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8/8/2019 Mathe 3 Handouts
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ET/IT & TI Mathe 3 / Analysis 3
Blankenbach / mathe_3_v6.doc / 19.11.2006 1
Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim
Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
berblick / Anwendungen:
- Fourier: Analyse von Schwingungen bzw. Signalen
- Laplace: Lsen von DGL, bertragungsfunktion, Regelungstechnik
Empfohlene Literatur:
- Latussek et al. : Lehr- und bungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Kln
- Papula : Mathematik fr Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg
- Westermann : Mathematik fr Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer
- Burg et al. : Hhere Mathematik fr Ingenieure, Band III, Teubner
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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)
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Nherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)
liefern (nur) in der Nhe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse
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1.2 Fourier - Reihen
Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:
- basiert auf periodischen Vorgngen, welche technische
Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !
- Analyse des Frequenzspektrums ( Fouriertrafo)
Fourier-Analyse von Musikinstrumenten
rel. Lautstrke
Frequenz
fo 2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete
rel. Lautstrke
Frequenz
fo 2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstrke
Frequenz
fo 2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe
rel. Lautstrke
Frequenz
fo 2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks)
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1.2.1 Definition der Fourier - Reihe
Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus
Def.: ( )
=
++=1k
kko tksinbtkcosaa)t(f
( )
=
++=1k
kko xksinbxkcosaa)t(f
mit den Fourier - Koeffizienten:
relativeAmplitude Periode T (T = 2/) Frequenz ====t (T 2) x
a0(DC-Anteil)
1
0T
f t dt
T
( ) 12
0
2
f d( ) mit f(t)
2
0
dx)x(f21
ak2
0T
ft k t dt
T
( )cos( ) 1
0
2
f k d( )cos
2
0
dxkxcos)x(f1
bk 20
Tft k t dt
T
( )sin( ) 10
2
f k d( )sin
2
0
dxkxsin)x(f1
Bemerkungen
Die Integrationsgrenzen knnen verschoben werden. Salopp: Man mu nur darauf
achten, dass ber eine ganze Periode integriert wird. Z. B. Latussek S. 212
Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach x.
ET: meist zeitabhngige Messwerte etc. deshalb hier t, z. B. Bhme S. 191
Vereinfachung fr folgende Flle:
Funktion Definition alle Bsp.
Gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos
ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0 sin
d.h. Approximation nur durch sin bzw. cos !
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Fourier-Darstellung Sgezahn
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
t
y
Sgezahn (nicht mastblich)
bis k=1
bis k=2
bis k=3
Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite
Fourier - Koeffizienten Sgezahn (Spektrum)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
|bk|
Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k
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Beispiele fr Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)
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Rechteck-Signal
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2.1.2 Fourier - Integral
Technik: - Mezeit begrenzt, nicht
- oft nicht periodische Funktionen (z.B. Sprache)
-> periodische Fortsetzung und kontinuierliches Spektrum
Reihe Integral
Signal
t
f(t)
Messung
+
. . . . . .
t
f(t)
Messungperiodische Fortsetzung
- T/2 + T/2
0 TMesszeit
Spektrum
f
a diskret
f
a kontinuierlich
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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier Transformation
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Fourier - Integral
Bezeichnung: f(t) F()
komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)
Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte
diskret kontinuierlich
Reihe ft c ekk
j k t( ) =
=
- fr c.c.
c ft e dtkjk t=
1
20
2
( )
Integral ft F e dj t( ) ( )=
1
2 F f t e dt
j t( ) ( ) =
F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung
im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase
Aufsplittung von F() in Real- und Imaginrteil e-jt = cost - jsint :
F ft e dt ft t dt j ft t dt
F R j I
F R I Betrag
I
RPhase
j t( ) ( ) ( ) cos ( ) sin
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) :
( )( )
( ):
= =
= +
= +
=
A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !
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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik
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Tabelle Fourier-Transformierte
Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)
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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen
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Fenster-Funktion: Rechteck Spaltfunktion (Zoom, s.u.)
Verbreiterung des 10 Hz-Peaks
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Medauer 1s : 10 gemessene Schwingungen
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
1
2
3
45
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Medauer 10s : 100 gemessene Schwingungen
Nebenzipfeldmpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung
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Beispiel: Schwingkreis mit schwacher Dmpfung
Gedmpfte Schwingungen
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 5 6
Zeit
Amplitude
schw ach gedmpft
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einhllende
FT gedmpfte Schwingung
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5
rel. Frequenz (w/ws)
rel. Amplitude
A (d= 0,1)
A (d = 0,25)
A (d = 1)
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bungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation
1. Entwickle die Funktion f x
a
a fr
x
x
x
( )
,
=
+
< +0
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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation
Zweck: leichteres Lsen komplizierter Gleichungen
- E-Technik / Maschinenbau / Regelungstechnik:
bertragungsfunktion eines Systems (siehe entsprechende Vorlesung)
- DGL:
Vorgehensweise:
1. Die DGL yn (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit Laplace-Transformation in eine
algebraische Gleichung bergefhrt
2. Als Lsung dieser Gleichung erhlt man dieBildfunktion Y(p) der gesuchten
Originalfunktion y(t)
3. Die gesuchte Lsung y(t) der DGL erhlt man durchRcktransformation der Bildfunktion
Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)
Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausfhrbar!
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2.2.6 bungsaufgaben Laplace - Transformation
1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t fr t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =1/p
2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint fr t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =/(p+)
3. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y =e-t mit y(0) = 0.
Lsg.: y = sinh(t) bzw. y = - e-t +1
4. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = x mit y(/2) = 0.
Lsg.: y = x - (/2)sinx
5. Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + 2y + y = 0 mit
y(0) = 0 ; y(0) = 1.
Lsg.: y = x e-x
Lsen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = cos2x erst allgemeinund dann mit y(0) = 1 und y(0) = 0
Hinweis: Verwenden Sie erweiterete Korrespondenztabellen !
Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y(0)sinx - 1/3 cos2x
= 4/3 cosx - 1/3 cos2x