120 par personne. Le forfait individuel hebdomadaire cote F=150.On veut crire un algorithme qui affi che le cot total C, en euros, puis le prix du sjour par personne P, en euros, en fonction du nombre de participants N.

1. Quelles valeurs affecte-t-on aux variables suivantes?

A= ; M= ; F= .

2. Le tableau ci-dessous prsente, en partie, lcriture en langage de programmation de cet algorithme.

a. Complter ce programme, puis donner laffi chage obtenu pour un groupe de 8, puis de 10 lves.

TI 82 Stats.fr, 83 Casio Graph 35+

N=8: C= et P=N=10: C= et P=

b. crire lexpression du prix par personne P en fonction du nombre de personnes N.

P=f(N)=

c. Donner laffi chage obtenu pour un groupe de 8lves lorsque A=1800, M=130 et F=165.C= et P=

AideExercice 6 Les instructions de programmation sobtiennent par:

TI 82 Stats.fr, TI83 Casio Graph 35+

Saisir une valeur et la stocker en mmoire E/S 2 : Prompt A

PRGM ? A

Affi cher la valeur de A E/S 3 : Disp A A Affi cher la valeur de A E/S 3 : Disp A A

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auto

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t un

dl

it.

(3x + 2)2

N = 3

B = 10 ou B = 20 (exemples)Non, car, au

nombre 5, on associe plusieurs valeurs de B.

4.

.

Oui, par exemple, -2 et 2 ont la mme image, qui est 2.

2 000 120 150

A+M*N+F*NC/N CN

A+M*N+F*N

4 160

4 700

520

470

4 160 520

2 000 120 150 2 000 270N N NN N

+ + + =

213

Image et antcdentsSoit f une fonction dfi nie sur une partie D de :

Image Antcdents

f: D a ?

Pour calculer limage par une fonction f dun nombre rel a delensemble de dfi nition D, on remplace x par a dans lex-pression de f(x).

Exemple: D=f(x)= -2(x-1)2 + 31 D f(1)= -2(1-1)2 + 3 f(1) = 3

Limage de 1 par la fonction f est 3.Chaque nombre de D a une image unique par la fonction f.

f: D ? b

Pour dterminer les ant-cdents par une fonction f dun nombre rel b, on rsout dans lensemble D lquation f(x) =b.

Exemple: D=f(x) =-2(x-1)2 + 3

Dans , les antcdents de 1 par la fonction f vrifi ent:-2(x-1)2 + 3=1 (x-1)2=1Les solutions sont x=0 ou x=2, donc 1 a pour antc-dents 0 et 2 par la fonction f.

Courbe reprsentative dune fonctionDans un repre du plan, la courbe reprsentative de la fonction f est lensemble des points M(x; y) o: x D et y=f(x).

Exemple: Soit () la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre (O; I, J) et soit M le point de coordonnes (1; 3).

M(1; 3) () 1 D et f(1)=3

Mthodes

FONCTIONS

Premires notions sur les fonctions

Matriser les mthodes

1 On considre la fonction dfi nie par:

f : [-5; 5] x x2-3Complter les propositions suivantes:

a. D=

b. f(5) est de 5 par

c. f(0)= donc limage de 0 par la fonction f est

d. Pour dterminer tous les antcdents de 1 par la

fonction f, on rsout dans lintervalle [-5; 5] lquation x2-3= Cette quation est quivalente x2 = x2 = x= ou x=2 et -2 appartiennent lintervalle [-5; 5], donc a pour antcdents par la fonction f.

2 1. Complter de tte le tableau de valeurs de la

fonction dfi nie sur D = \{0} par ( ) 1xf xx+= .

x -1 -0,5 0,1 0,25 1f(x)

2. En dduire un antcdent de 0 par la fonction f.

3. a. Le point A(0 ; -1) appartient-il la courbe () reprsentative de la fonction f? Justifier.

b.B(2; 1,5) appartient-il la courbe () reprsentative de la fonction f? Justifier.

x

f (x) Images par f

Antcdentspar f

1

3

10 2

(#)

Arthur

Imagepar fdArthur

f

En bleu, la courbe reprsentative de la fonction f.3 est limage de 1 par la fonction f.0 et 2 sont des antcdents de 1 par la fonction f.I (1; 0) et J (0; 1).

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it.

[-5 ; 5]

limage la fonction f.

-3 -3.

1. 4.

4 -2 21

-2 et 2

-1 est un antcdent de 0 par la fonction f.

0 D, car on ne peut pas diviser par 0, donc le point A nappartient pas la courbe ().

2 0 donc 2 D, et f(2) = 1,5.Donc le point B(2 ; 1,5) appartient la courbe ().

0 -1 11 5 2

14

3 On a reprsent ci-contre la courbe () dune fonc-tion f dfi nie sur lintervalle ]-2; 2].

1. On veut dterminer limage de 1 par la fonction f.

Complter: Soit A le point dabscisse 1 de la courbe (). L du point A est -1, donc limage de 1 par la fonction f est -1. f(1)=

2. On veut dterminer les antcdents de -2 par la fonction f.

Complter : Un seul point de la courbe () a pour -2 : le point B. L

de ce point est -1,5. Donc -2 a pour par la fonction f.

x

f (x)

1

1

2

1123 2 30

A

B

(#)

3. Placer en rouge, sur le graphique ci-dessus, les

antcdents de 0 par la fonction f.

Appliquer

4 Valeurs dune fonction la calculatrice1. Soit la fonction f dfi nie sur lintervalle [-2; 3] par f(x)=-x2+x+2. En utilisant les instructions du tableau ci-dessous :a. Entrer lexpression de la fonction en Y1.b. Rgler convenablement le tableau de valeurs de lacalculatrice pour remplir le tableau suivant:

x -0,5 0 0,5 1f(x)

Dbut du tableau: Pas: c. En dduire un antcdent de 2,25 par la fonction f.

d. Calculer, laide de la calculatrice, limage de 57

par

la fonction f: 57

f =

2. Soit g la fonction dfi nie par ( ) 25

2g xx

= - .

a. Entrer lexpression de la fonction en Y1.

b. Dterminer la calculatrice limage de 0 par la fonc-tion g. Quelle affi chage obtient-on ? Expliquer.

c. Quel affi chage de la calculatrice obtient-on par lins-

truction Y1( )2 ? Vrifi er par le calcul.

TI 82 Stats.fr, 83 cran TI Casio 35+

Saisir lexpression de la fonction f

Appuyer sur , puis saisir lexpression en Y1.

Appuyer sur p, slectionner I, puis saisir lexpression en Y1.

Effectuer les rglages dutableau devaleurs de f

Appuyer sur . Entrer la plus petite valeur souhaite dans DbTabl, puis choisir le pas.

Appuyer sur p, slectionner I SET . Entrer la plus petite valeur souhaite dans Start, et la plus grande dans End, puis choi-sir le pas.

Affi cher untableau devaleurs de f Appuyer sur .

Appuyer sur p, slectionner I TABL.

Calculer limage de

23par f sous forme de

fraction irrductible

Sur lcran de calcul, on accde Y1 par:

Y-VARS1: Fonction(2/3)

1: Frac

p Q .

On accde Y1 par:o GRPH Y

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it.

ordonne

-1

ordonne

-1,5

abscisse

antcdent

1,25 2 2,25 2

-0,5 0,5

0,5 est un antcdent de 2,25 par la fonction f.

On obtient un message derreur, car on ne peut pas

diviser par 0.

On obtient limage de 2 par la fonction g.

La calculatrice affi che 0,5.

10849

( )( )2

5 52 2 2 2,5 2 0,5

22g = - = - = - =

15

3

Rsoudre graphiquement une quationSoit f et g deux fonctions dfi nies sur une partie D de et () et (') leurs courbes reprsentatives. Soit k un nombre rel.

Rsoudre graphiquement dans D lquation f(x)=k revient dterminer dans D les antcdents de k par f, cest--dire les abscisses des points de la courbe () dordonne gale k.

Cas particuliers: Les solutions dans D de lquation f(x)=0 sont les antcdents

de 0 par la fonction f, cest--dire les abscisses des points dintersection de la courbe () avec laxe des abscisses.

Rsoudre graphiquement dans D lquation f(x)=g(x) revient dterminer dans D les abscisses des points dintersection des deux courbes () et (').

Mthodes

FONCTIONS

Rsolution graphique dquations et dinquations


1 Soit f la fonction dfi nie sur ]- ; 4] dont la courbe reprsentative () est donne ci-contre.1. a.Pour rsoudre graphiquement lquation f(x) =3, on place, sur la courbe (), les points dordonne 3 et on lit les de ces points.

b. Recopier ici lensemble S des solutions: S=

2. De quelle quation les abscisses des points violets sont-elles les

solutions?

x

1

1

(#) f (x)

0

x2

2

11 60

(#)

3 4 5

4

f (x)

Antcdents2

Lquation f(x)=-4 admet une seule solution: x=2.Lquation f(x)= 0 admet deux solutions : x=0 et x=4.

x

f (x)

2

4

6

8

1 2 3

(#)

(# )

0

Lquation f(x) = g(x) admet deux solutions : x=0 et x=2.

2 Rsoudre graphiquement, en utilisant la courbe ci-dessous, lquation x2=4.

x

2

4

6

7

1 22 3 4 5 6 73 14567 0

y

y = x2

Lensemble S des solutions de lquation est:

S =

3 Rsoudre graphiquement lquation: -4(x-1)2+4=2x.

On lit les des points dintersec-tion des deux courbes.

x

1

2

3

4

1 2

y y = 4(x 1)2 + 4

y = 2x

0

Lensemble S des solutions de lquation est :

S=Cahi

er d

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abscisses

{-5 ; 2}.

Ce sont les solutions de lquation f(x) = 0.

{-2 ; 2} {0 ; 1,5}

abscisses

16

Appliquer

4 Soit f la fonction dont la courbe reprsentative () est donne ci-dessous :

x

2

4

1 212 0

y2

(#)

3 3

1. Donner lquation dont les abscisses des points marqus en rouge sur le graphique ci-dessus sont solu-tions: 2. Reprsenter en rouge lensemble S des solutions de

linquation f(x) 0 : S = 3. Complter le tableau suivant:

x - -3 +Signe

de f(x) + 0 0 +

5 Soit f et g les fonctions dfi nies sur lintervalle [0; 2] par:

( ) 25

1f x

x x=

+ + et g(x) = (x+1)2.

laide de la calculatrice, on veut dterminer les solu-tions de lquation f(x) = g(x) sur lintervalle [0 ; 2].

1. a. Entrer lexpression de f(x) en Y1 et celle de g(x) en Y2.b. En consultant le tableau de valeurs, rgler convena-blement la fentre.c. Tracer les courbes sur lcran de la calculatrice, puis lire labscisse du point dintersection des deux courbes.

2. Daprs laffi chage de la calculatrice, la solution, arrondie au dixime, de lquation f(x) = g(x) est

Rsoudre graphiquement une inquation Rsoudre graphiquement dans D linquation f(x) g(x) (resp.

f(x) g(x)) revient dterminer dans D les abscisses des points pour lesquels la courbe reprsentative de la fonction f est situe au-dessus (resp. au-dessous) de la courbe reprsentative de la fonction g.

Cas particuliers: Les solutions dans D de linquation f(x) 0 (resp. f(x) 0) sont

les abscisses des points pour lesquels la courbe reprsentative de la fonction f est situe au-dessus (resp. au-dessous) de laxe des abscisses.

On dtermine ainsi graphiquement le signe de la fonction f sur D.

Mthodes

x

2

4

11 2 6

(#)3 4 5

f (x)

20

Linquation f(x)0 a pour ensemble de solutions lintervalle [0; 4].Signe de la fonction f sur :

x - 0 4 +

f(x) - 0 + 0 -

AideExercice 5


5: IntersecLe curseur pointe la courbe de Y1. Appuyer sur

. Il pointe alors la courbe de Y2. Appuyer sur , puis choisir la valeur initiale et appuyer de nouveau sur . La calculatrice affi che les coordonnes du point dintersection.

Ly (G.Solv) ISCT Le curseur se place sur le point dintersection, puis la calculatrice affi che les coordonnes du point dintersection.

Pour rsoudre une quation de la forme f(x) = 0, entrer lexpression de f(x) en Y1, entrer 0 en Y2, puis suivre les instructions prcdentes.Y2, puis suivre les instructions prcdentes., puis suivre les instructions prcdentes.

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it.

f(x) = 0.

[-3 ; -1] [1 ; 3]

- + 0

-1 1 3

- 00,6.

17

4

Sens de variationSoit f une fonction dfi nie sur son ensemble de dfi nition D et Iunintervalle inclus dans D. La fonction f est croissante sur lintervalleI

lorsque, pour tout rel x1 et tout rel x2 de lintervalle I, si x1x2, alors f(x1)f(x2).

xx2

M2

M1

x1I

f (x)

f (x2)

f (x1)

O

Les nombres x1 et x2 et leurs images sont rangs dans le mme ordre.

La fonction f est dcroissante sur lintervalleI lorsque, pour tout rel x1 et tout rel x2 de lintervalle I, si x1x2, alors f(x1)f(x2).

xx2

M2

x1I

f (x)

f (x2)

f (x1)

O

M1

Les nombres x1 et x2 et leurs images sont rangs dans lordre inverse.

tudier les variations de la fonction f sur son ensemble de dfi nition D, cest rechercher les inter-valles de D sur lesquels cette fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est dcroissante.

On rsume les variations de la fonction dans un tableau de variations.

Dfinitions

FONCTIONS

Variations et extremums dune fonction


1 Soit f la fonction dfi nie sur lintervalle [0,5 ; 2,5] dont la courbe reprsentative de f est donne ci-des-sous :

x

f (x)

1

2

2

1

1 2 30

(#)

1. Sur laxe des abscisses, colorier lintervalle sur lequel f est croissante.

2. Complter les phrases suivantes:

a. Sur lintervalle [0,5; 1], f est b. Sur lintervalle , f est croissante.

c. Sur lintervalle [2 ; 2,5], f est

d. f est croissante sur lintervalle [1,5 ; 2], donc f(1,5) f(2).

e. f est sur lintervalle [2; 2,5], donc f(2) f(2,5).

3. La phrase suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifi er.f(1,5) > f(2,5) donc f est dcroissante sur lintervalle [1,5 ; 2,5].

4. a. Placer sur la premire ligne du tableau ci-dessous les bornes des intervalles o la fonction est croissante ou dcroissante.

Ces valeurs sont lues sur laxe des

b. Sur la deuxime ligne, dessiner les fl ches correspon-dant aux variations de la fonction.

x 0,5 2,5

f(x)1,6

- 1,61,6

-1,6

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it.

dcroissante.

[1 ; 2]dcroissante.

dcroissante

La phrase est fausse : f est croissante sur lintervalle

[1,5 ; 2] et dcroissante sur lintervalle [2 ; 2,5].

abscisses.

1 2

18

Appliquer

2 Soit f la fonction dfi nie sur lintervalle [-2; 4] par:

( ) ( )( )1 32

x xf x

+ -=

1.Complter le tableau de variation de cette fonction:

x -2 1 4

f(x)

2. Comparer les nombres suivants:

f(-2) f(-1); 23

f f(1);

53

f

73

f .

3. Sur lintervalle [-2 ; 1], la fonction f est Sur lintervalle [1 ; 4], la fonction f est La fonction f admet un minimum sur lintervalle [-2 ; 4] en de valeur

3 Soit g une fonction, dfi nie sur lintervalle [-4 ; 8], telle que g(-4)=4 et telle que lquation g(x)=0 a pour solutions S={-2;2;6}.1. Complter le tableau de variations de la fonction g:

x -4 0 4 8

g(x) -2 03

-2

2. Tracer, dans le repre ci-dessous, deux courbes reprsentatives de la fonction g respectant toutes lesdonnes du tableau prcdent.

x

g (x)

1

2

3

4

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 912345 0

4 Soit f la fonction dfi nie sur lintervalle D = [-4; 4] par la courbe reprsentative () donne ci-dessous.Complter les phrases suivantes avec les expressions la courbe (), la fonction f, f(x), positive, ngative, croissante, dcroissante.

x

f (x)

2

2

1 2 31234 0

(#)

a. Sur lintervalle [0; 3,5], se situe en dessous de laxe des abscisses, donc

est

b. Sur lintervalle [-4 ; -2], est

c. Lquation = 0 admet trois solutions sur D.d. Sur lintervalle [2; 3,5], est ngative et

e. Sur lintervalle [-2; 0], est et

f. Sur lintervalle [-3,5; 0], admet un maximum en x=-2.g. Sur lintervalle [0 ; 4], admet un minimum en x=2.

ExtremumSoit M(xM; f(xM)) et m(xm; f(xm)) deux points de la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre (xM I et xm I). La fonction f admet sur lintervalle I un maximum en xM lorsque,

pourtout nombre rel x de lintervalle I, f(x)f(xM). La fonction f admet un minimum en xm sur lintervalle I lorsque,

pourtout nombre rel x de lintervalle I, f(x)f(xm).Exemple : Soit f la fonction dont la courbe reprsentative est donne ci-contre. f admet un maximum en -2 et un minimum en 0.

Mthodes

xI

f (x)

f (2)

f (0)

02

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it.

2,5-2

-24

0 0

2 6

2,5

(#)(# )

> > 2, ( )23 4

2 4

xx--

0,

donc S(x) - 12 ou encore S(x)

d. Quelle est alors la valeur minimale de laire du triangle et pour quelle valeur de x est-elle atteinte?

8 On veut raliser un pavage avec des carrs dont les cts mesurent 10cm et des triangles isocles:

On souhaite utiliser le moins de motifs possible.Pour cela, on calcule la longueur de la base des triangles isocles afi n que leur aire soit maximale.Soit ABC un triangle iso-cle de sommet principal A, oAB=AC=10cm et BC=xcm. On note H le milieu de [BC].

1. Pour rpondre au problme, il faut dabord exprimer laire du triangle en fonction de x.

a. quel intervalle I doit appartenir x pour que le triangle existe? On rappelle que BC BA+AC.

b. Donner la formule de laire du triangle ABC en fonction

de x et de AH:

c. Il reste donc exprimer AH en fonction de x.Quel thorme permet de calculer AH dans le triangle ABH? Donner lexpression de AH en fonction de x.

d. Laire du triangle ABC sexprime donc par :

A(x)=

2. On a dfi ni une fonction A sur lintervalle I.

a. Reprsenter cette fonction sur lcran de la calculatrice.

b. Utiliser les fonctions de la calculatrice pour lire la longueur, arrondie lunit, de la base du triangle pour que laire du triangle soit maximale: x cm.

A

xHB C

10 10

Lire, comprendre et rsoudre

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t un

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it.

13,5 12 12,5 13,5 14,7

OC2

23

322 2 4

xx xx

x

- =

-

La valeur minimale de laire du triangle est atteinte

pour x = 4.

0 12

La valeur minimale de laire du triangle est 12 cm2 et

ce minimum est atteint pour x = 4.

0 < x 10 + 10, donc I = ]0 ; 20].

Daprs le thorme de Pythagore, dans le triangle

ABH rectangle en H, on a BH2 + AH2 = 100.

Donc 2

2 1004x

AH = - . Soit 2

1004x

AH = -

.

14

( ) 2

x AHA x =

2

2100

4100

2 2 4

xx

x x

- = -

21

5Fonction affi ne, fonction linaireSoit a et b deux nombres rels. La fonction f dfi nie sur par f(x)=ax+b est une fonction affi ne. Si a0 et b=0, alors f(x)=ax; f est une fonction affi ne

particulire appele fonction linaire.

Proprit: laccroissement moyen dune fonction affi ne f, entre deux nombres distincts quelconques x1 et x2, est constant et gal a :

( ) ( )2 1

2 1

f x f xx x-

=-

a

Variations Si a>0, alors la fonction affi ne est croissante sur . Si a

22

Appliquer

3 Soit f et g deux fonctions affi nes. crire leurs expres-sions, aprs avoir dtermin les coeffi cients.

1. f(1)=2 et f(2)=1( ) ( )2 1

2 1

f f-= =-

a

b=f(1)- 1=

f(x)=

2. g(-1)=-2 et g(2)=3( ) ( )

( )............. .............

2 1

g g-=- -

a'

a' = =

b'=g(-1)-

b'=

f(x)=

4 Algo Le programme suivant permet de dter-miner les coeffi cients a et b dune fonction affi ne :


1. Que reprsente le quotient (H - F)/(G - E)?

2. Vrifi er les rsultats trouvs lexercice 3.

5 Dans le graphique ci-dessous, chaque droite est la reprsentation graphique dune fonction affi ne.

1. Lire le coeffi cient directeur et lordonne lorigine, puis indiquer, pour tout rel x, lexpression de f(x).

2. Prciser le sens de variation de la fonction f.

a. (D1): a= b= f(x)=f est car

b. (D2): a= b= f(x)=f est car

c. (D3): a= b= f(x)=f est car

d. (D4): a= b= f(x)=f est car

x

1

2

1

2

1 2 3123 0

y (D1)

(D3)(D2)

(D4)

Lire, comprendre et rsoudre

6 Pendant les soldes, un commerant affi che 15% de remise sur tout le magasin.

1. Soit x le prix dun article avant remise (x0). Exprimer le prix pay aprs la remise en fonction de x.

f(x)=

2. Que reprsente le calcul de f(6) ?

3. Calculer le prix avant remise dun article pay 2,21 .

7 Luc va au cinma situ 3km de chez lui. Au mme moment, Jules quitte ce cinma et emprunte la mme route que Luc. Luc marche la vitesse de 4km/h. Jules, sur son skate, roule la vitesse de 8km/h.

Les deux garons vont-ils se rencontrer? Si oui, quelle distance du cinma?1. La distance d parcourue (en kilomtres) sexprime en fonction de la vitesse v (en km/h) et de la dure t (en heures) par d(t)=vt.a. Souligner la phrase qui permet dexprimer en fonction de la dure t la distance d parcourue par Luc. d(t)=b. La distance D qui le spare du cinma sexprime en fonction de la dure t par D(t) = 3 - d(t), soit D(t)=c. Encadrer la phrase qui permet dexprimer en fonction de la dure t la distance D' qui spare Jules du cinma.

D'(t)=2. Quelle relation, permettant de rpondre aux questions crites en bleu dans lnonc, vrifi ent D(t) et D'(t)?

Les deux garons se rencontrent km du cinma.

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- = --

1 21

2 1-x + 3

(-1)

-1

3

2

+3 23

53

-5 13 3

x

( ) -5 13

- + = -5 123 3

(H - F)/(G - E) est laccroissement de la fonction affi ne entre les valeurs E et G de la variable.

3

0,5

-2

0

1

-2

3

-1

3x + 1

0,5x - 2

-2x + 3

-1

croissante sur

croissante sur

dcroissante sur

constante sur

a > 0.

a > 0.

a < 0.

a = 0

0,85x

Le prix aprs remise dun article au prix de 6 .

Le prix avant la remise dun article pay 2,21 est

environ 2,60 .

= = 2,210,85 2,21 2,600,85

x x

4t

3 - 4t

8t

D(t) et D'(t) vrifi ent D(t) = D'(t).3 - 4t = 8t 12t = 3t = 0,25 donc D'(t) = 0,25 8 = 2

2

23

6

Transformations dcriture Se prparer, 3 6 , p.5 et 6.

Dvelopper, rduire, ordonner une expression Dvelopper une expression, cest crire cette expression sous

la forme de somme de termes. Exemple: pour tout rel x: 2x+x(x+1)=2x+x2+x (forme dveloppe) =x2+3x (forme rduite et ordonne) Factoriser une expression Factoriser une expression, cest crire cette expression sous la forme

dunproduit de facteurs. Exemple: pour tout rel x, 2x+x(x+1)=x(2+(x+1))=x(x+3) Autres transformations dune expression

Simplifi er Exemple: pour tout rel x, ( )6 46 24

46 6

xxx

-- = = -

Rduire au mme dnominateur Exemple: pour tout rel x non nul, 2 2

1x

x x++ =

Proprits matriser Pour tous les rels a, b et k :

Identits remarquables Autres proprits (a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2=a2-2ab+b2 (a+b)(a - b)=(a+b)(a - b)=a2 - b2

(ka)2 = k2a2 (ka+kb)2=k2(a+b)2

Proprits

FONCTIONS

Transformations dexpressions algbriques

Matriser les proprits

1 Dans chacun des cas suivants, dire si lexpression donne est crite sous forme dveloppe, factorise ou sous une autre forme:

a. x2+(2x-3)(-3x+5) b. 5x2+2x-4 c. (2x-9)2 d. 4(x-9)2-(x-3)(x+2) e. 1 + x2 - 5x2 + x - 3

2 Dans chaque cas, complter les galits afi n de dvelopper, rduire et ordonner suivant les puissances dcroissantes de x les expressions donnes.

a. 3x(x+1) =b. 2(3x)(5x-3) = (5x-3) =c. 7x-3-x(x-5) =7x-3-( ) =7x-3- =d. 3x-1-x(-x+2)=3x-1-( ) =3x-1+ =

3 Complter les galits suivantes, afi n de dvelopper, rduire et ordonner les expressions donnes:

a. (x-3)2=x2 2 x+32=b. (3x+4)2=( )2+2 x+( )2 =c. ( 1

2x-2)2=( )2- x+( )2

=

4 Algo Aubin a crit lalgorithme suivant :

Variablesa, b, c, d et e sont des nombres rels.DbutSaisir a et b.Affecter c la valeur a2.Affecter d la valeur 2ab.Affecter e la valeur b2.Affi cher c, d, e.Fin

Que fait cet algorithme ?

Attention!

Un faux ami:le signe -

5-2(x-4)=5-2x+4

Une amie:la parenthse

( )5 221

5 5

xx - ++- =

5 25x- -=

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it.

Autre forme

Dveloppe

Factorise

Autre forme

Dveloppe

3x2 + 3x6x

x2 + 5x

x2 - 2x x2 + x - 1

-x2 + 12x - 3-x2 + 2x

30x2 - 18xx2 - 5x

-

9x2 + 24 x + 163x 12

2 1 2

4

3 x2 - 6 x + 9

12

x

21 2 44

x x- +

Il affi che c, d et e tels que

(ax + b)2 = cx2 + dx + e.

24

FactorisationUne expression est factorise au mieux lorsque lon ne peut plus la factoriser.Les connaissances mises en jeu pour factoriser sappuient sur:

la reconnaissance dun facteur commun Exemple: 2x2+x(x+1)=2xx+x(x+1)=x(2x+(x+1))=x(3x+1)

lutilisation didentits remarquables Exemple: x2-4=x2-22=(x+2)(x-2)

la mise en application des points prcdents dans une mme expression Exemple: x2-4+x(x-2)=(x+2)(x-2)+x(x-2)=(x-2)[(x+2)+x]

Il nest pas toujours possible de factoriser une expression.Exemples: x2 + 1 ne se factorise pas. 4(x - 1)2 + 9 = [2(x - 1)]2 + 32 ne se factorise pas.Toute expression qui peut scrire sous la forme dune somme de deux carrs ne se factorise pas.

Mthodes

Matriser les mthodes et les proprits

5 Complter les galits, afi n de factoriser lesexpres-sions suivantes (penser aux identits remarquables).

a. x2+2x+1= b. x2-4x+4= c. x2- 121=( )2-( )2= d. 4x2-25=( x)2-( )2= e. x2-2=( )2-( )2=

6 En rpondant par oui ou non, dire dans chacun des cas suivants si lexpression est factorise au mieux.

a. -3(x-1) b. x2(1-3x) c. (x - 1)(3x + 6) d. x(x2 + 1) e. (1-x)2 f. 2x(1-x2) g. (x2-2)(x+1) h. (x+1)(3x2+2) i. (3x-1)2-9 j. 3x(x+2)+x

Appliquer

7 Complter le tableau suivant en effectuant le mme travail que celui indiqu dans les deux premires lignes afi n de commencer factoriser. Se prparer, 6 , p.6.

ExpressionIdentit

remarquable

Existence dunfacteur

communPremire factorisation obtenue

(2x-3)(x+2)+(x+2)(x2+1) Non (x+2) (x+2)[(2x-3)+(x2+1)]x2-1 Oui Non (x-1)(x+1)

x(2x-8)+3xx2+x

(x-7)2-(x-7)(2x-3)x2-x

(x+2)(5-2x)+(x+2)x2-3

x2-(x+1)2 [x+ ][x- ](-x+1)2-4x2 [(-x+1)+ ][(-x+1)- ]

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(x + 1)2

(x - 2)2

(x + 11)(x - 11)(2x + 5)(2x - 5)

x 11

52

x 2 ( )( )2 2x x+ -

oui oui

non oui

oui non

non oui

non non

Non x (x)[(2x - 8) + 3](x)(x + 1)

(x - 7)[(x - 7) - (2x - 3)](x)(x - 1)

(x + 2)[(5 - 2x) + 1]

Non x

Non (x - 7)

Non x

Non (x + 2)

Oui Non

Oui Non

Oui Non

(x + 1) (x + 1)

2x2x

( )( )3 3x x+ -

25

68 Complter les galits suivantes afi n de factoriser

au mieux les expressions donnes. On pensera utiliser le travail mis en place dans le tableau de lexercice prcdent:

a.7x2-6x=

b.(2x+3)(x2-4)+5(2x+3) = [ + ] =

c.(x+11)2-(x+11)(3x+4) = [ -( )] = ( - ) =

d.3(2x+1)2-5(2x+1) = [ -5] = [ x+ -5] = =

e.(x+2)2+x+2=(x+2)2+1 = [ + ] =

9 Aymar dveloppe les deux expressions suivantes: A(x)=(3-x)2=(-1)(x-3)2=-x2+6x-9 et B(x)=(5x-10)2=25x2-100x+100.Silvre fait de mme et crit : A(x)=(3-x)2=(x-3)2=x2-6x+9 et B(x)=(5x-10)2=5(x-2)2=5x2-20x+20.Afi n de se mettre daccord, ils utilisent un logiciel de calcul formel et obtiennent les rsultats ci-dessous :

Complter les galits suivantes, puis indiquer qui a rai-son en utilisant les rsultats ci-dessous.

A(x)=[(-1)(x-3)]2=( )2(x-3)2= ( )2

B(x)=[ (x-2)]2= ( )2 (x-2)2= ( )2

Pour A(x): Pour B(x):

10 Avec un logiciel de calcul formel, Igor a obtenu: Avec un logiciel de calcul formel, Igor a obtenu:

Expliquer ce quil a voulu obtenir et retrouver ce rsultat.

(x-3)2-(2x+1)2=

11 Anthelme veut factoriser lexpression suivante:x2-25+(x-5)(2x+1).

Il crit:x2-25+(x-5)(2x+1)=(x-5)2+(x-5)(2x+1) =(x-5)(x-5+2x+1) =(x-5)(3x-4)Il sassure de son rsultat en utilisant un logiciel de calcul formel et il obtient laffi chage suivant:calcul formel et il obtient laffi chage suivant:

Persuad davoir fait une erreur, il utilise nouveau le logiciel et obtient les affi chages suivants:logiciel et obtient les affi chages suivants:

1. Quelle erreur a-t-il faite dans son travail?

2. Faire nouveau la factorisation sans erreur et retrou-ver le rsultat affi ch.

x2-25+(x-5)(2x+1)= = = =

12 On considre les fonctions f et g dfi nies sur par: f(x)=x2-10x+9 et g(x)=(x-5)2-16.

1. Que peut-on conjecturer laide de laffi chage sui-vant, obtenu par un logiciel de calcul formel?

2.Utiliser le rsultat donn par cet affi chage, pour ob-tenir une factorisation de f(x).

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it.

x(7x - 6)

(2x + 3)(x2 + 1)

(x + 11)(-2x + 7)

(x + 2)(x + 3)

(2x + 1)(6x - 2)2(2x + 1)(3x - 1)

(2x + 3)

(x + 11)

(2x + 1)

(x + 11)

(x + 2)

(2x + 1)

(x2 - 4)

(x + 11)

3(2x + 1)

x + 11

(x + 2)

6

5

3x + 43x - 4

1

3

-1

5 255

Silvre Aymar.

x - 3

x - 2

(x + 2)

Il a voulu obtenir la factorisation de (x - 3)2 - (2x + 1)2.[(x - 3) + (2x + 1)][(x - 3) - (2x + 1)]

= (3x - 2)(x - 3 - 2x - 1) = (3x - 2)(-x - 4) = -(3x - 2)(x + 4)

Il a confondu (x - 5)2 et x2 - 52.

(x2 - 52) + (x - 5)(2x + 1)(x + 5)(x - 5) + (x - 5)(2x +1)(x - 5)[(x + 5) + (2x + 1)](x - 5)(3x + 6) = 3(x - 5)(x + 2)

Pour tout rel x, f(x) = g(x).

Pour tout rel x, f(x) = (x - 5)2 - 16 = (x - 5)2 - 42

f(x) = [(x - 5) + 4][(x - 5) - 4] = (x - 1)(x - 9)Pour tout rel x, f(x) = (x - 1)(x - 9).

26

13 Soit v la fonction dfi nie sur par:v(x)=x2-6x+14

1. Voici ce que donne un logiciel de calcul formel:Voici ce que donne un logiciel de calcul formel:

Comment interprter le rsultat affi ch?

2. a. laide du rsultat ci-dessous, que peut-on conjecturer?conjecturer?

b. Dmontrer cette conjecture.

c. Justifi er le rsultat obtenu en 1.

14 Soit h la fonction dfi nie sur par:

h(x)=(3x+1)2-3x(2x+2)-2(1-x)

Un logiciel de calcul formel permet dobtenir:h(x)=3x2+2x-1 et h(x)=(x+1)(3x-1).

Dans chacun des cas suivants, indiquer lcriture de h(x) la mieux adapte pour obtenir par calcul les rsul-tats donns par ce logiciel.

a.Pour calculer h(0):

b.Pour calculer 13

h :

c.Pour rsoudre h(x)=0:

d.Pour rsoudre h(x)=-1:

Matriser les critures fractionnaires

Se prparer, 8 , p.6.

15 Logique Dans chacun des cas suivants, dire si les propositions sont vraies ou fausses et justifi er.

a. Si, pour tout rel x non nul, ( )2 32

x xA x

x+= et

( ) 32

xB x

+= , alors A(x)=B(x):

b. Si, pour tout rel x, ( ) 3 22

xA x

-= et B(x)=3x-1, alors A(x)=B(x):

16 Complter les galits suivantes afi n de mettre les expressions donnes sous forme dcritures fractionnaires:

a. Pour tout rel x non nul, ( ) 23A xx

= + .

( ) 3 2 3 2 21 1

A xx x x x x

= + = + = + =

b.Pour tout rel x diffrent de 1, ( ) 151

B xx

= --

.

( ) ( )( )

5 1 11 1 1

B xx x

= - = - - -

= =

17 Soit f la fonction dfi nie pour tout rel x non nul par ( ) 4f x x

x= + . On obtient par logiciel de calcul formel:

1. En utilisant chacun de ces rsultats, montrer que, pour tout rel x non nul :

( ) ( )21 3

2x

f xx

- +- =

2. Montrer que, pour tout rel x strictement positif, f(x)2.

3. Le rel 2 est-il un minimum pour la fonction f sur lintervalle ]0; +[?

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it.

On ne peut pas factoriser v(x).

Pour tout rel x, v(x) - 5 = (x - 3)2.

Pour tout rel x, v(x) - 5 = x2 - 6x + 14 - 5v(x) - 5 = x2 - 6x + 9 = x2 - 2 3x + 32 = (x - 3)2.Pour tout rel x, v(x) - 5 = (x - 3)2

Pour tout rel x, v(x) - 5 = (x - 3)2, soit v(x) = (x - 3)2 + 5 = (x - 3)2 + ( 5 )2

Cette expression ne se factorise pas.

Vrai (avec x 0)

Faux Pour x = 1,

et

x

x - 1x - 1

3x

h(x) = 3x2 + 2x - 1

h(x) = (x + 1)(3x - 1)

h(x) = (x + 1)(3x - 1)

h(x) = 3x2 + 2x - 1

( )2 33 32 2 2

x xx x xx x

++ += =

( ) 3 2 112 2

A-= =

( )1 3 1 2B = - =

3 2xx+

5 51

xx

--

5 5 11

xx- --

5 61

xx

--

Pour tout rel x, (x - 1)2 0 (x - 1)2 + 3 > 0.

Si x > 0, alors ( )21 3

0x

x- + > . Donc f(x) - 2 > 0.

Pour tout rel x strictement positif, f(x) > 2.

Non, car, pour tout rel x

strictement positif, f(x) 2.

( ) ( )22 2 1 34 2 4

2 2xx x x

f xx x x

- ++ - +- = - = =

27

7FONCTIONS

Fonction carret fonction polynme de degr 2

Fonction carr Dfi nition: La fonction carr est la fonction dfi nie sur qui

tout nombre rel associe son carr. Pour tout rel x, f(x)=x2. Variations La fonction carr est dcrois-

sante sur lintervalle ]-; 0]. La fonction carr est croissante

sur lintervalle [0; +[.

x - 0 +

f(x) = x2 0

Reprsentation graphique Dans un repre orthogonal, la courbe reprsentative de la fonction

carr est la parabole dquation y=x2, desommet lorigine O du repre et dont laxe de symtrieest laxe des ordonnes du repre.

Fonction polynme de degr 2 Dfi nition: Une fonction polynme de degr 2 est une fonction

dfi nie sur par f(x)=ax2+bx+c, o a, b et c sont des rels donns, a0.

On peut prouver quil existe des rels a et b tels que :f(x)=a(x-a)2+b.

La courbe reprsentative de la fonction f est alors la parabole de sommet le point S de coordonnes (a; b) et dont laxe de sym-trie est la droite dquation x = a.

Variationsa0

x - a +

f(x) b

a0

x - a +

f(x) b

Dfinitions et mthodes

Matriser les dfinitions et les mthodes

1 Complter, laide des symboles ou =, lesexpressions suivantes en utilisant les proprits dela fonction carr et le schma prsents ci-contre.

a. 0,52 22

b. ( )21 2- ( )22 1-c. (-2,5)2 (-2)2

d. (-2,5)2 1,52

e. Si x>2, alors x2 4.

f. Si x2 4, alors x -2 ou x2.

g. Si -2

>> 3, alors 1 13x

1 1

3x . f.Si x -3, alors 1 1

3x>- .

g.Si -3

30

3 Pour chacune des fonctions suivantes: prciser lensemble de dfi nition; dire sil sagit dune fonction homographique en dterminant les valeurs des coeffi cients a, b, c et d.

a. ( ) 21

xf x

x=

+ D=\{ }

a= b= c= d=

ad= bc= Donc ad bc.

Donc f une fonction homographique.

b. ( ) 3 26 4

xf x

x-=-

D=\{ }

a= b= c= d=

ad= bc= donc ad bc.

Donc f une fonction homographique.

f(x) se simplifi e: ( )( )

-= = =-

.......3 26 4 2

xf x

x

4 Dterminer lensemble de dfi nition de chaque fonction, puis reconnatre lhyperbole qui la reprsente.

a. ( ) 1f xx

= D= Courbe ( )

b. ( ) 12

f xx

=+

D= Courbe ( )

c. ( ) 12

f xx

=-

D= Courbe ( )

x

y

1

2

1

2

2 4 62 1357 31 5 746 0

(#3)(#2) (#1)

Appliquer

5 Infl uence des coeffi cients sur lallure dune hyperbole1. Sur la calculatrice, entrer en Y1 lexpression de la fonction inverse et la reprsenter en trait gras (voirfi che7, exercice 5, p.28).2. a. Reprsenter sur lcran de la calculatrice lesfonc-

tions dfi nies sur * par ( ) 2g xx

= , ( ) 1h xx

-= et ( ) 2k x

x= - , en entrant Y2=2/x, Y3=(-)1/x et

Y4=(-)2/x.b. Ces fonctions ont-elles le mme sens de variation que

la fonction inverse?

3. Complter les tableaux de variation de la fonction f, dfi nie par ( )f x

x= a a tant un rel non nul:

a0

x - 0 +

( ) =f x ax

a0

x - 0 +

( ) =f x ax

6 Soit la fonction f dfi nie sur par ( ) 2 54

xf x

x-=

-.

1. Dterminer lensemble de dfi nition de la fonction f.

D=2. On a reprsent ci-aprs la courbe () reprsentative de la fonction f, ainsi que les droites dquations y=0,5; y=2 et y=3.En dduire le nombre de solutions sur lintervalle repr-sent de lquation f(x)=k, pour:k=0,5: Fiche 3, p.15.k=2: k=3:

x

y

2

4

4 8 124 16812 0

(#)

3. Un logiciel de calcul formel affi che les rsultats suivants:

a. Que signifi e le premier rsultat affi ch pour lacourbe() et la droite dquation y=2?

b. Vrifi er la nouvelle expression de f(x) du second affi chage. Fiche 6, exercice 16, p. 26.

4. En dduire une dmonstration du premier affi chage.

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

-1

2

2 0

3

-12 -12 =

3x - 23x - 2

-2 6 -4

0 1 1

est

nest pas

23

12

*

\{-2}

\{2}

Non, lorsque a < 0, les fonctions sont croissantes sur chacun des intervalles.

\{4}

une solution

pas de solution une solution

La courbe () ne coupe pas la droite dquation y = 2.

( )+ - + - -+ = = =- - - -

3 2 43 3 2 8 2 52

4 4 4 4

x x xx x x x

Pour tout rel x 4 : 3 32 2 04 4x x

+ = =- -

Cest impossible car 3 nest pas nul, donc lquation

f(x) = 2 na pas de solution.

3

2

1

31

9Rsoudre dans une quation de la forme x2=kOnsappuie sur la reprsentation graphique de lafonction carr.

k>0 : x2=k quivaut x =- k ou x = k . Exemple: lquation x2=2 a pour solutions, dans , 2- et 2 .

k=0 : lquation a une seule solution: x=0.

k

- 254

et

254

-52

et

52

- 11x2 - 4

- 11x2 - 4

- 11x2 - 425 25

2 >

-3 2 et +3 2 .

>

x2 - 25

- 5 et 5.

x2 - 25

- 2

-5-5

0 0 5

0 ou f(x)

34

tude du signe dun produitPour tudier le signe dun produit sur un ensemble D, on utilise un tableau de signes que lon complte ainsi: On place en ordre croissant sur la premire ligne du tableau les

valeurs de la variable qui annulent chacun des facteurs du produit. On indique dans chaque ligne du tableau le signe de chacun des

facteurs, puis on complte la dernire ligne en appliquant la rgle des signes sans oublier les zros.

Mthodes


3 Complter les phrases, graphiques et tableaux de signes suivants, puis rsoudre linquation f(x)0.a. f(x)=(x+3)(x-2)On recherche les valeurs qui chacun

desfacteurs du produit:

x+3=0 x=-3 x-2=0 x=2

x - +Signe

dex+3 x3

Signe dex-2 x

2

Signe def(x)

Lensemble des solutions de linquation f(x) 0 est

b. f(x)=4x(5-x)

4x=0 x= 5-x=0 x=

x - +Signe de4x x

Signe de 5 - x x

Signe def(x)

Lensemble des solutions de linquation f(x) 0 est

4 1.tudier le signe de la fonction f dfi nie sur par:f(x)=(5-x)(7-x)

=0 x= =0 x=

x - +Signe

de5 - x xSigne

de 7 - x xSigne def(x)

2. On dfi nit sur la fonction h par : h(x)=-4(5-x)(7- x)

a. Le signe de h(x) est-il le mme que celui de f(x)?

b. Quelles sont les valeurs qui annulent h(x)? c. Complter le tableau de signes de h(x).

x - +

Signe de h(x)

5 On veut rsoudre, dans , x2+2x+3>0.1. Peut-on utiliser un tableau de signes pour rsoudre

cette inquation? 2. Montrer que, pour tout rel x, (x+1)2+2=x2+2x+3.

3. Utiliser cette nouvelle expression pour dterminer lesigne de x2+2x+3 et rsoudre linquation donne.

6 Dire dans chaque cas si les affi rmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifi er.

a. 5-3x>0 53

x>

b. Pour rsoudre linquation x2+3>0, on utilise un tableau de signes.

c. x(x-5)>0 x>0 et x>5

d. Le tableau suivant donne le signe de la fonction h, dfi nie par h(x)=(x+3)(x-4):

x - -3 4 +

Signe de h(x) - 0 + 0 -

Cahi

er d

e m

aths

2d

e P

our

com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

annulent

-35

2

7-

-

-

+

-

+

+

+

-

+

0

0

0

0

0

0

0

++

+

-

-

+

+

-

+

-

00

0

0

0

0

0

+-

+

-

+

-

-

+

-

+

lunion dintervalles ]- ; -3] [2 ; +[.

0 5

0

5

5

7

lintervalle [0 ; 5].

5 - x 5 7 - x 7

Non : -4 < 0, donc -4(5 - x)(7 - x) est de signe contraire de celui de f(x).

5 et 7.

Non, car il sagit dune somme.

(x + 1)2 + 2 = x2 + 2x + 1 + 2 = x2 + 2x + 3

(x + 1)2 0 et 2 > 0.Donc, pour tout rel x, (x + 1)2 + 2 > 0.Tous les rels sont solutions de linquation donne.

Faux : 53

x 0.

0

5

7

5

35


7 1. tudier, laide du tableau ci-dessous, le signe de 2 13x

x--

dans \{3}.

2x-1=0 x= 3-x=0 x=

x - +

Signede2x-1 x

Signe de3-x x

Signe de --

2 13

xx

2. De quelle inquation les intervalles coloris en bleu sur la premire ligne forment-ils lensemble des solutions?

3. Donner lensemble des solutions de linquation:

2 10

3x

x- >-

8 On veut rsoudre dans \{1} linquation 5 01 x

>-

.

Complter les phrases et le tableau suivants:

5>0, donc a le mme signe que 1-x sur \{1}.

x - 1 +

Signe de

51 x-

Lensemble des solutions de linquation est

9 quel quotient correspond le tableau de signes ?

( ) 21

xA x

x-=+

; ( ) 12

xB x

x+=-

; ( ) 12x

C xx

+=-

.

x - -1 2 +

Signe du numrateur - 0 + +

Signe du dnominateur + + 0 -

Signedu quotient - 0 + -

Appliquer

10 Un professeur demande lensemble des solutions dans de linquation x216. Naomi rpond: x8. Ioan rpond: x4.Le professeur prcise que des nombres ngatifs sont solutions de cette inquation.1. Donner un exemple de nombre ngatif vrifi ant x216.

2. Jules rpondalors les solutions de linquation vri-fi ent x-8 ou x8. Ainhoa objecte: x-4 ou x4 et Manuela affi rme: x-4 ou x4.a. tudier, sur , le signe de x2-16.x2-16=( )( )

=0 x= =0 x=

x - +Signe

dex-4 xSigne

dex+4 xSigne

dex2-16

b. Dterminer lensemble des solutions de linquation x216, puis indiquer le prnom de llve qui a raison.

10tude du signe dun quotient On indique dans le tableau le signe du numrateur et

du dnominateur, puis on complte la dernire ligne en appliquant la rgle des signes, sans oublier les zros et la double barre au niveau des valeurs interdites.

Mthodes

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

our

com

pre

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hett

e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

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dl

it.

0,5

3

3

-

+

-

0

0

+

+

+

0

+

-

-

2 13x

x-- 0.

Lensemble des solutions est lintervalle ]0,5 ; 3[.

51 x-

+ -

lintervalle

]- ; 1[.

0,5

Par exemple, x = -6 : x2 = 36 et 36 > 16.

x - 4 x + 4x - 4 4 x + 4 -4

-4 4

-

-

+

0

0

-

+

-

0

0

+

+

+

x2 16 x2 - 16 0 S = ]- ; -4] ]4 ; +[.Donc cest Manuela qui a raison.

0,5

3

4

4

36

13

3x

x< -

-

.......................................

03x

0.3. Retrouver laide de ces derniers rsultats lesrsul-tats conjecturs au 1.b.

13 Les trajectoires de deux fuses de feux dartifi ce suivent deux paraboles (P1) et (P2) associes res-

pectivement aux fonctions f(x) = -(x - 3)2 + 4 et g(x)=-0,5(x-3)2+3 avec x en dizaines de mtres.

x

y

2

4

2 4 61 3 50

(P2)

(P1)

On veut connatre la longueur pour laquelle la trajec-toire bleue est plus haute que la trajectoire orange.On admet que :

f(x)-g(x)= ( )( )0,5 3 2 3 2x x- - - - +tudier le signe de cette diffrence et conclure.

3 2 0x - - = x= ;

3 2 0x - + = x=

x 0,5 +Signe de( ),- - -x0 5 3 2Signe de- +3 2xSigne

def(x) - g(x)

Pour tout rel x , f(x)-g(x)0,donc f(x) g(x) sur cet intervalle.La fuse bleue est au-dessus de la fuse orange sur une

longueur gale soit sur environ Cahi

er d

e m

aths

2d

e P

our

com

pre

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et

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Hac

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e 20

13La

pho

toco

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non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

( )1 3 03

xx

- - 4, lhyperbole (H) est au-dessus de la droite (T).

le mme signe.

Si x > 4, alors f(x) > 2, donc lhyperbole (H) est au-dessus de la droite (T).

84x -

x > 4

3 2+

3 2+

3 2-

3 2-

+

-

-

0

0

+

+

+

0

0

-

+

-

3 2 ; 3 2 - +

2 2 28,2 m.

37

1111Pour mettre un problme une inconnue en quation: on dfi nit linconnue en indiquant quel ensemble de nombres

elle appartient; on traduit le texte par une galit comportant linconnue; on rsout lquation ainsi obtenue; on vrifi e le rsultat obtenu si la rsolution nest pas faite par

quivalence.

Pour rsoudre une quation une inconnue, on peut utiliser: les mthodes algbriques de rsolution des quations; les fonctions numriques en sappuyant sur des lectures graphiques; un logiciel de calcul formel.

FONCTIONS

Mettre un problme en quation


1 Pour un jeu, Mathilde doit distribuer quitablement Ncartes aux diffrents joueurs:Si elle donne 7 cartes chacun, il lui en manque 15.Si elle en donne 5, il lui en reste 3.Problme: Combien y a-t-il de joueurs?

1. Dfi nir linconnue x et lensemble de nombres auquel elle appartient.

2. Exprimer, de deux faons diffrentes, en utilisant laphrase crite en bleu, puis la phrase crite en vert, lenombre N de cartes distribuer.

3. Mettre le problme en quation.

4. Premire mthode: utilisation des fonctionsSoit f et g les fonctions affi nes suivantes:

f(x)=7x-15 et g(x)=5x+3.On a reprsent ci-dessous les courbes de f et g:

x

y

10

20

30

40

50

2 4 10 116 82 1 1 3 95 73 0

A

y = 5x + 3

y = 7x 15

a. Quelle quation doit-on rsoudre graphiquement?

b. Rsoudre graphiquement cette quation.

c. Vrifi er le rsultat obtenu, puis conclure.

5. Seconde mthode: rsolution dune quationRsoudre lquation obtenue en 3 et conclure.

2 Problme: Existe-t-il deux entiers naturels cons-cutifs tels que leur produit soit gal leur somme?

1. On note x et (x+1) ces deux entiers. quel ensemble appartient x?

2. Mettre le problme en quation et justifi er que lquation rsoudre est quivalente x2=x+1.

3. a. Reprsenter laide de la calculatrice les fonctions f et g dfi nies sur par f(x)=x2 et g(x)=x+1.Choix de la fentre: x[-2,5; 2,5] et y[-1; 3,5].b. Par lecture graphique, indiquer le nombre de solu-tions de lquation x2=x+1.

c. Le problme a-t-il des solutions? Justifi er.

Mthodes

Statue du mathmaticien Fibonacci au cimetire monumental de Pise, Italie. La clbre suite de Fibonacci fait intervenir lquation x2-x-1=0.

Cah

ier

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2d

e P

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ndre

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rus

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e 20

13La

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t un

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it.

x reprsente le nombre de joueurs. x *.

N = 7 x - 15 ; N = 5 x + 3

7 x - 15 = 5 x + 3

f(x) = g(x)

(f) et (g) ont pour seul point commun A(9 ; 48).f(x) = g(x) x = 9

7 9 - 15 = 48 5 9 + 3 = 48Il y a 9 joueurs.

7 x - 15 = 5 x + 3 7x - 5x = 3 + 15 2x = 187 x - 15 = 5 x + 3 x = 9. Il y a 9 joueurs.

x (x + 1) = x + (x + 1) x2 + x = 2x + 1x2 + x = 2x + 1 x2 = x + 1

Lquation x2 = x + 1 a deux solutions.

Non, car les solutions ne sont pas des entiers.

x

38

3 Dans la fi gure ci-dessous, ABCD est un rectangle. AB=8 et BC=6. M est un point du segment [AB] et Qun point du segment [BC] tels que AM=QC.P est le point du segment [AD] tel que AMNP est un carr. Le point R est tel que MBQR est un rectangle.

A

P N

R

M B

Q

D C

Problme: Dterminer la position du point M par rap-port au point A telle que la somme des aires des qua-drilatres AMNP et MBQR soit gale la moiti delaire du rectangle ABCD.

1. Souligner les parties du texte qui permettent de choi-sir linconnue x. Dfi nir cette inconnue.

2. Exprimer en fonction de x la somme des aires desquadrilatres AMNP et de MBQR.

Aire de AMNP:

Aire de MBQR:

Somme des aires:

3. Mettre le problme en quation et justifi er que lquation rsoudre est x2-7x+12=0.

4. Soit la fonction g dfi nie par g(x)=x2-7x+12.a. laide de la calculatrice, reprsenter (g).b. En dduire par lecture graphique les solutions delquation g(x)=0. Justifi er.

c. Conclure.

5. On obtient laffi chage suivant par un logiciel de calcul formel:

Utiliser laffi chage obtenu pour rsoudre le problme.

4 Pour broder le pourtour dune nappe, Clotilde uti-lise un motif compos de deux morceaux de courbes reprsents ci-dessous.

x

y

1

1

2

2

3

21 30

y = 4x2 + xy = 13x

Le dessin est compos sur lintervalle [0; 3]: en bleu dune partie de la courbe reprsentative delafonction f, telle que f(x)=4x2+x; en violet dune partie de la courbe reprsentative

delafonction g, telle que ( ) 3 1g xx

= - .

Problme: Clotilde veut savoir, en partant du point de coordonnes (0; 0), quel moment elle doit changer de courbe.

1. Quelle quation doit-elle rsoudre sur lintervalle ]0; 1]?

2. Montrer que cette quation quivaut sur ]0 ; 1] lquation 4x3+x2+x-3=0.

3. Soit h la fonction dfi nie par h(x)=4x3+x2+x-3.Soit a le nombre rel de ]0; 1] solution de h(x)=0.a. Sans calculatrice, calculer h(0) et h(1), puis donner un encadrement de a.

h(0) = h(1) = < a < b. Recommencer avec h(0,5).

h(0,5) = < a < c. Avec la calculatrice, en choisissant une fentre adap-te, reprsenter h et dterminer la valeur de a.

Cah

ier

de m

aths

2d

e P

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com

pre

ndre

et

rus

sir

Hac

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e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

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t un

dl

it.

x reprsente la distance AM. AM = QC, Q [BC] et BC = 6. Donc AM 6. x est un rel ; x [0 ; 6].

x2.

MB BQ = (8 - x) (6 - x)x2 + (8 - x) (6 - x)

x2 + (8 - x) (6 - x) = 12

6 8

x2 + 48 - 6x - 8x + x2 = 24

2x2 - 14x + 48 - 24 = 0

x2 - 7x + 12 = 0

On dtermine les abscisses des points communs (g) et laxe des abscisses.

On obtient x = 3 ou x = 4.

x2 - 7x + 12 = 0 g(x) = 0. On conjecture quil existe deux positions possibles : x = 3 ou x = 4.

x2 - 7x + 12 = 0 (x - 4)(x - 3) = 0 x = 4 ou x = 33 et 4 appartiennent [0 ; 6].On peut placer le point M en deux positions :

AM = 3 ou AM = 4.

f(x) = g(x) sur ]0 ; 1].

(avec x ]0 ; 1])

-3

-1,75

3 0

0,5

1

1

a = 0,75. Par le calcul, on vrifi e : h(0,75) = 0.Clotilde doit changer de courbe lorsquelle atteint sur

la premire courbe le point dabscisse 0,75.

2 23 34 1 4 1 0x x x xx x

+ = - + - + =

3 2 3 22 3 4 3 4 34 1

x x x x x xx x

x x x x x x+ - ++ - + = + - + =

3 22 3 4 34 1 0

x x xx x

x x+ - ++ = - =

2 3 234 1 4 3 0x x x x xx

+ = - + + - =

39

1212() est le cercle trigonomtrique (cercle orient de rayon lunit).Droite relle et cercle trigonomtrique Par la mthode de lenroulement de la droite numrique sur

lecercle(), on est amen admettre que: tout nombre rel x, on peut associer un unique point M sur

le cercle trigonomtrique (); tout point M du cercle trigonomtrique (), on peut associer

uneinfi nit de rels: si les rels x1 et x2 sont associs au mme point de (), alors leur diffrence est un multiple de 2p.

Cosinus et sinus dun nombre relSoit x un nombre rel et M lunique point de () associ x.Dans le repre orthonorm (O; I, J), M a pour coordonnes (cos(x) ; sin(x)).

Proprits: Pour tout rel x: (cos(x))2+(sin(x))2=1 (aussi crit cos2(x)+sin2(x)=1); -1cos(x)1 et -1sin(x)1

Rel

02

;x p

06p

4p

3p

2p

Angle IOM (en degrs) 0 30 45 60 90

cos(x) 13

22

2

12

0

sin(x) 012

22

32

1

Dfinitions et proprits

FONCTIONS

Trigonomtrie

Matriser les dfinitions et les proprits

1 Le plan est rapport au repre orthonorm (O; I, J).En justifi ant par un calcul, dire si les rels donns sont associs au mme point sur le cercle trigonomtrique, en rpondant oui ou non.

23p- et 4

3p

1219p et 37

3p

2 Dans chacun des cas suivants, dire si lquation donne, dinconnue x, a des solutions, en rpondant oui ou non.

a. ( ) 1cos2

x =- b. ( ) 5sin2

x =-

c. ( ) 7cos5

x = d. ( ) 3sin2

x =

3 Logique Rpondre par vrai ou faux aux affi rma-tions suivantes:

a. Si 0 ; 2

x p

, alors sin(x)0.

b. Si ; 2

x p p

, alors cos(x)0.

c. Si ; 02

x p -

, alors sin(x)0.

4 Calculer sin6

p en compltant les galits suivantes:

2 2cos sin6 6

p p + = et cos 6p =

21 cos 16

p= - = - =1- =

0 ; 6 2

p p , donc sin

6

p 0, donc sin 6 p =

sin x

cos x

1

O I

JM

P

2

(#)

+

1

x

0

Cah

ier

de m

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2d

e P

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com

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ndre

et

rus

sir

Hac

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e 20

13La

pho

toco

pie

non

auto

ris

e es

t un

dl

it.

Oui

Non

Non

Non Oui

Oui

4 2 62

3 3 3

p p p- - = = p 121 37 10

9 3 9p p p- =

Vrai

Faux

Faux

1 32

2sin6

p

23

2

34

14

1 14 2=>

40

Appliquer

5 Dans le repre orthonorm (O; I, J), on dfi nit le point K(1; 1) et () le cercle trigonomtrique.

1. Soit M1, M2 et M3 les points respectivement associs

aux rels 6p

, 4p

et 3p

. Complter les phrases suivantes:

a. sin6

p = donc le point M1 a pour 12

.

b. cos3

p = donc le point M3 a pour 12

.

c. 2IOM = , OIKJ est un carr, donc IOK =

2. Utiliser les rsultats prcdents pour construire sur() les points M1, M2 et M3 uniquement la rgle.

O I

KJ

(#)

+

3. a. Placer le point E symtrique de M3 par rapport O.

b. En dduire le rel appartenant [0; 2p[ associ E.

c. crire les coordonnes de M3, puis celles de E.

d. En dduire les valeurs exactes de 4

cos3

p et 4

sin3

p .

6 Algo A et B sont deux entiers non nuls. Voici un programme de calculatrice qui permet dencadrer le

nombre AB

par deux entiers cons

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