Mathematica - Uputstvo GAF

Uputstvo za programski paket

MATHEMATICA

- Informatika I -

Milan Gocić

2

Sadržaj 1. Uvod ...................................................................................................................... 3 2. Osnovne operacije sa brojevima, izrazi i funkcije ............................................ 3

2.1 Aritmetičke operacije i brojevi ............................................................. 3 2.2 Kompleksni brojevi ............................................................................... 4 2.3 Konstante ............................................................................................... 5 2.4 Promeljive .............................................................................................. 5 2.5 Relacioni i logički operatori ................................................................. 6 2.6 Matematičke funkcije ........................................................................... 6 2.7 Korisnički definisane funkcije ............................................................. 7 2.8 Algebarske transformacije ................................................................... 8 2.9 Trigonometrijske transformacije ........................................................ 9 2.10 Sume i proizvodi ................................................................................. 9 2.11 Rešavanje jednačina ........................................................................... 10

3. Izračunavanje ..................................................................................................... 10 3.1 Granične vrednosti ............................................................................... 10 3.2 Diferenciranje ....................................................................................... 11 3.3 Diferencijalne jednačine ...................................................................... 12 3.4 Integracija ............................................................................................. 12

4. Vektori i matrice ................................................................................................ 13 5. Grafik funkcije ................................................................................................... 14

5.1 Parametarski zadate krive ................................................................... 15 6. Zadaci za vežbu ................................................................................................... 16

Milan Gocić

3

1. Uvod Mathematica je razvijena u softverskoj kompaniji Wolfram Research i predstavlja programski paket za matematičke i druge primene (tehnologija, finansije, medicina, istraživanje, obrazovanje). Posebno je pogodna za obradu numeričkih podataka, za simbolička procesiranja, kao i za grafičko prikazivanje podataka i funkcija. Za rad u programskom paketu Mathematica koriste se dokumenta koja se zovu beležnici (notebooks). Beležnici se sastoje od ćelija koje mogu sadržati tekst, izračunavanja ili grafikone. Ćelija se prepoznaje po zagradama sa desne strane ([ ]). Ulazni podaci na osnovu kojih se vrši izračunavanje u paketu Mathematica se unose u ulaznim ćelijama. Da bi se kreirala nova ulazna ćelija, treba pritisnuti van postojeće ćelije i početi sa kucanjem. Nakon unosa podataka treba pritisnuti taster SHIFT u kombinaciji sa tasterom ENTER. Mathematica vrši izračunavanje na osnovu unetih podataka i daje izlazni rezultat u izlaznoj ćeliji odmah ispod ulazne ćelije. Prekid računanja se postiže tasterima [Alt][,] ili [Alt][.]. Ćelije In[n]:= i Out[n]= dodaju se automatski. 2. Osnovne operacije sa brojevima, izrazi i funkcije 2.1 Aritmetičke operacije i brojevi Postoje sledeći tipovi brojeva: Integer, Rational, Real i Complex (tabela 1). Tabela 1 Tipovi podataka Tip broja Objašnjenje Integer celi brojevi proizvoljne dužine Rational racionalni brojevi oblika integer/integer Real približni realni brojevi sa proizvoljnom specificiranom tačnošću Complex kompleksan broj oblika x+y I, gde su x i y realni brojevi U tabeli 2 prikazane su aritmetičke operacije u paketu Mathematica. Tabela 2 Aritmetičke operacije Aritmetička operacija

Mathematica Primer

sabiranje + x + y oduzimanje - x - y množenje praznina ili * x y ili x * y deljenje / x / y stepenovanje ^ x^y Primer 1: Sabrati dva cela broja 10 i 8. In[1]:= 10 + 8 Out[1]:= 18 Primer 2: Naći treći stepen broja 2. In[2]:= 2 ^ 3 Out[2]:= 8

Milan Gocić

4

Za izvršavanje operacije množenje koristi se praznina ili znak *. Znak % se može koristiti za rezultat poslednje izvršenog proračuna. Primer 3: In[3]:= 3 ^ 2 Out[3]:= 9 In[4]:= Sqrt[%] Out[4]:= 3 izraz //N ili N[izraz] uvek daje približan numerički rezultat. In[5]:= 1/3 + 2/7 //N Out[5]:= 0.619048 Ukoliko je potrebno da se odredi broj značajnih cifara nekog izlaznog rezultata koristi se N[izraz, n] gde je n broj značajnih cifara. In[6]:= N[1/3 + 2/7, 4] Out[6]:= 0.6190 2.2 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi u Mathematica pišu se upotrebom konstante I, što je jednako sa .1− Takođe, može se koristiti i slovo i ( ) kucanjem ESCiiESC. U izlaznim rezultatima se koristi i. Operacije sa kompleksnim brojevima prikazane su u tabeli 3. In[7]:= Sqrt[-9] Out[7]:= 3 Tabela 3 Operacije sa kompleksnim brojevima Operacija Mathematica Kompleksni broj iyx + x + I y Realni deo Re[z] Imaginarni deo Im[z] Konjugovani kompleksan broj z Conjugate[z] Apsolutna vrednost z Abs[z]

Argument φ u ϕiez Arg[z]

Primer 4: Neka je zadat kompleksan broj i8.35.2z += . Naći realni deo, imaginarni deo, konjugovani kompleksan broj, apsolutnu vrednost, argument i drugi stepen broja z. In[8]:= z=2.5+ 3.8 I Out[8]:= 2.5 +3.8 In[9]:= Re[z] Out[9]:= 2.5 In[10]:= Im[z] Out[10]:= 3.8 In[11]:= Conjugate[z] Out[11]:= 2.5 -3.8 In[12]:= Abs[z]

Milan Gocić

5

Out[12]:= 4.54863 In[13]:= Arg[z] Out[13]:= 0.988891 In[14]:= z^2 Out[14]:= -92.675+16.378 2.3 Konstante Veličine čija se vrednost ne može menjati u toku izvršavanja programa naziva se konstanta. Konstantama se mogu dodeljivati simbolička imena, koja se mogu koristiti umesto njih. Poznate simboliče konstante imaju svoja posebna, rezervisana imena (tabela 5). Tabela 5 Konstante Mathematica Matematička konstanta Pi 14159.3≅π E 71828.2e ≅ Degree 180/π - faktor konverzije stepena u radijane I 1i −= Infinity ∞ Imena svih konstanti, kao i svih funkcija koje su definisane u paketu Mathematica počinju velikim slovom. 2.4 Promeljive Promenljive su veličine koje menjaju svoju vrednost u programu. Svaka promenljiva ima svoje simboličko ime. Promenljive se nazivaju simboli i predstavljaju osnovne imenovane objekte u jeziku Mathematica. Ime koje se koristi kao simbol mora da bude sekvenca slova i cifara, koja ne počinje cifrom. Velika i mala slova se razlikuju. Simbolima se ne može dodeliti ime postojećih funkcija i konstanti u paketu Mathematica. U tabeli 6 prikazani su načini dodele vrednosti promenljivama. Tabela 6 Dodela vrednosti promenljivama Operacija Mathematica Dodela vrednosti promenljivoj x x = vrednost Dodela vrednosti promenljivama x i y x = y = vrednost Odbacuje se vrednost dodeljena promenljivoj x x = . ili Clear[x] Sledećim primerom se promenljivoj x dodeljuje vrednost 10. In[15]:= x = 10 Out[15]= 10 Komentari se pišu unutar oznaka (* i *) čineći tako kod čitljvijim. In[16]:= (* Sabiranje brojeva 10 i 8 *) 10 + 8 Out[16]:= 18 U jednoj liniji je moguće napisati više matematičkih operacija korišćenjem znaka ;.

Milan Gocić

6

In[17]:= x = 2; y = 80; z = y - x Out[17]= 78 2.5 Relacioni i logički operatori U tabeli 7 prikazani su relacioni operatori. Tabela 7 Relacioni operatori Relacioni operator Mathematica = == ≠ != > > ≥ >= < < ≤ <= U tabeli 8 prikazani su logički operatori. Tabela 8 Logički operatori Logički operator Mathematica

p¬ ! qp∧ p && q qp ∨ p || q qp⊕ Xor[p, q]

Primer 5: Naći vrednost izraza .1323412 ≠∧> In[18]:= 12 > 34 && 2 != 13 Out[18]= False 2.6 Matematičke funkcije Sve ugrađene matematičke funkcije rade na sličan način: njihova imena počinju velikim slovom, a argumenti im se nalaze u uglastim zagradama (tabela 9). Tabela 9 Matematičke funkcije Matematička funkcija Mathematica x Abs[x]

x Sqrt[x] xe Exp[x] xln Log[x]

xlogb Log[b, x] trigonometrijske funkcije (argumenti su u radijanima)

Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x]

inverzne trigonometrijske funkcije ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x] hiperboličke funkcije Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], Coth[x] inverzne hiperboličke funkcije ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x], ArcCoth[x] zaokruživanje na ceo deo broja x Round[x] celobrojni ostatak pri deljenju (n moduo m) Mod[n, m] slučajni brojevi između 0 i 1 Random[ ]

Milan Gocić

7

maksimum, minimum od x, y, ... Max[x, y, ...], Min[x, y, ...] m na )m/n(â

Primer 6: Naći numeričku vrednost za ( )o20sin . In[19]:= Sin[20 Degree] //N Out[19]= 0.34202

Primer 7: Naći numeričku vrednost za 3125216 .

In[20]:= N[(216/125) ^ (1/3)] Out[20]= 1.2 Osnovne kombinatorne funckije prikazane su u tabeli 10. Tabela 10 Kombinatorne funkcije Kombinatorna funkcija Mathematica faktorijel broja n! dvostruki faktorijel broja n!!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mn

Binominal[n, m]

2.7 Korisnički definisane funkcije Funkcija više promenljivih se izrazom

funckija[x_, y_, ...]:= izraz. Pri definisanju funkcija treba voditi računa da se argumenti navode u uglastim zagradama, a umesto znaka jednakosti stoji znak :=. Svaki element u listi parametara se završava znakom za podvlačenje (_). Primer 8: Naći vrednost funkcije 5x2)x(f += za x = 3.2. In[21]:= f[x_] := 2 x+5 In[22]:= f[3.2] Out[22]:= 11.4 Funkcije mogu imati proizvoljan broj argumenata. Primer 9: Napisati funkciju za sabiranje dva broja. Testirati funkciju za argumente 10 i 3. In[23]:= f[x_, y_] := x+y In[24]:= f[10, 3] Out[24]= 13

Milan Gocić

8

Primer 10: Neka je data funkcija oblika

⎩⎨⎧

<−>+

= .0x,3x0x,2x

)x(f

Odrediti vrednosti funkcije za x = 10 i x = -3. In[25]:= Clear[f] f[x_]:= x+2/; x>0 f[x_]:=x - 3/;x<0 In[26]:= f[10] Out[26] := 12 In[27]:= f[-3] Out[27] := -6 2.8 Algebarske transformacije U tabeli 11 date su funkcije za konvertovanje između različitih oblika algebarskih izraza. Tabela 11 Funkcije za konvertovanje algebarskih izraza Opis funkcije Mathematica Ekspanzija proizvoda i stepena u polinomu p Expand[p] Faktorizacija izraza p Factor[p] Izdvajanje zajedničkih faktora u p FactorTerms[p] Zapis polinoma u obliku sume stepena promenljive x Collect[p, x] Zapis polinoma u obliku sume stepena od x, y, ... Collect[p, {x, y, …}] Funkcije za algebarske operacije sa polinomima prikazane su u tabeli 12. Tabela 12 Funkcije za algebarske operacije sa polinomima Opis funkcije Mathematica Količnik deljenja polinoma p1 po x polinomom p2, pri čemu se odbacuje ostatak

PolynomialQuotient[p1, p2, x]

Ostatak deljenja polinoma p1 po x polinomom p2 PolynomialRemainder[p1, p2, x] NZD dva polinoma PolynomialGCD[p1, p2] NZS dva polinoma PolynomialLCM[p1, p2] Redukcija polinoma p po modulu m PolynomialMod[p, m] Primer 11: a) Naći faktore polinoma ,y84xy27x12 22 −+ b) izračunati proizvod izraza

,)yx3()yx( 32 −+ c) Napisati sumu 3

xx2 3

2 − kao jedan razlomak.

a) In[28]:= Factor[12 x^2+ 27 x y - 84 y ^ 2] Out[28]= 3 (4 x-7 y) (x+4 y) b) In[29]:= Expand[(x+y)^2 (3 x - y) ^ 3] Out[29]= 542345 yxy7yx18yx27x27 −+−+ c) In[30]:= Together[2/x^2 - x ^ 3 /3]

Out[30]= 2

5

x3x6 −

Milan Gocić

9

2.9 Trigonometrijske transformacije Funkcije za transformacije trigonometrijskih izraza prikazane su u tabeli 13. Tabela 13 Funkcije za transformaciju trigonometrijskih izraza Opis funkcije Mathematica Ekspanzija trigonometrijskog izraza TrigExpand[izraz] Faktorizacija trigonometrijskog izraza TrigFactor[izraz] Redukcija trigonometrijskih izraza korišćenjem višestrukih uglova

TrigReduce[izraz]

Trigonometrijska funkcija se predstavlja preko eksponencijalnih funkcija

TrigToExp[izraz]

Eksponencijalna funkcija se predstavlja preko trigonometrijskih funkcija

TrigToTrig[izraz]

2.10 Sume i proizvodi Programski paket Mathematica može da računa konačne i beskonačne sume i proizvode (tabela 14). Tabela 14 Sume i proizvod Operacija Mathematica

∑=

maxi

minii

f Sum[ f , {i, imin, imax}]

Suma po i sa korakom di Sum[ f , {i, imin, imax, di}]

Ugneždene sume ∑ ∑= =

maxi

minii

maxj

minjj

f Sum[ f , {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}]

∏=

maxi

minii

f Product[ f , {i, imin, imax}]

Ugneždeni proizvodi ∏ ∏= =

maxi

minii

maxj

minjjf

Product[ f , {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}]

Primer 12: Naći ∑=

4

1i

ix

In[31]:= Sum[xî, {i, 1, 4}] Out[31]= 432 xxxx +++

Primer 13: Naći .5.23i4

1i∑=

+

In[32]:= Sum[(i+3)/2.5, {i, 1, 4}] Out[32]=8.8

Primer 14: Naći ∑∑= =

2

1i

i

1j

ji .yx

In[33]:= Sum[xî y^j, {i, 1, 2}, {j, 1, i}] Out[33]= 222 yxyxyx ++

Milan Gocić

10

Primer 15: Naći .i1

1i2∑

∞

=

In[34]:= NSum[1/ i^2, {i, 1, Infinity}] Out[34]= 1.64493

Primer 16: Naći .2i5

1ii∏

=

In[35]:= NProduct[i/2î, {i, 1, 5}] Out[35]= 0.00366211 2.11 Rešavanje jednačina Za rešavanje jednačina koristi se oblik

Solve[leva_strana == desna_strana, x] Solve pokušava uvek da prikaže formule kao rešenja jednačina. Međutim, za dosta složene jednačine eksplicitne algebarske formule se ne mogu prikazati. Za jednačine do stepena 4 Mathematica može dati rešenja. Ako je stepen 4 ili veći matematički je nemoguće dati eksplicitne algebarske formule za sva rešenja. Primer 17: Naći rešenja kvadratne jednačine .08x2x 2 =−+ In[36]:= Solve[x^2 + 2x - 8 == 0, x] Out[36]= {{x→ -4},{x→2}} Primer 18: Naći rešenja sistema jednačina

5yx10yx2

=+=−

In[37]:= Solve[{2 x-y 10, x + y 5}, {x, y}] Out[37]:= {{x→5,y→0}} 3. Izračunavanje 3.1 Granične vrednosti Funkcije za određivanje graničnih vrednosti date su u tabeli 15. Tabela 15 Granične vrednosti Opis Mathematica Granična vrednost funkcije f kada 0xx → , )x(flim

0xx→ Limit[f, 0xx → ]

Granična vrednost funkcije f kada 0xx → sa leve strane Limit[f, 0xx → , Direction →1] Granična vrednost funkcije f kada 0xx → sa desne strane Limit[f, 0xx → , Direction → -1]

Milan Gocić

11

Primer 19: Naći .x

x3sinlim0x→

In[38]:= Limit[Sin[3 x] / x, x -> 0] Out[38]= 3

Primer 20: Naći .x1elim x3

0x−

→

In[39]:= Limit[Exp[3 x] – 1 / x, x -> 0] Out[39]= -∞ Primer 21: Naći .xelim x2

x−

∞→

In[40]:= Limit[Exp[-2 x] Sqrt[x], x-> Infinity] Out[40]= 0

Primer 22: Naći .xx

lim0x +→

In[41]:= Limit[Abs[x] / x, x -> 0, Direction -> -1] Out[41]= 1

Primer 23: Naći .elim x1

0x

−

→ −

In[42]:= Limit[Exp[-1 / x], x -> 0, Direction -> 1] Out[42]= ∞ 3.2 Diferenciranje Funkcije za numeričko i simboličko diferenciranje date su u tabeli 16. Tabela 16 Diferenciranje Opis Mathematica

Parcijalni izvod xf∂∂

D[f, x]

Višestruki izvod f...2xx1 ∂∂

∂∂

D[f, x1, x2, …]

n-ti parcijalni izvod xfn

∂∂

D[f, {x, n}]

Prvi, drugi i treći izvod funkcije f jedne promenljive f’[x], f’’[x], f’’’[x] n-ti izvod funkcije jedne promenljive f(n)[x]

Primer 24: Naći parcijalni izvod funkcije .x1x)x(f +=

In[43]:= D[x + 1 / x, x]

Milan Gocić

12

Out[43]= 2x

11−

Primer 25: Naći treći parcijalni izvod funkcije .xcos)x(f = In[44]:= D[Cos[x], {x, 3}] Out[44]= Sin[x] Primer 26: Naći prvi i drugi izvod funkcije .xcose)x(f x += In[45]:= f[x_]:=Exp[x] + Cos[x] In[46]:= f'[x] Out[46]= [ ]xSinex − In[47]:= f''[x] Out[47]= [ ]xCosex − 3.3 Diferencijalne jednačine Diferencijalne jednačine i sistemi diferencijalnih jednačina u čisto funkcionalnom obliku rešavaju se funkcijom Dsolve (tabela 17). Tabela 17 Diferencijalne jednačine Opis Mathematica Rešavanje diferencijalne jednačine za y[x], smatrajući x za nezavisnu promenljivu

DSolve[jednačina, y[x], x]

Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina DSolve[{jednačina1, jednačina2, …}, {y1, y2, …}, x] Primer 27: Rešiti diferencijalnu jednačinu .ayy =′ In[48]:= DSolve[y' [x] == a y[x], y[x], x] Out[48]= {{y[x] →(eax C[1]}} 3.4 Integracija Tabela 18 Integracija Operacija Mathematica Neodređen integral ∫ dxf Integrate[f, x]

Višestruki integral ∫ fdydx Integrate[f, x, y]

Određen integral ∫maxx

minx

dxf Integrate[f, {x, xmin, xmax}]

Višestruki određen integral ∫∫maxy

miny

maxx

minx

fdydx Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]

Primer 28: Naći ∫ +

+ .dx2x

7x

Milan Gocić

13

In[49]:= Integrate[(x + 7) / Sqrt[x + 2], x]

Out[49]= )x17(x232

++

Primer 29: Naći ∫ .dxx n

In[50]:= Integrate[x^n, x]

Out[50]= n1

x n1

+

+

Primer 30: Naći .dxe0

x2

∫∞

−

In[51]:= Integrate[Exp[-x^2], {x, 0, Infinity}]

Out[51]=2π

Primer 31: Naći .)yx(dydx1

0

x

0

22∫ ∫ +

In[52]:= Integrate[ x^2 + y^2, {x, 0, 1}, {y, 0, x} ]

Out[52]= 31

Primer 32: Naći .dx)xsin(cos1

0∫

In[53]:= N[Integrate[Sin[Cos[x]], {x, 0, 1}]] Out[53]= 0.738643

Primer 33: Naći .dxxxln1

0∫

In[54]:= Integrate[Log[x] / Sqrt[x], {x, 0, 1}] Out[54]= -4 4. Vektori i matrice Vektori i matrice se u Mathematica predstavljaju putem listi. Tabela 19 Predstavljanje vektora i matrica Operacija Mathematica Vektor )c,b,a( {a, b, c}

Matrica ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dcba

{{a, b}, {c, d}}

Prikaz matrice vrši se naredbom MatrixForm[lista]. In[55]:= s = {{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}}

Milan Gocić

14

Out[55]= {{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6}} In[56]:= MatrixForm[s] Out[56]=//MatrixForm=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

654543432

Tabela 20 Operacije nad matricama Matrične operacije Mathematica množenje matrice a skalarom m a m proizvod matrica a i b a . b inverzna matrica Inverse[a] n-ti stepen matrice a MatrixPower[a, n] determinanta matrice a Det[a] transponovanje matrice a Transpose[a] jedinična matrica dimenzije n IdentityMatrix[n] Primer 34: Generisati jediničnu matricu reda 3. In[57]:= IdentityMatrix[3] Out[57]= {{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}} 5. Grafik funkcije Osnovna funkcija za iscrtavanje grafika funkcija u paketu Mathematica je Plot, koja iscrtava proizvoljnu funkciju jedne promenljive u zadatom intervalu. Tabela 21 Iscrtavanje grafika funkcije Funkcija u paketu Mathematica Opis Plot[ f , {x, xmin, xmax}] Grafik funkcije f u zavisnosti od x u

intervalu [xmin, xmax] Plot[{f1, f2, ... }, {x, xmin, xmax}] Crtanje više funkcija zajedno Primer 35: Nacrtati grafik funkcije sin(x) za ]2,0[x π∈ . In[58]:= Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Out[58]= - Graphics -

Milan Gocić

15

Primer 36: Nacrtati grafik funkcija sin(x), cos(x) za ]2,0[x π∈ . In[59]:= Plot[{Sin[x], Cos[x] }, {x, 0, 2Pi}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Out[59]= - Graphics - Primer 37: Nacrtati grafik funkcije 2xsin za ]2,0[x∈ . In[60]:= Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, AxesLabel -> {"x value", "Sin[x^2]"} ]

0.5 1 1.5 2 2.5 3x value

-1

-0.5

0.5

1Sin@x^2D

Out[60]= - Graphics - In[61]:= Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame -> True, GridLines -> Automatic]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

Out[61]= - Graphics - 5.1 Parametarski zadate krive Za crtanje kriva zadatih parametraskim jednačinama bta),t(yy),t(xx ≤≤== se koristi

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, a, b}]

Milan Gocić

16

Primer 38: Nacrtati parametarske jednačine

.t,tcosty,tsintx

π≤≤π−⎩⎨⎧

+=+=

In[62]:=x[t_] := t + Sin[t]; y[t_] := t+Cos[t]; ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, -Pi, Pi}, AspectRatio-> Automatic]

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

Out[62]= - Graphics - 6. Zadaci za vežbu 1. Naći prvih 20 značajnih cifara izraza .11 2. Naći z broja .i32 −

3. Izračunati 321627 .

4. Za proizvoljno unetu vrednost x napisati funkciju za izračunavanje vrednosti sume

( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+=20

0k

2

xcosxsinkx3xkxcosxf .

Funkciju testirati za vrednost 25.0x = . 5. Naći 20 element Fibonačijevog niza ako važi:

)2n(f)1n(f)n(f1)1(f1)0(f

−+−===

Milan Gocić

17

6. Neka je data funkcija oblika

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤−<≤<≤

= .3x2,x3

2x1,11x0,x

)x(f

Odrediti vrednosti funkcije za x = 0.3 i x = 1.5. 7. Neka je data funkcija oblika

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤= .

1x,xsin1x0,x

0x,x)x(f

3

Odrediti vrednosti funkcije za x = 1 i x = -1. 8. Neka je data funkcija oblika

⎩⎨⎧

≤>

= .0x,x3

0x,x2sin)x(f

Odrediti vrednosti funkcije za x = π i x = -2. 9. Neka je data funkcija oblika

.2xarctgbcoseasinln)x,b,a(f 2

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

Odrediti vrednost funkcije za x = 1, a = 2 i b = 3. 10. Neka je data funkcija oblika

.e

ycos2.0xtgln)y,x(f xy2 ++=

Odrediti vrednost funkcije za x = 1, y = 0.5. 11. Neka je data funkcija oblika

( )22

3

xsinlnxxsin)x(f +

= .

Odrediti vrednosti funkcije za x = 1. 12. Naći faktore izračunati proizvod izraza ).yx()x1( 23 −+

Milan Gocić

18

13. Naći rešenje jednačine .01x2x 3 =+−

14. Naći: a) ∑=

+30

1i

i)2x( , b) ∑∑= =

−2

1i

i

1j)ji2( , c) .i3

15

1i

2∏=

15. Naći rešenja sistema jednačina

1zyx5zy2x38zy3x2

=−+=+−=+−

16. Naći rešenja jednačine .x1x2x 24 −=−

17. Odrediti graničnu vrednost .1x

1xln

1lim1x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+→

18. Odrediti graničnu vrednost .x11lim

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

19. Odrediti graničnu vrednost .x

elimx

x ∞→


xlnlim3x ∞→

21. Odrediti graničnu vrednost .1xxlim

x−−

∞→

22. Odrediti graničnu vrednost xtglim

2x

+π→

i xtglim

2x

−π→

.


)1xln(lim0x

+→


52limxx

0x

−→


xxelim 2

2x

0x

−−→

26. Odrediti graničnu vrednost .1e

1x1lim x0x

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

→

27. Naći parcijalni izvod funkcije .ee)x(f x2x2 −+= 28. Naći drugi parcijalni izvod funkcije .4x8x10x)x(f 23 −+−=

Milan Gocić

19

29. Naći prvi izvod funkcije .xlnx

1x)x(f⋅−

=

30. Naći prvi izvod funkcije .1xx)x(f 2 ++= 31. Naći prvi i drugi izvod funkcije .xe)x(f x += 32. Rešiti diferencijalnu jednačinu .0tsinyy 2 =−′

33. Naći vrednost integrala .dx6xx

1I 2∫ −+=

34. Naći vrednost integrala .dxx1

1I 3∫ −=

35. Naći vrednost integrala .dxx2sinxI ∫=

36. Naći vrednost integrala .dxeI 3x2∫ +=

37. Naći vrednost integrala .dx5x3x

3x2I 2∫ −+

+=


4xI2∫ +−

+=

39. Naći vrednost integrala .dx12x16x7x

1xI 23∫ −+−

+=


3xx2xI 24

23

∫ ++

+++=

41. Naći vrednost integrala .dxxx2x3x2x1x5x10x5x3I 2345

234

∫ ++++

++++=

42. Naći vrednost integrala .dx)xcos1(xsin

xsin1I ∫ ++

=

43. Naći vrednost integrala .dxexI x2∫ ⋅=

44. Naći vrednost integrala .dxe2I0

x2

∫π

−

π=

45. Naći vrednost integrala .dxx2sineI0

x2∫π

=

Milan Gocić

20

46. Naći vrednost integrala .dx)8x2x(I150

1

3∫ −+=

47. Naći vrednost integrala .)5x(

dxI10

13∫ −

=

48. Naći vrednost integrala .dx)2x3x(

8x5I10

122∫ ++

+=

49. Naći vrednost integrala .dxx

1xI4

1

2

∫+

=

50. Naći vrednost integrala .dxx1

1I22

02∫

−=

51. Naći vrednost integrala .dx)xtan1(I4

0

2∫

π

+=

52. Naći vrednost integrala .dx)x1e(I

5

0

x∫ +=

53. Naći vrednost integrala .dydxyx414I

1

0

x1

0

222

∫ ∫−

++=

54. Neka je ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

818573542

A i ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

613286

316B . Izračunati: a) A + B, b) B-2A, c) A-1,

d) (A + B)T, e) det B. 55. Neka su dati vektori ).12941(ui)3420(v −== Naći: a) 2v – u, b) v + u, c) uv ⋅ .

56. Nacrtati grafik funkcije ,4x

x9)x(f 2

2

−−

= za ].3,3[x −∈

57. Nacrtati grafik funkcije 2x4y −= za ].2,2[x −∈ 58. Nacrtati grafike funkcija 8x3y −= i 5x2y +−= za ].5,5[x −∈

59. Nacrtati grafike funkcija xsiny = i 10xy

2= za ].2,0[x π∈

Milan Gocić

21

60. Nacrtati krive zadate parametarskim jednačinama

.2t2,ttanty,t2sintx

π≤≤π−⎩⎨⎧

+=+=

Documents

Mathematica - Uputstvo GAF