Mathcad - Esercitazione (Punto 3)

ESERCITAZIONE DI PROGETTO DI STRUTTURE - Anno Accad emico 2013/2014Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè

OGGETTO:- Punto 1: Analisi dei carichi di una copertura in calcestruzzo armato adibita a parcheggiosopraelevato.

- Punto 2: Definizione dello schema statico di un portale principale, costruzione della matricedi rigidezza con il metodo degli spostamenti, determinazione degli spostamenti incogniti edelle caratteristiche delle sollecitazione.

- Punto 3: Progetto e verifica delle sezioni armate della trave e delle colonne costituenti il telaioprincipale.

- Punto 4: Esempio di calcolo del punzonamento di una piastra in calcestruzzo armato.

- Punto 5: Esempio di calcolo di una trave parete con il metodo STRUT&TIE.

- Punto 6: Analisi modale con risposta spettrale del portale pricipale di cui ai punti precedenticon riferiemento alla zona dell'Aquila (Abruzzi).

- Punto 7: Criterio di Gerarchia delle Resistenze applicato alla trave ed alle colonne.

PUNTO 1 - DESCRIZIONE DELLA STRUTTURA E ANALISI DEI CARICHI:Copertura in calcestruzzo armato classe C28/35, adibita a parcheggio. Di seguito si riportanole caratteristiche dei matariali, l'analisi dei carichi e la geometria delle sezioni trasversali:

Calcestruzzo Classe C28/35

Rck 35 MPa⋅:=

fck 28 MPa⋅:=

αcc 0.85:= (coefficiente che tiene in conto gli effetti dei carichi di lungo termine)

γc 1.50:= (coefficiente di sicurezza del calcestruzzo armato)

Resistenza a compressione di calcolo:

fcd

αcc fck⋅

γc15.87 MPa⋅=:=

Determinazione del modulo di elasticità normale:

Ecm 22000fck 8 MPa⋅+( )

10 MPa⋅

0.3

⋅ MPa⋅ 32308.25 MPa⋅=:=

Deformazione al raggiungimento della massima tensione di compressione fcd:

εc2 0.0020:=

Deformazione ultima del calcestruzzo:

εcu2 0.0035:=

Acciaio per armatura B450C:

fyk 450 MPa⋅:=

γs 1.15:= (coefficiente di sicurezza dell'armatura)

Resistenza a trazione di calcolo:

fyd

fyk

γs391.3 MPa⋅=:=

Modulo di elasticità dell'acciaio per armatura:

Es 200000 MPa⋅:=

Deformazione al raggiungimento della tensione di snervamento:

εyd

fyd

Es

0.001957=:=

Deformazione ultima dell'acciaio:

εud 0.0675:=

__________________________________________________________________________________________

Analisi dei carichi:

Si consideri di realizzare una copertura in calcestruzzo armato adibita a parcheggio,caratterizzata da una serie di portali trasversali aventi dimensioni "in asse" pari a Lt=12 m e

Hc=5m aventi interasse pari a 4m. L'impalcato di copertura è realizzato con soletta monolitica

in calcestruzzo armato avente spessore pari a tslab = 25 cm, con finitura in calcestruzzo

elicotterato alleggerito con spessore pari a tfloor = 10 cm e peso specifico pari a 18 kN/mc.

Longitudinalmente la struttura è "stabilizzata" per mezzo di indonee pareti di taglio realizzatesulle due testate della struttura. Tale assunzione consente di analizzare "preliminarmente" iltalaio trasversale senza tenere in debita considerazione gli effetti longitudinali.

Dimensioni del telaio da analizzare:

Lt 12 m⋅:= (distanza trasversale tra le colonne)

Hc 5.m:= (altezza delle colonne)

i 4.m:= (interasse longitudinale tra i telai)

tslab 0.25 m⋅:= (spessore della soletta monolitica)

tfloor 0.1 m⋅:= (spessore della finitura in calcestruzzo alleggerito)

γcls 25kN

m3

⋅:= (peso specifico del calcestruzzo armato)

γcls_all 18kN

m3

⋅:= (peso specifico del calcestruzzo alleggerito)

Azioni di progetto permanenti:

G1.slab tslab γcls⋅ 6.25kN

m2

⋅=:= (carico dovuto alla soletta in calcestruzzo)

G2.floor tfloor γcls_all⋅ 1.8kN

m2

⋅=:= (carico dovuto alla finitura in calcestruzzo alleggerito)

Azioni di progetto variabili:

Q1 2.50kN

m2

⋅:= (carico dovuto alle autovetture - cat. F - NTC2008 )

Predimensionamento del traverso e delle colonne:Al fine del predimensionamento è lecito assumere il traverso come doppiamente incastrato ocome semplicemente appoggiato ed il pilastro soggetto alla compressione dovuta ai carichigravitazionali. Nella realtà "tanto maggiore è la rigidezza del traverso" tanto esso si comporteràmaggiormente come una trave in semplice appoggio, riducendo sensibilmente le flessionitrasmesse da esso sulla testa ai pilastri.Si assumono le seguenti dimensioni trasversali di tentativo: - Traverso: 40 x 80 cm- Colonna: 40 x 40 cm

Coefficienti di sicurezza allo Stato Limite Ultimo:γG 1.30:= (coefficiente di sicurezza per carichi permanenti )γQ 1.50:= (coefficiente di sicurezza per carichi variabili )

Dimensioni di tentativo del traverso:ht 80 cm⋅:=

bt 40 cm⋅:=

Dimensioni di tentativo delle colonne:hc 40 cm⋅:=

bc 40 cm⋅:=

Dimensionamento del trasverso:

q γG ht bt⋅ γcls⋅( )⋅ γG G1.slab G2.floor+( )⋅ i⋅+ γQ Q1⋅ i⋅+ 67.26kN

m⋅=:=

MEd.t_1

q Lt2⋅

12807.12 kN m⋅⋅=:= oppure MEd.t_2

q Lt2⋅

81210.68 kN m⋅⋅=:=

VEd.t

q Lt⋅

2403.56 kN⋅=:=

La verifica di idoneità della dimensione del traverso si attua mettendo a confronto l'azione ditaglio con la resistenza ultima a taglio offerta dalla sezione (4.1.25 - NTC2008).

υ 0.5:=

VRd.max 0.5 υ⋅ bt⋅ ht⋅ fcd⋅ 1269.33 kN⋅=:=

La sezione risulta idonea.

Dimensionamento delle colonne:

La verifica di idoneità della sezione trasversale dei pilastri si conduce valutando che laresistenza offerta dal solo calcestruzzo e presa all'80% del suo valore massimo, sia maggioredella sollecitazione di progetto.

NEd.c VEd.t 403.56 kN⋅=:=

NRd.c 0.8hc bc⋅ fcd⋅ 2030.93 kN⋅=:= Verifica soddisfatta.

PUNTO 2 - SOLUZIONE DEL TELAIO CON IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI:

Assunto che le sezioni trasversali predimensionate risultino idonee, si risolve lo schemastatico a telaio con il metodo degli spostamenti al fine di determinarne le "corrette"caratteristiche delle sollecitazioni. Il calcolo viene condotto inizialmente per i soli carichi gravitazionali a SLU, assumendo che ilpeso dei pilastri gravi per metà sulla sommità di essi (nodi 2 e 3) e per metà alla loro base(nodi 1 e 4).

P γG bc hc⋅Hc

2⋅

⋅ γcls⋅ 13 kN⋅=:=

q 67.26kN

m⋅=

Di seguito si riportano le componenti della matrice di rigidezza ricavata con il metodo deglispostamenti, previa determinazione delle caratteristiche meccaniche delle sezioni trasversalidel traverso e delle colonne:

Traverso: Colonne:

At bt ht⋅ 0.32 m2⋅=:= Ac bc hc⋅ 0.16 m

2⋅=:=

It

bt ht3⋅

120.0171m

4=:= Ic

bc hc3⋅

120.0021m

4=:=

Componenti della matrice di rigidezza "adimensionalizzate":

K11 4 Ecm⋅It

Lt

Ic

Hc

+

⋅1

kN m⋅⋅ 238937.46=:=

K12

2 Ecm⋅ It⋅

Lt

−1

kN m⋅⋅ 91899.02−=:=

K13

6 Ecm⋅ Ic⋅

Hc2

−1

kN⋅ 16541.82−=:=

K14 0:=

K15

6 Ecm⋅ It⋅

Lt2

1

kN⋅ 22974.76=:=

K16 K15− 22974.76−=:=

K21 K12− 91899.02=:=

K22 K11− 238937.46−=:=

K23 0:=

K24 K13 16541.82−=:=

K25 K15 22974.76=:=

K26 K16 22974.76−=:=

K31 K13− 16541.82=:=

K32 0:=

K33

12 Ecm⋅ Ic⋅

Hc3

Ecm At⋅

Lt

+

−m

kN⋅ 868170.06−=:=

K34

Ecm At⋅

Lt

m

kN⋅ 861553.33=:=

K35 0:=

K36 0:=

K41 0:=

K42 K24 16541.82−=:=

K43 K34 861553.33=:=

K44 K33 868170.06−=:=

K45 0:=

K46 0:=

K51 K15 22974.76=:=

K52 K25− 22974.76−=:=

K53 0:=

K54 0:=

K55

12 Ecm⋅ It⋅

Lt3

Ecm Ac⋅

Hc

+

m

kN⋅ 1037693.12=:=

K56

12− Ecm⋅ It⋅

Lt3

m

kN⋅ 3829.13−=:=

K61 K16 22974.76−=:=

K62 K26− 22974.76=:=

K63 0:=

K64 0:=

K65 K56 3829.13−=:=

K66 K55 1037693.12=:=

La matrice di rigidezza risulta pertanto:

Kij

K11

K21

K31

K41

K51

K61

K12

K22

K32

K42

K52

K62

K13

K23

K33

K43

K53

K63

K14

K24

K34

K44

K54

K64

K15

K25

K35

K45

K55

K65

K16

K26

K36

K46

K56

K66

:=

Kij

238937.46

91899.02

16541.82

0

22974.76

22974.76−

91899.02−

238937.46−

0

16541.82−

22974.76−

22974.76

16541.82−

0

868170.06−

861553.33

0

0

0

16541.82−

861553.33

868170.06−

0

0

22974.76

22974.76

0

0

1037693.12

3829.13−

22974.76−

22974.76−

0

0

3829.13−

1037693.12

=

Si noti che la matrice di rigidezza dipende unicamente dalle caratteristiche meccaniche disezioni e materiali, dalle condizioni di vincolo (in questo caso incastri alla base) e dallageometria del telaio. La matrice è indipendente dai carichi esterni applicati.

Affinchè il sistema sia staticamente determinato, la matrice Kij deve potersi "invertire". Tale

condizione è verificata se e solo se il suo determinante risulta diverso da zero:

det_Kij Kij 5.2− 1032×=:=

La matrice inversa risulta:

Kinv Kij1−

5.1 106−×

1.7 106−×

4.4 106−×

4.3 106−×

7.7− 108−×

7.7 108−×

1.7− 106−×

5.1− 106−×

4.3 106−×

4.4 106−×

7.7− 108−×

7.7 108−×

4.4− 106−×

4.3 106−×

8.7− 105−×

8.6− 105−×

1.9 107−×

1.9− 107−×

4.3− 106−×

4.4 106−×

8.6− 105−×

8.7− 105−×

1.9 107−×

1.9− 107−×

7.7− 108−×

7.7 108−×

1.9− 107−×

1.9− 107−×

9.7 107−×

1.7 1010−×

7.7 108−×

7.7− 108−×

1.9 107−×

1.9 107−×

1.7 1010−×

9.7 107−×

=:=

Per determinare gli spostamenti incogniti dei nodi 2 e 3 (una rotazione e due traslazioni), èinvece necessario definire il vettore dei carichi esterni, che moltiplicato per la matrice inversa dirigidezza, restituisce la soluzione del sistema costituito da sei equazioni linearmenteindipendenti in sei incognite:

Il vettore adimensionalizzato dei carichi risulta:

Pi

q Lt2⋅

12

1

kN m⋅⋅

q Lt2⋅

12−

1

kN m⋅⋅

0

0

P

kN

q Lt⋅

2

1

kN⋅+

P

kN

q Lt⋅

2

1

kN⋅+

807.12

807.12−

0

0

416.56

416.56

=:=

La soluzione del sistema è data dal prodotto tra il vettore dei carichi moltiplicato per lamatrice inversa di rigidezza:

∆ Kinv Pi⋅

0.00549509

0.00549509

0.00005255

0.00005255−

0.00040292

0.00040292

=:=

Gli spostamenti incogniti del sistema risultano pertanto pari a:

NODO 2:

Rotazione: ϕ2 ∆0

0.0054951 rad⋅=:=

Traslazione orizzontale: ux.2 ∆2m⋅ 0.0000526 m⋅=:=

Traslazione verticale: uz.2 ∆4m⋅ 0.00040292 m⋅=:=

NODO 3:

Rotazione: ϕ3 ∆1

0.00549509 rad⋅=:=

ux.3 ∆3m⋅ 0.0000526− m⋅=:=Traslazione orizzontale:

uz.3 ∆5m⋅ 0.00040292 m⋅=:=Traslazione verticale:

Una volta determinati gli spostamenti incogniti del sistema, si procede con la determinazionedelle forze e dei momenti applicati ai nodi e di qui alla graficizzazione delle caratteristichedelle sollecitazioni:

NODO 1:

MEd_12 2Ecm Ic⋅

Hc

ϕ2⋅ 6.Ecm Ic⋅

Hc2

ux.2⋅− 150.63 kN m⋅⋅=:=

HEd_12 6−Ecm Ic⋅

Hc2

⋅ ϕ2⋅ 12Ecm Ic⋅

Hc3

⋅ ux.2⋅+ 90.55− kN⋅=:=

VEd_12

Ecm− Ac⋅

Hc

uz.2⋅ 416.56− kN⋅=:=

NODO 2 (lato inferiore):

MEd_21 4Ecm Ic⋅

Hc

⋅ ϕ2⋅ 6.Ecm Ic⋅

Hc2

ux.2⋅− 302.13 kN m⋅⋅=:=

HEd_21 6Ecm Ic⋅

Hc2


Hc3

⋅ ux.2⋅− 90.55 kN⋅=:=

VEd_21

Ecm Ac⋅

Hc

uz.2⋅ 416.56 kN⋅=:=

NODO 2 (lato laterale):

MEd_23

q− Lt2⋅

124

Ecm It⋅

Lt

⋅ ϕ2⋅+ 2Ecm It⋅

Lt

⋅ ϕ3⋅− 6Ecm It⋅

Lt2

⋅ uz.2⋅+ 6Ecm It⋅

Lt2

⋅ uz.3⋅− 302.13− kN m⋅⋅=:=

HEd_23

Ecm− At⋅

Lt

ux.2⋅Ecm At⋅

Lt

ux.3⋅+ 90.55− kN⋅=:=

VEd_23

q− Lt⋅

26

Ecm It⋅

Lt2


Lt2

⋅ ϕ3⋅− 12Ecm It⋅

Lt3

⋅ uz.2⋅+ 12Ecm It⋅

Lt3

⋅ uz.3⋅− 403.56− kN⋅=:=

NODO 3 (lato laterale):

MEd_32

q Lt2⋅

122

Ecm It⋅

Lt


Lt


Lt2

⋅ uz.2⋅+ 6Ecm It⋅

Lt2

⋅ uz.3⋅− 302.13 kN m⋅⋅=:=

HEd_32

Ecm− At⋅

Lt

ux.2⋅Ecm At⋅

Lt

ux.3⋅+ 90.55− kN⋅=:=

VEd_32

q− Lt⋅

26

Ecm It⋅

Lt2


Lt2

⋅ ϕ3⋅+ 12Ecm It⋅

Lt3

⋅ uz.2⋅− 12Ecm It⋅

Lt3

⋅ uz.3⋅+ 403.56− kN⋅=:=

NODO 3 (lato inferiore):

MEd_34 4−Ecm Ic⋅

Hc

⋅ ϕ3⋅ 6.Ecm Ic⋅

Hc2

ux.3⋅− 302.13− kN m⋅⋅=:=

HEd_34 6−Ecm Ic⋅

Hc2


Hc3

⋅ ux.3⋅− 90.55− kN⋅=:=

VEd_34

Ecm Ac⋅

Hc

uz.3⋅ 416.56 kN⋅=:=

NODO 4:

MEd_43 2−Ecm Ic⋅

Hc

ϕ3⋅ 6.Ecm Ic⋅

Hc2

ux.3⋅− 150.63− kN m⋅⋅=:=

HEd_43 6Ecm Ic⋅

Hc2


Hc3

⋅ ux.3⋅+ 90.55 kN⋅=:=

VEd_43

Ecm− Ac⋅

Hc

uz.3⋅ 416.56− kN⋅=:=

Per determinare il valore del momento massimo agente lungo la campata del traverso è necessarioindividuare dove si annulla la funzione del taglio:

Taglio e momento all'estremità sinistra della trave in prossimità del nodo 2:

VEd.t_nodo_2 VEd_23−:=

MEd.t_nodo_2 MEd_23:=

xVEd.t_nodo_2

q6 m=:=

MEd_max VEd.t_nodo_2 x⋅q x

2⋅2

− MEd.t_nodo_2+ 908.55 kN m⋅⋅=:=

PUNTO 3A - PROGETTO E VERIFICA DELLE SEZIONI ARMATE - TRAVERSOUna volta ottenute le caratteristiche di sollecitazione di progetto, si procede con laprogettazione e la verifica delle sezioni armate.

Traverso - momenti e tagli di progetto:

Sezioni di estremità:

MEd.t_left MEd_23 MEd_23 0≥if

MEd_23− otherwise

302.13− kN m⋅⋅=:=

MEd.t_right MEd_32− MEd_32 0≥if

MEd_32 otherwise

302.13− kN m⋅⋅=:=

VEd.t_ext max VEd_23 VEd_32, ( ) 403.56 kN⋅=:=

Sezione in campata:

MEd.t_camp MEd_max 908.55m kN⋅=:=

Il predimensionamento dell'armatura può essere condotto in modo semplificato utilizzando leseguenti formule e raffrontando il valore ottenuto con i limiti imposti dalle NTC2008 al paragrafo7.4.6.2.1 inerente il progetto delle armature delle travi per la progettazione antisismica.

Assumiamo che l'altezza utile, per una trave alta 800 mm sia pari a 760 mm.

dt 760 mm⋅:=

Armatura superiore (alle estremità):

As.sup_ext_min

min MEd.t_left MEd.t_right, ( )0.9 dt⋅ fyd⋅

11.29 cm2⋅=:=

Armatura inferiore (alle estremità):

As.inf_ext_min

max MEd.t_left MEd.t_right, ( )0.9 dt⋅ fyd⋅

11.29 cm2⋅=:=

Armatura inferiore (in campata):

As.inf_camp_min

MEd.t_camp

0.9 dt⋅ fyd⋅33.95 cm

2⋅=:=

Alla luce di quanto ricavato si potrebbe adottare un'armatura base doppia simmetrica pari a 4 + 4 φ20, ed un infittimento in campata con uleriori 4 φ 26. Valutiamo ora se tali armature soddisfano irequisiti normativi:


As.sup_ext 4π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 12.57 cm2⋅=:=

As.inf_ext 4π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 12.57 cm2⋅=:=

Rapporto geometrico d'armatura tesa e compressa:

ρt_ext

As.sup_ext

bt ht⋅0.003927=:=

ρc_ext

As.inf_ext

bt ht⋅0.003927=:=

Il limite inferiore imposto dalla normativa è pari a:

ρt_ext_min1.4 MPa⋅

fyk

0.003111=:=

Il limite supriore imposto dalla normativa è pari a:

ρt_ext_max3.5 MPa⋅

fyk

ρc_ext+ 0.011705=:=

Verifica_ext "Limiti soddisfatti" ρt_ext_min ρt_ext≤ ρt_ext_max≤if

"Limiti NON soddisfatti" otherwise

"Limiti soddisfatti"=:=

Si richiede inoltre che all'interno delle zone critiche (che verranno definite più avanti), l'armaturacompressa sia almento pari alla metà di quella tesa. Nelle sezioni di estremità tutti i requisiti normativi risultano soddisfatti.

Sezione in campata:

As.sup_camp 4π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 12.57 cm2⋅=:=

As.inf_camp 4π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 4π 26 mm⋅( )

2⋅4

⋅+ 33.8 cm2⋅=:=

Rapporto geometrico d'armatura tesa e compressa:

ρt_camp

As.inf_camp

bt ht⋅0.010564=:=

ρc_camp

As.sup_camp

bt ht⋅0.003927=:=

Il limite inferiore imposto dalla normativa è pari a:

ρt_camp_min1.4 MPa⋅

fyk

0.003111=:=

Il limite supriore imposto dalla normativa è pari a:

ρt_camp_max3.5 MPa⋅

fyk

ρc_camp+ 0.011705=:=

Verifica_camp "Limiti soddisfatti" ρt_camp_min ρt_camp≤ ρt_camp_max≤if

"Limiti NON soddisfatti" otherwise

"Limiti soddisfatti"=:=

Nella sezione di campata tutti i requisiti normativi risultano soddisfatti.

Determinazione dei momenti resistenti:

Al fine di determinare i momenti resistenti di una sezione armata, si possono adottare numerosimetodi, alcuni semplificati altri raffinati. Esistono inoltre svariati software che consentono dideterminare agevolmente il momento resistente di una sezione in calcestruzzo armato (ad esempioVcaSLU del Professor Gelfi).I suddetti software utilizzano il metodo degli assi neutri successivi, ovvero procedono variando divolta in volta la posizione dell'asse neutro plastico xp, fino a derminare l'esatta posizione per la quale

le risultanti delle trazioni e delle compressioni si annullano.

Di seguito si riportano le videate di VcaSLU per le sezioni di estremità e per quella in campata, siaper i momenti positivi che per quelli negativi, dopodichè si procederà a mostrare analiticamente (perla sola sezione in campata soggetta a momento positivo) la determinazione del momento resistentecon il metodo degli assi neutri successivi:


Poichè le sezioni di estremità sono armate simmetricamente, i momenti resistenti (positivi enegativi), possiedono il medesimo valore a meno del segno. VcaSLU restituisce un valore di momento resistente pari a MRd = 359 kNm, essendo esso maggiore

dei momenti sollecitanti di estremità MEd = 302 kNm, la verifica risulta soddisfatta.

Si ricorda che l'idoneità di una sezione armata deve essere validata anche in termini di tensioni inesercizio e, ove richiesto, nel rispetto dei limiti di fessurazione.Tali verifiche, per altro molto semplici, non sono tuttavia oggetto della presente disamina.

Sezione in campata:

In campata, l'armatura non è simmetrica, pertanto il momento resistente positivo sarà differente daquello negativo.

Quest'ultimo (momento negativo) possiderà un valore molto simile a quello determinato per le sezionidi estremità. Ciò significa che "l'armatura compressa" NON aumenta considerevolmente il valore delmomento resistente, ma spostando l'asse neutro verso il bordo compresso del calcestruzzo, fa siche la sezione si rompa "lato acciaio", aumentandone considerevolmente la duttilità.

VcaSLU restituisce un valore di momento resistente positivo pari a MRd = 929. kNm, essendo esso

maggiore del momento positivo sollecitante MEd = 908.55 kNm, la verifica risulta soddisfatta.

Determinazione del momento resistente con il metodo degli assi neutri successivi:Si riporta a titolo d'esempio il metodo degli assi neutri successivi, per valutare il momento resistentepositivo della sezione in campata.

Asse neutro plastico di tentativo:

xp 16.175 cm⋅:=

si fa variare il valore della profondità dell'asse neutro plastico fino a quandol'equazione di equilibrio delle risultanti delle trazioni e delle compressioni internealla sezione non risulta pari (o prossima) a zero.

Al variare della profondità dell'asse neutro plastico, variano i parametri di deformazione delle armaturetese, di quelle compresse e delle fibre di calcestruzzo. In ragione della linearità del digramma delle deformazioni della sezione, si possono definire iseguenti parametri deformativi ed i seguenti campi di rottura della sezione:

dsup 40 mm⋅:= distanza tra il lembo superiore ed il baricentro delle armature superiori.

dinf dt 760 mm⋅=:= altezza utile della sezione.

Profondità limite dell'asse neutro plastico in funzione dei vari campi di rottura:

Campo 2A (deboissime armature):

xp_2A

εc2

εc2 εud+dinf⋅ 2.187 cm⋅=:=

Campo 2B (deboli armature):

xp_2B

εcu2

εcu2 εud+dinf⋅ 3.746 cm⋅=:=

Campo 3 (forti armature):

xp_3

εcu2

εcu2 εyd+dinf⋅ 48.749 cm⋅=:=

Deformazione nelle fibre del calcestruzzo compresso:

εc

xp

dinf xp−εud⋅ 0 xp≤ xp_2B≤if

εcu2 otherwise

0.0035=:=

Deformazione nell'armatura tesa:

εst εud 0 xp≤ xp_2B≤if

dinf xp−

xp

εcu2⋅ otherwise

0.0129451=:=

Deformazione nell'armatura compressa:

εsc

xp dsup−

dinf xp−εud⋅ 0 xp≤ xp_2B≤if

xp dsup−

xp

εcu2⋅ otherwise

0.0026345=:=

Il metodo raffinato presuppone l'ultizzo dei diagrammi "parabola - rettangolo" per il calcestruzzo ed"elastico - perfettamente plastico" per l'acciaio d'armatura:

Modello parabola - rettangolo per descrivere il diagramma tensioni - deformazioni del calcestruzzo:

Definita una variabile arbitraria "ζ", il modello "parabola - rettangolo" è descritto dalla seguente funzione:

σc ζ( )fcd

εc22 ζ⋅

ζ2

εc2−

⋅ 0 ζ≤ εc2≤if

fcd otherwise

:=

0 1 103−

× 2 103−

× 3 103−

×0

5 106

×

1 107

×

1.5 107

×

σc ζ( )

ζ

Si definiscono ora i coefficienti β e κ, rispettivamente denominati "coefficiente di riempimento" ecoefficiente di baricentro.Il primo, ovvero β, è pari al rapporto tra l'area sottesa al diagramma parabola - rettango, valutato alraggiungimento della deformazione εc e l'area del rettangolo limite εcfcd.

β0

εc

ζσc ζ( )⌠⌡

d

εc fcd⋅0.81=:=

Il secondo, ovvero κ, è pari alla posizione del baricentro del diagramma parabola - rettangolo calcolatarispetto al valore εc, adimensionalizzata rispetto a εc:

κo0

εc

ζσc ζ( ) ζ⋅⌠⌡

d

β εc⋅ fcd⋅0.002044=:= (posizione del baricentro calcolata rispetto all'origine)

κεc κo−

εc0.416=:=

Al fine di velocizzare il calcolo dei parametri β e κ, si possono utilizzare formule chiuse, in luogodell'integrazione sopra riportata:

β1

εc

3 εc22⋅

3 εc2⋅ εc−( )⋅ 0 εc≤ εc2≤if

1εc2

3 εc⋅− otherwise

0.81=:=

κ1 1

1

εc2

2

3εc

3⋅εc

4

4 εc2⋅−

⋅

β1 εc2⋅

− 0 εc≤ εc2≤if

0.5 εc εc2−( )2⋅2

3εc⋅ εc2⋅+

5

12εc2

2⋅−

β1 εc2⋅

0.416=:=

Modello elastico - perfettamente plastico per descrivere il diagramma tensioni - deformazioni delle armature:

Tensione nell'armatura tesa:

σst Es εst⋅ 0 εst≤ εyd≤if

fyd otherwise

391.3 MPa⋅=:=

Tensione nell'armatura compressa:

σsc Es εsc⋅ 0 εsc≤ εyd≤if

fyd otherwise

391.3 MPa⋅=:=

Risultanti di compressione e trazione nella sezione:

Risultante di compressione nel calcestruzzo:

Fc β xp⋅ bt⋅ fcd⋅ 831.03 kN⋅=:=

Risultante di compressione nell'armatura superiore:

Fsc As.sup_camp σsc⋅ 491.73 kN⋅=:=

Risultante di trazione nell'armatura inferiore:

Fst As.inf_camp σst⋅ 1322.75 kN⋅=:=

Affinchè la posizione dell'asse neutro di tentativo sia effettivamente corretta, la forza normale agente nellasezione deve risultare nulla - Condizione di pura flessione:

NRd Fc Fsc+ Fst− 0.02 kN⋅=:=

Poichè la forza di compressione è circa zero, la posizione dell'asse neutro è corretta e si può procederecon la determinazione del momento resistente positivo:

MRd β xp⋅ bt⋅ fcd⋅ dinf κ xp⋅−( )⋅ As.sup_camp σsc⋅ dinf dsup−( )⋅+ 929.72 kN m⋅⋅=:=

Come si può notare il risultato è perfettamente allineato con quello determinato con il software VcaSLU.Il procedimento sopra esposto può essere facilmente implementato su fogli di calcolo Excel perautomatizzare la determinazione dell'asse neutro di tentativo.

Da un punto di vista "pratico" la determinazione del momento resistente può essere condotta in viasemplificata utilizzando β = 0.81 e κ = 0.416, assumendo quindi che il calcestruzzo e l'acciaio d'armaturatesa giungano a rottura contemporaneamente.

Progetto e verifica dell'armatura a taglio:

Analogamente a quanto svolto per le armature a flessione, si dimensionano le staffe in accordo con i limitinormativi di cui al paragrafo 7.4.6.2.1 NTC2008:

Nelle zone confinate, ovvero quelle nelle quali si dovranno formare le cerniere plastiche all'occerrenza di unevento sismico "di progetto", il passo massimo delle staffe deve rispettare i seguenti limiti:

ϕl 20 mm⋅:= (diametro armature longitudinali disposte alle estremità del traverso)

ϕst 12 mm⋅:= (diametro scelto per le staffe)

smax_CDB mindinf

4225 mm⋅, 8 ϕl⋅, 24 ϕst⋅,

160 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' BASSA

smax_CDA mindinf

4175 mm⋅, 6 ϕl⋅, 24 ϕst⋅,

120 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' ALTA

Al fine progettuale si adotterà pertanto un passo pari a 100 mm nelle zone confinate in modo da soddisfarei requisiti di alta duttilità e pari a 200 mm nelle restanti zone. Le staffe in entrambe le zone sarannodisposte a "due baccia".

sst_c 100 mm⋅:=

sst_nc 200 mm⋅:=

nst 2:= (numero braccia per ogni staffa)

La dimensione della zona confinata vale:

Lconfinata_CDB dinf 760 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' BASSA

Lconfinata_CDA 1.5dinf 1140 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' ALTA

Al fine progettuale si adotta una zona confinata pari a 1200 mm, nella quale verranno disposte staffeφ12/100 a due braccia, nelle restanti zone della trave si disporranno staffe φ12/200 a due braccia.

La resistenza a taglio si calcola con riferimento al paragrafo 4.1.2.1.3.2, considerando il valore minore tra laresistenza offerta dalle staffe e quella delle bielle compresse di calcestruzzo. A rigor di logica la normaconsentirebbe di disporre le staffe in modo da far si che i due valori di resistenza siano molto simili,giocando sull'inclinazione θ della biella compressa. In questo caso si assume θ=45° come prassi assodataaffinchè la resistenza delle staffe, sebbene superiore a quella del taglio sollecitante, risulti inferiore a quelladelle bielle di calcestruzzo, garantendo pertanto un'adeguata duttilità.

θ 45°:= (inclinazione della biella compressa)

α 90°:= (inclinazione delle staffe rispetto all'orizzontale)

Zone confinate:

VRds_c 0.9 dinf⋅nst

π ϕst2⋅

4⋅

sst_c

⋅ fyd⋅ tan α( )1−

tan θ( )1−+( )⋅ sin α( )⋅ 605.41 kN⋅=:=

VRdc_c

0.9 dinf⋅ bt⋅ 0.5 fcd⋅( )⋅ tan α( )1−

tan θ( )1−+( )⋅

1 tan θ( )1−( )2

+

1085.28 kN⋅=:=

La verifica a taglio risulta soddisfatta, nelle zone confinate, in quanto la resistenza delle staffe è maggioredel taglio sollecitante VEd = 403.56 kN.

Zone non confinate:

VRds_nc 0.9 dinf⋅nst

π ϕst2⋅

4⋅

sst_nc


tan θ( )1−+( )⋅ sin α( )⋅ 302.71 kN⋅=:=

VRdc_nc

0.9 dinf⋅ bt⋅ 0.5 fcd⋅( )⋅ tan α( )1−

tan θ( )1−+( )⋅

1 tan θ( )1−( )2

+

1085.28 kN⋅=:=

Il taglio sollecitante a 1200 mm dall'estremità della trave vale:

VEd_1.2m VEd_23− q 1.2⋅ m⋅− 322.85 kN⋅=:=

Il taglio sollecitante è maggiore del taglio resistente, pertanto si estende la zona con staffe ogni 100 mmfino a 2000 mm dall'estremità:

Il taglio sollecitante a 2000 mm dall'estremità della trave vale:

VEd_2.0m VEd_23− q 2⋅ m⋅− 269.04 kN⋅=:= (verifica soddisfatta)

PUNTO 3B - PROGETTO E VERIFICA DELLE SEZIONI ARMATE - PILASTRIAnche in questo caso, è necessario rispettare i limiti d'armatura di cui al paragrafo 7.4.6.2.2dell'NTC2008.Il rapporto geometrico d'armatura longitudinale deve essere compreso tra l'1% ed il 4%dell'area della sezione trasversale del pilastro, pertanto i quantitativi d'armatura adottabilirisultano pari a:

As_min 1% bc hc⋅( )⋅ 16 cm2⋅=:=

As_max 4% bc hc⋅( )⋅ 64 cm2⋅=:=

Assumendo di disporre 12 armature verficali, si determina il diametro minimo in grado di soddisfarei quantitativi d'armatura sopra riportati:

nfv 12:= (numero scelto di armature verticali)

ϕs_min

4 As_min⋅

nfv π13.03 mm⋅=:=

ϕs_max

4 As_max⋅

nfv π26.06 mm⋅=:=

Il range in grado di soddisfare i requisiti normativi varia da un minimo di 12φ14 ad un massimo di 12φ26,stante ciò appare ragionevole costruire un fascio di domini in modo da valutare quello che meglio si sposacon le azioni sollecitanti.

Attraverso l'utilizzo di Excel si costruiranno i domini per le seguenti armature: 12φ16, 12φ20, 12φ24, 12φ26,mentre in questa sede di procederà alla costruzione analitica del dominio N-M con riferimento alla solaarmatura 12φ20:

Strati di barre e relative distanze tra il bordo della sezione ed il baricentro delle armature:

Primo strato: nf1 4:= A1 nf1π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 12.57 cm2⋅=:= d1 40 mm⋅:=

Secondo strato: nf2 2:= A2 nf2π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 6.28 cm2⋅=:= d2 150 mm⋅:=

Terzo strato: nf3 2:= A3 nf3π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 6.28 cm2⋅=:= d3 250 mm⋅:=

Quarto strato: nf4 4:= A4 nf4π 20 mm⋅( )

2⋅4

⋅ 12.57 cm2⋅=:= d4 360 mm⋅:=

PUNTO 1 del dominio (trazione pura)

Tutte le armature raggiungono contemporaneamente la deformazione utilma εud:

NRd1 A1 A2+ A3+ A4+( )− fyd⋅ 1475.18− kN⋅=:= (le forze di trazione sono considerate negative)

MRd1 A1 0.5 hc⋅ d1−( )⋅ A2 0.5 hc⋅ d2−( )⋅+ A3 0.5 hc⋅ d3−( )⋅+ A4 0.5 hc⋅ d4−( )⋅+ fyd⋅ 0 kN m⋅⋅=:=

PUNTO 2 del dominio (tenso - flessione)

L'armatura 4 raggiunge la deformazione utilma εud , e la deformazione del calcestruzzo è pari a zero:

Deformazioni nei vari strati di armatura:

ε4_P2 εud 0.0675=:=

ε3_P2

d3

d4

ε4_P2⋅ 0.04688=:=

ε2_P2

d2

d4

ε4_P2⋅ 0.02813=:=

ε1_P2

d1

d4

ε4_P2⋅ 0.0075=:=

Tensioni nei vari strati di armatura:σ4_P2 fyd εyd ε4_P2≤ εud≤if

Es ε4_P2⋅ otherwise

391.3 MPa⋅=:=

σ3_P2 fyd εyd ε3_P2≤ εud≤if


391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=

Forza normale resistente e corrispondente momento resistente:

N4_P2 A4− σ4_P2⋅ 491.73− kN⋅=:= (le forze di trazione sono considerate negative)

N3_P2 A3− σ3_P2⋅ 245.86− kN⋅=:=

N2_P2 A2− σ2_P2⋅ 245.86− kN⋅=:=

N1_P2 A1− σ1_P2⋅ 491.73− kN⋅=:=

NRd2 N1_P2 N2_P2+ N3_P2+ N4_P2+ 1475.18− kN⋅=:=

MRd2 N1_P2 0.5 hc⋅ d1−( )⋅ N2_P2 0.5 hc⋅ d2−( )⋅+ N3_P2 0.5 hc⋅ d3−( )⋅+ N4_P2 0.5 hc⋅ d4−( )⋅+ 0− kN m⋅⋅=:=


L'armatura 4 raggiunge la deformazione utilma εud , e la deformazione del calcestruzzo è pari a εc2:

Determinazione della profondità dell'asse neutro:

xP3

εc2

εud εc2+d4⋅ 10.36 mm⋅=:=


ε4_P3 εud 0.0675=:=

ε3_P3

d3 xP3−

d4 xP3−εud⋅ 0.04626=:=

ε2_P3

d2 xP3−

d4 xP3−εud⋅ 0.02696=:=

ε1_P3

d1 xP3−

d4 xP3−εud⋅ 0.00572=:=

Tensioni nei vari strati di armatura:



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=

Deformazioni e parametri β e κ del calcestruzzo:

εc_P3 εc2 0.002=:=

βP30

εc_P3

ζσc ζ( )⌠⌡

d

εc_P3 fcd⋅0.667=:=

κo_P30

εc_P3

ζσc ζ( ) ζ⋅⌠⌡

d

βP3 εc_P3⋅ fcd⋅0.00125=:=

κP3

εc_P3 κo_P3−

εc_P30.375=:=


N4_P3 A4− σ4_P3⋅ 491.73− kN⋅=:= M4_P3 N4_P3 0.5 hc⋅ d4−( )⋅ 78.68 kN m⋅⋅=:=


N2_P3 A2− σ2_P3⋅ 245.86− kN⋅=:= M2_P3 N2_P3 0.5 hc⋅ d2−( )⋅ 12.29− kN m⋅⋅=:=


Nc_P3 βP3 xP3⋅ bc⋅ fcd⋅ 43.83 kN⋅=:= Mc_P3 Nc_P3 0.5 hc⋅ κP3 xP3⋅−( )⋅ 8.6 kN m⋅⋅=:=

NRd3 N1_P3 N2_P3+ N3_P3+ N4_P3+ Nc_P3+ 1431.35− kN⋅=:=

MRd3 M4_P3 M3_P3+ M2_P3+ M1_P3+ Mc_P3+ 8.6 kN m⋅⋅=:=


L'armatura 4 raggiunge la deformazione utilma εud , e la deformazione del calcestruzzo è pari a εcu2:


xP4

εcu2

εud εcu2+d4⋅ 17.75 mm⋅=:=


ε4_P4 εud 0.0675=:=

ε3_P4

d3 xP4−

d4 xP4−εud⋅ 0.04581=:=

ε2_P4

d2 xP4−

d4 xP4−εud⋅ 0.02608=:=

ε1_P4

d1 xP4−

d4 xP4−εud⋅ 0.00439=:=




391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=


εc_P4 εcu2 0.0035=:=

βP40

εc_P4

ζσc ζ( )⌠⌡

d

εc_P4 fcd⋅0.81=:=

κo_P40

εc_P4

ζσc ζ( ) ζ⋅⌠⌡

d

βP4 εc_P4⋅ fcd⋅0.002044=:=

κP4

εc_P4 κo_P4−

εc_P40.416=:=










L'armatura 4 raggiunge la deformazione 0.5εud , e la deformazione del calcestruzzo è pari a εcu2:


xP5

εcu2

0.5εud εcu2+d4⋅ 33.83 mm⋅=:=


ε4_P5 0.5εud 0.03375=:=

ε3_P5

d3 xP5−

xP5

εcu2⋅ 0.02237=:=

ε2_P5

d2 xP5−

xP5

εcu2⋅ 0.01202=:=

ε1_P5

d1 xP5−

xP5

εcu2⋅ 0.00064=:=




391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



127.78 MPa⋅=:=

Deformazioni e parametri β e κ del calcestruzzo:εc_P5 εcu2 0.0035=:=

βP5 0.81:=

κP5 0.416:=












xP6

εcu2

0.25εud εcu2+d4⋅ 61.84 mm⋅=:=


ε4_P6 0.25εud 0.01688=:=

ε3_P6

d3 xP6−

xP6

εcu2⋅ 0.01065=:=

ε2_P6

d2 xP6−

xP6

εcu2⋅ 0.00499=:=

ε1_P6

d1 xP6−

xP6

εcu2⋅ 0.00124−=:=




391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



247.22− MPa⋅=:=


εc_P6 εcu2 0.0035=:=

βP6 0.81:=

κP6 0.416:=





N1_P6 A1− σ1_P6⋅ 310.67 kN⋅=:= M1_P6 N1_P6 0.5 hc⋅ d1−( )⋅ 49.71 kN m⋅⋅=:=




PUNTO 7 del dominio (presso - flessione)



xP7

εcu2

0.125εud εcu2+d4⋅ 105.55 mm⋅=:=


ε4_P7 0.125εud 0.00844=:=

ε3_P7

d3 xP7−

xP7

εcu2⋅ 0.00479=:=

ε2_P7

d2 xP7−

xP7

εcu2⋅ 0.00147=:=

ε1_P7

d1 xP7−

xP7

εcu2⋅ 0.00217−=:=




391.3 MPa⋅=:=



391.3 MPa⋅=:=



294.79 MPa⋅=:=

σ1_P7 fyd εyd ε1_P7≤ εud≤ ε1_P7 0≥∧if

fyd− εyd ε1_P7≤ εud≤ ε1_P7 0<∧if


391.3− MPa⋅=:=


εc_P7 εcu2 0.0035=:=

βP7 0.81:=

κP7 0.416:=







NRd7 N1_P7 N2_P7+ N3_P7+ N4_P7+ Nc_P7+ 111.52 kN⋅=:=



L'armatura 4 raggiunge la deformazione εyd , e la deformazione del calcestruzzo è pari a εcu2:


xP8

εcu2

εyd εcu2+d4⋅ 230.92 mm⋅=:=


ε4_P8 εyd 0.00196=:=

ε3_P8

d3 xP8−

xP8

εcu2⋅ 0.00029=:=

ε2_P8

d2 xP8−

xP8

εcu2⋅ 0.00123−=:=

ε1_P8

d1 xP8−

xP8

εcu2⋅ 0.00289−=:=




391.3 MPa⋅=:=



57.85 MPa⋅=:=



245.29− MPa⋅=:=




391.3− MPa⋅=:=


εc_P8 εcu2 0.0035=:=

βP8 0.81:=

κP8 0.416:=










L'armatura 4 raggiunge la deformazione nulla, e la deformazione del calcestruzzo è pari a εcu2:


xP9

εcu2

0 εcu2+d4⋅ 360 mm⋅=:=


ε4_P9 0:=

ε3_P9

d3 xP9−

xP9

εcu2⋅ 0.00107−=:=

ε2_P9

d2 xP9−

xP9

εcu2⋅ 0.00204−=:=

ε1_P9

d1 xP9−

xP9

εcu2⋅ 0.00311−=:=





0 MPa⋅=:=




213.89− MPa⋅=:=




391.3− MPa⋅=:=




391.3− MPa⋅=:=


εc_P9 εcu2 0.0035=:=

βP9 0.81:=

κP9 0.416:=


N4_P9 A4− σ4_P9⋅ 0 kN⋅=:= M4_P9 N4_P9 0.5 hc⋅ d4−( )⋅ 0 kN m⋅⋅=:=

N3_P9 A3− σ3_P9⋅ 134.39 kN⋅=:= M3_P9 N3_P9 0.5 hc⋅ d3−( )⋅ 6.72− kN m⋅⋅=:=






PUNTO 10 del dominio (Compressione pura)

NRd10 A1 A2+ A3+ A4+( ) fyd⋅ bc hc⋅ fcd⋅+ 4013.85 kN⋅=:=

MRd10 0 kN⋅ m⋅:=

Riepilogando, il dominio passa per i seguenti punti singolari:

NRd1 1475.18− kN⋅= MRd1 0 kN m⋅⋅=

NRd2 1475.18− kN⋅= MRd2 0− kN m⋅⋅=

NRd3 1431.35− kN⋅= MRd3 8.6 kN m⋅⋅=

NRd4 1384.01− kN⋅= MRd4 17.56 kN m⋅⋅=

NRd5 970.14− kN⋅= MRd5 85.32 kN m⋅⋅=

NRd6 354.88− kN⋅= MRd6 183.79 kN m⋅⋅=

NRd7 111.52 kN⋅= MRd7 245.08 kN m⋅⋅=

NRd8 1304.87 kN⋅= MRd8 290.26 kN m⋅⋅=

NRd9 2722.67 kN⋅= MRd9 177.23 kN m⋅⋅=

NRd10 4013.85 kN⋅= MRd10 0 kN m⋅⋅=

Il dominio ricavato manualmente è perfettamente sovrapponibile con quello determinato utilizzando il softwareVCASlu dell'Ing. Piero Gelfi.

A questo punto sarà sufficiente accertarsi che le coppie NEd - MEd, ricavate dall'analisi con il metodo degli

spostamenti ricadano all'interno del fascio di domini ottenuto con Excel, ed a seguito di ciò, decidere l'armatura più conveniente:

MEd_12 150.63 kN m⋅⋅= NEd_12 VEd_12 416.56 kN⋅=:=

MEd_21 302.13 kN m⋅⋅= NEd_21 VEd_21 416.56 kN⋅=:=

MEd_43 150.63 kN m⋅⋅= NEd_43 VEd_12 416.56 kN⋅=:=

MEd_34 302.13 kN m⋅⋅= NEd_34 VEd_21 416.56 kN⋅=:=

Si noti che l'armatura costituita da 12φ20 non è idonea ad equilibrare le coppie sollecitanti, pertanto ènecessario utilizzare 12φ24.

Armature trasversali per il taglio:

Le seguenti prescrizioni sono in accordo con i paragrafi 7.4.6.1.2 e 7.4.6.2.2:

Hconfinata max 45 cm⋅ hc, Hc 0.5 ht⋅−

6,

76.67 cm⋅=:= (altezza della zona confinata)

ϕl_pil 24 mm⋅:= (diametro delle armature verticali del pilastro)

Passi massimi consentiti nelle zone confinate:

spil_CDB min 0.5 min bc hc, ( )⋅ 175 mm⋅, 8 ϕl_pil⋅, ( ) 175 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' BASSA

spil_CDA min 0.5 min bc hc, ( )⋅ 125 mm⋅, 6 ϕl_pil⋅, ( ) 125 mm⋅=:= CLASSE DI DUTTILITA' ALTA

spil_c 125 mm⋅:= (passo delle staffe adottato nelle zone confinate)

Armatura minima

bst bc 2 30⋅ mm⋅−:= (distanza tra le braccia esterne delle staffe)

Ast_CDB_min 0.08 spil_c⋅ bst⋅fcd

fyd

⋅ 1.38 cm2⋅=:=

Ast_CDA_min 0.12 spil_c⋅ bst⋅fcd

fyd

⋅ 2.07 cm2⋅=:=

Si utilizzano staffe φ10/125 a 4 braccia:

ϕst_pil 10 mm⋅:= nst_pil 4:= (diametro delle staffe del pilastro e numero di braccia)

Ast_pil nst_pil πϕst_pil

2

4⋅

⋅ 3.14 cm2=:=

Il quantitativo di staffe utilizzato rispetta i limiti normativi.

Resistenza a taglio nelle zone confinate:

VRds_pil_c 0.9 d4⋅Ast_pil

spil_c


tan θ( )1−+( )⋅ sin α( )⋅ 318.64 kN⋅=:=

VRdc_pil_c

0.9 d4⋅ bc⋅ 0.5 fcd⋅( )⋅ tan α( )1−

tan θ( )1−+( )⋅

1 tan θ( )1−( )2

+

514.08 kN⋅=:=

Resistenza a taglio nelle zone non confinate:

spil_nc 250 mm⋅:= (passo delle staffe adottato nelle zone non confinate)

VRds_pil_nc 0.9 d4⋅Ast_pil

spil_nc


tan θ( )1−+( )⋅ sin α( )⋅ 159.32 kN⋅=:=

VRdc_pil_nc

0.9 d4⋅ bc⋅ 0.5 fcd⋅( )⋅ tan α( )1−

tan θ( )1−+( )⋅

1 tan θ( )1−( )2

+

514.08 kN⋅=:=

Taglio sollecitante:

VEd_pil max HEd_12 HEd_21, HEd_43, HEd_34, ( ) 90.55 kN=:=

Poichè il taglio resistente è maggiore del taglio sollecitante, l'armatura disposta risulta idoenea.

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Mathcad - Esercitazione (Punto 3)