Mathemat i Que Technique

7/29/2019 Mathemat i Que Technique

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13 septembre 2010

Revisions et complements techniques

PC*2

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Table des matieres

I Fonctions, suites, series 3

1 Quelques techniques de calcul des derivees 31.1 Changement de onction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Signe dune onction, inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Methodes detude du signe dune onction . . . . . . . 41.2.2 Preuve dinegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Utilisation de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Position dun nombre par rapport aux racines dune equa-tion 72.1 Methode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Continuite et derivabilite de linverse dune onction . . . . . . 72.3 Exemple de comportement de racines dequations . . . . . . . 9

3 Etude de suites recurrentes simples 123.1 Rappel de resultats sur les suites reelles . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Intervalles stables par une onction f . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Comment prouver la stabilite dun intervalle ? . . . . . 123.3 Plan detude dune suite recurrente un+1 = f(un) . . . . . . . 12

4 Series numeriques 154.1 Sommes de series et calcul approche . . . . . . . . . . . . . . . 15

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4.2 Exemples asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Autres exemples 17

II Suites et series de onctions 18

6 Exercices generaux 18

7 Series entieres 19

8 Series de Fourier 19

III Equations diferentielles lineaires 20

IV Systemes diferentiels lineaires 20

9 Pratique de letude dun systeme diferentiel 209.1 Cas le plus simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.2 Cas ou A est reelle avec des valeurs propres complexes . . . . 239.3 Cas ou lon ne souhaite pas calculer de matrice de passage . . 27

9.4 Exemples avec une matrice trigonalisable . . . . . . . . . . . . 28

10 Travaux diriges Maple 29

V Integrales a parametres 33

VI Algebre lineaire 35

11 Matrices, determinants 36

12 Reduction 39

VII Espaces euclidiens 44

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VIII Fonctions de plusieurs variables 47

13 Exemples de relations implicites 47

IX Equations diferentielles non lineaires 48

X Geometrie 49

14 Courbes, courbure 49

15 Alignement, concours 50

16 Problemes geometriques divers 51

17 Suraces 51

Premiere partie

Fonctions, suites, seriesLes lecteurs sont invites a aire tous les dessins necessaires.

Tous les intervalles consideres sont supposes non reduits a un point.

1 Quelques techniques de calcul des derivees

1.1 Changement de onction

Soit,par exemple,a calculer le derivee de :

f(x) = x1 + 1x

x+1Sur chacun des intervalles I constituant D =] , 1[]0, +[. Posons :

u(x) = (x + 1) ln

1 + 1x

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de sorte que f(x) = x eu(x) ; il vient alors,pour x

D :

f(x) = (xu(x) + 1) eu(x)

avec

u(x) = 1x

+ ln

1 + 1x

Dou :

f(x) = x ln

1 + 1x eu(x) = x

1 + 1x

x+1

ln

1 + 1x

1.2 Signe dune onction, inegalites1.2.1 Methodes detude du signe dune onction

Pour etudier le signe dune onction f sur un intervalle I (en pratique unederivee). On conseille dobserver les principes suivants.

Factoriser lexpression de f chaque ois que cest possible. En particuliersi elle est polynomiale ou si elle sy ramene via un changement deonction.

Si f est continue sur ]a, b[ et ne sy annule pas, elle y garde un signeconstant. Il aut alors invoquer la continuite de f et le theoreme desvaleurs intermediaires.

Si lexpression de f est de la orme :

u(x) ev(x) +w(x)

Ou u,v,w sont des ractions rationnelles (quotients de polynomes), onsepare lintervalle en sous intervalles ou w ne sannule pas et, sur chacundeux, on etudie la onction auxiliaire :

g(x) =u(x)

w(x)ev(x) +1

Dont la derivee est le produit dune raction rationnelle par une expo-nentielle strictement positive. Dou les variations de g puis son signedou decoule celui de f.

De acon analogue, si h(x) est une onction dont la derivee est ration-nelle, letude du signe de :

w(x)h(x) + v(x)

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Ou v, w sont des ractions rationnelles, se ramene a celle de :

h(x) +v(x)

w(x)

Cest le cas lorsque h(x) est de la orme :

ln |u(x)| arctan(u(x))

Ou u est une raction rationnelle.

Exemple 1. Etudions les variations la onction denie par la relation :

y = f(x) = | sin(x)|cos(x) donc y = ez

Avec z(x) = cos(x)ln(| sin(x)|) quon peut etudier sur [0, ] vu que :

f(x + 2) = y(x) et f(x) = f(x)

en tout point du domaine de denition de f. f et z sont alors de classe Csur ]0, [. Sur cet intervalle, il vient :

z(x) =cos(x)2 sin(x) ln(sin(x))

sin(x)

Seul le numerateur de cette expression nous interesse puisquon en veut lesigne :

g(x) = cos(x)2 sin(x)2 ln(sin(x)) = h(sin2(x))Ou lon a pose, pour t ]0, 1] :

h(t) = 1 t t ln(t)2

h est de classe C sur [0, 1[ et :

h(t) = t + 22t2

< 0 sur [0, 1[

Les lecteurs acheveront alors letude des variations de f sur ]0, [.

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1.2.2 Preuve dinegalites

Exercice 1. En Etudiant une onction convenable, demontrer, par recurrencesur lentier n N,linegalite de la moyenne arithmetico geometrique valablepour tout systeme (a1, a2, . . . , an) de reels positis :

n

a1a2 . . . an a1 + a2 + + ann

Substituer xn a an et etudier la onction de x ainsi obtenue.

Exercice 2. Trouver :

inx + y 1x + 1y , x > 0, y > 0

Exercice 3. Soient x > 0, y > 0. Demontrer les inegalites :1 +

x

y

y< ex 0 susamment petit pour que [x0 , x0 + ] I et on remarque que :

f(x0 ) < y < f(x0 + ) x0 < f1(y) < x0 +

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Ce qui prouve le resultat.

Autrement dit, ce type de demonstration repose sur la com-paraison de la racine de lequation f(x) = y avec les deuxnombres x0 .

Theoreme 2. Theoreme de derivabilite : c papier sur les derivees.On appellera, a partir de maintenant, Cn-difeomorphisme dun intervalle Isur un intervalleJ, toute bijection de classeCn de I surJ dont la reciproqueest aussi de classe Cn. Il est necessaire et susant, pour cela, que :

f Cn(I, R). f ne sannule pas sur I. f(I) = J (ce point se verie en etudiant les variations de f sur I et

ses limites aux bornes de I).

Exercice 6. -

1. Prouver que la relation :y4 + y = x (1)

denit une application x y(x) de [0, +[ dans lui meme de classeC.

2. Ecrire une onction Maple, utilisant fsolve, permettant de determinery(x) a 104 pres.

3. Exprimer y(x) en onction de f(x). Ecrire une onction Maple recursivequi prend en argument un entier n et qui retourne lexpression de y(n)(x)en onction de y(x). Generaliser au cas dune relation implicite f(x, y) =0.

4. Calculer, avec Maple, une valeur approchee de y(4)(2).

5. Determiner limx+

y(x).

6. (a) En ecrivant la relation (1) sous la orme :

y = x1/4 1 + y3

1/4

Determiner a la main un equivalent, puis un developpement asymp-totique a deux termes de y(x) lorsque x .

(b) Demontrer que la relation :

u

(1 + u3)

1/4= t

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denit une onction t

u(t) dun intervalle [0, ] ( > 0) dans R+

et que, pour x 1 :

y(x) =1

u (x1/4)

En deduire, grace a Maple, un developpement asymptotique de ya cinq termes quand x +.

Exercice 7. -

1. Montrer que les relations

sh y n

k=0

y2k+1

(2k + 1)!= x (2)

y 0 0 (3)Denissent une application continue x y(x), de [0, +[ dans R.

2. Sur quel intervalle y est-elle de classe C ?3. Donner un developpement asymptotique a deux termes de y au voisi-

nage de 0 et de +.Exercice 8 (CCP). -

1. Etudier la onction reciproque F de f : ] /2, /2[ R denie par :f(x) = tan x x

2. Calculer limx+

F(x).

3. Calculer un developpement asymptotique de F au voisinage de + ala precision 1

x2.

2.3 Exemple de comportement de racines dequations

Exercice 9 (Centrale 06). On considere lequation :

(E) ln x =x

n

1. Montrer que (E) a deux solutions sur ]0, +[. On note xn la plus petitedes deux.

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2. Montrer que la suite (xn) possede un developpement limite a tout ordre

suivant les puissances de 1n

.

3. Determiner un developpement limite de (xn) a lordre 3 et verier lecalcul a laide du logiciel.

Exercice 10 (Ccp). On pose :

fn(x) = 1 + x +ex

n

Montrer que fn na quune racine dans ] , 0[ soit xn. Montrer que la suite(xn) converge.

Exercice 11 (Mines). n est un entier naturel non nul.

1. Quel est le nombre de racines du polynome :

Pn(x) = xn 2x + 1

appartenant a ]0, 1[ ?

2. Soit (xn) une suite de reels tels que Pn(xn) = 0. La suite (xn) converge-t-elle ?

Exercice 12 (Centrale). n est un entier naturel non nul. Soit xn la plus

grande racine de lequation :

xn n x + 1 = 0 (4)

1. Montrer que la suite (xn) possede une limite l que lon determinera.

2. (plus dicile) Donner un equivalent simple de xn l.Exercice 13 (Ens 06). Montrer que lequation :

tan x = x

admet une unique solution (xn) dans ]n,n + /2[ et quelle admet undeveloppement asymptotique du type :

xn = n +

2+ O

1

n

Donner un developpement a plusieurs termes a laide de Maple.

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Exercice 14 (Mines 04). Montrer que lensemble des solutions positives

de lequation :(1 + x)sin x = 1

peut etre range en une suite (xn)n0, strictement croissante. Donner un equi-valent simple de xn quand n .Exercice 15 (Centrale 99).

f(x) = tan x x2

1 + x2

Montrer que lequation :f(x) = 0

admet une unique solution (xn) dans ]n /2, n + /2[ et en donnerun developpement asymptotique a la precision n2.

Exercice 16 (CCP). Montrer que lequation :

cotg x = ln x

admet une unique solution (xn) dans ]n, (n + 1)[ et que :

limn xn n = 0Montrer que :

xn n ln n

Exercice 17 (Centrale). n est un entier naturel non nul. On note fn laonction denie sur ]n, +[ par :

fn(x) =n

k=01

x k

1. Soit a > 1, etudier limn

fn(na).

2. Soit > 0 et xn lunique racine dans ]n, +[ de lequation fn(x) = .Determiner lim

nxn/n.



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3 Etude de suites recurrentes simples

3.1 Rappel de resultats sur les suites reelles

Proposition 1 (Passage de linegalite a la limite). Cas particulier outous les termes de la suite sont dans un intervalle erme.

Proposition 2 (Theoreme de convergence par encadrement).

Les lecteurs se rapporteront a leur cours de premiere annee. Quelle est ladiference entre ces deux resultats ?

3.2 Intervalles stables par une onction fIl sagit dun intervalle I tel que f(I) I. Leur principal interet provient

de ce que si une propriete P est veriee sur I et si un terme de la suiteun+1 = f(un) appartient a I, alors tous les termes de la suite verient P apartir dun certain rang.

3.2.1 Comment prouver la stabilite dun intervalle ?

Si f : R R, continue, I = f(R) est stable par f.Le cas le plus requent quil aut reperer immediatement sur un dessin :

Si f est croissante et continue sur I et si a, b appartiennent a I avec :a < b et f(a) = a, f(b) = b

alors [a, b] est stable par f.

3.3 Plan detude dune suite recurrente un+1 = f(un)

1. Reduction du domaine detude.

Exemple 3.un+1 = sin un

u1 [1, 1], donc, il sut de considerer la onction sur [1, 1]. Dautrepart, le changement de u0 en u0 change tous les termes en leurs op-poses. Il sut donc de limiter letude au cas ou u1 [0, 1]

2. On etudie rapidement les variations de f sur le domaine detude D,precedemment degage, et on en trace rapidement le graphe. On degageen general ainsi deux types de sous intervalles stables par f :



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Ceux sur lesquels f crot. Pour les mettre en evidence, on a interet

a etudier simultanement les variations de f et le signe de f(x) x. Ceux sur lesquels f decrot.Dans tout autre cas (ipper) (un) peut aire a peu pres nimporte quoi.Par exemple : un+1 = 2u

2n 1.

3. On etudie (un) en prenant u0 dans un intervalle du type precedent. cexercices.

Exercice 18. Etudier les suites :

un+1 = 1 cos(un) Centrale 2002

un+1 = a + un a > 0un+1 =

a un a > 1

un+1 =1

2 un

Exercice 19 (Avec Maple). (TPE 97) Etudier la suite :

un+1 =2u2n + un

un + 3

Exercice 20 (Avec Maple). Etudier la suite :

un+1 =a(1 + a2)

1 + u2n

Exercice 21 (X). Soit R, etudier la suite (un) denie par u0 et larecurrence :

un+1 = eun

Exercice 22 (X). Il sagit detudier la suite (xn) denie par x1 > 0 et larecurrence :

n 2, xn =

x1 +

x2 +

x3 + + xn1

On etudiera successivement les points suivants :



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1. On xe a > 0 et on considere la suite denie recursivement par u1 = 0

et, pour n 2 :un =

a + un1

Etudier (un), determiner sa limite. Montrer que si a 2, un a pourtout n 1.

2. On choisit a max(x1, 2). Montrer que xn a pour tout n 1.3. On pose, pour x ]0, +[ et t 0 :

fx(t) =

x + t

En remarquant que la onction gn1 denie par :t fx1 fx2 fxn1

crot sur [0, +[ et que xn = gn1(0), prouver que (xn)n2 est croissanteet conclure.

4. Question ouverte : determiner limn

xn en onction de x1.

5. Programmer (xn) en Maple.

Exercice 23 (Exemple simple de perturbation). u0 0, (an) est unesuite positive et bornee a laquelle on associe la suite (un) denie par u0 et larecurrence :

un+1 =1

un + an + 1

Montrer que la suite (un) converge si et seulement si la suite (an) converge.

Exercice 24 (X). Etudier la suite recurrente (un) denie par :

u0 > 0, u1 > 0, un+2 = ln(1 + un) + ln(1 + un+1)

Exercice 25 (Centrale 97). Etudier les trois suites denies par : u0, v0, w0 >

0.

un+1 =un + vn + wn

3, vn+1 = 3

unvnwn,

3

wn+1=

1

un+

1

vn+

1

wn



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Exercice 26 (ENSL). Etudier la suite (un) denie par u0 > 0, u1 > 0 et :

un+2 =u2n+1 + u

2n

un+1 + un

Exercice 27 (Mines). Soit (xn) une suite telle que :

xn+1 = |xn n|

Prouver lexistence de tel que xn n.Exercice 28 (Avec Maple). Etudier experimentalement la suite :

un+1 = u2n 1

Exercice 29. Etudier :

supx0

eaxn

k=0

(x + k) a > 0

4 Series numeriques4.1 Sommes de series et calcul approche

Exercice 30 (Centrale 2005). -

1. Existence de :

S =

n=0

(1)n+1n2 + n + 1

?

Trouver une approximation de S a 5.107 pres a laide de Maple.

2. Existence et valeur exacte de :

S =

n=0

(1)n+1n(n + 1)

?

3. A laide de la question precedente, ameliorer lapproximation de S pardiminution du nombre de termes.



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Exercice 31. -

1. Prouver la relation :

arctan x + arctan y = arctan

x + y

1 xy

+ k

ou lon precisera lentier k suivant la position du point (x, y) R2 parrapport a lhyperbole dequation xy = 1.

2. Calculer :

n=1arctan

1

2n2

Exercice 32. Calculer :

1

1.3+

1

5.7+

1

9.11+ . . .

4.2 Exemples asymptotiques

Exercice 33 (Centrale 04). Pour n N, on pose :

Sn =

nk=1

(1)kk tn = Sn+1 + Sn

1. Montrer que la suite (tn) tend vers une limite t 0.2. Evaluer t avec Maple a 102 pres.

3. Donner un equivalent de Sn en +.4. Etudier la serie de terme general un =

1Sn

.

Exercice 34. Etudier la serie de terme general un =1

vnavec :

vn =n

k=1

(1)kk ln k



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Exercice 35. Soit z

C, imaginaire pur. Posons :

Sn =n

k=0

ez

k

Determiner une suite (un) simple telle que la suite de terme general Sn unsoit convergente.

Exercice 36. Etudier la serie :n1

ei ln n

n > 0

donner un equivalent de sa somme partielle lorsque = 0.

5 Autres exemples

Exercice 37. Que dire de deux suites reelles (un) et (vn) telles que :

un + vn 0 et u3n v3n 0

Exercice 38. Deux suites (an) et (bn) verient :

ann a > 0 et bnn b > 0Soient p, q > 0 tels que p + q = 1. Etudier :

limn

(pan + qbn)n

Exercice 39 (Centrale). Trouver la limite de la suite de terme general :

nk=1

sin(/n)

2 + cos kn

Exercice 40 (Centrale). Soit f C1([0, 1], R). Etudier la limite de la suite :n1k=0

f

2k + 1

2n

f

k

n



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Exercice 41 (Centrale). Soit (xn) et (yn) deux suites reelles liees par la

relation :yn = xn + 2xn+1

Prouver que si lune converge, lautre aussi. Que se passe-t-il avec :

yn = xn + xn+1 ?

Exercice 42 (Mines). Soit f C2([1, 1], R) telle que f(0) = 0. Etudierla limite de la suite :

un =n

k=0

fk

n2

Deuxieme partie

Suites et series de onctions

6 Exercices generaux

Exercice 43 (Centrale 2007).

an =

10

(1 t2)n dt

1. Montrer que (1 t2)n 1 nt2 sur [0, 1] et minorer an.2. Pour x [0, 1]

Pn(x) =

x0

(1 t2)n dt10

(1 t2)n dtSoit ]0, 1[. La norme innie est prise sur [, 1]. Montrer que :

limn

||1 Pn|| = 0

3. Calcul de P5 et P10 avec Maple.

Exercice 44. -



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1. Pour n

N demontrer lexistence dune onction un denie et continue

sur [0, +[ et telle que, pour tout x > 0, un(x) = nx 2(n + 1)x +(n + 2)x.

2. Etudier la continuite sur [0, +[ de la somme U de la serie de onctionsde terme general un.

3. Determiner lims0+

n=1

(1)nns

.

7 Series entieres

Exercice 45. Rayon de convergence et somme de :

n=0

xn2nn

?

8 Series de Fourier

Exercice 46 (Centrale 2007). Soit f la onction 2-periodique denie sur]0, 2[ par f(t) = t, f(0) ayant "la valeur qui convient".

1. Calculer les coecients de Fourier trigonometriques de f et etudier laconvergence de sa serie de Fourier.

2. Representer sur un meme graphique f et Sn pour n = 1, 5, 10, 50 ; queremarquez vous ?

3. Trouver le plus petit extremum strictement positi de Sn ; quel est sanature ?

4. Donner la valeur mn de cet extremum sous orme integrale et determinerlim

nmn

1.

Exercice 47 (Centrale 2007). Dans cet exercice il est suggere dutiliser la

onction Maple : "piecewise".Soit A, B, C trois points du plan ane euclidien daxes respectis a, b,c. Soit f la onction continue, 2-periodique et ane sur chaque intervalle[0, 2/3[, [2/3, 4/3[, [4/3, 2[ telle que f(0) = a, f(2/3) = b, f(4/3) =c.

1Ce resultat est app ele "phenomene de Gibbs"



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1. Donner lexpression de f sur [0, 2[ et la representer graphiquement.

2. Que dire de la convergence de sa serie de Fourier ?

3. Calculer c0(f).

4. On choisit : a = 0, b = 1, c = 1 + 2 i.(a) Calculer ck(f) pour 2 k 2.(b) Representer simultanement Sp(f) et f pour p = 1, p = 2, p = 5.

Commenter.

(c) Calculer||Sp(f)||2

||f||2 .

Troisieme partie

Equations diferentielleslineairesExercice 48 (Tpe 2001). Integrer :

y + 4 |y| + 4 y = e2x

Quatrieme partie

Systemes diferentiels lineaires

9 Pratique de letude dun systeme diferen-

tiel

On va etudier divers exemples suivant les situations de resolution des

systemes :homogene :

(H) X(t) = AX(t)

avec second membre :

(S) X(t) = A X(t) + B(t)



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B etant une onction continue de t sur un intervalle I

R.

On rappelle le seul resultat admis par le programme :

Theoreme 3 (Dit de Cauchy). Soit A Mn(K), X0 Kn et t0 R.Alors il existe une et une seule application derivable t X(t) : R Kntelle que :

X(t0) = X0 et t R, dXdt

(t) = A X(t)

On dit que X est lunique solution du probleme de Cauchy pour le systemediferentiel X(t) = AX(t) avec la condition initiale (t0, X0).

Les exercices du concours Centrale ont ete traites en Maple, ceuxdes Mines ont ete traites par des methodes mixtes.

9.1 Cas le plus simple

On suppose que A Mn(K) est diagonalisable sur K. On a trouveune base de vecteurs propres de Kn qui a permis de mettre en evidenceP GLn(K) telle que D = P1AP soit diagonale. Le systeme (H) se ramenevia le changement de onction :

X(t) = P Y(t)

Y(t) = P1X(t)

qui denit Y comme onction C1 de t, au systeme :() P Y = A P Y Y = P1 A P Y = D Y

Dont la resolution est evidente. Cette methode est preconisee si lon disposede Maple ou dune calculatrice qui ait du calcul ormel car les produitsmatriciels et dinverses sont peux couteux. Donnons dabord un exemple sanset avec conditions initiales :

Exemple 4. -

1. Trouver les solutions reelles de (H) : X = AX avec :

A =

2 1 0 13 2 3 41 1 1 11 1 3 3



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vp:=eigenvals(A);

vp := -1, 2, 1, 0

A est donc diagonalisable sur R. Determinons la matrice de passage aune base de vecteurs propres de A. La onction nullspace retourne unebase du noyau exprimee sous orme densemble de listes. Le symbole oppermet de supprimer les accolades et donc den extraire une sequencede listes.

V:=lambda->op(nullspace(evalm(A-lambda*I4)));

P:=transpose(matrix(([V(-1),V(2),V(1),V(0)])));

Delta:=evalm(P^(-1)&*A&*P);

P :=

0 0 1 11 1 1 11 0 0 11 1 0 1

:=

1 0 0 00 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

En posant X = P Y, Y C1(R, Kn) et X verie (H) si et seulementsi Y verie le systeme () :

() y1 = y1, y2 = 2 y2, y3 = y3, y4 = 0qui sintegre en :

Y(t) =

a e

t

b e2t

c et

d

(a,b,c,d) R4

La solution generale est donc X(t) = P Y(t) ou Y est donne par lesormules ci-dessus. On peut aire le travail avec Maple :



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13 septembre 2010

Y:=vector([exp(-t)*a,exp(2*t)*b,exp(t)*c,d]);

X:=evalm(P&*Y);

[etc d, eta e2 tb + etc + d, eta d, eta + e2 tb + d]

2. Determiner la solution de (H) telle que X(1) =t (1, 1, 2, 0).On peut, dans la solution generale ci-dessus, resoudre le systeme en a,b, c, d obtenu en imposant les conditions initiales mais le plus simpleen MP* seulement est dutiliser lexpression de etA calculable pardiagonalisation :

X(t) = e(t1)A X(1)Voici ce que ca donne en Maple :

R:=evalm(P&*diag(exp(t-1),exp(1-t),1,exp(2*(t-1)))&*P^(-1)):

ini:=vector([1,-1,2,0]):

evalm(R&*ini);

[et1, et1 + 2 2 e2 t2, 2, 2 + 2 e2 t2]

9.2 Cas ou A est reelle avec des valeurs propres com-plexes

Les lecteurs prouveront que si (X) = (X1, . . . , X p) est une base du sousexpace propre de A Mn(R), associe a la valeur propre complexe , laamille

X

=

X1, . . . , X p

est une base du sous espace propre Ker(A In).Exemple 5. Resoudre (H) : X = A X avec :

A =

1 0 0

0 1 10 1 1

, X(0) =t (1, 1, 1)



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13 septembre 2010

A admet trois valeurs propres complexes distinctes 1, 1 + i, 1

i elle est

donc diagonalisable sur C. On choisit une base de diagonalisation de A desorte que les vecteurs propres associees aux valeurs propres 1 + i et 1 isoient conjugues. Par exemple une telle base de diagonalisation de A peutetre denie par la matrice de passage suivante :

P =

1 0 0

0 1 1

0 i i

, P1 A P =

1 0 0

0 1 + i 0

0 0 1 i

=

En posant X(t) = P Y(t), on trouve :

Y = Y et, en resolvant P Y(0) = X(0) : Y(0) =

1

1+i2

1i2

dou :

Y(t) =

et

1+i2

e(1+i)t

1i2

e(1i)t

On obtient sans diculte :

X(t) = P Y(t) =

et

1

2 i

2

e(1i)t + ie(1+i)t

1

2+

i

2ie(1+i)t + e(1i)t

La solution doit etre reelle. En observant que 1 i = 2 ei/4, il vient :

X(t) =

et2 et cos

4+ t

2 et cos

4

t



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13 septembre 2010

Exemple 6 (Recherche de la orme generale reel le). On recherche la orme

generale des solutions reelles de (S) : X = A X+ B avec :

A =

3 3 21 1 2

1 1 0

B =

et0

et

La matrice P admet une valeur propre reelle 4 et deux valeurs propres irreellesconjuguees 2i et 2i. La recherche des sous espaces propres correspondantsdonne :

P =

7

1

1

3 1 1

1 i i

On notera V1, V2, V2 les trois colonnes de cette matrice qui sont des vecteursdirecteurs respectis de E4 = VA(4), E2i = VA(2i) et E2i = VA(2i). Atoute onction X C1(R, C3) associons la onction Y C1(R, C3) deniepar X = P Y. De sorte que, si lon pose, pour t R :

Y(t) = y1(t)y2(t)y3(t)

alors X(t) = y1(t) V1 + y2(t) V2 + y3(t) V2

X est a valeurs reelles si et seulement si, pour tout t, Y(t) = Y(t)ie :

y1(t) R et y2(t) = y3(t)X verie (S) si et seulement si Y verie :

() Y = Y + B1 avec =

4 0 0

0 2 i 00 0 2 i

, B1 = P1B



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On trouve :

B1(t) =

et

10 3

20 9

20i

et

3

20+

9

20i

et

Le systeme () secrit donc :

y1(t) = 4 y1(t) +et

10

y2(t) = 2i y2(t) +

3

20 9

20i

et

y3(t) = 2i y3(t) +

320

+9

20i

et

Pour chacune de ces equations on cherche une solution particuliere de laorme A et. La solution generale de () est, compte tenu que y1 est a valeurs

reelles et que y2 et y3 sont conjuguees :

y1(t) = et

30+ a e4t a R

y2(t) =3

20(1 i) et +b e2it b C

y3(t) = y2(t)

Comme 1 i = 2 ei/4 il peut etre interessant, vu quon escompte unresultat nal reel, dexprimer le parametre complexe b sous orme trigonome-trique : b = r ei, r, sont des reels. y2 prend alors la orme :

y2(t) =3

2

20eti/4 +r ei(2t+)

On termine alors avec Maple :



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y1:=-exp(t)/30+a*exp(4*t):

y2:=3*sqrt(2)/20*exp(t-I*Pi/4)+r*exp(I*(2*t+phi)):y3:=3*sqrt(2)/20*exp(t+I*Pi/4)+r*exp(-I*(2*t+phi)):

Y:=vector([y1,y2,y3]):

X:=map(simplify,evalm(P&*Y));

qui donne :

X(t) =

815

et 2 r cos(2 t + ) + 7 ae4 t

et

5 + 2 r cos(2 t + ) + 3 ae4 t

4

15et 2 r sin(2 t + ) + ae4 t

9.3 Cas ou lon ne souhaite pas calculer de matrice depassage

On peut calculer directement X(t) en onction du systeme (P1, . . . , P s)des projecteurs associes a la decomposition de Kn en somme directe des

sous espaces propres de A. Il sut dobserver que ces projecteurs peuventsexprimer comme des polynomes en A. En efet il vient pour i {1, . . . , s}et k N :

A Pi = i Pi donc Ak Pi =

ki Pi

On en deduit, pour tout Q K[X] :

Q(A) Pi = Q(i) Pi

et nalement, compte tenu de la relations

i=1Pi = IKn , que :

Q(A) =s

i=1

Q(i) Pi

Il sut de prendre le polynome dinterpolation de Lagrange habituel pourrecuperer Pi comme un polynome en A.



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13 septembre 2010

9.4 Exemples avec une matrice trigonalisable

Lorsque la matrice nest pas diagonalisable on doit indiquer une methodepour la trigonaliser sau dans les cas evidents (par exemple espace de dimens-sion 3 et matrice ayant deux valeurs propres distinctes).

Exercice 49 (Mines). Trouver les solutions du systeme diferentiel :

(S)x = 3x + 4y + 3y = x y

Premiere methode : la plus naturelle, on pose X(t) =t (x(t), y(t)) et onresoud comme si cetait un systeme du premier ordre.

Deuxieme methode : imposee par lexaminateur. On associe a deux onc-tions (x, y) de classe C2 la onction X a valeurs dans R4 denie par :

t t (x(t), y(t), x(t), y(t))qui est de classe C1. (x, y) verie (S) si et seulement si X verie :

X = M X+ B avec M =

0 0 1 00 0 0 13 4 0 0

1

1 0 0

et B =

0030

On trouve pour M deux valeurs propres 1 et 1 chacune a la multipli-cite 2 et avec un sous espace propre de dimension 1. On suggere alorsdetudier :

Ker(M I4)2 et Ker(M + I4)2comme Ker(M I4) Ker(M I4)2, on peut completer une base deKer(M I4) en une base de Ker(M I4)2. On trouve :

Ker(M

I4)

2 = Vect

21

21

,

01

20

Ker(M + I4)2 = Vect

212

1

,

01

20



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On orme alors la matrice P de presentation de ces quatre vecteurs

dans la base canonique de R4. Ce systeme est une amille generatricede F= Ker(M I4)2 + Ker(M + I4)2.

P =

2 0 2 01 1 1 1

2 2 2 21 0 1 0

Des operations elementaires sur P prouvent quelle est inversible etpermettent dobtenir son inverse donc :

R4 = Ker(M I4)2 Ker(M + I4)2

On se place dans la base de R4 constituee des colonnes de P, laquellebase est adaptee a la decomposition en somme directe ci-dessus. Il vientalors :

T = P1MP =

1 1 0 00 1 0 0

0 0 1 10 0 0

1

En posant, comme precedemment, X = P Y, X verie (S) si et seule-ment si Y verie :

(S1) Y = T Y + B1 avec B1 = P

1B =

03/4

03/4

Systeme diferentiel triangulaire qui se resoud acilement par remontee,ce qui permet dobtenir Y puis X.

10 Travaux diriges Maple

Exercice 50 (Tpe 2005). En adaptant la methode au programme, trouverles solutions de :

x(3) + x + x + x = eat



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Exercice 51. Resoudre Le systeme diferentiel.

x = x + y zy = x y + zz = x + y z

Exercice 52 (Cen 99). Soit a R. Resoudre :

x = x + ay + et

y = ax + y + et

Exercice 53. Resoudre X = AX avec :

A =

2 1 0 13 2 3 41 1 1 11 1 3 3

Exercice 54. Meme question avec :

A = 1 3 11 1 1

3 3 3

Exercice 55 (Mines 99). Trouver les solutions reelles du systeme :

x = x 3yy = x y

Exercice 56 (Mines 98). Resoudre X = AX avec :

A =

2 1 00 1 1

1 1 0



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Exercice 57 (Mines 2000). Resoudre X = AX avec :

A =

3 1 12 0 1

1 1 2

Exercice 58 (Centrale 98). On considere les matrices :

A =

3 22 3

B =

8 18

3 7

1. Diagonaliser A et B a laide de Maple. Comment aire sans ?

2. On considere lendomorphisme de M2(R) deni par :(X) = A X+ XtB

Montrer que si C est un vecteur propre de A et D un vecteur proprede B, la matrice CtD est un vecteur propre de . Donner les valeurspropres et les vecteurs propres de ; est-elle diagonalisable.

3. Chercher les onctions t X(t) : R M2(R), derivables, telles que :X(0) = I2 et, pour tout t R : X(t) = (X(t))

Exercice 59 (Centrale 97). Etudier le systeme lineaire X = AX avec :

A =

2 2 11 3 2

2 0 1

La matrice A nest pas diagonalisable, on changera de base en prenant deuxvecteurs propres.

toto

Exercice 60. Meme question avec :

A =

1 3 11 1 1

3 3 3



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Exercice 61. Resoudre le systeme :

x = y + zy = z+ xz = x + y

Exercice 62. Trouver les solutions reelles du systeme :

x = y zy = x zz = x + y

Exercice 63. Resoudre le systeme :

x = 3x + zy = 2x + y + zz = x + y + z

Exercice 64. Resoudre le systeme :x = 5x 8y + ety = x + 6y + t

avec les conditions initiales x(0) = 0, y(0) = 1.

Exercice 65. Resoudre le systeme :2x + y + 2ax = 0

x + y + ay = 0

Exercice 66 (Tpe 2003). On considere la matrice :

A = 1 a a

1

1 0

1 0 1 a [0, +[Trouver trois vecteurs V1, V2, V3 tels que :

AV1 = V1, AV2 = V2 + V1, AV3 = V3 + V2Calculer An, calculer exp(tA) sic.



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Exercice 67. Resoudre le systeme :x + y + x + y + x + y = 0

x + y + x + y x y = 0

Exercice 68. Integrer le systeme diferentiel suivant :

2x + 2x + x + 3y + y + y = 0

x + 4x x + 3y + 2y y = 0

Cinquieme partieIntegrales a parametresExercice 69 (Cen 2003). On pose :

=

10

dt1 t4

1. Calculer une valeur approchee de a laide dun DSE.

2.Etablir une relation entre et

10

(1t) dt1t4 . En deduire une nouvelle valeurapprochee de .

3. Prouver la relation :

+ 1 = 2

10

2 u41/4 du

conclusion ?

Exercice 70 (Centrale 2009). On considere lequation diferentielle :

(E) x(t) t x(t) = 0

1. Etudier sa resolution avec le logiciel.

2. Tracer les graphes des deux solutions x0 et x1 de (E) satisaisant auxconditions initiales :

x0(0) = 0, x0(0) = 1 et x1(0) = 1, x

1(0) = 0



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3. Trouver la orme des solutions de (E) developpables en serie entiere au

voisinage de 0. Quen deduire sur la orme de lensemble des solutionsde (E) ?

4. Que dire dune solution x de (E) veriant x(0) = 1 et x(0) = a R ?5. Montrer quon denit une onction f sur R en posant :

f(t) =1

+0

cos

t u +

u3

3

du

et quelle verie (E) sur R.

Exercice 71 (Centrale 2007, 2009). On considere lequation diferentiellelineaire :(E) xy + y + xy = 0

1. Quelle reponse apporte le logiciel ?

2. Determiner les solutions de E developpables en serie entiere au voisi-nage de 0. On note f0 lunique solution de (E), developpable en serieentiere sur R et telle que f0(0) = 1.

3. Tracer le graphe de f0.

4. Exprimer f0 en onction de J0 :

x 1

0

cos(x sin t) dt

5. Montrer que J0 admet un plus petit zero strictement positi a < etdeterminer un systeme ondamental de solutions de (E) sur ]0, +[ alaide de la onction K denie sur ]0, a[ par :

K(x) = J0(x)

xa/2

dt

t J0(t)2

quon prolongera convenablement a [a, +[.Exercice 72 (Centrale 2003). Soit R. Montrer quon peut denir uneonction f sur ]0, +[ par :

f(x) =

+0

ch(t) ex ch t dt



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et quelle y verie lequation diferentielle :

x2y(x) + xy(x) + (x2 + 2)y(x) = 0

Trouver la limite de f en 0.

Exercice 73 (Centrale 2004). Pour tout x appartenant a R, n N, onpose :

Jn(x) =1

0

cos(x sin t nt) dt

1. Montrer que Jn est C2 sur R.2. Montrer que Jn verie :

x2 y + x y + (x2 n2) y = 0 et Jn(x) = (1)n Jn(x)

3. On pose u(x) = Jn(ax) et v(x) = Jn(bx), a et b sont deux reels distincts.Montrer que lon a x2 u + x u + (a2 x2 n2) u = 0. et x2 v + x v +(b2 x2 n2) v = 0 ; en deduire une primitive de x (a2 b2) u(x) v(x).

Exercice 74 (Centrale 2007). Soit a > 0 et F denie par :

F(x) =+

0 ea(t+x

t)) dt

t

1. Verier que F est bien denie sur [0, +[.2. Montrer que F est continue sur [0, +[ puis de classe C2 sur ]0, +[.3. Montrer que F est, sur ]0, +[, solution dune equation diferentielle

(E), lineaire du second ordre quon determinera.

4. Rechercher les solutions de (E) developpables en serie entiere. En de-duire une solution particuliere de (E) sur ]0, +[.

5. Determiner F sur [0, +

[ en onction de F(0).

6. Tracer F a laide de Maple.



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Sixieme partie

Algebre lineaire

11 Matrices, determinants

Exercice 75. Dans tout lexercice, on prendra n = 6 et p = 3. On considereles trois matrices :

U =

1 1 12 2

2

2 2 2

V =

2 1 3

2 1 3

4 2 6

W =

4 2 63

2 22

2 4 12

On se propose de determiner numeriquement si elles existent A et B appar-tenant a M3(R) telles que W = AU + BV.

1. Ecrire une onction ar(A,Q,j) qui prend en argument deux matricesA Mn,p(R) et Q Mn(R) et un indice j [|1, p|] et qui, si A[j, j] =0 transorme la matrice A par operations elementaires de transvectionssur les lignes en une nouvelle matrice de meme taille mais dont tousles elements A[i, j] avec i > j sont nuls et qui efectue exactement

les memes operations lignes sur P egalement transormee.Ecrire uneonction analoque ac(A,P,i) qui opere sur les colonnes de A.

2. Ecrire une onction sr(A,Q,i,j) qui permute les lignes i et j de A ainsique celles de Q. Ecrire une onction qui efectue les operations analoguessur les colonnes.

3. En appliquant les onctions precedentes a la matrice bloc [c laide sur

"blockmatrix"] M =

UV

, determiner Q Mn(R) et P Mp(R)

telles que QMP = Jn,p,r ou r = rg(M).

4. En deduire une solution du probleme pose.

Exercice 76. Eest un R-espace vectoriel rapporte a une base (e) = (ej)1j7.On considere les deux sous-espaces E1 et E2 engendres respectivement parles deux systemes de vecteurs dont les matrices de presentation, relativement



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a (e) sont :

E1 =

5 0 0 2

3 4 0 111 1 5 2

3 1 1 0

3 5 1 37 0 2 29 8

3 4

E2 =

5 0 3 23 7 5 41 5 5 25 2 0 1

5 4 5 23 2 2 4

3 2 1

2

1. Determiner les dimensions de E1, E2, E1 E2 en utilisant la onctionMaple rank.

2. Soit x un vecteur de E dont la matrice, relativement a (e) est X M7,1(R) que lon creera en declarant dabord un tableau de variablesormelles via linstruction :

x:=array(1..7);

En considerant la matrice E2 X , sur laquelle on pratiquera desoperations elementaires grace a des procedures du meme type que cellescodees dans lexercice precedent, ecrire un systeme dequations carte-siennes de E2 ; cest-a-dire determiner un systeme libre (j)1js deormes lineaires sur E des noyaux desquelles E2 soit lintersection .

3. En deduire une base (B) de E1 E2.4. Completer la base (B) en une base de E1 en utilisant exclusivement

des vecteurs de la base initiale de E1 denie par la matrice E1. Fairede meme avec E2.

5. Determiner une base dun supplementaire commun a E1 et E2.

6. Determiner la matrice, relativement a (e) dune symetrie de E telleque (E1) = E2. [On pourra essayer de se ramener au cas de deuxsous-espaces de meme dimension engendres par des vecteurs de la base(e).]

Exercice 77. On considere, dans un C-espace vectoriel E muni dune base(e) = (ei)1i5, deux amilles (f) et (g) de vecteurs dont les matrices, relati-



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vement a (e) sont :

A =

m 1 11 m 11 1 mm 0 m

m + 1 1 m

et B =

1 m 1m 01 3 mm m1 1

On pose F = Vect(f) et G = Vect(g).

1. Trouver une base de F + G

2. Donner des conditions necessaires et susantes portant sur les (yi)1in

pour que le systeme dinconnue X M3,1(C) :

AX =

y1y2y3y4y5

ait une solution. En deduire une ecriture de F comme intersection dhy-perplans puis une base de F G.

On decrira en Maple les operations elementaires quon sera amene a aire.

Exercice 78 (Centrale 2008). [Preparation 30 avec Maple] On considerela matrice A Mn(R) :

A =

a1 1 . . . 1

1 a2 . . ....

.... . . 1

1 . . . 1 an

1. Sil existe i

= j tels que ai = aj = 1, que peut-on dire de A ?

2. Pour n = 2 et n = 3, calculer det A et exprimer A1

lorsque A est inversible.

3. On suppose a1 = 1 et, pour i > 1 ai = 1. Calculer det A et A1. Onpourra commencer par les cas 3 n 5.

4. Cas general. On pourra introduire bi = ai 1.



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12 Reduction

Exercice 79 (Centrale 2001, 2003, Mines 2003).

Soit : M(z) =

0 0 z1 0 0

1 1 0

z C

1. Quelles sont les valeurs de z telles que M(z) ait une valeur propre demodule > 1 ?

2. Quelles sont les valeurs de z telles que M(z) soit diagonalisable ?

3. Quelles sont les valeurs de z telles que M(z) soit inversible ?4. Determiner le lieu des points daxe z pour lesquels M(z) a une valeur

propre de module 1. Le tracer grace a Maple.

Exercice 80. Trouver le commutant de la matrice :5 2 44 3 4

4 2 3

Exercice 81. On considere la matrice :

A :=

7 2 56 2 4

6 1 3

1. Montrer quelle a une valeur propre double et une valeur propresimple . Est-elle diagonalisable ?

2. Trigonaliser A En deduire que A est semblable a une matrice de laorme :

0 00 10 0

3. Retrouver le resultat de la question precedente en montrant directement

que :R3 = Ker(A I3)2 Ker(A I3)



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4. Determiner le commutant de A.

Exercice 82. -

1. On considere la matrice :

A =

2 1 21 2 2

1 1 1

Calculer les valeurs propres de A et leurs multiplicites.

2. Montrer que A est semblable a une matrice triangulaire et en deduireque A(A) = 0.

3. Calculer An pour n Z.4. Soit A la matrice :

3 1 12 0 11 1 2

Trouver un polynome annulateur de A de degre 3. En deduire An.

Exercice 83. Calculer An ou A est la matrice de lexercice 81

Exercice 84 (Ccp 2006). Trouver la suite recurrente (un) satisaisant :

n N, un+3 = 11 un+2 39 un+1 + 45 unavec les conditions initiales :

u0 = 1, u1 = 1, u2 = 1

Exercice 85 (Centrale 2008). -

1. Demontrer que si deux endomorphismes u et v dun espace vectorielE commutent alors les sous-espaces propres de u et limage de u sontstables par v.

2. Dans les deux cas suivants :

A =

20 12 4 124 3 9 54 1 5 58 10 6 2



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A =

12 16 8 4

4 13 1 14 5 9 18 10 2 6

Preciser les matrices qui commutent avec A (structure, dimension, even-tuellement base) et etudier dans M4(R) et M4(C) lequation M2 = A(nombre de solutions, un exemple de solutions quand il y en a, sommeproduit des solutions quand elles sont en nombre ni).

Exercice 86 (Centrale 2009).

A =

1 3 3 121 4 1 31 2 2 2

1 1 1 6

1. Valeurs propres de A et dimensions des sous-espaces propres ?

2. Montrer que, si P est un polynome a coecients dans K et f un en-domorphisme du K-espace vectoriel E, alors Ker P(f) est stable par

f.3. Montrer que A est semblable a :

B =

2 0 0 0

0 3 1 0

0 0 3 1

0 0 0 3

4. Trouver les matrices reelles qui commutent a A.

Exercice 87. Trouver les suites recurrentes reelles (un) satisaisant :

n N, un+3 + 3 un+2 + 3 un+1 + 2 un = cos navec les conditions initiales :

u0 = 1, u1 = 1, u2 = 0



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On introduira, pour cela les suites (Xn) et (Bn) de matrices colonnes denies

par :

Xn =

unun+1

un+2

Bn =

00

cos n

et une matrice A M3(R) telle que, pour tout entier naturel n :

Xn+1 = AXn + Bn

On procedera ensuite par variation de la constante .

Exercice 88. Resoudre dans M3R :

P(X) =

1 1 13 3 1

3 1 3

avec P = X2, P = X2 + X

Exercice 89. Si a,b,c,d sont quatre complexes, on note :

M(a,b,c,d) =

a 2b 3c 6db a 3d 3c

c 2d a 2bd c b a

On pose J = M(0, 1, 0, 0) et K = M(0, 0, 1, 0).

1. Exprimer M(a,b,c,d) en onction de J et K.

2. Prouver queM = {M(a,b,c,d), (a,b,c,d) C4}

est une sous algebre commutative et unitaire de M4(C).3. Determiner P

GL4(C) telle que, pour tout M

M, la matrice

P1MP soit diagonale. En deduire :(a) Le determinant dun element de M.(b) Les inversibles de cette algebre.

Exercice 90. - Dans tout lexercice E = Cn1[X], A C[X] et M unpolynome unitaire de degre n a coecients complexes.



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1. Montrer que lapplication fA qui associe a un polynome P

Ele reste

de la division de A P par M est un endomorphisme de E.2. On declare une constante n (on suggere 4 n 6) et le polynome A,

suppose de degre n 1, A = a0 + a1X+ + an1Xn1 a partir duntableau a. On prend ici M = Xn 1. Determiner, a laide du logiciel,la matrice de fA dans la base (1, X , . . . , X

n1) de E. Prouver le resultatobtenu pour n quelconque.

3. En procedant comme a la question precedente, determiner les valeurs

propres de fA lorsque M =n

i=1

(X i) puis prouver le resultat suggeredans le cas general.

4. Demontrer que, lorsque M est simplement scinde sur C, fA est diago-nalisable.

5. Calculer det fA lorsque M = Xn 1.

6. On choisit, dans cette question, n = 4 et M = X3(X 1)2.(a) Montrer que la amille :

(B) =

(X 1)2, X(X 1)2, X2(X 1)2, X3, X3(X 1)est une base de E= C4[X].

(b) A laide du logiciel, donner la matrice de fA dans (B). En deduireun systeme de conditions necessaires et susantes portant surA(0), A(0), A(1) pour que fA soit diagonalisable.

7. On reprend maintenant n 2, E= Cn1[X], M un polynome unitairede degre n et A un polynome de C[X].

(a) Soit a une racine de M de multiplicite p. On pose :

M = (X a)p Q

Prouver que lespace :

Ea = Vect

((X a) Q)0p1

est stable par fA.

(b) Donner un systeme de conditions necessaires et susantes pourque fA soit diagonalisable.



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(c) Quel est le determinant de fA ?

Septieme partie

Espaces euclidiensExercice 91 (Centrale 99). Apres en avoir prouve lexistence, calculer :

min(a,b,c)R3

10

(t3 at2 bt c)2 dt

Peut-on generaliser ?

Exercice 92 (Centrale 98). Soit lendomorphisme de R[X] deni par :

(P) = (X2 1)P + XP

1. Avec Maple denir et les images des vecteurs f[k] = xk pour 0 k

3.

2. Montrer quon denit un produit scalaire sur R[X] en posant :

(P, Q) =11

P(x)Q(x)1 x2 dx

3. Montrer que est un endomorphisme de R3[X] symetrique pour ( , ).

4. Soit n N. Montrer que n2 est valeur propre de . Montrer que lessous espaces propres associes a deux entiers distincts sont orthogonaux.On pourra deriver

1 x2f.

Exercice 93. Soit E, ( | ) un espace euclidien de dimension 4 Rapportea une base orthonormee (e). On se donne deux vecteurs u et v par leurscoordonnees dans la base (e) et on note F = Vect(u, v). On notera U et V

les vecteurs de R4 representant les systemes de coordonnes respectives de uet v dans la base (e).

1. Ecrire une procedure prenant en argument un vecteur X R4, repre-sentant le systeme des coordonnees dun vecteur x E dans la base(e) et retournant un vecteur Y R4 representant le systeme des coor-donnees de PF(x) dans (e).



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2. En deduire une procedure retournant la matrice dans (e) de PF, PF ,

sF, sF ou sF designe la symetrie orthogonale relativement a F. Testervos procedures sur des exemples.

Exercice 94 (Centrale). Implementer en Maple la pro jection orthogonalede Xn+1 sur Rn[X], R[X] etant muni du produit scalaire :

(P, Q) =

0

ex P(x)Q(x) dx

Expliciter les calculs Maple pour n = 2, n = 3.

Exercice 95. Un espace euclidien oriente de dimension 3 est rapporte a uneorthonormee directe. Etudier les endomorphismes dont les matrices sont :

1

4

3 1

6

1 3 66 6 2

1

9

8 1 44 4 7

1 8 4

Exercice 96 (Centrale 98). Soit M la matrice :

M = 0 1/2 0

1/2 0 0

0 0 1

A laide de Maple, diagonaliser M et trouver une base orthonormale reduisantM.

Exercice 97 (Decomposition QR). Dans tout lexercice lespace Rn estmuni de sa structure euclidienne canonique. On utilisera les constantes etprocedures suivantes dans tout le code Maple de cet exercice :

Un entier n = 4. La matrice In via linstruction :

In:=diag(1$n);

Une onction can dont largument est un entier i et qui retourne levecteur dindice i de la base canonique (e) de Rn :can:=proc(i)

> local L,j;

> L:=[NULL];

> for j from 1 to n do



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> if (j=i) then L:=[op(L),1]

> else L:=[op(L),0]> fi

> od;

> vector(L)

> end;

Une onction N qui prend en argument un vecteur U Rn et qui enretourne la norme euclidienne :N:=proc(U) sqrt(sum(U[i]^2,i=1..n)) end;

1. Montrer que si u et v sont deux vecteurs non nuls dun espace euclidienE, distincts de meme norme, il existe une unique reexion s telle ques(u) = v.

2. On considere une matrice partiellement triangulaire superieure T Mn(R) cest-a-dire quexiste un entier j [|1, n|] tel que tik = 0 pourtout couple (i, k) veriant k < j et i > k. On considere le vecteurCj, image du vecteur colonne Cj dindice j de T par le projecteurorthogonal Pj sur Vect(ej , ej+1, . . . , en) et le vecteur Vj = C

j ||Cj || ej .

Montrer que lisometrie s de Rn, qui vaut lidentite si Vj = 0 et lareexion dhyperplan Vect(Vj)

sinon, laisse xe les vecteurs Ck pourk < j. Quelle est la orme du vecteur s(Cj) ?

3. En deduire, pour A Mn(R) donnee, lexistence dune matrice On(R), produit dau plus n matrices de reexion, telle que A soit tri-angulaire superieure a coecients diagonaux positis. Prouver lunicitede si A GLn(R).

4. Coder lalgorithme precedent en ecrivant successivement les onctionssuivantes : Une onction H qui prend en argument le vecteur U et qui retourne

In si U = 0 et la matrice canoniquement associee a la reexion par

rapport a Vect(U) sinon. Une onction sommcol qui prend en argument la matrice T et lindicej et qui retourne le vecteur Cj.

Une onction QR qui prend en argument une matrice A et qui retourneQ On(R) et R, triangulaire superieure a diagonale positive, telleque A = QR.



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Exercice 98 (Centrale 2009). Soit A = (aij)1

i,j

n la matrice antisyme-

trique reelle telle que ai,i+1 = 1 et ai+1,i = 1 pour i i n 1, les autrescoecients etant nuls. Soit f lendomorphisme de Rn canoniquement associea A.

1. On choisit n = 5.

(a) Elements propres de f? Est-il diagonalisable ? Trigonalisable ?

(b) Montrer que R5 = Ker f Ker(f2 + IR5) Ker(f2 + 3 IR5). Ecrirela matrice de f dans une base adaptee a cette decomposition.Exprimer fn.

(c) A est-elle diagonalisable dans C ? Expliciter Q

GL5(C) telle que

Q1AQ soit diagonale et retrouver fn.2. Generaliser ces resultats.

Huitieme partie

Fonctions de plusieurs variables

13 Exemples de relations implicites

Exercice 99. (Maple)

1. Pour x 0 On note (x) la plus grande racine reelle de lequationdinconnue y :

f(x, y) = y3 3xy2 + x2 + 1 = 0 (5)2. Visualiser, pour x 0, les courbes dequation f(x, y) = 0 et f

x= 0

a laide de Maple. En deduire que, pour x dont on donnera unevaleur numerique approchee, lequation f(x, y) = 0 admet deux racines(x) et (x) avec 0 (x)(x).

3. Montrer que est croissante puis continue sur [, +

[.

4. Soient a > et b = (a). Pour m R, donner un developpementlimite a lordre 1 de :

f(a + h, b + mh)

quand h 0. En deduire que C1(], +[, R) et exprimer (x) alaide des derivees partielles de f au point (x, (x)).



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5. Determiner limx+

(x)

6. Montrer que le graphe de a une asymptote quand x + et etudiersa position par rapport a cette asymptote.

7. Determiner un developpement asymptotique a deux termes de auvoisinage de + et representer la courbe dequation f(x, y) = 0 pourx 0.

Exercice 100. 1. Etudier la onction h denie sur ]0, +[ par la rela-tion :

h(x) = x2 + x 1 x ln x

Donner une valeur approchee a 103

pres de la racine a > 0 de lequa-tion h(x) = 0.

2. On pose, pour (x, y) R2 :

f(x, y) = ex+y xy 1

Demontrer lexistence dune unique onction numerique , denie surI =] , a[, telle que :

f(x, (x)) = 0 et x ]0, a[ , (x) ln(x) x

3. Prouver que est de classe C sur I.

4. Calculer les trois premieres derivees de en 0.

5. (a) trouver limx

(x).

(b) Donner un developpement asymptotique a deux termes de auV().

6. Faire une etude locale de au voisinage de a.



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Neuvieme partie

Equations diferentielles nonlineaires

Dixieme partie

Geometrie

14 Courbes, courbure

Exercice 101. Representer la courbe dequations parametriques :x = cos2 t + ln |sin t|y = sin t cos t

et calculer son rayon de courbure au point M de parametre t suppose bire-gulier .

Exercice 102. Representer la courbe dequation polaire :

=1

1 + sin 3

Preciser, a laide de Maple, une parabole asymptote et la position de la courberelativement a icelle.

Exercice 103 (Centrale 2009). Pour t R, on note t la droite dequa-tion (t 2)x + (3t 2t2)y + t3 = 0.

1. Tracer les droites t sur une meme gure pour t {3; 2.8; 2.6; . . . ; 2.6; 2.8; 3}.

2. On cherche une courbe C : t M(t) = x(t)y(t), de classe C1 telleque, pour tout t dun intervalle de denition de (C), le point M(t) soitregulier et la droite t soit tangente en M(t) a C.

(a) Montrer que x(t) + (3 4t)y(t) + 3t2 = 0.



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(b) Montrer que :

x(t) = t3

t 1

y(t) =t2

t 1sur des intervalles a denir.

(c) On note S la courbe donnee par le parametrage ci-dessus pourt ] , 1[]1, +[.

i. Etudier la courbe S.

ii. Tracer, sur une meme gure, la courbe (S) et la amille dedroites deja tracees a la premiere question.

15 Alignement, concours

Exercice 104. -

1. Montrer que, dans le plan ane, muni dun repere cartesien (R) =(O,

i ,

j ), trois points M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), M3 (x3, y3) sont alignes

si et seulement si :

x1 y1 1

x2 y2 1x3 y3 1

= 02. Dans le plan ane E2, muni dun repere cartesien (R) = (O, i , j ), on

appelle equation de droite toute application D : E2 R de la orme

M(x, y) ax + by + c (a, b) = (0, 0)

Montrer que, si (D1) et (D2) sont deux droites non paralleles dequa-tions respectives D1 et D2 et (D) une droite dequation (D) alors (D)

passe par le point (D1) (D2) si et seulement si il existe (1, 2) R2

tels que D = 1D1 + 2D2.

3. Dans la suite le plan E2 est ane euclidien. Ecrire une procedure normqui prend en argument une equation de droite f et retourne un vecteurnormal a la droite dequation f(M) = 0 [on pourra utiliser les deriveespartielles de f].



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4. Deduire de ce qui precede une procedure prenant en argument trois

equations de droites (f1, f2, f3) et retournant lorthocentre du triangledont les cotes ont pour equations fi(M) = 0 (1 i 3) [On pourraecrire dabord une procedure hauteur].

5. Dans un plan ane euclidien E2, on considere un triangle ABC dontles cotes AB, BC, CA sont coupes par une droite () respectivementen D, E, F. Prouver que les orthocentres des triangles ABC, BDE,EF C sont alignes [on pourra prendre un repere orthonorme dont lesaxes sont la droite BC et la hauteur issue de A].

16 Problemes geometriques diversExercice 105. Cocyclicite de quatre points sur une ellipse.

Exercice 106 (X ; Centrale 2002 et 2009). Dans un plan ane euclidien,rapporte a un repere orthonorme, determiner le lieu des centres des trianglesequilateraux inscrits dans la parabole dequation y2 = 2px. [On suggere deconsiderer lintersection du cercle circonscrit a un tel triangle avec la para-bole. On pourra parametrer ce cercle sous la orme : ]

x = x0 +R

2u + 1

u , y = y0 + R

2iu

1

u

Ou R est un reel et u un complexe de module 1.

17 Suraces

Exercice 107 (Centrale 2009). On considere la surace (S) de R3 deniepar :

z(x2 + y2) 2xy = 01. (a) Determiner les points non reguliers de (S).

(b) On note (S) = {M(x,y,z) (S) / |z| 1}. Determiner uneequation de (S) en coordonnees cylindriques.

(c) Parametrage de (S) sous la orme z = f(, ).

(d) Montrer que (S) est reunion dune amille de droites toutes or-thogonales a une autre.



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2. On note (e) la base canonique de R3 et, pour tout reel , (u(),

v())

la base mobile denie par :

u() = cos e1 + sin e2 et

v() =

u

+

2

On recherche, sous la ormeOM() = ()

u() + sin(2)e3 , ou est

une application inconnue de classe C2 dun intervalle I dans R, les arcsparametres : M(), traces sur (S), bireguliers tels que pour tout I M() soit un point regulier de la surace et que le plan tangent a(S) en M() soit le plan passant par M() et dirige par le plan vectoriel

VectdMd (), d2Md2 (). Determiner une equation diferentielle veriee

par et en deduire les equations des arcs quon representera a laidedu logiciel.

Exercice 108. Etudier lintersection de la surace de lexercice precedentavec un plan tangent en un point regulier.

Exercice 109 (Centrale 2009). Soit (S) la courbe obtenue par rotationautour de Oz du cercle :

(C) : x2 + z2

4x + 3 = 0

y = 0

1. Equation cartesienne de (S) ?

2. La dessiner a laide du logiciel.

3. Equation dun plan tangent a la surace passant par O ?

4. On considere un tel plan tangent (P) contenant laxe Oy. Determinerune base orthonormee (B) de R3 telle quune equation de ce plan dansle repere (R) = (O, (B)) soit Z = 0.

5. Determiner une equation de (S) dans ce nouveau repere et lintersection

de (S) avec (P).

Exercice 110 (Centrale 2009). Soit (S) la surace dequation x2 + y2 +4z2 = 1 en repere orthonorme.

1. De quelle surace sagit il ? La tracer puis en donner un parametrage.

2. Donner un vecteur orthogonal a (S) en son point courant.



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3. Soit u 1

11

. Ecrire les conditions sur les coordonnees du point M (S)pour que sa normale soit orthogonale a u .

4. Donner une base orthonormee du plan vectoriel dequation x+2y+4z =0.

5. Donner une equation reduite de la courbe obtenue a la question 3.

Exercice 111 (Centrale 2008, 2009). Lespace est rapporte a un repere

orthonorme (R) = (O,i ,

j ,

k ). On considere la surace (S) dequation :

15

x2 + 2xy + 65

xz+ 32

y2 yz + 710

z2 = 0

1. -

(a) Determiner sa nature.

(b) Determiner son equation reduite dans un repere orthonorme a pre-ciser.

(c) Donner un parametrage de (S) a partir duquel la representer alecran.

2. On veut determiner les cercles traces sur (S).

(a) Soit R1 = (O, I , J , K) un repere orthonorme dans lequels (S)a pour equation reduite 2X2 + Y2 Z2 = 0. On note D =diag(2, 1, 1). On considere un nouveau repere orthonorme R2 =(O, u , v , n ) avec :

n = aI + bK , u = J

On note P la matrice de passage de (I ,

J ,

K) a (u , v , n ).

Determiner une condition portant sur le couple (a, b) pour que, si

() designe le plan de cote dans R2, (S) () soit un cercle.Preciser, dans ce cas, les centres et les rayons des cercles obtenus.(b) A-t-on ainsi tous les cercles traces sur (S) ?


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