-
Treba primetiti da nemamo analiticku zavisnost y od x vec je
funkcija f() "nekako" definisana.Jedino sto nas ovde zanima je da
ova funkcija prolazi kroz parove (x,y)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
f z( )
x z,
z 0.1 0.11, 0.8..:=f z( ) interp cspline x y,( ) x, y, z,(
):=
ili u jednom korakuDefinisemo interpolacionu funkcijuf z( )
interp koef x, y, z,( ):=2.
Pronalazimo koeficijente interpolacije pozivom funkcija
cspline,psline ili lspline - parametri funkcija su prethodno zadati
vektori nezavisno prom. x i zavisno prom. y
koef cspline x y,( ):=1.
Interpolacija se u Mathcad-u realizuje pomocu funkcija za kubni
splajn i izvodi u dva koraka
y
0.520.4
0.530.6
1.01
:=x
0.1
0.2
0.3
0.50.8
:=
Primer: Vektor nezavisno promemljive x (u rastucem redosledu) i
vektor zavisno promenljive y
Problem: Ako imamo tabelarno zadatu zavisnost y=f(x) u obliku
parova (x,y) i potreban nam je funkcionalna zavisnost - mozemo
koristiti
interpolaciju - (uslov da kriva prolazi kroz svaku tacku
tabele)
regresiju - fitovanje (uslov da kriva najbolje opisuje zadate
podatke)
Interpolacija i regresija - empirijske funkcije sa jednom
nezavisno promenljivom
-
aPn a n,( )dd 0.422=a 0.32:=0.25
0.55zPn z n,( ) d 0.162=
Ako nam odgovara, i ovde mozemo izvrsiti integraciju i
diferenciranje
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.5
1
y
Pn z n,( )
x z,
Pn z n,( ) interp regress x y, n,( ) x, y, z,( ):=ili u jednom
koraku (polinom od z stepena n)
Definisemo trazeni polinomPn z( ) interp koef x, y, z,(
):=2.Pronalazimo koeficijente regresije pozivom funkcije
regresskoef regress x y, n,( ):=1.
Slicno kao i kod splajn interpolacije, regresija se vrsi u dva
koraka:
stepen polinoman 3:=Pn z b,( ) b0 b1 z+ b2 z2 ..+ bn zn+=
0
n
jbj zj==Polinom je funkcija oblika:
Ako je zeljena kriva oblika polinoma onda mozemo koristiti
ugradjenu funkciju regress koja pronalazi koeficijente polinoma
zadatog stepena
Regresija (aproksimacija) u Mathcad-u se realizuje pomocu vise
funkcija
Prvi izvod u datoj tackia
f a( )dd
0.977=a 0.32:=
Odredjeni integral 0.25
0.55xf x( ) d 0.172=
Jedan od glavnih razloga sto name je ovako definisana funkcija
potrebna moze biti integracija ili diferenciranje u tabelarno
zadatoj funkciji (x,y). Na primer:
-
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.5
1
y
b0 b1 x+
x
b0.321
0.767
=b line x y,( ):=2. Funkcija line()
b0.321
0.767
=nagib b1 slope x y,( ):=odsecak b0 intercept x y,( ):=
1. Funkcije za odsecak intercept() i nagib slope() prave
linije
P1 x b,( ) b0 b1 x+=Funkcija je oblika polinoma prvog
stepena:Linearna regresija - jednacina prave (intercept(), slope(),
line())
Sledi nekoliko funkcija gde mozemo dobiti koeficijente regresije
- ukoliko su nam potrebni
S2 7.654 10 3=
S21
length y( ) n 1+( ) y Pn x n,( )
2:=
Kada su polinomi u pitanju, ovaj pokazatelj ukljucuje i broj
koeficijenata polinoma(stepen polinoma + 1), odnosno suma kvadrata
odstupanja se deli sa duzinom vektoraplus broj nepoznatih
parametara. To je radi poredjena funkcija sa razlicitim brojem
parametara.
S2 1.531 10 3=S2
1length y( ) y Pn x n,( )
2:=
Kvalitet aproksimacije se obicno prikazuje kao srednje kvadratno
odstupanjezadatih vrednosti y i onih dobijenih polinomom za zadate
x vrednosti - pozeljna je sto manju vredost ovog pokazatelja
-
polinom x b,( ) b x( ):=ilipolinom x b,( )0
length b( ) 1
jbj x( ) j=:=
3. Grafik
b
0.5951.261
3.242
1.275
=b linfit x y, ,( ):=
2. Pozivamo funkciju linfit() i dobijamo trazene
koeficijente
x( )
1
x
x2
x3
:=
1. Zadajemo vektorsku funkciju sa elementima x( ) jResicemo isti
problem kao i sa funkcijom regress()Ovaj problem se moze resiti
ugradjenom funkcijom linfit() *Specijalan oblik ove funkcije je
polinom n-tog stepena
f x b,( ) b0 x( )0 b1 x( )1+ b2 x( )2 ..+ bn x( )n+=0
n
jbj x( ) j==
Funkcija je oblika
Linearna regresija - linearna kombinacija funkcija (linfit)
S2 5.363 10 3=S2 1
length y( ) 2+ y b0 b1 x+( ) 2:=ili S2 7.508 10
3=S2 1
length y( ) y b0 b1 x+( ) 2:=Kvalitet aproksimacije
-
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.5
1
y
polinom z b,( )
x z,
Nelinearna regresijaFunkcija je nelinearna po
parametrimaPokusacemo da aproksimiramo prethodne podatke (x,y)
funkcijom
f x b,( ) b0 eb1 x:=1. Potrebno je zadati polazne procene
nepoznatih parametara
bpoc1
1
:=2. Definisati vektorsku funkciju ciji je prvi element zadata
funkcija a ostali elementi su prvi izvodi po parametrima redom
-
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.5
1
y
f z b,( )
x z,
Kvalitet aproksimacije S2 1length y( ) y f x b,( )( )
2:=S2 4.543 10 3=
ili
S2 1length y( ) 2+ y f x b,( )( )
2:=S2 3.245 10 3=
U opstem slucaju se nepoznati koeficijenti pronalaze metodom
najmanjih kvadrata tj. minimizacijom sume kvadrata odstupanja
tabelarnih vrednosti funkcije od onih dobijenih regresionom
jednacinom. Resicemo prethodni problem koji je resen pomocu
genfit() i na ovaj nacin. Ovo je pogodan nacin kada je
problematicno naci izvode po parametrima.Formiracemo funkciju koju
minimizujemo (suma kvadrata odstupanja) po parametrima
S b( ) y f x b,( )( )2:= vektori x i y su zadatiPolazne procene
parametara:
bpoc1
1
:=Pozivamo funkciju minimize() za trazenje minimuma date
funkcije po parametrima
b Minimize S bpoc,( ):=b
0.362
1.241
=
-
________________________________________________________________________________
Treba obratiti paznju u ovom poslednjem slucaju da se desnim
tasterom klikne na MinErr() i izabere Levenberg-Marquardt metoda.
To je zbog toga sto ova metoda minimizuje sume kvadrata odstupanja
- sto nam je i prvenstveni cilj.
b0.362
1.241
=
b MinErr bpoc( ):=LSM x y, bpoc,( ) 0=
Given
bpoc1
1
:=
OdstupanjaLSM x y, b,( ) y f x b,( ):=
Mozemo cak koristiti i samo minimizaciju odstupanja umesto sume
kvadrata odstupanja, u ovom slucaju, kada koristimo MinErr()
Koristi se vec spomenuti SOLVE BLOCK ali se umesto Find()
koristi MinErr() koja sluzi da pronadje resenja koja su ne jednaka
nuli kao sto je u bloku naznaceno - nego najbliza nuli. U ovom
slucaju, kako je funkcija suma kvadrata odstupanja ona je uvek
pozitivna. Ako pronadjemo one parametre koji ovu funkciju daju
vrednost koja je bliska nuli, mi smo pronasli minimum koji i
trazimo.
b0.362
1.241
=
b MinErr bpoc( ):=LSM x y, bpoc,( ) 0=
Given
bpoc1
1
:=Suma kvadrata odstupanjaLSM x y, b,( ) y f x b,( )( )2:=
Kako pronalazenje parametara u regresionoj jednacini nelinearnoj
po parametrima moze biti prilicno problematicno, evo jos jednog
nacina koji se moze upotrebiti ako prethodni metodi nedaju
rezultat. Naravno, ni ovaj nacin ne garantuje da cemo doci do
resenja jer su u pitanju sisteminelinearnih jednacina po
parametrima
